chƯƠng 2: biẾn ngẪu nhiÊn vÀ luẬt phÂn phỐi xÁc suẤt
DESCRIPTION
NỘI DUNG: I. BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN) II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN III. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG. CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Khái niệm. Biểu diễn định lượng các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên (phép thử ngẫu nhiên) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
NỘI DUNG:I. BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN)II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNNIII. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Biểu diễn định lượng các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên (phép thử ngẫu nhiên)
X là biến ngẫu nhiên
(:
)
R
XX
B
X(B)
I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm
Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên liên tục
I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm
BNN rời rạc: Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
Ví dụ Tung một con xúc sắc 2 lần
Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận các giá trị 0, 1, hoặc 2.
Tung đồng xu 5 lầnĐặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.
Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5
I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm
BNN liên tục: Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R.
Ví dụ- Chiều cao, cân nặng.- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.
I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm
BNN rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.Bảng phân phối xác suất của X:
Chú ý:
1
1)
2) 1
i i
n
ii
p P X x
p
1 2
1 2( )
n
n
x x xXP X p p p
I. BIẾN NGẪU NHIÊN2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)
Ví dụ: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình.
S
S
S
S
H
H
H H
4 khả năng có thể xảy raPhân phối xác suất
x P(x)
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
0 1 2 x
.50
.25
Xác
suất
I. BIẾN NGẪU NHIÊN2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)
Hàm mật độ xác suất: f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu
Ví dụ: cho hàm mật độ xác suất của X
Tìm c
) ( ) 0
) ( ) 1
x
ii f x dx
i f x
I. BIẾN NGẪU NHIÊN3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)
2 , 0, 2( )
0 , 0, 2
cx xf x
x
Tìm P(a<X<b)?f(x) P a x b( )≤≤
a b
I. BIẾN NGẪU NHIÊN3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)
) (( )
( ) (
) (
)
b
a
X b P a XP a X b P a b
P a X b f x dx
Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như sau
( ) F x P X x
I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất
Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1, x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất tương ứng p1, p2, …, pn.
Bảng phân phối xác suất của X
Hàm phân phối xác suất:
X x1 x2 … xn-1 xn
P p1 p2 … pn-1 pn
I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)
x x
F(x)i
ip
1
1 2
2 3
1
1
2 1
2
1
1
0 ,,
,)
,
(
,
) (
1
n n n
n
pp p
F x P
x xx x x
x x xx
p p p x x xx x
X
I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác suất của X
( ) ( )
x
F x P X f u dux
I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)
Ví dụXét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
Tìm hàm phân phối F(x). Tính P(1<X<3/2).
2 , 0, 2
0 , 0,8
2
3( )
x
fxx
x
I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)
Tính chất1) .
2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a) F(b).
3)
4)
0 ( ) 1F x
) lim(
(
( ) 0
) lim ( ) 1x
x
F
F
F x
F x
5) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.
I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất
)( ( ) ( ) b F bP FX aa
Kỳ vọng: Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên.
Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng
BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất
Kỳ vọng của X:
Kỳ vọng thường được ký hiệu là .
X x1 x2 … xn-1 xn
P p1 p2 … pn-1 pn
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)
1
( )
n
i ii
E X x p
Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính E(X).Bảng phân phối xác suất
E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1
X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)
BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x).Kỳ vọng của X:
( ) ( )
E X xf x dx
Ví dụ: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ
Tính E(X).
2 , 0,238( )0 , 0,2
xf x
xx
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng (BNN liên tục)
Tính chất của kỳ vọng: E(a) = a, a: hằng số E(aX) = aE(X) E(X + Y)=E(X) + E(Y) E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng
Phương sai: Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung bình.
Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E(X), phương sai của X
Phương sai thường được ký hiệu là 2.
2
2 2
( )
( ) ( )
ar(X)ar(X)=
V E X E X
V E X E X
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai
Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
hoặc
2 2
1
( ) ( ) ( )
n
i ii
Var X E X E X x E X p
22 2
1
2( ) ( ) ( )
n
i ii
Var X E X EX x p E X
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN rời rạc)
Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính Var(X).Bảng phân phối xác suất
E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25 = 1Var(X) = E(X2) – E(X)2 = = (02x0.25 + 12 x0.5 + 22x0.25) – 12 = 0.5
X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN rời rạc)
Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x).
hoặc
2 2( ) ( ) ( ) ( )
Var X E X E X x E X f x dx
2 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Var X E X E X x f x dx E X
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN liên tục)
Ví dụCho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
Tính E(X), Var(X).
2 , 0, 2
0 , 0,8
2
3( )
x
fxx
x
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN liên tục)
Tính chất của phương sai: Var(a) = 0, a:hằng số Var(aX) = a2Var(X)3) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
(nếu X và Y độc lập)
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai
Độ lệch chuẩn:Là căn bậc hai của phương sai.
2 VarX
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN3. Độ lệch chuẩn
Số mode: Là giá trị của BNN có xác suất lớn nhất.
Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.Bảng phân phối xác suất
Mod(X) = 1Vì P(X = 1) = 0.5
X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN4. Số mode (Giá trị tin chắc)
Số trung vị: Là giá trị của BNN chia phân phối xác suất thành 2 phần có xác suất bằng nhau.
