birth and death process

Birth and Death Process

parth 1

Outline

Markov Processes

Discrete Time Markov Chain

Homogeneous, Irreducible, Transient/Recurrent,

Periodic/Aperiodic

Ergodic

Stationary Probability

Transient Behavior

Birth-Death Process

Estu Sinduningrum, ST, MT

Markov Processes

X(t) adalah suatu Markov Process jika memenuhi Markov

(Memoryless) Property

X(t) hanya tergantung pd kondisi (state) saat ini

Sejarah masa lalu summarized pada kondisi (state) saat ini


Dari Markov Processes …

Discrete Time Markov Process:

Perubahan state terjadi pd titik-titik integer

Continuous Time Markov Process:

Perubahan state terjadi pd sembarang waktu


Dari Markov Processes …

Markov Chain:

Discrete State Space Markov Process

Discrete Time Markov Chain:

Perubahan state (discrete state) terjadi pd titik-titik integer

Continuous Time Markov Chain

Perubahan state (discrete state) terjadi pd sembarang waktu


Discrete Time Markov Chains

Dapat berada pada satu Discrete state (position)

dan diizinkan untuk berubah state pada Waktu

discrete



Dari initial probability dan one-step transition

probability,

Kita dapat mencari probability of being in various states

at time n


Homogeneous Markov Chain Jika transition probabilities adalah independent thd n,

maka disebut Homogeneous Markov Chain

Let pij ≡ P[Xn = j | Xn-1= i ]

Kita ada pada state i dan akan menuju pada state j pada langkah berikutnya

State transition probabilitas Hanya akan tergantung pada initial probability dan transition probability, tidak tergantung pada transition time


Homogeneous Markov Chain

m-step transition probabilities adalah:


Homogeneous Markov Chain


Irreducible Markov Chain

Suatu Markov Chain adalah irreducible jika setiap state

dapat dicapai dari setiap state lain dlm jumlah step yang

terbatas/finite


Not Irreducible Markov Chain

Kasus 1

Utk A = set semua states dlm suatu Markov chain

A1 ⊂ A

Jika tidak ada satu one-step transition dari state A1 ke A1c

A1 didefinisikan sebagai “Closed”


Not Irreducible Markov Chain

Kasus 2

Untuk A = set semua states pada suatu Markov chain

A1 ⊂ A

Jika A1 terdiri dari satu atau lebih state Ei dimana begitu berada

pada state Ei, proses tidak dapat bergerak ke state-state lain

Ei disebut “Absorbing State”

pii = 1


Transient atau Recurrent States

fj(n) = P[proses pertama-tama kembali ke state j setelah

meninggalkan state j pd n steps]

fj = P[proses kembali ke state j setelah meninggalkan state j]

Mj = Mean recurrence time dari state j


Transient atau Recurrent States

Jika fj < 1

State Ej disebut “Transient State”

Jika fj = 1

State Ej disebut “Recurrent State”

Jika Mj = ∞

State Ej disebut “Recurrent Null State”

Jika Mj < ∞

State Ej disebut “Recurrent Nonnull State”


Periodic atau Aperiodic

Mis β = integer

Jika step-step yg hanya mungkin proses kembali ke state Ei adalah β, 2β, 3β, …

Jika β > 1 dan β adalah integer terbesar

State Ei disebut “Periodic”

Recurrence time untuk state Ej mempunyai period β

Jika β = 1

State Ei disebut “Aperiodic”


Ergodicity

Ej = Ergodic jika

Ej = Aperiodic dan Recurrent Nonnull

fj = 1, Mj < ∞, dan β = 1

Suatu Markov Chain adalah ergodic

jika semua states dari Markov Chain adalah ergodic

Jika jumlah states adalah terbatas/finite dan semua states dari Markov Chain adalah aperiodic, dan irreducible


Teorema 1

States dari suatu irreducible Markov Chain adalah

semua transient atau

semua recurrent non null atau

semua recurrent null

Jika periodic, maka semua states mempunyai Perioda

sama β


Definisi

Mis j(n) = P[menemukan sistem pd state Ej pd step ke-n]

j(n) = P[Xn = j]

Mis j = Stationary Probability

= P[ada pd state j pd sembarang waktu]

