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B I NO M I VE R L AG

FORMELN + HILFEN

HOHERE MATHEMATIK

cosh2 x−sinh

2 x cos2 x + sin2 x

− eiπ

∑∞∑n=1

2−n

limn→

∞

n√ n

limx→

0

sinx

x

∫∫∞

0 e −xdx

∫∫π/2

0 sinx dx

www.binomi.de

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dx

Wir Autoren sind ehemalige Mitarbeiter des FB Mathematik der Uni Hannover und wissen aus langer Erfahrung wie wichtig ausführlich behandelte Beispiele sind, um Mathematik zu verstehen.

Unsere kompakte Formelsammlung zur Höheren Mathematik mit Hilfen und Beispielen ist Bestseller in Deutschland und erhält von Studierenden und Dozenten hervorragende Bewertungen.ISBN 978-3-923 923-36-6, 247 Seiten, elastischer Umschlag, LP 15,80 €.

Das Repetitorium Höhere Mathematik mit mehr als 1200 durchgerechnete Beispiele und Aufgaben ist eine wertvolle Ergänzung zu Vorlesungen und Übun-gen zur Analysis, lin. Algebra und Ingenieurmathematik.ISBN 978-3-923 923-34-2, 578 Seiten, LP 19,80 €.

Das Scheitern von Studierenden in Mathematikklausuren beruht häufig auf mangelnder Sicherheit im Umgang mit der elementaren Mathematik: Brüche, Potenzen, Logarithmen, Differenzieren, Integrieren, lin. Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Matrizen, Determinanten, komplexe Zahlen, . . .

Die Repetitorien Elementare Mathematik 1 und 2 helfen Defizite in den Grundkenntnissen abzubauen und bereiten mit zahlreichen durchgerechneten Beispielen auf alle Studien vor, die Grundkenntnisse in Mathematik voraus-setzen. Über den Schulstoff hinaus werden auch im Studium stillschweigend vorausgesetzten Themen behandelt, die auch in Leistungskursen nicht immer vorkommen.Teil1: ISBN 978-3-923 923-37-3, 352 Seiten, LP 14,80 €.

Teil2: ISBN 978-3-923 923-38-0, 400 Seiten, LP 14,80 €.

Weitere Repetitorien auf www.binomi.de zu Algebra, lineare Algebra, Analysis, DGLn, Funktionentheorie, Topologie, Stochastik, numerische Mathematik, Wirtschaftsmathematik.

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nützliche Bücher – faire Preise

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F1 FORMELSAMMLUNG

Trigonometrische Funktionen

016π

14π

13π

12π

23π

34π

56π π

76π

54π

43π

32π

53π

74π

116π 2π

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600

sin x 012

√22

√32

1

√32

√22

12

0 −12

−√22

−√32

−1 −√32

−√22

−12

0

cosx 1

√32

√22

12

0 −12

−√22

−√32

−1 −√32

−√22

−12

012

√22

√32

1

tanx 0

√33

1√3 ±∞−

√3 −1 −

√33

0

√33

1√3 ±∞ −

√3 −1 −

√33

0

cot x ±∞√3 1

√33

0 −√33

−1 −√3 ±∞

√3 1

√33

0 −√33

−1 −√3 ±∞

Additionstheoreme

cos(x± y) = cosx cos y ∓ sin x sin ysin(x± y) = sin x cos y ± cos x sin y

tan(x± y) =tan x±tan y

1∓tan x tan y

doppelter Winkel

cos 2x = cos2 x− sin2x

= 1− 2 sin2x = 2 cos2 x− 1

sin 2x = 2 sin x cosx

tan 2x =2 tan x

1−tan2 x

cot 2x =cot2 x−12 cot x

halber Winkel

cosx

2=∗ ±

√

12(1 + cosx)

sinx

2=∗ ±

√

12(1− cosx)

tanx

2=

1−cos xsinx

=sinx

1+cos x

=∗ ±√

1−cos x1+cos x

cotx

2=

1+cos xsinx

=sinx

1−cos x

=∗ ±√

1+cos x1−cos x

Symmetrie

cos(−x) = cos x gerade Funktionsin(−x) = − sin x ungerade Funktiontan(−x) = − tan x ungerade Funktioncot(−x) = − cot x ungerade Funktion

cos2 x+ sin2x = 1

cos2 x =12(1+cos 2x) sin x =∗ tan x

±√1+tan2 x

sin2x =

12(1−cos 2x) cos x =∗ 1

±√1+tan2 x

cos x = sin(π

2± x) tan x =

sinx

cos x

sin x = cos(π

2− x) cot x =

cos xsinx

=1

tan x

sin x+ sin y = 2 sinx+y

2cos

x−y

2

sin x− sin y = 2 cosx+y

2sin

x−y

2

sin x · sin y =12

(

cos(x− y)− cos(x+ y))

cos x+ cos y = 2 cosx+y

2cos

x−y

2

cos x− cos y = −2 sinx+y

2sin

x−y

2

cos x · cos y =12

(

cos(x− y) + cos(x+ y))

sin x · cos y =12

(

sin(x− y) + sin(x+ y))

∗

Vorzeichen je nach Quadranten!

Hyperbelfunktionen

cosh x =12( ex + e−x) tanhx =

sinhx

cosh x=

e2x−1e2x+1

sinh x =12( ex − e−x) coth x =

cosh x

sinhx=

e2x+1e2x−1

cosh 0 = 1, sinh 0 = 0, tanh 0 = 0

cosh2x− sinh2

x = 1

cosh(−x)=coshx , sinh(−x)=− sinh x , tanh(−x)=− tanhx , coth(−x)=− coth x

Additionstheoreme

cosh(x± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y

sinh(x± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y

coshx

2=

√

12(cosh x+ 1)

sinhx

2= ±

√

12(cosh x− 1) , fur

x ≥ 0x < 0

cosh 2x = cosh2x+ sinh2

x

sinh 2x = 2 sinh x cosh x

arsinh x = ln(x+√x2 + 1 )

arcosh x = ln(x+√x2 − 1 ), fur x ≥ 1

FORMELSAMMLUNG F2

Uberlagerung von Schwingungen

A1 sin(ωt + ϕ1) + A2 sin(ωt + ϕ2) = A sin(ωt + ϕ)

A =√

A21 + A2

2 + 2A1A2 cos(ϕ1 − ϕ2)

tan ϕ =A1 sin ϕ1+A2 sin ϕ2

A1 cosϕ1+A2 cosϕ2(Quadranten beachten!)

Spezialfall: B cos ωt + C sin ωt = A sin(ωt + ϕ)

B = A sin ϕ

C = A cos ϕ

A =√

B2 + C2

tanϕ =BC

Quadrantenbeachten!

C

B

A

ϕ

Quadratische Gleichung

x2 + px + q = 0

x1,2 = −p2 ±

√

p2

4− q

allgemeineBinomialkoeffizienten

r ∈ IR und k = 1, 2, . . .

(

rk

)

=r(r−1)···(r−k+1)

k!

(

r0

)

=(

rr

)

= 1,(

r1

)

= r

Polarkoordinaten

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

dF = r dr dϕ

r =√

x2 + y2

tan ϕ =yx

Quadrantenbeachten!

z = x + iy = r(cosϕ + i sin ϕ) = rei ϕ

x

y

ϕ

iy z

x

yr

x

Rechnen mit Potenzen und Logarithmen

a: Basis, mit 0 < a 6= 1

ax+y = axay loga xy = loga x + loga y

a−x =1ax loga

1x

= − loga x

a0 = 1 loga 1 = 0

(ax)r = axr loga xr = r loga x

Logarithmen zu verschiedenen Basen:

loga x =logb x

logb a, speziell: loga x =

lnxlna

Kosinussatz

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Pythagoras

c2 = a2 + b2, falls γ = 900

α

b

c

γ

a

β

Sinussatz

asinα

=b

sin β=

csin γ

Kugelkoordinatenθ : Polabstand

Kugelkoordinatenθ : geographische Breite

Zylinderkoordinaten

x = ρ sin θ cos ϕy = ρ sin θ sin ϕz = ρ cos θ

dV = ρ2 sin θ dρ dθ dϕ

x = ρ cos θ cos ϕy = ρ cos θ sin ϕz = ρ sin θ

dV = ρ2 cos θ dρ dθ dϕ

x = r cos ϕy = r sin ϕz = z

dV = r dr dϕ dz

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❫

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(x, y, z)ρ

θ

xy

z

z

y

x

ϕρ sin θ

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(x, y, z)ρ

θ

xy

z

z

y

x

ϕρ cos θ

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(x, y, z)

x

y

z

z

y

x

ϕ r

r

z

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F3 FORMELSAMMLUNG

Potenzreihen

ex =∞∑

n = 0

1n!

xn = 1 + 11!

x + 12!

x2 + 13!

x3 + · · · fur x ∈ IR

sin x =∞∑

n = 0

(−1)n

(2n+1)!x2n+1 = x − 1

3!x3 + 1

5!x5 − + · · · fur x ∈ IR

cosx =∞∑

n = 0

(−1)n

(2n)!x2n = 1 − 1

2!x2 + 1

4!x4 − + · · · fur x ∈ IR

sinhx =∞∑

n = 0

1(2n+1)!

x2n+1 = x + 13!

x3 + 15!

x5 + · · · fur x ∈ IR

coshx =∞∑

n = 0

1(2n)!

x2n = 1 + 12!

x2 + 14!

x4 + · · · fur x ∈ IR

arctanx =∞∑

n = 0

(−1)n

2n+1x2n+1 = x − 1

3x3 + 1

5x5 − 1

7x7 + − · · · fur |x| ≤ 1

ln(1 + x) =∞∑

n = 1

(−1)n+1

nxn = x − 1

2x2 + 1

3x3 − 1

4x4 + − · · · fur − 1 < x ≤ 1

ln(1 − x) = −∞∑

n = 1

1nxn = −(x + 1

2x2 + 1

3x3 + 1

4x4 + · · · ) fur − 1 ≤ x < 1

√1 + x =

∞∑

n = 0

(1

2n

)

xn = 1 + 12x − 1

8x2 + 1

16x3 − 5

128x4 + − · · · fur |x| ≤ 1

1√1+x

=∞∑

n = 0

(− 1

2n

)

xn = 1 − 12x + 3

8x2 − 5

16x3 + 35

128x4 − + · · · fur |x| < 1

endlichegeom. Reihe

k∑

n=0

xn = 1 + x + x2 + · · · + xk =1−xk+1

1−xfur x 6= 1

geometrischeReihe

∞∑

n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · =1

1−xfur |x| < 1

harmonischeReihe

∞∑

n=1

1nx = 1 + 1

2x + 13x + · · · konvergent ⇐⇒ x > 1

binomischeReihe

∞∑

n=0

(

rn

)

xn = 1+rx+(

r2

)

x2+(

r3

)

x3+ · · · = (1 + x)r ,|x| ≤ 1, r > 0|x| < 1, r < 0

1 +12

+13

+14

+ · · · = ∞1 − 1

2+

13− 1

4+ − · · · = ln 2

1 +11!

+12!

+13!

+ · · · = e

1 − 11!

+12!

− 13!

+ − · · · =1e

1 +12

+14

+18

+ · · · = 2

1 − 13

+15− 1

7+ − · · · =

π4

1 +122 +

132 +

142 + · · · =

π2

6

1 − 122 +

132 − 1

42 + − · · · = π2

12

1 +132 +

152 +

172 + · · · =

π2

8

wichtige Grenzwerte(n → ∞, a > 0)

(

an

)

→ 0, a > −1

n√a → 1 (n+1

n)n → e

an

n!→ 0

n√n → 1 (1 +1n

)n → enn

n!→ ∞

n√n! →∞ (1 − 1

n)n → e−1 an

nk → ∞

a > 1k fest

nn√

n!→ e (1 +

xn

)n → ex annk → 0

|a| < 1k fest

1n

n√n! → 1

e(1 − x

n)n → e−x n(n√a −1) → ln a, a > 0

FORMELSAMMLUNG F4

Differentiations– und Integrationsregeln

Produktregel: (u · v)′ = u′ · v + u · v′

(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′

partielleIntegration:

∫

u′v dx = uv −∫

uv′ dx

Quotientenregel:(uv

)

′

=u′·v−u·v′

v2

Vektorfunktionen(

λ~u)

′

= λ′~u + λ~u ′

(

~u · ~v)

′

= ~u ′ · ~v + ~u · ~v ′

(

~u × ~v)

′

= ~u ′ × ~v + ~u × ~v ′

(

~u(λ(t)))

′

= ~u ′(λ(t)) · λ′(t)

Kettenregel:(

y(x(t)))

′

=dydt

=dydx

· dxdt

= y′(x(t)) · x′(t)

Substitutionsregel:∫

f(x) dx =∫

f(g(t)) g′(t) dt , dabei ist

x = g(t)dx = g′(t) dt

f f ′

xn nxn−1

1xn

−nxn+1√

x1

2√

xn√x

1

nn√

xn−1

ex ex

ln x1x

ax ax ln a

xx xx(1+ln x)sin x cos x

cos x − sin x

tan x1

cos2 x

cot x−1

sin2 x

arcsin x1√

1−x2

arccos x−1√1−x2

arctan x1

1+x2

arccot x−1

1+x2

sinh x cosh x

cosh x sinh x

tanh x1

cosh2 x

coth x−1

sinh2 x

arsinh x1√

x2+1

arcosh x1√

x2−1, x > 1

artanh x1

1−x2 , |x| < 1

arcoth x1

1−x2 , |x| > 1

∫

g dx g

∫

xn dx =1

n+1xn+1, (n 6= −1)

∫ f ′

fdx = ln |f |

∫ 1x

dx = ln |x|∫ 1√

xdx = 2

√x

∫ dxx+a

= ln |x + a|∫ 1

3√xdx =

32

3√x2

∫ dx(x+a)2

= − 1x+a

∫

eax dx =1a

eax

∫

tan x dx = − ln | cos x|∫

x eax dx =ax−1

a2 eax

∫

sin2 ax dx =12x − 1

4asin 2ax

∫

lnx dx = x ln x − x∫

cos2 ax dx =12x +

14a

sin 2ax∫

x ln x dx = x2(ln x2

− 14)

∫

ln2 x dx = x ln2 x − 2x lnx + 2x∫

sin ax cos ax dx =12a

sin2 ax∫ dx

sin ax cos ax=

1a

ln | tan ax|∫

eax sin bx dx =eax

a2+b2(a sin bx − b cos bx)

∫

eax cos bx dx =eax

a2+b2(a cos bx + b sin bx)

∫

x sin ax dx =1a2 sin ax − x

acos ax

∫

x cos ax dx =1a2 cos ax +

xa

sin ax

Bezeichnungen: X = ax2 + bx + c, ∆ = 4ac − b2, a 6= 0

∫

dxX

=

2√∆

arctan2ax+b√

∆(∆ > 0)

−2√−∆

artanh2ax+b√−∆

1√−∆

ln2ax+b−

√−∆

2ax+b+√−∆

(∆ < 0)

−22ax+b

(∆ = 0)

∫

dxX2 =

2ax+b∆X

+2a∆

∫

dxX

∫

x dxX

=12a

ln |X| − b2a

∫

dxX

∫ √x2 + a2 dx =

12

(

x√

x2 + a2 + a2arsinhxa

)

=12

(

x√

x2 + a2 + a2 ln(x +√

x2 + a2 ))

∫ √x2 − a2 dx =

12

(

x√

x2 − a2 − a2arcoshxa

)

=12

(

x√

x2 − a2 − a2 ln(x +√

x2 − a2 ))

∫ √a2 − x2 dx =

12

(

x√

a2 − x2 + a2 arcsinxa

)

FO R MELN + HI LFE N

HOHERE MATHEMATIK

7. Auflage

Alle Rechte vorbehalten.

Binomi Verlag Schutzenstr. 9, 30890 Barsinghausen

Internet www.binomi.de

E–Mail [email protected]

Telefon 05105 6624000

Telefax 05105 515798

Druck BWH GmbH Die Publishing Company, www.bw-h.de

Zu beziehen beim Verlag oder im Buchhandel

ISBN 978–3–923 923–36–6

Hannover 1/14

FO R MELN + HI LFE N

HOHERE MATHEMATIK

Gerhard Merziger

Gunter Muhlbach

Detlef Wille

Thomas Wirth

Griechisches Alphabet

A α alpha I ι iota P ρ rho

B β beta K κ kappa Σ σ sigma

Γ γ gamma Λ λ lambda T τ tau

∆ δ delta M µ mu Υ υ upsilon

E ǫ epsilon N ν nu Φ ϕ phi

Z ζ zeta Ξ ξ xi X χ chi

H η eta O o omicron Ψ ψ psi

Θ θ theta Π π pi Ω ω omega

Deutsches AlphabetA a a J j j S sB b b K k k T t tC c L l l U u uD d d M m m V v vE e e N n n W w wF f f O o o X x xG g g P p p Y y yH h h Q q q Z z zI i i R r r

Vorwort

Diese beliebte Formelsammlung enthalt die wichtigen Formeln zur Hoheren Mathematik.Zahlreiche Beispiele erleichtern das Verstandnis und sind so eine wesentliche Hilfe beim:

• Anfertigen von Ubungen

• Bewaltigen von Klausuren

• Vorbereiten auf Prufungen

Die Seiten von FORMELN +HILFEN sind kompakt gestaltet. Wir haben uns bemuht,auf jeder Seite moglichst viele Informationen unterzubringen. Wesentliche Zusammenhangewerden optisch herausgestellt und durch zahlreiche Beispiele und Skizzen verdeutlicht.

Ein besonderes Problem bei Formelsammlungen ist das schnelle Auffinden des Gesuchten.Neben der Griffleiste wird vor allem der ausfuhrlich angelegte Index nutzlich sein.

Haufig benotigte Formeln stehen auch auf den Seiten F1 vorne und F2, F3, F4 hinten.

Naturlich konnen wir bei aller verwendeten Sorgfalt Fehler nicht ausschließen. Fur etwaigeHinweise und Anregungen sind wir dankbar. Fehlerverzeichnis auf www.binomi.de

Wir sind uberzeugt, dass F+H ein nutzlicher und hilfreicher Begleiter auch uber Ihr Studiumhinaus ist.

F+H ist als Ubersetzung auch in Japan erhaltlich (ISBN 978-4-254-11138-5).

Die Verfasser

Zitierte Literatur:

HM Merziger/Wirth Repetitorium Hohere Mathematik

EMMerziger/HolzTimmann/Wille

Repetitorium Elementare Mathematik 1, 2

LA Holz/Wille Repetitorium Lineare Algebra 1, 2

ANA Timmann Repetitorium Analysis 1, 2

DGL Timmann Repetitorium gewohnliche Differentialgleichungen

FU Timmann Repetitorium Funktionentheorie

TOP Timmann Repetitorium Topologie und Funktionalanalysis

NU Feldmann Repetitorium Numerische Mathematik

STO Muhlbach Repetitorium Stochastik

Probeseiten auf www.binomi.de

Alle Bucher portofrei zum Ladenpreis direkt beim Binomi Verlag

www.binomi.de Tel: 05105 6624000 30890 Barsinghausen

[email protected] Fax: 05105 515798 Schutzenstr. 9

6 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA

1 Arithmetik und Algebra

1.1 Reelle Zahlen

Potenzen, Wurzeln

Fur beliebige u, v ∈ IR gelten (falls die entsprechenden Ausdrucke definiert sind,z.B. ist

√x in IR nur fur x ≥ 0 definiert) folgende Regeln (x0 = 1 fur x 6= 0):

Zahlenbeispiele Zahlenbeispiele

xu · xv = xu+v 23 · 25=23+5 =28 (xu)v = xu·v (22)3 = 22·3 = 26

xu

xv = xu−v 23

22 = 23−2 = 2 v√

x = x1/v 2√9 =√

9 =91/2 = 3

x−v = 1xv

2−3 =123 =

18

v√

xu = xu/v 2√36 = 36/2 = 33

(xy)u = xuyu (2 · 3)4 = 24 · 34 v√

xy = v√

x v√

y 3√8π = 2 3√π(xy

)u= xu

yu(2

3

)−2= 2−2

3−2 = 94

v√xy =

v√xv√y

3√

98

=3√93√8

=3

2 3√3

Es ist 223:= 2(23) = 28 = 256, aber (22)3 = 22·3 = 26 = 64.

Logarithmen

a: allgemeine Basis, mit 0 < a 6= 1. loga x ist def. fur x > 0.

e = 2, 718281 . . . : Basis der naturl. Logarithmen. lnx := loge x, fur x > 0.

b = loga c ⇐⇒ ab = c ab = eb lna

loga xy = loga x+ loga y

logaxy = loga x− loga y

loga xr = r loga x

logar√x = 1

rloga x

aloga x = xeln x = x

, fur x > 0

loga a = ln e = 1 loga 1 = ln 1 = 0 loga1a

= ln 1e

= −1 logan x = 1n

loga x

Logarithmen zu verschiedenen Basen

loga x =logb xlogb a

speziell: loga b =1

logb aund loga x =

lnxln a

1.1 Reelle Zahlen 7

Fakultat n!

Das Produkt der naturlichen Zahlen von 1 bis n bezeichnet man mit n!

Lies: n–Fakultat. Aus Zweckmaßigkeitsgrunden setzt man zusatzlich 0! = 1.

n–Fakultat

n! = 1 · 2 · 3 · · ·n(n+ 1)! = n! · (n+ 1)

0! = 1

Beispiele

0! = 11! = 12! = 23! = 64! = 24

5! = 1206! = 7207! = 5 0408! = 40 3209! = 362 880

Stirlingsche Formelzur naherungsweisenBerechnung von n!

n! ≈(n

e)n√

2πn

9! ≈ 359 537

Binomialkoeffizienten(nk

)

Die als Faktoren der Potenzen des Binoms (a + b) auftretenden Koeffizienten

heißen Binomialkoeffizienten. Man schreibt fur sie:(nk

)

, lies: ”n uber k ”.

Fur n = 0, 1, 2, . . . und k = 0, . . . , n ist

n uber k(nk

)

=n!

(n−k)! · k!(n0

)

=(nn

)

= 1(n1

)

=(

nn− 1

)

= n(n2

)

=(

nn− 2

)

=n(n−1)

2

(nk

)

=n(n−1)···(n−k+1)

k!

z.B.:

(40

)

= 4!4! · 0! = 1

(41

)

= 4!3! · 1! = 4

(42

)

= 4!2! · 2! = 6

(43

)

= 4!1! · 3! = 4

(44

)

= 4!0! · 4! = 1

(496

)

= 49!43! · 6!

= 49·48·47·46·45·441·2·3·4·5·6 = 13 983 816

(nk

)

+(

nk + 1

)

=(n+ 1k + 1

)

(nk

)

=(

nn− k

)

n∑

k=0

(nk

)

= 2n

n∑

k=0

(−1)k(nk

)

= 0

(42

)

+(43

)

=(53

)

6 + 4 = 10

Bildungsgesetz desPascalschen Dreiecks

(53

)

= 5·4·31·2·3 = 5·4

1·2 =(52

)Symmetrie desPascalschen Dreiecks

(30

)

+(31

)

+(32

)

+(33

)

=23

1 + 3 + 3 + 1 = 8

Zeilensumme desPascalschen Dreiecks

(30

)

−(31

)

+(32

)

−(33

)

=0

1 − 3 + 3 − 1 =0

alternierendeZeilensumme desPascalschen Dreiecks


Pascalsches Dreieck zur Berechnung der Binomialkoeffizienten(nk

)

n Binomialkoeffizienten(nk

) Zeilen-Summe

0 Jede Zahl ist Summe der zweilinks und rechts uber ihrstehenden Zahlen.

z.B.: 6 + 4 = 10

1 20 = 1

1 1 1 21 = 2

2 1 2 1 22 = 4

3 1 3 3 1 23 = 8

4 1 4 6 + 4 1 24 = 16ց ւ5 1 5 10 10 5 1 25 = 32

6 1 6 15 20 15 6 1 26 = 64↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑(60

) (61

) (62

) (63

) (64

) (65

) (66

)

26 =6∑

k=0

(6k

)

binomische Formel (a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

an−kbk, n ∈ IN

(a+ b)n =(n0

)

an +(n1

)

an−1b1 +(n2

)

an−2b2 + · · ·+(nk

)

an−kbk + · · ·+(nn

)

bn

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 =(20

)

a2 +(21

)

ab+(22

)

b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 =(30

)

a3 +(31

)

a2b+(32

)

ab2 +(33

)

b3

· · · · · ·(a+ b)6 =

(60

)

a6 +(61

)

a5b1 +(62

)

a4b2 +(63

)

a3b3 +(64

)

a2b4 +(65

)

a1b5 +(66

)

b6

1 a6 + 6 a5b + 15 a4b2 + 20 a3b3 + 15 a2b4 + 6 ab5 + 1 b6=

Speziell:

(1 + x)n =(n0

)

+(n1

)

x+(n2

)

x2 + @· · ·+(nk

)

xk + · · ·+(

nn− 1

)

xn−1 +(nn

)

xn

= 1 + nx +n(n−1)

2x2 + @ · · · + nxn−1 + xn

(1 + x)2 = 1 + 2x+ x2

(1 + x)3 = 1 + 3x+ 3x2 + x3

(1 + x)4 = 1 + 4x+ 6x2 + 4x3 + x4

(1 + x)5 = 1 + 5x+ 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5

(1 + x)6 = 1 + 6x+ 15x2 + 20x3 + 15x4 + 6x5 + x6

Ersetzt man x durch −x, so alternieren die Vorzeichen, z.B.:

(1− x)6 = 1− 6x+ 15x2 − 20x3 + 15x4 − 6x5 + x6

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b+ 3ab2 + 3a2c+ 3ac2 + 3b2c+ 3bc2 + 6abc

1.1 Reelle Zahlen 9(rk

)

– zunachst nur fur r ∈ IN erklart – wird folgendermaßen fur alle r ∈ IR definiert:

allgemeine Binomialkoeffizienten(rk

)

Fur r ∈ IR und k = 1, 2, . . . ist

r uber k(rk

)

=r(r−1)···(r−k+1)

k!

(r0

)

= 1(r1

)

= r

(1/2n

)

=(−1)n+1(2n)!

22n(n!)2(2n−1)(−1/2n

)

=(−1)n(2n)!22n(n!)2

z.B.:

(53

)

= 5·4·33!

= 10(1.43

)

=1.4·0.4·(−0.6)

3!= −0.056

(−23

)

=(−2)·(−3)·(−4)

3!= −4

(π2

)

=π·(π−1)

2!≈ 3.364

(1/22

)

=12 ·(− 1

2 )

2!= −1

8(−1/2

2

)

=(− 1

2 )·(− 32 )

2! =38

allgemeine binomische Formel, binomische Reihe

(1 + x)r =

∞∑

k=0

(rk

)

xk =(r0

)

+(r1

)

x+(r2

)

x2+(r3

)

x3+· · · , fur |x| < 1

= 1 + rx+r(r−1)

1·2 x2 +r(r−1)(r−2)

1·2·3 x3 + · · ·

11+x =

∑∞k=0

(−1k

)xk = 1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 +− · · · fur |x| < 1

√1 + x =

∑∞k=0

(1/2k

)xk =

(1/20

)+(1/2

1

)x+

(1/22

)x2 +

(1/23

)x3 + · · ·

= 1 + 12x− 1

8x2 + 1

16x3 − 5

128x4 +− · · ·fur |x| < 1

1√1+x

=∑∞k=0

(−1/2k

)xk =

(−1/20

)+(−1/2

1

)x+(−1/2

2

)x2+

(−1/23

)x3+· · ·

= 1− 12x+ 3

8x2 − 5

16x3 + 35

128x4 −+ · · ·fur |x| < 1

Siehe auch Potenzreihen, Seiten 79–83 und geometrische Reihe, Seite 80

Γ–Funktion Γ(x)

x

y

y = Γ(x)

123

-1-2-3-4

1 2-1-2-3-4

.................

........

.....

........

...

......................................... ...... ........ ...... ....... ..... ...... ....... ....... ............ .............

.........................................................

................

...................

........................................................

.

.........

...

........

....

.............

...............................................................

.............

.

.........................

............

........

....................

...............................................

.............

........

.....

........

......

........

........

.

........

........

....

.

........

......

........................................................

......

........

Γ(x) =

∫ ∞

0e−ttx−1 dt , x > 0

limn→∞

n!nx−1

x(x+1)(x+2)···(x+n−1) ,x 6=0,−1,−2, · · ·(Polstellen)

Eigenschaften:

Γ(x+1) = x · Γ(x) , x ∈ IR

Γ(n) = (n− 1)! , n ∈ IN

Γ(x) · Γ(1− x) =π

sinπx

Γ(x) · Γ(x+12) =

√π

22x−1 Γ(2x)

Γ(12) =

√π

Γ(−12) = −2

√π

Γ(32) =

12

√π


Rechnen mit Ungleichungen

a < b =⇒

a+ c < b+ c , fur alle c ∈ IR

a · c <> b · c , fur c >< 0

1a><

1b , fur ab >< 0

Addition einer Zahl

Multiplikation mit pos.neg. Zahl

Kehrwert: a, b gleichesungleiches Vorzeichen

a < b , c < d =⇒ a+ c < b+ d0 < a < b , 0 < c < d =⇒ a · c < b · d

Addition / Multiplikationgleichgerichteter Ungleichungen

fur alle n ∈ IN gilt: 0 ≤ a < b=⇒ an < bn

=⇒ n√a < n√b Monotonie vonPotenzWurzel

Diese Regeln gelten auch, wenn ”< ” durch ”≤ ” ersetzt wird!

Wichtige Ungleichungen

geometrisches ≤ arithmetisches Mittel

n√x1 · · ·xn︸︷︷︸

geometr. Mittel

≤ x1+···+xnn

︸︷︷︸

arithm. Mittel

, xi ≥ 0 speziell:√ab ≤ a+b

2, fur a, b ≥ 0

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x1 = x2 = · · · = xn bzw. a = b ist.

Bernoullische Ungleichung (1 + x)n ≥ 1 + nx , fur n ∈ IN, x ≥ −2

Cauchy–SchwarzscheUngleichung

( n∑

k = 1

xk · yk)2

≤n∑

k = 1

x2k ·

n∑

k = 1

y2k , fur xk, yk ∈ IR

(~x · ~y )2 ≤ ~x2 · ~y 2 , fur ~x, ~y ∈ IRn

|~x · ~y | ≤ |~x| · |~y |

MinkowskischeUngleichung

√n∑

k = 1

(xk+yk)2 ≤

√n∑

k = 1

x2k +

√n∑

k = 1

y2k , fur xk, yk ∈ IR

∣∣|~x|−|~y |

∣∣ ≤ |~x±~y | ≤ |~x|+|~y | Dreiecksungleichung, ~x, ~y ∈ IRn

Wichtige Ungleichungen fur

e–Funktion und Logarithmus

x+ 1 ≤ ex ≤ 11−x , fur x < 1,

x−1x≤ ln x ≤ x− 1 , fur x > 0.

x

y

x−1x

11−x

x− 1

x+ 1

ln x

ex

1−1

1

−1

1.1 Reelle Zahlen 11

Betrag

|x| :=

x , fur x ≥ 0−x , fur x < 0

x

y

.

..............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

y = −xy = x

y = |x|

|x| = | − x| =√x2

|x · y| = |x| · |y| und∣∣xy

∣∣ =

|x||y| , fur y 6= 0.

∣∣ |x| − |y|

∣∣ ≤ |x± y| ≤ |x|+ |y| Dreiecksungleichung

|x| ist der Abstand der Zahl x vom Nullpunkt und|x− a| ist der Abstand der Zahl x von der Zahl a.

quadratische Gleichung

p, q–Formel

x2 + px+ q = 0 ⇐⇒ x1,2 = −p2±√

p2

4− q

ax2 + bx+ c = 0 ⇐⇒ x1,2 =−b±√b2−4ac2a

Diskriminante:

D =p2

4 − q

Diskriminante:

D = b2 − 4ac

Die quadratische Gleichung

x2 + px+ q = 0

hatBeispiele

zwei verschiedene

Losungen⇐⇒ D > 0

x2 + 2x− 1 = 0

D = 2 > 0

x1,2 = −1±√

2

eine doppelte Losung ⇐⇒ D = 0

x2 + 2x+ 1 = 0

D = 0x1,2 = −1

keine (reelle) Losungzwei konjugiert

komplexe Losungen

⇐⇒ D < 0x2 + 2x+ 2 = 0

D = −1 < 0x1,2 = −1± i

Parabel

y = x2 + px+ q

x

y

−1

−2

−1

x

y

−1

1

x

y

−1

2

1

Sind x1, x2 die Losungen der quadratischen Gleichung x2 + px+ q = 0, so gilt:

x2 + px+ q = (x− x1)(x− x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2

Vietascher Wurzelsatz:x1 + x2 = −p = Summe der Nullstellen

x1 · x2 = q = Produkt der Nullstellen

Heronsches Wurzelziehen: Naherungsweise Berechnung von√a fur a > 0:

Die rekursive Folge a0 = 1, an+1 = 12(an + a

an) konvergiert gegen

√a .

Allgemein: a0 = 1, an+1 = 1k

((k − 1)an + a

ak−1n

)konvergiert gegen k√a .


kubische Gleichung

x3 + ax2 + bx+ c = 0 Normalform

Subst.: x = y − a3

ergibt y3 + py + q = 0 reduzierte Form

dabei ist p =3b−a2

3 und q =2a3

27 −ab3 + c.

Diskriminante:

D =(p

3

)3+( q2

)2

Losungen der kubischen Gleichung

D > 0 eine reelle, zwei konjugiert komplexe LosungenD = 0 drei reelle Losungen, mindest. zwei gleiche LosungenD < 0 drei paarweise verschiedene reelle Losungen

Cardanosche Formeln : Man berechnet (u reell wahlen, falls moglich!)

u := 3√

−12q +√D

v := − p3u (v = 0 , falls u = 0)

, setzt 1,2 := −12± 1

2

√3 i und erhalt die

Losungen derreduzierten Form:

y1 = u+ v

y2 = −12(u+ v) + 1

2(u − v)

√3 i = 1u+ 2v

y3 = −12(u+ v)− 1

2(u − v)

√3 i = 2u+ 1v

Die Losungen der Normalform sind dann (k = 1, 2, 3): xk = yk − a3

Ist D < 0, so hat die kubische Gleichung drei reelle Losungen. Benutzt man obige Formeln,

muß man komplex rechnen, da√D nicht reell ist. Dies laßt sich wie folgt vermeiden:

Man berechnet(falls D < 0)

(siehe Beispiel 2)

r :=√

−(p3)3

cosϕ := − q2r

und erhalt:

y1 = 2 3√r cosϕ3

y2 = 2 3√r cos(ϕ3

+ 2π3

)

y3 = 2 3√r cos(ϕ3

+ 4π3

)

Die Losungen der Normalform sind wieder (k = 1, 2, 3): xk = yk − a3

Beispiel 1 Man lose die kubische Gleichung 3x3 + 16.3594x2 + 82.9241x − 1.2997 = 0.

x3 + 5.4531x2 + 27.6414x − 0.4332 = 0 Normalform, Subst.: x = y − 5.45313

y3 + 17.7292y − 38.6655 = 0 reduzierte Form

Diskriminante D = 580.1516 > 0 (also 1 reelle, 2 konjugiert komplexe Losungen)

u = 3.5147v = −1.6814

=⇒y1 = 1.8333y2 = −0.9167 − 4.5iy3 = −0.9167 + 4.5i

=⇒x1 = 0.0156x2 = −2.7344 − 4.5ix3 = −2.7344 + 4.5i

Beispiel 2 Man lose die kubische Gleichung 18x3 + 9x2 − 17x+ 4 = 0.

x3 + 0.5x2 − 0.9444x + 0.2222 = 0 Normalform, Subst.: x = y − 0.53

= y − 0.1667

y3 − 1.0278y + 0.3889 = 0 reduzierte Form

Diskriminante D = −0.0024 < 0 (also drei verschiedene reelle Los.) reelle Rechnung:

r =√

−(p3)3 = 0.2005

cosϕ = − q2r

= −0.9697

ϕ = arccos(− q2r

) = 2.8947

=⇒y1 = 0.6667y2 = −1.1667y3 = 0.5

=⇒x1 = 0.5 = 1/2x2 = −1.3333 = −4/3x3 = 0.3333 = 1/3


Gleichung vierten Grades

x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0 Normalform

Subst.: x = y − a4

y4 + py2 + qy + r = 0 reduzierte Form

z3 + 2pz2 + (p2 − 4r)z − q2 = 0 kubische Resolvente

dabei ist p = b− 38a2, q = c− ab

2+ a3

8, r = d− ac

4+ a2b

16− 3a4

256.

Das Losungsverhalten der Gleichung vierten Grades hangtvom Losungsverhalten ihrer kubischen Resolventen ab,deren Losungen man zunachst berechnet (siehe kubische Gleichung, Seite 12):

kubische Resolvente Gleichung vierten Grades

alle Losungen reell und positiv∗) vier reelle Losungen

alle Losungen reell, eine positiv, zwei negativ∗) zwei Paare konjugiert komplexer Losungen

eine Losung reell, zwei konjugiert komplex zwei reelle, zwei konj. komplexe Losungen

Sind z1, z2, z3 die Losungen der kubischen Resolvente (Seite 12), berechnet man

w1 als eine Losung von w2 = z1

w2 als eine Losung von w2 = z2 und setzt

w3 = − qw1·w2

(dann ist w3 eine Losung von w2 = z3.w3 = 0, falls w1 · w2 = 0.

)

Die Losungen der reduzierten Formerhalt man dann in der Form:

y1 = (+w1 + w2 + w3)/2y2 = (+w1 − w2 − w3)/2y3 = (−w1 + w2 − w3)/2y4 = (−w1 − w2 + w3)/2

Die Losungen der Normalform sind dann fur k = 1, 2, 3, 4: xk = yk − a4

Beispiel Man lose die Gleichung vierten Grades 4x4 + 15x3 + 32x2 + 31x− 10 = 0.

x4 + 3.75x3 + 8x2 + 7.75x − 2.5 = 0 Normalform, Subst.: x = y− 3.754

= y−0.9375

y4 + 2.7266y2 − 0.6582y − 5.0518 = 0 reduzierte Form

z3 + 5.4531z2 + 27.6414z − 0.4332 = 0 kubische Resolvente, (siehe vorige Seite!)

z1 = 0.0156z2 =−2.7344−4.5iz3 =−2.7344+4.5i

=⇒w1 = 0.125w2 =−1.125+2iw3 =−1.125−2i

=⇒y1 =−1.0625y2 =−1.1875y3 =−0.0625+2iy4 =−0.0625−2i

=⇒x1 =−2x2 = 0.25x3 =−1+2ix4 =−1−2i

∗)Nach Vieta ist das Produkt der Losungen positiv: z1z2z3 = q2 > 0.

Fur Gleichungen hoheren als vierten Grades gibt eskeine allgemeinen Auflosungsformeln!


Nullstellen von Polynomen mit ganzen Koeffizienten

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

Ist f(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten (alle ai ∈ ZZ), dann gilt:

(1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von a0.f(x0) = 0 und x0 ∈ ZZ =⇒ x0 | a0.

Ist außerdem der Hauptkoeffizient an = 1, so gilt:

(2) Jede rationale Nullstelle ist eine ganze Zahl und zwar ein Teiler von a0.f(x0) = 0 und x0 ∈ Q =⇒ x0 ∈ ZZ und x0|a0.

Ist f(x) = xn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ein Polynom mit ganzen Koeffizienten (alle

ai ∈ ZZ, an = 1), so probiert man – z.B. mit HORNER – alle Teiler von a0 und findet

so alle rationalen Nullstellen. Bleibt nach dem Abspalten der zugehorigen Linearfakto-

ren (HORNER Seite 15, Schulmethode, Polynomdivision) ein Polynom hoheren als 2–ten

Grades, wahlt man Naherungsverfahren, um evtl. weitere reelle (irrationale) Nullstellen

zu bestimmen.

Ist f ein Polynom mit ganzen Koeffizienten, aber an 6= 1, siehe zweites Beispiel.

Beispiel

Man rate Nullstellen des Polynoms x3 − 3x2 + x− 3.

Die Teiler von −3 sind: ±1,±3.

Probieren (HORNER) zeigt: x1 = 3 ist eine Nullstelle von x3 − 3x2 + x− 3.Division (HORNER) liefert: (x3 − 3x2 + x− 3) : (x− 3) = x2 + 1.

Da x2 + 1 keine reellen Nullstellen hat, ist x1 = 3 die einzige reelle Nullstelle von

x3 − 3x2 + x− 3 und es gilt: x3 − 3x2 + x− 3 = (x − 3)(x2 + 1).

Beispiel

Man rate alle Nullstellen des Polynoms 6x4 + 7x3 − 13x2 − 4x+ 4.

Die Teiler von 4 sind: ±1, ±2, ±4. Die Teiler von 6 sind: ±1, ±2, ±3, ±6.

Ist die (gekurzte!) rationale Zahlpq eine Nullstelle des Polynoms


n−1 + · · ·+ a1x+ a0,so muß p ein Teiler von a0 (= 4) und q ein Teiler von an (= 6) sein.

Es kommen also als rationale Nullstellen nur folgende Bruchepq in Frage:

pq

= ±1, ±12, ± 1

3 , ±16, ±2, ± 2

3 , ±4, ±43.

Einsetzen (HORNER) liefert alle Nullstellen: 1,12, −2, −2

3.

Es gilt 6x4 + 7x3 − 13x2 − 4x+ 4 = 6(x− 1)(x− 12)(x+ 2)(x+ 2

3)

= (x− 1)(2x− 1)(x+ 2)(3x+ 2).


Das HORNER–Schema ist ein Rechenverfahren, mit dem man fur ein Polynom


n−1 + · · ·+ a1x+ a0

an der Stelle x0 mit minimalem Rechenaufwand folgendes berechnet:

(1) Funktionswert f(x0)

(2) Division von f(x) durch den Linearfaktor x− x0, alsof(x)x−x0

(3) Ableitungen f ′(x0), f′′(x0), . . . , f

(n)(x0)

(4) Taylorentwicklung von f an der Stelle x0

Man schreibt die Koeffizienten des Polynoms f(x) in absteigender Reihenfolge

an, an−1, . . . , a0 hintereinander (ak = 0 nicht vergessen, falls die Potenz xk fehlt!), schreibt

dann x0 vor die zweite Zeile, beginnt die dritte Zeile mit an und geht jeweils mit x0 mul-

tiplizierend in der durch die Pfeile (siehe Beispiel) angedeuteten Weise vor. Die uber dem

waagerechten Strich untereinanderstehenden Zahlen sind zu addieren, die Summe ist mit x0

zu multiplizieren, usw.

Beispiel Fur f(x) = x3 − x2 − 9x+ 13 berechne man f(3) undf(x)x−3 .

HORNER–Schema

f(x) = x3 − x2 − 9x+ 13, x0 = 3

1 −1 −9 13 +x0 = 3 ր3 ր6 ր− 9 +

3 · 1 3 · 2 3 · (−3)

1ր 2ր −3ր 4 = f(3)Man liest ab:

(1) Schlußzahl der dritten Zeile ist der Funktionswert f(x0) hier: f(3) = 4.

(2) Die ubrigen Zahlen der dritten Zeile sind die Koeffizienten des Polynomsg(x), das man bei Division von f(x) durch den Linearfaktor x− x0 erhalt

f(x)x−x0

= g(x) +f(x0)x−x0

hier:x3−x2−9x+13

x−3 = 1x2 + 2x−3 +4

x− 3.

f(x) ist genau dann ohne Rest durch x− x0 teilbar, wenn f(x0) = 0 ist.

Das HORNER–Schema laßt sich auch im Komplexen verwenden:

Beispiel

Fur das Polynom f(z) = z3− (1+ i)z2− (2− i)z+2i berechne man f(i) undf(z)z−i .

HORNER–Schema im Komplexen

1 −1− i −2 + i 2iz0 = i i −i −2i

1 −1 −2 0 = f(i)und

f(z)z−i = z2 − z − 2.


Beispiel

Fur das Polynom f(x) = 2x4 − x3 − x− 18 berechne man

f(2), f ′(2), f ′′(2), f (3)(2), f (4)(2), sowief(x)x−2 und die Taylorentwicklung

von f an der Stelle x0 = 2 (Umordnung von f nach Potenzen von x− 2).

Vollstandiges HORNER–Schema

2 −1 0 −1 −18 +x0 = 2 ր4 ր6 12 22 +

2 · 2 2 · 3

2ր 3ր 6 11 4 =f(2)0!

=⇒ f(2) = 4

x0 = 2 ր4 14 402 · 2

2ր 7 20 51 =f ′(2)

1!=⇒ f ′(2) = 51

x0 = 2 4 22

2 11 42 =f ′′(2)

2!=⇒ f ′′(2) = 42 · 2! = 84

x0 = 2 4

2 15 =f(3)(2)

3!=⇒ f (3)(2) = 15 · 3! = 90

x0 = 2

2 =f(4)(2)

4!=⇒ f (4)(2) = 2 · 4! = 48

Man liest ab:

(1) Schlußzahl der dritten Zeile ist der Funktionswert f(x0) hier f(2) = 4.

(2) Die ubrigen Zahlen der dritten Zeile sind die Koeffizienten des Polynomsg(x), das man bei Division von f(x) durch den Linearfakt. x− x0 erhalt:

f(x)x−x0

= g(x) +f(x0)x−x0

hier2x4−x3−x−18

x−2 = 2x3 + 3x2 + 6x+ 11 +4

x−2 .

(3) Ableitungen: f ′(2) = 51, f ′′(2) = 84, f ′′′(2) = 90, f ′′′′(2) = 48.

(4) Die Koeffizienten der Taylorentwicklung sind die umrahmten Zahlendes Horner–Schemas:

f(x)= 2x4−x3−x−18︸︷︷︸

f geordnet nachPotenzen von x.

= 2 (x−2)4+ 15 (x−2)3+ 42 (x−2)2+ 51 (x−2)+ 4︸︷︷︸

Taylorentwicklungvon f an der Stelle 2.

=f umgeordnet nachPotenzen von (x− 2).

(5) Alle Koeffizienten der Umordnung nach Potenzen von (x− 2) sind ≥ 0,also: Keine Nullstelle von f ist > 2.

Beispiel (Euklidischer Algorithmus): Man bestimme den großten gemeinsamen

Teiler ggT (42, 9) von 42 und 9, und lose die diophantische Gleichung 42x+9y =ggT (42, 9).

Division mit Rest:42 = 4 · 9 + 69 = 1 · 6 + 36 = 2 · 3⇒ 3 = ggT(42, 9).

Einsetzen liefert:3 = 9− 1 · 63 = 9− 1 · (42− 4 · 9)3 = −1 · 42 + 5 · 9ggT als Vielfachsumme.

alle Losungen der diophantischenGleichung [EM 1, Seite 37 ff, 47 ff.]

42x + 9y = 3 bzw. 14x + 3y = 1 sind:

(x, y) = (−1, 5) +m(3,−14), m ∈ ZZ.

17

2 Geometrie

2.1 Winkel, Dreieck, Viereck, n–Eck

Winkel

Umrechnung: Gradmaß – Bogenmaß

Es besteht folgender Zusammenhang zwischen dem

• Winkel α in Grad und der

• Lange b des zugehorigen Kreisbogens am Einheitskreis:

α180 =

bπ

α=bπ 180 , b = 1 =⇒ α =

180

π ≈ 57.296

b =α

180π , α = 1 =⇒ b =1

180π ≈ 0.017

1

1

αb

Benutzt man einen Taschenrechner, vergewissere man sich, ob er aufWinkel im Gradmaß (DEG) oder im Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

Werden Parallelen von einerGeraden geschnitten, so sindje zwei der Winkel gleich odererganzen sich zu 1800.

α4

α1β1

β3

α2

α1 + β1 = 1800 Nebenwinkelα1 = α2 Scheitelwinkelβ1 = β3 Stufenwinkelα1 = α4 Wechselwinkel

SA

C

B

DStrahlensatz

SA : SC = SB : SD = AB : CD

Dreieck

Kongruenzsatze

Zwei Dreiecke sind kongruent,wenn sie ubereinstimmen in:

SymbolBerechnungder fehlendenSeiten/Winkel

(1) drei Seiten (sss) Kosinussatz

(2) zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) Kosinussatz

(3) einer Seite und zwei Winkeln(wsw)(sww)

Sinussatz

(4) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der großeren Seite (SsW) Sinussatz

Ahnlichkeitssatze:

Zwei Dreiecke sind ahnlich, wenn sie ubereinstimmen

(1) im Verhaltnis dreier Seiten,(2) im Verhaltnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel,(3) in zwei Winkeln,(4) im Verhaltnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der großeren Seite.

18 2 GEOMETRIE

rechtwinkliges Dreieck.

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

.....................

α β

b a

c

h

pq

c2

b2 a2

cab

pq

h2

ph

q cq cp

b2 a2

q p

a = c sinα, h = b sinαb = c cosα

F = 12a2 tanβ = 1

2ab

= 12a2 cotα

ri = 12(a+ b− c)

Pythagoras

a2 + b2 = c2

Hohensatz

Euklid

h2 = pq

Kathetensatz

a2 = cp , b2 = cq

gleichseitigesDreieck

Flache F =√

34a2 Hohe h =

√32a

Radius

Inkreis ri =√

36a

Umkreis ru =√

33a

, ri = 12ru

, ri + ru = h

.

..............................

..............................

..............................

.................

.....................................................h ri

ru

a

aa

.

.......................................................................................................................................................................................

.

.......................................................................................................................................................................................

allgemeines Dreieck

Kosinussatz

c2 = a2+b2−2ab cos γ

.

........................

........................

........................

........................

........................

........................

........................

........................

........................

........................

........................

................

α

β

γ

c

hc

ba

Sinussatz

asin α

=b

sin β=

csin γ

= 2ru

Flache F = 12chc = 1

2ab sin γ = ris =

abc4ru

hc = Hohe

s = 12(a+ b+ c)

=√

s(s− a)(s− b)(s− c)

= a2 sinβ sin γ2 sinα

= 2ru sinα sinβ sin γ

Umfang U = a+ b+ c = 2s = 8ru cos α2

cosβ2

cosγ2

Winkelsumme α+ β + γ = 1800

Radius

Inkreis ri = 4ru sin α2

sinβ2

sinγ2

Umkreis ru =abc4F =

a2 sinα =

b2 sinβ =

c2 sin γ

•

•

αβ

γ

M

W

ru

ri

c

ab

....................................................................................................................................................................................................

x

y

.

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

•

••

A B

C

H S M1

2

2

1

Schnittpunkt derHohen = HSeitenhalbierenden = S = SchwerpunktWinkelhalbierenden = W = Mittelpkt. des InkreisesMittelsenkrechten = M = Mittelpkt. des Umkreises

S teilt jede Seitenhalbierende im Verhaltnis 2 : 1.H,S,M liegen auf einer Geraden (Eulersche Gerade).Es ist HS : SM = 2 : 1.

2.1 Winkel, Dreieck, Viereck, n–Eck 19

Lange der

Winkelhalbierenden: Wα =1b+c

√

bc((b+ c)2 − a2

)

Seitenhalbierenden: Sa =12

√

2(b2 + c2)− a2

.

.................................................................................................................................................................................

..........................................

.

.................................................................................................................................................................

.............................

b

c

a

A B

C

αSa

Wα

THALES – SatzJeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel.

.

.............................................................................................................................................................................. .

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Viereck

allgemeines Viereck

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..................................................

.................................

............................ .

....................................................................................................................................

.

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

..

α

•

•

a

b

c

d

d1

d2

m

Winkelsumme = 3600

Flache F =12d1d2 sinα

a2 + b2 + c2 + d2 = d21 + d2

2 + 4m2

m:Lange der Verbindungslinieder Mittelpunkte der Diagonalen

Parallelogramm Winkel α+ β = 1800

Hohe h = b sinα = b sin β

Diagonalen d21 + d2

2 = 2(a2 + b2)

Flache F = ah = ab sinα.

..........................

...............

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................α

β

a

a

hb bd1 d2

Ein Viereck ist ein Parallelogramm ⇐⇒⇐⇒ je zwei gegenuberliegende Seiten sind gleich lang ⇐⇒ je zwei gegenuberliegendeSeiten sind parallel ⇐⇒ je zwei gegenuberliegende Winkel sind gleich ⇐⇒ zwei ge-genuberliegende Seiten sind parallel und gleich lang ⇐⇒ die Diagonalen halbieren sich.

Rhombus (Raute) Hohe h = a sinα = a sin β

Diagonalen d21 + d2

2 = 4a2

d1 = 2a cosα2

d2 = 2a sinα2

Flache F = ah = a2 sinα =12d1d2

.

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.......................................................................................................................

........

........................α

β

a

a

haad1 d2

Ein Parallelogramm ist ein Rhombus ⇐⇒⇐⇒ alle Seiten sind gleich lang⇐⇒ die Diagonalen sind die Winkelhalbierenden⇐⇒ die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Trapez

α β

m =a+b2

a

b

m hc d

Ein Viereck ist ein Trapez,wenn zwei Seiten parallel sind.

Hohe h = c sinα = d sin β,

Flache F = mh =12(a+ b)h

Quadrat

a

a d

Diagonale d = a√

2

Seite a =12

√2 d =

√F

Flache F = a2

20 2 GEOMETRIE

Sehnenviereck Einem Viereck laßt sich ein Kreis umbeschreiben⇐⇒ α+ γ = β + δ

•

.

........................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...

.

....................................................................................................................................

. ...........

.............................................................

.............................................................

.................................................

.............................................................

.............................................................

................................................

. ..........

α

β

δγ

d

a

b

c

d1

d2ru

Umkreisradius ru =1

4F

√

(ab+ cd)(ac+ bd)(ad+ bc)

Flache F =√

(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)mit s =

12(a+ b+ c+ d)

Satz des Ptolemaus:d1d2 = ac+ bd

Das Produkt der Diagonalen ist gleich derSumme aus den Produkten der Gegenseiten.

Tangentenviereck Einem Viereck laßt sich ein Kreis einbeschreiben⇐⇒ a+ c = b+ d

•

.

...........................................................

..........................................................

...........................................................

...........................................................

.......................................................

a

b

c

dri

Umfang U = 2(a+ c) = 2(b+ d)

Inkreisradius ri =2FU

Flache F =12Uri

regelmaßiges n–Eck Ein Vieleck heißt ein regelmaßiges n–Eck, wennseine n Seiten und seine n Winkel gleich sind.

.

...............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

.

...............................................................................................................................................

.........................................

.........................................

.........................................

....................

.......................................................................

.

...............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

.

...............................................................................................................................................

.........................................

.........................................

.........................................

...................

.

............................................................................................................................................................................α

ri

ru

s

βδ

regelmaßiges 8-Eck

Zentriwinkel α =1n

3600

Außenwinkel β =1n

3600α = β

Innenwinkel δ = 1800 − α =n−2n

1800

Innenw.–Summe = (n− 2)1800

Seite s = 2√

r2u − r2i = 2ru sinα2

= 2ri tanα2

Inkreisradius ri =s2

cot1800

n= ru cos

1800

n= ru cos

α2

Umkreisradius ru =s

2 sin 1800

n

, r2u = r2i +14s2

Flache F =12nsri = nr2i tan

α2

=12nr2u sinα =

14ns2 cot

α2

n Seitenlange s Umkreisradius r Flache F

5 12

√

10− 2√

5 r 110

√

50 + 10√

5 s 58

√

10 + 2√

5 r2 = 14

√

25 + 10√

5 s2

6 r s 32

√3 r2 = 3

2

√3 s2

8√

2−√

2 r 12

√

4 + 2√

2 s 2√

2 r2 = 2(√

2 + 1) s2

10 12(√

5 − 1) r 12(√

5 + 1) s 54

√

10− 2√

5 r2 = 52

√

5 + 2√

5 s2

2n s2n =√

2r2 − r√

4r2 − sn2

2.2 Goldener Schnitt

Goldener Schnitt (siehe auch Fibonaccifolge Seite 74)

Eine Strecke ist im goldenen Schnitt geteilt, wenn sichdie ganze Strecke zum großeren Abschnitt wie dieser zumkleineren Abschnitt verhalt: • ••

❲ax a−x

a2x

ganze Strecke

großerer Abschnitt=

großerer Abschnitt

kleinerer Abschnitt

Teilungsverhaltnis ≈ 61.8% = 0.618

goldener Schnitt:ax

=xa−x

x =

√5−12

a ≈ 0.618 a

2.3 Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel 21

2.3 Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel

Kreis Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festenPunkt M (Mittelpunkt) gleichen Abstand (Radius) haben.

Bezeichnungen:

r Radius

d Durchmesser = 2r

U Umfang = 2πr

α Mittelpunktswinkel

β Umfangswinkel, 2β = α

γ Tangentenwinkel, γ = β

b zu α gehorender Bogen

s zu α gehorende Sehne

M = (xm, ym) Kreismittelpunkt

x

y

•

α

r−rx

yr

P = (x, y)s

γb

β

.

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.....................................................................................................................................................................

Kreis

x2 + y2 = r2

Parameterdarst.

~x(t) =

(r cos tr sin t

)

0 ≤ t ≤ 2π

MittelpunktsformelM = (xm , ym)

(x− xm)2 + (y − ym)2 = r2

•

d

r

Kreis .

........................................................................................................................

. ......................

..........................................

r

αsh b

Kreisbogen

αr r

b

Kreisausschnitt

αr r

b

hs

Kreisabschnitt

Lange U = 2πrU = πd

b =πr180

α

s = 2r sinα2

h= r cosα2

h =12

√4r2 − s2 F =

12br F =

12(br − sh)

Flache F = πr2 F =πα360

r2 F =r2

2

( πα180− sinα

)

Schwerpunkt S auf

der Winkelhalbierenden

im Abstand a

vom Mittelpunkt M :

a =rsb a=

23rsb

a =112s3

F

=23r3

Fsin3α

2

S

Ma

•

• r a

bsS

Mα

b

as

S

M

r

.

............................................................................................ .

..............................................................................................................................................................

.

......................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

α

γ

.

............................................................................................ .

..............................................................................................................................................................

.

.....................................................................

.

............................................................................................

α

γ

.

............................................................................................................................................................................................................................................

.

........................................................................................................................................................................................................................................................

.

...........................................................................................α

γ

β

M

S

A

BC

Dr

m

Umfangswinkel

γ =12α

Sehnentangenten–winkel

γ =12α

Sekantenwinkel

γ =12(α− β)

Sehnensatz

SA · SB = SC · SD= r2 −m2

.

.................................................................................................................................................................................................................................

α

γ β

.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.............................................................................................α

γ

β.

....................

....................

.....................

.....................

..

.

.............................................................................................................................................................................................

α

γ

β.

..............................................................................................................................................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................

AB

S

T

C

D

r

m

Sehnenwinkel

γ =12(α+ β)

Sekantentangenten–winkel

γ =12(α− β)

Tangentenwinkel

γ =12(α− β)

Sekantentangentensatz

SA · SB = SC · SD = ST2

=m2 − r2

22 2 GEOMETRIE

Kreis (siehe auch Seite 21 )

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene,die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt)gleichen Abstand r (Radius) haben.

M

P

r

|MP | = r

x

y

.

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

................................................................................................

.................................................................................................

..................................................................................................

.................................................................................................

..................................................................................................

........................................................................

M

T2

T1T

N

P

(xm, ym)(x0, y0)

(x0, y0)Pol

xm

ym

Die von einem Pol (x0, y0) außerhalb eines Kreise an ihn gelegten beiden Tangenten beruhrenihn in den beiden Schnittpunkten der zu (x0, y0) gehorenden Polaren P .

Ursprungsform VerschiebungsformKreis

Kreis mit M = (0, 0) Kreis mit Mittelpunkt M = (xm, ym)

Kreisgleichung

Tangente T

Normale N

Polare P

x2 + y2 = r2

x0x + y0y = r2

−y0x + x0y = 0

x0x + y0y = r2

(x− xm)2 + (y − ym)2 = r2

(x0 − xm)(x− xm) + (y0 − ym)(y − ym) = r2

−(y0 − ym)(x− xm) + (x0 − xm)(y − ym) = 0

(x0 − xm)(x− xm) + (y0 − ym)(y − ym) = r2

Tangente T und Normale N durch einen Punkt (x0, y0), der auf dem Kreis liegt,Polare P von einem Pol (x0, y0) aus, der außerhalb des Kreises liegt!

Beispiel: x2 − 2x+ y2 + 4y − 20 = 0 ist die Gleichung eines Kreises. Man bestimme:

(a) Die Mittelpunktsform, sowie den Mittelpunkt M und den Radius r des Kreises.(b) Die Tangente T mit Beruhrpunkt (−3, 1).(c) Die beiden Tangenten vom Pol (8,−3).

(a) quadratische Erganzung liefert:(x− 1)2 + (y + 2)2 = 25, also M = (1,−2), r = 5.

(b) T : (−3− 1)(x− 1) + (1 + 2)(y + 2) = 25,

also Tangente: y =43x+ 5.

(c) P : (8− 1)(x− 1) + (−3 + 2)(y + 2) = 25,also Polare: y = 7x− 34.

.

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

x

y

−2

1

M

T1

T2

T

P(8,−3)Pol

(4,−6)

(5, 1)(−3, 1)

Die Schnittpunkte der Polaren mit dem Kreis sinddie Beruhrpunkte der beiden Tangenten:x2−2x+y2+4y−20 = 0 und y = 7x−34 fuhrt auf die quadratische Gleichung x2−9x+20 = 0mit den beiden Losungen x1 = 4, x2 = 5 und zugehorigen y1 = −6, y2 = 1.Die beiden Beruhrpunkte (4,−6) und (5, 1) ergeben wie unter (b) oder mittels Zweipunkte-

Form die beiden Tangenten T1 : y =34x− 9 und T2 : y = −4

3x+

233

.


Ellipse (siehe auch Seite 28 )

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte Pin einer Ebene, die von zwei gegebenenPunkten F1, F2 (Brennpunkte)eine konstante Abstandssumme (= 2a) haben.

Der Abstand der Brennpunkte betragt 2e.

F2F1

P

|F1P |+ |F2P | = 2a

Eine Ellipse ist das orthogonal–affine Bild einesKreises vom Radius a. Die Ordinaten des Kreiseswerden im Verhaltnis

ba

gestreckt bzw. gestaucht.Halbmesser in x-Richtung: aHalbmesser in y-Richtung: b

|AB| = b

a|AC|

A

C

Bb

a

a

Es gilt a2 = e2 + b2

Scheitel der Ellipse: (±a, 0) und (0,±b).Brennpunkte der Ellipse: (−e, 0) und (e, 0).lineare Exzentrizitat: e =

√a2 − b2

numerische Exzentrizitat: ε =

√a2−b2a

=ea< 1.

Ein von einem Brennpunkt der Ellipse ausgehenderStrahl wird an der Ellipse derart reflektiert,dass er durch den anderen Brennpunkt verlauft.(Normale N senkrecht zur Tangente)

Fe

ab

F2F1

NN

M

(xm, ym)

(x0, y0)

(x0, y0)T2

T1P

T

xm

ym

x

y

Pol

Ursprungsform VerschiebungsformEllipse

Ellipse mit M = (0, 0) Ellipse mit Mittelpunkt M = (xm, ym)

Ellipsengleichung

Tangente T

Polare P

x2

a2+

y2

b2= 1

x0xa2

+y0yb2

= 1

x0xa2

+y0yb2

= 1

(x−xm)2

a2+

(y−ym)2

b2= 1

(x0−xm)(x−xm)a2

+(y0−ym)(y−ym)

b2= 1

(x0−xm)(x−xm)a2

+(y0−ym)(y−ym)

b2= 1

Tangente T durch einen Punkt (x0, y0), der auf der Ellipse liegt,Polare P von einem Pol (x0, y0) aus, der außerhalb der Ellipse liegt!

24 2 GEOMETRIE

Hyperbel nach rechts/links geoffnet (siehe auch Seite 29 )

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene,die zu zwei gegebenen Punkten F1, F2 (Brennpunkte)eine konstante Abstandsdifferenz (= 2a) haben:∣∣|PF1| − |PF2|

∣∣ = 2a.


x

y

.......................

...........................................................................................................................................................

....................................................................................................

.................................

.......................

.

........................................................................................................................... .

.......................................................

F1 F2

P

Es gilt e2 = a2 + b2

Scheitel der Hyperbel: (±a, 0).lineare Exzentrizitat: e =

√a2 + b2


√a2+b2

a> 1.

x

y

.......................

...........................................................................

..........

.......

.................

.............

..................................................................................

..................................................................................................

..........

.......

.................

.............

........................................................................

..........

F1 F2a

be

−e e

b

Ein von F2 ausgehender Strahl wird an der Hyperbelderart reflektiert, dass der ruckwarts verlangertereflektierte Strahl durch F1 verlauft.

.......................

............................................................................................................................................................

.....................

.......................

...................................................................................................

.................................

.......................

.

..............................................................

.

.......................................................

.

.......................

......................

.......................

........

x

y

F1 F2

..................

...................

..........................

................

.................................

.....................................................

........................................................

....................................................................................................................................................................

..............................

.....................................................................................................................................................................

........................................................

...............................................................

.......................................

................................

..............................

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.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..........................................................................................................................................................

.

...............................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................

x

y

F2F1

TT2T1

P

M

(xm, ym)

(x0, y0)Pol

(x0, y0)

xm

ym

Hyperbel nachrechts/links

geoffnet

Ursprungsform

Hyperbelmit M = (0, 0)

Verschiebungsform

Hyperbelmit Mittelpunkt M = (xm, ym)

Hyperbelgleichung

Tangente T

Polare P

Asymptoten

x2

a2− y2

b2= 1

x0xa2− y0y

b2= 1

x0xa2− y0y

b2= 1

y = ± bax

(x−xm)2

a2− (y−ym)2

b2= 1

(x0−xm)(x−xm)a2

− (y0−ym)(y−ym)b2

= 1

(x0−xm)(x−xm)a2

− (y0−ym)(y−ym)b2

= 1

y − ym = ± ba(x− xm)

Tangente T durch einen Punkt (x0, y0), der auf der Hyperbel liegt,Polare P von einem Pol (x0, y0) aus, der zwischen den Hyperbelasten liegt!


Hyperbel nach oben/unten geoffnet (siehe auch Seite 29 )

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene,die zu zwei gegebenen Punkten F1, F2 (Brennpunkte)eine konstante Abstandsdifferenz (= 2a) haben:∣∣|PF1| − |PF2|

∣∣ = 2a.


x

y

............

...........

.......... ........ ...... .......... ....... .......... ........ ...... ...... ........ .......... .......... ....................... .................................

.......................................... .......... ........ ...... ...... ........ .......... .......... ........ ...... ......... .......... ..........

.............

.

...........................................................................................................................

........................................................

F1

F2 P

Es gilt e2 = a2 + b2

Scheitel der Hyperbel: (0,±b).lineare Exzentrizitat: e =

√a2 + b2


√a2+b2

a> 1.

x

y

........... ............ .......... ................. ....... ....... ............. ........ ............. .......... ....... ....... .......... ............. ........ ............ ............ ..................................................

.................................................. .............. ............. ........

............. .......... ....... ....... .......... ............. ........ ....... ..... ....... ..... ...... ........... ....................... ..........F1

F2

ab e

−e

e

Ein von F2 ausgehender Strahl wird an der Hyperbelderart reflektiert, dass der ruckwarts verlangertereflektierte Strahl durch F1 verlauft.

............

..........

.......... ........ ...... .......... ........ ...... .......... ....... .......... ........ ...... ...... ........ .......... .......... ....................... ..................................

.....................

......................

................................................................. .......... ........ ...... ...... ........ .......... .......... ........ ...... ......... .......... .......... ........ ......

.....................

.

...............................................................

......................................................

.

............................................................................

x

y

F2

F1

x

y

......... ............ ............... .......................................

.......................... ................... ............... ............ .........

......................... ...................... .................... ................. ............... .................................. ............................... ............................ ............................ ................................................................................ .................

..........................................

.................................. ............

..................................

...............................................

............................................. ........

....................................

...........................................

.................................................................... .........

...............................................

..................................... ...............

................................................................. ............................ ............................ ............................... .................................. ............... ................. .................... ......................

......................... ......... ............ ............... .........................................

.........................

.................. ............... ............ ........

.

........................................................................

.......................................................................

........................................................................

.......................................................................

........................................................................

........................................................................

.......................................................................

........................................................................

............................................

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................

..................

.......................................

....................................

.................................

..............................

...........................

........................ ..................... ................. .............. ........... ........ ..............

.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

F2

F1

T

T2

T1

P

M

(xm, ym)

(x0, y0)

(x0, y0)

Pol

xm

ym

Hyperbel nachoben/unten

geoffnet

Ursprungsform

Hyperbelmit M = (0, 0)

Verschiebungsform

Hyperbelmit Mittelpunkt M = (xm, ym)

Hyperbelgleichung

Tangente T

Polare P

Asymptoten

−x2

a2+y2

b2= 1

−x0xa2

+y0yb2

= 1

−x0xa2

+y0yb2

= 1

y = ± bax

− (x−xm)2

a2+

(y−ym)2

b2= 1

− (x0−xm)(x−xm)a2

+(y0−ym)(y−ym)

b2= 1

− (x0−xm)(x−xm)a2

+(y0−ym)(y−ym)

b2= 1

y − ym = ± ba(x− xm)

Tangente T durch einen Punkt (x0, y0), der auf der Hyperbel liegt,Polare P von einem Pol (x0, y0) aus, der zwischen den Hyperbelasten liegt!

26 2 GEOMETRIE

Parabel nach oben/unten geoffnet (siehe auch Seite 30 )

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte Pin einer Ebene,die zu einer gegebenen Geraden L (Leitlinie)und einem im Abstand p > 0 (Halbparameter)zu ihr liegenden Punkt F (Brennpunkt)gleichen Abstand haben. .

.......................................................................................................................................................

.

...............................................................................................................................................................

P

p

p

A

L

F

S

|PA| = |PF |.

...............................

....

................................

............................

..........................

.........................

........................ ....................... ...................... ..................... ..................... .............................................

.................................................

..........................

............................

................................

...................................

Zur Symmetrieachse parallele Strahlenwerden an der Parabel derart reflektiert,dass sie durch den Brennpunkt F verlaufen.

.

.........................

.........................

.........................

................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

F

S

.

......................................

...................................

...............................

.

.............................

..........................

.........................

........................

....................... ...................... ..................... .................... .................... ..................... .............................................

.................................................

..........................

.............................

................................

...................................

......................................

x

y

.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

.............

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

F

S

p

xs

ys

(x0, y0)

(x0, y0)Pol

T

T1

P

T2

.

.............................................................

..........................................................

.......................................................

....................................................

.................................................

..............................................

...........................................

........................................

.....................................

..................................

...............................

............................

.........................

......................

.....................

.................... ................... .................. ................. ................. .................. ..................................................................................

.........................

............................

...............................

..................................

.....................................

........................................

...........................................

..............................................

.................................................

....................................................

.......................................................

..........................................................

.............................................................

Parabel nach Ursprungsform Verschiebungsformoben geoffnet Parabel mit S = (0, 0) Parabel mit Scheitelpunkt S = (xs, ys)

Parabelgleichung

Tangente T

Polare P

Brennpunkt F

x2 = 2py

x0x − py = py0

x0x − py = py0

F = (0,12p)

(x− xs)2 = 2p(y − ys)

(x0 − xs)(x− xs)− p(y − ys) = p(y0 − ys)

(x0 − xs)(x− xs)− p(y − ys) = p(y0 − ys)

F = (xs,12p+ ys)

Tangente T durch einen Punkt (x0, y0), der auf der Parabel liegt,Polare P von einem Pol (x0, y0) aus, der außerhalb der Parabel liegt!

Die entsprechenden Formeln einer nach unten geoffneten Parabel erhalt man, indem manp durch −p ersetzt!


Parabel nach rechts/links geoffnet (siehe auch Seite 30 )

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte Pin einer Ebene,die zu einer gegebenen Geraden L (Leitlinie)und einem im Abstand p > 0 (Halbparameter)zu ihr liegenden Punkt F (Brennpunkt)gleichen Abstand haben.

p ist die Ordinate im Brennpunkt.

. .......................................................................................................................................................................................................

.

....................................................................................................................................................................................................

PA

L

FS

|PA| = |PF |p

p

..........................................................................................................................................................................

..................................

.......................................................................................................................................

................................................................................................. .......... ............. ..................... .................. ................ ..................... ........................ ........................... ..............................

Zur Symmetrieachse parallele Strahlenwerden an der Parabel derart reflektiert,dass sie durch den Brennpunkt F verlaufen.

FS

.

................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................

......................

....................

......................

....................

.....................

....................

.....................

..

........

........

........

........

........

.....

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.................................................................

.......................................................................................................................................................................................... ......... ............... .............. ..................... .................. ................

................................

...................................................................... ........ ........... ............... ................... ...................... .......................... ............ ......... ...........

x

y

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.........................................

..........................................

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

..........................................

.........................................

.........................................

.........................................

..........................................

.........................................

.........................

.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

P

FS

p

xs

ys

(x0, y0)Pol

(x0, y0)

T

T1

T2

..........................................................................................................................................................................................................................

.................................................................

.......................................................................................................................................................................................... ......... ............... .............. ..................... .................. ................

................................

...................................................................... ........ ........... ............... ................... ...................... .......................... ............ ......... ...........

Parabel nach Ursprungsform Verschiebungsformrechts geoffnet Parabel mit S = (0, 0) Parabel mit Scheitelpunkt S = (xs, ys)

Parabelgleichung

Tangente T

Polare P

Brennpunkt F

y2 = 2px

−px + y0y = px0

−px + y0y = px0

F = (12p, 0)

(y − ys)2 = 2p(x− xs)

−p(x− xs) + (y0 − ys)(y − ys) = p(x0 − xs)

−p(x− xs) + (y0 − ys)(y − ys) = p(x0 − xs)

F = (12p+ xs, ys)

Tangente T durch einen Punkt (x0, y0), der auf der Parabel liegt,Polare P von einem Pol (x0, y0) aus, der außerhalb der Parabel liegt!

Die entsprechenden Formeln einer nach links geoffneten Parabel erhalt man, indem manp durch −p ersetzt!

28 2 GEOMETRIE

Ellipse Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, fur die die Summe der Abstandevon zwei festen Punkten (Brennpunkten F1, F2) konstant (= 2a) ist.

x

y

.

................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................

b

b

F2 = (−e, 0) F1

e e

a a

a

p

Bezeichnungen: a große Halbachse (a ≥ b)b kleine Halbachse

e =√a2 − b2 = εa

( lineareExzentrizitat

)

F1,2 = (±e, 0) Brennpunkte

p =b2

aHalbparameter

(Ordinate imBrennpunkt

)

ε =

√a2−b2a

=ea< 1

(numerischeExzentrizitat

)

Ellipsex2

a2+y2

b2= 1

Darstellungen der Ellipse (Mittelpunkt im Ursprung O)

x

y

.

............................................................................................................t

~x(t)

a

b

a

kartesische Darstellung:

x2

a2+y2

b2= 1

Parameterdarstellung: ~x(t) =

(a cos tb sin t

)

, 0 ≤ t ≤ 2π

Parameter t istder Winkel des zugehorigen Kreispunktes.polare Darstellungen:

ϕr

ϕr

F2

ϕ

F1

r

Polarkoordinaten

r =b√

1−ε2 cos2 ϕ

Pol im linken Brennpunkt

r =p

1−ε cosϕ

Pol im rechten Brennpunkt

r =p

1+ε cosϕ

Flachen a

b

EllipseF = πab

a

b (x, y)

Sektor

F = ab arccosxa

a

b (x, y)

Abschnitt

F = ab arccosxa− xy

Umfang U ≈ π(3a+b2−√ab ), U=4a

∫ π/2

0

√

1−ε2 sin2 t dt = 4aE(ε,π2)

ellipt. Integral2. Art, S. 124.

