biforcazioni chaos
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Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Circuiti con dinamiche complesse,
biforcazioni e caos deterministico
Modulo di Teoria dei CircuitiLaurea specialistica in IngegneriaInformatica, Elettronica e delle Telecomunicazioni
Prof. Massimiliano de Magistris
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 2
• Un po’ di fenomenologia del comportamento asintotico perdiverse classi di circuiti
• Circuito RLC ferrorisonante, soluzioni periodiche ,subarmoniche e quasi-periodiche
• Qualche premessa sul caos deterministico
• Circuito RLCD e raddoppiamenti di periodo , soluzionicaotiche , finestre nel caos
• Strumenti per l’analisi di dinamiche complesse: attrattori
strani , diagrammi di biforcazione e mappe di Poincaré • Un paradigma del caos deterministico: il circuito di Chua
• Cenni alle applicazioni dei circuiti caotici
SommarioDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 3
• Esiste un unico regime, o viceversa il comportamento
asintotico non è unico?• È sempre possibile definire i bacini di attrazione per le
soluzioni asintotiche?
• Le soluzioni asintotiche mantengono sempre le “simmetrie” del circuito (caratteristiche, andamento dei forzamenti)?
• Come cresce il numero delle soluzioni asintotiche al variaredei parametri?
• È possibile individuare aspetti di regolarità nelle soluzioniasintotiche?
Comportamento asintotico 1Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Alcune questioni
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• Per i circuiti lineari asintoticamente stabili ilcomportamento per t ∞ è unico (regime).
• La soluzione di regime per i circuiti lineari è legata al tipo
di forzamento (es. stazionario, sinusoidale) e vale lasovrapposizione.
• Nei circuiti lineari per forzamenti di tipo diverso dal quellostazionario e sinusoidale è possibile applicare l’analisi diFourier (serie, trasformata)
Comportamento asintotico 2Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Caso lineare
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 5
• Per i circuiti non lineari il comportamento asintotico in
generale non è unico (dipende cioè dalle c.i.) dunquenon sempre si può definire un regime
• Il comportamento asintotico o le soluzioni di regimenon sono necessariamente legate al tipo di forzamento (es: oscillatore)
• non è possibile restringere lo studio ai soli casistazionario e sinusoidale per poi applicare l’analisi diFourier (non vale la sovrapposizione)
Comportamento asintotico 3Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Caso non lineare
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• Circuito autonomo “debolmente” non lineare: soluzione di
regime unica (es. amplificatore)• Circuito autonomo non lineare: diverse soluzioni di regime
(es. circuito con diodo tunnel)• Circuito debolmente non lineare forzato sinusoidalmente:
soluzione di regime unica periodica (es. raddrizzatore)
• Circuito non lineare forzato sinusoidalmente: diversesoluzioni di regime periodiche (es. circuito ferrorisonante)
Comportamento asintotico 4Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Esempi di unicità/non unicità
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 7
• Circuito autonomo debolmente non lineare (es.amplificatore): soluzione di regime stazionaria
(simmetria ok)• Circuito autonomo non lineare (es. oscillatore): soluzioniperiodiche (rottura della simmetria)
• Circuito debolmente non lineare forzato sinusoidalmente(es. raddrizzatore): soluzione di regime periodica(simmetria ok)
• Circuito non lineare forzato sinusoidalmente (es. circuitoferrorisonante): soluzioni subarmoniche (rottura dellasimmetria)
Conservazione delle simmetrieDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 8
“Una soluzione di regime che abbia menosimmetria del circuito non può essere unica”
Rottura delle simmetrieDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Es. oscillatore autonomo:
x (t ) soluzione x (t’ ) soluzione con t’ =t +τ
Due i casi: – x (t ) = x (t’ ) per qualsiasi scelta di τ
– Le due soluzioni sono differenti se τ ≠Τ
Nel secondo caso abbiamo diversi regimi (∞)
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 9
Il circuito è non lineare, del secondo ordine, non autonomoPuò rappresentare ad es. il modello di un trasformatore dimisura in sottostazioni elettriche
=( ) sen( )M e t E t ω 50
2
f Hz ω
π
= =
.
Circuito ferrorisonanteDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
RC
Re t
i
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se E M è “sufficientemente piccolo” il comportamento è lineare(siamo completamente all’interno della regione lineare dellacaratteristica dell’induttore)
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Circuito ferrorisonante /2Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
La soluzione diregime è unica,indipendentemente
dalle condizioniiniziali, periodica(sinusoidale) con
periodo T =1/f
Aumentando un po’ l’ampiezza EM la soluzione rimane unica
e di periodo T ma nasce una distorsione
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Circuito ferrorisonante /3Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Superato un certo valore per E M si osserva che nascono tresoluzioni di regime. Di esse, due sono stabili ed una instabile
Ciascuna soluzioneviene raggiunta apartire da determinate
condizioni iniziali.Tutte e tre le soluzioniconservano lasimmetria del circuito
Osserviamo dunque al variare di E M una “biforcazione” simile
a quella del circuito del primo ordine con diodo tunnel
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 12
Si potrebbe pensareche la soluzioneinstabile separi i
bacini di attrazione.
