UNIVERZA V MARIBORUFAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in raµcunalni�tvo

Diplomsko delo

BILINEARNE FORME

Mentor: Avtorica:doc. dr. Dominik Benkoviµc Samanta Ribiµc

Maribor, februar 2010

Zahvala

Narava dela vedno v danih okoli�µcinah, ki so ji na voljo in kolikor mogoµce, najlep�ein najbolj�e stvari«.(Problemi, XVI, Aristotel, 384-322 pr.n.�t.)

Rada bi se zahvalila svojemu mentorju doc. dr Dominiku Benkoviµcu za strokovnosvetovanje, potrpeµzljivost in spodbudo pri nastajanju diplomskega dela.

Hvala tudi tebi Simon, ki me sprejema� tako kot sem. V vseh mojih vzponih inpadcih si verjel vame, me optimistiµcno spodbujal ter mi nesebiµcno pomagal.

Iskrena hvala tudi dragima sestrama, ter mami in oµcetu za vso podporo in �-nanµcno pomoµc pri �tudiju.

Hvala tudi vsem ostalim, ki ste mi vsa ta leta stali ob strani.

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in raµcunalni�tvo

Izjava

Podpisana Samanta Ribiµc, rojena 21. 10. 1983, �tudentka Fakultete za naravoslovjein matematiko Univerze v Mariboru, smer matematika in biologija, izjavljam, da jediplomsko delo z naslovom

BILINEARNE FORME

pri mentorju doc. dr. Dominiku Benkoviµcu avtorsko delo. V diplomskem delu souporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso prepisani brez navedbeavtorjev.

Maribor, februar 2010 Samanta Ribiµc

Program diplomskega dela: Bilinearne forme

Diplomsko delo naj obravnava osnove teorije bilinearnih form na konµcno razseµznihrealnih in kompleksnih vektorskih prostorih. Opisane naj bodo osnovne lastnostisimetriµcnih, po�evnosimetriµcnih in pozitivno de�nitnih bilinearnih form. Prav takonaj bo prikazana uporaba bilinearnih form v geometriji s poudarkom na klasi�kacijikrivulj in ploskev drugega reda.

Osnovni vir: M. Artin, Algebra, Prentice Hall (1991).

doc. dr. Dominik Benkoviµc

4

RIBIµC, Samanta: Bilinearne forme.

Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in ma-tematiko, Oddelek za matematiko in raµcunalni�tvo, 2009.

Povzetek

Diplomsko delo je sestavljeno iz osmih poglavij. V uvodnem poglavju so ra-zloµzeni osnovni pojmi o skalarnem produktu, linearnih preslikavah in matrikah, kijih potrebujemo za nadaljnje razumevanje obravnavane snovi. Drugo poglavje govorio bilinearnih formah in osnovnih lastnostih bilinearnih form. V tretjem, µcetrtem inpetem poglavju je vsaka izmed lastnosti bilinearnih form podrobneje razµclenjena inrazloµzena. Posebej so opisane lastnosti simetriµcnih, po�evno simetriµcnih in pozitivnode�nitnih bilinearnih form, kakor tudi uporaba bilinearnih form v sami geometriji.�esto poglavje zajema hermitske forme in njihove lastnosti v kompleksnih �tevilih.Sedmo poglavje obravnava spektralno teorijo na n-dimenzionalnem kompleksnemvektorskem prostoru. V zadnjem, osmem poglavju so z uporabo kvadratnih formpredstavljene neizrojene krivulje in ploskve drugega reda.

Kljuµcne besede: bilinearna forma, hermitska forma, kvadratna forma, skalarniprodukt.

Math. Subj. Class. (2010): 15A63, 11E39.

5

RIBIµC, Samanta: Bilinear Forms.

Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciencesand Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science,2009.

Abstract

My diploma consists of eight chapters. In the introductory chapter there isan explanation of the basic notions about the scalar product, linear copying andmatrix, which are essential for further comprehension of the discussed subject. Thesecond chapter is about bilinear forms and the basic properties of bilinear forms.In the third, forth, and the �fth chapter there is a detailed explanation of theeach bilinear properties. Properties: symmetry, skew-symmetric form and positivelyde�ned bilinear forms are explained in detail. One can also �nd the explanation ofthe usage of bilinear forms in geometry in these chapters. The sixth chapter is abouthermitian forms and their properties in the �eld of complex numbers. The seventhchapter discusses spectral theory in the n- dimensional complex vector space. In thelast, the eight chapter, the ingenerate curves and conics order are presented throughthe usage of the square forms.

Key words: bilinear form, Hermitian form, quadratic form, inner product.

Math. Subj. Class. (2010): 15A63, 11E39.

6

Kazalo

Izvleµcek 5

Abstract 6

1 Uvod: osnovni pojmi 8

2 Opredelitev bilinearne forme in osnovne lastnosti 11

3 Simetriµcne forme in pravokotnost 21

4 Po�evno simetriµcne forme 28

5 Pozitivne forme v geometriji 30

6 Hermitske forme 33

7 Spektralna teorija 38

8 Krivulje in ploskve drugega reda 43

Literatura 51

7

Poglavje 1

Uvod: osnovni pojmi

V tem poglavju bodo podani osnovni pojmi, ki jih bomo uporabljali v nadaljevanju.Osredotoµcili se bomo predvsem na vektorski prostor, skalarni produkt, matrike inlinearne preslikave.

Vektorski prostor pravimo tisti mnoµzici V nad poljem F , v kateri sta de�niranibinarni operaciji se�tevanje + : V � V ! V in mnoµzenje s skalarji � : F � V ! V

ter velja:(i) (V;+) je Abelova grupa;(ii) � (�v) = (��) v za vse �; � 2 F in vsak v 2 V ;(iii) (�+ �) v = �v + �v za vse �; � 2 F in vsak v 2 V ;(iv) � (v + w) = �v + �w za vse v; w 2 V in vsak � 2 F ;(v) 1v = v vsak v 2 V .

Elementom vektorskega prostora reµcemo vektorji. V primeru, ko je F = R, pravimo,da je V realni vektorski prostor. Osnovni primer realnega vektorskega prostora jemnoµzica Rn, ki jo opremino s se�tevanjem in mnoµzenjem s skalarji:264 x1...

xn

375+264 y1...yn

375 =264 x1 + y1

...xn + yn

375 in �

264 x1...xn

375 =264 �x1...�xn

375za vse �; x1; :::; xn; y1; :::; yn 2 R.

Linearna lupina vektorjev v vektorskem prostoru V nad poljem F; je mnoµzicavseh moµznih linearnih kombinacij �1v1 + �2v2 + ::: + �nvn vektorjev v1; : : : ; vn izvektorskega prostora V s skalarji �1; : : : ; �n iz polja F: Linearna lupina vektorjevv1; : : : ; vn tvori vektorski podprostor v V . Baza vektorskega prostora V nad poljemF je maksimalna linearno neodvisna mnoµzica vektorjev B �V . Moµc baze je dimenzi-ja vektorskega prostora in vektorski prostor je konµcno razseµzen, µce je njegova baza

8

konµcna. µCe je B = fv1; : : : ; vng baza vektorskega prostora V , se vsak vektor v 2 Venoliµcno zapi�e kot linearna kombinacija baznih vektorjev:

v = �1v1 + �2v2 + :::+ �nvn;

kjer so �i 2 F:

Skalarni produkt je preslikava na realnem (kompleksnem) vektorskem prostoruV , ki dvema vektorjema u; v 2 V priredi skalar hu; vi 2 R(C) in ima naslednjelastnosti:(i) hv; vi � 0 za vsak v 2 V ;(ii) hv; vi = 0 natanko tedaj, ko je v = 0;(iii) h�u+ �v; wi = � hu;wi+ � hv; wi za vse �; � 2 R(C) in vse u; v; w 2 V ;(iv) hu; vi = hv; ui (hu; vi = hv; ui) vse u; v 2 V:

Obiµcajni skalarni produkt na vektorskem prostoru Rn je de�niran s predpisom

hx; yi = x1y1 + x2y2 + � � �+ xnyn

za vse x = (x1; x2; :::; xn) ; y = (y1; y2; :::; yn) 2 Rn. Vektorja u; v 2 V sta orto-gonalna, µce je hu; vi = 0. Ortogonalna baza je baza, ki je sestavljena iz paromapravokotnih vektorjev. Normirana baza je baza, ki je sestavljena iz samih eno-tskih vektorjev. To so vektorji dolgi eno enoto. Ortonormirana baza je baza, ki jesestavljena iz vektorjev, ki so pravokotni in normirani hkrati.

Matrika je pravokotna tabela �tevil z vrsticami in s stolpci. Matrika z m stolpciin n vrsticami je razseµznosti m � n. Element matrike A v i-ti vrstici in j-temstolpcu je element aij: Nesingularna matrika je obrnljiva matrika, kar pomeni, daje matrika A reda n � n obrnljiva le, µce obstaja taka matrika B, za katero veljaAB = BA = I. Matriko B oznaµcimo z A�1 in imenujemo inverzna matrika matrikeA. Transponiranje matrike A razseµznosti m�n pomeni zamenjava vrtic in stolpcevtako, da dobimo matriko At razseµznosti n � m. Kvadratna matrika A je simetriµcna,µce velja: At = A; to pomeni, da je aij = aji za vsak i in j

Linearna preslikava pravimo preslikavi med dvema vektorskima prostoroma nadistim poljem F : A : V �! U , µce se vsota poljubnih dveh vektorjev iz V preslika vvsoto njunih slik v U in µce se produkt vektorja iz V s poljubnim skalarjem slika vprodukt slike danega vektorja z istim skalarjem:

A(v + w) = A (v) +A (w) in A(�v) = �A (v) :

9

Linearne preslikave na konµcno razseµznih vektorskih prostorih obiµcajno opi�emo z ma-trikami. Linearni preslikavi A : V �! U , kjer je dimenzija prostora V enaka n in di-menzija prostora V enakam, pripada matrika A 2Mm�n (F ). Matriko linearne pre-slikave A dobimo z naslednjim postopkom: najprej izberemo bazo B = fv1; : : : ; vngza V in bazo B0 = fu1; : : : ; umg za U: Matrika A = [aij] je natanko doloµcena, µcepoznamo slike baznih vektorjev A (vj), ki jih razvijemo po bazi B0 in velja

A (vj) =

mXi=1

ai;jui;

kjer je j = 1; 2; :::; n: Naj matrika A pripada linearni preslikavi A : V �! U gledena bazo B1 prostora V in bazo B01 prostora U: Tedaj tej linearni peslikavi glede nanovi bazi B2 prostora V in B02 prostora U pripada nova matrika A0 = Q�1AP: Pritem je P matrika prehoda med bazama B1, B01 in Q matrika prehoda med bazamaB2, B02:

Lastni vektor je neniµcelni vektor v linearne preslikave A : V ! V , za kateregaje izpolnjena enaµcba A (v) = �v; pri tem pa je � lastna vrednost linearne preslikaveA. Karakteristiµcni polinom je polinom kvadratne matrike A razseµznosti n � n, kiga dobimo z raµcunanjem determinante karakteristiµcne matrike A � �I; kjer je Iidentiteta. Niµcle karakteristiµcnega polinoma pa so lastne vrednosti matrike A.