= limiting state probabilities


Teorema 2

Pada suatu irreducible dan aperiodic, homogeneous Markov

Chain,

Limiting state probabilities [ j] selalu eksis dan independent dari

initial state probability distribution [ j(0)]


Teorema 2

Apakah

Kasus (a)

Semua state adalah transient atau

Semua state adalah recurrent null

j = 0 j

Tdk ada stationary distribution eksis

Atau kasus (b)

Semua state adalah recurrent nonnull

j > 0 j

Stationary distribution eksis j = 1/Mj


Solusi untuk j


Contoh Markov Chain

Mengendarai mobil dari kota ke kota


Contoh Markov Chain

Mis P = Matriks transition probability

= [pij]

Mis = [ 0, 1, 2, …]

dari Balance equation

= P


Contoh Markov Chain


Contoh Markov Chain

Ini adalah stationary (equilibrium) state probability

Ini adalah ergodic Markov Chain

Jumlah state terbatas

Irreducible


Transient Behavior

Transient Behavior

Transient / Steady State

Transient behavior : Suatu tipikal kelakuan sistem

yang tergantung pada kondisi inisial (mis. booting up

atau recovering dari suatu kegagalan komponen)

Steady state behavior : kelakuan operasi normal dari

sistem independent terhadap kondisi inisial


Konsep Birth and Death Process

dan Teorema Kedatangan Trafik

Konsep terpenting untuk memahami perilaku trafik

telekomunikasi, yaitu point process dan arrival process.

Prinsip utama pemodelan trafik telekomunikasi adalah mengacu

pada point process , dimana kedatangan atau selesai dilayaninya

paket-paket digambarkan pada waktu yang berbeda.

Konsep kedua dalam rekayasa trafik telekomunikasi adalah birth

and death process yang sering dimanfaatkan untuk menurunkan

persamaan fungsi distribusi trafik telekomunikasi.

Birth and death process adalah Teknik penurunan persamaan fungsi

densitas trafik telekomunikasi yang paling sederhana.


Birth-Death Process

Suatu Markov Process

Homogeneous, aperiodic, dan irreducible

Discrete time / Continuous time

Perubahan state hanya dapat terjadi antar tetangga

Birth-Death Process

Ukuran populasi

Sistem ada dlm state Ek jika terdiri dari k anggota

Perubahan dlm ukuran populasi terjadi paling banyak satu

Ukuran bertambah satu “Birth”

Ukuran berkurang satu “Death”

Transition probabilities pij tdk berubah dg waktu

Birth-Death Process

Birth-Death Process

i = death (berkurang satu dlm ukuran populasi)

0 = 0 (tdk ada population no death)

λi = birth (bertambah satu dlm populasi)

λi > 0 (birth dibolehkan)

Pure Birth = tdk ada pengurangan/ decrement, hanya

penambahan/increment

Pure Death = tdk ada penambahan/ increment, hanya

pengurangan/ decrement

Model Teori Antrian

Populasi = pelanggan/customers dlm sistem antrian

Death = satu pelanggan meninggalkan sistem

Birth = stau pelanggan datang ke sistem

Matriks Transisi

Densitas traffic

(Kepadatan trafik)

Kepadatan adalah pengukuran terhadap kondisi arus lalu lintas yang

didefinisikan sebagai jumlah kendaraan yang menempati suatu ruas

jalan tertentu atau jalut, yang biasanya dinyatakan dalam satuan

kendaraan per kilometer (smp per kilometer per lajur.

Kepadatan sulit untuk mengukur secara langsung, biasanya

diperlukan titik ketinggian yang cukup sehingga kendaraan dapat

diamati dalam suatu ruas tentu. Namun demikian kepadatan dapat

dihitung dari kecepatan dan volume.


F = S x D

D = F : S

Dengan :

F = Arus lalu lintas (smp/jam atau kend/jam),

S = Kecepatan tengah berdasarkan ruang (km/jam),

D = Kepadatan (smp/km atau kend/km).

Densitas traffic

(Kepadatan trafik)


Diagram Transisi State dari

Birth and death process


State (i-1), (i) dan (i+1) menyatakan situasi

dan kondisi saat ada sejumlah (i-1), atau (i)

atau (i+1) paket atau layanan

telekomunikasi sedang dilayani oleh server.

