bianchi

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

(DOKTORA TEZİ)

BIANCHI TİPİ EVRENLERİN

KOZMOLOJİK ÇÖZÜMLERİ

Özgür AKARSU

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Can Battal KILINÇ

Astronomi ve Uzay Bilimleri Anabilim Dalı

Bilim Dalı Kodu : 402.02.01Sunuş Tarihi : 01.07.2010

Bornova-İZMİR2010

Özgür AKARSU tarafından doktora tezi olarak sunulan “Bianchi Tipi Evrenlerin Kozmolojik Çözümleri” başlıklı bu çalışma E.Ü. Lisansüstü Eğitim ve Öğretim Yönetmeliği ile E.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Eğitim ve Öğretim Yönergesi’nin ilgili hükümleri uyarınca tarafımızdan değerlendirilerek savunmaya değer bulunmuş ve 01.07.2010 tarihinde yapılan tez savunma sınavında aday oybirliği ile başarılı bulunmuştur.

Jüri Üyeleri: İmza

Jüri Başkanı : Prof. Dr. Cafer İBANOĞLU

Raportör Üye : Prof. Dr. Hüsnü BAYSAL

Üye : Prof. Dr. Can Battal KILINÇ

Üye : Prof. Dr. İhsan YILMAZ

Üye : Prof. Dr. Ömer Lütfi DEĞİRMECİ

ÖZET

BIANCHI TİPİ EVRENLERİN KOZMOLOJİK ÇÖZÜMLERİ

AKARSU, Özgür

Doktora Tezi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü

Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Can Battal KILINÇ

Temmuz 2010, 137 sayfa

Uzaysal olarak homojen fakat anizotropik Bianchi uzay-zamanları

maksimum uzaysal simetriye sahip Robertson-Walker (RW) uzay-zamanlarının

üzerine kurulu Friedmann-Lemaître evren modellerinin genelleştirilmesine,

anizotropik enerji kaynaklarının çalışılmasına ve dolayısıyla daha gerçekçi evren

modellerinin kurulmasına olanak sağlar. Yüksek çözünürlüklü Wilkinson

Microwave Anisotropy Probe (WMAP) verilerinin başarılı bir biçimde

çözümlenmesi ve yorumlanması için Bianchi tipi bir geometriye gerek olup

olmadığı üzerine sürmekte olan tartışmalar son yıllarda Bianchi tipi kozmolojik

modellere ve anizotropik enerji kaynaklarına olan ilgiyi arttırmıştır. Bu tez

kapsamında da, özellikle karanlık enerji bağlamında, belli varsayımlar altında

tanımlanmış bazı hipotetik anizotropik akışkanların varlığında genel görelilikçi

Bianchi I, LRS Bianchi I ve Bianchi III evren modelleri kurulmuş, modellerin

kinematikleri ve akışkanların dinamikleri incelenmiştir. İleride yapılacak

gözlemlerle günümüz evrenini anlatmakta RW metriğinin yeterli olduğu ortaya

çıksa bile anizotropik enerji kaynaklarının dışlanamayacağı sonucuna varılmıştır.

Anahtar sözcükler: Genel görelilik, Bianchi uzay-zamanları, anizotropik

akışkan, karanlık enerji, enflasyon, izotroplaşma

v

ABSTRACT

COSMOLOGICAL SOLUTIONS OF BIANCHI TYPE UNIVERSES

AKARSU, Özgür

Ph.D. in Astronomy and Space Sciences

Supervisor: Prof. Dr. Can Battal KILINÇ

July 2010, 137 pages

Bianchi space-times give opportunity to generalize Friedmann-Lemaître

cosmological models that are based on spatially maximally symmetric Robertson-

Walker (RW) space-times, use anisotropic energy sources, and hence construct

even more realistic cosmological models. The interest in such models and

anisotropic fluids was promoted in recent years due to the debate that going on on

the analysis and the interpretation of the high resolution Wilkinson Microwave

Anisotropy Probe (WMAP) data, whether they need a Bianchi type morphology

to be explained successfully. In the scope of this dissertation, some anisotropic

fluids, particularly in the context of dark energy, are defined under certain

assumptions and some general relativistic Bianchi type I, locally rotationally

symmetric (LRS) Bianchi type I and Bianchi type III cosmological models in the

presence of the fluids that have been constructed, and the kinematics of the

models and the dynamics of the fluids are examined. It is concluded that, even if,

in the future, it turns out that RW space-times are sufficient to describe the current

universe the anisotropic fluids cannot be ruled out.

Keywords: General relativity, Bianchi space-times, anisotropic fluid, dark

energy, inflation, isotropization

vii

TEŞEKKÜR

Öncelikle, doktora ve yüksek lisans eğitimim boyunca üzerimde büyük

emeği olan değerli hocam Prof. Dr. Can Battal Kılınç’a teşekkürlerimi borç

bilirim. Lisansüstü eğitimim boyunca emeklerini esirgemeyen tüm diğer

hocalarıma da ayrı ayrı teşekkürlerimi sunarım. Lisansüstü eğitimim boyunca aynı

ortamı paylaştığım tüm çalışma arkadaşlarıma teşekkür ederim. Doktora

eğitimimin bir kısmını İngiltere Cambridge Üniversitesi Uygulamalı Matematik

ve Teorik Fizik Bölümü’nde (DAMTP) yapmama olanak sağlayan Prof. Dr.

Fernando Quevedo’ya teşekkür ederim.

Doktora eğitimim boyunca 2211-Yurt İçi Doktora Burs Programı

kapsamında maddi destek sağlayan Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma

Kurumu’na (TÜBİTAK) teşekkürlerimi borç bilirim.

Anlayış ve desteğiyle doktora eğitimimi tamamlamama büyük katkısı olan

sevgili eşim Gözde Akarsu ne kadar teşekkür etsem azdır. Beni en iyi şekilde

yetiştirip, büyüten sevgili anneme ve babama ve ayrıca beni her zaman manevi

olarak destekleyen sevgili kardeşlerime teşekkür ederim. Ayrıca, başta benden

hiçbir desteğini esirgemeyen Rıza Yılmaz olmak üzere, bu zor süreç boyunca beni

hiçbir zaman yalnız bırakmayan ve bana güç veren tüm sevgili dostlarıma

teşekkür ederim. Dr. Anastasios Avgoustidis ve Rui F. Lima Matos’a candan

arkadaşlıkları ve bilimsel paylaşımları için ayrıca teşekkür ederim.

ix

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ................................................................................................................ v

ABSTRACT ..................................................................................................... vii

TEŞEKKÜR ..................................................................................................... ix

ŞEKİLLER DİZİNİ .......................................................................................... xiii

ÇİZELGELER DİZİNİ ..................................................................................... xv

1. GİRİŞ ............................................................................................................ 1

2. STANDART ΛCDM KOZMOLOJİK MODELİ VE ENFLASYON .......... 7

2.1 Robertson-Walker Metriği ve Friedmann Modelleri .................................. 7

2.2 Standart Büyük Patlama Modelinin Temel Sorunları ................................. 13

2.3 Enflasyon Modelleri ................................................................................... 16

2.3.1 Kozmolojik sabit (Λ), vakum enerjisi ve de Sitter genişlemesi .............. 17

2.3.2 Temel enflasyon mekanizması ................................................................. 20

2.4 Karanlık Enerji ............................................................................................ 29

2.5 Soğuk Karanlık Madde (CDM) ................................................................... 37

2.6 Kozmolojik Parametrelerin Gözlemsel Değerleri ....................................... 38

xi

İÇİNDEKİLER (devam)

Sayfa

3. STANDART ΛCDM MODELİ SORUNLAR VE BIANCHI MODELLERİ 41

4. ANİZOTROPİK AKIŞKANIN VARLIĞINDA BIANCHI MODELLERİ . 49

4.1 Bianchi I Uzay-Zamanında de Sitter Genişlemesi ..................................... 55

4.1.2 LRS modeller ve iki tam model .............................................................. 61

4.2 İki Akışkanlı LRS Bianchi I Modeller ....................................................... 67

4.3 Bianchi III Modeller .................................................................................. 90

5. SONUÇ ........................................................................................................ 101

KAYNAKLAR DİZİNİ ................................................................................... 104

ÖZGEÇMİŞ ..................................................................................................... 115

xii

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil Sayfa

2.1 Kaotik enflasyon modelinde ikinci dereceden inflaton potansiyeli.

(Linde, 2008) ........................................................................................... 24

2.2 WMAP5 verilerine göre CMB ışınımında açısal büyüklüğe göre

sıcaklık değişimleri. Kırmızı eğri uzaysal olarak düz ΛCDM modeline

göre elde edilmiş ve gözlemsel veriyle en uyumlu kuramsal eğridir.

(http://map.gsfc.nasa.gov/media/080999/index.html) ............................. 29

2.3 Farklı Ω(0)Λ

değerleri için kırmızıya kaymaya karşı H0dL ışıtma

uzaklığı kuramsal olarak çizdirilmiştir. Evrenin uzaysal olarak düz ve

yalnızca toz parçacık ve geleneksel vakum enerjisi içerdiği

varsayılmıştır. (Copeland et al., 2006) ..................................................... 32

2.4 Uzaysal olarak düz evren için kırmızıya kaymaya karşı H0dL ışıtma

uzaklığı. Veriler Gold ve HST SN Ia verilerinden derlenmiştir.

Kuramsal değerler üç kuramsal eğriyle gösterilmiştir. i) Ω(0)m = 0 ,

Ω(0)Λ = 1 ii) Ω(0)

m = 0.31 , Ω(0)Λ = 0.69 iii) Ω(0)

m = 1 , Ω(0)Λ = 0 .

(Choudhury and Padmanabhan, 2005) .................................................... 34

2.5 SN Ia, CMB ışınımı ve gök ada kümelerinden Ω(0)Λ

ve Ω(0)m değerleri

için güven aralıkları. (http://www.supernova.lbl.gov/) ............................ 38

4.1 m = 0 modelinde n’in farklı değerleri için kozmik zaman t’ye karşı

ρ(ke). λ = k = 1 olduğu varsayılmıştır. ................................................... 78


w(ke). λ = k = 1 olduğu varsayılmıştır. .................................................. 78

xiii

http://map.gsfc.nasa.gov/media/080999/index.html


http://www.supernova.lbl.gov


ŞEKİLLER DİZİNİ (devam)

Şekil Sayfa

4.3 m = 0 modelinde n’in farklı değerleri için kozmik zaman t’ye karşı ∆.

λ = k = 1 olduğu varsayılmıştır. ............................................................ 79


karanlık enerjinin anizotropisi. λ = k = 1 olduğu varsayılmıştır. .......... 79

4.5 m = 0.405 modelinde n’in farklı değerleri için t = 1 komşuluğunda,

kozmik zaman t’ye karşı ρ(ke). λ = −0.8208092487n seçilerek, ∆’ın

t = 1’de sıfır olması sağlanmıştır. .......................................................... 85


kozmik zaman t’ye karşı w(ke). λ = −0.8208092487n seçilerek, ∆’ın



kozmik zaman t’ye karşı ρ(m). ρ(m)’in davranışı n’den bağımsızdır. ... 86


kozmik zaman t’ye karşı Ω(ke). λ = −0.8208092487n seçilerek, ∆’ın

t = 1’de sıfır olması sağlanmıştır. Ω(ke)(1) = 0.73 . ............................. 87


kozmik zaman t ’ye karşı ∆ . λ = −0.8208092487n seçilerek, ∆ ’ın



kozmik zaman t ’ye karşı karanlık enerjinin anizotropisi.

λ = −0.8208092487n seçilerek, ∆ ’ın t = 1 ’de sıfır olması

sağlanmıştır. ............................................................................................. 88

xiv

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge Sayfa

2.1 Standart ΛCDM modeli çerçevesinde WMAP7 ve WMAP7+Baryon

Akustik Salınımları+SN Ia gözlemlerinden kozmolojik parametreler.

Toplam yoğunluk dışındaki tüm değerler evrenin uzaysal olarak düz

olduğu varsayılarak hesaplanmıştır. Karanlık enerji için durum

denklemi parametresi (w) sabit olduğu varsayılarak hesaplanmıştır.

(Jarosik et al., 2010) ............................................................................ 39

3.1 Bianchi uzayları için invaryant bazlar. (Fagundes, 1992; Ryan and

Shepley, 1975) ..................................................................................... 44

3.2 Bianchi ve Kantowski-Sachs uzayları için standart metrikler.

(Fagundes, 1992; Ryan and Shepley, 1975) ........................................ 45

xv

1. GİRİŞ

Ciddi bir bilimsel çalışma alanı olarak kozmolojinin, Einstein’ın madde ile

uzay-zamanın etkileşimini anlatan alan denklemlerini verdiği genel görelilik

kuramının evrene uygulanmasıyla başladığı söylenebilir (Ellis, 2006b). Einstein,

alan denklemlerinin çözümünden boş olmayan evrenin durağan olamayacağını

görmüş ve 1917’de alan denklemlerine itici bir “kuvvet” gibi davranabilen

kozmolojik sabiti (Λ) ekleyerek uzaysal olarak homojen ve izotrop Robertson-

Walker (RW) metriği çerçevesinde durağan bir evren modeli oluşturmuştur

(Einstein, 1917). Hubble’ın 1929’da gök ada ışınımlarının kırmızıya kayma

değerlerinin uzaklıkla doğru orantılı olduğunu duyurmasının ardından Einstein’ın

durağan evren modeli yerini Friedmann’ın 1922 ve 1924’deki çalışmalarıyla

ortaya koyduğu yine RW metriği üzerine kurulu olan ancak genişleyebilen evren

modelleri almıştır (Friedmann, 1922; 1924). Bugün FRW modelleri olarak bilinen

bu model Standart Büyük Patlama (SBP) evren modelinin temelini oluşturur. SBP

modelinin başarısı Hubble genişleme yasasını, evrende gözlemlenen hafif element

bolluklarını ve kozmik mikrodalga ardalan (CMB) ışınımı açıklamasından gelir.

Ne var ki, SBP modelinin bazı önemli sorunlar barındırdığı fark edilmiştir. Bu

sorunların, erken evrenin de Sitter’in 1917’deki iki çalışmasında (de Sitter, 1917a;

1917b) Λ kullanarak elde ettiği üstel olarak genişleyen evren modeline benzer bir

evreden geçmesiyle çözülebileceği görülmüştür. Bu, evrenin erken dönemlerinde

Λ gibi davranan enerji kaynaklarının kullanılmasıyla elde edilen enflasyon

modellerinin temelini atmıştır. Enflasyon modelleri, CMB ışınımı gözlemlerinden

evrenin kozmolojik parametrelerinin belirlenebilmesinin de önünü açmıştır. Son

on beş yıl içerisinde, özellikle Süpernova Ia (SN Ia) ve CMB ışınımı gözlemleri

sayesinde daha önceleri matematiksel ağırlıklı olan ve oldukça spekülatif bulunan

kozmoloji hızla gelişen bir bilimsel alan olmuştur. Bugün, yüksek duyarlıklı yeni

gözlem olanakları farklı kozmolojik modellerin birbirleriyle karşılaştırılmasına ve

öngörülerinin sınanmasına olanak sağlamaktadır.

Bugünkü kozmolojik veriler erken evrenin bir enflasyon döneminden

geçtiğini, daha sonra SBP modellerine uygun olarak evrimleştiği ve günümüz

1

evrenin Λ gibi davranan bir enerji kaynağının (karanlık enerji) etkisiyle

hızlandığını ve hemen hemen uzaysal olarak düz bir geometriye sahip olduğunu

göstermektedir. Gözlemler, evrenin fiziksel bileşenlerinin oranlarını da büyük

duyarlılıkla verebilmektedir. Son verilere göre, standart ΛCDM (burada CDM

soğuk karanlık maddenin kısaltmasıdır) çerçevesinde, evrenin enerji

yoğunluğunun yaklaşık %5’i baryonik madde, %22’si CDM ve %73’i yapısı hala

çok iyi anlaşılmamış olan karanlık enerji biçimindedir.

Enflasyon modelleri evreni çok genel başlangıç koşullarından standart

ΛCDM modelinin başarıyla işleyeceği koşullara evrimleştirir. Standart ΛCDM

modeli ise enflasyon sonrası evrenin evrimini anlatır. Ne var ki, yüksek

çözünürlüklü Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) (Peiris et al.,

2003; Spergel et al., 2007; Hinshaw et al., 2009; Komatsu et al., 2009; 2010)

gözlemlerinden elde edilen CMB sıcaklık haritalarının standart enflasyon+ΛCDM

modellerine göre bazı anomaliler içerdiği yönünde kuşkular oluşturmuştur. Bu

anomalilerin gerçek olma olasılığı, WMAP verilerinin başarılı bir biçimde

çözümlenmesi ve yorumlanması için Bianchi tipi bir geometriye gerek olup

olmadığı üzerine bir tartışma başlatmış ve Bianchi modellerine olan ilgiyi hızla

arttırmıştır.

Bianchi modelleri uzaysal olarak homojen ancak anizotropik genel

görelilikçi kozmolojik modeller ailesinin neredeyse tamamını oluşturur. Bianchi

modellerinin dışındaki homojen ve anizotropik evren modeli ailesini ise özel bir

durum olan Kantowski-Sachs (Kantowski and Sachs, 1966) ailesi oluşturur.

Bianchi modelleri uzaysal olarak maksimum uzaysal simetriye sahip RW

metrikleri üzerine kurulan standart Friedmann-Lemaître (FL) modellerinin

genelleştirilmesine ve daha gerçekçi evren modellerinin kurulmasına olanak

sağlar. Bianchi metrikleri yalnızca uzaysal geometrinin genelleştirilmesine değil,

evrenin fiziksel içeriği bakımından da ideal akışkana göre daha karmaşık enerji

kaynaklarının (örneğin, ısı akısı, anizotropik basınç kaynakları, kozmik sicimler,

viskoz akışkanlar vb.) ele alınmasına olanak sağlar. Genel görelilikçi Bianchi tipi

kozmolojik modellerin çalışılmaya başlanması Kasner’in 1925’de vermiş olduğu,

2

bugün Kasner vakum çözümü olarak bilinen, çözümlere kadar götürülebilir.

Kasner (1925) düz RW metriğinin üç uzaysal boyutta farklı hızlarla genişlemesine

izin vererek (ki böylesi bir düzenleme Bianchi tip-I metriğine karşılık

gelmektedir) boş evren için Einstein alan denklemlerini çözmüştür. Daha sonra,

Lemaître (1933) bu metrik çerçevesinde, ancak evrenin fiziksel içeriği için bilinen

bazı maddesel kaynakları (toz, ışınım) kullanarak alan denklemlerini çözmüştür.

Kasner ve Lemaître’ın bu çalışmaları daha sonra Shücking, Robinson,

Raychaudhuri, Thorne ve bazı başka yazarlarca ele alınmıştır (Ellis, 2006a).

Ancak, Bianchi tipi modeller genelde gözlemsel kozmolojiden çok matematiksel

kozmolojinin ilgi alanında bulunmuştur. Bunun önemli bir nedeni enflasyonist

evren modellerinin SBP modelinin sorunlarına getirdiği oldukça başarılı çözüm

önerisi ve CMB sıcaklık gözlemlerinden elde edilen verilerin enflasyon

modellerinin öngörülerine uygun, istatistiksel olarak neredeyse izotropik,

olduğunun gözlemlenmiş olmasıdır. Enflasyon modellerinin karakteristik özelliği

evrenin erken dönemlerinde kısa bir süre için Λ’ın doğurduğuna benzer bir

hızlanma döneminden geçmesidir. Wald (1983) tarafından ortaya koyulan ve

bugün cosmic no-hair teoremi olarak bilinen teoreme göre Bianchi IX modeli bazı

koşullar altında olmak üzere diğer bütün Bianchi tipi evrenlerin pozitif bir Λ’ın

varlığında üstel olarak de Sitter evrenine yaklaştığını, dolayısıyla izotroplaştığını

göstermiştir. Bu nedenle geleneksel enflasyon modelleri evrenin neden izotropik

olduğunu açıklama iddiasında olmalarına karşın en baştan homojen ve izotropik

RW metriği üzerine kurulmuşlardır. Oysa ki, gerçekçi bir model kurmak için,

evrenin daha genel bir metrik ile başlayıp günümüz evreninde gözlemlenen

miktarlardaki homojenlik ve izotropiye evrimleştiklerinin gösterilmesi gerekir.

Bugünkü uzay gözlemsel olarak ayırt edilemeyecek kadar izotrop olsa bile erken

evren ve/veya çok geç evren oldukça anizotropik olabilir (Ellis, 2006a). Ne var ki,

kozmoloji dünyası daha çok enflasyona neden olan inflaton alanının yapısına

odaklanmış ve inflaton alanını oluşturabilecek skaler alanlar üzerinde durmuştur.

Çünkü enflasyon döneminde gerçekleşmiş olduğu düşünülen yaklaşık e60 katlık

genişleme evrenin enflasyon öncesi izlerini zaten silecekti. Oysa Cosmic

Background Explorer (COBE) gözlemlerinden beri CMB ışınım anizotropisinin,

standart enflasyon+ΛCDM modelleri çerçevesinde bazı anomaliler gösterdiği

3

yönünde kuşkular bulunmaktaydı. Ancak COBE gözlemlerinin yeterli duyarlıkta

olmadığı düşünüldüğünden bunun üzerinde pek durulmamıştır. COBE

gözlemlerinde emin olunamayan bu anomalilerin, yüksek çözünürlüklü WMAP

gözlemlerinde de ortadan kalktığını kesin olarak söylemek mümkün olmamıştır.

Farklı araştırma grupları bu olası anomaliler için farklı yorumlar getirmektedir.

Bir kısım araştırmacı bu anomalilerin istatistiksel olarak standart enflasyon

+ΛCDM modelleriyle uyumlu olduğunu söylerken, bir kısım araştırmacı bu

anomalilerin istatistiksel rastlantıyla açıklanabilecek bir özellikte olmadığını ve bu

anomalilerin standart enflasyon+ΛCDM modellerinin, hatta genel göreliliğin,

gözden geçirilmesi gerektiğine işaret ettiğini söylemektedir. Bu tartışma bugün

devam etmekle birlikte, anomalilerin istatistiksel bir rastlantı olmadığı olasılığı

üzerinde duranlar, evrenin uzaysal geometrisinin Bianchi tipi bir geometriye sahip

olması durumunda WMAP verilerinin daha yüksek başarıyla açıklanabileceği

seçeneği üzerinde durmaktadırlar.

Büyük Patlama modelinin sorunlarına oldukça başarılı bir biçimde çözüm

getiren enflasyon paradigmasının terk edilmesi olanaklı gözükmemektedir.

Öyleyse, günümüz evrenin enflasyon modellerinden beklenene göre daha büyük

bir anizotropiye sahip olması nasıl açıklanacaktır? Bunu için başlıca iki yöntem

düşünülebilir. Birincisi, geleneksel enflasyon modelleri enflasyon sonunda belli

ölçüde anizotropik bir evren oluşturacak biçimde yenilenebilir. Ya da, ikincisi,

geleneksel enflasyon modellerine dokunulmadan evrenin enflasyon sonunda

oluşmuş izotropisi enflasyon sonrası bir süreçte bozulabilir. Her iki yöntem için

de, izotroplaşmayı tedirgin edebilecek bilinen bazı anizotropik enerji kaynakları

dikkate alınabileceği gibi doğrudan enflasyona neden olan inflaton alanının ya da

evrenin bugünkü hızlanmasına neden olan karanlık enerjinin anizotropik özellikte

olabilecekleri düşünülebilir. Karanlık enerjinin ve inflaton alanının izotropik bir

yapıya sahip oldukları üstü örtük bir varsayımdır ve bunların izotropik özellikte

olmaları için a priori ya da ampirik bir gerekçe bulunmaktadır. Kozmolojik model

kurgularında genelde anizotropik enerji kaynakları ihmal edilmiştir. Bunun başlıca

iki nedeni olduğu söylenebilir. Birincisi, uzaysal simetri özelliklerinden dolayı

anizotropik enerji-momentum kaynaklarının incelenmesine izin vermeyen RW

4

metriğinin büyük ölçeklerde evreni başarıyla betimlediği düşüncesidir. Güncel

kozmolojik gözlemler bu düşüncenin sorgulanmasına neden olarak anizotropik

enerji kaynaklarına ilgiyi arttırmaktadır. İkincisi ise, anizotropik enerji

kaynaklarının anizotropik genişleme doğurarak evrenin gözlemlere aykırı olarak

anizotropik bir geometriye evrimleşmesine neden olacakları düşüncesidir. Oysa

ki, bu tezde gösterileceği gibi anizotropik enerji kaynaklarının evreni anizotropik

bir genişlemeye zorlayacağı her zaman doğru değildir. Buna göre, ileride RW

metriğinin evreni betimlemekte yeterli olduğu ortaya çıksa bile, bu anizotropik

enerji kaynaklarının var olma olasılığını dışlamayacaktır.

Yukarıdaki gelişmeler ışığında oluşturulan bu tez üç ana kısımdan

oluşmaktadır: Bunlar; standart ΛCDM modeli ve enflasyon senaryosunun

verildiği Bölüm 2, standart ΛCDM modelinin sorunlarının ve Bianchi uzay-

zamanlarının tartışıldığı Bölüm 3 ve belli varsayımlar altında tanımlanmış bazı

anizotropik enerji kaynaklarının varlığında kurulmuş olan Bianchi tipi evren

modellerinin verildiği Bölüm 4’tür.

Bölüm 2’de öncelikle RW metriği üzerine kurulu olan SBP modeli ve bu

modelin temel sorunları, daha sonra Λ ya da geleneksel vakum enerjisinin

doğurduğu de Sitter genişlemesinin bu sorunları nasıl çözebildiği ve enflasyon

senaryosu, evrenin bugünkü hızlanmasından sorumlu tutulan karanlık enerji

kavramı üzerinde durulmuştur. Böylece geleneksel vakum enerjisi ya da benzeri

enerji kaynaklarının kozmolojideki yeri ve önemi vurgulanmış ve standart

enflasyon+ΛCDM kozmolojik modelinin ana hatları verilmiştir. Bu bölümde son

olarak standart ΛCDM modeli çerçevesinde kozmolojik parametrelerin değerleri

en güncel kozmolojik veriler dikkate alınarak verilmiştir. RW metriğinin simetri

özelliklerinin enerji-momentum tensörü üzerine getirdiği kısıtlamalara yine bu

bölümde değinilmiştir.

Bölüm 3’te, ilk olarak standart enflasyon+ΛCDM kozmolojik modeli

çerçevesinde kalındığında WMAP verilerinden elde edilen CMB ışınım

haritalarında saptanan olası anomaliler listelenmiş ve bazı araştırmacıların bu

5

anomalilerin evreni betimlemek için Bianchi uzay-zamanlarının kullanılmasıyla

çözülebileceğini belirtiğine değinilmiştir. Daha sonra Bianchi uzay-zamanlarının

sınıflaması verilip, bu uzay-zamanlar çerçevesinde bazı kozmolojik parametreler

tanımlanmış ve genelleştirilmiş Friedmann denklemleri verilmiştir.

Bölüm 4’te ilk olarak Bianchi uzay-zamanlarının enerji-momentum

tensörünün seçiminde anizotropiye izin verdiği gösterilmiş ve bu uzay-zamanların

izotroplaşma özellikleri kısaca tartışılmıştır. Daha sonra anizotropik akışkanın

varlığında üç ayrı Bianchi tipi kozmolojik model kurulmuştur. İlk modelde,

Bianchi I uzay-zamanının de Sitter genişlemesi sergilemesinin koşulları verilmiş

ve vakum enerjisi kavramı genelleştirilerek de Sitter genişlemesi sergileyen iki

ayrı LRS (locally rotationally symmetric) Bianchi I modeli verilmiştir. İkinci

modelde, anizotropik ve dinamik bir durum denklemi parametresine sahip bir

hipotetik karanlık enerji ve sıradan maddeden oluşan iki akışkanın varlığında sabit

ivmelenme parametresine sahip bir LRS Bianchi I kozmolojik modeli

kurulmuştur. Bu modelin günümüz evreni yöresindeki davranışı üzerinde de

ayrıca durulmuştur. Üçüncü, model ise anizotropik uzaysal eğriliğe sahip Bianchi

III uzay-zamanı çerçevesindedir. Bu modelde, Bianchi III uzay-zamanının özel bir

anizotropik akışkanın varlığında, izotropik akışkanın varlığındaki Bianchi I ve V

uzay-zamanları gibi izotroplaşabileceği gösterilmiştir.

Bu tezde metrik için (+,−,−,−) işaret ve doğal birimler (ışık hızı c = 1, G

Newton sabiti olmak üzere 8πG = 1 ) uzlaşısı kullanılmıştır. Başka bir anlamda

kullanıldığı belirtilmediği sürece Yunan harfleriyle (µ, ν, ...) gösterilen indisler

0’dan 3’e, Latin harfleriyle (i, j, ...) gösterilen indisler 1’den 3’e kadar değer alır

ve (x0, x1, x2, x3) = (t, x, y, z)’dir.

