BOURBAKİ OKULU VE MODERN MATEMATİK

GENERAL CHARLES DENIS SOTER( 1816- 1897) VE NICOLAS BOURBAKI

XVII yy. da Giritlilerin, Osmanlı Devleti’ne karşı açtığı bağımsızlık savaşında Emanuel ve Nicolas Skordylis isimli iki kardeş bu ayaklanmanın

liderliğini yapmaktadır. Öyle cesur ve mert insanlardır ki Osmanlı kuvvetlerinin komutanlarının bile takdirini toplamışlardır. Onlara ‘Savaşın

Önderi’ anlamına gelen ‘Vurbaşı’ demeye ve bunu bir rütbe olarak kullanmaya başlamışlardır. Türkçe bir sözcük olan Vurbaşı’ yı,

Yunanca’ya çevirmek için V ve Ş harflerinin yerine β ve X harflerini koyarak Bourbaki sözcüğünü oluşturmuşlardır. Bu aile adı (soyadı)

kuşaktan kuşağa devam etmiştir. Bu ailenin torunlarından biri, yaklaşık yüzyıl sonra Fransız ordusunun ünlü generallerinden biri olmuştur:

General Charles Denis Soter Bourbaki, Bourbaki Okulu’nun manevi kurucusu olmuştur. Bu kahraman generalin adını yaşatmak isteyen

kurucular, bu adı simge olarak seçmişlerdir. Dedesi Nicolas Bourbaki…

BOURBAKI OKULU

Kurucuları Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Dieudonnê ve Andrê Weil. Bir araya gelip başka Fransız matematikçileri de davet

etmişlerdir.David Hilbert’in etkisinde kalarak, matematiği yeniden ele alıp Hilbert’in belitlerini ve mantık ilkelerini çalışmaları için başlangıç

noktası kabul etmişlerdir. Eucleides’in Elements adlı eserinden esinlenerek, Elements de Mathêmatiques ( Matematiğin Öğeleri) adını

verdikleri bir seri oluşturmayı düşünmüşlerdir. Hollandalı matematikçi Van Der Waerden’in Modern Cebir kitabından çok etkilenmişlerdir.

Okulun ilkelerini belirleyip bir çalışma planı yaptıktan sonra, kendilerine rehber edindikleri Hilbert ve Van Der Waerden çizgisinde

çalışmalar yapmışlardır. Başlangıçta yazdıkları kitapların yazarı hep aynıydı: ‘Nicolas Bourbaki’

KİM BU NICOLAS BOURBAKI ?

Nicolas Bourbaki aslında bir hayali (simge) kişidir. Okul kurulduğunda bir araya gelen matematikçilerin hiçbiri ünlü bir ad değildi. Kendi

adlarıyla eserler yayımlarlarsa ciddiye alınmayacaklarını düşünmüşlerdi. O yüzden bir adı ünlü duruma getirip onun etrafında toplanmaya

karar verdiler. Bu okulun ilkelerinden biriydi, çalışmaların anonim olmasını bu yolla gerçekleştiriyorlardı. İşte bu ad Nicolas Bourbaki olarak

seçilmiştir. Bu sağlandıktan sonra, ortaya çıktıklarında kendilerini kabul ettirmek daha kolay olacaktır. Daha sonra bunda yanılmadıklarını

göreceklerdir. Uzun bir süre kitaplarda yazar adı olarak Nicolas Bourbaki kullandıktan sonra matematikçiler artık kendi adlarını kullanmaya

başlamışlardır. Bourbaki Okulu’nun ilginç bir ilkesi de 50 yaş sınırıdır. Bu ilkeye göre 50 yaşını tamamlayan üyeler, istifa ederek gruptan

ayrılacaktır. Ayrılanın yerine gelen adaylar çok zor ve katı sınavlardan geçecek ve bir yıl boyunca kendisine verilen programa uygun

çalışmalar yapacaktır. Bu süreç sonunda yeterli bulunan matematikçi okula girebilecektir. Bunun için hazırlamış olduğu tez ya da kitap

ancak 8 ya da 10 yıl sonra yayımlanacaktır. 50 yaş sınırının sebebi, onlara göre 50 yaşında olan bir bilim adamı, belki kafaca üretken

olabilecektir ancak genç bilim adamları ile anlaşmakta güçlük çekip, kuşaklar arasında bir uyum sorunu yaşanabilecektir. 50 yaşını bulan

üyeler, yeni fikirlere açık olmayabilecektir bu da gençlerin önünde bir engel oluşturabilecektir.

Bourbaki Okulu XX. yy matematiğine çok şey katmıştır. Pek çok yeni terim ve deyim kullanılmıştır. Yeni semboller üretilmiştir. Ancak bunlar

hep Yunan alfabesinden alınmıştır. Bu da matematiğin algılanmasını zor bir hale getirmiştir. Bu yüzden okula çeşitli eleştiriler yöneltilmiştir.

MODERN MATEMATİK

Bourbaki Okulu mensupları eleştirilere kulak asmayıp çalışmalarına devam etmişlerdir. Yeni bir metematik anlayışının temsilcisi ve bu

matematiğin kurucusu olmuşlardır:Modern Matematik.. Hilbert’in belitleri ve mantık açısı, Van Der Waerden’in Cebir’i ve Cantor’un

Kümeler kuramı, Bourbaki Okulu’nun çalışmalarında çok etkili olmuştur. Matematiği tamamen, soyut matematik ve cebir üstüne inşa

etmişlerdir. Örneğin fonksiyon tanımı şu hali almıştır: E den F ye bir fonksiyon 𝑓𝑓:𝐸𝐸 → 𝐹𝐹 ya da 𝐸𝐸𝑓𝑓→ 𝐹𝐹 biçiminde gösterilir. EcR,FcR yani

f:R→ R,x→f=f(x) biçiminde tanımlanır. Bu tanım çok açık bir biçimde cebirin önceliğini ifade etmektedir. Ayrıca tanımda kümeye ilişkin

unsurlar da yer almaktadır. Bourbaki Okulu matematikçileri çalışmalarıyla birçok yeni konuya imza atmışlardır. Örneğin süzgeçler(filtreler),

düzgün yapılar, topolojik vektör uzayları içinde Mantel uzayları gibi… Onların anlayışına göre Matematikte, Analiz, Diferansiyel Hesap,

Geometri, Cebir, Sayılar Teorisi gibi bölünmeler olanaksızdır. Bunlar bir bütün olarak düşünülüp tek bir matematiksel yapı kavramı altında

toplanmalıdır. Bunlar bir araya geldiğinde artık Modern Matematik hakkında bir görüş belirlenmiştir.

Bourbaki Okulu, 1948 yılından itibaren eski etkinliğini yitirmiştir. Bu topluluk, bu yıldan sonra yaptıkları çalışmaları, ya kendi adlarıyla

yayımlamakta ya da seminer çalışmaları yoluyla bilim dünyasına sunmaktadır.

BOURBAKİ OKULU KURUCULARI VE VAN DER WAERDEN

Bartel Leendert Van Der Waerden ( 1903 – 1996 ) :Hollandalı matematikçi, Bourbaki Okulu’nun kurulması sırasında ünlü cebir kitabı,

kurucular için ‘ önder eser’’ olarak alınmıştır. Gerçek çalışma alanı cebirdir. Ünlü cebir kitabı 1930 yılında yayımlanan ve Almanca yazılmış

olan Modern Cebir ( Modern Algebra) dir. Cebirin aksiyomlaştırılması çalışmalarına önemli katkısı olup, idealler kuramı hakkındaki

çalışmasıyla ünlüdür. İdealler kuramının bir bileşenini vermiştir. Cebirsel Geometri’nin herhangi bir cisim üzerinde genişlemesini

sağlamıştır. 1951 yılında itibaren Zürich Üniversitesi’nde dersler vermiştir. Bir ara Matematik Tarihi ile ilgilenmiştir ve bu konuda çalışmalar

yapmıştır Henri Cartan (1904 - ?) : 1904 yılında Nancy’de doğmuştur.