Tangente, Normale

T :xx0

a2+yy0b2

= 1

Die Gerade Ax+By = Cist Tangente an die Ellipse⇐⇒ A2a2 +B2b2 = C2

x

y

F2 F1

T N

.

......................................................................................................................................................................................................... .

............................................................................................................................

.

.............................................................................

.............................................................................

....................................................................

.

............................................................................................................................................................................................

Normale N bzw. Tangente T ist Win-kelhalbierende des inneren bzw. auße-ren Winkels zwischen den Brennpunkt–Radiusvektoren des Beruhrpunktes.

.

................................................................................................................................................................. .

......................................................................

............................................................................................................ .

............................................................................................................

F2

r2a

aa

b

F1

r1 x

y

.

......................................................................................................................................................................................................................... .

............................................................

F2 F1

L2 L1

d2 d1P

r2 r1

x

y

a

y=m1x

y=m2x

b

a

.

..........................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

.

.................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................

.

...................................

....................................

....................................

...................................

....................................

....................................

....................................

..................

.

.......................................................................................................................................................................................................

.

..........................................................

..........................................................

..........................................................

.........................................

Brennpunkteigenschaftr1 + r2 = 2a

Leitlinieneigenschaft

Leitlinien: L1,2 : x = ±aε

di = Abstand P zu Lir1d1

=r2d2

= ε

Steigungkonjugierter Durchmesser

m1 ·m2 = − b2

a2


Hyperbel Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, fur die die Differenz der Abstandevon zwei festen Punkten (Brennpunkten F1, F2) konstant (= 2a) ist.

x

y

......................

...................

.................

...............

.............

............

................

.............

..........

........

...................

.............

.....................................................

.................

...................

......................

......................

...................

.................

...............

.............

............

................

.............

..........

........

...................

.............

.............................

........................

.................

...................

......................

••

F2 F1 = (e, 0)

b pae

b

a

Bezeichnungen: S1,2 = (±a, 0) Scheitelpunkte

e =√a2 + b2 = εa lineare Exzentrizitat

F1,2 = (±e, 0) Brennpunkte

p =b2

aHalbparameter

( Ordinate imBrennpunkt

)

ε =

√a2+b2

a=ea > 1 numerische Exzentrizitat

y = ± bax Asymptoten

Hyperbelx2

a2− y2

b2= 1

x(t) xa

b

y(t)y

FDarstellungen der Hyperbel (Mittelpunkt im Ursprung)

kartesische Darstellung:x2

a2− y2

b2= 1

Parameterdarstellung:(nur der rechte Ast)

~x(t) =

(a cosh tb sinh t

)

, −∞ < t <∞ Parameter t : |t| =Fab

F ist die skizzierte Flache.polare Darstellungen:

x

y

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•

a eF2 F1

bϕr

x

y

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•

e−e aF2 F1

bϕ

r

x

y

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•

aF2 F1

bϕr

Polarkoordinaten

r =b√

ε2 cos2 ϕ−1

Pol im linken Brennpunkt

r =p

ε cosϕ−1

Pol im rechten Brennpunkt

r =p

1−ε cosϕ

Flachen

Sektor

F = ab arcoshxa

x xa

b

yy

(x, y)

F

Abschnitt

F = xy − ab arcoshxa

= xy − ab ln(xa

+yb)

x xa

b

yy

(x, y)

F

Tangente, Normale

T :xx0

a2− yy0

b2= 1

Die GeradeAx+By = C

ist Tangente an die Hyperbel

⇐⇒ A2a2 −B2b2 = C2

N

T x

y

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••

•

F1−eF2

Tangente bzw. Normale ist Winkel-halbierende des inneren bzw. auße-ren Winkels zwischen den Brennpunkt–Radiusvektoren des Beruhrpunktes.

x

y

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r1

r2

r2r1

aF2

F1

x

y

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............................

............................ ........ ....... ........

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.......... ............

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r1

d1

r2

d2

F2 F1

L1L2

x

y

..................

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α−βα

2a1

β

2b1

a

b

.

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Brennpunkteigenschaftlinker Ast: r1 − r2 = 2arechter Ast: r2 − r1 = 2a


Leitlinien L1,2 : x = ±aε

(di = Abstand P zu Li)r1d1

=r2d2

= ε

konjugierte Hyperbelnx2

a2− y2

b2= ±1

Steigung konjug. Durchmesser:

m1 ·m2 =b2

a2a21−b21 = a2−b2, ab = a1b1 sin(α−β)

30 2 GEOMETRIE

ParabelEine Parabel ist die Menge aller Punkte P = (x, y), die von einemfesten Punkt (Brennpunkt F = (

p2, 0)) und einer festen Geraden

(Leitlinie L : x = −p2) gleichen Abstand (= x+

p2) haben.

x

y

•

•

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...

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x+p2

x+p2

p

(x, y)

F

L

Bezeichnungen: S = (0, 0) Scheitelpunkt

F = (p2, 0) Brennpunkt

p Halbparameter

Ordinate im Brennpunkt

EntfernungBrennpunkt zur Leitlinie

ε = 1 numerische ExzentrizitatParabel y2 = 2px

Darstellungen der Parabel (Scheitelpunkt im Ursprung, nach rechts geoffnet)

x

y

................

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(x, y)y •

x x

y

................

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•.

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•

F

ϕr

kartesische Darstellungy2 = 2px

Pol im Brennpunkt

r =p

1−cosϕ

(x, y)

F

x

y

x

y

•

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(x, y)

L

O

P

x

y

Flache F

des Parabelabschnitts

F =43xy =

43

√

2px3

Lange L

des Parabelbogens OP

L =p2

(√

2xp

(1 +2xp

) + ln(√

2xp

+

√

1 +2xp

))

=√

x(x+p2) +

p2

arsinh

√

2xp

Tangente T , Normale N

T : yy0 = p(x+ x0)

Die Gerade y = mx+ nist Tangente an die Parabel

⇐⇒ p = 2mn x

y

•

•

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x0F

T

y0

N

P =(x0, y0)

Tangente T und Normale N imParabelpunkt P = (x0, y0) sindWinkelhalbierende der Winkelzwischen dem Brennpunktradius-vektor und der Geraden y = y0.

x

y

•

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S

xs

ys

x2 x1

c

x

y

•

•

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px

−p2

P =(x, y)

F =(p2, 0)

L

L


Leitlinie L : x = −p2

Abstand P zu L = Abstand P zu F

Parabely = ax2 + bx+ c, a 6= 0

Scheitel S = (xs, ys) = (−b2a,4ac−b2

4a)

p =1

2|a| und xs =x1+x2

2

Nullstellen x1,2 =−b±

√b2−4ac2a

2.4 Die 5 regularen Polyeder (Platonische Korper) 31

2.4 Die 5 regularen Polyeder (Platonische Korper)

Platonische Korper werden durch kongruente regelmaßige Vielecke begrenzt so, daß in jedemEckpunkt dieselbe Kantenzahl auftritt. Es gibt nur 5 Platonische Korper:

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Tetraeder Wurfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder

Elemente der 5 regularen Polyeder (a = Kantenlange )


Anzahl/FormSeitenflachen

4 Dreiecke 6 Quadrate 8 Dreiecke 12 Funfecke 20 Dreiecke

Ecken e 4 8 6 20 12

Anzahl Kanten k 6 12 12 30 30

Flachen f 4 6 8 12 20

Oberflache F√

3 a2 6a2 2√

3 a2 3√

5(5+2√

5 ) a2 5√

3 a2

Volumen V

√2

12a3 a3

√23a3 15+7

√5

4a3 5(3+

√5 )

12a3

Radius

einbe–schriebeneKugel ri

√6

12a

12a

√6

6a

√10+22

√0.2

4a

√3 (5+

√5 )

12a

umbe–schriebeneKugel ru

√6

4a

√3

2a

√2

2a

√3 (1+

√5 )

4a

√2(5+

√5 )

4a

Eulerscher Polyedersatz

Ist e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Flacheneines konvexen Polyeders (oder eines Polyeders, das sich durch stetige Deformation in ein

konvexes Polyeder uberfuhren lasst), so ist e − k + f = 2

Verbindet man die Flachenmittelpunkte einesWurfelsDodekaedersTetraeders

, so erhalt man einOktaederIkosaederTetraeder

und umgekehrt (vgl. oben: Ecken Flachen).

Wurfel und Oktaeder sind dual, ebenso Dodekaeder und Ikosaeder.Tetraeder sind selbstdual.

Faltplane

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32 2 GEOMETRIE

2.5 Korper

Satz von Cavalieri

Korper, deren Querschnittsflachen in jeweils gleicher Hohe den gleichen Flachen-inhalt besitzen, haben das gleiche Volumen und die gleiche Schwerpunkthohe.

Bezeichnungen: Volumen V , Oberflache F , Mantelflache M ,Grundflache G, Hohe h, Radius r, Mantellinie s

G

h

ab

ch

.

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..........................................................................................................................................................................................................G

.

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.................................. .

..........................................................

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h

G1

G2

Prisma Quader Pyramide Pyramidenstumpf

V G · h a · b · c 13G · h h

3(G1 +

√G1G2 +G2)

F 2G+M 2(ab+ ac+ bc) G+M G1 +G2 +M

(Ein allgemeines Prisma wird von 2 kongruenten n-Ecken, die in parallelen Ebenen liegen,und von n Parallelogrammen begrenzt.)

r

h

...............................................................................................

. ......................... ........ ......... ........ ........ .......... ........ ....................

.......

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r

s2hs1

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.............

. ......... ........... ............ ..............................

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.............

r h

r

h s

r1

r2

h s

geraderKreiszylinder

schiefabgeschn.Kreiszylinder Zylinderhuf

geraderKreiskegel

geraderKreiskegelstumpf

V πr2h πr2h =π2r2(s1+s2)

23r2h

13πr2h

13πh(r21 + r1r2 + r22)

F 2πr(r + h) (*) (**) πr(r + s) π(r21+r22+s(r1+r2))

M 2πrh πr(s1 + s2) 2rh πrs πs(r1 + r2)

s√r2 + h2

√

h2 + (r1 − r2)2

(*) πr

(

s1 + s2 + r +√

r2 + (s1−s2

2)2)

(**) 2rh+π2r(r +

√r2 + h2)

2.5 Korper 33

r

r

rr

ha

r

h

a r

h

a

b

Kugel Kugelausschnitt Kugelabschnitt Kugelschicht

V43πr3

23πr2h

13πh2(3r − h) 1

6πh(3a2 + 3b2 + h2)

16πh(3a2 + h2)

F 4πr2 πr(2h+ a) π(4rh− h2) π(2rh+ a2 + b2)

π(2rh+ a2)

M 2πrh 2πrh

π(h2 + a2)

Spat (Parallelepiped)ist ein Prisma, dessen GrundflachenParallelogramme sind.

~c

~a

~bG

h

V = Gh

V = |〈~a,~b,~c〉| (Spatprodukt siehe Seite 53)

G = |~a×~b| (Vektorprodukt siehe Seite 52)

Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide.

~c

~a

~b

G

hV =

13Gh

V =16|〈~a,~b,~c〉| (Spatprodukt siehe Seite 53)

G =12|~a×~b| (Vektorprodukt siehe Seite 52)

Torus ist der Rotationskorper, der bei Rotation eines Kreises um einein der Kreisebene außerhalb des Kreises liegende Achse entsteht.

R Radius des großen Kreisesr Radius des kleinen Kreises

x

yz

Rr

Oberflache F = 4π2Rr = (2πR)(2πr)

Volumen V = 2π2Rr2 = (2πR)(πr2)

(siehe Guldinsche Regel, Seite 152)

34 2 GEOMETRIE

2.6 Flachen zweiter Ordnung

gerader Kreiskegel

Volumen V =13πr2h

Mantelflache FM = πrsOberflache F = πr(r + s)

Mantellinie s =√r2 + h2

Offnungswinkel α = 2 arctanrh

Schwerpunkt Sauf der Symmetrieachse

im Abstandh4

von der Grundflache

r

h s

S

αgerader Kreiszylinder

Volumen V = πr2hMantelflache FM = 2πrhOberflache F = 2πr(h+ r)

r

r

h

x

z

y

r

r

r

Kugel

x2 + y2 + z2 = r2

V =43πr3

F = 4πr2

Ellipsoid

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

V =43πabc

x

z

y

a

cb

Paraboloid

x

z

.

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..........................h

ba1

a√h

b√h

y.

.................................................

elliptisches Paraboloid

z =x2

a2+y2

b2

V =12πabh2

Rotationsparaboloid (a = b)

z =x2

a2+y2

a2

V =12πa2h2

y

z

1

−1

b−b −a

ax

.

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hyperbolisches ParaboloidSattelflache

z =x2

a2− y2

b2

Hyperboloid

x

z

.

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.............................

a

h

cb

−h

........................................................

y

x

z

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a

hh

a+h

c

b

y

.............................

einschalig zweischalig

x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 1x2

a2 −y2

b2 −z2

c2 = 1

Volumen (−h ≤ z ≤ h) Volumen (a ≤ x ≤ a+ h)

V =2π3abhc2

(3c2 + h2) V =π3bch2

a2(3a+ h)

Mantelflachen von Rotationskorpern

Rotationsellipsoidx2

a2 +y2

a2 +z2

c2 = 1

FM = 2πa(

a+c2√a2−c2 arcsin

√a2−c2c

)

fur a > c

FM = 2πa(

a+c2√c2−a2 arsinh

√c2−a2c

)

fur a < c

Rotationparaboloid z =x2

a2 +y2

a2 , 0 ≤ z ≤ hFM =

4πa3

((h+

a2

4

)3/2 − a3

8

)

2.7 Klassifizierung der Kurven und Flachen zweiter Ord. nach ihren Invarianten 35

2.7 Klassifizierung der Kurven und Flachen zweiter Ordnungnach ihren Invarianten

Invarianten der allgemeinen Gleichung der Kurven zweiter Ordnung:

ax2 + by2 + 2cxy + 2dx+ 2ey + f = 0

∆ =

∣∣∣∣∣∣

a c dc b ed e f

∣∣∣∣∣∣

, δ =

∣∣∣∣

a cc b

∣∣∣∣= ab− c2,

S = a+ b

T = d2 − af

Diese vier Großen heißen Invarianten der Kurve, weil sie sich bei Verschiebung oder Dre-hung des Koordinatensystems nicht andern.

Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)

δ 6= 0 Mittelpunktskurven

δ ∆ Kegelschnitt Normalform

δ > 0

∆ 6= 0Ellipse

∆ · S < 0 reell∆ · S > 0 imaginar

Ax2 +By2 +∆δ

= 0

dabei sind

∆ = 0 Imaginares Geradenpaarmit reellem Schnittpunkt

A,B Losungen (Eigenwerte) dercharakteristischen Gleichung

δ < 0∆ 6= 0 Hyperbel u2 − Su+ δ = 0

∆ = 0 Zwei sich schneidende Geradender symmetr. Matrix

(a cc b

)

.

δ = 0 Parabolische Kurven

∆ 6= 0 Parabel y2 = 2px, p =ae−cd

S√a2+c2

δ = 0

∆ = 0

Geradenpaar

T > 0 parallele Geraden

T = 0 Doppelgerade

T < 0 Imaginare Geraden

36 2 GEOMETRIE

Invarianten der allgemeinen Gleichung der Flachen zweiter Ordnung:

ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + 2gx+ 2hy + 2kz + l = 0

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a d e gd b f he f c kg h k l

∣∣∣∣∣∣∣∣

, δ =

∣∣∣∣∣∣

a d ed b fe f c

∣∣∣∣∣∣

,S = a+ b+ c

T = d2 + e2 + f2 − ab− ac− bc

Flachen zweiter Ordnung (Quadriken)

δ 6= 0 Mittelpunktsflachen

Sδ > 0 und T < 0 Sδ < 0 oder T > 0

∆ > 0Imaginares Ellipsoidx2

A2 +y2

B2 +z2

C2 = −1

einschaliges Hyperboloidx2

A2 +y2

B2 − z2

C2 = 1

∆ = 0Imaginarer Kegel mit reeller Spitze

x2

A2 +y2

B2 +z2

C2 = 0

Doppelkegelx2

A2 +y2

B2 − z2

C2 = 0

∆ < 0Ellipsoid

x2

A2 +y2

B2 +z2

C2 = 1

zweischaliges Hyperboloidx2

A2 +y2

B2 − z2

C2 = −1

δ = 0 Paraboloide, Zylinder, Ebenenpaare

∆ < 0 (T < 0) ∆ > 0 (T > 0)

∆ 6= 0Elliptisches Paraboloid

x2

A2 +y2

B2 = ±zHyperbolisches Paraboloid

x2

A2 −y2

B2 = ±z

∆ = 0

T > 0

T = 0

T < 0

hyperbolischer Zylinder

parabolischer Zylinder

reeller oder imaginarer elliptischer Zylinder

Dies gilt nur, falls die Flache nicht in zwei reelle oder imaginare Ebenen zerfallt!Die Flache zweiter Ordnung zerfallt genau dann, wenn gilt:

∣∣∣∣∣∣

b f hf c kh k l

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

a e ge c kg k l

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

a d gd b hg h l

∣∣∣∣∣∣

= 0

2.8 Hauptachsentransformation 37

2.8 Hauptachsentransformation

Gleichung der Flache: ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz+2gx+2hy+2kz+l = 0

~x =

xyz

, ~x⊤ = (x, y, z), M =

a d ed b fe f c

, ~m =

ghk

, ~m⊤ = (g, h, k), m = l

Gleichung der Flache in Matrizenschreibweise: ~x⊤M~x+ 2~m⊤~x+m = 0

Analog fur den Kegelschnitt ax2 + by2 + 2cxy + 2dx+ 2ey + f = 0

~s heißt Symmetriepunkt der Kurve/Flache, wenn M~s = −~m ist.Hat das LGS M~s = −~m genau eine Losung (⇐⇒ δ = |M | 6= 0), so heißt der SymmetriepunktMittelpunkt und die Kurve/Flache heißt Mittelpunktskurve/Flache.

Kurve/Flache: ~x⊤M~x + 2~m⊤~x + m = 0

A mit Symmetriepunkt ~s B ohne Symmetriepunkt

1 Verschiebung des Koordinatensystemszur Beseitigung der linearen Glieder

~x = ~r + ~s fuhrt auf

~r⊤M~r + g = 0 mit g = ~m⊤~s+m

HauptachsentransformationDiagonalisierung der symmetrischen zwei/dreireihigen Matrix M : A⊤MA = D

(1) Die symmetrische Matrix M hat zwei/drei reelle Eigenwerte: λ1, λ2, λ3, λ1 6= 0.

(2) Aus zugehorigen Eigenvektoren bilde man eine Drehmatrix A = (~a1,~a2,~a3).(Achtung: Ist λ2,3 = 0, so wahle man ~a2 senkrecht zu ~m, also ~a2 · ~m = 0)

Drehmatrix, sowie Drehachse und Drehwinkel auf Seite 70, 71.

2 Drehung des Koordinatensystems

zur Beseitigung der gemischten Glieder

~r = A~u fuhrt auf:

~u⊤D~u+ g = 0, mit D =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

Normalform

Kurve: λ1u2 + λ2v

2 + g = 0Flache: λ1u

2 + λ2v2 + λ3w

2 + g = 0

Merke: Um die Normalform eines Ke-gelschnitts/Quadrik mit Symmetriepunkt zubestimmen, benotigt man lediglich:1.) Einen Symmetriepkt, fur g = ~m⊤~s+m2.) Die Eigenwerte λ1, λ2, λ3 von M .

1 Drehung des Koordinatensystems

zur Beseitigung der gemischten Glieder

~x = A~r

und evtl. quadratische Erganzung fuhrt auf:Kurve: λ1(r − r0)2 + p(s− s0) = 0Flache: λ1(r−r0)2+λ2(s−s0)2+p(t−t0)=0

2 Verschiebung des Koordinatensystemszur Beseitigung linearer Glieder

~r = ~u+ ~r0 , ~r⊤0 = (r0, s0, t0) fuhrt auf

Normalform

Kurve: λ1u2 + pv = 0 , p=2~m⊤~a2

Flache: λ1u2+λ2v

2+pw = 0 , p=2~m⊤~a3

38 2 GEOMETRIE

AKlassifizierung der Kurven/Flachen zweiter Ordnung

mit Symmetriepunkt

Kurve

λ1u2 + λ2v2 + g = 0

Flache

λ1u2 + λ2v2 + λ3w2 + g = 0

Wenn M nicht die Nullmatrix ist, muß ein Eigenwert (λ1) ungleich Null sein!Durch evtl. Multiplikation der Gleichung mit −1 erreicht man, dass λ1 > 0 ist:

λ1 λ2 g Typ der Kurve

+ + + leere Menge, ∅+ + 0 Nullpunkt

+ + − Ellipse ∗)

+ − ± Hyperbel ∗)

+ − 0 zwei Geraden

durch O ∗)

+ 0 + leere Menge, ∅+ 0 0 Doppelgerade, v–Achse+ 0 − zwei Geraden parallel

zur v–Achse

λ1 λ2 λ3 g Typ der Flache

+ + + + leere Menge, ∅+ + + 0 Nullpunkt

+ + + − Ellipsoid ∗)

+ + − + zweischaliges Hyperboloid ∗)

+ + − 0 elliptischer Doppelkegel ∗)

w–Achse ist Kegelachse

+ + − − einschaliges Hyperboloid ∗)

+ + 0 + leere Menge, ∅+ + 0 0 w–Achse+ + 0 − elliptischer Zylinder

+ − 0 ± hyperbolischer Zylinder+ − 0 0 zwei Ebenen

durch die w–Achse

+ 0 0 + leere Menge, ∅+ 0 0 0 Doppelebene, v,w–Ebene+ 0 0 − zwei Ebenen parallel

zur v,w–Ebene

Symbolik:

+ bedeutet > 0− bedeutet < 0± bedeutet 6= 00 bedeutet = 0

∗) Mittelpunktskurven/–flachen mit genau einem Symmetriepunkt ( = Mittelpunkt )

BKlassifizierung der Kurven/Flachen zweiter Ordnung

ohne Symmetriepunkt

Kurve

λ1u2 + pv = 0

Flache

λ1u2 + λ2v2 + pw = 0

λ1 p Typ der Kurve

+ ± Parabel

λ1 λ2 p Typ der Flache

+ + ± elliptisches Paraboloid

+ − ± hyperbolisches Paraboloid,Sattelflache

+ 0 ± parabolischer Zylinder

Es gibt 8 Klassen affin–aquivalenter Kurven (Kegelschnitte) zweiter Ordnung.

Es gibt 15 Klassen affin–aquivalenter Flachen (Quadriken) zweiter Ordnung.

2.9 Achsenparallele Kegelschnitte 39

2.9 Achsenparallele Kegelschnitte

Durch eine Gleichung der Form ax2 + by2 + 2cx + 2dy + e = 0

konnen in der x, y–Ebene dargestellt sein: Eine Ellipse (insbesondere ein Kreis), eine Hy-perbel, eine Parabel in achsenparalleler Lage und als sog. Entartungsfalle die leere Menge,eine Gerade, zwei Geraden oder die ganze Ebene.

Durch quadratische Erganzung und Substitution wird eine Normalform

Au2 +Bv2 = 1 oder Au2 +Bv2 = 0 bzw. Au2 +Bv = 0

hergeleitet, aus der der Typ des Kegelschnitts ablesbar ist:

Normalform Koeffizienten Typ des Kegelschnitts

A2 +B2 = 0 leere MengeAB = 0

A2 +B2 6= 0 zwei parallele Geraden

Au2 +Bv2 = 1 A,B > 0 Ellipse, (Kreis, falls A = B ist)AB > 0

A,B < 0 leere Menge

AB < 0 Hyperbel

A2 +B2 = 0 die ganze EbeneAB = 0

A2 +B2 6= 0 eine Gerade

Au2 +Bv2 = 0AB > 0 ein Punkt

AB < 0 zwei sich schneidende Geraden

Au2 + Bv = 0 A,B 6= 0 Parabel

Allgemeine Kegelschnitte

Durch eine Gleichung der Form ax2 + by2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0

wird in der x, y–Ebene ein gedrehter Kegelschnitt (z.B. eine gedrehte Ellipse, gekenn-zeichnet durch das Auftreten ”gemischter Glieder” xy, falls c 6= 0 ist) dargestellt.Systematisch wird das im Abschnitt 2.7 und 2.8 behandelt.

Fur den Drehwinkel ϕ gilt: tan 2ϕ =2ca−b , fur a 6= b und ϕ =

π4, fur a = b.

Die Hauptachsen sind dann: ~a1 =

(cosϕsinϕ

)

und ~a2 =

(− sinϕ

cosϕ

)

.

Die Transformationsformeln fur die Drehungdes (x, y)–Systems um den Winkel ϕ lauten:

x = cosϕ · ξ − sinϕ · ηy = sinϕ · ξ + cosϕ · η

ξ = cosϕ · x+ sinϕ · yη = − sinϕ · x+ cosϕ · y

In dem gedrehten (ξ, η)–System liegt der Kegelschnittnun in achsenparalleler Lage (siehe oben)!

❪

x

y

❪

ϕ

cosϕ

sinϕ

−sinϕ

cosϕ

~a1

~a2 ξ

η

❪

❪

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........... ........... .....................................................................................

40 2 GEOMETRIE

2.10 Spharische Trigonometrie

Kugelzweieck gebildet von den Bogenstuckenzweier Großkreise,Kugelradius = r.

...........................................................

...............

..............

........

......

........

......

...........................................................

...............

..............

..............

..............•

rA❲

F = 2r2AKugeldreieck

Sind a, b, c die Seiten und A,B,C die Winkel eines Kugeldreiecks

(Kugelradius r = 1 und a, b, c, A,B,C < π), so gilt:

Seitensumme a+ b+ c < 2πWinkelsumme A+B + C > πspharischer Exzeß ε = A+B + C − πFlache (Radius = r) F = r2ε

.

.................................................................................................... .................

..............

.......................

..................

.............................

...............................................................................................

...........................................

..................

................

..................

........

........

...

A

b

c

C

O

a

BRechtwinkliges Kugeldreieck (C = 900)

Sind von den 5 Großen (a, b, c, A,B) eines rechtwinkligen Kugeldreiecks (C = 900)2 Großen bekannt, so berechnet man die ubrigen Großen mittels folgender Formeln:

Nepersche Gleichungen

sin a = sin c sinA tan a = tan c cosBsin b = sin c sinB tan b = tan c cosAtan a = sin b tanA cosB = cos b sinAtan b = sin a tanB cosA = cos a sinBcos c = cos a cos b cos c = cotA cotB

.

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

........................................................................................................................

.......................................................................................................................

A

900− b

c

900− a

B

Merke: Die Gleichungen liest man (siehe Kreis) folgendermaßen ab:

Der Kosinus jeder Große ist Produkt der

1. Kotangens der beiden anliegenden Großen.

z.B.: cosA = cot(900 − b) · cot c = tan b · 1tan c

, also tan b = tan c cosA.

2. Sinus der beiden nicht anliegenden Großen.z.B.: cos(900 − b) = sin c · sinB, also sin b = sin c sinB

Schiefwinklige Kugeldreiecke (A,B,C Winkel: a, b, c gegenuberliegende Seiten)

Ein Kugeldreieck ist bei gegebenem Radius bestimmt durch

a, b, c drei SeitenA,B,C drei Winkela, b, C zwei Seiten und den eingeschlossenen WinkelA,B, c zwei Winkel und die eingeschlossene Seitea, b,A zwei Seiten und den der einen Seite gegenuberliegenden WinkelA,B, a zwei Winkel und der dem einen Winkel gegenuberliegenden Seite

Die ubrigen Großen berechnet man mit folgenden Formeln:

sin asinA =

sin bsinB =

sin csinC Sinussatz

cos a = cos b cos c + sin b sin c cosAcosA = − cosB cosC + sinB sinC cos a

Kosinussatz

sin a cot b = cotB sinC + cos a cosCsinA cotB = cot b sin c − cosA cos c

.

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................................

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...........................

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.

.....................................

..................................

..................................

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.................................

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..............................................................

. ............... ................ .............................

...

.................

..................

....................

......................

A

b

c

C

a

B

41

3 Elementare Funktionen

3.1 Grundbegriffe

Funktionen (Abbildungen): f, g, h, . . . genauer: f :

A −→ Bx 7−→ f(x)

D(f) := A ist der Definitionsbereich von fW (f) := f(a) | a ∈ A ⊆ B ist der Wertebereich von f .

Funktionsgleichung: y = f(x) Funktionsterm: f(x)

Graph von f : Menge der Punkte (x, f(x)) in der x, y−Ebene.

Reelle Funktionen: f : A −→ B mit A,B ⊆ IRNur solche werdenhier betrachtet.

Eigenschaften von Funktionen

Monotonieauf Intervall

f monoton wachsend ⇐⇒(x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2)

)

f streng mon. wachs. ⇐⇒(x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)

)

f monoton fallend ⇐⇒(x1 < x2 =⇒ f(x1) ≥ f(x2)

)

f streng mon. fallend ⇐⇒(x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2)

)

(Monotonie und Krummung siehe auch Seite 94.)

Periodizitat f(x+ p) = f(x) fur ein p ∈ IR \ 0 und alle x ∈ IR

Das kleinste positive solche p (falls vorhanden) heißtPeriode von f . Siehe auch Fourierreihen, Seite 84, 86 ff.

Symmetriedes Graphen

x

y

−x x

f(x)• •

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................................................................................

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..................

......................

.................

...................

.....................

x

y

−x x

f(x)

f(−x)

•

•. .............. ............ .......... ........ .......... ........... ........ .......... ......... .......... ......... ......... .....................................................

..............................................................................................................................................................................

f gerade Funktionf(−x) = f(x)

Symmetrie zur y–Achse

f ungerade Funktionf(−x) = −f(x)

Symmetrie zum Nullpunkt

Umkehrbarkeit Ist f streng monoton, so existiert die Umkehrfunktion g(auch f−1 genannt).

Die Umkehrfunktion g von f ergibt sich durch:

1.) Auflosung von y = f(x) nach x, also x = g(y),2.) Vertauschen der Variablen x und y, also y = g(x).

Umkehrfunktion, siehe auch Seite 92.

Das Vertauschen von x und y bewirkt, dass der Graph von

g sich aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der

Winkelhalbierenden y = x ergibt.x

y

y = x

(x, y)•

•(y, x)

f

g

. ............... ............... ...............................................................................

....................

......................

........................

.

.............................................................................................................

..........................................

........................

42 3 ELEMENTARE FUNKTIONEN

Grenzwert und Stetigkeit

limx→a

f(x) = g ⇐⇒ Fur jedes ǫ > 0 gibt es ein δ > 0, so dass fur allex ∈ D(f) \ a mit |x− a| < δ gilt: |f(x)− g| < ǫ

f stetig in x0 ⇐⇒

(1) f(x0) existiert

(2) limx→x0

f(x) existiert

(3) limx→x0

f(x) = f(x0)

⇐⇒kurz:

limx→x0

f(x) = f(x0)

f stetig in x0 wird haufig nachgewiesen durch:

⇐⇒

(1) limx→x0+

f(x) = f(x0) (rechtsseitige Stetigkeit) und

(2) limx→x0−

f(x) = f(x0) (linksseitige Stetigkeit)

Satze uber stetige Funktionen

Zwischenwertsatz Eine auf [a, b] stetige Funktion f nimmt jede reelleZahl r zwischen f(a) und f(b) als Funktionswert an.

Satz von Weierstraß Eine auf [a, b] stetige Funktion f besitzt auf [a, b] einabsolutes Maximum und ein absolutes Minimum.

3.2 Algebraische Funktionen

Ganzrationale Funktionen

Funktionsterm ist einPolynom:

f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 , an 6= 0

Verhalt sich fur betragsmaßig große x wie anxn.

Spezialfalle

affine Funktionen: f(x) = ax+ bGraph: Gerade mit Steigung a und Schnittpunkt mit der y−Achse bei b.

quadratische Funktionen: f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0

Graph: Parabel (Seite 26) mit

Scheitelpunkt S =

(

− b2a

, c− b2

4a

)

Nullstellen x1,2 =−b±

√b2−4ac2a

Potenzfunktionen: f(x) = xn (n ∈ IN)

Graph: Symmetrischzur y–Achse,

falls n gerade ist.

f gerade Funktion

f(−x) = f(x)

(−x)2 = x2 x

y

••

−1 1

1

f(x) = x2

...............................

...........................

.......................

....................

................ .............. ............. ............ ............ ...............................................................

.......................

...........................

..............................

x

y

•

•

−1

−1

1

1

f(x) = x3

......... ........ .......... ....... ............ .............................................................................................

.....................................................................................................

..................

....................

Graph: Symmetrischzum Nullpunkt,

falls n ungerade ist.

f ungerade Funktion

f(−x) = −f(x)

(−x)3 = −x3

3.3 Exponential– und Logarithmusfunktionen 43

Gebrochen rationale Funktionen

Funktionsterm: f(x) =anx

n+...+a1x+a0

bmxm+...+b1x+b0=p(x)q(x)

(PolynomPolynom

)

echt gebrochen: n < m (x−Achse ist Asymptote fur x→ ±∞)

unecht gebrochen: n ≥ m Polynomdivision liefert:

f(x) = a(x)︸︷︷︸

PolynomAsymptote

+r(x)q(x)︸︷︷︸

echtgebrochen

(y = a(x) ist Asymptote fur x→ ±∞)

Ist f(x) =p(x)q(x)

und sind p(x) und q(x) teilerfremd, so gilt:

Nullstellen von f(x) sind genau die Nullstellen von p(x)Nullstelle mit Vorzeichenwechel: Nullstelle ungerader Vielfachheit von p(x)Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel: Nullstelle gerader Vielfachheit von p(x)

Pole von f(x) sind genau die Nullstellen von q(x)Pol mit Vorzeichenwechsel: Nullstelle ungerader Vielfachheit von q(x)Pol ohne Vorzeichenwechsel: Nullstelle gerader Vielfachheit von q(x)

PBZ : Partialbruchzerlegung echt gebrochen rationaler Funktionen siehe

• HM ausfuhrliche Erklarungen, viele Beispiele zur PBZ.

Wurzelfunktionen

f(x) = n√x , n > 1 ; mit D(f) = W (f) = IR≥0

y = n√x ist Umkehrfunktion von y = xn, x ≥ 0.x

y 2√x5√x

1

1

3.3 Exponential– und Logarithmusfunktionen

Exponential– und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen:f(x) = ax = ex ln a (a > 0, a 6= 1)D(f) = IR W (f) = IR>0

monoton steigend fur 1 < amonoton fallend fur 0 < a < 1ax+y = ax · ay, a0 = 1

. ...........................................

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............

..............

................

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............

...............

..................

............

...............

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................

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............

...............

..................

............

...............

..................

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................

.....................

x

y

1

2

e

1−1

2x

ex

2−x

e−x

....... .......... ............. .................. ............... ............ ......... ............................

......................................................................................................................................

......................

.....................................

Logarithmusfunktionen:f(x) = loga x (a > 0, a 6= 1)D(f) = IR>0 W (f) = IR

monoton steigend fur 1 < amonoton fallend fur 0 < a < 1loga(x · y) = loga x+ loga y, loga 1 = 0 .......

................

.....................

..................

..............

......................

..............

................

..................

.................

..................

......................

.........................

x

y

1

1

2 e

ln x

log2 x

.........

...........................................

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................................................

.............................

Exponential– und Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen voneinander.

Speziell fur die Basis e= 2, 71828 . . . : f(x) = ex und f(x) = loge x = lnx

log1/a x = − loga x loga x = 1ln a

lnx eln x = x ln ex = x


3.4 Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen)

Umrechnung: Gradmaß – Bogenmaß

Es besteht folgender Zusammenhang zwischen dem

• Winkel α in Grad und der

• Lange b des zugehorigen Kreisbogens am Einheitskreis:

α180 =

bπ

α=bπ 180 , b = 1 =⇒ α =

180

π ≈ 57.296

b =α

180π , α = 1 =⇒ b =1

180π ≈ 0.017

1

1

αb

Definitionen•

H

A G

α

sinα@ = GegenkatheteHypotenuse = G

H

cosα@ = AnkatheteHypotenuse = A

H

tanα@ = GegenkatheteAnkathete = G

A=

sinαcosα

=1

cotα

cotα@ = AnkatheteGegenkathete = A

G=

cosαsinα =

1tanα 1

1

α

sinα

cosα

1 tanα

cotα

x

y

1

−1

0 π2

π 3π2

2π 5π2

-π2

-π

cosx sin x

......................

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.

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...................

Kreisfunktionensin x, cos x

x

y

tan x

cotx1

-10 π

2π 3π

22π-

π2

-π4

π4

Kreisfunktionentan x, cot x

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Grundformeln

cosx = sin(x+ π2)

sinx = cos(x − π2)

cos2 x + sin2 x = 11 + tan2 x =

1cos2 x

1 + cot2 x =1

sin2 x

Wichtige Werte der Kreisfunktionen

0 16π 1

4π 1

3π 1

2π 2

3π 3

4π 5

6π π 7

6π 5

4π 4

3π 3

2π 5

3π 7

4π 11

6π 2π

00 300 450600 900 1200 1350 1500 1800 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600

sinx 0 12

√2

2

√3

21

√3

2

√2

212

0 −12−

√2

2−

√3

2−1 −

√32−

√22−1

20

cosx 1√

32

√2

212

0 −12−

√2

2−

√3

2−1 −

√32−

√2

2−1

20 1

2

√2

2

√3

21

tanx 0√

33

1√

3±∞−√

3 −1 −√

33

0√

33

1√

3 ±∞−√

3 −1 −√

33

0

cotx ±∞√

3 1√

33

0 −√

33−1 −

√3±∞

√3 1

√33

0 −√

33−1 −

√3±∞

3.4 Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen) 45

Beziehungen zwischen den Kreisfunktionen (±√ je nach Quadranten)

sinx cosx tanx cotx

sinx = sinx ±√

1− cos2 xtanx

±√

1+tan2 x

1

±√

1+cot2 x

cosx = ±√

1− sin2 x cosx1

±√

1+tan2 xcotx

±√

1+cot2 x

tanx =sinx

±√

1−sin2 x

±√

1−cos2 xcosx tanx

1cotx

cotx =±√

1−sin2 xsinx

cosx±√

1−cos2 x1

tanx cotx

Periodizitat (k ∈ ZZ):

sinx, cos x (Periode 2π): sin(x+ k · 2π) = sinx cos(x + k · 2π) = cosxtanx, cotx (Periode π): tan(x+ k · π) = tanx cot(x+ k · π) = cotx

Symmetrie

gerade Funktion ungerade Funktionen

cos(−x) = cosx sin(−x) = − sinxtan(−x) = − tanxcot(−x) = − cotx

Komplementbeziehungen

sin(π2± x) = cosx

cos(π2− x) = sinx

tan(π2− x) = cotx

cot(π2− x) = tanx

Additionstheoreme

sin(x± y) = sinx cos y ± cosx sin y tan(x± y) =tan x±tan y

1∓tan x tan y

cos(x± y) = cosx cos y ∓ sinx sin y cot(x± y) =cot x cot y∓1cot y±cot x

Mehrfache Winkel

sin 2x = 2 sinx cos x = 2 tan x1+tan2 x

tan 2x = 2 tan x1−tan2 x

cos 2x = cos2 x− sin2 x = 1−tan2 x1+tan2 x

cot 2x = cot2 x−12 cot x

sin 3x = 3 sinx− 4 sin3 x tan 3x = 3 tan x−tan3 x1−3 tan2 x

cos 3x = 4 cos3 x− 3 cosx cot 3x = cot3 x−3 cot x3 cot2 x−1

sin 4x = 8 cos3 x sinx− 4 cosx sinx tan 4x = 4 tan x−4 tan3 x1−6 tan2 x+tan4 x

cos 4x = 8 cos4 x− 8 cos2 x+ 1 cot 4x = cot4 x−6 cot2 x+14 cot3 x−4 cot x

sinnx = n cosn−1x sinx−(n3

)cosn−3x sin3x+

(n5

)cosn−5x sin5x∓ · · ·

cosnx = cosnx−(n2

)cosn−2x sin2x+

(n4

)cosn−4x sin4x−

(n6

)cosn−6x sin6x± · · ·

Halber Winkel (±√ je nach Quadranten)

sin x2

= ±√

12(1− cosx) tan x

2= ±

√1−cos x1+cos x

= 1−cos xsinx

= sinx1+cos x

cos x2

= ±√

12(1 + cosx) cot x

2= ±

√1+cos x1−cos x

= 1+cos xsinx

= sinx1−cos x


Summe und Differenz zweier Funktionen

sinx+ sin y = 2 sinx+y

2cos

x−y2

tanx± tan y =sin(x±y)cos x cos y

sinx− sin y = 2 cosx+y

2sin

x−y2

cotx± cot y = ± sin(x±y)sinx sin y

cosx+ cos y = 2 cosx+y

2cos

x−y2

tanx+ cot y =cos(x−y)cos x sin y

cosx− cos y = −2 sinx+y

2sin

x−y2

cotx− tan y =cos(x+y)sinx cos y

Produkte von Funktionen

sinx sin y = 12

(cos(x− y)− cos(x+ y)

)sinx cos y = 1

2

(sin(x− y) + sin(x+ y)

)

cosx cos y = 12

(cos(x− y) + cos(x+ y)

)

Potenzen von Funktionen

sin2 x= 12(1−cos 2x) sin3 x@ = 1

4(3 sinx−sin 3x) sin4 x = 1

8(cos 4x−4 cos2x+ 3)

cos2 x= 12(1+cos 2x) cos3 x@ = 1

4(cos 3x+3 cosx) cos4 x= 1

8(cos 4x+4 cos2x+ 3)

Trigonometrische Summenn∑

k=1

sin kx = sinx+ sin 2x+ · · ·+ sinnx =sin nx

2 sin (n+1)x2

sin x2

12

+

n∑

k=1

cos kx = 12

+ cosx+ cos 2x+ · · ·+ cosnx =sin(n+ 1

2 )x

2 sin x2

n∑

k=1

sin(2k−1)x = sinx+ sin 3x+ · · ·+ sin(2n−1)x =sin2 nxsinx

Arcusfunktionen (Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen)

arcsinx, −1≤x≤1 Umk–fkt. von sinx, −π2≤ x ≤ π

2

arccosx, −1≤x≤1 Umk–fkt. von cosx, 0 ≤ x ≤ πarctanx, x ∈ IR Umk–fkt. von tanx, −π

2< x < π

2

arccot x, x ∈ IR Umk–fkt. von cotx, 0 < x < π

arcsinx = π2− arccosx = arctan x√

1−x2

arccosx = π2− arcsinx = arccot x√

1−x2

arctanx = π2− arccot x = arcsin x√

1+x2

arccot x = π2− arctanx = arccos x√

1+x2

arctanx+ arctan 1x

= ±π2, fur x >

< 0

x

yπ2

−π2

-1

1

arcsin x

....................................................................................................................................

....................

................................................................................................................

π2

π

−1 1

arccos x

x

y.............................................................. ........... ........................ .......... ............ ............... ............... ............ .......... ........................ ........... ..............................................

...............

arccot x

arctan xx

y

−π2

π2

π4

π

1

. ................................... ................................ ............................ ......................... ...................... .................. .................. .................... .............. ............... ........ .......................................

. ................................... ................................ ............................ ......................... ...................... .................. .................. .................... .............. ............... ........ .......... ............. ................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

................ ...................................................................................................................................................................................................................................................................................

sin(arcsinx) = x , −1 ≤ x ≤ 1 cos(arccosx) = x , −1 ≤ x ≤ 1

arcsin(sinx) =

x , −π2≤ x ≤ π

2

π − x , π2≤ x ≤ 3π

22π – periodisch fortgesetzt

arccos(cosx) =

x , 0 ≤ x ≤ π2π − x , π ≤ x ≤ 2π2π – periodisch fortgesetzt

Darstellungen durch Exp–Funktion bzw. Log–Funktion siehe Seite 182, 183.

3.4 Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen) 47

Arkusfunktionen

Spezielle Werte

x arcsinx arccosx

−1 −π/2 π

−√

3 /2 −π/3 5π/6

−√

2 /2 −π/4 3π/4

−1/2 −π/6 2π/3

0 0 π/2

1/2 π/6 π/3√2 /2 π/4 π/4√3 /2 π/3 π/61 π/2 0

x

y

−1

1

π2

−π2

y = arcsin x

x

y

−1 1

π2

π

y = arccos x

x arctanx arccot x

−√

3 −π/3 5π/6

−1 −π/4 3π/4

−√

3 /3 −π/6 2π/3

0 0 π/2√3 /3 π/6 π/3

1 π/4 π/4√3 π/3 π/6

x

y

π2

−π2

y = arctan xx

y

π2

π

y = arccot x

Vorzeichenverhalten in den 4 Quadranten

(0 ≤ ϕ ≤ 2π)

2. Quadrant

sinϕ > 0

cosϕ < 0

tanϕ < 0

cotϕ < 0

ϕ = π + arctanyx

sinϕ < 0

cosϕ < 0

tanϕ > 0

cotϕ > 0

ϕ = π + arctanyx

3. Quadrant

1. Quadrant

sinϕ > 0

cosϕ > 0

tanϕ > 0

cotϕ > 0

ϕ = arctanyx

sinϕ < 0

cosϕ > 0

tanϕ < 0

cotϕ < 0

ϕ = 2π + arctanyx

4. Quadrant

y

x


3.5 Hyperbelfunktionen

Definitionen

coshx =ex+ e−x

2 , sinhx =ex− e−x

2

tanhx =ex− e−x

ex+ e−x =1− e−2x

1+ e−2x =sinhxcoshx

cothx =ex+ e−x

ex− e−x =1+ e−2x

1− e−2x =coshxsinhx

.

.......................................................................................................................................................................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........

•

•

x

tanhx

sinh x

sinh x

cosh x

x2 − y2 = 1

DC

BA1

.................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................ ............... .............................. .............. ..............

x = Sektorflache!Grundformeln

cosh2 x− sinh2 x = 1

tanhx · cothx = 1

coshx± sinhx = e±x

Definition von sinh und coshan der Einheitshyperbel

x2 − y2 = 1

sinh x =BCcosh x =OBtanh x=AD

Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen (±√ fur x >< 0)

sinhx coshx tanhx cothx

sinhx = sinhx ±√

cosh2 x− 1tanhx√

1−tanh2 x

1

±√

coth2 x−1

coshx =√

sinh2 x+ 1 coshx1√

1−tanh2 x

cothx

±√

coth2 x−1

tanhx =sinhx√

sinh2 x+1

±√

cosh2 x−1coshx tanhx

1cothx

cothx =

√sinh2 x+1sinhx

coshx

±√

cosh2 x−1

1tanhx cothx

Additionstheoreme

sinh(x± y) = sinhx cosh y ± coshx sinh y tanh(x± y) =tanh x±tanh y

1±tanh x tanh y

cosh(x± y) = coshx cosh y ± sinhx sinh y coth(x± y) =1±coth x coth ycoth x±coth y

Mehrfache Winkel

sinh 2x = 2 sinhx coshx = 2 tanh x1−tanh2 x

tanh 2x = 2 tanh x1+tanh2 x

cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x = 1+tanh2 x1−tanh2 x

coth 2x = coth2 x+12 coth x

sinhnx =(n1

)coshn−1 x sinhx+

(n3

)coshn−3x sinh3x+

(n5

)coshn−5x sinh5x+ · · ·

coshnx = coshnx+(n2

)coshn−2x sinh2x+

(n4

)coshn−4x sinh4x+ · · ·

Halber Winkel (±√ je nachdem, ob x >< 0)

sinh x2

= ±√

12(coshx− 1) tanh x

2= ±

√cosh x−1cosh x+1

= sinhxcosh x+1

= cosh x−1sinhx

cosh x2

=√

12(coshx+ 1) coth x

2= ±

√cosh x+1cosh x−1

= sinhxcosh x−1

= cosh x+1sinhx

3.5 Hyperbelfunktionen 49

cosh x =ex+ e−x

2

sinh x =ex− e−x

2

. .......... ....... ................................................. .........

....... ......... ...........................................

.......................

.....................

....................................................

................

..................

............................................................................

.........................................

..................

.......................

.....................

....................................................

................

..................

.......................................................................................................................................

.......................

.....................

............

..........

.........

x

y

1

−1

exe−x

− e−x

cosh x

sinhx

.......................................................... ......... .......... ......... .......... ......... ........ ......... ........ ........ ........ ....... ....... ........ ........ ........ .........

........ ......................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................

tanhx =ex− e−x

ex+ e−x

cothx =ex+ e−x

ex− e−x

x

y

1

−1

................................................................. ....... ........ .......... ............ ........ .......... ............ ....... ......... ............ ...........................

...........................................................................................................................................................................................

.........................................................................................

................................

.............. ............ ........... .......... ......... ........... ............ ................ ...........................

..................

..............................

........................................................................................................................

tanhx

coth x

cothx

Symmetrie

gerade Funktion

cosh(−x) = coshx

ungerade Funktionen

sinh(−x) = − sinhxtanh(−x) = − tanhxcoth(−x) = − cothx

Summe und Differenz zweier Funktionen

sinhx+ sinh y = 2 sinhx+y

2cosh

x−y2

tanhx± tanh y =sinh(x±y)

cosh x cosh y

sinhx− sinh y = 2 coshx+y

2sinh

x−y2

cothx± coth y = ± sinh(x±y)sinhx sinh y

coshx+ cosh y = 2 coshx+y

2cosh

x−y2

tanhx+ coth y =cosh(x+y)

cosh x sinh y

coshx− cosh y = 2 sinhx+y

2sinh

x−y2

cothx− tanh y =cosh(x−y)

sinh x cosh y

Produkte von Funktionen

sinhx sinh y = 12

(cosh(x+y)−cosh(x−y)

)

coshx cosh y = 12

(cosh(x+y)+cosh(x−y)

)

sinhx cosh y = 12

(sinh(x+y) + sinh(x−y)

)

tanhx tanh y =tanhx+tanh ycothx+coth y

cothx coth y =cothx+coth ytanhx+tanh y

Quadrate von Funktionen

sinh2 x = 12(cosh 2x−1) cosh2 x = 1

2(cosh 2x+1) cosh2 x−sinh2 x = 1

Formel von Moivre (coshx± sinhx)n = coshnx± sinhnx

Areafunktionen (Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen)

arsinh x = ln(x+√x2 + 1 )

arcosh x = ln(x+√x2 − 1 ), x ≥ 1

artanh x = 12

ln 1+x1−x , |x| < 1

arcoth x = 12

ln x+1x−1

, |x| > 1

.................

............................................................ ................... ......... ........ ......... ........ ........ ........ ....... ....... ........ ........ ........ .........

................................................................................

..............

................

...............

.............

..............

..........

.................

.................

.............................................................

.............................................................

.................

.................

...........

...........................................

..............................

Areafunktionenarsinh x, arcosh x

x

y

1

1

cosh x

sinh x

sinh x

arcosh x, x ≥ 1

arsinh x

arsinh x

.................................................................... ......... .......... ............ .......... ............ .............. ................

. .............. ............. .............. ................................................................................................................................................................................................................... ............. ....... .......... .............

..............................

Areafunktionenartanh x, arcoth x

x

y

1

−1......................................................

....................................

............

........

..........

............

.......

.........

............

...........................

.......................................

...............

...........

.........................

..............................

.........

...

.......

........

.

........

....

........

........

........

...

.........................................................................................

................

..................

.................................................................

............

................

...........................

........ ......... ........... ............... ............ .......... ....... .... ..........................

...

..................

............

.....................................................

........

....

........

........

........

........

........

...

arcoth x

arcoth x

artanh x

trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen

Jede Formel, die Hyperbelfunktionen von x oder ax (nicht von ax + b) verknupft,

gewinnt man aus der entsprechenden Formel fur die trigonometrischen Funktionen,

indem man sin x durch i sinh x, cosx durch cosh x und in Pot–Reihen x durch ix ersetzt.

• Beziehungen im Komplexen zwischen Kreis– und Hyperbelfunktionen siehe Seite 182.


Schwingung A sin(ωt + ϕ)y

t−ϕω

−ϕω

+ T

T

T

|A|

−|A|

A sinϕ A sin(ωt+ ϕ)

........................

.......................................................................................................... .......

................ .............. ........... ........ ........ ........... .............. ................ ....... .......... ............ ................................ ...............

.................

....................

.......................

........................

.......................................................................................................... .......

................ .............. ........... ........ ........ ........... .............. ................ ....... .......... ............ ................................ ...............

.................

....................

.......................

. ................................................................................................................

........................................

.......

....................

.................

............................................... ............ .......... ....... ................ .............. ........... ........ ........ ........... .............. ................ ....... ..........

................................................................................................

........................................

.......

....................

.................

............................................... ............ .......... ....... ................ .............. ........... ........ ........ ........... .............. ................ ....... ..........

.............................................

Die charakteristischen Großen der Schwingung A sin(ωt+ ϕ):

|A| Amplitude (halber Wert der Schwingungsweite),

T =2πω Periode (Schwingungsdauer),

ω =2πT

Kreisfrequenz (Zahl der Schwingungen in 2π Sekunden),

1T =

ω2π Frequenz (Zahl der Schwingungen in 1 Sekunde),

ϕ Phasenwinkel (Phasenverschiebung).

Umschreiben von Cosinusschwingungen in Sinusschwingungen:

A cos(ωt+ ϕ) = A sin(ωt+ ϕ+ π2)

x

y

ϕϕ1

ϕ2

A2

A1A

A eiϕ

A1eiϕ1

A2eiϕ2

Uberlagerung von Schwingungen

A1 sin(ωt+ ϕ1) +A2 sin(ωt+ ϕ2) = A sin(ωt+ ϕ)

A =√

A21 +A2

2 + 2A1A2 cos(ϕ1 − ϕ2)

tanϕ =A1 sinϕ1+A2 sinϕ2

A1 cosϕ1+A2 cosϕ2

Quadrantenbeachten!

Spezialfall: B cosωt+ C sinωt = A sin(ωt+ ϕ)

B = A sinϕC = A cosϕ

A =√B2 + C2

tanϕ =BC

Quadrantenbeachten!

.

............................................................................................................................................................

C

(C,B)

BA

ϕ

A eiϕ = A1 eiϕ1 +A2 eiϕ2

Addition

der komplexen Amplituden

Zeigerdiagramm

Komplexe Darstellung

A · ei (ωt+ϕ) = A(

cos(ωt+ ϕ) + i sin(ωt+ ϕ))

= Aeiϕ · eiωt

= Aeiϕ(cosωt+ i sinωt)

Aeiϕ heißt komplexe Amplitude, siehe auch Zeigerdiagramm,sie ”enthalt” die (reelle) Amplitude A und die Phase ϕ.

x

y

ϕ

A

A eiϕ

51

4 Vektorrechnung

4.1 Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt

Skalarprodukt

~a ·~b =

a1

a2

a3

·

b1b2b3

=

a1b1 + a2b2 + a3b3

|~a| · |~b| · cos <)(~a,~b)

|~b| cosϕ ~a

~b

ϕ

Eigenschaften des Skalarproduktes:

(1)(2)

~a · ~a ≥ 0

~a · ~a = 0 ⇐⇒ ~a = ~0

positive Definitheit

(3) ~a ·~b = ~b · ~a Kommutativgesetz

(4) ~a · (~b+ ~c) = ~a ·~b+ ~a · ~c Distributivgesetz

(5) (λ~a) ·~b = λ (~a ·~b)

Lange von ~a : |~a| =√~a2 =

√~a · ~a =

√

a21 + a2

2 + a23

es ist |~a|2 = ~a2 und |λ~a| = |λ| |~a|

Winkel∗) zwischen ~a,~b : cos <)(~a,~b) =~a·~b|~a|·|~b| =

a1b1+a2b2+a3b3√a21+a

22+a

23 ·√b21+b

22+b

23

Senkrechtstehen∗): ~a ⊥ ~b ⇐⇒ ~a ·~b = 0

∗)Winkel und Senkrechtstehen nur sinnvoll fur ~a,~b 6= ~0.

Cauchy–Schwarzsche Ungleichung: |~a ·~b| ≤ |~a| · |~b|Das Gleichheitszeichen gilt genau dann,

wenn ~a,~b linear abhangig sind!

Dreiecksungleichung: |~a+~b| ≤ |~a|+ |~b|

❯~a+~b

~a

~b

Kosinussatz (~a−~b)2 = ~a2 − 2~a~b +~b2

|~a−~b|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2|~a| · |~b| · cos <) (~a,~b)

(Kosinussatz siehe

auch Seite 18)

Pythagoras(<)(~a,~b) = 900

)|~a−~b|2 = |~a|2 + |~b|2

<)(~a,~b)

~a−~b~a~b

s~a−~b

~a~b

Das Skalarprodukt kann entsprechend in jedem IRn definiert werden!

52 4 VEKTORRECHNUNG

Vektorprodukt

~a×~b =

a1

a2

a3

×

b1b2b3

=

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

|~a×~b| = |~a| · |~b| · sin <)(~a,~b)

................ ...... ...... ...... ......

F

~a×~b

~a

~b

ϕ

Eigenschaften des Vektorproduktes:

(1) ~a×~b steht senkrecht auf ~a und ~b.

(2) |~a×~b| = |~a| · |~b| · sin <)(~a,~b) =Flacheninhalt F des von ~a und ~baufgespannten Parallelogramms.

(3) ~a, ~b, ~a×~b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

(4) |~a×~b|2 = (~a×~b)2 =

∣∣∣∣∣

~a~a ~a~b

~a~b ~b~b

∣∣∣∣∣

= det

(

~a~a ~a~b

~a~b ~b~b

)

Rechenregeln

(5) ~a×~b = −(~b× ~a) (6) (λ~a)×~b = ~a× (λ~b) = λ(~a×~b)(7) ~a× (~b+ ~c) = ~a×~b+ ~a× ~c

(8) ~a×~b = ~0 ⇐⇒ ~a,~b sind linear abhangig.

mehrfache Produkte

(9) ~a · (~b× ~c) = (~a×~b) · ~c = 〈~a,~b,~c 〉 Spatprodukt (Determinante)

(10)~a× (~b× ~c) = (~a · ~c)~b− (~a ·~b)~c(~a×~b)× ~c = (~a · ~c)~b− (~b · ~c)~a

Entwicklungssatz

(11) ~a× (~b × ~c) +~b× (~c× ~a) + ~c× (~a×~b) = ~0 Jacobi–Identitat

Skalarprodukt aus 2 Vektorprodukten

(12) (~a×~b) · (~c× ~d) = (~a · ~c)(~b · ~d)− (~a · ~d)(~b · ~c) Lagrange–Identitat

speziell: (~a×~b)2 = ~a2~b2 − (~a ·~b)2

Vektorprodukt aus 2 Vektorprodukten

(13) (~a×~b)× (~c× ~d) = 〈~a,~c, ~d 〉~b − 〈~b,~c, ~d 〉~a = 〈~a,~b, ~d 〉~c − 〈~a,~b,~c 〉~dspeziell: (~a×~b)× (~b × ~c) = 〈~a,~b,~c 〉~b

Beispiel

Man berechne Flache F und Winkel ϕ des von ~a = (2,−1, 1)

und ~b = (−1, 3, 2) aufgespannten Parallelogramms.

F

~a

~b

ϕ

~a×~b =

2−1

1

×

−132

=

−5−5

5

F = |~a×~b| = 5√

3

ϕ = <)(~a,~b) = arcsin|~a×~b||~a|·|~b| = arcsin

5√

3√6√

14≈ 70.90

4.1 Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt 53

Spatprodukt

~a

~b

~c

〈~a,~b,~c 〉 =

∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣

= det(~a,~b,~c)

= ~a · (~b× ~c) = ~c · (~a×~b) = ~b · (~c× ~a)

= 〈~a,~b,~c 〉 = 〈~c,~a,~b 〉 = 〈~b,~c,~a 〉zyklische Vertauschungen andern das Spatprodukt nicht!

= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a2b1c3 − a1b3c2Regel von Sarrus, siehe Seite 63.

Eigenschaften des Spatproduktes:

(1) 〈~a,~b,~c 〉

> 0= 0< 0

⇐⇒ ~a,~b,~c bilden ein Rechtssystem.

⇐⇒ ~a,~b,~c sind lin. abhangig (liegen in einer Ebene).

⇐⇒ ~a,~b,~c bilden ein Linkssystem.

(2) 〈~a,~b,~c 〉 = −〈~b,~a,~c 〉 = −〈~a,~c,~b 〉 = −〈~c,~b,~a 〉

(3) 〈~a,~b,~c 〉 =orientiertes Volumen (= Volumen mit Vorzeichen)

des von den drei Vektoren ~a,~b,~c aufgespannten Spats.

(4) |〈~a,~b,~c 〉 | = Volumen des von ~a,~b,~c aufgespannten Spats.

(5) 16|〈~a,~b,~c 〉 | = Volumen des von ~a,~b,~c aufgespannten Tetraeders.

(6) 〈~a,~b,~c 〉2 =

∣∣∣∣∣∣∣

~a~a ~a~b ~a~c

~a~b ~b~b ~b~c

~a~c ~b~c ~c~c

∣∣∣∣∣∣∣

= det

~a~a ~a~b ~a~c

~a~b ~b~b ~b~c

~a~c ~b~c ~c~c

~a,~b,~c linear abhangig ⇐⇒ 〈~a,~b,~c 〉 = 0 ⇐⇒ ~a,~b,~c liegen in einer Ebene.

Die Geraden ~x = ~a1 + t~b1 und ~x = ~a2 + t~b2 sind windschief ⇐⇒ 〈~a1 − ~a2,~b1,~b2 〉 6= 0.

Beispiel Es seien ~a =

12−1

, ~b =

20−2

, ~c =

112

.

Man berechne das Volumen VS des von ~a,~b,~c aufgespannten Spats,

sowie das Volumen VT des von ~a,~b,~c aufgespannten Tetraeders.

〈~a,~b,~c〉 = det(~a,~b,~c) =

∣∣∣∣∣∣

1 2 12 0 1−1 −2 2

∣∣∣∣∣∣

= 1 · 0 · 2 + 2 · (−2) · 1 + (−1) · 2 · 1− 1 · 0 · (−1)− 1 · (−2) · 1− 2 · 2 · 2 = −12

Die Determinante ist negativ, die Vektoren ~a,~b,~c bilden also ein Linkssystem!

Fur die Volumina erhalt man (Tetraedervolumen =16

Spatvolumen):

Vol. des Spats: VS = |〈~a,~b,~c〉| = |det(~a,~b,~c)| = 12, Vol. des Tetraeders: VT =16VS = 2.

54 4 VEKTORRECHNUNG

4.2 Geraden in der Ebene, Geraden und Ebenen im Raum

Geraden im IR2

kartesische Darstellung vektorielle Darstellung

Koordinatenform (Punkt–) Normalform

ax+ by = c

x

y

~n~x0

~x

~n · ~x = ~n · ~x0

~n =

(ab

)

Punktrichtungsform Parameterdarstellung

y−y1x−x1

= m

x

y

1α

m=tanα

x

y

~a

~bG : ~x = ~a+ t~b

t ∈ IR

Zwei–Punkte–Form Zwei–Punkte–Form

y−y1x−x1

=y2−y1x2−x1

x

y

(x1,y1)

(x2,y2)(x,y)

x

y

~p1

~p2~x

G : ~x = ~p1 + t (~p2−~p1)

t ∈ IR

Achsenabschnittsform

xax

+yay

= 1

x

y

ay

ax

Hessesche Normalform Hessesche Normalforma√a2+b2

x+b√

a2+b2y = d, d ≥ 0 ~n · ~x = d, |~n| = 1, d ≥ 0

(d : ist der Abstand der Geraden vom Ursprung.)

Geraden im IR3

Punkt–Richtungs–Form

G : durch den Endpunkt von ~a und

mit dem Richtungsvektor ~b

G : ~x = ~a+ t~b, t ∈ IR

~a

~x~b

G

O

Zwei–Punkte–Form

G : durch zwei verschiedene Punkte P1, P2

mit ~p1 =−→

OP1, ~p2 =−→

OP2, ~p2−~p1 =−→

P1P2:

G : ~x = ~p1 + t(~p2 − ~p1), t ∈ IRO

~p1

~p2−~p1P1

P2

~p2

~x

G

4.2 Geraden in der Ebene, Geraden und Ebenen im Raum 55

Ebenen im IR3

. ........................

.............

.............

.............

........

......

~a

~b

~c

~n

~x

E

q

~x−~a

~a

~n

~x~x−~a

E

−1

0

1

2

d

~n

~x

E

❨

x

y

z

E

c′

a′

b′

Parameterdarstellung

(1) E durch den Endpunkt von ~a und

mit den Richtungsvektoren ~b, ~c

E : ~x = ~a+ r~b+ s~cNormalenvektor:

~n = ~b× ~c

(2) E durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte P1, P2, P3

E : ~x = ~p1 + r(~p2 − ~p1) + s(~p3 − ~p1)Normalenvektor:

~n = (~p2 − ~p1)× (~p3 − ~p1)

Koordinatenform

E :ax+ by + cz = d

~n · ~x = dNormalenvektor:~n = (a, b, c)

(3) E durch den Endpunkt von ~a mit Normalenvektor ~n

E : ~n · ~x = ~n · ~a oder ~n · (~x− ~a) = 0

Hessesche Normalform

E : ~n · ~x = d , mit|~n| = 1d ≥ 0

~n ist ein Normaleneinheitsvektorund zeigt vom Nullpunkt zur Ebene.

d ist Abstand von E zum Nullpunkt.

(4) E senkrecht zu ~n mit Abstand d zum Nullpunkt

Es gibt zwei derartige Ebenen E1,2, falls d > 0 ist:

E1,2 : ±~n · ~x = d

Achsenabschnittsform

(5) E mit Achsenabschnitten a′, b′, c′

E :xa′ +

yb′ +

zc′ = 1

Normalenvektor:

~n = (1a′,

1b′,

1c′

)

(6) E parallel zur z–Achse mit Achsenabschnitten a′, b′

E :xa′ +

yb′ = 1

Normalenvektor:

~n = (1a′,

1b′, 0)

(7) E parallel zur y, z–Ebene mit Achsenabschnitt a′

E :xa′ = 1

Normalenvektor:

~n = (1a′, 0, 0)

56 4 VEKTORRECHNUNG

Umformung von Ebenengleichungen

Parameterdarstellung in Koordinatenform


E : ~x = ~a+ r~b + s~c≻

Multiplikation mit

~n = ~b× ~c = (a, b, c)

Koordinatenform

E :~n · ~x = ~n · ~a

ax+ by + cz = d

Man multipliziert die Parameterdarstellung mit einem Vektor ~n, der auf den Rich-tungsvektoren ~b und ~c senkrecht steht (Normalenvektor), z.B. mit ~n = ~b× ~c.

Koordinatenform in Parameterdarstellung

KoordinatenformE : ax+ by + cz = d

≻Losen des LGS


E : ~x = ~a+ r~b + s~c

Man lost das LGS ax+ by + cz = d :

Ist a 6= 0, so setzt many = r , z = s und lost nach x auf.

Das Ergebnis schreibt man vektoriell:

E : ~x =

xyz

=

da

00

+ r

− ba

10

+ s

− ca

01

Ist a = 0, so ist b 6= 0 oder c 6= 0, und man geht entsprechend vor !

Koordinatenform in Hessesche Normalform

Man dividiert die Koordinatenform ax+ by+ cz = d durch den Betrag√a2 + b2 + c2

des Normalenvektors ~n = (a, b, c) und macht ggf. die rechte Seite durch Multiplikationder Gleichung mit −1 positiv.

Parameterdarstellung in Hessesche Normalform

1. Parameterdarstellung in Koordinatenform umformen.2. Koordinatenform in Hessesche Normalform umformen.

Beispiel Umformungen von Ebenengleichungen

1.) Parameterdarstellung in Koordinatenform: E : ~x =

1−2

1

+r

120

+s

10−1

~n =

120

×

10−1

=

−21−2

, also E : ~n ·

xyz

= ~n ·

1−2

1

=⇒ E : −2x+ y − 2z = −6.

2.) Koordinatenform in Parameterdarstellung: E : −2x+ y − 2z = −6

Losen des LGS −2x+ y − 2z = −6: z.B.: x = r, z = s =⇒ y = −6 + 2r + 2s

=⇒x = ry = −6 + 2r + 2sz = s

, also (vektorielle Schreibweise) E : ~x =

0−6

0

+ r

120

+ s

021

.

4.3 Abstande, Winkel, Lote 57

4.3 Abstande, Winkel, Lote

Bezeichnungen: Punkte bzw. Vektoren

P = (p1, p2, p3)Q = (q1, q2, q3)

~p =−→

OP , ~q =−→

OQ

~n = (a, b, c), ~x0 =−→

OX0

Geraden

G : ~x = ~a + t~b

G1 : ~x = ~a1 + t~b1G2 : ~x = ~a2 + t~b2

Ebenen

E : ax+ by + cz = dE : ~n · ~x = dE1 : ~n1 · ~x = d1

E2 : ~n2 · ~x = d2

~bd

G

~a

~p P

~p−~a

~a2 ~b2

~a1

~b1

~a1−~a2 d

G1

G2

q

q

G1

G2

ϕ

~b1

~b2

q

G

Eϕ

~b~n

<)(~b,~n)

E1

E2

ϕϕ~n2

~n1

G

E

P

~x0

~p

X0

G

E

P

P ′

~x0

2~x0

~p

~p′

X0

Abstand d

Punkt – Punkt d(P,Q) = |~q − ~p| =√

(q1−p1)2 + (q2−p2)2 + (q3−p3)2

Punkt – Gerade d(P,G) =|~b×(~p−~a)||~b|

Punkt – Ebene d(P,E) =|~n·~p−d||~n| =

|ap1+bp2+cp3−d|√a2+b2+c2

Gerade – Gerade d(G1, G2) =|(~a1−~a2)·(~b1×~b2)|

|~b1×~b2|G1, G2 nicht parallel, also ~b1 ×~b2 6= ~0

Schnittwinkel ϕ

Gerade – Gerade ϕ =<)(G1, G2) =<)(~b1,~b2) = arccos~b1·~b2|~b1| |~b2|

Gerade – Ebene ϕ =<)(G,E) = 900−<)(~b, ~n) = 900−arccos~b·~n|~b| |~n|

Ebene – Ebene ϕ =<)(E1, E2) =<)(~n1, ~n2) = arccos~n1·~n2

|~n1| |~n2|

Lotfußpunkt X0 von

Punkt P auf Gerade G ~x0 = ~a+ t0~b , t0 =(~p−~a)·~b|~b|2

Punkt P auf Ebene E ~x0 = ~p+ t0~n , t0 =d−~n·~p|~n|2

Spiegelpunkt P ′

Fur den Spiegelpunkt P ′ von P an

der Geraden G oder Ebene E gilt: ~p ′ = 2~x0 − ~p,dabei ist X0 der Lotfußpunkt von P auf G bzw. E.

58 4 VEKTORRECHNUNG

4.4 Lineare Abhangigkeit, Basis im Vektorraum IRn

~x ∈ IRn ist Linearkombination von ~a1, . . . ,~ak ∈ IRn

⇐⇒ ~x = x1~a1 + · · ·+ xk~ak mit reellen Zahlen xi ∈ IR.

Die lineare Hulle von ~a1, . . . ,~ak ∈ IRn ist die Menge aller Linearkombinationen von~a1, . . . ,~ak, also die Menge L(~a1, . . . ,~ak) := x1~a1 + · · ·+ xk~ak | xi ∈ IR.

Die Vektoren ~a1, . . . ,~ak ∈ IRn sind linear unabhangig

⇐⇒ der Nullvektor laßt sich nur trivial als Linearkombination derVektoren ~a1, . . . ,~ak darstellen.

⇐⇒ x1~a1 + · · ·+ xk~ak = ~o =⇒ x1 = x2 = · · · = xk = 0.

Die Menge ~a1,~a2, . . . ,~ak ist Basis des IRn

⇐⇒ Jeder Vektor ~b ∈ IRn laßt sich eindeutig als Linearkombinationder Vektoren ~a1, . . . ,~ak darstellen.

⇐⇒ das LGS x1~a1 + · · ·+ xk~ak = ~b ist fur alle ~b ∈ IRn eindeutig losbar.

⇐⇒ L(~a1, . . . ,~ak) = IRn , d.h. ~a1, . . . ,~ak ist ein Erzeugendensystem des IRn

und ~a1, . . . ,~ak sind linear unabhangig.

⇐⇒ L(~a1, . . . ,~ak) = IRn und k = n.

⇐⇒ ~a1, . . . ,~ak sind linear unabhangig und k = n.

⇐⇒ k = n und det (~a1, . . . ,~ak) 6= 0.

Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Ist L = L(~a1, . . . ,~am) die lineare Hulle der m Vektoren ~a1, . . . ,~am ∈ IRn, so laßt

sich schrittweise eine orthogonale Basis (~b1, . . . ,~bk) von L gewinnen:

Ist ~a1 6= ~0 (sonst nehme man einen anderen Vektor), so setzt man:

~b1 := ~a1. Ist ~a2 6∈ L(~a1) = L(~b1), so setzt man:

~b2 := ~a2 − ~a2·~b1~b21

~b1. Ist ~a3 6∈ L(~a1,~a2) = L(~b1,~b2), so setzt man:

~b3 := ~a3 − ~a3·~b1~b21

~b1 − ~a3·~b2~b22

~b2, usw.

Allgemein setzt man: ~bℓ+1 := ~aℓ+1 −~aℓ+1·~b1~b21

~b1 − · · · −~aℓ+1·~bℓ~b2ℓ

~bl

Das Verfahren bricht ab, wenn L(~a1, . . . ,~am) = L(~b1, . . . ,~bk) ist, wenn man also

keinen Vektor ~ak+1 mehr findet, der nicht in L(~b1, . . . ,~bk) liegt.

Aus der Orthogonalbasis (~b1, . . . ,~bk) gewinnt man durch Normieren

eine Orthonormalbasis(

1

|~b1|~b1, . . . ,

1

|~bk|~bk

)

.

59

5 Matrizen, Determinanten, Eigenwerte

5.1 Matrizen

Matrizen

(m,n)–Matrix

A = (aij)

rechteckiges Schema, das aus m · n reellen oder komplexen Zahlenoder auch aus Funktionen (siehe z.B. Jakobi–Matrix) besteht, diein m Zeilen (Zeilenvektoren) und n Spalten (Spaltenvektoren) an-geordnet sind: aij steht in der i–ten Zeile und in der j–ten Spalte.(z bezeichnet die zu z konjugiert komplexe Zahl.)

A = (aij)

(m,n)–Matrix

A⊤ = (aji)transponierte Matrix

(n,m)–Matrix

A⋆ = (aji) = A⊤

= A⊤

adjungierte Matrix

(n,m)–Matrix

A =

a11 · · ·a1n

......

am1· · ·amn

A⊤ =

a11 · · ·am1

......

a1n· · ·amn

A⋆ =

a11 · · · am1

......

a1n · · · amn

Nullmatrix

O =

0 · · · 0...