6

2. STANDART ΛCDM KOZMOLOJİK MODELİ VE ENFLASYON

2.1 Robertson-Walker Metriği ve Friedmann Modelleri

SBP kozmolojik modeli; fizik yasalarının evrenselliği (Kopernik ilkesi),

evrenin büyük ölçekli yapısının Einstein görelilik kuramına uygun olarak

evrimleştiği ve kozmolojik ilke üzerine kurulmuştur (Carroll, 1997; Wald, 1984,

Peiris, 2008).

Kozmolojik ilke, yeterince büyük ölçeklerde ele alındığında evrenin uzaysal

olarak homojen ve izotrop olduğunu söyler. İzotropluk, uzayın belli bir

noktasındaki gözlemcinin hangi yöne bakarsa baksın uzayın özelliklerinin

değişmediğini görmesi, homojenlik ise uzayın özelliklerinin bakış doğrultusu

boyunca değişmemesi demektir. Diğer yandan, kozmolojik ilke durağan olmayan

bir evrene izin vermektedir. Buna göre, Einstein’ın genel görelilik kuramı

çerçevesinde, uzaysal olarak homojen ve izotrop ancak büyüklüğü zamanla

değişen bir evren her biri homojen ve izotrop olan uzaysal kesitlerin zamansal

olarak arda arda gelmesi olarak ele alınabilir. Evreni temsil etmek için (R zaman

yönünü ve Σ üç boyutlu homojen ve izotropik uzayı temsil etmek üzere) R×Σ olan

bir uzay-zaman dikkate alınabilir ve evren

ds2 = gµνdxµdxν = dt2 − a2(t)γij(x)dx

idxj , ui = δi0, (1)

biçimindeki dört boyutlu komoving metrik ile betimlenebilir (Carroll, 1997).

Burada, t zaman koordinatı, (x1, x2, x3) Σ üzerinde bulunan uzaysal koordinatlar

ve γij Σ üzerindeki maksimum simetriye sahip uzaysal metrik tensördür. a(t) ise

ölçek çarpanıdır ve (1) denkleminde verilen metriğin belli bir t anındaki uzaysal

kesitinin (Σ) büyüklüğünü verir. ui ≡ dxi/ds dörtlü-hız vektörüdür ve bu tez

kapsamında yalnızca komoving (ui = δi0 ) koordinatlarda çalışılacaktır. γij ’nin

maksimum simetriye sahip olması metrikte dtdxi çapraz terimlerinin bulunmasına

izin vermez ve metriğin uzaysal bileşenleri yalnızca kozmik zaman t’nin

fonksiyonu olur. Bu durumda (1) denkleminde verilen metrik Robertson-Walker

7

metriği olarak bilinen biçimde aşağıdaki gibi yazılabilir (Carroll, 1997; Peiris,

2008; Peacock, 2002):

ds2 = dt2 − a2(t)

dr2

1− kr2+ r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

, (2)

burada k uzaysal eğriliği anlatır ve yalnızca üç değer alabilir; k = −1, 0, 1 ve

bunlar sırasıyla uzaysal olarak açık (sonsuz, hiperbolik uzay), düz (sonsuz, düz

uzay) ve kapalı (sonlu, küresel uzay) evrene karşılık gelir.

Uzay-zamanın her türlü eğrilik özelliğini içeren Riemann eğrilik tensörü

aşağıdaki gibi verilebilir:

Rµαβγ =

∂Γµαγ

∂xβ−

∂Γµαβ

∂xγ+ Γµ

σβΓσγα + Γµ

σγΓσβα. (3)

Bir Riemann metriği tarafından belirlenen bir geometrinin N-boyutlu Öklit

uzayından sapmasının ölçüsünü veren Ricci eğrilik tensörü, Riemann tensörünün

büzülmesiyle elde edilebilir:

Rαβ = Rµαβµ. (4)

Ricci eğrilik skaleri ise Ricci eğrilik tensörünün izi olarak tanımlanır:

R = Rµµ = gµνRµν . (5)

Einstein’ın ortaya koyduğu genel görelilik kuramı Riemann geometrisiyle

betimlenen uzay-zamanın geometrisi ile enerji yoğunluğu ve akısı ve

momentumun etkileşimini belirler. Bu kuramda uzay-zamanın eğriliğini ve

evrimini Einstein alan denklemleri verir (Wald, 1984; Peacock, 2002):

Gµν ≡ Rµν − 1

2Rgµν = −Tµν , (6)

burada Gµν Einstein tensörü, Tµν enerji-momentum tensörüdür. Einstein alan

denklemlerinin sol tarafı (Gµν ) uzay-zamanın geometrik özelliklerini sağ tarafı

(Tµν ) ise ele alınan uzay-zamanın fiziksel içeriğini anlatır.

Einstein alan denklemlerinin önemli bir özelliği Bianchi özdeşliğinden

gelmektedir ve aşağıdaki gibi verilir (Ellis, 2002):

8

Gµν;ν = 0 = Tµν

;ν . (7)

Bu özdeşlik Einstein alan denklemlerinin enerji-mometum tensörünün

korunumunu garantilediğini söyler.

Einstein alan denklemleri genelde oldukça karmaşık ve doğrusal olmayan

denklemler sistemidir ve genel çözümlerini elde etmek çok zordur; çoğu zaman

basitleştirici bazı varsayımlar yapmak gerekmektedir. Diğer yandan, uzay-zamanı

betimleyen metrik, kendisinin basitleştirilmesini sağlayan birçok simetri

serbestliğine sahiptir. Dolayısıyla, bazı simetri özelliklerinden yararlanılarak

metriklerin basitleştirilmesi Einstein alan denklemlerinin çözümünde en sık

başvurulan yöntemlerden biridir. Carroll’ın (1997) belirttiği gibi, Einstein alan

denklemleri, herhangi bir enerji-momentum tensörünün yapısını belirleyen

herhangi bir kuram belirlemeden de çözülebilir. Tµν üzerinde herhangi bir

sınırlama olmaması durumunda herhangi gibi bir metrik için Einstein tensörü

hesaplanabilir ve daha sonra −Tµν Einstein tensörüne eşitlenerek buna karşılık

gelen enerji-momentum tensörü elde edilebilir. Bu yöntem sayesinde, kuramsal

evren modellerinde evrenin gözlemlenen kinematiklerine uygun varsayımlar

yapılarak varlığını yalnızca kozmolojik evrimde gösteren karanlık enerji gibi

enerji kaynaklarının doğası hakkındaki bilgimizi arttırabiliriz.

Kozmolojik ilke evrenin maksimum uzaysal simetriye sahip RW metriğiyle

betimlenebileceğini söylediğinden Einstein alan denklemleri kozmolojik

bağlamda kolayca çözülebilmiştir. Einstein alan denkleminin kozmolojik

bağlamdaki ilk çözümleri bilinen enerji ve momentum kaynakları (ışınım, toz

parçacık vb.) için elde edilmiştir (Friedmann, 1922, 1924). Bu çözümler bugün

Friedmann-Robertson-Walker (FRW) modelleri olarak bilinmektedir.

RW metriği için Einstein alan denklemlerinin sıfırdan farklı bileşenleri

aşağıdaki gibidir:

G00 = −3

a2

a2+

k

a2

= −T 0

0 , (8)

9

Gji =

−2

a2

a2− a2

a2− k

a2

δji = −T j

i , (9)

burada her bir nokta kozmik zaman t’ye göre türeve (d/dt) karşılık gelmektedir.

RW metriğinin maksimum uzaysal simetrik yapısı, diyagonal olmayan (µ = ν )

bütün bileşenlerin sıfır olmasını sağlar. İzotropluk, ayrıca, diyagonal uzaysal

bileşenlerin (i = j ) de özdeş olmasını sağlamıştır. Sonuç olarak elde edilen

denklem sistemi üç bilinmeyen ( a, T 00 , T 1

1 = T 22 = T 3

3 ) ve lineer bağımsız iki

denklem içermektedir. Dolayısıyla, bu sistemin tam olarak belirlenebilmesi için ek

bir sınırlamaya gerek vardır. Görülebileceği gibi, RW metriğinin simetri

özellikleri, enerji-momentum tensörünün en fazla iki serbestlik derecesine sahip

olmasına izin verir. Bunlar T 00 ve T 1

1 = T 22 = T 3

3 ’dir. Böylesi bir akışkan, enerji-

momentum tensörü yalnızca diyagonal bileşenlere sahip olan ideal akışkanlar

kapsamında ele alınabilir ve matematiksel olarak, tensörel gösterimiyle

Tµν = (ρ+ p)uµuν − pδµν , (10)

biçiminde, ya da matris gösterimiyle

Tµν = diag[ρ,−p,−p,−p] (11)

biçiminde ifade edilebilir. Buna göre, sistemi tam olarak belirlemek için akışkanın

enerji yoğunlu ile basıncı arasında bir ilişki kurmak yeterlidir. Bilinen bütün ideal

akışkanlar

p = wρ (12)

gibi basit bir biçimdeki durum denklemine uyarlar (Carroll, 1997). Burada w

akışkanın basıncı ile enerji yoğunluğu arasındaki oranı belirleyen bir katsayıdır ve

durum denklemi parametresi olarak bilinir. Dikkat edilirse, RW metriği w ’nun

zamanın fonksiyonu olmasına izin verir. Ancak, sıradan enerji kaynakları için bu

katsayı genelde bir sabittir; örneğin, relativistik olmayan madde (toz, vb.) için

w = 0 , relativistik madde ve ışınım için w = 1/3 alınabilir (Peiris, 2008).

Dolayısıyla, bu katsayının sabit olduğu varsayılarak fiziksel olarak anlamlı ve tam

olarak belirlenmiş bir denklem sistemi elde edilir.

10

Denklem (8), (9) ve (12) ele alınır ve yeniden düzenlenirse aşağıda verilen

Friedmann denklemleri elde edilir:

H

2 ≡ a2

a2=

ρ

3− k

a2, (13)

a

a= −1

6ρ(1 + 3w), (14)

burada H ≡ a/a Hubble parametresidir ve günümüzdeki değeri H0 ile gösterilir.

Literatürde (13) ve (14) denklemleri çoğu zaman sırasıyla birinci ve ikinci

Friedmann denklemleri olarak anılmaktadır.

Süreklilik denklemi, (7) denkleminde verilen Bianchi özdeşliğinden (ya da

enerji-momentum tensörünün korunumundan, Bkz. (7) denkleminin sağ tarafı),

elde edilebilir:

ρ+ 3(1 + w)ρa

a= 0 . (15)

Sıradan madde formlarına uygun olarak akışkanın durum denklemi parametresi

w ’nın sabit olduğu varsayımı altında, bu denklemin integre edilmesinden

akışkanın cinsine (w ) bağlı olarak enerji yoğunluğu ile ölçek çarpanı arasındaki

ilişki bulunur:

ρ ∝ a−3(1+w) . (16)

Çoğu zaman, evrenin fiziksel içeriğinin aşağıdaki gibi tanımlanan bir

yoğunluk parametresi ile ifade edilmesi kolaylık sağlamaktadır:

Ωi =ρiρkrt

, (17)

burada i alt indisi evrenin herhangi bir fiziksel bileşenini işaret etmektedir ve

ρ(krt) kritik enerji yoğunluğudur. Kritik enerji yoğunluğu, evrenin uzaysal olarak

düz (k = 0) olması durumundaki toplam enerji yoğunluğuna karşılık gelir ve (13)

denkleminden yararlanılarak aşağıdaki gibi verilebilir:

ρkrt = 3H2 . (18)

11

Evrenin toplam enerji yoğunluğu parametresi

i Ωi = Ωtop (13), (17) ve (18)

denklemlerinin kullanılmasıyla

Ωtop = 1 +k

a2H2 (19)

biçiminde ifade edilebilir. Buna göre; uzaysal olarak düz evren (k = 0) için

Ωtop = 1 olur. Buradan, sırasıyla, uzaysal olarak kapalı, düz ve açık evren için

Ωtop > 1 ya da ρtop > ρkrt → k = 1, (20)

Ωtop = 1 ya da ρtop = ρkrt → k = 0, (21)

Ωtop < 1 ya da ρtop < ρkrt → k = −1 (22)

yazılabilir.

Uzaysal olarak düz olan model için Hubble parametresinin, ölçek çarpanının

ve akışkanın enerji yoğunluğunun evrimi aşağıdaki gibidir (Copeland et al.,

2006):

H =2

3(1 + w)(t− t0), (23)

a = (t− t0)2

3(1+w) , (24)

ρ ∝ a−3(1+w) . (25)

Evrenin ivmelenmesini gösteren ivmelenme parametresi aşağıdaki gibi tanımlanır

(Carroll, 1997):

q ≡ − aa

a2. (25)

Bu tanıma göre; −1 < q < 0 ise evren hızlanarak, q = 0 sabit hızla ve q > 0 ise

yavaşlayarak genişler. Düz uzay için ivmelenme parametresi ile evrenin fiziksel

içeriği arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

q =1

2Ωkrt(1 + 3w). (26)

Kozmolojik olarak önemi olan iki tür akışkan, sırasıyla ışınım ve basınçsız toz,

için evrenin evrimi aşağıdaki gibi bulunur (Copeland et al., 2006):

a ∝ (t− t0)1/2, ρ ∝ a−4 ve q = 1 , (27)

12

a ∝ (t− t0)2/3, ρ ∝ a−3 ve q = 1/2. (28)

Buradan hemen görülebileceği üzere, ışınımın enerji yoğunluğunun ölçek

çarpanına bağlı değişimi toz parçacıklarınkine göre daha hızlıdır. Dolayısıyla;

erken evrende ışınım baskın olur ve erken evren (27)’de verilen denklemlere

uygun olarak, geç evrende toz baskın olur ve evren (28)’de verilen denklemlere

uygun olarak evrimleşir.

2.2 Standart Büyük Patlama Modelinin Temel Sorunları

FRW modelleri günümüz evrenini başarıyla betimlemesine karşın, bu

modellerin erken evrenden günümüze evrimleşmesinde bazı önemli sorunlar

içerdiği bilinmektedir. Bu sorunlar literatürde SBP’nin temel sorunları olarak

bilinmektedir ve başlıcaları düzlük sorunu, ufuk sorunu (izotropi sorunu),

yapıların oluşumu sorunu, manyetik tek-kutuplu sorunudur. Bunlardan ilk ikisi

SBP modeli ilk ortaya atıldığında fark edilmiş diğer iki sorun ise daha sonradan

SBP modelinin geliştirilmesinde açıklanması gereken iki önemli sorun olarak

ortaya çıkmıştır.

Düzlük sorunu:

Denklemi (19), Hubble parametresinin tanımından yararlanılarak aşağıdaki

gibi yazılabilir:

Ωtop = 1 +k

a2. (29)

Burada Ωtop = 1 noktası kararlı bir nokta değilidir. a < 0 ise, yani evren

yavaşlayarak genişliyorsa, denklemde eğrilikten gelen terim sürekli olarak

büyüyecek yani Ωtopbir değerinden sürekli olarak uzaklaşacaktır. a > 0 ise, yani

evren hızlanarak genişliyor ise, eğrilikten gelen terim sürekli olarak küçülecek

yani Ωtop bire yaklaşacaktır. Buna göre, Ωtop = 1 ancak hızlanarak genişleyen bir

evrende kararlı bir noktadır. (29) denklemi (13) ve (16) denklemleri kullanılarak

aşağıdaki gibi de yazılabilir:

13

Ωtop = 1 +k

13ρ0a

−1−3w − k. (30)

Buna göre; k ne olursa olsun w > −1/3 olduğu sürece a → 0 iken Ω → 1

olacaktır. Ancak, k = −1 için a → ∞ iken Ω(top) → 0 ve k = 1 için

a → amak = (ρ0/3)1/(1+3w) iken Ω(top) → ∞ olacaktır. Buna göre SBP

modelinde kullanılan başlıca fiziksel bileşenler ışınım ve toz olduğundan bu

modellerde Ωtop = 1 kararlı bir durum değildir. Diğer yandan, kozmolojik

gözlemler Ωtop∼= 1 olduğunu göstermektedir (Jarosik et al., 2010), dolayısıyla

erken evrende Ωtop doğal denilemeyecek kadar yüksek bir yaklaşıklıkla bir

değerine sahip olmalıdır. Örneğin; ilkel çekirdek sentezlenmesi döneminde

|Ωtop − 1| < O(10−16) (Liddle, 1997), Planck zamanında |Ωtop − 1| < O(10−64)

(Riotto, 2002) ve büyük birleşik kuram (GUT) enerji düzeylerinde

|Ωtop − 1| < O(10−52) (Guth, 1981) olmalıdır.

Diğer yandan, (30) denkleminden görülebileceği gibi, w < −1/3 olan bir

akışkanın varlığında genişleyen bir evrende k ne olursa olsun, Ωtop = 1 kararlı bir

noktadır. Buna göre, eğer genişleyen bir evren böylesi bir bileşene sahip ise

düzlük sorunu doğal bir yolla çözülebilir.

Ufuk sorunu (İzotropi sorunu):

SBP modeli çerçevesinde uzay homojen ve izotropik kabul edilmiş olsa da,

bugünkü gökyüzü geçmişte birbiriyle nedensel ilişkide bulunmamış olan birçok

bölgeden oluşmuş olmalıdır. FRW modellerinde ölçek çarpını a ∼ t2

3(1+w)

biçiminde büyümektedir (Olive, 1990). Diğer yandan ufuk mesafesi dH ∼ t

biçiminde büyür (Olive, 1990). Buna göre w > −1/3 olduğu sürece, ölçek

çarpanı ufuk mesafesine göre daha yavaş büyüyecek ve geçmişte ufuk mesafesi

içerisinde bulunmayan bölgeler zamanla gözlemlenen evrenin parçası olacaktır.

14

Basit bir hesapla, son saçılma döneminde yolculuğa çıkan fotonlardan

oluşan CMB’nin nedensel ilişki içerisinde olmayan yaklaşık 104 bölgeden oluş

olması gerektiği görülebilir (Olive, 1990). Oysaki, CMB neredeyse izotropik bir

ışınım sıcaklığına sahiptir; ∆T/T ≤ O(10−5) . SBP modeli çerçevesinde, bu

durum nedensellik ilkesi ihlal edilmeden açıklanamaz. Nedensellik ihlal edilemez

ise, nasıl oluyor da son saçılma döneminde ilişki içerisinde olmayan bölgeler

ısısal dengeye gelebiliyor ve dolayısıyla ortak genişleme hızına sahip olabiliyor?

Yapıların oluşumu sorunu:

Bu problem ufuk sorunuyla yakından ilişkilidir. RW metriği en büyük

ölçeklerde iyi bir yaklaşım olsa da, evrende bugün gözlemlenen küçük ölçekli

inhomojenliklerin ve anizotropilerin açıklanması gerekir.

Evrenin fiziksel içeriğindeki yerel yoğunluk dalgalanmaları metrikte de

yerel dalgalanmalar yani yerel gravitasyon alanları oluşturabilir. Daha sonra bu

dalgalanmalar gravitasyonun etkisiyle büyüyerek evrendeki yapıları oluşturabilir.

Ne var ki, gök ada oluşturabilecek büyüklükteki bir dalganın son saçılma

dönemindeki boyu o dönemdeki ufuk mesafesinden çok daha büyük olmalıdır.

Dolayısıyla, bugünkü yapıların kaynağı olan dalgalanmaların nedensel ilişki

içerisinde olmayan parçalardan oluşmuş olması gerekirdi. Diğer bir deyişle, SBP

modelinde evren, gök adaları oluşturacak dalgalanmaları üretecek zamana sahip

olmamış olmalıdır (Olive, 1990; Brandenberger, 2010).

Manyetik tek-kutuplu sorunu:

Evrendeki parçacık karşı-parçacık asimetrisini açıklayan GUT kuramından

kaynaklanan bir sorundur. GUT kuramları baryon asimetrisi sorununu (parçacık

anti-parçacık asimetrisini) çözmekle beraber simetri kırılması gerçekleşirken çok

büyük kütleye sahip ( ∼ 1016GeV ) manyetik tek-kutupluların üretilmiş olması

gerektiğini söyler (Olive, 1990). Kurama göre simetri kırılması sırasında oluşan

manyetik tek-kutuplu sayısı evrenin o dönemdeki ufuk hacmi başına yaklaşık bir

15

tane olmalıdır. Olive’in (1990) belirttiğine göre simetri kırılması döneminin

sonunda manyetik tek-kutuplu sayı yoğunluğunun foton sayı yoğunluğuna oranı

yaklaşık nmtk/nfoton ∼ 10−9 ’dur. Manyetik tek-kutupluların evrendeki ortalama

enerji yoğunlukları, toz parçacıklarda olduğu gibi, ∼ a−3 biçiminde değişir. Diğer

yandan fotonların ortalama enerji yoğunluğu ∼ a−4 biçiminde değişir. Öyleyse,

manyetik tek-kutupluların oluştuktan kısa bir süre sonra ışınıma baskın hale

gelmesi ve evrenin ortalama enerji yoğunluğunu hızla kritik yoğunluğun üzerine

çıkarması gerekirdi. Ayrıca, bugüne kadar tek bir manyetik tek-kutuplu bile

gözlemlenmiş değildir.

2.3 Enflasyon Modelleri

Başarılı bir evren modelinin SBP modelinin yukarıda değinilen temel

sorunlarını doğal bir fiziksel mekanizma ile çözmesi gerekir. Düzlük sorununun

evrenin hızlanarak genişlemesi durumunda ortadan kalktığı (29) denkleminden

hemen görülebilmektedir. Böylesi bir genişleme diğer bütün problemleri de

çözebilir.

Evrendeki bir gözlemcinin ufuk hacmi VH ∼ t3 biçiminde büyür. Bugün

ufuk hacmi ile evrenin hacminin eşit olduğu kabul edilirse, hızlanarak genişleyen

bir evren ( m > 1) için, geçmişte her zaman VH > V ∝ t3m olur. Buna göre

geçmişe doğru gidilirse ufuk hacmi evrenin hacminden her zaman daha büyük

olur. Diğer bir deyişle, evrenin hacmi ufuk hacmine göre daha hızlı

büyüdüğünden gözlemlenebilir evren, evrenin küçük bir bölgesi olur. Böylece

nedensel ilişki içerisinde olmayan bölgeler evren hızlanarak genişlediği sürece

gözlemlenebilir evrenin dışında kalacaktır. Hızlanarak genişleme, yeterince uzun

sürerse yapı oluşumu için gerekli büyüklükte dalgalanmaları da oluşturabilir. Çok

erken evrendeki kuantum dalgalanmaları hızlanarak genişleme sırasında

kozmolojik ölçeklere genişletilebilir hatta ufuk hacminin dışına çıkabilir. Daha

sonra bu genişleme bir şekilde yerini yavaşlamaya bırakırsa bu dalgalanmalar

yeniden ufuk hacmi içerisine girerek yapıların oluşumu için gerekli olan

büyüklükteki dalgalanmaları oluşturabilir. Hızlanarak genişleme manyetik tek-

16

kutuplu sorununu da çözebilir. Evren hızlanarak genişlediği sürece daha önceden

ufuk mesafesi içerisinde bulunan manyetik tek-kutuplular ufuk mesafesinin dışına

çıkacaktır, bu genişleme yeterince uzun sürerse de ufuk hacmi içerisindeki

manyetik tek-kutuplu sayısı sorun olmayacak kadar azaltılabilir. Ancak, evrendeki

manyetik tek-kutupluların ortalama enerji yoğunluğu, ışınımın ortalama enerji

yoğunluğuna göre daha yavaş azalacağından manyetik tek-kutuplulardan

kurtulmak evrenin de aşırı soğuması demektir Bu da başka bir sorun gibi

görülebilir. Ancak, evrenin hızlanmasına neden olan enerji kaynağı enerjisinin bir

kısmını evreni ısıtmaya harcarsa bu da sorun olmaktan çıkabilir.

Hızlanarak genişleme düşüncesi oldukça güçlüdür ve enflasyon

senaryolarının temelini oluşturur. Evren hızlanarak genişleyen bir evreye girebilir

ve daha sonra bu evreyi sonlandırarak SBP modeline uygun bir şekilde

genişlemeye devam edebilir. Bunun için evrenin yeterince uzun bir süre

hızlanarak genişlemesini sağlayacak, daha sonra bunun son bulmasına izin

verecek ve bu dönemin ardından SBP modelinin işlemesi için evreni yeniden

ısıtabilecek bir enerji kaynağı gerekir. Hızlanarak genişleyen ilk evren modelini

de Sitter (1917a; 1971b), Einstein’ın durağan bir evren modeli kurmak için alan

denklemlerine dahil ettiği Λ’yı kullanarak elde etmiştir ve bugün bu model de

Sitter evreni olarak bilinmektedir. Λ matematiksel olarak vakum enerjisine

eşdeğerdir. Λ sonsuz bir enerji kaynağı gibi davranarak evrenin hem genişlemesi

hem de yeniden ısıtılması için gerekli enerjiyi sağlayabilir.

2.3.1 Kozmolojik sabit (Λ), vakum enerjisi ve de Sitter genişlemesi

Einstein alan denklemleri Λ’nın varlığında, Einstein’ın yazdığı biçimiyle,

aşağıdaki gibidir (Wald, 1984; Peacock, 2002; Copeland et al., 2006):

Gµν + Λgµν = −Tµν . (31)

Λ alan denklemlerinin sağ tarafına da alınabilir,

Gµν = −Tµν − Λgµν . (32)

Bu durumda Λ aşağıdaki gibi bir enerji-momentum tensörüne karşılık gelir:

Tµν Λ = Λδµν . (33)

17

Matris gösterimiyle

Tµν Λ = [Λ,Λ,Λ,Λ] = [ρΛ, ρΛ, ρΛ, ρΛ], (34)

olur. Bu denklem, ideal akışkanı betimleyen (12) denklemiyle kıyaslanırsa, Λ’nın

durum denklemi parametresi

wΛ =pΛρΛ

= −1, (35)

olan ideal bir akışkana özdeş olduğu görülebilir.

Genel görelilik kuramında gravitasyon alanının kaynağı toplam enerji-

momentum tensörüdür. Yani, herhangi bir fiziksel büyüklük gravitasyon alanına

katkıda bulunur. Diğer yandan, genel görelilik dışındaki fizik kuramlarında

(örneğin kuantum kuramları), fiziksel olarak ölçülebilir olan büyüklük mutlak

enerji değil enerji farkıdır (ya da potansiyel farkı, ki bu sıfırdan farklı bir net

kuvvet doğurur). Dolayısıyla, bu kuramlarda enerji keyfi olarak normalize

edilebilir. Ancak genel görelilik kuramında enerji keyfi olarak normalize

edilemez; çünkü enerji yoğunluğunun mutlak değeri uzay-zamanın geometrisini

belirlemektedir (Peiris, 2008). Bu, boş uzayın enerjisinin sıfırdan farklı

olabileceğini söylemektir. Tüm uzaya eşit olarak dağılmış bir enerji gravistasyon

dışındaki fiziksel süreçlerde kendisini göstermeyecektir. Boş uzayın, yani

vakumun, sıfırdan farklı bir enerji büyüklüğü var ise, uzayda ayrıcalıklı bir yön

seçmemesi beklenir, yani vakumu betimleyen bir enerji-momentum tensörünün

yerel eylemsiz koordinatlarda Lorentz-invariant olması beklenir (Peiris, 2008).

Buna göre

Tµν(vak) = ρ(vak)η

µν , (36)

olmalıdır. Bu, her türlü koordinat sistemine genelleştirilirse

Tµν(vak) = ρ(vak)g

µν (37)

şeklinde yazılır. RW metriği çerçevesinde, bu enerji-momentum tensörü durum

denklemi parametresi

w(vak) =p(vak)ρ(vak)

= −1 (38)

18

olan bir ideal akışkana karşılık gelir. Vakum enerjisi için verilen (38) denklemiyle

Λ için verilen (35) denklemi karşılaştırılırsa, vakum enerjisinin RW metriği ile

betimlenen bir uzay-zamanda matematiksel olarak kozmolojik sabite eşdeğer

olduğu görülebilir. Bu nedenle geleneksel olarak kozmolojik sabit ve vakum

enerjisi aynı anlamda kullanılmıştır,

ρΛ = ρ(vak) = sbt. (39)

Geleneksel vakum enerjisinin enerji yoğunluğunun da sabit olduğu denklem

(15)’te w = −1 koyulmasıyla hemen görülebilir.

