基礎數學 - hkep · 奧數中的l.c.m.及h.c.f.問題（短除法的妙用）...
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• 數數及數的種類
• 運算法則
• 常用的分數概念
• 利用短除法求
L.C.M. 及 H.C.F.
• 質數及合成數
• 奧數中的 L.C.M. 及
H.C.F. 問題（短除法的
妙用）
數學名著•《幾何原本》
數學家• 愛拉托散尼
數學史• 符號 +、-、×、÷ 是怎麼來的
小學
中學
目標目標
基礎數學概念 進階運算技巧
基礎數學11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
-+
÷×
大家知道答案嗎？
答案在頁115。
15分鐘
50分鐘
10分鐘
15分鐘
數數及數的種類
在小學，我們學會了*數數及一些數學名詞：
奇數╱單數（odd numbers）
是不可以被 2整除，即 1，3，5，7，9，⋯
自然數（natural numbers）
是指用於數數中所有的數，即 1， 2，3，⋯10⋯100⋯1000⋯
整數（whole numbers）
包括 0和自然數。
偶數╱雙數（even numbers）
是可以被 2整除，即 0，2，4，6，8，⋯
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
91 100
1000
順數（counting on）
倒數（counting back）
三位數（3-digit numbers）
四位數（4-digit numbers）
多位數（large numbers）
分數 頁 5
小數 第 66 課
（註：在小學，沒有包括負整數。）
**
**奇：讀 gei1
*數數：讀 sou2 sou3
2
15 小時升中數學銜接班
1 計算下列各式。 (a) (112 - 3 × 12 ) ÷ 19 (b) 18 + [84 ÷ (32 - 18)] × 13
(c) {[51 - (102 ÷ 17) + 17]} × 3 (d) 88 + {126 ÷ [8 × 13 ÷ (75 - 23) + 7]}
小測試
在小學階段，我們只學了小括號 ( )，其實還有中括號 [ ] 和大括號 { }。( )、 [ ] 和 { } 都是在運算時經常出現。
例 12 + 24 ÷ { 8 × [10 - (7 + 2) ]}
先處理 ( )，再處理 [ ]，最後處理 { }，由左至右順序計算，先乘或除後加或減
12 + 24 ÷ { 8 × [10 - (7 + 2) ]} 先處理 ( ) 內的數，由左至右順序計算
= 12 + 24 ÷ { 8 × [10 - 9]} 再處理 [ ] 內的數，由左至右順序計算
= 12 + 24 ÷ {8 × 1} 最後處理 { } 內的數，由左至右順序計算
= 12 + 24 ÷ 8 由左至右順序計算，先乘或除
= 12 + 3 由左至右順序計算，後加或減
= 15
好處 1：利用調項方法，可加快運算速度。
現以上頁的例子作說明：（留意，調項要連同數字前的運算符號。）
12 + 19 + 8= 12 + 8 + 19= 20 + 19= 39
72 - 17 + 8= 72 + 8 - 17= 80 - 17= 63
42 ÷ 2 ÷ 7= 42 ÷ 7 ÷ 2= 6 ÷ 2= 3
75 ÷ 15 × 2= 75 × 2 ÷ 15= 150 ÷ 15= 10
只限「連加」、「連減」、「連乘」、
「連除」、「加減」或「乘除」部分。
根據EDB報告指出，學生不掌握調項技巧。
難點
4
15 小時升中數學銜接班
6
利用短除法求 L.C.M. 及 H.C.F.
小學階段，我們常以列舉法求最大公因數（highest common factor, H.C.F.）及 最小公倍數（least common multiple, L.C.M.）。
