BIẾN NGẪU NHIÊN

Giả sử khi gieo 5 lần con xúc xắc. Nếu gọi X là biến cố số lần nhận được mặt 1

khi gieo xúc xắc. Thì X có thể là 0 lần, 1 lần, 2 lần, …, hoặc 5 lần. Tức X nó

nhận ngẫu nhiên số lần nào đó mà ta không thể biết trước. Ở bài toàn này X

nhận các giá trị từ 0,1,2,3,4,5

Vậy khi nhận nhiều giá trị như vậy thì nó phải có cách phân phối từ đó ta có

bảng phân phối xác suất .

X 0 1 2 3 4 5

P P0 P1 P2 P3 P4 P5

P0 là xác suất để trong 5 lần gieo không có lần nào xuất hiện mặt 1 chấm.

P1 là xác suất để trong 5 lần gieo có 1 lần xuất hiện mặt 1 chấm

P2 là xác suất để trong 5 lần gieo có 2 lần xuất hiện mặt 1 chấm

.

.

P5 là xác suất để trong 5 lần gieo có cả 5 lần xuất hiện mặt 1 chấm

CÁC KHÁI NIỆM

1, Kỳ vọng E(X)

a, Key word : “ Trung bình”

b, Công thức tính : E(X)= X1.P1 + X2.P2 + … + Xn.Pn

2. Phương sai D(X) =

3. Độ lệch chuẩn σ= √𝐷(𝑋)

4. Mod(X) là giá trị của X mà tại đó xác suất là lớn nhất .

E(X) – q < Mod(X) < E(X) – q + 1

Có hai dạng toán đối với biến ngẫu nhiên

+ Dạng cho trước bảng phân phối.

+ Dạng không cho trước bảng phân phối Câu hỏi đặt ra là : “ Nếu không cho

bảng phân phối thì ta lập nó như thế nào” .

Câu trả lời : “ Có 4 phép phân phối mà ta hay dùng tới để lập bảng phân phối.

Tuy nhiên trong giáo trình với mỗi phép phân phối sẽ có một công thức riêng.

Nhưng… Với cách dạy của tác giả sẽ đưa về bài toán xác suất thông thường chứ

không áp dụng công thức một cách máy móc nữa.

CÁC PHÉP PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP

A. Phân phối nhị thức ( Có tính rời rạc )

Xét bài toán : gieo một con xúc xắc 5 lần. Biết mỗi lần gieo, xác suất để

nhận được mặt 1 chấm là 16%. Tính xác suất để trong 5 lần gieo đó :

a, Có 1 lần được mặt một chấm.

b, Có 2 lần được mặt một chấm

c, có cả 5 lần được mặt một chấm

Ký hiệu X ~ B ( n,p )

Với : n là số lần thử

p là xác suất xảy ra biến cố ta đang quan tâm trong một lần thử.

Đối với bài toán trên ta có

X : là biến cố số lần tung được mặt 1 chấm.

n=5 ( tức gieo con xúc xắc 5 lần ) ; p = 0,16 ( xác suất để nhận được mặt

1 chấm mỗi lần gieo là 0,16)

Khi đó ta viết dưới dạng công thức : X ~ B (5 ; 0,16 )

Khi đó ta có bảng phân phối

X 0 1 2 3 4 5

P

Lúc này : E(x) = n.p ; D(X) = n.p.q ; σ= √𝐷(𝑋) = √𝑛𝑝𝑞

B. Phân phối Poisson ( quy luật phân phối rời rạc )

a, Key word : « Trang sách có lỗi » or « bưu điện – trạm điện »

b, Ký hiệu X~ P(λ)

công thức : Pk = P(X=k ) = λ𝑘

𝑘!𝑒−λ

E(X) = D(X) = λ

C. Phân phối siêu bội ( quy luật phân phối rời rạc )

Xét bài toán : Có tất cả 12 viên bi trong đó có 8 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ra

5 viên bi. Tìm xác suất để trong 5 viên bi đó có :

a, 1 bi xanh

b, 2 bi xanh

.

.

c, 5 bi xanh.

Ta có phép phân phối siêu bội X ~ H ( N,M,n )

Ta hiểu các đại lương như sau : Trong N phân tử, có M phần tử có tính

chất mà ta quan tâm. Lấy ra n phần tử để nghiên cứu.