Böylesi bir enerji kaynağı SBP modelinin temel problemlerini çözmek için

gerekli olan hızlanarak genişlemeyi sağlayabilir. Bu, Friedmann denklemlerinin

vakum enerjisinin dahil edilerek yeniden yazılmış halinde görülebilir:

H2 ≡ a

2

a2=

ρ

3+

ρ(vak)3

− k

a2, (40)

a

a= −1

6ρ(1 + 3w) +

1

3ρ(vak). (41)

Vakum enerjisinin diğer fiziksel içeriklerden baskın olması durumunda bu

denklemlerin çözümünden sırasıyla uzaysal olarak açık, düz ve kapalı evren için

ölçek çarpanının evrimi aşağıdaki gibi bulunur (Peacock, 2002; Carroll, 1997):

k = −1 ise a ∝ sinhHt , (42)

k = 0 ise a ∝ eHt , (43)

k = 1 ise a ∝ coshHt , (44)

burada H(=ρ(vak)/3) sabittir; k = 1,−1 çözümleri üstel olarak de Sitter evreni

olarak bilinen k = 0 çözümüne evrimleşir. H, k = 0 çözümü dışında, Hubble

parametresine karşılık gelmemektedir, ancak hiperbolik trigonometrik

fonksiyonlar hızla üstel çözüme yaklaştığından k = 0 dışındaki çözümlerde de H

hızla Hubble parametresine yaklaşır.

Vakum enerjisinin varlığında genişleyen bir evrende vakum enerjisi önünde

sonunda evrenin diğer fiziksel içeriklerine göre baskın hale gelir, diğer hepsinin

ortalama enerji yoğunlukları sıfıra yaklaşır ve geriye yalnızca vakum enerjisinin

19

var olduğu boş bir evren kalır. Oysa, üstel genişlemenin SBP modelinin temel

sorunlarını çözecek kadar sürdükten sonra sonlanması ve evrenin evriminin SBP

modelinde olduğu gibi devam etmesi gerekir. Ayrıca, bu sonlanma öyle olmalı ki

üstel genişleme sırasında gerçekleşen soğuma telafi edilerek evrenin SBP

modelinin ilkel çekirdek sentezlemesi için gerekli sıcaklık koşulları yeniden

sağlansın ve geriye bugün gözlemlenen CMB ışınımı kalsın. Dolayısıyla,

hızlanma sürecinin başlamasına bir süre sonra da sonlanmasına neden olan bir

mekanizma gereklidir.

2.3.2 Temel enflasyon mekanizması

Enflasyon senaryosu erken evrenin de Sitter ya da benzeri bir genişleme

(Bkz. denklem 43) sergilediği bir dönemden geçtiği düşüncesi üzerine kuruludur.

Dolayısıyla, enflasyon senaryoları erken evrende bir dönem negatif basıncın

üretilebilmesine bağlıdır. Linde (1974) vakum enerjisinin gerçekten sabit olup

olmadığı sorusunu ortaya atmış ve kozmolojik evre geçişi sırasında değişebilen

skaler alanların (Kirzhnits, 1972; Kirzhnits and Linde, 1972) vakum enerjisi gibi

davranabileceğini öne sürmüştür. Bugün, enflasyona neden olabilen bu tür enerji

alanlarına inflaton alanları denmektedir ve geleneksel enflasyon modellerinde bu

alanlar skaler alanlarla temsil edilir.

Skaler alanlar için Lagrangian yoğunluğu (L)

L =1

2∂µφ∂

µφ− V (φ), (45)

şeklinde verilir (Peacock, 2002). Burada φ inflaton alanı ve V (φ) alanın

potansiyelidir.

Noether teoremi böylesi bir alan için enerji-momentum tensörünün

aşağıdaki gibi verilebileceğini söyler (Peacock, 2002):

Tµν = ∂µφ∂νφ− δµνL . (46)

Skaler alanın homojen olduğu varsayımıyla (45) ve (46) denklemlerinden, alanın

sırasıyla enerji yoğunluğu ve basıncı aşağıdaki gibi bulunur:

20

T 00 = ρ =

1

2φ2 + V (φ), (47)

T 11 = T 2

2 = T 33 = p =

1

2φ2 − V (φ). (48)

(47) ve (48) denklemlerinden böylesi bir alana karşılık gelen durum denklemi

parametresinin aşağıdaki gibi olduğu görülebilir:

w(φ) =p

ρ=

12 φ

2 − V (φ)12 φ

2 + V (φ). (49)

Dikkat edilirse, φ V (φ) ise w(φ) −1 olur ve skaler alan geleneksel vakum

enerjisi gibi davranır.

Bu skaler alan için süreklilik denklemi (Tµν;ν = 0) aşağıdaki gibi bulunur:

φ+ 3Hφ+dV (φ)

dφ= 0 . (50)

Denklem (47) ve (49), denklem (13) ve (14)’te kullanılırsa skaler alan için

Friedmann denklemleri aşağıdaki gibi olur:

H2 =

1

6φ2 +

1

3V (φ)− k

a2, (51)

a

a= −1

3

φ2 − V (φ)

. (52)

Denklem (52)’den görülebileceği gibi potansiyel terimi kinetik terime baskın

olduğunda (V (φ) > φ2 ) evren hızlanarak genişleyecektir.

Enflasyonun yeterince uzun sürmesi için inflaton alanının potansiyelinin

yavaşça değişmesi (yavaş-yuvarlanma) gerekir. Yavaş yuvarlanma koşulları şöyle

verilebilir: 12 φ

2 V (φ) , φ 3Hφ ve H2 ka2 . Bu koşulların sağlanması

durumunda (51) ve (52) denklemleri sırasıyla

H2 V (φ)

3, (53)

3Hφ −dV (φ)

dφ (54)

21

olur. Buna göre, yavaş-yuvarlanma koşulları sağlandığında H sbt olacak ve

evren de Sitter evrenine (a eHt) benzer bir genişleme sergileyecektir. Yavaş

yuvarlanma koşulları ortadan kalktığında da enflasyon sonlanacaktır.

Başarılı bir enflasyon modeli şu koşulları sağlanmalıdır: Enflasyonun

başlayabilmesi için enflasyon öncesinde uzayın yeterince büyük bir bölgesinde

( H−1) alanın potansiyelinin (V (φ)) kinetik terime (φ2) baskın olması gerekir.

Yavaş-yuvarlanma koşulları, ufuk sorununun çözülebilmesi için, evrenin en az

e60 kat genişlemesini sağlayacak kadar uzun süre korunmalıdır. Enflasyonun,

yeterince sürdükten sonra, sonlanması ve sonlanırken de hızlanarak genişlerken

soğumuş olan evrenin yeniden ısıtılması gerekir. Kuantum dalgalanmalarının

enflasyon döneminde yaklaşık 10−5(CMB gözlemlerine uygun olarak) düzeyinde

sıcaklık dalgalanmaları üretmesi gerekir.

İlk yarı-gerçekçi bir enflasyon modeli Starobinsky (1979, 1980) tarafından

ortaya koyulmuştur. Ancak, Starobinsky oldukça karmaşık olan bu modeli

homojenlik ve izotropi sorunlarını çözmek amacıyla değil erken evrenin üstel

olarak genişlemesiyle başlangıç tekilliğinden kurtulmak amacıyla kurmuştur.

Ancak, bu çalışmadan hareketle Mukhanov and Chibisov (1981) CMB

gözlemlerinde görülen ve evrendeki yapıların kökenini atan adyabatik

dalgalanmaların üretilebildiğini göstermiştir. SBP modelindeki nedensellik ve

eğrilik sorunlarını çözmek amacında olan ilk model 1981’de Guth tarafından

ortaya koyulmuştur. Guth’ın çalışmasının ardından Einhorn and Sato (1981)

benzer bir model önererek enflasyonun manyetik tek-kutuplu sorununu

çözebileceğini göstermiştir. Bu gelişmeler, enflasyon senaryosunun geliştirilmesi

yönündeki çabaların hızla artmasına neden olmuştur.

Guth tarafında ortaya koyulan modelde, V (φ)’nin şekli GUT modellerinden

esinlenerek belirlenmiştir ve bu model bugün “eski enflasyon” (old inflation)

olarak bilinmektedir. Bu modelde inflaton alanı kararlı olduğu bir potansiyel

duvarı içerisine tuzaklanmıştır (sahte-vakum durumu). Sahte-vakum

durumundayken Λ gibi davranan inflaton alanı uzayı üstel olarak genişletir ve

22

düzleştirir. İnflaton alanı sahte-vakum durumdayken kararlı olsa da potansiyel

duvarından kuantum mekaniksel tünelleme etkisiyle kurtulabilir ve potansiyel

minimumu V (φ) = 0 ’a (gerçek-vakum) doğru yuvarlanmaya başlayabilir. Bu

evrede inflaton alanı artık Λ gibi davranmaz ve minimuma vardığında da

enflasyon son bulmuş olur. Ancak bu senaryo Ω 0 olan evrenler ya da boş

olmayan ancak oldukça inhomojen ve anizotropik evrenler üretir (Linde, 2008).

Guth’un bu çalışması erken evrendeki bir enflasyon döneminin varlığıyla SBP

modelinin temel problemlerinin nasıl çözülebileceğine işaret eden ilk çalışma

olması bakımında oldukça önemlidir. Guth’un modelinin sorunları 1982’de Linde

tarafından ortaya koyulan ve bugün “yeni enflasyon” ya da “yavaş-yuvarlanma

enflasyonu” olarak bilinen modelle çözülür. Bu modelde eski enflasyondan farklı

olarak, potansiyel duvarı yoktur ve enflasyon potansiyel kararlı bir sahte-vakum

durumundayken başlamak zorunda değildir. Potansiyel oldukça yatay bir platoya

sahiptir, inflaton alanı potansiyel minimumuna doğru yavaşça yuvarlanır ve

enflasyon bu yavaş-yuvarlanma evresinde gerçekleşir. İnflaton alanı potansiyel

minimumuna vardıktan sonra bu minimumu etrafında salınım yapmaya başlar,

enflasyon son bulur ve bu süreçte evren yeniden ısıtılır.

Eski ve yeni enflasyon modelleri sahte-vakumdan gerçek-vakuma

(V (φ) = 0 ) olan bir evre geçişi fikri üzerine kuruludur. Ancak bu mekanizmanın

çalışması için evrenin ısısal dengede olması gerekir (Linde, 2008). Oysa,

enflasyon senaryosunun amaçlarından biri zaten ısısal dengeyi sağlamaktır.

Üstelik, enflasyonun yüksek kütleli istenmeyen parçacıklar oluşturmaması için de

inflaton alanının diğer alanlarla çok zayıfça bir etkileşiyor olması gerekir. Bu

nedenle, inflaton alanının çevresi ile ısısal dengeye gelmesi ve uzayın homojen

kalması daha da zordur.

Eski ve yeni enflasyon modellerinin sorunları yine Linde (1983) tarafından

geliştirilen kaotik enflasyon modeliyle çözülmüştür. Kaotik enflasyon modelinde

ısısal denge gerekli değildir, kaotik sözcüğü inflaton alanının başlangıç

koşullarının kaotik olarak dağıldığını anlatır. Bu modelde temel düşünce eski ve

yeni enflasyon modellerinden farklı bir felsefeye sahiptir ve evre geçişi gerekli

23

değildir. Bu modele göre, birbirinden farklı özelliklere sahip birçok bölgeden

oluşan kaotik bir ortamda bazı bölgeler enflasyon için gerekli koşulları sağlayıp

yeterli miktarda enflasyon döneminden geçerek bizim içerisinde yaşadığımıza

benzer evren bölgeleri oluşturabilir. Kaotik başlangıç koşullarının en doğal

koşullar olduğu açıktır; çünkü başlangıç koşulları için hiçbir sınırlama

getirilmemiştir.

Kaotik enflasyon modeli basit bir ikinci ya da dördüncü (ya da aynı anda

ikisinin de bulunduğu) dereceden inflaton potansiyeliyle elde edilebilmektedir:

V (φ) =1

2m2φ2 ya da V (φ) =

1

4λ2φ4, (55)

burada m ve λ sabittir. Yalnızca ikinci dereceden potansiyelin (Şekil 2.1)

incelenmesi, bu modelin temel özelliklerinin değerlendirilmesi için yeterlidir.

İnflaton alanı için ikinci dereceden potansiyel kullanıldığında (47), (48) ve (50)

denklemleri sırasıyla aşağıdaki gibi olur:

ρ =1

2φ2 +

1

2m2φ2, (56)

Figure 1: Motion of the scalar field in the theory with V (!) = m2

2 !2. Several di!erent regimesare possible, depending on the value of the field !. If the potential energy density of the field isgreater than the Planck density M4

p = 1, ! ! m!1, quantum fluctuations of space-time are sostrong that one cannot describe it in usual terms. Such a state is called space-time foam. At asomewhat smaller energy density (for m " V (!) " 1, m!1/2 " ! " m!1) quantum fluctuationsof space-time are small, but quantum fluctuations of the scalar field ! may be large. Jumpsof the scalar field due to quantum fluctuations lead to a process of eternal self-reproduction ofinflationary universe which we are going to discuss later. At even smaller values of V (!) (form2 " V (!) " m, 1 " ! " m!1/2) fluctuations of the field ! are small; it slowly moves downas a ball in a viscous liquid. Inflation occurs for 1 " ! " m!1. Finally, near the minimum ofV (!) (for ! " 1) the scalar field rapidly oscillates, creates pairs of elementary particles, andthe universe becomes hot.

6

Şekil 2.1Kaotik enflasyon modelinde ikinci dereceden inflaton potansiyeli. (Linde, 2008)

24

p =1

2φ2 − 1

2m2φ2 , (57)

φ+ 3Hφ = −m2φ . (58)

İnflaton potansiyeli φ = 0 ’da minimuma sahiptir V (0) = 0 . (58) denkleminden,

durağan bir evrende (H = 0) inflaton alanının minimum etrafında salınan basit

harmonik salınıcı (φ = −m2φ) gibi davranacağı görülebilir. Ancak genişleyen bir

evrende H > 0 olacağından direnç terimi 3Hφ > 0 olur ve inflaton alanı

sürtünme etkisi altındaki bir harmonik salınıcı gibi davranır.

Denklem (56) ve (57)’den elde edilebilen Friedmann denklemleri aşağıdaki

gibidir:

H2 =

1

6φ2 +

1

6m

2φ2 − k

a2, (59)

a

a= −1

3

φ2 − 1

2m2φ2

. (60)

Birinci Friedmann denklemi (59)’a göre, başlangıçta inflaton alanı φ çok büyükse

Hubble parametresi H de çok büyük olacaktır. Bu 3Hφ’ın da çok büyük olmasına

neden olur ve inflaton alanı çok yavaş değişir. Dolayısıyla bu dönemde inflaton

alanının enerji yoğunluğu hemen hemen sabit kalır ve evrenin genişlemesi

ışınımın ya da toz maddenin varlığındakine göre çok daha hızlı olur. Ölçek

çarpanının hızla büyümesi ve inflaton alanı φ ’nin yavaş değişiminden dolayı, bu

dönemin başlamasından hemen sonra φ 3Hφ , H2 ka2 ve φ2 m2φ2 olur

ve evren aşağıdaki denklemlere göre evrimleşir:

H mφ√6, a m

2φ2

6a ve φ −m

2

3. (61)

Denklem (61)’in ikinci denkleminden evrenin pozitif ivmeye sahip olduğu

görülebilir. İlk denklem ise φ ’nin yavaş değişmesi durumunda evrenin yaklaşık

olarak de Sitter evreni gibi genişleyeceğini söyler. Bu dönemde, (59)

denklemindeki uzaysal eğrilikten gelen terim üstel olarak sıfıra yaklaşır. Bu

25

denklemlerden yararlanıldığında, enflasyonun bu evresinde, inflaton alanının ve

ölçek çarpanın zamanla değişiminin aşağıdaki gibi olduğu bulunur:

φ φilk −m

2

3t , (62)

a ailkem√6

φilkt−m

√23 t

2

, (63)

burada φilk inflaton alanının, ailk ise ölçek çarpanının başlangıç değerleridir.

Buna göre inflaton alanı yavaş-genişleme koşulları sağlandıktan sonra,

başlangıçta de Sitter benzeri bir genişleme sergileyecek ancak (63) denklemindeki

t2’li terimden dolayı genişleme hızı zamanla yavaşlayacaktır. Bu denklemden

görüldüğü üzere de φ = mφ/√2 olduğunda hızlanarak genişleme son bulacaktır.

İnflaton alanı potansiyel minimumuna indikten sonra bu minimum etrafında

3Hφ terimi tarafından sönümlendirilen bir salınım yapmaya başlar. İnflaton

alanının madde alanı (foton ve diğer madde parçacıkları) ile etkileşmesine izin

verilirse, inflaton alanının (58) denkleminde verilen süreklilik denklemi aşağıdaki

gibi yazılabilir (Peacock, 2002):

φ+ 3Hφ+dV (φ)

dφ= −Γφ . (64)

Burada (58) denklemine ek olarak Γφ terimi bulunmaktadır. Bu terim inflaton

alanının parçacık oluşturma etkisini belirler. Böylece salınım sönümlenirken

inflaton alanın enerjisi evrenin genişlemesine değil temel parçacık çiftleri (ışınım

ya da baryon) oluşturulmasına da harcanabilir. Böylece, enflasyon döneminde

gerçekleşen hızlı soğuma (çünkü, ufuk hacmi içerisinde foton sayı yoğunluğu

azaldığı gibi fotonların dalga boyu üstel olarak uzamıştır) enflasyon çıkışında

inflaton alanının oluşturduğu yeni fotonlarla telafi edilebilecek ve evren yeniden

ısıtılabilecektir.

Enflasyon döneminde gerçekleşecek ∼ e70 katlık bir genişleme SBP

modelinin sorunlarının tümünü ortadan kaldırır. Evren uzaysal olarak düz RW

uzay-zamanına yaklaşır ve ısıtılır, sonrasında evren SBP modeline uygun olarak

genişlemeye devam ederek evrimleşir.

26

Enflasyon, günümüz evrenin hemen hemen uzaysal olarak düz bir

geometriye sahip olabilmesi için gerekli olan aşırı hassas başlangıç koşullarını

dinamik olarak oluşturur. Aslında uzayın eğriliği global olarak düzleşmez, ancak

bu evrende yaşayan bir gözlemci sınırlı bir ufuk mesafesine sahip olacağından

kendi yerel evreninin uzaysal eğriliğini fark edemeyecektir. Enflasyon, enflasyon

öncesinde de nedensel ilişki içerisinde olan bir bölgeyi hızlandırmış ve ışık

hızından daha büyük hızlarla genişletmiştir. Bugünkü ufuk hacmi, ∼ e70 kat

genişleyen bu bölgenin küçük bir parçasıdır. Diğer bir deyişle, enflasyon çağının

sonundaki bir gözlemcinin gözlemlenebilir evreninin her noktası birbiriyle daha

önceden de nedensel ilişki içerisinde bulunmuştur. Enflasyondan sonra ise evren

SBP modelinde olduğu gibi yavaşlayarak genişleyeceğinden, daha önceden

gözlemleyemediği bölgeler zamanla gözlemcinin ufuk hacmine girmeye başlar.

Ancak bu bir sorun oluşturmamaktadır, çünkü bu bölgeler de daha önceden

nedensel ilişki içerisinde bulunmuş ve ısısal dengeye ulaşabilmiş bölgelerdir.

Enflasyonun en başlarında nedensel ilişki içerisinde olan bölgelerdeki küçük

kuantum salınımları enerji yoğunluğunda (dolayısıyla metrikte) dalgalanmalar

üretilebilir. Bunlar daha sonra üstel genişlemeyle kozmolojik ölçeklere büyütülür

hatta ufuk hacmi dışına çıkabilirler. Enflasyon bitiminde ise yeninden ufuk hacmi

içerisine girerek kozmolojik yapıların oluşması için gerekli olan büyüklükteki

dalgalanmaları oluştururlar. Üstel genişleme sırasında, manyetik tek-kutuplular

ufuk hacmi dışına atılmıştır. Nedensel ilişki içerisinde bulunan bölge başına

yaklaşık bir manyetik tek-kutuplu üretildiği anımsanırsa gözlemlenebilir evren

içerisinde en fazla bir tane manyetik tek-kutuplu kalmış olmalıdır ve bu da

evrenin yaşı kadar bir zaman ölçeğinde bozunuma uğramış olmalıdır. Enflasyon

döneminin sonunda evren yeniden ısıtıldığından evrenin aşırı soğuması gibi bir

sorun da bulunmamaktadır.

Enflasyon çıkışındaki yeniden ısıtma sürecinde, bugün gözlemlenen hafif

element bollukları ve foton miktarını bozacak istenmeyen parçacıkların

üretilmemesi gerekir. Genelde yeniden ısınma sıcaklığı yeterince düşük tutulduğu

sürece istenmeyen parçacıkların oluşmasının önlenmesi mümkün olur (Tsujikawa,

27

2003). Böylece, enflasyonun ardından evren SBP modeli ilkel çekirdek

sentezlemesi başarıyla işleyebilir.

Enflasyon modelleri ayrıca kozmolojik gözlemlerle sınanabilecek birçok

öngörüde de bulunur. Bunların bazıları şöyledir (Linde, 2008): Birçok enflasyon

modeli bugün gözlemlenen evrenin uzaysal olarak hemen hemen düz

(Ωtop = 1± 10−4) olması gerektiğini öngörmektedir. Enflasyon döneminde

metrikte üretilen dalgalanmaların adyabatik olması ve gaussian bir dağılım

sergilemesi gerekir. Ancak, farklı enflasyon modelleri bu dalgalanmalarda

modellerin birbirleriyle kıyaslanmasına olanak veren küçük farklar da üretir.

Enflasyondan kaynaklanan bu dalgalanmalar CMB ışınımı tayfının biçimini

etkiler ve enflasyon modelleri CMB tayfında kozmolojik parametrelerin

ölçülmesini sağlayan özel tepeler üretir. Enflasyonun bu özelliği günümüz

kozmolojisinin, CMB ışınımının yüksek duyarlıklı ölçümleriyle kozmolojik

parametrelerin saptanmasına ve farklı kozmolojik modeller arasında kıyas

yapılmasına olanak sağlar. Örneğin WMAP ve Sloan Digital Sky Survey

gözlemlerinden günümüz evrenin uzaysal olarak hemen hemen düz olduğu

(Ωtop = 1.003± 0.01) bilinmektedir (Linde, 2008). CMB güç tayfında ilk

Doppler tepesinin (ya da ilk akustik tepesinin) konumunun Hubble parametresi ve

diğer kozmolojik parametrelerden çok evrenin ortalama yoğunluk parametresine

duyarlı olduğu kuramsal olarak bilinmektedir. CMB güç tayfında, son saçılma

dönemindeki açısal ufuk ölçeklerini veren ilk Doppler tepesinin konumuyla

evrenin toplam yoğunluk parametresi arasında l = 220× Ω−1/2top bağıntısı vardır

(Peacock, 2002). Buna göre; uzaysal olarak düz evren için l = 220 olması gerekir.

Gerçekten de, en son WMAP gözlemleri ilk Doppler tepesinin konumunun

l ≈ 220 (Şekil 2.2) ve buradan günümüz evrenin toplam yoğunluk parametresini

Ωtop = 1.080+0.093−0.071 olduğunu söylemektedir (Jarosik et al., 2010).

28

2.4 Karanlık Enerji

Günümüz kozmolojisinin bir diğer önemli bileşeni karanlık enerji

kavramıdır. 1998 yılında iki grup (Perlmutter et al., 1999; Riess et al., 1998)

tarafından, Süpernova Ia (SN Ia) gözlemlerinin günümüz evreninin hızlanarak

genişlediğine işaret ettiği bildirildi. Evrenin hızlanarak genişlediği ilk

duyurulduğundan bugüne kadar yapılmış birçok başka gözlemle de

desteklenmiştir. Bu, günümüz evreninde de kozmolojik sabit ya da benzeri bir

enerji kaynağının baskın olduğunu işaret etmektedir.

Evreni temsil eden metrik dinamik özelliktedir ve bir ışınım kaynağından

çıkan bir fotonun dalga boyu yolculuğu sırasında ölçek çarpanı ile doğru orantılı

olarak değişir. z kırmızıya kayma miktarı, λ0 ışığın gözlemci tarafından ölçülen

dalga boyu, a0 evrenin gözlemcinin gözlemi yaptığı andaki ölçek çarpanı olmak

üzere aşağıdaki ifade yazılabilir:

Şekil 2.2 WMAP5 verilerine göre CMB ışınımında açısal büyüklüğe göre sıcaklık değişimleri.

Kırmızı eğri uzaysal olarak düz ΛCDM modeline göre elde edilmiş ve gözlemsel veriyle en uyumlu kuramsal eğridir.(http://map.gsfc.nasa.gov/media/080999/

index.html)

29





1 + z =λ0

λ=

a0a

, (65)

Buna göre genişleyen bir evrende a zamanla büyüyen bir nicelik olduğundan ışık

kaynaktan çıktığı anda a < a0 olacaktır; dolayısıyla da λ < λ0 olur. Yani

genişleyen bir evrende ışığın yolculuğu sırasında dalga boyu uzar (kırmızıya

kayma). Dolayısıyla da kozmolojide evrenin farklı dönemlerini doğrudan

ölçülebilen z ile belirtmek mümkündür.

Genişleyen bir evrende uzaklık, uzay genişledikçe değişmeyen komoving

uzaklık (koordinat uzaklığı), ölçek çarpanı ile orantılı olan fiziksel uzaklık ve

ışınım kaynaklarının ışıtması üzerinden tanımlanan, ışıtma uzaklığı gibi çeşitli

şekillerde tanımlanabilir.

Işıtma uzaklığı dL , Ls kaynağın ışıtması ve F kaynağın kaynaktan dL

uzaklığındaki akısı olmak üzere

d2L ≡ Ls

4πF (66)

biçiminde tanımlanabilir. Denklem (2)’de verilen RW metriği aşağıdaki gibi de

yazılabilir:

ds2 = dt2 − a2(t)dχ2 + f2

k (χ)dθ2 + sin2 θdφ2

(67)

burada

k = 1 ise f1(χ) = sinχ , (68)

k = 0 ise f0(χ) = χ , (69)

k = −1 ise f−1(χ) = sinhχ (70)

dir. χ = 0 koordinat noktasında bulunan bir gözlemciye göre χs koordinat

uzaklığında bulunan ve ışıtması Ls olan bir ışınım kaynağının, ışıtma uzaklığı

metrik ve kırmızıya kayma cinsinden

dL = a0fk(χs)(1 + z) (71)

30

biçiminde yazılabilir. (68)-(71) denklemleri ve Friedmann denklemleri dikkate

alındığında, ışıtma uzaklıklarıyla evrenin fiziksel içerikleri arasındaki ilişki

sırasıyla uzaysal olarak kapalı (k = 1), düz (k = 0) ve açık (k = −1) evren için

dL = a0(1 + z) sin

1

a0H0

z

0

dz

i Ω

(0)i (1 + z)3(1+wi) − Ω(0)

k (1 + z)2

, (72)

dL =(1 + z)

H0

z

0

dz

i Ω

(0)i (1 + z)3(1+wi)

, (73)

dL = a0(1 + z) sinh

1

a0H0

z

0

dz

i Ω

(0)i (1 + z)3(1+wi) − Ω(0)

k (1 + z)2

(74)

olarak bulunur (Copeland et al., 2006). Burada a0 ölçek çarpanının günümüzdeki

büyüklüğü, wi her bir enerji bileşeninin durum denklemi parametresidir ve

Ωk = k/(a2H2) uzaysal eğriliğe karşılık gelen enerji yoğunluğunun kritik

yoğunluğa oranıdır. Bu denklemler sayesinde ışıtma uzaklıkları saptanarak

evrenin fiziksel içeriğinin yapısı hakkında bilgi edinmek mümkün olur.

Enflasyon modelleri evrenin ortalama yoğunluk parametresini bire

götürmekte ve son CMB gözlemleri de bunu desteklemektedir;

Ωtop = 1.080+0.093−0.071 (Jarosik et al., 2010). Ayrıca günümüz evreni ışınım ve

relativistik parçacıkların boşlanabileceği kadar soğuktur (∼ 2.7K ). Bu nedenle

günümüz evreninde toz maddenin ışınım ve relativistik maddeye baskın olduğu

düşünülerek yalnızca toz maddenin yoğunluk parametresini dikkate almak

oldukça iyi bir yaklaşımdır. Dolayısıyla bu denklemlerden düz evren için geçerli

olanını (73) ve fiziksel içerik olarak evrenin yalnızca geleneksel vakum enerjisi

(wΛ = −1) ve toz (wm = 0) bileşenlerinden oluştuğunu varsaymak uygun bir

yaklaşımdır. Copeland et al.’dan (2006) alınan Şekil 2.3’te düz evren (k = 0) için

Ω(0)m + Ω(0)

Λ = 1 varsayımıyla farklı Ω(0)Λ değerleri için kırmızıya kaymaya karşı

H0dL çizdirilmiştir.