Çalışma konuları: diferansiyel geometri, analitik fonksiyonlar ve cebirsel topoloj alanlarında, oldukça dağınık görülmektedir O’nun gerçek

amacı, bu gibi konular arasındaki olası ilişkileri araştırmak ve buna bağlı olarak bunları birbiriyle ilişkilendirmektir. Holomorf dışbükeyliği

kullanarak birçok karmaşık değişkenli fonksiyonun doğal varlık bölgelerini ayırdedici özelliklerini belirleyen çalışmalar yapmıştır.

Fonksiyonların, bu bölgelerin ötesine analitik olarak uzatılamadığını göstermiştir. 1931 yılındaki bu konudaki çalışmasıyla, hayli ilgi

görmüştür. Bir ara Serret ile birlikte ortak çalışmalar yapmıştır. Halkalı Uzay,onun çalışmak için seçtiği bir Topoloji konusudur. Bu kavram

ile anlatılmak istenilen şudur : “ her açığa bir halkanın eşlik ettiği topolojik uzay...” Böylece analitik uzaylar kavramının gelişmesine önemli

bir katkıda bulunmuştur.

Andre' Weil (1906 — ?) :1906 yılında Paris te doğmuştur. I.Dünya savaşı sonrası Fransa’sında bir süre çalışmış sonra Amerika ya göçerek,

Princeton Yüksek Öğrenim Enstitüsü nde dersler vermiştir. Çağdaş matematiğin gelişmesinde önemli payı bulunmaktadır. Özellikle cebirsel

geometri ile yerel tıkız gruplar hakkındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. Ayrıca Abel katlı uzayları, Kahler katlı uzayları ile sayılar teorisi, ilgi

duyduğu diğer konulardır, Jean Dieudonnê (1906— ?) :1906 yılında Lille de

doğmuştur. Matematikçi olduktan hemen sonra Nancy Üniversitesi’ne ve sonra da Nice Üniversitesi’ ne girerek, matematik

profesörlüğüne kadar yükselmiştir. 1968 yılında Fransa Bilimler Akademisi üyesi olmuştur. Bourbaki Okulu kurucu üyesi olmasının yanısıra

bu okulun yazım kurulunda da görev yapmıştır. Okulun adıyla yayımlanan pek çok eser, onun elinden geçmiştir. Çalışma konuları: analitik

fonksiyonlar,topoloji ve özellikle cebirsel topoloji, topolojik vektör uzayları, integralleme ve tayf kuramı...olarak sıralanacaktır. Onun ayrıca,

cebire ilişkin olarak klasik grup kuramı ile Lie grupları hakkında da çalışmaları bulunmaktadır.

Claude Chevalley (1909-1984):1909 yılında Johannesburg’da doğmuştur.Matematikçi olduktan sonra, Paris VIIl.Üniversitesi’nde

matematik dersleri vermiştir. Cebirsel Sayılar Kuramı ilgi duyduğu alanlardan biridir. 1933 yılındaki çalışmasıyla dikkatleri üzerine toplamış,

yaptığı açıklama ilgi görmüştür. Hiç bir genel teoremin katkısını sağlamadan, yerel sınıflar cismi kuramının sistemli bir açıklamasını

yapmıştır. Tümel kuramı’nın yerel kuramdan çıktığını göstermek için “ideal kavramını’ ortaya atmıştır. Cebir gruplarını ilk inceleyenlerden

biridir. Karmaşık sayılar hakkındaki “yalın Lie cebiri’’nden yola çıkarak, herhangi sonlu bir cisimde, sonlu yalın gruplar serisini belirlemeyi

başarmıştır. Bu gruplar, n≥5 için An almaşık grupları ve beş kuraldışı gruplardır ki bunların dışında bilinen başkaca grup yoktur. .

MATEMATİĞİN FELSEFE VE MANTIKLA ETKİLEŞİMİ

Mantık ve Felsefe

Mantık, doğru düşünmenin kurallarını inceleyen felsefi bir disiplindir.Bilginin doğruluğunu değil, bilginin yapısını inceler.Önceleri bir felsefe dalıyken sonraları kendi başına bir alan olmuş, Matematik ve bilgisayar biliminin de bir parçası haline geldi

Platon, felsefenin geometriden ayrılamayacağını belirtirken, Akademia’ nın kapısına “geometri bilmeyen gelmesin” diye yazmış, diyaloglarında da bilgi kuramını geliştirirken geometri sorunlarından örnekler vermişti. Pythagoras, evrenle ilgili konulan açıklarken sayılardan yararlanma gereğini ortaya atmış, varlık türlerinin kurucu öğeleri olarak, sayılara dayalı bir dizgenin bulunduğunu savunmuştu.

XIX. yy ortalarında G.Boole Modern Mantik ile ortaya çıktığında bazı şeyler o an için çözümlenmiş sayılsa da bazı insanların da kafası karışacaktı.Modern Mantığın gerçek uygulamaları ve en iyi anlaşıldığı süreç transistör ile başlayan elektronik devrim sonrasına rastlanır.Bunun için savaş veren iki büyük matematikçi Whitehead ve Russell’ın 1910 lu yıllardan itibaren geliştirdikleri bu mantık, sonunda bilime ve felsefeye egemen olmaya başlayacaktı.Böylece felsefe de yeni bir akım başlayacak, Çözümleyici Felsefe’nin temelleri atılmış olacaktı

Bu konuda ABD nin sesi ilk kez Charles Sanders Peirce (1839-1914) ile duyulacaktı.Üniversitede öğretim üyesi olduktan sonra, önce gökbilim ile ilgilenecek ve daha sonra felsefe ile mantık alanlarına yönelecekti. O, adeta modern mantığın Amerika’daki temsilcisi olmuştu

Modern Mantık ile iki yıl farkla uygulamaya konmuş Boole Cebiri, mantığın teknik uygulamaları için tam anlamıyla yol gösterici olmuştu.Bir cebirsel yapı olması nedeniyle konu sadece öneri ve yöntemlerden ibaret olmayıp yönlendirici teknik açıklamalar ve sonunda Komütasyon Cebiri’ne ulaşılmış olunması, uygulayıcılar için gerekli matematiği sağlamış oldu.Yani Boole Cebiri, Modern Mantığın tam anlamıyla matematik boyutudur. Bu cebirin kullandığı sayı sistemi Binary Sistem(İkili Sayı Sistemi) olduğu için sadece 1 ve 0 rakamları kullanılır.Teknik uygulamalarda bu rakamlar değer dışında bir sembol olarak kullanılabiliyor.

Boole cebiri değişkenlerin değerinin doğru ve yanlış olabildiği bir cebir alt koludur. Doğru ve yanlış değerleri genelde sırasıyla 1 ve 0 olarak ifade edilir. Değişken değerlerinin sayı, işlemlerin ise toplama ve çarpma olduğu temel cebrin aksine Boole cebrinde ∧ işareti ile ifade edilen "ve", ∨ işareti ile ifade edilen "veya", ¬ ile ifade edilen "değil" işlemleri bulunur.