Adanya kedatangan satu paket atau

layanan yang baru, dianalogikan

sebagai suatu kelahiran dengan rate

sebesar koefisien kelahiran.

Adanya satu paket atau layanan yang

selesai dilayani dianalogikan sebagai

suatu kematian dengan rate sebesar

koefisien kelahiran.

Birth and death process

Birth and death process pada trafik telekomunikasi, adalah proses

bertambahnya suatu paket atau layanan yang datang atau minta

dilayani yang dianalogikan sebagai kelahiran, sementara selesai

dilayaninya oleh server, suatu paket atau layanan dianalogikan

dengan kematian.


Global balance

Asumsi terjadi keseimbangan statistik terjadi , maka berlaku prinsip global balance, berlaku 2 persamaan:

1. Node equations : Situasi yang terjadi pada saat awal kesetimbangan statistik, dimana kita hanya memperhatikan state 0, yang berarti belum ada paket atau layanan yang datang. Maka hanya ada dua kemungkinan yang terjadi:

a. State 0 akan bertransisi menjadi state l dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state 0 {= p(0)} dikalikan koefisien kelahiran (0) = {bc(0) = birth coefficient (0)) , dan

b. State 1 akan bertransisi menjadi state (0) dengan probabilitas sebesar probabilitas terjadinya state 1 {= p(1)} dikalikan koefisien kematian (1) {dc(1) = death coefficient (1)}.

Dengan asumsi terjadi kesetimbangan statistik maka dua kemungkinan tersebut haruslah sama besar, sehingga bisa dituliskan dalam bentuk persamaan:


2. Cut Equations; pengamatan pada node secara random, yaitu state (i). pada saat

terjadi kesetimbangan statistic pada state (i), terdapat empat kemungkinan:

a. State (i) akan bertransisi menjadi state (i+1) dengan probabilitas sebesar

probabilitas terjadinya state I {= p(i)} dikalikan koefisien kelahiran (i) = {bc(i)

= birth coefficient (i)),

b. state (i) akan bertransisi menjadi state (i-1)) dengan probabilitas sebesar

probabilitas terjadinya state I {= p(i)} dikalikan koefisien kematian ke (i) {dc(i)

= death coefficient (i)},

c. State (i-1) akan bertransisi menjadi state (i) dengan probabilitas sebesar

probabilitas terjadinya state (i-1) {= p(i-1)} dikalikan koefisien kelahiran (i-1)

= {bc(i-1) = birth coefficient (i-1)} dan

d. state (i+1) akan bertransisi menjadi state (i)) dengan probabilitas sebesar

probabilitas terjadinya state (i+1 {= p(i+1)) dikalikan koefisien kematian ke

(i+1) {dc(i+1) = death coefficient (i+1)}.


Global balance

Dengan asumsi terjadi kesetimbangan statistik maka jumlah 2 buah probabilitas

yang menunjukkan transisi dari state (i) harus sama dengan jumlah 2 buah

probabilitas yang menunjukkan transisi menuju sta (i) sehingga bisa dituliskan

dalam bentuk persamaan:

bc = Birth Coeffisien

dc = Death Coeffisien

p = Probabilitas

Persamaan kesetimbangan statistik merupakan interpretasi dari teorema kedatangan (arrival theorem)


Implementasi Birth and Death Process pada penurunan

Formula Erlang B

Salah satu implementasi Birth and Death Process pada bidang

rekayasa trafik telekomunikasi yang paling pertama adalah dalam

penurunan rumus atau formula Erlang B.

Formula Erlang-B sangat terkenal di era telephony-circuit switching.

selama hampir seratus tahun formula Erlang B telah digunakan dalam

perhitungan rakayasa trafik di jaringan telekomunikasi.

Hasil perhitungan menggunakan formula Erlang-B ternyata sangat

akurat bila dibandingkan dengan hasil pengukuran secara nyata pada

jaringan telepon berbasis loss-system atau yang dikenal juga

sebagai/Loss call creared (LCC).