31

Şekil 2.3’ten görülebileceği gibi kozmolojik sabitin daha büyük yoğunluk

parametreleri aynı kırmızıya kayma değerinde daha büyük ışıtma uzaklıkları

vermektedir. Kırmızıya kayma miktarı doğrudan gözlemlenebilir bir parametredir,

ışıtma uzaklıkları bir şekilde belirlenebilirse bu grafikte eğrilerin hangisinin

gözlemlenen evreni daha iyi betimlediğini bulmak olanaklı olur. Işıtma

uzaklıklarının belirlenmesi için özellikleri iyi bilinen bir standart ışınım kaynağı

gereklidir. Pogson denklemi yardımıyla,

m−M = 5 log10

dLMpc

, (75)

standart ışınım kaynaklarından yararlanmak olanaklı olur. Burada m kaynağın

görünür parlaklığı, M standart ışınım kaynağının mutlak parlaklığıdır. Bugün

mutlak ışıtması hakkında en güvenilir ve yüksek ışıtmaya sahip gök cisimleri tip

Ia süpernovalardır (SN Ia). SN Ia’ların oluşmasının temel mekanizması, bir beyaz

cücenin Chandrasekhar limitini aşarak patlamasıdır. Bu mekanizmanın evrenin

January 5, 2007 15:59 WSPC/142-IJMPD 00942

1766 E. J. Copeland, M. Sami and S. Tsujikawa

Then, from Eq. (9) the Hubble parameter takes the convenient form

H2 = H20

!

i

!(0)i (1 + z)3(1+wi) , (40)

where !(0)i ! 8!G"(0)

i /(3H20 ) = "(0)

i /"(0)c is the density parameter for an individual

component at the present epoch. Hence, the luminosity distance in a flat geometryis given by

dL =(1 + z)

H0

" z

0

dz!#$i !(0)

i (1 + z!)3(1+wi)

. (41)

In Fig. 1, we plot the luminosity distance (41) for a two-component flat universe(non-relativistic fluid with wm = 0 and cosmological constant with w! = "1)satisfying !(0)

m + !(0)! = 1. Notice that dL # z/H0 for small values of z. The

luminosity distance becomes larger when the cosmological constant is present.

3.2. Constraints from supernovae Ia

The direct evidence for the current acceleration of the universe is related to theobservation of luminosity distances of high redshift supernovae.1–3 The apparent

0 . 0

1 . 0

2 . 0

3 . 0

4 . 0

5 . 0

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

(a) !!!!""""((((0000))))= 0

(b) !!!!""""((((0000))))= 0.3

(c) !!!!""""((((0000))))= 0.7

(d) !!!!""""((((0000))))= 1

H0d L

z

(a)

(b)(c)

(d)

Fig. 1. Luminosity distance dL in the units of H!10 for a two-component flat universe with a

non-relativistic fluid (wm = 0) and a cosmological constant (w! = !1). We plot H0dL for various

values of !(0)! .

Şekil 2.3 Farklı Ω(0)Λ değerleri için kırmızıya kaymaya karşı H0dL ışıtma uzaklığı kuramsal olarak

çizdirilmiştir. Evrenin uzaysal olarak düz ve yalnızca toz parçacık ve geleneksel vakum enerjisi içerdiği varsayılmıştır. (Copeland et al., 2006)

32

her yerinde aynı işlediği düşünülürse SN Ia’ların mutlak parlaklıklarının da

kırmızıya kaymadan bağımsız olacağını söylemek mümkündür.

Şekil 2.3’e bakılırsa, ilkesel olarak tek bir gözlem Ω(0)Λ değerinin

belirlenmesi için yeterlidir. Ancak böyle bir çıkarım yeterince güvenilir olmaz.

Güvenilirliğin yüksek olması ve yanılgıların azaltılması için incelemeler

istatistiksel olarak yapılır (Copeland et al., 2006). Bunun için mümkün olduğunca

çok SN Ia gözlemi yapılmaya çalışılmaktadır. 1998 yılına kadar Perlmutter et al.

(1999) z = 0.18− 0.83 arasında bulunan 42 tane SN Ia gözlemlemiş; Riess et al.

(1998) ise z = 0.16− 0.62 arasında bulumuş olan 34 tane SN Ia’ya ek olarak 14

tane daha SN Ia gözlemlemiştir. Perlmutter et al. (1999) Ω(0)m + Ω(0)

Λ = 1 alarak

günümüz evrenindeki toz parçacık yoğunluk parametresini Ω(0)m = 0.28+009

−0.08

(tanımlanan sistematik hatalardan +0.05−0.04) olarak bulmuşlardır. Buna göre günümüz

evreninde enerji yoğunluğunun yaklaşık %70’i vakum enerjisi ya da benzeri bir

tür enerji biçiminde olmalıdır. Bugün, evrenin bu enerji bileşeni genel olarak

karanlık enerji olarak adlandırılmaktadır.

Perlmutter et al. (1999) çalışmalarının daha büyük z değerlerine taşınması

son yıllarda kozmolojinin önemli araştırma alanlarından biri olmuştur. 2004

yılında Riess et al. (2004) Hubble uzay teleskobunu kullanarak saptadıkları,

yüksek kırmızıya kayma gösteren (z > 1.25 ) 16 tane SN Ia gözlemlediklerini

duyurmuştur. Bu verileri daha önceden bilinen 170 tane SN Ia verisi ile birlikte

değerlendirerek %99 güvenle evrenin z ∼ 1 ’de hızlanmaya başladığını ve madde

yoğunluk parametresi için en iyi çakışmanın Ω(0)m = 0.29+0.05

−0.03 (hata barı 1σ )

olduğunu saptamışlardır.

Choudhury and Padmanabhan’ın (2005) çalışmasından alınmış Şekil 2.4’te

(73) denklemine göre çizdirilmiş kuramsal eğrilerle Tonry et al. (2003) ve Riess et

al. (2004) tarafından ayrı ayrı elde edilmiş gözlemsel verilerin bir derlemesi

verilmiştir. Bu grafikten salt gözle de görülebileceği gibi gözlemlere en uygun

33

kuramsal eğri Ω(0)m ∼ 0.30 olanıdır. Gerçekten de bu verilerin istatistiksel

çözümlemesinden Ω(0)m = 0.31+0.08

−0.08 değerini vermişlerdir.

Daha önce de belirtildiği gibi, evrenin hızlanması z ∼ 1 ’de başlayan bir

olgudur. Evrenin genişleme hızının değişimini belirten ivmelenme parametresi

kırmızıya kayma cinsinden

q(z) = −1

2

i

Ω(0)i (1 + 3wi)(1 + z)3(1+wi) (76)

4 Choudhury & Padmanabhan: Cosmological parameters from supernova observations

Fig. 1. Comparison between various flat models and the obser-vational data. The observational data points, shown with error-bars, are obtained from the ‘gold’ sample of Riess et al. (2004).The most recent points, obtained from HST, are shown in red.

considerable amount of analysis exist in the literature work-ing with these approximations, there are various systematicsbecause of which such approximations do not hold true. Forexample, the uncertainties in calibrating the data would surelyintroduce correlations in the errors (Kim et al. 2004). Similarly,uncertainties in the host galaxy extinction would introducenon-gaussian asymmetric errors. Neglecting such e!ects mightresult in lower errors on the estimated values of the cosmolog-ical parameters. Note that the main thrust of our analysis is tostudy some of the theoretical degeneracies inherent in any ge-ometrical observations, in particular the supernova data, whichare not adequately stressed elsewhere. Of course, this study canbe complemented by other analyses which actually deal withquality and reliability of data, validity of error estimates, hid-den correlations, nature of statistical analysis etc. All of theseare important, but in order to make some key points we have at-tempted to restrict the domain of our exploration. Keeping thisin mind, we believe that the simple (non-rigorous) !2 analysisshould be adequate.

Let us start our analysis with the flat models where "m +"# = 1, which are currently favoured strongly by CMBR data(for recent WMAP results, see Spergel et al. 2003). Our simpleanalysis for the most recent RIESS data set, with two free pa-rameters ("m,M2), gives a best-fit value of"m (after marginal-izing overM2) to be 0.31 ± 0.04 (all the errors quoted in thispaper are 1"). This matches with the value "m = 0.29+0.05

!0.03obtained by Riess et al. (2004). In comparison, the best-fit "mfor flat models was found to be 0.31 ± 0.08 in Paper I – thusthere is a clear improvement in the errors because of increase inthe number of data points although the best-fit value does notchange. The comparison between three flat models and the ob-

servational data from the RIESS data set is shown in in Figure1.

To see the accelerating phase of the universe more clearly,let us display the data as the phase portrait of the universe in thea ! a plane. Though the procedure for doing this is describedin Paper I (see also Daly & Djorgovski 2003), we would like todiscuss some aspects of the procedure in detail to emphasize adi!erent approach we have used here in estimating the errors.

Each of the three sets of observational data used in this pa-per can be fitted by the function of simple form

mfit(z) = a1 + 5 log10!

z(1 + a2z)1 + a3z

"

, (11)

with a1, a2, a3 being obtained by minimizing the !2. We canthen represent the luminosity distance obtained from the databy the function

Qfit(z) = 100.2[mfit(z)!M] (12)

Note that one needs to fix the value ofM to obtain the functionQfit(z). It is obvious, from the form of the fitting function (11)at low redshifts, that the parameter a1 actually measures thequantityM. It is then straightforward to obtain

Qfit(z) =z(1 + a2z)1 + a3z

(13)

For flat models, it the Hubble parameter is related to Q(z) bya simple relation – in this work we are interested in a relatedquantity

H!10 a(z) =!

(1 + z) ddz

#

Q(z)1 + z

$"!1

(14)

which will enable us to plot the data points in the a ! a plane.Using the form of the fitting function, we can obtain the “fitted”a as:

H!10 afit(z) =(1 + a3z)2 (1 + z)

1 + 2a2z + (a2 ! a3 + a2a3)z2(15)

To plot the individual supernova data points in the a ! aplane, we first write H!10 afit as a function of mfit [which is triv-ially done by eliminating z from equations (11) and (15)]. Wethen assume that the same relation can be applied to obtain thea corresponding to a particular measurement of m. Note thatthe relation between a and m will involve the fitting parametersa1, a2, a3, and hence is dependent on the fitting function.

The determination of the corresponding error-bars is a non-trivial exercise. In this paper, we obtain the error-bars using aMonte-Carlo realization technique, along the following lines:Given the observed values of m(z) and "m(z), we generate ran-dom realizations of the data set. Basically we randomly varythe magnitude of each supernova from a gaussian distributionwith dispersion "m – each such set corresponds to one real-ization of the data set. Next, we fit each of the realizationof the data sets with the fitting function (11), and obtain theset of three parameters a1, a2, a3. Given the set of parametersa1, a2, a3, we can obtain a for each a (or equivalently, z). Inthis way we end up with di!erent values of a for each super-nova, each corresponding to one realization. Finally, we plot

Şekil 2.4. Uzaysal olarak düz evren için kırmızıya kaymaya karşı H0dL ışıtma uzaklığı. Veriler

Gold ve HST SN Ia verilerinden derlenmiştir. Kuramsal değerler üç kuramsal eğriyle

gösterilmiştir. i) Ω(0)m = 0 , Ω

(0)Λ = 1 ii) Ω(0)

m = 0.31 , Ω(0)Λ = 0.69 , iii) Ω(0)

m = 1 ,

Ω(0)Λ = 0. (Choudhury and Padmanabhan, 2005)

34

şeklinde yazılabilir. Buna göre evrenin yalnızca toz madde ve vakum enerjisi ile

dolu olduğu düşünülürse hızlanmanın (q < 0) başlayacağı kırmızıya kayma değeri

zh değerleri aşağıdaki gibi olur:

z < zh ≡2Ω(0)

Λ

Ω(0)m

1/3

− 1. (77)

Buna göre Ω(0)m = 0.30 ve Ω(0)

Λ = 0.70 alınırsa hızlanarak genişlemenin başladığı

kırmızıya kayma değeri zh = 0.67 olarak bulunur.

2010 yılında yayımlanmış, 567 tane SN Ia içeren Union2 derlemesi

verilerine göre uzayın düz olduğu varsayımı altında karanlık enerjinin durum

denklemi parametresi w = −0.997+0.050−0.054 olarak, uzaysal eğrilik de dikkate

alındığında w = −1.035+0.055−0.059 olarak bulunmuştur (Amanullah et al., 2010). Bu

çalışmada w ’nun kırmızıya kaymaya bağlı olarak (yani evrenin yaşına göre)

önemli bir değişim gösterdiğinin saptanmadığı ancak w ’in dinamik bir özellikte

olması olasılığının da dışlanamadığı belirtilmektedir. Ayrıca verilerin z 1 için

karanlık enerjinin varlığı ve yapısını çok zayıfça sınırladığı belirtilmektedir.

İleride yapılacak gözlemler z 1 için w ’nın dinamik özellikte olup olmadığını

güvenilir bir şekilde gösterebilir.

Evrenin hızlanarak genişlemesini açıklayabilecek en basit aday geleneksel

vakum enerjisi ya da matematiksel olarak özdeşi olan kozmolojik sabittir. Ancak

gözlemler zamanla evrimleşen bir karanlık enerjiye de izin vermektedir. Sınırlara

dikkat edilirse durum denklemi parametresinin -1 değerinin altında ve üzerinde

olma olasılığı var.

Farklı enerji düzeylerinde olsa da karanlık enerji alanından inflaton alanına

benzer bir dinamik mekanizma sorumlu olabilir. Gözlemler, karanlık enerjinin

durum parametresinin w −1 olamayacağını fakat w −1 olabileceğini ve

sabit olmak zorunda olmadığını -1 yöresinde yavaşça değişebileceğini

35

söylemektedir. Dolayısıyla w < −1 ve w > −1 durumlarını da dikkate almak

gerekir. Bunlardan birincisi phantom karanlık enerjisi, ikincisi ise quintessence

karanlık enerji olarak bilinmektedir. Buna göre, karanlık enerji denildiğinde genel

olarak anlaşılan şeyin günümüz evreninin ortalama enerji yoğunluğunun yaklaşık

%70’ini oluşturan, enerji yoğunlu evrenin hacmi genişledikçe hiç değişmeyen

(geleneksel vakum enerjisi) ya da çok yavaşça değişen (phantom ve quintessence)

bir enerji alanı olduğu söylenebilir.

Quintessence alanının sabit ya da dinamik bir w değerine sahip olduğu

düşünülebilir. Quintessence, durum denklemi parametresi −1 < w < −1/3

değerlerine sahipken evrenin güç yasasına göre hızlanarak genişlemesine neden

olur. Quintessence, literatürde inflaton alanlarına benzer şekilde, skaler bir alan

olarak da ifade edilmektedir (Copeland et al., 2006):

wφ =p

ρ=

φ2 − 2V (φ)

φ2 + 2V (φ). (78)

Dikkat edilirse bu durumda quintessence −1 < w < 1 arasında değerler alır.

Durum denklemi parametresi w < −1 olan karanlık enerji adaylarına

Phantom enerjisi denmektedir. Böylesi bir durum denklemi parametresi

Friedmann denklemlerinde kullanılırsa büzülen bir evrenle karşı karşıya kalınır.

Ancak, Einstein alan denklemlerinden böyle bir durum parametresi için

Friedmann denklemlerinden farklı olarak genişleme veren bir çözüm de elde

etmek mümkündür. Bu çözüme göre evrenin ölçek çarpanı ve Hubble parametresi

aşağıdaki gibidir (Copeland et al., 2006):

a ∝ (ts − t)2

3(1+wphm), (79)

H ∝ 2

3(1 + w)(ts − t), (80)

burada ts sabittir. Bu çözümde ilginç olan şey ölçek çarpanı ve Hubble

parametresinin sonlu bir zamanda ıraksıyor olmalarıdır; t → ts iken a → ∞ ve

36

H → ∞. Bu durum Büyük Yarılma (Big Rip) olarak bilinir. Literatürde, phantom

enerjisi

wφ =p

ρ=

φ2 + 2V (φ)

φ2 − 2V (φ) (81)

şeklinde bir durum denklemi parametresine sahip skaler alan olarak da ele

alınmaktadır (Copeland et al., 2006).

2.5 Soğuk Karanlık Madde (CDM)

SBP’nin önemli girdilerinden biri de günümüz evrenin ortalama enerji

yoğunluğunun yaklaşık %20’sini oluşturan elektromanyetik etkileşime hiç ya da

çok zayıfça giren (karanlık), yavaş hareket eden (soğuk) ve elektriksel olarak nötr

olan parçacıklardır (Garrett and Duda, 2010). Fotonla etkişimleri olmadığından ya

da çok zayıf olduğundan ışınımsal olarak gözlemlenemeyen bu tür parçacıklar

soğuk karanlık madde (CDM) olarak adlandırılmaktadır. Bu parçacıklar evrendeki

hiyerarşik yapı oluşumlarının, büyük ölçekli kozmolojik yapıların dinamiklerinin

açıklanmasını sağlamaktadırlar. Büyük ölçekli yapıların dinamikleri ve CMB

ışınımındaki dalgalanmalar dikkate alındığında CDM’nin ortalama enerji

yoğunluğu ρCDM sıradan baryonik maddenin enerji yoğunluğu ρb ’den yaklaşık

beş kat fazla bulunur. Yine, CMB ışınımındaki sıcaklık dalgalanmaları dikkate

alındığında, ilkel element sentezlenmesinde bugün gözlemlenen hafif element

bolluklarının oluşabilmesi için ρCDM/ρb ∼ 5 olması gerekmektedir. CDM’nin

varlığına en güçlü kanıt iki gök ada kümesinin çarpışmasından oluşmuş olan

Bullet Kümesidir (1E 0657-56) (Markevitch et al., 2004; Clowe, et al., 2006).

CDM ve sıradan baryonik madde (relativistik sıcaklıklar söz konusu

olmadığı sürece) aynı durum denklemi parametresi ile ifade edilebilirler;

wCDM = wb = 0 . Aralarındaki fark CDM’nin, ışınımla etkileşmediğinden,

baryonik madde gibi ısınmaması ve basınç üretememesidir. Evrenin evrimi

açısından ele alındığında CDM de toz parçacık olarak değerlendirilebilir; yani

37

ρm = ρCDM + ρb yazılabilir. Bu nedenle, bu tez kapsamında CDM üzerinde daha

fazla durulmamıştır.

2.6 Kozmolojik Parametrelerin Gözlemsel Değerleri

CMB ışınımı ve SN Ia uzaklaşma hızlarının gözlemleri kozmolojik

parametrelerin saptanması için iki önemli veri kaynağıdır. Kozmolojik açıdan

önemi olan başlıca üç parametre Ωtop , ΩΛ ve Ωm ’dir. Şekil 2.5’te, CMB ışınımı

ve SN Ia gözlemlerinden ΩΛ ve Ωm değerleri için elde edilen güven aralıkları

verilmiştir.

No Big Bang

1 2 0 1 2 3

expands forever

-1

0

1

2

3

2

3

closed

recollapses eventually

Supernovae

CMB

Clusters

open

flat

Knop et al. (2003)Spergel et al. (2003)Allen et al. (2002)

Supernova Cosmology Project

!

!"

M

Şekil 2.5 SN Ia, CMB ışınımı ve gök ada kümelerinden Ω(0)Λ ve Ω(0)

m değerleri için güven

aralıkları. (http://www.supernova.lbl.gov/)

38



Görülebileceği gibi, CMB ışınımı verileri evrenin yoğunluk parametrelerine

ΩΛ ∝ −Ωm biçiminde duyarlılık gösterirken, SN Ia verileri ΩΛ ∝ Ωm . biçiminde

duyarlılık gösterir. CMB ışınımı ve SN Ia verilerinin birbirlerine dik duyarlılığa

sahip olması bu iki veri grubunun birlikte kullanılmasıyla kozmolojik

parametrelerin oldukça duyarlı olarak belirlenmesine olanak sağlar. Şekil 2.5’ten

görülebileceği gibi CMB ve SN Ia verileri, birlikte elde alındığında, hemen hemen

uzaysal olarak düz (Ωtop ∼ 1), Ωm ∼ 0.25 ve ΩΛ ∼ 0.75 olan bir evreni

desteklemektedir.

En son kozmolojik verilere göre, ΛCDM modeli çerçevesinde, evrenin belli

başlı kozmolojik parametrelerinin değerleri Çizelge 2.1’de verilmiştir.

Karanlık enerjinin durum denklemi parametresi için yedi yıllık WMAP

verilerinin (WMAP7) çözümlemesinden −1.50 w −0.70 , Union2

derlemesinden düz uzay varsayımıyla −1.05 w −0.95 ve uzaysal eğrilik

Çizelge 2.1 Standart ΛCDM modeli çerçevesinde WMAP7 ve WMAP7+Baryon Akustik Salınımları+SN Ia gözlemlerinden kozmolojik parametreler. Toplam yoğunluk dışındaki tüm değerler evrenin uzaysal olarak düz olduğu varsayılarak hesaplanmıştır. Karanlık enerji için durum denklemi parametresi (w ) sabit olduğu varsayılarak hesaplanmıştır. (Jarosik et al., 2010)

Açıklama Sembol WMAP WMAP+BAO+H0

Evrenin yaşı (Gyıl) t0 13.75± 0.13 13.75± 0.11

Hubble sabiti (km/s/Mpc) H0 71.0± 2.5 70.4+1.3−1.4

Baryon yoğunluğu Ωb 0.0449± 0.0028 0.0456± 0.0016

Karanlık madde yoğunluğu Ωc 0.222± 0.026 0.227± 0.014

Karanlık enerji yoğunluğu Ωke 0.734± 0.029 0.728+0.015−0.016

Madde-ışınım eşitliği kırmızıya kayma uzaklığı

zeq 3196+134−133 3232± 87

Son saçılma yüzeyinin kırmızıya kayması z∗ 1090.79+0.94−0.92 1090.89+0.68

−0.69

Son saçılma döneminde evrenin yaşı (yıl) t∗ 379164+5187−5243 377730+3205

−3200

Durum denklemi parametresi w −1.12+0.42−0.43 −0.980± 0.053

Toplam yoğunluk Ωtop 1.080+0.093−0.071 1.0023+0.0056

−0.0054

39

olduğu olasılığı dikkate alınarak −1.10 w −0.98 ve WMAP+BAO+SN

Ia’dan −1.03 w −0.97 değer aralıkları verilmektedir.

Kozmoloji sabit ya da benzeri davranışlar gösteren enerji kaynaklarının

varlığı erken evrende önemli (enflasyon) olduğu gibi evrenin geç dönemlerinde de

gerekli bir fiziksel bileşen olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu tür enerji

kaynaklarının yapısının açıklanmasının çağdaş kozmolojinin en temel

konularından biri olduğunu söylenebilir. Karanlık enerjinin durum denklemi

parametresinin değerlerinde görülen -1 civarındaki aralıklar w ’ın zamana, yöne ya

da ikisine birden bağlı olarak değiştiğine işaret ediyor olabilir.

40

3. STANDART ΛCDM MODELİ SORUNLAR VE BIANCHI MODELLERİ

Kısaca toparlanacak olursa, standart ΛCDM modeline göre; evren SBP’nin

başlangıç koşullarının dinamik olarak oluşturulduğu bir enflasyon döneminden

geçmiştir; en büyük ölçeklerde evren uzaysal olarak düz RW metriği ile

betimlenebilir, ortalama enerji yoğunluğunun yaklaşık %5’i baryonik madde,

%22’si CDM ve %73’ü karanlık enerjiden oluşmaktadır.

Yüksek çözünürlüklü WMAP (Peiris et al., 2003; Spergel et al., 2007;

Hinshaw et al., 2009; Komatsu et al., 2009, 2010) verileri açıklandıktan sonra

çeşitli çalışma grupları CMB sıcaklık haritalarının, standart ΛCDM modelleri

çerçevesinde değerlendirildiğinde bazı anomaliler gösterdiğini duyurdu.

Bunlardan en iyi bilineni 60o derecelik açıdan daha büyük ölçeklerdeki CMB

ışınım dalgalanmalarının genliğinin standart ΛCDM modellerinden beklenenden

daha küçük değerlerde olmasıdır (Bkz. Şekil 2.2) (Bennett et al., 2003). Diğer

anomaliler ise daha çok eksensel simetrinin ihlal edildiğini işaret eder türdendir.

CMB ışınımı dalgalanmalarının istatistiksel rastgele (Gaussian) ve izotropik

olması en basit enflasyon modellerinin bile en temel öngörülerinden biridir. Bu

yüzden, CMB ışınımında istatistiksel izotropiden herhangi bir sapma enflasyon

senaryoları ve ΛCDM modelleri için ciddi bir sorun oluşturur.

Bazı araştırmacılara göre, var olduğu söylenen anomaliler istatistiksel

olasılık içerisindedir ve CMB ışınımı büyük ölçeklerde izotropiyi ihlal

etmemektedir (Armendariz-Picon and Pekowsky, 2009; Pereira and Abramo,

2009; Bennett et al., 2010). Araştırmacıların üzerinde durduğu olası anomalilerin

bir listesi ise şöyledir: i) CMB güç tayfının kuadrupole (l=2) ve oktapol (l=3)

momentlerinin ortak bir düzlemde uzanıyor olmaları (de Oliveira-Costa et al.,

2004; Bennett et al., 2010). ii) Benzer olarak l=4∼8 momentlerinin l=2,3

momentleriyle istatistiksel olarak rastgele konumlanmadığını gösteren bir

korelasyon gösteriyor olmaları (Schwarz et al., 2004; Copi et al., 2004; Bennett et

al., 2010). iii) CMB ışınımında, 10o derece mertebesinde bir büyüklüğe sahip ve

büyük olasılıkla Gaussian olmayan soğuk bir lekenin varlığı (Vielva et al., 2004;

41

Cruz et al., 2006, 2007; Bennett et al., 2010). iv) Güney ve kuzey yarım kürede

asimetri (Eriksen et al., 2004; Bernui, 2008; Hoftuft et al., 2009). v) Kuadrupol

momentinin büyüklüğünün kuramsal olarak beklenenden çok daha küçük bir

değere sahip olması (Efstathiou, 2003; Campanelli, 2007).

Bu anomalilerin gerçekten var olup olmadığı üzerine tartışmalar henüz

devam etmektedir. Yine de, bu tartışmalar kozmoloji dünyasında Bianchi uzay-

zamanlarına olan ilginin hızlanarak artmasına neden olmaktadır. Bu olası

anomalilerin açıklanması için ortaya atılan çeşitli öneriler şöyledir: i) Evrenin

alışılmamış (non-trivial) bir topolojiye sahip olması (Luminet et al., 2003). ii)

Bianchi VIIh çerçevesinde eksensel anizotropik bir geometrinin kuadrupol/oktapol

düzlemselliğini açıklayabileceği (Jaffe et al., 2005; Jaffe et al., 2006). iii) Lineer

olmayan inhomojenlikler (Moffat, 2005; Alnes et al., 2006a; 2006b; Tomita and

Inoue, 2008). iv) Evrenin uzaysal olarak elipsoid bir geometriye sahip olması

durumunda CMB güç tayfındaki düşük kuadropol değerinin açıklanabileceği

(Campanelli et al., 2006, 2007).

Son çalışmalarda ise, evrenin uzaysal izotropisinin erken hızlanma ya da geç

hızlanma döneminde kırılmasını sağlamak için anizotropik enerji kaynaklarının

olasılığı dikkate alınmaya başlamıştır (Rodrigues, 2008; Koivisto and Mota

2008a; 2008b; 2008c; Campanelli, 2009; Akarsu and Kılınç, 2010a; 2010b; Sharif

and Zubair, 2010, Yadav and Yadav, 2010).

Eğer bu anomalilerin varlığı kesinleşirse evrenin daha yüksek doğrulukla

betimlenebilmesi için öncelikle standart ΛCDM modelinin üzerine kurulu olduğu

RW metriklerinin uzaysal olarak anizotropiye sahip metriklere genelleştirilmesi

gerekecektir. Ayrıca, enflasyonun temel başarıları kaybedilmeden, enflasyon

döneminin anizotropiyi izotropiye yaklaştırması belli ölçüde sınırlandırılabilmeli

ya da enflasyonun oluşturduğu izotropi enflasyon sonrası bir süreçte belli ölçüde

bozulabilmelidir. Bunu sağlamanın bir yolu evrende anizotropik enerji

kaynaklarının kullanılması olabilir. RW metriği çerçevesinde, evrenin fiziksel

içeriğini oluşturabilecek en karmaşık enerji-momentum tensörü durum denklemi

42

parametresi zamanın fonksiyonu olan bir ideal akışkanı temsil edebilir. Bu

nedenle, SBP modeli çerçevesinde, evrenin erken ve geç hızlanma dönemleri

temelde izotropik akışkanlar ya da skaler alanlar dikkate alınarak incelenmiştir.

