books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) d * ' u = cosx ( * %...

31
s = s(t) v (t)= s (t) a(t)= v (t) a = a(t) a(t) v (t) a v s

Upload: others

Post on 17-Jan-2020

8 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

� ��������

������ � ���� � ������ ����� �� �� ����� �� �������� ������� ������������� �������� ���� � ����� ��������� ������� ����� � ���������� ����� � �� �� ����� ������� ����� �������� �� ��� ���������� ��� s = s(t)� � � �� ���� ������ v(t) = s′(t)� � ��� ������� a(t) = v′(t)� !������������ ��"��� ������# �����$ �����% ��%� �������#&� ������� � ���� ' ���� ���� ��#���(� ������� a = a(t)� � ������� ������ �������%� ����� � ���� ������ � ����� a(t)��������� �����# v(t)� ��� ���� ������ a �������� �� ������ � ���� �������� � ����� v ��������� �����# s� ) ������������� ����������%� ������ � ���� �����% ��������������"� ������ ����������� ���#����%� � *����������# ����� �� � ��������� �� +',( � ���� � ��� *�� ������� ��"��� �������������� ��������� � ��� *�� ���� ��� ����� ������������������ � � �� ���%��-����� ��� ���%� �����%� ������ ����#��� �� ���%��

�� %��#��� ������� �%� � ����%� ������� � ������ � �%������ �� %������ ������������ .������ ��� � ����� ������� �������� ����������� ��������� ���� ������� �%� �� %�����������������%� ���������/ ���� � �������������� ��� ������ ����� ������ ����

���� �� ����� �� ��� ��� ������� �� �� �%� �� �� ����������%� ����� 0��� ��� �� � �� �� *���������� ����� ���&������� ������� ���� ����#&���� *���������� ��������!����%� ����% ���������� ��� ��#��� � ����� ����

Page 2: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

� ����� �� � � ������������� ����� �

.����Δ � �����%� � ��������%� ���� ��� ����� �� ������ f F ����% �� Δ�

����������� ������� F ����� �� ������������ ������� f ��������� �� Δ� ���� ������� F ��������������� �� Δ � F ′(x) = f(x)��� ������ x ∈ Δ�

�������� ������ F (x) = x3

3 �������� ������� �� �����f(x) = x2�

.������ ��� �#�� ����� ������%���� ��� ��� �� ���� �� �����#� !����� ������� � ���� ���� ������� ��� �� �� ������������%���� �������� � �� �%��� � ���� �����

f(x) =

{2x sin 1

x− cos 1

x, �� x �= 0,

0, �� x = 0.

�� ���� ����� � ��&������� ������� ���

F (x) =

{x2 sin 1

x, �� x �= 0,

0, �� x = 0.

����� ���� ������� f ��������� �� ������� �� � � �����

� ��� ������������ ������� f �� �

/ �������"�� ����� ����� ������� �%� ������%��%� �� ��������� ��������� �������

����� � �� ���� ! �� ��� ��������������� �� Δ ������� F� G ��� ������������ ����� � �� �� ������� f ����"����� � ���

� � �!��� ! �� ��� � ��!����# �� Δ �� ��� ������� � �� # �����

��� F � G ����������� f ���� � ��#�� ����� �����

G(x) = F (x) + C, x ∈ Δ,

��� C $ ���� ���� ��� �������

���� ��#� ��� 1�� F ������� ��� ����� f � � ���� F ′(x) =

f(x) ��Δ� � ������ F (x)+C �������� ������� �� �� � �����f � ��� ��� (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x)�1�� ����� F G ����#��� ������� �%� ����� f � � ����

F ′(x) = G′(x) = f � � (F (x)−G(x))′ = F ′(x)−G′(x) = 0� 2������������ ������ 3����� � F (x) − G(x) = C �� Δ�

Page 3: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

����������� � %��������� # ���" ����������" ������� f �� Δ ���

��� �� ������������� �� ������� ������� f � �����!�� ��∫f(x) dx�

.� ���� �������� �"�� ��� ������� �� ���� �����# f � � ���� ������ �� ���������� dx� 4� �������� ��� ��� ���% ���� ���� � ���� ��������� &�� ������� ��#� -����� f �� %��������%���������� �������� � �%�� ��� f(x)dx � ��%���������%��%�� �����1�� F �������� ������� ��� ����� f � � �"��∫

f(x) dx = F (x) + C. '5(

2����� ������ '5( �� ���� �������� ��� ��������������� F $

dF (x) = F ′(x)dx = f(x)dx.

� �������� ������� �������������� ����� �

.���� ������ f ���� ������� ��# F �� ���� ���� �

�∫

dF (x) = F (x) + C� �� �� � � �����∫

F ′(x)dx = F (x) + C�4� ��� � ������� ��������� ������������ �������� ��� ��

������� ���� ������� �%��

�� &��� ����� # ������������ ��������� .���� ����� f1 f2

��#� ������� �%� �� ���� ���� Δ� ���� ������ (f1 + f2) ����������� ��# �� ���� ���� Δ� �����∫

(f1(x) + f2(x)) dx =

∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx. '6(

.������� �������� �������� ��� �������� ���� �� ���� ��������

���� ��#� ��� .���� ����� F1 F2 ����#��� ������� �%������� f1 f2 ������������ � ���� F ′

1(x) = f1(x), F ′2(x) = f2(x)�

���� ∫f1(x) dx = F1(x) + C1,

∫f2(x) dx = F2(x) + C2,

Page 4: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

��� C1, C2 � �� ����%� ������%�� .� � F (x) := F1(x)+F2(x)�-����� F ����� ������� �� ����� (f1 + f2)� ��� ���

F ′(x) = F ′1(x) + F ′

2(x) = f1(x) + f2(x), x ∈ Δ.

2�����������∫(f1(x) + f2(x)) dx = F (x) + C = F1(x) + F2(x) + C,

��� C � �� ������ ��������� 2 ����� ����%�∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx = F1(x) + C1 + F2(x) + C2.

.������ C, C1, C2 � �� ����%� ������%�� � �� ����� ������� F1(x)+F2(x)+C F1(x)+C1+F2(x)+C2 ������#�� �� ������������������ ��������� '6(�

�� .���� λ � ���� λ �= 0� ����∫λf(x) dx = λ

∫f(x) dx, '7(

�������� �������� �������� ��� �������� ���� �� ���� ��������

���� ��#� ��� .���� ������ F (x) �������� ������� �� ������ f(x)� ���� ������ λF (x) �������� ������� �� ����� λf(x)���� ��� (λF (x))′ = λF ′(x) = λf(x)� 8�����∫

λf(x) dx = λF (x) + C1,

��� C1 � �� ������ ��������� 2 ����� ����%�

λ

∫f(x) dx = λ(F (x) + C2) = λF (x) + λC2,

��� C2 � �� ������ ��������� .������ λ �= 0� C1 C2 �� �����%� ������%�� � �� ����� ������ λF (x) + C1 λF (x) + λC2

������#�� �� ������ ������������ ��������� '7(�

�� '������� # ��������� .���� λ1, λ2 � ����� ��� �% �� ���� ���� ����∫

(λ1f1(x) + λ2f2(x)) dx = λ1

∫f1(x) dx + λ2

∫f2(x) dx.

