２次要素Second-order element

• バネ・ダンパ・マス系

• 直列RLC回路

1

2次要素とは一般に伝達関数が次の形の要素

f(t) = Md2x(t)

dt2+ C

dx(t)

dt+ Kx(t)

ei(t) = LCd2eo(t)

dt2+ RC

deo(t)

dt+ eo(t) eo(t)ei(t)

２次要素Second-order element

• 一般の線形システムの伝達関数

• 部分分数展開をすると

2

２次要素Second-order element

• 逆ラプラス変換して、

– piが正または実部が正の複素数→ 時間とともに発散。 システムが不安定

– piが負または実部が負の複素数→ 時間とともに0へ。• piの実部の絶対値が大きい項はすぐに収束• piの実部の絶対値が小さい項のみを考えれば良い

→ ２次要素に近似できるケースが多い3

4

時間応答（インパルス応答）Impulse response

逆ラプラス変換を求めるために、部分分数展開する

の根をp1, p2とすると

このp1, p2を使って部分分数変換するp1, p2 =

��� ±

��2 � 1

��n

K1 = (s � p1)Y (s)|s=p1=

�2n

s � p2

����s=p1

=�2

n

p1 � p2

=�n

2�

�2 � 1

K2 = (s � p2)Y (s)|s=p2=

�2n

s � p1

����s=p2

=�2

n

p2 � p1

= � �n

2�

�2 � 1

5

時間応答（インパルス応答）Impulse response

y(t) = L�1

��n

2�

�2 � 1

�1

s � p1� 1

s � p2

��

=�n

2�

�2 � 1(ep1t � ep2t)

• 減衰率zによって根p1, p2の性質が変わるØz >1: p1, p2は相異なる実数根Øz =1: p1, p2は実数の重解, p1=p2=−wnØ0<z <1: p1, p2は共役複素根Øz =0: p1, p2は虚数根

• z <0の場合についてはここでは考えない

時間応答（インパルス応答）Impulse response

6

z > 1の場合（相異なる実数解）Different real roots

7

8

wn = 2, z = 1.5の場合収束までに時間がかかる

z > 1の場合（相異なる実数解）Different real roots

z = 1の場合（重解）Repeated real root

重解(p1= p2=−wn)であるので、

逆ラプラス変換の表より

Y (s) =�2

n

s2 + 2�ns + �2n

=�2

n

(s + �n)2

y(t) = L�1

��2

n

(s + �n)2

�= �2

nte��nt

9

z = 1の場合（重解）Repeated real root

wn = 2, z = 1の場合振動せずにもっとも早く収束

10

11

0 <z < 1の場合（共役複素数の根）Conjugate complex roots

p1, p2 =��� ± j

�1 � �2

��n = ���n ± j�n

�1 � �2

� = ���n，� = �n

�1 � �2 とおくと p1, p2 = � ± j�, p1 � p2 = 2j�

0 <z < 1の場合（共役複素数の根）Conjugate complex roots

• 逆ラプラス変換をすると

12減衰項 振動項

wn = 2, z = 0.6（赤）, とz = 0.3（緑）の場合振動しながらy(t)=0に収束

13

0 <z < 1の場合（共役複素数の根）Conjugate complex roots

z = 0.6z = 0.3

z > 0の場合のまとめ

wn = 2で，z = 1.5（黒），1（青），0.6（赤）, 0.3（緑）

14

z = 0.6z = 0.3

z = 1.5z = 1.0

z = 0の場合（虚数根）Imaginary roots

であるので

15

Y (s) =�2

n

s2 + �2n

y(t) = L�1

��2

n

s2 + �2n

�= �n sin(�nt)

z = 0の場合（虚数根）Imaginary roots

wn = 2, z = 0の場合振動して、収束しない

16

この逆ラプラス変換を解くために部分分数展開

17

p1, p2 =��� ±

��2 � 1

��n

y(t) = L�1

��2

n

s (s2 + 2��ns + �2n)

�

= L�1

��2

n

s(s � p1)(s � p2)

�

2次遅れ要素のステップ応答Step response of second-order element

Y (s) = G(s)U(s) =�2

n

s2 + 2��ns + �2n

· 1

s

ステップ応答Step response

部分分数展開を

として係数を求める。ただし

を用いる。

18

Y (s) =K1

s+

K2

s � p1+

K3

s � p2

p1 · p2 = �2n

p1 � p2 = 2�n

��2 � 1

時間応答（ステップ応答）Step response

19

時間応答（ステップ応答）Step response

20

• 同様に減衰率zによって根p1, p2の性質が変わるØz >1: p1, p2は相異なる実数根Øz =1: p1, p2は実数の重根, p1=p2=−wnØ0<z <1: p1, p2は共役複素根Øz =0: p1, p2は虚数根

• z <0の場合についてはここでは考えない

21

p1, p2 =��� ±

��2 � 1

��n を解の式に代入する

z > 1の場合（相異なる実数解）Different real roots

wn = 2, z = 1.5の場合y(∞)=1に単調に漸近。収束までに時間がかかる

z > 1の場合（相異なる実数解）Different real roots

22

重解(p1= p2=−wn)であるので、部分分数展開の式が異なる

とおくとY (s) =

�2n

s(s + �n)2=

K1

s+

K2

s + �n+

K3

(s + �n)2

K1 = sY (s)|s=0 =�2

n

�2n

= 1

K2 =d

ds

�(s + �n)2Y (s)