Diğer yandan RW metriğinin uzaysal izotropisinin gevşetilmesiyle elde

edilebilecek uzaysal olarak anizotropik olan metrikler dinamik ya da statik olarak

anizotropik basınca ya da durum denklemi parametresine sahip akışkanların da

kullanılmasına verir. Bu düşünce son yıllarda anizotropik enerji kaynaklarına

özellikle anizotropik inflaton alanı ve karanlık enerji olasılığının

değerlendirilmesine ilgiyi arttırmıştır. Doğasını henüz çok iyi bilmediğimiz

inflaton ve özellikle karanlık enerji alanlarının izotropik olduklarını söylemek için

a priori ya da ampirik bir neden bulunmamaktadır. İleride bu söz konusu

anomaliler yanlışlansa dahi, bu, inflaton ve karanlık enerji alanlarının izotropik

olmasını gerektirmez. Bu tezde gösterileceği gibi, evrenin izotroplaşmasını

destekleyen anizotropik alanlar da mümkündür. Ayrıca, gerçekçi bir evren

modelinde en baştan RW metriğinin değil mümkün olduğunca daha genel bir

metriğin kullanılıp evrenin bugün gözlemlenen geometrisine evrimleşmesi

beklenir. Bu nedenle, ileride RW metriğinin günümüz evrenini anlatmakta yeterli

olduğu ortaya çıksa da anizotropik evren modellerinin çalışılması gerçekçi

modeller kurmak için önemli bir olanak sağlar.

RW metriğinin yalnızca uzaysal izotropisinin gevşetilmesiyle uzaysal olarak

homojen fakat anizotropik olabilen metrikler elde edilebilir. Homojen fakat

anizotropik olan olası metriklerin çok büyük bir kısmı Luigi Bianchi (1898, 1918)

tarafından sınıflanmıştır. Bianchi’nin sınıflaması farklı eğrilik durumlarına göre

dokuz tip anizotropik uzay içerir. Bianchi tarafından verilen bu listeye çok özel bir

durum olan Kantowski-Sachs metriği (Kantowski and Sach, 1966) de ilave

edildiğinde olası tüm homojen ve anizotrop uzaylar elde edilmiş olur. Çağdaş

kozmolojide Bianchi’nin orjinal sınıflaması yeniden düzlenmiş ve genel çerçeve

Ellis and MacCallum (1969) tarafından kurulmuştur.

Uzay-zamanı anlatan metrik aşağıdaki gibi zamansal (dt2) ve uzaysal (dl2)

iki parçaya ayrılabilir (Fagundes, 1992; Ryan and Shepley, 1975):

43

ds2 = dt2 − dl2, (82)

burada

dl2 = γij(t)dxidxj’dir (83)

ve uzayın homojenliğinden dolayı γij yalnızca zamanın fonksiyonudur. Bu

uzaysal metrik, dokuz adet Bianchi tipini karakterize eden wi invaryant bazları

tarafından ifade edilmek üzere aşağıdaki gibi yazılabilir:

dl2 = γijwiwj , (84)

burada γij = γji ’dir. (84) denkleminde γij = δij alınarak her hangi bir Bianchi

tipi uzay aşağıdaki gibi verilen standart metrikle

dλ2 = (w1)2 + (w2)2 + (w3)2 (85)

ifade edilebilir. Bianchi tipleri için invariant bazlar Çizelge 3.1’de verilmiştir.

Çizelge 3.1 ve (85) denkleminden yararlanılarak, tüm Bianchi tipleri için

standart metriklerin bir listesi Çizelge 3.2’de verilmiştir. Çizelge 3.2’e Bianchi

sınıflamısında bulunmayan Kantowski-Sachs metriği de dahil edilmiştir. Çizelge

3.2’de verilen standart metriklerde uzaysal kesitinin her bir yöndeki büyüklüğünü

anlatmak için her bir eksen için yalnızca zamanın fonksiyonu olan ayrı bir ölçek

Çizelge 3.1 Bianchi uzayları için invaryant bazlar. (Fagundes, 1992; Ryan and Shepley, 1975)

Tip w1 w2 w3

BI dx dy dz

BII dx− zdy dy dz

BIII dx dy exdz

BIV dx exdy exdz + exxdy

BV dx exdy exdz

BVI dx e(m−1)xdy e(m+1)xdz

BVII dx emx cosx dy − emx sinx dz emx sinx dy + emx cosx dz

BVIII cosh y cos z dx− sin z dy cosh y sin z dx+ cos z dy dz + sinh y dx

BIX cos y cos z dx− sin z dy cos y sin z dx+ cos z dy dz − sin y dx

44

çarpanının yazılmasıyla uzaysal kesiti homojen fakat anizotrop olan tüm olası dört

boyutlu uzay-zamanlar elde edilebilir.

Her bir Bianchi tipi eğrikler bakımından farklı simetri özelliklerine sahiptir.

Bianchi I, V, VII ve IX metriklerinin uzaysal eğrilikleri izotropiktir ve Bianchi I

metriği özel durum olarak uzaysal olarak düz RW metriğini, Bianchi V ve VII

metriği özel durum olarak uzaysal olarak açık RW metriğini ve Bianchi IX metriği

özel durum olarak uzaysal olarak kapalı RW metriğini içermektedir. Diğer

Bianchi tiplerinin uzaysal eğrilikleri ise anizotropiktir.

Bu metriklerin her bir yöndeki ölçek çarpanının evrimi Einstein alan

denklemleri tarafından belirlenebilir. Einstein alan denklemlerini çözmek için bu

metriklerden biri seçilebilir ve metriğin simetri özelliklerinin izin verdiği

genellikte ya da daha basit herhangi bir enerji-momentum tensörü dikkate

alınabilir.

Çizelge 3.2 Bianchi ve Kantowski-Sachs uzayları için standart metrikler. (Fagundes, 1992; Ryan and Shepley, 1975)

Tip dλ2 RW özel durumu

BI dx2 + dy2 + dz2 k=0

BII (dx− zdy)2 + dy2 + dz2 -

BIII dx2 + dy2 + e2xdz2 -

BIV dx2 + e2xdy2 + e2x(dz + xdy)2 -

BV dx2 + e2xdy2 + e2xdz2 k=-1

BVI(m)0 ≤ m ≤ 1

dx2 + e2(m−1)xdy2 + e2(m+1)xdz2 -

BVII(m)0 ≤ m ≤ 1

dx2 + e2mxdy2 + e2mxdz2 k=-1

BVIII cosh2 y dx2 + dy2(dz + sinh y dx2) -

BIX cos2 y dx2 + dy2 + (dz − sin y dx)2 k=1

KS dx2 + dy2 + sin2 y dz2 -

45

Bianchi metrikleri uzayın üç yönde ayrı hızlarla hareket edip

evrimleşmesine izin verebildiğinden RW metriği çerçevesinde tanımlanan bazı

kozmolojik parametrelerin genelleştirilmesi ve farklı eksenlerin farklı hızla

genişlemesinden kaynaklanan bazı yeni büyüklüklerin tanımlanması gerekir.

Hubble parametresi her üç eksen için ayrı ayrı genişleme hızlarını

gösterecek biçimde genelleştirilir ve yönsel Hubble parametreleri, sırasıyla x, y ve

z yönleri için aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

H1 ≡ A

A, H2 ≡ B

Bve H3 ≡ C

C. (86)

Hubble parametresinin RW metriği çerçevesindeki tanımı, Bianchi uzay-

zamanlarında, V = ABC hacimsel ölçek çarpanı olmak üzere, evrenin hacimsel

genişleme hızını belirleyen ortalama Hubble parametresine karşılık gelir ve

aşağıdaki gibi verilir:

H =1

3

V

V=

1

3

3

i=1

Hi . (87)

Ortalama ölçek çarpanı da bir çok denklemin daha kolayca yazılmasını

sağlar ve aşağıdaki gibi verilir:

S = V13 = (ABC)

13 (88)

Evrenin hacimsel genişleme hızını belirten genişleme skaleri aşağıdaki gibi

verilir:

θ = 3H =V

V. (89)

Friedmann modellerinde kullanılan ivmelenme parametresi (25) anizotropik

modeller için ortalama ivmelenme parametresi olarak yeninden tanımlanabilir:

q ≡ SS

S2= 2− 3

V V

V 2=

d

dt

1

H

− 1. (90)

46

Bu tanıma göre ortalama ivmelenme parametresi evrenin hacimsel genişlemesinin

bir ölçüsüdür.

Uzaysal olarak anizotropik modellerde genişleme hızının farklı yönlerde

farklı olmasının ölçüsü shear skaleri ile gösterilebilir:

σ2 = σijσij =

1

2

3

i=1

(Hi −H)2 . (91)

Buna göre, shear skaleri evrenin ortalama genişleme hızından sapmasının bir

ölçüsüdür.

Genişleme anizotropisi, evrenin genişleme hızındaki anizotropinin

büyüklüğünün bir ölçüsünü verir aşağıdaki gibi tanımlanır:

∆ ≡ 1

3

3

i=1

Hi −H

H

2

(92)

ve ∆ = 0 izotropik genişlemeye karşılık gelir.

Evrenin farklı yönlerde farklı hızla genişlemesinden doğan shear skaleri

FRW modellerinde verilen her iki Friedmann denklemlemine de ek bir terim

olarak girer. Ayrıca Bianchi uzay-zamanları anizotropik basınç kaynaklarına izin

verdiğinden ikinci Friedmann denklemine dahil olan basıncın her yön için ayrı

ayrı yazılması gerekir. Buna göre, Bianchi uzay-zamanları için genelleştirilmiş

Friedmann denklemleri aşağıdaki gibi verilebilir (Ellis, 1969, 2002):

3H2 = ρ+ σ2 +3R

2, (93)

S

S= −1

6(ρ+ p1 + p2 + p3)−

2

3σ2. (94)

Burada 3R Ricci skaleridir ve sol üstte bulunan 3 indisi dört boyutlu Reimann

uzay-zamanlarının yalnızca üç boyutlu uzaysal kesitlerinin dikkate alındığını

belirtir. Uzaysal Reimann ve Ricci tensörleri ve uzaysal Ricci skaleri (3), (4) ve

(5) denklemlerinde Yunan harfleriyle verilen indislerin Latin harfleri ile

değiştirilmesiyle elde edilebilir. Dikkat edilirse genelleştirilmiş Friedmann

denklemleri evrenin hacimsel dinamikleri hakkında bilgi içermektedir. Bianchi

47

tipi bir kozmolojik modelde evrenin ve akışkanın dinamiklerinin her bir eksen için

ayrı ayrı incelenmesi gerekir. Dolayısıyla, Bianchi modelleri matematiksel olarak

FRW modellerine göre daha karmaşıktır. Diğer yandan, bu da daha karmaşık

dinamiklerin olanaklılığını işaret etmektedir.

Bir sonraki bölümde yukarıdaki tartışmalardan hareketle öncelikle, Bianchi

uzay-zamanlarının enerji-momentum tensörünün seçiminde anizotropiye izin

verdiği gösterilecek ve bu uzay-zamanların izotroplaşma özellikleri kısaca

tartışılacaktır. Daha sonra anizotropik akışkanın varlığında üç ayrı Bianchi tipi

kozmolojik model verilecektir. İlk modelde (Akarsu and Kılınç, 2010b), Bianchi I

uzay-zamanının de Sitter genişlemesi sergilemesinin koşulları tartışılacak ve

vakum enerjisi kavramı genelleştirilerek de Sitter genişlemesi sergileyen iki ayrı

LRS Bianchi I modeli verilecektir. İkinci modelde (Akarsu and Kılınç, 2010a),

anizotropik ve dinamik bir durum denklemi parametresine sahip bir hipotetik

karanlık enerji ve sıradan maddeden oluşan iki akışkanın varlığında sabit

ivmelenme parametresine sahip bir LRS Bianchi I kozmolojik modeli

kurulacaktır. Bu modelin günümüz yöresindeki davranışı üzerinde de ayrıca

durulacaktır. Anizotropik uzaysal eğriliğe sahip Bianchi III uzay-zamanı

çerçevesindeki son modelde (Akarsu and Kılınç, 2010c) ise, Bianchi III uzay-

zamanının özel bir anizotropik akışkanın varlığında, izotropik akışkanın

varlığındaki Bianchi I ve V uzay-zamanları gibi izotroplaşabileceği

gösterilecektir.

48

4. ANİZOTROPİK AKIŞKANIN VARLIĞINDA BIANCHI MODELLERİ

Bianchi tipi uzay-zamanlar ideal akışkanlara göre daha fazla serbestlik ve

karmaşıklığa sahip enerji-momentum tensörlerinin evrenin fiziksel içeriği olarak

değerlendirilmesine olanak sağlar.

Uzaysal olarak homojen fakat anizotropik en basit uzay-zaman Bianchi I

metriği ile verilebilir. Bu metrik uzaysal olarak düz RW metriğinde uzayın farklı

yönlerde farklı hızlarla genişlemesine izin verilmesiyle elde edilebilir:

ds2 = dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2dy2 − C(t)2dz2 (95)

Bu metrik dikkate alınarak enerji-momentum tensörü için hiçbir kısıtlama

getirilmeden Einstein alan denklemleri çözülürse aşağıdaki denklem sistemi elde

edilir:

G00 = − A

A

B

B− A

A

C

C− B

B

C

C= −T 0

0 , (96)

G11 = − B

B− C

C− B

B

C

C= −T 1

1 , (97)

G2

2 = − A

A− C

C− A

A

C

C= −T 2

2 , (98)

G33 = − A

A− B

B− A

A

B

B= −T 3

3 . (99)

Denklem (96)-(99) oluşan bu sistemde T 11 , T 2

2 ve T 33 ’ün birbirlerine eşit olmak

zorunda olmadığı görülebilir. Buna göre, bu metrikle betimlenen bir evrendeki bir

akışkanın x, y ve z basınçları aynı büyüklükte olmak zorunda değildir ve bu

akışkanı temsil edecek enerji-momentum tensörü aşağıdaki gibi yazılabilir:

Tµν = [T 0

0 , T11 , T

22 , T

33 ] = [ρ,−p1,−p2,−p3]. (100)

Enerji-momentum tensörünün kazandığı bu serbestlik, evrenin evriminde ideal

akışkanların yanısıra manyetik alan, viskozite, kozmik sicim gibi bilinen ve

birçok hipotetik anizotropik enerji kaynaklarının etkisini inceleme olanağı sağlar.

49

Denklem (96)-(99) oluşan bu sistem dört tane lineer bağımsız denklem ve

yedi bilinmeyen (A, B, C, ρ , p1 , p2 , p3 ) içermektedir. Bu sistemin tam olarak

belirlenmesi için dört tane ek sınırlama gerekir. Enerji-momentum tensörünün

ideal akışkanı temsil ettiği varsayılırsa, p1 = p2 = p3 = p olur ve bilinmeyen

sayısı beşe indirgenir. FRW modellerinde olduğu gibi akışkanın enerji yoğunluğu

ile basıncı arasında bir ilişki belirlenerek sistem tam olarak belirlenebilir. Dikkat

edilirse, RW metriğinin anizotropiye sahip olacak şekilde genelleştirilip, RW

metriğinin simetri özelliklerine uyan ideal akışkana dokunulmaması FRW

çözümlerine fazladan yalnızca iki serbestlik derecesi getirmekte bu da Einstein

alan denklemlerinden gelen iki ek lineer bağımsız denklemle telafi edilmektedir.

Bunun anlamı şudur: Metriğin simetri özellikleri enerji-momentum tensörünün

yapısını kısıtlar fakat enerji-momentum tensörünün metriğin simetri

özelliklerinden daha yüksek bir simetriye sahip olması metriğin yapısını değil

kinematiğini kısıtlar. Bu, metriğin farklı yönlerdeki hızlarının farkının enerji-

momentum tensörünün yapısıyla ilişkisine bakılarak görülebilir. (97)-(99)

denklemleri kullanılırsa

d

dt(H1 −H2) + (H1 −H2)(H1 +H2 +H3) = p1 − p2 , (101)

d

dt(H2 −H3) + (H2 −H3)(H1 +H2 +H3) = p2 − p3 , (102)

d

dt(H1 −H3) + (H1 −H3)(H1 +H2 +H3) = p1 − p3 (103)

denklemleri elde edilir. Bu denklemlere göre yönsel Hubble parametreleri

arasındaki fark enerji-momentum tensörünün farklı yönlerdeki basınçlarının

farkının fonksiyonudur. Enerji-momentum tensörünün ideal akışkanı temsil ettiği

varsayılırsa bu denklemlerin sağ tarafı sıfır olacaktır. Bu durumda, (87)

denkleminden de yararlanılarak, (101)-(103) denklemleri kolayca integre

edilebilir ve yönsel Hubble parametreleri arasında aşağıdaki ilişki bulunur:

H1 −H2 ∝ H2 −H3 ∝ H1 −H3 ∝ 1

V. (104)

Bu sonuç (91) denkleminde kullanılırsa shear skalerinin evrenin hacminin

karesiyle ters orantılı olduğu bulunur:

50

σ2 ∝ 1

V 2 (105)

(Barrow, 1995). Bu kinematikler, enerji-momentum tensörünün ideal akışkan

özelliğinden, diğer bir deyişle RW metriğinin enerji-momentum tensörüne

getirdiği kısıtlamadan kaynaklanmaktadır. Dikkat edilirse (104) ve (105)

denklemleri sistem tam olarak belirlenmeden elde edilebilmiştir. Buna göre, bu

sonuç her türlü ideal/izotropik akışkan için geçerlidir.

Denklem (105) uzaysal olarak anizotropik metriklerin erken evreni

anlatmak bakımından neden önemli olduğunu da göstermektedir. İdeal akışkanın

varlığında evren genişledikçe evrenin farklı yönlerdeki genişleme hızları

arasındaki fark monoton olarak azalmakta ve evrenin hacmi sonsuza giderken

sıfıra gitmektedir. Evrenin başlangıcına doğru gidilirse de, yani evrenin hacmi

sıfıra götürülürse, evrenin farklı yönlerdeki genişleme hızları arasındaki fark

ıraksamaktadır. Diğer yandan, anizotropik bir akışkan dikkate alınırsa (101)-(103)

denklemlerinde basınçlar farkı sıfırdan farklı olacak ve akışkanın basınçları

arasındaki farkın davranışı evrenin kinematiklerinin (104) ve (105) denkleminde

verilenlerden farklılaşmasına neden olacaktır.

Denklem (96)-(99) oluşan sistemi tam olarak belirlemek için ışınım, toz ya

da geleneksel vakum enerjisi gibi bilinen ideal akışkanlar kullanılabilir. Ancak bu

tek yol değildir. Enerji-momentum tensörünün ideal akışkan gibi davrandığı

varsayılarak, evrenin kinematiği için yapılacak ek bir sınırlama getirilebilir.

Örneğin, evrenin hacminin değişim yasası için bir fonksiyon belirlenebilir (üstel

genişleme vb.), ölçek çarpanları arasında bir ilişki belirlenebilir (n > 0 bir gerçel

sabit olmak üzere A = Bn gibi), vb. Enerji-momentum tensörü için kozmik

sicim, manyetik alan gibi bilinen bazı anizotropik enerji kaynakları dikkate

alınabilir. Ancak böyle bir çözümde sistemi kapatmak için çoğu zaman yine

kinematik ya da enerji-momentum tensörünün davranışı üzerinde ek bir sınırlama

gerekmektedir.

51

Enerji-momentum tensörü serbest bırakılarak, metriğin kinematiğine istenen

bazı davranışlara uygun sınırlamalar getirilip, bu istenen davranışları veren

hipotetik enerji-momentum tensörleri de elde edilebilir. Böylesi bir yöntem, henüz

bilmediğimiz ancak evrenin gözlemlenen davranışlarını açıklayabilecek enerji-

momentum tensörlerinin yapısı hakkında bilgi edinmemize yardımcı olabilir.

Evrenin kinematiklerine getirilen sınırlamayla elde edilecek herhangi bir enerji-

momentüm tensörü Bianchi özdeşliğinden dolayı enerji-momentum tensörünün

korunumunu her zaman sağlayacaktır. Bu yolla elde edilen enerji kaynaklarının

fiziksel anlamlılığı enerji yoğunluğunun pozitif olması gibi koşullarla ayrıca

değerlendirilebilir.

Bianchi tipi kozmolojik modellerin fiziksel olarak gerçekçi olup

olmadıklarına karar verilebilmesi için incelenmesi gereken önemli bir özellik bu

modellerin izotropiye yaklaşıp yaklaşmadıklarıdır. Pertürbasyonlar dikkate

alınmadığında bir Bianchi evren modelinin izotropiye yaklaşma koşulları Collins

ve Hawking (1973) tarafından verilmiştir. Bu koşullara göre; t → ∞ iken

i) V → ∞ ii) ∆ → 0 iii) T 00 > 0 veT 0i

T 00→ 0 (106)

olmalıdır. Birinci koşul evrenin durmaksızın genişlemesi gerektiğini, ikinci koşul

evrenin farklı yönlerdeki genişleme hızları arasındaki farkın ortadan kalkması

gerektiğini söyler. Üçüncü koşul ise metriğin izotropiye yaklaşmasıyla dolaylı

olarak ilişkilidir. Enerji yoğunluğunun pozitif olma koşulu genişleyen evrenin

yeniden çökmeye başlamasını engellemek üzere getirilmiştir. Bu yüzden, bu koşul

geometrik nitelikteki birinci koşulun sağlanması için evrenin fiziksel içeriğine

getirilmiş bir koşul olarak da düşünülebilir. Son koşulun getirilmesinin gerekçesi

şöyle açıklanabilir. T 0i , i ekseni boyunca olan enerji akı yoğunluğuna karşılık

gelir. Buna göre, Collins ve Hawking’in (1973) belirttiği üzere, bu koşul

sağlanmaz ise evren homojen ve izotropik gözükmeyecektir. Ancak, kozmolojik

ölçeklerde yerel hareketleri gözardı etmek, yani maddenin koordinat sistemine

göre hareketsiz olduğunu varsaymak, oldukça iyi bir yaklaşımdır. Bu nedenle

dörtlü hız vektörünün yalnızca zaman bileşenin sıfırdan farklı alındığı

çalışmalarda bu koşulun en baştan sağlanmış olduğu düşünülebilir. Ne var ki,

52

madde koordinat sistemine göre durağan olsa da ısı akısı enerji akısına katkıda

bulunabilir. Dolayısıyla, T 0i i ekseni boyunca olan ısı akısı (hi ) olarak da

değerlendirilebilir (Bkz. Landau and Lifshitz, 2005; McGlinn, 2003). Eğer i

ekseni boyunca ısı akısı var ise bu eksen boyunca sıcaklık gradyenti oluşur (Roy

and Banerjee, 1996; Singh, 2009). Bu durumda, evrendeki bir gözlemcinin

anizotropik bir evren gözlemlemesi gerekir. Yani CMB ışınımının anizotropik

olması gerekirdi. Dolayısıyla, madde koordinat sistemine göre hareketsiz olsa da,

son koşul hiρ → 0 biçiminde yorumlanabilir ve izotroplaşma koşulu olarak

modellerde aranmalıdır.

Collins ve Hawking (1973), T 00 ≥ |Tµν | koşulu (ışınım ve toz gibi bilinen

madde formları bu koşula uyarlar) altında yalnızca Bianchi I, V ve VII

evrenlerinin uzaysal izotropiye yaklaşabildiğini diğerlerinin ise erken dönemlerde

oldukça izotropik olsa bile geç evrende oldukça anizotropik olacaklarını

göstermiştir. Diğer yandan, Wald (1983) tarafında ortaya koyulan cosmic no-hair

teoremine göre; başlangıçta genişleyen Bianchi IX dışındaki tüm Bianchi

evrenleri kozmolojik sabitin varlığında uzaysal olarak homojen ve izotrop olan de

Sitter evrenine üstel olarak yaklaşırlar. Uzaysal olarak kapalı olan Bianchi IX

evrenlerinin, kozmolojik sabit yeterince büyük değil ise evren bir süre sonra

çökmeye başlayacağından, de Sitter modeline yaklaşması mümkün olmaz. Ancak,

kozmolojik sabitin eğrilik terimine göre yeterince büyük olması durumunda

Bianchi IX evrenleri de üstel olarak de Sitter genişlemesine yaklaşabilirler.

İnflaton alanlarının karakteristik özelliği belli bir süre kozmolojik sabit gibi

davranmalarıdır. Dolayısıyla, cosmic no-hair teoremi bir enflasyon dönemine

girip bu dönemi yeterince uzun sürdürebilen Bianchi tipi evrenlerin

izotroplaşacağını söyler. Ne var ki, (94) denkleminden de görülebileceği gibi,

hızlanarak genişlemenin gerçekleşebilmesi için evrenin farklı yönlerdeki

genişleme hızlarının farklılığının bir ölçüsü olan shear skalerinin pozitif ivmeyi

engellemeyecek değerlerde olması gerekir.

53

Bianchi I, V, VII ve IX modelleri dışında olan Bianchi II, III, IV, VI, VIII

metrikleri özel durum olarak RW metriğini içermemektedir. Bu metrikler

izotropik eğrilik terimlerine sahiptir ve aslında hiçbir zaman tam olarak RW

metriklerine evrimleşemezler (Ellis, 2002). Ancak yine de uzaysal eğrilik terimleri

ortalama ölçek çarpanının karesi ile ters orantılı olarak değiştiğinden anizotropik

uzaysal eğriliğe sahip olan Bianchi modelleri de düz FRW modellerine gözlemsel

olarak fark edilemeyecek kadar yaklaşabilirler. Bu, aşağıdaki gibi verilen

anizotropik uzaysal eğriliğe sahip en basit Bianchi tip III metriğiyle

örneklenebilir:

ds2 = dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2e−2αxdx2 − C(t)2dz2. (107)

Bu metriğin uzaysal Ricci tensörleri aşağıdaki gibidir:

3R11 = 3R2

2 = −α2

A2ve 3R3

3 = 0 , (108)

Görüleceği gibi x ve y eksenlerindeki eğrilikler sıfırdan farklı iken z eksenindeki

uzaysal eğrilik sıfırdır. x yönündeki ölçek çarpanı A çok büyük değerlere

ulaştığında 3R11 = 3R2

2 3R33 = 0 olacaktır.

Yukarıda gösterildiği gibi ideal akışkanın varlığında, evren izotropik bir

genişleme hızına monoton olarak yaklaşmaktadır (Bkz. denklem 105). Ancak

Bianchi tipi uzay-zamanlar anizotropik basınca sahip enerji kaynaklarının da

evrende var olmasına izin vermektedir. Bu tür enerji kaynakları genişleme

anizotropisinin monoton olmayan bir davranış sergilemesini sağlayabilir.

Dolayısıyla, Bianchi modellerinin ara bir dönem için izotropik genişleme evresine

yaklaşıp daha sonra yeniden anizotropik genişlemeye başlaması mümkündür.

Buna göre başlangıçta anizotropik genişleyen evren ilkel element bolluklarının

oluşum zamanlarını ve günümüz evrenini kapsayacak bir dönem boyunca yaklaşık

olarak FRW modelleri gibi büyük yaklaşıklıkla izotropik olarak genişleyebilir ve

daha sonra bu genişleme yeniden anizotroplaşabilir. Evreni betimlemek için

kullanılan metrik maksimum uzaysal simetriye sahip RW metriklerinden Bianchi

tipi metriklere genelleştirilirse, evrenin fiziksel içeriğini ifade edecek olan enerji-

momentum tensörü, elle alınan metriğin simetri özelliklerine uygun olarak

anizotropik basınca (durum denklemi parametresine) sahip olacak şekilde

54

genelleştirilebilir. Anizotropik durum denklemine sahip bir akışkanın varlığındaki

böylesi modellerde evren değişik izotroplaşma tarihleri sergileyebilir ve uzayın ve

akışkanın izotropiye yaklaşıp yaklaşmadıkları ayrı ayrı incelenebilir. Böylece,

yalnızca metriğin genelleştirildiği ancak akışkanın en baştan izotropik varsayıldığı

modellere göre daha genel kozmolojik modeller kurmak mümkün olabilir.

4.1 Bianchi I Uzay-Zamanında de Sitter Genişlemesi

de Sitter ve benzeri genişlemeler, dolayısıyla geleneksel vakum enerjisi ve

benzeri enerji kaynakları çağdaş kozmolojinin temel ilgi alanlarından biridir.