10

Poglavje 2

Opredelitev bilinearne forme inosnovne lastnosti

V tem poglavju si bomo pogledali, kaj so bilinearne forme, kako jih zapisujemo, kakojih de�niramo in katere lastnosti imajo. Kot model za bilinearno formo bomo vzeliobiµcajni skalarni produkt vektorjev x in y, ki se nahajata na realnem vektorskemprostoru Rn:

hx; yi = xty = x1y1 + :::+ xnyn:

Ker je oznaka h�; �i rezervirana predvsem za skalarni produkt, bomo v nadaljevanjuuporabljali funkcijski zapis

f (x; y) = xty = x1y1 + :::+ xnyn; (2.1)

kjer je f : Rn � Rn ! R. Bilinearna forma, ki je skalarni produkt, ima naslednjelastnosti:

� bilinearnost

f (x1 + x2; y) = f (x1; y) + f (x2; y)

f (x; y1 + y2) = f (x; y1) + f (x; y2)

f (cx; y) = cf (x; y) = f (x; cy)

za vse x; xi; y; yi 2 Rn in vsak c 2 R;

� simetriµcnostf (x; y) = f (y; x) za vse x; y 2 Rn

� pozitivna de�nitnost

f (x; x) > 0 za vsak 0 6= x 2 Rn

11

Zanima nas sama bilinearnost, ki nam pove, µce eno spremenljivko �ksiramo,kar pomeni v na�em primeru en vektor, dobimo linearno preslikavo, ki slika re-alni prostor Rn v realni prostor R: Podrobneje bomo pogledali skalarni produkt innjemu analogne preslikave. Ob tem bomo raz�irili pojem bilinearnosti in pojemsimetriµcnosti na katerikoli poljuben vektorski prostor. Pozitivna de�nitnost pa jeuporabna samo takrat, ko je skalarno polje neka mnoµzica realnih �tevil R. Poznejebomo raz�irili pozitivno de�nitnost iz skalarnega polja na kompleksne vektorske pro-store. Zaµcnimo s formalno de�nicijo bilinearne forme.

De�nicija 2.1 Naj bo V vektorski prostor nad poljem F . Bilinearna forma naV je funkcija dveh spremenljivk iz V , z zalogo vrednosti v F

f : V � V ! F;

za katero veljajo naslednji aksiomi:

f (v1 + v2; w) = f (v1; w) + f (v2; w)

f (cv; w) = cf (v; w)

f (v; w1 + w2) = f (v; w1) + f (v; w2)

f (v; cw) = cf (v; w)

za vse v; w; vi; wi 2 V in za vsak c 2 F .

Za preslikavo f (v; w) reµcemo, da je simetriµcna, µce velja:

f (v; w) = f (w; v) ;

in po�evno simetriµcna, µce velja:

f (v; w) = �f (w; v) ;

za vse vektorje v in w, ki se nahajajo v vektorskem prostoru V . µCe je neka preslikavasimetriµcna ali po�evno-simetriµcna, linearnost druge spremenljivke sledi iz linearnostiprve spremenljivke.Vpeljimo osnovni primer bilinearne forme na vektorskem prostoru F n. Naj bo

x vektor iz vektorskega prostora F n. V nadaljevanju bomo vektor x predstavili vstolpµcni obliki:

X =

26664x1x2...xn

37775 ;12

kjer je xi 2 F . Naj bo A n� n matrika z elementi iz polja F

A =

26664a11 a12 � � � a1na21 a22 � � � a2n...

.... . .

...an1 an2 � � � ann

37775 ;potem lahko de�niramo preslikavo f : F n � F n ! F tako:

f (x; y) = X tAY: (2.2)

Rezultat tega produkta je matrika razseµznosti 1�1, ki jo identi�ciramo s skalarjem.Takoj vidimo, da je preslikava f bilinearna in zato je f tudi bilinearna forma. Preve-rimo samo linearnost po prvi komponenti, kjer upo�tevamo lastnosti transponiranja

f (c1v1 + c2v2; w) = (c1X1 + c2X2)tAY

= c1Xt1AY + c2X

t2AY

= c1f (v1; w) + c2f (v2; w)

za vse za vse xi; y 2 F n in za vsak ci 2 F .

Trditev 2.2 Bilinearna forma f (x; y) = X tAY na vektorskem prostoru F n jesimetriµcna natanko tedaj, ko je matrika A simetriµcna.

Dokaz. Predpostavimo, da je matrika A simetriµcna, to pomeni At = A. Ker jeskalar matrika velikosti 1 � 1 in je enak svoji transponirani vrednosti, lahko sedajizraµcunamo

f (y; x) = Y tAX =�Y tAX

�t= X tAtY = X tAY = f (x; y) :

Torej je f simetriµcna bilinearna forma. Drugo implikacijo dobimo, ko vstavimo, daje x = ei in y = ej in ugotovimo

f (ei; ej) = eiAej = aij

f (ej; ei) = ejAei = aji:

Ker je sama bilinearna forma simetriµcna, potem iz tega sledi, da je aij = aji in zatoje matrika A simetriµcna. �

Naj bo f bilinearna forma na konµcno razseµznem vektorskem prostoru V in najbo B = fv1; : : : ; vng baza tega vektorskega prostora. Bilinearno preslikavo lahko

13

glede na bazo B poveµzemo z matriko forme A = [aij]. Naj bodo elementi matrike Adoloµceni s predpisom

aij = f (vi; vj)

za vse i; j. Tedaj lahko bilinearno formo identi�ciramo s produktom f (v; w) =

X tAY , kjer vektor v = x1v1+x2v2+ :::+xnvn identi�ciramo s koordinatnim vekto-rjem

X =

26664x1x2...xn

37775v vektorskem prostoru F n. Podobno vektor w = y1v1+y2v2+:::+ynvn identi�ciramos koordinatnim vektorjem Y 2 F n.

Y =

26664y1y2...yn

37775Vemo, da je A simetriµcna matrika natanko tedaj, ko bo f simetriµcna bilinearna

forma. Sama simetriµcnost forme pa je neodvisna od izbire baze. µCe je matrikabilinearne forme f , glede na neko bazo B = fv1; : : : ; vng simetriµcna, bo simetriµcnatudi glede na poljubno novo bazo B0 =

�v01; : : : ; v

0n

.

S pomoµcjo matrike A lahko izraµcunamo vrednost bilinearne forme dveh vektorjevv in w, ki sta elementa vektorskega prostora V . Naj bosta X in Y koordinatnavektorja teh dveh vektorjev. Tedaj lahko zapi�emo

f (v; w) = f (x1v1 + � � �+ xnvn; y1v1 + � � �+ ynvn) (2.3)

=Pn

i;j=1xiyjf (vi; vj) =Pn

i;j=1xiyjaij = XtAY:

Pomembnej�i problem pri samem prouµcevanju linearnih operaterjev je, kakoopisati uµcinek spremembe baze. Imamo neko bazo B = fv1; : : : ; vng in neko novobazo B0 = fv01; : : : ; v0ng ter s P oznaµcimo matriko prehoda med bazama B in B0. Najbosta v in w vektorja iz V s pripadajoµcima koordinatnima vektorjema X in Y gledena bazo B ter pripadajoµcima koordinatnima vektorjema X 0 in Y 0 glede na bazo B0.Tedaj velja

X 0 = PX in Y 0 = PY: (2.4)

Naj bosta A in A0 matriki bilinearne forme f glede na bazi B in B0. Potem po (2.3)in (2.4) velja

f (v; w) = X 0tA0Y 0 = (PX)tA0 (PY ) (2.5)

= X tP tA0PY = X t�P tA0P

�Y:

14

Vemo pa tudi, da veljaf (v; w) = X tAY;

torej jeP tA0P = A: (2.6)

Naj boQ =

�P�1

�t;

kjer je P obrnljiva matrika. Iz tega pa sledi, da je Q tudi obrnljiva matrika, zatolahko zapi�emo naslednjo posledico:

Posledica 2.3 Naj bo A matrika bilinearne forme f glede na bazo B. Naj bo A0

matrika, ki predstavlja isto bilinearno formo, glede na bazo B0. Potem je

A0 = QAQt: (2.7)

Sedaj uporabimo formulo P tA0P = A na primeru obiµcajnega skalarnega pro-dukta v Rn. Matrika, ki pripada skalarnemu produktu f(x; y) = x1y1 + ::: + xnyn,x; y 2 Rn, je glede na standardno bazo identiteta A = I:

f(x; y) = X tY = X tIY:

Sama formula (2.7) nam pove, µce spremenimo bazo prostoraRn; se matrika skalarnegaprodukta spremeni v

A0 =�P�1

�tI�P�1

�=�P�1

�t �P�1

�= QQt;

kjer je P matrika prehoda med bazama. µCe je matrika P ortogonalna, to pomeni,da je

P tP = I;

tedaj je tudi matrika P�1 ortogonalna in A0 = I ter za skalarni produkt velja

f(x; y) = X tY = X 0tY 0: (2.8)

µCe matrika P ni ortogonalna, tedaj se pri spremembi baze skalarni produkt zapi�e

f(x; y) = X tY = X 0tA0Y 0;

kjer je A0 = (P�1)t (P�1).