Page 5: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

9�� �������� ��� � ������� ������ 6� 7�

���� �������� ������ ����

5�∫

xα dx = xα+1

α+1 + C, α �= −1.

6�∫

dxx = ln |x| + C.

7�∫

ax dx = ax

ln a + C, a > 0, a �= 1, � ��������∫

ex dx = ex + C�

:�∫

sin x dx = − cos x + C.

;�∫

cos x dx = sin x + C�

<�∫

dxcos2 x = tg x + C.

=�∫

dxsin2 x

= − ctg x + C.

>�∫

dxx2+a2 = 1

a arctg xa + C = −1

a arcctg xa + C, a �= 0�

?�∫

dxx2−a2 = 1

2a ln∣∣x−ax+a

∣∣+ C, a �= 0.

5@�∫

dx√a2−x2 = arcsin x

a + C = − arccos xa + C, |x| < |a|.

55�∫

dx√x2−a2 = ln |x +

√x2 − a2| + C, |x| > |a|.

56�∫

dx√x2+a2 = ln |x +

√x2 + a2| + C.

1�� ���������� ��%���������� ����� ���&����� � ��� ������� ����� � �������%� �����% ����� ���������% �"� ������ ���� ����� � ���%� ��� ���%� ���������� � ��� �� ���&�������

��������

5� ���� �������∫

(3 sinx + 5 cosx) dx�

(�)����� /���� ���"�� ��������# �������� '������ :( �������� �����∫

(3 sinx+5 cos x) dx = 3

∫sin x dx+5

∫cos x dx = −3 cosx+5 sin x+C.

6� ���� �������∫

(√

x + x)√

x dx�

Page 6: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

(�)����� A����%� ����� ����� ���"�� ��������# ��������� �������� �����∫

(√

x + x)√

x dx =

∫x dx +

∫x

32 dx =

x2

2+

2x52

5+ C.

��� �������

1.∫

dx. 2.∫

3√

x dx. 3.∫

dx√x. 4.

∫(x3 + 3x) dx. 5.

∫2 sin2 x

2 dx.

6.∫ (1−x

x

)2dx. 7.

∫(√

x + 3)(x2 +√

x) dx. 8.∫ (2+x)3

x√

xdx.

9.∫ 5·2x+2·5x

2x dx. 10.∫

tg2 x dx.

� �������� ������ �������� ���

�� � ��� ���������� � �������������� ������ ��

.���� ����� f(x) ϕ(t) ����% ����������� �� ���� ����� Δx

Δt� ����� ϕ(Δt) = Δx� ���� ���� ��%�� �� ��� ������ f(ϕ(t)),

t ∈ Δt� .���� ������ ϕ ������������� ������� ���� ��&�������� ������� ������ ϕ−1(x) �� Δx�

����� � *�� # ������� ϕ ��������������� � ���� ���� �� Δt�

������� f(x) ����� �� Δx � ϕ(Δt) = Δx� ���� � ������� f ����� ���

� ������������ F �� Δx� �∫f(x) dx =

∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt

∣∣∣∣t=ϕ−1(x)

.

���� ��#� ��� -����� F �������� ������� �� ����� f � ����� F ′ = f � .���� x = ϕ(t)� ��� ��� �� ������ F (ϕ(t)) ��������� ������� �� ����� f(ϕ(t))ϕ′(t)� 9�����������

[F (ϕ(t))]′ = F ′(ϕ(t))ϕ′(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t).

���� ��� �� ����∫f(x) dx = F (x)+C = F (ϕ(t))|t=ϕ−1(x) +C =

∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt

∣∣∣∣t=ϕ−1(x)

,

��� C � �� ������ ���������

Page 7: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

8������ �� ���� �%���� ������ ���������� � �����# ������� ���� ∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫f(ϕ(t)) dϕ(t) =

∫f(x) dx

∣∣∣∣x=ϕ(t)

.

4�� ������ �� %������ ��������� �� ��� ������������

��������

5� ���� �������∫

e5x dx�

(�)����� 2������ ����� t = 5x� /%�� �� x� ����� x = 15t, dx =

15dt� .���������∫

e5x dx =1

5

∫et dt =

1

5et + C =

1

5e5x + C.

6� ���� �������∫

tg x dx�

(�)����� B���� �� ��������� ��������� ����� ���� �� ��������������� �����∫

tg x dx =

∫sin x

cosxdx = −

∫d cosx

cos x= − ln | cosx| + C.

7� ���� �������∫

xx2+1 dx�

(�)����� 8������ �� xdx = 12dx2 = 1

2d(x2 + 1)� �����∫x

x2 + 1dx =

1

2

∫d(x2 + 1)

x2 + 1=

1

2ln(x2 + 1) + C.

/ �������� ��������� ����� �%�� ���� ���� ����� t = x2 + 1�

��� �������

11.∫

cos 3x dx. 12.∫ ln x

x dx. 13.∫

x9 7√

8 − x10 dx. 14.∫

x3

x2+4 dx.

15.∫

a−2x dx. 16.∫ arctg3 x

1+x2 dx. 17.∫

dxsin2 x

√1−ctg x

. 18.∫

e2x

ex+1 dx.

19.∫ cosx

3√sin2 xdx. 20.

∫ 1+x√1−x2 dx.

Page 8: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

��� ��������� ��� �� ! ����

����� � ���� ������� u(x) � v(x) �������������� �� ���� ����

������� �� Δ � ����� ��� �� �����∫

v du� � ����� ��� �� ��

����∫

u dv � ����������� ������� �� ����������� �� !�� ��+∫u dv = uv −

∫v du.

���� ��#� ��� . ������ ������������� �� ������d(uv) = v du + u dv� �*���

u dv = d(uv) − v du.

B������� � �� �� �������� ������ ��&�������� � ����%� ��&�������� � ������� 5 ������������ ���������

∫d(uv) = uv + C� �

���� ��&������� � ����#� 8����� ��&������� �������∫

u dv ������ ���"�� ���������# ������������ �������� '������6(� ���� ∫

u dv =

∫d(uv) −

∫v du = uv −

∫v du,

��� �������� C ������� � ��������∫

v du�

.������� ������ ���������� � ������ �������� � � ����������� ���� ������� � ����� ���� ��������� �� ��&� �������� ��� ������ B���������� � ������ ������� � �������� ������#&� ������� �������

"� / ��������� ���∫

P (x) cos ax dx,∫

P (x) sin ax dx,∫

P (x)eax dx,��� P (x) � �������� a �= 0� � �������� ����� u ������� ������ P (x)�� �� ���������� ������ ����� sin ax, cos ax, eax ������������� .��� ���������� � ������� ������� ������ � �������� ��� � ���� � � ����"� ��� ������� B������� ����� '������ :(��*��� ����� �������� P (x) �������� ������ xn� ��� n � ����������� ���� A������� ����%� �%"��������%� ��������'������%� �������#��� �������($∫

xn cos ax dx =1

a

∫xnd sin ax =

1

axn sin ax − n

a

∫xn−1 sin axdx.

B���������� � ������ �� ���� n �� � ��� �� ���������� �������� � x�

Page 9: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

��������

5� ���� �������∫

x sin 3x dx�(�)����� .������ ���� �� ��� ����������� �����������

� �������∫x sin 3x dx = −1

3

∫xd cos 3x = −1

3x cos 3x +

1

3

∫cos 3xdx =

= −1

3x cos 3x +

1

9sin 3x + C.