Yukarıda da değinildiği gibi Wald (1983), kozmolojik sabitin varlığında homojen

fakat anizotropik olan kozmolojik modellerin davranışlarının incelemiş ve bütün

Bianchi tiplerinin (Bianchi IX özel durum altında olmak üzere) üstel olarak de

Sitter modeline doğru evrimleştiklerini göstermiştir. Grøn (1985), kozmolojik

sabitin varlığında Bianchi I evreninin enflasyon dönemindeki izotroplaşmasını

incelemiş ve de Sitter modellerinin anizotropik genelleştirmelerini tartışmıştır. Ne

var ki, Beesham’ın (1994) gösterdiği üzere, kozmolojik sabitin varlığındaki

Bianchi I evrenleri gravitasyon sabiti eksili değerler almadıkça saf de Sitter

genişlemesi gösteremezler. Diğer yandan, Kalligas et al. (1995) Bianchi I

evrenlerinin çok geç dönemlerde de Sitter genişlemesi sergileyebileceğini

göstermiştir. Arbab (1997), zamanla değişen Newton sabiti G ve kozmolojik

“sabit” Λ’nın varlığında de Sitter genişlemesi sergileyen bir Bianchi I tipi bir

kozmolojik model sunmuştur. Kumar and Singh (2007) varsayımsal bir akışkanın

varlığında de Sitter genişlemesi sergileyen Bianchi I tipi bir kozmolojik model

sunmuşlardır.

Bu tez kapsamında da ilk olarak uzaysal olarak düz ve anizotropik Bianchi I

metriği çerçevesinde vakum enerjisinin anizotropiye sahip olması olasılığı dikkate

alanacak ve de Sitter genişlemesi yapan evrenler üzerinde durulacaktır.

Bianchi I metriği aşağıdaki gibi verilir;

ds2 = dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2dy2 − C(t)2dz2 , (109)

55

burada A(t) , B(t) ve C(t) yönsel ölçek çarpanlarıdır ve yalnızca kozmik zaman

t’nin fonksiyonudur.

Verilen bu metrik çerçevesinde, bir akışkanın enerji-momentum tensörü en

genel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

Tνµ = diag[T0

0, T11, T2

2, T33]. (110)

(109) ve (110) denklemleri dikkate alındığında Einstein alan denklemlerinin

çözümünden aşağıdaki denklem sistemi elde edilir:

A

A

B

B+

A

A

C

C+

B

B

C

C= T0

0, (111)

B

B+

C

C+

B

B

C

C= T1

1, (112)

A

A+

C

C+

A

A

C

C= T2

2, (113)

A

A+

B

B+

A

A

B

B= T3

3 . (114)

Genişleme anizotropi parametresi, evrim denklemleri (112)-(114) kullanılarak

enerji-momentum tensörü (110) ve ortalama Hubble parametresi cinsinden

aşağıdaki gibi bulunur;

∆ =1

9H2

3

i,j=1

λi+j +

(Ti

i − Tjj)V dt

2V

−2 ve i > j , (115)

burada λi+j gerçel sabitlerdir. Akışkanın izotropik olması durumunda

T11 = T2

2 = T33 olur. Bu durumda (115) denklemi Grøn (1985) tarafından

verilen aşağıdaki basit biçime indirgenir:

∆ =K

2

H2V 2. (116)

burada K2(= [λ32 + λ4

2 + λ52]/9) bir sabittir.

56

Denklem (111) kullanılarak, T 00 yani akışkanın enerji yoğunluğu ρ ,

genişleme anizotropisi ∆ ve ortalama Hubble parametresi H cinsinden aşağıdaki

gibi yazılır:

ρ = T00 = 3H2

1− ∆

2

. (117)

Bu, Bianchi I uzay-zamanı için genelleştirilmiş Friedmann denklemine eşdeğerdir

(Ellis and van Elst 1999; Barrow 1995). Buna göre, Bianchi I uzay-zamanında,

verilen bir Hubble parametresi H için, genişleme anizotropisi akışkanın enerji

yoğunluğunu azaltır; en büyük enerji yoğunluğu genişlemenin izotropik (∆ = 0)

olması durumunda elde edilir ve referans sistemine göre hareketsiz bir

gözlemcinin pozitif enerji yoğunluğu gözlemlenmesi için ∆ < 2 olmalıdır.

Denklem (117)’den hareketle, anizotropi enerji yoğunluğu (genişleme

anizotropisiyle ilişkili enerji yoğunluğudur ve shear skalerine özdeştir) aşağıdaki

gibi tanımlanabilir:

ρβ ≡ 3

2H

2∆. (118)

Denklem (115) bu tanımda kullanılırsa anizotropi enerji yoğunluğu için aşağıdaki

denklem elde edilir:

ρβ =1

6

3

i,j=1

λi+j +

(Ti

i − Tjj)V dt

2V −2 ve i > j. (119)

Burada, akışkanın anizotropisinin, integralli terim aracılığıyla, anizotropi enerji

yoğunluğunun belirlenmesine katkıda bulunduğu görülebilir. (119) denklemi,

akışkanın izotropik olması durumunda aşağıdaki basit biçime indirgenir:

ρβ =1

6

λ3

2 + λ42 + λ5

2V −2. (120)

Bu denklem Barrow and Turner (1981) tarafından izotropik akışkan durumu için

verilmiş olan denkleme eşdeğerdir. (120) denklemine göre, ρβ evrenin hacmi

arttıkça monoton olarak azalmakta, V → ∞ iken sıfıra yakınsamakta ve V → 0

iken ıraksamaktadır. Diğer taraftan, (119) denkleminden görülebileceği gibi,

akışkanın anizotropik olmasına izin verildiğinde, ρβ alışılmamış davranışlar

57

sergileyebilir. Diğer bir deyişle, anizotropik bir akışkanın varlığında, alışılmamış

izotroplaşma tarihi sunan evren modelleri elde edilebilir. Örneğin, V → 0 iken

ρβ ’nın ıraksamadığı ve/veya V → ∞ iken ρβ ’nın sıfıra yakınsamadığı modeller

kurulabilir.

Akışkanın basıncının, dolayısıyla durum denklemi parametrelerinin,

anizotropik olmasına izin verilmesi enerji kaynağının evriminde de yeni olanaklar

doğurur. Bunu görmek için öncelikle (110) denkleminde verilen enerji-momentum

tensörü aşağıdaki gibi parametreleştirilebilir:

Tνµ = diag[ρ,−p1,−p2,−p3] = diag[1,−w1,−w2,−w3]ρ

= diag[1,−w,−(w + γ),−(w + δ)]ρ. (121)

Burada p1 , p2 ve p3 sırasıyla x, y ve z yönlerindeki basınçlar, w1 , w2 ve w3

sırasıyla x, y ve z yönlerindeki durum denklemi parametreleridir. x yönündeki

durum denklemi parametresi w1 = w olarak yazıldıktan sonra, y yönündeki

durum denklemi parametresinin bundan sapmasını göstermek için γ parametresi

tanımlanmıştır (w2 = w + γ ). Benzer biçimde, z yönündeki durum denklemi

parametresinin sapmasını göstermek için δ parametresi tanımlanmıştır

(w3 = w + δ ). w , γ ve δ sabit olmak zorunda değildir ve kozmik zaman t’nin

fonksiyonu olabilirler.

Denklem (121)’deki gibi parametrize edilmiş bir enerji-momentum

tensörünün korunumu (Tµν;ν = 0),

ρ+ 3(1 + w)ρH + γρH2 + δρH3 = 0 (122)

denklemini verir. Buradaki son iki terim, γ ve δ ’yı içeren terimler, akışkanın

anizotropisinden dolayı gelmişlerdir. Bu iki terimin, geleneksel vakum enerjisinin

durum denklemi parametresinin anizotropi içerecek biçimde biraz

değiştirilmesiyle ne gibi olanaklar doğuracağı kısaca tartışılabilir. Geleneksel

vakum enerjisi p = −ρ biçiminde bir durum denklemi ile betimlenmektedir ve

matematiksel olarak Λ’ya özdeş alınmaktadır. (122) denkleminden açıkça

görülebilir ki, geleneksel vakum enerjisi (γ = δ = 0) dikkate alındığında, eğer

58

w = −1 ise zorunlu olarak enerji yoğunluğu ρ sabit olur; benzer biçimde, eğer ρ

sabit ise zorunlu olarak w = −1 olur. Diğer yandan, eğer vakum enerjisinin

enerji-momentum tensörü (121) denklemindeki biçime genelleştirilirse, yani

durum denkleminde anizotropiye izin verilirse, farklı olanaklar doğmaktadır.

Vakum enerjisinin tanımından en az miktarda uzaklaşılarak iki durum göz önüne

alınabilir. Birincisi, vakum enerjisinin, durum denklemi ile ilgili bir kısıtlama

koymadan, yoğunluğu sabit olan bir kaynak olduğu varsayılabilir. Bu durumda,

yani ρ = sbt. durumunda, (122) denklemi

3(1 + w)ρH + γH2 + δH3 = 0, (123)

biçimine dönüşür. Buna göre, enerji yoğunluğu sabit olsa da w sabit olmak

zorunda değildir. İkinci durum olarak da, w = −1 olan bir akışkanın vakum

enerjisini karakterize ettiği düşünebilir. Bu durumda da, (122) denklemi

ρ+ γρH2 + δρH3 = 0 (124)

biçimine dönüşür. Buna göre de, w = −1 olduğunda enerji yoğunluğu sabit

olmak zorunda değildir.

Denklem (119)’da verilen anizotropi enerji yoğunluğu (121) denkleminde

verilen enerji-momentum tensörü dikkate alındığında aşağıdaki gibi olur:

ρβ =1

6

3

i,j=1

λi+j +

(wj − wi)ρV dt

2V −2 ve i > j . (125)

Denklem (125)’e dikkat edilirse, anizotropi enerji yoğunluğu yalnızca λi+j

sabitleri ve evrenin hacmi tarafından değil integralli terim aracılığıyla yönsel

durum denklemi parametreleri (w1, w2 ve w3 ) ve akışkanın enerji yoğunluğu (ρ )

tarafından da belirlenmektedir.

Denklem (117) ve (118) dikkate alınırsa genelleştirilmiş Friedmann

denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir ve evrenin hacimsel genişleme hızını

belirleyen etkin enerji yoğunluğu ρetk denilen yeni bir büyüklük tanımlanabilir:

3H2 = ρ+ ρβ ≡ ρetk . (126)

59

Ortalama Hubble parametresinin tanımından (87), evrenin hacmi aşağıdaki gibi

bulunur:

V = c1e3Hdt , (127)

burada c1 > 0 integral sabitidir. (126) ve (127) denklemlerinden, evrenin hacmi

etkin enerji yoğunluğu cinsinden yazılabilir:

V = c1e√3 √

ρetkdt . (128)

Buna göre, de Sitter hacimsel genişlemesinin koşulu sabit enerji yoğunluğuna

sahip bir akışkan değil, sabit etkin enerji yoğunluğudur; şöyle ki,

ρetk = ρ+ ρβ = sbt. ise (128) denklemi

V = c1e√3ρetk t (129)

şeklinde yazılabilir. Şu açık ki, anizotropi enerji yoğunluğu (ρβ ) sıfır ise

geleneksel vakum enerjisinin varlığında (ρ = sbt.) evren de Sitter genişlemesi

sergileyecektir. Ancak, eğer anizotropi enerji yoğunluğu sıfır değil (ρβ = 0) ise,

etkin enerji yoğunluğu da sabit olmayacak ve ρβ ∝ V −2 olduğundan evren

genişledikçe küçülen bir fonksiyon olacaktır. Dolayısıyla, Beesham’ın (1994) da

gösterdiği gibi, Bianchi I uzay-zamanları geleneksel vakum enerjisinin varlığında

saf bir de Sitter genişlemesi sergilemez ancak güç yasasına uygun bir genişleme

sergileyebilir.

de Sitter genişlemesinin durumu, yalnızca vakum enerjisinin varlığında

tartışıldı. Anizotropi enerji yoğunluğunun etkilerinin vakum enerjisinin ve ideal

akışkanın birlikte bulunduğu durum için de irdelenmesi gerekir. Geleneksel ideal

akışkanlar (ışınım, basınçsız madde vb.), p = wρ (w sabit) biçiminde bir durum

denklemi ile betimlenebilmekte ve enerji yoğunlukları V −(1+w) ile orantılı olarak

değişmektedir. Dolayısıyla, geleneksel vakum enerjisi, ideal akışkan için w > −1

koşulu sağlandığı sürece, V → ∞ iken diğer bütün ideal akışkanlara baskın

duruma gelecektir. Buna göre, Wald (1983) tarafından ortaya koyulan cosmic no-

hair teoremine uygun olarak, bu evren geç dönemlerinde üstel olarak de Sitter

evrenine yaklaşacaktır. Diğer bir deyişle, kozmolojik sabitin varlığında Bianchi I

uzay-zamanları V → ∞ iken izotroplaşır ve bu uzay-zamanların hacimsel

60

genişleme hızları de Sitter genişlemesine yaklaşır. Diğer taraftan, (120)

denklemine göre, anizotropi enerji yoğunluğu bugünkü evrendeki tüm diğer ideal

akışkanlara göre ne kadar küçük olursa olsun bu ideal akışkanların durum

denklemi parametresi w < 1 olduğu sürece, V → 0 iken anizotropi enerji

yoğunluğu erken evrende tüm bu ideal akışkanlara baskın olur. Buna göre erken

evrenin dinamiklerini anizotropi enerji yoğunluğu belirler; yani erken evren için

çözümler Kasner vakum çözümlerine yaklaşır. Ancak, eğer vakum enerjisinin

izotropik olduğu varsayımı kaldırılır ve anizotropik özellikte olmasına izin

verilirse yukarıda söz edilen bu durumlar zorunluluk olmaktan çıkar. Çünkü,

(125) denkleminden görülebileceği gibi, vakum enerjisinin anizotropik özellikte

olması durumunda ρβ ’nın V −2 ile orantılı olması bir gereklilik değildir; ρβ ,

V → 0 iken ıraksamayabilir ve benzer biçimde V → ∞ iken sıfıra gitmeyebilir.

İzotroplaşma için verilen koşullar de Sitter genişlemesi gösteren bir evren

için şöyle yazılabilir: t → ∞ iken ρβ → 0 (çünkü de Sitter genişlemesi için H

sabittir ve V sürekli artmaktadır). Buna göre, (126) denkleminden görülebileceği

gibi, tanım gereği ρβ > 0 olduğuna göre ρβ < 0 olmalıdır. Bu da, yine (126)

denklemine göre H sabitken ρβ + ρ = 0 olacağından, t → ∞ iken ρ > 0

olmasını gerektirir. Dolayısıyla, izotroplaşma koşulları, de Sitter genişlemesi

sergileyen Bianchi I modellerinde, akışkanın phantom enerjisi (enerji yoğunluğu

evrenin hacmi arttıkça artan enerji kaynakları) gibi davranmasını gerektirir. Diğer

yandan, yine (126) denkleminden görülebileceği üzere, akışkanın enerji

yoğunluğu sabit (ρ = 0) ise anizotropi enerji yoğunluğu da sabittir (ρβ = 0). Yine

aynı denklemden, akışkanın enerji yoğunluğunun zamanla azalması dıurumunda

(ρ < 0) anizotropi enerji yoğunluğunun zamanla arttığı ρβ > 0 görülebilir.

4.1.2 LRS modeller ve iki tam model

Aşağıda, LRS Bianchi I çerçevesinde de Sitter hacimsel genişlemesi

sergileyen kozmolojik modeller incelenecek ve iki tam model verilecektir.

61

LRS Bianchi tip-I metriği aşağıdaki gibi verilebilir:

ds2 = dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2(dy2 + dz2). (130)

Dolayısıyla bu metrik için H2 = H3 olur ve aşağıda bunlar H2,3 ile temsil

edileceklerdir. (121) denkleminde verilen enerji-momentum tensörü bu metriğe

uygun olarak aşağıdaki gibi özelleştirilebilir:

Tνµ = diag[1,−w,−(w + γ),−(w + γ)]ρ . (131)

Denklem (130) ve (131) dikkate alındığında, Einstein alan denklemleri (111)-

(114) aşağıdaki denklem sistemine indirgenir:

B2

B2+ 2

A

A

B

B= ρ , (132)

B2

B2+ 2

B

B= −wρ, (133)

B

B+

B

B

A

A+

A

A= −(w + γ)ρ . (134)

Buna göre, başlangıç olarak beş değişken A , B , ρ , w , γ ve üç lineer bağımsız

denklem (132)-(134) vardır. Dolayısıyla, denklem sisteminin tam olarak

belirlenmesi için iki ek sınırlamaya gerek vardır. Ancak, bu yapılmadan önce de

(132)-(134) denklemlerinden yararlanılarak akışkanın fiziksel parametreleri (ρ, w

ve γ ) ortalama Hubble parametresi H ve x yönündeki yönsel Hubble parametresi

H1 cinsinden yazılabilir:

ρ = 3H2 − 3

4(H1 −H)2, (135)

w =ddt (H1 − 3H)− 3

4 (H1 − 3H)2

3H2 − 34 (H1 −H)2

, (136)

γ =32

ddt (H −H1) +

92 (H −H1)H

3H2 − 34 (H1 −H)2

. (137)

Anizotropi enerji yoğunluğu da, (117), (118) ve (135) denklemleri kullanılarak, H

ve H1 cinsinden yazılabilir,

ρβ =3

4(H1 −H)2. (138)

62

Denklem (135) ve (138)’in taraf tarafa toplamının (126) denklemini verdiği

görülebilir.

İlk sınırlama olarak etkin enerji yoğunluğunun evrenin tarihi boyunca sabit

olduğu varsayılmıştır:

ρetk = 3k2 , (139)

burada k pozitif bir sabittir ve dolayısıyla (126) denkleminden

H = k , (140)

bulunur. Bu da çok iyi bilinen de Sitter hacimsel genişlemesine karşılık

gelmektedir, yani,

V = AB2 = c1e3kt (141)

olur. (135) ve (140) denklemleri dikkate alınarak, (137) denklemi çözülürse x

eksenindeki ölçek çarpanı aşağıdaki gibi bulunur:

A = κekt+λ3k e−3kt+ 2

9k (e−3kt e3ktΓ(t)dt−

Γ(t)dt), (142)

burada κ > 0 ve λ gerçel sabitlerdir ve Γ(t) = γρ ise akışkanın basıncındaki

çarpıklıktır. (142) denklemi (141) denkleminde kullanılırsa y ve z eksenlerindeki

yönsel ölçek çarpanı aşağıdaki gibi bulunur:

B =c1κ

1/2ekt−

λ6k e−3kt− 1

9k (e−3kt e3ktΓ(t)dt−

Γ(t)dt). (143)

Bu ölçek çarpanları kullanılarak da yönsel Hubble parametreleri aşağıdaki gibi

bulunur:

H1 = k − λe−3kt − 2

3e−3kt

Γ(t)e3ktdt , (144)

H2,3 = k +λ

2e−3kt +

1

3e−3kt

Γ(t)e3ktdt . (145)

Denklem (140), (144) ve (145) denklemin (92)’de kullanılırsa, genişleme

anizotropisi ve anizotropi enerji yoğunluğu aşağıdaki gibi bulunur:

∆ =2

3

ρβk2

=1

18

e−6kt3λ+ 2

e3ktΓ(t)dt

2

k2. (146)

Görüldüğü üzere akışkanın basıncındaki çarpıklık kozmolojik parametrelerin

evrimine katkıda bulunmaktadır.

63

Belirlenen bir Γ(t) fonksiyonunun yukarıdaki denklemlerde yerine

koyulmasıyla kozmolojik parametreler elde edilebilir. Bir başka seçenek olarak

kozmolojik parametrelerden birisine (örneğin, akışkanın enerji yoğunluğuna ya da

durum denklemi parametresine) bir sınırlama daha getirilerek denklem sistemi

tam olarak belirlenebilir. Veya, akışkanın bir ideal akışkan olduğu, yani γ(t) = 0

(dolayısıyla, Γ(t) = 0 olur), varsayılabilir. Bu durumda, Kumar and Singh’in

(2007) ideal akışkanın varlığında üstel olarak genişleyen Bianchi I evreni için

verdiği çözümün bir benzeri elde edilir. Herhangi bir ideal akışkan için, yani

Γ(t) = 0 için, genişleme anizotropisinin başlangıçtaki büyüklüğü zaman arttıkça

monoton olarak azalır; ancak genişleme aniztoropisi, Γ(t) için seçilecek

fonksiyonun özelliğine göre alışılmamış davranışlar da sergileyebilir.

i) ρetk = sbt. ve w = −1 için model

Yukarıda belirtildiği gibi, (132)-(134) denklemlerinden oluşan sistemin tam

olarak belirlenebilmesi için, (139) denkleminde koyulan ve evrenin hacimsel

olarak de Sitter genişlemesi sergilemesini sağlayan ρetk = sbt. sınırlamasına ek

bir sınırlamaya daha gerek vardır. (139) sınırlaması evrenin hacimsel olarak de

Sitter genişlemesi sergilemesini garanti altına aldığına göre, ek sınırlama olarak

w = −1 (147)

uygun olur. Alan denklemleri (132-134), (139) ve (147) denklemlerinde verilen

sınırlamalar dikkate alınarak çözülürse, ölçek çarpanları aşağıdaki gibi bulunur:

A = c1ektκk−1 + 3λe−3kt

−2/3, (148)

B = ektκk−1 + 3λe−3kt

1/3 . (149)

Buradan, yönsel Hubble parametreleri de aşağıdaki gibi bulunur:

H1 = k +6λk2

κe3kt + 3λk, (150)

H2,3 = k − 3λk2

κe3kt + 3λk. (151)

Genişleme anizotropisi ve anizotropi enerji yoğunluğu

64

∆ =2

3

ρβk2

=18λ2k2

(κe3kt + 3λk)2 (152)

olarak bulunur. Burada ∆ ve ρβ ’ın dinamik bir davranış sergilediği görülebilir.

Akışkanın enerji yoğunluğunun da, ρ+ ρβ = 3k2 denklemini garantiye alacak

biçimde, dinamik olduğu bulunur:

ρ = 3k21− 9λ2k2

(κe3kt + 3λk)2

. (153)

Durum denklemin parametresinin çarpıklığı da dinamik bir özelliktedir:

γ = − 27λ2k2

κe3kt (κe3kt + 6λk). (154)

Bu çözüm (124) denklemini sağlamaktadır. Enerji yoğunluğunun pozitif olma

koşulu (ρ > 0 ), genişleme anizotropisinin ikiden küçük olmasını (∆ < 2)

gerektirir. Buna göre de λ yalnızca pozitif değerler alabilir. Aksi taktirde,

genişleme anizotropisinin ıraksadığı bir t zamanı mutlaka bulunacaktır.

Dolayısıyla bu modelde yalnızca λ > 0 durumları fiziksel evreni betimlemek için

uygun olabilir ve aşağıda λ > 0 durumları dikkate alınarak değerlendirme

yapılacaktır.

∆, t arttıkça monoton olarak azalmaktadır ve t → ∞ iken ∆ → 0 olur.

Öyleyse, bu modelde evren uzaysal izotropiye yaklaşmaktadır. Diğer yandan,

t → 0 iken ∆ → 2 [1− κ/(κ+ 3λk)]2 olur.

t → ∞ iken ρ → 3k2 ve γ → 0 olur. Bu, akışkanın evrenin geç

dönemlerinde izotroplaştığını ve geleneksel vakum enerjisini taklit ettiğini

gösterir. Diğer yandan, t → 0 iken ρ → 3k21−

1 + κ

λk

−2 ve γ → − 27λ2k2

κ2+6λκk

olmaktadır. Dikkat edilirse, γ her zaman negatif bir değerdir, bu da de Sitter

genişlemesi sergileyen bir Bianchi I evreninin izotroplaşma şartından beklenenle

uyumludur. Çünkü evrenin tarihi boyunca w = −1 olsa da, sonsuz limiti dışında

akışkanın y ve z eksenlerindeki yönsel durum parametresi -1’den küçüktür

65

(w2,3 < −1). Dolayısıyla akışkanın phantom enerji kaynağı gibi davranması

beklenir. Gerçekten de, enerji yoğunluğunun zamanla arttığı görülebilir.

ii) ρetk = sbt. ve ρ = sbt. için model

Bir önceki modelde (132)-(134) denklemlerinden oluşan sisteminin tam

olarak belirlenebilmesi için (139) kısıtlamasına ek olarak w = −1 kısıtlaması

getirilmişti. Bu modelde ise w serbest bırakılmış ancak akışkanın enerji

yoğunluğunun sabit olduğu varsayılmıştır:

ρ = sbt. (155)

Böylece, geleneksel vakum enerjisinin özelliklerinden biri yine korunmuş

olmaktadır.

Alan denklemleri (132-134), (139) ve (155) denklemlerinde verilen

kısıtlamalar dikkate alınarak çözülürse ölçek çarpanları aşağıdaki gibi bulunur:

A = κ−2c1ekt± 2

3

√9k2−3ρ t , (156)

B = κ1ekt∓13

√9k2−3ρ t . (157)

Buradan, yönsel Hubble parametreleri aşağıdaki gibi bulunur:

H1 = k ± 2

3

9k2 − 3ρ , (158)

H2,3 = k ∓ 1

3

9k2 − 3ρ . (159)

Genişleme anizotropisi ve anizotropi enerji yoğunluğu

∆ =2

3

ρβk2

= 2− 2

3

ρ

k2. (160)

olarak bulunur.

Akışkanın x eksenindeki yönsel durum denklemi parametresi

w =ρ− 6k2

ρ± 2

k

ρ

9k2 − 3ρ = −1− ∆∓

√2∆

1− ∆2

(161)

ve durum denklemi parametresinin çarpıklığı

66

γ = ∓3k

ρ

9k2 − 3ρ = ∓

3

∆2

1− ∆2

. (162)

olarak bulunur.

Bu çözüm (123) denklemini sağlamaktadır. Yönsel Hubble parametreleri,

genişleme anizotropisi, anizotropi enerji yoğunluğu ve yönsel durum

parametrelerinin hepsi evrenin tarihi boyunca sabit kalmaktadır.

Denklemlerden ρ ≤ 3k2 olduğu görülebilir. Bundan dolayı da, ρβ ≤ 3k2 ve

∆ ≤ 2 olur. ρ = 3k2 durumunda w = −1 , γ = 0 ve ∆ = 0 olmaktadır; buna

göre de, akışkan geleneksel vakum enerjisi gibi davranmakta ve evren izotropik

olarak genişlemektedir. Diğer yandan eğer ρ < 3k2 ise, akışkan için w > −1 ,

γ < 0 ya da w < −1, γ > 0 ve genişleme anizotropisi için ∆ > 0 olur. Diğer bir

deyişle, ρ < 3k2 ise, hem akışkan hem de evrenin genişlemesi izotropiden

sapmaktadır. Akışkanın durum denklemi parametresinin, x eksenindeki bileşeni

quintessence bölgesinde (w > −1) iken, y ve z eksenlerindeki bileşenleri phantom

w + γ < −1 bölgesindedir ya da tersi olur. Buna göre, evrenin x yönündeki

genişlemesi akışkanı, enerji yoğunluğunu azaltacak biçimde etkilerken evrenin yz

düzlemindeki genişlemesi enerji yoğunluğunu arttıracak biçimde etkilemektedir

(ya da tersi olur) ve bu toplamda akışkanın enerji yoğunluğunun sabit kalmasını

sağlayacak biçimde olmaktadır.

4.2 İki Akışkanlı LRS Bianchi I Modeller

Bir önceki bölümde verilen modelde vakum enerjisinin diğer her türlü

madde formlarının boşlanacağı kadar baskın olduğu bir evre için, de Sitter

genişlemesi vakum enerjisi anizotropik yapıda olacak şekilde genelleştirilerek

incelendi. Bu modelde ise, bileşenlerden biri anizotropik karanlık enerji alanı

yerine geçebilecek hipotetik bir akışkan diğeri ise bilinen geleneksel madde

alanlarını temsil eden bileşen olmak üzere iki akışkanın varlığı dikkate alınmıştır.

Bianchi I uzay-zamanı çerçevesinde anizotropik akışkanlı evren modelleri son

67

yıllarda bazı yazarlar tarafından incelenmiştir. Rodrigues (2008), dinamik

olmayan ancak anizotropik basınca sahip vakum enerjisinin varlığında bir modeli

iki farklı yolla kurmuştur: i) enerji-momentum korunumunu ihlal etmeden

vakumun anizotropik basınca sahip olduğunu varsayarak ve ii) vakum enerjisini

Poisson yapı bozunumuna uğratarak. Rodrigues bu çalışmasında enflasyonun

evrendeki anizotropiyi tamamen kaldırmayacak şekilde olmasını sağlayacak bir

vakum enerjisi kurgulamayı amaçlamıştır. Koivisto and Mota (2008a; 2008b;

2008c) ise enflasyonda oluşmuş olan izotropik uzayın, evrenin geç dönem

hızlanmasını sağlayan karanlık enerji tarafından bozulabileceğini öne

sürmüşlerdir. Bu bağlamda, dinamik olmayan ancak anizotropik durum denklemi

parametresine sahip ve geleneksel madde alanıyla etkileşen bir karanlık enerji

varsaymışlardır. Bu yaklaşımın kuadrupol problemini çözebileceğini ve evrenin

anizotropik bir genişlemeye sahip olup olmadığının SN Ia gözlemleri ile

sınanabileceğini belirtmişlerdir.