15

Zgled. Naj bo n = 2 in B standardna baza prostora R2 ter bazo B0 naj sestavljatavektorja

v01 =

�11

�in v02 =

�01

�:

Naj bo f(x; y) = x1y1 + x2y2 obiµcajni skalarni produkt na prostoru R2. Potem je

P�1 =

�1 01 1

�in A0 =

�1 10 1

� �1 01 1

�=

�2 11 1

�:

Matrika A0 predstavlja skalarni produkt na prostoru R2 glede na bazo B0. Vidimotudi

f(v01; v01) = 2; f(v

01; v

02) = f(v

02; v

01) = 1; f(v

02; v

02) = 1:

Problema pa se lahko lotimo tudi obratno. Predvidevamo, da imamo podanoneko bilinearno formo na vektorskem prostoru V . Zanima nas, kdaj lahko ta biline-arna forma postane skalarni produkt. Izberemo primerno bazo B in njej pripadajoµcomatriko A. Bilinearna forma je skalarni produkt, µce ji v neki bazi pripada identiµcnamatrika. Sedaj pa s pomoµcjo enaµcbe P tA0P = A lahko re�imo matriµcno enaµcbo

I =�P�1

�tA�P�1

�:

Re�itev te enaµcbe je A = P tP . Tako dobimo posledico:

Posledica 2.4 Matrike, ki predstavljajo bilinearne forme ekvivalentne skalarnimproduktom so oblike

A = P tP;

kjer je P obrnljiva matrika.

Posledica nam poda re�itev na�ega problema, kako poiskati bilinearno formo, kibo ekvivalentna skalarnemu produktu. Ker, µce ne poznamo praktiµcne metode zaiskanje te matrike A, nam ta posledica ne zadostuje.De�nicija modela bilinearne forme kot posplo�itve skalarnega produkta nam

lahko pomaga pri iskanju lastnosti matrike A. Pokazati moramo bilinearnost, si-metriµcnost in pozitivnost skalarnega produkta. Bilinearnost se ne nana�a direktnona matriko A, toda pove pa nam, da je produkt

f (v; w) = X tAY

vedno bilinearna preslikava. Zaradi pogoja simetriµcnosti skalarnega produkta, morabiti matrika A vedno simetriµcna. Zaradi pogoja pozitivne de�nitnosti skalarnegaprodukta, pa mora za matriko A veljati:

X tAX > 0; za vsak X 6= 0:

16

Prava simetriµcna matrika, ki zado�µca temu pogoju, se imenuje pozitivno de�nitnamatrika.

Izrek 2.5 Za matriko A 2Mn (R) so ekvivalentne naslednje trditve:

1. Matrika A predstavlja skalarni produkt, glede na neko bazo v realnem vekto-rskem prostoru Rn.

2. Obstaja taka obrnljiva matrika P 2Mn (R), da za njo velja A = P tP .

3. Matrika A je simetriµcna in pozitivno de�nitna.

Da sta trditvi 1 in 2 v prej�njem izreku ekvivalentni, sledi iz posledice 2.4. Vemopa tudi, da trditev 1 implicira trditev 3. Dokazali bomo �e, da trditev 3 impliciratrditev 1. Pri samem dokazu tega pa si bomo pomagali z vektorji. Prej pa bomovpeljali �e nekaj de�nicij.

De�nicija 2.6 Simetriµcna bilinearna forma f na konµcno dimenzionalnem realnemvektorskem prostoru V je pozitivno de�nitna, µce je

f (v; v) > 0

za vsak neniµcelni vektor v 2 V:

Realna simetriµcna matrika A je pozitivno de�nitna, µce in samo µce velja, da jebilinearna forma

f (x; y) = X tAY

de�nirana na Rn pozitivno de�nitna forma. Velja tudi, bilinearna forma f je po-zitivno de�nitna, µce in samo, µce je matrika A glede na katerokoli bazo pozitivnode�nitna matrika.

De�nicija 2.7 Vektorja v in w sta pravokotna glede na simetriµcno bilinearnoformo f , µce velja

f (v; w) = 0:

Pravokotnost vektorjev oznaµcimo z

v ? w:

De�nicija 2.8 Bazo B = fv1; : : : ; vng vektorskega prostora V imenujemo ortonormi-rana baza glede na bilinearno formo f , µce velja

f (vi; vj) = 0

za vsak i 6= j, inf (vi; vi) = 1;

za vsak i:

17

Direktno iz de�nicije sledi, da je baza B = fv1; : : : ; vng ortonormirana natankotedaj, ko je matrika bilinearne forme f , glede na bazo B identiµcna matrika.

Izrek 2.9 Naj bo f pozitivno de�nitna, simetriµcna bilinearna forma na konµcno-dimenzionalnem realnem vektorskem prostoru V . Potem obstaja ortonormirana bazavektorskega prostora V glede na formo f .

Dokaz. Opisali bomo Gram-schmidtov postopek za oblikovanje pravokotnih baz.Vzemimo poljubno bazoB = fv1; : : : ; vng. Najprej preoblikujemo vektor v1 v vektorw1 = cv1 tako, da bo

f (w1; w1) = 1:

Da to sploh lahko naredimo, najprej ugotovimo

f (cv; cv) = c2v:

Ker je forma pozitivno de�nitna, velja f (v1; v1) > 0. Naj bo

c = f (v1; v1)� 12 :

Sedaj, ko vse to poznamo, de�niramo w1 = cv1:Nato poi�µcemo linearno kombinacijo vektorjev w1 in v2, ki je pravokotna na

vektor w1. Naj bow = v2 � aw2;

kjer je a = f (v2; w1). Tedaj velja

f (w;w1) = f (v2; w1)� af (w1; w1) = f (v2; w1)� a = 0:

Vidimo, da je tako doloµceni vektor w pravokoten na vektor w1. Vektor w sedaj�e normiramo in dobimo vektor w2; ki v bazi zamenja vektor v2. Ta postopekposplo�imo. Predpostavimo, da so vektorji w1; :::wk�1 ortonormirani in da je

A = fw1; :::; wk�1; vk; :::; vng

baza prostora V . Vektor vk prilagodimo tako, da doloµcimo

ai = f (vk; wi) ;

in naj bow = vk � a1w1 � a2w2 � :::� ak�1wk�1:

Potem je w pravokoten na wi; za vsak i = 1; :::; k � 1; saj je

f (w;wi) = f (vk; wi)� a1f (w1; wi)� a2f (w2; wi)� :::� ak�1f (wk�1; wi) :

18

Ker so vektorji fw1; :::wk�1g ortonormirani, so vsi skalarni produkti f (wj; wi), zakatere velja , da je 1 � j � k � 1; enaki 0, razen skalarnega produkta f (wi; wi) ; kije enak 1. Torej se zgornja vsota zmanj�a na

f (w;wi) = f (vk; wi)� aif (wi; wi) = f (vk; wi)� ai = 0:

Vektorj w normiramo in dobimo vektor wk; ki v bazi zamenja vektor vk. Tako kotprej je potem mnoµzica vektorjev z bazo C = fw1; :::wkg ortonormirana. Ker vk leµziv linearni lupini mnoµzice fw1; :::wk; vk+1; :::vng, predstavlja ta zapis bazo. Obstojortonormirane baze, pa sledi z indukciji po k. �

Dokonµcajmo sedaj dokaz izreka 2.5: Da tretja trditev v izreku implicira prvotrditev, sledi iz izreka 2.9. µCe je matrika A simetriµcna in pozitivno de�nitna, potemje bilinearna forma

f (x; y) = X tAY;

ki je de�nirana na realnem prostoru Rn, prav tako simetriµcna in pozitivno de�nitna.V tem primeru nam ta izrek pove, da obstaja taka baza B0 =

�v01; : : : ; v

0n

na realnem

vektorskem prostoru Rn; ki je ortonormirana glede na dano bilinearno formo. Todata baza verjetno ne bo ortonormirana, glede na obiµcajen skalarni produkt na realnemprostoru Rn: Po drugi strani pa matrika A0, glede na novo bazo B0 =

�v01; : : : ; v

0n

zado�µca

P tA0P = A:

Ker je B0 =�v01; : : : ; v

0n

ortonormirana baza glede na formo f , je A0 = I. Iz µcesar

sledi, da jeA = P tP:

To dokazuje drugo trditev izreka 2.9 in ker µze vemo, da sta prvi dve trditvi ekviva-lentni, je s tem dokazana tudi prva trditev.

µZal ne obstaja nobena preprostej�a pot, s katero bi pokazali, da je matrika pozi-tivno de�nitna. Eden izmed najbolj primernih kriterijev je sledeµci: z Ai oznaµcujemozgornjo levo podmatriko matrike A velikosti i� i, torej

A1 = [a11] ; A2 =

�a11 a12a21 a22

�; A3 =

24 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

35 ; � � � ; An = A:V naslednjem poglavju bomo dokazali naslednji uporaben izrek.

Izrek 2.10 Realna simetriµcna n�n matrika A je pozitivno de�nitna natanko takrat,ko je determinanta matrike Ai pozitivna za vsak i = 1; :::; n.

19

Zgled. Naj bo n = 2: Imamo 2� 2 matriko

A =

�a bc d

�:

Matrika A je pozitivno de�nitna natanko takrat, ko je a > 0 in ad� bc > 0.