6� ���� �������∫

x2ex dx

(�)����� / ���� u = x2� dv = ex dx� ���� v = ex, du = 2xdx ����� �� ������ ���������� � ������� ����∫

x2ex dx =

∫x2 dex = x2ex − 2

∫xex dx.

.���� �������� ��� u = x� dv = ex dx� �����∫xex dx =

∫x dex = xex −

∫ex dx = xex − ex + C.

!���������� ∫x2ex dx = x2ex − 2xex + 2ex + C.

""� / ��������� ���∫

P (x) arcsinax dx,∫

P (x) arccosax dx,∫P (x) arctg ax dx,

∫P (x) arcctg ax dx

∫P (x) lnx dx �%�� ���

P (x)dx ������� � �������� dv� B���������� � ������ � ����� �������� � �����%� ������������� ������ � �������� 1�������%� ������������� ����� � ������ � �����% � �������� m, m > 0� � �� ��������� � ������ ������� m �� ����� ������ ��� ������� ����� ��� ������������ � ������ m

�� � C�� � ����%��&�� ������ ����� �������� P (x) �������������� xn� ��� n � ���������� ��� � ����∫

xn lnm x dx =1

n + 1

∫lnm x dxn+1 =

xn+1

n + 1lnm x− m

n + 1

∫xn lnm−1 x dx.

��������

Page 10: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

5� ���� �������∫

x lnx dx

(�)����� / ���� u = ln x� dv = xdx� ���� v = x2

2 , du = 1xdx �

���� �� ������ ���������� � ������� ����∫x lnx dx =

x2

2lnx−

∫x2

2· 1x

dx =x2

2ln x− 1

2

∫x dx =

x2

2lnx− x2

4+C.

6� ���� �������∫

arccos 2x dx�

(�)�����.���� u = arccos 2x� dv = dx� ���� v = x, du = −2 1√1−4x2 dx�

.���������� � ������$∫arccos 2x dx = x arccos 2x + 2

∫x√

1 − 4x2dx =

= x arccos 2x− 1

4

∫(1−4x2)−1/2 d(1−4x2) = x arccos 2x− 1

2

√1 − 4x2+C.

"""� B�������% ���∫

ebx sin ax dx,∫

ebx cos ax dx, a �= 0, b �= 0� ����������� � ������ ��� �%� ������� ��� � ����� .������ ������������ �����# ebx ����������� � ������$

I1 :=

∫ebx sin ax dx =

1

b

∫sin ax debx =

1

bebx sin ax − a

b

∫ebx cos ax dx.

.���� ���� �� ���������� �����# ebx ����������� �������� ������� � ������� �����

I1 =1

bebx sin ax − a

b2

∫cos ax debx =

=1

bebx sin ax − a

b2 cos ax ebx − a2

b2

∫ebx sin ax dx.

.������ ������� ����� I1� ���� ��� �� ����� �������� ��������� I1

I1 =1

bebx sin ax − a

b2 cos ax ebx − a2

b2 I1.

/%�� �� ��#�� I1� ��������� �����∫ebx sin ax dx =

ebx

a2 + b2 [b sin ax − a cos ax] + C.

Page 11: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

)������ � � ������∫ebx cos ax dx =

ebx

a2 + b2 [b cos ax + a sin ax] + C.

��� �������

21.∫

x cos 2x dx. 22.∫

arcsinx dx. 23.∫

x2e−x dx. 24.∫

ln x dx.25.∫

x3x dx. 26.∫

arctg√

x dx. 27.∫

x3exdx. 28.∫

ln2 x dx.

29.∫

x tg2 x dx. 30.∫

cos lnx dx.

9���� �������� �� ���%� ����% ���������� �� ���"� ������� *���������%� �������

� �������� ��� ���� ����� �����

A�������� ����# �� %������ ����� �������� ����������� ����� ����#��� �������%$

R(x) =anx

n + an−1xn−1 + ... + a0

bNxN + bN−1xN−1 + ... + b0,

������� �� an �= 0, bN �= 0� 1�� ������� �������� � ����������� ����"� ������ �������� � ����������� n < N � � ����� ����������� ���� �� %������ ��������� 1�� � ������� ��������� ���������� ���"� �� ����� ������ �������� n ≥ N � � ��������������� ���� � �� �%�� ������� � ����� �������� ��������� ��������� ��� ����� ������ ��� �������� �� ����� ������� '�������� ������� � ����� � ���������� �%������� � ������� �����&�� �%�� ���(� .���� Pn(x) �������� �QN(x) ���������� ��������� ��� R(x) n ≥ N

R(x) =Pn(x)

QN(x)= S(x) +

Tk(x)

QN(x),

��� S(x) Tk(x) �������%� ����� k < N �9����� �#��� ��������� ���������� ���� � �� �%�� �� � ���

�� ����� ������"� ��������%� ������ .�����"� �� %��#������ ���

A

(x − a)k,

Bx + C

(x2 + px + q)m, p2 − 4q < 0, k, m ∈ N,

��

Page 12: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

A, B, C � ��&�������%� �����

.������ �� ��� ��������� ������ �� � �� �#�� ��������� ��������� ��� �� ����� ������"� ��������%� ������

����� # *�� #P (x)Q(x) $ ������#��� ��������#��� ����# � ����� ����

��� ��,������� ���� ����

Q(x) =

r∏j=1

(x − aj)kj

s∏l=1

(x2 + plx + ql)ml,

��� aj $ ������� ����!�� ����� ����� ����� �����!���� Q(x) ��� ���� � kj, j = 1, ..., r- � ��"!��� x2 + plx + ql ����� ! � p2

l − 4ql <

0, l = 1, ..., s� .���� ����� ��� ����� ����� !���� A(1)j , ..., A

(kj)j , j =

1, ..., r; B(1)l , ..., B

(ml)l , C

(1)l , ..., C

(ml)l , l = 1, ..., s� ���� ! �

P (x)

Q(x)=

r∑j=1

(A

(1)j

x − aj+

A(2)j

(x − aj)2 + ... +A

(kj)j

(x − aj)kj

)+

+s∑

l=1

(B

(1)l x + C

(1)l

x2 + plx + ql+

B(2)l x + C

(2)l

(x2 + plx + ql)2 + ... +B

(ml)l x + C

(ml)l

(x2 + plx + ql)ml

).

������� A� � �� �� ������"� ���� 4x2−3x(x−2)2(x2+1) �

(�)����� 9��� �������� ��������� �*��� � ������

4x2 − 3x

(x − 2)2(x2 + 1)=

A1

x − 2+

A2

(x − 2)2 +Bx + C

x2 + 1.

.���� �����# ����� � �&��� ���������#� �����

4x2 − 3x

(x − 2)2(x2 + 1)=

A1(x − 2)(x2 + 1) + A2(x2 + 1) + (Bx + C)(x − 2)2

(x − 2)2(x2 + 1).

