chaos: 1/26 dynamik komplexer systeme deterministisches chaos

Chaos: 1/26

Dynamik komplexer Systeme

Deterministisches Chaos

Chaos: 2/26

Dynamische Systeme

• Der Systemzustand x(t) kann durch einen oder mehrere Parameter beschrieben werden.– Phasenraum: Raum der Zustandsparameter

• Der zukünftige Systemzustand hängt allein vom jetzigen Systemzustand ab.– kontinuierlich: Differentialgleichungen in t

• d/dt x(t) = F(x(t)) d/dt x(t) = k x(t)

• limt0 (x(t+t) x(t)) / t = F(x(t))

– diskret: Iterationsgleichungen in t• x(t+t) x(t) = F(x(t)) · t

• x(t+1) = G(x(t)) x(t+1) = c x(t)

x

x·

xt

xt+1

t

x

t

x

Gleichungs-diagramm

Zeitverlaufs-diagramm

Chaos: 3/26

Phasendiagramme


• -

– kontinuierlich:• d/dt x(t) = F(x(t)) • ))

– diskret:• t

• x(t+1) = G(x(t))

x

x·

xt

xt+1

t

x

t

x

Gleichungs-diagramm


Phasen-diagramm

x

x

Chaos: 4/26

Phasendiagramme


• -

– kontinuierlich:• d/dt x(t) = F(x(t)) • ))

x

x·

t

x

Gleichungs-diagramm


zweidimensionalesPhasen-

diagrammx2

x1

z. B. Pendel oder Federmit Auslenkung a

122

2

1

2

2

1

0

0

x

x

x

x

dt

d

aa

daam

a

a

x

xx

Phasen-diagramm

x

Chaos: 5/26

Lineare Systeme

• Wenn x(t) eine mögliche Abfolge von Systemzuständen ist, dann ist auch x(t) eine mögliche Abfolge.

• -

– kontinuierlich: Differentialgleichungen in t• d/dt x(t) = F(x(t)) d/dt x(t) = k x(t)

• limt0 (x(t+t) x(t)) / t = F(x(t))

– diskret: Iterationsgleichungen in t• x(t+t) x(t) = F(x(t)) · t

• x(t+1) = G(x(t)) x(t+1) = c x(t)

x

x·

xt

xt+1

t

x

t

x

Gleichungs-diagramm


Chaos: 6/26

Lineare Systeme verschieben

• Wenn ein lineares System nicht ursprungslinear ist,kann man es verschieben:Man definiert eine neue Variable u(t) = x(t) xS,wobei F(xS) = 0 bzw. G(xS) = x.

• Wenn u(t) eine mögliche Abfolge von Systemzuständen ist, dann ist auch u(t) eine mögliche Abfolge.

• kontinuierlich:

• diskret:

x

x·

xt

xt+1

u

u·

ut

ut+1

Chaos: 7/26

Iterieren im Gleichungsdiagramm

• Steigung > 1 Systemzustand entfernt

sich exponentiell vom Schnittpunkt xS.

xt

xt+1

x1x0xsx0

t

x

xS

Chaos: 8/26


• Steigung < 1 aber > 0

xt

xt+1

x0 xs

Systemzustand nähert sich exponentiell an den Schnittpunkt xS.

t

x

xS

Chaos: 9/26

Abhängigkeit von der Steigung

• x(t+1) = G(x(t))– Steigung von G bei xS > 1: x entfernt sich exponentiell von xS.

– Steigung > 0 und < 1: x nähert sich exponentiell an xS.

t

x

xS

t

x

xS

+0.5 +1.5Steigung

Chaos: 10/26

Linear versus nichtlinear

• Viele reale Systeme sind– lokal linear– global nichtlinear

20 Heuschrecken erzeugen im nächsten Jahr eine doppelt so starke Population wie 10 Heuschrecken

200000000 Heuschrecken...

Chaos: 11/26

Die Nichtlinearität

• linear: Polynom erster Ordnung, a + b·x– Geraden, mit positiver (b>0) oder negativer (b<0) Steigung

• nichtlinear: Polynom zweiter Ordnung, a + b·x + c·x²– Parabeln, nach oben offen (c>0) oder nach unten offen (c<0)

– Eine nach unten offene Parabel schneidet die x-Achse zweimal.Eine Parabel mit den Schnittstellen 0 und 1 kann man auch wie folgt schreiben:

r · x · (1x)

Chaos: 12/26

• Demographisches Modell (Pierre-François Verhulst, 1837)– Fortpflanzung: k1 · x

– Aushungern: k2 · (1x) (Maximalgröße der Population: 1)

– Proportionalität: r = k1 · k2

xt+1 = r · xt · (1xt)

logistische Gleichung

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

Chaos: 13/26




t

x

xS

t

x

xS

+0.5 +1.5Steigung

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 14/26


• Steigung < 0 aber > 1

xt

xt+1

x0 xs

Systemzustand nähert sich „exponentiell oszillierend“ an den Schnittpunkt xS.

t

x

xS

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 15/26


• Steigung < 1

xt

xt+1

x0 xs

Systemzustand entfernt sich „exponentiell oszillierend“ vom Schnittpunkt xS.

t

x

xS

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 16/26




– Steigung aus > 1 und < 0: x nähert sich exponentiell oszillierend.