20

Poglavje 3

Simetriµcne forme in pravokotnost

V tem poglavju bomo delali s konµcno dimenzionalnimi vektorskimi prostori, nakaterih so podane simetriµcne bilinearne forme. Primer take forme je Lorentzevaforma iz �zike, ki ima obliko

f(x; y) = x1y1 + x2y2 + x3y3 � c2x4y4; (3.1)

kjer sta x = (x1; x2; x3; x4); y = (y1; y2; y3; y4) 2 R4. Ta forma je torej de�nirana naµcasovnem prostoru, kjer koe�cient c predstavlja svetlobno hitrost. Dani koe�cient clahko normaliziramo in forma (3.1) se lahko zapi�e v obliki

f1(x; y) = x1y1 + x2y2 + x3y3 � x4y4;

kateri glede na standardno bazo prostora R4 pripada matrika

A =

26641 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 �1

3775 :Trditev 3.1 Predpostavimo, da je f neniµcelna simetriµcna forma. Takrat obstajaneniµcelni vektor v 2 V , da f (v; v) 6= 0.

Dokaz. Po predpostavki obstajata vektorja v; w 2 V , da f (v; w) 6= 0, ker jeforma neniµcelna. µCe je f (v; v) 6= 0 ali f (w;w) 6= 0, tedaj je trditev µze dokazana.Predpostavimo, da je f (v; v) = f (w;w) = 0. Naj bo u = v + w. Uporabimobilinearnost forme in zapi�emo

f (u; u) = f (u+ w; u+ w) = f (v; v) + 2f (v; w) + f (w;w)

= 2f (v; w) :

Ker je po predpostavki f (v; w) 6= 0, sledi tudi f (u; u) 6= 0. �

21

µCe jeW vektorski podprostor prostora V , potem bomo oznaµciliW? vse vektorjev, ki so pravokotni na vsak vektor w 2 W , to pomeni

W? = fv 2 V ; f (v; w) = 0 za vsak w 2 Wg :

Izkaµze se, da jeW? vektorski podprostor v V , ki se imenuje pravokotni komplementW . Po trditvi 3.1 sledi 3.2.

Trditev 3.2 Naj bo w 2 V tak�en vektor, da bo veljalo f (w;w) 6= 0. Naj bo W =

Lfwg linearna lupina vektorja w. Potem je V direktna vsota W in pravokotnegakomplementa W?, to je V = W �W?.

Dokaz. Pokazati moramo, da je presek W \ W? = 0. Vektorja cw in w nistapravokotna, razen v primeru, ko je c = 0; zato ker velja

f (cw;w) = cf (w;w) in f (w;w) 6= 0:

W in W? sta podprostora vektorskega prostora V . Vsak vektor v, ki se nahaja navektorskem prostoru V , lahko zapi�emo kot vsoto dveh vektorjev

v = qw + v0; kjer je v0 2 W?:

To je lepo razvidno, µce re�imo enaµcbo f (v � qw;w) = 0 oziroma

f (v � aw;w) = f (v; w)� af (w;w) = 0:

Re�itev enaµcbe je q = f(v;w)f(w;w)

, ki jo vstavimo v v0 = v � qw: Zato je v0 2 W? intrditev je dokazana. �

V nadaljevanju bomo potrebovali �e niµcelni prostor simetriµcnih form in nede-generirano formo. Vektor v, ki se nahaja v vektorskem prostoru V se imenuje niµcelnivektor, µce za njega velja f (v; w) = 0: To velja za vsak vektor w iz vektorskega pro-stora V . To nam pove, da je vektor v pravokoten v celotnem vektorskem prostoruV . Niµcelni prostor je v bistvu kombinacija niµcelnih vektorjev

N = fv; f (v; V ) = 0g = V ?:

Simetriµcna bilinearna forma je nedegenerirana, µce je njen niµcelni prostor N = f0g :To lahko podkrepimo z naslednjo trditvijo.

Trditev 3.3 Naj bo A matrika simetriµcne bilinearne forme f glede na bazo B.Potem niµcelni prostor tvorijo tisti vektorji v, katerih vektorjeve koordinate X re�ijohomogeni linearni sistem

AX = 0:

Nadalje velja, da je matrika A nesingularna natanko tedaj, ko je bilinearna forma fnedegenerirana.

22

Dokaz. Glede na bazo, lahko bilinearno formo zapi�emo v obliki f (v; w) = X tAY .µCe je Y tak vektor, da velja

AY = 0;

tedaj jeX tAY = 0;

za vsak X. Zato vektor Y leµzi v v niµcelnem prostoru. Predpostavimo nasprotno, daje

AY 6= 0

in da ima produkt AY vsaj eno i-to neniµcelno koordinato etiAY: To nam pokaµze, daY ni niµcelni vektor. S tem pa smo pokazali, da vektor v, µcigar koordinate X re�ijohomogeno enaµcbo

AX = 0;

res tvori niµcelni prostor. Direktno iz te ugotovitve pa sledi �e drugi del trditve.Namreµc matrika A je nesingularna natanko tedaj, ko ima homogeni sistem AX

samo trivialno re�itev. �

Trditev 3.4 Naj bo W podprostor vektorskega prostora V . Predpostavimo, da je fnedegenerirana na W . Potem je

V = W �W?:

Dokaz te trditve je podoben dokazu trditve 3.2, zato ga izpustimo.

De�nicija 3.5 Baza B = fv1; : : : ; vng vektorskega prostora V glede na simetriµcnobilinearno formo f je ortogonalna (pravokotna) baza prostora V , µce je vektor vipravokoten na vektor vj za vse i 6= j:

Naj bo A matrika, ki pripada bilinearni formi f v bazi B = fv1; : : : ; vng. Topomeni, da je aij = f(vi; vj): Hitro vidimo, da je omenjena baza B = fv1; : : : ; vngpravokotna natanko takrat, ko je matrika A diagonalna matrika.

Izrek 3.6 Naj bo f simetriµcna bilinearna forma realnega vektorskega prostora V:

1. Tedaj na V obstaja ortogonalna baza B = fv1; : : : ; vng. Velja �e veµc, vrednostiforme f (vi; vi) so lahko 1;�1 ali 0:

2. Naj bo A simetriµcna n� n matrika, ki pripada formi f v neki bazi B. Potemobstaja taka matrika obrnljiva matrika Q 2 Mn (R), da je QAQt diagonalnamatrika in njeni diagonalni elementi so 1;�1 ali 0.

23

Dokaz. Predpostavimo, da je forma f neniµcelna. Neniµcelna forma ima vektor, kini samo-pravokoten. Trdimo lahko, da obstaja tak vektor v1 iz baze B; da veljaf (v1; v1) 6= 0: Naj bo W linearna lupina vektorja v1: W = Lfv1g: Vektorski prostorV je direktna vsota vektorskih podprostorov W in W?: Bazo vektorskega prostoraV dobimo, kot unijo mnoµzic fv1g in fv2; :::; vng. Bilinearno formo f , ki je de�niranana V , lahko zoµzimo na podprostor W?. Vektorski podprostor W? ima pravokotnobazo B v vektorskem prostoru V: To lahko dokaµzemo z indukcijo. Torej sedaj velja,da je f (v1; vi) = 0 za vsak i > 1. Vektor vi se nahaja v vektorskem pdprostoruW? in za njega velja, da je f(vi; vj) = 0; natanko takrat, ko sta i 6= j in i; j > 1; vpravokotni bazi B. µCe je f(vi; vi) 6= 0, potem re�imo enaµcbo:

c2 = �f (vi; vi)

in spremenimo bazni vektor vi v cvi: Na ta naµcin smo normalizirali vektor vi inzato se vrednost bilinearne forme f (vi; vi) spremeni v �1. S tem je prvi del izrekadokazan.Drugi del izreka sledi neposredno iz prvega dela. Vsaka simetriµcna matrika

A predstavlja simetriµcno bilinearno formo f . Izberimo tako pravokotno bazo -B = fv1; : : : ; vng na vektorskem prostoru V , da velja f (vi; vj) = 1;�1 ali 0. Potemobstaja taka matrika obrnljiva matrika Q 2Mn (R), da je QAQt diagonalna matrikain njeni diagonalni elementi so 1;�1 ali 0. �

Naj bo f simetriµcna bilinearna forma na V . Po prej�njem izreku obstaja orto-gonalna baza B = fv1; : : : ; vng, kjer so vrednosti f (vi; vi) lahko 1;�1 ali 0. S per-mutacijo baznih vektorjev lahko doseµzemo, da so po vrsti najprej tisti vektorji, zakatere velja f (vi; vi) = 1, nato vektorji z lastnostjo f (vi; vi) = �1 in nazadnje vek-torji, ki zado�µcajo f (vi; vi) = 0. Matrika, ki pripada formi f v tako preoblikovanibazi je oblike:

A =

24 Ip �Im0z

35 ; (3.2)

kjer je p �tevilo 1 na diagonali, m �tevilo �1 na diagonali in z �tevilo niµcel nadiagonali. Pri tem velja

p+m+ z = n:

�tevila p; m; z so z bilinearno formo f enoliµcno doloµcena, to pravi Sylvestov izrek :

Izrek 3.7 (Sylvestrov zakon) �tevila p; m in z, ki nastopajo v matriki (3.2), soenoliµcno doloµcena z bilinearno formo f in so neodvisna od same izbire ortogonalnebaze B = fv1; : : : ; vng :

24

Dokaz. Naj bo r = p +m rang matrike A in naj bo B = fv1; : : : ; vng ortogonalnabaza, v kateri formi f pripada matrika (3.2). Najprej bomo dokazali, da je �tevilo zdoloµceno z vektorji vr+1; : : : ; vn, ki tvorijo bazo niµcelnega prostora N = V ?. Ker jedimN = z, je �tevilo z neodvisno od izbire ortogonalne baze.Vektor w, ki se nahaja na vektorskem prostoru V , je niµcelni vektor v primeru,

ko je pravokoten na vsak vektor vi iz dane baze B. Ta vektor lahko zapi�emo kotlinearno kombinacijo baznih vektorjev

w = c1v1; :::cnvn:

Kjer je f(vi; vj) = 0, ob pogoju, da i 6= j, sledi

f(w; vi) = cif(vi; vi)

za vsak i = 1; 2; :::; n. Upo�tevajmo, da je f(vi; vi) = 0 natanko tedaj, ko je i > r.Da pa bi bil w pravokoten na vsak vektor vi, mora biti ci = 0 za vsak i � r: Todokazuje, da mnoµzica fvr+1; : : : ; vng generira niµcelni prostor N in ker so vr+1; : : : ; vnlinearno neodvisni vektorji, je omenjena mnoµzica baza vektorskega prostora N .Sama enaµcba p+m+ z = n dokazuje, da je p+m µze enoliµcno doloµcen. Dokazati

moramo, da je p ali m enoliµcno doloµcen. Ker pa ne drµzi, da so na primer vektorjiv1; : : : ; vp, ki imajo lastnost f (vi; vi) = 1; enoliµcno doloµceni s formo, to ni takoenostavno. �Predpostavimo, da je podana druga baza B0 = fv01; : : : ; v0ng s pripadajoµcimi �tevili

p0; m0 in z0 = z. Pokazali bomo, da je naslednjih p+ (n� p0) vektorjev

v1; : : : ; vp; v0p0+1; : : : ; v

0n (3.3)

linearno neodvisnih. Ker je n dimenzija vektorskega prostora V , iz tega sledi, da jep + (n � p0) � n; temu pa sledi, da je p � p0: µCe zamenjamo vlogo p in p0, dobimo�e p0 � p. Zato je p = p0.Denimo, da imamo podano linearno povezavo med vektorji (3.3):

b1v1 + � � �+ bpvp = cp0+1v0p0+1 + � � �+ cnv0n:

Vekor v bomo de�nirali kot

v = b1v1 + � � �+ bpvp= cp0+1v

0p0+1 + � � �+ cnv0n:

Izraµcunajmo sedaj f(v; v) na dva naµcina. µCe uporabimo prvo enakost, dobimo

f (v; v) = b21f (v1; v1) + � � �+ b2pf (vp; vp) = b21 + � � �+ b2p � 0;

25

in po drugi strani dobimo

f (v; v) = c2p0+1f (vp0+1; vp0+1) + � � �+ c0nf (v0n; v0n) = �c2p0+1 � � � � � c2p0+m0 � 0:

Iz tega sledi, da je

b21 + � � �+ b2p = 0 in b1 = � � � = bp = 0:

µCe upo�tevamo to in dejstvo, da je B0 = fv01; : : : ; v0ng baza in enakost

b1v1 + � � �+ bpvp = cp0+1v0p0+1 + � � �+ cnv0n;

sledi �ecp0+1 = � � � = cn = 0:

Dokazali smo, da so vektorji (3.3) linearno neodvisni in s tem je izrek dokazan.

Kadar imamo opravka z nedoloµceno formo f , uporabimo zapis Ip;m za de�niranjediagonalne matrike:

Ip;m =

�Ip

�Im

�:

Matrika, ki pripada Lorenzijevi formi (3.1), je tako oblike I3;1. Sedaj pa bomodokazali 2.10, ki pravi, da je simetriµcna matrika A pozitivno de�nitna natankotakrat, ko je njena poddeterminanta detAi > 0 za vsak i.

Dokaz. Dokaz izreka 2.10. Predpostavimo, da je simetriµcna forma f pozitivna.Sprememba baze v Rn spremeni matriko A0 = QAQt in velja

detA0 = (detQ) (detA)�detQt

�= (detQ)2 (detA) :

Torej detA0 je pozitivna, µce in samo µce je detA pozitivna. Iz izreka 2.5 lahko izberemomatriko Q tako, da je A0 identiteta. Ker pa je detI = 1, je detA > 0: Matrika Aipredstavlja bilinearno formo, ki je zoµzena na podprostor Vi, ki je generiran z bazoBi= fv1; : : : ; vig. Zato je detAi > 0; tako kot je detA > 0:Predvidevamo obratno, da je detAi > 0 za vsak i: Z matematiµcno indukcijo lahko

predpostavimo, da je forma pozitivna tudi na vektorskem podprostoru Vn�1. Torejobstaja obrnljiva matrika Q 2Mn�1 (R), da velja

Q0An�1Q0t = In�1:

Naj bo

Q =

�Q0

1

�;

26

potem je

QAQt =

264 �I

...� � � � �

375 :Okraj�amo celotno spodnjo vrstico razen elementa na poloµzaju (n; n) z elementa-rnimi vrstiµcnimi operacijami E1; :::En�1. Naj bo P = E1 � � �En�1Q. Iz tega sledi

A0 = PAP t =

266424 I

35 0

0::::::::::0 c

3775 ;za nek c. Zadnji stolpec lahko tudi okraj�amo, ker je matrika A0 simetriµcna in zanjo velja A0 = PAP t: Ker je detA > 0; imamo tudi

detA0 = (detP ) (detA)�detP t

�= (detA) (detP )2 > 0:

Iz tega sledi, da je c > 0: Tako matrika A0 predstavlja pozitivno de�nitno bilinearnoformo. Ker pa predstavlja isto bilinearno formo kot matrika A, je potem matrika Atudi pozitivno de�nitna. �

27

Poglavje 4

Po�evno simetriµcne forme

Pravimo, da je bilinearna forma f na vektorskem prostoru V po�evno simetriµcnaforma, µce velja

f(v; w) = �f(w; v); za vsak v; w 2 V: (4.1)

Teorija po�evno simetriµcnih form je neodvisna od karakteristike polja. Teµzave bilahko priµcakovali pri polju karakteristike 2, kjer velja 1 + 1 = 0. V takem polju staelementa a in �a enaka, to pomeni a = �a, za vsak a. Zato je pri poljih s karak-teristiko 2 de�nicija simetriµcne in po�evno simetriµcne forme enaka. V nadaljevanjubomo uporabljali naslednjo de�nicijo:

De�nicija 4.1 Bilinearna forma f na vektorskem prostoru V je po�evno simetriµcna,µce velja

f(v; v) = 0; za vsak v 2 V: (4.2)

Omenjena de�nicija je pri poljih karakteristike razliµcne od 2 ekvivalentna zahtevi(4.1). To vidimo, µce raz�irimo izraz f (u+ w; u+ w) :

f (v + w; v + w) = f (v; v) + f (v; w) + f(w; v) + f (w;w) (4.3)

za vsak v; w 2 V . µCe upo�tevamo de�nicijo (4.2), velja

f(v; v) = f(w;w) = f (v + w; v + w) = 0;

iz µcesar sledif(v; w) = �f(w; v); za vsak v; w 2 V:

Obratno naj velja (4.1). µCe vstavimo v = w, sledi

f(v; v) = �f(v; v) za vsak v; w 2 V:

Kar nam narekuje, da velja 2f(v; v) = 0: To pomeni, da je f(v; v) = 0, razen µceima skalarno polje F karakteristiko 2. µCe je F polje s karakteristiko 2, tedaj je z

28

zahtevo (4.1) dejansko de�nirana simetriµcna forma. Ampak veµcina simetriµcnih formne zado�µca enakosti (4.2).Matrika A, ki pripada po�evno simetriµcni bilinearni formi v bazi B = fv1; : : : ; vng

prostora V , ima naslednjo obliko

aii = 0; aij = �aji; µce velja i 6= j:

Namreµc aii = f (vi; vi) = 0 in aij = f (vi; vj) = �f (vj; vi) = �aji µce je i 6= j:

Vidimo, da je matrika A po�evno simetriµcna in pri poljih karakteristike razliµcne oddva zado�µca enakosti

At = �A:

Naslednji izrek bomo navedli brez dokaza.

Izrek 4.2 ([1, Izrek 8.5]) Naj bo V m dimenzionalen vektorski prostor nad po-ljem F in naj bo f nedegenerirana po�evno simetriµcna forma. Tedaj obstaja bazaB = fv1; : : : ; vmg ; v kateri bilinearni formi f pripada matrika

J2n =

�0 I�I 0

�;

kjer sta 0 in I matriki velikosti n� n, kjer je 2n = m.

Tako se izbrana baza B = fv1; : : : ; vmg iz prej�njega izreka imenuje standardnasimplektiµcna baza. µCe prerazporedimo standardno simplektiµcno bazo tako da do-bimo B0= fv1;vn+1; v2; vn+2; : : : ; vn; v2ng, tedaj po�evno simetriµcni bilinearni formipripada matrika, ki ima po diagonali n blokov velikosti 2� 2; je oblike

J2 =

�0 1�1 0

�:

29

Poglavje 5

Pozitivne forme v geometriji

V tem poglavju, se bomo ozrli nazaj na pozitivno de�nitno formo f , ki je de�niranana n-dimenzionalnem realnem vektorskem prostoru V: Tak�en vektorski prostor sepogosto imenuje evklidski prostor.Dolµzina vektorja se glede na analogijo s skalarnim produktom de�nira kot

jvj =pf (v; v):

Prva posledica de�nicije pozitivnosti forme f nam pravi, da je niµcelni vektor natankodoloµcen z dolµzino 0. Velja, da je

jvj =pf (v; v) = 0 natanko tedaj, ko je v = 0:

Kot smo videli v drugem poglavju, obstaja ortonormirana baza B = fv1; : : : ; vng navektorskem prostoru V , v kateri se lahko forma f predstavi kot skalarni produktu vRn oblike

f(v; w) = X tY:

Pri tem seveda vektorja v; w primerno preoblikujemo s pomoµcjo ortonormirane bazeB in ju s tem prenesemo iz evklidskega prostora V v prostor Rn

v = BX; w = BY:

S tem postopkom lahko geometrijske probleme iz vektorskega prostora V , ki jeopremljen s pozitivno bilinearno formo f , prenesemo na evklidski prostor Rn, ki jeopremljen z obiµcajnim skalarnim produktom.Imamo podan podprostorW vektorskega prostora V , na katerem lahko izvedemo

dve raµcunski operaciji: raµcunanje kota med dvema vektorjema in raµcunanje projekcij.