D ��� ������ ����� �����%� ���������� ����� � ����% ������ ���� ����% � ������� ���� ��� �� ������ A1, A2, B, C ���������

4x2 − 3x = A1(x − 2)(x2 + 1) + A2(x2 + 1) + (Bx + C)(x− 2)2. ':(

��

Page 13: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

9�� �������� ����% ���� ���� ����� ���� � �*������%����%� .*��� �������� �*������% �� �� �� ������� ����������� :�� �������� :�� �� �����%�$⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩A1 + B = 0

−2A1 + A2 − 4B + C = 4A1 + 4B − 4C = −3

−2A1 + A2 + 4C = 0

!��#�� A1 = 1, A2 = 2, B = −1, C = 0 ' ������ �� ������� ��%�� ��� ':( x = 2� �% ��� � ��� ���� A2(� ���� ��� �� ����

4x2 − 3x

(x − 2)2(x2 + 1)=

1

x − 2+

2

(x − 2)2 −x

x2 + 1

�� � ��� �������� ��������� ��� �� ������"��

B���� ��� ��� ���% ������������ ���������# ����� ���������� ����� �� � ����� ������� ��#� ��������� ����� � �����������# ���� �� � �� �� ������"��B������� � ������"�� ��� A

(x−a)n �������� ������%�� .� n = 1∫A

x − adx = A ln |x − a| + C.

.� n > 1∫A

(x − a)ndx = A

∫(x − a)−n d(x − a) = − A

(n − 1)(x − a)n−1 + C.

B������� � ������"�� ��� Bx+D(x2+px+q)n � ��� p2 − 4q < 0 ������ �

�������� � ��� bt+c(t2+a2)n ����� �%������ ���� ���������

x2 + px + q =(x +

p

2

)2+ q − p2

4,

������ ����% ��������� t = x + p2 '���� a2 � ������ �� �

������� ������ q − p2

4 (� .� n = 1∫bt + c

t2 + a2 dt = b

∫t

t2 + a2 dt+c

∫1

t2 + a2 dt =b

2ln(t2+a2)+

c

aarctg

t

a+C.

��

Page 14: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

.���� n > 1� B�������∫

bt+c(t2+a2)n dt � � �� ��� �� ��� ���������

.���%� ���� ������ � ��������$

b

∫t

(t2 + a2)ndt = − b

2(n − 1)(t2 + a2)n−1 + C.

9�� �������� In :=∫ 1

(t2+a2)n dt �%����� �����������# ������ ����& ���������� � ������� � ���� �%�� � In ���� In−1$

In :=

∫1

(t2 + a2)ndt =

1

a2

∫t2 + a2 − t2

(t2 + a2)ndt =

=1

a2

∫1

(t2 + a2)n−1 dt − 1

a2

∫t

t

(t2 + a2)ndt =

=1

a2In−1 − 1

a2

(− t

2(n − 1)(t2 + a2)n−1 +1

2(n − 1)

∫1

(t2 + a2)n−1 dt

)=

=1

a2In−1 +t

2a2(n − 1)(t2 + a2)n−1 −1

2a2(n − 1)In−1.

���� ��� �� ���������

In =t

2a2(n − 1)(t2 + a2)n−1 +1

a2

(1 − 1

2(n − 1)

)In−1, n = 2, 3, ... . ';(

��� ��� ������� I1 � � �%������ � � � �%����� I2, I3 ����

��������

5� ���� �������∫ 3x+5

x2+2x+5 dx

(�)����� 9�������� ���������� ����"� ����� �*��� �%����� ���������� ���%� �������� x2+2x+5 = (x+1)2+4� 2����� ������# ����� t = x + 1 '�� *�� dx = dt(� �����∫

3x + 5

x2 + 2x + 5dx =

∫3t + 2

t2 + 4dt = 3

∫t

t2 + 4dt +

∫2

t2 + 4dt.

/ ����� �������� ������� t �� ��� ������������ ���� �������� �������� ������%�� .��� � ������ ��������$

3

2ln(t2 + 4) + arctg

t

2+ C =

3

2ln(x2 + 2x + 5) + arctg

x + 1

2+ C.

6� ���� �������∫ 3x+5

x2+2x−3 dx

��

Page 15: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

(�)����� %����� /� 9�������� ���������� ���"� ����� ������ ���������� ����#��� x = 1, x = −3� A� � � ���� �� �������"�

3x + 5

(x − 1)(x + 3)=

A

x − 1+

B

x + 3.

.���� ���� ���&� ������� � �&��� ���������#� ����� ��������� ��������

3x + 5 = A(x + 3) + B(x − 1).

4� �������� �%����� �� ���� x� �*���� ������� x = −3� ������ B = 1� ������� x = 1� ����� A = 2� ���� ��� ��∫

3x + 5

x2 + 2x − 3dx = 2

∫dx

x − 1+

∫dx

x + 3= 2 ln |x − 1| + ln |x + 3| + C.

%����� 0� /%���� � ���������� ���%� �������� x2 + 2x − 3 =

(x + 1)2 − 4� 2����� ������# ����� t = x + 1 '�� *�� dx = dt(������∫

3x + 5

x2 + 2x − 3dx =

∫3t + 2

t2 − 4dt = 3

∫t

t2 − 4dt +

∫2

t2 − 4dt.

/ ����� �������� ������� t �� ��� ������������ ���� �������� �������� ������%�� .��� � ������ ��������$

3

2ln |t2 − 4| + 1

2ln

∣∣∣∣t − 2

t + 2

∣∣∣∣+ C =3

2ln |x2 + 2x − 3| + 1

2ln

∣∣∣∣x − 1

x + 3

∣∣∣∣+ C.

.������� �%�� ��� � � �������� ����� ���"�� ���������������

ln |x2 + 2x − 3| = ln |(x − 1)(x + 3)| = ln |x − 1| + ln |x + 3|;ln

∣∣∣∣x − 1

x + 3

∣∣∣∣ = ln |x − 1| − ln |x + 3|..*��� ���������∫

3x + 5

x2 + 2x − 3dx = 2 ln |x − 1| + ln |x + 3| + C.

��� �������

31.∫

x+1(x−1)(x+3) dx. 32.

∫x

x2−3x+2 dx. 33.∫

x5+x4−8x3−4x

dx. 34.∫

xx4−3x2+2 dx.

35.∫ 2x2−7x

(x−2)2(x+1) dx. 36.∫

dxx(x2+1). 37.

∫x3−2x2+3x−6

x3−3x2+4 dx. 38.∫

x2

1−x4 dx.

39.∫

x3+x+1(x2+2)2 dx. 40.

∫dx

(x2+1)(x2+x).

��

Page 16: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

�������� ��� ��!����� � ���� ����� "#�!$

���

.���� R(u1, ..., un) � ���������� ���� ����� u1 = f1(x), ..., un =fn(x)� ���� �������� �� R(f1(x), ..., fn(x)) ���������� ���� ������� f1(x), ..., fn(x)�

"� A������� �������% ���∫R

(x,

(ax + b

cx + q

)r1

, ...,

(ax + b

cx + q

)rn)

dx. '<(

0���� ������������ �� ���� r1, ..., rn � ��������%� �����% ���� ������������ ri = pi

m � ���m � ����������� pi � ���%�� aq−bc �=0 '���� ���� � � �������(�2������ � �������� '<( ����� ��������� tm = ax+b

cx+q � /%�� �� ��

�#�� x� ����� x = qtm−ba−ctm =: ρ(t)� -����� ρ �������� ���������

����#E �� �� ����� ρ′ ��� � �������� ��������� ����#� .*���� ����� dx = ρ′(t) dt�

(ax+bcx+q

)ri

= (tm)pim = tpi ���� ������� '<( �

�������� � ��������� ���$∫R

(x,

(ax + b

cx + q

)r1

, ...,

(ax + b

cx + q

)rn)

dx =

∫R(ρ(t), tp1, ..., tpn)ρ′(t) dt.