例：找出 24、36 的 H.C.F.和 L.C.M.。
小學（列舉法） 中學（短除法）H.C.F. 24 = 1 × 24
= 2 × 12= 3 × 8= 4 × 6
36 = 1 × 36= 2 × 18= 3 × 12= 4 × 9= 6 × 6
24、36 的 H.C.F.是 12。
24、36 的 H.C.F. = 2 × 2 × 3= 12
24、36 的 L.C.M.= 2 × 2 × 3 × 2 × 3= 72
找出一個能同時整除兩個數的數。
直至沒有為止。
1
2
L.C.M. 24 的倍數：24、48、72⋯36 的倍數：36、72、⋯24、36 的 L.C.M.是 72。
倍數（multiple） 因數（factor）某數*乘以任何一個數*，所得的積便是該數的倍數。
某數*可寫成兩個數*的積，這些數便是該數的因數。
*這裏所指的數是自然數，即 1，2，3⋯100⋯
6 的倍數： 6 × 1、6 × 2、6 × 3、6 × 4、6 × 5⋯
24 = 1 × 24= 2 × 12= 3 × 8= 4 × 6
6 的倍數是 6、12、18、24、30⋯ 24 的因數是 1、2、3、4、6、8、12、24。
小發現： 6 是最小的倍數，它沒有最大的倍數。
小發現： 24 最小的因數是 1，最大的是自己即 24。
短除法求 L.C.M. 及 H.C.F.，小學未必有教，但學生必須認識。
增潤
小學
15 小時升中數學銜接班
77
3 求下列各組數的 H.C.F.及 L.C.M.。
(a) 9, 21 9 21
(c) 12, 24, 36
(e) 36, 38, 42
3 Find the H.C.F. and L.C.M. of each of the following groups of numbers.
(b) 12, 40
(d) 24, 40, 56
(f) 15, 42, 72
(中學預習，中英對照 )小測試
在中學，我們很多時會利用短除法求三個數或以上的 H.C.F.或 L.C.M.。例：找出 12、20、24 的 H.C.F.和 L.C.M.。
找出一個能同時整除三個數的數。
如果沒有，就找出一個能同時整除其中兩個數的數。
L.C.M.
12、20、24 的 H.C.F.= 2 × 2= 4
12、20、24 的 L.C.M.= 2 × 2 × 3 × 1 × 5 × 2= 120
小學
中學
目標目標
短除法的簡單運用 短除法的進階應用
1
2
直至沒有為止。3
1 基礎數學
99
奧數中的 L.C.M. 及 H.C.F. 問題（短除法的妙用）
校慶日中，學校買了 320 個蘋果、240 個橙、200 條香蕉來送給出席嘉賓。
問 用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？ 每份禮物中，蘋果、橙及香蕉各有多少？
解題要訣：
今天於香港郵輪碼頭停泊了三艘遊輪（遊輪 1號、 2號及 3號）。已知遊輪 1號
每 5 天回碼頭一次，遊輪 2 號每 9 天回碼頭一次，遊輪 3號每 12 天回碼頭一次。
問 下次三艘遊輪一同停泊碼頭時，是多少天之後 ?
解題要訣：
題目中要求： 用這些水果最多可以分成多少份同樣的
禮物。➔ 即找出水果數量的 H.C.F.
320、240、200 的 H.C.F. = 40
最多可分成 40份
每份禮物中，有 8個蘋果、6個橙及 5隻香蕉。
題目中要求： 遊輪 1號每 5天回碼頭一次，遊輪 2號每
9天回碼頭一次，遊輪 3號每 12天回碼頭
一次。➔ 即找出 5，9 及 12 的 L.C.M.
5、9、12 的 L.C.M. = 3 × 5 × 3 × 4 = 180
下次三艘遊輪一同停泊碼頭時，是 180天之後。
蘋果 香蕉橙40 320 240 200
8 6 5
3 5 9 125 3 4
5 兄弟在外工作，大哥 6天回家一次，二哥 8天回家一次，三弟 12天回家一次，兄弟三人同時在 10 月 1 日回家，下一次三人再見是哪一天？
6 有三根鐵絲，分別長 120 厘米、180 厘米和 300 厘米，現把它們切成相等的小段，每根都不能有剩餘。每小段最長多少厘米？一共可以切成多少段？
小測試
HCF問題
LCM問題
1 基礎數學
10
．數學家
．
．數學史．
《幾何原本》Elements
出版年份：約公元前 300 年 作者：歐幾里得
它是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學名著，共 13 卷，包括：
愛拉托散尼 (Eratosthenes)
公元前 276 年 — 公元前 194 年，希臘人
他最出名是「愛拉托散尼篩法」，簡稱愛氏篩。據說愛拉托散當時將一張寫著自然數的羊皮紙，用刀逐一挖去 2 的倍數、3 的倍數、 5 的倍數等等。挖去合成數後，羊皮紙上留下一個又一個的小孔，使整個羊皮紙看來像一個篩子，該方法因此而得其名。
符號 + 、 - 、 × 、 ÷ 、 = 是怎麼來的
15 世紀
18世紀
+、 - 在公元 1489 年才正式被使用。
× 在公元 1631 年由英國人所創。
÷ 在公元 1659 年由瑞士人所創。
= 最初在中世紀（5 世紀至 15 世紀）出現，直到 18 世紀才普及。
1. 幾何基礎 2. 幾何與代數3. 圓與角 4. 圓與正多邊形5. 比例 6. 相似7. 數論（一） 8. 數論（二）9. 數論（三） 10. 無理數11. 立體幾何 12. 立體的測量13. 建正多面體
1 3 5
11 13
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+、-、×、÷、= 這五個符號是在 15 至 18 世紀期間，由歐洲各國的數學家先後發明的。
．
數學名著．
15 小時升中數學銜接班