Boole cebri ismini George Boole'den alır ve bu ismin ilk kez 1913 yılında Sheffer tarafından önerildiği iddia edilmektedir.

Sayısal devrelerin analiz ve tasarımı boole cebrini temel alır.

Boole Cebiri, İngiliz matematikçisi olan George Boole'nin 1850 yıllarında Aristonun mantık bilimine sembolik şekil verme isteği sonucunda ortaya çıkmıştır

Boolean cebiri elektronik devre tasarımının temel matematiğidir. Bütün elektronik çipler Boolean matematiğine dayanır.

Mantık sembolleriyle gösterim, elektronik devrelerindeki kolay uygulanabilmeleri nedeniyle günümüz bilgisayarlarının neredeyse tamamında kullanılırlar.Hatta bu sistemle besteler yapılıp, elektronik org gibi bazı müzik aletleri bu şekilde ses verir, televizyonlar uydulardan görüntü alıp bu şekilde bize yansıtır.

Bu şekilde tanımlanan matematiksel yapı aynı zamanda bir dil kurdu.İki sembolden oluşan bu alfabede değerler kesin yargılara indirgenir(1 ve 0) ve bu da İkilik(Dual) Sistemi oluşturur. Bu alfabede her şey kesindir: ya vardır(1) ya da yoktur(0). İşte bu nedenle Modern Mantığa ayrıca ‘Keskin Mantık’ da denir

Alfred North Whitehead(1861-1947)

• 1861’de, Ramsgate(İngiltere)de dünyaya gelen İngiliz matematikçi ve filozof daha sonra Amerikan vatandaşlığına geçecekti.

• Akademik yaşama 1884 de Cambridge Üniversitesi’nde başlayıp 1884-1910 yılları arasında yoğun şekilde matematik ve mantık konularında çalıştı ve bu süre içinde bir başka deha Russel ile bolca iş birliği yaptı.

• 1910-1924 yılları arasında yine bu üniversite bulunup çalışmalar yaptı ve bu süre içinde fizik, bilim felsefesi ve eğitim felsefesi konularına yoğunlaştı.1924 yılında Harvard’a geçince öncelikle metafizik konularına çalışan Whitehead, Harvard Üniversitesi’nde felsefe profesörü konumunda görev yaptı. Kendisinin ilk çalışmaları Cebir ile ilgiliydi bu onun matematikçi yönünü gösterir.Ayrıca bu çalışmaları sırasında 1898 yılında bir de özgün eser verecekti:Evrensel Cebir(Universal Algebra)

• Bu eserinin ardından 1905’te yazdığı ikinci eseri ise ‘Maddi Dünyanın Matematiksel Kavramları Üzerine(On Mathematical Concepts of Material World’ dir.

• Bundan sonra uzunca bir süre Russel ile çalıştı. Ortak çalışmalarının ürünü olan Matematiğin İlkeleri(Principia Mathematica)adlı eserleri mantık ağırlıklı olup öncekilerden içerik olarak çok farklı bir eserdir.Bu kitap bu iki matematik dehasının 3 yıllık(1910-1913) emeklerinin eseri ve ‘Modern Mantığın başyapıtıdır’.Bu eser aynı zamanda sembolik mantığın klasiği olarak da değerlendirilir.

• Principia Mathematica çalışmalarını sürdürürken bir yanda, 1911 yılında, Matematiğe Giriş(An Introduction to Mathematics) adlı özgün eserini yayımladı.

• 1919’da Doğa Bilimi İlkeleri Üzerine Araştırma(An Inquiry Concerning the Principle of Natural Knowledge) adlı eseri yayımlandı.

• Whitehead giderek kendi anlayışına uygun çalışmalara başladı ve ardından yeni bir mantık modeli olan Epistemoloji(Bilgi) Mantık’ı hakkında geliştirici çalışmalar yaptı.

• 1920 yılında Doğa Kavramı (The Concept of Nature) adlı bir eser verdi • Bilim dünyasında, algılara yer veren bir anlayışı modellemeye çalıştı ve bu konudaki

çalışmalarının eseri olan Süreç ve Gerçeklik (1929) kitabını yayımladı ve bu eseri hayli ilgi gördü.

• Whitehead felsefesinde evrende süreç hakimdir ve bu sürecin temeli de aktüel varlıklardır.O, süreç felsefesinde, dünyadaki her şeyin bir oluş halinde olduğunu hareket, oluş ve dinamizm kavramlarıyla açıklar

• Süreç felsefesi olarak bilinen yaklaşımla Tanrı, süreç metafiziği ve insan üzerine paylaştığı düşünceleriyle, felsefe alanına da önemli bir literatür kazandırdı.

• Bir yandan da din ve felsefe(inanç felsefesi) konusunda araştırmalar yapıyordu ve ‘Oluşan Din(Religion in the Making)’ adlı bu konudaki tümeserlerini biraraya getirdiği çalışmasını 1926 da yayımladı

• 1930’dan sonra biraz fikir sapmaları yaşadı.Metafizik yaklaşımla geliştirdiği yeni fikirleri yadırgandı ve bir süre anlaşılmadı.Ancak kendisi yine de yılmadı ve doğanın yapısını örnek alarak geliştirdiği felsefesini, Fikirlerin Serüvenleri(Adventures of Ideas) adlı eserinde savundu(1933). 1938 yılında ‘Düşünce Tarzları(Mades of Thoughts)’ adlı bir eser daha yayımladı.

• Ayrıca yeni bir ilgi alanı olan Eğitim Felsefesi ile ilgili de çalıştı, bu konuda derlediği Eğitimin Amaçları ve Başka Denemeler(The Aims of Educations and Other Essays) adlı eseri 1929 yılında yayımlandı.

• Alman filozof ve ekonomist Karl Marx ve psikanalizin kurucusu Avusturyalı nörolog Sigmund Freud’dan da etkilendiği söylenen Whitehead, 1947’de Cambridge de hayata veda etti.

Bertrand Russell

20. Yüzyıldaki felsefe akımlarını önemli oranda etkileyen İngiliz felsefeci ve matematikçidir. Yeni gerçeklik öğretisine öncülük etmiş, mantık ve matematik ilkelerine dayalı bir felsefe anlayışını geliştirmeye çalışmıştır.

Russell'ın inanış ve iddiasına göre matematik bir felsefedir ve matematik felsefesi ancak Bilgi Felsefesi ile açılanabilir. Bu yüzden en özgün çalışmaları Bilgi Felsefesi ile ilgilidir. Leibniz’i çok iyi incelemiş ve ondan çok şey öğrenmiştir. 1900 yılında Leibniz Felsefesi adlı bir itap yayınlamıştır. Bu çalışmalar onu mantığa yakınlaştırmış ve modern mantığı incelemeye başlamıştır.

Russell'ı en çok etkileyen Alman mantık ve matematik adamı Gottlob Frege me İtalyan matematikçi Guiseppe Peano oldu. Ferge aritmetiği matığa indirgemeye çalışırken Peane de aritmetiği belli sayıda aksiyom ile bunlardan çıkarılan bir sistem olarak kurmaya girişmiştir. Russell ve meslektaşı Whitehead, bu yaklaşılardan yola çıkarak “Principia Mathematica” adlı eseri yayınlayarak sadece aritmetiğin değil, bütün matematiğin mantıktan çıkabileceğini göstermeye çalışmışlardır.