Dua prinsip menggunakan konsep


Ada dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death Process sebagai model trafik dijaringan telekomunikasi, secara ringkas adalah sebagai berikut:

1) Yang pertama adalah menentukan asumsi atas trafik yang datang. Formula Erlang-B yang digunakan pada jaringan telepon adalah mengacu trafik adalah call telepon yang datang mengikuti point process.

Laju kedatangan call rata -rata adalah λ dan laju pelayanan rata - rata adalah μ.

Trafik yang datang dan dilayani di system telekomunikasi diasumsikan merupakan suatu PCT-1 (Pure Chance Traffic Type 1).

Pada trafik PCT-1 dapat dibenarkan untuk menggunakan nilai rata-rata sebagai dasar perhitungan, atau yang sudah dikenal dengan istilah PASTA (Poisson Arrival See lime Arrival). Trafik yang datang bisa dinyatakan dengan satuan erlang dan ditulis dengan notasi A = λ/ μ


2) Yang kedua adalah kita harus mampu menggambarkan diagram

transisi dari state. Untuk itu kita harus tahu berapa jumlah state

dan berapa koefisien kelahiran maupun koefisien kelahiran di

setiap state.


Dua prinsip menggunakan konsep


Dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death

1. Process Penentuan jumlah state

Untuk jaringan jaringan telepon berbasis circuit switching dan loss system atau yang dikenal juga sebagai loss call cleared (LCC), maka jumlah state adalah sama dengan jumlah kanal telepon di jaringan tersebut.

Ini bisa dimaklumi, karena titik perhatian kita pada jaringan tersebut adalah probabilitas sejumlah kanal sedang holded State 0 merepresentasikan tidak ada kanal yang sedang holded, State 1 menyatakan ada 1 kanal yang holded dan seterusnya.

Mudah dimaklumi, bahwa pada situasi ini, jumlah state maksimum adalah sama dengan n, yaitu sebesar jumlah kanal di jaringan telekomunikasi yang sedang kita amati. Adanya sejumlah (i) call yang holded di kanal telepon direpresentasikan dengan state (il. Jadi n adalah terbatas.


Dua prinsip menggunakan konsep Birth and Death

2. Penentuan koefisien kelahiran dan koefisien

Agar dapat menentukan koefisien kelahiran dan koefisien kematian

kita harus memahami terlebih dahulu mekanisme yang terjadi di

jaringan ketika menangani trafik.

Jika kita Paham betul mekanisme yang terjadi, barulah kita bisa

menentukannya. Sangat penting untuk diingat, bahwa saat ini kita

tergantung pada asumsi.


Asumsi Erlang

Asumsi Erlang ketika menurunkan formula Erlang B ada tiga,

yaitu:

1. Asumsi pertama: telephone call/ datang mengacu pada konsep

point process dengan laju kedatangan call rata - rata adalah sama

dengan 1. Dengan demikian koefisien kerahiran dari state 0

menuju state 1 adalah sama dengan λ.

2. Asumsi kedua: untuk telephone Call yang sedang holded di

kanal telekomunikasi, keberadaannya di kanal diakhiri dengan

laju layanan sebesar μ. Dengan demikian koefisien kematian

dari state (1) menuju state (0) adalah sama dengan μ.

3. Asumsi ketiga: jumlah pelanggan sangat banyak dibandingkan

dengan jumlah kanal di jaringan.


State Transition Diagram untuk

Penurunan Formula Erlang-B

State 0 : λ.p(0) = μ.p(1) λ.p(0) = μ.p(1)

State 1 : λ.p(1) + μ.p(1) = λ.p(0) + 2μ.p(2) λ.p(1) = 2μ.p(2)

State 2 : λ.p(2) + 2μ.p(2) = λ.p(1) + 3μ.p(2) λ.p(2) = 3μ.p(2)

…………………………… …………………..

State (i-1) λ.p(i-1) = (i)μ.p(i)

State (i) λ.p(i) = (i+1)μ.p(i)

State (i+1) λ.p(i+1) = (i+2)μ.p(i+1)


Kelahiran (probabilitas

pelanggan yg datang).

Kematian (probabilitas

pelanggan yg selesai telpon).

Jumlah kanal

Server

Model Jaringan telepon yang berbasis circuit

switching dan Loss Call Cleared akan menjadi?