Ciò non è vero nelcaso considerato!
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Circuito ferrorisonante /4Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Quali sono i bacini di attrazione di tali soluzioni di regime?
Di ti t di I i EL tt i U i ità di N li FEDERICO II It l
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 13
Aumentando ancora E M (E M =300 V) la soluzione ritorna adessere unica, ma con un grado di distorsione maggiore
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Circuito ferrorisonante /5Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
La soluzione diregime è unica,
indipendentementedalle condizioniiniziali, periodica
con periodo T =1/f
Dipa timento di I i EL tt i U i ità di N li FEDERICO II It l
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 14
Continuando ad aumentare E M (E M =2300 V) , si ritrovanonuovamente 3 soluzioni di regime periodiche di periodo T
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Circuito ferrorisonante /6Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
Di esse due risultano
stabili ed una instabile.Tali soluzioni peròmanifestano una rottura
della simmetria.
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 15
Per alcuni valori dei parametri del circuito si può avereuna situazione nuova:
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Circuito ferrorisonante /7Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
nascono soluzioni di periodo
multiplo (3T) del forzamento(subarmoniche)Si hanno ora quattrosoluzioni: quella interna(instabile) e “tre” esterne
che differiscono l’un l’altraper traslazioni di T e 2T
È possibile trovare valori dei parametri con comportamenti
anche molto più complessi (es. 41 soluzioni di cui 17 stabili!)
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 16
Il concetto di “caos” è normalmente legato all’impredicibilità
della dinamica di un sistema, o al concetto di casualità (cioè
al risultato di un processo “aleatorio”). Ma possiamo legarel’impredicibilità al determinismo?
Esistono molti sistemi, generalmente complessi, per i quali ladescrizione della dinamica è di fatto impraticabile se intesa
in senso deterministico, ed a ciò siamo abituati. Ciò chesorprende invece e che ciò possa accadere anche in sistemi
semplici.
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Premesse su caos deterministico /1Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 17
•La apparente “casualità” è spesso dovuta a:alta sensibilità alle c.i. con leggi note (e magari semplici): es. la
rouletteimprecisione nella conoscenza delle leggi: es. la fluidodinamica
estrema complessità dei sistemi: es. i gas
•Diverso è invece il caso dei fenomeni quantistici, nei qualil’elemento aleatorio è intrinseco al modello
•Noi presenteremo invece sistemi deterministici (circuiti)estremamente semplici che sotto opportune condizioni hannoun comportamento non “predicibile” se non in senso
statistico!
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Premesse su caos deterministico /2
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 18
Modello dinamico a tempo discreto:
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Premesse su caos deterministico /3Dipartimento di Ingegneria ELettrica Università di Napoli FEDERICO II Italy
1( )n n x f x −=Esempio: caso lineare
21 0 2 1 0
0
( )
;n
n
f x ax
x ax x ax a x x a x
=
= = ==
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 19
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Premesse su caos deterministico /4Dipartimento di Ingegneria ELettrica Università di Napoli FEDERICO II Italy
1 0
1n
n
a x
a x
< ⇒ →
> ⇒ → ∞
x =0 è l’unico punto di equilibrio, e risulta
attrattivo se |a |
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 20
Caso non lineare:
.
Premesse su caos deterministico /4p g g p y
21 1( )n n n x f x x b − −= = −
( )
2
1 022 2
2 1 0
4 2 20 0
;-
2
x x b x x b x b b
x x b b b
= −= − = − =
= − + −
x n risulterà un polinomio completo di grado 2n
!Risulta abbastanza difficile sapere a priori come va
a finire!
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Premesse su caos deterministico /6p g g p y
Esempio: f (x )=x 2- 2, x 0=0.5 e x 0=0.499
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0
-2
-1
0
1
2
3
x0
= 0 . 5
x0
= 0 . 4 9 9
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 22
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Premesse su caos deterministico /7
Edward Lorenz, 1972, “Butterfly effect”
“Il battito di ali di una farfalla in Brasile può
provocare un tornado in Texas?“
Dipendenza sensibile alle condizioni iniziali,
(soluzioni instabili secondo Liapunov)
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 23
Possiamo parlare di caos deterministico se, inqualche regione dello spazio di stato del
nostro sistema accade che:•si verifica alta sensibilità alle c.i. (eventualmenteesponenziale)•c’è il “folding” delle traiettorie (che mantiene letraiettorie limitate nonostante la divergenza
esponenziale)•esiste una regione “densa” di orbite nello spaziodi stato (attrattore strano)
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Premesse su caos deterministico /8
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 24
Circuito non autonomo del 2°ordine (RLCD), con elementonon lineare a-dinamico (D) e dinamico (C), forz. sinusoidale
.