!����� ������ �����%� ������ c = 0� ���� �� ����� ��������� �%�� ���� ������� '<( ���� ��∫

R(x,

r1√

ax + b, ...,rn√

ax + b)

dx.

��������

5� ���� �������∫

dx1+

√x

(�)����� 2������ � �������� ����� x = t2� dx = 2t dt� .�������������� ∫

dx

1 +√

x=

∫2t dt

1 + t= 2

∫t + 1 − 1 dt

1 + t=

= 2

∫dt − 2

∫dt

1 + t= 2t − 2 ln |1 + t| + C = 2

√x − 2 ln |1 +

√x| + C.

6� ���� �������∫ √1−x

1+x dx

��

Page 17: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

(�)����� 2������ ����� 1−x1+x = t2� /%�� �� ��#�� x� �����

x = 1−t2

1+t2 � dx = −4t(1+t2)2 dt�

∫ √1 − x

1 + xdx =

∫t

−4t

(1 + t2)2 dt = −4

∫t2 + 1 − 1

(1 + t2)2 dt =

= −4

∫1

1 + t2dt + 4

∫1

(1 + t2)2 dt.

.���%� ������� �������� ������%�� � ���� ������� ���� �� ';(�� a = 1, n = 2� .��� �� ������ ��������� �����

−4 arctg t + 4

[t

2(1 + t2)+

1

2

∫1

1 + t2dt

]= −2 arctg t +

2t

1 + t2+ C.

.������ ����� � ��������� x� ����� ����$∫ √1 − x

1 + xdx = −2 arctg

√1 − x

1 + x+ 2√

(1 + x)(1 − x) + C.

��� �������

41.∫

x+1x√

x−2 dx. 42.∫

dxx( 3

√x−3). 43.

∫x+ 3

√2+x√

2+xdx. 44.

∫dx√

x− 3√

x.

45.∫ 6

√x+3−1√

x+3(1+ 3√

x+3) dx. 46.∫ √

x−1x√

x+1 dx. 47.∫

3

√x−2x−1

dx(x−1)3 .

48.∫ √

x+2(√

x+2+√

x−1)(x−1)2 dx. 49.∫

dxx(1+ 3

√x)3 . 50.

∫ √x

3√x2− 4

√xdx.

""� 1�� ��������%� �������� x2 + px+ q ���� ��&�������%� ����� �� �#�� ��������� r �������% ���∫

R(x, r√

x2 + px + q) dx '=(

� � ����� � ����%��&��� �����#� 9�����������

R(x, r√

x2 + px + q) = R(x, r√

(x − a)(x − b)) =

= R

(x, |x − b| r

√x − a

x − b

)= R1

(x,

(x − a

x − b

)1/r)

.

/ �����%� �����%� ������� ��� �������� ��� '=( ������ ���� ���� ������� �� � � �������� A������� ���� �����

��

Page 18: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

�������% ���∫

R(x,√

ax2 + bx + c) dx� a �= 0� ��� �� ���%������� ����������� ��������%� � �� ���%� ��������

� .�������� ��!����� ����� C�������%� �������� x2 + px + q

����� �%������ ���� �������� ������ ����% ������ � �%��� ��# t2 ± a2� 9�� ��� ���% ������� � ����������� ���������� ∫

R(t,√

t2 ± a2) dt,

∫R(t,

√a2 − t2) dt '>(

� � ���� ���� �����#&� ������������� ����%�

�(∫

R(t,√

a2 − t2) dt, −a ≤ t ≤ a� ����� t = a · sin y� −π2 ≤ y ≤ π

2 E

�(∫

R(t,√

t2 − a2) dt, |t| ≥ a� ����� t = asin y � −π

2 ≤ y ≤ π2 , y �= 0E

�(∫

R(t,√

t2 + a2) dt� ����� t = a · tg y� −π2 < y < π

2 �

�������

���� �������∫ √

1 − x2 dx, −1 ≤ x ≤ 1�

(�)����� 2������ ����� x = sin y, −π/2 ≤ y ≤ π/2� dx = cos y dy�∫ √1 − x2 dx =

∫ √1 − sin2 y cos y dy =

∫cos2 y dy =

=1

2

∫[1 + cos 2y] dy =

1

2

∫dy +

1

2

∫cos 2y dy =

y

2+

1

4sin 2y + C =

=y

2+

1

2sin y cos y + C =

1

2arcsinx +

1

2x√

1 − x2 + C.

�� 1������� � !���� ��� ���������� ������ ���� ��"!����� � ��

����� ��� ����� ������ A������� �������% ���∫

Ax+B√ax2+bx+c

dx� A �=0, a �= 0� 9�� ��� ���� *�� �������� �%���� � ������� �� �����# ��������� ���������� ���&�� �� ���� ����� �� � �������� �� ����� ���� ��������� ����&��� � ������%��∫

Ax + B√ax2 + bx + c

dx =

∫ A2a

(2ax + b) + B − Ab2a√

ax2 + bx + cdx =

=A

2a

∫d(ax2 + bx + c)√

ax2 + bx + cdx +

(B − Ab

2a

)∫dx√

ax2 + bx + c.

��

Page 19: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

.���%� �������%� �������� �������� ������%�� � ���� ������� � �������� ����� �%������ ���� �������� � ���������%�� ��� !���������%� ���� � ������ a > 0∫

Ax + B√ax2 + bx + c

dx =

=A

a

√ax2 + bx + c +

2aB − Ab

2a√

aln |x +

b

2a+

1√a

√ax2 + bx + c| + C.

!���������%� ���� � ������ a < 0 '������ b2 − 4ac > 0� ���� ��������� �%�� ��� ����"� ���� �� �#�� x(∫

Ax + B√ax2 + bx + c

dx =

=A

a

√ax2 + bx + c +

2aB − Ab

2a√−a

arcsin−2ax − b√

b2 − 4ac+ C.

�������

���� �������∫ 3x+4√−x2+6x+8

dx�

(�)����� /%����� � ������� �� ����# �������� �%�� ���� −2x + 6� �����∫

3x + 4√−x2 + 6x + 8dx =

∫ −32(−2x + 6) + 13√−x2 + 6x + 8

dx =

= −3

2

∫d(−x2 + 6x + 8)√−x2 + 6x + 8

dx + 13

∫dx√

17 − (x − 3)2dx =

= −3√−x2 + 6x + 8 + 13 arcsin

x − 3√17

+ C.