...0 · · · 0

aij = 0 fur alle i, j.

obere Dreiecksmatrix(m ≤ n)

a11 · · · a1n

0. . .

...0 0 amm · · · amn

aij = 0 fur i > j.

Zeilenstufenmatrix

∗0 ∗

0 ∗. . .

0 ∗0 0

Stufenrander ⋆ sind Zahlen 6= 0, unter denStufen nur Nullen, sonst beliebige Zahlen.

Spezielle quadratische Matrizen (m = n)

Diagonalmatrix

D =diag (d1, . . . , dn) =

d1 0 · · · 00 d2 · · · 0...

......

0 0 · · · dn

= (di · δij)

Einheitsmatrix

E =diag (1, . . . , 1) =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

= (δij)

Kronecker–Symbol

δij =

1 , i = j

0 , sonst

Matrix

symmetrisch A = A⊤ aij = aji

schiefsymmetrisch A = −A⊤ aij = −ajihermitesch A = A⋆ aij = aji , (aji konj. komplex zu aji)

orthogonal A−1 = A⊤ Spalten ~aj von A sind orthonormal

(orthogonal und normiert): ~a⊤i · ~aj = δij .

unitar A−1 = A⋆

normal A · A⋆ = A⋆ ·A

60 5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE

Rechnen mit Matrizen

Multiplikation einer Matrix miteinem Skalar (reell oder komplex)

λA = λ(aij) = (λaij)

A wird komponentenweise mit λ multipliziert

Additionzweier Matrizen

A+ B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

Zwei (m,n)–Matrizen werden komponentenweise addiert

Multiplikationzweier Matrizen

(m,n)–Matrix A = (aij) multipliziert mit (n, l)–Matrix B = (bjk)

ergibt die (m, l)–Matrix C = (cik):

A · B = (aij) · (bjk) = (cik) mit cik =n∑

j = 1

aij · bjk cik ist

Skalarprodukt der i–ten Zeile von A mit der j–ten Spalte von B

Berechnung der Produktmatrix A ·B (Im Allgemeinen ist A · B 6= B · A)

1.) Schreibe die 2. Matrix B nach obenversetzt neben die 1. Matrix A.

B

A AB

2.) Berechne das Skalarprodukt (i–te Zeile von A) · (k–te Spalte von B) = cik

fur i = 1, . . . ,m und k = 1, . . . , l und notiere das Ergebnis cik im Schnittpunktder Verlangerungen der i–ten Zeile von A und der k–ten Spalte von B.

Beispiel A =

(2 2 42 1 1

)

, B =

6 14 −17 2

. Berechne AB und BA.

6 14 −1 = B7 2

A =2 2 4 48 8

= AB2 1 1 23 3

2 2 4= A

2 1 16 1 14 13 25

B = 4 −1 6 7 15 = BA7 2 18 16 30

z.B. ist c21 = 2 · 6 + 1 · 4 + 1 · 7 = 23 z.B. ist c32 = 7 · 2 + 2 · 1 = 16

Rechenregeln

A+B = B +A A(BC) = (AB)C (AB)⊤ = B⊤A⊤

λ(A +B) = λA+ λB (A+B)⊤ = A⊤ +B⊤ (AB)−1 = B−1A−1

A(B + C) = AB +AC(λ(A+B)

)⋆= λ(A⋆ +B⋆) (AB)⋆ = B⋆A⋆

5.1 Matrizen 61

Rang einer Matrix

Der Zeilenrang (Spaltenrang) der Matrix A ist die Dimension des von denZeilenvektoren (Spaltenvektoren) aufgespannten Raumes. Fur jede Matrix A gilt:

Zeilenrang von A = Spaltenrang von A = Rang von A = rgA

Der Rang einer Matrix A andert sich nicht bei elementaren Umformungen:

(1) Vertauschen zweier Zeilen (Spalten)

(2) Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit einer Zahl 6= 0

(3) Addition eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen

Bestimmung des Ranges einer Matrix

Mit elementaren Umformungen bringt man die Matrix auf Zeilenstufenform

und liest ihren Rang ab: rgA = Anzahl der Stufen

Eine (m,n)–Matrix hat vollen Rang ⇐⇒ rgA = min (m,n)

Eine quadratische (n, n)–Matrix hat vollen Rang ⇐⇒ rgA = n⇐⇒ detA 6= 0.

Inverse einer quadratischen Matrix

Sind A,B quadratische (n, n)–Matrizen und ist A · B = E, so heißen A und Binvers zueinander. Man schreibt B = A−1 und es gilt:

A · A−1 = A−1 ·A = E

Existiert A−1, heißt A invertierbar (regular), sonst singular.

A−1 existiert ⇐⇒ detA = |A| 6= 0⇐⇒ A hat vollen Rang n,⇐⇒ die Zeilenvektoren von A sind linear unabhangig,⇐⇒ die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis des IRn.

Rechenregeln

(A ·B)−1 = B−1 ·A−1

(A−1)−1 = A

(A⊤)−1 = (A−1)⊤

detA−1 = (detA)−1 =1

detA

Spur einer quadratischen Matrix

A =

a11 · · · a1n

......

an1 · · · ann

=⇒ spurA =

n∑

i = 1

aii = a11 + · · ·+ ann

= Summe der Diagonalelemente

spur (AB) = spur (BA) ,

spur (A−1BA) = spurB (ahnliche Matrizen haben gleiche Spur).


Berechnung der inversen Matrix

(a) mit Determinantenformel:

n=2

A =

(a bc d

)

A−1 = 1detA

(d −b−c a

)

allgemein

A−1 = 1detA

(Aadj

)⊤

dabei ist Aadj =(

(−1)i+j detAij

)

und (−1)i+j detAij

das algebraische Komplement von aij :

Die Matrix Aij entsteht aus A = (aij) durch Streichender i–ten Zeile und der j–ten Spalte.

(b) mit Gaußschem Algorithmus (elementare Umformungen):

Beispiele (A−1 mittels ele. Umformungen)

A =( 3 1

5 210

01

)

= E

3 10 1

1−5

03

3 00 1

6−5−3

3

E =(

1 00 1

2−5−1

3

)

= A−1

A =

(353

121

112

100

010

001

)

= E

Mittels elementarer Zeilenumformungen formt manso lange um, bis ”links” die Einheitsmatrix steht.

”Rechts” steht dann die gesuchte Matrix A−1.

E =

(100

010

001

3−7−1

−130

−121

)

= A−1

5.2 Determinanten

Determinanten

Jeder quadratischen (n, n)–Matrix A ist eine Zahl detA, die Determinantevon A, zugeordnet. Statt detA schreibt man auch |A|.

detA =∑

σ

sign (σ) · a1σ(1) · · · anσ(n) Leibniz–Formel

σ =(σ(1), σ(2), . . . , σ(n)

)durchlauft dabei alle Permutationen von (1, 2, . . . , n).

sign (σ) =

1 falls σ gerade Permutation−1 falls σ ungerade Permutation

Eine Permutation σ =(σ(1), σ(2), . . . , σ(n)

)von (1, 2, . . . , n) heißt gerade bzw. un-

gerade, wenn die Anzahl der Inversionen von σ(

d.h. i < j aber σ(i) > σ(j))

geradebzw. ungerade ist.

Beispiel σ = (2, 3, 1) ist eine gerade Permutation. Sie hat 2 Inversionen:

1 < 3, aber 2=σ(1) > σ(3)=1 und 2 < 3, aber 3=σ(2) > σ(3)=1, also sign (2, 3, 1) = 1.

σ = (2, 1, 3) ist eine ungerade Permutation. Sie hat 1 Inversion:

1 < 2, aber σ(1) > σ(2), also ist sign (2, 1, 3) = −1.

5.2 Determinanten 63

Determinante einer (2,2)–Matrix

A =

(a bc d

)

=⇒ detA = |A| =∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣= ad− bc

Determinante einer (3,3)–Matrix, Regel von SARRUS

detA =

∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣

= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − c1b2a3 − c2b3a1 − c3b1a2.

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

− a1 b1 c1 +− a2 b2 c2 +− +

Merkregel:

Man schreibt die ersten beiden Zeilen unter die Deter-

minante und addiert die drei Dreierprodukte langs der

durchgezogenen Linien und subtrahiert die drei Dreier-

produkte langs der gestrichelten Linien.

Determinante einer (n,n)–Matrix, LAPLACE scher Entwicklungssatz

detA = det(aij) =n∑

j = 1

(−1)i+jaij detAij

︸︷︷︸

Entwicklung nach deri–ten Zeile

=n∑

i = 1

(−1)i+jaij detAij

︸︷︷︸

Entwicklung nach derj–ten Spalte

Dabei ist Aij die (n−1, n−1) –Matrix, die aus A durch Streichen der i–ten Zeileund j–ten Spalte hervorgeht.

Die mit dem schachbrettartig

∣∣∣∣∣∣∣

+ − · · ·− + · · ·...

...

∣∣∣∣∣∣∣

verteilten Vorzeichen (−1)i+j versehene Determinante (−1)i+j det Aij

heißt das algebraische Komplement von aij.

BeispielEntwicklung nach der 1. Zeile:

∣∣∣∣∣∣

3 0 21 1−10 1 0

∣∣∣∣∣∣

= 3 ·∣∣∣∣

1 −11 0

∣∣∣∣− 0 ·

∣∣∣∣

1 −10 0

∣∣∣∣+ 2 ·

∣∣∣∣

1 10 1

∣∣∣∣= 3 · 1− 0 + 2 · 1 = 5

einfacher ist die Entwicklung nach der 3. Zeile (zweimal 0 in der Zeile!):

= 0 ·∣∣∣∣

0 21 −1

∣∣∣∣− 1 ·

∣∣∣∣

3 21 −1

∣∣∣∣+ 0 ·

∣∣∣∣

3 01 1

∣∣∣∣= (−1) · (−5) = 5

Beispiel (Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente)

Ist R = (rij) eine (n, n)–Dreiecksmatrix, so gilt: detR = r11 · r22 · · · rnn


Rechenregeln fur Determinanten(A,B sind n–reihige quadratische Matrizen.

)

Die elementaren Umformungen einer Matrix (siehe Seite 61) wirken sich fol-gendermaßen auf ihre Determinante aus:

(1) Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten),so andert sich das Vorzeichen der Determinante.

(2) Multipliziert man eine Zeile (Spalte) mit der Zahl λ,so multipliziert sich die Determinante mit λ.

(3) Addiert man das Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen,so andert sich der Wert der Determinante nicht.

detA · B = detA · detB Produktsatz

detA⊤ = detA detA−1 =1

detAdet(α · A) = αn · detA

detA 6= 0 ⇐⇒ die Zeilen (Spalten) von A sind linear unabhangig.⇐⇒ die Zeilen (Spalten) von A sind eine Basis des IRn.⇐⇒ rgA = n.⇐⇒ A hat vollen Rang n.⇐⇒ A−1 existiert, A ist invertierbar, regular.

⇐⇒ A~x = ~b ist eindeutig losbar durch: ~x = A−1~b.

Praktische Berechnung der Determinanten

Man wahlt ein von 0 verschiedenes Element. Durch Addition geeigneter Vielfache der

zugehorigen Zeile (Spalte) zu anderen Zeilen (Spalten) erzeugt man in der zugehorigen

Spalte (Zeile) moglichst viele Nullen. Dann entwickelt man nach dieser Spalte (Zeile).

Beispiel∣∣∣∣∣∣

1 1 3−1 2 2

4 1 1

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 3−3 0 −4

3 0 −2

∣∣∣∣∣∣

= (−1)

∣∣∣∣

−3 −43 −2

∣∣∣∣= (−1) · 18 = −18.

Das (−2)–fache der 1.Zeile wurde zur 2.Zeile und das (−1)–fache der 1.Zeile wurde zur

3.Zeile addiert. Dann wurde nach der 2.Spalte entwickelt.

Cramersche Regel

zur Losung quadratischer linearer Gleichungssysteme A~x = ~b

Ist A eine quadratische (n, n)–Matrix mit detA 6= 0 und ~b ein gegebener Spalten-

vektor, so ist das LGS A~x = ~b eindeutig losbar.

Die Komponenten des Losungsvektors ~x =

x1

...xn

sind xi =

detAidetA

Ai entsteht aus A, indem die i–te Spalte von A durch den Vektor ~b ersetzt wird.

5.3 Eigenwerte 65

5.3 Eigenwerte

Eigenwerte und Eigenvektoren einer (n, n)– Matrix A

(λ, ~x) Eigenpaar von A ⇐⇒ A · ~x = λ~x, ~x 6= ~o

Ist (λ, ~x) ein Eigenpaar von A, so heißtλ ein Eigenwert von A und

~x 6= ~o ein zugehoriger Eigenvektor von A.

Lλ = ~x | A~x = λ~x heißt der zu λ gehorige Eigenraum von A.gλ = dimLλ heißt geometrische Vielfachheit von λ.Die Vielfachheit von λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A heißtalgebraische Vielfachheit kλ. Es gilt 1 ≤ gλ ≤ kλ ≤ n

λ Eigenwert von A ⇐⇒ det(λE −A) = 0charakteristischeGleichung von A

λi Eigenwert von A⇐⇒

λi ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms pA von A.

pA(λ) = det(λE −A) = λn + cn−1λn−1 + · · ·+ c1λ+ c0

Jede (n, n)–Matrix besitzt n (im allgemeinen komplexe) Eigenwerte λ1, . . . , λn,gezahlt entsprechend ihren algebraischen Vielfachheiten.

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhangig.

σ(A) = λ1, . . . , λn heißt das Spektrum von A.ρ(A) = max|λ| : λ Eigenwert von A heißt der Spektralradius von A.

|λ| ≤ ρ(A) fur jeden Eigenwert λ von A.

ρ(A) ≤ ||A|| fur jede zugeordnete Matrixnorm. (siehe Seite 187)

Die Koeffizienten c0, . . . , cn des charakteristischen Polynoms pA heißen

Invarianten von A.c0 = (−1)nλ1 · · ·λn = (−1)n detAcn−1 = −(λ1 + · · ·+ λn) = − spurA = −(a11 + · · ·+ ann)

Beispiel Ist A =

(1 10 1

)

, so gilt:

charakteristisches Polynom: pA(λ) =

∣∣∣∣

λ− 1 −10 λ− 1

∣∣∣∣= (λ− 1)2 = λ2 − 2λ+ 1.

Eigenwerte von A: λ1,2 = 1, algebraische Vielfachheit k1 = 2.

Zu λ1,2 = 1 gehoriger Eigenraum: L1 = (x1

0

)

| x1 ∈ IR, g1 = dimL1 = 1.

Invarianten von A: c0 = (−1)2λ1λ2=(−1)2 detA = 1, c1 = −(λ1 +λ2) =− spurA = −2.

A ist nicht diagonalahnlich (da g1 6= k1, siehe nachste Seite).


Ahnliche Matrizen

Zwei (n, n)– Matrizen A,B sind ahnlich⇐⇒

es gibt eine invertierbare Matrix C mit B = C−1AC.

A 7→ C−1AC heißt Zhnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix C.

A,B ahnlich =⇒ pA = pBZhnliche Matrizen haben dasselbe char. Polynom, unddamit dieselben Invarianten. (Umkehrung gilt nicht!)

(λ, ~x) Eigenpaar von A ⇐⇒ (λ,C−1~x) Eigenpaar von C−1AC.

Geometrische Deutung

Die lineare Abbildung ~x 7→ A · ~x bildet einen Eigenvektor ~x zum Eigenwert λ vonA in das λ–fache dieses Eigenvektors ab: A~x = λ~x.Jeder Eigenraum Lλ wird auf sich abgebildet: ~x ∈ Lλ =⇒ A~x = λ~x ∈ Lλ.Folgende Aussagen sind aquivalent:

Die (n, n)–Matrix A besitzt n linear unabhangige Eigenvektoren ~x1, . . . , ~xnzu den (nicht notwendig verschiedenen) Eigenwerten λ1, . . . , λn.

⇐⇒ X−1AX = D D = diag (λ1, . . . , λn) und X = (~x1, . . . , ~xn)

⇐⇒ alle geometrischen Vielfachheiten sind gleich den algebraischen Vielfachh.

⇐⇒ A ist diagonalisierbar oder diagonalahnlich

⇐⇒ A ist ahnlich zur Diagonalmatrix D mit der Transformationsmatrix X

Normale Matrizen

A normal ⇐⇒ es gibt eine unitare Matrix U (⇔ U−1 = U⋆) und eineDiagonalmatrix D = diag(λ1, . . . , λn), mit U⋆AU = D

Genau die normalen Matrizen (⇔ AA⋆ = A⋆A) sind unitar diagonalisierbar.Hermitesche Matrizen (⇔ A = A⋆) sind unitar diagonalisierbar, alle Eigenw. reell!

Reelle symmetrische Matrizen

A symmetrisch ⇐⇒es gibt eine reelle orthogonale Matrix U (⇔ U−1 = U⊤)aus Eigenvektoren und eine reelleDiagonalmatrix D = diag(λ1, . . . , λn), mit U⊤AU=D

Ist A symmetrisch (⇔ A = A⊤), so gilt:

1. Alle Eigenwerte sind reell und pA(λ) zerfallt in Linearfaktoren.

2. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind nicht nur linearunabhangig, sondern sogar orthogonal !

5.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 67

5.4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen

ϕ : IRn −→ IRm heißt linear, wenn fur alle ~x, ~y ∈ IRn und alle r ∈ IR gilt:

ϕ(~x+ ~y) = ϕ(~x) + ϕ(~y) und ϕ(r · ~x) = r · ϕ(~x)

Kernϕ : = ϕ−1(~0) = ~x ∈ IRn | ϕ(~x) = ~0Bildϕ : = ϕ(IRn) = ~y ∈ IRm | ∃ ~x ∈ IRn , ϕ(~x) = ~yn = dimKernϕ+ dimBildϕ Kern–Bild–Satz

Lineare Abbildungen und Matrizen

Ist M (m,n)–Matrix, so ist ϕM :IRn −→ IRm

~x 7−→M~x,

also ϕM (~x) = M~x,eine lineare Abbildung.

Jede Matrix bestimmt auf diese Art eine lineare Abbildung.Umgekehrt gehort zu jeder linearen Abbildung eine Matrix.

Ist ϕ : IRn → IRm linear und ist M = M(ϕ) =(ϕ(~e1)E , · · · , ϕ(~en)E

)

die (m,n)–Matrix, deren n Spalten aus den E–Koordinatenvektoren ϕ(~ei)Eder Bilder der n kanonischen Basisvektoren ~ei des IRn bestehen, so ist

ϕ = ϕM , d.h. ϕ(~x) = ϕM (~x) = M~x.

Die zu ϕ gehorenden Matrizen hangen von den Basen A des IRn und B des IRm abund werden mit MA

B (ϕ) bezeichnet (siehe nachste Seite).

Zquivalente Matrizen

Die (m,n)–Matrizen A,B heißen aquivalent, wenn sie gleichen Rang haben.

A aquivalent B⇐⇒ rgA = rgB ⇐⇒ es gibt invertierbare Matrizen Z, S

mit ZAS = B.

⇐⇒ A,B beschreiben diesselbe lin. Abb. bzgl. verschiedener Basen.

Beispiel Die Matrix A =

(1 2 10 1 10 2 2

)

hat den Rang 2.

Man bestimme invertierbare Matrizen Z, S, so dass ZAS =

(1 0 00 1 00 0 0

)

ist.

A 1 2 1 1 0 0 E0 1 1 0 1 0 −2

ZAS 0 2 2 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 0 00 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 Z0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−2 11−2 1 1−2−1 1 0 00 1−1 0 1 0 0 1 0 E0 0 1 0 0 1 0 0 1

S −1 1 −2 1

−1 1

Schema: A E

ZAS ZA Z

S E

A uberfuhrt man

durch Zeilenumformungen (Matrix Z) inZA und Spaltenumformungen (Matrix S)

in die Normalform ZAS =

(1 0 00 1 00 0 0

)

.


Orthogonale Abbildungen

Die zu einer orthogonalen (n, n)–Matrix M gehorende lineare

Abbildung ϕ : IRn → IRn mit ϕ(~x) = M~x heißt orthogonal.

M orthogonale Matrix ⇐⇒Die Spalten von M bilden eine Basis des IRn

aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren.Eine solche Basis heißt orthonormale Basis (ONB).

⇐⇒ M⊤ = M−1 ⇐⇒ MM⊤ = E ⇐⇒ M orthonormale Basis (ONB).

Eigenschaften orthogonaler Abbildungen

Die orthogonale Abbildung ϕ

(1) ist langentreu, d.h. |ϕ(~x)| = |~x|,(2) ist winkeltreu, d.h. <)

(ϕ(~x), ϕ(~y )

)=<)(~x, ~y ),

(3) uberfuhrt ONB (⇔ A⊤ = A−1) in ONB.

Genauer:Ist A =

(~a1, . . . ,~an

)orthonormale Basis, so ist ϕ(A) =

(ϕ(~a1), . . . , ϕ(~an)

)

genau dann orthonormale Basis, wenn ϕ orthogonal ist.

Abbildungsmatrix MAB(ϕ)

Ist ϕ eine lineare Abbildung des IRn mit der Basis A = (~a1, . . . ,~an)

in den IRm mit der Basis B = (~b1, . . . ,~bm), kurz:

Ist ϕ : IRnA −→ IRmB linear, so giltϕ(~x)B = MA

B (ϕ) · ~xA , mit

MAB (ϕ) =

(ϕ(~a1)B, . . . , ϕ(~an)B

)

Man erhalt den B–Koordinatenvektor ϕ(~x)B des Bildes ϕ(~x), indem man denA–Koordinatenvektor ~xA von ~x von links mit der Matrix MA

B (ϕ) multipliziert.

MAB (ϕ) ist die (m,n)–Matrix, deren n Spalten die B–Koordinatenvektoren der

Bilder der n Basisvektoren von A sind.

Merke: Die Spalten von MAB (ϕ) sind die durch ϕ abgebildeten

und durch B ausgedruckten Basisvektoren von A !MA

B ( ϕ )

Ist ϕ invertierbar, so gilt: MBA (ϕ−1) =

(MAB (ϕ)

)−1

Bemerkung: Ist E die kanonische Basis, so schreibt man fur MEE (ϕ) kurz M(ϕ).

Beispiel ~a1 =

(11

)

, ~a2 =

(−1

1

)

und ~b1 =

(01

)

, ~b2 =

(−1

0

)

, ϕ : Drehung um 900.

ϕ(~a1) =

(−1

1

)

= 1~b1 + 1~b2, ϕ(~a2) =

(−1−1

)

= −1~b1 + 1~b2 =⇒ MAB (ϕ) =

(1 −11 1

)


Koordinatentransformationsmatrix MAB (id)

Sind A,B Basen des IRn, so gilt fur die Koordinatenvektoren:

~xB = MAB (id) · ~xA

MAB (id) = (~a1B , . . . ,~anB)

MBA (id) =

(MAB (id)

)−1

Die Spalten von MAB (id) sind

die Koordinatenvektoren ~aiB

der Basis A = (~a1, . . . ,~an)bzgl. der Basis B.

A–Koordinaten gehen durch Multiplikation mit MAB (id) in B–Koordinaten uber!

Ist speziell B = E, so ist:MAE (id) = A

(MAE (id)

)−1= ME

A (id) = A−1und

~xE = A~xA

~xA = A−1~xE

A–Koordinaten gehen durch Multiplikation mit A in E–Koordinaten uber!E–Koordinaten gehen durch Multiplikation mit A−1 in A–Koordinaten uber!

Nacheinanderausfuhren linearer Abbildungen

Das Nacheinanderausfuhren linearer Abbildungen ϕ und ψ ergibt wieder einelineare Abbildung ψ ϕ, deren Matrix das Produkt der Matrizen von ψ und vonϕ ist. Die Reihenfolge ist zu beachten:

IRnA

IRmB

IRkC

ψ ϕ

ϕ ψ

ϕ, ψ linear =⇒ ψ ϕ linear

(ψ ϕ)(~x) = ψ(ϕ(~x))

MAC (ψ ϕ) = MB

C (ψ)MAB (ϕ)

(ψ ϕ)(~x)C = MBC (ψ)MA

B (ϕ) ~xA

Abbildungsmatrix bei Basiswechsel MA′

B′ (ϕ)

Ist ϕ eine lineare Abbildungdes IRn mit den Basen A und A′ in den IRm mit den Basen B und B′, kurz:

Ist ϕ : IRnA,A′ −→ IRmB,B′ linear,

dann gilt fur die Matrix MA′

B′ (ϕ), die ϕ bzgl. der Basen A′, B′ beschreibt:

MA′

B′ (ϕ) = MBB′(id) MA

B (ϕ) MA′

A (id)

ϕIRnA −→ IRmB

id ↑ ↓ id

IRnA′ −→ IRmB′ϕ

ϕ(~x)B′ = MA′

B′ (ϕ) ~xA′ = MBB′(id) MA

B (ϕ) MA′

A (id)~xA′

︸︷︷︸

= ~xA︸︷︷︸

= ϕ(~x)B︸︷︷︸

= ϕ(~x)B′


Drehungen des Raumes und Drehmatrizen

Berechnung der Drehmatrix M(δ)bei gegebener Drehung δ (Drehachse ~a und Drehwinkel α)

Ist δ : IR3 → IR3 die Drehung des Raumes um den Winkel α (−π < α ≤ π) bzgl.der Achse ~a (|~a| = 1), so berechnet man die Drehmatrix M(δ) wie folgt:

1.) Man wahle einen Einheitsvektor ~b senkrecht zu ~a (|~b| = 1, ~a ·~b = 0),

dann ist A := (~a,~b,~a×~b) orthogonal (kartes. Basis), also A−1 = A⊤ und

MAA (δ) =

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα

die Drehmatrixvon δ bzgl. A.

2.) Die gesuchte Drehmatrix M(δ) ist:

M(δ) = MEE (δ) = AMA

A (δ)A−1 = AMAA (δ)A⊤ , also

M(δ) = AMAA (δ)A⊤ Eine andere Moglichkeit,

siehe nachste Seite!

Berechnung von Drehachse ~a und Drehwinkel α

bei gegebener Drehmatrix M

M Drehmatrix ⇐⇒ detM = 1MM⊤ = E

⇐⇒detM = 1

Die Spalten von M sind paarweiseorthonormale Einheitsvektoren.

1.) Die Drehachse ~a ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

2.) Fur den zu ~a gehorigen Drehwinkel α gilt

1 + 2 cosα = spurM , also cosα = 12( spurM − 1).

Da cosα = cos(−α) ist, erhalt man so ±α und muss sichfur α oder −α entscheiden. Zunachst die Sonderfalle:

cosα = 1 =⇒ α = 0; dies ergibt sich nur, falls M = E ist.cosα = −1 =⇒ α = π.

Im Ubrigen entscheidet man sich durch (geschicktes) Probieren:

Man wahle einen Vektor ~b senkrecht zu ~a, also mit ~a ·~b = 0, und

berechne M~b. Dann gilt:

det(~a,~b,M~b) > 0 =⇒ 0 < α < π =⇒ α = arccos 12( spurM − 1)

det(~a,~b,M~b) < 0 =⇒ −π < α < 0 =⇒ α = − arccos 12( spurM − 1)

Damit ist der zur Drehachse ~a gehorige Drehwinkel α bestimmt.

Beispiel Achse ~a = (1, 1, 1), Winkel α1 = 600, α2 = 450, Drehmatrix M(αi) ?

M(600) =13

2−1 22 2−1−1 2 2

, M(450) =16

2 + 2√

2 2−2√

2−√

6 2−2√

2 +√

6

2−2√

2 +√

6 2 + 2√

2 2−2√

2−√

6

2−2√

2−√

6 2−2√

2 +√

6 2 + 2√

2


Drehung des Raumes um den Winkel α um die Achse ~a

Ist ~a Einheitsvektor, also |~a| = 1 und δ : IR3 → IR3 die Drehung um den Winkelα um die Achse ~a, so lasst sich δ(~x) folgendermaßen aus ~a, ~x und ~a × ~x linearkombinieren:

δ(~x) = (1− cosα)~a~x · ~a+ cosα · ~x+ sinα · (~a× ~x)

Berechnung der Drehmatrix M(δ) bei gegebener Drehung δ.

Ist δ : IR3 → IR3 die Drehung des Raumes um den Winkel α (−π < α ≤ π) unddie Achse ~a (|~a| = 1), so lasst sich M(δ) folgendermaßen aus dem Winkel α undden Koordinaten des Einheitsvektors ~a = (a, b, c) berechnen:

M(δ) = (1−cosα)

a2 ab acab b2 bcac bc c2

+ cosα

1 0 00 1 00 0 1

+ sinα

0 −c bc 0 −a−b a 0

Beispiel Es sei δ die Drehung des Raumes um 600 um die Achse (1, 1, 1).Man bestimme die Drehmatrix M(δ) (siehe Beispiel M(600) vorige Seite).

Es ist α = 600, cosα =12, sinα =

12

√3 , ~a =

1√3

(1, 1, 1), also:

M(δ) = (1− 12)13

1 1 11 1 11 1 1

+12

1 0 00 1 00 0 1

+12

√3

1√3

0 −1 11 0 −1−1 1 0

=13

2 −1 22 2 −1−1 2 2

Andere Moglichkeit, die Drehmatrix zu berechnen: vorige SeiteBestimmung von Drehwinkel und Drehachse einer Drehmatrix: vorige Seite.

Orthogonale Abbildungen der Ebene (Drehung, Spiegelung)

Fur die orthogonale Abbildung ϕ

mit ϕ(~x) = M · ~x und M−1 = M⊤

besteht die Alternative

(1) detM = 1. Dann ist ϕ eine Drehung

um den Ursprung um einen Winkel α und

Abbildungsmatrix M =

(cosα − sinαsinα cosα

)

.

~e1

~e2

α

α

cosα

sinα

−sinα

cosα

ϕ(~e1)=

(cosαsinα

)ϕ(~e2)=(− sinα

cosα

)

❪

(2) detM = −1. Dann ist ϕ eine Spiegelung

an der Ursprungsgeraden G mit Steigungs-winkel α/2 und der

Abbildungsmatrix M =

(cosα sinαsinα − cosα

)

.

G

~e1

~e2

α/2

ϕ(~e1)=(

cosαsinα

)

ϕ(~e2)=(

sinα− cosα

)

❫


Projektion des Raumes auf eine Ebene/Gerade

Es sei S eine Ebene bzw. G eine Gerade des IR3 durch den Nullpunkt und πS bzw.πG die Projektion des IR3 auf S bzw. G (siehe Lotfußpunkt Seite 57).E ist die Einheitsmatrix!

Projektion auf S bzw. G Abbildungsmatrix

πS Ebene S : ~n · ~x = 0 mit |~n| = 1 M(πS) = E − ~n~n⊤

πG Gerade G : ~x = r~b, r ∈ IR mit |~b| = 1 M(πG) = ~b~b⊤

Spiegelung des Raumes an einer Ebene/Geraden

Es sei S eine Ebene bzw. G eine Gerade des IR3 durch den Nullpunkt und σS bzw.σG die Spiegelung des IR3 an S bzw. G (siehe Spiegelpunkt Seite 57).

Spiegelung an S bzw. G Abbildungsmatrix

σS Ebene S : ~n · ~x = 0 mit |~n| = 1 M(σS) = E − 2~n~n⊤

σG Gerade G : ~x = r~b, r ∈ IR mit |~b| = 1 M(σG) = 2~b~b⊤ − E

Beispiel Es sei σS die Spiegelung des Raumes an der Ebene S : 2x− y + 2z = 0.Man bestimme die Abbildungsmatrix M(σS).

|

2−1

2

| = 3. Setze ~n :=13

2−1

2

, so ist S : ~n · ~x = 0 mit |~n| = 1.

M(σS) = E − 2~n~n⊤ =

1 0 00 1 00 0 1

− 2 · 13

2−1

2

13(2,−1, 2)

=

1 0 00 1 00 0 1

− 29

4 −2 4−2 1 −2

4 −2 4

=19

1 4 −84 7 4−8 4 1

Beachte: ~n ist Spaltenvektor und ~n⊤ Zeilenvektor, ~n · ~x ist das Skalarprodukt,

also eine Zahl, und ~n~n⊤ ist das Matrizenprodukt, also eine 3× 3–Matrix.

Spezielle Abbildungen der Ebene(Die Abbildungsmatrizen beziehen sich auf die kanonische Basis E.)

Spiegelung an Drehung um Projektion auf

x–Achse

(1 00 −1

)

α0

(cosα − sinαsinα cosα

)

x–Achse

(1 00 0

)

y–Achse

(−1 0

0 1

)

450 12

√2

(1 −11 1

)

y–Achse

(0 00 1

)

Geradey = x

(0 11 0

)

600 12

(1 −

√3√

3 1

)Geradey = x

12

(1 11 1

)

Geradey = ax

11+a2

(1−a2 2a2a a2−1

)

900

(0 −11 0

)Geradey = ax

11+a2

(1 aa a2

)

73

6 Folgen, Reihen

6.1 Endliche Summen

Endliche Summen Binomialkoeff.(nk

)S. 7 , Bernoullische Zahlen Bk S. 80.

∑nk=1 k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =

n(n+1)2

∑nk=1 2k − 1 = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2

∑nk=1 2k = 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n(n+ 1)

∑nk=1 k

2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+1)(2n+1)

6∑n

k=1(2k−1)2 = 12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 =n(4n2−1)

3∑n

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

n2(n+1)2

4=(n(n+1)

2

)2

∑nk=1

1k(k+1)

= 11·2 + 1

2·3 + 13·4 + · · ·+ 1

n(n+1)= 1− 1

n+1= n

n+1∑n

k=1 km = 1m + 2m + 3m + · · ·+ nm = 1

m+1

∑mk=0

(m+ 1k

)

Bk(n+ 1)m+1−k

Binomische Formel

(a+ b)n =

n∑

k=0

(nk

)

an−kbk =(n0

)

an +(n1

)

an−1b+ · · ·+(nn

)

bn, n ∈ IN

siehe auch Seite 8.

∑nk=0

(nk

)

xk =(n0

)

+(n1

)

x+ · · ·+(nn

)

xn = (1 + x)n

∑nk=0

(nk

)

=(n0

)

+(n1

)

+ · · ·+(nn

)

= 2n

∑nk=0 k

(nk

)

= 1 ·(n1

)

+ 2 ·(n2

)

+ · · ·+ n ·(nn

)

= n 2n−1

∑nk=0(−1)k

(nk

)

=(n0

)

−(n1

)

+ · · ·+ (−1)n(nn

)

= 0

Geometrische Summe (endliche geom. Reihe)n∑

k=0

ak = 1 + a+ a2 + · · ·+ an =an+1−1a−1 , fur a 6= 1

n∑

k=m

ak = am + am+1 + am+2 + · · ·+ an =an+1−ama−1 , fur a 6= 1

n∑

k=0

akbn−k = bn + abn−1 + a2bn−2 + · · ·+ an =an+1−bn+1

a−b , fur a 6= b

Arithmetische Summe

ak = a1 + (k − 1)d

= ak−1 + d

n∑

k=1

ak = a1+(a1+d)+(a1+2d)+· · ·+(a1+(n−1)d)

= na1 +n(n−1)

2d =

n(a1+an)2

74 6 FOLGEN, REIHEN

6.2 Zahlenfolgen und Reihen

Folgen

h ist Haufungspunkt der Folge (an)

⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 und jedem n0 ∈ IN gibt es ein n ≥ n0 mit |an − h| < ǫ.⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∀n0 ∈ IN ∃n ∈ IN : n ≥ n0 ∧ |an − h| < ǫ.⇐⇒ an liegt immer wieder in jeder Umgebung von h.

a ist Grenzwert der Folge (an)

⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 gibt es ein n0 ∈ IN mit |an − a| < ǫ fur alle n ≥ n0.⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∃n0 ∈ IN ∀n ∈ IN : n ≥ n0 =⇒ |an − a| < ǫ.⇐⇒ an liegt schließlich in jeder Umgebung von a.

Bezeichnungen: limn→∞

an = a oder an −→ a oder (an) konvergiert gegen a.

(an) ist beschrankt ⇐⇒ es gibt S ∈ IR mit |an| ≤ S fur alle n ∈ IN.

Die reelle Folge (an) ist monotonwachsendfallend

⇐⇒ fur alle n ∈ IN gilt an+1≥

≤an.

Satz von Weierstraß: Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungspunkt.

Cauchy–Kriterium: (an) ist konvergent⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 gibt es ein n0 mit|an − am| < ǫ fur alle n,m ≥ n0.

Monotonie–Krit.: Jede monotone und beschrankte reelle Folge ist konvergent.

Rechenregeln

Ausan −→ abn −→ b , folgt:

an ± bn −→ a± ban · bn −→ a · b

anbn−→ a

b , fur bn, b 6= 0

abnn −→ ab , fur an, a > 0

acn −→ ac , fur an, a > 0

spezielle Grenzwerte fur n −→∞n√a −→ 1

n√n −→ 1

n√n! −→ ∞1nn√n! −→ 1

e

an

n! −→ 0

nn

n!−→ ∞

(n+1n

)n −→ e(1 +

1n

)n −→ e(1 +

xn

)n −→ ex

(1− x

n

)n −→ e−x

n( n√x − 1) −→ lnx, fur x > 0(an

)

−→ 0, fur a > −1

geometrische Folge

an −→

0 , fur |a| < 11 , fur a = 1

an divergent fur a ≤ −1 oder a > 1

k feste naturliche Zahl

an

nk −→

0 , fur |a| ≤ 1

∞ , fur a > 1

Fibonaccifolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . siehe [HM, Seite 335]

rekursiv: a1 = a2 = 1, und an+2 = an + an+1

explizit: an = 1√5

((1+√

52

)n−(1−

√5

2

)n)

11, 12, 23, 35, 58, 813, . . . −→

√5−12

an

an+1−→

√5−12

, diese Folge

von Quotienten konvergiert gegen a =√

5 −12≈ 0.618, goldener Schnitt, S. 20.

6.2 Zahlenfolgen und Reihen 75

Konvergenz von Reihen

Die Reihe∑∞k=0 ak wird als Folge der Partialsummen (

∑nk=0 ak) definiert.

∞∑

k=0

ak := limn→∞

n∑

k=0

ak

Konvergenz–Kriterium∑∞

k=0 ak ist konvergent,∑∞

k=0 ak = s ⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 gibt es ein n0 mit|∑n

k=0 ak − s| < ǫ fur alle n ≥ n0.

Cauchy–Kriterium∑∞

k=0 ak ist konvergent ⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 gibt es ein n0 mit|∑m

k=n ak| < ǫ fur alle n0 ≤ n < m.

Notwendiges Kriterium

Ist∑∞

k=0 ak konvergent , so ist notwendigerweise limk→∞

ak = 0.

Absolute Konvergenz und bedingte Konvergenz

Die Reihe∑∞

k=0 ak heißt

absolut konvergent, falls die Reihe der Betrage∑∞

k=0 |ak| konvergiert.

unbedingt konvergent, falls jede Umordnung der Reihegegen denselben Wert konvergiert.

bedingt konvergent, falls sie konvergiert, aber nicht unbedingt konvergiert.∑∞

k=0 ak ist absolut konvergent ⇐⇒ ∑∞k=0 ak ist unbedingt konvergent.

Rechenregeln fur konvergente Reihen

Sind∑∞

k=0 ak = a und∑∞

k=0 bk = b konvergente Reihen und ist rǫIR, so gilt :∑∞

k=0(ak + bk) =∑∞

k=0 ak +∑∞k=0 bk = a+ b (Addition konvergenter Reihen)

∑∞k=0 r · ak = r ·∑∞

k=0 ak = r · a (Multiplikation mit r ∈ IR)

Rechenregeln fur absolut konvergente Reihen

Zwei absolut konvergente Reihen∑∞

k=0 ak = a und∑∞

k=0 bk = bdurfen beliebig multipliziert werden.

Jede Produktreihe ist absolut konvergent mit stets gleichem Grenzwert:(∑∞

k=0 ak)·(∑∞

n=0 bn)

=∑∞k,n=0 ak · bn = a · b

Bei absolut konvergenten Reihen gilt fur das Cauchyprodukt:∑∞

n=0

(∑nk=0 akbn−k

)= a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b1 + a2b0) + · · · = a · b

76 6 FOLGEN, REIHEN

Konvergenzkriterien fur Reihen

Majorantenkriterium∑∞k=0 ak ist absolut konvergent, wenn es eine

konvergente Reihe∑∞

k=0 bk und ein n0 gibt mit |ak| ≤ bk fur alle k ≥ n0.

Minorantenkriterium∑∞k=0 ak ist divergent, wenn es eine

divergente Reihe∑∞k=0 bk und ein n0 gibt mit 0 ≤ bk ≤ ak fur alle k ≥ n0.

Quotientenkriterium

Existiert q := limk→∞

|ak+1||ak| , so ist

∑∞k=0 ak

absolut konvergent fur q < 1divergent fur q > 1

Wurzelkriterium :

Existiert q := limk→∞

k√

|ak| , so ist∑∞k=0 ak

absolut konvergent fur q < 1divergent fur q > 1

Wenn die Grenzwerte nicht existieren, betrachte man ggf. q = lim sup.

Ist q = 1, so sagen Wurzel– und Quotientenkriterium nichts aus!

Ist das Quotientenkriterium anwendbar, so auch das Wurzelkriterium, aber i.A.nicht umgekehrt!

Vergleichskriterium

Sind (ak) und (bk) Folgen mit bk > 0 und limk→∞

ak

bk= r 6= 0, so gilt :

∑∞k=0 ak ist konvergent ⇐⇒ ∑∞

k=0 bk ist konvergent

Integralkriterium

Ist f : [1,∞) −→ IR monoton fallend , so gilt :∑∞

k=1 f(k) ist konvergent ⇐⇒∫∞1f(x)dx ist konvergent

Alternierende ReihenLeibniz–Kriterium

Eine alternierende Reihe∑∞k=0(−1)kak mit ak > 0 ist konvergent,

wenn die Folge (ak) eine monotone Nullfolge ist.

Fehlerabschatzung:

Ist Sn =∑n

k=0(−1)kak und S =∑∞

k=0(−1)kak, so gilt |S − Sn| ≤ an+1

Beispiel

1− 12

+13− 1

4± · · · = ln 2 (siehe auch nachste Seite)

| ln 2−(1− 1

2+

13− 1

4± · · · + (−1)n−1

n

)| = |S − Sn| ≤ 1

n+1(Fehlerabschatzung)

6.3 Funktionenfolgen 77

Spezielle Reihen

∑∞k=0 a

k =1 +a+a2+· · · =

1

1−a fur |a| < 1

divergent fur |a| ≥ 1Geometrische Reihe

∑∞k=n a

k = an∑∞k=0 a

k =

an

1−a fur |a| < 1

divergent fur |a| ≥ 1Geometrische Reihe

∑∞k=1

1k

= 1 + 12

+ 13

+ 14

+ · · · = ∞ (harmonische Reihe)∑∞

k=11kα = 1 + 1

2α + 13α + 1

4α + · · · konvergent ⇐⇒ α > 1∑∞

k=1(−1)k−1 1k

= 1− 12

+ 13− 1

4± · · · = ln 2

∑∞k=1

1k2k = 1

1·21 + 12·22 + 1

3·23 + · · · = ln 2∑∞

k=2k−1k!

= 12!

+ 23!

+ 34!

+ 45!

+ · · · = 1∑∞

k=012k = 1 + 1

2+ 1

22 + 123 + 1

24 + · · · = 2∑∞

k=01k!

= 1 + 11!

+ 12!

+ 13!

+ 14!

+ · · · = e∑∞

k=0(−1)k 1k!

= 1− 11!

+ 12!− 1

3!+ 1

4!± · · · = 1

e∑∞

k=0(−1)k 12k+1

= 1− 13

+ 15− 1

7± · · · = π

4∑∞

k=11k2 = 1 + 1

22 + 132 + 1

42 + · · · = π2

6∑∞

k=1(−1)k+1 1k2 = 1− 1

22 + 132 − 1

42 ± · · · = π2

12∑∞

k=01

(2k+1)2= 1 + 1

32 + 152 + 1

72 + · · · = π2

8

Bernoulli–Zahlen B2n und Euler–Zahlen E2n siehe Seite 80.∑∞

k=11k2n = 1 + 1

22n + 132n + 1

42n + · · · =(−1)n−1π2n22n−1

(2n)!B2n , fur n ≥ 1

∑∞k=1

(−1)k+1

(2k−1)2n+1 = 1− 132n+1 + 1

52n+1 − 172n+1 ± · · · = (−1)nπ2n+1

22n+2(2n)!E2n , fur n ≥ 0

6.3 Funktionenfolgen

Konvergenz von Funktionenfolgen

Eine Folge (fn) von Funktionen fn : D −→ IR heißt

punktweise konvergent gegen die Funktion f (Bez.: limn→∞

fn(x) = f(x))

⇐⇒ fur jedes x ∈ D konvergiert die Zahlenfolge(fn(x)

)gegen f(x).

⇐⇒ ∀ǫ>0 ∀x∈D ∃n0∈IN ∀n≥n0 : |fn(x) − f(x)| < ǫ .

gleichmaßig konvergent gegen die Funktion f

⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 existiert ein n0 mit |fn(x) − f(x)| < ǫfur alle n ≥ n0 und alle x ∈ D.

⇐⇒ ∀ǫ>0 ∃n0∈IN ∀x∈D ∀n≥n0 : |fn(x) − f(x)| < ǫ .

Konvergiert (fn) gleichmaßig gegen f , so auch punktweise!

78 6 FOLGEN, REIHEN

Gleichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Cauchy–Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz

Eine Folge (fn) von Funktionen fn : D −→ IR ist auf D genau danngleichmaßig konvergent, wenn es zu jedem ǫ > 0 ein n0 ∈ IN gibt,so dass fur alle x∈D und alle n,m ≥ n0 gilt |fn(x)− fm(x)| < ǫ.

Gleichmaßige Konvergenz und

• Stetigkeit

Sind die Funktionen fn auf dem Intervall I = [a, b] stetig und ist die Folge (fn)auf I gleichmaßig konvergent, so ist auch die Grenzfunktion f stetig.

• Integrierbarkeit

Sind die Funktionen fn auf dem Intervall I = [a, b] integrierbar und ist die Folge(fn) auf I gleichmaßig konvergent, so ist auch die Grenzfunktion f integrierbarund es gilt

limn→∞

∫ b

afn(x) dx =

∫ b

a( limn→∞

fn(x)) dx =

∫ b

af(x) dx.

• DifferenzierbarkeitSind die Funktionen fn auf dem Intervall I = [a, b] differenzierbar, ist fur einx0 ∈ I die Folge (fn(x0)) konvergent und ist die Ableitungsfolge (f ′

n) auf Igleichmaßig konvergent, so ist auch die Folge (fn) auf I gleichmaßig konvergent,die Grenzfunktion f differenzierbar und es gilt

limn→∞

f ′n(x) = ( lim

n→∞fn(x))

′ = f ′(x).

Gleichmaßige Konvergenz von Funktionenreihen

• Notwendige Bedingung

Ist die Reihe∑∞

k=0 fk(x) auf D gleichmaßig konvergent, so konvergiert die Sum-mandenfolge (fk(x)) auf D gleichmaßig gegen die Nullfunktion.

• Hinreichende Bedingung: Weierstraß–Kriterium

Gilt sup|fk(x)| : x ∈ D ≤ ck und ist∑∞

k=0 ck konvergent, so ist∑∞k=0 fk(x)

auf D gleichmaßig konvergent.

Beispiel Man untersuche (fn) mit fn(x) := nx1+n2x2 auf gleichmaßige Konvergenz.

Es gilt limn→∞ fn(x) = 0 fur jedes x ∈ IR. Also ist (fn) auf IRpunktweise konvergent gegen die Nullfunktion.

Weiter gilt:

f ′n(x) = n

(1+n2x2)2(1 + n2x2 − x2n2x) = 0⇐⇒ x = ± 1

n, f(0) = 0, f( 1

n) = 1

2.

Man sieht, daß die Funkt. fn bei 1n

ihr Maximum mit dem Funktionswert 12

haben.

Zu z.B. ǫ = 14

gibt es also kein n0, so daß von n0 an alle fn in dem 14–Streifen um

die Nullfunktion liegen. (fn) ist also auf IR nicht gleichmaßig konvergent.

6.4 Potenzreihen 79

6.4 Potenzreihen

Potenzreihen

∞∑

n=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x− x0)

2 + a3(x− x0)3 + · · ·

heißt Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x0 mit Koeffizienten an.

Die Reihe konvergiert in einem zu x0 symmetrischen Intervall vom Radius r.

Eine Potenzreihe konvergiert in jedem kompakten (d.h. abgeschlossenen und

beschrankten) Teil ihres Konvergenzbereiches absolut und gleichmaßig.

Die Grenzfunktion ist beliebig oft differenzierbar.

Mit den Festlegungen10

=∞ und1∞ = 0 gilt fur den Konvergenzradius r :

Cauchy–Hadamard1r = lim sup n

√

|an|und

1r = lim

n→∞|an+1||an|

wenn alle an 6= 0 sind unddieser Grenzwert existiert.

Konvergenz in den Randpunkten ist gesondert zu untersuchen, ANA S. 210 ff.

Abelscher Grenzwertsatz

Die Potenzreihe∑∞

n=0 anxn habe den Konvergenzradius r mit 0 < r < ∞ und es

gelte f(x) =∑∞

n=0 anxn in (−r, r).

Konvergiert die Reihe auch fur x = r, so ist f in (−r, r] stetig. Es gilt :

limx→r−

f(x) =

∞∑

n=0

anrn

Rechnen mit Potenzreihen

Fur f(x) =∑∞

n=0 anxn , g(x) =

∑∞n=0 bnx

n und s ∈ IR gilt :

s · f(x) =∑∞

n=0 s · anxn und f(x) + g(x) =∑∞

n=0(an + bn)xn

f(x) · g(x) =∑∞

n=0 cnxn mit cn =

∑nk=0 akbn−k (Cauchyprodukt, Seite 75)

f(x)g(x) =

∑∞n=0 cnx

n mit∑∞k=0 anx

n = (∑∞

n=0 bnxn) · (∑∞

n=0 cnxn)

Summandenweises Differenzieren und Integrieren

f ′(x) =∑∞n=1 nanx

n−1 =∑∞n=0(n+ 1)an+1x

n

fn(0) = n! · an∫f(x)dx =

∑∞n=0

an

n+1xn+1 + c

Potenzreihen durfen im In-nern ihres Konvergenzberei-ches gliedweise differenziertund integriert werden!

Symmetrie

f ist gerade ⇐⇒ a2n+1 = 0 fur jedes n ∈ INf ist ungerade ⇐⇒ a2n = 0 fur jedes n ∈ IN

80 6 FOLGEN, REIHEN

Bernoullische Zahlen

Die Bernoullischen Zahlen Bn erklaren

sich durch die Potenzreihenentwicklung

xex−1 =

∞∑

n=0

Bnn! x

n

Man erhalt B3 = B5 = B7 = · · · = 0.

B0@ = 1 B8 = − 130

B1@ = −12

B10 = 566

B2@ = 16

B12 =− 6912 730

B4@ =− 130

B14 = 76

B6@ = 142

B16 =−3 617510

n−1∑

k=0

(nk

)

Bk = 0

Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen En konnen durch folg.

Potenzreihenentwicklung erklart werden:

1coshx =

2ex+ e−x =

∞∑

n=0

Enn! x

n

Man erhalt E1 = E3 = E5 = E7 = · · · = 0.

E0 = 1 E4 = 5 E8 = 1 385E2 =−1 E6 =−61 E10 =−50 521

E12 = 2 702 765

E14 = −199 360 981

E16 = 19 391 512 145

E18 = −2 404 879 675 441

E20 = 370 371 188 237 525

E22 =−69 348 874 393 137 901

1 + 122n + 1

32n + 142n + 1

52n + · · ·+ 1k2n + · · · @ = π2n22n−1

(2n)!(−1)n−1B2n

1− 122n + 1

32n − 142n + 1

52n + · · ·+ (−1)k+1

k2n + · · · @ =π2n(22n−1−1)

(2n)!(−1)n−1B2n

1 + 132n + 1

52n + 172n + · · ·+ 1

(2k−1)2n + · · · @ =π2n(22n−1)

2(2n)!(−1)n−1B2n

1− 132n+1 + 1

52n+1 − 172n+1 + · · ·+ (−1)k+1

(2k−1)2n+1 + · · ·@ = π2n+1

22n+2(2n)!(−1)nE2n

6.5 Tabelle Reihenentwicklungen

Geometrische Reihe

11−x =

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · · fur −1 < x < 1

11+x =

∞∑

n=0

(−1)nxn = 1− x+ x2 − x3 ± · · · fur −1 < x < 1

11−x2 =

∞∑

n=0

x2n = 1 + x2 + x4 + x6 + · · · fur −1 < x < 1

11+x2 =

∞∑

n=0

(−1)nx2n = 1− x2 + x4 − x6 ± · · · fur −1 < x < 1

1a±x =

1a

11±x

a=

1a (1 ∓ x

a+ x2

a2∓ x3

a3∓ · · · ) fur −|a| < x < |a|

Durch Differentiation bzw. Integration der geometrischen Reihe erhalt man:

1(1−x)2 =

∞∑

n=0

(n+ 1)xn = 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · · fur −1 < x < 1

ln(1−x) = −∞∑

n=1

xn

n= −(x+ x2

2+ x3

3+ x4

4+ · · · ) fur −1 ≤ x < 1

6.5 Tabelle Reihenentwicklungen 81

Binomische ReiheBinomialkoeffizienten

(an

)

siehe Seite 9

(1 + x)a =

∞∑

n=0

(an

)

xn =

1 + ax+(a2

)

x2 +(a3

)

x3 + · · ·

1 + ax+a(a−1)

2 x2 +a(a−1)(a−2)

3! x3 + · · ·

fur−1 ≤ x ≤ 1−1 < x ≤ 1−1 < x < 1

, falls0 < a−1 < a ≤ 0

a ≤ −1

Fur a ∈ IN ist die Reihe endlich! Binomische Formel, Seiten 8, 73.

Spezielle binomische Reihen

(1 + x)1/2 =

∞∑

n=0

(1/2n

)

xn = 1 + 12x− 1·1

2·4x2 + 1·1·3

2·4·6x3 − 1·1·3·5

2·4·6·8x4 ± · · · −1 ≤ x≤1

(1 + x)1/3 =∞∑

n=0

(1/3n

)

xn = 1 + 13x− 1·2

3·6x2 + 1·2·5

3·6·9x3 − 1·2·5·8

3·6·9·12x4 ± · · · −1 ≤ x≤1

(1 + x)1/4 =

∞∑

n=0

(1/4n

)

xn = 1 + 14x− 1·3

4·8x2 + 1·3·7

4·8·12x3 − 1·3·7·11

4·8·12·16x4 ± · · · −1 ≤ x≤1

(1 + x)3/2 =

∞∑

n=0

(3/2n

)

xn = 1 + 32x+ 3·1

2·4x2 − 3·1·1

2·4·6x3 + 3·1·1·3

2·4·6·8x4 ∓ · · · −1 ≤ x≤1

1

(1+x)1/2=

∞∑

n=0

(−1/2n

)

xn = 1− 12x+ 1·3

2·4x2 − 1·3·5

2·4·6x3 + 1·3·5·7

2·4·6·8x4 ∓ · · · −1<x≤1

1

(1+x)1/3=

∞∑

n=0

(−1/3n

)

xn = 1− 13x+ 1·4

3·6x2 − 1·4·7

3·6·9x3 + 1·4·7·10

3·6·9·12x4 ∓ · · · −1<x≤1

1

(1+x)1/4=

∞∑

n=0

(−1/4n

)

xn = 1− 14x+ 1·5

4·8x2 − 1·5·9

4·8·12x3 + 1·5·9·13

4·8·12·16x4 ∓ · · · −1<x≤1

1

(1+x)3/2=

∞∑

n=0

(−3/2n

)

xn = 1− 32x+ 3·5

2·4x2 − 3·5·7

2·4·6x3 + 3·5·7·9

2·4·6·8x4 ∓ · · · −1<x<1

1(1+x)2

=

∞∑

n=0

(−2n

)

xn =

∞∑

n=0

(−1)n(n+1)xn=1−2x+3x2−4x3± · · · −1<x<1

1(1+x)3

=

∞∑

n=0

(−3n

)

xn =

∞∑

n=0

(−1)n(n+1)(n+2)

2xn

= 12(1·2− 2·3x+ 3·4x2 − 4·5x3 ± · · · ) −1<x<1

1(1+x)4

=∞∑

n=0

(−4n

)

xn =∞∑

n=0

(−1)n(n+1)(n+2)(n+3)

3!xn

= 16(1·2·3− 2·3·4x+ 3·4·5x2 ∓ · · · ) −1<x<1

82 6 FOLGEN, REIHEN

Entwicklung spezieller Funktionen in Potenzreihen (Bn Seite 80)

ex @ = 1+11!x+

12!x

2 +13!x

3 +14!x

4 +15!x

5 +16!x

6 + · · · =

∞∑

n=0

1n!x

n x ∈ IR

cosx @ = 1 − 12!x

2 +14!x

4 − 16!x

6±· · · =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)! x2n

coshx@ = 1 +12!x

2 +14!x

4 +16!x

6 + · · · =

∞∑

n=0

1(2n)!x

2n

sinx @ =11!x − 1

3!x3 +

15!x

5 ∓· · · =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+1)!x2n+1

sinhx@ =11!x +

13!x

3 +15!x

5 + · · · =

∞∑

n=0

1(2n+1)!x

2n+1

sin(x+a) = sin a+cos a1! x− sin a

2! x2 − cos a3! x3 +

sina4! x4 ± · · · x ∈ IR

cos(x+a) = cos a− sin a1! x− cos a

2! x2 +sin a3! x3 +

cos a4! x4 ± · · · x ∈ IR

xex−1 =

∞∑

n=0

Bnn! x

n = 1− 12x+

16 ·

12!x

2− 130 ·

14!x

4+142 ·

16!x

6∓ · · · |x| < 2π

esin x = 1 + x+12!x

2 − 34!x

4 − 85!x

5 +36!x

6 + · · · x ∈ IR

ecosx = e(1− 12!x

2 +44!x

4 − 316! x

6 + · · · ) x ∈ IR

tanx =

∞∑

n=1

(−1)n−122n(22n−1)(2n)! B2nx

2n−1 = x+13x

3+215x

5+17315x

7+· · · |x| < π2

tanhx =

∞∑

n=1

22n(22n−1)(2n)! B2nx

2n−1 = x− 13x

3 +215x

5 ± · · · |x| < π2

x cotx = 1 +

∞∑

n=1

(−1)n22n

(2n)! B2nx2n = 1− 1

3x2 − 1

45x4 − 2

945x6 − · · · |x| < π

x cothx = 1 +

∞∑

n=1

22n

(2n)!B2nx2n = 1+

13x

2− 145x

4+2

945x6± · · · |x| < π

ln(1+x) =

∞∑

n=1

(−1)n+1

n xn = x− 12x

2 +13x

3 − 14x

4 +− · · · −1<x≤1

ln(1−x) = −∞∑

n=1

xn

n = −(x+

12x

2 +13x

3 +14x

4 +15x

5 + · · ·)

−1≤x<1

lnx =∞∑

n=1

(−1)n+1

n(x− 1)n = (x−1)− 1

2(x−1)2 +

13(x−1)3 ∓ · · · 0<x≤2

ln | sinx| = ln |x|+∞∑

n=1

(−1)n22n−1

n(2n)! B2nx2n = ln |x|− x

2

6 −x4

180−x6

2835+· · · 0< |x|<π

ln cosx =

∞∑

n=1

(−1)n22n−1(22n−1)n(2n)! B2nx

2n = −(x2

2 +x4

12 +x6

45 +17x8

2520 +· · ·)

|x|< π2

6.5 Tabelle Reihenentwicklungen 83

arcsinx =

∞∑

n=0

(2n)!22n(n!)2(2n+1)x

2n+1 = x+16x

3 +340x

5 +15336x

7 + · · · |x| ≤ 1

arccosx = π2− arcsinx

arctanx =∞∑

n=0

(−1)n

2n+1x2n+1 = x− 1

3x3 +

15x5 − 1

7x7 +− · · · |x| ≤ 1

arccot x = π2− arctanx

arsinh x =∞∑

n=0

(−1)n(2n)!22n(n!)2(2n+1)

x2n+1 = x− 16x3 +

340x5 − 15

336x7 + · · · |x| ≤ 1

artanh x = ln

√

1+x1−x =

∞∑

n=0

x2n+1

2n+1 = x+13x

3 +15x

5 +17x

7 + · · · |x| < 1

arcoth x = ln

√

x+1x−1 =

∞∑

n=0

1(2n+1)x2n+1 =

1x +

13x3 +

15x5 +

17x7 + · · · |x| > 1

Taylorreihen

Ist f eine im Punkt a hinreichend oft differenzierbare Funktion, so heißen:

Tn(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · ·+ f(n)(a)n!

(x− a)n

=

n∑

k=0

f (k)(a)k! (x − a)k Taylorpolynom n–ten Grades von f um a

T (x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · ·

=

∞∑

k=0

f (k)(a)k! (x − a)k Taylorreihe von f um a

Rn(x) = f(x)− Tn(x) n–tes Restglied der Taylorentwicklung von f um a

f wird bei a durch seineTaylorreihe dargestellt

⇐⇒ f(x) =

∞∑

k=0

f (k)(a)

k!(x−a)k ⇐⇒ lim

n→∞Rn(x) = 0

Restglieddarstellungen

Rn(x) =f (n+1)(ξ)(n+1)! (x − a)n+1 Restglieddarstellung von Lagrange

ξ liegt zwischen a und x.

Rn(x) = 1n!

∫ x

a(x− t)nf (n+1)(t) dt Integraldarstellung des Restgliedes

Bei gleichem Entwicklungspunkt a stimmen Potenzreihenentwicklung und Tay-lorreihenentwicklung von f uberein. Falls moglich, benutzt man fur Taylorrei-henentwicklungen nicht die Definition, sondern bekannte Potenzreihen.Bei periodischen Funktionen siehe auch Fourierreihen, Seite 84 ff.

Bei der Taylorentwicklung rationaler Funktionen mache man eine PBZ und versuche

so umzuformen, daß folgende Potenzreihen verwendet werden konnen:1

1−x =∑

∞

k=0 xk oder

1(1−x)2 =

∑∞

k=0(k + 1)xk

Die Taylorreihe eines Polynoms an der Stelle a ist die Umordnung des Polynoms nach

Potenzen von (x− a) (siehe HORNER–Schema, Seite 16).

84 6 FOLGEN, REIHEN

6.6 Fourierreihen

Fourierreihen

Ist f integrierbar und periodisch(f(x+p) = f(x)

)mit der Periode p, so heißen:

ak =2p

∫ p

0f(x) cos 2π

pkx dx

bk =2p

∫ p

0f(x) sin 2π

pkx dx

Fourierkoeffizientenvon f .

Sn(x) =a0

2 +n∑

k=1

(ak cos2πp kx+ bk sin

2πp kx)

Fourierpolynomn-ter Ordnung von f .

S(x) =a0

2 +∞∑

k=1

(ak cos2πp kx+ bk sin

2πp kx)

Fourierreihevon f .

= a02

+a1 cos 2πpx+b1 sin 2π

px+a2 cos 2π

p2x+b2 sin 2π

p2x+a3 cos 2π

p3x+· · ·

Berechnung der Fourierkoeffizienten

(1) Der Anfangspunkt des Integrationsintervalls ist beliebig. Ist a ∈ IR so gilt:

ak = 2p

∫ a+ p

af(x) cos 2π

pkx dx und bk = 2

p

∫ a+ p

af(x) sin 2π

pkx dx

(2) Ist f eine gerade Funktion, gilt also f(−x) = f(x), so kommenin der Fourierreihe nur cos–Terme vor:

bk = 0 fur jedes k und ak = 4p

∫ p2

0f(x) cos 2π

pkx dx

(3) Ist f eine ungerade Funktion, gilt also f(−x) = −f(x), so kommenin der Fourierreihe nur sin–Terme vor:

ak = 0 fur jedes k und bk =4p

∫ p2

0f(x) sin 2π

pkx dx

Fourierreihe als sin – Reihe

S(x) = a02

+

∞∑

k=1

Ak sin(2πpkx+ ϕk)

Ak =√

a2k + b2k

tanϕk =akbk, 1

bkcosϕk > 0

Fourierreihe in komplexer Darstellung

S(x) =

∞∑

k=−∞ck ei

2πpkx

c0 =a0

2 , ck =

12(ak − ibk) fur k > 0

12(a−k + ib−k) fur k < 0

ck = 1p

∫ p

0f(x) e−i

2πpkx dx

6.6 Fourierreihen 85

Dirichlet– und Fejer–Kern, p = 2π

Dirichlet–Kern Dn(t) =

sin(n+12)t

sin t2

fur t 6= 0, ±2π, ±4π, . . .

2n+ 1 fur t = 0, ±2π, ±4π, . . .

Dirichlet–Integral Sn(x) =1π

∫π

0

f(x+t)+f(x−t)2

Dn(t) dt

Fejer–Kern Fn(t) =

1n

(sin n2t

sin t2

)2

fur t 6= 0, ±2π, ±4π, . . .

n fur t = 0, ±2π, ±4π, . . .

Fejer–Integral1n

n−1∑

k=0

Sk(x) =1π

∫ π

0

f(x+t)+f(x−t)2 Fn(t) dt

Darstellungssatz

Eine stuckweise glatte (d.h. stuckweise stetig differenzierbare) Funktion f wird inden Stetigkeitsstellen durch ihre Fourierreihe dargestellt.

In einer Unstetigkeitsstelle a konvergiert die Fourierreihe gegen das arithmetischeMittel von links– und rechtsseitigem Grenzwert:

12

(

limx→a−

f(x) + limx→a+

f(x))

.

Minimaleigenschaft des Fourierpolynoms :

Bezeichnet Tn(x) = α0

2+∑n

k=1(αk cos 2πpkx+ βk sin 2π

pkx)

ein beliebiges trigonometrisches Polynom n-ten Grades, so ist∫ p

0(f(x)− Tn(x))2 dx minimal, falls Tn(x) = Sn(x) (Fourier–Polynom) ist.

a20

2 +

n∑

k=1

(a2k + b2k) ≤

2p

∫ p

0f2(x) dx Besselsche Ungleichung

a20

2 +

∞∑

k=1

(a2k + b2k) =

2p

∫ p

0f2(x) dx Parsevalsche Gleichung

Riemannsches Lemma: Ist f auf I = [a, b] integrierbar, so gilt:

limn→∞

∫ b

af(x) sinnxdx = 0 und lim

n→∞

∫ b

af(x) cosnxdx = 0

86 6 FOLGEN, REIHEN

6.7 Tabelle einiger Fourierentwicklungen

Die Funktion y = f(x) sei periodisch. Alle folgenden Beispiele sind 2π–periodisch.

In der Sprungstelle x0 von y = f(x)konvergiert die Fourierreihe gegendas arithmetische Mittel vonlinks– und rechtsseitigem Grenzwert:

12

(

limx→x−

0

f(x) + limx→x+

0

f(x))

.

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x

y

-2π 2π

2π

π••

2π

x

y

-4π -2π 2π 4π

2π

y = π − 2(sinx+ sin 2x2

+ sin 3x3

+ · · · )

= π − 2

∞∑

k=1

sin kxk

, x 6= 0, ±2π, ±4π, . . .

1 y = x , fur 0 < x < 2π

Obige Skizze zeigt die Fourierentwicklungfur k = 4, also

y ≈ π − 2(sin x+sin 2x

2+

sin 3x3

+sin 4x

4)

x

y

-3π -π π 3π

π

-π

y = 2( sinx1− sin 2x

2+ sin 3x

3± · · · )

= 2

∞∑

k=1

(−1)k+1 sinkxk

, x 6= ±π, ±3π, . . .

2 y = x , fur −π < x < π

x

y

-3π -π π 3π

π

y = π2− 4

π(cosx+ cos 3x

32 + cos 5x52 + cos 7x

72 + · · · )

= π2− 4

π

∞∑

k=0

cos(2k+1)x(2k+1)2

3 y = |x| , fur −π ≤ x ≤ π

x

y

-2π -π π 2π

π2

-π2

y = 4π(sinx− sin 3x

32 + sin 5x52 + · · · )

= 4π

∞∑

k=0

(−1)ksin(2k+1)x(2k+1)2

4 y =

x fur −π2≤ x ≤ π

2

π − x fur π2< x ≤ 3π

2

= |x+ π2| − π

2fur −3

2π ≤ x ≤ π

2.

x

y

-2π -π π 2π 3π

a

-a

y = 4aπ

(sin x+ sin 3x3

+ sin 5x5

+ · · · )

= 4aπ

∞∑

k=0

sin(2k+1)x2k+1

fur x 6= 0, ±π, ±2π, . . .

5 y =

−a fur −π < x < 0a fur 0 < x < π

6.7 Tabelle einiger Fourierentwicklungen 87

x

y

-2π -π π 2π 3π

b

a

y = a+b2− 2a−b

π

∞∑

k=0

sin(2k+1)x2k+1

fur x 6= 0, ±π, ±2π, . . .

6 y =

a fur −π < x < 0b fur 0 < x < π

x

y

-3π -2π -π π 2π 3π

π2.

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y = π2

3− 4(cosx− cos 2x

22 + cos 3x32 ∓ · · · )

= π2

3+ 4

∞∑

k=1

(−1)k cos kxk2

7 y = x2 , fur −π ≤ x ≤ π

x

y

x2

−x2

-2π -π π 2π 3π

π2

-π2

. ............ ............................

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y = 2π(sinx− sin 2x2

+ sin 3x3∓ · · · )

− 8π(sinx+ sin 3x

33 + sin 5x53 + · · · )

= 2π

∞∑

k=1

(−1)k+1 sinkxk− 8

π

∞∑

k=0

sin(2k+1)x(2k+1)3

fur x 6= ±π, ±3π, . . .

8 y =

−x2 fur −π < x ≤ 0x2 fur 0 < x < π

x

y

-2π -π π2

π 2π

π2

4

.

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y = π2

6− ( cos 2x

12 + cos 4x22 + cos 6x

32 + · · · )

= π2

6−

∞∑

k=1

cos 2kxk2

9 y =

−x(π + x) fur −π ≤ x ≤ 0x(π − x) fur 0 < x ≤ π

Einfacher mit der Periode π:y = x(π−x) = −x2+πx, 0 ≤ x ≤ π.

x

y

-2π -π π 2π 3π

π2

4

-π2

4

.

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y = 8π(sinx+ sin 3x

33 + sin 5x53 + · · · )

= 8π

∞∑

k=0

sin(2k+1)x(2k+1)3

10 y =

x(π + x) fur −π ≤ x ≤ 0x(π − x) fur 0 < x ≤ π

88 6 FOLGEN, REIHEN

x

y

-2π -π π 2π

1

.

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y = 2π− 4

π( cos 2x

1·3 + cos 4x3·5 + cos 6x

5·7 + · · · )

= 2π− 4

π

∞∑

k=1

cos 2kx4k2−1

11 y = sinx , fur 0 ≤ x ≤ π

x

y

-2π -π π 2π

1

-1

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y = 4π(2 sin 2x

1·3 + 4 sin 4x3·5 + 6 sin 6x

5·7 · · · )

= 4π

∞∑

k=1

2k sin 2kx4k2−1

fur x 6= 0, ±π, ±2π, . . .

12 y = cosx , fur 0 ≤ x ≤ π.

.

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x

y

-2π -π π 2π 3π

1

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..........................

y = 1π

+ 12

sinx− 2π( cos 2x

1·3 + cos 4x3·5 + cos 6x

5·7 + · · · )

= 1π

+ 12

sinx− 2π

∞∑

k=1

cos 2kx4k2−1

13 y =

0 fur −π ≤ x ≤ 0

sinx fur 0 < x ≤ π

y = −12

sinx+ 4 sin 2x1·3 − 6 sin 3x

2·4 + 8 sin 4x3·5 · · ·

= −12

sinx+

∞∑

k=2

(−1)k 2k sinkxk2−1

fur x 6= ±π, ±3π, . . .x

y

-2π -π a π 2π 3π

b

π

-π

π2

- π2

•............................. ...... ......... .............

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(a = 0, 860b = 0, 561

)

14 y = x cosx , fur −π < x < π

x

y

-3π -2π -π a π 2π 3π

b •

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y = 1− cos x2−2(

cos 2x1·3 −

cos 3x2·4 + cos 4x

3·5 + · · ·)

= 1− 12

cosx+ 2

∞∑

k=2

(−1)k+1 cos kxk2−1

(a = 2, 029b = 1, 820

)

15 y = x sinx , fur −π ≤ x ≤ π

6.8 Dargestellte Funktionen einiger einfacher Fourierreihen 89

6.8 Dargestellte Funktionen einiger einfacher Fourierreihen

Fourierreihedargest. Funktion

2π–periodischGultigkeits–

Bereich

∞∑

k=1

sin kxk

= sinx+ sin 2x2

+ sin 3x3

+ · · · π−x2 0<x<2π

∞∑

k=1

cos kxk

= cosx+ cos 2x2

+ cos 3x3

+ · · · − ln(2 sin x2) 0<x<2π

∞∑

k=1

cos kxk2 = cosx+ cos 2x

22 + cos 3x32 + · · · 3x2−6πx+2π2

120≤x≤2π

∞∑

k=1

sin kxk3 = sinx+ sin 2x

23 + sin 3x33 + · · · x3−3πx2+2π2x

12 0≤x≤2π

∞∑

k=1

(−1)k+1 cos kxk

= cosx− cos 2x2

+ cos 3x3∓ · · · ln(2 cos x

2) −π<x<π

∞∑

k=1

(−1)k+1 sinkxk

= sinx− sin 2x2

+ sin 3x3∓ · · · x

2 −π<x<π

∞∑

k=1

(−1)k+1 cos kxk2 = cosx− cos 2x

22 + cos 3x32 ∓ · · · π2−3x2

12 −π≤x≤π

∞∑

k=1

(−1)k+1 sinkxk3 = sinx− sin 2x

23 + sin 3x33 ∓ · · · π2x−x3

12−π≤x≤π

∞∑

k=1

sin(2k−1)x2k−1

= sinx+ sin 3x3

+ sin 5x5

+ · · ·−π

4, −π<x<0

π4, 0<x<π

−π<x<πx 6= 0

∞∑

k=1

cos(2k−1)x2k−1

= cosx+ cos 3x3

+ cos 5x5

+ · · · −12

ln(tan|x|2

)−π<x<πx 6= 0

∞∑

k=1

cos(2k−1)x(2k−1)2

= cosx+ cos 3x32 + cos 5x

52 + · · · π2−2π|x|8 −π≤x≤π

∞∑

k=1

sin(2k−1)x(2k−1)3

= sinx+ sin 3x33 + sin 5x

53 + · · · πx(π−|x|)8

−π≤x≤π

∞∑

k=0

(−1)kcos(2k+1)x

2k+1= cosx− cos 3x

3+ cos 5x

5∓ · · ·

π4, |x| < π

2

−π4,

π2< |x| < π

−π≤x≤πx 6= ±π

2

∞∑

k=0

(−1)ksin(2k+1)x

2k+1= sinx− sin 3x

3+ sin 5x

5∓ · · · −1

2ln(tan(π

4− x

2))−π

2<x< π

2

∞∑

k=0

(−1)ksin(2k+1)x(2k+1)2

= sinx− sin 3x32 + sin 5x

52 ∓ · · · πx4 −π

2≤x≤ π

2

∞∑

k=0

(−1)kcos(2k+1)x

(2k+1)3= cosx− cos 3x

33 + cos 5x53 ∓ · · · π3−4πx2

32 −π2≤x≤ π

2

90 7 DIFFERENTIALRECHNUNG

7 Differentialrechnung

7.1 Ableitung, Tangente, Differentiationsregeln

Differenzierbarkeit

Es sei I ein offenes Intervall und x0 ∈ I.Eine Funktion f : I → IR heißt an der Stelle x0 differenzierbar, wenn

1. Fassung: limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

=: f ′(x0) existiert.