G.Moore ve Russell’ın 20.yüzyılın ilk çeyreğinde başlatmış oldukları çalışmalarının bir gelişmesi olarak ortaya yeni bazı yöntemler ve uygulamalar çıkmıştır. Bir süre Eflatunculuğu savunun Russell ‘ın “matematiksel önermelerin insan bilincinden bağımsız olarak mutlak bir doğruluk taşıdığı” savı üzerine kurulu bu görüşe olan inancı, zamanla değişecektir. Bu değişimlerden sonra savunduğu fikir ise “matematiğin, mantığın ve felsefi çözümlemenin zorunlu doğrularının bir mutlak ideler dünyasının betimlemesi değil, bu doğruları dile getiren cümlelerdeki terimlerin açıklanması” olduğu şeklindedir.

Matematik-mantık bağlantısı Russell öğretisinin temelini oluşturur. O, bu temel üzerine kurduğu öğretisine “Mantıksal Atomculuk” adını verir. Bu kurama göre gerçekliği kavrayabilmek için algı verilerinin ilk öğelerine değin gitmek gerekir. Böyle bir çalışmada uyulacak yöntem matematikte bulunabilir. Çünkü matematik yalnız sayı ve niceliklerin değil, doğa düzeninde yasal belirlilik ve bağlılıkla kazanılabilecek bütün içeriklerin bilimidir. Bu özelliği dolayısıyla matematik, genel mantık niteliği taşıyan bir bilimdir. Bu alanda başarıya ulaşabilmek için önce mantığın temel kavramlarını, bu temel kavramların birbiriyle olan bağlantısını saptamak gerekir. Bu da ancak belli birer anlam içeren sembollerle sağlanabilir. Bu konuda gerekli semboller bulunduktan sonra onlarla yeni bir mantık dili

kurulur. Russell, kendi düşünce dizgesi için gerekli olan bu dili, filozof ve matematikçi Whitehead ile ortaklaşa yazdığı “The Principia Mathematica (Matematiksel İlkeler)” adlı yapıtında ortaya koymuştur.

Russell'ın Whitehead ile birlikte yazdığı Aristoteles’ten beri mantıkta en büyük devrimi yaratan ve matematiği mantığa indirgeyen, sembolik mantığın klasiği olarak da değerlendirilen Principia Mathematica, 1910-1913 yılları arasında yayınlandı. Principia Mathematica simgesel mantığın kurulmasıyla mantık ile matematiğin ilişkisinin yeni bir yaklaşımla ele alınmasına olanak vermiş oldu.

Russell Paradoksu

Sezgisel kümeler kuramına göre, tanımlanabilir herhangi bir topluluk kümedir. O halde, X kendisini eleman olarak içermeyen kümeler kümesi olsun. Eğer X kendisinin bir elemanı değilse, kendisini içermelidir çünkü X kendisini içermeyen kümeleri içeren bir kümedir. Eğer X kendisinin bir elemanıysa, X kendisini içermeyen bir kümedir çünkü X kümesi kendisini içermeyen kümelerden oluşur. Oluşan bu paradoksa Russell Paradoksu denir.

Tipler Kuramı

Russell, paradoksunu ortadan kaldırmak amacıyla tipler kuramı adı verilen bir kuram ortaya atmıştır. Tipler kuramı kümeyi derecelendirir. Örneğin, dördüncü dereceden bir kümeyi tanımlamak için ancak birinci, ikinci ve üçüncü dereceden kümeler kullanılabilir. Böylece “tüm kümeler kümesi” diye bir küme matematikte yasaklanmış olur ve Russell’ın paradoksu paradoks olmaktan çıkar. Yani Russell akla gelen her nesnenin küme olmasını yasaklayarak matematiği değiştirmiş, çelişkisiz bir matematik yaratmıştır.

Matematiğin Sınırları ve Kurt Gödel

Matematik felsefesi kurulduktan sonra bilim insanları matematiğin sınırlarını tartışmaya başlamıştır. Burada sınır ile bahsedilen ne diye düşünürken metamatematik kavramına varıyoruz. Metamatematik, bir ilgi alanını oluştururken, bütün bir matematiği tutarlı bir düzene koymak ve onda çelişmeyi ortadan kaldıracak bir mantıki sistemi yeniden inşa etmektir. Kısaca sınırı belirlerken ortaya çıkan kavram karışıklığını konu içinde toplamak için oluşturulan matematiksel felsefe disiplinidir. O zamanlar ilk sorun aritmetik tutarlılığının sağlanmasıdır. Aksiyomların ve çıkarım kurallarının, dizgelerde biçimsel olarak ifade edilebilecek her matematiksel soruyu sonuçlandırmaya yeterli olabileceği, dönemin yaygın düşüncesi haline gelmiştir. 1931 yılında Gödel’in ortaya koyduğu çalışma bu fikirlerin doğru olmadığını göstermiştir Gödel’e göre doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir dizgenin tüm önermeleri kanıtlanamaz. Bir dizge içinde karar verilemeyen dizgeler de her zaman olacaktır. Kurt Gödel aynı zamanda doğal sayılar aritmetiğini kapsayan biçimsel dizgenin tutarlılığının, bu dizgenin içinde kanıtlanamayacağını göstermiştir. Bu problem çözüldükten sonra ortaya atılan yeni iddia da matematikçinin işlevidir. Matematikçinin asıl işlevinin aksiyomlaştırılmış varsayımlardan teoremleri türetmek olduğu, aksiyomların gerçekten doğru olup olmadığına karar vermenin matematikçinin işi olmadığı sonucuna varılmıştır. Daha önceleri sezgiye dayalı bu tür arayışlar artık yerini, aksiyomatik temelleri bu şekilde oluşan yeni kavramlara yönelmiştir. Tartışmaların sonucunda matematiğin daha soyut ve biçimsel olduğu anlaşılmıştır. Bu fikirler tartışılırken Kurt Gödel makalelerinde bu konudan bahsetmiştir.

Gödel’in Eksiklik Teoremi

Ünlü Alman matematikçi David Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir sabit yöntem ile elde edilebileceğini düşünüyordu. Kurt Gödel bunun olanaksız olduğunu bu teoremi ile gösterdi. Teoremi hiçbir matematik sisteminin tam olamayacağı ile ilgiliydi. Belirli bir miktarda aritmetiğin uygulanabildiği herhangi bir tutarlı formel (biçimsel) sistem eksiktir; yani tutarlı bir sistem içerisinde öyle temel bir aritmetiksel önerme ortaya konabilir ki ne bu önerme ne de bu önermenin olumsuzu bu sistem içerisinde ispatlanamaz. Bu sonuçtaki eksiklikten kasıt karar verilemezliktir; tutarlı bir sistemin aksiyomlarıyla bir ifadenin karar verilemez veya çözümsüz olması o sistemi eksik kılar.

Gödel’in İkinci Eksiklik Teoremi

Gödel’in ikinci Eksiklik Teoremi birincisinden de felsefidir: Bu teoreme göre, doğal sayıları, toplamayı ve çarpmayı anlayacak güçte olan bir matematik sistemi hiçbir zaman kendisinin çelişkisiz olduğunu kanıtlayamaz. Bu teorem, matematiğin çelişkili ya da çelişkisiz olduğunu söylemiyor, sadece çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını söylüyor. (Matematiğin çelişkili olduğu – eğer matematik çelişkiliyse elbette – kanıtlanabilir; bunun için matematikte bir çelişki bulmak ya da 0 = 1 eşitliğini kanıtlamak yeterlidir.)