��2� �� ������������" ��,������� ��� A������� ������� ���∫ Pn(x)dx√ax2+bx+c

� ��� Pn(x) � ������� n��� ������� B������� ���� ���� � ���� �� ��& � ������∫

Pn(x)dx√ax2 + bx + c

= Qn−1

√ax2 + bx + c + λ

∫dx√

ax2 + bx + c,

��� Qn−1 � ������� (n − 1)�� ������ � �����������%� �*���������� λ � ���� 9���������� ��� ���� � ����� ����� ��� ������ � �&��� ���������#� ����� ��������� ���� � ��������� �*������% �������� Qn−1 ��� λ�

Page 20: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

�������

���� �������∫

x3−x−1√x2+2x+2

dx�

(�)����� .������∫x3 − x − 1√x2 + 2x + 2

dx = (ax2 + bx+ c)√

x2 + 2x + 2 +λ

∫1√

x2 + 2x + 2dx.

9���������� �� ���� ���������� �����

x3 − x − 1√x2 + 2x + 2

=

= (2ax + b)√

x2 + 2x + 2 + (ax2 + bx + c)x + 1√

x2 + 2x + 2+

λ√x2 + 2x + 2

.

!��� ������ � ����������$

x3 − x − 1 = (2ax + b)(x2 + 2x + 2) + (ax2 + bx + c)(x + 1) + λ.

2������� �*������% �� �����%� �������� x� ����⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3a = 1

5a + b = 04a + 3b + c = −1

2b + c + λ = 1.

!����� a = 13 , b = −5

6 , c = 16, λ = 5

2� !����������∫x3 − x − 1√x2 + 2x + 2

dx =

=1

6(2x2 − 5x + 1)

√x2 + 2x + 2 +

5

2

∫1√

(x + 1)2 + 1dx =

=1

6(2x2 − 5x + 1)

√x2 + 2x + 2 +

5

2ln(x + 1 +

√x2 + 2x + 2) + C.

�� %������#��� ����� ����������� B�������∫

dx(x−α)k

√ax2+bx+c

���

���� � ��������� ������������ � ������ 7� ��������� x− α = 1t �

9����������� dx = −dtt2 � ax2 + bx + c = (aα2+bα+c)t2+(2aα+b)t+a

t2 � �������� ����������� x > α, t > 0� �����∫

dx

(x − α)k√

ax2 + bx + c= −

∫tk−1√

(aα2 + bα + c)t2 + (2aα + b)t + adt.

Page 21: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

�������

���� �������∫

dx(x−1)

√−x2+2x+3�

(�)����� .������ x − 1 = 1t � ���� x = 1

t + 1� dx = −dtt2 � B����∫

dx

(x − 1)√−x2 + 2x + 3

= −∫ dt

t2

1t

√−(1 + 1

t )2 + 2(1 + 1

t ) + 3=

= −∫

dt√4t2 − 1

= −1

2

∫dt√t2 − 1

4

= −1

2ln

∣∣∣∣∣t +

√t2 − 1

4

∣∣∣∣∣+ C =

= −1

2ln

∣∣∣∣∣2 +√−x2 + 2x + 3

2(x − 1)

∣∣∣∣∣+ C.

��� �������

51.∫ √

1+x2

x4 dx. 52.∫

dx√(x2−4)3

. 53.∫ √

3 − 2x + x2 dx. 54.∫ 8x−11√

5+2x−x2dx.

55.∫ 2x2−3x√

x2−2x+5dx. 56.

∫dx

(x+2)2√

x2+5. 57.

∫x2+5x+3√5−4x−x2 dx. 58.

∫dx

x2√

x2−2x.

59.∫ 6x+5√

x2−4x+8dx. 60.

∫x

x−√x2−1

dx.

"""� A������� �������% ���∫(a + bxβ)αxγdx,

��� a, b � ��&�������%� ����� α, β, γ � ��������%�� .�%����������� �%�� ��� �� %������ ������������%� ����� 2����� � ��������� ����� x = t

1β ' dx = 1

βt

1β−1dt(� ������� �� � ���� ������

��� ∫(a + bxβ)αxγdx =

1

β

∫(a + bt)αtλdt,

��� λ = γ+1β

− 1 � ��������� ����

A������� �� �������

5� α � ���� ���� .���� λ = mn � ��� m n > 0 � ���%� �����

2����� �� �������� ������ F ��������� u = t1n ���� ������� �

�������� � ��������� ����

��

Page 22: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

6� λ � ���� ���� .���� ������ α = mn � ��� m n > 0 � ���%�

����� 2����� �� �������� ������ F ��������� u = (a + bt)1n ����

������� � �������� � ��������� ����

7� α + λ � ���� ���� .����� ��� �%"�� α = mn � ��� m n > 0 �

���%� ����� B����∫(a + bt)αtλdt =

∫ (a + bt

t

tα+λdt.

2��� ������� ������� ���� ����������� � ������ F� 8����� u =(a+bt

t

)1/n������ ������� � �������� � ��������� ����

8������ �� � � ���� ����� ������ ������� � �������������� ���� �� �%�� ����� ���� *���������%� ������

�������

���� �������∫ 3√

1+ 4√

x√x

dx.

A�"���� 2������ � �������� ����� t = x14 � ���� x = t4, dx =

4t3dt� ∫3√

1 + 4√

x√x

dx =

∫x− 1

2 (1 + x14 )

13 dx = 4

∫t(1 + t)

13 dt.

8���� α = 13, λ = 1 � ���� ���� �*��� ���� ������ 6� 2������

����� u = (1 + t)13 � ���� t = u3 − 1, dt = 3u2du� ���� ��� �� ����∫

3√

1 + 4√

x√x

dx = 12

∫(u6 − u3) du =

12

7u7 − 3u4 + C =

=12

7(1 + t)

73 − 3(1 + t)

43 + C =

12

7(1 + x

14 )

73 − 3(1 + x

14 )

43 + C.

% �������� ��� ����������&��!�� "#�!���

"� B������� ���∫

R(sinx, cosx)dx ������ ����������� ���������� u = tg x

2 , −π < x < π� � �������� � ��������� ���� .�*��� x = 2 arctg u, dx = 2du

1+u2 � ������������� ����� �%�� ��#��� �����#&� ��� �$

sin x =2u

1 + u2 , cos x =1 − u2

1 + u2 .

��

Page 23: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

9����������� ���� �� ����� ������������� � ����� ������� ��� ������ ����� �� ���� ������� ���������� �� cos2 x

2 ������

sin x =2 sin x

2 cos x2

cos2 x2 + sin2 x

2

=2 tg x

2

1 + tg2 x2

=2u

1 + u2 ;

cos x =cos2 x

2 − sin2 x2

cos2 x2 + sin2 x

2

=1 − tg2 x

2

1 + tg2 x2

=1 − u2

1 + u2 .

B���� ����∫R(sinx, cos x)dx =

∫R

(2u

1 + u2 ,1 − u2

1 + u2

)2du

1 + u2 .

