binomna (njutnova) formula · pdf fileza m=10 binom ima 11 članova; srednji član je 6.član...

BINOMNA (Njutnova) FORMULA

nkknnnnnyx

n

n...yx

k

n...yx

nyx

nyx

nyx

n

n,..,

n,

n-BINOMNI KOEFICIJENTI

(k+1)- član u razvoju binoma: kknk yx

k

nT

OSOBINE BINOMNIH KOEFICIJENATA:

(1)

k-n

n

k

n (2)

k

n

k

n

k

n (3)

k

kmn

km

kn

k

n

k

m

m

n

PASKALOV TROUGAO

-binomni koeficijenti u razvoju nyx

n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 ..... ZADACI:

1.Razviti binom:

a) 62x

rešenje:

6514233241566

26

62x

5

62x

4

62x

3

62x

2

62x

1

6x

0

62x

64

0

632x

1

616x

2

68x

123

4564x

12

562x6x1 123456

64x192x240x160x60x12x 23456

b) 51x

rešenje:

541322314551

5

51x

4

51x

3

51x

2

51x

1

5x

0

51x

1

0

51x

1

51x

2

51x

12

451x5x1 2345

1x5x10x10x5x 2345

c) 4yx2

rešenje:

43122344

y4

4yx2

3

4yx2

2

4yx2

1

4x2

0

4yx2

432234 y

0

4xy2

1

4yx4

12

34yx84x161

432234 yxy8yx24yx32x16

2.Odrediti:

a) četvrti član u razvoju binoma 1122 yx

rešenje:

61661632824 yx165yx

123

91011yx

3

11T

b)šesti član u razvoju binoma 15yx

rešenje:

5105105106 yx3003yx

12345

1112131415yx

5

15T

c) peti član u razvoju binoma 12yx

rešenje:

2424485 yx495yx

1234

9101112yx

4

12T

d) binomni koeficijent uz peti član u razvoju binoma 81x2

rešenje:

701234

5678

4

8

Binomni koeficijent uz peti član je 70.

e) koeficijent uz peti član u razvoju binoma 81x2

rešenje:

22445 x11201x16701x2

4

8T

Koeficijent uz peti član je 1120.

3.U razvoju sledećih binoma odrediti član koji ne sadrži x

a)

13

52

4 2

ax

1xa

rešenje:

5

k2

5

k

4

k13

2

k13k

5

2

5

1k13

4

1

2

1k

52

k134 2

1k xaxak

13xaxa

k

13

ax

1xa

k

13T

Za član koji ne sadrži x važi : 05

k2

4

k13

xxx

5k

k1365

0k8k565

0k8k135

2005

k2

4

k13

Član koji ne sadrži x je 6.član:

32124

5

5

2

5

18

4

1

2

15

52

5134 2

6 a1287xaxa5

13xaxa

5

13

ax

1xa

5

13T

b) 1513 xx

rešenje:

2

k

3

k15k

2

1k15

3

1k1k153

1k xxk

15xx

k

15xx

k

15T


k

3

k15

xxx

6k

k530

0k3k230

0k3k152

602

k

3

k15

Član koji ne sadrži x je 7.član:

6

15xx

6

15xx

6

15xx

6

15T 33

6

2

19

3

1616153

7

c)

n

2

x

1x

ako je zbir koeficijenata prva tri člana jednak 46

rešenje: U ovom slučaju binomni koeficijent=koeficijent

9n

Nn:jer10n

090nn

92nnn22

2462

1nnn1

462

n

1

n

0

n

2

1

2

2

92

n2

x

1x

x

1x

kk218kk92

1k xxk

9

x

1x

k

9T

Za član koji ne sadrži x važi : 0kk218 xxx

6k

k318

0k318

0kk218

Član koji ne sadrži x je 7.član: 843

9

x

1x

3

9

x

1x

6

9T

66

66927

d)

n

3 2

x

yx

ako je binomni koeficijent trećeg člana za 5 veći od

binomnog koeficijenta drugog člana rešenje:

5n

Nn:jer2n

010n3n

10n2nn

25n2

1nn

51

n

2

n

2

1

2

2

53 2

n3 2

x

yx

x

yx

kk3

k210

kk

k5

3

2kk53 2

1k xyxk

5xyx

k

5

x

yx

k

5T

Za član koji ne sadrži x važi : 0k3

k210

xxx

2k

k510

0k3k210

30k3

k210


22

2

23

3

22253 2

3 y10x

yx10

x

yx

2

5

x

yx

2

5T

e)

n

2

x

ax

ako su binomni koeficijenti četvrtog i trinaestog člana

jednaki rešenje:

15n123n12kn3k12

n

3

n

152

n2

x

ax

x

ax

kkk230kk152

1k xaxk

15

x

ax

k

15T

Za član koji ne sadrži x važi : 0kk230 xxx

10k

k330

0k330

0kk230


10

1010

1010152

11 a3003x

ax

5

15

x

ax

10

15T

f)

n

3 2x

1x

ako se koeficijenti petog i trećeg člana odnose kao 7:2

rešenje:

9n72n

673n2n

122

7

34

3n2n

1nn:2

1nn7

1234

3n2n1nn2

2:72

1nn:

1234

3n2n1nn

2:72

n:

4

n

9

3 2

n

3 2 x

1x

x

1x

3

k2

2

k9k

3

2k9

2

1k

3 2

k9

1k xxk

9xx

k

9

x

1x

k

9T


k2

2

k9

xxx

Nk:jer7

27k

k727

0k4k327

603

k2

2

k9

Ne postoji član koji ne sadrži x.

4.Koji član u razvoju binoma

21

33

a

b

b

a

sadrži a i b sa istim

stepenom?

k2/1

3/1

k213/1

2/1

k

3

k21

31ka

b

b

a

k

21

a

b

b

a

k

21T

6

k

2

k

6

k21

3

k21k6/12/1k216/13/1 abba

k

21abba

k

21

Ako a I b imaju isti eksponent: : 2

k

6

k21

6

k

3

k21

bbaa

9k

k763

k3k21k2k242

62

k

6

k21

6

k2

3

k21

Deseti član.

5.Odrediti:

a) srednji član u razvoju binoma

m

5

22

a

aaa

ako se koeficijenti

petog i trećeg člana odnose kao 14:3 rešenje:

m

2

1

2

3m5/12/52/3

m5/12/122/12

m

52

2 aaaaaaaaa

aaa

22

12m342/14m2/3

5 aa4

maa

4

mT

=> koeficijent 5.člana je

4

m

12

6m322/12m2/3

3 aa4

maa

2

mT


2

m

4

m:

2

m=14:3

3:14

12

1mm:

1234

3m2m1mm

1mm:

12

1mm14

1234

3m2m1mm3

10m82m

783m2m

78

3m2m

Za m=10 binom ima 11 članova; srednji član je 6.član (k=5):

10

102

20

2

5

2

1552/152/3

6a

1

5

10a

5

10a

5

10aa

5

10aa

5

10T

b) peti član u razvoju binoma nx1x1 ako je koeficijent trećeg

člana jednak 78 rešenje:

22n22n3 x1x1

2

nx1x1

2

nT


2

n

2

n=78

78

12

1nn

13n12131561nn

Peti član:

2429495 x1x1x1715x1x1

4

13x1x1

4

13T

c) članove u razvoju binoma 53 23 koji nisu iracionalni

rešenje:

2

k

3

k5kk53

1k 23k

523

k

5T

Da bi članovi bili racionalni eksponenti: 3

k5 I

2

k moraju biti celi brojevi.

(k=0,1,2,3,4,5)

Zbog 2

k-ceo broj => k je paran broj tj k=0,2,4.

Zamenom u 3

k5 dobijamo da je to ceo broj samo za k=2.

Jedini racinalan član u razvoju binoma je 3.član: 602310232

5T

2333

d) racionalne članove u razvoju binoma 154 21

rešenje:

4

kk4k15

1k 2k

1521

k

15T

Da bi članovi bili racionalni eksponent 4

k mora biti ceo broj.

Zbog 4

k-ceo broj => k je broj deljiv sa 4 => k=0, k=4,k=8 I k=12.

Racionalni članovi su:prvi, peti, deveti i trinaesti.