30

Raµcunanje kotov

µCe je f pozitivno de�nitna forma na V , potem lahko f naravno zoµzimo napodprostor W . Vzemimo dva vektorja w1, w2 iz vektorskega podprostora W: Zde�niranjem f (w1; w2) smo formo f zoµzili na podprostor W: Omejitev forme f napodprostor W je prav tako bilinearna forma podprostora W , kar pa pomeni, dazanjo veljajo vse lastnosti ki so de�nirane za bilinearno formo. Zoµzitev lahko upora-bljamo za doloµcanje kota med vektorjema v in w. µCe sta vektorja kolinearna v = cwza c 2 R, potem je kot med njima enak 0. Sicer vektorja doloµcata bazo vektorskegapodprostora W = Lfv; wg. Nadalje vzemimo ortonormirano bazo B = fw1; w2g bi-linearne forme naW . Vektorjema v in w v bazi B pripadata koordinatna vektorja Xin Y iz prostora R2. Vrednost pozitivne bilinearne forme lahko sedaj identi�ciramoz obiµcajnim skalarnim produktom v R2

f (v; w) = X tY = hX; Y i :

Dajmo zato interpretirati geometrijske znaµcilnosti vektorjev v in w s koordinatnimavektorjema X in Y :

jvj = jXj ; jwj = jY j in f(v; w) = hX; Y i :

Kot # med vektorjema v in w je po de�niciji enak kotu med vektorjema X in Y vR2 in velja znana formula:

f(v; w) = jvj jwj cos#:

S to formulo doloµcimo kot # do predznaka natanµcno. V evklidskem prostoru V pravtako veljajo vse standardne lastnosti, kot sta Schwarzova neenakost

jf(v; w)j � jvj jwj za vsak v; w 2 V

in trikotni�ka neenakost

jv + wj � jvj+ jwj za vsak v; w 2 V:

Raµcunanje projekcij

Drugo operacijo, ki jo lahko izvedemo na obstojeµcem vektorskem podprostoruW , je projekcija vektorskega prostora V na vektorski podprostor W: Ker je zoµzitevforme pozitivne bilinearne forme f na W spet pozitivna bilinearna forma, je zatonedegenerirana, kar pa pomeni, da velja

V = W �W?:

31

Torej ima vsak vektor v iz vektorskega prostora V enoliµcno doloµcen predpis

v = w + w0; kjer je w 2 W in w0 2 W?: (5.1)

Pravokotna projekcija prostora V na podprostor W je linearna transformacija � :V ! W , de�nirana kot

v 7�! � (v) = w;

kjer je w enoliµcno doloµcen v (5.1).Projekcija vektja � (v) se lahko izraµcuna v okviru ortonormirane baze B =

fw1; :::; wrg vektorskega podprostora W . Sledi pomembna trditev.

Trditev 5.1 Naj bo B = fw1; :::; wrg ortonormirana baza na vektorskem podpro-storu W glede na formo f in naj bo vektor v iz vektorskega prostora V . Pravokotnaprojekcija vektorja v na vektor w, je vektor

� (v) = f (v; w1)w1 + � � �+ f (v; wr)wr: (5.2)

µCe je vektor �(v) de�niran po zgornji formuli (5.2), potem je vektor v � � (v)pravokoten na vektorskem podprostoru W: S pomoµcjo te formule se v bistvu nageometrijski naµcin predstavi Gram-schmidtov postopek ortogonalizacije, ki smo gauporabili v drugem poglavju.

Dokaz. Oznaµcen kot ew je desni del izraza v (5.2). Potem velja

f ( ew;wi) = f (v; wi) f (wi; wi) = f (v; wi) ; za vsak i = 1; :::; r:

Zato velja, da v � ew leµzi v vektorskem podprostoru W?: Ker je zapis vektorja v v(5.1) enoliµcen, lahko iz tega sklepamo, da sta vektorja w in ew enaka, w = ew in zatovelja tudi w0 = v � ew: �

Na koncu obravnavajmo �e primer W = V . V tem primeru je projekcija � karidentiteta in lahko zakljuµcimo:

Posledica 5.2 Naj bo fv1; : : : ; vng ortonormirana baza v evklidskem vektorskemprostoru V . Potem velja

v = f (v; v1) v1 + � � �+ f (v; vn) vn

za vsak v 2 V .

Neposredno iz zadnje posledice sledi, da je koordinatni vektor v-ja, glede naortonormirano bazo B = fv1; : : : ; vng ; vektor

X =

264f (v; v1)...f (v; vn)

375 2 Rn:

32

Poglavje 6

Hermitske forme

V tem poglavju se bomo sreµcali s poljem kompleksnih �tevili C. Tudi v kompleksnihvektorskih prostorih operiramo z dolµzinami vektorjev. Pokazali bomo kako dolµzinovektorja v kompleksnem vektorskem prostoru Cn ponazorimo s pomoµcjo dolµzinevektorja v realnem vektorskem prostoru R2n:Imamo vektor x iz kompleksnega prostora vektorskega prostora Cn:

x =

26664x1x2...xn

37775 :Oznaµcimo xr = ar + bri, kjer sta ar; br 2 R. Tedaj je dolµzina (norma) vektorjax 2 Cn de�nirana kot

jxj =qa21 + b

21 + � � �+ a2n + b2n =

p�x1x1 + � � �+ xnxn; (6.1)

kjer �xr = ar � bri oznaµcuje konjugirano vrednost �tevila xr = ar + bri. Iz formule(6.1) sledi, da formula za obiµcajni skalarni produkt (2.1) ne velja za kompleksnevektorje. De�nirati moramo novi skalarni produkt, ki je prilagojen kompleksnimvektorjem. Imenujemo ga hermitski skalarni produkt

hx; yi = xty = x1y1 + :::+ xnyn;

za katerega veljajo naslednje lastnosti:

1. linearnost v drugi spremenljivki

hx; cyi = c hx; yi in hx; y1 + y2i = hx; y1i+ hx; y2i ;

2. konjugirana linearnost v prvi spremenljivki

hcx; yi = c hx; yi in hx1 + x2; yi = hx1; yi+ hx2; yi ; (6.2)

33

3. hermitska simetrijahy; xi = hx; yi in (6.3)

4. pozitivna de�nitnost

hx; xi je pozitivno realno �tevilo, µce x 6= 0:

De�nicija 6.1 Naj bo V kompleksni vektorski prostor. Hermitska forma na V jekaterakoli funkcija f (v; w), ki slika f : V � V ! C; in ob tem veljajo lastnosti1.,2.,3. hermitskega skalarnega produkta.

Naj bo B = fv1; : : : ; vng baza kompleksnega vektorskega prostora V . MatrikaA, ki pripada hermitski formi v bazi B vektorskega prostora V , je de�nirana napodoben naµcin kot pri bilinearnih formah:

A = [aij] ; kjer je aij = f(vi; vj);

Sedaj lahko zapi�emo matriµcno obliko forme:

f(v; w) = XtAY; µce je v = BX in w = BY: (6.4)

Ker pa matrika A ni poljubna, ampak je doloµcena tudi s hermitsko simetrijo

aij = f(vi; vj) = f (vi; vj) = aij;

slediA = A

t:

Zapi�imo konjugiranost malo drugaµce:

A� = At:

Sedaj lahko laµzje zapi�emo nekaj lastnosti, ki veljajo za matrike, ki predstavljajohermitske forme:

(A+B)� = A� +B�

(AB)� = B�A�

(A�)�1 = (A�1)�

A�� = A:

S pomoµcjo novega zapisa lahko drugaµce zapi�emo tudi formulo (6.4) in sicer:

f(v; w) = X�AY;

34

in hermitski skalarni produkt na Cn izgleda tako:

hX; Y i = X�Y:

Matrika A = A� se imenuje hermitska matrika in je matrika hermitskih form:

A =

264 r1 � � � aij...

. . ....

aij � � � rn

375 ; r 2 R, aij 2 C;

kjer so diagonalni elementi realni, elementi pod diagonalo pa konjugirana komple-ksna �tevila nad diagonalo.

Zgled. Primer hermitske matrike je matrika�2 i�i 1

�:

Vsaka realna matrika je tudi hermitska matrika, µce za njo velja

aji = aij:

Zato so realne hermitske matrike dejansko simetriµcne matrike.Glede na formulo (2.5) se ob spremembi baze kompleksnega vektorskega prostora

V spremeni tudi matrika te forme; lahko zapi�emo:

f(v; w) = X 0�A0Y 0 = (PX)�A0(PY )

= P �X�A0PY = X�P �A0PY

= X�(P �A0P )Y:

Novo matriko A0 lahko glede na novo bazo B0= fv01; :::; v0ng zapi�emo kot:

A = P �A0P ali A0 = (P �)�1AP�1: (6.5)

Ker pa smo zapis µze v prvem poglavju prilagodili, ga lahko tudi tukaj:

Q = (P �)�1:

Posledica 6.2 Naj bo A matrika hremitske forme f glede na bazo B = fv1; :::; vngin matrika A0 matrika hremitske forme glede na novo bazo B0= fv01; :::; v0ng : Potemvelja

A0 = QAQ�;

kjer je Q obrnljiva n� n kompleksna matrika.

35

Matriko P imenujemo unitarna matrika, µce za njo velja

P �P = I ali P � = P�1:

Zgled. Primer unitarne matrike je matrika

P =1p2

�1 i1 �i

�:

Za realno matriko prehoda P velja, da je unitarna matrika, µce zado�µca

P tP = I:

To pomeni, da so realne unitarne matrike dejansko realne ortogonalne matrike.Mnoµzica vseh unitarnih kompleksnih n�nmatrik tvori unitarno grupo za mnoµzenje,

ki jo oznaµcimo zUn = fP 2Mn (C) j P �P = Ig :

Formula (6.5) nam pove, da unitarna matrika predstavlja spremembo baze, kiohranja standardni hermitski skalarni produkt.

Posledica 6.3 Sprememba baze ohranja standarni hermitski skalarni produkt, topomeni

X�Y = X 0�Y 0;

µce in samo µce je P unitarna matrika.