8������ �� �� �%����� �������� ���∫

R(sinx, cos x) dx ����� �� %��#��� ��� �%� �������� u = sin x, u = cosx, u = tg x�/ ���� ������� �� ��������� � ��&�# *�� �������� ���������� ������ ����"� �%������� ��� �� ��������� � ��&�#����������� ���������1�� ���������� ���� R(u, v) ����� � ���� ���������� ���

����� u� � ���� R(−u, v) = R(u, v)� � �� � �� �%�� ��������� ��� R(u, v) = R1(u

2, v)� ���� �&� �"� ����%� ������ u� 1��R(u, v) ������� � ���� ���������� � ���� R(−u, v) = −R(u, v)�� �� � �� �%�� �������� � ��� R(u, v) = u · R1(u

2, v)� �� ��� �

������� ����%��&�� �������� ��� �� ������� � R(u,v)u �

�( ����� R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cos x)� � ���� ��%����������������� ������� � ������ ����

R(sinx, cos x)dx = R1(sin2 x, cos x) sinx dx = −R1(1−cos2 x, cosx)d cosx,

���������� ���� ��������� �� ��������� u = cos xE

�( �������� ���R(sinx, − cosx) = −R(sinx, cos x)� � ���� ��%������������ ������ ������� � ������� � �������� �� ����� u =sin xE

�( ��� R(− sinx, − cosx) = R(sinx, cos x)� � ���� ��%����������������� ����� � ������ ������ �� ������ u �� u

vv� ����� ����

R(u, v) = R(u

vv, v) = R1(

u

v, v) = R2(

u

v, v2),

��

Page 24: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

�������� �������� ������� ��� �� R1(uv , −v) = R1(

uv , v)� � ����

R1 ����� � ����� ���������� ������ �(� .*���

R(sin x, cos x) = R2(tg x, cos2 x) = R2

(tg x,

1

1 + tg2 x

),

�� ����������� ����� u = tg x '−π < x < π(�

��������

5� ���� �������∫

dx1−sinx

(�)����� .������ ��%����������� ������ �� �������� � ������� � �������� � ������� �����������# ��������� u = tg x

2 �∫dx

1 − sin x=

∫2du

(1 + u2)(1 − 2u1+u2)

=

∫2du

1 − 2u + u2 =

= −2

∫(1 − u)−2d(1 − u) = 2(1 − u)−1 + C =

2

1 − tg x2

+ C.

6� ���� �������∫ sin x

(1−cosx)2 dx �

(�)����� .�%����������� ������ �������� ������� � �������*��� ���� � � ������� ����� u = cos x�∫

sin x

(1 − cos x)2 dx =

∫d(1 − cosx)

(1 − cos x)2 =

∫du

u2 =

= −1

u+ C = − 1

1 − cosx+ C

""� B�������% ���∫

sinm x cosn x dx, n, m� ���%�� �%����#��� ���� ��� � ������ � ������ n m�

�( ��� n m ������%� ����� � ��������� u = cos 2x ��%����������� �%�� ��� ������ � ��������� ���� .���� m = 2k +1, n = 2 + 1�∫

sin2k+1 x cos2�+1 x dx =1

2

∫sin2k x cos2� x sin 2x dx =

= −1

4

∫ (1 − cos 2x

2

)k (1 + cos 2x

2

)�

d cos 2x =

��

Page 25: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

= − 1

2k+�+2

∫(1 − u)k(1 + u)� du.

�( ��� n m ����%� ����� � ��������� u = tg x ��%����������� �%�� ��� ������ � ��������� ���� .� *�� x =

arctg u, dx = du1+u2 E ���� ��

sin2 x =1

2(1 − cos 2x) =

1

2

(1 − 1 − u2

1 + u2

)=

u2

1 + u2 ;

cos2 x =1

2(1 + cos 2x) =

1

2

(1 +

1 − u2

1 + u2

)=

1

1 + u2 .

0��� ��� ��� ���� n m �����������%�� �� � � ���� ������� ������� ����� ���������� sin2 x = 1−cos 2x

2 , cos2 x = 1+cos 2x2 � ��

*�� ����� �������% ���� � ���� � � ����"� ��� �������

�( ��� n � ������ � m � �������� � ����� u = cos x� � ��� n ��������� � m � ������ � ����� u = sinx ����� � �������� ���������� ����

��������

5� ���� �������∫

tg4 x dx�

(�)����� 2������ ����� u = tg x� /%�� �� x� ����� x = arctgu,dx = du

1+u2 � ∫tg4 x dx =

∫u4

1 + u2 du.

/%���� �������� 5 � �������� �� ���� ������� ������� �����$ ∫

u4 − 1 + 1

1 + u2 du =

∫(u2 − 1) du +

∫du

1 + u2 =

=u3

3− u + arctgu + C =

tg3 x

3− tg x + x + C.

6� ���� �������∫

sin2 x dx�

(�)����� /%�� � ������� ����� ���� ����� ����� ����� ������� ������� � ����� ������%� ��������$∫

sin2 x dx =

∫1 − cos 2x

2dx =

1

2

∫dx− 1

2

∫cos 2x dx =

x

2− sin 2x

4+C.

��

Page 26: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

7� ���� �������∫ sin3 x

cos2 xdx�

(�)����� D ����� �������� �������� � ������ ������� �*��� �������� ���� �� ��� ����������� '� ���� �������� ����� u =

cos x(� ���� *�� �� ���� ������� �� ����� ������%� ���������∫sin3 x

cos2 xdx = −

∫sin2 x

cos2 xd cos x = −

∫1 − cos2 x

cos2 xd cos x =

= −∫

1 − u2

u2 du = −∫

du

u2 +

∫du =

1

u+ u + C =

1

cos x+ cosx + C.

"""� / ��������� ���∫

sin ax cos bx dx,∫

sin ax sin bx dx,∫cos ax cos bx dx ��� ����� ������� ��� �� ������ ��������

������ ������$

sin ax cos bx =1

2[sin(a + b)x + sin(a − b)x];

sin ax sin bx =1

2[cos(a − b)x − cos(a + b)x];

cos ax cos bx =1

2[cos(a + b)x + cos(a − b)x].

�������

���� �������∫

sin x cos 2x dx�

(�)����� /���� ���"�� ����� ������ �������%� �%"������� ∫

sin x cos 2x dx =

∫1

2[sin 3x − sin x] dx =

=1

2

∫sin 3x dx − 1

2

∫sinx dx = −1

6cos 3x +

1

2cos x + C.

��� �������

61.∫

dx3+2 cosx . 62.

∫dx

5−4 sinx+3 cosx . 63.∫ 1+ctg x

1−ctg x dx. 64.∫

dx1−sin4 x

.

65.∫ sin3 x

cos8 x dx. 66.∫

sin2 x cos2 x dx. 67.∫

sin3 x cos5 x dx.

68.∫

dxsin4 x cos2 x

. 69.∫

sin 2x sin 3x dx. 70.∫

cos x cos2 3x dx.

��

Page 27: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

/ ���#���� ������ �� �� ����� ������� � *���������� ������ �%�� ����� ���� *���������%� ������ � ���� �� �� ��� ������� �������� �� ���� � *���������� ������ .����% G�������&���G��������∫

dxln x =

∫et

t dt � ���������%� ������E∫ sin xx

dx � ���������%� ����E∫e−x2

dx, � ���������%� �������E∫dx√

(1−x2)(1−k2x2)�∫

x2dx√(1−x2)(1−k2x2)

dx

(1+hx2)√

(1−x2)(1−k2x2)� '0 < k < 1�

h � �� ����%� ��������( � *��������� �������%�

��

Page 28: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

' ������

1.x + C. 2.343√

x4 + C. 3.2√

x + C. 4.x4

4 + 3x

ln 3 + C. 5.x − sin x + C.