Gödel, aritmetik için tutarlı bir aksiyomatik sistemin zorunlu olarak eksik olması gerektiğini belirttiği “Principia Mathematicada ve İlişkili Dizgelerin Biçimsel Olarak Kararlaştırılamayan Önermeleri Üzerine – I” adlı ünlü makalesiyle matematik dünyasını altüst eder. Aksiyomatik, yeni teoremler üretmekle ilgili mantıksal çıkarım kurallarını içeren biçimsel sisteme verilen addır.

İki teoreminden birincisi, tamsayıların ve basit aritmetik işlemlerin özelliklerini gösteren mantıklı bir aksiyomatik sistemde, sistemin kurallarınca biçimsel olarak doğru önermelerin her zaman var olacağını ve bunların doğru olacağını, ancak sistem içinde bunların ispatlanamayacağını söyler. İkinci teorem tutarlı olduğunu ispatlayabilecek sistemin tutarsız olduğunu savunur.

Aynı zamanda Gödel’in Kanıtlaması bütünlük ve tamlık beklentilerinin sınırını göstermiştir.

Matematikte her problemin er geç çözüleceği, hiçbir problemin çözümsüz olmadığının sanıldığı dönemlerde Gödel, aritmetik dahil matematiğin hiçbir dalında, tutarlılık ve tamlığın, o sistemin elverdiği yöntemle ispatlanamayacağını ortaya koyar. Gödel, hiçbir kural ve prosedür kümesi ile çözülemeyecek problemlerin bulunduğunu ispatlar. Stephen Hawking Ceviz Kabuğundaki Evren’de (2001), “Gödel’in kuramı, matematiğe temel sınırlar getirdi. Bu kuram, bilim dünyası için büyük bir şoktu, çünkü matematiğin, mantıksal tek bir temel üzerine kurulmuş, tutarlı ve tam bir sistem olduğu hakkındaki yaygın inancı yıkıyordu.” Gödel teoremi, yavaş yavaş kendini kabul ettirir ve matematiğin sınırlarını aşar. Gödel şunu kanıtlar: “Bir dilin tam tanımı, aynı dilde yapılamaz; çünkü bu yolla bir cümlenin doğruluğu tanımlanamaz.” Böylelikle matematik, filoloji ve felsefeye açılır.

Kurt Gödel’in ne demek istediğini şöyle bir örnekle açıklamaya çalışalım.

A= {1, 2, 3, 5}. Bu bizim aksiyom kümemiz olsun. Çıkarım kuralımız ise × işlemi…

A kümesi ile × işlemi birlikte bir matematik sistemi oluşturur. Bu sisteme kısaca S diyelim. Şimdi, sayıları birer önerme kabul edelim ve S içinde herhangi bir önermenin nasıl ispatlandığını görelim. Örneğin;

10 = 2×5 6 = 2×3 8 = 2×2×2 16 = 8×2 30 = 3×10 vs.

Görüldüğü gibi S içinde ispatlanabilen sonsuz sayıda önerme vardır.

S’de ispatlanabilen bütün önermelerin kümesi Ö olsun. Bu durumda:

Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12…} olacaktır. Şimdi “S sistemi tam mıdır?” sorusunu soralım. Tam olmadığını hemen görebiliriz. Çünkü Ö kümesi 7 ve 11 gibi asal sayıları içermemektedir. Bu nedenle Ö kümesinin hiçbir zaman tam olamayacağını görülür. S’nin tam olması için A’ya bütün asalları (ki sonsuz sayıdadırlar) eklememiz gerekir. Ama biz ne demiştik? Sonlu hiçbir matematik sistemi tam olamaz… İşte Gödel ‘in kanıtlamak istediği budur.

GÖDEL SAYILAŞTIRMASI

Gödel, tüm bilinen aritmetiksel yazılımların ifade edilebileceği ve aritmetiksel bağıntıların kurulabileceği bir biçimsel dizge betimledi. İlk olarak bu dizge içinde her bir temel ime, her bir tamdeyime ve her bir kanıtlamaya tek bir sayı karşılık getirilebileceğinin olanaklı olduğunu göstermiştir. Ayırıcı bir işaret ya da bir etiket gibi görev yapan bu tür sayılara, Gödel Sayıları denilmektedir. formel sistemi oluşturacak temel imler, iki çeşide ayrılacaktır: 1) Sabit imler. 2) Değişken imler. Sabit imler : Gödel sayısı olarak, 1 den 10 e kadar tamsayılanın karşılık geldiği, tam on adet sabit im olduğu varsayılacaktır. Bu imlerin neler olduğu ve ne anlamda kullanıldıga aşağıdaki çizelgede açıklanmıştır.

Değişken imler : 3 çeşit değişken vardır; Sayısal değişkenler: x, y, z,... gibi harfler kullanılır ki yerlerine sayılar ya da sayısal deyimler konulabilir. Önerme değişkenleri : p, q, r,.. gibi harflerle gösterilir ki yerlerine tamde yimler (tümceler) konulabilir Yüklem Değişkenleri P, Q, R... gibi harflerle gösterilir ki bunların yerlerine 'asal olma', 'büyüktür türünden yüklemler konulabilir. Godel'in ulaştığı sonuç iki yönlüdür: ilk olarak tüm aritmetiği kapsayacak olçüde kapsamlı bir dizgenin tutarlılığının üst-matematiksel bir kanıtlamasını vermenin olanaksız olduğunu. ikinci olarak da aksiyomatik yöntemin gücü için temel bir sınırlandırma olduğunu, kanıtlamaktadır. Richard Paradoksu : Genel olarak : "x in Richard 'cı olması", x in tanımlar kümesinde karşılık geldiği sayının, tanımda belirtilen özelliğe sahip olmaması" olarak ifade edilmektedir.

KURT GÖDEL : (1906-1978)

O bir Avusturya'lı matematikçidir. 1906 yılında, günümüzdeki adı Brno olan Brünn'de doğmuştur. Yüksek öğrenimini Viyana'da yapmış, mezun olduktan sonra Viyana Üniversitesi'nde akademik yaşama başlamıştır. Kısa sürede kendini kabul ettirecek ve genç yaşlarında adı duyulmaya başlayacaktır. 1933-1935 yıllarında profesör olarak görev yapacaktır.

1931 yılında 25 yaşında bir genç matematikçidir. O yıl bir makalesi yayımlanacak ve birden dikkatleri üzerine çekecektir. Makalesinin adı, yukanda da değinildiği gibi , Principia Mathematica ve Benzeri Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Onermeleri Üzerine (Uber Formal Unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme) 'dir. Bu eser sahiplerine bir nazire olmak üzere kaleme alınmışsa da gerçekte verdiği çok önemli mesajlar bulunmaktadır. 1938 yılında Amerika'ya gidecek ve Princeton Universitesi'nde görev alacaktır. Bu gidişi O'nun Amerikan vatandaşı olmasıyla sonuçlanacaktır. Gödelin Aldığı Ödüller : 1951 yılında Albert Einstein Ödülü almıştır. 1952 yılında Harvard Universitesi, O'nu, Omursal Derece ile ödüllendirmiştir. 1974 yılında National Medal Of Science Ödülü almıştır.

Ölümü: 1978 yılında bir gun, bilinmeyen bir nedenle bir çeşit olum orucuna başlayacaktır Çenelerini kilitlemiş hiç bir sekilde açmamaktadır. Ne yemekte, ne içmektedir Giderek yaşamsal organlar iflas etmeye başlayacak ve bir sure sonra da sırf bu nedenle, Prince ton'da ölecektir

ÇOK DEĞERLİ MANTIK

İki değerli mantıkta önermeler, doğru ve yanlış olmak üzere iki değer alabilir. Ancak bu durum bir takım önermelerin değerini belirlememizi engeller. Örneğin "Bu yaz tatile gideceğim." biçimindeki bir önermeye, geleceğe ilişkin bir bilgi verdiği için doğru ya da yanlış diyemeyiz. Bu türden önermelerin doğru ya da yanlış olması olasıdır, ancak kesin değildir. Bu gelişmeler çok değerli mantığın gelişmesine neden olmuştur.