2. Fassung: limh→0

f(x0+h)−f(x0)h =: f ′(x0) existiert.

3. Fassung:es eine Zahl f ′(x0) gibt, so daß

limx→x0

f(x)−f(x0)−f ′(x0)(x−x0)x−x0

= 0 ist.

f ′(x0) heißt Ableitung von f an der Stelle x0.

f ′(x) heißt Ableitung von f(x). Statt f ′ schreibt man auchdfdx , um klar heraus-

zustellen, daß nach der Variablen x differenziert wird (siehe z.B. Kettenregel !).

Differentiationsregeln

Produktregel: Linearitat:

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′(f g h)′ = f ′ g h+ f g′ h+ f g h′

(f + g)′ = f ′ + g′

(cf)′ = cf ′ , fur c ∈ IR

Quotientenregel: Kettenregel:(fg

)′=f ′·g−f ·g′

g2

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

dfdx =

dfdg ·

dgdx

Differentiation: Kartesische Koordinaten / Polarkoordinaten

Ist eine Kurve in kartesischen Koordinaten durch y = f(x) und

in Polarkoordinaten (siehe Seite 128) durch r = r(ϕ) gegeben, so bezeichnet:′=

ddx

die Ableitung nach x und ˙= ddϕ

die Ableitung nach ϕ . Es gilt:

x = r cosϕy = r sinϕ

x = r cosϕ− r sinϕy = r sinϕ+ r cosϕ

y′ =yx

=r sinϕ+r cosϕr cosϕ−r sinϕ

y′′ =xy−xyx3 = r2+2r2−rr

(r cosϕ−r sinϕ)3

r =√

x2 + y2

ϕ = arctanyx

(+π)

r′ =x+yy′√x2+y2

ϕ′ =xy′−yx2+y2

r = r′

ϕ′ =x+yy′

xy′−y√

x2 + y2

7.1 Ableitung, Tangente, Differentiationsregeln 91

Tangente

f ist in x0 differenzierbar ⇐⇒ f hat im Punkt (x0, f(x0)) eine Tangente.

Gleichung der Tangentean f im Punkt

(x0, f(x0)

)

T : y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)x

y

x0

f(x0)f ′(x0)

1

T

.................

................

................

.....................

......................................

........................................ ....................... ....................... ..................... ...................

.......................

.........................

............................

.............................. f

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ist f auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar, so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit

f ′(ξ) =f(b)−f(a)

b−a

x

y

..................

....................

................

.............

......................................

..................................

....................................... .................... ..................... ................ .................

..................

............

............

.............

a ξ b

f(a)

f(b)

f(b)−f(a)

f

b−ax

y

a ξ b

f(a)f

......... ......................................................... ....

................................................. .......... ....... ....... .......... .............

.................................

....

..............................................

Mittelwertsatz

f ′(ξ) =f(b)−f(a)

b−a

Satz von Rolle(speziell: f(a) = f(b))

f ′(ξ) = 0

erweiterter Mittelwertsatz

Sind f, g auf [a, b] stetig, auf (a, b) differenzierbar und ist g′(x) 6= 0 fur alle x ∈ (a, b),

so existiert ein ξ ∈ (a, b) mitf ′(ξ)g′(ξ) =

f(b)−f(a)g(b)−g(a)

anschauliche Deutung:

x

y

g(a) g(ξ) g(b)

f(a)

f(ξ)

f(b)

~f(a)

~f(b)

~f ′(ξ)

.........................

.....................

..................

...............

.....................

..................

...............................

.................. ................. ................. .................. ................. ..................................................

.........

.......

........

........

..

........

.........

....

........

.........

.......

...........................

~f(x)=

(g(x)f(x)

)

ist Parameterdarstellung einer Kurve.

Jede Sehnensteigungf(b)−f(a)g(b)−g(a) der Kurve ist Tangen-

tensteigungf ′(ξ)g′(ξ) in einem Zwischenpunkt (g(ξ), f(ξ)).

Jeder Differenzvektor ~f(b)− ~f(a) ist zu einem Tangen-

tenvektor ~f ′(ξ) eines Zwischenwertes ξ parallel.

erweit. Mittelwertsatz

f ′(ξ)g′(ξ)

=f(b)−f(a)g(b)−g(a)

Fur g(x) = x geht der erweiterte Mittelwertsatz in den Mittelwertsatz uber!

Taylorscher Satz

Ist f auf [a, a+ h] stetig und (n− 1)–mal stetig differenzierbar undin (a, a+ h) n–mal differenzierbar, so gibt es ein θ ∈ (0, 1) mit

f(a+ h) = f(a) +f ′(a)

1!h+

f ′′(a)2!

h2 + · · ·+ f(n−1)(a)(n−1)!

hn−1 +f(n)(a+θh)

n!hn

Der Mittelwertsatz ist der Spezialfall des Taylorschen Satzes fur n = 1.


Differentiation der Umkehrfunktion

Ist y = f(x) eine umkehrbare differenzierbare Funktion, dann ist die Umkehrfunk-tion x = g(y) differenzierbar und es gilt:

g′(y) =1

f ′(g(y)) oderdxdy =

1dydx

, fur f ′(x) 6= 0.

ublicherweise vertauscht man die Variablen x, y und schreibt y = g(x) und y′ = g′(x).

Beispiele

(1) Man differenziere die Umkehrfunktion von y = x2 , x > 0:

y = f(x) = x2 =⇒ x = g(y) =√y =⇒ g′(y) =

1f ′(g(y)) =

12x =

12√y ,

oder:dxdy =

1dydx

=12x =

12√y . Vertauschung von x und y:

Die Ableitung von y =√x ist y′ =

12√x

.

(2) Man differenziere y = arctan x:

x = tan y =⇒ y′ =dydx =

1dxdy

=11

cos2 y

=1

cos2 y+sin2 y

cos2 y

=1

1+tan2 y=

11+x2 .

Implizites Differenzieren

Wird durch die Gleichung f(x, y) = 0 die Variable y als Funktion y = h(x)definiert, so spricht man von einer impliziten Darstellung der Funktion y.

Durch Anwendung der Kettenregel laßt sich solch eine Gleichung implizit diffe-renzieren und die Ableitungen y′, y′′, · · · der Auflosung an manchen Stellen (x0, y0)berechnen, ohne y = h(x) explizit anzugeben. Siehe auch Seite 141.

Beispiele

(1) Durch x2 + y2 − 10 = 0 ist implizit eine Funktion y = h(x) mit −3 = h(1)

definiert. Man berechne y′(1)(a) durch implizites Differenzieren,(b) durch Diff. der Auflosungsfunktion.

(a) x2 + y2 − 10 = 0 =⇒ (impl. differenz.) 2x+ 2yy′ = 0 =⇒ y′ = −xy

, fur y 6= 0

f(1,−3) = 0 ∧ y0 = −3 6= 0 =⇒ y′(1) = − 1−3

=13.

13

ist die Steigung des Kreises x2 + y2 = 10 im Punkt (1,−3).

y=−√

10−x2

x2+y2 =10

1√

10

(1,−3)

x

y

(b) Die Auflosungsfunktion y = −√

10− x2 (unterer Halbkreis)laßt sich leicht angeben und differenzieren:

y = −√

10− x2 =⇒ y′ =x√

10−x2 =⇒ y′(1) =13.

(2) Durch y + x ey − 2 = 0 ist im Intervall (0, 2) impliziteine Funktion y = h(x) gegeben mit 1 = h( e−1).Man berechne y′( e−1) und y′′( e−1).

2

2

1

e−1

y + x ey − 2 = 0

( e−1, 1)

x

y

Implizites Differenzieren liefert:

y′ + ey + x eyy′ = 0 ∧ x = e−1 ∧ y = 1 =⇒ y′( e−1) = −12

e,

Nochmaliges implizites Differenzieren liefert:

y′′+2 eyy′+x eyy′2+x eyy′′ = 0 ∧ x = e−1 ∧ y = 1 ∧ y′ = −12

e =⇒ y′′( e−1) =38

e2.

7.2 Grenzwerte, l’Hospital, Extrema 93

7.2 Grenzwerte, l’Hospital, Extrema

Hilfen beim Berechnen von Grenzwerten

(1) Grenzwert des Produktes = Produkt der Grenzwerte

limx→x0

f(x) · g(x) = limx→x0

f(x) · limx→x0

g(x) wenn limx→x0

f(x) und limx→x0

g(x) exist.

(2) Grenzwert des Quotienten = Quotient der Grenzwerte:

limx→x0

f(x)g(x) =

limx→x0

f(x)

limx→x0

g(x)

wenn limx→x0

f(x) und limx→x0

g(x) existieren

und limx→x0

g(x) 6= 0 ist.

(3) Ist f stetig, so durfen f und lim vertauscht werden:

limx→x0

f(x) = f( limx→x0

x) = f(x0) z.B. limx→x0

ef(x) =elim

x→x0f(x)

=exp ( limx→x0

f(x))

(4) Oft berechnet man den Grenzwert einfacher mittels Potenzreihen.

(5) Regel von l’Hospital

limx→x0

f(x)g(x) heißt ein unbestimmter Ausdruck der Form

[ 00

]bzw.

[∞∞]

,

wenn limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = 0 bzw. limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) =∞ ist.

Unbestimmte Ausdrucke

sind[00

],[∞∞]

und auch [0 · ∞] , [00] , [1∞] , [∞0] , [∞−∞] .

Regel von l’Hospital zur Berechnung der Grenzwerte [00] bzw. [∞∞ ]

Sind f und g in einer Umgebung von x0 differenzierbar und ist limx→x0

f(x)g(x)

von der Form

[00] bzw. [

∞∞ ], ist also lim

x→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = 0 bzw. limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = ±∞,

so ist limx→x0

f(x)g(x) = lim

x→x0

f ′(x)g′(x) falls der letzte Grenzwert existiert!

Beispiele [00] , [1∞] , [∞0] werden mittels ab = eb ln a umgeformt. Setze exp(x) := ex.

[ 00

]limx→0

tan xx

= limx→0

1cos x

· sinxx

(1)= lim

x→0

1cos x

· limx→0

sinxx

= 1· limx→0

sinxx

[ 00]

= limx→0

cos x1

= 1

[∞∞]

limx→∞

3x3

ex

[∞∞

]= lim

x→∞

9x2

ex

[∞∞

]= lim

x→∞

18xex

[∞∞

]= lim

x→∞

18ex = 0

l’Hospitalmehrfach anwenden!

[0 · ∞] limx→0+

x · ln x [0·∞]= lim

x→0+

lnx1x

[∞∞

]= lim

x→0+

1x−1x2

= limx→0+

(−x) = 0

[00] limx→0+

xx = limx→0+

ex ln x = limx→0+

exp (x lnx)(3)= exp ( lim

x→0+x ln x) = e0 = 1

[1∞] limx→∞

(1− 1x)2x (3)

= exp(

limx→∞

2x ln(1− 1x)) [∞·0]

= exp(

2 limx→∞

ln(1− 1x)

1x

)[ 00]

= · · ·= e−2

[∞0] limx→∞

(1+x)1x= lim

x→∞exp (

ln(1+x)x

) = exp(lim

x→∞

ln(1+x)x

) [∞∞

]= exp

(lim

x→∞

11+x

)=e0=1

[∞−∞] limx→1

( 1x−1

− 1lnx

)= lim

x→1

lnx−(x−1)(x−1) ln x

[ 00]

= limx→1

1x−1

lnx+1− 1x

[ 00]

= limx→1

− 1x2

1x+ 1

x2= −1

2

[ 00

]Potenz-Reihen:

limx→0

cos x−√

1−x2

x4def= lim

x→0

(1− 12x2+ 1

4!x4∓··· )−(1− 1

2x2− 1

8x4−··· )

x4 = limx→0

16x4+···x4 =

16


Extremwerte von y = f(x)

Notwendiges Kriterium

Hat die differenzierbare Funktion y = f(x) bei x0 einen Extremwert, so istnotwendigerweise f ′(x0) = 0. Solche Punkte heißen kritische oder stationarePunkte.

Hinreichende Kriterien

(1) ohne hohere Ableitungen:

Ist f ′(x0) = 0 und wechselt f ′ in x0 das Vorzeichen, so liegt dort ein Extremum:

wechselt f ′ bei x0 von+ nach −− nach +

, so liegt bei x0 einrelatives Maximumrelatives Minimum

Ist f ′(x0) = 0 und wechselt f ′ bei x0 nicht das Vorzeichen – ist also f ′(x) ≥ 0(bzw. f ′(x) ≤ 0) in einer Umgebung von x0 – so liegt dort ein Wendepunkt mitwaagerechter Tangente (Horizontalwendepunkt, Sattelpunkt).

(2) mit hoheren Ableitungen:

Ist die n–te Ableitung die erste Abl., die bei x0 nicht verschwindet, ist also

f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 aber f (n)(x0) 6= 0, dann gilt:

n gerade =⇒ f hat Extremwert bei x0 :

f (n)(x0) < 0 =⇒ rel. Maximumf (n)(x0) > 0 =⇒ rel. Minimum

n ungerade =⇒ f hat Sattelpunkt bei x0.

Punkte, in denen f nicht differenzierbar ist, (z.B. Randpunkte) mussen extra betrachtet,

z. B. der Große nach verglichen werden (siehe HM, 268–272).

Wendepunkte von y = f(x)

Die zweimal differenzierbare Funktion y = f(x) hatbei x0 einen Wendepunkt, wenn y′ = f ′(x) bei x0 einen Extremwert hat.

Notwendiges Kriterium: f ′′(x0) = 0

Hinreichendes Kriterium: f ′′(x0) = 0 undf(n)(x0) 6= 0 n ungerade

f(k)(x0) = 0 k = 2, . . . , n− 1

Hat f ′ bei x1 ein rel. Minimum, so geht

• f bei x1 vom Konkaven ins Konvexe uber.

Hat f ′ bei x2 ein rel. Maximum, so geht

• f bei x2 vom Konvexen ins Konkave uber.

f

f ′f ′′

konvex

konkav

W

Mi

x

y

Monotonie und Krummung von Funktionenf sei in einem Intervall I = (a, b) differenzierbar.

a b x

. .................... ................. ....... ....... ......... ............ ......... ...... .................. .....................

a b x

. ..................... .................. ...... ......... ............ ......... ....... ....... ................. .................... a b x

..................... .................. ................. ............... ............... ............... ................

.................

a b x

........................................................ ............... ............... ............... ................ .................

f monotonsteigend auf I∀x ∈ I, f ′(x) ≥ 0

f monotonfallend auf I

∀x ∈ I, f ′(x) ≤ 0

f konvex auf I(f linksgekrummt)∀x ∈ I, f ′′(x) ≥ 0

f konkav auf I(f rechtsgekrummt)∀x ∈ I, f ′′(x) ≤ 0

95

8 Integralrechnung

8.1 Grundbegriffe und Satze

8.1.1 Unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral∫∫

f(x) dx

F ′(x) = f(x) =⇒∫f(x) dx = F (x) + C

∫f(x) dx unbestimmtes Integral f(x) Integrand C Integrations-F (x) Stammfunktion x Integrationsvariable Konstante

Ist F ′(x) = f(x), so heißt F (x) eine Stammfunktion von f(x).

Die Menge aller Stammfktn. von f(x) heißt unbestimmtes Integral von f(x).

Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion.

f stetig =⇒∫f(x) dx existiert.

f stetig auf [a, b] =⇒ F (x) :=∫ x

a f(t) dt ist eine Stammfunktion von f .

Das bestimmte Integral∫∫ b

a f(x) dx

f sei auf dem Intervall [a, b] beschrankt.

Z = a = x0, x1, . . . , xn−1, xn = b sei eine Zerlegung des Intervalls [a, b]. Es seien:

mk = inff(x) | xk−1 ≤ x ≤ xk , Mk = supf(x) | xk−1 ≤ x ≤ xk , ξk ∈ [xk−1, xk].

S(f,Z) =n∑

k = 1mk(xk − xk−1) heißt Untersumme

S(f,Z) =n∑

k = 1Mk(xk − xk−1) heißt Obersumme

S(f,Z, ξ) =n∑

k = 1f(ξk)(xk − xk−1) heißt Riemannsche Summe

Eine Folge (Zi) von Zerlegungen heißt zulassig,

falls fur die Feinheiten δi = max|xk − xk−1| gilt: limi→∞

δi = 0.

f heißt integrierbar uber [a, b], falls fur jede zulassige Zerlegungsfolge (Zi) gilt:

limi→∞

S(f,Zi) = limi→∞

S(f,Zi). Dieser gemeinsame Grenzwert heißt∫ b

af(x) dx.

∫ b

a f(x) dx existiert ⇐⇒ f ist uber [a, b] integrierbar

⇐⇒ Fur jede zulassige Zerlegungsfolge mit beliebigen Zwischenpunktenkonvergiert die Folge der Riemannschen Summen.

⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∃ Zerlegung Z mit S(f,Z)− S(f,Z) < ǫ.

Jede monotone Funktion ist integrierbar.Jede (auch nur stuckweise) stetige Funktion ist integrierbar.

Rechenregeln (Linearitat des Integrals)∫(f(x)± g(x)

)dx =

∫f(x) dx ±

∫g(x) dx und

∫a · f(x) dx = a ·

∫f(x) dx

96 8 INTEGRALRECHNUNG

Merke:• Ist f integrierbar, so braucht f keine Stammfunktion zu haben!

f(x) = sign x ist integrierbar (da stuckweise stetig), hat aber keine Stammfunktion,da sign x nicht die Zwischenwerteigenschaft hat (ANA 1, 160).

• Hat f eine Stammfunktion, so braucht f nicht integrierbar zu sein!

f(x) =

2x sin1x2 − 2

xcos

1x2 , x 6= 0

0 , x = 0hat die Stammfunktion F (x) =

x2 sin1x2 , x 6= 0

0 , x = 0

f ist aber nicht integrierbar, da f nicht beschrankt ist.

Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung

1. Fassung (Berechnung bestimmter Integrale mittels Stammfunktionen)

f stetigauf [a, b]

und F Stammfunktion von f =⇒∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

2. Fassung (Zusammenhang Differentiation, Integration)

f stetigauf [a, b]

=⇒∫ x

af(t) dt ist differenzierbar und

( ∫ x

af(t) dt

)′= f(x).

Ableitung parameterabhangiger Integrale

F (x) =

∫ v(x)

u(x)f(x, t) dt =⇒ F ′(x) = −f(x, u) · u′ + f(x, v) · v′ +

∫ v(x)

u(x)fx(x, t) dt

Beispiel F (x)=

∫ 3x

sin x

ext

tdt

Der Integrand ist nicht elementar integrierbar, alsolaßt sich das bestimmte Integral nicht mittelsStammfunktion berechnen und dann differenzieren.

F ′(x)@ = − ex sin x

sinx· cos x +

ex·3x

3x· 3 +

∫3x

sin xext dt

@ = − ex sin x

sinx· cos x+

e3x2

3x· 3 +

[1x

ext]3x

sin x= − ex sin x

tan x+

e3x2

x+

1x( e3x2− ex sin x)

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ist f im Intervall [a, b] stetig, so gibt esein ξ ∈ (a, b) mit

∫ b

af(x) dx = (b− a) · f(ξ)

x

y

.

.......................................

......................................

.....................................

.....................................

....................................

...................................

.....................................................................

.................................. .................................

a ξ b

f(ξ)f

erweiterter Mittelwertsatz

Sind f und g stetig und g ≥ 0 im Intervall [a, b], so gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit

∫ b

af(x) g(x) dx = f(ξ) ·

∫ b

ag(x) dx

8.1 Grundbegriffe und Satze 97

Integration durch Substitution

∫

f(x) dx =

∫

f(g(t)

)g′(t) dt

Subst.:

x= g(t)dx= g′(t) dt

oder ∫

f(h(x)

)h′(x) dx =

∫

f(t) dt

Subst.:

h(x) = t

h′(x) dx= dt

bestimmtes Integral∫ b

af(h(x))h′(x) dx=

∫ h(b)

h(a)f(t) dt Subst.:

h(x) = t x zwischen a und b

h′(x) dx= dt t zwischen h(a) und h(b)

Beispiele (Die Integrationskonstante ist bei den unbestimmten Integralen weggelassen!)

1

∫2

04x ex2

dx =

∫4

02 et dt =

[

2 et]4

0= 2( e4−1) Subst.:

x2 = t 0 ≤ x ≤ 2

2x dx= dt 0 ≤ t ≤ 4

2

∫ π3

0tan x dx=

∫ π3

0

sinxcos x

dx Subst.:

cos x= t 0 ≤ x ≤ π3

− sin x dx= dt 1 ≥ t ≥ 12

=−∫ 1

2

1

dtt

= −[

ln |t|] 1

2

1= ln 2.

oder:∫ f ′

fdx = ln |f | =⇒

∫ π3

0tan x dx = −

∫ π3

0

− sinxcos x

dx = −[

ln | cos x|]π

3

0= ln 2

3∫ √

1− x2 dx Subst.:

x= sin tdx= cos t dt

∫ √1− x2 dx

siehe auch Seite 109, Nr. 105 und F3

=∫

cos t(cos t) dt =∫

cos2 t dt =12

∫(1+cos 2t) dt cos2 t@ =

12(1 + cos 2t)

=12(t+

12

sin 2t) =12(t+sin t cos t) =

12(arcsin x+ x

√1−x2 ) sin 2t@ = 2 sin t cos t

Partielle Integration

∫uv′ dx = uv −

∫u′v dx

oder ∫u′v dx = uv −

∫uv′ dx

Beispiele (Die Integrationskonstante ist weggelassen!)

1∫x · ex dx = x · ex −

∫1 · ex dx = ex(x− 1).

u · v′ u · v u′ · v2

∫lnx dx =

∫1 · ln x dx = x · ln x−

∫x · 1

xdx = x ln x− x.

u′ · v u · v u · v′

3 mehrfache Anwendung:∫

ex sin x dx = ex sin x−∫

ex cos x dx = ex sin x− ( ex cosx+∫

ex sin x dx)= ex sin x− ex cos x−

∫ex sin x dx

=⇒ 2∫

ex sin x dx = ex(sin x− cos x) =⇒∫

ex sin x dx =12

ex(sin x− cos x).


8.1.2 Uneigentliche Integrale (siehe auch Seite 121 ff)

Bei der Definition des bestimmten Integrals ist vorausgesetzt, daß Integrand und In-tegrationsintervall beschrankt sind.

Man unterscheidet zwei Typen uneigentlicher Integrale:

• Typ I Integrale mit unbeschrankten Integrationsintervallen

• Typ II Integrale mit unbeschrankten Integranden

Uneigentliche Integrale vom Typ I

(unbeschrankte Integrationsintervalle)

∫ ∞

af(x) dx := lim

b→∞

∫ b

af(x) dx

∫ b

−∞f(x) dx := lim

a→−∞

∫ b

af(x) dx

Beispiel

∫ ∞0

dxex = lim

b→∞

∫ b

0

dxex = lim

b→∞

[

− e−x]b

0= lim

b→∞(− e−b + 1) = 1.

Konvergenzkriterium

Ist f(x) ≥ 0 (fur x ≥ x0) und existiert

∫ b

af(x) dx fur jedes b > a, so ist

∫ ∞

af(x) dx

konvergent , wenn limx→∞

xs · f(x) fur ein s > 1 existiert.

divergent , wenn limx→∞

x · f(x) 6= 0 ist.

Uneigentliche Integrale vom Typ II

(unbeschrankte Integranden)

f an der oberen Grenze unbeschrankt: f an der unteren Grenze unbeschrankt:∫ b

af(x) dx := lim

c→b−

∫ c

af(x) dx

∫ b

af(x) dx := lim

c→a+

∫ b

cf(x) dx

Beispiel∫ 1

0

dxx

= lima→0+

∫ 1

a

dxx

= lima→0+

[

ln x]1

a= lim

a→0+(0− ln a) =∞ das uneigentliche

Intergral divergiert.

Konvergenzkriterium

Ist f(x) ≥ 0 und f an der oberen Grenze unbeschrankt

und existiert

∫ c

af(x) dx fur jedes a < c < b, so ist

∫b

af(x) dx

konvergent, wenn limx→b−

(b−x)s · f(x) fur ein s < 1 existiert.

divergent , wenn limx→b−

(b−x) · f(x) 6= 0 ist.

Uneigentliche Integrale siehe Tabelle auf Seite 121 ff.


8.1.3 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung)

Haufig gelingt es, durch Substitutionen Integrale rationaler Funktionen zu erhalten. Dann

ist man praktisch fertig; denn diese lassen sich elementar l”sen, d.h. durch geeignete Umfor-

mungen auf bekannte Integrale zuruckfuhren. (Partialbruchzerlegung, HM, 67–74.)

Diese Umformungen sind zeitraubend, es gibt aber Programme!

Integration von Partialbruchen (siehe auch Seite 104, 107)∫

dxx−a = ln |x− a| [Nr. 4]

∫dx

(x−a)2 =−1x−a [Nr. 3]

∫dx

(x−a)3 =−1

2(x−a)2 [Nr. 3]

∫

(x− a)n dx =(x−a)n+1

n+1 [n 6= −1] [Nr. 3]

∫dx

(x−a)n =(x−a)−n+1

−n+1 [n 6= 1] [Nr. 3]

∫dx

ax2+bx+c =2√∆

arctan2ax+b√

∆∆ = 4ac− b2 > 0 [Nr. 63]

∫x dx

ax2+bx+c =12a ln |ax2 + bx+ c| − b

a√

∆arctan

2ax+b√∆

[Nr. 66]∫

dx(ax2+bx+c)2 =

2ax+b∆(ax2+bx+c) +

4a∆√

∆arctan

2ax+b√∆

[Nr. 64]∫

x dx(ax2+bx+c)2 = − bx+2c

∆(ax2+bx+c) −2b

∆√

∆arctan

2ax+b√∆

[Nr. 69]∫

dx(ax2+bx+c)n und

∫x dx

(ax2+bx+c)n [Nr. 72, 73]

8.1.4 Integration einiger Wurzelfunktionen durch Substitution

Anders als bei den rationalen Funktionen gibt es keine allgemein gultige Methode, die un-

bestimmten Integrale nicht rationaler Funktionen zu berechnen.

In manchen Fallen laßt sich der Integrand durch geschicktes Substituieren rational machen

und dann mittels PBZ, z.B. HM Seite 67–74, integrieren.

Im Folgenden bezeichnet R(u, v) eine rationale Funktion der Veranderlichen u und v, d.h. u

und v sind nur durch die vier Grundrechenarten (+,−, ·, :) verknupft, wie

z.B. R(u, v) = u(u2−2uv3)(2u−3uv)

3uv+v2−u2v4+ 3+u

u2+2uv.

R(sin x, cosx) bezeichnet eine rationale Funktion in sin x und cosx, wie

z.B. R(sinx, cosx) = 2 sinx+ 3 cos2 x sinx+2cos x−3 sin3 x

.

R(sinx, cosx) = 3 sin x·cosx2 sin x+cos2 x

ist ungerade in cos x,da R(sinx,− cos x) = −R(sinx, cosx) ist.

R(sinx, cosx) = cos xsinx+sin3 x

ist ungerade in cos x und ungerade in sin x,so daß R(− sin x,− cosx) = R(sin x, cos x) ist.


IntegralSubstitutionzur Beseitigung

der Wurzel

Integralnach

Substitution

∫

R (x,m

√

px+qrx+s ) dx

(ps− qr 6= 0)

m

√

px+qrx+s = t ,

px+qrx+s = tm

x =stm−qp−rtm

dx = mtm−1 sp−rq(p−rtm)2 dt

∫

R∗(t) dt

PBZ · · ·

∫

R

(

x,(px+ q

rx+ s

)k

,(px+ q

rx+ s

)ℓ)

dx

(k, ℓ rationale Zahlen)

m

√

px+qrx+s = t ,

px+qrx+s = tm

m =Hauptnennerder Bruche k, ℓ

x, dx siehe oben

∫

R∗(t) dt

PBZ · · ·

∫

R (x,√

a2 − b2x2 ) dxx=

ab sin t,

√= a cos t

dx=ab cos t dt

∫

R∗(sin t, cos t) dt

siehe Seite 101, 116

∫

R (x,√

b2x2 − a2 ) dxx=

ab cosh t,

√= a sinh t

dx=ab

sinh t dt

∫

R∗(sinh t, cosh t) dt


∫

R (x,√

b2x2 + a2 ) dxx=

ab sinh t,

√= a cosh t

dx=ab cosh t dt

∫

R∗(sinh t, cosh t) dt


∆ > 0

x =

√∆u−b2a

∫

R∗(u,√

u2 + 1 ) du

weiter siehe oben∫

R (x,√

ax2 + bx+ c ) dx dx =

√∆

2adu

∆ < 0

a 6= 0

∆ = 4ac− b2x =

√−∆u−b

2a

a > 0:

∫

R∗(u,√

u2 − 1 ) du

a < 0:

∫

R∗(u,√

1− u2 ) du

dx =

√−∆2a

du weiter siehe oben

∆ = 0 (Wurzel fallt weg, keine Substitution notig!)

ax2 + bx+ c = 14a

(2ax+ b)2


8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen

Trigonometrische Funktionen

(siehe auch Seite 113–116)

Generalsubstitution

∫

R(sinx, cosx) dx Subst.: tanx2 = t

sinx =2t

1+t2

cosx =1−t21+t2

dx =2 dt1+t2

Beachte: −π2< x < π

2fuhrt auf die Integration einer rationalenFunktion in t, · · · PBZ.

Die Substitution tan x2

= t (Generalsubstitution!) fuhrt zwar immer zumZiel, in einigen Sonderfallen sind folgende Substitutionen einfacher:

Sonderfalle

(1) R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx) Subst.: cosx = t − sinx dx = dtR ist ungerade in sinx.

(2) R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx) Subst.: sinx = t cosx dx = dtR ist ungerade in cosx.

(3) R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) Subst.:tanx = t

dx =dt

1+t2,

sin2 x =t2

1+t2

cos2 x =1

1+t2

8.1.6 Integration von Exponential– und Hyperbelfunktionen

Exponentialfunktionen, Hyperbelfunktionen

(siehe auch Seite 117–118)

∫

R ( ex) dx Subst.: ex = t

sinhx =t2−12t

coshx =t2+12t

dx =dtt

∫R( ex, sinhx, coshx) dx

fuhrt auf die Integration einer rationalenFunktion in t, · · · PBZ.


8.2 Mehrfache Integrale

Mehrfache Integrale werden auf das Hintereinanderausfuhren von einfachen Inte-gralen zuruckgefuhrt. Statt

∫∫bzw.

∫∫∫schreibt man haufig

∫∫.

Berechnung von Doppelintegralen

Man beachte, daß das außere Integral stets feste Grenzen hat!

x

y

a b

c(x)

d(x)

G

. .................. ................... ..................... ...................... ........................ .......................... ............................. ...............................

. ...................... ......................... ............................. ................................ .................................... .......................................

x

y

d

c

a(y) b(y)G..........................

........................

.......................

........................

....................................................................................

...................

x

y

ϕ2 ϕ1

r2(ϕ)

r1(ϕ)

G. .................. ................ ............... ............... ............... ............... ................

.................

. ..........................................................

..........................

.........

....................................

......................................

....................................

....

Kartesische Koordinaten:a ≤ x ≤ b

c(x) ≤ y ≤ d(x) dG = dy dx

∫∫

Gf dG =

∫ b

a

( ∫ d(x)

c(x)f(x, y) dy

)

dx

oder:c ≤ y ≤ d

a(y) ≤ x ≤ b(y) dG = dx dy

∫∫

Gf dG =

∫ d

c

( ∫ b(y)

a(y)f(x, y) dx

)

dy

Polarkoordinaten:x = r cosϕy = r sinϕ

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

r1(ϕ) ≤ r ≤ r2(ϕ)dG = r dr dϕ

∫∫

Gf dG =

∫ ϕ2

ϕ1

( ∫ r2(ϕ)

r1(ϕ)f(x, y)r dr

)

dϕ

Allgemeine Koordinaten:

x = x(u, v)y = y(u, v)

u1 ≤ u ≤ u2

v1(u) ≤ v ≤ v2(u) dG = |∣∣∣xu xvyu yv

∣∣∣| dv du

∫∫

Gf dG =

∫ u2

u1

(∫ v2(u)

v1(u)f(x, y) |∂(x,y)

∂(u,v)| dv)

du

∂(x,y)∂(u,v) :=

∣∣∣∣∣

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣=∣∣∣xu xvyu yv

∣∣∣

heißt Funktionaldeterminanteoder Jacobische Determinante.

Beispiel Man berechne∫∫

Gf dG, wobei G der im ersten Quadranten gelegene

Teil der Ellipse mit den Halbachsen a = 3 und b = 2 und f(x, y) = xy ist.

x= 3u cos vy = 2u sin v

0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ π2

,∣∣∣xu xv

yu yv

∣∣∣ =

∣∣∣∣

3 cos v −3u sin v2 sin v 2u cos v

∣∣∣∣= 6u =⇒ dG = 6u dv du

∫1

0

∫ π2

06u2 cos v sin v 6u dv du = 18

∫1

0u3

∫ π2

02 cos v sin v dv du = 18

∫1

0u3[

sin2 v]π

2

0du =

92

8.2 Mehrfache Integrale 103

Berechnung von Dreifachintegralen

Man beachte, daß das außere Integral stets feste Grenzen hat!

kartesischeKoordinaten:

a ≤ x ≤ by1(x) ≤ y ≤ y2(x)

z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)

dV = dz dy dx

√3

3V f dV =

∫ b

a

(∫ y2(x)

y1(x)

(∫ z2(x, y)

z1(x, y)f(x, y, z)dz

)dy)dx

oder auch: c ≤ y ≤ dz1(y) ≤ z ≤ z2(y)

x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z)

dV = dx dz dy

√3

3V f dV =

∫ d

c

(∫ z2(y)

z1(y)

(∫ x2(y, z)

x1(y, z)f(x, y, z)dx

)dz)dy, usw.

Zylinder–Koordinaten:

x = r cosϕy = r sinϕz = z

0 ≤ r0 ≤ ϕ < 2π

dV = r dr dϕ dz

Kugel–Koordinaten:θ: Polabstand

x = ρ sin θ cosϕy = ρ sin θ sinϕz = ρ cos θ

0 ≤ ρ0 ≤ θ ≤ π0 ≤ ϕ < 2π

dV = ρ2 sin θ dρ dθ dϕ

Kugel–Koordinaten:θ: (geogr.) Breite

x = ρ cos θ cosϕy = ρ cos θ sinϕz = ρ sin θ

0 ≤ ρ−π2 ≤ θ ≤ π

20 ≤ ϕ < 2π

dV = ρ2 cos θ dρ dθ dϕ

allgemeineKoordinaten:

x = x(u, v, w)y = y(u, v, w)z = z(u, v, w)

dV =

∣∣∣∣

∂(x,y,z)∂(u,v,w)

∣∣∣∣du dv dw

mit

∣∣∣∣

∂(x,y,z)∂(u,v,w)

∣∣∣∣:=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

xu xv xwyu yv ywzu zv zw

∣∣∣∣∣∣

=

speziell:

r Zylinderkoord.

ρ2 sin θρ2 cos θ

Kugelkoord.

Diese Det. heißt Funktionaldeterminante oder Jacobische Determinante.

Dreifachintegral als Produkt von Einfachintegralen

Hat das Dreifachintegral feste Grenzen und laßt sich der Integrand als Produkt vondrei Funktionen schreiben, die jeweils nur von einer Variablen abhangen, so laßtsich das Dreifachintegral als Produkt von drei Einfachintegralen schreiben:∫x1

x0

∫y1

y0

∫z1

z0f(x) · g(y) · h(z) dz dy dx =

∫x1

x0

f(x) dx ·∫y1

y0g(y) dy ·

∫z1

z0h(z) dz


8.3 Tabelle Unbestimmter Integrale

Die Integrat-konst. ist weggelassen. In Stammfktn. ist ln f(x) durch ln |f(x)| zu ersetzen.

ax + bBezeichnungen

X = ax+ b

1.

∫

xn dx =xn+1

n+1 [n 6= −1]

2.

∫1x dx = ln |x|

8.3.1 Integrale rationaler Funktionen

3.

∫

Xn dx = Xn+1

a(n+1)[ n 6= −1]

4.

∫dxX

= 1a

lnX

5.

∫x dxX = x

a− b

a2lnX

6.

∫x2 dxX = 1

a3

(12X2 − 2bX + b2 lnX

)

7.

∫x3 dxX = 1

a4

(X3

3− 3bX2

2+ 3b2X − b3 lnX

)

8.

∫dxxX = −1

bln X

x

9.

∫dxx2X = − 1

bx+ a

b2ln X

x

10.

∫dxx3X = − 1

b3

(

a2 ln Xx− 2aX

x+ X2

2x2

)

11.

∫x dxX2 = b

a2X+ 1

a2lnX

12.

∫x2 dxX2 = 1

a2

(

X − 2b lnX − b2

X

)

13.

∫x3 dxX2 = 1

a4

(X2

2− 3bX + 3b2 lnX + b3

X

)

14.

∫x dxX3 = 1

a2

(

− 1X

+ b2X2

)

15.

∫x2 dxX3 = 1

a3

(

lnX + 2bX− b2

2X2

)

16.

∫x3 dxX3 = 1

a4

(

X − 3b lnX − 3b2

X+ b3

2X2

)

17.

∫dxxX2 = − 1

b2

(

ln Xx

+ axX

)

18.

∫dxx2X2 = −a

(1

b2X+ 1

ab2x− 2

b3ln X

x

)

19.

∫dxx3X2 = − 1

b4

(

3a2 ln Xx

+ a3xX

+ X2

2x2 − 3aXx

)

20.

∫dxxX3 = − 1

b3

(

ln Xx

+ 2axX− a2x2

2X2

)

21.

∫dxx2X3 = −a

(1

2b2X2 + 2b3X

+ 1ab3x

− 3b4

ln Xx

)

22.

∫dxx3X3 = − 1

b5

(

6a2 ln Xx

+ 4a3xX− a4x2

2X2 + X2

2x2 − 4aXx

)

23.

∫

xXn dx = 1a2

(Xn+2

n+2− bXn+1

n+1

)

[n 6= −1,−2 ]

24.

∫x dxXn = 1

a2

(−1

(n−2)Xn−2 + b(n−1)Xn−1

)

[n 6= 1, 2 ]

8.3 Tabelle Unbestimmter Integrale 105

ax + bund

cx + d

Bezeichnungen

X = ax+ bY = cx+ d

∆ = bc− ad

25.

∫XYdx =

acx+

∆c2

lnY

26.

∫dxXY =

1∆ ln

YX [∆ 6= 0]

−ca2X [∆ = 0]

27.

∫x dxXY =

1∆

( ba lnX − d

c lnY)

[∆ 6= 0]ca4

( bX + lnX

)[∆ = 0]

28.

∫dxX2Y

=

1∆

( 1X +

c∆ ln

YX

)[∆ 6= 0]

−12cX2 [∆ = 0]

a2 ± x2

Bezeichnungen

X = a2 ± x2

Y =

arctan xa

fur +

artanh xa

= 12

ln a+xa−x fur − und |x| < a

arcoth xa

= 12

ln x+ax−a fur − und |x| > a

29.

∫dxX =

1aY

30.

∫dxX2 =

x2a2X +

12a3Y

31.

∫x dxX = ±1

2 lnX

32.

∫x dxX2 = ∓ 1

2X

33.

∫x2 dxX = ±x∓ aY

34.

∫x2 dxX2 = ∓ x

2X ±12aY

35.

∫dxxX =

12a2 ln

x2

X

36.

∫dxxX2 =

12a2X +

12a4 ln

x2

X

37.

∫dxx2X = − 1

a2x ∓1a3Y

38.

∫dxx2X2 = − 1

a4x∓ x

2a4X∓ 3

2a5Y

39.

∫dx

Xn+1 =x

2na2Xn +2n−12na2

∫dxXn [n 6= 0]

40.

∫x dxXn+1 = ∓ 1

2nXn [n 6= 0]

41.

∫x2 dxXn+1 = ∓ x

2nXn ± 12n

∫dxXn [n 6= 0]


a3 ± x3 Bezeichnungen

X = a3 ± x3

42.

∫dxX = ± 1

6a2 ln(a±x)2

a2∓ax+x2 +1

a2√

3arctan

2x∓aa√

3

43.

∫dxX2 =

x3a3X +

23a3

∫dxX [siehe Nr. 42]

44.

∫x dxX =

16a ln

a2∓ax+x2

(a±x)2 ± 1a√

3arctan

2x∓aa√

3

45.

∫x dxX2 =

x2

3a3X +1

3a3

∫x dxX [siehe Nr. 44]

46.

∫x2 dxX = ±1

3 lnX

47.

∫x2 dxX2 = ∓ 1

3X

48.

∫x3 dxX = ±x∓ a3


49.

∫x3 dxX2 = ∓ x

3X ±13


50.

∫dxxX =

13a3 ln

x3

X

51.

∫dxxX2 =

13a3X

+1

3a6 lnx3

X

52.

∫dxx2X = − 1

a3 ∓ 1a3

∫x dxX [siehe Nr. 44]

53.

∫dxx2X2 = − 1

a6x∓ x2

3a6X∓ 4

3a6

∫x dxX

[siehe Nr. 44]

54.

∫dxx3X = − 1

2a3x2 ∓ 1a3


55.

∫dxx3X2 = − 1

2a6x2 ∓ x3a6X ∓

53a6


a4 ± x4

56.

∫dx

a4+x4 =1

4a3√

2lnx2+ax

√2+a2

x2−ax√

2+a2 +1

2a3√

2

(

arctan(

√2a x+1)+arctan(

√2a x−1)

)

57.

∫x dxa4+x4 =

12a2 arctan

x2

a2

58.

∫x2 dxa4+x4 =

−14a√

2lnx2+ax

√2+a2

x2−ax√

2+a2 +1

2a√

2

(

arctan(

√2a x+1)+arctan(

√2a x−1)

)

59.

∫x3 dxa4±x4 = ±1

4 ln |a4 ± x4|

60.

∫dx

a4−x4 =1

4a3 lna+xa−x +

12a3 arctan

xa

61.

∫x dxa4−x4 =

14a2 ln

a2+x2

a2−x2

62.

∫x2 dxa4−x4 =

14a ln

a+xa−x −

12a arctan

xa


ax2 + bx + cBezeichnungen

X = ax2 + bx+ c∆ = 4ac− b2

Im Fall ∆ = 0 ist ax2 + bx+ c = 14a

(2ax+ b)2.

Im Fall c = 0 ist ax2 + bx+ c = x(ax+ b).

Diese Integrale stehen auf Seite 104.

63.

∫dx

ax2+bx+c∫dxX

=

2√∆

arctan2ax+b√

∆[∆ > 0]

−2√−∆

artanh2ax+b√−∆

1√−∆

ln2ax+b−

√−∆

2ax+b+√−∆

[∆ < 0]

−22ax+b [∆ = 0]

64.

∫dxX2 =

2ax+b∆X +

2a∆

∫dxX [∆ 6= 0] [siehe Nr. 63]

65.

∫dxX3 =

2ax+b∆

(1

2X2 +3a

∆X

)

+6a2

∆2

∫dxX [∆ 6= 0] [siehe Nr. 63]

66.

∫x dxX

=12a

lnX − b2a

∫dxX

[siehe Nr. 63]

67.

∫dxxX

=12c

lnx2

X− b

2c

∫dxX

[c 6= 0] [siehe Nr. 63]

68.

∫dxx2X

=b

2c2lnXx2 −

1cx

+( b2

2c2− ac

)∫dxX

[c 6= 0] [siehe Nr. 63]

69.

∫x dxX2 = −bx+2c

∆X − b∆

∫dxX [∆ 6= 0] [siehe Nr. 63]

70.

∫x2 dxX =

xa −

b2a2 lnX +

b2−2ac2a2


71.

∫x2 dxX2 =

(b2−2ac)x+bca∆X +

2c∆

∫dxX [∆ 6= 0] [siehe Nr. 63]

72.

∫dxXn =

2ax+b(n−1)∆Xn−1 +

(2n−3)2a(n−1)∆

∫dx

Xn−1 [∆ 6= 0]

73.

∫x dxXn = − bx+2c

(n−1)∆Xn−1 −b(2n−3)(n−1)∆

∫dx

Xn−1 [∆ 6= 0]

74.

∫x2 dxXn =

−x(2n−3)aXn−1 +

c(2n−3)a

∫dxXn −

(n−2)b(2n−3)a

∫x dxXn [Nr. 73]

75.

∫dxxXn =

12c(n−1)Xn−1 − b

2c

∫dxXn +

1c

∫dx

xXn−1 [siehe Nr. 72, 75]


8.3.2 Integrale irrationaler Funktionen (Integrale mit Wurzeln)

√x

und

a2 ± b2x

Bezeichnungen

X = a2 ± b2x

Y =

arctanb√xa

fur +12 ln

a+b√x

a−b√x fur −

76.

∫ √x dxX = ±2

√x

b2 ∓ 2ab3 Y

77.

∫ √x dxX2 = ∓

√x

b2X ±1ab3Y

78.

∫dx

X√x

=2abY

79.

∫dx

X2√x

=

√x

a2X+

1a3b

Y

80.

∫ √x3 dxX = ±2

3

√x3

b2 − 2a2√xb4 +

2a3

b5 Y

81.

∫ √x3 dxX2 = ±2

√x3

b2X+

3a2√xb4X

− 3ab5Y

82.

∫dx

X√x3

= − 2a2√x∓ 2ba3Y

83.

∫dx

X2√x3

= − 2a2X√x∓ 3b2

√x

a4X ∓ 3ba5Y

√ax + b

Bezeichnungen

X = ax+ b

84.

∫ √X dx =

23a

√X3

85.

∫

x√X dx =

2(3ax−2b)15a2

√X3

86.

∫dx√X

=2a

√X

87.

∫x dx√X

=2(ax−2b)

3a2

√X

88.

∫dx

x√X

=

−2√b

artanh

√

Xb =

1√b

ln

√X −√b√

X +√b

fur b > 0

2√−b arctan

√

X−b fur b < 0

89.

∫ √X dxx = 2

√X + b

∫dx

x√X

[siehe Nr. 88]

90.

∫

x2√X dx =

2105a3 (15a2x2 − 12abx+ 8b2)

√X3

91.

∫x2 dx√X

=2

15a3 (3a2x2 − 4abx+ 8b2)√X

92.

∫dx

x2√X

= −√Xbx −

a2b

∫dx

x√X

[siehe Nr. 88]

93.

∫ √X dxx2 = −

√Xx +

a2

∫dx

x√X

[siehe Nr. 88]

94.

∫ √X3 dx =

25a

√X5

95.

∫(√X)ndx =

2a(2+n)

(√X)2+n

[n 6= −2]Ist n gerade, soentfallen die Wurzeln!Integrale siehe Seite 104.

96.

∫

x(√X)ndx = 2

a2

(1

4+n

(√X)4+n − b

2+n

(√X)2+n

)

[n 6= −2,−4]

97.

∫

x2(√X)ndx = 2

a3

(1

6+n

(√X)6+n− 2b

4+n

(√X)4+n

+b2

2+n

(√X)2+n

)

[n 6= −2,−4,−6]


√ax + b

und√cx + d

Bezeichnungen

X = ax+ bY = cx+ d

∆ = bc− ad

98.

∫dx√XY

=

2√−ac arctan

√

−cXaY fur ac < 0

2√ac

artanh

√

cXaY

=2√ac

ln(√aY +

√cX ) fur ac > 0

99.

∫x dx√XY

=

√XYac

− ad+bc2ac

∫dx√XY

[siehe Nr. 98]

100.

∫dx√

X√Y 3

= − 2√X

∆√Y

101.

∫dx√X Y

=

2√−∆c

arctanc√X√−∆c

fur ∆c < 0

1√∆c

lnc√X −√

∆cc√X +√

∆cfur ∆c > 0

102.

∫ √XY dx =

∆+2aY4ac

√XY − ∆2

8ac

∫dx√XY

[siehe Nr. 98]

103.

∫ √

YX dx =

1a

√XY − ∆

2a

∫dx√XY

[siehe Nr. 98]

104.

∫ √XY dx =

2√Xc +

∆c

∫dx√X Y

[siehe Nr. 101]

√a2 − x2 Bezeichnungen (a > 0)

X = a2 − x2

105.

∫ √X dx =

12

(

x√X + a2 arcsin x

a

)

106.

∫

x√X dx = −1

3

√X3

107.

∫

x2√X dx = −x4

√X3 +

a2

8

(

x√X + a2 arcsin x

a

)

108.

∫ √X dxx =

√X −a ln

a+√X

x

109.

∫ √X dxx2 = −

√Xx−arcsin x

a

110.

∫dx√X

= arcsin xa

111.

∫x dx√X

= −√X

112.

∫dx

x√X

= −1a ln

a+√X

x

113.

∫x2 dx√X

= −x2√X +

a2

2 arcsin xa

114.

∫dx

x2√X

= −√Xa2x


√x2 + a2 Bezeichnungen (a > 0)

X = x2 + a2

115.

∫ √X dx =

12

(x√X + a2 arsinh

xa

)

12

(x√X + a2 ln |x+

√X |)

116.

∫

x√X dx =

13

√X3

117.

∫

x2√X dx =

x4

√X3 − a2

8

(x√X + a2 arsinh

xa

)

x4

√X3 − a2

8

(x√X + a2 ln |x+

√X |)

118.

∫

x3√X dx =

√X5

5 − a2√X3

3

119.

∫ √X dxx =

√X − a ln

a+√X

x

120.

∫ √X dxx2 =

−√Xx + arsinh

xa

−√Xx

+ ln |x+√X |

121.

∫ √X dxx3 = −

√X

2x2 −12a ln

a+√X

x

122.

∫dx√X

=

arsinhxa

ln |x+√X |

123.

∫x dx√X

=√X

124.

∫x2 dx√X

=

x2

√X − a2

2 arsinhxa

x2

√X − a2

2ln |x+

√X |

125.

∫x3 dx√X

=

√X3

3− a2√X

126.

∫dx

x√X

= −1a ln

a+√X

x

127.

∫dx

x2√X

= −√Xa2x

128.

∫dx

x3√X

= −√X

2a2x2 +1

2a3 lna+√X

x


√x2 − a2 Bezeichnungen (a > 0)

X = x2 − a2

Die Formeln mit der arcosh–Funktion gelten fur x ≥ a.Im Falle x ≤ −a ist arcosh

xa durch − arcosh −x

azu ersetzen!

129.

∫ √X dx =

12

(x√X − a2 arcosh

xa

)

12

(x√X −a2 ln |x+

√X |)

130.

∫

x√X dx =

13

√X3

131.

∫

x2√X dx =

x4

√X3 +

a2

8

(x√X − a2 arcosh

xa

)

x4

√X3 +

a2

8

(x√X − a2 ln |x+

√X |)

132.

∫

x3√X dx =

√X5

5 +a2√X3

3

133.

∫ √X dxx =

√X − a arccos

ax

134.

∫ √X dxx2 =

−√Xx + arcosh

xa

−√Xx + ln |x+

√X |

135.

∫ √X dxx3 = −

√X

2x2 +12a arccos

ax

136.

∫dx√X

=

arcoshxa

ln |x+√X |

137.

∫x dx√X

=√X

138.

∫x2 dx√X

=

x2

√X +

a2

2 arcoshxa

x2

√X +

a2

2 ln |x+√X |

139.

∫x3 dx√X

=

√X3

3 + a2√X

140.

∫dx

x√X

=1a arccos

ax

141.

∫dx

x2√X

=

√X

a2x

142.

∫dx

x3√X

=

√X

2a2x2 +1

2a3 arccosax


√ax2 + bx + c

Bezeichnungen

X = ax2 + bx+ c∆ = 4ac− b2

143.

∫dx√X

=

1√a

ln |2√aX + 2ax+ b| fur a > 0

1√a

arsinh 2ax+b√∆

fur a > 0, ∆ > 0

1√a

ln |2ax+ b| fur a > 0, ∆ = 0

1√a

arcosh|2ax+b|√

−∆fur a > 0, ∆ < 0

−1√−a arcsin 2ax+b√−∆

fur a < 0, ∆ < 0

144.

∫dx

x√X

=

− 1√c

ln∣∣∣2√cXx

+ 2cx

+ b∣∣∣ fur c > 0

− 1√c

arsinh bx+2cx√

∆fur c > 0, ∆ > 0

− 1√c

ln∣∣∣bx+2cx

∣∣∣ fur c > 0, ∆ = 0

1√−c arcsin bx+2cx√−∆

fur c < 0, ∆ < 0

− 2bx

√ax2 + bx fur c = 0

145.

∫ √X dx =

(2ax+b)√X

4a +∆8a

∫dx√X

[siehe Nr. 143]

146.

∫ √X dxx =

√X +

b2

∫dx√X

+ c

∫dx

x√X

[siehe Nr. 143, 144]

147.

∫ √X dxx2 = −

√Xx + a

∫dx√X

+b2

∫dx

x√X

[siehe Nr. 143, 144]

148.

∫x dx√X

=

√Xa− b

2a

∫dx√X

[siehe Nr. 143]

149.

∫x2 dx√X

=(x2a −

3b4a2

)√X +

3b2−4ac8a2

∫dx√X

[siehe Nr. 143]

150.

∫

x√X dx =

X√X

3a − b(2ax+b)√X

8a2 − b∆16a2

∫dx√X

[siehe Nr. 143]

151.

∫

x2√X dx =

(

x− 5b6a

)X√X

4a +5b2−4ac

16a2

∫ √X dx [siehe Nr. 145]

152.

∫dx

X√X

=2(2ax+b)

∆√X

153.

∫x dxX√X

= −2(bx+2c)

∆√X

154.

∫x2 dxX√X

=(2b2−4ac)x+2bc

a∆√X

+1a

∫dx√X

155.

∫

X√X dx =

(2ax+b)√X

8a

(

X +3∆8a

)

+3∆2

128a2

∫dx√X

[siehe Nr. 143]

156.

∫dx

x2√X

=

−√Xcx− b

2c

∫dx

x√X

[c 6= 0] [siehe Nr. 144]

23(− 1bx2 +

2ab2x

)√ax2 + bx [c = 0]

Fur ∆=0 ist notwendig a > 0 und√X =

12√a|2ax+b|

X =14a

(2ax+ b)2

Integralesiehe

Seite 104.


Spezialfalle:

157.

∫dx

x√ax2+bx

= − 2bx

√ax2 + bx

158.

∫dx√

2ax−x2 = arcsinx−aa

159.

∫x dx√

2ax−x2 = −√

2ax− x2 + a arcsinx−aa

160.

∫√

2ax− x2 dx =x−a

2

√2ax− x2 +

a2

2 arcsinx−aa

Integrale, die andere irrationale Ausdrucke enthalten:

161.

∫

n√ax+ b dx =

n(ax+b)(n+1)a

n√ax+ b

162.

∫dx

n√ax+b =n(ax+b)(n−1)a

1n√ax+b

163.

∫dx

x√xn+a2 = − 2

na lna+√xn+a2√xn

164.

∫dx

x√xn−a2 =

2na arccos

a√xn

165.

∫ √x dx√a3−x3 =

23 arcsin

√(xa

)3

8.3.3 Integrale mit trigonometrischen Funktionen

tan ax cot ax

166.

∫

tan ax dx = −1a ln cos ax

167.

∫

tan2 ax dx =tan axa − x

168.

∫

tan3 ax dx =12a tan2 ax+

1a ln cos ax

169.

∫

tann ax dx =1

a(n−1) tann−1 ax−∫

tann−2 ax dx [n 6= 1]

170.

∫

cot ax dx =1a ln sin ax

171.

∫

cot2 ax dx = −cotaxa − x

172.

∫

cot3 ax dx = − 12a cot2 ax− 1

a ln sin ax

173.

∫

cotn ax dx =−1

a(n−1) cotn−1 ax−∫

cotn−2 ax dx [n 6= 1]

174.

∫dx

tan ax± 1 = ±x2 +12a ln | sin ax± cos ax|

175.

∫cotn axsin2 ax

dx = − 1a(n+1) cotn+1 ax [n 6= −1]


sin ax

176.

∫

sin ax dx = −1a cos ax

177.

∫

sin2 ax dx =12x− 1

4asin 2ax

178.

∫

sin3 ax dx = −1a cos ax+

13a cos3 ax

179.

∫

sin4 ax dx =38x− 1

4asin 2ax+

132a

sin 4ax

180.

∫

sinn ax dx = − sinn−1 ax cos axna +

n−1n

∫

sinn−2 ax dx

181.

∫

x sin ax dx =sinaxa2 − x cos ax

a

182.

∫

x2 sinax dx =2xa2 sin ax−

(x2

a −2a3

)cos ax

183.

∫

x3 sinax dx =(3x2

a2 − 6a4

)sin ax−

(x3

a −6xa3

)cos ax

184.

∫

xn sin ax dx = −xn

a cos ax+na

∫

xn−1 cos ax dx

185.

∫dx

sin ax =1a ln tan

ax2

186.

∫dx

sin2 ax= −1

acotax

187.

∫dx

sin3 ax= − cos ax

2a sin2 ax+

12a ln tan

ax2

188.

∫x dx

sin2 ax= −x

acot ax+

1a2 ln sinax

189.

∫dx

1±sinax = ∓1a tan

(π4 ∓

ax2

)=

−2tan(ax

2)±1

190.

∫x dx

1+sinax= −x

atan(π4− ax

2

)+

2a2 ln cos

(π4− ax

2

)

∫x dx

1−sinax=xa

cot(π4− ax

2

)+

2a2 ln sin

(π4− ax

2

)

191.

∫x dx

1±sinax =1a2

(

ln(1± sin ax)∓ ax cos ax1±sinax

)

192.

∫sin ax dx1±sinax = ±x+

1a tan

(π4 ∓

ax2

)= ±1

a

(

ax+2

tan(ax2

)±1

)

193.

∫dx

b+c sinax =∗)

2a√b2−c2 arctan

c+b tanax/2√b2−c2 fur b2 > c2

1a√c2−b2 ln

c−√c2−b2 +b tanax/2

c+√c2−b2 +b tanax/2

fur b2 < c2

194.

∫sinax dxb+c sinax =

xc −

bc

∫dx

b+c sinax [siehe Nr. 193]

195.

∫

sin ax sin bx dx =sin(a−b)x2(a−b) − sin(a+b)x

2(a+b)

[ |a| 6= |b||a| = |b|, siehe Nr. 177

]

∫sin axx

dx ,

∫x

sin axdx ,

∫cos axx

dx ,

∫x

cos axdx

nicht elementarintegrierbar,siehe aber Nr. 304–307.

∗)richtig fur −π2≤ x ≤ π

2. Sonst +C (hangt vom Intervall ab).


196.

∫

cos ax dx =1a sinax

197.

∫

cos2 ax dx =12x+

14a sin 2ax

198.

∫

cos3 ax dx =1a sinax− 1

3a sin3 ax

cos ax

199.

∫

cos4 ax dx =38x+

14a sin 2ax+

132a sin 4ax

200.

∫

cosn ax dx =cosn−1 ax sin ax

na +n−1n

∫

cosn−2 ax dx

201.

∫

x cos ax dx =cos axa2 +

x sin axa

202.

∫

x2 cos ax dx =2xa2 cos ax+

(x2

a −2a3

)sin ax

203.

∫

x3 cos ax dx =(3x2

a2 − 6a4

)cos ax+

(x3

a −6xa3

)sinax

204.

∫

xn cos ax dx =xn

a sinax− na

∫

xn−1 sin ax dx

205.

∫dx

cos ax =1a ln tan

(ax2 + π

4

)

206.

∫dx

cos2 ax =1a tan ax

207.

∫dx

cos3 ax =sin ax

2a cos2 ax +12a ln tan

(ax2 + π

4

)

208.

∫x dx

cos2 ax =xa tan ax+

1a2 ln cos ax

209.

∫dx

1+cosax =1a tan

ax2

∫ √1− cosx dx =

√2

∫

| sin x2|dx

∫ √1 + cosx dx =

√2

∫

| cos x2|dx210.

∫dx

1−cosax = −1a cot

ax2

211.

∫x dx

1+cosax =xa tan

ax2 +

2a2 ln cos

ax2

212.

∫x dx

1−cosax = −xa cotax2 +

2a2 ln sin

ax2

213.

∫cos ax dx1+cosax = x− 1

a tanax2

214.

∫cos ax dx1−cosax = −x− 1

a cotax2

215.

∫dx

b+c cosax =∗)

2a√b2−c2 arctan

(b−c) tanax/2√b2−c2 fur b2 > c2

1a√c2−b2 ln

(c−b) tan ax/2+√c2−b2

(c−b) tan ax/2−√c2−b2 fur b2 < c2

216.

∫cos ax dxb+c cosax =

xc −

bc

∫dx

b+c cosax [siehe Nr. 215]

217.

∫

cos ax cos bx dx =sin(a−b)x2(a−b) +

sin(a+b)x2(a+b)

[ |a| 6= |b||a| = |b|, siehe Nr. 197

]

∫cos axx

dx ,

∫x

cos axdx ,

∫sin axx

dx ,

∫x

sin axdx

nicht elementarintegrierbar,siehe aber Nr. 304–307.

∗)richtig fur −π2≤ x ≤ π

2. Sonst +C (hangt vom Intervall ab).


sin ax cos ax

218.

∫

sin ax cos ax dx =12a sin2 ax

219.

∫

sin2 ax cos2 ax dx =x8 −

sin 4ax32a

220.

∫

sinn ax cos ax dx =1

a(n+1) sinn+1 ax [n 6= −1]

221.

∫

sin ax cosn ax dx =−1

a(n+1) cosn+1 ax [n 6= −1]

222.

∫dx

sin ax cos ax =1a ln | tan ax|

223.

∫dx

sin2 ax cos ax=

1a

(

ln | tan(π4 +

ax2

)| − 1

sin ax

)

=1a

(

ln | 1cos ax + tanax| − 1

sin ax

)

224.

∫dx

sin ax cos2 ax=

1a

(

ln | tanax2|+ 1

cos ax

)

= −1a

(

ln | 1sin ax

+ cotax| − 1cos ax

)

225.

∫dx

sin2 ax cos2 ax= −2

acot 2ax

226.

∫sin ax dxcos2 ax =

1a cos ax

227.

∫sin ax dxcos3 ax

=1

2a cos2 ax=

12a

tan2 ax+12a

228.

∫sin2 ax dx

cos ax= −1

asinax+

1a

ln tan(ax

2+π4

)

229.

∫cos ax dxsin2 ax

= − 1a sinax

230.

∫cos ax dxsin3 ax

= − 12a sin2 ax

= − 12a

cot2 ax− 12a

231.

∫cos2 ax dx

sin ax =1a

(cos ax+ ln tan

ax2

)

232.

∫sin ax dxb+c cosax = − 1

ac ln |b+ c cosax|

233.

∫cos ax dxb+c sinax =

1ac ln |b+ c sin ax|

234.

∫sin ax dx

sin ax±cos ax =x2 ∓

12a ln | sin ax± cos ax|

235.

∫cos ax dx

sin ax±cos ax = ±x2 +12a ln | sin ax± cos ax|

236.

∫dx

sin ax±cos ax =1

a√

2ln | tan

(ax2 ±

π8

)|

237.

∫dx

1+cosax±sin ax = ±1a ln

∣∣1± tan

ax2

∣∣

238.

∫dx

b sinax+c cos ax =1

a√b2+c2

ln tanax+ϕ

2 mit[ sinϕ = c√

b2+c2

tanϕ = cb

]

239.

∫

sin ax cos bx dx = −cos(a+b)x2(a+b) − cos(a−b)x

2(a−b)[ |a| 6= |b||a| = |b|, Nr. 218

]


8.3.4 Integrale mit Exponential– und Logarithmusfuktionen

eax

240.

∫

eax dx =1a eax

∫

ax dx =ax

ln a [ 0 < a 6= 1]

241.

∫

x eax dx =eax

a2 (ax− 1)

242.

∫

x2 eax dx =eax

a3 (a2x2 − 2ax+ 2)

243.

∫

xn eax dx =1ax

n eax − na

∫

xn−1 eax dx

244.

∫dx

1+ eax =1a ln

eax

1+ eax

245.

∫dx

b+c eax =xb −

1ab ln |b+ c eax|

246.

∫eax dxb+c eax =

1ac ln |b+ c eax|

247.

∫

eax sin bx dx =eax

a2+b2 (a sin bx− b cos bx)

248.

∫

eax cos bx dx =eax

a2+b2 (a cos bx+ b sin bx)

249.

∫

x eax sin bx dx = x eax

a2+b2(a sin bx−b cos bx)− eax

(a2+b2)2

(

(a2−b2) sin bx−2ab cosbx)

250.

∫

x eax cos bx dx = x eax

a2+b2(a cos bx+b sin bx)− eax

(a2+b2)2

(

(a2−b2) cos bx+2ab sin bx)

ln x

251.

∫

lnx dx = x lnx− x∫

loga x dx =1

ln a(x lnx− x) [ 0 < a 6= 1]

252.

∫

ln2 x dx = x ln2 x− 2x lnx+ 2x

253.

∫

ln3 x dx = x ln3 x− 3x ln2 x+ 6x lnx− 6x

254.

∫

lnn x dx = x lnn x− n∫

lnn−1 x dx

255.

∫dx

lnn x =−x

(n−1) lnn−1 x+

1n−1

∫dx

lnn−1 x[n 6= 1, n = 1 Nr. 309]

256.

∫

xn lnx dx = xn+1( lnxn+1

− 1(n+1)2

)[n 6= −1]

257.

∫lnn xx

dx =lnn+1 xn+1

[n 6= −1]

258.

∫lnxxn dx =

− lnx(n−1)xn−1 − 1

(n−1)2xn−1 [n 6= 1]

259.

∫dxx lnx

dx = ln lnx

∫ex

xdx ,

∫1

lnxdx ,

∫x

lnxdx

sind nicht elementar integrierbar,siehe aber Nr. 308–310.


8.3.5 Integrale mit Hyperbelfunktionen

sinh ax cosh ax tanh ax coth ax

260.

∫

sinh ax dx = 1a

coshax

261.

∫

coshax dx = 1a

sinhax

262.

∫

tanh ax dx = 1a

ln coshax

263.

∫

coth ax dx = 1a

ln sinhax

264.

∫

sinh2 ax dx = 12a

sinh ax coshax− 12x

265.

∫

cosh2 ax dx = 12a

sinh ax coshax+ 12x

266.

∫

tanh2 ax dx = x− tanh axa

267.

∫

coth2 ax dx = x− coth axa

268.

∫

sinhn ax dx =

1an

sinhn−1 ax coshax− n−1n

∫

sinhn−2 ax dx [n > 0]

1a(n+1)

sinhn+1 ax coshax− n+2n+1

∫

sinhn+2ax dx[n < 0n 6= −1

]

269.

∫

coshn ax dx =

1an

sinh ax coshn−1 ax+ n−1n

∫

coshn−2 ax dx [n > 0]

−1a(n+1)

sinh ax coshn+1ax+ n+2n+1

∫

coshn+2ax dx[n < 0n 6= −1

]

270.

∫dx

sinh ax = 1a

ln tanhax2

271.

∫dx

coshax=

2a

arctan eax

272.

∫dx

sinh ax coshax = 1a

ln tanh ax

273.

∫

x sinh ax dx = 1ax cosh ax− 1

a2sinh ax

274.

∫

x cosh ax dx = 1ax sinh ax− 1

a2coshax

275.

∫

sinh ax sinh bx dx = 1a2−b2 (a sinh bx coshax−b cosh bx sinh ax) [a2 6= b2]

276.

∫

coshax cosh bx dx = 1a2−b2 (a sinh ax cosh bx−b sinh bx coshax) [a2 6= b2]

277.

∫

coshax sinh bx dx = 1a2−b2 (a sinh bx sinh ax−b cosh bx coshax) [a2 6= b2]

278.

∫

sinh ax coshn ax dx = coshn+1 axa(n+1)

[n 6= −1]

279.

∫

coshax sinhn ax dx = sinhn+1 axa(n+1)

[n 6= −1]

280.

∫

sinh ax sin ax dx = 12a

(cosh ax sin ax− sinh ax cos ax)

281.

∫

coshax cos ax dx = 12a

(sinh ax cos ax+ coshax sin ax)

282.

∫

sinh ax cos ax dx = 12a

(cosh ax cos ax+ sinh ax sin ax)

283.

∫

coshax sin ax dx = 12a

(sinh ax sin ax− cosh ax cos ax)


8.3.6 Integrale mit inversen trigonometr. Funktionen (Arcusfunktionen)

arcsin x arccos x arctan x arccot x

284.

∫

arcsinxa dx = x arcsin

xa +√a2 − x2

285.

∫

x arcsinxa dx =

(x2

2 −a2

4

)arcsin

xa +

x4

√a2 − x2

286.

∫

x2 arcsinxa dx =

x3

3 arcsinxa +

19(x2 + 2a2)

√a2 − x2

287.

∫ arcsinxa dx

x2 = − 1x arcsin

xa −

1a ln

a+√a2−x2

x

288.

∫

arccosxa dx = x arccos

xa −√a2 − x2

289.

∫

x arccosxa dx =

(x2

2 −a2

4

)arccos

xa −

x4

√a2 − x2

290.

∫

x2 arccosxa dx =

x3

3 arccosxa −

19(x2 + 2a2)

√a2 − x2

291.

∫ arccosxa dx

x2 = − 1x arccos

xa +

1a ln

a+√a2−x2

x

292.

∫

arctanxadx = x arctan

xa− a

2ln(a2 + x2)

293.

∫

x arctanxa dx =

12(x2 + a2) arctan

xa −

ax2

294.

∫

x2 arctanxadx =

x3

3arctan

xa− ax2

6+a3

6ln(a2 + x2)

295.

∫ arctanxa dx

x2 = − 1x arctan

xa −

12a ln

a2+x2

x2

296.

∫

arccotxa dx = x arccot

xa +

a2 ln(a2 + x2)

297.

∫

x arccotxa dx =

12(x2 + a2) arccot

xa +

ax2

298.

∫

x2 arccotxadx =

x3

3arccot

xa

+ax2

6− a3

6ln(a2 + x2)

299.

∫ arccotxa dx

x2 = − 1x arccot

xa +

12a ln

a2+x2

x2

∫arcsinax

x dx

∫x

arccosaxdx

∫arctanax

xdx

∫x

arccot axdx

Sind nicht elementar integrierbar.

Hilfe: Integrand in Potenzreihe (Seite 83)entwickeln und gliedweise integrieren!Division von Pot–Reihen: Seite 79 oderHM, Seite 348 ff.


8.3.7 Integrale mit inversen Hyperbelfunktionen (Areafunktionen)

arsinh x arcosh x artanh x arcoth x

300.

∫

arsinhxadx = x arsinh

xa−√x2 + a2

301.

∫

arcoshxa dx = x arcosh

xa −√x2 − a2

302.

∫

artanhxadx = x artanh

xa

+a2

ln(a2 − x2)

303.

∫

arcothxa dx = x arcoth

xa +

a2 ln(x2 − a2)

8.3.8 Nicht elementar integrierbare Funktionen

Integrale werden durch Potenzreihen angegeben.

Bernoulli–Zahlen Bn und Euler–Zahlen En , siehe Seite 80.

304.

∫sinaxx dx = ax− (ax)3

3·3! +(ax)5

5·5! ∓ · · ·Die Funktion Si (x) =

∫ x

0sin t

tdt

heißt Integralsinus.

305.

∫x

sin ax dx =1a2

(

ax+(ax)3

3·3! +7(ax)5

3·5·5! +· · ·+ 2(22n−1−1)(−1)n−1B2n(ax)2n+1

(2n+1)! +· · ·)

306.

∫cos axx dx = ln |ax| − (ax)2

2·2! +(ax)4

4·4! −(ax)6

6·6! ± · · ·

307.

∫x

cos ax dx =1a2

( (ax)2

2·0! +(ax)4

4·2! +5(ax)6

6·4! + · · ·+ (−1)nE2n(ax)2n+2

(2n+2)(2n)! + · · ·)

308.

∫eax

x dx = ln |x|+ ax1·1! +

(ax)2

2·2! +(ax)3

3·3! +(ax)4

4·4! + · · ·

309.

∫1

lnx dx = ln | lnx|+ lnx1·1! +

ln2 x2·2! +

ln3 x3·3! +· · ·

(Substitutionz = lnx fuhrt auf

∫ez

z dz)

310.

∫x

lnx dx Subst.:

z = ln xezdz = dx

fuhrt auf

∫

e2z

zdz, siehe Nr. 308.

311.

∫

x tan ax dx

=ax3

3 +a3x5

15 +2a5x7

105 +17a7x9

2835 + · · ·+ 22n(22n−1)(−1)n−1B2na2n−1x2n+1

(2n+1)! + · · ·

312.

∫tanax dx

x

= ax+(ax)3

9 +2(ax)5

75 +17(ax)7

2205 +· · ·+ 22n(22n−1)(−1)n−1B2n(ax)2n−1

(2n−1)(2n)! + · · ·

313.

∫

x cot ax dx=xa −

ax3

9 − a3x5

225 − · · · −22n(−1)n−1B2na

2n−1x2n+1

(2n+1)! + · · ·

314.

∫cotax dx

x = − 1ax −

ax3 −

(ax)3

135 −2(ax)5

4725 − · · · −22n(−1)n−1B2n(ax)2n−1

(2n−1)(2n)! + · · ·

8.4 Tabelle bestimmter (auch uneigentlicher) Integrale 121

8.4 Tabelle bestimmter (auch uneigentlicher) Integrale

Bezeichnungen:

m,n ∈ IN = 1, 2, 3, · · · k, a, b ∈ IR

Γ : Gammafunktion, Seite 9

312.

∫ ∞

a

dxxk =

1

(k−1)ak−1 , fur k > 1

∞ , fur k ≤ 1[a > 0]

313.

∫ a

0

dxxk

=

∞ , fur k ≥ 1−1

(k−1)ak−1 , fur k < 1[a > 0]

314.

∫ ∞

0

dxa+bx2 =

π2√ab

[a, b > 0]

315.

∫ 1

0

x dx√1−x2 = 1

316.

∫ 1

0

dx√1−x2 =

π2

317.

∫1

0

x2n dx√1−x2

=1·3·5··· (2n−1)

2·4·6···2n · π2

[vergleiche Nr. 343, Subst.: x = sin z]

318.

∫ 1

0xa(1−x)b dx = 2

∫ 1

0x2a+1(1− x2)b dx =

Γ(a+1)Γ(b+1)Γ(a+b+2)

319.

∫ ∞

0

dx(1+x)xa =

πsin aπ [a < 1]

320.

∫ ∞

0

dx(1−x)xa = −π cot aπ [a < 1]

321.

∫ ∞

0

x dxex−1 =

π2

6 [vergleiche Nr. 331, Subst.: ex =1z ]

322.