Quay trở lại bài toàn trên. Nếu gọi X là biến cố số bi xanh có được trong

5 viên bi lấy ra. Khi đó X có thể nhận các giá trị là 1 bi xanh, 2 bi xanh,

…. Hoặc cả 5 bi đều xanh.

N= 12 viên bi ( Tức có tổng thể 12 )

M= 8 ( tức có 8 bi có tính chất là bi xanh )

N = 5 ( tức lấy ra 5 viên bi ngẫu nhiên để nghiên cứu )

Từ đó ta có bảng phân phối

X 0 1 2 3 4 5

P

D. Phân phối chuẩn ( quy luật phân phối liên tục )

Key word : « Phân phối chuẩn » or « Người ta cho biết khoảng giá trị »

X ~ N (μ, σ2)

Kỳ vọng : E(X)= μ

Phương sai: D(X) = σ2

Độ lệch chuẩn σ

Công thức tình P ( a< X <b ) = Φ (𝑏−μ

σ) - Φ (

𝑎−μ

σ)

Chú ý : Φ (-x) = 1- Φ (x)

Xét bài toán sau : Chiều cao của một loại cây là một biến ngẫu nhiên

phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 19m và độ lệch chuẩn là

2,5m. Cây đạt tiêu chuẩn là cây có chiều cao từ 14m 24m . Tính xác

suất cây đạt tiêu chuẩn.

Ở đề bài này họ đã nói rõ ràng là « phân phối chuẩn » nên ta không cần

dựa vào dấu hiệu nào nữa. Nhưng giả sử nó không nói rõ là phân phối

chuẩn thì ta vẫn có dấu hiệu nhận biết. Ta nhìn thấy « 14m -> 24m » nó

nhận một khoảng giá trị Nó phân phối chuẩn.

Ở bài toán này : E(X) = 19m = μ ;

Σ = 2,5.

Xác suất cây tiêu chuẩn

P( 14<X<24) = Φ (𝑏−μ

σ) - Φ (

𝑎−μ

σ) = Φ (

24−19

2,5) - Φ (

14−19

2,5) = Φ (2) – Φ

(-2) = Φ (2) – [ 1 – Φ (2) ] = 2 Φ (2) -1 = ….

Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng phép phân phối nào ?

Key word « Phân phối chuẩn » or cho một khoảng giá trị Pp

chuẩn.

Thấy có 2 thông số Pp nhị thức

Thấy có 1 thông số và thông số đó mang tên kỳ vọng Pp

Poisson.

Key word “ trang sách lỗi” , “thư viện” , “trạm điện” Pp

Poisson.

Bài tập :

Bài 1: Xác suất để một máy sản xuất được 1 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là

0,9. Cho máy sản xuất 6 sản phẩm. Tính xác suất để có ít nhất 5 sản

phẩm đạt tiêu chuẩn trong 6 sản phẩm do máy sản xuất.

Bài 2: Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công nhân dự thi phải sản xuất ra

10 sản phẩm. Nếu có từ 8 sản phẩm loại A trở lên thì được nâng bậc

thợ. Giá sử công nhân A, xản suất ra sản phẩm loại A là 0,7. Tính xác

suất để công nhân a được nâng bậc thợ.

Bài 3: Trong một cuốn sách biết trung bình một trang có 0,5 lỗi. Tính xác

suất để 1 trang sách chọn ngẫu nhiên từ cuốn sách có 2 lỗi.

Bài 4: Một cuốn sách 420 trang, trong đó có 210 lỗi. Tính xác suất để 1

trang sách chọn ngẫu nhiên từ cuốn sách có 3 lỗi.

Bài 5: Một kiện hàng 12 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm A và 4 sản

phẩm B. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 6 sản phẩm. Tính xác suất

không quá 3 sản phẩm loại A trong 6 sản phẩm lấy ra.