Pada Kondisi Jaringan telpon di circuit switched-loss call

cleared : dimana λ/μ = Offered traffic =A

Maka Persamaan-persamaan bisa dituliskan menjadi

p(0) = p(0)

p(1) =A.p(0)

p(2) = (A/2) p(1) (A2/2)p(0)

………………………… ……………..

.……………………….. ……………..


Kita bisa menghitung p(i) hanya sebagai fungsi A dan i saja,

dengan cara mensubstitusikan p(0) ke dalam persamaan yang

hanya melibatkan A dan i saja. Untuk itu , kita harus

mengingat kembali prinsip teori probabilitas pada situasi ini :

jumlah dari seluruh probabilitas p(0) + p(1) + p(2) + P(n)

=1.


Maka dapat dirurunkan formulasi Erlang-B untuk loss system, atau

sudah terkenal dengan sebutan Formulasi Erlang-B

Fungsi perbaikan Jaringan Loss

Pada jaringan Loss, Fungsi perbaikan Fn(A) adalah jumlah

trafik yang tidak jadi hilang, seandainya jumlah saluran

ditambah satu, dari semula = n ditambah menjadi (n+1).

Jadi Fn(A) = Y(n+1) – Yn,dapat diturunkan dari trafik

yang ditawarkan dan probabilitas blocking.


Contoh Soal (1) Suatu trunk-network terdiri dari 10 kanal melayani trafik dengan karakteristik sbb:

a) Struktur grup-kanal bersifat homogen & full accesibility

b) (b)Trafik dilayani secara LCC=Lost Call Cleared

c) Kedatangan trafik merupakan suatu Poisson arrival process yang memiliki rate kedatangan = λ =

500 call/detik, dan

d) Waktu layanan terdistribusi eksonential yang memiliki intensitas = μ = 100 detik/call.

Hitunglah:

(a)Time congestion, call congestion & traffic congestion

(b)Offered traffic, loss traffic & carried traffic

(c)Pendapatan pada satu hari bila rate kedatangan rata-rata selama 23 jam yang bukan jam sibuk = 0,75 rate

kedatangan pada jam sibuk, dan jika setiap call rata-rata memberikan pemasukan sebesar Rp 500,-

(d)Utilisasi rata-rata jika pemilihan kanal menggunakan teknik Random hunting, dan jika menggunakan

teknik Sequential hunting

(e)Jika untuk menambah satu kanal, diperlukan biaya jaringan end-to-end sebesar 200 juta rupiah, apakah

perlu ditambah satu kanal, jika trafik tetap seperti di soal? Jika jawabannya belum perlu, pada saat trafik

meningkat menjadi berapa, penambahan satu kanal baru dilakukan?.


Jawab


Ada kalanya kita mengalami

kesulitan untuk mendefinisikan

suatu obyek secara eksplisit.

Mungkin lebih mudah untuk

mendefinisikan obyek tersebut

dengan menggunakan dirinya sendiri. E Time Congestion

C Traffic terhadap Erlang

B Call

Jawab

c) Call congestion = B = 0,0184 dan l. = 500 call/detik ) jumlah

call yang terlayani (carried-call) selama l jam (3600detik)

sibuk=500*(1-B)x3600 = 1766908

Jumlah call carried selama satu hari =23*0.75*1766908+1766908

= 32246067 pendapatan satu hari = Rp16.123.033.432.

d) Random hunting-utilisation =

Utilisasi rata-rata jika pemilihan kanal menggunakan teknik

Random hunting =4,9081/10 = 0,49081erlang/kanal = Utilisasi

rata-rata jika pemilihan kanal menggunakan teknik Sequential

hunting


e) Jika jumlah kanal ditambah satu adalah Improvement factor

E11(A)= 0,0083 ) pendapatan satu hari = Rp16.288.879.973

kenaikan pendapatan = Rp165.846.541 adalah lebih kecil

dibanding biayanya belum perlu ditambah satu kanal.


Jawab

Thank You

Cont Next Week

birth and death process

Documents

mj estu sinduningrum

irreducible markov chain

p estu sinduningrum

time n estu sinduningrum

mt contoh markov chain

kembali ke state ei

mt teorema

ei disebut absorbing