İki değerli mantıktan çok değerli mantığa geçiş sürecinde alternatif bir mantık yaratmak için önce üç değerli mantık adıyla yeni bir mantık yapılması düşünülmüştür.

İki değerli mantığın oluşum yasası 2𝑛𝑛 dir. Bu şekilde üç değerli mantığın oluşum yasası da 3𝑛𝑛 olacaktır.

Bu mantık ile ilgilenenlerin birleştikleri tek ortak nokta 0 ile 1 arasına ½ değeri koyarak üç değerliliği oluşturmalarıdır. Değerler kümesi {0, ½ , 1} şeklinde tanımlanmıştır.

Üç değerli mantık ; modern mantıkta kullanılan G.Boole tarafından yapılmış olan bağlaçlar (mantıksal değişmezler) "değil" (~), "ve" (∧), "veya" (V), "ise" (⇒), "ancak ve ancak" (⇔) gibi mantıksal değişmezleri aynı biçimde kullanır. Ancak doğruluk tablosu farklıdır.

Aşağıda verilen tabloları karşılaştıracak olursak

-Sonuç sütununda sadece 1 ve ½ değerleri bulunuyorsa, mantıksal ifadeye Quasi-totoloji,

-Sonuç sütununda sadece 0 ve ½ değerleri bulunuyorsa, mantıksal ifadeye Quasi-çelişme denir.

POLONYA YAZIMI (LUKASİEWİCZ-TARSKİ NOTASYONU)

Fikri zemininin oluşmasında Alfred Tarski’nin önemli katkılarının olduğu bilinmekteyse de bu notasyonun mucidi ve ilk kullanıcısı Jan Lukasiewicz’dir.

Klasik notasyonda bir eklem, bir araya getireceği iki bileşenin arasına yazılırken, “LT notasyonu”nda bileşenler yanyana getirilir; eklem bunların sol başına yazılır. Örneğin klasik gösterimi (p Ω q) olan bir bileşik ifadenin LT yazımı Ωpq biçiminde olacaktır.

“Değil” de ister bileşik ister basit önermeye ait olsun, ilgili önermenin soluna yazılır. Bu gösterimin sağladığı avantaj parantez ihtiyacını ortadan kaldırmasıdır.

Mantıksal değişmezler yerine ise isimlerini çağrıştıracak büyük harfler kullanılır. • “~” (Değil- Negation): N • “∧” (Birlikte evetleme- Logical Conjunction) : K • “∨” (Alternatif ilişki / Ayrıklık- Alternation) : A • “→” (Gerektirme - Material Conditional) : C • “↔” (Çift Koşul- Material Equivalence) : E

PARANTEZLİ BİR İFADENİN LT CİNSİNDEN YAZIMI

~(p↔q’ ) gibi karmaşık olmayan bir ifadenin LT notasyonunda yazımı, kullanılacak harfler sol tarafa eklenecek şekilde aşağıdaki gibi yapılabilir:

~(p↔Nq)

~(EpNq)

NEpNq

JAN LUCASİEWİCZ (1878-1956)

21 Aralık 1878 tarihinde Lviv’de doğmuştur.

Lvov Üniversitesinde matematik ve felsefe okumuştur. Lvov ve Varşova Üniversitesinde ders vermiştir.

"Aristoteles'te Çelişki İlkesi" adlı çalışması matematiksel mantığın gelişimini başlattı. Modal mantık, olasılık mantığı ve bulanık mantık temel alınarak oluşturulan ilk klasik olmayan mantık olan üç değerli mantığın yazarıydı.

Polonya yazımının mucididir.Bu gösterim, gerçekleştirilecek eylemlerin sırasını benzersiz bir şekilde tanımladığı için, ifadelerde parantez kullanımından tamamen vazgeçmenize olanak tanır.

Önemli eserleri: • Matematik Mantığın Ögeleri-1929 • Modern Biçimsel Mantık Bakımından Aristoteles’in Tasımbilimi-1951

Ayrıca 1953 tarihinde kendi otobiyografisini yazmıştır ve 1956 yılında ölümünden sonra karısı Regina Barwinska tarafından yayımlanmıştır. PAUL ISAAK BERNAYS (1888-1977) Paul Isaak Bernays (17 Ekim 1888, Londra) ispat teorisi ve aksiyomatik teorisi alanındaki çalışmaları matematiksel mantığın yeni disiplininin yaratılmasına yardımcı olan İsviçreli matematikçi .

Göttingen Üniversitesinde doktorasını tamamladıktan sonra Zürih Üniversitesinde beş yıl öğretmenlik yaptı. Bu sırada David Hilbertla birlikte çalıştı.

David Hilbert’ın adını yardımcı yazar olarak alarak Grundlagen der Mathematik eserini yazdı.

Zürihte küme teorisiyle ilgilendi ve Zermelo-Fraenkel’in aksiyom sistemini modernize etmeye çalıştı.

HANS REİCHENBACH (1891-1953)

Hans Reichenbach, önde gelen bir bilim filozofu, Einstein'ın görelilik teorisi, kuantum mekaniği, olasılık teorisi, uzay ve zamanın doğası, fizik kanunlarının karakteri ve fizik biliminde konvansiyonelizm üzerine felsefi araştırmalarıyla tanınır.

1926'da Reichenbach, Berlin Üniversitesi'nde fizik felsefesi profesörü oldu.

1933'te Adolf Hitler, Almanya Şansölyesi oldu. Aynı yıl Reichenbach, İstanbul Üniversitesi Felsefe Bölümünde eğitim vermek için Türkiye'ye göç etti. Türkiye'de Reichenbach felsefe derslerinde bir değişikliği teşvik etti; bilimsel konularda disiplinler arası seminerler ve kurslar başlattı. Daha sonra 1935'te Olasılık Teorisi'ni yayınladı .

https://evrimagaci.org/hans-reichenbachtan-albert-einsteina-bir-mektup-9480 (Hans Reichenbach'tan Einstein'e Mektup)

1938'de Amerika Birleşik Devletleri'ne taşındı ve burada Los Angeles'taki California Üniversitesi'nde profesör oldu; aynı yıl Tecrübe ve Öngörü yayınladı . Görelilik kuramı ve kuantum mekaniğinin felsefe üzerine etkilerini incelerken elde ettiği sonuçlara dayanarak iki değerli mantığın yeterli olmadığını ve üç değerli mantığa gereksinim duyulduğu savıyla mantığa yönelmiş ve çalışmalar yapmıştır.

Başlıca eserleri: • Olasılık Mantığı • Olasılık Öğretisi • Zamanın Yönü • Bilimsel Felsefenin Doğuşu

EMİL LEON POST (1897-1954)

Polonya doğumlu Amerikalı bir matematikçi ve mantıkçı.

Çocukken bir kazada bir kolunu kaybetti ama bu engeli iyi idare etti. Yetişkin yaşamında, üzerinde yıkıcı bir etkiye sahip olan zihinsel sorunlarla yüzleşmek zorunda kaldı.

Kolejde lisans öğrencisiyken, genelleştirilmiş farklılaşma (generalised differentiation) üzerine olan ilk makalesini yazmıştır.