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN5. Số trung vị
1P(X med(X)) P(X med(X))2
BIEÅU ÑOÀ PHAÂN PHOÁI ÑIEÅM CUÛA 141 TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC NAÊM 200312
482
1245
119
413
2659
532
797 34
878
3570
735
506
3535
734
640
3358
832
802
3172
430
629
2942
028
858
2773
126
697
2532
624
237
2316
121
803
2056
019
509
1876
917
397
1654
315
350
1454
013
442
1274
611
668
1066
310
036
9081
8587
7734
6939
6308
5764
5023
4469
3887
3519
3038
2531
2185
1818
1613
1275
1041
825
609
433
293
207
100
60 32 4 20
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
400000.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
15.0
16.0
17.0
18.0
19.0
20.0
21.0
22.0
23.0
24.0
25.0
26.0
27.0
28.0
29.0
30.0
Nguoàn : Tuoåi Treû, ngaøy 4/9/2003
SOÁ THÍ SINH
ÑIEÅM
BNN X có phân phối nhị thức,
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT1. Phân phối nhị thức
n xx xnp(x) P(X x) C p 1 p ; x 0,1, ,n
X B n,p
Ví dụ: Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trong 1 lô hàng là 3%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 100 sản phẩm ra để kiểm tra. Tính xác suất để:a) Có 3 sản phẩm bị lỗi.b) Có không quá 3 sản phẩm bị lỗi.
Nếu n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1 thì ta có công thức xấp xỉ sau:
Giá trị của hàm f(x) tra bảng phụ lục 1, f(- x) = f(x) Giá trị của hàm φ(x) tra bảng phụ lục 2, φ(- x) = - φ(x)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT1. Phân phối nhị thức
1 k np1) P(X k) fnp(1 p) np(1 p)
b np a np2) P(a X b)np(1 p) np(1 p)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT1. Phân phối nhị thức
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm loại A là 20%. Nếu lấy ngẫu nhiên 400 sản phẩm, tính xác suất để:
a) Được 80 sản phẩm loại A.b) Được từ 60 đến 80 sản phẩm loại A.
BNN X có phân phối possion, X P(λ)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT2. Phân phối possion
x
p(x) P(X x) e ; x 0,1, ,nx!
Ví dụ: Một nhà máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,2%. Tính xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt.
Mô hình Poisson :+ Xét n phép thử Bernoulli. + Trong đó xác suất thành công là p.+ Các phép thử độc lập với nhau.(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết
quả của các phép thử kia)+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phépthử.+ Trong đó n lớn ( n 100) và p nhỏ (p 0,01và np 20). Khi đó X ~ P(). Với =np
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT2. Phân phối possion
Ví dụTrong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT2. Phân phối possion
BNN X có phân phối siêu bội, X H(N, M, n)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT3. Phân phối siêu bội
x n xM N M
nN
C Cp(x) P(X x) ; x 0,1, ,nC
Ví dụ: Một lô hàng gồm có 10 sản phẩm, trong đó có 4 loại A. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng, tính xác suất để có 2 sản phẩm loại A
Nhận xét: Nếu n << N thì ,p =
Suy ra:Khi n << N, thì H(N, M, n) B(n;p) , p =
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT3. Phân phối siêu bội
x n xM N M
nN
C .CC
x x n x
nC p (1 p) NM
NM
BNN X có phân phối chuẩn, X N(μ; σ2)
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X bằng cách đặt
Khi đó E(Z) = 0 và Var(Z) = 1. Ta nói Z có phân phối chuẩn hóa. Ký hiệu X N(0; 12)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT4. Phân phối chuẩn
2
2(x )
21f (x) e2
σμXZ
Nhận xét: X N(μ; σ2)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT4. Phân phối chuẩn
2 11 2
x x1) P(x X x )
2) P X 2
x3) P(X x) 0.5
P X 68%
P X 2 95%;
P X 3 99.99%
Ví dụ: Lãi suất đầu tư vào Công ty B là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn , biết xác suất để đạt được lãi suất trên 20%/ 1 năm là 0.2 và dưới 10%/ 1 năm là 0.1.
a) Tìm kỳ vọng và phương sai .b) Tính xác suất để khi đầu tư vào công ty B
đó được lãi suất ít nhất 14%/ 1 năm.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT4. Phân phối chuẩn
BNN X có phân phối mũ, X Exp(λ)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT5. Phân phối mũ
xp(x) P(X x) e , x 0
: số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.x: số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.e = 2.71828
Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là 15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao nhiêu. Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó
= 15
3 phút = 0.05 giờ
T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.
P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276
Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT5. Phân phối mũ
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) và Y ~ 2(n); X và Y độc lập với nhau. Đặt
Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student với n bậc tự do.
Ký hiệu: T ~ t(n)
XTY
n
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT6. Phân phối student
Xét Z1, Z2, ..., Zn là n biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn hóa, tức là Zi ~ N(0,1) với i=1,..,n. Z1, Z2, ..., Zn độc lập với nhau.
Đặt
Biến ngẫu nhiên gọi là có phân phối Chi – bình phương với n bậc tự do.
Ký hiệu:
2
1
2 2 2 21 2
n
ni
iZ Z ZZ
2 2~ ( ) n
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT7. Phân phối chi bình phương
2