Campanelli et al. (2006, 2007, 2009) elipsoid bir evrenin WMAP

verilerindeki en öne çıkan kuadrupol değeri sorununu çözebileceğini öne

sürmüşlerdir. Böylesi bir uzaysal geometri LRS Bianchi I uzay-zamanı

çerçevesinde betimlenebilir. Bu yüzden LRS Bianchi I metriği iyi bir başlangıç

noktasıdır.

Uzaysal olarak homojen, anizotropik LRS Bianchi I uzay-zamanı aşağıdaki

gibi verilebilir:

ds2 = dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2(dy2 + dz2), (163)

burada A(t) ve B(t) ölçek çarpanlarıdır ve yalnızca kozmik zaman t’nin

fonksiyonudur. İdeal akışkanın ve anizotropik akışkanın birlikte bulunduğu durum

için Einstein alan denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

Gµν = Rµν − 1

2Rgµν = −T (m)

µν − T (ke)µν . (164)

Burada T (m)µν ve T (ke)

µν sırasıyla ideal akışkanı ve karanlık enerjiyi temsil

eden enerji-momentum tensörleridir. İdeal akışkanın enerji-momentum tensörü

karışık formda aşağıdaki gibi verilebilir:

68

T (m)

νµ= diag[ρ(m),−p(m),−p(m),−p(m)]

= diag[1,−w(m),−w(m),−w(m)]ρ(m), (165)

burada ρ(m) ideal akışkanın enerji yoğunluğu, p(m) basıncı ve w(m) durum

denklemi parametresidir. İdeal akışkan sıradan maddeyi ya da soğuk karanlık

maddeyi temsil edebilir; dolayısıyla izotropik bir basınca sahiptir ve

w(m) ≥ 0 ’dır. Karanlık enerjinin enerji-momentum tensörü ise aşağıdaki gibi

verilmiştir:

T (ke)νµ= diag[ρ(ke),−p1

(ke),−p2(ke),−p3

(ke)]

= diag[1,−w1(ke),−w2

(ke),−w3(ke)]ρ(ke)

, (166)

burada ρ(ke) karanlık enerjinin enerji yoğunluğu; p1(ke), p2(ke) ve p3(ke) sırasıyla

x, y ve z yönlerindeki basınçları; w1(ke) , w2

(ke) ve w3(ke) sırasıyla x, y ve z

yönlerindeki durum denklemi parametreleridir ve zamanın fonksiyonu olabilirler.

(163) denkleminde verilen metrik y ve z yönlerindeki basınçların farklı olmasına

izin vermez; dolayısıyla p2(ke) = p3(ke) ve w2(ke) = w3

(ke) olmalıdır. Buna

göre karanlık enerjinin enerji-momentum tensörü (166) aşağıdaki gibi

parametreleştirilebilir:

T (ke)νµ= diag[1,−(w(ke) + δ),−(w(ke) + γ),−(w(ke) + γ)]ρ(ke) , (167)

burada, w(ke) durum denklemi parametresinin sapmadan bağımsız bileşenidir ve

w(ke)’den olan sapmalar x yönündeki için δ , y ve z yönlerindeki için ise γ ile

gösterilmiştir. w(ke) , δ ve γ sabit olmak zorunda değillerdir ve zamanın

fonksiyonu olabilirler.

Einstein alan denklemleri, (163) denkleminde verilen metrik için, (165) ve

(167)’de verilen enerji-momentum tensörlerinin varlığında çözülürse aşağıdaki

denklem sistemi elde edilir:

B2

B2+ 2

A

A

B

B= ρ(m) + ρ(ke), (168)

B2

B2+ 2

B

B= −w(m)ρ(m) − (w(ke) + δ)ρ(ke), (169)

69

B

B+

B

B

A

A+

A

A= −w(m)ρ(m) − (w(ke) + γ)ρ(ke). (170)

Ayrıca Bianchi özdeşliği,

Gµν;ν = T (m)µν

;ν + T (ke)µν;ν = 0 (171)

toplam enerji-momentum tensörünün korunum denklemini aşağıdaki gibi verir:

ρ(m) +1 + w(m)

ρ(m)

A

A+ 2

B

B

+ρ(ke) +1 + w(ke)

ρ(ke)

A

A+ 2

B

B

+ ρ(ke)

δA

A+ 2γ

B

B

= 0

. (172)

Bu denklem, (168)-(170)’de verilen alan denklemlerine lineer bağımlıdır.

Başlangıç olarak sekiz bilinmeyen (A, B , ρ(m) , w(m) , ρ(ke) , w(ke) , δ , γ ) ve

üçü lineer bağımsız dört denklem -alan denklemleri (168-170) ve Bianchi

özdeşliğinden elde edilen korunum denklemi (172)- bulunmaktadır. Dolayısıyla,

sistem henüz tam olarak belirlenmemiştir. Yani, sistemin tam çözümü için ek

sınırlamalar gerekmektedir. İlk varsayım karanlık enerjinin yalnızca gravitasyonel

alanla etkileştiğidir, T (ke)µν;ν = 0 . Buna bağlı olarak, Bianchi özdeşliğinden

ideal akışkanın da yalnızca gravitasyonel alanla etkileştiği görülebilir,

T (m)µν;ν = 0 . Böylece, Bianchi özdeşliği kendi içinde korunan iki bileşene

ayrılmış olur. Yani, karanlık enerjinin enerji-momentum tensörünün korunumu

T (ke);ν = ρ(ke) +

1 + w(ke)

ρ(ke)

A

A+ 2

B

B

+ ρ(ke)

δA

A+ 2γ

B

B

= 0 (173)

ve ideal akışkan bileşenin enerji-momentum tensörünün korunumu

T (m)µν;ν = ρ(m) +

1 + w(m)

ρ(m)

A

A+ 2

B

B

= 0. (174)

Karanlık enerjinin korunum denklemi (173), w(ke) ’den sapmalardan doğan

(denklemde en sağda bulunan) terim ayırt edilecek biçimde iki parçaya ayrılabilir:

T (ke)µν;ν = T

(ke)µν;ν + τ (ke)

µν;ν = 0 . (175)

Sapmalardan doğan terimin sıfır olduğu varsayılmıştır; yani,

70

τ (ke)µν

;ν = ρ(ke)δA

A+ 2γ

B

B

= 0 . (176)

Bu denklem, (175) denkleminde kullanıldığında da yalnızca gravitasyonel alanla

etkileşen ideal akışkanın korunum denklemine benzeyen

T(ke)µν

;ν = ρ(ke) +1 + w(ke)

ρ(ke)

A

A+ 2

B

B

= 0 (177)

denklemi elde edilir. Bu denklem d lnρ = −(1 + w(ke))d lnV şeklinde de

yazılabilir. Buna göre, karanlık enerjinin enerji yoğunluğunun değişimini

sapmadan bağımsız durum parametresi w(ke) doğrudan kontrol etmektedir. Ne var

ki, tam çözümlerde görüleceği gibi, δ ve γ sapmaları w(ke) ’yi etkileyeceğinden

dolayı ρ(ke) ’nin davranışı izotropiden sapmalardan dolaylı olarak etkilenir. (176)

denklemine dönülecek olursa, δ ve γ sabit iseler, bu denklemin sağlanabilmesi

için δ = γ = 0 ya da evrenin x eksenindeki genişleme hızının y ve z eksenindeki

genişleme hızına oranı −2γ/δ olmalıdır. Diğer yandan, eğer δ ve γ ’nın zamanın

fonksiyonu olmalarına izin verilerek bir sınırlandırılma getirilirse daha genel ve

ilginç çözümler bulmak mümkün olur. Bu düşünceden hareketle x yönündeki

sapma parametresi δ’nın aşağıdaki gibi bir dinamiğe sahip olduğu varsayılmıştır:

δ(t) = n2

3

B

B

A

A+ 2

B

B

1

ρ(ke), (178)

ve bu denklemin (176) denkleminde kullanılmasıyla, y ve z eksenindeki sapma γ

aşağıdaki gibi bulunur:

γ(t) = −n1

3

A

A

A

A+ 2

B

B

1

ρ(ke). (179)

Burada n parametresi boyutsuz bir gerçel sabittir ve w(ke) ’den sapmanın

büyüklüğünün ayarlanmasını sağlar. Karanlık enerjinin anizotropisinin bir ölçüsü

olarak (δ − γ)/w(ke) değerine bakılabilir. Bu değerin sıfır olması karanlık

enerjinin izotropik olduğu anlamına gelir ve n = 0 durumunda bu değerin de sıfır

olduğu görülebilir.

71

Daha önce de belirtildiği gibi, SN Ia, CMB ve büyük ölçekli yapı

oluşumlarından elde edilen güncel kozmolojik veriler karanlık enerjinin dinamik

olarak evrimleşiyor olabileceğini ve phantom ayrım çizgisini geçebileceğini bir

ölçüde desteklemektedir. Bu yüzden bu modeldeki karanlık enerji bileşeninin

sapmadan bağımsız durum denklemi parametresinin serbest bırakılarak zamanın

fonksiyonu olmasına izin verilmesi makul bir yaklaşımdır. Diğer yandan, ideal

akışkan bileşeni sıradan maddeyi ya da soğuk karanlık maddeyi temsil ettiğinden,

ideal akışkanın durum denklemi parametresinin sabit olduğunun varsayılması da

makul bir yaklaşım olur:

w(m) =p(m)

ρ(m)= sbt. (180)

Ancak, w(ke) serbest bırakıldığından modelin tam olarak belirlenebilmesi için ek

bir sınırlandırmaya daha gerek vardır. Bunun için ortalama Hubble parametresi

H’nin belli bir yasaya göre değiştiği varsayılmıştır. İlk kez Berman (1983) ve

daha sonra Berman and Gomike (1988) tarafından RW uzay-zamanı çerçevesinde

kullanılan bu yasa evrenin ivmelenme parametresinin (q) değerinin sabit olmasını

sağlamaktadır. Böylesi bir Hubble parametresi gözlemlerle de tutarsız değildir

(Kumar and Singh, 2007; Singh and Kumar, 2007) ve yavaşça değişen bir

ivmelenme parametresi durumları için de yaklaşık olarak geçerli alınabilir (Singh

et al. 2008a). Yakın geçmişte, benzeri bir Hubble parametresi değişim yasası

anizotropik uzay-zamanlar için önerildi ve Bianchi I (Kumar and Singh, 2007),

LRS Bianchi II (Singh and Kumar, 2006; Singh and Kumar, 2007) ve Bianchi V

(Singh et al., 2008a; Singh et al., 2008b; Singh and Baghel, 2009) metrikleri

çerçevesinde genel görelilikçi kozmolojik model çözümleri verildi. Bu değişim

yasasına göre LRS Bianchi I metriği için ortalama Hubble parametresi aşağıdaki

gibi verilir:

H = k(AB2)−m3 , (181)

burada k > 0 ve m ≥ 0 sabitlerdir. Bu modelde dikkate alınan metrik için

ortalama Hubble parametresi, (92) denkleminde verilen tanımdan, aşağıdaki gibi

yazılabilir:

72

H =1

3

A

A+ 2

B

B

. (182)

Denklem (181) ve (182)’in eşitlenmesiyle elde edilen denklemin integre

edilmesinden;

m = 0 icin AB2 = c1e3kt (183)

ve

m = 0 icin AB2 = (mkt+ c2)3m . (184)

bulunur. Bu denklemler ortalama Hubble parametresinin tanımında kullanılırsa

m = 0 icin H = k (185)

ve

m = 0 icin H = k(mkt+ c2)−1 (186)

bulunur. Bunlar da ivmelenme parametresinin tanımında (90) kullanıldığında

m = 0 icin q = −1 (187)

ve

m = 0 icin q = m− 1 (189)

bulunur. Dolayısıyla, 0 ≤ m < 1 aralığındaki modeller hacimsel olarak hızlanarak

genişleyen, m > 1 olan modeller yavaşlayarak genişleyen ve m = 1 olan model

sabit hızla genişleyen modellerdir.

(169) denklemi (170) denkleminden çıkarılır, bulunan sonuçta sapma

parametreleri (178 ve 179) ve ortalama Hubble parametresi tanımı kullanılarak

gerekli düzenleme yapılırsa aşağıdaki denklem elde edilir:

d

dt

A

A− B

B

+

A

A− B

B

3H = 3nH2. (190)

Bu denklem, (185) ve (186) denklemleri dikkate alınarak integre edilirse; evrenin

x eksenindeki genişleme hızı ile y ve z eksenlerindeki genişleme hızı arasındaki

fark bulunabilir:

m = 0 icinA

A− B

B= λe−3kt + nk, (192)

73

m = 0 ve 3 icinA

A− B

B=

λ

(mkt+ c2)3m

+3nk

(3−m)(mkt+ c2), (193)

m = 3 icinA

A− B

B=

λ

3kt+ c2+

nk ln(3kt+ c2)

3kt+ c2, (194)

burada λ integral sabitidir ve gerçel bir sayıdır. Dikkat edilirse, λ ve n Hubble

parametreleri arasındaki farkı parametrize eden iki parametredir.

i) m = 0 (q = −1) için model

(192) denklemi kullanılarak A/B oranı bulunabilir, sonuç (183) denklemi

kullanılarak düzenlendiğinde, ölçek çarpanları aşağıdaki gibi bulunur:

A = c11/3κ2/3ekt−

29

λk e−3kt+ 2

3nkt , (195)

B = c11/3κ−1/3ekt+

19

λk e−3kt− 1

3nkt , (196)

burada κ > 0 integral sabitidir. Buradan yönsel Hubble parametreleri aşağıdaki

gibi bulunur:

H1 = k +2

3λe−3kt +

2

3kn , (197)

H2,3 = k − 1

3λe−3kt − 1

3kn. (198)

Yönsel Hubble parametreleri (197 ve 198) ve ortalama Hubble parametresi

(185) kullanılırsa genişleme anizotropisi

∆ =2

9

λe−3kt + nk

2

k2 (199)

olarak ve shear skaleri

σ2 =1

3

λe−3kt + nk

2 (200)

olarak bulunur.

Ölçek çarpanları (174) denkleminde kullanıldığında, ideal akışkanın enerji

yoğunluğu

74

ρ(m) = ρ(m)0 e−3k(1+w(m))t , (201)

olarak bulunur. Burada ρ(m)0 integral sabitinden gelmektedir ve ideal akışkanın

t = 0 anındaki enerji yoğunluğuna karşılık gelir. Karanlık enerjinin enerji

yoğunluğu, ölçek çarpanlarının ve ideal akışkanın enerji yoğunluğunun (168)

denkleminde kullanılması ile bulunabilir ve genişleme anizotropisi (199)

cinsinden ifade edilebilir:

ρ(ke) = 3k21− 1

2∆

− ρ(m). (201)

Ölçek çarpanları ve (201) denklemi (73) denkleminde kullanılarak, karanlık

enerjinin sapmadan bağımsız durum denklemi parametresi aşağıdaki gibi bulunur:

w(ke) =3w(m)ρ(m)(t) + λ2e−6kt + k2

9− n2

3ρ(m)(t) + λ2e−6kt + 2λkne−3kt − k2 (9− n2). (202)

Ölçek çarpanları ve (201) denklemi (178) ve (179)’da kullanılırsa sapma

parametreleri aşağıdaki gibi bulunur:

δ =2λkne−3kt + 2k2n(n− 3)

3ρ(m) + λ2e−6kt + 2λkne−3kt − k2 (9− n2), (203)

γ =2λkne−3kt + 2k2n(n+ 3/2)

3ρ(m) + λ2e−6kt + 2λkne−3kt − k2 (9− n2). (204)

Bu modelde q = −1 ve dH/dt = 0’dır. Bu da, bu modelde ortalama Hubble

parametresinin ve evrenin genişleme hızının en büyük değerlere sahip olduğu

anlamına gelir. Dolayısıyla bu modelin, karanlık enerjinin çok baskın olacağı

evrenin en geç dönemlerini temsil edebileceği gibi, erken evrendeki enflasyon

dönemini de temsil edebileceği düşünülebilir.

Uzaysal hacim, t = 0 ’da sonlu bir değere sahiptir, t artıkça üstel olarak

genişler ve t → ∞ iken sonsuz büyüklüğe ulaşır. Yönsel Hubble parametreleri

hem t = 0 ve t = ∞ ’da sonlu değerlere sahiptirler ve ortalama Hubble

parametresinden sapmadan λ ve n parametreleri sorumludur. λ evrenin x

75

yönündeki genişlemesini desteklerken, y ve z yönlerindeki genişlemesine karşı

çıkmaktadır ya da tersi gerçekleşir. Ancak bu etki zamanla üstel olarak azalmakta

ve t → ∞ iken sıfıra yakınsamaktadır. Karanlık enerjinin anizotropisi de

λ’nınkine benzer bir etkiye sahiptir ancak bu etki λ’nınkinin aksine kalıcıdır. n’in

etkisi (yani karanlık enerjinin anizotropisi) evrenin x yönündeki genişlemesini

desteklerken, y ve z yönlerindeki genişlemesine karşı çıkar ya da tersi olur. Ancak

burada dikkat edilmesi gereken bir nokta, tek başlarına alındığında λ ve n

parametreleri genişlemenin izotropiden sapmasına neden olsa da birlikte ele

alındıklarında bunların belli bir dönem genişleme anizotropisinde azaltıcı etki de

yapabilecek olmalarıdır. Denklem (93)’e bakıldığında, λ ile n ters işaretli ise,

∆’nın λ ’nın tek başına var olması durumundakine göre daha küçük değerlere

sahip olduğu bir zaman dilimi olacaktır; ancak, ∆ önünde sonunda n’e bağlı

olarak sıfırdan farklı bir değere yakınsar. Başka bir deyişle, λ ile n ters işaretli

olduğu durumda, karanlık enerjinin anizotropisi genişleme anizotropisini

küçültme yönünde bir etki yapabilse de nihai olarak evrenin uzaysal olarak

anizotropiye gitmesine neden olacaktır.

Genişleme skaleri evrenin evrimi boyunca sabittir. Shear skaleri t = 0 ’da

sonludur ve t → ∞ iken n2k2/3 değerine yakınsar. −3/2 < n < 3 ise evren her

yönde sonsuza kadar genişlemeye devam eder. Diğer yandan, n < −3/2 ise evren

t → ∞ iken pankek tipi tekilliğe, n > 3 ise de sigara tipi tekilliğe gider.

n = −3/2 ise, t → ∞ iken x ekseni sonlu bir pozitif değere yakınsarken y ve z

eksenleri sonsuza gider. n = 3 ise, t → ∞ iken y ve z eksenleri sonlu bir pozitif

değere yakınsarken x ekseni sonsuza gider.

İdeal akışkanın enerji yoğunluğu, tanım gereği w(m) ≥ 0 ve sabit

olduğundan, t arttıkça üstel olarak azalır ve t → ∞ iken sıfıra gider. Karanlık

enerjinin enerji yoğunluğu, görece erken zamanlarda biraz değişim sergileyebilir

ancak önünde sonunda sıfırdan farklı bir değere yakınsar. Dolayısıyla,

ρ(de)/(ρ(m) + ρ(de)) oranı zamanla 1 değerine yaklaşır; yani, beklendiği gibi üstel

76

hacimsel genişlemede (enflasyon dönemi ya da evrenin çok geç dönemleri

düşünülebilir) karanlık enerji önünde sonunda ideal akışkan bileşenine baskın

gelecektir. Karanlık enerji baskın olacağından, analize devam edilirken ideal

akışkan bileşeni boşlanabilir. |n+ λ/k| < 3 ve |n| < 3 koşulları sağlandığında;

karanlık enerjinin enerji yoğunluğu her zaman pozitiftir, t = 0 anında sonlu bir

değere sahiptir ve sabitlere verilen değere bağlı olarak görece erken zamanlarda

farklı davranışlar sergileyebilir. Ancak t → ∞ iken 3k2(1− n2/9) değerine

yakınsar (Şekil 4.1). Şekil 4.1’den, herhangi bir anda, genişleme anizotropisi ne

denli büyükse karanlık enerjinin enerji yoğunluğunun o denli küçük olduğu

görülmektedir. λ sabiti genişleme anizotropisindeki etkisini üstel olarak

kaybettiğinden, görece büyük t değerleri için, |n| ne denli büyükse ρ(ke) ’nin belli

bir andaki değerinin o denli küçük olacağı söylenebilir. w(ke) phantom bölgesinde

(w < −1) ya da quintessence bölgesinde (w > −1) başlayabilir, t artıkça farklı

davranışlar sergileyebilir, ancak önünde sonunda t → ∞ iken w(ke) → −1

(Şekil 4.2). Şekil 4.1 ve Şekil 4.2’ye birlikte bakılacak olursa, beklendiği gibi,

w(ke) > −1 iken ρ(ke) ’nin zamanla azaldığı, w(ke) < −1 iken ρ(ke)’nin zamanla

arttığı ve w(ke) = −1 iken ρ(ke) ’nin zamanla değişmeyip sabit kaldığı görülebilir.

n = 0 ise genişleme anizotropisi zamanla monoton olarak azalır. Ancak, n = 0

ise, görece erken zamanlarda çeşitli davranışlar sergiler ve geç zamanlarda

sıfırdan farklı bir değere doğru yakınsamaya başlar (Şekil. 4.3). Sapma

parametreleri δ ve γ , t = 0’da sonlu değerlere sahiptirler, t → ∞ iken sırasıyla

2n/(n+ 3) ve n(2n+ 3)/(n2 − 9) değerlerine yakınsarlar. Karanlık enerjinin

(δ − γ)/w(ke) biçiminde tanımlanabilecek olan anizotropisi zamanla 9n/(n2 − 9)

değerine yaklaşır (Şekil 4.4).

77

Şekil 4.1 m = 0 modelinde n’in farklı değerleri için kozmik zaman t’ye karşı ρ(ke). λ = k = 1

olduğu varsayılmıştır.

Şekil 4.2 m = 0 modelinde n’in farklı değerleri için kozmik zaman t’ye karşı w(ke). λ = k = 1 olduğu varsayılmıştır.

78

Şekil 4.3 m = 0 modelinde n’in farklı değerleri için kozmik zaman t’ye karşı ∆ . λ = k = 1

olduğu varsayılmıştır.

Şekil 4.4 m = 0 modelinde n’in farklı değerleri için kozmik zaman t’ye karşı karanlık enerjinin

anizotropisi . λ = k = 1 olduğu varsayılmıştır.

79

ii) m = 0 (q > −1) için model

Bu bölümdeki çözümler m = 0 ve m = 3 dışındaki bütün m değerleri için

geçerlidir; m = 3 için çözüm bu bölümün ardından ayrıca verilecektir.

(186) denkleminden görülebileceği gibi m = 0 için evrenin başlangıç

zamanı t∗ = −c2/mk ’dır. Bu nedenle, kolaylık olması açısından kozmik zaman

aşağıdaki gibi yeniden tanımlanabilir:

t = mkt+ c2, (205)

böylece evrenin başlangıç zamanı t = 0 olarak belirlenmiş olur. Dolayısıyla,

metrik yeni zaman tamına göre yeniden yazılabilir:

ds2 = (mk)−2dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2(dy2 + dz2). (206)

(193) denklemi kullanılarak ölçek çarpanlarının oranı A/B bulunabilir, daha

sonra sonuç (184) denklemi kullanılarak düzenlendiğinde ölçek çarpanları


A = κ2/3t1m− 2n

m(m−3) e23

λk(m−3) t

1− 3m , (207)

B = κ−1/3t1m+ n

m(m−3) e−13

λk(m−3) t

1− 3m, (208)

burada κ > 0 integral sabitidir. Yeni zaman tanımına göre evrenin hacmi aşağıdaki

gibi bulunur:

V = t3m . (209)

Yönsel Hubble parametreleri aşağıdaki gibi bulunur:

H1 = kt−1

+2

3λt

− 3m − 2nk

(m− 3)t−1, (210)

H2,3 = kt−1 − 1

3λt

− 3m +

nk

(m− 3)t−1. (211)

(186), (210) ve (211) denklemleri genişleme anizotropisinin tanımında

kullanılırsa, genişleme anizotropisi için aşağıdaki denklem elde edilir:

∆ =2

9

λ

kt1− 3

m − 3n

m− 3

2

, (212)

80

ve shear skaleri aşağıdaki gibidir:

σ2 =1

3k2t

−2λ

kt1− 3

m − 3n

m− 3

2

. (213)

Ölçek çarpanları (174) denkleminde kullanılır ve gerekli işlemeler yapılırsa

ideal akışkanın enerji yoğunluğu aşağıdaki gibi bulunur:

ρ(m) = ρ(m)0 t

− 3m (1+w(m)). (214)

(168) denkleminde, karanlık enerjinin enerji yoğunluğu, ölçek çarpanları ve

ideal akışkanın enerji yoğunluğu (214) kullanılarak bulunabilir ve genişleme

anizotropisi cinsinden yazılabilir:

ρ(ke) = 3k21− 1

2∆(t)

t−2 − ρ(m). (215)

Ölçek çarpanları ve (215) denklemi (177) denkleminde kullanıldığında

karanlık enerjinin sapmadan bağımsız durum denklemi parametresi için aşağıdaki

denklem bulunur:

w(ke) =

23

mm−3λnkt

−1− 3m − 1

3λ2t−

6m + (2m− 3)k2t−2

1− n2

(m−3)2

− w(m)ρ(m)

3k21− 1

2∆(t)t−2 − ρ(m)

. (216)

Son olarak ölçek çarpanları ve karanlık enerjinin enerji yoğunluğu (178) ve

(179) denklemlerinde kullanılırsa sapma parametreleri aşağıdaki gibi bulunur:

δ =nkt−2

2k − 2

3λt1− 3

m + 2nk(m−3)

3k21− 1

2∆(t)t−2 − ρ(m)

, (217)

γ =nkt−2

−k − 2

3λt1− 3

m + 2nk(m−3)

3k21− 1

2∆(t)t−2 − ρ(m)

. (218)

(90) ve (209) denklemleri dikkate alındığında, evrenin 0 < m < 1

modellerinde hacimsel olarak hızlanarak, m > 1 yavaşlayarak ve m = 1 için

sabit hızla genişlediği görülebilir. Bu model m = 2 ve w(m) = 1/3 alındığında

81

ışınım baskın dönemi m = 3/2 ve w(m) = 0 alındığında madde baskın dönemi

temsil edebilir.

Ortalama Hubble parametresi, genişleme skaleri ve shear skaleri t = 0 ’da

sonsuz büyüklükte ve t = ∞ iken sıfırdır.

m > 3 ise, t = ∞’da uzay λ > 0 için sigara tipi ve λ < 0 için pankek tipi

tekillik sergiler. m < 3 ise, (m− 3)/2 < n < 3−m koşuluyla evren her yönde

sonsuz büyük değerlere genişler. n = 3−m ise, t → ∞ iken A → ∞ ve

B → κ−1/3 . n = (m− 3)/2 ise, t → ∞ iken B → ∞ ve A → κ2/3 .

n > 3−m ise, uzay t = ∞ ’da sigara tipi tekillik sergiler. n < (m− 3)/2 ise

uzay t = ∞’da pankek tipi tekillik sergiler.

m < 3 ise, genişleme anizotropisi t → 0 iken ıraksar, t → ∞ iken sonlu

bir değere yakınsar. Genişleme anizotropisinin karanlık enerjinin enerji

yoğunluğunu azalttığı görülmektedir. Dolayısıyla karanlık enerjinin dinamiği

incelenirken genişleme anizotropisinin davranışı, özellikle de ıraksadığı durumlar

olduğundan, göz önünde bulundurulmalıdır. m < 3 olan modellerde, t sıfıra

giderken ∆ ıraksayacağından t → 0 iken ρ(ke) önünde sonunda negatif değerlere

ulaşır. Dolayısıyla bu modeller evrenin görece erken dönemlerini temsil etmek

için uygun değildir. Diğer yandan, bu modeller evrenin görece geç dönemlerini

temsil edebilir; çünkü sabitler için uygun değer aralıkları verilerek her zaman için

t → ∞ iken ρ(de) ≥ 0 olması sağlanabilir. Benzer biçimde, m > 3 olan

modellerde, bu kez genişleme anizotropisi t → ∞ iken ıraksayacağından,

t → ∞ iken ρ(ke) önünde sonunda negatif değerler alır. Dolayısıyla, bu modeller

ise evrenin geç dönemini temsil etmek için uygun değildir; ancak, sabitler için

uygun değer aralıkları seçildiğinde evrenin görece erken dönemlerini temsil

edebilirler.