1921 yılındaki ‘önerme hesabının özyeterlilik ve tamlık tanıtlaması’ konusundaki çalışmasıyla ünlü olmuştur.

Kendi adıyla anılan bir cebir kurmuştur.

AREND HEYTİNG (1898-1980)

Arend Heyting , sezgisel mantık ve cebirin geliştirilmesinde önemli bir rol oynamıştır. Sezgicilik üzerine yeni bir mantık oluşturmak istemiştir. Bu mantığı aksiyomatik olarak açıklamaya çalışmıştır. Yazdığı tez Intuitionistische axiomatieks der projektieve meetkunde yapıcı matematikte aksiyomizasyonun ilk çalışmasıydı. Bu çalışma ile çok değerli mantık kavramına ulaşmıştır. Bunu iki değerli mantığın genişlemesi olarak kabul ederek üç değerli mantık ile ilgilenmeye başlamıştır.

İki önemli eseri: • Matematiğin Temelleri • Sezgiciliğe Giriş

ALFRED TARSKİ (1902-1983)

Alfred Tarski (14 Ocak 1901 - 1983), genel cebir, ölçü kuramı, matematiksel mantık, kümeler kuramı ve matematik alanlarında yaptığı katkılarla tanınan Polonya asıllı Amerikalı matematikçi ve mantıkçı. Alfred Tarski, 1930'larda mantıkta önemli bir çalışma olan semantik methodunu biçimlendirmiştir.

Önemli eserleri: • Mantığa giriş • Temel Cebir ve Geometri İçin Karar Yönetimi • Kardinal Cebir • Mantık , Semantik, Metamatematik

ALONZO CHURCH (1903-?)

Alonzo Church, teorik bilgisayar bilimine büyük katkıları olan Amerikalı matematikçi ve mantıkçıdır. Özellikle lambda yüksek matematiği (lambda calculus) yaratmasıyla tanınır.

Church,Harvard Üniversitesi'nde bir yıl, ardından Göttingen ve Amsterdam'da bir yıl geçirdi. 1929'da Princeton'da Matematik Yardımcı Doçenti olarak Amerika Birleşik Devletleri'ne döndü . 1939'da Doçentliğe, 1947'de Profesörlüğe terfi etti.

1936’da birinci dereceden yüklemlerin hesabında karar verilemezliği gösteren bir teorem yapmıştır.

Church Savı: Matematiksel anlamda gerçekten hesaplanabilen her fonksiyonun genel gerilemeli olduğunu iddia eden genel savı. Bu sav gerçekte kanıtlanamaz ve iddia olarak ortaya atılmıştır. Church Teoremi: Aritmetiğin her yeterli öz genişlemesinin karar verilemez olduğunu ifade eden teorem.

Church’ün önemli eserleri: • Lambda- Dönüşüm Hesabı • Matematiksel Mantığa Giriş

EVERT WİLLEM BETH (1908-1964)

Evert Willem Beth (7 Temmuz 1908 - 12 Nisan 1964) Hollanda'nın doğusunda küçük bir kasaba olan Almelo'da doğdu. 1946'da Amsterdam'da mantık ve matematiğin temelleri profesörü oldu. 1951'de Alfred Tarski'ye araştırma asistanı olarak görev yaptı.

Mantığa katkıları:

Tanım teoremi, bir yüklemin (veya fonksiyonun veya sabitin), ancak ve ancak açıkça tanımlanabiliyorsa örtük olarak tanımlanabileceğini belirtir (Beth tanımlanabilirliği). Anlamsal tablolar, biçimsel sistemleriçin kanıtlama yöntemidir. Beth Modelleri, klasik olmayan mantık için ilişkisel modellerin bir sınıfıdır.

Önemli eserleri: • Çağdaş Mantık • Matematik Bilgi Kuramı Ve Ruhbilim • Matematiğin Temelleri • Matematik Düşünce, Matematik Felsefesine Giriş

JACQUES HERBRAND(1908-1931)

Jacques Herbrand , genç yaşta ölen ancak matematiksel mantığa katkıda bulunan bir Fransız matematikçiydi.

Concours Général sınavında en üst sırada yer aldı ve daha sonra giriş sınavında yine en üst sırada yer alarak 17 yaşındayken École Normale Supérieure'ye girdi .

Doktora tezi için, o sırada École Normale'nin Direktörü olan Ernest Vessiot'un gözetiminde matematiksel mantık çalıştı.

Herbrand, cebirsel sayı alanlarının değişmeli uzantılarını dikkate alarak alan teorisi üzerinde de çalıştı . Bu konu üzerinde çalıştığı birkaç ayda Herbrand on makale yayınladı.

Willard Van Orman Quine

Willard Van Orman Quine 1908 yılında Akron’da doğmuştur. Mantığın temelleri ve özellikle de semantik yönleriyle ilgili bir kuram geliştirmiş Amerikalı çağdaş mantıkçı ve filozoftur. İlk çalışmaları mantığın temellerine ilişkindir. Quine, Rusell’ın ‘mantıklaştırıcı geleneğinin mirasçısı durumundadır. Bir de kendi adıyla anılan bir yöntemi vardır. Bu yöntem (Quine Yöntemi) modern mantıkta, bir önerme polinomunun doğruluk değeri analizi yapılırken kullanılmaktadır. Bu analiz sonucunda önerme polinomunun ‘totoloji, çelişki ya da tutarlı-geçersiz’ olup olmadığı test edilmektedir.

Stephen Cole Kleene

Kleene 1909 yılında Connecticut Hardfort’ta doğmuş ünlü matematikçi ve mantıkçıdır. Kleene en iyi yineleme teorisi olarak bilinen ‘matematiksel mantık’ dalının kurucusu olarak bilinir. Bir çok matematiksel kavram onun adını almıştır

Lutfi Aliasker Zade

Lütfi Zade , 4 Şubat 1921 Bakü doğumlu matematikçi ve bilgisayar biliminde bulanık mantık teorisinin temelini koymuş bilim adamıdır Lütfi Zade (Lotfi Zadeh) nesnelerin ve süreçlerin sonlu değerli mantıkla açıklanamayacağı fikrindeydi. Buradan hareketle, 1961’de yayınladığı bir makalesinde olasılık dağılımıyla tanımlanamayan bulanık ya da belirsiz nicelikler için farklı bir matematiğe ihtiyaç olduğu tezini ortaya attı. mantık çalışmalarını geliştirip bu mantığın yapay zeka, dil teorileri, mantık, karar teorileri, kontrol teoriler ve sinir sistemleri şebekeleri üzerinde nasıl işlediğini araştırmaya devam etti. Yaşamı boyunca bulanık mantık çalışmaları, bilgisayar sistemleri ve doğal diller üzerine odaklandı.