∫ ∞

0

dxeax =

1a [a > 0]

323.

∫ ∞

0

x dxex+1 =

π2

12

324.

∫ ∞

0

dxeax2

=

∫0

−∞dxeax2

=

√π

2√a

[a > 0]

∫ ∞

−∞e−x

2

dx =√π

325.

∫ ∞

0

x2 dxeax2

=

√π

4a√a

[a > 0]

326.

∫ ∞

0

xk

eax dx =

Γ(k+1)ak+1 [a > 0, k > −1]

k!ak+1 [a > 0, k ∈ IN]


327.

∫ ∞

0

sin axebx dx =

∫ ∞

0

cos bxeax dx =

aa2+b2 [a, b > 0]

328.

∫ ∞

0

sinxx eax dx = arccot a = arctan

1a [a > 0]

329.

∫ ∞

0

cos bxeax2

dx =

√π

2√a eb2/4a

[a > 0]

330.

∫ ∞

0

lnxex dx =

∫ 1

0ln | lnx| dx = −CE ≈ −0.5772

CE : Eulersche Konstante

CE = limn→∞

( n∑

k = 1

1k− lnn

)

= − limn→∞

(

(1 + 12

+ 13

+ · · ·+ 1n)− lnn

)

= −CE

331.

∫ 1

0

lnxx−1 dx =

π2

6 [vergleiche Nr. 321, Subst.: lnx = −z]

332.

∫ 1

0

lnxx2−1

dx =π2

8

333.

∫ 1

0

√

1− x2 lnx dx = −π8

+ π4

ln 2

334.

∫ 1

0(lnx)n dx = (−1)n n!

335.

∫ 1

0

lnxx+1 dx = −π

2

12

336.

∫ 1

0

ln(1+x)x2+1 dx =

π8 ln 2

337.

∫1

0x ln(1 + x) dx =

14

338.

∫ 1

0

(ln

1x

)kdx =

Γ(k + 1) , falls (−1 < k <∞)k! , falls k ∈ IN

339.

∫ π2

0sinx dx =

∫ π2

0cosx dx = 1

340.

∫ π

0sinx dx = 2 und

∫ π

0cosx dx = 0

341.

∫ π2

0sin2 x dx =

∫ π2

0cos2 x dx =

π4

342.

∫ π2· n

0sin2(ax) dx =

∫ π2· n

0cos2(ax) dx =

π4 · n [ fur a ∈ ZZ , n ∈ IN ]

343.

∫ π2

0sin2n x dx =

∫ π2

0cos2n x dx =

1·3·5··· (2n−1)2·4·6···2n · π2

[vergleiche Nr. 317Subst.: sin x = z

]

344.

∫ π2

0sin2n+1 x dx =

∫ π2

0cos2n+1 x dx =

2·4·6···2n3·5·7··· (2n+1) =

22n(n!)2

(2n+1)!

345.

∫ ∞

−∞sinx2 dx =

∫ ∞

−∞cosx2 dx =

√π2

8.4 Tabelle bestimmter (auch uneigentlicher) Integrale 123

346.

∫ 2π

0sinmx sinnxdx =

π , fur m = n0 , fur m 6= n

347.

∫ 2π

0cosmx cosnxdx =

π , fur m = n0 , fur m 6= n

348.

∫ 2π

0sinmx cosnxdx = 0

Orthogonalitats–Relationenm, n ∈ ZZ

349.

∫ ∞

0

sin axx dx =

π2

, fur a > 0

−π2

, fur a < 0

350.

∫ α

0

cos axx dx =∞ [α beliebig]

351.

∫ ∞

0

tan axx dx =

π2

, fur a > 0

−π2

, fur a < 0

352.

∫ ∞

0

cos ax−cos bxx dx = ln

ba

353.

∫ ∞

0

sinx cos axx dx =

π2

, fur |a| < 1π4

, fur |a| = 1

0 , fur |a| > 1

354.

∫ ∞

0

sinx√xdx =

∫ ∞

0

cosx√xdx =

√π2

355.

∫ ∞

0

cos ax1+x2 dx =

π2 e|a|

356.

∫ ∞

0

sin2 axx2 dx =

π2 |a|

357.

∫ π2

0ln sinx dx =

∫ π2

0ln cosx dx = −π2 ln 2

358.

∫ π

0x ln sinx dx = −π

2 ln 22

359.

∫ π2

0ln tanx dx = 0

360.

∫ π4

0ln(1 + tanx) dx =

∫ 1

0

ln(1+x)x2+1 dx =

π8 ln 2

361.

∫ π2

0sinx ln sinx dx = ln 2− 1

362.

∫ ∞

−∞e−ax

2

dx =√

πa

363.

∫ ∞

−∞e−1

2(x−a)2σ2 dx =

√2π σ


8.5 Elliptische Integrale∫R(x,

√ax3 + bx2 + cx+ d ) dx

∫R(x,

√ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e ) dx

elliptische Integrale lassen sich i.A. nichtdurch elementare Funktionen ausdrucken.

Durch Umformungen erhalt man die Legendreschen Normalformen.Die entsprechenden bestimmten Integrale (untere Grenze = 0) sind:

F (k, ϕ) =

∫ ϕ

0

dψ√1−k2 sin2 ψ

=

∫ sinϕ

0

dt√1−t2

√1−k2t2

ellipt. Int. 1. Art

E(k, ϕ) =

∫ϕ

0

√

1− k2 sin2 ψ dψ =

∫sinϕ

0

√1−k2t2

1−t2 dt ellipt. Int. 2. Art

Π(h, k, ϕ) =

∫ϕ

0

dψ

(1+h sin2 ψ)√

1−k2 sin2 ψellipt. Int. 3. Art

elliptische Integrale 1. Art F (k, ϕ), k = sinα :α 00 100 200 300 400 500 600 700 800 900

k sin 00 sin 100 sin 200 sin 300 sin 400 sin 500 sin 600 sin 700 sin 800 sin 900ϕ00 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000

100 0, 1745 0, 1746 0, 1746 0, 1748 0, 1749 0, 1751 0, 1752 0, 1753 0, 1754 0, 1754200 0, 3491 0, 3493 0, 3499 0, 3508 0, 3520 0, 3533 0, 3545 0, 3555 0, 3561 0, 3564300 0, 5236 0, 5243 0, 5263 0, 5294 0, 5334 0, 5379 0, 5422 0, 5459 0, 5484 0, 5493400 0, 6981 0, 6997 0, 7043 0, 7116 0, 7213 0, 7323 0, 7436 0, 7535 0, 7604 0, 7629500 0, 8727 0, 8756 0, 8842 0, 8982 0, 9173 0, 9401 0, 9647 0, 9876 1, 0044 1, 0107600 1, 0472 1, 0519 1, 0660 1, 0896 1, 1226 1, 1643 1, 2126 1, 2619 1, 3014 1, 3170700 1, 2217 1, 2286 1, 2495 1, 2853 1, 3372 1, 4068 1, 4944 1, 5959 1, 6918 1, 7354800 1, 3963 1, 4056 1, 4344 1, 4846 1, 5597 1, 6660 1, 8125 1, 0119 1, 2653 2, 4362900 1, 5708 1, 5828 1, 6200 1, 6858 1, 7868 1, 9356 2, 1565 2, 5046 3, 1534 ∞

elliptische Integrale 2. Art E(k, ϕ), k = sinα :α 00 100 200 300 400 500 600 700 800 900

k sin 00 sin 100 sin 200 sin 300 sin 400 sin 500 sin 600 sin 700 sin 800 sin 900ϕ00 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000

100 0, 1745 0, 1745 0, 1744 0, 1743 0, 1742 0, 1740 0, 1739 0, 1738 0, 1737 0, 1736200 0, 3491 0, 3489 0, 3483 0, 3473 0, 3462 0, 3450 0, 3438 0, 3429 0, 3422 0, 3420300 0, 5236 0, 5229 0, 5209 0, 5179 0, 5141 0, 5100 0, 5061 0, 5029 0, 5007 0, 5000400 0, 6981 0, 3966 0, 6921 0, 6851 0, 6763 0, 6667 0, 6575 0, 6497 0, 6446 0, 6428500 0, 8727 0, 8698 0, 8614 0, 8483 0, 8317 0, 8134 0, 7954 0, 7801 0, 7697 0, 7660600 1, 0472 1, 0426 1, 0290 1, 0076 0, 9801 0, 9493 0, 9184 0, 8914 0, 8728 0, 8660700 1, 2217 1, 2149 1, 1949 1, 1632 1, 1221 1, 0750 1, 0266 0, 9830 0, 9514 0, 9397800 1, 3963 1, 3870 1, 3597 1, 3161 1, 2590 1, 1926 1, 1225 1, 0565 1, 0054 0, 9848900 1, 5708 1, 5589 1, 5283 1, 4675 1, 3931 1, 3055 1, 2111 1, 1184 1, 0401 1, 0000

Beispiel: Umfang einer Ellipse (ellipt. Int. 2.Art mit k = num. Exzentr. der Ellipse):

Die Ellipsex2

a2+y2

b2= 1 mit der num. Exzentrizitat k = sinα =

√a2−b2a

(= ε, s. Seite 28).

hat den Umfang U = 4a

∫ π2

0

√

1− k2 sin2 ψ dψ = 4aE(k,π2)

Fur die Ellipsex2

4+ y2 = 1 ergibt sich speziell (a = 2, b = 1⇒ k = sinα =

12

√3 , α = 600) :

U = 8

∫ π2

0

√

1− 34

sin2 ψ dψ = 8E(12

√3 ,

π2) = 8E(sin 600, 900) = 8 · 1, 2111 = 9, 6888.

Mit der Naherungsformel von Seite 28: U ≈ π(3a+b2−√ab ) = π(3

2+12−√

2 ) = 9, 6943.

8.6 Laplace–Transformation 125

8.6 Laplace–Transformation

Laplace–Transformation

f(t) −−• F (s) ⇐⇒ F (s) =

∫ ∞

0e−stf(t) dt

Linearitat αf(t) + βg(t) −−• αF (s) + βG(s)

Faltung (f ∗ g)(t) −−• F (s) ·G(s), mit (f ∗ g)(t) :=

∫ t

0f(t−τ)g(τ) dτ

Integration

∫ t

0f(τ) dτ −−• 1

sF (s)

Differentiation f ′(t) −−• sF (s)− f(0+)

f ′′(t) −−• s2F (s)−(sf(0+) + f ′(0+)

)

f (n)(t) −−• snF (s)−n∑

k=1

sn−kf (k−1)(0+)

Verschiebung f(t− a) −−• e−asF (s), a > 0

f(t+ a) −−• eas(F (s)−

∫ a

0e−stf(t) dt

), a > 0

Zhnlichkeit f(at) −−• 1aF ( s

a), a > 0

Dampfung e−atf(t) −−• F (s+ a)

Multiplikation tnf(t) −−• (−1)nF (n)(s)

Division1tf(t) −−•

∫ ∞

sF (u) du

f(t) −−• F (s)

1 1s

e−at 1s+a

t 1s2

1a(1− e−at) 1

s(s+a)

1b−a ( e−at − e−bt) 1

(s+a)(s+b)

1a−b (a e−at − b e−bt) s

(s+a)(s+b)

t e−at 1(s+a)2

e−at(1− at) s(s+a)2

1a

sinh(at) 1s2−a2

cosh(at) ss2−a2

f(t) −−• F (s)

1a

sin at 1s2+a2

cos at ss2+a2

1a

e−bt sin at 1(s+b)2+a2

e−bt(cos at− b

asinat

) s(s+b)2+a2

12t2 1

s3

1a2

( e−at + at− 1) 1s2(s+a)

1ab(a−b)

((a− b) + b e−at − a e−bt

) 1s(s+a)(s+b)

1a2

(1− e−at − at e−at) 1s(s+a)2

t2

2e−at 1

(s+a)3

e−att(1− a

2t) s

(s+a)3


8.7 Distributionen

Distributionen sind verallgemeinerte Funktionen. Ein wichtiges Beispiel ist die Delta–

Distribution δ(x), auch Dirac–Funktion genannt.

8.7.1 δ–Distribution (δ–Funktion)

Die δ–Distribution ist Grenzwert (im Distributionensinn) z.B. der Folgen:

δ(x) = limn→∞

√nπ

e−nx2

= limn→∞

sinnxπx

.

1−1

1n = 2, 8, 15, 30

x

y

δ(x)= limn→∞

√nπ

e−nx2

1−1

1

x

y

δ′(x)= limn→∞

−2nx√

nπ

e−nx2

1−1

1

n = 3π

x

y

δ(x) = limn→∞

sinnx

πx

Definierende Eigenschaften

δ(x) =

0 x 6= 0∞ x = 0

;

∫ ∞

−∞δ(x) dx = 1 ;

∫ ∞

−∞f(x) δ(x) dx = f(0).

Rechenregeln

δ(−x) = δ(x) , f(x) δ(x− x0) = f(x0) δ(x− x0) , δ(g(x)) =∑

g(xn)=0

δ(x− xn)

|g′(xn)|.

Im Distributionensinn gilt:

Die δ–Distribution ist die Ableitung

der Heaviside–Funktion H(x) := χ[0,∞) =

0 , x < 01 , x ≥ 0.

Die Ableitung δ′ der δ-Distributionheißt auch Dipol-Distribution, Skizze oben.

1−1

1

x

y

Laplace

Transformierte:δ(t− t0) • F (s) =

∫∞0 δ(t− t0) e−st dt =

e−st0 falls t0 ≥ 00 sonst.

Fourier

Transformierte:

FT(δ(t− t0)

)(s) = 1√

2π

∫ ∞

−∞δ(t− t0) e−ist dt = 1√

2πe−ist0 ,

FT(eis0t

)(s) = 1√

2π

∫ ∞

−∞ei(s−s0)t dt =

√2πδ(s− s0).

Fourier

Entwicklung:δ(t− t0) = 1

2π

∞∑

n=−∞ein(t−t0) = 1

2π+ 1

π

∞∑

n=−∞cosn(t− t0).

8.7 Distributionen 127

8.7.2 Distribution allgemein

Es gibt (mindestens) zwei Moglichkeiten, allgemeine Distributionen einzufuhren:

• Einmal konnen sie als (aquivalenz-) Klassen gewisser Funktionenfolgen (gn)bzgl. einer speziellen aquivalenzrelation definiert werden.

In diesem Sinn werden stetige Funktionen f durch die konstante Folge gn = f unddie δ-Distribution durch die zwei Funktionenfolgen aus Abschnitt 8.7.1 reprasentiert.

Distributionen, die durch lokal integrierbare Funktionen reprasentiert werden konnen,heißen regular. Die δ-Distribution ist nicht-regular.

• Haufiger werden sie als stetige lineare Funktionale auf dem Raum D der Test-funktionen (unendlich oft differenzierbare Funktn. mit kompaktem Trager) definiert.

Die δ-Distribution ist dann das Funktional 〈δ, ψ〉 :=∫∞−∞ δ ·ψ = ψ(0) fur alle ψ ∈ D.

Insbesondere gilt 〈δ(t), ψ(x + t)〉 :=∫∞−∞ δ · ψ dt = ψ(x) fur alle x ∈ IR .

Stetige Funktionen g werden mit den Funktionalen g(ψ) :=∫∞−∞ g · ψ identifiziert

und sind damit spezielle Distributionen.

8.7.3 Ableitung von Distributionen

Distributionen sind beliebig oft differenzierbar.Die Ableitung f ′ einer Distribution f wird definiert durch (partielle Integration!)

〈f ′, ψ〉 :=

∫ ∞

−∞f ′ · ψ := −

∫ ∞

−∞f · ψ′ = −〈f, ψ′〉 fur alle Testfunktionen ψ.

Entsprechend fur Ableitungen n-ter Ordnung: 〈f (n), ψ〉 := (−1)n〈f, ψ(n)〉 .

Fur Distributionen sind Limesbildung und Ableitung vertauschbar, d.h.fur f = lim fn gilt f ′ = lim f ′

n .

Die Ableitung der δ-Funktion ist z.B. 〈δ′, ψ〉 = −ψ′(0) bzw δ′ = limn−2nx√

n/π e−nx2

.

Die Ableitung der Heaviside-Funktion H(x) := χ[0,∞) ist die δ-Distribution:

〈H ′, ψ〉 = −〈H,ψ′〉 = −∫ ∞

0

ψ′ = −ψ∣∣∣

∞

0= ψ(0) = 〈δ, ψ〉 .

Ist L ein linearer Differentialoperator und ft0 eine Distribution mit Lft0 = δ(t− t0) ,so heißt ft0 eine Fundamental-Losung von L bzgl. t0.

Z.B. ist das Newton-Potential eine Fundamental-Losung fur den Laplace-Operator ∆.

8.7.4 Faltung von Distributionen

Die Faltung f ∗ g von Distributionen f und g ist nur unter geeigneten Zusatzvoraus-setzungen definiert: 〈f ∗ g, ψ〉 := 〈f, ϕ〉 =

⟨f(x), 〈g(t), ψ(x + t)〉

⟩.

Beispiel: Die δ-Distribution ist neutrales Element bzgl. der Faltung, d.h. eine Distri-bution f gefaltet mit der δ-Distribution ergibt wiederum f :

〈f ∗ δ, ψ〉 =⟨f(x), 〈δ(t), ψ(x + t)〉

⟩= 〈f, ψ〉.

Das Produkt von Distributionen ist i.a. nicht definiert. Das Produkt einer C∞-Funktion a und einer Distribution f ist wieder eine Distribution: 〈af, ψ〉 := 〈f, aψ〉.

128 9 DIFFERENTIALGEOMETRIE

9 Differentialgeometrie

9.1 Koordinatensysteme

Darstellung eines Punktes in der Ebene

x, y heißen kartesische Koordinaten

r, ϕ heißen Polarkoordinatenr ≥ 0 und 0 ≤ ϕ < 2π

x

y

• (x, y)

ϕ

r

x

y

Umformungen

gegeben: Polarkoordinaten r, ϕ


gegeben: kartesische Koordinaten x, y

r =√

x2 + y2

tanϕ =yx, fur x 6= 0 Quadranten

beachten!

oder fur alle (x, y) 6= (0, 0), also r > 0

cosϕ = xr

und sinϕ =yr

ϕ

r

x

y

Darstellung eines Punktes im Raum

x, y, z heißen kartesische Koordinaten

q

y

x

z

•

rϕ

y

z (x, y, z)

z

x y

q

y

x

z

•

ρ

ρ sin θϕ

θ

x y

y

z (x, y, z)

ρ cos θ

r, ϕ, z heißen Zylinderkoordinaten

x = r cosϕ 0 ≤ ry = r sinϕ 0 ≤ ϕ < 2πz = z

ρ, θ, ϕ heißen Kugelkoordinaten

θ Polabstand, siehe F 2

x = ρ sin θ cosϕ 0 ≤ ρy = ρ sin θ sinϕ 0 ≤ θ ≤ πz = ρ cos θ 0 ≤ ϕ < 2π

9.2 Kurven in der Ebene

Darstellung von Kurven in der Ebene

1 explizite (kartesische) Darstellung y = f(x) , a ≤ x ≤ b2 implizite (kartesische) Darstellung F (x, y) = 0

3 Polarkoordinatendarstellung r = r(ϕ) , ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ1

4 Parameterdarstellung ~x = ~x(t) =

(x(t)y(t)

)

, t0 ≤ t ≤ t1

9.2 Kurven in der Ebene 129

Kurven in der Ebene

Tangenten– und Normalenvektoren, Bogenl”nge und Krummung

explizite Darstellung Polarkoordinaten Parameter

Kurvey = f(x)

a ≤ x ≤ br = r(ϕ)

ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ1

~x = ~x(t) =

(x(t)y(t)

)

t0 ≤ t ≤ t1Punkt aufder Kurve

~x

(x

f(x)

) (r(ϕ) cosϕr(ϕ) sinϕ

) (x(t)y(t)

)

Tangenten-Vektor

~t

(1

f ′(x)

) (r(ϕ) cosϕ− r(ϕ) sinϕr(ϕ) sinϕ+ r(ϕ) cosϕ

) (x(t)y(t)

)

Normalen-Vektor

~n

(−f ′(x)

1

) (−r cosϕ− r sinϕ−r sinϕ+ r cosϕ

) (−y(t)x(t)

)

L”nge L

∫b

a

√

1 +(f ′(x)

)2dx

∫ϕ1

ϕ0

√

r(ϕ)2 + r(ϕ)2 dϕ

∫t1

t0

√

x(t)2 + y(t)2 dt

Krummung κf ′′(x)

(1+(f ′(x))2)3/2r2+2r2−rr(r2+r2)3/2

xy−xy(x2+y2)3/2

Tangente im Kurvenpunkt ~x0: ~x = ~x0 + s~t0, s ∈ IR

Radius ρ des Krummungskreises: ρ =1|κ|

Mittelpunkt ~xM des Krummungskreises: ~xM = ~x0 + 1κ~n|~n|

Die Kurve aller Krummungsmittelpunkte einergegebenen Kurve (Evolvente) heißt ihre Evolute.

•

.

...........................

.........................

.......................

......................

....................

..................

...................

.........................................

...................... ........................ ..........................

~xM

~x0

ρ

~t0

Beispiel: Evolute der Parabel y = x2

κ =2

(1+4x2)3/2 , ~n =

(−2x

1

)

, |~n| =√

1 + 4x2

~xM =

(xx2

)

+(1+4x2)3/2

2(1+4x2)1/2

(−2x1

)

=

(

−4x3

12

+ 3x2

)

=⇒ Evolute: y =12

+ 3(x

4

)2/3, Neilsche Parabel x

y

.

....................................

.................................

..............................

...........................

........................

.....................

..................

...............

.............. ............. ............ ............ ..........................................

..................

.....................

........................

...........................

..............................

.................................

....................................

....................

...................

....................

.....................

..................................

..................

......................

..........................

....................................... ......

....................

...................

....................

.....................

...................

...............

..................

......................

..........................

.............................

................

1−1√

2−√

2

1

2

12

ρ

~x0

~xM

Evolvente

Evolute

...............................

.

...........................................................

Bogenlange als Parameter

Ist ~x = ~x(s) eine Parameterdarstellung einer ebenen Kurve mit der Bogenlange sals Parameter und bezeichnet () ′ die Ableitung nach s, so ist speziell:

~x ′(s) Tangenteneinheitsvektor im Kurvenpunkt ~x(s).

~x ′′(s) Normalenvektor in ~x(s) der L”nge |~x ′′(s)| = |κ| = 1

ρer zeigt vom Kurvenpunkt in Richtungdes Krummungskreismittelpunktes ~xM (s).

~xM Mittelpunkt des Krummungskreises: ~xM (s) = ~x(s) + ρ2~x ′′(s).

•~xM

~x

~x ′

~x ′′

ρ

...............................

............................

...........................

.........................

........................

......................

...........................................

...............................................

......................... ..........................

Fl”cheninhalte siehe Seite 149


9.3 Spezielle ebene Kurven

Name Ortslinie Skizze

Zykloide Kurve, die ein Punkt auf der

Peripherie eines Kreises mit

dem Radius r beschreibt,

wenn dieser Kreis auf einer

Geraden abrollt.

Epizykloide Kurve, die ein Punkt auf derPeripherie eines Kreises mitdem Radius r beschreibt,wenn dieser Kreis auf einemanderen Kreis mit dem Ra-dius R abrollt.

Das Aussehen der Kurve

hangt vom Verhaltnis

m = R : r

der Radien ab.

Kardioide Spezielle Epizykloide mitm = 1,

d. h. r = R = a2.

Mittelpunkt des festenKreises bei (a

2, 0).

Hypozykloide Kurve, die ein Punkt auf derPeripherie eines Kreises mitdem Radius r beschreibt,wenn dieser Kreis innen aufeinem anderen Kreis mitdem Radius R abrollt.

Das Aussehen hangt vom

Verhaltnis m = R : r ab.

Astroide Hypozykloide mit m = 4,d. h. R = 4r.

Fur jede Tangente an dieKurve ist die Lange derStrecke AB gleich R.

x

y

•

•

•

.................................

...................

πr 2πr

2r

r

A = (πr, 2r)

t

tr

. ...................... .................. ........ .......... .............................................................................................................................................................................. ............... ......................... .......................... .......................... ......................... ........................ ......................... ........... ............. ...............

................. ............... ..............................................................................................................................

x

y

•

•

ϕ

t

R

m=Rr

= 3

t =mϕ = 3ϕ

......................................................................

..................

..................................

.............................

.........................................................................................................................................................

...............................

............... ............ ...........................................

.............

.....

.................

.................

.....................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................

...................

.....................

.......................

.........................................................................................

...................................

.....................

.......................

x

y

•

••

•

•ϕ

a 2a

a

−a

A

B

.

.................

................................................................

.............................

........................................................................................................................................................................

.................

.............

.............

.

.................................................... ..................

................................

................

......................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

x

y

••ϕ

t

R= 3r

m=Rr

= 3

t =mϕ = 3ϕ

................................................................................................

..........................................

.....................................

.................................

............................................................................

..................

.............

.......

.............

........................................................................................................................................................................................

...................

..........................................................................................

..................

....................

......................

x

y

••

•

A

B

R= 4r

m=Rr

= 4

............................................................................

..........................................

...........................................................................

......... ....... ............... ............ ...........................................................................

...........................................................................

......... ....... ............... ............ ...............................

....................

...................

.....

...........................................................................

..........................................................................

.......................

.....................

........................

...................................................

9.3 Spezielle ebene Kurven 131

Gleichungen Formeln

x = r(t− sin t)

y = r(1 − cos t)

(t ist der Walzwinkel)

Bogenlange L = 8r

Flacheunter der Zykloide

F = 3πr2

Krummungsradius ρ = 4r sin t2

x = (R+ r) cosϕ− r cos(R+rrϕ)

y = (R+ r) sinϕ− r sin(R+rrϕ)

ϕ als Bezeichnung fur den Pa-rameter wird gewahlt, wenn derParameter der bei Polarkoordi-naten benutzte Drehwinkel ist.

Nimmt man als Parameter denWalzwinkel t, so ist ϕ = r

Rt.

Bogenlange L = 8(R+ r)(bei rationalem m)

Flachezwischen Kreisund Epizykloide(fur ganzzahliges m)

F = πr2 3R+2rR

m

Krummungsradius ρ =4r(R+r)2r+R

sinRϕ2r

x = a cosϕ(1 + cosϕ)

y = a sinϕ(1 + cosϕ)

In Polarkoordinaten:

r = a(1 + cosϕ)

kartesisch: (a > 0)

(x2 + y2)(x2 + y2 − 2ax)− a2y2 = 0

Bogenl”nge L = 8a

Flache F = 32πa2

Krummungsradius ρ = 43a cos

ϕ2

(in Abhangigkeit von ϕ, fur ϕ 6= π)

A = (34a ,√

3 · 34a)

fur ϕ = π3

B = (34a , −

√3 · 3

4a)

fur ϕ = 53π

x = (R−r) cosϕ+ rcos(R−rrϕ)

y = (R−r) sinϕ−r sin(R−rrϕ)

(Zum Walzwinkel t besteht der

gleiche Zusammenhang wie bei

der Epizykloide.)

Bogenlange(bei rationalem m)

L = 8(R− r)

Fl”che

zwischen Kreis u. Kurvefur ganzzahliges m

F = r2π(3R−2r

R

)m

Fur m = 3 (Skizze) L = 16r , F = 7πr2

Eingeschlossene Flache Fe = 2πr2

x2/3 + y2/3 = R2/3

Parameterdarstellung:

x = R cos3 ϕ , y = R sin3 ϕ

Bogenlange L = 6R

Eingeschlossene Flache F = 38πR2


Name Ortslinie Skizze

Lemniskate Ortslinie aller Punkte, deren

Abstande r1 und r2 von zwei

festen Punkten (−c, 0) und

(c, 0) das konstante Produkt

r1 r2 = c2 ergeben.

ArchimedischeSpirale

Ortslinie aller Punkte,

deren Abstand vom

Ursprung (Pol) proportional

zum Drehwinkel ist.

HyperbolischeSpirale

Ortslinie aller Punkte, de-

ren Abstand vom Ursprung

(Pol) umgekehrt proportio-

nal zum Drehwinkel ist.

LogarithmischeSpirale

Kurve, die alle vom Ur-

sprung ausgehenden Strah-

len unter dem gleichen Win-

kel α schneidet.

Kettenlinie Ein biegsames, nicht dehn-

bares Seil, das in zwei Punk-

ten aufgehangt ist, nimmt

die Gestalt einer Kettenlinie

an.

x

y

••

••

•r1 r2

c2

-c2

c-c

A

C

B

D

x

y

x

y

a

x

y

α α

αα

α

α

x

y

a

••

9.3 Spezielle ebene Kurven 133

Gleichungen Formeln

(x2 + y2)2 − 2c2(x2 − y2) = 0

In Polarkoordinaten (c > 0):

r = c√

2 cos 2ϕ,−π

4@≤ ϕ ≤ π

43π4

@≤ ϕ ≤ 5π4

Flache jeder Schleife F = c2

Krummungsradius ρzum Kurvenpunktmit Radius r 6= 0

ρ = 2c2

3r

Maxima A,B : (± c2·√

3 , c2) , ϕ = π

6, 56π

Minima C,D : (± c2·√

3 , − c2) , ϕ = 7

6π ,−π

6

x = aϕ cosϕy = aϕ sinϕ

In Polarkoord.:

r = aϕ

a > 0

Bogenlangezwischen ϕ1 und ϕ2

L = a2·[

ϕ√

1+ϕ2+arsinh ϕ]ϕ2

ϕ1

Flachedes Sektorszwischen ϕ1 und ϕ2

F = a2

6(ϕ3

2 − ϕ31)

Krummungsradius ρ = a(1+ϕ2)3/2

2+ϕ2

x = aϕ

cosϕ

y = aϕ

sinϕ

In Polarkoord.:

r = aϕ

a > 0

Asymptote: y = a

Bogenlangezwischen ϕ1 und ϕ2

L = a ·[

arsinh ϕ−√

1+ϕ2

ϕ

]ϕ2

ϕ1


F = a2

2

( 1ϕ1− 1

ϕ2

)

Krummungsradius ρ = aϕ4 (1 + ϕ2)3/2

x = eaϕ cosϕy = eaϕ sinϕ

In Polarkoord.:

r = eaϕ

a > 0

Es ist α@ = arccot a,

tanα@ = 1a.

Bogenlange

zwischen ϕ1 und ϕ2 L =[√

1+a2

aeaϕ]ϕ2

ϕ1

zwischen −∞ und 0 L∞=√

1+a2

a(endlich!)


F = 14a

( e2aϕ2 − e2aϕ1)

Krummungsradius ρ = eaϕ√

1 + a2

y = a cosh xa

= a ex/a+e−x/a

2

a > 0

Bogenlangevon (0, a) bis (x, y)

L = a sinh xa

Flacheunter der Kurveim Intervall [0, x]

F = a2 sinh xa

Krummungsradius ρ = a cosh2 xa


9.4 Kurven im Raum

Parameterdarstellung: ~x = ~x(t) =

x(t)y(t)z(t)

, t0 ≤ t ≤ t1

Tangentenvektor: ~x = ~x(t) =

x(t)y(t)z(t)

. ........................... ......................... .................................................

.....................

...................

.................

.................

..................

...............................

.............................

........

........

........

....

........

........

........

..

........

........

........

..

..............................

................................

.................................

...................................

.....................................

q

y

x

z

~x(t)~x(t0)

~x(t1)

x y

z ~x

⑦

❯

Bogenlange: L =

∫ t1

t0|~x(t)| dt =

∫ t1

t0

√

x2 + y2 + z2 dt

Beispiel: ~x = (R cos t, R sin t, at)

ist eine Schraubenlinie auf einem Zylindermantelvom Radius R und mit konstanter Ganghohe 2πa.

Bogenlange L dieser Raumkurve (eine Windung):

L =

∫ 2π

0

√

R2 sin2 t+R2 cos2 t+ a2 dt = 2π√R2 + a2

x

y

z

2πa

2πa

~x(t)

R

R

.....................................................................

.........................................................

............................................................................................................................................................................... .......... ......... ....... ....... .......................... .............. ........... .............. ......... ............. ............. .......... ........ ............................ ..........

...................... .................................................

Begleitendes Dreibein, Krummung, Torsion

TangentenvektorEinheitsvektor

~t =~x

|~x|= ~n×~b

HauptnormalenvektorEinheitsvektor

~n =(~x×~x)×~x|(~x×~x)×~x|

= ~b× ~t

BinormalenvektorEinheitsvektor

~b =~x×~x|~x×~x|

= ~t× ~n

•

~n

~b

~t

..........................................

......................................

....................................

................................................................

............................. .......................... ........................ ........................ ........................

Begleitendes Dreibein

(~t, ~n,~b ) ist ein rechtsorien-

tiertes Orthonormalsystem.

Krummung κ =|~x×~x||~x|3

(κ = 0 ⇐⇒ Kurve ist eine Gerade.)

Torsion τ =〈~x,~x,

...

~x〉|~x×~x|2

(τ = 0 ⇐⇒ Kurve verlauft in einer Ebene.)

〈 · · · 〉 bezeichnet das Spatprodukt, Seite 53)

Frenetsche Formeln:

~t′

= κ · ~n~n ′ = −κ · ~t +τ ·~b~b

′= −τ · ~n

κ = ~t′ · ~n

τ = −~b ′ · ~n

9.5 Flachen im Raum 135

Ist ~x = ~x(s) eine Parameterdarstellung einer Raumkurve mit der Bogenlange s als

Parameter, so berechnen sich die Vektoren ~t, ~n,~b sowie Krummung und Torsion be-sonders einfach:

Bogenlange als Parameter

~t(s) = ~x ′(s) Tangenteneinheitsvektor.

~x ′′(s) zum Krummungsmittelpunkt weisender Normalenvektor.

κ(s) = |~x ′′(s)| Krummung.

ρ(s) =1

κ(s) Krummungsradius.

τ(s) = ρ2〈x′, x′′, x′′′〉 Torsion.

~n(s) =~x′′(s)|~x′′(s)| Hauptnormalenvektor.

~b(s) =~x′(s)×~x′′(s)|~x′(s)×~x′′(s)| Binormalenvektor.

•

~x ′′(s)

~b(s)

~x ′(s)= ~t

~x(s)

...............................

............................

.........................

.......................

.............................................

............................................ ..................... ..................... ...................... ........................ ......................... ...........................

(~x ′, ~x ′′, ~b ) bilden einorthogonales Rechtssystem.

Masse, Schwerpunkt, Tragheitsmoment von Kurven

Das Kurvenstuck ~x(t) =(x1(t), x2(t), x3(t)

), a ≤ t ≤ b sei mit Masse belegt und

die Massendichte sei δ = δ(t).

Masse der Kurve: M =

∫ b

aδ(t) |~x(t)| dt

Schwerpunkt der Kurve:

S = (s1, s2, s3), wobeisi =

1M

∫ b

axi(t) δ(t) |~x(t)| dt

Tragheitsmoment: TA =

∫ b

aa2(t) δ(t) |~x(t)| dt

wobei a = a(t) der Abstand des Kurvenpunktes ~x(t) von einer Achse A ist.

9.5 Flachen im Raum

Flachen im Raum

1Parameterdarstellung:u, v sind die Parameter,B ist der Parameterbereich.

~x(u, v) =

x(u, v)y(u, v)z(u, v)

, (u, v) ∈ B ⊆ IR2

2explizite Darstellungals Graph einer Funktion:

z = f(x, y) , (x, y) ∈ B ⊆ IR2

3implizite Darstellungals Niveauflache einer Funktion:

F (x, y, z) = 0


Tangentialebene an eine Flache im Punkt ~x0

Gleichung der Tangentialebene

Fl”che

Koordinatenform~n · ~x = ~n · ~x0


1 ~x = ~x(u, v) ~n = ~xu(u0, v0)× ~xv(u0, v0) ~x = ~x0 + s~xu + t~xv

2 z = f(x, y) ~n=(fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1) ~x = ~x0 + s

10fx

+ t

01fy

3 F (x, y, z) = 0 ~n =(Fx(~x0), Fy(~x0), Fz(~x0)

)~x=~x0+s

Fz0−Fx

+t

0Fz−Fy

(Fz 6= 0)

9.6 Spezielle Flachen im Raum

Volumen: V Gesamtoberfl”che: F Mantelflache: FM

ZylinderDarstellungen

1 ~x(ϕ, z) =

r cosϕr sinϕz

Zylindermantel, r gegeben.

(ϕ, z) ∈ [0, 2π]× [0, h]siehe Zylinderkoordinaten.

3 x2 + y2 = r2, z ∈ [0, h]

ϕ

h

~x(ϕ, z)z

x

y

z

z

r

r

Zylinder

V = πr2hF = 2πr(h+ r)FM = 2πrh

Tangentialebene T an den Zylinder im Punkt ~x0

~x0 = ~x(ϕ0, z0) = (x0, y0, z0)T : x0x+ y0y = r2

KegelDarstellungen

1 ~x(ϕ, z) =

rhz cosϕrhz sinϕ

z

Kegelmantel, rh

gegeben

(ϕ, z) ∈ [0, 2π]× [0, h]siehe Zylinderkoordinaten

3 x2 + y2 =( rhz)2, z ∈ [0, h]

.

...........................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................

.

........................

........................

...............

.

...................................................................................................................................

.

..................................................

.

..................................................................................................................................................................................................................................

ϕ

h

~x(ϕ, z)z

x

y

z

z

r

.

............................................................................................................................................

Kegel

V = 13πr2h

F = πr(r+√r2+h2 )

FM = πr√r2 + h2

Tangentialebene T an den Kegel im Punkt ~x0

~x0 = ~x(ϕ0, z0) = (x0, y0, z0)T : x0x+ y0y = r2

h2 z0z

9.6 Spezielle Flachen im Raum 137

Kugel

Kugelausschnitt, Kugelabschnitt, Kugelschicht siehe Seite 33.

Darstellungen der Kugel mit dem Radius r

1 ~x(θ, ϕ) =

r sin θ cosϕr sin θ sinϕr cos θ

(θ, ϕ) ∈ [0, π]× [0, 2π]siehe Kugelkoordinaten

1 ~x(x, y) =

xy

±√

r2 − x2 − y2

(x, y) ∈ (x, y) | x2 + y2 ≤ r2±: obere bzw. untere Halbkugel

2 z = ±√

r2 − x2 − y2 (x, y) ∈ (x, y) | x2 + y2 ≤ r2±: obere bzw. untere Halbkugel

3 x2 + y2 + z2 = r2

θ

θ

ϕ

~x(θ, ϕ)

x = r sin θ cosϕ

r sin θ

r

y = r sin θ sinϕ

z = r cos θ

.

...................................................................................................

θϕ

~x(θ, ϕ)

xr

ry

z

KugelV = 4

3πr3

F = 4πr2

Tangentialebene T an die Kugel in ~x0

~x0 = ~x(θ0, ϕ0) = (x0, y0, z0)

~n = Normalenvektor

T : x0x+ y0y + z0z = r2

~n~x = r2, ~n = ~x0 =

x0

y0z0

Torus

Darstellungen des Torus mit den Radien r und R

R

R

R

rr

~x(ϕ, θ)

θϕ

•

•

•

y

z

x

. ............. ........... ........ .......... ............. ...................................................... ..........................

........................................................

..........................

................

...........................

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.

......................................................................................................................................................................................

.............. .........

............ .............. ........... ......... ....... ........... ............ ........... ........... ................ ............... ................... ..........................................

........................................ ................................................. .......... ....... ........ ............... ............ ......... ................. ................ ............... ................. ................ ............... ................ ............... ................... ......................

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1 ~x(ϕ, θ) =

(R + r cos θ) cosϕ(R+ r cos θ) sinϕ

r sin θ

(ϕ, θ) ∈ [0, 2π]× [0, 2π]keine Kugelkoordinaten!

3 (√

x2 + y2 −R)2 + z2 = r2

TorusV = 2π2Rr2

F = 4π2Rr

Tangentialebene T an den Torus in ~x0

~x0 = ~x(ϕ0, θ0) = (x0, y0, z0)

~n = Normalenvektor

T : ~n~x = ~n~x0, ~n =

cos θ0 cosϕ0

cos θ0 sinϕ0

sin θ0

138 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER

10 Funktionen mehrerer Veranderlicher

10.1 z = f(x, y)

Grenzwert, Stetigkeit von z = f(x, y) bei (x0, y0)

Die Funktion f : IR2 → IR, z = f(x, y)

• hat in ~x0 = (x0, y0) den Grenzwert a

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = a,wenn fur jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass0 < |(x, y) − (x0, y0)| < δ =⇒ |f(x, y)− a| < ε.

• ist in (x0, y0) stetig, wenn lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0) ist.

f hat bei ~x0 keinen Grenzwert, wenn sich bei Annaherung an ~x0 auf verschiedenen

Kurven (z.B. Geraden) verschiedene Grenzwerte ergeben!

f ist bei ~x0 unstetig (genau: nicht stetig erganzbar), wenn sich bei Annaherung an ~x0

auf verschiedenen Kurven (z.B. Geraden) verschiedene oder keine Grenzwerte ergeben!

Beispiel Der Grenzwert lim(x,y)→(0,0)

xyx2+y2

existiert nicht.

(a) Annaherung an (0, 0) auf der Geraden y = 0 limx→0

f(x, 0) = 0

Annaherung an (0, 0) auf der Geraden y = x limx→0

f(x, x) =12

(b) Polarkoordinaten: x = r cosϕ, y = r sinϕ :

lim(x,y)→(0,0)

xyx2+y2

= limr→0

r2 cosϕ sinϕr2

= limr→0

cosϕ sinϕ existiert nicht!

Die Funktion f(x, y) =xy

x2+y2, (x, y) 6= 0 ist in (0, 0) nicht stetig erganzbar.

Vertauschung von Grenzprozessen

Achtung: Man muss sorgfaltig folgende Grenzwerte unterscheiden:

A = lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y), B = limx→x0

(limy→y0

f(x, y)), C = lim

y→y0

(limx→x0

f(x, y)).

Existiert A, so gilt A = B = C; ist B = C, so braucht A nicht zu existieren!

Partielle Ableitungen, Gradient

∂f∂x

= fx = limh→0

f(x+h,y)−f(x,y)h

,∂f∂y

= fy = limh→0

f(x,y+h)−f(x,y)h

fx , fy heißen partielle Ableitungen der Funktion f .

Der Vektor grad f =(∂f∂x,∂f∂y

)= (fx, fy) heißt Gradient von f .

gradf(x0, y0) steht senkrecht auf der Niveaulinie f(x, y) = f(x0, y0).

x

y

x0

y0

f(x,y)=f(x0,y0)

grad f(x0, y0)

•·

......................

...................

..................

..................

...................

.....................

Vertauschbarkeit bei partiellen Ableitungen hoherer Ordnung

Sind f, fx, fy, fxy, fyx stetig, so ist fxy = fyx.

10.1 z = f(x, y) 139

Differenzierbarkeit

Es sei D ⊆ IR2 eine offene Menge und (x0, y0) ∈ D. Die Funktion f : D → IRheißt im Punkt (x0, y0) (vollstandig) differenzierbar, wenn f in (x0, y0) partielldifferenzierbar ist – also fx(x0, y0) und fy(x0, y0) existieren – und wenn gilt:

Differenzierbarkeitsbedingung

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)−(f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)

)

|(x−x0 , y−y0)| = 0.

Dabei ist z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)die Tangentialebene (nachste Seite) an f im Punkt (x0, y0, f(x0, y0)).

Ist f differenzierbar in ~x0, dann ist f ′(~x0) = gradf(~x0).

f in ~x0 differenzierbar =⇒ (1) f ist in ~x0 partiell differenzierbar.(2) f ist in ~x0 stetig.

Die Umkehrungen sind im allgemeinen falsch, siehe Beispiel. Dagegen gilt:

Sind fx, fy in ~x0 stetig, so ist f in ~x0 differenzierbar.

Entsteht f durch Einsetzen differenzierbarer Funktionen einer Veranderlichen ineinander,

so ist f im allgemeinen uberall dort differenzierbar, wo f definiert ist.

Beispiel f(x, y) =

xyx2+y2

, ~x 6= ~o

0 , ~x = ~o

ist in ~o partiell diff–bar mit grad f(~o) = ~o;aber in ~o nicht (vollstandig) differenzierbar.

fx(~o) = limh→0

f(h,0)−f(0,0)h

= 0, fy(~o) = limh→0

f(0,h)−f(0,0)h

= 0 =⇒ grad f(~o) = ~o.

f ist in (0, 0) nicht diff–bar, da lim~x→~o

f(x,y)|(x,y)| = lim

~x→~o

xy(x2+y2)3/2 = lim

r→0

r2 cosϕ sinϕr3

6= 0 ist.

Oder: f ist nicht differenzierbar in (0, 0), da f dort nicht stetig ist (voriges Beispiel).

Untersuchung auf Differenzierbarkeit

Bei der Untersuchung, ob die Funktion f : D → IR in ~x0 = (x0, y0) ∈ D ⊂ IR2

differenzierbar ist, kann man folgendermaßen vorgehen:

Ist f in ~x0 stetig ?NEIN−→ f nicht diff–bar.

↓ JA

Ist f in ~x0 partiell differenzierbar ?NEIN−→ f nicht diff–bar.

↓ JA

Existieren die partiellen Ableitungen von f in einerUmgebung von ~x0 und sind sie in ~x0 stetig ?

JA−→ f diff–bar.

↓ NEIN

Ist lim(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)−f(x0,y0)−fx(x0,y0)(x−x0)−fy(x0,y0)(y−y0)|(x−x0,y−y0)| = 0 ?

↓ JA

f diff–bar.

↓ NEIN

f nicht diff–bar.


Tangentialebene an den Graphen von z = f(x, y)

Sind die partiellen Ableitungen fx und fy bei ~x0 = (x0, y0) stetig, so hat f bei~x0 = (x0, y0), d.h. im Punkt (x0, y0, f(x0, y0)), eine Tangentialebene E.

Normalenvektor der Tangentialebene

~nE = (fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1) = (grad f(x0, y0),−1)

Gleichung der Tangentialebene

E : z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0) (Koordinatenform)

E : ~x =

x0

y0f(x0, y0)

+ r

10

fx(x0, y0)

+ s

01

fy(x0, y0)

(Parameterdarstellung)

Beispiel Man bestimme die Tangentialebene an f(x, y) = x2y − 3y bei ~x0 = (1, 2).

fx = 2xy, fy = x2 − 3 =⇒ fx(1, 2) = 4, fy(1, 2) = −2, gradf(1, 2) = (4,−2)

E : z = −4 + 4(x− 1) + (−2)(y − 2), also E : 4x− 2y − z = 4 (Koordinatenform)

E : ~x = (1, 2,−4) + r (1, 0, 4) + s (0, 1,−2) (Parameterdarstellung)

Richtungsableitung

∂f∂~a (~x0)

bezeichnet die Richtungsableitung von f an der Stelle ~x0

in Richtung des Vektors ~a 6= ~o.

Definition

∂f∂~a (~x0) = lim

t→0

f(~x0+t~a|~a| )−f(~x0)

t

= limt→0

f(~x0+t~a)−f(~x0)t·|~a|

Berechnung (bei diff–barer Fkt. f)

∂f∂~a (~x0) = gradf(~x0) · ~a|~a| ∗)

Skalarprodukt des Gradienten von f bei ~x0

mit dem Einheitsvektor∗) in Richtung von ~a,

wenn f in ~x0 differenzierbar ist.

∗) Man definiert auch∂f∂~a (~x0) = grad f(~x0) · ~a, vgl. Vektorgradient, Seite 154.

Eigenschaften

∂f∂~a (~x0) = | grad f(~x0)| · cosϕ mit ϕ =<) (gradf(~x0),~a)

∂f∂~a (~x0) ist maximal

(= | gradf(~x0)|

)fur ~a ‖ grad f(~x0)

∂f∂~a

(~x0) = 0 fur ~a ⊥ grad f(~x0)

Beispiel Man bestimme die Richtungsableitung∂f∂~a

(~x0) von f(x, y) = x2y − 3y

bei ~x0 = (1, 2) in Richtung ~a = (1, 1).

grad f(1, 2) = (4,−2) (siehe letztes Beisp.) =⇒ ∂f∂~a

(~x0) = (4,−2) · 1√2(1, 1) =

2√2

=√

2

10.1 z = f(x, y) 141

Kettenregel

f = f(x, y)

x = x(t)y = y(t)

=⇒ f ′ =dfdt = fxx

′ + fyy′ =

∂f∂x

dxdt +

∂f∂y

dydt

f = f(x, y)

x = x(u, v)y = y(u, v)

=⇒fu =

∂f∂u

= fxxu + fyyu =∂f∂x

∂x∂u

+∂f∂y

∂y∂u

fv =∂f∂v

= fxxv + fyyv =∂f∂x

∂x∂v

+∂f∂y

∂y∂v

Haufig einfacher: Erst einsetzen und dann differenzieren !

Beispiel Man differenziere f(x, y) =1

x2+y2


nach r und ϕ.

fr =fxxr+fyyr =−2x

(x2+y2)2cosϕ+

−2y(x2+y2)2

sinϕ=−2r cos2 ϕ−2r sin2 ϕ

r4=− 2

r3, fϕ = · · ·=0.

Erst einsetzen ist hier einfacher: f(x(r,ϕ), y(r,ϕ)

)=

1r2

=⇒ fr = − 2r3

und fϕ = 0.

Implizites Differenzieren

Ist durch f(x, y) = 0 mit f(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) 6= 0 implizit eine Funktiony = h(x) gegeben , so erhalt man mittels der Kettenregel:

f(x, y) = 0

x = xy = y(x)

=⇒ ∂f∂x

∂x∂x

+∂f∂y

∂y∂x

= 0 =⇒ fx + fyy′ = 0 =⇒

y′ = −fxfy∣∣∣ y′′ = −

f2yfxx−2fxfyfxy+f

2xfyy

f3y

Beispiel Durch y + x ey − 2 = 0 ist in (0, 2) implizit eine Funktion y = h(x) gegeben.Man berechne y′(0) und y′′(0):

Fur f(x, y) = y + x ey − 2

ist fy(0, 2) = 1 6= 0, also ist f(x, y) = 0 bei (0, 2) lokal nach y auflosbar.

Diese Auflosungsfunktion y = h(x) kann man i.A. nicht explizit angeben. Jedoch lassen

sich die Ableitungen y′(0) und y′′(0) berechnen: Fur f(x, y) = y + x ey − 2 gilt:

fx = ey, fy = 1 + x ey, fxx = 0, fxy = fyx = ey , fyy = x ey =⇒fx(0, 2)= e2, fy(0, 2)=1, fxy(0, 2)= e2, fyy(0, 2)=0 =⇒ y′(0) = − e2, y′′(0) = e4.

Extrema impliziter Funktionen

Ist durch f(x, y) = 0 mit f(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) 6= 0 implizit eine diff–bareFunktion y = h(x) gegeben, so ist dafur, daß y = h(x) bei x0 ein Extremum hat,

notwendig: fx(x0, y0) = 0

hinreichend:fxx(x0,y0)fy(x0,y0)

>< 0

Maximum,Minimum.

Beispiel Durch −x2 + y + 2x ey − 1 = 0 ist in (1, 0) implizit eine Funktiony = h(x) gegeben. Man zeige, dass h in x0 = 1 ein Minimum hat.

fx = −2x+ 2 ey =⇒ fx(1, 0) = 0

fxx =−2fy = 1 + 2x ey =⇒ fxx(1, 0) =−2

fy(1, 0) = 3=⇒ fxx(1,0)

fy(1,0)=−23 < 0 , also Minimum.


Extremwerte von z = f(x, y)

Extremwerte von z = f(x, y) konnen nur in Punkten (x0, y0) auftreten, in denen

Adie partiellen Ableitungen verschwinden,also fx = fy = 0 ist (stationare Punkte).

⇐⇒ gradf(x0, y0) = (0, 0).

oder

Bdie partiellen Ableitungen nicht existieren.Hierzu gehoren speziell die Randpunkte.

praktisches Vorgehen:

A 1.) Berechne die stationaren Punkte (x0, y0) ⇐⇒ grad f(x0, y0) = (0, 0).

2.) Fur die stationaren Punkte berechnet man die Determinante:

D =

∣∣∣∣

fxx fxyfxy fyy

∣∣∣∣= fxxfyy − f2

xy

3.) D > 0 und fxx < 0 (bzw. fyy < 0) =⇒ rel. Maximum

D > 0 und fxx > 0 (bzw. fyy > 0) =⇒ rel. Minimum

D < 0 kein Extremwert (Sattelpunkt)

D = 0 muss gesondert untersucht werden.

B 1.) Man berechnet die Randextremwerte.

2.) Man untersucht die verbleibenden Punkte, fur diedie partiellen Ableitungen nicht existieren.

muss man Punkte gesondert untersuchen, bedient man sich folgender Methoden,die auch bei stationaren Punkten bisweilen schneller zum Ziel fuhren als die obenbeschriebene Untersuchung von D:

(a) Zeichnung der Hohenlinien f(x, y) = f(x0, y0).

(b) Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen Max. und Min. an.

(c) Direkte Berechnung von f(x, y)− f(x0, y0), evtl. mit Polarkoordinaten.

(d) Schnitt mit bestimmten Flachen.

Sind die absoluten Extremwerte gesucht, so bestimmt man das absolut großterelative Max. und das absolut kleinste relative Min. – falls es sie gibt!

Beispiel: Man untersuche f(x, y) = x2 − 6xy − y3 auf Extremwerte.

fx(x, y) = 2x− 6y = 0fy(x, y) =−6x− 3y2 = 0

=⇒ die stationaren Punkte sind:P0 = (0, 0) und P1 = (−18,−6)

D =

∣∣∣∣

2 −6−6 −6y

∣∣∣∣= −12(y + 3) =⇒ D(P0) =−36 < 0, P0 ist ein Sattelpunkt.

D(P1) = 36 > 0 und fxx(P1) = 2 > 0, P1 ist rel. Min.

10.1 z = f(x, y) 143

Extrema mit Nebenbedingungen

Gesucht: Extrema von z = f(x, y) fur jene (x, y) ∈ IR2, fur die G(x, y) = 0 ist.

1. Verfahren: EinsetzenKann man die Nebenbedingung G(x, y) = 0 so in f einsetzen, dass eine Variablewegfallt (z.B., wenn sichG(x, y) = 0 nach x oder y auflosen lasst), so erhalt man eineFunktion einer Veranderlichen, die mit dem Verfahren von Seite 94 auf Extremwerteuntersucht wird.

2. Verfahren: Verfahren von LagrangeMan betrachtet die Lagrange Hilfsfunktion L(x, y, λ) = f(x, y) + λG(x, y),und bestimmt die (x, y), fur die gilt:

Lx = Ly = Lλ = 0 (notwendige Bedingung)

Unter den so erhaltenen Punkten (x, y) werden die Extrema bestimmt.

Taylorentwicklung von z=f(x,y) bei (x0,y0) mit Restglied

Taylorreihe von f bei (x0, y0) ist die Potenzreihe:

T (x, y) =∞∑

k=0

1

k!

( ∂

∂x∆x+

∂

∂y∆y)k

(f) (x0, y0)

Taylorpolynom n–ten Grades von f bei (x0, y0) ist das Polynom:

Tn(x, y) =n∑

k=0

1

k!

( ∂

∂x∆x+

∂

∂y∆y)k

(f) (x0, y0)

Dabei ist ∆x = x− x0 und ∆y = y − y0. Speziell fur n = 0, 1, 2:

T0(x, y) = f(x0, y0)

T1(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) Tangentialebenean f in (x0, y0).

T2(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)+1

2

(fxx(x0, y0)(∆x)

2 + 2fxy(x0, y0)∆x∆y + fyy(x0, y0)(∆y)2)

Restglied: Rn(x, y) := f(x, y)− Tn(x, y) ist der Unterschied zwischen derFunktion f(x, y) und dem n–ten Taylorpolynom Tn(x, y).

Es gibt ein p mit 0 < p < 1, so dass gilt:

Rn(x, y) =1

(n+ 1)!

( ∂

∂x∆x +

∂

∂y∆y)n+1

(f) (x0 + p∆x, y0 + p∆y)

f wird bei (x0, y0) durch die Taylorreihe dargestellt, wenn in einer Umgebung von(x0, y0) das Restglied Rn fur n→∞ gegen Null geht.

Ausfuhrliche Erlauterungen HM, 396–399.


10.2 Funktionen z = f(x1, . . . , xn).

Grenzwert, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, sowie die folgenden Begriffe, Regelnund Verfahren ubertragen sich direkt von Funktionen z = f(x, y) mit zwei Variablen(Seite 138, 139) auf Funktionen mit n Variablen z = f(x1, . . . , xn):

z = f(x1, . . . , xn)

Partielle Ableitungen∂f∂x1

,∂f∂x2

, . . . ,∂f∂xn

oder auch fx1 , fx2 , . . . , fxn

Gradient gradf =( ∂f∂x1

,∂f∂x2

, . . . ,∂f∂xn

)= (fx1 , fx2, . . . , fxn

)

Richtungsableitung in ~x0 in Richtung ~a: gradf(~x0) · ~a|~a|Kettenregel f = f(x1, . . . , xn)

x1 = x1(u1, . . . , um)...

xn = xn(u1, . . . , um)

=⇒ fuj=

∂f∂uj

=n∑

i = 1

∂f∂xi· ∂xi∂uj

(j = 1, . . . , m)

Kettenregel in Matrizenschreibweise (Jacobi–Matrix Jx siehe Seite 147):

f = f(~x), ~x = x(~u) =⇒ fur g(~u) = f(~x(~u)) gilt: gradg = gradf · JxIst durch f(~x, y) = 0 implizit eine Funktion y = y(~x) gegeben, so gilt:

y′ = grad y = (yx1 , . . . , yxn) = − 1

fy(fx1 , . . . , fxn

)

Extrema von z = f(x1, . . . , xn)unter den Nebenbedingungen Gi(x1, . . . , xn) = 0, (i = 1, . . . ,m):

Man betrachtet die Lagrange Hilfsfunktion

L(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = f(x1, . . . , xn) +m∑

i = 1

λiGi(x1, . . . , xn)

und bestimmt die (x1, . . . , xn), fur die gilt:

∂L∂xk

= Lxk= 0, (k = 1, . . . , n)

∂L∂λk

= Lλk= 0, (k = 1, . . . ,m)

(notwendige Bedingungen)

Haufig einfacher: NBen so in z = f(x1, . . . , xn) einsetzen, dass m Variable wegfallen!

Unter den so erhaltenen Punkten (x1, . . . , xn) werden die Extrema bestimmt.

BeispielDurch f(x, y, z, w) = w3 − xy2 + w ez = 0 ist implizit eineFunktion w = w(x, y, z) gegeben. Man berechne gradw.

fx = −y2, fy = −2xy, fz = w ez, fw = 3w2 + ez

=⇒ gradw(x, y, z) = (wx, wy , wz) = − 13w2+ ez (−y2,−2xy,w ez).

10.2 Funktionen z = f(x1, . . . , xn). 145

Notwendige und hinreichende Bedingungenfur relative Extrema von z = f(x1, . . . , xn)

• Notwendige Bedingung:

Hat f bei ~x0 ein relatives Extremum, so ist ~x0 ein stationarer Punkt, d.h. alle

partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f sind bei ~x0 gleich 0: grad f(~x0) = ~o

• Hinreichende Bedingung:

~x0 sei ein stationarer Punkt und f besitze in einer Umgebung U(~x0) stetigepartielle Ableitungen 2. Ordnung nach allen Variablen. Die Matrix

H =

(∂2f

∂xi∂xj

)

=

fx1x1 fx1x2 . . . fx1xn

fx2x1 fx2x2 . . . fx2xn

......

fxnx1 fxnx2 . . . fxnxn

heißt HESSE–Matrix von f .

Fur alle ~o 6= ~x ∈ IRn gilt

~x⊤ ·H(~x0) · ~x > 0

⇐⇒ H(~x0) positiv definit =⇒ ~x0 rel. Minimum

Fur alle ~o 6= ~x ∈ IRn gilt

~x⊤ ·H(~x0) · ~x < 0

⇐⇒ H(~x0) negativ definit =⇒ ~x0 rel. Maximum

Es gibt ~x, ~y ∈ IRn mit

~x⊤ ·H(~x0) · ~x < 0~y⊤ ·H(~x0) · ~y > 0

⇐⇒ H(~x0) indefinit =⇒ ~x0 Sattelpunkt

Speziell fur Funktionen z = f(x, y) von 2 Veranderlichen stehtdie hinreichende Bedingung auf Seite 142 einfacher formuliert !

Fur symmetrische Matrizen gilt: A = (aij) ist positiv definit

⇐⇒ alle Hauptunterabschnittsdeterminanten sind positiv⇐⇒ alle Eigenwerte sind positiv.

Beispiel Untersuche f(x, y, z) = x2 − 2xz + 2z2 + y2 − 2y + 2z + 2 auf Extremwerte!

• Notw. Bed.: grad f(x, y, z) = (2x− 2z, 2y − 2,−2x+ 4z + 2) = (0, 0, 0)

=⇒ (−1, 1,−1) ist einziger stationarer Punkt (nachrechnen!).

• Hinr. Bed.: Hesse–Matrix bei (−1, 1,−1): H(−1, 1,−1) =

2 0 −20 2 0−2 0 4

.

(a) Die drei Hauptunterabschnittsdeterminanten sind∣∣∣∣∣∣

2 0 −20 2 0−2 0 4

∣∣∣∣∣∣

= 8,

∣∣∣∣

2 00 2

∣∣∣∣= 4, |2| = 2 , also alle positiv.

(b) Die Eigenwerte sind 2, 3+√

5 , 3−√

5 (nachrechnen), also alle positiv.

=⇒ H(−1, 1,−1) ist positiv definit, bei (−1, 1,−1) liegt ein rel. Minimum.


10.3 ~z = f(~x)

allgemeine Kettenregel Jacobi–Matrix siehe nachste Seite!

IRm

IRn

IRk

h = f g

g f

~x= g(~t )

~y = f(~x)

h(~t ) = f(g(~t )) =⇒h′(~t ) = f ′(g(~t )) · g′(~t )Jh(~t ) =Jf (g(~t )) · Jg(~t )

Die Ableitung nacheinander ausgefuhrter differenzierbarer Funktionen ist das Pro-dukt der entsprechenden Jacobi–Matrizen, so wie sich die Matrix nacheinanderausgefuhrter linearer Abbildungen als Matrizenprodukt ergibt (Seite 60, 69).

Haufig einfacher: Erst einsetzen und dann differenzieren !

Beispiel

IR3

IR1

IR2

h = f g

g f

~t = (r, s, t) ∈ IR3

x = g(~t ) = 2r − 3s+ r ln t ∈ IR

f(x) =

(cos xsin x

)

∈ IR2, ~t0 = (π6, 0, 1), x0 =

π3.

Fur h(~t ) = f(g(~t )) berechne man h′(~t0):(a) allgemeine Kettenregel,(b) Einsetzen.

(a) g′(~t ) = grad g(r, s, t) = (2 + ln t,−3,rt)

g′(~t0) = grad g(π6, 0, 1) = (2,−3,

π6)

und

f ′(x) = Jf (x) =

(− sin xcosx

)

,

f ′(π3) = Jf (

π3) =

12

(−√

31

)

.

h′(π6, 0, 1) = f ′(

π3) · g′(π

6, 0, 1) = Jf (

π3) · grad g(π

6, 0, 1)

=12

(−√

31

)

· (2,−3,π6) =

12

(

−2√

3 3√

3 −√

3π6

2 −3π6

)

.

(b) Naturlich kann man auch erst Einsetzen und dann Differenzieren:

h(~t ) =

(cos(2r − 3s+ r ln t)sin(2r − 3s+ r ln t)

)

=

(h1(~t )

h2(~t )

)

=⇒ h′(π6, 0, 1) =

(gradh1(~t0)

gradh2(~t0)

)

= · · ·

Ableitung (Jacobi–Matrix) impliziter Funktionen

f = (f1, . . . , fm) : IRn+m → IRm , f(~x, ~y) = ~0

Ist die (m,m)–Matrix f~y =∂(f1...fm)∂(y1...ym) =

f1y1 · · · f1ym

......

fmy1 · · · fmym

invertierbar und ist h : IRn → IRm, ~y = h(~x) die (lokale) Auflosung der durchf(~x, ~y) = ~0 implizit gegebenen Funktion ~y, so gilt:

h′ = Jh =∂(h1...hm)∂(x1...xn) = −(f~y)

−1f~x. (Ausfuhrliche Beispiele HM, 391–395)

10.3 ~z = f(~x) 147

Jacobi–Matrix Jf(~x0)

Die Funktion f : IRn→ IRm mit f(~x) = f(x1, . . . , xn) =

f1(x1, . . . , xn)...fm(x1, . . . , xn)

ist im

Punkt ~x0 ∈ IRn genau dann stetig bzw. differenzierbar, wenn die Komponenten-funktionen f1, . . . , fm in ~x0 ∈ IRn stetig bzw. differenzierbar sind (S. 138/9,144).

Die Ableitung f ′(~x0) ist eine lineare Abbildung des IRn in den IRm, die durchdie Jacobi–Matrix Jf (~x0) dargestellt wird:

Jf (~x0) =

f1x1· · · f1xn...

...fmx1

· · ·fmxn

(~x0)=

grad f1(~x0)...

grad fm(~x0)

=

(fx1(~x0), . . . , fxn

(~x0))

Die Jacobi–Matrix Jf (~x0) ist eine (m,n)–Matrix:

• Ihre Zeilen sind die Gradienten der m Komponentenfunktionen.

• Ihre Spalten sind n Tangentenvektoren an die n Kurven, dieman erhalt, wenn man alle Variablen bis auf eine konstant setzt.

Spezialfalle

f : IR1→IR3 ~x = f(t) =

x(t)y(t)z(t)

Kurveim IR3 , Jf = ~x =

xyz

~x(t0) =

x(t0)y(t0)z(t0)

ist Tangentenvektor imKurvenpunkt ~x(t0).

f : IR2→IR3 ~x = f(u, v) =


Flacheim IR3 , Jf =

xu xvyu yvzu zv

= (~xu, ~xv)

xu(u0, v0)yu(u0, v0)zu(u0, v0)

,

xv(u0, v0)yv(u0, v0)zv(u0, v0)

spannen die Tangentialebeneim Punkt ~x(u0, v0) auf.

f : IR3→IR1 w = f(x, y, z) Skalarfeld, Jf = gradw = (wx, wy, wz)

gradw(~x0) = (wx(~x0), wy(~x0), wz(~x0))ist Normalenvektor der Niveau-flache w(~x) = w(~x0) im Punkt ~x0.

f : IR3→IR3 ~x=f(u, v, w)=

x(~u)y(~u)z(~u)

Vektor-feld

Jf =


=(~xu, ~xv, ~xw)

~xu(u0, v0, w0) ist Tangentenvektor an die Kurve ~x(t) = f(t, v0, w0),~xv(u0, v0, w0) ist Tangentenvektor an die Kurve ~x(t) = f(u0, t, w0),~xw(u0, v0, w0) ist Tangentenvektor an die Kurve ~x(t) = f(u0, v0, t).

Beispiel

~x = f(u, v) =

3 sin u cos v2 sin u sin v√

2 cosu

ist eine Parameterdarstellung des

Ellipsoidsx2

9+y2

4+z2

2= 1 mit

den Halbachsen a = 3, b = 2, c =√

2 .

f ′ = Jf =

3 cos u cos v −3 sin u sin v2 cosu sin v 2 sin u cos v

−√

2 sin u 0

=⇒ f ′(π6,π3) =

14

3√

3 −3√

36 2

−2√

2 0

Die Vektoren 4~xu(π6, π

3) = (3

√3 , 6,−2

√2 ) und 4~xv(π

6, π

3) = (−3

√3 , 2, 0) spannen die

Tangentialebene an das Ellipsoid im Punkt ~x(π6, π

3) = 1

4(3, 2√

3 , 2√

6 ) auf.

148 11 ANWENDUNGEN

11 Anwendungen

11.1 Kurven, Flachen, Korper

Kurven in der Ebene

Darstellung Lange

kartesisch y = f(x) , a ≤ x ≤ b L =

∫ b

a

√

1 +(f ′(x)

)2dx

Polarkoord. r = r(ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β L =

∫ β

α

√

r(ϕ)2 + r(ϕ)2 dϕ

Parameter ~x =

(x(t)y(t)

)

, a ≤ t ≤ b L =

∫ b

a|~x(t)| dt =

∫ b

a

√

x(t)2 + y(t)2 dt

Masse, Schwerpunkt, Tragheitsmoment siehe bei Kurven im Raum: Setze z(t) = 0.

Kurven im Raum

Kurve K : ~x(t) =

x(t)y(t)z(t)

, a ≤ t ≤ b mit Tangentenvektor ~x(t) =

x(t)y(t)z(t)

Bogenelement ds = |~x(t)| dt =√

x2 + y2 + z2 dt

~x(b)

~x(a)

~x(t)

~x(t)

K

.

...................................

................................

..............................

...........................

........................

.........................................

.......................................... ...................... ....................... .........................

Lange L =

∫

Kds =

∫ b

a|~x(t)| dt =

∫ b

a

√

x2 + y2 + z2 dt

Ist das Kurvenstuck ~x(t) =(x(t), y(t), z(t)

), a ≤ t ≤ b mit

Masse belegt und ist die Massendichte δ = δ(t), so gilt:

Masse1) M =

∫ b

aδ(t) |~x(t)| dt =

∫ b

aδ(t)

√

x2 + y2 + z2 dt

Schwerpunkt1)

S = (sx, sy, sz)sx =

1M

∫ b

ax(t) δ(t) |~x(t)| dt, sy und sz analog!

Tragheits–moment

TA =

∫ b

aa2(t) δ(t) |~x(t)| dt

a = a(t) ist der Abstand desKurvenpunktes ~x(t)von der Achse A (Seite 151).

1) Ist δ ≡ 1, so ist M die Kurvenlange und S der geometrische Schwerpunkt der Kurve!

11.1 Kurven, Flachen, Korper 149

Flachen in der Ebene

x

y

a b

g(x)

f(x)

F

S

sx

sy •

x

y

~x(t)~x(a)

~x(b)

F

x

y

~x(t)

~x(a)

~x(b)

F

F =

∫ b

a

(f(x)− g(x)

)dx F =

∫ b

a− y(t) · x(t) dt F =

∫ b

ax(t) · y(t) dt

Schwerpunkt1) S = (sx, sy)

sx =1F

∫ b

ax(f(x)− g(x)

)dx , sy =

12F

∫ b

a

(f2(x)− g2(x)

)dx

Sektorformel

Parameterdarst.

~x = ~x(t) =

(x(t)y(t)

)

a ≤ t ≤ b

F =12

∫ b

a(xy − xy) dt

Polarkoordinaten

r = r(ϕ)

α ≤ ϕ ≤ βF =

12

∫ β

αr2(ϕ) dϕ x

y

r(α)

r(β)

r(ϕ)~x(a)

~x(b)

~x(t)F

βα

”Flache zur Linken! ”

Flachen in der Ebene, allgemeiner Fall

x

y

F

Flache F =

∫

FdF =

∫

Fd(x, y)

Ist das Flachenstuck mit Masseder Dichte δ(x, y) belegt, so gilt:

Masse1) M =

∫

Fδ(x, y) d(x, y)

Schwerpunkt1)

S = (sx, sy)sx =

1M

∫

Fx δ(x, y) d(x, y)

sy =1M

∫

Fy δ(x, y) d(x, y)

Tragheits–moment

TA =

∫

Fa2(x, y) δ(x, y) d(x, y)

a = a(x, y) ist der Abstand desPunktes (x, y)von der Achse A (Seite 151).

1) Ist δ ≡ 1, so ist M der Flacheninhalt und S der geometrische Schwerpunkt der Flache!

150 11 ANWENDUNGEN

Flachen im Raum

Flache F : Gegeben explizit als Graph einer Funktion z = f(x, y) , (x, y) ∈ B;

Normalenvektor: ~n = (−fx(x, y),−fy(x, y), 1)

Flachenelement: dF =√

1 + f2x(x, y) + f2

y (x, y) d(x, y)

Flache F =

∫

FdF =

∫

B

√

1 + f2x(x, y) + f2

y (x, y) d(x, y)

Ist das Flachenstuck mit Masse der Dichte δ = δ(x, y) belegt, so gilt:

Masse1) M =

∫

Bδ(x, y)

√

1 + f2x(x, y) + f2

y (x, y) d(x, y)

Schwerpunkt1)


1M

∫

Bxδ(x, y)

√

1 + f2x(x, y) + f2

y (x, y) d(x, y),sy, szanalog!

Tragheits–moment

TA =

∫

Ba2(x, y)δ(x, y)

√

1 + f2x(x, y) + f2

y (x, y) d(x, y)

a = a(x, y) ist der Abstand des Flachenpunktes (x, y, f(x, y)) von der Achse A (S. 151).

Flachen im Raum, allgemeiner Fall

Flache F : Gegeben durch Parameterdarstellung

~x(u, v) =


, (u, v) ∈ B;

Jacobische: J =

xu xvyu yvzu zv

= (~xu, ~xv)

Normalenvektor: ~n = ~xu × ~xvskalaresFlachenelement

dF = |~xu × ~xv| d(u, v) = |(yuzv−yvzu, xvzu−xuzv, xuyv−xvyu)|d(u, v)

Metrische Fundamentalgroßen der Flache F (abhangig von der Parameterdarst.):

E = ~x2u = |~xu|2, F = ~xu ·~xv, G = ~x2

v = |~xv|2, g = EG−F2 = (~xu×~xv)2 = ~n2 = |~n|2.Die Parameterdarstellung von F ist

winkeltreu ⇐⇒ E = G, F = 0,flachentreu ⇐⇒ g ≡ 1.

~x(u, v)

~n = ~xu×~xv

~xu

~xv

•

Tangentialebeneim Punkt ~x(u, v)

Flache F =

∫

FdF =

∫

B|~n| d(u, v) =

∫

B|~xu × ~xv| d(u, v)

Ist das Flachenstuck~x(u, v)=

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

), (u, v) ∈ B mit Masse

belegt und ist die Massendichte δ = δ(u, v), so gilt:

Masse1) M =

∫

Bδ(u, v) |~xu × ~xv| d(u, v)

Schwerpunkt1)


1M

∫

Bx(u, v) δ(u, v) |~xu × ~xv| d(u, v), sy, sz analog!

Tragheits–moment

TA =

∫

Ba2(u, v) δ(u, v) |~xu × ~xv| d(u, v)

a = a(u, v): Abstand desFlachenpunktes ~x(u, v)von der Achse A (S. 151).

1) Ist δ ≡ 1, so ist M der Flacheninhalt und S der geometrische Schwerpunkt der Flache!

11.1 Kurven, Flachen, Korper 151

Korper im Raum

Korper K : ~x =

x(u, v, w)y(u, v, w)z(u, v, w)

, (u, v, w) ∈ B

Jacobische Matrix: Jx =


= (~xu, ~xv, ~xw), dB = d(u, v, w)

Volumenelement: dV = |

∣∣∣∣∣∣


∣∣∣∣∣∣

| dB = |∣∣∣~xu, ~xv, ~xw

∣∣∣| dB,

Determinanteder Jacobischen,siehe Seite 147

Volumen V =

∫

KdV =

∫

B|∣∣∣~xu, ~xv, ~xw

∣∣∣| dB =

∫

B|∣∣∣~xu, ~xv, ~xw

∣∣∣| d(u, v, w)

Ist der Korper ~x(u, v, w) =(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

), (u, v, w) ∈ B

mit Masse belegt und ist die Massendichte δ = δ(u, v, w), so gilt:

Masse1) M =

∫

Kδ dV =

∫

Bδ |∣∣∣~xu, ~xv, ~xw

∣∣∣| dB, dB = d(u, v, w)

Schwerpunkt1)


1M

∫

Kxδ dV =

1M

∫

Bx δ |

∣∣∣~xu, ~xv, ~xw

∣∣∣| dB, sy, sz analog!