– Steigung < 1: x entfernt sich exponentiell oszillierend.

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

1.5 0.5 +0.5 +1.5Steigung

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 17/26

Phasen-diagramm

x

r

Das Bifurkationsdiagramm

• Bifurkation = qualitative Zustandsänderung

• asymptotisches Phasendiagramm als Funktion von rlangfristige Entwicklung der Population x

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

1.5 0.5 +0.5 +1.5Steigung

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 18/26


• Bifurkation = qualitative Zustandsänderung

• asymptotisches Phasendiagramm als Funktion von rlangfristige Entwicklung der Population x

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

1.5 0.5 +0.5 +1.5Steigung

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 19/26


t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

1.5 0.5 +0.5 +1.5Steigung

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 20/26


t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

t

x

xS

1.5 0.5 +0.5 +1.5Steigung

0 1r = 0

r = 1

r = 3

r = 2

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Attraktor

Bifurkation

Chaos: 21/26

Die Feigenbaumkonstanten

• Der Abstand in r von aufeinander folgenden Bifurkationen nimmt asymptotisch ab im Verhältnis

1 : 4.66920160910299067185320382...

• Die Größe von aufeinander folgenden Gabelungen in x nimmt asymptotisch ab im Verhältnis

1 : 2.50290787509589282228390287...

M. J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 21, 669 (1978)

Chaos: 22/26

zwei Zeitverläufe• Fixpunkte:

– 0.75: instabil

– 0.00: stabil

– 0.50 1.00 0.00: letztendlich stabil

– 0.50 hat zwei Vorläufer

• Menge aller letztendlich stabilen Fixpunkte: fraktal

a=0.333333;

b=1/3;

for i=1:50;

a(i+1)=a(i)*(1-a(i))*4; b(i+1)=b(i)*(1-b(i))*4;

end

0 1

r = 4

xt

xt+1

0

1

xt+1 = r · xt · (1xt)

Chaos: 23/26

Pendel und Doppelpendel

• Das einfache Pendel ist – deterministisch,

– nonlinear (es gibt eine lineare Idealisierung),

– nicht chaotisch (langfristig vorhersagbar)

• Das Doppelpendel ist– deterministisch

– nonlinear

– chaotisch

Chaos: 24/26

Zwei- und Dreikörperproblem

• Das Zweikörperproblem (zwei Massen bewegen sich in ihrer gegenseitigen Gravitation)ist analytisch lösbar.– deterministisch, nonlinear,

– nicht chaotisch (langfristig vorhersagbar)

• Das Dreikörperproblem kann bis auf Spezialfälle nicht analytisch gelöst werden.– deterministisch, nonlinear, chaotisch

– eingeschränktes Dreikörperproblem:dritte Masse verschwindend klein

• Demo: J002E3

Chaos: 25/26

Billard

• Rechteckiger Tisch, keine Reibung, eine Kugel:– linearer Anstieg der Änderung

• mehrere Kugeln: zu kompliziert.konvexe Reflektoren an den Banden:– exponentieller Anstieg der Änderung

– Chaos

• mehrere Kugeln in gerader Reihe– Radius R, Abstand (Rand zu Rand) D:

• ein winziger Winkelfehlervergrößert sich mit jedem Stoßin etwa um D/R.

D R

Billard: Einfluß der Gravitation eines ZuschauersD = 60mm, R = 30mm D/R = 2,Mensch 60 kg 6 m entfernt: a = 1010 m/s2 v=1m/s, t=.06s, x = ½ a t² = 1,8·10 13m, nach 37 Stößen x30 mm (R).

N2 1bar 300 K: Gravitation Elektron (1030kg) in 14·109 LJD = 7·108m, R = 5·1011m D/R = 1400a = 8·1093 m/s2 , t = 1.4·1010s, x = 8·10 113m, nach 32 Stößen x5·1011m (R).

Chaos: 26/26

Deterministisches Chaos

• Voraussetzungen (notwendig, nicht hinreichend)– Deterministisch

– Nichtlinear

• Kennzeichen– Aperiodisch

– Empfindliche Abhängigkeit von den Startbedingungen

– Abhängigkeit von Kontrollparameter• Bifurkationen

– meist: Periodenverdoppelungen als Weg ins Chaos• Attraktoren „seltsame Attraktoren“

chaos: 1/26 dynamik komplexer systeme deterministisches chaos

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