BULANIK MANTIK

Çok Değerli Mantık iddiası Üç Değerli Mantık ile sınırlı kaldığı tam o sırada Lütfi Asker Zadeh bilim dünyasına sunduğu Fuzzy Logic (Bulanık Mantık) olarak anılan yeni mantık ile durumu aydınlatmıştır. California’da Berkeley Üniversitesi’nde matematik profesörü olarak görev yapmakta olduğu bir sırada Zadeh, bu yeni mantığı, 1965 yılında ortaya koymuştur. Bu mantık ile Zadeh, adeta Sonsuz Değerli Mantık diyebileceğimiz yeni bir yapı oluşturmuştur. Matematiğin gerçek dünyayı bu yolla betimlemesinde daha geniş bir olanak sağlamış olmaktadır. Artık, sıcak ile soğuk arasına serin, ılık gibi bütün farklı ısılar yerine biraz hızlı ya da biraz yavaş gibi gevşek niteleyiciler yer almaya başlayacaktır. Böylece iki değerli mantığın betimlediği keskin dünya yerine, bu şekilde gevşek niteleyicilere belli üyelik dereceleri atamak suretiyle, gerçek dünyamızı daha iyi anlatmak ve onu daha yakından temsil etmek üzere bir sistem kurulmuş olmaktadır. Bu başarılı

oluşum derhal benimsenecek ve yeryüzünde hızla yayılacaktır. Özellikle denetim, kontrol ve yapay zeka alanlarındaki mühendislik çalışmalarında kolayca yer bulmuş, bu matematiği temel alan uygulamalar yaklaşık on yıl gibi çok kısa sayılabilecek bir sürede yaşama geçirilebilmiştir. Bulanık mantığın ilk uygulama alanları çimento sanayii ve su arıtma tesisleri olmuştur. Bunları buhar türbini, nükleer reaktör, asansör ve vinç denetimi gibi değişik alanlar izlemiştir. Özellikle Japonya’da, metro sistemlerinin denetimi nedeniyle çok ilgi görmüştür. 1990 yıllarında bulanık mantık, fotoğraf makinalarından ev aletlerine, beyaz eşyaya ve hatta borsaya kadar pek çok alana hızla yayılmıştır.

Cebir ve Sayılar Teorisi ve katkıda bulunan matematikçiler

20. Yüzyılda en önemli konulardan biri de cebir olmuştur. Geçmiş yüzyıllardan gelen ve oturtulan temelle birlikte artık matemetikçiler özel cebirler üzerinde çalışmaya başlamışlardır. Küme kuramları üzerine çalışmalar yapılmıştır bu da topoloji alanının gelişmesine ışık tutmuştur. Katkı sağlayan matematikçiler ise:

Cemille Jordan

1838 yılında Lyon'da doğmuştur. olan Ecole Polytechnique’de mühendislik eğitimi almıştır. “Traité des substitutions et des équations algébriques” cebir hakkında yazdığı kitaptır. 1881 de bilimler akademisi üyesi olmuştur. Jordan-Hölder teoremiyle ve tanımladığı Jordan Holder dizileri ile cebire katkıda bulunmuştur. Aynı zamanda Jordan matrisi, Jordan normal formu ve Jordan indirgenmiş formunu da literature kazandırmıştır.

Sophus Lie

1842 yılında Norveç’te doğmuştur. University of Christiana’ya gitmiştir.üniversitede Sylow’un kurslarına katılmıştır. Orada Abel’in ve Galois’in cebirsel eşitliklerini öğrenmiştir. Matematikçi olmaya karar verdikten sonra ise 1868’de Plücker ve Poncelet’in geometri çalışmalarını okumuştur.

ilk matematik çalışması “Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie”dir 1869 yılında yayınlanmıştır. Lie geometrik dönüşümlerin bir sınıfı başlıklı bir tez ile 1871 yılında Christiania Üniversites’inden doktorasını almıştır.

Kendisi cebir alanına ise Lie cebirini, Lie gruplarını tanımlayarak katkıda bulunmuştur. bir Lie grubu sürekli bir gruptur, yani elemanları bir çok gerçek parametre ile tanımlanır. Dolayısıyla Lie grupları, üç boyutlu dönme simetrisi gibi sürekli simetri kavramı için doğal bir model sunar. Lie grupları, modern matematiğin ve fiziğin birçok bölümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Sürekli olan geometrik cisimleri açıklamak için de kullanılır. Diferansiyel geometri Lie gruplarını taban alır.

Elihakim Hasting Moore

1862 yılında Amerika Ohio’da doğmuştur. 1879 da Yale üniversitesine başlamıştır. 1883’de mezun olmuştur ve Yale Üniversitesi’nde doktoraya başlamıştır. Doktora tezi, Clifford ve Cayley’in teoremlerinin n boyutlu geometride açılımlarıyla alakalıdır.

Kendisi American Mathematical Society’de 1898-1900 arasında başkan yardımcılığı, 1901-1902 arasında ise başkanlık yapmıştır.

Matematikte, soyut grupları ve sonlu cisimler üzerinde durmuştur, matematiğe Moore ailesi ve Moore ka panış uygulamasını kazandırmıştır.

Godfrey Harold Hardy

İngiliz matematikçi olan Hardy, 1877 yılında Surrey’de doğmuştur. Trinity College’da eğitimini almıştır. 1900 yılında Trinity coollege’ın üyelğine seçilmiştir. 1914 yılında ders vermeye başlamıştır ve 1919 yılında Oxford Üniversitesi’nin geometri kürsüsüne atanmıştır, 1931 yılında ise saf matematik profesörü olarak Cambridge’ e geri dönmüştür.

“A course of pure mathematics” adlı bir ders kitabı yayınlamıştır ve “bir matematikçinin savunması” kitabını yazmıştır. E.M.Wright ile birlikte de ders kitabı olarak da kullanılan “Sayılar teorisine giriş” kitabını yazmıştır .Asal sayı teorisindeki bir çok sorunu çözüme kavuşturmuştur. Hardy-Winberg yasası olarak da bilinen tür içi gen alışverişinin fazla olduğu yerlerde çekinik gen özelliklerinin dağılımının oranı hakkındaki teorisiyle bu konudaki tartışmaya açıklama getirmiştir. Hardy uzaylarını tanıtmıştır. En büyük başarılarından biri de Hintli matematikçi Ramanujan’ı keşfetmesidir. Toplamalı ve analitik sayılar kuramıyla ilgilenmiştir. Cambridge Tracts yayınlarını yönetmiştir.

Srinivasa Aiyangar Ramanujan

22 Aralık 1887’de Güney Hindistan’da doğmuştur. 20 yaşında evlendiğinde. iş aramak zorunda kalmış. özen gerektirmeyen bir işe girmiştir, Matematik eğitimi yok denecek kadar azdır.. boş vakitlerinde formüller yazıp çizmiş sayılarla uğraşmıştır. Yazdığı formülleri karalama defterini 21 yaşında İngiltere’ye Godfrey Hardy’e göndermiştir. Hardy ve Littlewood ile birlikte Ramanujan’in gönderdiği bazı ispatlanamayacak kadar zor olduklarını fark etmiş ve Ramanujanın bir dahi olduğunun farkına varmış kendisini İngiltere’ye davet etmiştir.

1913 yılında İngiltere’ye gitmiştir. Trinity College’de eğitimini tamamlamıştır. Matematiğe Hardy-Ramanujan teoremi ve Ramanujanın Master Teoremi gibi teoremler ile katkıda bulunmuştur. Bu teoremlerle olasılık methodlarının ve sayılar teorisinin gelişmesine katkıda bulunmuştur. “British Royal Society” ye 1918’de seçilen ilk Hintlidir.

Claude Chevalley

11 şubat 1909 da doğmuştur. Doktora ödülünü 1933’de University of Pariste cebirsel sayı cismi teorisi (class field theory) üzerinden almıştır. Bourbaki okulunun kurucularındandır. Sınıflar cisim kuramının sistematik bir açıklamasını yapmıştır ve ideal kavramınıdan bahsetmiştir. Cebir gruplarını ilk inceleyenlerden birirdir. YalınLie cebiri ile, herhangi sonlu cisimde sonlu yalın gruplar serisini belirlemiştir.

.