A variare del parametro ampiezza E M si osserva (t∞) unasequenza di raddoppiamenti di periodo e transizioni al caos
Circuito caotico con diodo (Hasler)
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 25
E m =0.8 sol. asintotica periodica (T )
.
Circuito RLCD: dinamica asintotica/1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2
0
2
4
t [ms]
q C
[ n C ]
charge dynamics
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
0
1
2
t [ms]
i L [ m
A ]
current dynamics
-0.5 0 0.5 1-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
qC
[nC]
i L [ m A ]
State space plot
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 26
E m =2 sol. asintotica periodica (2T )
.
Circuito RLCD: dinamica asintotica/2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2
0
2
4
t [ms]
q C
[ n C ]
charge dynamics
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
0
1
2
t [ms]
i L [ m
A ]
current dynamics
-2 -1 0 1 2 3-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
qC
[nC]
i L [ m A ]
State space plot
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 27
E m =2.4 sol. asintotica periodica (4T )
.
Circuito RLCD: dinamica asintotica/3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2
0
2
4
t [ms]
q C
[ n C ]
charge dynamics
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
0
1
2
t [ms]
i L [ m
A ]
current dynamics
-2 0 2 4-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
qC
[nC]
i L [ m A ]
State space plot
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 28
E m =4 sol. asintotica “caotica”
.
Circuito RLCD: dinamica asintotica/4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-5
0
510
t [ms]
q C
[ n C ]
charge dynamics
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2
0
2
4
t [ms]
i L [ m
A ]
current dynamics
-2 0 2 4 6-2
-1
0
1
2
qC
[nC]
i L [ m A ]
State space plot
La dinamica è caratterizzata
da un attrattore strano
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 29
La curva descritta (che è già epurata del transitorio)è aperiodica e non si chiude mai su se stessa. Ciò
nonostante rimane sempre confinata ad una certaregione (attrattore strano)
Le soluzioni caotiche così determinate risultanoinstabili: soluzioni arbitrariamente vicine in un istante
si separano in modo netto successivamente
.
Circuito RLCD: attrattore “strano”
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0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5
x 10-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 1 0
-9
t
q
i n i t ia l cond i t ion sensi t i v i ty (q)
re ference
0 .05% pe rtu rbed
Circuito RLCD: sensibilità alle c.i.
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 31
Campionando (a regime)la sequenza temporale
ogni T si ottiene ildiagrammadi biforcazione
.
Circuito RLCD: diagramma di biforcazione
0 2 4 6 8-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Byfurcation diagram
Em
[V]
i L [ m A ]
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 32
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Circuito RLCD: Mappa di Poincarè
Se sull’attrattore (nelpiano di stato)
segnamo i punticampionati ogni T realizziamo una
mappa (o sezione) diPoincaré
-4 -2 0 2 4 6-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Poincarè map
q [nC]
i [ m A ]
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 33
È considerato il “prototipo” della dinamica non lineare nei circuiti.Si tratta di un circuito autonomo del terzo ordine con un resistore attivo
non lineare (a tratti) detto “diodo di Chua”.Il circuito ha tutte le condizioni minime per poter presentare dinamiche “complesse” Il resistore variabile R sarà per noi il parametro di biforcazione
.
Il circuito di Chua/1
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 34
È abbastanza agevole ricavare per il circuito le equazioni di stato. Lapresenza della caratteristica i
N
(v 1) rende il sistema di equazioni non
lineare. Il sistema si dice autonomo perché non vi è alcun forzamentovariabile nel tempo (in realtà occorrono generatori costanti perrealizzare concretamente il diodo di Chua)
.
Il circuito di Chua/2
1 1 2 1
1 1 1
2 1 2
2 2 2
2
( )N
L
L
dv v v i v
dt RC RC C
dv v v i
dt RC RC C di v
dt L
⎧ = − + −⎪⎪⎪
= − +⎨⎪⎪
= −⎪⎩
( )1 1 11 1N i av b v v = − − + − −
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 35
Se consideriamo il caso stazionario otteniamo il circuito in figura. Aseconda del valore di G individuiamo una oppure tre possibili soluzioni
stazionarie. Sappiamo però che per un circuito non lineare possiamo avereanche soluzioni non stazionarie per t ∞!Quale sarà il comportamento asintotico del circuito? Come vedremo
dipenderà in modo piuttosto “spettacolare” dal valore della conduttanza G .