�����s=��n

=d

ds

��2

n

s

�����s=��n

= ��

�2n

s2

�����s=��n

= ��2n

�2n

= �1

K3 = (s + �n)2Y (s)��s=��n

=�2

n

��n= ��n

23

z = 1の場合（重解）Repeated real root

したがって

逆ラプラス変換して

z = 1の場合（重解）Repeated real root

24

wn = 2, z = 1の場合y(∞)=1に振動せずにもっとも早く収束

z = 1の場合（重解）Repeated real root

25

0 <z < 1の場合（共役複素数の根）Conjugate complex roots

26

p1, p2 =��� ± j

�1 � �2

��n となるので

� =�

1 � �2 　とおくと

0 <z < 1の場合（共役複素数の根）Conjugate complex roots

27

ただし

を使う

振動しながら振幅が小さくなる⇒ y(t) = 1に収束

wn = 2, z = 0.6（赤）, とz = 0.3（緑）の場合応答は早いが減衰性が悪く、y(∞)=1付近で振動

0 <z < 1の場合（共役複素数の根）Conjugate complex roots

28

z = 0.6z = 0.3

z > 0の場合のまとめ

wn = 2で，z = 1.5（黒），1（青），0.6（赤）, 0.3（緑）

29

z = 0.6z = 0.3

z = 1.5z = 1.0

z = 0の場合（虚数根）Imaginary roots

30

z = 0の場合（虚数根）Imaginary roots

wn = 2, z = 0の場合振動して、収束しない

31

時間応答Time response

Øz > 1の場合はy(∞)=1に単調に漸近。収束までに時間がかかる 過制動

Øz = 1 の場合はもっとも早く収束 臨界制動Ø0 < z < 1の場合は応答は早いが減衰性が悪く，目標値付近で振動。z が小さくなるに従い収束が遅くなる 不足制動

Øz = 0では振動して、収束しない 持続振動

32

２次要素Second order element

一般には応答性からz は0.6〜0.8に設定wn = 2, z = 0.7の場合

33

この応答をより詳細に特徴付けする．振動が極値をとる時刻はy(t)を微分して0となる時刻を求める

２次要素Second order element

34

• 時間微分が0となるtをtnとすると

• 代入すると

• つまり振幅Anは

A1

A2

A3

A4

A5

35

A1を行き過ぎ量Osという

� = 0.4の場合 Os = 0.25� = 0.6 の場合 Os = 0.1� = 1�

2� 0.707 の場合 Os = 0.05

36

• 周波数伝達関数は

• ナイキスト線図を描くためにいくつかの点を求めるlim��0

Re [G(j�)] = 1

lim��0

|G(j�)| = 1

lim��0

Im [G(j�)] = 0

lim��0

�(�) = 0[deg]

周波数応答Frequency response

37

ナイキスト線図Nyquist diagram

虚軸と交わる点を求めるためにRe[G(jw)] = 0を解くと

よりw=wn。このとき

z

G(j�) =1

j2�より Im[G(j�)] = � 1

2� 38

2次要素のナイキスト線図Nyquist diagram of second order element

wn = 1のとき

39

z = 2

z = 1

z = 0.5

z = 0

ボード線図Bode plots

• 周波数伝達関数

ゲイン

位相

� = 0の場合には � = �n において|G (j�n)| = �となることに注意

40

より � = �nz = 0

�40 log�

�n= 0dB

したがってゲイン特性は 0dB直線と �40 log ��nの

直線がそれぞれ漸近線．交点は

�

�n� 1 gdB � �20 log 1 = 0dB

�

�n� 1 gdB � �20 log

���

�n

�4

= �40 log�

�n

z = 0

z = 0

��n

� 1と ��n

� 1で分けて近似解を求めると

ボード線図（ゲイン）Bode plot (Magnitude plot)

41

2次要素のボード線図Bode plots of second order element

wn = 1z = 1.2z = 1z = 0.3z = 0.01

最大の位相遅れは−180[deg]42

共振周波数Resonance frequency

ゲインが最大になるwp

これをuで微分して0 となるu, wpを求める

�

�n= u とすると

43

0 < z < 1より第1項は0にならないため、第2項が0となるup(wp)を求めると

�p が実数であるためには 1 � 2�2 > 0 であるので，� � 1�

2= 0.707 のときに極値をもつ．

up を代入してゲイン特性の極大値 Gp を求めると

Gp =1

�{1 � (1 � 2�2)}2 + 4�2 (1 � 2�2)

� 12

=1

2��

1 � �2

44

共振周波数Resonance frequency

共振周波数Resonance frequency

ボード線図を拡大

z=0.1

z=1

z=0.15

z=0.2z=0.3

z=0.6

z=0.7

z=0.4

45角周波数

z wp

0.1 0.990

0.15 0.977

0.2 0.959

0.3 0.906

0.4 0.825

0.6 0.529

0.7 0.141

1.0 ---

(0.501) (0.794)