Tragheits–moment

TA =

∫

Ka2δ dV =

∫

Ba2 δ |

∣∣∣~xu, ~xv, ~xw

∣∣∣| dB

a = a(u, v, w): Ab-stand des Korperpunk-tes ~x(u, v, w) von derAchse A (siehe unten).

1) Ist δ ≡ 1, so ist M das Volumen und S der geometrische Schwerpunkt des Korpers!

Berechnung von a2 beiRotation um

ebene Kurven/Flachen raumliche Kurven/Flachen/Korper

x–Achse a2 = y2 a2 = y2 + z2

y–Achse a2 = x2 a2 = x2 + z2

z–Achse a2 = x2 + y2

Ursprung a2 = x2 + y2 a2 = x2 + y2 + z2

Prinzip von Cavalieri

Ist M ein raumlicher Bereich mit Volumen V (M),sind z0 bzw. z1 minimaler bzw. maximaler z–Wertin M und ist c eine Konstante zwischen z0 und z1und F (c) der Flacheninhalt der Schnittflache von Mmit der Ebene z = c, so gilt:

V (M) =

∫ z1

z0F (z) dz

x

y

z

cF (c)

√c

hBeispiel Volumen der RotationsparaboloidkappeM = (x, y, z) | x2 + y2 ≤ z ≤ hF (z) = πz, z0 = 0, z1 = h

V (M) =

∫ h

0πz dz = π

[12z2]h

0=π2h2

152 11 ANWENDUNGEN

Mantelflache eines Rotationskorpers

In der x, y–Ebene sei ein Kurvenstuck gegeben. Die durchRotation dieser Kurve um die x– bzw. y–Achse entstehen-de Rotationsflache (ohne Boden– und Deckelkreis) hat denFlacheninhalt F :

x

y

a b

y = f(x)

Rotation um x–Achse

Kurve Rotationsachse Mantelflache

y = f(x) ≥ 0

a ≤ x ≤ b x–Achse F = 2π

∫ b

af(x)

√

1 + f ′2(x) dx

~x =

(x(t)y(t)

)

y(t) ≥ 0 x–Achse F = 2π

∫ b

ay(t)

√

x2(t) + y2(t) dt

a ≤ t ≤ b x(t) ≥ 0 y–Achse F = 2π

∫ b

ax(t)

√

x2(t) + y2(t) dt

1. Guldinsche Regel

Ein ebenes Kurvenstuck der Lange L rotiere um eine indieser Ebene liegende Achse, die das Kurvenstuck nichtschneidet. Ist d der Abstand des Schwerpunkts S des Kur-venstucks von der Drehachse, dann gilt fur denFlacheninhalt F der Rotationsflache:(ohne Boden– und Deckelkreis) F = 2πd · L

d

SL

a b

Rotationsflache = Lange des Weges des Schwerpkts. × Lange der erzeugenden Kurve.

Volumen eines Rotationskorpers

In der x, y–Ebene sei ein Kurvenstuck gegeben. Der durchRotation der Flache F , die zwischen dieser Kurve und derx–Achse liegt, um die x–Achse bzw. y–Achse entstehendeKorper hat das Volumen V :

F

x

y

a b

y = f(x)

KurveVolumen

Rotation um y–AchseVolumen

Rotation um x–Achse

y = f(x) ≥ 0

a ≤ x ≤ b V = 2π

∫ b

axf(x) dx V = π

∫ b

af2(x) dx

2. Guldinsche Regel

Ein ebenes Flachenstuck vom Flacheninhalt F rotiere umeine in dieser Ebene liegende Achse, die das Flachenstucknicht schneidet. Ist d der Abstand des Schwerpunkts S desFlachenstucks von der Drehachse, dann gilt fur das

Volumen V des Rotationskorpers: V = 2πd · F

dF

S

Rotationsvolumen = Lange des Weges des Schwerpkts.× Inhalt der erzeugenden Flache.

153

12 Vektoranalysis und Integralsatze

12.1 Vektoranalysis

Koordinatensysteme

ebene Polarkoordinaten


Basisvektoren:

~er = (cosϕ, sinϕ)~eϕ = (− sinϕ, cosϕ)

x

y

r ϕ~x

~er

~eϕ

vr

vϕ~v

x

y

.

................................................................................................

.

..........................................................................................

Ist ~v = vr ~er + vϕ ~eϕ , so heißen vr, vϕ Polarkoordinaten des Vektors ~v.

Umrechnung: kartesische Koordinaten vx, vy ←→ Polarkoordinaten vr, vϕ(vxvy

)

=

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)(vrvϕ

)

,

(vrvϕ

)

=

(cosϕ sinϕ− sinϕ cosϕ

)(vxvy

)

Zylinderkoordinaten

y

z

.

......................................

......................................

..........

.

.....................................

.....................................

.............

.................................................................................................

.

....................................

....................................

.....................................

......................................

......................................

.

...............................................................................................................................

.

.....................................

....................................

....................................

......................................

......................................

.

................................................................................................................................

....................................

....................................

....................................

......................................

....................................

...

.

....................................

....................................

.....................................

......................................

......................................

.

...............................................................................................................................

x

y

x

zϕ

ϕ

~x

~v

~er

~eϕ~ez

vr

vϕ

vz

r

r

.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

............................................................

...................................................................

x = r cosϕy = r sinϕz = z

Basisvektoren:

~er = (cosϕ, sinϕ, 0)

~eϕ = (− sinϕ, cosϕ, 0)

~ez = (0, 0, 1)

Ist ~v = vr ~er + vϕ ~eϕ + vz ~ez , heißen vr, vϕ, vz Zylinderkoord. des Vektors ~v.

Umrechnung: kartesische Koordinaten vx, vy, vz ←→ Zylinderkoordinaten vr, vϕ, z

vxvyvz

=

cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 00 0 1

vrvϕvz

,

vrvϕvz

=

cosϕ sinϕ 0− sinϕ cosϕ 0

0 0 1

vxvyvz

Kugelkoordinaten

y

z

x

ϕ

ϕ

~x

~v~eρ ~eϕ

~eθ

vρ

vϕ

vθ

θρ

...................................

..............................................

...........

.

...........................................

.......................

...........................................

...........................................

...........................................

....................

.

.................................................................................................................................................................................................................................................

❯

θ Polabstand, F 2

x = ρ sin θ cosϕy = ρ sin θ sinϕz = ρ cos θ

Basisvektoren:

~eρ = (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ)

~eθ = (cos θ cosϕ, cos θ sinϕ,− sin θ)

~eϕ = (− sinϕ, cosϕ, 0)

Ist ~v = vρ ~eρ + vθ ~eθ + vϕ ~eϕ , heißen vρ, vθ, vϕ Kugelkoordinaten des Vektors ~v.

Umrechnung: kartesische Koordinaten vx, vy, vz ←→ Kugelkoordinaten vρ, vθ, vϕ

vx

vy

vz

=

sinθ cosϕ cosθ cosϕ − sinϕsinθ sinϕ cosθ sinϕ cosϕ

cos θ − sin θ 0

vρ

vθ

vϕ

,

vρ

vθ

vϕ

=

sinθ cosϕ sinθ sinϕ cosθcosθ cosϕ cosθ sinϕ − sinθ− sinϕ cosϕ 0

vx

vy

vz

154 12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSATZE

Gradient eines Skalarfeldes, Richtungsableitung

Ist f : IR3 → IR ein Skalarfeld, so ist grad f : IR3 → IR3 ein Vektorfeld.

gradf =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z

)

= ∇f Gradient von f

Darstellung des Gradienten in

kartesischen Koordinaten: gradf =∂f∂x~ex +

∂f∂y~ey +

∂f∂z~ez

Zylinderkoordinaten: gradf =∂f∂r~er + 1

r

∂f∂ϕ ~eϕ +

∂f∂z~ez

Kugelkoordinaten: gradf =∂f∂ρ~eρ + 1

ρ

∂f∂θ ~eθ + 1

ρ sin θ

∂f∂ϕ ~eϕ

∂f∂~a (~x) = lim

t→0

f(~x+t ~a|~a|)−f(~x)

t

Richtungsableitung von f an der Stelle ~xin Richtung des Vektors ~a 6= ~o.Zur Normierung siehe auch Seite 140.

Ist f in ~x differenzierbar, gilt fur die Richtungsableitung

∂f∂~a (~x) = gradf(~x) · ~a|~a| = | gradf(~x)| · cosϕ mit ϕ =<)

(grad f(~x),~a

).

Richtungsableitung = Gradient mal Einheitsvektor

Geometrische Eigenschaften von Gradient und Richtungsableitung:

Ist ϕ =<)(grad f(~x),~a

)der Winkel zwischen grad f(~x) und ~a, so gilt:

• Die Richtungsableitung ist maximal fur ϕ = 00:Der Gradient zeigt in Richtung maximalen Anstiegs!

• Die Richtungsableitung ist 0 fur ϕ = 900:Der Gradient steht senkrecht auf der zu ~x gehorenden Niveaulinie/Niveauflache.

Jacobi–Matrix eines Vektorfeldes, Vektorgradient

Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v(~x) =(vx(~x) , vy(~x) , vz(~x)

)ein Vektorfeld, so heißt

J~v =

∂vx

∂x∂vx

∂y∂vx

∂z∂vy

∂x∂vy

∂y∂vy

∂z∂vz

∂x∂vz

∂y∂vz

∂z

Jacobi–Matrix von ~v

(~a grad)~v = limt→0

~v(~x+t~a)−~v(~x)t

Vektorgradient von ~v an der Stelle ~xnach dem Vektor ~a

Ist ~v in ~x differenzierbar, d.h. sind vx, vy , vz in ~x differenzierbar, so gilt:

(~a grad)~v(~x) = J~v(~x) · ~a =(gradvx(~x) · ~a , gradvy(~x) · ~a , grad vz(~x) · ~a

)

Vektorgradient = Jacobi–Matrix mal Vektor

(~a grad)~v = 12

[rot(~v×~a) + grad(~v ·~a) + ~adiv~v − ~v div~a− ~a×rot~v − ~v×rot~a

]

12.1 Vektoranalysis 155

Divergenz eines Vektorfeldes

Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v =(vx(~x) , vy(~x) , vz(~x)

)ein Vektorfeld, so

ist div~v : IR3 → IR ein Skalarfeld.

div~v =∂vx∂x +

∂vy∂y +

∂vz∂z = ∇ · ~v Divergenz von ~v

Eine Stelle ~x heißt

QuelleSenke

, fallsdiv~v(~x) > 0div~v(~x) < 0

ist.

~v heißt in G quellenfrei, wenn div~v(~x) = 0 ist fur alle ~x ∈ G.

Darstellung der Divergenz in

kartesischen Koordinaten: div~v = ∂vx

∂x+

∂vy

∂y+ ∂vz

∂z

Zylinderkoordinaten: div~v = 1r∂(rvr)∂r

+ 1r

∂vϕ

∂ϕ+ ∂vz

∂z

Kugelkoordinaten: div~v = 1ρ2∂(ρ2vρ)∂ρ

+ 1ρ sin θ

∂(sin θ vθ)∂θ

+ 1ρ sin θ

∂vϕ

∂ϕ

Rotation eines Vektorfeldes

Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v =(vx(~x) , vy(~x) , vz(~x)

)ein Vektorfeld, so

ist rot~v : IR3 → IR3 ein Vektorfeld.

rot~v =(∂vz∂y −

∂vy∂z ,

∂vx∂z −

∂vz∂x ,

∂vy∂x −

∂vx∂y

)

= ∇× ~v Rotation von ~v

Entsprechend zum Kreuzprodukt von Vektoren merkt man sich rot~v als:

rot~v =

∣∣∣∣∣∣∣

~ex ~ey ~ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

vx vy vz

∣∣∣∣∣∣∣

=(∂vz

∂y− ∂vy

∂z, ∂vx

∂z− ∂vz

∂x,∂vy

∂x− ∂vx

∂y

)

.

~v heißt wirbelfrei in G, wenn rot~v = ~0 ist fur alle ~x ∈ G.

rot~v = ~0 ist die vektorielle Schreibweise der Integrabilitatsbedingung (Seite 158).

Ein in einem einfach zusammenhangenden Gebiet G wirbelfreies Feld ist dort not-wendigerweise konservativ!

Darstellung der Rotation in

kartesischen Koordinaten: rot~v =(∂vz

∂y− ∂vy

∂z

)~ex +

(∂vx

∂z− ∂vz

∂x

)~ey +

(∂vy

∂x− ∂vx

∂y

)~ez

Zylinderkoordinaten: rot~v =(1r∂vz

∂ϕ− ∂vϕ

∂z

)~er+

(∂vr

∂z− ∂vz

∂r

)~eϕ+

(1r∂(rvϕ)∂r− 1r∂vr

∂ϕ

)~ez

Kugelkoordinaten:

rot~v = 1ρ sin θ

(∂(vϕ sin θ)∂θ

− ∂vθ

∂ϕ

)~eρ +

( 1ρ sin θ

∂vρ

∂ϕ− 1ρ∂(ρ·vϕ)∂ρ

)~eθ +

( 1ρ∂(ρvθ)∂ρ− 1ρ∂vρ

∂θ

)~eϕ


Nabla–Operator ∇

Der Nabla–Operaror ∇ ist ein formaler (Differential–) Operator, mit dem sich dieOperationen grad, div, rot in einheitlicher Form schreiben:

∇ =( ∂∂x

,∂∂y

,∂∂z

)Nabla

f = f(x, y, z) sei Skalarfeld und ~v = ~v(x, y, z) = (vx, vy , vz) Vektorfeld:

∇f =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z

)= grad f Produkt aus ∇ und f,

∇ · ~v = ∂vx

∂x+

∂vy

∂y+ ∂vz

∂z= div~v Skalarprodukt aus ∇ und ~v,

∇× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣

~ex ~ey ~ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

vx vy vz

∣∣∣∣∣∣∣

= rot~v Vektorprodukt aus ∇ und ~v.

Der Operator ∇ ist als Vektor aufzufassen, so erklaren sich folg. Regeln (λ, µ ∈ IR):

grad(λf + µg) = ∇(λf + µg) = λ∇f + µ∇g = λ grad f + µ grad g

div(λ~u + µ~v) = ∇ · (λ~u + µ~v) = λ∇ · ~u+ µ∇ · ~v = λdiv ~u+ µ div~v

rot(λ~u+ µ~v) = ∇× (λ~u+ µ~v) = λ∇×~u+ µ∇×~v = λ rot~u+ µ rot~v

Laplace–Operator ∆

Ist f : IR3 → IR ein Skalarfeld, kann man div(gradf) bilden:

∆f = div(grad f) =∂2f∂x2 +

∂2f∂y2

+∂2f∂z2

Laplace–Operator

Losungen der Laplace–Gleichung ∆f = 0 heißen harmonische Funktionen.

Skalarfelder f(x, y, z), die der Laplace–Gleichung ∆f = 0 genugen, sind interes-

sant, da ihre Gradientenfelder ~F = gradf

(1) wegen div ~F = div(grad f) = ∆f = 0 quellenfrei sind

(2) wegen rot ~F = rot(gradf) = ~o wirbelfrei sind

Darstellung des Laplace–Operators in

kartesische Koordinaten: ∆f =∂2f∂x2 +

∂2f∂y2

+∂2f∂z2

Polarkoordinaten: ∆f = 1r∂f∂r

+∂2f∂r2

+ 1r2∂2f∂ϕ2

Zylinderkoordinaten: ∆f = 1r∂f∂r

+∂2f∂r2

+ 1r2∂2f∂ϕ2 +

∂2f∂z2

Kugelkoordinaten ∆f = 2ρ∂f∂ρ

+∂2f∂ρ2

+ 1ρ2∂2f∂θ2

+ 1ρ2 tan θ

∂f∂θ

+ 1ρ2 sin2 θ

∂2f∂ϕ2


Rechenregeln fur grad, div, rot

f, g Skalarfelder~u,~v Vektorfelder

Die Operatoren sind linear:

grad(f + g) = grad f + gradg und grad(λf) = λ grad f mit λ ∈ IR

div(~u+ ~v) = div ~u+ div~v und div(λ~v) = λdiv~v mit λ ∈ IR

rot(~u+ ~v) = rot~u+ rot~v und rot(λ~v) = λ rot~v mit λ ∈ IR

Produktregeln:

grad(fg) = f grad g + g grad fgrad(~u · ~v) = (~u grad)~v + (~v grad)~u+ ~u× rot~v + ~v × rot~u

= J~u~v + J~v~u+ ~u× rot~v + ~v × rot~u

div(f~v) = f div~v + (grad f) · ~vrot(f~v) = f rot~v + (grad f)× ~vdiv(~u× ~v) = −~u · rot~v + ~v · rot~urot(~u× ~v) = (~v grad)~u− (~u grad)~v + ~udiv~v − ~v div ~u

= J~u~v − J~v~u+ ~u div~v − ~v div ~u

Vektorgradient

(~a grad)~v

siehe Seite 154

Wiederholte Anwendung:

div(grad f) = ∆f (Laplace–Operator)rot(grad f) = ~o (Potentialfelder sind wirbelfrei)div(rot~v) = 0 (Wirbelfelder sind quellenfrei)rot(rot~v) = grad(div~v)− (∆vx , ∆vy , ∆vz)

Maxwellsche Gleichungen

ρ Ladungsdichte~B magn. Flußdichte~H magn. Erregung~J elektr. Stromdichte~D elektr. Flußdichte~E elektr. Feldstarke

~J = σ ~E, ~D = ε ~E, ~B = µ ~H, σ, ε, µ Materialkonstante:

σ Leitfahigkeitε Dielektrizitatskonstanteµ Permeabilitatskonstante

V raumlicher Bereich mit Randflache A,F Flache im Raum mit Randkurve C.

Integralform Differentielle Form

1AmpereschesVerkettungsgesetz

∫

C

~H d~x =

∫

F( ~J + ~D) d~F rot ~H = ~J + ~D

2FaradayschesInduktionsgesetz

∫

C

~E d~x = −∫

F

~B d~F rot ~E = − ~B

3elektr. Ladungen als

Quellen des ~D–Feldes

∫

A

~D d ~A =

∫

Vρ dV (= Q) div ~D = ρ

4Fehlenmagnetischer Ladung

∫

A

~B d ~A = 0 div ~B = 0

Die differentielle Form ergibt sich aus der Integralform durch

• Anwendung des Stokeschen Integralsatzes bei Regel 1 und 2,• Anwendung des Gaußschen Integralsatzes bei Regel 3 und 4.


Potentialfelder , Potentialfunktion

Ein Vektorfeld ~v : IR3 → IR3 mit ~v(~x) =(vx(~x) , vy(~x) , vz(~x)

)heißt

Potentialfeld oder Gradientenfeld oder konservativ, wenn

ein Skalarfeld f : IR3 → IR existiert mit ~v(~x) = gradf(~x).

f heißt dann Potentialfunktion oder Stammfunktion von ~v.

Ist ~v ein Vektorfeld, so sind aquivalent :

• ~v ist Potentialfeld• das Kurvenintegral

∫

K~v d~x ist wegunabhangig

• Kurvenintegrale∮~v d~x uber geschlossene Wege sind 0

∂vy∂z =

∂vz∂y ,

∂vx∂y =

∂vy∂x ,

∂vx∂z =

∂vz∂x Integrabilitatsbedingung fur ~v

~v genugt der Integrabilitatsbedingung

⇐⇒ rot~v = ~o (~v ist wirbelfrei)⇐⇒ J~v = J⊤

~v (Jacobi–Matrix von ~v ist symmetrisch)

Ist G ein Gebiet (offen, zusammenhangend) im IR3, so gilt:

~v ist Potentialfeld in G =⇒ ~v genugt der Integrabilitatsbedingung in G.

Ist G ein einfach zusammenhangendes Gebiet, so gilt:~v ist Potentialfeld in G ⇐⇒ ~v genugt der Integrabilitatsbedingung in G.

Ist ~v Potentialfeld mit Potentialfunktion f , ist also ~v = grad f , und ist K eine diePunkte P , Q verbindende Kurve, so gilt (vgl. Hauptsatz, Seite 96):

∫

K~v d~x = f(Q)− f(P ) ( Potentialdifferenz)

Ist ~v = (vx, vy, vz) Potentialfeld und K eine Kurve in G, die den festen Anfangs-punkt ~x0 = (x0, y0, z0) mit dem variablen Punkt ~x = (x, y, z) verbindet, so ist

f(~x) =

∫ ~x

~x0

~v(~x) d~x =

∫ x

x0

vx(t, y0, z0) dt +

∫ y

y0vy(x, t, z0) dt +

∫ z

z0vz(x, y, t) dt

eine Potentialfunktion von ~v.

Beispiel: Magnetfeld ~v(x, y) =( −yx2+y2

,x

x2+y2)

erfullt die Int–bed. in der gelochten

Ebene IR2 \ (0, 0) (nicht einfach zusammenhgd!); ist aber dort kein Potentialfeld.

Die Int–bed. fur die Ebene ist∂vx

∂y=∂vy

∂x. Man berechnet:

∂vx

∂y=

y2−x2

(x2+y2)2=∂vy

∂x.

Integration von ~v langs des geschloss. Einkeitskreises EK: ~x(ϕ) =(cosϕsinϕ

)

, 0 ≤ ϕ ≤ 2π:∫

EK~v d~x =

∫ 2π

0~v(~x(ϕ)) · ~x(ϕ) dϕ =

∫ 2π

0

(− sinϕcosϕ

)

·(− sinϕ

cosϕ

)

dϕ =∫ 2π

0dϕ = 2π 6= 0.

Beispiel: Gravitationsfeld ~v(x, y, z) =(x,y,z)

(x2+y2+z2)3/2 erfullt die Int–bed. in dem

gelochten Raum IR3 \ (0, 0, 0) (einfach zhgd!). Man berechne eine Potentialfunktion.

Kugelkoordinaten: grad f =∂f∂ρ~eρ +

1ρ

∂f∂θ ~eθ +

1ρ sin θ

∂f∂ϕ ~eϕ = ~v =

1ρ2~eρ + 0~eθ + 0 ~eϕ

Koordinatenvergleich:∂f∂ρ

=1ρ2,∂f∂θ

=∂f∂ϕ

=0 =⇒ f=−1ρ

=−1√

x2+y2+z2ist Potentialfkt.


Kurvenintegrale

Das Kurvenintegral

∫

Kf ds

Ist f : IR3 → IR Skalarfeld und ~x = (x, y, z)und K = ~x(t) | a ≤ t ≤ b eine Kurve im IR3, so ist

∫

Kf ds =

∫ b

af(~x(t)) · |~x(t)| dt =

∫ b

af(~x(t))

√

x2(t) + y2(t) + z2(t) dt.

ds = |~x(t)| dt =√

x2(t) + y2(t) + z2(t) dt heißt skalares Bogenelement.

Fur f ≡ 1 ergibt sich die Bogenlange L des Kurvenstucks K: L =

∫ b

a|~x(t)| dt.

Das Kurvenintegral

∫

K~v d~x (Arbeitsintegral)

Ist ~v = (vx, vy, vz) : IR3 → IR3 Vektorfeld und ~x = (x, y, z)und K = ~x(t) | a ≤ t ≤ b eine Kurve im IR3, so ist

∫

K~v d~x =

∫ b

a~v(~x(t)) · ~x(t) dt =

∫ b

a

vx(~x(t))vy(~x(t))vz(~x(t))

·

x(t)y(t)z(t)

dt.

d~x = ~x(t) dt heißt vektorielles Bogenelement.

Ist K geschlossene Kurve, ist∮

K~v d~x die Zirkulation des Vektorfeldes ~v langs K.

Sind ~v = (vx, vy, vz) und ~x = (x, y, z) in kartesischen Koordinaten gegeben, so istdx = x dt, dy = y dt, dz = z dt und das Kurvenintegral schreibt sich parameterfrei:

∫

K~v d~x =

∫

Kvx dx+ vy dy + vz dz.

Bezeichnet ~t das Feld der Tangenteneinheitsvektoren von K, so besteht zwischenden Integraltypen folgender Zusammenhang:

∫

K~v d~x =

∫

K(~v · ~t ) ds.

Um Kurvenintegrale fur ebene Kurven zu berechnen, setzt man z(t) ≡ 0.

Beispiel Man berechne die Zirkulation des Feldes ~v(x, y) =( −yx2+y2

,x

x2+y2)

langs des Einheitskreises K.∮

K

~v d~x =

∮

K

( −y dxx2+y2

+xdyx2+y2

)und K =

~x ∈ IR2 | ~x =

(cos tsin t

)

, t ∈ [0, 2π]

Einheitskreis

mit ~x(t) =(cos tsin t

)

und ~x(t) =(− sin t

cos t

)

ist x2+y2 = 1 , und es ergibt sich:

=

∫ 2π

0

((− sin t)(− sin t) + cos t · cos t

)dt =

∫ 2π

0dt = 2π.


Oberflachenintegrale

Das Oberflachenintegral

∫

Ff dF

Ist f : IR3 → IR Skalarfeld und F = ~x(u, v) | (u, v) ∈ B Flache im IR3, so ist∫

Ff dF =

∫

Bf(~x(u, v)

)|~xu(u, v)× ~xv(u, v)| d(u, v).

~xu =

xuyuzu

=

∂x∂u∂y∂u∂z∂u

, ~xv =

xvyvzv

=

∂x∂v∂y∂v∂z∂v

sind Tangentenvektoren andie Koordinatenlinien auf F .

~n = ~xu × ~xv ist Normalenvektor an F .

dF = |~xu × ~xv| d(u, v) heißt skalares Flachenelement.

Fur f ≡ 1 ergibt sich der Flacheninhalt: A =

∫

B|~xu(u, v)× ~xv(u, v)| d(u, v).

Das Oberflachenintegral

∫

F~v d~F (Flußintegral)

Ist ~v : IR3 → IR3 Vektorfeld und F = ~x(u, v) | (u, v) ∈ B Flache im IR3, so ist∫

F~v d~F =

∫

B~v(~x(u, v)

)·(~xu(u, v)× ~xv(u, v)

)d(u, v).

d~F =(~xu × ~xv

)d(u, v) heißt vektorielles Flachenelement.

Das Vorzeichen ist ggf. der vorgegebenen Normalenrichtung anzupassen!

Bezeichnet ~n das Feld der außeren Normaleneinheitsvektoren von F , so bestehtzwischen den Integraltypen folgender Zusammenhang :

∫

F~v d~F =

∫

F(~v · ~n) dF .

Beispiel Man berechne den Fluß des Feldes ~v(x, y, z) =(−x

2,−y,−z

)

durch die Paraboloidkappe F = (x, y, z) | z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1.

~x =

xy

x2 + y2

=⇒ ~xx × ~xy =

102x

×

012y

=

−2x−2y1

.

~v(~x) · (~xx × ~xy) =

−x/2−y

−x2−y2

·

−2x−2y1

= y2 =⇒ ~v · d~F = y2 d(x, y).

∫

F~v d~F =

∫

x2+y2 ≤ 1y2 d(x, y) =

∫ 2π

0

(∫ 1

0r2 · sin2 ϕ · r dr

)dϕ =

14π.

12.2 Wichtige Felder 161

12.2 Wichtige Felder

Kugelsymmetrische Felderρ =

√

x2 + y2 + z2

CoulombfeldGravitationsfeld

~v(x, y, z) (x, y, z)(x,y,z)√x2+y2+z2

(x,y,z)x2+y2+z2

(x,y,z)(x2+y2+z2)3/2

~v(~x) ~x~x||~x||

1||~x|| ·

~x||~x||

1||~x||2 ·

~x||~x||

Kugelkoord.

~v(ρ, θ, ϕ)(ρ, 0, 0) (1, 0, 0) (

1ρ , 0, 0) (

1ρ2 , 0, 0)

Def.bereich IR3 IR3 \ ~o IR3 \ ~o IR3 \ ~oeinf. zushg. ja ja ja ja

(Newton–Potential)

Potential

Φ(x, y, z)12(x2+y2+z2)

√

x2+y2+z2 ln√

x2+y2+z2

−1√x2+y2+z2

= 12||~x||2 = 1

2ρ2 = ||~x|| = ρ = ln ||~x|| = ln ρ =

−1||~x|| =

−1ρ

Kurvenintegral

wegunabhangigja ja ja ja

div~v 32√

x2+y2+z2

1x2+y2+z2 0

=2||~x|| =

2ρ =

1||~x||2 =

1ρ2

rot~v ~o ~o ~o ~o

Achsialsymmetrische Felderr =

√

x2 + y2elektr. Feldgeladener Draht

Magnetfeldstromdurchfl. Leiter

~v(x, y, z) (x, y, 0)(x,y,0)√x2+y2

(x,y,0)x2+y2

(−y,x,0)x2+y2

Zylinderkoord.

~v(r, ϕ, z)(r, 0, 0) (1, 0, 0) (

1r , 0, 0) (0, 1

r, 0)

Def.bereich IR3 IR3 \ (0, 0, z) IR3 \ (0, 0, z) IR3 \ (0, 0, z)einf. zushg. ja nein nein nein

log. Potential lokal:Potential

Φ(x, y, z)12(x2 + y2)

√

x2 + y2 ln√

x2 + y2 arctanyx, x 6= 0

= 12r2 = r = ln r − arctan x

y, y 6= 0

Kurvenintegral

wegunabhangigja ja ja nein

div~v 21r 0 0

rot~v ~o ~o ~o ~o


12.3 Integralsatze

GAUSSscher Integralsatz in der Ebene IR2

B

K

~n

x

y

B ⊆ IR2 sei ein ebener Bereich mit stuckweise glatter Randkurve K. K wird sodurchlaufen, daß B stets links liegt.

Ist das Vektorfeld ~v : IR2 → IR2 mit ~v(x, y) =(P (x, y), Q(x, y)

)stetig differenzier-

bar, so gilt:

1. Fassung

∫

B

(∂Q∂x −

∂P∂y

)

dB =

∮

K

(P dx+Qdy) =

∮

K

~v d~x

Integral der Wirbeldichte ist gleich der Zirkulation langs des Randes.

2. Fassung

∫

Bdiv~v dB =

∮

K

(~v · ~n) ds~n =

(y,−x)|(x,y)| ist

außerer Normalen–

Einheitsvektor an K.

Integral der Quelldichte ist gleich dem Fluß durch den Rand.

GAUSSscher Integralsatz im Raum IR3

B ⊆ IR3 sei ein raumlicher Bereich mit stu ckweise glatter Randflache F .

Ist das Vektorfeld ~v : IR3 → IR3 stetig differenzierbar, so gilt:

∫

Bdiv~v dB =

∫

F~v d~F =

∫

F(~v · ~n) dF

~n =±(~xu×~xv)|~xu×~xv| ist

außerer Normalen–

Einheitsvektor an F .

Integral der Quelldichte ist gleich dem Fluß durch die Randflache.

Physikalische Deutung

~v sei das Geschwindigkeitsfeld einer stationaren Flu ssigkeitsstromung.

div~v(~x0) ist ein Maß fur die im Punkte ~x0 entstehende Flu ssigkeitsmenge:

(div~v(~x0) > 0 : Quelle und div~v(~x0) < 0 : Senke)

Das Flußintegral∫

F~v d~F gibt die durch die Flache F pro Zeiteinheit hindurchtretende

Flu ssigkeitsmenge an.

Der durch alle Quellen und Senken im Innern von B entstehende Flu ssigkeitsu berschuß

(Bereichsintegral ) ist gleich dem Unterschied zwischen der durch F herein– bzw. hinaus-

stromenden Flu ssigkeitsmenge (Oberflachenintegral ).

12.3 Integralsatze 163

Integralsatz von STOKES

Es sei F eine stu ckweise glatte, orientierte Flache mit stu ckweise glatter,bezu glich F positiv orientierter Randkurve K.

Ist ~v : IR3 → IR3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld,so gilt: ∫

Frot~v d~F =

∮

K

~v d~x.

dabei ist d~F vektorielles Flachenelement Seite 160 ,d~x vektorielles Bogenelement Seite 159. F

K

~t

~n

Oder:∫

F(rot~v · ~n) dF =

∮

K

(~v · ~t ) ds.

dabei ist ~n Einheitsnormalenvektor von F~t Tangenteneinheitsvektor von K

Der Fluß des Rotors durch die Flache ist gleich der Zirkulation langs des Randes.

GREENsche Formeln

Es sei V ⊆ IR3 ein raumlicher Bereich, der von einer stu ckweise glatten, nachaußen orientierten Flache F berandet wird.Sind die reellen Funktionen f, g : IR3 → IR genu gend differenzierbar, so gilt:

1

∫

F(f gradg) d~F =

∫

V(gradf · gradg + f div gradg) dV .

Mit Nablaoperator ∇ und Laplaceoperator ∆ lautet diese Formel:

1∗∫

Ff∇g d~F =

∫

V(∇f∇g + f∆g) dV .

Vertauschen von f und g und Differenzbildung ergibt:

2

∫

F(f∇g − g∇f) d~F =

∫

V(f∆g − g∆f) dV .

Bezeichnet ~n das außere Einheitsnormalenfeld, so ist d ~F = ~n dF und

∇f ~n =∂f∂~n

= gradf · ~n, ∇g ~n =∂g∂~n

= grad g · ~n (Richtungsableitungen), also

2∗∫

F

(f∂g∂~n − g

∂f∂~n

)dF =

∫

V(f∆g − g∆f) dV .

Fur f = 1 folgt aus 2

3

∫

Fgrad g · d~F =

∫

V∆g dV .

164 13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

13 Differentialgleichungen

13.1 Kurvenschar, Existenz– und Eindeutigkeitssatz

Differentialgleichungen und Kurvenscharen

Die Losungsgesamtheit einer DGL ist im allgemeinen eine Kurvenschar.

Umgekehrt lasst sich zu gegebener Kurvenschar moglicherweise eine DGL angeben,deren Losungsgesamtheit die Schar enthalt.

DGL einer Kurvenschar(1) Die Kurvenschar wird mittels eines Scharparameters c beschrieben,

z.B. in der Form: F (x, y, c) = 0.

(2) Differentiation nach x liefert eine zweite Gleichung.

(3) Elimination von c ergibt eine DGL fur die Kurvenschar.

(Die Losungsgesamtheit der DGL ist im allgemeinen umfassenderals die gegebene Kurvenschar.)

Hangt die Schar von mehreren Parametern ab, wird entsprechend oft differenziert.

Orthogonale Trajektorien einer Kurvenschar F (x, y, c) = 0

(1) Man bestimmt die DGL der Kurvenschar,

(2) y′ wird durch − 1y′ ersetzt,

(3) Losungen dieser neuen DGL sind die orthogonalen Trajektorien.

Isogonale Trajektorien zu F (x, y, c) = 0 mit Schnittwinkel α

(1) Man bestimmt die DGL der Kurvenschar,

(2) y′ wird durchy′−tanα

1+y′ tanα ersetzt,

(3) Losungen dieser neuen DGL sind die isogonalen Trajektorien.

Beispiele • Man bestimme die DGL der Kurvenschar der Ursprungsgeraden.

(1) Gleichung der Kurvenschar (Geraden durch den Ursprung): y = cx, c ∈ IR.

(2) Differentiation liefert y′ = c.

(3) Elimination von c, DGL der Kurvenschar: y = y′x (hom. lin. DGL 1.Ordnung)

• Man bestimme die isogonalen Trajektorien (α =π4) zur Schar der Ursprungsgeraden.

(1) DGL der Kurvenschar: y = y′x.

(2) y′ durchy′−11+y′

ersetzt: y =y′−11+y′

x , DGL der Trajektorien: y′ =x+yx−y

(3) Losung der DGL y′ =x+yx−y (z.B. Seite 166 als Ahnlichkeits–DGL y′ =

1+y/x1−y/x ).

Vorteilhaft benutzt man hier Polarkoordinaten (siehe Seite 90, 128):


und y′ =yx

=r sinϕ+r cosϕr cosϕ−r sinϕ

.

Einsetzen fuhrt auf die hom. lineare DGL 1.Ord. r = r

mit den Losungen r = c eϕ, c ∈ IR (logarithmische Spiralen, Seite 132).

13.2 Spezielle Typen von DGLn 1. Ordnung 165

Die Anfangswertaufgabe (AWA)

y′ = f(x, y), y(x0) = y0

f(x, y) sei stetig auf dem Rechteck R = (x, y)∣∣|x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b.

Es sei M := max|f(x, y)|∣∣(x, y) ∈ R (Maximum von |f | auf R).

Existenzsatz von Peano

Dann existiert eine Losung der AWA mindestens im Intervall

I = [x0 − α, x0 + α], wenn α := mina, bM ist.

Eindeutigkeitssatz

Genugt f in R einer Lipschitzbedingung

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2| fur (x, y1), (x, y2) ∈ R,

so ist die Losung y(x) der AWA eindeutig bestimmt und lasst sich iterativ mitfolgendem Verfahren gewinnen:

Iterationsverfahren von Picard–Lindeloff

y = u0(x) verlaufe in R (z.B. u0(x) = y0 )

un+1(x) := y0 +

∫ x

x0

f(t, un(t)) dt , fur n ∈ IN.

Fehlerabschatzung |y(x)− un(x)| ≤ (αL)n

n ! eαL ·maxx∈I |u1(x) − u0(x)|.

13.2 Spezielle Typen von DGLn 1. Ordnung

p(x, y)+q(x, y) · y′ = 0 bzw. p(x, y) dx+q(x, y) dy = 0 Exakte DGL

Diese DGL heißt exakt, falls es eine stetig diff-bare Funktion F (x, y) gibt mit

Fx(x, y) = p(x, y) und Fy(x, y) = q(x, y).

F heißt Stammfunktion.Die Losungen der DGL sind dann implizit durch F (x, y) = c, c ∈ IR gegeben(Niveaulinien von F ).

Sind p = p(x, y) und q = q(x, y) in dem einfach zusammenhangenden Gebiet Gstetig differenzierbare Funktionen, so gilt:

p(x, y) dx + q(x, y) dy = 0 ist exakt ⇐⇒ py = qx.

Eine Stammfunktion F gewinnt man z.B. durch Integration ausFx = pFy = q

.

Die durch den Punkt (x0, y0) verlaufende Losung ist gegeben durch:

F (x, y) =

∫ x

x0

p(t, y) dt+

∫ y

y0q(x0, t) dt = 0


Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator)

µ = µ(x, y) heißt integrierender Faktor der DGL p(x, y) dx+ q(x, y) dy = 0 ,

falls (p · µ) dx+ (q · µ) dy = 0 eine exakte DGL ist.

Bedingung fur µ: py · µ+ p · µy = qx · µ+ q · µx.Ansatz Bedingung fur µ

µ = µ(x)µ′

µ =py−qxq hangt nur von x ab!

µ = µ(y)µ′

µ =qx−pyp hangt nur von y ab!

µ = µ(x · y) µ′

µ=qx−pyxp−yq hangt nur von xy ab!

µ = µ(x + y)µ′

µ =qx−pyp−q hangt nur von x+ y ab!

y′ = f(x)g(y) Trennung der Veranderlichen (TdV)

Die Losungsgesamtheit besteht aus allen

(1) Geraden y = y0, falls y0 eine Nullstelle der Funktion g(y) ist.

(2) Funktionen y = y(x), die sich aus∫

dyg(y)

=

∫

f(x) dx, g(y) 6= 0 in impliziter Form ergeben.

Die durch den Punkt (x0, y0) verlaufendeLosung ist gegeben durch:

∫ y

y0

dtg(t) =

∫ x

x0

f(t) dt

Auf eine DGL vom Typ y′ = f(x)g(y) (TdV) lassen sich zuruckfuhren:

y′ = f(yx

) Ahnlichkeits–DGL oder homogene DGL

Ansatz: z(x) =y(x)x

, dann ist y = zx und y′ = z′x+ z.

y′ = f(ax+ by + c) Ansatz: z(x) = ax+ b y(x) + c, z′ = a+ by′.

y′ = f( ax+by+ca′x+b′y+c′

) Man betrachte die GeradenG1 : ax+ by + c = 0 und G2 : a′x+ b′y + c′ = 0.

Fall 1: G1 und G2 haben den Schnittpunkt (x0, y0):

Transformation ξ = x−x0, η = y−y0, y′ =dηdξ ergibt Ahnlichkeits–DGL:

dηdξ = f

(ηξ

).

Fall 2: G1 und G2 sind parallel. Division fuhrt auf den Typ y′ = f(ax+ by + c).

Haufig benutzt man vorteilhaft Polarkoordinaten (Seite 90, 128):


y′ =yx =

r sinϕ+r cosϕr cosϕ−r sinϕ siehe Beispiel Seite 164.

13.3 Die lineare DGL 1.Ordnung 167

13.3 Die lineare DGL 1.Ordnung

y′ + a(x)y = r(x) Lineare DGL 1.Ordnung

Die Gesamtlosung ist y = yS + yH . Dabei ist

yH die Gesamtlosung der homogenen DGL y′ + a(x)y = 0

yS eine (spezielle) Losung der inhomogenen DGL y′ + a(x)y = r(x)

H Berechnung von yH

(1) Raten einer Losung y1 6≡ 0 oder(2) Formel: yH = c e−A(x), wobei A(x) =

∫a(x) dx oder

(3) Berechnung einer Losung y1 mittels T.d.V.

Stets hat yH die Form yH = c · y1, c ∈ IR

I Berechnung von yS

(1) Raten einer Losung.(2) Formel: yS = e−A(x) ·

∫r(x) eA(x)dx, wobei A(x) =

∫a(x) dx

(3) Berechnung mittels ”Variation der Konstanten”:

Der Ansatz y(x) = c(x) · y1 fuhrt auf c′(x) = r(x) eA(x),wobei y1 eine Losung der hom. DGL ist.c(x) ergibt sich dann durch Integration.

Um die AWA y′ + a(x)y = r(x), y(x0) = y0 zu losen, wird die Integrationskon-

stante c durch Einsetzen der Anfangsbedingung angepasst oder man benutzt dieFormel

y(x) = e−A(x)

∫ x

x0

r(t) eA(t) dt+ y0 e−A(x) mit A(x) =

∫ x

x0

a(t) dt.

13.4 Spezielle Typen

Auf eine lineare DGL 1.Ordung lassen sich zuruckfuhren:

y′ + f(x)y = r(x) · ya, (a 6= 0, 1) Bernoulli–DGL

Subst.:u = y1−a

u′ = (1− a)y−ay′ ergibt lin. DGL u′ + (1− a)f(x)u = (1− a)r(x)

y′ + f(x)y = r(x) + g(x)y2 Riccati–DGLVoraussetzung:Eine Losung v(x) ist bekannt!

Subst.:y = v +

1u

y′ = v′ − u′

u2

ergibt lin. DGL u′ + (2vg − f)u = −g


y = xy′ + g(y′) Clairautsche DGL

Losung: (a) y = cx+ g(c) Geradenschar

(b)

(xy

)

=

(−g′(t)

−tg′(t) + g(t)

)

Einhullende der Geradenschar.

y = xf(y′) + g(y′) d’Alembertsche DGL

Losung: (a) fur f(c) = c erhalt man die Geraden y = f(c)x+ g(c).

(b) Differenzieren und y′ = t, y′′ =dtdx ergibt:

dxdt +

f ′(t)f(t)−tx = − g′(t)

f(t)−t , eine lin. DGL 1.Ord. fur x(t).

Dann ist y(t) = f(t)x(t) + g(t).

spezielle Typen

x = g(y′)

Typ ”ohne ” ySubst.: y′ = t =⇒

Losung in Parameterform:

x = g(t) und y =

∫

tg′(t) dt

y = g(y′)

Typ ”ohne ” xSubst.: y′ = t =⇒

Losung in Parameterform:

x =

∫g′(t)t dt und y = g(t)

ggf. ist y = g(0) eine spez. Lsg.

y′′ = f(x, y′)

Typ ”ohne ” ySubst.: z = y′, z′ = y′′

y′′ = f(y, y′)

Typ ”ohne ” xSubst. y′ = t liefert die Losung in Parameterdarstellung:

x = ϕ(t)y = ψ(t)

, dabei ist

(1) ψ(t) =t

f(ψ(t),t)DGL fur ψ(t)

(2) ϕ(t) =

∫dt

f(ψ(t),t)

y′′ = f(y)

Typ ”ohne ” x, y′Multiplikation mit 2y′ und Integration:

(y′)2 = 2F (y), wobei F ′ = f ist.

13.5 Die lineare DGL n–ter Ordnung

Lineare Unabhangigkeit von Funktionen

Die Funktionen f1, . . . , fn heißen linear unabhangig auf I, wenn sich die Nullfunk-tion nur ”trivial” als Linearkombination von ihnen darstellen lasst, wenn

c1f1(x) + · · ·+ cnfn(x) ≡ 0 auf I =⇒ c1 = · · · = cn = 0.

13.5 Die lineare DGL n–ter Ordnung 169

Lineare DGL n–ter Ordnung

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = r(x)


yH die Gesamtlosung der homogenen DGL

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y

′ + a0(x)y = 0

yS eine (spezielle) Losung der inhomogenen DGL

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y

′ + a0(x)y = r(x)

H Die Berechnung von yH ist in Spezialfallen moglich:

(1) n = 1 (Seite 167) oder(2) konstante Koeffizienten ak(x) = ak ∈ IR (Seite 171) oder(3) Eulersche DGL: ak(x) = akx

k mit ak ∈ IR(4) andernfalls: Spezielle Ansatze (z.B. Potenzreihen (Seite 174) )(5) oder d’Alembertsches Reduktionsverfahren (Seite 170)

Stets hat yH die Form yH = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn, ck ∈ IR, wobeiy1, y2, . . . , yn ein Fundamentalsystem der homogenen DGL ist.

Die Losungsgesamtheit der hom. DGL ist ein n– dimensionaler Vektorraum.

I Berechnung von yS

(1) Variation der Konstanten (VDK) (geht immer!)

(2) evtl. spezieller Ansatz bei konstanten Koeffizienten (Seite 172)

Inhomogene DGL: Variation der Konstanten

Ist yH = c1y1 + · · · + cnyn Gesamtlosung der homogenen DGL, dann besitzt die

inhomogene DGL eine spezielle Losung der Form yS = c1(x)y1 + · · ·+ cn(x)yn

Die Ableitungen der Koeffizienten–

funktionen c′1(x), . . . , c′n(x)

bestimmt man aus dem LGS:

c′1 c′2 · · · c′n r. S.y1 y2 · · · yn 0...

......

...y(n−1)1 y

(n−1)2 · · · y

(n−1)n r(x)

c1, . . . , cn erhalt man anschließend durch Integration. Formelmaßige Darstellung:

yS(x) =

n∑

k=1

( ∫ x

x0

Wk(t)W (t) dt

)

yk(x)

Dabei ist W (t) die Wronski–Determinante von y1, . . . , yn und Wk(t) entstehtaus W (t), indem die k–te Spalte durch (0, 0, . . . , 0, r(t))⊤ ersetzt wird.

Speziell fur n = 2 gilt mit W (t) = y1 · y′2 − y2 · y′1

yS(x) = −∫ x

x0

r(t)y2(t)W (t) dt · y1(x) +

∫ x

x0

r(t)y1(t)W (t) dt · y2(x)


d’Alembertsches Reduktionsverfahren

y1 sei eine Losung der homogenen linearen DGL n–ter Ordnung

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y

′ + a0(x)y = 0

Der Produktansatz y(x) = y1(x) · u(x) fuhrt nach der Substitution z = u′ auf

eine reduzierte homogene lineare DGL (n− 1)–ter Ordnung fur z.

Ist z eine Losung der reduzierten DGL, so ist y2(x) = y1(x)∫z(x) dx,

also y2 = y1u eine von y1 linear unabhangige Losung der ursprunglichen DGL.

Speziell fur n = 2: Ist y1 eine Losung von y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0, dann ist

y2(x) = y1(x)

∫1

y21(x)

e−∫a1(x) dx dx und

y = c1y1 + c2y2 die Gesamtlosung der DGL.

Wronski–Determinante

Sind f1, . . . , fn auf dem Intervall I (n− 1)–mal differenzierbar, so heißt

W (x) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f1(x) · · · fn(x)f ′1(x) · · · f ′

n(x)...

...

f(n−1)1 (x) · · · f

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

die Wronski–Determinante

von f1, . . . , fn.

Ist W (x1) 6= 0 fur eine Stelle x1 ∈ I, so sind f1, . . . , fn lin. unabhangig auf I

Die Umkehrung ist i. allg. falsch! Die Umkehrung gilt jedoch, wenn die n FunktionenLosungen einer hom. lin. DGL n–ter Ordnung sind:

Wronski–Determinante der Losungen einer hom. linearen DGL

Sind y1, . . . , yn auf I Losungen der homogenen linearen DGL

(H) y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y

′ + a0(x)y = 0,

so sind folgende Aussagen aquivalent:

(1) y1, . . . , yn sind auf I linear unabhangig, das heißt,sie bilden auf I ein Fundamentalsystem (eine Losungsbasis) von (H).

(2) Es ist W (x) 6= 0 fur ein (und damit fur jedes ) x ∈ I.Die Wronski–Determinante W (x) genugt der DGL

W ′(x) = −an−1 ·W (x) , so daß (Liouvillesche Gleichung)

W (x) = W (x0) · exp( ∫ x

x0

− an−1(t) dt)

ist fur ein x0 ∈ I.

13.6 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 171

13.6 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten

Homogene lineare DGL n–ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y′ + a0y = 0, ak ∈ IR

H Gesamtlosung: yH = c1y1 + · · ·+ cnyn, ck ∈ IR

Dabei sind y1, . . . , yn n linear unabhangige Funktionen,man nennt sie ein Fundamentalsystem oder Basislosungen.

Der Ansatz y = eλx fuhrt auf die charakteristische Gleichung

λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.

Jede k–fache Losung der char. Gleich. liefert k lin. unabh. Losungen der DGL:

Losungen der char. Gleich. Basislosungen der DGL

λ 1–fach reell eλx

λ k–fach reell eλx, x eλx, . . . , xk−1 eλx,

λ = a± bi 1–fach kompl.eax cos bxeax sin bx

λ = a± bi k–fach kompl.eax cos bx, x eax cos bx, . . . xk−1 eax cos bxeax sin bx, x eax sin bx, . . . xk−1 eax sin bx

Beispiele Losungen der charakteristischen Gleichung und Basislosungen:

Losungen derchar. Gleichung

Basislosungen der homogenen DGL

1, −2, 3 ex, e−2x, e3x

0,√

3 , 1 +√

2 1, e√

3 x, e(1+√

2 )x

0, 0, 2, 2, 2, 1, x, e2x, x e2x, x2 e2x

1, 2± 3i ex, e2x cos 3x, e2x sin 3x1± 2i, 1± 2i ex cos 2x, ex sin 2x, x ex cos 2x, x ex sin 2x0, 0, 0, ±i,±i,±i 1, x, x2, cosx, sinx, x cos x, x sinx, x2 cosx, x2 sinx

Homogene Eulersche DGL

xny(n) + an−1xn−1y(n−1) + · · ·+ a1xy′ + a0y = 0 mit x > 0, ak ∈ IR

Die Subst.: x = et, u(t) = y( et) fuhrt die DGL in eine homogene lineare DGL mitkonstanten Koeffizienten uber. Mit der Kettenregel berechnet man z.B.

x · y′ = u x3 · y′′′ = ˙u− 3u+ 2u

x2 · y′′ = u− u x4 · y′′′′ = ¨u− 6 ˙u+ 11u− 6u

Ein weiterer Losungsweg wird im HM Seite 457 beschrieben.


Inhomogene lineare DGL n–ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y′ + a0y = r(x), ak ∈ IR

Gesamtlosung: y = yS + yH r(x) heißt Storfunktion.

H Gesamtlosung yH der hom. DGL siehe vorige Seite.

I Berechnung einer speziellen Losung yS der inhom. DGL:

(1) Variation der Konstanten (Seite 169)(2) Spezieller Ansatz bei bestimmten Storfunktionen (ist einfacher)

evtl. Superposition.

spezieller Ansatz

Ist die Storfunktion vom Typ r(x) = P (x) eax cos bx+Q(x) eax sin bx

wobei a, b reelle Zahlen und P,Q Polynome sind, macht man den Ansatz:

(a) Normalfall (keine Resonanz: a± bi nicht Losungen der char. Gleichung):

yS = P1(x) eax cos bx+Q1(x) eax sin bx Normalansatz

Dabei sind P1(x), Q1(x) Polynome mit unbestimmten Koeffizienten mit

GradP1 = GradQ1 = maxGradP,GradQ; P,Q Polynome der Storfunktion!

(b) Resonanzfall (a± bi sind k–fache Losungen der char. Gleichung):

Man multipliziert den Normalansatz mit xk.

Superposition

Ist r(x) Summe von Funktionen, fur die man spezielle Ansatze hat, ist der Ansatzdie Summe der speziellen Ansatze (ggf. Resonanz beachten!).

Beispiele Spezielle Storfunktionen und Ansatze, Normalfall:

Storfunktion a+ bi Normalansatz yS (wenn keine Resonanz vorliegt)x2 + 1 0 Ax2 +Bx+ C3x e2x 2 (Ax +B) e2x

4 sin 2x 2i A sin 2x+B cos 2xx e2x sin 3x 2 + 3i (Ax +B) e2x cos 3x+ (Cx +D) e2x sin 3x

Beispiele Spezielle Storfunktionen und Ansatze, Resonanzfall:

Storfunktion a+ biLosungenchar. Gl.

Ansatz yS (Normalansatz × xk)

x2 + 1 0 0, 0, 1 x2(Ax2 +Bx+ C)3x e2x 2 0, 1, 2 x(Ax +B) e2x

4 sin 2x 2i ±2i x(A sin 2x+B cos 2x)x e2x sin 3x 2 + 3i 0, 3, 2± 3i x(Ax +B) e2x cos 3x+ x(Cx +D) e2x sin 3x

Beispiele Superposition:

Storfunktion r(x)r(x) = r1(x) + r2(x)

a1 + b1ia2 + b2i

Losungenchar. Gl.

Ansatz yS = y1 + y2

x+ sinx 0i 0, 0, 1 x2(Ax +B) +D sinx+ E cosx

coshx = 12( ex + e−x) ±1 1, 2, 3 Ax ex +B e−x

13.6 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 173

Schwingungs–DGL (lin. DGL 2. Ord. mit konst. Koeffizienten)

y′′ + 2ky′ + ω20y = r(x) mit k ≥ 0, ω0 > 0


yH die Gesamtlosung der homogenen DGL y′′ + 2ky′ + ω20y = 0

yS eine (spezielle) Losung der inhomogenen DGL y′′ + 2ky′ + ω20y = r(x)

Charakterist. Gleichung: λ2 + 2kλ+ ω20 = 0 =⇒ Losungen λ1,2 = −k ±

√

k2−ω20

H Gesamtlosung yH der homogenen DGL y′′ + 2ky′ + ω20y = 0

k > ω0 Starke Dampfung (Kriechfall) λ1,2 reell, verschieden.yH = c1 eλ1x + c2 eλ2x mit c1,2 ∈ IR

k = ω0 Aperiodischer Grenzfall, λ1 = λ2 = −k.yH = (c1 + c2x) e−kx mit c1,2 ∈ IR

k < ω0 Schwache Dampfung, λ1,2 konjugiert komplexe Losungen:

λ1,2 = −k ± i√

ω20 − k2 . Abkurzung ω1 :=

√

ω20 − k2

yH = (c1 cosω1x+ c2 sinω1x) e−kx mit c1,2 ∈ IR

= A e−kx sin(ω1x+ ϕ) mit A =√

c21 + c22 , tanϕ = c1c2

I Eine spezielle Losung yS der inhomogenen DGL y′′ + 2ky′ + ω20y = r(x)

k > ω0 Starke Dampfung (Kriechfall), Abkurzung a :=√

k2 − ω20

yS =1a

∫ x

x0

e−k(x−t) sinh a(x− t)r(t) dt

k = ω0 Aperiodischer Grenzfall.

yS =

∫ x

x0

(x− t) e−k(x−t)r(t) dt

k < ω0 Schwache Dampfung, Abkurzung ω1 :=√

ω20 − k2

yS =1ω1

∫ x

x0

e−k(x−t) sinhω1(x− t)r(t) dt

Kosinuserregte Schwingung y′′ + 2ky′ + ω20y = F cos ωx, F ∈ IR

k = 0 ungedampfter harmonischer Oszillator

ω 6= ω0 keine Resonanz y = c1 cosω0x+ c2 sinω0x+ Fω2

0−ω2 cosωx

ω = ω0 Resonanzfall y = c1 cosω0x+ c2 sinω0x+ F2ω0

x sinω0x

k > 0 gedampfter harmonischer Oszillator

y = e−kt(c1 cosω1x+ c2 sinω1x) + F√(ω2

0−ω2)2+4k2ω2sin(ωx+ ϕ)


Potenzreihenansatz

Ist eine Losung einer DGL (AWA) in eine Potenzreihe entwickelbar, erhalt mandie Koeffizienten auf folgende beiden Arten (ausfuhrliche Beispiele HM, 458 ff.):

(1) Einsetzen von y =∞∑

k = 0

ak(x− x0)k, y′ =

∞∑

k = 1

kak(x − x0)k−1 usw.

in die DGL, Zusammenfassen und Koeffizientenvergleich.

(2) Wiederholtes Differenzieren der DGL und Benutzung von ak =1k!y

(k)(x0).

Spezielle DGLn 2.Ordnung

(1) Mit dem Potenzreihenansatz∞∑

k = 0

ckxk behandelt man z.B. die folg. DGLn

y′′ − xy = 0 Airysche Dgl.

y′′ − 2xy′ + λy = 0 Hermitesche Dgl.

(1− x2)y′′ − 2xy′ + λ(λ + 1)y = 0 Legendresche Dgl.

(1− x2)y′′ − xy′ + λ2y = 0 Tschebyscheffsche Dgl.

xy′′ + (1− x)y′ + λy = 0 Laguerresche Dgl.

(2) Methode von Frobenius:

Mit einem Reihenansatz der Form∞∑

k = 0

ckxr+k = xr

∞∑

k = 0

ckxk behandelt man die

DGL: x2y′′ + xa(x)y′ + b(x)y = 0 mit a(x) =∞∑

k = 0

akxk, b(x) =

∞∑

k = 0

bkxk.

[Beispiel: x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0 Besselsche DGL der Ordnung n

]

r ergibt sich aus der Indexgleichung r(r − 1) + a0r + b0 = 0, Losungen: r1, r2

Rekursionsformel fur die Koeffizienten cn:[(r + n)(r + n− 1) + a0(r + n) + b0

]cn = −

n− 1∑

k = 0

[an−k(r + k) + bn−k

]ck

r1 − r2keine ganze Zahl

Basislosung: y1 = xr1∞∑

k = 0

ckxk und y2 = xr2

∞∑

k = 0

dkxk.

r1 − r2ganze Zahl 6= 0

Basislosung:

y1 = xr1∞∑

k = 0

ckxk c0 6= 0

y2 = ay1(x) ln x+ xr2∞∑

k = 0

dkxk d0 6= 0, a ∈ IR

r1 = r2 Basislosung:

y1 = xr1∞∑

k = 0

ckxk c0 6= 0

y2 = y1(x) ln x+ xr1∞∑

k = 0

dkxk

13.7 Systeme von DGLn 175

13.7 Systeme von DGLn

Systeme von DGLn

aquivalenz einer DGL n–ter Ordnung mit einem System 1–ter Ordnung

Die DGL n–ter Ordnung

y(n) = f(x, y′, . . . , y(n−1)) y(x0) = η0, y′(x0) = η1, . . . , y

(n−1)(x0) = ηn−1

ist aquivalent zum System von n DGLn 1–ter Ordnung:

~y ′ = ~f(x, ~y) mit ~y(x0) = ~y0. Dabei ist:

~y =

y1y2...yn

=

yy′

...

y(n−1)

, ~f(x, ~y) =

y2y3...

f(x, y1, . . . , yn)

, ~y0 =

η0η1...

ηn−1

Picard–Lindeloffsches Iterationsverfahren

fur Systeme ~y ′ = ~f(x, ~y) mit ~y(x0) = ~y0 ~yn+1(x) = ~y0 +

∫ x

x0

~f(t, ~yn(t)

)dt

Beispiel Zu der AWA y′′′ = y′′ · y′ − (y − x)2 mit y(0) = 1, y′(0) = 2, y′′(0) = 1stelle man ein aquivalentes System von 3 DGLn 1–ter Ordnung auf undfuhre die ersten drei Schritte des Iterationsverfahrens durch.

y1 = yy2 = y′

y3 = y′′=⇒

y′1 = y2y′2 = y3y′3 = y3 · y2 − (y1 − x)2

=⇒ ~f(x, y1, y2, y3) =

y2y3

y3y2 − (y1−x)2

Das aquivalente System ist ~y ′ = ~f(x, ~y) mit ~y(0) =

121

.

Das Picard–Lindeloffsche Iterationsverfahren ergibt:

~y0 =

121

, ~y1 =

121

+

∫ x

0

21

2− (1− t)2

dt =

1 + 2x2 + x

1 + x+ x2 − 13x3

,

~y2 =

121

+

∫x

0

2 + t

1 + t+ t2 − 13t3

1+t+2t2+13t3− 1

3t4

dt =

1 + 2x+12x2

2 + x+12x2 +

13x3 − 1

12x4

1 + x+12x2 +

23x3 +

112x4 − 1

15x5

Bezeichnet ϕi(x) die 1. Koordinate von ~yi, so konvergiert die Folge (ϕi) gegen die Losung

der gegebenen AWA. Hier ergibt sich ϕ2(x) = 1 + 2x+12x2 als Naherungslosung.

(Dass die Potenzreihenentwicklung der Losung so beginnt, folgt unmittelbar aus den An-

fangsbedingungen!) Losung ist hier y = x+ ex.


~y ′ + A(x)~y = ~r(x) Lineares DGL–System 1.Ordnung

Die Gesamtlosung ist ~y = ~yS + ~yH . Dabei ist

~yH die Gesamtlosung der homogenen DGL ~y ′ +A(x)~y = ~o

~yS eine (spezielle) Losung der inhomogenen DGL ~y ′ +A(x)~y = ~r(x)

H Berechnung von ~yH in Spezialfallen moglich:

(1) konstante Koeffizientenmatrix A(x) = A (Seite 178)

(2) Spezielle Ansatze

(3) formale Darstellung mittels der Matrixexponentialfunktion:

~yH = e−B(x)~c mit B(x) =

∫

A(x) dx , falls A · A′ = A′ ·A.

(4) d’Alembertsches Reduktionsverfahren (Seite 177)

Stets hat ~yH die Form ~yH = c1~y1 + c2~y2 + · · ·+ cn~yn, ck ∈ IR, wobei~y1, ~y2, . . . , ~yn ein Fundamentalsystem der homogenen DGL ist.Die Losungsgesamtheit der hom. DGL ist ein n– dimensionaler Vektorraum.

Matrizenschreibweise:

Man fasst n Losungen zu einer Losungsmatrix Y = (~y1, . . . , ~yn) zusammen.

Mit ~c =

c1...cn

gilt dann: ~yH = (~y1, . . . , ~yn) ·

c1...cn

= Y · ~c.

Y genugt der Matrix–DGL Y ′ +AY = O

I Berechnung von ~yS

(1) Variation der Konstanten (Seite 177)(2) evtl. spezieller Ansatz bei konstanten Koeffizienten (S. 178)(3) formale Darstellung mittels der Matrixexponentialfunktion:

~yS = e−B(x) ·∫ x

x0

eB(t) · ~r(t) dt mit B(x) =

∫ x

x0

A(t) dt

Wronski–Determinante der Losungen eines hom. linearen Systems

Sind ~y1, . . . , ~yn Losungen des hom. DGL–Systems ~y ′ +A(x) ~y = ~o , so heißt

die Determinante der Losungsmatrix Y = (~y1, . . . , ~yn)

Wronski–Determinante: W (x) = detY (x)

Die beiden folgenden Aussagen sind aquivalent:

(1) ~y1, . . . , ~yn sind linear unabhangig, also Basislosung der hom. DGL

(2) Es ist W (x) 6= 0 fur ein (und damit fur jedes) x ∈ I.Die Wronski–Determinante W (x) genugt der DGL

W ′(x) = spur(A(x)

)·W (x) , so daß (Liouvillesche Gleichung)

W (x) = W (x0) · exp(∫ x

x0

spur(A(t)

)dt)

ist fur ein x0 ∈ I.

13.7 Systeme von DGLn 177

d’Alembertsches Reduktionsverfahren fur Systeme

~y ′ = A(x)~y homogenes lineares DGL–System 1.Ordnung

(1) ~y1 sei eine Losung.

(2) Ansatz ~y(x) = s(x)~y1(x) + ~z(x) mit

s(x) : reelle Funktion,~z(x) :=

(z1(x), z2(x), . . . , zn(x)

).

In ~z ist eine Koordinate als 0 zu wahlen, fur die die entsprechendeKoordinate bei ~y1 nicht verschwindet, also z.B. ~z = (0, z2, . . . , zn),falls y11(x) 6≡ 0 ist.

(3) Einsetzen von ~y in die DGL ergibt s′~y1 + ~z ′ = A~z.

Mittels der 1. Koordinate wird s′ in den ubrigen eliminiert und esbleibt ein reduziertes DGL–System 1.Ordnung fur (z2, . . . , zn).

Findet man eine Losung, bestimmt man s(x) durch Integration underhalt schließlich ~y2 = s~y1 + ~z, eine von ~y1 linear unabhangige Losung.

Inhomogenes lineares DGL–System : Variation der Konstanten

~y ′ = A(x)~y + ~r(x)

Ist die Gesamtlosung des homogenen Systems gegeben durch

~yH = c1~y1 + · · ·+ cn~yn = Y ·

c1...cn

,mit LosungsmatrixY = (~y1, . . . , ~yn)

so gibt es eine spezielle Losung des inhom. DGL–Systems von der Form

~yS = c1(x)~y1 + · · ·+ cn(x)~yn = Y ·

c1(x)...

cn(x)

Man ersetzt also die Konstanten c1, . . . , cn in ~yH durch Funktionen c1(x), . . . , cn(x).

Die Ableitungen der Koeff–funktionenc′1(x), . . . , c

′n(x)

bestimmt man aus dem LGS:Y ·

c′1...c′n

= ~r(x).

c1(x), . . . , cn(x) erhalt man dann durch Integration.

Formal: ~yS = Y (x) ·∫x

x0

Y −1(t) · ~r(t) dt wobei das Integralkomponentenweise zu nehmen ist.

Aus der Cramerschen Regel folgt die Formel: ~yS =

n∑

k=1

(∫ x

x0

Wk(t)W (t) dt

)~yk

dabei ist W (x) die Wronski–Determinante und Wk(x) entsteht aus W (x), indemdie k-te Spalte der Wronski–Matrix durch den Spaltenvektor ~r(x) ersetzt wird.


Lineares DGL–System mit konstanten Koeffizienten

~y ′ = A · ~y + ~r(x), A = (aij) konstante (n, n)–Matrix

Gesamtlosung: ~y = ~yS + ~yH . Dabei ist

~yH Gesamtlosung der homogenen DGL ~y ′ = A~y

~yS eine (spezielle) Losung der inhomogenen DGL ~y ′ = A~y + ~r(x)

H Berechnung von yH = c1~y1 + · · ·+ cn~yn:

Ansatz: ~y = ~c eλx fuhrt auf (A− λE)~c = ~0, char. Gleichung: |A− λE| = 0.

Ist λ ein k–facher Eigenwert von A, gibt es k zugehorige Basislosungen .

Fall 1: Der zu λ gehorige Eigenraum ist k–dimensional mitBasisvektoren ~c1, . . . ,~ck.

Basislosungen der hom. DGL sind ~c1 eλx, . . . ,~ck eλx.

Fall 2: Der zu λ gehorige Eigenraum ist nur ℓ–dimensional (ℓ < k) mitBasisvektoren ~c1, . . . ,~cℓ.

Die fehlenden k − ℓ Basislosungen erhalt man durch den Ansatz

~y =

p1(x)...

pn(x)

eλx, dabei sind p1, . . . , pn Polynome vom Grad k − ℓ.

Bei komplexem Eigenwert λ = a+bi rechnet man komplex und bestimmt schließlichReal– und Imaginarteil der komplexen Basislosungen.

I Berechnung von ~yS :

(1) Variation der Konst.: Ansatz ~yS = c1(x)~y1 + c2(x)~y2 + · · ·+ cn(x)~yn(2) spezieller Ansatz bei einer Storfunktion von der Form

~r(x) = ~P (x) eax cos bx+ ~Q(x) eax sin bx

Eliminationsmethode fur lineare DGL–Systeme

Mit dem Differentialoperator Df = f ′ schreibt sich das DGL–System

~y ′ = A · ~y + ~r(x) (A konstante Matrix) als ein lineares Gleichungssystem

(D ·E −A)~y = ~r(x) (E Einheitsmatrix).

Auf dieses LGS wird der Gaußsche Algorithmus angewendet, wobei D als konstan-ter Parameter behandelt wird. Schlußzeile ist eine Gleichung der Form

P (D)yk = F (x) , P ist ein Polynom in D.

Dies ist eine lineare DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeff. fur yk.

Beispiel: (2D2 − 3D + 5)y1 = x cos x bedeutet 2y′′1 − 3y′1 + 5y1 = x cosx

Nach Losen dieser DGL werden sukzessive die anderen Koordinatenfunktionen yiberechnet. Man beachte, dass nicht mehr als n Integrationskonstanten entstehen.Die Eliminationsmethode ist bei kleineren Systemen (n = 2, 3) schneller als dieEigenwertmethode. Auch ist sie auf allgemeinere lineare Systeme anwendbar!

179

14 Komplexe Zahlen und Funktionen

14.1 Komplexe Zahlen

Darstellungen komplexer Zahlen

i ist die Imaginare Einheit. Es gilt i2 = −1

z = x+ iy kartesische Darstellung

z = r(cosϕ+ i sinϕ) polare Darstellung

z = reiϕ Eulersche Darstellung x

y

z

ϕ

yr

1 x

i

iy

♦

ahnlich wie die reellen Zahlen durch Punkte auf der Zahlengeraden darstellbar sind,

lassen sich die komplexen Zahlen durch Punkte (Vektoren) der x, y–Ebene darstellen.

Der komplexen Zahl x+ iy entspricht dabei der Vektor (x, y).

Der Addition komplexer Zahlen entspricht die Vektoraddition.

Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl entspricht einer Drehstreckung.

x Realteily Imaginarteil

x, y heißen kartesische Koordinaten von z.

r Betragϕ Argument

r, ϕ heißen Polarkoordinaten von z.

eiϕ

1

ϕ

1

cosϕ

i sinϕ

i

Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

ei·0 = ei·2π = 1 , ei·π/2 = i , ei·π = −1 , ei·3π/2 = −i | eiϕ = ei(ϕ+2π)

Umformung

kartesische Koordinaten x, y ←→ Polarkoordinaten r, ϕ

x = r cosϕ

y = r sinϕ

r = |z| =√

x2 + y2

tanϕ =yx

Quadrantenbeachten!

ϕ

r

x

y

z = x+ iy = r(cosϕ+ i sinϕ) = reiϕ

konjugiert komplexe Zahl z

z = x+ iy ⇐⇒ z = x− iyz = reiϕ ⇐⇒ z = r e−iϕ

z geht aus z durch Spiegelung an der x–Achse hervor. x

y

ϕ−ϕ

r−iy

iy

x

z

z

Rechenregelnz + w = z + w

z · w = z · w( zw

)=

zw

z + z = 2x

z − z = 2iy

z · z = r2 = x2 + y2 = |z|2√z · z = r =

√

x2 + y2 = |z|

180 14 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN

Rechnen mit komplexen Zahlen

Multiplikation (kartesische Koordinaten)

z · w = (x + iy)(u+ iv) = (xu− yv) + i(xv + yu)

Klammern auflosen,i2 = −1 beachten!

Division (kartesische Koordinaten)

zw =

x+iyu+iv =

z·ww·w =

(x+iy)(u−iv)|w|2 =

xu+yv+i(yu−xv)u2+v2

Erweitern mitKonjugierter des Nenners!

Multiplikation (Polarform)

z · w = reiϕ · seiψ = rsei (ϕ+ψ)

= r(cosϕ+ i sinϕ) · s(cosψ + i sinψ)= rs

(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)

)

Betrage multiplizieren,Winkel addieren!

Division (Polarform)

zw =

reiϕ

seiψ =rs ei (ϕ−ψ)

=r(cosϕ+i sinϕ)s(cosψ+i sinψ)

=rs

(cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ)

)

Betrage dividieren,Winkel subtrahieren!

Potenzieren (Polarform), (n ∈ IR)

zn =(reiϕ

)n= rneinϕ

=(r(cosϕ+ i sinϕ)

)n= rn(cosnϕ+ i sinnϕ)

Betrag mit n potenzieren,Winkel mit n multiplizieren!

Radizieren (Polarform), (n = 2, 3, . . .)

n√z =n√reiϕ = n√r ei ϕ+k·2π

n (k = 0, 1, 2, . . . , n− 1)

= n√

r(cosϕ+ i sinϕ) = n√r(

cosϕ+k·2π

n+ i sin

ϕ+k·2πn

) Formel vonMoivre

speziellfur n = 2:

√z =

√reiϕ = ±√r ei ϕ

2 = ±√r (cosϕ2

+ i sinϕ2) Wurzel aus Betrag,

halber Winkel!

n–te Einheitswurzeln

sind die n Losungen von zn = 1. Sie bil–

den in der Gaußschen Zahlenebene ein

regelmaßiges n–Eck im Einheitskreis.

n√1 = eik·2πn , k = 0, . . . , n− 1

= cos k·2πn

+ i sin k·2πn

(ergibt n Wurzeln fur k = 0, . . . , n− 1)

n=6

z0 = 1

z1 =12( 1 +

√3 i)

z2 =12(−1 +

√3 i)

z3 = −1

z4 =12(−1−

√3 i)

z5 =12( 1−

√3 i)

6–te EinheitswurzelnLosungen von z6 − 1 = 0.

−1 1

iz1z2

z5z4

z0z3

−i

.

............................................................................................

.

............................................................................................

❯

.

............................................................................................

.

............................................................................................

14.1 Komplexe Zahlen 181

quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten

az2 + bz + c = 0

z1,2 =−b±√b2−4ac2a

z2 + pz + q = 0

z1,2 = −p2 ±√

p2

4− q

wobei√· · · eine 2-te Wurzel der komplexen Diskriminante

D = b2 − 4ac bzw. D =p2

4− q ist.

Polarkoordinaten: Berechnung des Arguments ϕ

Fur z = x+ iy 6= 0 hat man folgende Moglichkeiten,ϕ zwischen 0 und 2π eindeutig festzulegen:

x

y

z= x+iy

ϕ

yr

x

iy

(1) x 6= 0 =⇒ tanϕ =

yx

undQuadrantenbeachten.

x = 0 =⇒ ϕ =

π/2 fur y > 0

3π/2 fur y < 0.