Po posledici 6.2 lahko sklepamo, da sprememba baze vektorskega prostora spremnihermitski skalarni produkt iz X�Y v X 0�A0Y 0, kjer je A0 = QQ� za neko obrnljivomatriko Q 2Mn (C) :Pojem ortogonalnosti (pravokotnosti) je pri hermitskih formah de�nirana enako

kot pri realnih simetriµcnih bilinearnih formah: vektor v je ortogonalen na vektor w,

µce velja f(v; w) = 0. Ker v hermitskih formah velja hermitska simetrija iz formule(6.4), je pravokotnost simetriµcna relacija. Namreµc iz f(v; w) = f(w; v) oµcitno sledi,da je pravokotnost �e vedno simetriµcna relacija. Same lastnosti bilinearne forme inSylvestrovega zakona se prenesejo tudi v hermitske forme brez speci�µcnih sprememb.Na primer tudi pri hermitskih formah lahko obravnavamo pozitivno de�nitne forme,to so tiste hermitske forme f , ki imajo lastnost:

f(v; v) 6= 0 2 R+; µce v 6= 0:

Podobno de�niramo ortonormirano bazo B = fv1; :::; vng kompleksnega vektorskegaprostora V glede na hermitsko formo f , da za vektorje baze B velja

f(vi; vi) = 1 in f(vi; vj) = 0; za vse i 6= j:

Brez dokaza na koncu omenimo �e naslednja rezultata:

36

Izrek 6.4 ([1, izrek 4.19]) Naj bo f hermitska forma na kompleksnem vektorskemprostoru V . Na V obstaja ortonormirana baza glede na formo f , µce in samo µce jeforma f pozitivno de�nitna.

Trditev 6.5 ([1, trditev 4.20]) Naj bo W vektorski podprostor prostora V . µCe jezoµzitev hermitske forme na W nedegerativna, potem velja

V = W �W?:

37

Poglavje 7

Spektralna teorija

V tem poglavju bomo na n-dimnezionalnem kompleksnem vektorskem prostoru V�tudirali pozitivno de�nitne hermitske forme. V prej�njem poglavju smo se pogova-rjali o hermitskih formah f na kompleksnem vektorskem prostoru V . Tak vektorskiprostor V s pozitivno de�nitno hermitsko formo f pa se imenuje tudi hermitski pro-stor. Lahko si tudi predstavljamo, da je vektorski prostor V = Cn, ki je opremljen sstandardnim hermitskim skalarnim produktom X�Y . Ta identi�kacija je utemeljenaz izbiro ortonormirane baze na V .Vedno si je treba izbrati ortonormirano bazo na V , ker se z njo laµzje raµcuna.

Ne bo veµc res, da bo matrika P , ki pripada spremembi baze, poljubna obrnljivamatrika. µCe sta B = fv1; :::; vng in B0= fv01; :::; v0ng ortonormirani bazi, potem bonjuna matrika prehoda P unitarna matrika. µCe je baza ortonormirana pomeni, daje matrika form glede na katerokoli bazo identiteta I, ker velja:

I = P �IP ali P �P = I:

Pogledali si bomo linearni operator

T : V �! V;

ki deluje na hermitskem prostoru V . Naj bo B ortonormirana baza hermitskegaprostora V , M pa matrika linearnega operatorja T: Sprememba ortonormirane bazespremeni matriko M v

M 0 = PMP�1;

ker pa je P unitarna matrika, pa dobimo

M 0 = PMP �:

Trditev 7.1 Naj bo T linearna preslikava na Hermitskem prostoru V in naj bo Mmatrika preslikave T , glede na ortonormirano bazo B.

38

(i) Potem bo matrika M hermitska matrika in T bo hermitski operator natankotedaj, ko bo

f(v; Tw) = f(Tv; w); za vsak v; w 2 V:

(ii) Matrika M bo unitarna matrika in T bo unitarni operator natanko tedaj, kovelja

f(v; w) = f(Tv; Tw) za vsak v; w 2 V:

Dokaz. Naj bostaX in Y koordinatna vektorja vektorjev v in w: Namesto vektorjevsi izberemo sledeµci zapis: v = BX in w = BY; da velja

f(v; w) = X�Y;

in dobimo da je Tv = BMX in Tw = BMY: Tak zapis pa spremeni zapis forme

f(v; Tw) = X�MY; in f(Tv; w) = X�M�Y:

Torej sta matriki enaki M =M�. Ta enakost bo veljala tudi pri

f(v; Tw) = f(Tv; w):

To nam pa pove, da je T hermitski operator. Pomagajmo si z dokazom trditve 2.2.µCe je T hermitski operator z doloµcitvijo v = ei in w = ej, lahko izpeljemo sledeµce

f(ei; ej) = bij = e�iMej = e

�iM

�ej = bji = f(ej; ei):

Iz formule je razvidno, da sta M in M� enaka oziroma M =M�.Sedaj pa lahko podobno pokaµzemo �e drugi del trditve. Zapi�imo

f(v; w) = X�Y in f(Tv; Tw) = X�M�MY:

Od tod sledi, da velja enakost f(v; w) = f(Tv; Tw) natanko tedaj, ko je M�M = I

in M je unitarna matrika. �

Izrek 7.2 (Spektralni izrek)

(i) Naj bo T hermitski operator na hermitskem vektorskem prostoru V . Potemobstaja ortonormirana baza na V , ki je sestavljena iz lastnih vektorjev opera-torja T .

(ii) Naj bo M hermitska matrika. Tedaj obstaja tak�na unitarna matrika P , da je

D = PMP �;

kjer je D realna diagonalna matrika.

39

Dokaz. Izberimo si lasten vektor v = v1: Ta vektor normaliziramo na dolµzino 1, topomeni f (v1; v1) = 0: Ta vektor dajmo v ortonormirano bazo. Potem bo matrikaM operatorja T imela obliko

M =

2664a V

0

24 N

353775 :

Ker je T hermitski operator, je potem tudi matrika M hermitska matrika, kar slediiz trditve 7.1. Iz tega lahko sklepamo, da sta si prva vrstica in prvi stolpec enaka inda je N hermitska matrika. Zato je

M =

2664a 0

0

24 N

353775 :

µCe sedaj nadaljujemo z indukcijo, sledi µzeleni rezultat. �

Diagonaliziranje hermitske matrike M z unitarno P sledi iz doloµcevanja lastnihvektorjev. µCe so lastne vrednosti razliµcne, bodo pripadajoµci lastni vektorji pra-vokotni med seboj. To sledi iz spektralnega izreka. Z normiranjem lastnih vektorjevdobimo ortonormirano bazo B0: Za matriko P = [B0]�1 potem izberemo inverz ma-trike prehoda iz baze B v novo ortonormirano bazo B0, ki jo tvorijo lastni vektorji.

Zgled. Imamo matriko

M =

�2 i�i 2

�:

Ta matrika je hermitska, njej pripadajoµci lastni vrednosti sta 3 in 1, lastna vektorjapa

v01 =

�1�i

�; v02 =

�1i

�:

Vektorja lahko normiramo s faktorjem 1p2: Potem dobimo

P =1p2

�1 1�i i

��=

1p2

�1 i1 �i

�in PMP � =

�3 00 1

�:

Spektralni izrek nam pravi, da se matriko da diagonalizirati, µcetudi lastne vre-dnosti niso razliµcne. Ta trditev postane enostavna na primeru 2�2 matrike. µCe ima

40

karakteristiµcen polinom hermitske matrike M razseµznosti 2� 2 dvojno niµclo, potemobstaja taka unitarna matrika P , da velja:

PMP � = aI;

M = P �aIP = aP �P = aI:

Vidimo, da so edine hermitske matrike razseµznosti 2 � 2, katerih karakteristiµcnipolinom ima dvojno niµclo, matrike tipa aI, kjer je a 2 R. To lahko preverimo tudineposredno iz de�nicije. Imamo matriko

M =

�a �

� d

�; a; d 2 R in � 2 C.

Potem je karakteristiµcni polinom enak

�2 � (a+ d)�+ (ad� ��):

Ta polinom ima dvojno niµclo, µce je diskriminanta enaka niµc. To pomeni

(a+ d)2 � 4(ad� ��) = a2 + 2ab+ b2 � 4ab+ 4��= a2 � 2ab+ b2 + 4��= (a� d)2 + 4��= 0;

kjer sta (a� d)2; �� 2 R+: Torej, µce je diskriminanta enaka niµc, potem je a = d in� = 0: V tem primeru je M = aI, kakor je bilo prevideno.Sledi zanimiva posledica spektralnega izreka, ki jo lahko dokaµzemo tudi neposredno

iz de�nicije:

Trditev 7.3 Lastne vrednosti hermitskega operatorja T so realna �tevila.

Dokaz. Naj bo � taka lastna vrednost in naj bo v taki lastni vektor iz T; da velja

T (v) = �v:

Ker velja trditev 7.1f(v; Tw) = f(Tv; w);

velja tudi ta enakostf(v; �v) = f(�v; v):

Zaradi konjugirane linearnosti (6.2) velja

�f(v; v) = f(�v; v) = f(v; �v) = �f(v; v); f(v; v) 6= 0:

41

Ker je � = �; nam to pove, da je � realno �tevilo. �

Ta rezultat, ki smo ga dokazali za hermitske matrike, ima svojo analogijo tudi zarealne simetriµcne matrike. Imamo realen vektorski prostor V s pozitivno de�nitnobilinearno formo f in linearni operator T na V .

Trditev 7.4 Naj bo M matrika, ki pripada operatorju T v ortonormirani bazi B.

(i) Matrika M je simetriµcna matrika natanko tedaj, ko je T simetriµcni operator,torej velja

f(v; Tw) = f(Tv; w) za vsak v; w 2 V:

(ii) MatrikaM je ortogonalna matrika natanko tedaj, ko je T ortogonalni operator,torej velja

f(v; w) = f(Tv; Tw); za vsak v; w 2 V:

Trditev 7.5 Lastne vrednosti realne simetriµcne matrike so realne.

Dokaz. Realna simetriµcna matrika je hermitska matrika, torej je to poseben primertrditve 7.3. �

Izrek 7.6 (Spektralni izrek v realnih prostorih)

(i) Naj bo T simetriµcni operator v realnem vektorskem prostoru V s pozitivnode�nitno bilinearno formo f . Obstaja ortonormirana baza prostora V , sesta-vljena iz lastnih vektorjev operatorja T .