6.− 1x − 2 lnx + x + C. 7.27

√x7 + x3 + x2

2 + 2√

x3 + C. 8.− 16√x

+ 24√

x +

4√

x3 + 25

√x5 + C. 9.5x + 2

ln 52

(52

)x+ C. 10. tg x − x + C '��� ���$ �

������� ������� �%����� cos2 x(�11.13 sin 3x + C. 12.12 ln2 x + C. 13. − 7

807√

(8 − x10)8 + C. 14.12x2 −

2 ln(x2 + 4) + C. 15. − a−2x

2 lna+ C. 16.14 arctg4 x + C. 17.2

√1 − ctg x + C.

18.ex − ln(ex + 1) + C. 19.3 3√

sinx + C. 20. arcsinx −√1 − x2 + C.

21.12x sin 2x+ 14 cos 2x+C. 22.x arcsinx+

√1 − x2+C. 23.−(x2+2x+

2)e−x+C. 24.x lnx−x+C. 25. 1ln 3x3x− 1

ln2 33x +C. 26.(x+1) arctg

√x−√

x + C. 27.(x3 − 3x2 + 6x − 6)ex + C. 28.x ln2 x − 2x lnx + 2x + C.29.x tg x− x2

2 + ln | cos x|+C. 30.x2(cos lnx+sin lnx) +C '��� ���$ ������������� ��� �� � � ������� ���� ��"�� �������� ������������ ��������(�

31.12 ln |x − 1| + 12 ln |x + 3| + C. 32. − ln |x − 1| + 2 ln |x − 2| + C.

33.x3

3 + x2

2 + 4x + 2 ln |x|+ 5 ln |x− 2| − 3 ln |x + 2|+ C. 34.12 ln |x2 − 2| −12 ln |x2−1|+C. 35. ln |x−2|+ln |x+1|+ 2

x−2+C. 36. ln |x|− 12 ln(x2+1)+C.

37.x+ 73 ln |x−2|− 4

3 ln |x+1|+C. 38.14 ln |x+1|− 14 ln |x−1|− 1

2 arctgx+C.39. 2−x

4(x2+2) +12 ln(x2+2)− 1

4√

2arctg x√

2+C. 40. ln |x|− 1

2 ln |x+1|− 14 ln(x2+

1) − 12 arctgx + C �

41. 2√

x − 2 +√

2 arctg√

x−2√2

+ C. 42. − 13 ln |x| + ln | 3

√x − 3| + C.

43. 23

√(x + 2)3 − 4

√x + 2 + 6

56√

(x + 2)5 + C. 44. 2√

x + 3 3√

x + 6 6√

x +

6 ln | 6√

x−1|+C. 45. 3 3√

x + 3−6 6√

x + 3−3 ln | 3√

x + 3+1|+6 arctg 6√

x + 3+

C. 46. ln(√

x + 1 +√

x − 1) − ln(√

x + 1 −√x − 1) − 2 arctg

√x−1x+1 + C.

47. − 37

3

√(x−2x−1

)7+ 3

43

√(x−2x−1

)4+C. 48. − 1

3 · x+2x−1+ 2

3

√x+2x−1− 2

3 ln(1 +

√x+2x−1

)+

C. 49. 32 · 2 3

√x+3

(1+ 3√

x)2 +ln |x|−3 ln |1+ 3√

x|+C. 50. 65

6√

x5+ 125

12√

x5+ 125 ln | 12

√x5−

1| + C�51. − 1

3 sin3(arctg x) + C. 52. − 14 sin(arccos 2

x) + C. 53. 2 arcsin x+12 +

sin(2 arcsin x+12 ) + C. 54. − 8

√5 + 2x − x2 − 3 arcsin x−1√

6+ C.

55. x√

x2 − 2x + 5−5 ln |x−1+√

x2 − 2x + 5|+C. 56. −√

x2+59(x+2)− 2

27 ln |5−2x+3

√x2 + 5|+ 2

27 ln |x+2|+C. 57. −(x2 + 2

)√5 − 4x − x2+ 3

2 arcsin x+23 +

C� 58. − 16

(1 − 2

x

) 32 + 1

2

(1 − 2

x

) 12 + C� 59. 6

√x2 − 4x + 8 + 17 ln |x− 2 +√

x2 − 4x + 8| + C. 60. x3

3 + 13

√(x2 − 1)3 + C '��� ���$ ��� ��

��

Page 29: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

�� ����� ���� �� x +√

x2 − 1(�

61. 2√5arctg

(tg x

2√5

)+ C. 62. 1

2−tg x2

+ C. 63. ln | sin x − cos x| + C.

64. 12 tg x+ 1

2√

2arctg(

√2 tg x)+C. 65. 1

7 cos7 x− 15 cos5 x +C. 66. x

8 − sin 4x32 +C.

67. − 132 cos 2x− 1

64 cos2 2x+ 196 cos3 2x+ 1

128 cos4 2x+C. 68. − 13 tg3 x

− 2tg x +

tg x+ C� 69. 12 sinx− 1

10 sin 5x+ C. 70. 12 sinx + 1

20 sin 5x+ 128 sin 7x+ C.

Page 30: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

( )��� �#

3!������+

5� 0���� H�2�� ������� 2�I� G9�����������%� ����������%� �������G� I�� ������ 5?>>�6� 8����� /�2�� B����� 1�1��C��%��� GB���������� �������

������ ��� ���������G� �� IJ�D �� 0������� 6@@<� ;6>��7� C�������� 3�9� GC����� ���� ������������ ���� �G� ����

������� 5� �� GKLMNG� 5??>� :@@��:� .����� ��2� G9������������ ���������� ������� ���

��� �G� ���� ����� I�� ������ 5?=>�;� -�������� J�I� G!���% ������������ ���� �G� ���� �����

�� 5� I����� 5?;;� ::@��

4���!����+

<� 0����� J��� G2���� ���� � ����� ������������ ���� �G� ��G.������G� 6@@6� :76��=� 9��� .�1�� .�� )�J�� C ������ ��H� G/%�"�� ��������� �

���� ����� ������G� ���� ������� ����� 5� I����� �� G/%�"��"���G� 5???� 7@:��>� 1��� )�/�� 9����� 0�.� '����( G2���� ���� � ���������

��� ��� �G� �� G�����G� 5?>5� :<:��?� 1��� )�/�� .����� )�2� '����( G2���� ���� � ���������

��� ��� �G� ���� ����� �� 6� I����� 6@@7� :76��

Page 31: books.ifmo.rubooks.ifmo.ru/file/pdf/261.pdf · 7 sin3 x cos2 x dx ( ) D * ' u = cosx ( * % sin3 x cos2 x dx = − sin2 x cos2 x dcosx = − 1− cos2 x cos2 x dcosx = = − 1− u2

*���+ ���

$�������

� �������� %� � � �������������� ������ � �

� �������� ������� ��������������� ������ � �

� �������� ������ ���������� ��� &

:�5 8����� ��������� � ������������ �������� � � � � � � <:�6 B���������� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � >

# ��������� ��� � ���� �'��� ������

& ��������� ��� ��(������ ��� ���� �'��� )*�(��� &

+ ��������� ��� ������������!��(�� )*�(��� ��

, ������ �,

- .���� �*� �/

��