(2) x 6= 0 =⇒ ϕ =

arctany/x fur x > 0 und y > 02π + arctany/x fur x > 0 und y < 0π + arctany/x fur x < 0.

x = 0 =⇒ ϕ =

π/2 fur y > 0

3π/2 fur y < 0.

(3) fur alle x =⇒ cosϕ = x/r und sinϕ = y/r.

Beispiel Man lose die quadratische Gleichung iz2 + (4− i)z − 5− 5i = 0.

z1,2 =−4+i±

√(4−i)2−4i(−5−5i)

2i=

−4+i±√−5+12i

2i∗)=

−4+i±(2+3i)2i

⇒z1 = 2 + i

z2 = −1 + 3i

∗) Berechnung von ±√−5 + 12i nach Moivre: Es ist −5 + 12i = 13(− 5

13+

1213i).

±√−5 + 12i = ±

√

| − 5 + 12i| (cos ϕ2

+ i sinϕ2) = ±

√13 (cos

ϕ2

+ i sinϕ2)

(i) Taschenrechner: Berechnung von ϕ aus tanϕ =12−5

, dann cosϕ2

und sinϕ2

:

tanϕ =12−5

=⇒ ϕ = −67.380 + 1800 = 112.620 (2. Quadrant !)

=⇒ ±√−5 + 12i = ±

√13(cos

112.620

2+ i sin

112.620

2

)= ±(2 + 3i).

(ii) Berechnung von cosϕ2

= ±√

12(1 + cosϕ) und sin

ϕ2

= ±√

12(1− cosϕ)

−5+12i = 13(− 5

13+

1213i)⇒ cosϕ = − 5

13, sinϕ =

1213⇒ cos

ϕ2

= +√

12

(1− 5

13

)=

2√13

sinϕ2

= +√

12

(1 +

513

)=

3√13

=⇒ ±√−5 + 12i = ±

√13( 2√

13+

3√13

i)

= ±(2 + 3i)


14.2 Komplexe Funktionen

Elementare komplexe Funktionen

Es gelten die aus dem Reellen bekannten Potenzreihendarstellungen :

ez =

∞∑

n=0

1n!z

n = 1 +11!z +

12!z

2 +13!z

3 + · · · z ∈ C

sin z =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+1)!z2n+1 = z − 1

3!z3 +

15!z

5 − 17!z

7 ± · · · z ∈ C

cos z =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!z2n = 1− 1

2!z2 +

14!z4 − 1

6!z6 ± · · · z ∈ C

sinh z =

∞∑

n=0

1(2n+1)!z

2n+1 = z +13!z

3 +15!z

5 +17!z

7 · · · z ∈ C

cosh z =∞∑

n=0

1(2n)!

z2n = 1 +12!z2 +

14!z4 +

16!z6 · · · z ∈ C

trigonometrische Funktionen Hyperbelfunktionen

tan z =sin zcos z

∣∣∣ cot z =

1tan z tanh z =

sinh zcosh z

∣∣∣ coth z =

1tanh z

cos2 z + sin2 z = 1 cosh2 z − sinh2 z = 1

sin z = −i sinh iz sin iz = i sinh z

cos z = cosh iz cos iz = cosh z

sinh z = −i sin iz sinh iz = i sin z

cosh z = cos iz cosh iz = cos z

Additionstheoreme

sin(z+w) = sin z cosw+cos z sinwcos(z+w) = cos z cosw−sin z sinw

sinh(z+w) = sinh z coshw+cosh z sinhwcosh(z+w) = cosh z coshw+sinh z sinhw

Darstellungen durch die Exponentialfunktion

sin z =eiz− e−iz

2i

cos z =eiz+ e−iz

2

tan z = −i eiz− e−iz

eiz+ e−iz

sinh z =ez− e−z

2

cosh z =ez+ e−z

2

tanh z =ez− e−z

ez+ e−z

Zerlegung in Real– und Imaginarteil

ex+iy = ex(cos y + i sin y)

sin(x+iy) = sinx cosh y+i cosx sinh y

cos(x+iy) = cosx cosh y−i sinx sinh y

tan(x+iy) =sin 2x+i sinh 2ycos 2x+cosh 2y

sinh(x+iy) = sinhx cos y+i coshx sin y

cosh(x+iy) = coshx cos y+i sinhx sin y

tanh(x+iy) =sinh 2x+i sin 2ycosh 2x+cos 2y

14.2 Komplexe Funktionen 183

Logarithmus , Arcus– und Areafunktionen

Die komplexe e–Funktion hat die Periode 2πi.

Zur Definition der Umkehrfunktion ln beschrankt man die Argumente auf einenPeriodenstreifen −π ≤ Im(z) < π (siehe auch HM Seite 112, 113).

Ist z = r eiϕ mit −π ≤ Im(z) < π, so ist ln z := ln r + ϕi.

Definitionsbereich von ln ist die ”gelochte Ebene” C \ 0Wertebereich von ln ist der Streifen −π ≤ Im(z) < π.

arcsin z = −i ln(iz +√

1− z2 ) arsinh z = ln(z +√z2 + 1 )

arccos z = −i ln(z +√z2 − 1 ) arcosh z = ln(z +

√z2 − 1 )

arctan z =12i ln

1+iz1−iz artanh z =

12 ln

1+z1−z

arccot z = − 12i ln

iz+1iz−1 arcoth z =

12 ln

z+1z−1

Komplexe Differenzierbarkeit

f ist in a differenzierbar, wenn limz→a

f(z)−f(a)z−a = f ′(a) existiert.

f ist in a holomorph, wenn f in einer Umgebung von a differenzierbar ist.

f ist in a analytisch, wenn f um a in eine Potenzreihe∞∑

n = 0

an(z − a)n mit

positivem Konvergenzradius entwickelbar ist. Es gilt dann :

an =f (n)(a)n!

f ist in a holomorph ⇐⇒ f ist in a analytisch

Es sei z = x+ iy und f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

f ist genau dann differenzierbar, wenn u und v stetige partielle Ableitungen besit-zen, die den Cauchy–Riemannschen–DGLn genugen:

Cauchy–Riemannsche–DGLn∂u∂x =

∂v∂y ,

∂u∂y = −∂v∂x

Beispielf :

IR2 −→ IR2

(x, y)−→ (x,−y) ist uberall differenzierbar!

Bei Deutung als komplexe Funktion f :

C−→ Cz −→ z

, also f(z) = z

ist u(x, y) = x und v(x, y) = −y und folglich∂u∂x

= 1 6= −1 =∂v∂y

,∂u∂y

= 0 = − ∂v∂x

.

Die Cauchy–R–DGLn sind nirgends erfullt, f ist also nirgends komplex differenzierbar.


Kurvenintegrale

Es sei z = x+ iy und f(z) = u(x, y) + i v(x, y).C : γ(t) = a(t) + i b(t), t ∈ [t0, t1] sei eine stuckweise glatte Kurve in C. Dann ist:∫

Cf(z) dz =

∫

C(u(x, y) + i v(x, y))(dx + idy)

=

∫

C

(u(x, y) dx− v(x, y) dy

)+ i

∫

C

(v(x, y) dx + u(x, y) dy

)

=

∫ t1

t0

[u(a(t), b(t)

)a′(t)− v

(a(t), b(t)

)b′(t)

]dt

+ i

∫ t1

t0

[v(a(t), b(t)

)a′(t) + u

(a(t), b(t)

)b′(t)

]dt

Beispiel: Man berechne

∫

Cz dz fur die Kurven

C1 : γ(t) = t+ it2, 0 ≤ t ≤ 1

C2 : γ(t) = t+ it, 0 ≤ t ≤ 1

∫

C1

f(z) dz =

∫

C1

(x− iy)(dx+ idy) =

∫

C1

(x dx+ y dy) + i

∫

C1

(−y dx+ x dy)

=

∫ 1

0(t+ 2t3) dt+ i

∫ 1

0(−t2 + 2t2) dt =

12

+12

+ i13

= 1 +13i.

∫

C2

f(z) dz =

∫

C2

(x− iy)(dx+ idy) =

∫

C2

(x dx+ y dy) + i

∫

C2

(−y dx+ x dy)

=

∫ 1

0(t+ t) dt+ i

∫ 1

0(−t+ t) dt = 1 + i0 = 1.

Cauchyscher Integralsatz und Satz von Morera

Ist G ein einfach zusammenhangendes beschranktes Gebiet, C eine stuckweise glat-te geschlossene Kurve in G und ist f in G holomorph , so gilt

∮

C

f(z) dz = 0.

Der Satz von Morera besagt die Umkehrung: Ist f in einem einfach zusam-menhangenden beschrankten Gebiet G stetig und gilt

∮

Cf(z) dz=0 fur jede stuck-

weise glatte geschlossene Kurve C in G, so ist f holomorph in G.

Cauchysche Integralformel

Ist G ein einfach zusammenhangendes beschranktes Gebiet, C eine stuckweiseglatte geschlossene doppelpunktfreie Kurve in G und ist f in G holomorph,

so gilt fur jeden Punkt z aus dem Innern von C f(z) =1

2πi

∮

C

f(w)w−z dw.

f ist in z beliebig oft differenzierbar und es gilt: f (n)(z) =n!2πi

∮

C

f(w)(w−z)n+1 dw.

14.2 Komplexe Funktionen 185

Laurentreihen und Singularitaten

Die Funktion f sei analytisch im Kreisring 0 ≤ r1 < |z − a| < r2.Dann ist f um a in eine Laurentreihe entwickelbar :

f(z) =∞∑

k=−∞ak(z − a)k =

∞∑

k=1

a−k(z−a)k +

∞∑

k=0

ak(z − a)k

Hauptteil regularer Teil (Potenzreihe)

Fur die Koeffizienten der Laurentreihe gilt ak =1

2πi

∮f(z)

(z−a)k+1 dz.

a heißt isolierte Singularitat von f , wenn f in einem Gebiet 0 < |z − a| < ǫdifferenzierbar ist.

Die isolierte Singularitat a der Funktion f heißt:

• hebbare Singularitat, falls der Hauptteil verschwindet (ak=0 fur alle k < 0).

• n–facher Pol, falls der Hauptteil endlich ist, also ak = 0 fur alle k < −n.

• wesentliche Singularitat ,falls der Hauptteil unendlich ist, also ak 6= 0 ist fur unendlich viele k < 0.

Residuen

a sei eine isolierte Singularitat von f und f(z) =

∞∑

k=−∞ak(z − a)k.

Das Residuum von f im Punkt aist der Koeffizient a−1 derLaurententwicklung von f um a:

Res(f, a) = a−1 = 12πi

∮

|z−a|=εf(z) dz

Residuensatz

Es sei K eine stuckweise glatte geschlossene Kurve in C und f sei analytischinnerhalb von K mit Ausnahme der isolierten Singularitaten a1, a2, . . . , an. Danngilt:

∮

K

f(z) dz = 2πi

n∑

k=1

Res(f, ak)

Berechnung des Residuums in Spezialfallen

(1) a Polstelle 1.Ordnung =⇒ Res(f, a) = limz→a

(z − a)f(z)

(2) f(z) =g(z)h(z) mit g(a) 6= 0, h(a) = 0, h′(a) 6= 0 =⇒ Res(f, a) =

g(a)h′(a)

(3) a Polstelle n.Ordnung =⇒ Res(f, a) =1

(n−1)! limz→a

dn−1

dzn−1

[(z − a)nf(z)

]

Beispiel Man berechne das Residuum von f(z) = tan z bei a =π2

und von g(z) =1

z2(z+1)bei b = 0.

Res(f, a) = Res(tan z,π2) = Res(

sin zcos z

,π2)

(2)=( sin z(cos z)′

)

z=π/2=

sinπ/2− sinπ/2

= −1, siehe (2).

Res(g, b) = Res(1

z2(z+1), 0)

(3)=

11!

limz→0

( 11+z

)′= lim

z→0

−1(1+z)2

= −1, siehe (3).

186 15 NUMERISCHE VERFAHREN

15 Numerische Verfahren

15.1 Normierte Raume

Normierte Raume

Wenn jedem Vektor ~x eines reellen Vektorraums V eine reelle Zahl ||~x|| zugeordnetist, so dass fur alle ~x, ~y ∈ V und alle α ∈ IR gelten

(1) ||~x|| ≥ 0 und(||~x|| = 0⇐⇒ ~x = ~o

)Definitheit

(2) ||α · ~x|| = |α| · ||~x|| Homogenitat

(3) ||~x + ~y|| ≤ ||~x||+ ||~y|| Dreiecksungleichung

so heißt || · || eine Norm auf V und (V, || · ||) ein normierter Raum.Mit einer Norm wird der Abstand zweier Vektoren ~x, ~y definiert als

d (~x, ~y) := ||~x− ~y||.

Pra–Hilbertraume

Wenn je zwei Vektoren ~x, ~y eines reellen Vektorraums V eine reelle Zahl 〈~x, ~y 〉zugeordnet ist, so dass fur alle ~x, ~y, ~z ∈ V und alle α ∈ IR gelten

(1) 〈~x, ~x 〉 ≥ 0 und(〈~x, ~x 〉 = 0⇐⇒ ~x = ~o

)Definitheit

(2) 〈~x, ~y 〉 = 〈~y, ~x 〉 Symmetrie

(3) 〈~x + α · ~z, ~y 〉 = 〈~x, ~y 〉+ α · 〈~z, ~y 〉 Linearitat

so heißt 〈·, · 〉 ein Skalarprodukt auf V und (V, 〈·, · 〉) ein Pra–Hilbertraum.

Ein Skalarprodukt erzeugt eine Norm gemaß

||~x|| :=√

〈~x, ~x 〉 .Zwei Vektoren ~x, ~y heißen orthogonal ⇐⇒ 〈~x, ~y 〉 = 0.

Konvergenz

Eine Folge (~x(k)) von Elementen des normierten Raumes (V, ||·||) konvergiert gegenein Element ~x ∈ V , falls die Folge reeller Zahlen (||~x(k)−~x||) gegen Null konvergiert:

limk→∞

~x(k) = ~x ⇐⇒ limk→∞

||~x(k) − ~x|| = 0.

15.1 Normierte Raume 187

Beispiele fur Vektornormen auf V = IRn Beispiel

||~x||p = p√

|x1|p+· · ·+|xn|p ℓp– Norm, p ≥ 1 ~x = (1,−2, 2)⊤

||~x||2 =√

|x1|2+· · ·+|xn|2 Euklidische Norm (Betrag) ||~x||2 =√

1+4+4 = 3||~x||1 = |x1|+ · · ·+ |xn| ℓ1– oder Summennorm ||~x||1 = 5||~x||∞ = max

1≤i≤n|xi| = lim

p→∞||~x||p ℓ∞– oder Maximumnorm ||~x||∞= 2

Beispiele fur Integralnormen auf

V = Lp(a, b) := f : (a, b)→ IR∣∣∫ b

a |f(x)|p dx <∞

||f ||p =(∫ b

a|f(x)|p dx

)1/pLp–Norm (1 ≤ p <∞)

Beispiel

[a, b] = [−1, 1], f(x) = x

||f ||2 =√∫ 1

−1x2 dx =

√23

Beispiele fur Skalarprodukte

(a) auf V = IRn : 〈~x, ~y 〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn

euklidisches Skalarprodukt,erzeugt die euklidische Norm.

(b) auf L2(a, b) : 〈f, g 〉 =∫ b

af(x)g(x) dx

L2–Skalarprodukt, erzeugt die L2–Norm

Beispiel

Beispiele fur Matrixnormen auf IRm×n A =

(1 0−2 2

)

||A||2 = max~x 6=~o

√

~x⊤A⊤A~x~x⊤·~x =

√

λmax(A⊤A) Spektralnorm ||A||2 = 2.92

||A||1 = max1≤j≤n

m∑

i = 1

|aij | Spalten–Summennorm

||A||1 = 3

||A||∞ = max1≤i≤m

n∑

j = 1

|aij | Zeilen–Summennorm

||A||∞ = 4

ρ(A) =Maximum der Betrageder Eigenwerte von A

Spektralradius ρ(A) = 2

Bemerkung: Ist A symmetrisch, so ist ρ(A) = ||A||2Fur jede Matrixnorm gilt:

||A ·B|| ≤ ||A|| · ||B|| Submultiplikativitat

||A · ~x|| ≤ ||A|| · ||~x|| Vertraglichkeit mit der zugehorigengleichbezeichneten Vektornorm

Ist || · || eine Vektornorm auf IRn, so ist die zugeordnete Matrixnorm

||A|| := max~x 6=~o

||A~x||||~x|| = max

||~x||=1||A~x||

Zugeordnete Normen werden ublicherweise gleich bezeichnet.


15.2 Interpolation

Gegeben: Wertetabellexi x0 x1 · · · xnyi y0 y1 · · · yn

mit (xi, yi) ∈ IR2 und xi paarw. verschieden.

Gesucht: Ein Polynom p hochstens n–ten Grades,das den Interpolationsbedingungen

p(xi) = yi (i = 0, . . . , n) genugt, d.h. das

durch die gegebenen Punkte (xi, yi) geht.

x

y

Beispiel Seite 189Parabel durch 3 Punkte:(−1, 7), (0, 2), (3,−1)

y = x2 − 4x+ 2

...............................

.............

........

........

........

........

........

........

.........

....

..........................

........

.........

......

........

........

...

........

........

.........

....

.........

..........

...........................

.........................

......................

...................

.................

..............

..................... ........ ....... ....... ........

.....................

..............

.................

...................

......................

.........................

...........................

•

•

•

7

2

-2

-1 2 3

-1

LAGRANGEsche Interpolationsformel

p(x) =

n∑

i=0

yi ·ℓi(x), ℓi(x) =

n∏

j = 0j 6= i

x−xjxi−xj

NEWTONsche Interpolationsformel

p(x)=

n∑

i=0

[x0, . . . , xi]p·(x−x0) · · · (x−xi−1)

Die NEWTON–Koeffizienten [x0, . . . , xi] p (dividierte Differenzen) werden rekur-siv berechnet:

[xi] p := p(xi) = yi, [xi, . . . , xi+k] p =[xi+1,...,xi+k] p−[xi,...,xi+k−1] p

xi+k−xi

Tafel der dividierten Differenzen:

xi [xi] p = yi [xi, xi+1] p [xi, xi+1, xi+2] p . . .

x0 [x0] p = y0

[x0, x1] p =[x1] p−[x0] px1−x0

x1 [x1] p = y1 [x0, x1, x2] p =[x1,x2] p−[x0,x1] p

x2−x0. . .

[x1, x2] p =[x2] p−[x1] px2−x1

x2 [x2] p = y2...

......

...

CAUCHYsche Restgliedformel

f(x)− p(x) =f (n+1)(ξ)(n+1)! (x− x0) . . . (x− xn)

fur ein ξ ∈ [a, b], wenn f ∈ Cn+1[a, b], yi = f(xi), x, xi ∈ [a, b] (i = 0, . . . , n)

Vorteile der NEWTONschen Interpolationsformel:

1.) nachtragliches Hinzufugen von Interpolationsbedingungen p(xn+1) = yn+1, . . . :

a) berechne [x0, . . . , xn+1] p aus einer weiteren Zeile der Tafelder dividierten Differenzen

b) und pn+1(x) = p(x) + [x0, . . . , xn+1] p · (x− x0) · · · (x − xn).2.) Sie gilt unverandert bei HERMITE–Interpolation.

3.) Sie ist numerisch leicht auszuwerten.

15.3 Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben 189

Beispiel Man bestimme ein Polynom p hochstens 2–ten Grades, das durch diedrei Punkte (−1, 7), (0, 2), (3,−1) geht (siehe Skizze vorige Seite).Zusatzaufgabe: Bestimme ein Polynom q hochstens 3–ten Grades, das

zusatzlich durch den Punkt (2,−14) geht.

• LAGRANGEsche Interpolationsformel:

p(x) = 7( x−0)( x−3)(−1−0)(−1−3)

+ 2(x−(−1))(x−3)(0−(−1))(0−3)

− 1(x−(−1))(x−0)(3−(−1))(3−0)

= · · · = x2 − 4x+ 2.

• NEWTONsche Interpolationsformel:

xi [xi]p = yi [xi, xi+1]p [xi, xi+1, xi+2]p [x0, x1, x2, x3]p

−1 72−7

0−(−1)= −5

0 2−1−(−5)3−(−1)

= 1−1−23−0

= −1 7−12−(−1)

= 2

3 −113−(−1)

2−0= 7

−14−(−1)2−3

= 132 −14

=⇒ p(x) = 7 + −5 · (x − (−1)) + 1 · (x− (−1))(x− 0) = x2 − 4x+ 2.

Die Zusatzaufgabe lost man vorteilhaft mit NEWTON (mit LAGRANGE musste qvollig neu berechnet werden!): Man erganzt nur die fur p erstellte Tabelle und erhalt:

=⇒ q(x) = p(x) + 2 · (x− (−1))(x− 0)(x− 3) = 2x3 − 3x2 − 10x+ 2.

15.3 Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben

Anfangswertaufgabe (AWA)

Gesucht ist eine Losung der Gleichung DGL y′ = f(x, y) mit der Anfangsbedin-

gung AB y(x0) = y0

x reelle Variable, y = y(x) reell– oder vektorwertige Funktion. Im zweiten Fallliegt ein System von DGLn 1. Ordnung vor, das ausgeschrieben lautet:

DGL

y′1 = f1(x, y1, . . . , yn)...

...y′n = fn(x, y1, . . . , yn)

AB

y1(x0) = y01...

...yn(x0) = y0n

Voraussetzungen, die Existenz, Eindeutigkeit und numerische Berechenbarkeit (beigenugend kleiner Schrittweite) sichern, sind:

(1) f ist eine in einem Gebiet G des (x, y)–Raumes stetige Funktion, die(2) in G bzgl. y einer Lipschitzbedingung genugt:

|f(x, y1)−f(x, y2)| ≤ L|y1−y2| fur eine Konstante L und alle (x, y1), (x, y2) ∈ G.(3) (x0, y0) ∈ G.


Die numerische Losung der AWA erfolgt mit Diskretisierungsverfahren:Durch Fortschreiten auf einem Gitter x0, x1, . . . , xn mit xn = x berechnet manNaherungswerte yi ≈ y(xi) (i = 1, . . . , n), die fur h → 0 (h := max

ihi) mit der Kon-

vergenzordnung p konvergieren: maxi|yi − y(xi)| ≤ consthp.

Diskretisierungsverfahren zur numerischen Losungder AWA y′ = f(x, y), y(x0) = y0

Einschrittverfahren k–Schrittverfahren, k ≥ 2

explizite implizite expliziteω = 0

impliziteω = 1

verwenden zur Berechnung von yi+k

eine Differenzengleichung k–ter Ordnung

yi+1 = yi + hiΦf (xi, yi, hi) αkyi+k + αk−1yi+k−1 + · · ·+ α0yi =hΦf (xi, yi, . . . , yi+k−1, ω · yi+k, h)

hi = ∆xi Schrittweite (variabel)Φf Verfahrensfunktion h = Schrittweite (konstant), αk 6= 0

Vorteil expliziter Verfahren: Einfachheit

Vorteil impliziter Verfahren: Großere Stabilitat bei gleicher GenauigkeitNachteil: die naherungsweise Berechnung von yi+k muss iterativ erfolgen.

Einige Einschrittverfahren der Konvergenzordnung p

explizite implizite

EULER–Verfahren (p = 1) EULER–Verfahren (p = 1)

Φf (x, y, h) = f(x, y) Φf (x, y, h) = k1 k1 = f(x+ h, y + hk1)

EULER–CAUCHY–Verf. (p = 2) BUTCHER–Verfahren (p = 2)

Φf (x, y, h) = 12k1 + 1

2k2 Φf (x, y, h) = k1 k1 = f(x+ 1

2h, y + 1

2hk1)

k1 = f(x, y), k2 = f(x+h, y+hk1)

RUNGE–KUTTA–Verf. RK4 (p=4) BUTCHER–Verfahren (p=4)

Φf (x, y, h)=16k1+ 1

3k2+ 1

3k3+ 1

6k4 Φf (x, y, h)=

12k1+ 1

2k2

k1 =f(x, y)

k2 =f(x+ 12h, y+ 1

2hk1) k1 =f

(x+(1

2−

√3

6)h, y+ 1

4hk1+(1

4−

√36

)hk2

)

k3 =f(x+ 12h, y+ 1

2hk2) k2 =f

(x+(1

2+

√3

6)h, y+(1

4+

√3

6)hk1+ 1

4hk2

)

k4 =f(x+h, y+hk3)

15.3 Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben 191

Einige lineare Mehrschrittverfahren der Konvergenzordnung p

explizites A–B–Verfahren von ADAMS–BASHFORTH (p = 4)

yi+4 = yi+3+ h24

[55f(xi+3h, yi+3)−59f(xi+2h, yi+2)+37f(xi+h, yi+1)−9f(xi, yi)

]

implizites M–Verfahren von MOULTON (p = 5)

y(j+1)i+4 = yi+3+ h

720

[251f(xi+4h, y

(j)i+4)+646f(xi+3h, yi+3)−264f(xi+2h, yi+2)

+106f(xi+h, yi+1)−19f(xi, yi)]

Pradiktor–Korrektor–Verfahren (p = 5)

1. berechne Startnaherung y(0)i+4 mit dem A–B–Verfahren (Pradiktor),

2. berechne f(xi + 4h, y

(0)i+4

),

3. berechne y(1)i+4, y

(2)i+4 (2 Iterationen) mit dem M–Verfahren (Korrektor).

Nachteile linearer Mehrschrittverfahren:

(1) Zur Berechnung der Startwerte y0, . . . , yk−1 Anlaufrechnung notig z.B. mit RK4,

(2) Schrittweitenanderung komplizierter.

Vorteile: hohere Genauigkeit bei weniger Funktionsauswertungen.

Beispiel Es sei y′ = 1− 2xy, y(0) = 0. Mit dem expliziten EULER–Verfahrenbestimme man naherungsweise y(1).

Die exakte Losung ist y(x) = e−x2

∫ x

0et

2

dt.

Eingabe: x0 = 0, y0 = 0, h = 1n

(n = 10, 100, 1000)

−→ fur j = 0, 1, . . . , n− 1 berechne

yj+1 = yj + h(1− 2xjyj)xj+1 = xj + h

Ausgabe n = 10 (h =110

) n = 100 (h =1

100) n = 1000 (h =

11000

)

EULER-Nah. yn ≈ y(1) 0.570 016 0.541 116 0.538 382

Fehler: yn − y(1) +3.2 · 10−2 +3 · 10−3 +3 · 10−4


15.4 Numerische Integration

Wenn moglich, berechnet man ein bestimmtes Integral mit dem Hauptsatz:∫ b

af(x) dx =

[

F (x)]b

a= F (b)− F (a)

F ′ = f , also F Stammfunktion von f .

Beispiel (Sehnen–Trapez–Verf. siehe unten!)

I =∫ π/2

0

sinxcos x+2

dx =[

− ln | cos x+ 2|]π/2

0= − ln 2 + ln 3 ≈ 0.405465

Quadraturverfahren

Ist f auf dem Intervall [a, b] stetig, also f ∈ C[a, b],so setzt man

Q(f) =n∑

i = 1

αi · f(xi) h =b−an

Restglied :=∫ b

af(x) dx−Q(f)

a bx1

h

x2 xn

α1 α2 αn

. . .

. . .

Gewichte

Stutzstellenes gibt ein

ξ ∈ [a, b] mit

Restglied =

QMi(f) = h[f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn)]b−a24h2f ′′(ξ)

a bx1 x2 xn

h h h. . .

. . .xi = a+ (i− 1

2)h Mittelpunkts–

Verfahren

QST = h[12f(x0) + f(x1) + · · ·+ f(xn−1) + 1

2f(xn)

]− b−a

12h2f ′′(ξ)

a bx0 x1 x2 xn−1 xn

12h h h h 1

2h. . .

. . .

xi = a+ ihSehnen–Trapez–

Verfahren

QSi(f) = h6

[f(x0) + 4

n∑

i = 1

f(x2i−1) + 2n− 1∑

i = 1

f(x2i) + f(x2n)] − b−a

2880h4f (4)(ξ)

a bx0 x1 x2 x3 x4 x2n−2 x2n−1 x2n

16h

46h

26h

46h

26h

26h

46h

16h

. . .

. . .

SIMPSON–

Verfahren

x2i−1 = a+ (i− 12)h , x2i = a+ ih

QGL(f) = h2

[f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(x2n−1) + f(x2n)

] b−a4320

h4f (4)(ξ)

a bx1 x2 x3 x4 x2n−1 x2n

12h 1

2h 1

2h 1

2h 1

2h 1

2h. . .

. . .GAUSS–LEGENDRE–

Verfahrenx2i−1 = a+ (i− 1

2− 1

6

√3 )h , x2i = a+ (i− 1

2+ 1

6

√3 )h

Beispiel Man berechne I =∫ π/2

0

sinxcos x+2

dx mit dem Sehnen–Trapez–Verf. (n = 4).

f(x) =sinx

cos x+2=⇒ QST (f) =

π8[12f(0) + f(

π8) + f(

π4) + f(

3π8

) +12f(π2)] = 0.404415 ≈ I .

und | Restglied | ≤ π24

(π8)2

54≤ 0.025, weil max |f ′′(x)| ≤ 5

4auf [0,

π2].

15.5 Lineare Gleichungssysteme 193

15.5 Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme: Aufgabenstellung

Ein lineares Gleichungssystem LGS besteht aus m linearen Gleichungen

fur n Unbekannte, in Matrizenschreibweise: A · ~x = ~b Dabei heißen

A = (aij) ∈ IRm×n Koeffizientenmatrix, eine (m,n)–Matrix,

~b = (bi) ∈ IRm Zielvektor oder Vektor der rechten Seite,

~x = (xi) ∈ IRn Losung oder Losungsvektor,

(A,~b ) ∈ IRm×(n+1) Systemmatrix.

A~x = ~b heißt ein inhomogenes LGS, wenn ~b 6= ~0 ist.

A~x = ~o heißt das zugehorige homogene LGS. Ausgeschrieben:

A~x = ~b ⇐⇒a11 · x1 + · · ·+ a1n · xn = b1

......

...am1 · x1 + · · ·+ amn · xn = bm

ein System von

m linearen Gleichungen furn Unbekannte x1, . . . , xn.

Geometrische Interpretation eines LGSs

Jede Gleichung ~ai · ~x = bi (~ai = i–ter Zeilenvektor von A, i = 1, . . . ,m) stellteine Hyperebene des IRn dar. Gesucht sind alle Punkte ~x ∈ IRn, die in allenHyperebenen zugleich liegen (= Durchschnittsmenge der Hyperebenen).

Losbarkeit linearer Gleichungssysteme

A · ~x = ~b ist losbar ⇐⇒ rg A = rg (A,~b )

rgA = rg (A,~b ) = n =⇒ es existiert genau eine Losung,

rgA = rg (A,~b ) = r < n =⇒ es existiert eine (n−r)–parametrige Losungsschar.

Losbarkeit quadratischer LGSeA quadratische (n× n)–Matrix

Homogenes LGS : A~x = ~o

detA 6= 0 ⇐⇒ A~x = ~o hat nur die triviale Losung ~x = ~o.

Inhomogenes LGS : A~x = ~b, ~b 6= ~o

detA 6= 0 ⇐⇒ A~x = ~b hat genau eine Losung: ~x = A−1~b.

detA = 0

rgA < rg (A,~b) ⇐⇒ A~x = ~b ist unlosbar.

rgA = rg (A,~b) ⇐⇒ A~x = ~b hat unendlich viele Losungen.

Ausfuhrliche Beispiele im HM Seite 244–259


GAUSSscher Algorithmus zur Losung LGSe

Durch sukzessive Elimination von Unbekannten leitet man eine Folge von linearenGleichungssystemen her, die alle dieselben Losungen haben, mit dem Ziel, zuletztein LGS in Zeilenstufenform zu erhalten.

Am Anfang ist das gegebene LGS das aktuelle Restsystem.Sind die Unbekannten x1, . . . , xk−1 aus den Gleichungen des aktuellen Restsystemsbereits eliminiert, nicht jedoch xk, so wahlt man eine dieser Gleichungen, in derxk vorkommt (d.h. in der der Koeffizient von xk ungleich 0 ist).Sie heißt aktuelle Pivotgleichung.Man addiert zu jeder weiteren Gleichung des aktuellen Restsystems, in der xkvorkommt, ein geeignetes Vielfaches der aktuellen Pivotgleichung, so daß in derSumme xk nicht mehr vorkommt.Das neue Restsystem entsteht durch Weglassen der Pivotgleichung.

Nach Durchlaufen des Eliminationsprozesses ist das Endsystem erreicht.Es besteht aus allen im Eliminationsprozess verwendeten Pivotgleichungen undeventuell weiteren Gleichungen der Form 0 = b, die im Falle b 6= 0 anzeigen, dassdas geg. LGS keine Losung besitzt, und die fur b = 0 wegzulassen sind. Nachgeeigneter Vertauschung der Gleichungen hat das Endsystem Zeilenstufenform.Aus ihm lassen sich ruckwarts alle Losungen des gegebenen LGS einfach ermitteln.

Bemerkung: Fur Handrechnung ist es bequem, nur das Koeffizientenschemahinzuschreiben und darin die Eliminationen durchzufuhren. Der Koeffizient 6= 0von xk wird markiert und mit ihm werden in der entsprechenden Spalte Nullenerzeugt. Die markierten Gleichungen (Pivotgleichungen) ergeben das Endsystem.

Beispiel: Man lose das LGS 3x2 + x3 = 3x1 − x2 + x3 = 0x1 + 2x2 + 2x3 = 3

Eliminationsverfahren: Endsystem: Losung (”Ruckwarts Einsetzen”):

x1 x2 x3

0 3 1 3

1 −1 1 01 2 2 3

0 3 1 30 3 1 30 0 0 0

x1 x2 x3

1 −1 1 0

0 3 1 3

x2 = tx3 = 3− 3tx1 = x2 − x3 = −3 + 4t

Losung in vektorieller Schreibweise:

~x =

x1

x2

x3

=

−303

+ t

41−3

Ausfuhrliche Beispiele und Erklarungen (auch fur LGSe mit Parameter)

siehe

HM, Seite 244–259.

15.6 Nichtlineare Gleichungen 195

15.6 Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen: Fixpunktproblem

Es sei B ⊂ IR und g : B → IR eine reelle Funktion.

Gesucht ist eine Losung der Gleichung x = g(x)

x

y

1

1y = x

x∗

g(x) = e−x

.

........................

........................

......................

..

........................

..

...........................

.

...............................

.................................

....................................

......................................

........................................

...........................................

.............................................

Beispiel 1 (Seite 196):

x = e−x

Nichtlineare Gleichungen: Nullstellenproblem

Es sei B ⊂ IR und f : B → IR eine reelle Funktion.

Gesucht ist eine Losung der Gleichung f(x) = 0

x

y

1

1

−1

y = x

x∗

f(x) = x− e−x

.

..................................................

....................................................

......................................................

.......................................................

.........................................................

..........................................................

............................................................

.............................................................

Beispiel 2 (Seite 196):

x− e−x = 0

Das Iterationsverfahren zur Losung des Fixpunktproblems

Ist B ⊂ IR abgeschlossen und ist g : B → B eine Kontraktion, d.h. g genugt aufB einer Lipschitzbedingung mit einer Lipschitzkonstanten α < 1:

|g(x)− g(y)| ≤ α · |x− y| , fur alle x, y ∈ B,

so besitzt g in B genau einen Fixpunkt x∗ = g(x∗) .

Fur jede Wahl eines Startpunktes x(0) ∈ B konvergiert die Folge der ”Iterierten”

x(k+1) = g(xk), k = 0, 1, . . .

gegen x∗, wobei folgende Fehlerabschatzung gilt:

|x(k) − x∗| ≤ α1−α · |x(k) − x(k−1)| ≤ αk

1−α |x(1) − x(0)|.

Bemerkung: Wenn g auf B differenzierbar ist und wenn mit einer Konstanten α fur

alle x ∈ B |g′(x)| ≤ α ist, genugt g auf B einer Lipschitzbedingung

mit der Konstanten α (nach dem Mittelwertsatz, Seite 91).


Beispiel 1 Das Intervall B = [0.4; 0.7] ist abgeschlossen und g : B → B mitg(x) = e−x ist eine Kontraktion mit der Lipschitzkonstanten α =0.68, weil g′(x) = −e−x ist und auf B gilt |g′(x)| ≤ e−0.4 ≤ 0.68. DieFunktion g besitzt also in B genau einen Fixpunkt x∗, der mit demIterationsverfahren berechnet werden kann.

Startwert x(0) = 0.4 ergibt:

x

y

1

1y = x

x∗x(0)

x(1)

g(x) = e−x

.

........................

........................

......................

..

........................

..

............................

...............................

.................................

....................................

......................................

........................................

...........................................

.............................................

k x(k)

0 0.41 0.670 3202 0.511 5453 0.599 5694 0.549 0485 0.577 4996 0.561 3007 0.570 4678 0.565 2629 0.568 212

10 0.566 53811 0.567 48712 0.566 94913 0.567 254

k x(k)

14 0.567 08115 0.567 17916 0.567 12317 0.567 15518 0.567 13719 0.567 14720 0.567 14121 0.567 14422 0.567 14323 0.567 14424 0.567 14325 0.567 14326 0.567 143

Fehlerabschatzung:

|x(13) − x∗| ≤ 0.680.32|x(13) − x(12)| = 0.68

0.32· 0.000 305 ≤ 0.000 65.

Newtonsches Verfahren zur Losung des Nullstellenproblems

Wahle eine Startnaherung x(0)

und berechne fur k = 0, 1, . . . (bis ein Abbruchkriterium erfullt ist)

x(k+1) = x(k) − f(x(k))f ′(x(k))

Beim vereinfachten Newtonschen Verfahren wird das Argument der Ableitungin allen Iterationsschritten festgehalten:

x(k+1) = x(k) − f(x(k))

f ′(x(0))

Beispiel 2 Man bestimme eine Nullstelle von f(x) = x− e−x = x− exp(−x).

f(x) = x− exp(−x), f ′(x) = 1 + exp(−x), x(k+1) = x(k) − x(k)−exp(−x(k))1+exp(−x(k))

.

Startwert: x(0) = 0.4 ergibt:

k x(k) exp(−x(k)) x(k) − exp(−x(k)) 1 + exp(−x(k))

0 0.4 0.670 320 −0.270 320 1.670 3201 0.561 865 0.570 145 −0.009 280 1.570 1452 0.567 138 0.567 146 −0.008 323 1.570 1613 0.567 143 0.567 143 −0.000 000 1.567 1464 0.567 143

15.7 Nichtlineare Gleichungssysteme 197

15.7 Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme: Fixpunktproblem

Es sei B ⊂ IRn und ~g : B → IRn.

Gesucht sind Losungen von ~x = ~g(~x)

~x = ~g(~x) ist ein System von n nichtlinearen Gleich. fur n Unbekannte x1, . . . , xn :

x1 = g1(x1, . . . , xn)x2 = g2(x1, . . . , xn)...

...xn = gn(x1, . . . , xn)

Beispiel 3 (n = 2), Losung Seite 198

x1 = 0.1x21 + 0.1x2

2 + 0.8

x2 = 0.1x1 + 0.1x1x2 + 0.8

Nichtlineare Gleichungssysteme: Nullstellenproblem

Es sei B ⊂ IRn und ~f : B → IRn.

Gesucht sind Losungen von ~f(~x) = ~o

~f(~x) = ~o ist ein System von n nichtlinearen Gleich. fur n Unbekannte x1, . . . , xn :

f1(x1, . . . , xn) = 0f2(x1, . . . , xn) = 0

......

fn(x1, . . . , xn) = 0

Beispiel 4 (n = 2), Losung Seite 199

0.1x21 − x1 + 0.1x2

2 + 0.8 = 00.1x1 + 0.1x1x2 − x2 + 0.8 = 0


Nichtlineare GleichungssystemeDas Iterationsverfahren zur Losung des Fixpunktproblems

Ist B ⊂ IRn abgeschlossen und ist ~g : B → B eine Kontraktion, d.h. genugt ~gauf B einer Lipschitzbedingung mit einer Lipschitzkonstanten α < 1 bzgl. einerbeliebigen Vektornorm || · || :

||~g(~x)− ~g(~y)|| ≤ α · ||~x− ~y|| fur alle ~x, ~y ∈ B,

so besitzt ~g in B genau einen Fixpunkt ~x∗ ~x∗ = ~g(~x∗)

Fur jede Wahl eines Startvektors ~x(0) ∈ B konvergiert die Folge der ”Iterierten”

~x(k+1) = ~g(~x(k)), k = 0, 1, . . .

gegen ~x∗, wobei folgende Fehlerabschatzung gilt:

||~x(k) − ~x∗|| ≤ α1−α · ||~x(k) − ~x(k−1)|| ≤ αk

1−α ||~x(1) − ~x(0)||

Beispiel 3 B = ~x =(xy

)∈ IR2 | ||~x −

(11

)||∞ ≤ 0.5 ist abgeschlossen und

~g : B → B, ~g = ~g(~x) =

(g1(x, y)g2(x, y)

)

=

(0.1x2 + 0.1y2 + 0.80.1x+ 0.1xy + 0.8

)

eine

Kontraktion mit einer Lipschitzkonstanten α=0.6 bzgl. ||·||∞.

Also besitzt ~g in B genau einen Fixpunkt ~x∗, der mit dem Iterations-verfahren berechnet werden kann.

Startvektor: ~x(0) =

(0.50.5

)

∈ B.

k x(k) y(k)

0 0.5 0.5 Startnaherung1 0.85 0.862 52 0.946 64 0.948 233 0.979 53 0.979 784 0.991 82 0.991 96...

......

∞ 1 1 exakte Losung

Fehlerabschatzung:

||~x(4) − ~x∗||∞ ≤ 0.60.4· ||~x(4) − ~x(3)||∞ = 0.6

0.4max

(0.012 290.012 18

)

= 0.018 5

15.7 Nichtlineare Gleichungssysteme 199

Nichtlineare GleichungssystemeNewtonsches Verfahren zur Losung des Nullstellenproblems

Wahle eine Startnaherung ~x(0)

und berechne fur k = 0, 1, . . . (bis ein Abbruchkriterium erfullt ist)

~x(k+1) = ~x(k) −(~f ′(~x(k))

)−1 · ~f(~x(k))

wobei ~f ′(~x(k)) =∂(f1,...,fn)∂(x1,...,xn)

=

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

......

∂fn

∂x1· · · ∂fn

∂xn

die Jacobi–Matrix (siehe Seite 147) von ~f an der Stelle ~x(k) ist.

Vereinfachtes Newton–Verfahren

Beim vereinfachten Newtonschen Verfahren wird das Argument der Jacobi–Matrixin allen Iterationsschritten festgehalten:

~x(k+1) = ~x(k) − [~f ′(~x(0))]−1 · ~f(~x(k))

Bemerkungen:

• Wenn n ≥ 2 ist, lost man bei der praktischen Durchfuhrung einesNewton– Schrittes das LGS

~f ′(~x(k)) · ~d(k) = ~f(x(k)) und setzt ~x(k+1) = ~x(k) − ~d(k)

• Wenn ~f nach allen Variablen zweimal stetig differenzierbar ist und wenneine Startnaherung ~x(0) genugend nahe bei einer ”einfachen Nullstelle”~x∗ von ~f (:⇔ ~f ′(~x∗) ist invertierbar) gewahlt wird, konvergieren dasNewtonsche Verfahren und seine vereinfachte Version: lim

k→∞~x(k) = ~x∗.

Beispiel 4 Mit dem Newtonschen Verfahren lose man das nichtlineare

Gleichungssystemf1(x1, x2) = 0.1x2

1 − x1 + 0.1x22 + 0.8 = 0

f2(x1, x2) = 0.1x1 + 0.1x1x2 − x2 + 0.8 = 0

Startvektor: ~x(0) = (0.5, 0.5)

Jacobi–Matrix: ~f ′(~x) =

(0.2x1 − 1 0.2x2

0.1(1 + x2) 0.1x1 − 1

)

k x(k)1 x

(k)2

0 0.5 0.5 Startnaherung1 0.940 476 0.964 2862 0.992 911 0.998 2283 0.999 172 0.999 8154 0.999 902 0.999 9775 1.0 1.0 exakte Losung

200 16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, STATISTIK

16 Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik

16.1 Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

Anzahl der ohne Wiederholung mit Wiederholung

Permutationen bijektive Abbildungen bzw.Anordnungen einerk–elementigen Menge.

k–tupel, unter deren Kompo-nenten ℓ verschiedene sind mitHaufigkeiten k1, . . . , kℓ und

k1 + · · ·+ kℓ = k

1 k! 2k!

k1! ··· kℓ!

Bsp:Anordnungen einer3–elementigen Menge:

Bsp:5–stellige Zahlenaus den Ziffern 2,2,3,3,3:

Es gibt 3! = 6 Anordnungen k=5, k1 =2, k2 =3,5!

2!3!=10

k–Permutationen(Variationen)(x1, . . . , xk)

k–tupelaus einer n–elementigen Menge

3(nk

)

·k! = n · · · (n−k+1) 4 nk

Bsp: Worter mit 4 Buchstabenaus einem Alphabet mit 26 Buchstaben,

keine gleichen Buchstaben: gleiche Buchstaben erlaubt:(264

)

· 4!= 26!22!

=358 800 Worter 264 = 456 976 Worter

k–Kombinationen

(x1, . . . , xk)x1 ≤ · · · ≤ xk

wie k–Permutationen, ohne Berucksichtigung der Anordnung

5(nk

)

=n!

(n−k)!k! 6(n+ k − 1

k

)

Bsp: Zahlenlotto: 6 aus 49 :(ohne Zurucklegen)

(496

)

=49·48·47·46·45·44

1·2·3·4·5·6= 13 983 816

Bsp: Zahlenlotto: 6 aus 49 :(mit Zurucklegen)

(49+6−1

6

)

=(546

)

= 25 827 165

Beispiel M = 1, 2, 3, n = 3, k = 2

Menge aller Anzahl der

4 2–Perm. mit Wiederhol. (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) 32 = 9

3 2–Perm. ohne Wiederh. (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) 3 · 2 = 6

2 2–Perm. mit

k1 =1 fach. Wiederh. von 1k2 =0 fach. Wiederh. von 2k3 =1 fach. Wiederh. von 3

(1,3) (3,1)2!

1!0!1!= 2

6 2–Komb. mit Wiederh. (1,1)(1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)(3+2−1

2

)

=6

5 2–Komb. ohne Wiederh. (1,2) (1,3) (2,3)(32

)

= 3

16.1 Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit 201

k–Permutationvon 1, . . . , n

k–Tupel aus 1, . . . , nmit ki–facher Wiederhlg.von i ∈ 1, . . . , n mit0 ≤ ki ≤ kk1 + · · ·+ kn = k

←→1)

n–Partitionvon 1, . . . , k

Einteilung von 1, . . . , kin n Teilmengen Bi

i = 1, . . . , n mit2)

#Bi = ki, 0 ≤ ki ≤ kk1 + · · ·+ kn = k

4∑

0 ≤ ki ≤ kk1+· · ·+kn = k

k!k1!···kn!

= nk

(x1, . . . , xk)

xj = i ∈ 1, . . . , ntritt ki–fach auf,ki fest vorgegeben.

←→1)

(B1, . . . , Bn)

B1 ∪ · · · ∪Bn = 1, . . . , kBi ∩ Bj = ∅ fur i 6= j#Bi = ki fest vorgegeben.

2k!

k1!···kn!

1)umkehrbar eindeutige Zuordnung 2)lies #: Anzahl der Elemente von

Beispiele Anzahl

Verteilung von 32 Spielkarten (Skatkarten) auf 3 Spieler und den Skat:k = 32, k1 = 10, k2 = 10, k3 = 10, k4 = 2

2

32!10!10!10!2!

Verteilung von 32 Spielkarten (Skatkarten), Spieler A erhalt 4 Asse:k = 28, k1 = 6, k2 = 10, k3 = 10, k4 = 2

2

28!6!10!10!2!

Verteilung von 5 Personen auf 2 Autos:2–Partition von 1, 2, 3, 4, 5

4

25 = 32

Additive Zerlegung der Zahl 10 in 3 ganzzahlige positive Summanden ≤ 6:10 = 6+3+1 = 6+2+2 = 5+4+1 = 5+3+2 = 4+4+2 = 4+3+3

Anzahl =3!

1!1!1!+

3!1!2!

+3!

1!1!1!+

3!1!1!1!

+3!

2!1!+

3!1!2!

2

27

Wahrscheinlichkeitsraume

Es sei Ω eine nichtleere Menge, die Ergebnisraum (Stichprobenraum) genanntwird. PΩ := A | A ⊆ Ω sei die Potenzmenge von Ω.

Ein System A ⊆ PΩ von Teilmengen von Ω heißt Ereignisfeld uber Ω und dieElemente A ∈ A heißen Ereignisse, wenn

(1) Ø,Ω ∈ A Ø unmogliches, Ω sicheres Ereignis.(2) A ∈ A =⇒ A = Ω \A ∈ A A ist das zu A komplementare Ereignis.(3) Ai ∈ A =⇒ ⋂

Ai,⋃Ai ∈ A Ω abgeschlossen bzgl. abzahlbarer

Durchschnitts– und Vereinigungsbildung.

Eine Funktion P : Ω → [0, 1] heißt eine Wahrscheinlichkeitsbelegung von A,und P (A) die Wahrscheinlichkeit (W) des Ereignisses A, wenn

(1) P (Ø) = 0 und P (Ω) = 1(2) σ–Additivitat: Aus Ai ∈ A (i = 1, 2, . . .) und Ai ∩Aj = ∅ fur i 6= j folgt

P (A1 ∪A2 ∪ · · · ) = P (A1) + P (A2) + · · · kurz: P (⋃Ai) =

∑

P (Ai)

(Ω,A, P )heißt ein Wahrscheinlichkeitsraum (WR), er beschreibtidealisiert ein (reales oder gedachtes) Zufallsexperiment.


Bezeichnungen Sprechweisen

A1 ∪A2 = A1 +A2 Summe der Ereignisse A1, A2 A1 oder A2

A1 ∩A2 = A1 ·A2 Produkt der Ereignisse A1, A2 A1 und A2

A1 ∩A2 = Ø A1, A2 unvereinbar

A1 ∪ · · · ∪An = ΩAi ∩ Aj = ∅ fur i 6= j

Partition von ΩA1, . . . , An vollstandigeFallunterscheidung

Elementare Wahrscheinlichkeitsraume

Ist Ω = w1, w2, . . . endlich oder abzahlbar unendlich und ist p1, p2, . . . eine Folgenicht negativer reeller Zahlen mit p1 + p2 + · · · = 1, so heißt

(Ω,A, P ) elementarer Wahrscheinlichkeitsraum (WR),

wi i–tes Elementarereignis,

P (A) :=∑

wi∈Api Wahrscheinlichkeit (W) des Ereignisses A.

Speziell fur Ω = w1, . . . , wn und p1 = · · · = pn = 1n

heißt

(Ω,PΩ, P ) Laplacescher WR.

In einem Laplaceschen (WR) gilt fur jedes Ereignis A ⊆ Ω :

Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum

P (A) =#A#Ω

=Anzahl der fur A gunstigen FalleAnzahl der gleichmoglichen Falle

Beispiele (siehe Beispiele auf Seite 201)

Zufallsexperiment Ereignis Wahrscheinlichkeit

Verteilung von Skatkarten Spieler A erhalt 4 Asse

28!6!10!10!2!

32!10!10!10!2!

= 10·9·8·732·31·30·29

= 0.0058

Werfen von 3 Wurfeln3 Sechsen 1

63 = 1216

= 0.0046

Augensumme = 10 2763 = 1

8= 0.125


Urnenmodelle

Urne: enthalte n Kugeln 1 , 2 , . . . , n

Zufallsexperiment: Zufallige Ziehung von k Kugeln unter den folgendenBedingungskombinationen:

Ω = Menge derElementarereignisse

Ziehung von k aus n Kugeln

ohne Zurucklegen mit Zurucklegen

Ziehung der Kugel xj im j–ten Zug: ( x1 , . . . , xk):

k–Permutation von n Elementen

mit Berucksichtigungder Anordnung(Ziehungsreihenfolge)

ohne Wiederholung

3 #Ω = n · · · (n−k+1)

mit Wiederholung

4 #Ω = nk

Ziehung der Kugeln ( x1 ,. . . , xk )nach wachsender Nummer geordnet: x1 ≤ · · · ≤ xk:k–Kombination von n Elementen

ohne Berucksichtigungder Anordnung(Ziehungsreihenfolge)

ohne Wiederholung

5 #Ω =(nk

)

Lotto k aus n

mit Wiederholung

6 #Ω =(n+k−1

k

)

Beispiele

Zufallsexperiment EreignisWahrschein–

lichkeit

6 richtige 1(496

) =7

108

Lotto 6 aus 49 keine Zahl richtig

(436

)

(496

) = 0.44

mind. eine Zahl richtig 1− 0.44 = 0.56

Ziehung von k aus n Ku-geln mit Zurucklegen undmit Berucksicht. der Anord.

Kugel i wird ki–mal gezogen,k1+· · ·+kn = kk–Permutation von n Elementen mitki–facher Wiederhlg. von i ∈ 1, . . . , n.

k!k1!···kn!nk

3–maliges Wurfeln, d.h.Ziehung von 3 Kugeln aus 6mit Zurucklegen und mitBerucksicht. der Anordnung

3 Sechsen163 = 0.0046

2 Sechsen 1 Eins3!

2!1!163 = 0.014

Augensumme = 10 (siehe Bsp S. 201)2763 = 0.125


Zuordnungsmodelle: Kugeln in Facher

Zufallsexperiment: Zufallige Verteilung von k Kugeln in n numerierteFacher unter den folgenden Bedingungskomb.:

Ω = Menge derElementarereignisse

Jedes Fach fasst

hochstens eine Kugel beliebig viele Kugeln

Verteilungsliste (x1, . . . , xk), dabei ist xj dieNr. des Faches, in das die j–te Kugel kommt:

k–Permutation von n Elementen

Kugeln sindunterscheidbar

ohne Wiederholung

3 #Ω = n · · · (n−k+1)

mit Wiederholung

4 #Ω = nk

Besetzungszahlenliste der Lange n vom Gewicht k:(k1, . . . , kn), dabei sind ki Kugeln im Fach Nr. imit k1 + · · ·+ kn = k.

k–Kombination von n Elementen

Kugeln sindnicht unterscheidbar

ki = 0 oder 1

5 #Ω =(nk

)

0 ≤ ki ≤ k

6 #Ω =(n+k−1

k

)

k–Kombination

von n Elementen mitki–facher Wiederholungvon i ∈ 1, . . . , n

←→1)

Besetzungszahlenliste

(k1, . . . , kn)der Lange nvom Gewicht k

6 ∑

0 ≤ ki ≤ kk1+· · ·+kn = k

1

=(n+ k − 1

k

)

(x1, . . . , xk)

x1 ≤ · · · ≤ xkxj = i ∈ 1, . . . , n trittki–fach auf, ki fest vorgegeben.

←→1)

(k1, . . . , kn)

ki ∈ 0, 1, . . . , kk1 + · · ·+ kn = kki fest vorgegeben.

1

1)umkehrbar eindeutige Zuordnung


Beispiele

Zufallsexperiment EreignisWahrschein–

lichkeit

Zufallige Verteilung von kunterscheidbaren Kugelnin n Facher1)

Besetzungszahlenliste = (k1, . . . , kn)0 ≤ ki ≤ k und k1 + · · ·+ kn = k

k!k1!···kn! nk

Zufallige Verteilung von knicht unterscheidb. Kugelnin n Facher2)

Besetzungszahlenliste = (k1, . . . , kn)0 ≤ ki ≤ k und k1 + · · ·+ kn = k

1(n+k−1

k

)

k = 8 Unfalle ereignen sichan n = 7 Kreuzungen:

Kreuzungen = FacherUnfalle = Kugeln

Annahme:

Unfalle unterscheidbaralle Kreuz. gleichwahrsch.

A: an der Kreuzung 1 passieren2 Unfalle und anandereren je einer.

7–Partitionen von 8 Kugelnmit k1 = 2, k2, . . . , k7 = 1

8!2!1!···1! 78

= 0.003

B: an der

Kreuzung 1 passieren 3 UnfalleKreuzung 2 passieren 3 UnfalleKreuzung 3 passieren 2 Unfalle

7–Partitionen von 8 Kugelnmit k1 = 3, k2 = 3, k3 = 2,k4 = · · · = k7 = 0

8!3!3!2!0!···0! 78

= 0.0001

C: es gibt eine

Kreuzung mit 3 Unfallenandere Kreuz. mit 3 Unfallenandere Kreuz. mit 2 Unfallen

3–Partitionen von 7 Kugelnmit k1 = 2, k2 = 1, k3 = 4

8! 7!3!3!2! 2!1!4! 78

= 0.01

Geburtstag eines Menschen

365 Tage d. Jahres= FacherMenschen = Kugeln

Annahme:

Menschen unterscheidbaralle Tage gleichwahrscheinl.

A: k Menschen haben alle an ver–schiedenen Tagen Geburtstag

365·364···(365−k+1)365k

speziell: 22 / 23 Menschen 0.52 / 0.49

B: von k Menschen haben mind. 2an demselben Tag Geburtstag

1− 365···(365−k+1)365k

speziell: 22 / 23 Menschen 0.48 / 0.51

1) Maxwell–Boltzmann–Statistik der statistischen Thermodynamik2) Bose–Einstein–Statistik der statistischen Mechanik


Elementare Formeln zur Wahrscheinlichkeit

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) Additionsformel

P (A∪B∪C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (A∩B)− P (A∩C)− P (B∩C) + P (A∩B∩C)

P( n⋃

i=1

Ai

)

=

n∑

k=1

(−1)k+1∑

1≤i1<···<ik≤nP (Ai1 ∩ · · · ∩Aik)

Sieb–Formel vonPoincare –Sylvester

Unabhangige Ereignisse

Zwei Ereignisse A,B heißen (stochastisch) unabhangig , wenn gilt:

P (A · B) = P (A) · P (B)

n Ereignisse A1 . . . , An heißen unabhangig,wenn fur k = 2, . . . , n und 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n gilt:

P (Aj1 · · ·Ajk) = P (Aj1) · · ·P (Ajk)

Sind A1 . . . , An unabhangige Ereignisse,

so ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass

P (A1 · · ·An) = P (A1) · · ·P (An) diese Ereignisse zugleich eintreten,

P (A1 · · · An) = P (A1) · · ·P (An) keines dieser Ereignisse eintritt,

P (A1+· · ·+An) = 1− P (A1) · · ·P (An) mindest. eines dieser Ereignisse eintritt.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

P (A|B) =P (A·B)P (B)

fur P (B) > 0

P (A|B) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit. P (A|B) ist

die W fur A unter der Hypothese, dass B eingetroffen ist.

Multiplikationsformel / Produktformel

P (A · B) = P (A|B) · P (B)

P (A1 · · ·An) = P (A1) · P (A2|A1) · · ·P (An|A1 · · ·An−1)

Es sei A1 ∪ · · · ∪An = Ω, Ai ∩Aj = ∅ fur i 6= j : Partition von Ω.

P (B) =

n∑

i=1

P (B|Ai) · P (Ai) Formel von der totalen W

P (Ak|B) =P (Ak) · P (B|Ak)n∑

i=1

P (B|Ai) · P (Ai)

, P (B) > 0 Formel von Bayes

16.2 Verteilungen 207

16.2 Verteilungen

Das Bernoullische Versuchsschema

In einem Zufallsexperiment werde ein Ereignis A (Treffer) mit der W P (A) = prealisiert und A mit P (A) = 1 − p. N sei die Anzahl der Treffer bei n–maligerunabhangiger Wiederholung des Experimentes. Dann ist

P (N = k) =(nk

)

pk(1− p)n−k, fur 0 ≤ k ≤ n Bernoulli– oderBinomialverteilung

Es sei A1 ∪ · · · ∪As = Ω eine Partition mit P (A1) = p1, . . . , P (As) = ps.Ai heiße ”Treffer i–ter Art”. Es bezeichne Ni die Anzahl der Treffer i–ter Art bein–maliger, unabhangiger Wiederholung des Experimentes. Dann ist

Multinomial– oder Polynomialverteilung

P (N1 = k1, . . . , Ns = ks) =n!

k1! ··· ks! pk11 · · · pks

s fur0 ≤ k1, . . . , ks ≤ nk1 + · · · + ks = n

Beispiel Ein regelmaßiger Wurfel werde 12 mal geworfen. Wie groß istdie W fur das Ereignis A: jede Augenzahl erscheint zweimal?

P (A) = P (N1 = 2, . . . , N6 = 2) =12!2!6 (

16)2+2+2+2+2+2 = 0.00344.

Zufallsvariable

Es sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum (WR).Eine Zufallsvariable (ZV) ist eine Abbildung X : Ω→ IR, so dass fur jedes x ∈ IRgilt X−1(−∞, x) ∈ A

(⇔: X < x ist ein Ereignis

).

kumulative Verteilungsfunktion

F (x) := FX(x) := P (X < x) := P (X−1(−∞, x))

diskrete Zufallsvariable: nimmt nur endlich oder abzahlbar unendlich vieleWerte x1, x2, . . . mit Wen W (X = xi) = pi an, p1 +p2 + · · · = 1.

Verteilung:

f(x) =

pi , wenn x = xi, i = 1, 2, . . .0 , sonst

stetige Zufallsvariable: besitzt eine integrierbare Dichtefunktion f(f(x) := F ′(x), wenn F differenzierbar ist)

F (x) =

∑

xi<xpi , X diskrete ZV

x∫

−∞f(t) dt, X stetige ZV

P (a≤X<b) = F (b)− F (a)

P (a≤X≤b) = F (b)−F (a)+P (X = b)

X Zufallsvariable und g Funktion =⇒ g X = g(X) Zufallsvariable


Parameter einer Verteilung

Erwartungswert: µ = E[X ],

Varianz oder Streuung: σ2 = V [X ] := E[(X − E[X ])2] = E[X2]− (E[X ])2

Standardabweichung: σ =√

V [X ]

E[X] E[g(X)] V[X]

Xdiskr.

∑

ixi · pi , wenn

∑

i|xi| · pi <∞

∑

ig(xi) · pi , wenn

∑

i|g(xi)| · pi <∞

∑

i(xi −E[X])2pi

pi =

P (X=xi)

Xstetig

∞∫

−∞

xf(x) dx, wenn

∞∫

−∞

|x|f(x) dx<∞

∞∫

−∞

g(x)f(x)dx, wenn

∞∫

−∞

|g(x)|f(x)dx <∞

∞∫

−∞

(x−E[X])2f(x) dx

f(x) Dichte,

g(X)Funktionvon X.

Quantil von F zur W p: xp mit F (xp) ≤ p ≤ F (xp + 0) := limx→xp+

F (x)

Median: x 12

Moment k–ter Ordnung: mk = E[Xk]

k–tes zentrales Moment: µk = E[(X − E[X ])k], µ2 = σ2

Rechenregeln fur Erwartungswerte

a, b Konstante; X,Y Zufallsvariable

E[aX + bY ] = aE[X ] + bE[Y ]Linearitatdes Erwartungswertes

V [X ] = E[(X − a)2]− (E[X ]− a)2 Steiner–Formel

V [aX + b] = a2V [X ]

X∗ := 1√V [X]

(X − E[X ])⇒E[X∗] = 0V [X∗] = 1

Standardisierung von X

V [aX + bY ] = a2V [X ] + b2V [Y ] + 2ab cov (X,Y )

P (|X−E[X ]| ≥ ǫ) ≤ V [X ]ǫ2 Cebysev–Ungleichung

16.2 Verteilungen 209

Ubersicht uber einige wichtige Verteilungen

DiskreteVerteilungenZufallsvar. = N

Wertmenge von N P (N = k) E[N ] V [N ]

Null–Eins–Verteilung

1, 0pq := 1− p p p · q

Binomial–VerteilungB(n, p)

0, 1, . . . , n(nk

)

pkqn−k np nqp

hypergeometr.VerteilungH(N, r, n)

max0, n− (N − r)≤ k ≤

minn, r

(rk

)(N − rn− k

)

(Nn

) nrN

n rNN−rN

N−nN−1

Poisson–VerteilungP (λ)

0, 1, 2, . . .λk

k!e−λ λ λ

geometrischeVerteilungmit demParameter p

0, 1, 2, . . . p · qk qp

qp2

negativeBinomial–Verteilungmit denParametern r, p

0, 1, 2, . . .

(r+k−1

k

)

prqk

=(−rk

)

pr(−q)krqp r

qp2

Normal– oder Gaußverteilung N(0, 1)Erwartungswert µ = 0Standardabweichung σ = 1

Dichtefunktion ϕ(x) = 1√2π

e−x

2

2

Verteilungsfunktion Φ(x) = 1√2π

∫ x

−∞e− t

2

2 dt

x

y

. ............... ................ ............. ........... .......... ..........................................

....................

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....................................................... ...............

........... .......... ............ ......... ......... ............ .......... ........... ............. ................ ...............

1σ-σ

2 3-1-2-3

ϕ(x)

1√2π 0.4

Grenzwertsatz

Die Summe von n unabhangigen, identisch verteilten Zu-fallsvariablen ist asymptotisch (n→∞) normalverteilt.

Normalverteilung N(µ, σ2) Seite 210Normalverteilung N(0, 1) Seite 220, 221Grenzwertsatze Seite 212

∫ 1

−1ϕ(x) dx = 68.3 %

∫ 2

−2ϕ(x) dx = 95.5 %

∫ 3

−3ϕ(x) dx = 99.7 %


Verteilungen

VerteilungWert–mengeW (X)

Dichtef : W (X)→ IR

x 7→f(x)E[X] V [X]

Diagrammder

Dichte

Gleich–Verteilungin [a, b](Rechtecks–verteilung)

(a, b)1b−a

a+b2

(b−a)212

Normal–Verteilung

N(µ, σ2)IR

e−1

2(x−µσ

)2

√2πσ

µ σ2

Gamma–Verteilung

Γ(k, λ)(0,∞)

λkxk−1e−λx

Γ(k)kλ

kλ2

χ2 –Verteilung

mit nFreiheitsgraden

χ2n = Γ(n

2, 12)

(0,∞)xn/2−1e−x/2

2n/2Γ(n/2)n 2n

a b x

1b−a

. ............ ............. ............... ............ ........................................................................................

....................... ............... ....... ....... ............... .......

............................ ........ ........ ............

....................... ......... ......... ....... ............ ............... ............. ............

µ+σµ−σ µ x

1σ√

2π

..............

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.....................

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0.5 1

k=0.5

k=1

k=1.5

1

x

λ = 1

....... .................................. ........ ..... .............. ............. ....... ......... ........................ ......... ......... ......... ...... ...... ........ ......... ..... ................ ............. .......... ...... ......... ........... .............. ........... .............. ................. ....................

.

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81

n=1

n=3

n=100.1

x

t–Verteilung tn mit n Freiheitsgraden

Wertmenge: (−∞,∞)

Dichte =1√nπ·Γ(n+1

2)

Γ(n2)· 1(1+x2

n

)(n+1)/2

E[X ] = 0, fur n > 1 und V (X) = nn−2

, fur n > 2

. ........... ......... ........ .....................................

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. .................................................................................

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n =∞n = 3

n = 1

0.4

1 xDiagramm der Dichte

F–Verteilung Fm,n mitm Zahler–Freiheitsgradenn Nenner–Freiheitsgraden

Wertmenge: (0,∞)

Dichte =(m

2

)m/2(n2

)n/2Γ(m+n

2)

Γ(m2

)Γ(n2)

xm/2−1

(m2x+n

2)(m+n)/2

E[X ] =nn−2, fur n > 2

V [X ] =2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4), fur n > 4

1

n=10n= 2

n=∞0.1

x.

...............................

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..................

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..

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Diagramm der Dichte

16.3 Mehrdimensionale Zufallsvariable 211

16.3 Mehrdimensionale Zufallsvariable

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Sei (Ω,A,P) ein WR und n ∈ IN. Eine

n–dimensionale Zufallsvariable oder ein n–dimensionaler Zufallsvektor isteine Abbildung X : Ω→ IRn, so dass fur jedes x ∈ IRn gilt X−1(−∞, x) ∈ A.

Gemeinsame Verteilungsfunktion des Zufallsvektors X

X = (X1, . . . , Xn), X stetig mit der Dichte f

F (x1, . . . , xn) = FX(x) = P (X1 < x1, . . . , Xn < xn) = P(X−1(−∞, x)

).

=

∫x1

−∞· · ·

∫xn

−∞f(t1, . . . , tn) dt1 · · · dtn

Randverteilungen: FXi(xi) = P (Xi < xi) = FX(∞, . . . ,∞, xi,∞, . . . ,∞).

Unabhangigkeit von Zufallsvariablen X1, . . . , Xn:Fur alle x1, . . . , xn ∈ IR sind die Ereignisse X1<x1, . . . , Xn<xn unabhangig.

X1, . . . , Xn unabhangig ⇐⇒ F(X1,...,Xn)(x1, . . . , xn) = FX1(x1) · · ·FXn(xn)

⇐⇒ f(X1,...,Xn)(x1, . . . , xn) = fX1(x1) · · · fXn(xn)

(bei Existenz von Dichten)

Parameter zweidimensionaler Zufallsvariablen (X, Y )

E[(X,Y )] = (E[X ], E[Y ])Vektor des Erwartungswertesder Randverteilungen

E[g(X,Y )] =∑

i

∑

k

g(xi, yk) · pi,k (X,Y ) diskret,pi,k = P (X = xi, Y = yk)

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞g(x, y) · f(x, y) dx dy

(X,Y ) stetig mit Dichte f ,absolute Konvergenz der Rei-hen/Integrale vorausgesetzt.

cov (X,Y ) = E[(X − E[X ])(Y − E[Y ])] Kovarianz von X,Y= E[XY ]− E[X ] · E[Y ]

ρ(X,Y ) =cov (X,Y )√V [X]·V [Y ]

Korrelationskoeffizientvon X,Y

−1 ≤ ρ(X,Y ) ≤ 1Cauchy–SchwarzscheUngleichung

ρ(X,Y ) = 0X,Y ”unkorreliert”,wenn X,Y unabhangig

|ρ(X,Y )| = 1 ⇐⇒ P (Y =aX+b) = 1ρ2 : ein Maß fur die lineareAbhangigkeit von Y und X


Summen von unabhangigen Zufallsvariablen

X1 ∼ X2 ∼ S = X1 +X2 ∼B(n1, p) B(n2, p) B(n1 + n2, p)

P (λ1) P (λ2) P (λ1 + λ2)

neg. Bin. r1, p neg. Bin. r2, p neg. Bin. r1 + r2, p

N(µ1, σ21) N(µ2, σ

22) N(µ1 + µ2, σ

21 + σ2

2)

Γ(k1, λ) Γ(k2, λ) Γ(k1 + k2, λ)

X1 ∼ B(n1, p) :⇐⇒ X1 besitzt eine B(n1, p) –Verteilung

Zentraler Grenzwertsatz

Es seien X1, X2, . . . unabhangige, identisch verteilte Zufallsvariablen mitE[Xi] = µ, V [Xi] = σ2 fur alle i = 1, 2, . . .. Dann gilt:

(1) Xn :=X1+···+Xn

n ∼ N(µ, σ2

n) asymptotisch fur n→∞

(2) Zn :=X−µσ√n∼ N(0, 1), asymptotisch fur n→∞ d.h.

(3) P (Zn<z) −→n→∞ Φ(z) =1√2π

∫ z

−∞e− t

2

2 dt

(4) P (Zn<z) = Φ(z), wenn Xi ∼ N(µ, σ2)√n–Gesetz

Grenzwertsatz von Moivre–Laplace

Xn ∼ B(n, p) =⇒ Xn ∼ N(np, np(1− p)) asymptotisch fur n→∞

=⇒ Zn =Xn−np√np(1−p)

∼ N(0, 1) asymptotisch fur n→∞

P (Zn < z) ≈ Φ(z) Faustregel

gutebrauchbare Naherung, wenn n · p(1−p) > 9

> 4 ist.

Gesetz seltener Ereignisse

Xn ∼ B(n, pn) mit limn→∞

n · pn = λ =⇒ limn→∞

P (Xn=k) = e−λ λk

k!, k ∈ IN0

16.4 Stichproben 213

16.4 Stichproben

Stichproben

Wird ein Zufallsexperiment, das durch eine Zufallsvariable X mit unbekannterVerteilung F beschrieben wird, unter identischen Bedingungen n–mal unabhangigdurchgefuhrt, und nimmt X dabei die Werte x1, . . . , xn (Urliste) an, so heißt(x1, . . . , xn) eine konkrete Stichprobe vom Umfang n fur X bzw. fur F .

Sie ist eine Realisierung des Zufallsvektors (X1, . . . , Xn), der mathematischeStichprobe vom Umfang n fur X heißt, und dessen Komponenten unabhangigund identisch verteilt sind mit der Verteilung F von X .

mn(x) = Anzahl der Stichprobenwerte < x

empirische Verteilungsfunktion zur Urliste F ∗n(x) =

mn(x)n

.

P

(

limn→∞

[

sup−∞<x<∞

|F ∗n(x)− F (x)|

]

= 0

)

= 1Hauptsatz der Statistik

(GLIVENKO)

Bei sehr umfangreichen Urlisten erfolgt eine Klasseneinteilung:

m Anzahl der Klassen (= Intervalle I1, . . . , Im)

xk Klassenmitte der k–ten Klasse Ik

hk absolute Haufigkeit der Stichprobenwerte in Ik :

m∑

k=1

hk = n

rk =hkn relative Haufigkeit der Elemente der k–ten Klasse:

m∑

k=1

rk = 1.