Bài 6: Trong một lần thi trắc nghiệm, mỗi thí sinh nhận đề 50 câu, mỗi

câu có 4 cách trả lời. Như vậy xác suất để chọn được đáp án đúng trong

mỗi câu là 0,25. Thí sinh A không thuộc bài nên đánh lụi. Tính xác suất

để thí sinh này đậu. Biết thí sinh thi đậu khi trả lời từ 25 câu trở lên

XẤP Xỉ Khi nào thì xấp xỉ :

Có quá nhiều trường hợp Bấm máy tính mỏi tay

Số quá lớn Máy tính bó tay không tính được.

Bài toán : Trong một lần thi trắc nghiệm, mỗi thí sinh nhận đề 50 câu,

mỗi câu có 4 cách trả lời. Như vậy xác suất để chọn được đáp án đúng

trong mỗi câu là 0,25. Thí sinh A không thuộc bài nên đánh lụi. Tính xác

suất để thí sinh này đậu. Biết thí sinh thi đậu khi trả lời từ 25 câu trở lên.

Bài toán này thấy thực hiện 50 lần thử tương ứng với trả lời 50 câu hỏi.

Với mỗi lần thử ( tức với mỗi câu ) thì xác suất chọn được đáp án đúng

là 0,25. Nếu gọi X là số câu trả lời đúng. Thì X thuộc phân phối nhị thức.

X ~ B ( n=50, p= 0,25 )

Vậy xác suất thí sinh thi đậu chính là xác suất để thí sinh đó trả lời được

25 câu trở lên.

P ( X >= 25) = P( 25 ≤ 𝑋 ≤ 50 ) = P(25) + P(26) + … P( 50)

Khi đó ta phải bấm máy rất nhiều lần Vì vậy ta dùng xấp xỉ. Vậy có

những cách xấp xỉ nào ??

Chuẩn Nhị thức Chuẩn or poisson

Bài toán : Trong một lần thi trắc nghiệm, mỗi thí sinh nhận đề 50 câu,

mỗi câu có 4 cách trả lời. Như vậy xác suất để chọn được đáp án đúng

trong mỗi câu là 0,25. Thí sinh A không thuộc bài nên đánh lụi. Tính xác

suất để thí sinh này đậu. Biết thí sinh thi đậu khi trả lời từ 25 câu trở lên.

Như xác định đó là bài toán áp dụng phân phối nhị thức. Do phải bấm

máy qá nhiều nên ta dùng xấp xỉ. Vậy ở đây ta dùng xấp xỉ chuẩn or

poisson.

Điều kiện để sử dụng xấp xỉ từ phân phối nhị thức Poisson là :

n rất lớn (1000, 2000) và p xấp xỉ bằng 0

Khi đó X ≈ P(λ )

Kỳ vọng E(X) = np = λ

Phương sai D(X) = npq = λ

Điều kiện để sử dụng xấp xỉ từ phân phối nhị thức Chuẩn là :

n lớn (100, 200) và p không quá gần 0 cũng không quá gần 1.

Khi đó X ≈N(μ, σ2 )

Kỳ vọng E(X)= np = μ

Phương sai D(X) = npq = σ2

Với bài toán trên ta thấy p=0,25 tức nó không quá gần 0 cũng không

quá gần 1 ta dùng xấp xỉ nhị thức ~> Chuẩn .

Tức X ≈N(μ, σ2 ) ≈N(np,npq)

Phần phối chuẩn Phân phối nhị thức

X~H(N,M,n)

Điều kiện khi N ≫ 𝑛 thì ta xấp xỉ được. Khi đó

p=𝑀

𝑁 ; q=1-p

X≈ 𝐵(𝑛, 𝑝) ;

Kỳ vọng E(X) = np=n. 𝑀

𝑁

Phương sai D(X)= npq . 𝑁−𝑛

𝑁−1 = npq. Hệ số điều chỉnh.

Một dạng toán khác nữa khi có key words là : “Độ chênh lệch không quá

… trị tuyệt đối” thì ta áp dụng công thức sau

P(|X-μ|≤ ξ)= 2Φ(ξ

σ)

Bài 1: một lần thi trắc nghiệm. Một thi sinh phải làm 50 câu. Mỗi câu có 4

cách trả lời. Và trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Thí sinh đó trả lời đúng

chắc chắn 10 câu. Phần còn lại đánh lụi. Tính xác suất để thí sinh đó

đậu. Biết thí sinh đậu khi làm được từ 25 câu trở lên