1210

15T

04151

273024

1521

4

15T

44115

2574027

1521

8

15T 2847

9

364023

1521

12

15T 31243

13

6.Odrediti x tako da:

a) 4. član u razvoju binoma

6

121xlog

1

xx

bude jednak 200

rešenje:

4

1

1xlog2

3

4

1

1xlog2

33

12

1

3

2

1

1xlog

1312

3

1xlog

1

4 x20xx20xx123

456xx

3

6T

1xlog

4

1

1xlog2

3

10logxlog

log10x

20:200x20

4

1

1xlog2

3

4

1

1xlog2

3

4

1

1xlog2

3

Smena: txlog

1t

4t

04t3t

4t4ttt6

1t414

t

1t2

t3

1t4

1

1t2

3

2

1

2

2

(1) 4xlog 0001,010x 4

(2) 1xlog 10x

b) 3. član u razvoju binoma 5xlogxx bude 1000000

rešenje:

xlog23xlog232xlog33 x10xx

12

45xx

2

5T

log100000x

10:1000000x10

xlog23

xlog23

5xlog23 10logxlog

10log5xlogxlog23

Smena: txlog

1t

2

5t

4

73

4

4093t

05t3t2

5tt23

2

1

2/1

2

(1) 2

5xlog

1000

10

10

10

1010

1

10

11010x

25

52

5

(2) 1xlog 10x

c) 6. član u razvoju binoma

711x32log

5

1

71x92log22

bude jednak 84.

rešenje:

11x32log71x92log2

511x32log

5

1271x92log3

3 222

722x

5

7T

11x32log71x92log211x32log71x92log22212

12

67

21:8422111x32log71x92log2

2

11x32log71x92log2log42

4log2log 2

11x32log71x92log2

2

4log2log13log79log2 221x

2

2/11x2

4log13

79log

4log13log79log

21x

1x

2

21x

21x

2

413

791x

1x

13479 1x1x

1

3

347

9

9 xx

1

3

347

9

3 xx2

Smena: 0t3x

3t

9t

027t12t

36t1263t

943

t47

9

t

2

1

2

2

2

(1) 2xx 3393 2x

(2) 33x 1x

d) 4. član u razvoju binoma

7

xlog

1

xlog 1010

jednak 3500000

rešenje:

xlog

3xlog2

xlog

32/1xlog4

3

xlog

14

xlog4 10351010

123

5671010

3

7T

5

xlog

3xlog2

xlog

3xlog2

xlog

3xlog2

10log10logxlog

3xlog2

100000log10log

log10000010

35:35000001035

5xlog

3xlog2

Smena: txlog

t5t

3t2

t53t2 2

03t5t2 2

4

75

4

24255t 2/1

3t1 2

1t2

(1) 3xlog 100010x 3

(2) 2

1xlog

10

10

10

10

10

110x 2

1

7.Ako je u razvijenom obliku binoma nyx , drugi član 240, treći 720 a

četvrti 1080 odrediti x,y i n. rešenje:

240ynx

ynxyx1

nT

1n

1n1n2

1440yx1nn720yx

2

1nn

yx2

1nnyx

2

nT

22n22n

22n22n3

6480yx2n1nn1080yx

6

2n1nn

yx6

2n1nnyx

3

nT

33n33n

33n33n4

SISTEM JEDNAČINA:

240ynx 1n (1)

1440yx1nn 22n (2)

6480yx2n1nn 33n (3)

6

x

y1n

240

1440

ynx

yx1nn

)1(

)2(1n

22n

(4)

2

9

x

y2n

1440

6480

yx1nn

yx2n1nn

)2(

)3(22n

33n

(5)

Iz (4) i(5):

2

9

x

y2n

2

9

x

y

x

y1n

2

9

x

y6

2

3

x

y

Zamenom u (4)

32n2

9

2

31n 5n

240yx5 4

48yx4

48x2

3x4

3

248x5

55 232x

2x

2

3

x

y

2

3

2

y

3y

8. Dokazati da je zbir svih binomnih koeficijenata u razvoju binoma jednak 2

n.

Rešenje: Zbir binomnih koeficijenata je :

n

n...

2

n

1

n

0

n

Ovaj zbir se dobija razvojem binoma n11 .

Odnosno

n

n...

2

n

1

n

0

n= n11 = n2

binomna (njutnova) formula · pdf fileza m=10 binom ima 11 članova; srednji član je 6.član...

Documents