Histogramm (graphische Darstellung):rk wird uber dem Intervall Ik aufgetragen

empirische Verteilungsfunktion:

F ∗n(x) =

∑

xk<x

rk.

r1

r2

rk

x

x1 x2 x3 x4 x5 x6

I1 I2 I3 I4 I5 I6

Stichprobenfunktionen

T = TX,n = T (X1, . . . , Xn) Fkt. von einer math. Stichprobe (X1, . . . , Xn) fur Xt = tX,n = T (x1, . . . , xn) Realisierung von T .


wichtige Beispiele fur Stichprobenfunktionen

X = 1n (X1 + · · ·+Xn) Stichprobenmittel

S2 = S2X,n = 1

n−1

n∑

i=1

(Xi−X)2 Stichprobenstreuung

S2 = 1n

n∑

i=1

(Xi−X)2 modifizierte Stichprobenstreuung

S =√S2 Stichprobenstandardabweichung

M∗k = 1

n

n∑

i=1

Xki (k = 1, 2, . . .) empirisches Moment k–ter Ordnung

praktische Berechnung der Realisierungen x bzw. s2

x = 1n

n∑

i=1

xi = a+ 1n

n∑

i=1

(xi − a) a vorlaufiger Mittelwert (Urliste)

x = 1n

m∑

k=1

xk · hk =m∑

k=1

xk · rk = a+ 1n

m∑

k=1

(xk − a)hk (Klasseneinteilung)

s2 = 1n−1

n∑

i=1

(xi−x)2 = 1n−1

[ n∑

i=1

x2i−x

n∑

i=1

xi

]

= 1n−1

[ n∑

i=1

(xi−a)2−n(x−a)2]

(Urliste)

s2 = 1n−1

m∑

k=1

(xk − x)2hk = 1n−1

[ m∑

k=1

x2khk − x

m∑

k=1

xkhk

]

=− 1n−1

[ m∑

k=1

(xk − a)2hk − 1n

( m∑

k=1

xkhk

)2]

(Klasseneinteilung)

Einige Verteilungen von Stichprobenfunktionen

X1, . . . ,Xn unabhangig identisch verteilt, U, V unabhangig

Verteilungvon X1

PrufgroßeStichprobenfunktion

hat die Verteilung,tabelliert auf Seite

n · X B(n, p)

B(1, p) P ∗ = (X − p)/(√

p(1−p)n ) asymptotisch N(0, 1) 220, 221

P (λ) nX P (n · λ)X N(µ, σ

2

n )

N(µ, σ2) Z = (X − µ)/(σ/√n) N(0, 1) 220, 221

C = (n− 1) · S2/σ2 χ2n−1 223, 224

T = (X − µ)/(S/√n) tn−1 222

N(0, 1) χ =n∑

i=1

X2i χ2

n 223, 224

U ∼ χ2m

V ∼ χ2n

Q =nm ·

UV Fm,n

X1 ∼N(µ1, σ21)

Y1 ∼N(µ2, σ22)

σ21 = σ2

2

2 unabhangige Stichproben:(X1, . . . , Xn1) und (Y1, . . . , Yn2)Q = S2

X,n1/S2

Y,n2

Fn1−1,n2−1

beliebig mitE[X1] = µV [X1] = σ2

Z = (X − µ)/(S/√n) asymptotisch N(0, 1) 220, 221

16.4 Stichproben 215

Punktschatzung

X sei eine Zufallsvariable mit einer (dem Typ nach) bekannten Verteilungsfunktion FΘ

(”Verteilung der Grundgesamtheit”), die von einem unbekannten Parameter Θ ∈ Tabhangt: FΘ(x) = PΘ(X < x) (”Verteilungsannahme”, z.B. X ∼ B(1, p), Θ = p). Eine

Stichprobenfunktion Θn = Θ(X1, . . . ,Xn) ≈ Θ heißt Schatzer fur Θ. Jede Realisierung

ϑn = Θ(x1, . . . , xn) ≈ Θ ist eine Punktschatzung fur Θ.

Eigenschaften: erwartungstreu EΘ[Θn] = Θ

asymptotisch erwartungstreu limn→∞

EΘ[Θn] = Θ

konsistent limn→∞

PΘ(|Θn−Θ| > ǫ) = 0 fur jedes ǫ > 0; d.h.

bei genugend großem Umfang der Stichprobe sind große Abweichungen

des Schatzwertes Θn von Θ beliebig unwahrscheinlich.

Von zwei erwartungstreuen Schatzungen Θ(1)n , Θ

(2)n fur Θ heißt Θ

(1)n wirksamer

als Θ(2)n , wenn VΘ[Θ

(1)n ] < VΘ[Θ

(2)n ]. Bei der Punktschatzung gibt es eine Genau-

igkeitsschranke, die nicht unterschritten werden kann: RAO–CRAMER–Schranke= 1/(n · I(Θ)), I(Θ) = VΘ[ ∂∂Θ ln fΘ(X)], fΘ Dichte bzw. Verteilung von X .

Effizienz von Θn: EffΘ(Θn) = 1/(n · I(Θ) · VΘ[Θn])wirksamste oder 100%–effiziente Schatzung: EffΘ(Θn) = 1.asymptotisch effizient: lim

n→∞EffΘ(Θn) = 1.

Gebrauchliche Punktschatzungen

Verteilungs–annahme FΘ

unbekannterParameter Θ

Schatzer Θn Eigenschaften

B(1, p) pp = X =rel. Haufigkeit von Amit P (A) = p

erwartungstreukonsistenteffizient

P (λ) λ λ = Xerwartungstreukonsistenteffizient

N(µ, σ2)

σ2 bekanntµ µ = X


N(µ, σ2) (µ, σ2) (µ, σ2) = (X, S2)erwartungstreukonsistenteffizient

N(µ, σ2)

µ bekanntσ2 σ2 = S2


Γ(k, λ) (k, λ) (k, λ) = (X2/S2, X/S2) konsistent

E(λ) λ λ = 1/Xerwartungstreukonsistenteffizient

F beliebig mitE[X ] = µV [X ] = σ2

(µ, σ2) (µ, σ2) = (X, S2) erwartungstreukonsistent


16.5 Konfidenzintervalle

Konfidenzintervalle

X sei eine Zufallsvariable mit einer (dem Typ nach) bekannten Verteilungsfunkti-on FΘ , die jedoch von einem unbekannten Parameter Θ ∈ T abhangt: FΘ(x) =PΘ(X < x). Ein zufalliges Intervall [L, L] mit Stichprobenfunktionen (”Vertrau-ensgrenzen”)

∞ ≤ L− = L−(X1, . . . , Xn) ≤ L+ = L+(X1, . . . , Xn) ≤ ∞heißt ein Konfidenzintervall oder eine Bereichsschatzung fur Θ zur Irrtums-wahrscheinlichkeit α bzw. zum Konfidenzniveau 1− α wenn

PΘ(L− ≤ Θ ≤ L+) ≥ 1− α

Einige Konfidenzintervalle zum Konfidenzniveau 1− α

Verteilung

FΘ

Voraus-setzung

Θ Θ1)n

Prufgroße

T = T (Θn)

Zweiseitiges 2)

Konfidenzintervallfur Θ zum Konfidenz-niveau 1− α:

P (L−≤Θ≤L+)≥1−α

Quantil Q zurWahrscheinlkt. Wder Verteilung V.

Q3) W V

B(1, p)

n großp X

X−p√

p(1−p)n

L±(X1, . . . , Xn) =

nn+z2

[

X +12nz2±

z

√

X(1−X)n

+ (12nz)2]

z 1− α2

N(0, 1)

N(µ, σ2)

σ2 bekanntµ X

X−µσ√n

L±(X1, . . . ,Xn)

= X ± σ√nz

z 1− α2 N(0, 1)

µ XX−µS√n

L±(X1, . . . ,Xn)

= X ± S√nt

t 1− α2 tn−1

N(µ, σ2)

σ2 S2(n−1)S2

σ2

L±(X1, . . . ,Xn)

=(n−1)S2

χ2±

χ2−

χ2+

1− α2

α2

χ2n−1

χ2n−1

N(µ, σ2)

µ bekanntσ2 S2 n·S2

σ2

L±(X1, . . . ,Xn)

=nS2

χ2±

χ2−

χ2+

1− α2

α2

χ2n

χ2n

1) Schatzfunktion zur Punktschatzung von Θ, siehe S. 215: Gebrauchliche Punktschatzungen

2) Einseitige Konfidenzintervalle der Form −∞ < Θ ≤ L+ bzw. L− ≤ Θ <∞erhalt man, indem man L+[L−] mit dem Quantil z / t / χ2

+ / χ2−

zur W 1 − α (Normal– bzw. t–Verteilung) bzw.zur W α oder 1 − α (χ2–Verteilung) bestimmt.

3) Tabellen Seite 220–224.

16.5 Konfidenzintervalle 217

Parametertests mit einer Verteilungsannahme

X sei eine Zufallsvariable mit einer (dem Typ nach) bekannten VerteilungsfunktionFΘ, die jedoch von einem unbekannten Parameter Θ ∈ T abhangt:

FΘ(x) = PΘ(X < x).

Es sei T = T0 ∪ T1 eine disjunkte Zerlegung.

Nullhypothese: H = H0 :⇔ Θ ∈ T0.Alternativhypothese: H = H1 :⇔ Θ ∈ T1.Auf Grund einer konkreten Stichprobe (x1, . . . , xn) fur X ist zwischen H0 und H1

zu entscheiden.

Fehler 1. Art: Ablehnung einer richtigen HypotheseFehler 2. Art: Nichtablehnung einer falschen Hypothese

Signifikanzniveau: vorgegebene Schranke α fur die W , einen Fehler 1. Art zubegehen. [z.B. α = 0.05, 0.01 oder 0.001]

Allgemeiner Ablauf eines Parametertests

1.)Aufstellen einerNullhypoth. H0:

Alternativhypoth. H1 Verwerfungsbereich K

einseitig: Θ ≤ Θ0

einseitig: Θ ≥ Θ0

zweiseitig: Θ = Θ0

Θ > Θ0

Θ < Θ0

Θ 6= Θ0

einseitigeinseitigzweiseitig

f Dichte der Prufgroße, α1 + α2 = α

......... ............ .............. ........... ......... ....................................................

................................................................................................................................................................................................... ....... ........ ...... ...... ........ ....... ........ ....... .........

................

α

K z

f

.................

................................................................................................................................ ....... ........ ...... ...... ........ ....... ........ ....... .................

............... ...................

................................ ........ ..........

.............

......... ........................ ........ ....................

......................

........... ............ ............. ................. ................

α

Kz

f

......... ............ .............. ........... ......... ....................................................

................................................................................................................................................................................................... ....... ........ ...... ...... ........ ....... ........ ....... .................

............... ...................

................................ ........ ..........

.............

......... ........................ ........ ....................

......................

........... ............ ............. ................. ................

α2α1

KK z+z−

f

einseitige Verwerfungsbereiche zweiseit. Verwerfungsber.

2.) Konstruktion einer Prufgroße T = T (X1, . . . , Xn, H0) (Stichprobenfunk-tion), deren Verteilungsfunktion unter der Annahme, dass H0 wahr ist,zumindest (fur große n) naherungsweise bekannt ist.

3.) Wahl von α und Wahl eines kritischen Bereiches (Verwerfungsberei-ches) K (abhangig von H1, einseitiger oder zweiseitiger, moglichst großerTeil des Wertebereiches von T ), so dass

P (T ∈ K|H0 ist wahr ) ≤ α und P (T ∈ K|H1 ist wahr ) = max

W fur Fehler 1. Art Gute des Tests

4.) Entscheidungsregel:Fallt fur eine konkrete Stichprobe (x1, . . . , xn) der beobachtete Wert t derPrufgroße in den VerwerfungsbereichK, so wirdH0 abgelehnt, andernfallsist H0 mit der Stichprobe vertraglich und es wird H0 angenommen.


Einige Parametertests zum Signifikanzniveau α

Verteilung

FΘ

Vorraus-setzung

H0 H1

Prufgroße

T =

T (X1, .., Xn,H0)

Annahmewenn

Q W V

p ≤ p0 p > p0 p∗ ≤ zz 1−αB(1, p)

n großP ∗ =

X−p0√p0(1−p0)

n

N(0, 1)p ≥ p0 p < p0 p∗ ≥ −z

p = p0 p 6= p0 |p∗| ≤ z z 1− α2

µ ≤ µ0 µ > µ0 z ≤ zz 1−αN(µ, σ2)

σ2 bekanntZ =

X−µσ√n

N(0, 1)µ ≥ µ0 µ < µ0 z ≥ −z

µ = µ0 µ 6= µ0 |z| ≤ z z 1− α2

µ ≤ µ0 µ > µ0 t ≤ tt 1−α

N(µ, σ2) T =X−µS√n

tn−1µ ≥ µ0 µ < µ0 t ≥ −t

µ = µ0 µ 6= µ0 |t| ≤ t t 1− α2

σ2 = σ20 σ2 6= σ2

0 χ2−≤ c ≤χ2

+

χ2−

χ2+

α2

1− α2

N(µ, σ2) C =(n−1)S2

σ20

χ2n−1σ ≤ σ2

0 σ2 > σ20 c ≤ χ2 χ2 1−α

σ ≥ σ20 σ2 < σ2

0 c ≥ χ2 χ2 α

σ2 = σ20 σ2 6= σ2

0 χ2−≤ c ≤χ2

+

χ2−

χ2+

α2

1− α2

N(µ, σ2)

µ bekanntC =

nS2

σ20

χ2nσ ≤ σ2

0 σ2 > σ20 c ≤ χ2 χ2 1−α

σ ≥ σ20 σ2 < σ2

0 c ≥ χ2 χ2 α

X1 ∼ 1)

N(µ1, σ21), n1

Y1 ∼N(µ2, σ

22), n2

σ21 = σ2

2 σ21 6= σ2

2

Q =S2X,n1

S2Y,n2

(S2X,n1

≥ S2Y,n2

)

Q ≤ f f 1− α2

Fn1−1,n2−1

X1 ∼ 1)

N(µ1, σ21), n1

Y1 ∼N(µ2, σ

21), n2

µ1 = µ2 µ1 6= µ2

D =

siehe unten|D| ≤ t t 1− α

2tn1+n2−2

D = (X − Y )

√n1n2(n1+n2−2)

n1+n2√(n1−1)S2

X,n1+(n2−1)S2

Y,n21) unabhangige Stichproben vom Umfang n1 bzw. n2

16.5 Konfidenzintervalle 219

Kolmogorov–Test

Voraussetzung: X ist eine stetige ZufallsvariableNullhypothese: X besitzt die Verteilungsfunktion F0

1.) Ermittle die empirische Verteilungsfunktion F ∗n der Stichprobe.

2.) Berechne Dn := sup−∞<x<∞

|F ∗n (x)− F0(x)| = maxd1, d2

d1 = maxxi

|F ∗n (xi)− F0(xi)| und d2 = max

xi

|F ∗n(xi+1)− F0(xi)|,

wobei xi die der Große nach geordneten Stichprobenwerte durchlauft.

3.) Wahle das Signifikanzniveau α [z.B. α = 0.05 oder α = 0.01]und ermittle den kritischen Wert Kn,α.

4.) Wahle H0 fur Dn<Kn,α (mit einer Irrtums–W ≤ α fur Fehler 1. Art).

5.) Kritische Werte Kn,α:

nα 5 10 15 20 25 30 40 50 100 n→∞0.05 0.563 0.409 0.338 0.294 0.264 0.242 0.210 0.188 0.134 1.36/

√n

0.01 0.669 0.486 0.404 0.352 0.317 0.292 0.252 0.226 0.161 1.63/√n

χ2–Anpassungstest

1.) Fertige ein Histogramm der Stichproben an und ermittlem = Anzahl der Klassen I1, . . . , Imhk = absolute Haufigkeit der Stichprobenwerte in Ik (≥ 5), n =

∑mk=1 hk.

2.) Schatze gegebenenfalls unbekannte Parameter in F0 wie unten angege-ben (Maximum–Likelihood–Schatzungen) aus der in Klassen eingeteiltenStichprobe. (Nur bei großer Zahlm der Klasssen konnen Parameter aus derUrliste geschatzt werden, Seite 215: ”Gebrauchliche Punktschatzungen”.)

3.) Berechne die Prufgroße mit ek = nPF0(x ∈ Ik).4.) Wahle das Signifikanzniveau α und

ermittle das Quantil u1−α zurW 1−α wie unten angegeben.

5.) H0 annehmen, wenn U2m < u1−α ist.

Verteilung

F0

Para-meter

Schatzer Prufgroße

U2m =

Annahmevon H0

wenn

Quantil

zurVerteilung

F0 χ2m−1

B(1, p) p p = X

P (λ) λ λ = X

N(µ, σ2)σ2 bekannt

µ µ = X

m∑

k=1

(hk−ek)2ek

U2m < u1−α χ2

m−2

N(µ, σ2)µ bekannt

σ2 σ2 = S2

N(µ, σ2) µ, σ2 µ = X

σ2 = S2 χ2m−3


16.6 Wertetabelle der N(0, 1)–Verteilung

Kumulative Verteilungsfunktion Φ der N(0, 1)–Verteilung

Φ(z) =1√2π

∫z

−∞e−x2/2 dx , Φ(−z) = 1− Φ(z)

z Φ(z)0.00 0.500000.01 0.503990.02 0.507980.03 0.511970.04 0.515950.05 0.519940.06 0.523920.07 0.527900.08 0.531880.09 0.535860.10 0.539830.11 0.543800.12 0.547760.13 0.551720.14 0.555670.15 0.559620.16 0.563560.17 0.567490.18 0.571420.19 0.575350.20 0.579260.21 0.583170.22 0.587060.23 0.590950.24 0.594830.25 0.598710.26 0.602570.27 0.606420.28 0.610260.29 0.614090.30 0.617910.31 0.621720.32 0.625520.33 0.629300.34 0.633070.35 0.636830.36 0.640580.37 0.644310.38 0.648030.39 0.651730.40 0.655420.41 0.659100.42 0.662760.43 0.666400.44 0.670030.45 0.673640.46 0.677240.47 0.680820.48 0.684390.49 0.68793

z Φ(z)0.50 0.691460.51 0.694970.52 0.698470.53 0.701940.54 0.705400.55 0.708840.56 0.712260.57 0.715660.58 0.719040.59 0.722400.60 0.725750.61 0.729070.62 0.732370.63 0.735650.64 0.738910.65 0.742150.66 0.745370.67 0.748570.68 0.751750.69 0.754900.70 0.758040.71 0.761150.72 0.764240.73 0.767300.74 0.770350.75 0.773370.76 0.776370.77 0.779350.78 0.782300.79 0.785240.80 0.788140.81 0.791030.82 0.793890.83 0.796730.84 0.799550.85 0.802340.86 0.805110.87 0.807850.88 0.810570.89 0.8132700.90 0.815940.91 0.818590.92 0.821210.93 0.823810.94 0.826390.95 0.828940.96 0.831470.97 0.833980.98 0.836460.99 0.83891

z Φ(z)1.00 0.841341.01 0.843751.02 0.846141.03 0.848491.04 0.850831.05 0.853141.06 0.855431.07 0.857691.08 0.859931.09 0.862141.10 0.864331.11 0.866501.12 0.868641.13 0.870761.14 0.872861.15 0.874931.16 0.876981.17 0.879001.18 0.881001.19 0.882981.20 0.884931.21 0.886861.22 0.888771.23 0.890651.24 0.892511.25 0.894351.26 0.896171.27 0.897961.28 0.899731.29 0.901471.30 0.903201.31 0.904901.32 0.906581.33 0.908241.34 0.909881.35 0.911491.36 0.913091.37 0.914661.38 0.916211.39 0.917741.40 0.919241.41 0.920731.42 0.922201.43 0.923641.44 0.925071.45 0.926471.46 0.927851.47 0.929221.48 0.930561.49 0.93189

z Φ(z)1.50 0.933191.51 0.934481.52 0.935741.53 0.936991.54 0.938221.55 0.939431.56 0.940621.57 0.941791.58 0.942951.59 0.944081.60 0.945201.61 0.946301.62 0.947381.63 0.948451.64 0.949501.65 0.950531.66 0.951541.67 0.952541.68 0.953521.69 0.954491.70 0.955431.71 0.956371.72 0.957281.73 0.958181.74 0.959071.75 0.959941.76 0.960801.77 0.961641.78 0.962461.79 0.963271.80 0.964071.81 0.964851.82 0.965621.83 0.966381.84 0.967121.85 0.967841.86 0.968561.87 0.969261.88 0.969951.89 0.970621.90 0.971281.91 0.971931.92 0.972571.93 0.973201.94 0.973811.95 0.974411.96 0.975001.97 0.975581.98 0.976151.99 0.97670

z Φ(z)2.00 0.977252.01 0.977782.02 0.978312.03 0.978822.04 0.979322.05 0.979822.06 0.980302.07 0.980772.08 0.981242.09 0.981692.10 0.982142.11 0.982572.12 0.983002.13 0.983412.14 0.983822.15 0.984222.16 0.984612.17 0.985002.18 0.985372.19 0.985742.20 0.986102.21 0.986452.22 0.986792.23 0.987132.24 0.987452.25 0.987782.26 0.988092.27 0.988402.28 0.988702.29 0.988992.30 0.989282.31 0.989562.32 0.989832.33 0.990102.34 0.990362.35 0.990612.36 0.990862.37 0.991112.38 0.991342.39 0.991582.40 0.991802.41 0.992022.42 0.992242.43 0.992452.44 0.992662.45 0.992862.46 0.993052.47 0.993242.48 0.993432.49 0.99361

16.6 Wertetabelle der N(0, 1)–Verteilung 221

z Φ(z)

2.50 0.993792.51 0.993962.52 0.994132.53 0.994302.54 0.994462.55 0.994612.56 0.994772.57 0.994922.58 0.995062.59 0.99520

2.60 0.995342.61 0.995472.62 0.995602.63 0.995732.64 0.995852.65 0.995982.66 0.996092.67 0.996212.68 0.996322.69 0.99643

2.70 0.996532.71 0.996642.72 0.996742.73 0.996832.74 0.996932.75 0.997022.76 0.997112.77 0.997202.78 0.997282.79 0.99736

z Φ(z)

2.80 0.997442.81 0.997522.82 0.997602.83 0.997672.84 0.997742.85 0.997812.86 0.997882.87 0.997952.88 0.998012.89 0.99807

2.90 0.998132.91 0.998192.92 0.998252.93 0.998312.94 0.998362.95 0.998412.96 0.998462.97 0.998512.98 0.998562.99 0.99861

3.00 0.998653.01 0.998693.02 0.998743.03 0.998783.04 0.998823.05 0.998863.06 0.998893.07 0.998933.08 0.998963.09 0.99900

z Φ(z)

3.10 0.999033.11 0.999063.12 0.999103.13 0.999133.14 0.999163.15 0.999183.16 0.999213.17 0.999243.18 0.999263.19 0.99929

3.20 0.999313.21 0.999343.22 0.999363.23 0.999383.24 0.999403.25 0.999423.26 0.999443.27 0.999463.28 0.999483.29 0.99950

3.30 0.999523.31 0.999533.32 0.999553.33 0.999573.34 0.999583.35 0.999603.36 0.999613.37 0.999623.38 0.999643.39 0.99965

z Φ(z)

3.40 0.999663.41 0.999683.42 0.999693.43 0.999703.44 0.999713.45 0.999723.46 0.999733.47 0.999743.48 0.999753.49 0.99976

3.50 0.999773.51 0.999783.52 0.999783.53 0.999793.54 0.999803.55 0.999813.56 0.999813.57 0.999823.58 0.999833.59 0.99983

3.60 0.999843.61 0.999853.62 0.999853.63 0.999863.64 0.999863.65 0.999873.66 0.999873.67 0.999883.68 0.999883.69 0.99989

z Φ(z)

3.70 0.999893.71 0.999903.72 0.999903.73 0.999903.74 0.999913.75 0.999913.76 0.999923.77 0.999923.78 0.999923.79 0.99992

3.80 0.999933.81 0.999933.82 0.999933.83 0.999943.84 0.999943.85 0.999943.86 0.999943.87 0.999953.88 0.999953.89 0.99995

3.90 0.999953.91 0.999953.92 0.999963.93 0.999963.94 0.999963.95 0.999963.96 0.999963.97 0.999963.98 0.999973.99 0.99997

Quantil z zur Wahrscheinlichkeit 1−α2

der N(0,1)–Verteilung

Φ(z) = 1 − α2

α 10% 5% 2% 1% 0.2% 0.1%

z 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291

. ............. ............ ......... ....... .......... ....... .......... .............. .......... ....... ..... .....................................................

................................................................................................................................................................................................... ....... ........ ...... ...... ........ ....... ........ ....... .................

............... ...................

................................ ........ ..........

.............

......... ........................ ........ ....................

....................... .......... ............ .............. ..... ....... .......... .............. .......... ....... .......... ....... ......... ............ .............

α/2

z

ϕ


Quantil z zur Wahrscheinlichkeit 1−α2

der tn–Verteilung

mit n Freiheitsgeraden

P (tn < z) = 1 − α2

. ............. ............ ......... ....... .......... ....... .......... .............. .......... ....... ..... .......................... ..........

.................................................................................................................................................................................................................... ....... ........ ...... ...... ........ ....... ........ ....... .................

............... ....................

............................... ........ ..........

.............

......... ........................ ........ ....................

....................... .......... ............ .............. ..... ....... .......... .............. .......... ....... .......... ....... ......... ............ .............

α/2

z

ϕ

n α = 10% α = 5% α = 2% α = 1 % α = 0.1 %

1 6.314 12.706 31.821 63.657 636.6192 2.920 4.303 6.965 9.925 31.5993 2.353 3.182 4.541 5.841 12.9244 2.132 2.776 3.747 4.604 8.6105 2.015 2.571 3.365 4.032 6.8696 1.943 2.447 3.143 3.707 5.9597 1.895 2.365 2.998 3.499 5.4088 1.860 2.306 2.896 3.355 5.0419 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781

10 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587

11 1.796 2.201 2.718 3.106 4.43712 1.782 2.179 2.681 3.055 4.31813 1.771 2.160 2.650 3.012 4.22114 1.761 2.145 2.624 2.977 4.14015 1.753 2.131 2.602 2.947 4.07316 1.746 2.120 2.583 2.921 4.01517 1.740 2.110 2.567 2.898 3.96518 1.734 2.101 2.552 2.878 3.92219 1.729 2.093 2.539 2.861 3.88320 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850

21 1.721 2.080 2.518 2.831 3.81922 1.717 2.074 2.508 2.819 3.79223 1.714 2.069 2.500 2.807 3.76824 1.711 2.064 2.492 2.797 3.74525 1.708 2.060 2.485 2.787 3.72526 1.706 2.056 2.479 2.779 3.70727 1.703 2.052 2.473 2.771 3.69028 1.701 2.048 2.467 2.763 3.67429 1.699 2.045 2.462 2.756 3.65930 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646

40 1.684 2.021 2.423 2.704 3.55150 1.676 2.009 2.403 2.678 3.49660 1.671 2.000 2.390 2.660 3.46080 1.664 1.990 2.374 2.639 3.416

100 1.660 1.984 2.364 2.626 3.390200 1.653 1.972 2.345 2.601 3.340500 1.648 1.965 2.334 2.586 3.310∞ 1.645 1.960 2.326 2.576 3.291

16.6 Wertetabelle der N(0, 1)–Verteilung 223

(unteres) Quantil z zur Wahrscheinlichkeit α der χ2n–Verteilung


P (χ2n < z) = α

z

α

n α=0.5% α = 1% α=2.5% α = 5%

1 0.001 0.0042 0.010 0.020 0.051 0.1033 0.072 0.115 0.216 0.3524 0.207 0.297 0.484 0.7115 0.412 0.554 0.831 1.156 0.676 0.872 1.24 1.647 0.989 1.24 1.69 2.178 1.34 1.65 2.18 2.739 1.73 2.09 2.70 3.33

10 2.16 2.56 3.25 3.94

11 2.60 3.05 3.82 4.5712 3.07 3.57 4.40 5.2313 3.56 4.11 5.01 5.8914 4.07 4.66 5.63 6.5715 4.60 5.23 6.26 7.2616 5.14 5.81 6.91 7.9617 5.70 6.41 7.56 8.6718 6.26 7.01 8.23 9.3919 6.84 7.63 8.91 10.120 7.43 8.26 9.59 10.8

21 8.03 8.90 10.3 11.622 8.64 9.54 11.0 12.323 9.26 10.2 11.7 13.124 9.89 10.9 12.4 13.825 10.5 11.5 13.1 14.626 11.2 12.2 13.8 15.427 11.8 12.9 14.6 16.228 12.5 13.6 15.3 16.929 13.1 14.3 16.0 17.730 13.8 15.0 16.8 18.5

31 14.5 15.7 17.5 19.332 15.1 16.4 18.3 20.133 15.8 17.1 19.0 20.934 16.5 17.8 19.8 21.735 17.2 18.5 20.6 22.536 17.9 19.2 21.3 23.337 18.6 20.0 22.1 24.138 19.3 20.7 22.9 24.939 20.0 21.4 23.6 25.740 20.7 22.2 24.4 26.5

41 21.4 22.9 25.2 27.342 22.1 23.6 26.0 28.143 22.9 24.4 26.8 29.044 23.6 25.1 27.6 29.845 24.3 25.9 28.4 30.646 25.0 26.7 29.2 31.447 25.8 27.4 30.0 32.348 26.5 28.2 30.8 33.149 27.2 28.9 31.6 33.950 28.0 29.7 32.4 34.8

n α=0.5% α = 1% α=2.5% α = 5%

51 28.7 30.5 33.2 35.652 29.5 31.2 34.0 36.453 30.2 32.0 34.8 37.354 31.0 32.8 35.6 38.155 31.7 33.6 36.4 39.056 32.5 34.3 37.2 39.857 33.2 35.1 38.0 40.658 34.0 35.9 38.8 41.559 34.8 36.7 39.7 42.360 35.5 37.5 40.5 43.2

61 36.3 38.3 41.3 44.062 37.1 39.1 42.1 44.963 37.8 39.9 43.0 45.764 38.6 40.6 43.8 46.665 39.4 41.4 44.6 47.466 40.2 42.2 45.4 48.367 40.9 43.0 46.3 49.268 41.7 43.8 47.1 50.069 42.5 44.6 47.9 50.970 43.3 45.4 48.8 51.7

71 44.1 46.2 49.6 52.672 44.8 47.1 50.4 53.573 45.6 47.9 51.3 54.374 46.4 48.7 52.1 55.275 47.2 49.5 52.9 56.076 48.0 50.3 53.8 56.977 48.8 51.1 54.6 57.878 49.6 51.9 55.5 58.779 50.4 52.7 56.3 59.580 51.2 53.5 57.2 60.4

81 52.0 54.4 58.0 61.382 52.8 55.2 58.8 62.183 53.6 56.0 59.7 63.084 54.4 56.8 60.5 63.985 55.2 57.6 61.4 64.786 56.0 58.5 62.2 65.687 56.8 59.3 63.1 66.588 57.6 60.1 63.9 67.489 58.4 60.9 64.8 68.290 59.2 61.8 65.6 69.1

91 60.0 62.6 66.5 70.092 60.8 63.4 67.4 70.993 61.6 64.2 68.2 71.894 62.4 65.1 69.1 72.695 63.2 65.9 69.9 73.596 64.1 66.7 70.8 74.497 64.9 67.6 71.6 75.398 65.7 68.4 72.5 76.299 66.5 69.2 73.4 77.0

100 67.3 70.1 74.2 77.9


(oberes) Quantil z zur Wahrscheinlichkeit 1 − α der χ2n–Verteilung


P (χ2n < z) = 1 − α

z

α

n α=0.5% α = 1% α=2.5% α = 5%

1 7.88 6.63 5.02 3.842 10.6 9.21 7.38 5.993 12.8 11.3 9.35 7.824 14.9 13.3 11.1 9.495 16.8 15.1 12.8 11.16 18.5 16.8 14.4 12.67 20.3 18.5 16.0 14.18 22.0 20.1 17.5 15.59 23.6 21.7 19.0 16.9

10 25.2 23.2 20.5 18.311 26.8 24.7 21.9 19.712 28.3 26.2 23.3 21.013 29.8 27.7 24.7 22.414 31.3 29.1 26.1 23.715 32.8 30.6 27.5 25.016 34.3 32.0 28.8 26.317 35.7 33.4 30.2 27.618 37.2 34.8 31.5 28.919 38.6 36.2 32.8 30.120 40.0 37.6 34.2 31.421 41.4 38.9 35.5 32.722 42.8 40.3 36.8 33.923 44.2 41.6 38.1 35.224 45.6 43.0 39.4 36.425 46.9 44.3 40.6 37.626 48.3 45.6 41.9 38.927 49.6 47.0 43.2 40.128 51.0 48.3 44.5 41.329 52.3 49.6 45.7 42.630 53.7 50.9 47.0 43.831 55.0 52.2 48.2 45.032 56.3 53.5 49.5 46.233 56.7 54.8 50.7 47.434 59.0 56.1 52.0 48.635 60.3 57.3 53.2 49.836 61.6 58.6 54.4 51.037 62.9 59.9 55.7 52.238 64.2 61.2 56.9 53.439 65.5 62.4 58.1 54.640 66.8 63.7 59.3 55.841 68.0 65.0 60.6 56.942 69.3 66.2 61.8 58.143 70.6 67.5 63.0 59.344 71.9 68.7 64.2 60.545 73.2 70.0 65.4 61.746 74.4 71.2 66.6 62.847 75.7 72.4 67.8 64.048 77.0 73.7 69.0 65.249 78.2 74.9 70.2 66.350 79.5 76.2 71.4 67.5

n α=0.5% α = 1% α=2.5% α = 5%

51 80.7 77.4 72.6 68.752 82.0 78.6 73.8 69.853 83.3 79.8 75.0 71.054 84.5 81.1 76.2 72.155 85.7 82.3 77.4 73.356 87.0 83.5 78.6 74.557 88.2 84.7 79.8 75.658 89.5 86.0 80.9 76.859 90.7 87.2 82.1 77.960 92.0 88.4 83.3 79.161 93.2 89.6 84.5 80.262 94.4 90.8 85.7 81.463 95.6 92.0 86.8 82.564 96.9 93.2 88.0 83.765 98.1 94.4 89.2 84.866 99.3 95.6 90.3 86.067 100.6 96.8 91.5 87.168 101.8 98.0 92.7 88.369 103.0 99.2 93.9 89.470 104.2 100.4 95.0 90.571 105.4 101.6 96.2 91.772 106.6 102.8 97.4 92.873 107.9 104.0 98.5 93.974 109.1 105.2 99.7 95.175 110.3 106.4 100.8 96.276 111.5 107.6 102.0 97.477 112.7 108.8 103.2 98.578 113.9 110.0 104.3 99.679 115.1 111.1 105.5 100.780 116.3 112.3 106.6 101.981 117.5 113.5 107.8 103.082 118.7 114.7 108.9 104.183 119.9 115.9 110.1 105.384 121.1 117.1 111.2 106.485 122.3 118.2 112.4 107.586 123.5 119.4 113.5 108.687 124.7 120.6 114.7 109.888 125.9 121.8 115.8 110.989 127.1 122.9 117.0 112.090 128.3 124.1 118.1 113.191 129.5 125.3 119.3 114.392 130.7 126.5 120.4 115.493 131.9 127.6 121.6 116.594 133.1 128.8 122.7 117.695 134.2 130.0 123.9 118.896 135.4 131.1 125.0 119.997 136.6 132.3 126.1 121.098 137.8 133.5 127.3 122.199 139.0 134.6 128.4 123.2

100 140.2 135.8 129.6 124.3

225

17 Finanzmathematik

Zinssatz p% jahrlich, Zinsfaktor q = 1 + p% = 1 +p

100

1. Einmalige Zahlung: Anfangskapital K

Kapital nach n Jahren: Kn = K · qnBarwert einer in n Jahren falligen Zahlung: K = Kn · q−n

Anzahl der Jahre: n =ln(Kn/K)

ln q

Faustformel: Eine Verdoppelung tritt nach etwa 70p

Jahren ein.

2. Periodische Zahlungsraten R (Zinsgutschrift am Jahresende)

Zahlungsperiode:Monat (k = 12), Vierteljahr (k = 4), Halbjahr (k = 2), Jahr (k = 1)

Zahlung von R am Anfang der Zahlungsperiode: K1 = R(k +p

100· k+1

2)

Zahlung von R am Ende der Zahlungsperiode: K1 = R(k +p

100· k−1

2)

Kapital nach n Jahren: Kn = K1qn−1q−1

Im Fall k = 1 (jahrliche Zahlung) heißt R die Annuitat und es gilt

Kn = Rqn−1q−1

q (vorschussige Zahlung), Kn = Rqn−1q−1

(nachschussige Zahlung).

3. Startkapital S und periodische Entnahme oder Einlage R

Kapital nach n Jahren, K1 wie in 2.: Kn = S · qn ±K1qn−1q−1

Ein Schuldbetrag S ist abgetragen bzw.ein Startkapital S ist verbraucht, falls

Sqn = K1qn−1q−1

Annuitatenformel

R = S(q−1)qn

qn−1

die benotigte Anzahl an Jahren ist n =lnK1−ln(K1−S(q−1))

ln q

Beispiel: Durch welche monatliche Sparrate R (Zahlung am Monatsanfang)kann eine Schuld von 20 000 e bei p% = 6% in 5 Jahren abgetragen werden ?

Losung: 20 000 · 1, 065 = R(12 +6

100· 13

2) · 1,06

5−10,06

=⇒ R = 383, 21 e.

4. Barwert B einer Ratenzahlung (Rente) R

Erfolgt die Zahlung R jeweils am Ende der Zahlungsperiode, gilt (vgl. mit 2.):

Der Barwert ist

K1 = R(k +p

100· k−1

2)

Kn = K1 · qn−1q−1

B = K1qn−1q−1

· q−n

Der Barwert B einer ewigen Rente (n→∞) ist B = K1

q−1.

Beispiel: Welches Kapital B sichert eine ewige monatliche Rente von 1 000 ebei einem Zinssatz von p% = 5% jahrlich?

Losung: B =K1

q−1= 1000 (12 +

5100· 11

2)/0, 05 =⇒ B = 245 500 e.

226 18 DUAL– UND HEXADEZIMALSYSTEM

18 Dual– und Hexadezimalsystem

18.1 Dualsystem 0, 1

Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Dual 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100

Umwandeln einer naturlichen Dezimalzahl in eine Dualzahl:

5310 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 22 + 1 · 20 = 1101012

53 : 2 = 26 Rest 126 : 2 = 13 Rest 013 : 2 = 6 Rest 16 : 2 = 3 Rest 03 : 2 = 1 Rest 11 : 2 = 0 Rest 1

Dies ergibt sich auch durchwiederholte Division mit Rest:

Reste von unten nach oben notieren!

5310 = 1101012.

Umwandeln einer gebrochenen Dezimalzahl in eine Dualzahl:

0, 35 = 1 · 2−2 + 1 · 2−4 + · · · (Man sieht nicht so einfach, wie es weitergeht )

0, 35 · 2 = 0, 7 + 00, 7 · 2 = 0, 4 + 10, 4 · 2 = 0, 8 + 00, 8 · 2 = 0, 6 + 10, 6 · 2 = 0, 2 + 10, 2 · 2 = 0, 4 + 00, 4 · 2 = 0, 8 + 0

Wiederholtes Multiplizieren mit 2 undAbspalten des ganzzahligen Anteils.

Reste von oben nach unten notieren!

0, 3510 = 0, 0101102.

0, 583 Zunachst x = 0, 583 in einen gewohnlichen Bruch verwandeln:

1000x = 583, 3− 100x = 58, 3

900x = 525x =

525900 (10) =

712 (10).

Nun wie oben oderDividieren im Dualsystem:

7/12 · 2 = 2/12@ + 12/12 · 2 = 4/12@ + 04/12 · 2 = 8/12@ + 08/12 · 2 = 4/12@ + 14/12 · 2 = 8/12@ + 0

oder712 (10) =

1111100 (2), und

111:1100= 0, 100111101100

10010001000011001000

0, 58310 = 0, 10012.

Umwandeln einer ganzen Dualzahl in eine Dezimalzahl:

11001012 = 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 22 + 1 · 20 = 64 + 32 + 4 + 1 = 10110

1 1 0 0 1 0 1x = 2 2 6 12 24 50 100

1 3 6 12 25 50 101

Die Umwandlung kann auch mit demHornerschema durchgefuhrt werden!

11001012 = 10110.

Umwandeln einer gebrochenen Dualzahl in einen Dezimalzahlbruch:

x = 0, 10112 = 1 · 2−1 + 1 · 2−3 + 1 · 2−4 = 12

+ 18

+ 116

= 1116

= 0, 687510.

x = 0, 10012 =⇒ 16x = 1001,012

− 4x = 10,012

12x = 111,002 = 710

=⇒ x =712

= 0, 58310

0, 10012 = 0, 58310.

18.2 Hexadezimalsystem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,F 227

18.2 Hexadezimalsystem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,B, C,D, E, F

Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Hexadezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11

Umwandeln einer naturlichen Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl:

388510 = 15 · 162 + 2 · 16 + 13 = F2D16

3885 : 16 = 242 Rest 1310 = D16

242 : 16 = 15 Rest 210 = 216

15 : 16 = 0 Rest 1510 = F16

Division mit Rest und notierender Reste (hexadezimal)von unten nach oben!

388510 = F2D16.

Umwandeln einer gebrochenen Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl:

0, 35 = 5 · 16−1 + 9 · 16−2 + · · · (Man sieht nicht so einfach, wie es weitergeht )

0, 35 · 16 = 0, 6 + 50, 6 · 16 = 0, 6 + 90, 6 · 16 = 0, 6 + 9

Wiederholtes Multiplizieren mit 16 undAbspalten des ganzzahligen Anteils.

Reste von oben nach unten notieren!

0, 3510 = 0, 5916.

0, 583 Zunachst x = 0, 583 in einen gewohnlichen Bruch verwandeln:

1000x = 583, 3− 100x = 58, 3

900x = 525x =

525900 (10) =

712 (10).

7/12 · 16 = 4/12 + 94/12 · 16 = 4/12 + 54/12 · 16 = 4/12 + 5

0, 58310 = 0, 9516.

Umwandeln einer ganzen Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl:

3A4B16 = 3 · 163 + 10 · 162 + 4 · 16 + 11 = 14 92310

3 10 4 11x = 16 48 928 14912

3 58 932 14923

Die Umwandlung kann auch mit demHornerschema durchgefuhrt werden!

3A4B16 = 14 92310.

Umwandeln einer gebroch. Hexadezimalzahl in einen Dezimalzahlbruch:

x = 0, A816 = 10 · 16−1 + 8 · 16−2 = 1016

+ 8256

= 2132

= 0, 6562510.

x = 0, A816 =⇒ 162x = A8,816

− 16x = A,816

240x = (A8 −A),016 = (168− 10)10 = 15810

=⇒ x =158240

=79120

= 0, 658310, also 0, A816 = 0, 658310.

Umwandeln einer Dualzahl in eine Hexadezimalzahl:173810 = 110

︸︷︷︸1100︸︷︷︸

1010︸︷︷︸ 2 = 6CA16

= 6 C ADualzahl zu Viererblocken zusammenfassen!

228

Index

Abbildungsmatrix 67,68,72Abelscher Grenzwertsatz 78Ableitung

eine Veranderliche 90Integral nach Parameter 96impliziter Funktionen 146mehrere Veranderliche 139partielle 138,144Tabelle F4Vektorfunktionen F4

absolute Extrema 142absolute Konvergenz 75Abstand

Ebene–Ursprung 55Gerade–Ursprung 54reeller Zahlen 11

Abstande (Punkte,Geraden,Ebenen) 57Achsenabschnittsform

Ebene 55Gerade 54

achsialsymmetrische Felder 161Adams–Bashforth Verf. 191Additionsformel 206Additionstheoreme,F1

Hyperbelfunktionen 48komplexe Funktionen 182trigonometrische Fktn 45

Additivitat (Wahrscheinlich) 201adjungierte Matrix 59affine Funktion 42ahnlich 17ahnliche Matrizen 66Ahnlichkeits–DGL 166Ahnlichkeitssatze (Dreieck) 17Ahnlichkeitstransformation 66aquivalente Matrizen 67aquivalenz (DGL u. DGLsystem) 175Airysche DGL 174Algebra 6algebraische Funktion 42algebraische Vielfachheit 65,66algebraisches Komplement 62,63Alternativhypothese 217alternierende Reihe 76

Ampere 157Amplitude 50analytisch 183,185Anfangswertaufgabe 165,189Anfangskapital 225Annuitat 225Anpassungstest 219Aperiodischer Grenzfall 173Arbeitsintegral 159Archimedische Spirale 132Arcusfunktionen 46,47,183

komplex 183Areafunktionen 49

komplex 183

Argument einer kompl. Zahl 179Arithmetik 6arithmetische Summe 73arithmetisches Mittel 10Astroide 130Asymptote 43

Hyperbel 29,24,25Auaenwinkel (n–Eck) 20

Barwert 225Basis (Logarithmus) 6Basis (Vektorraum) 58Basislosungen (DGL) 169,171,178Basiswechsel 69Bayes 206bedingte Konvergenz 75bedingte Wahrscheinlichkeit 206Begleitendes Dreibein 134Bernoulli–DGL 167Bernoulli–Verteilung 207Bernoullische Ungleichung 10Bernoullische Zahlen 80beschrankte Folge 74Besselsche DGL 174Besselsche Ungleichung 85bestimmte Integrale (Tabelle) 121–123bestimmtes Integral 95Betrag (komplex) 179Betrag (reell) 11Bild (lineare Abb.) 67Binom 7Binomialkoeffizient 7–9,F2Binomialreihe 9,81Binomialverteilung 207,209Binomische Formel 8,9,73Binomische Reihe 9,81,F3Binormalenvektor 134,135Bogenelement 148,159Bogenlange

als Parameter 129ebene Kurve 129,148Raumkurve 134,135,148

Bogenmaß 17,44Bose–Einstein–Statitik 205Brennpunkt 22,23,24,23–27Butcher–Verfahren 190

Cardanosche Formel 12Cauchy–Hadamard–Formel 79Cauchy–Kriterium

Folgen 74Reihen 75,78

Cauchy–Riemann–DGLn 183Cauchy–Schwarz Ungleichung 10,51,211Cauchyprodukt von Reihen 75,79Cauchysche Integralformel 184Cauchysche Restgliedformel 188Cauchyscher Integralsatz 184Cavalieri 32,151Cebysev–Ungleichung 208charakteristische Gl. (DGL) 171,178charakteristische Gl. (Matrix) 65

229

charakteristisches Polynom 65chi–Quadrat–Test 219chi–Quadrat–Verteilung 210Clairaut–DGL 168cos–Reihe 82cosh 48,49cosh–Reihe 82Cosinus 44Cosinus hyperbolicus 48,49cot 44–47Cotangens 44–47coth 48,49Cotangens hyperbolicus 48,49Coulombfeld 161Cramersche Regel 64

Dampfung (DGL) 173d’Alembert–DGL 168d’Alembertsche Reduktion 170,177Dampfung 173Darstellungssatz (Fourier) 85Definitheit (Matrix) 145Definitheit (Norm, Skalarprodukt) 186Definitheit (Skalarprod) 51,186Definitionsbereich 41DEG 17Delta-Funktion 126Determinanten 62–64Dezimalsystem 226,227Dezimalbruch 226,227Dezimalzahl 226,227diagonalahnlich 65,66diagonalisierbar 66Diagonalmatrix 59Dichte (Wahrscheinlichkeit) 207,210Differentiation parameterabh. Integr. 96Differentialgeometrie 128Differentialgleichungen 164 ffDifferentialrechnung 90 ffDifferentiation der Umkehrfkt. 92Differentiationsregeln 90Differenzierbarkeit

eine Veranderliche 90partielle 139komplexe Funktionen 183mehrere Veranderliche 139Untersuchung auf 139

Differenzierenimplizites 92von Potenzreihen 79

diophantische Gleichung 16Dipolfunktion 126Dirac-Funktion 126Dirichlet-Kern/Integral 85diskrete Zufallsvariable 207,211Diskretisierungsverfahren 190Diskriminante 11,12

komplex 181Distribution 126

Ableitung 127Faltung 127

Divergenz 155

dividierte Differenzen 188Division (komplex) 180Division mit Rest 16,226,227Division durch Linearfaktor 15,16Dodekaeder 31Doppelintegrale 102Drehachse 70,71Drehmatrix 70,71Drehstreckung 179Drehung in der Ebene 71,39

im Raum 70,71Drehwinkel 39,70,71Dreibein, begleitendes 134Dreieck 17–19

Umfang 18Winkelsumme 18Inkreis, Umkreis 18

Dreiecksmatrix 59Dreiecksungleichung 10,11,51,186Dreifachintegrale 103Dualsystem 226Dualzahl 226Durchmesser (Kreis) 21

Ebenen 55,56effizient 215Eigenpaar 65

–raum 65–vektoren 65–werte 65

Eindeutigkeitssatz (AWA) 165einfach zusammenhangend 158Einlage, periodisch 225Einheitskreis 17Einheitsmatrix 59Einheitswurzel 180einschalig (Hyperboloid) 34,36Einschrittverfahren 190elektrisches Feld 161elementare Umformungen (Matrix) 61Elementarereignis 202–205Eliminationsmethode (DGL) 178Ellipse 23,28,35,39

Abschnitt 28Brennpunkt 23,28Gleichung 23,28Polare 23,28Sektor 28Tangente 23,28Ursprungsform 23Umfang 28,124Verschiebungsform 23

Ellipsoid 34,36,38Parameterdarstellung 147

Elliptische Integrale 124empirische Verteilungsfkt. 213empirisches Moment 214endliche geometrische Summe 73endliche Summen 73Entnahme, periodisch 225Entwicklungspunkt 79Entwicklungssatz (Vektorprod.) 52

230

Epizykloide 130Ereignis 201Ergebnisraum 201erwartungstreu 215Erwartungswert 208euklidische Norm 187euklidscher Algorithmus 16Euklidscher Hohensatz 18Euler–Cauchy–Verfahren 190Euler–Verfahren 190,191Eulersche

Darstellung (komplex) 179Differentialgleichung 171Formel 179Gerade 18Konstante 124Zahlen 80

Eulerscher Multiplikator 166Eulerscher Polyedersatz 31Evolute 129Evolvente 129ewige Rente 225exakte DGL 165,166Existenzsatz von Peano 165explizite Darstellung (ebene Kurve) 128

Flache 135explizite Verfahren 190Exponentialfunktion 43

komplex 182Exponentialreihe 82,182Extrema

eine Veranderliche 94mehrere Veranderliche 142,145implizite Funktionen 141unter Nebenbedingungen 143,144von z = f(x, y) 142

Exzentrizitat 23–25,28,29,30

Faltplan Polyeder 31F–Verteilung 210Fakultat 7Faltung 125, 127

Faraday 157Fehler 1./2. Art 217Fehlerabschatzung 165,195,198Feinheit einer Zerlegung 95Fejer–Integral 85Fejer–Kern 85Fibonaccifolge 20,74Finanzmathematik 228Fixpunktproblem 195,197,198Flache

2. Ordnung 34,36eines Dreiecks 18eines Vierecks 19eines n–Ecks 20im Raum 135,150in der Ebene 149

Flachenelement 150,160Flacheninhalt

eben 149, raumlich 150Rotationsflache 152

flachentreu 150Fluaintegral 160Folgen 73,74

beschrankt 74Grenzwert 74Haufungspunkt 74monoton 74

Fourier–Entwicklungen 86–89, 126Koeffizienten 84Polynom 84Reihen 84,89Transformierte 126

Freiheitsgrad 210Frenetsche Formeln 134Frequenz 50Frobenius (DGL) 174Fundamentalgroßen, metrische 150Fundamentalsystem (DGL) 169–171,176–178Funktion 41

mehrere Veranderliche 138,144Funktionaldeterminante 102,103

Kugelkoord., Zylinderkoord. 103Funktionalmatrix (Jacobi–Matrix) 147Funktionenfolgen 77

Gamma–Funktion 9Gamma–Verteilung 210ganzrationale Funktion 42Gaua–Legendre–Verfahren 192Gauascher Algorithmus 62,194Gauascher Integralsatz 162Gauaverteilung 209, 210gebrochen rational 43Generalsubstitution 101Geometrie 17geometrische

Folge 74Reihe 73,77,80,F3Summe 73Verteilung 209Vielfachheit 65,66

geometrischer Schwerpunkt 148,149,150geometrisches Mittel 10gerade Funktion 41,42,45Geraden 54

windschief 53ggT 16gleichmaaig konvergent 77,78gleichseitiges Dreieck 18Gleichung 2. Grades 11Gleichung 3. Grades 12Gleichung 4. Grades 13Gleichverteilung 210Glivenko 213Goldener Schnitt 20,74Gradient 138,144,154Gradientenfeld 158Gradmaß 17,44Graph 41Gravitationsfeld 158,161Greensche Formeln 163Grenzwerte F3

231

Folgen 74Funktionen 42,93l’Hospital 93mehrere Veranderliche 138

Grenzwertsatze 209, 212großter gemeinsamer Teiler 16Guldinsche Regeln 152

Halbachse (Ellipse) 28halber Winkel (Hyperbelfktn) 48halber Winkel (trig. Fktn) 45Halbparameter 28,29,30harmonische Funktion 156harmonische Reihe 77,F3harmonischer Oszillator 173Haufungspunkt (Folgen) 74Hauptachsen 39Hauptachsentransformation 37Hauptnormalenvektor 134,135Hauptsatz (Differ. u. Integ.) 96Hauptsatz der Statistik 213Hauptunterabschnittsdeterminante 145Heaviside–Funktion 126hebbare Singularitat 185hermitesche DGL 174hermitesche Matrix 59,66Heron, Wurzelziehen 11Hesse–Matrix 145Hessesche Normalform

Ebene 55,56Gerade 54

Hexadezimalsystem, Hexadezimalzahl 227Hilbertraum 186Histogramm 213Hohe im Dreieck 18Hohensatz 18holomorph 183homogene DGL 166homogene lineare DGL 167,169,171homogenes LGS 193homogenes lin. DGL–System 176,178Homogenitat (norm. Raum) 186Horner–Schema 15,16

komplex 15Hospital 93Hyperbel 24,25,29,35,39Hyperbelfunktionen 48,49,182,F1

komplex 182hyperbolische Spirale 132Hyperboloid 34,36,38hypergeometrische Verteilung 209Hypozykloide 130

Ikosaeder 31Imaginare Einheit 179Imaginare Gerade 35Imaginarteil 179implizite Darstellung

ebene Kurve 128Flache 135

implizite Verfahren 190implizite Funktionen 92,141,144

implizites Differenzieren 92,141,144indefinit 145Indexgleichung (DGL) 174inhomogene lineare DGL 167,169,172inhomogenes LGS 193inhomogenes lin. DGL–System 176–178Inkreis 18,20Innenwinkel

Dreieck 18n–Eck 20

Integrabilitatsbedingung 158Integraldarstellung Restglied 83Integrale (Tabelle),F4

bestimmte 121–123nicht elementare 120unbestimmte 104–120uneigentliche 121–123

Integralformel 184Integralkriterium 76Integralnorm 187Integralrechnung 95 ffIntegralsatze 162,163,184Integralsinus 120Integration

durch Substitution 97partielle 97rationaler Funktionen 99trigonometrischer Fktn. 101von exp und Hyp.fktn 101von Partialbruchen 99von Wurzelfunktionen 99,100

integrierbar 95Integrieren von Potenzreihen 79integrierender Faktor 166Interpolation 188,189Invarianten (Flache/Kurve) 35,36Invarianten (Matrix) 65Inverse Matrix 61,62Inversion (Permutation) 62invertierbar (Matrix) 61Irrtumswahrscheinlichkeit 216isogonale Trajektorie 164isolierte Singularitat 185Iterationsverfahren

Differentialgleichungen 165,175Gleichungen 195,198

Jacobi–Determinante 102,103–Identitat 52–Matrix 146,147,154

Kapital 225Kardioide 130kartesische

Basis 68Koordinaten 128

kartesische Darstellungebene Kurve 128,148Gerade 54komplexe Zahl 179

Kathetensatz 18

232

Kegel 32,34,136Kegelschnitt 21–30,35,37–39Kern–Bild Satz (lin. Abb.) 67Kettenlinie 132Kettenregel eine Veranderliche 90,F4

mehrere Veranderliche 141,144,146Klasseneinteilung 213Klassifizierung Kegelschnitte 35,38

Quadriken 36,38Koeffizienten (Polynom) 14

Potenzreihe 79Koeffizientenmatrix (LGS) 193Kolmogorov–Test 219Kombinationen 200,203Kombinatorik 200Komplementbeziehung 45komplexe

Amplitude 50Differenzierbarkeit 183Funktionen 182–185Zahlen 179

komplexeZahlenEinheitswurzeln 180Eulersche Darstellung 179kartesische Darstellung 179polare Darstellung 179quadratische Gleichung 181Rechnen mit 180

Konfidenzintervall 216Konfidenzniveau 216kongruent 17Kongruenzsatze (Dreieck) 17konjugiert komplex 179konjugierte Durchmesser 28,29konjugierte Hyperbeln 29konkav 94konservatives Feld 158konsistent 215konstante Koeffizienten (DGL) 171

DGL–System 178Kontraktion 195,198Konvergenz

absolute 75bedingte 75gleichmaaige 77,78Folgen 74Funktionenfolgen 77punktweise 77normierter Raum 186punktweise 77Reihen 75,76unbedingte 75uneigentliche Integrale 98

Konvergenzkriterien (Reihen) 76uneigentliche Integrale 98

Konvergenzordnung 190Konvergenzradius 79konvex 94Koordinaten

allgemeine 102,103kartesische 102,103,128Kugelkoordinaten 103,128 F2

Polarkoordinaten 102,103,128Zylinderkoordinaten 103,128 F2

Koordinatendarstellung (Ebene) 55,56Gerade 54

Koordinatensysteme 128,153Koordinatentransformationsmatrix 69Korper 32,151Korrektorverfahren 191Korrelationskoeffizient 211Kosinussatz 17,18,51,F2

spharisch 40Kovarianz 211Kreis 21,22,39

–abschnitt 21–ausschnitt 21–bogen 21–flache 21–frequenz 50–funktionen 44–kegel 32,34Ursprungsform 39Gleichung 21,22Verschiebungsform 39–zylinder 32,34

Kreuzprodukt 52Kriechfall 173kritischer Punkt 94Kronecker–Symbol 59Krummumg 94,134,135

ebene Kurve 129Krummungskreis 129Krummungsradius 135kubische Gleichung 12kubische Resolvente 13Kugel 33,34,137Kugeldreieck 40Kugelzweieck 40Kugelkoordinaten 128,153

bei Integration 103Divergenz 155Funktionaldeterminante 103Gradient 154Rotation 155

kugelsymmetrische Felder 161Kugelzweieck 40kumulative Verteilungsfunktion 207Kurven

2. Ordnung 35im Raum 134,148in der Ebene 128,129,148

Kurvenintegral 159komplex 184

Kurvenschar 164

Lagrange–Hilfsfunktion 143,144–Identitat 52–Interpolation 188–Restgliedformel 83–Verfahren (Extrema) 143,144

l’Hospital 93Laguerresche DGL 174

233

Langeebene Kurve 129eines Vektors 51Parabelbogen 30Raumkurve 134

langentreu 68Laplace

–Entwicklungssatz 63–Operator 127,156–Transformation 125,126–Wahrscheinlichkeitsraum 202

Laurentreihe 185Legendresche DGL 174Legendresche Normalform 124Leibniz–Formel (Determinanten) 62Leibnizkriterium 76Leitlinie 26–30Lemniskate 132lineare DGL mit konst. Koeff. 171linear unabhangig (Funktionen) 168

Vektoren 53,58lineare

Abbildung 67Abhangigkeit 58DGL 1. Ordnung 167DGL n–ter Ordn. 168–171DGL–Systeme 176–178Exzentrizitat 28,29Gleichungssysteme 193Hulle 58

Linearkombination 58Linkssystem 53Liouvillesche Gleichung 170,176Lipschitzbedingung 165,189,195,198Logarithmische Spirale 132logarithmisches Potential 161Logarithmus 6,F2

komplexer 183–funktion 43–reihe 80,82

Losbarkeit (LGS) 193Losung von Gln. 2. Grades 11Losung von Gln. 3. Grades 12Losung von Gln. 4. Grades 13Lot/Lotfuapunkt 57Lotto 200,203

Magnetfeld 158,161Majorantenkriterium 76Mantelflache (Korper) 32

Rotationskorper 152Masse

ebene Flache 149Flache im Raum 150Korper 151Kurve 135,148

Matrixexponentialfkt. 176Matrix 59

adjungierte 59ahnlich 66aquivalent 67diagonalisierbar 66

hermitesch 59Invarianten 65inverse 61,62invertierbar 61normal 59,66Normalform 67orthogonal 59,68quadratisch 59Rang 61regular 61schiefsymmetrisch 59singular 61Spur 61,176symmetrisch 59,66transponierte 59unitar 59,66

Matrixnorm 187Matrizen 59Matrizenprodukt 60Maximum 42,142Maximum–Likelihood–Schatzung 219Maximumsnorm 187Maxwell–Boltzmann–Statitik 205Maxwellsche Gleichungen 157Median 208mehrdim. Zufallsvariable 211mehrfache Integrale 102mehrfache Winkel (Hyperbelfktn) 48mehrfache Winkel (trig. Fktn) 45Mehrschrittverfahren 190,191metrische Fundamentalgroßen 150Minimum 42,142Minkowskische Ungleichung 10Minorantenkriterium 76Mittel (geometrisch, arithmetisch) 10Mittelpunktsformel 21 ffMittelpunktskurve/–flache 35–38Mittelpunktsverfahren 192Mittelpunktswinkel (Kreis) 21Mittelsenkrechte 18Mittelwertsatz, Differentialrechnung 91

Integralrechnung 96Moivre

Hyperbelfunktionen 49komplexe Zahlen 180,181–Laplace 212

Moment (Wahrscheinlichkeit) 208monotone Funktion 41,94monotone Folge 74Monotonie

Folgen 74Funktionen 94

Monotonie (Potenz,Wurzel) 10Morera 184Moulton Verfahren 191Multinomialverteilung 207Multiplikation (komplex) 180Multiplikation (Matrix) 60Multiplikationsformel (Wahrsch) 206

234

Nabla–Operator 156n–Eck 20n–Fakultat 7Nacheinanderausfuhren (lin. Abb.) 69naturlicher Logarithmus 6Nebenbedingungen 143,144Nebenwinkel 17negativ definit 145negative Binomialverteilung 209Neilsche Parabel 129Nepersche Gleichungen 40Newton–Potential 161Newtonsche Interpolation 188Newtonsches Naherungsverf. 196,199nichtelementar integrierbar 114–119,124nichtlineare Gleichungen 195–199Niveaulinie/flache 154Norm 186,187Normale Kreis 22

Ellipse 28Hyperbel 29Parabel 30

normale Matrix 59,66Normalenform (Gerade) 54Normalenvektor (ebene Kurve) 129Normalenvektor (Tangentialebene) 140Normalform (Gleichungen) 12,13Normalverteilung 209,210,220Normierte Raume 186notwendiges Konvergenzkriterium 75,78Null–Eins–Verteilung 209,220,221Nullhypothese 217Nullmatrix 59Nullstellen

Parabel 42rationale Funktion 43rationale Nullstelle 14Polynom 14

Nullstellenproblem 195–197,199Numerik von Anfangswertaufgaben 189numerische Exzentrizitat 28–30numerische Integration 192numerische Verfahren 186–199

OberflacheKegel 32,34Korper 32Kugel 33,34regulare Polyeder 31Torus 33Zylinder 32,34

Oberflachenintegral 160Obersumme 95Oktaeder 31orientiertes Volumen 53orthogonal 186Orthogonalbasis 58orthogonale Abbildung 68,71orthogonale Matrix 59,66,68orthogonale Trajektorie 164Orthogonalisierung 58Orthogonalitatsrelation 123

Orthonormalbasis 58

Parabel 26,27,30,35,39,42parabolische Kurven 35Paraboloid 34,36,38Parallelepiped 33Parallelogramm 19,52Parameter einer Verteilung 208,211parameterabhangige Integrale 96Parameterdarstellung

Ebene 55,56ebene Kurve 128,148Ellipse 28Flache 135Gerade 54Hyperbel 29Kreis 21,22Raumkurve 134

Parametertest 217 ffParsevalsche Gleichung 85Partialbruchzerlegung 43,99partiell differenzierbar 138,139partielle Ableitung 138,144partielle Integration 97,F4Partitionen 201Pascalsches Dreieck 7,8PBZ (rationale Fkt) 43,99Peano (Existenzsatz) 165Periode 50periodische Zahlungsraten 225Periodizitat 41,45Permutation 62Permutationen 62,200,201,203Phasenwinkel 50Picard–Lindelof 165,175Pivotgleichung 194Platonische Korper 31Poincare–Verteilung 206,209Pol (komplexe Funktion) 185

Ellipse 28Hyperbel 29Parabel 30rationale Funktion 43

Polare 22–27polare Darstellung 28–30

komplexer Zahlen 179Polarform 180Polarkoordinaten 128,153,166,181,F2

bei Differentiation 90bei Integration 102

Polarkoordinatendarstellungebene Kurve 128,148Ellipse 28Hyperbel 29komplexer Zahlen 179,181

Polyeder 31Polyedersatz 31Polynom 14,42Polynomialverteilung 207Polynominterpolation 188positiv definit 51,145Potentialdifferenz 158

235

Potentialfeld 158Potentialfunktion 158Potenzen 6,F2Potenzfunktion 42Potenzieren (komplex) 180Potenzmenge 201Potenzreihen 79,F3

Differenzieren 79Entwicklungspunkt 79Integrieren 79

Potenzreihenansatz (DGL) 174Potenzreihenentwicklungen 80–83p, q–Formel 11Pra–Hilbertraum 186Pradiktor–Korrektor Verf. 191Prisma 32Produktansatz (DGL) 170Produktregel F4

Determinanten 64Differentiation 90Wahrscheinlichkeit 206

Produktmatrix 60Projektion 72Prufgroae 214,216Ptolemaus 20Punkt–Richtungsform (Gerade) 54Punktschatzung 215punktweise konvergent 77Pyramide 32Pyramidenstumpf 32Pythagoras 18,51,F2

Quader 32Quadrant 47Quadrat 19quadratische Funktion 42quadratische Gleichung (reell) 11,F2

komplex 181Quadraturverfahren 192Quadriken 36Quantil 208,216,221–224Quelldichte 162Quelle 155,162quellenfrei 155,156Quotientenkriterium 76Quotientenregel (Diff) 90,F4

RAD 17Radius (Kreis) 21

Inkreis, Umkreis 18Radizieren (kompl) 180Randextremum 142Rang (Matrix) 61,67Rao–Cramer 215Ratenzahlung 225rational in sin und cos 99,102Raumkurven 134,148Raute 19Realteil 179Rechtssystem 52,53rechtwinkliges Dreieck 18reduzierte Form (Gleichungen) 12,13

reelle Zahlen 6regelmaaiges n–Eck 20,180regular (Matrix) 61

Polyeder 31Reihen 75–77,F3Reihenentwicklungen 80 ff,F3relative Extrema (eine Veranderl) 94

implizite Funktionen 141mehrere Veranderliche 142,145

Rente, ewige Rente 225Residuensatz 185Residuum 185Resolvente 13Resonanz 172Restglied (Taylorformel) 83,143Restglied numer. Integration 192Rhombus 19Riccati–DGL 167Richtungsableitung 140,144,154Riemannsche Summe 95Riemannsches Lemma 85Rolle, Satz von 91Rotation 155,163Rotationshyperboloid 34Rotationskorper (Mantelflache) 152

Volumen 152Rotationsparaboloid 34,151Rotor 163Runge Kutta–Verfahren 190

Sarrus–Regel 63Sattelflache 34Sattelpunkt 94,142,145Scheitel (Hyperbel) 29

Parabel 30,42Scheitelwinkel 17schiefsymmetrische Matrix 59Schmidtsches Orthog.-verfahren 58Schnittpunkte im Dreieck 18

Hohen 18Mittelsenkrechte 18Seitenhalbierende 18Winkelhalbierende 18

Schnittwinkel 57Schraubenlinie 134

Schrittweite 190Schwerpunkt

Dreieck 18ebene Flache 149Flache im Raum 150Korper 151Kreis-bogen/abschnitt 21Kurve 135,148

Schwingung 50,F2komplexe Darstellung 50

Schwingungs–DGL 173Sehne (Kreis) 21Sehnen–Trapez–Verf. 192Sehnensatz (Kreis) 21Sehnentangentenwinkel 21Sehnenviereck 20

236

Sehnenwinkel (Kreis) 21Seitenhalbierende 18,19Sekantentangentensatz 21Sekantenwinkel (Kreis) 21Sektorformel 149seltene Ereignisse 212Senke 155,162Senkrechtstehen von Vektoren 51Sieb–Formel 206Signifikanzniveau 217 ffSignum (Permutation) 62Simpson–Verfahren 192sin–Reihe 82singular (Matrix) 61Singularitat (komplex) 185sinh 48,49sinh–Reihe 82Sinus 44Sinus hyperbolicus 48,49Sinussatz 17,18,F2

sparisch 40skalares Bogenelement 159skalares Flachenelement 160Skalarfeld 154 ffSkalarprodukt 51,52,60,186Skat 201,202Spalten (Matrix) 59Spaltenrang 61Spaltensummennorm 187Sparrate 225Spat 33Spatprodukt 52,53Spatvolumen 53Spektralnorm 187Spektralradius 65,187Spektrum 65spezielle

Ansatze (lin. DGL) 172Lsg. (lin.DGL) 167,169,172Typen (DGL) 168

spharische Trigonometrie 40spharischer Exzea 40Spiegelpunkt 57Spiegelung 71,72Spiralen 132Spur (Matrix) 61,176Stammfunktion 95,96,165

einer exakten DGL 165Standardabweichung 208,214Standardisierung 208Startkapital 225stationare Punkte 94,142,145Statistik 200 ffSteiner–Formel (Wahrsch) 208stetige Zufallsvariable 207Stetigkeit 42

mehrere Veranderl 138Stichproben 213–214Stirlingsche Formel 7Stokesscher Integralsatz 163Storfunktion 172Strahlensatz 17

Streuung 208Stufenwinkel 17Stutzstellen (numer. Integ.) 192submultiplikativ 187Substitutionsregel 97,F4Summe, endliche 73Summennorm 187Superposition 172Symmetrie (Graph) 41Symmetriepunkt 37symmetrische Matrix 59,66Systeme von DGLn. 175Systemmatrix (LGS) 193

Tangens 44,45tan 44,45t–Verteilung 210T.d.V. 166Tangens hyperbolicus 48,49tanh 48,49Tangente 22–27,91

Ellipse 28Hyperbel 29Parabel 30

Tangentenvektor (ebene Kurve) 129Raumkurve 134,135

Tangentenviereck 20Tangentenwinkel (Kreis) 21Tangentialebene 136,140

an z=f(x,y) 140,143Taylorentwicklung 15,16,83,143

eines Polynoms 16von z=f(x,y) 143

Taylorpolynom 83,143Taylorreihe 83Taylorscher Satz 83,91TdV 166Tetraeder 31,33,53

Volumen 53Thalessatz 19Torsion 134,135Torus 33,137totale Wahrscheinlichkeit 206Tragheitsmoment

ebene Flache 149Flache im Raum 150Korper 151Kurve 135,148

Trajektorien 164transponierte Matrix 59Trapez 19Trennung der Veranderlichen 166trigonometrische Funktionen 44,182,F1

komplex 182trigonometrische Summen 46Tschebyscheffsche DGL 174

Umfang (Ellipse) 124sberlagerung (Schwingung) 50

Kreis 21Umfangswinkel (Kreis) 21Umkehrbarkeit 41

237

Umkehrfunktion 41Arcus–Funktionen 46Area–Funktionen 49Differentiation 92

Umkreis 18,20Umordnen eines Polynoms 16unabhangige Ereignisse 206unbedingte Konvergenz 75unbestimmte Integrale (Tabelle) 104 ffunbestimmter Ausdruck 93unbestimmtes Integral (Def) 95uneigentliche Integrale (Tabelle) 121 ffuneigentliches Integral (Def) 98ungerade Funktion 41,42,45Ungleichungen 10unitare Matrix 59,67unkorreliert 211unstetig (mehrere Veranderl) 138Untersumme 95Urliste 213Urnenmodell 203Ursprungsform 22–27,39

Varianz 208Variation der Konstanten 169,172,177VdK 169,172,177Vektoranalysis 153Vektorfeld 154 ffVektorgradient 154vektorielle Darstellung (Gerade) 54vektorielles Bogenelement 159vektorielles Flachenelement 160Vektornormen 187Vektorprodukt 52Vektorrechnung 51Vergleichskriterium 76Verteilungen 207 ffVerteilungsannahme 217Vertraglichkeit (Normen) 187Vertrauensgrenzen 216Verschiebungsform 22–27,39Verteilung 207–210, 213 ffVerwerfungsbereich 217Vielfachheit (Eigenwert) 65,66

algebraische 65geometrische

Viereck 19Vielfachsumme 16Vieta 11vollstandig differenzierbar 139vollstandiges Hornerschema 16Volumen 53,151

Kegel 32,34Korper 32Kugel 33,34regulare Polyeder 31Rotationskorper 152Spat 53Tetraeder 53Torus 33Zylinder 32,34

Volumenelement 151

Wahrscheinlichkeit 201 ffWahrscheinlichkeitsraum 201,202Wahrscheinlichkeitsrechnung 200 ffWechselwinkel 17Weierstraß(Folgen) 74Weierstraß (stetige Fktn.) 42Weierstraß–Kriterium (Kvg) 74,78Wendepunkt 94Wertebereich 41wesentliche Singularitat 185windschiefe Geraden 53Winkel 17,57Winkel zwischen Vektoren 51

zwischen Geraden/Ebenen 57Winkelhalbierende 18,19winkeltreu 68,150Wirbeldichte 162wirbelfrei 155,156Wronski–Determinante 169,170,176Wurfel 31Wurfeln 202,203Wurzelfunktion 43Wurzelkriterium 76Wurzeln 6Wurzelsatz (Vieta) 11

Zahlenfolgen 74Zahlung, Zahlungsrate 225Zeigerdiagramm 50Zeilen (Matrix) 59Zeilenrang 61Zeilenstufenform 61,194Zeilenstufenmatrix 59Zeilensummennorm 187Zentraler Grenzwertsatz 209, 212zentrales Moment 208Zentriwinkel (n–Eck) 20Zerlegung (Intervall) 95Zielvektor (LGS) 193Zinsfaktor 220Zinssatz 225Zirkulation 159Zufallsexperiment 201Zufallsvariable 207,211zugeordnete Matrixnorm 187Zuordnungsmodell 204Zwei–Punkte–Form (Gerade) 54zweischaliges Hyperboloid 34,36Zwischenwertsatz 42Zykloide 130Zylinder 32,34,36,38,136Zylinderhuf 32Zylinderkoordinaten 128,153

bei Integration 103Divergenz, Rotation 155Funktionaldeterminante 102,103

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ISBN 978–3–923923–40–3 286 Seiten LP 14,80 e

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Repetitorium Lineare Algebra – Teil 2Beispiele und ca. 270 geloste Aufgaben und Theorie zu:Eigenwerttheorie, Diagonalisierbarkeit, Jordan–Chevalley–Zerlegung, Jordan-sche Normalformen, Vektorraume mit Skalarprodukt, Affine Raume, Quadriken.

ISBN 978–3–923923–42–7 333 Seiten LP 14,80 e

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Repetitorium AlgebraDie wichtigsten Beispiele und Satze:

Gruppen, Ringe, Korper, Galoistheorie, Konstruktion mit Zirkel und Lineal,Diophantische Gleichungen, Kodierung mit großen Primzahlen.

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dx

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Das Scheitern von Studierenden in Mathematikklausuren beruht häufig auf mangelnder Sicherheit im Umgang mit der elementaren Mathematik: Brüche, Potenzen, Logarithmen, Differenzieren, Integrieren, lin. Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Matrizen, Determinanten, komplexe Zahlen, . . .

Die Repetitorien Elementare Mathematik 1 und 2 helfen Defizite in den Grundkenntnissen abzubauen und bereiten mit zahlreichen durchgerechneten Beispielen auf alle Studien vor, die Grundkenntnisse in Mathematik voraus-setzen. Über den Schulstoff hinaus werden auch im Studium stillschweigend vorausgesetzten Themen behandelt, die auch in Leistungskursen nicht immer vorkommen.Teil1: ISBN 978-3-923 923-37-3, 352 Seiten, LP 14,80 €.

Teil2: ISBN 978-3-923 923-38-0, 400 Seiten, LP 14,80 €.

Weitere Repetitorien auf www.binomi.de zu Algebra, lineare Algebra, Analysis, DGLn, Funktionentheorie, Topologie, Stochastik, numerische Mathematik, Wirtschaftsmathematik.

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