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Il circuito di Chua/3
h d l d Ch /Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 36
Al variare del parametro (di biforcazione) che nel nostrocaso è il valore del resistore R è possibile osservare:
•soluzioni stazionarie stabili (con dipendenza dalle c.i.)• cicli limite stabile di periodo T
• soluzioni sub-armoniche, ovvero cicli limite stabili diperiodo 2T , 4T , ….
• soluzioni caotiche a “spirale”
• soluzioni caotiche “double scroll”
• finestre nel caos (es. ciclo limite di periodo 8T )
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Dinamiche del circuito di Chua/1
Circuito caotico di Chua: simulazione SPICEDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 37
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Circuito caotico di Chua: simulazione SPICE
R= 2050 ΩSOLUZIONE STAZIONARIA
STABILE
Per valori di R sufficientemente grandi
si ha che i punti di equilibrio delleregioni esterne sono stabili, mentre
la soluzione nell’origine è un punto
instabile. Il sistema si porterà, con
traiettoria a spirale, su uno dei punti
di equilibrio stabile (a seconda del
suo stato iniziale)
R 1980 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo T)
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 38
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R = 1980 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo T )
Fast Fourier Transform
Al diminuire diR
si osserva come ilnumero di oscillazioni per raggiungere
l’equilibrio cresce, fino a transitare al
caso di una soluzione periodica (ciclo
limite) di periodo T, attorno alprecedente punto di equilibrio
R= 1950 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 2T)
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 39
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R = 1950 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 2T )
Fast Fourier Transform
Per valori di R ancora più bassi siosservano raddoppiamenti del periodo,
con orbite di periodo 2T, 4T etc. Lo
spettro in frequenza evidenzia le sub-
armoniche
Fast Fourier Transform
R= 1938 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 4T)
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 40
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R = 1938 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (periodo 4T )
Per valori di R ancora più bassi siosservano raddoppiamenti del periodo,
con orbite di periodo 2T, 4T etc. Lo
spettro in frequenza evidenzia le sub-
armoniche
Fast Fourier Transform
R= 1900 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “A SPIRALE”
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 41
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R = 1900 Ω: SOLUZIONE CAOTICA A SPIRALE
Al diminuire ulteriore di R i cicli limite
assumono periodo 8T, 16T, 32T …,
fino a diventare praticamente infinito.
Si raggiunge un moto della soluzione
apparentemente irregolare in unaregione di tipo a spirale, detta
“attrattore di Chua”.
Fast Fourier Transform
R= 1840 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “DOUBLE SCROLL”
Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 42
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R = 1840 Ω: SOLUZIONE CAOTICA DOUBLE SCROLL
Infine si può raggiungere un diverso
attrattore, caratterizzato da valori di
segno opposto per almeno una
variabile, detto attrattore “double
scroll”.
Fast Fourier Transform
R= 1810 Ω: “FINESTRA NEL CAOS” (CICLO PERIODICO 8T)
Dipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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R = 1810 Ω: FINESTRA NEL CAOS (CICLO PERIODICO 8T )
Continuando a diminuire il valore di Rsi ottiene, oltre alla variazione della
forma dell’attrattore, alcune regioni
ambigue o “finestre” nel caos con
soluzioni periodiche.
Fast Fourier Transform
Applicazioni analisi dei circuiti caoticiDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 44
• Analisi dello spazio dei parametri per circuiti esistenti eche possono dar luogo ad instabilità e comportamentianomali: ad esempio circuiti ferrorisonanti, power
converters, …
• Generatori di rumore, generatori di dinamiche “universali”
• Modulazione con portanti caotiche di segnali al fine dellatrasmissione sicura dei dati (crittografia basata sul caos)
• Test-bed per la validazione di tecniche di controllo robusto• Studio della sincronizzazione di reti complesse di sistemi
dinamici
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Applicazioni analisi dei circuiti caotici
Riferimenti bibliograficiDipartimento di Ingegneria ELettrica - Università di Napoli FEDERICO II - Italy
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Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 45
1. M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits , Artech House, Inc, 1986.
2. F. C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics , John Wiley & Sons, 1992
3. H. G. Schuster, Deterministic Chaos , VCH, 1988
4. Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied BifurcationTheory , Springer-Verlag 1995.5. M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part I: Evolution , IEEE Trans. On Circuits
and Systems -I, 40-10, 1993.
6. M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part II: A Chua’s Circuit Primer , IEEE Trans.
On Circuits and Systems -I, 40-10, 1993.
7. D. C. Hamill, Learning about Chaotic Circuits with SPICE , IEEE Trans. On Education,36-1, 1993.
8. L. O. Chua, R. Madan, Sights and sounds of chaos , IEEE Circuits and Devicesmagazine, 3-13, 1988.
9. C. Tan, M. Varghese, P. Varaiya, F. F. Wu, Bifurcation, chaos, and voltage collapse in power systems , IEEE Proceedings, 83, 1484-1496, 1995.
Riferimenti bibliografici