(ii) Naj bo M realna simetriµcna n � n matrika. Tedaj obstaja taka ortogonalnamatrika P 2Mn(R); da je PMP t diagonala matrika.

Dokaz. Ker zdaj vemo, da so lastne vrednosti takega operatorja realne, je dokaztega izreka enak dokazu izreka 7.2. �

42

Poglavje 8

Krivulje in ploskve drugega reda

Konika ali stoµznica je krivulja v ravnini R2, ki je de�nirana s kvadratno enaµcbo zdvema spremenljivkama v obliki:

f(x1; x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22 + b1x1 + b2x2 + c = 0: (8.1)

Bolj natanµcno enaµcba (8.1) predstavlja neizrojene konike: elipsa (Slika 1), hiperbola(Slika 2) in parabola (Slika 3) ter izrojene konike: premica, par premic, toµcka alicelo prazna mnoµzica.

­3 ­2 ­1 1 2 3

­2

­1

1

2

x

y

Slika 1: elipsa x2 + 4y2 = 4

Kvadratni del enaµcbe f(x1;x2) se imenuje kvadratna forma:

q(x1; x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22: (8.2)

V splo�nem je kvadratna forma v n spremenljivkah x1; x2; :::; xn polinom, kateregavsi monomi so druge stopnje.

43

Za zapis kvadratne forme q(x1; x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x22 v matriµcni obliki

potrebujemo simetriµcno matriko

A =

�a11 a12a12 a22

�:

Iz tega lahko sedaj zapi�emo

q(x1; x2) = XtAX;

kjer X predstavlja stolpiµcni vektor:

X =

�x1x2

�:

µCe pa si izberemo �e ustrezen vrstiµcni vektor B

B =�b1 b2

�;

se osnovna enaµcba (8.1) preoblikuje v naslednjo obliko

X tAX +BX + c = 0: (8.3)

V formulo (8.1) in (8.2) smo vstavili koe�cienta 2, da se izognemo poloviµcnim koe-�cientom v matriki A. Alternativni zapis kvadratne forme ima v obliko:

q(x1; x2) = a11x21 + a12x1x2 + a12x2x1 + a22x

22:

­3 ­2 ­1 1 2 3

­2

­1

1

2

x

y

Slika 2: hiperbola x2 � 2y2 = 1

44

Izrek 8.1 Vsaka neizrojena konika je kongruentna eni izmed naslednjih krivulj:

(i) Elipsa: a11x21 + a22x22 � 1 = 0;

(ii) Hiperbola: a11x21 � a22x22 � 1 = 0;

(ii) Parabola: a11x21 � x2 = 0;

kjer sta a11; a22 > 0:

Dokaz. µCe enaµcbo (8.1) poenostavimo, matriko A pa diagonaliziramo s ortogonalnotransformacijo, lahko s translacijo izloµcimo linearen in konstantnen µclen BX+c. Pospektralnem izreku 7.6 obstaja taka ortogonalna matrika P , da je PAP t diagonalnamatrika. Nadalje opravimo zamenjavo spremenljivk X 0 = PX ali X = P tX 0 venaµcbi (8.3) in dobimo naslednjo enaµcbo:

(X 0tP )A(P tX 0) +B(P tX) + c = 0 (8.4)

X 0t(PAP t)X 0 + (BP t)X + c = 0:

Taka ortogonalna zamenjava spremeljivk privede do tega, da forma postane predsta-vljena z diagonalno matriko. Ker je koe�cient a12 = 0; sta zato oba µclena a12x1x2in a12x2x2 enaka 0:Recimo, da je A diagonalna matrika. Potem bo forma f izgledala tako:

f(x1; x2) = a11x21 + a22x

22 + b1x1 + b2x2 + c = 0

Z dopolnjevanjem enaµcbe do popolnega kvadrata izloµcimo µclen bi z zamenjavo za

µclen:

xi =

�x0i �

bi2aii

�(8.5)

in dobimof(x1; x2) = a11x

021 + a22x

022 + c

0;

kjer je c0 doloµceno realno �tevilo. Ta zamenjava predstavlja translacijo za vektor( b12a11; b22a22)t, kjer lahko predpostavimo, da sta a11; a22 6= 0:

µCe je aii = 0 in bi 6= 0; potem lahko uporabimo zamenljavo s µclenom

xi = x0i �

c

bi; (8.6)

da se znebimo konstantnih µclenov. Normaliziramo lahko en koe�cient do �1. µCeenaµcbo naredimo to in jo izloµcimo izrojene konike, dobimo tri razliµcne kongruiranerazrede, ki so opisani v izreku. �

45

­3 ­2 ­1 1 2 3

­2

­1

1

2

x

y

Slika 3: parabola x� 2y2 = �1

Zgled. Doloµcimo stoµznico, ki jo predstavlja enaµcba

x21 + x1x2 + x22 + 2x1 + x2 � 2 = 0: (8.7)

Pripadajoµca matrika kvadratne forme x21 + x1x2 + x22 je

A =

�1 1

2121

�:

Lastni vrednosti matrike A sta �1 = 32in �2 = 1

2s pripadajoµcima normiranima

lastnima vektorjema

v1 =1p2

�11

�in v1 =

1p2

��11

�:

Uvedimo novi spremenljivki

x01 =1p2(x1 + x2) in x02 =

1p2(x2 � x1) :

Tedaj se osnovna enaµcba (8.7) preoblikuje v

3

2x021 +

1

2x022 +

3p2

2x01 �

p2

2x02 = 2:

µCe dopolnimo do popolnih kvadratov in uredimo, dobimo

1

2

x01 +

p2

2

!2+1

6

x02 �

p2

2

!2= 1:

46

Dana enaµcba predstavlja elipso, ki ima eno polos a =p2 v smeri vektorja v1 =

1p2(1; 1)t in drugo polos b =

p6 v smeri vektorja v2 = 1p

2(�1; 1)t ter sredi�µce v

toµcki T = � 1p2v1 +

1p2v2 = (�1; 0). Dobljeno elipso prikazuje Slika 4.

­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3

­3

­2

­1

1

2

3

x

y

Slika 4: elipsa x2 + xy + y2 + 2x+ y = 2:

Metoda zamenjave spremenljivk, opisana v izreku 8.1, se lahko uporabi tudi vprimeru kvadratnih enaµcb v n dimenzijah. Splo�na kvadratna enaµcba v n dimenzi-onalnem prostoru imq obliko

f(x1; :::; xn) =Xi

aiix2i +

Xi<j

2aijxixj +Xi

bixi + c = 0: (8.8)

To enaµcbo lahko zapi�emo v strnjeni obliki kot

f(x1; :::; xn) =Xi;j

aijxixj +Xi

bixi + c = 0;

kjer prva vsota velja za vse pare indeksov i; j, pri µcemer upo�tevamo aij = aji:Naj bosta matriki A in B doloµceni kot

A =

26664a11 a12 � � � a1na12 a22 � � � a2n...

.... . .

...a1n a2n � � � ann

37775 ; B =�b1 � � � bn

�:

Nadalje naj bo kvadratna forma q de�nirana s predpisom

q(x1; :::; xn) = XtAX;

47

kjer je vektor X stolpec spremenlivk x1; x2; :::; xn: Tedaj lahko splo�no kvadratnoenaµcbo (8.8) zapi�emo v matriµcni obliki

f(x1; :::; xn) = XtAX +BX + c = 0:

Sedaj postopamo podobno kot v dokazu izreka (8.1). Z ustrezno ortogonalnotransformacijo P lahko formo f spremenimo v obliko (8.4), kjer je PAP t diagonalnamatrika. Ker je A diagonalna matrika, lahko linearni del odstranimo s translacijokot je to narejeno v (8.5) in v (8.6). Naslednji izrek klasi�cira vse neizrojene ploskvedrugega reda, ki so re�itve kvadratne enaµcbe (8.8) v R3.

Izrek 8.2 ([1, izrek 6.14]) Kongruenµcni razredi neizrojenih ploskev drugega redav R3 so:

(i) elipsoid: a11x21 + a22x22 + a33x

23 � 1 = 0,

(ii) enodelni hiperboloid: a11x21 + a22x22 � a33x23 � 1 = 0,

(iii) dvodelni hiperboloid: a11x21 + a22x22 � a33x23 � 1 = 0,

(iv) eliptiµcni paraboloid: a11x21 + a22x22 � x3 = 0,

(v) hiperboliµcni paraboloid: a11x21 � a22x22 � x3 = 0,

kjer so a11; a22; a33 > 0:

Na koncu podajmo �e gra�µcne prikaze neizrojenih ploskev drugega reda:Elipsoid (Slika 5):

z 0

­2­1

2

0

2

yx

­2

0

1

Slika 5: elipsoid x2 + 2y2 + 4z2 = 4:

48

Enodelni hiperboloid (Slika 6):

yx

0

2 2

­1

0

­2

z

1

­2

0

Slika 6: enodelni hiperboloid x2 + 2y2 � 4z2 = 1:

Dvodelni hiperboloid (Slika 7):

2

0

x

­2

y

­2­2

0

22

0

z

Slika 7: dvodelni hiperboloid 4x2 � 4y2 � 4z2 = 1:

49

Eliptiµcni paraboloid (Slika 8):

z­2

2

0

­2

4

0

yx

0

2 2

Slika 8: eliptiµcni paraboloid 2x2 + y2 � z = 0:

Hiperboliµcni paraboloid (Slika 9):

4

0

2

z­2

­2­4

0

y

2 2

x

­2

0

Slika 9: hiperboliµcni paraboloid x2 � y2 � z = 0:

50

Literatura

[1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall (1991).

[2] T. Ko�ir, Linearna algebra. Elektronski vir na naslovu (september 2009):http://www.fmf.uni-lj.si/~kosir/poucevanje/linalg.html.

51

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in raµcunalni�tvo

DIPLOMSKO DELO

Samanta Ribiµc

Maribor, 2010