82

w(ke) ve karanlık enerjinin anizotropisi (δ − γ)/w(ke) parametrelerin

seçimine göre çeşitli davranışlar gösterebilir. Burada şunu bir kez daha

belirtmekte yarar var; karanlık enerjinin anizotropisi evrenin genişlemesinde her

zaman anizotropi doğuracak demek doğru değildir. λ ile n ters işaretli ise karanlık

enerjinin genişleme anizotropisini azalttığı dönemler de vardır.

Güncel kozmolojik veriler kullanılarak t = 1 günümüz evrenini temsil eden

zaman olarak ayarlanabilir. Bunun için Hinshaw et al. (2009) tarafından günümüz

evreni için verilen değerler, H0 ≈ 0.71 (boyutsuz Hubble parametresi),

Ω(ke)0 ≈ 0.73 (karanlık enerjinin yoğunluk parametresi), w(ke)

0 ≈ −1 ,

Ω(m)0 ≡ 1− Ω(ke)

0 ≈ 0.27 yaklaşık olarak kullanılabilir. Yine gözlemler günümüz

evreninin büyük yaklaşıklıkla uzaysal olarak düz RW metriği ile temsil

edilebileceğine işaret etmektedir. Buna göre ∆0 = 0 alınabilir. Son olarak

günümüzde basınçsız maddenin enerji yoğunluğu ışınıma baskındır ve öyleyse

w(m) = 0 alınabilir. Değerlerdeki 0 alt indisi günümüz evrenini, yani buradaki

modelde t = 1 zamanını temsil etmektedir. Bu parametreler kullanıldığında

evrenin kritik yoğunluğu ρ(c)0 = 1.5123 ve ivmelenme parametresi q0 = −0.595

olarak bulunur. Bu değerler dikkate alındığında, buradaki model için

λ = −0.8208092487n alınarak ∆0 = 0 ve w(ke)0 = −1 bulunur ve

ρ(ke)0 = 1.103979, ρ(m)0 = 0.408321 olur.

Böylece verilen model günümüz evrenini temsil edecek biçimde uyarlanmış

oldu. m ∼= 0.4 olduğuna göre, ideal akışkanın enerji yoğunluğu yaklaşık olarak

t−8 ile orantılı olarak azalırken, karanlık enerjinin enerji yoğunluğu yaklaşık

olarak t−2 ile orantılı olarak azalmaktadır ve en büyük değerine genişleme

anizotropisinin sıfır olduğu t = 1 anında ulaşmaktadır. Dolayısıyla, t > 1

dönemlerinde karanlık enerji ideal akışkana baskın hale gelecektir. Günümüz

evreni için ivmelenme parametresi q’nün çok yavaş değiştiği düşünülürse,

yukarıda bulunan değerler kullanılarak farklı n değerleri için kozmolojik

83

parametrelerin t = 1 yöresindeki davranışlarını grafikle göstermek mümkündür.

Grafikler akışkanın izotropik olduğu n = 0 durumunu, n parametresinin negatif

olduğu bir durumu (n = −0.3) ve n parametresinin pozitif olduğu bir durumu

(n = 0.5) kapsamaktadır. n’in bu kadar büyük değerleri gerçekçi olmasa da

farklılıkların grafiklerde gözükmesi amacıyla büyük seçilmişlerdir. Daha önce

değinildiği gibi m < 3 modelleri görece erken evrenden çok görece geç evreni

betimler. Bu nedenle grafiklerde zaman aralığı geçmişe doğru az ancak ileriye

doğru daha fazla uzatılmış ve 0.9 < t < 1.5 aralığında verilmiştir. Karanlık

enerjinin enerji yoğunluğunun değişimi Şekil 4.5’ten görülebilir. Karanlık

enerjinin enerji yoğunluğu t = 1 anına kadar artmakta daha sonra azalmaya

başlamaktadır. Karanlık enerjinin sapmadan bağımsız durum denklemi

parametresinin farklı n değerleri için davranışı Şekil 4.6’da görülebilir. w(ke) , n’e

bağlı olarak phantom bölgesinde bulunan farklı değerlerle başlayıp, artmaktadır;

bütün n değerleri için t = 1’de -1 değerine ulaşmakta, daha sonra n’e bağlı olarak

yine farklı yollar izleyerek artmaya devam edip, quintessence bölgesinde bulunan

n’den bağımsız sabit bir değere (∼ −0.75 ) yaklaşmaktadır. Daha erken

zamanlarda daha dik bir değişim gösterirken, zamanla daha yatay bir duruma

geçmektedir. Şekil 4.5 ve Şekil 4.6’a birlikte bakılırsa, w(ke) ’in davranışının

ρ(ke)’in davranışı ile uyumlu olduğu görülebilir. w(ke) phantom bölgesinde iken

ρ(ke)’in enerji yoğunluğu artmakta, w(ke) quintessence bölgesinde iken

azalmaktadır ve w(ke) = −1 ’de (t = 1 anında) dönüm noktası bulunmaktadır.

ρ(m), n’den bağımsız olarak zamanla azalmaktadır (Şekil 4.7). Ω(ke)’in davranışı

Şekil 4.8’de verilmiştir. Ω(ke) , n’e bağlı olarak küçük farklılıklar göstermekle

birlikte zamanla sürekli olarak büyümekte, n’den bağımsız olarak t = 1 anında

0.73 değerini almakta, daha sonra n’e bağlı olarak küçük farklılıklar gösterse de

n’den bağımsız olarak 1 değerine yaklaşmaktadır. Genişleme anizotropisinin

davranışı Şekil 4.9’da verilmiştir. ∆ , n = 0 durumu için sürekli olarak sabit ve

sıfırdır. Diğer durumlar için, sonlu bir değerden başlayıp t = 1 anında sıfır

değerine ulaşıncaya kadar azalmakta ve daha sonra yeniden büyümeye başlamakta

ve n’in değerine bağlı bir sabit bir değere yaklaşmaktadır. Bu davranış karanlık

84

enerjinin davranışı ile uygunluk içerisindedir. Son olarak karanlık enerjinin

anizotropisinin davranışı çizdirilmiştir (Şekil 4.10 ). n = 0 için n’in işaretine göre

negatif ya da pozitif değere sahip olur ve önceleri yavaşça değişip zamanla sonlu

bir değere yakınsar.

Şekil 4.5 m = 0.405 modelinde n’in farklı değerleri için t = 1 komşuluğunda, kozmik zaman

t ’ye karşı ρ(ke) . λ = 0.8208092487n seçilerek, ∆ ’ın t = 1 ’de sıfır olması sağlanmıştır.

85


t ’ye karşı w(ke) . λ = 0.8208092487n seçilerek, ∆ ’ın t = 1 ’de sıfır olması

sağlanmıştır. w(ke) = −1.


t ’ye karşı ρ(m). ρ(m)’nın davranışı n’den bağımsızdır.

86


t ’ye karşı Ω(ke) . λ = 0.8208092487n seçilerek, ∆ ’ın t = 1 ’de sıfır olması

sağlanmıştır. Ω(ke)(1) = 0.73.


t ’ye karşı ∆. λ = −0.8208092487n seçilerek, ∆’ın t = 1’de sıfır olması sağlanmıştır.

87

iii) m = 3 (q = 2) için model

(184) denkleminden, m = 3 seçildiğinde, evrenin başlangıç zamanının

t∗ = −c2/3k olduğu görülebilir. Buna göre kozmik zaman yeniden aşağıdaki gibi

tanımlanır:

t = 3kt+ c2. (219)

Böylece evrenin başlangıç zamanı t = 0 olarak ayarlanmış olur ve metrik

yeniden aşağıdaki gibi yazılır:

ds2 = (3k)−2dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2(dy2 + dz2). (220)

(194) denklemi kullanılarak bulunan A/B oranı m = 3 alınarak (184)

denkleminin yardımıyla düzenlenirse, ölçek çarpanları aşağıdaki gibi bulunur:

A = κ23 t

13+

29

λk e

n9 ln(t)2 , (221)

B = κ− 13 t

13−

19

λk e−

n18 ln(t

)2 , (222)

burada κ > 0 integral sabittir ve pozitif değerler alabilir. Evrenin hacmi aşağıdaki

gibidir:


t ’ye karşı karanlık enerjinin anizotropisi. λ = −0.8208092487n seçilerek, ∆ ’ın t = 1’de sıfır olması sağlanmıştır.

88

V = t. (223)

Yönsel Hubble parametreleri aşağıdaki gibidir:

H1 = kt−1

+2

3(λ+ nk ln(t)) t

−1 , (224)

H2,3 = kt−1 − 1

3(λ+ nk ln(t)) t

−1. (225)

Ölçek çarpanları genişleme anizotropisinin tanımında kullanıldığında,

genişleme anizotropisi

∆ =2

9k−2 (nk ln(t) + λ)

2 (226)

ve shear skaleri

σ2 =1

3(nk ln(t) + λ)

2t−2 (227)

olarak bulunur.

Ölçek çarpanları (174) denkleminde kullanıldığında, ideal akışkanın enerji

yoğunluğu aşağıdaki gibi bulunur:

ρ(m) = ρ(m)0 t

−(1+w(m)), (228)

burada ρ(m)0 integral sabitinden gelmektedir ve ideal akışkanın t = 1 anındaki

enerji yoğunluğudur. Karanlık enerjinin enerji yoğunluğu, ölçek çarpanlarının ve

(228) denkleminin (168) denkleminde kullanılmasıyla bulunabilir ve genişleme

anizotropisi cinsinden aşağıdaki gibi verilebilir:

ρ(ke) = 3k21− 1

2∆

t−2 − ρ(m). (229)

Ölçek çarpanları ve (229) denklemi (177) denkleminde kullanıldığında,

karanlık enerjinin sapmadan bağımsız durum denklemi parametresi aşağıdaki gibi

bulunur:

w(ke) =3k2t−2 − 1

3 (nk ln(t) + λ)2t−2 + 2

3nk(nk ln (t) + λ)t−2 − w(m)ρ(m)

3k21− 1

2∆t−2 − ρ(m)

. (230)

89

Son olarak ölçek çarpanları ve karanlık enerjinin enerji yoğunluğu (178) ve

(179) denklemlerinde kullanılırsa sapma parametreleri aşağıdaki gibi bulunur:

δ =nk

2k − 2

3nk ln(t)− 2

3λt−2

3k21− 1

2∆t−2 − ρ(m)

, (231)

γ =nk

−k − 2

3nk ln(t)− 2

3λt−2

3k21− 1

2∆t−2 − ρ(m)

. (232)

Bu modelde daha ileri bir analiz yapmayı gerektiren özel bir durum

gözlemlenmemiştir. Ancak bu modelin yalnızca evrenin ara dönemlerini temsil

edebileceğini söylemek gerekir. Çünkü bu modelde ∆ hem t = 0 iken hem de

t = ∞ iken ıraksamaktadır, dolayısıyla bu modelde ρ(ke) evrenin çok erken

döneminde ve evrenin çok geç dönemlerinde negatif değerlere ulaşır.

4.3 Bianchi III Modeller

Yukarıda anizotropik bir akışkanın varlığında monoton olarak

izotroplaşmayan bazı Bianchi I modelleri verildi. Bunun nedeni son kozmolojik

gözlemlerin geleneksel enflasyon modellerinden beklenenin tersine belli ölçüde

anizotropik bir evreni destekliyor olabileceğine işaret etmesiydi. Ancak ileride

yapılacak gözlem ve analizler uzaysal olarak homojen ve izotrop bir metriğin

evreni açıklamakta yeterli olduğunu ortaya koyabilir. Aşağıdaki modelin

verilmesindeki amaç, uzaysal izotropinin kesinleşmesi durumunda da anizotropik

akışkanların dışlanamayacağını göstermektir. Öyle anizotropik akışkanlar olabilir

ki, izotropik bir akışkanın varlığındaki Bianchi tip I, V ve VII uzay-zamanları gibi

monoton olarak izotroplaşabilir ve dolayısıyla karanlık enerjinin olası anizotropik

özelliği gözlemsel olarak saptanamayabilir. Diğer bir deyişle, gözlemsel olarak

evrenin izotropik genişleme sergilediğinin kesinleşmesi karanlık enerjinin

izotropik özellikte olduğunu göstermez.

Son otuz yıl içerisinde, karanlık enerjinin varlığında genel görelilikçi

Bianchi III uzay-zamanları birçok araştırmacı tarafından çalışılmıştır. Moussiaux

et al. (1981) kozmolojik sabitin varlığındaki boş uzay-zaman için tam çözümler

90

vermiştir. Lorenz (1982), kozmolojik sabit ve toz maddenin varlığında bir model

sunmuştur. Chakraborty and Chakraborty (2001) bulk viskozite ve değişen G ve Λ

varlığında bir model vermiştir. Singh et al. (2007) özel bir korunum yasası

kullanarak ideal akışkan ve değişen G ve Λ ile bir model kurmuştur. Yakın

zamanda, Tiwari (2009) evrenin sabit ivmelenme parametresine sahip olduğunu

varsayarak ideal akışkan ve değişen Λ’nın varlığında bir model vermiştir. Bali et

al. (2010) ise barotropik akışkanın varlığında değişen G ve Λ’lı bir model

vermiştir. Son olarak, Yadav and Yadav (2010), anizotropik akışkanın varlığında

sabit ivmelenme parametresine sahip bir model vermiştir.

Birbirlerine göre farklı hızlarla hareket eden en az iki ideal akışkan,

anizotropik tek bir akışkan gibi de düşünülebilir. Bu düşünceyle, Letelier (1980)

birbiriyle etkileşmeyen ancak farklı dörtlü-hızlara sahip iki ideal akışkanın

eksensel simetrik anizotropik basınç ürettiği bir Bianchi tip III modeli vermiştir.

Burada verilen model de ise evrenin monoton olarak izotroplaşmasını

sağlayan, koordinat sistemi ile birlikte hareket eden hipotetik bir akışkan elde

edilmiştir. Daha sonra Einstein alan denklemlerinin tam çözümleri elde edilerek

modelin kinematikleri ve akışkanın dinamiği incelenmiştir.

Anizotropik eğriliğe sahip uzaysal olarak homojen, anizotropik Bianchi III

uzay-zamanı aşağıdaki metrik ile ifade edilebilir:

ds2 = dt2 −A(t)2dx2 −B(t)2e−2αxdy2 − C(t)2dz2 , (233)

burada, A(t) , B(t) ve C(t) ölçek çarpanlarıdır ve yalnızca kozmik zaman t’nin

fonksiyonudur, α = 0 bir gerçel sabittir (α = 0 alınırsa metrik Bianchi tip-I

metriğine indirgenir).

Bu metrik çerçevesinde yazılabilecek en genel enerji-momentum tensörü,

enerji akısı (ya da momentum yoğunluğuna karşılık gelen) T 01 = T 10 terimlerini

ve anizotropik basınç içerir. Ancak burada enerji akısı dikkate alınmayarak enerji-

momentum tensörü

Tνµ = diag[T0

0, T11, T2

2, T33]. (234)

91

biçiminde seçilmiş ve aşağıdaki gibi parametreleştirilmiştir:

Tνµ = diag[ρ,−p1,−p2,−p3] = diag[1,−w1,−w2,−w3]ρ

= diag[1,−w,−(w + γ),−(w + δ)]ρ, (235)

burada, ρ akışkanın enerji yoğunluğu; p1 , p2 ve p3 akışkanın sırasıyla x, y ve z

yönlerindeki basıncı; w1 , w2 ve w3 akışkanın sırasıyla x, y ve z yönlerindeki

durum denklemi parametreleridir. x yönündeki durum denklemi parametresi

w1 ≡ w olarak gösterilmiştir. y ve z yönlerindeki durum denklemi

parametrelerinin w ’dan sapmalarının gösterimi için sırasıyla δ ve γ parametreleri

kullanılmıştır. w , δ ve γ sabit olmak zorunda değillerdir, zamanın fonksiyonu

olabilirler.

Einstein alan denklemleri, (233) denkleminde verilen Bianchi III metriği

için, (235) denkleminde verilen enerji-momentum tensörünün varlığında

çözülürse aşağıdaki denklem sistemi elde edilir:

A

A

B

B+

A

A

C

C+

B

B

C

C− α2

A2= ρ , (236)

B

B+

C

C+

B

B

C

C= −wρ , (237)

A

A+

C

C+

A

A

C

C= −(w + δ)ρ, (238)

A

A+

B

B+

A

A

B

B− α2

A2= −(w + γ)ρ , (239)

α

A

A− B

B

= 0 . (240)

(240) denkleminin çözümü

B = c1A , (241)

verir. Burada, c1 > 0 integral sabitidir. Bu denklem (238) denkleminde kullanılır

ve sonuç (237) denkleminden çıkarılırsa y eksenindeki sapma parametresinin sıfır

olduğu bulunur:

δ = 0. (242)

92

Buna göre, Einstein alan denklemleri akışkanın basıncının x ve y yönündeki

değerlerinin farklı olmasına izin vermez. Diğer yandan, Einstein alan denklemleri

z yönündeki durum denklemi parametresinin w ’dan sapmasına izin vermektedir.

Yönsel ve ortalama Hubble parametrelerinin tanımları dikkate alınarak, Einstein

alan denklemleri ve (241) denklemi kullanıldığında genişleme anizotropisinin

genel ifadesi aşağıdaki denkleme indirgenir:

∆ =2

9

1

H2(H1 −H3)

2 . (243)

(241) ve (242) denklemleri kullanıldığında alan denklemleri (236-240) aşağıdaki

denklem sistemine indirgenir:

A2

A2+ 2

A

A

C

C− α2

A2= ρ , (244)

A

A+

C

C+

A

A

C

C= −wρ , (245)

2A

A+

A

A

2

− α2

A2= −(w + γ)ρ. (246)

Evrenin x ve z yönleri arasındaki genişleme hızlarının farkı, (245)

denkleminin (246) denkleminden çıkarılıp sonucun integre edilmesiyle

bulunabilir:

H1 −H3 =A

A− C

C=

λ

V+

1

V

α2

A2− γρ

V dt , (247)

burada λ gerçel integral sabitidir, γ ’yı içeren terimler akışkanın olası

anizotropisinden, α ’lı terimler ise uzaysal eğriliğin anizotropisinden

kaynaklanmaktadır.

(247) denklemi (243) denkleminde yerine koyulursa genişleme anizotropisi


∆ =2

9

1

H2

λ+

α2

A2− γρ

V dt

2V

−2. (248)

93

İzotropik bir akışkan durumunda, yani γ = 0 durumunda, bu denklem aşağıdaki

gibi olur:

∆ =2

9

1

H2

λ+ α2

V

A2dt

2V

−2 . (249)

(248) denklemindeki integralli terim,

γ =α2

ρA2 (250)

alınırsa ortadan kalkar. Bu aynı zamanda aşağıdaki biçime sahip bir enerji-

momentum tensörüne karşılık gelir:

Tνµ = diag

1,−w,−w,−w − α2

ρA2

ρ , (251)

ve genişleme anizotropisi aşağıdaki biçime indirger:

∆ =2

9

λ2

H2V

−2. (252)

Bianchi III uzay-zamanı için anizotropik akışkan (251) kullanılarak elde edilen bu

genişleme anizotropisi (252), Bianchi I ve V uzay-zamanlarında izotropik bir

akışkanın varlığında elde edilenle özdeştir.

(251) denkleminde verilen enerji-momentum tensörünün varlığında evrenin

x yönündeki genişleme hızı ile z yönündeki genişleme hızları arasındaki fark


H1 −H3 =λ

ABC. (253)

Ayrıca Bianchi III uzay-zamanı için enerji yoğunluğunun en genel ifadesi

(244) denklemi ve genişleme anizotropisinin tanımının kullanılmasıyla aşağıdaki

gibi bulunur:

ρ = 3H2

1− ∆

2

− α2

A2. (254)

(251) ve (254) denklemleri dikkate alınırsa (244)-(246) denklem sistemi

aşağıdaki sisteme dönüşür:

94

A2

A2+ 2

A

A

C

C= ρ+

α2

A2= (1 + γ)ρ , (255)

A

A+

C

C+

A

A

C

C= −wρ , (256)

2A

A+

A2

A2= −wρ . (257)

Üç lineer bağımsız denklemden oluşan bu sistemde dört bilinmeyen (A, B , w ve

ρ) vardır. Dolayısıyla, sistemin tam olarak çözülebilmesi için ek bir sınırlamaya

gerek vardır. Bunun için üstel genişleme yasası

V = c2e3kt (258)

ve güç yasasına göre genişleme

V = c2t3m (259)

için ayrı ayrı çözümler elde edilmiştir. Burada, c2, m ve k pozitif sabitlerdir. Bu iki

genişleme yasasının seçimiyle ivmelenme parametresinin sabit olduğu tüm olası

modeller için çözüm elde edilmiş olur. Bu yasalara göre üstel genişleme ve m > 1

olan modeller hızlanarak genişleyen modellerdir. m = 1 sabit genişleme hızı

sergileyen modeldir. m < 1 olan modeller ise yavaşlayarak genişleyen

modellerdir. Bunlara göre, hızlanarak genişleyen modellerde, burada ele alınan

anizotropik akışkan, fenomenolojik olarak karanlık enerji adayları çerçevesinde

değerlendirilebilir.

i) Üstel genişleme sergileyen model

(255)-(257) denklemleri üstel genişleme yasası (258) için, (241) ve (253)

denklemleri dikkate alınarak, çözülürse ölçek çarpanları aşağıdaki gibi bulunur:

A =

c2c1c3

12

ekt−19

λkc2

e−3kt

, (260)

B =

c1c2c3

12

ekt−19

λkc2

e−3kt

, (261)

C = c3ekt+ 2

9λ

kc2e−3kt

, (262)

burada, c3 > 0 integral sabitidir.

95

Ortalama Hubble parametresi aşağıdaki gibi bulunur:

H = k . (263)

x, y ve z yönlerindeki yönsel Hubble parametreleri aşağıdaki gibi bulunur:

H1 = H2 = k +1

3

λ

c2e−3kt, (264)

H3 = k − 2

3

λ

c2e−3kt . (265)

Yönsel ve ortalama Hubble parametreleri kullanılarak genişleme

anizotropisi aşağıdaki gibi bulunur:

∆ =2

9

λ2

c22k2e−6kt. (266)

Genişleme anizotropisi için elde edilen bu denklem Kumar and Singh (2007)

tarafından Bianchi I uzay-zamanında ve Singh et al. (2008a) ve Singh and Baghel

(2009) tarafından Bianchi V uzay-zamanında izotropik bir akışkanın varlığında

üstel olarak genişleyen evren için bulunan denkleme özdeştir.

Akışkanın enerji yoğunluğu, ölçek çarpanlarının (255) denkleminde

kullanılmasıyla, aşağıdaki gibi bulunur:

ρ = 3k2 − 1

3

λ2

c22e−6kt − α2 c1c3

c2e−2kt+ 2

9λ

kc2e−3kt

. (267)

Sapmadan bağımsız durum denklemi parametresi w , (260) ve (267)

denklemlerinin (257) denkleminde kullanılmasıyla bulunabilir:

w =λ2 + 9c22k2e6kt

λ2 − 9c22k2e6kt + 3α2c1c2c3e4kt+ 2

9λ

kc2e−3kt . (268)

Akışkanın durum denklemi parametresinin w ’dan z yönünde yaptığı sapma

γ , (260) ve (267) denklemlerinin (250) denkleminde kullanılmasıyla bulunabilir:

γ = − 3α2c1c2c3e4kt+ 2

9λ

kc1e−3kt

λ2 − 9c22k2e6kt + 3α2c1c2c3e4kt+ 2

9λ

kc2e−3kt

. (269)

96

Genişleme anizotropisi, akışkanın anizotropisi tarafından arttırılmamaktadır

ve t arttıkça üstel olarak azalmaktadır. t → ∞ iken ∆ → 0 ve V → ∞

olduğundan uzay evrenin geç dönemlerinde izotropiye yaklaşır.

λ ve α akışkanın enerji yoğunluğunu negatif olarak etkilemektedir.

Akışkanın enerji yoğunluğu, sapmadan bağımsız durum denklemi parametresi ve

sapma parametresi dinamik özelliktedir. t → ∞ iken γ → 0 , w → −1 ve

ρ → 3k2 olur. Buna göre, t → ∞ iken anizotropik akışkan izotroplaşır ve

geleneksel vakum enerjisini taklit eder. Görüldüğü gibi, evren anizotropik bir

akışkanın varlığında da monoton olarak uzaysal izotropiye yaklaşabilir.

ii) Güç yasasına göre genişleyen model

(255)-(257) denklemleri güç yasasına göre genişleyen evren (258) için,

(241) ve (253) dikkate alınarak, çözülürse ölçek çarpanları aşağıdaki gibi bulunur:

A =

c2c1c3

12

tme−13

λc1

t1−3m

3m−1 , (270)

B =

c1c2c3

12

tme−13

λc1

t1−3m

3m−1 , (271)

C = c3tme

23

λc1

t1−3m

3m−1 , (272)

burada c3 > 0 integral sabitidir.

Ortalama Hubble parametresi aşağıdaki gibidir:

H =m

t. (273)

x, y ve z yönlerindeki yönsel Hubble parametreleri aşağıdaki gibi bulunur:

H1 = H2 =m

t+

1

3

λ

c2t−3m, (274)

H3 =m

t− 2

3

λ

c2t−3m

. (275)

97

Yönsel ve ortalama Hubble parametreleri kullanılarak genişleme

anizotropisi aşağıdaki gibi bulunur:

∆ =2

9

λ2

c22t2−6m

m2. (276)

Genişleme anizotropisi için elde edilen bu denklem Kumar and Singh (2007)

tarafından Bianchi I uzay-zamanında ve Singh et al. (2008a) ve Singh ve Baghel

(2009) tarafından Bianchi V uzay-zamanında izotropik bir akışkanın varlığında

güç yasasına göre genişleyen evren için bulunan denkleme özdeştir.

Akışkanın enerji yoğunluğu ölçek çarpanlarının (255) denkleminde

kullanılmasıyla bulunabilir:

ρ = 3m2t−2 − 1

3

λ2

c22t−6m − α2 c1c3

c2t−2me

23

λc2

t1−3m

3m−1 . (277)

Sapmadan bağımsız durum denklemi parametresi w , (270) ve (277)

denklemlerinin (257) denkleminde kullanılmasıyla bulunabilir:

w =λ2t2 + 3mc22(3m− 2)t6m

λ2t2 + 3α2c1c2c3t4m+2e23

λc2

t1−3m3m−1 − 9m2c22t6m

. (278)

Akışkanın durum denklemi parametresinin w ’dan z yönünde yaptığı sapma

γ , (270) ve (277) denklemlerinin (250) denkleminde kullanılmasıyla bulunabilir:

γ = − 3α2c1c2c3t4m+2e23

λc2

t1−3m

3m−1

λ2t2 + 3α2c1c2c3t4m+2e23

λc2

t1−3m3m−1 − 9m2c22t6m

. (279)

Evrenin hacmi, bütün m değerleri için sürekli genişlemekte ve kozmik

zaman sonsuza giderken sonsuz büyüklüğe ulaşmaktadır.

Genişleme anizotropisi, akışkanın anizotropisi tarafından artırılmaz; m > 0

için monoton olarak azalır ve t → ∞ iken sıfıra yakınsar; m < 0 için monoton

olarak artar ve t → ∞ iken ıraksar; m = 1/3 için evrenin tarihi boyunca sabit

kalır.

98

λ ve α terimleri akışkanın enerji yoğunluğunu negatif olarak etkilemektedir,

dolayısıyla akışkanın enerji yoğunluğunun pozitif olma şartı dikkate alınarak

farklı m durumlarının incelenip hangi m değerinin evrenin hangi dönemlerini

betimleyebileceğinin saptanması gerekir. λ = 0 ise; ρ > 0 koşuluna göre, m < 1

modelleri evrenin görece erken dönemlerini, m > 1 modelleri evrenin görece geç

dönemlerini ve m = 1 modeli 3c2 > α2c1c3 koşuluyla evrenin bütün tarihini bu

koşul sağlanmadığında ise evrenin ara dönemlerini betimleyebilir. λ = 0 ’a ayrıca

bakılması gerekir. Bu durumda, 0 < m ≤ 1/3 modelleri evrenin görece erken

dönemlerini, 1/3 < m < 1 evrenin ara dönemlerini, m > 1 evrenin görece geç

dönemlerini, m = 1 modeli 3c2 > α2c1c3 koşuluyla evrenin görece geç

dönemlerini, bu koşul sağlanmadığında ise evrenin ara dönemlerini betimleyebilir.

Öyleyse, yalnızca m ≥ 1 modelleri ve m = 1 modeli yukarıda belirtilen

koşul altında izotroplaşmanın koşullarından birini sağlayabilir, çünkü evren

yalnızca bu modellerde akışkanın enerji yoğunluğunun pozitif olma koşulu ihlal

edilmeden sonsuza dek genişleyebilmektedir. m > 1 için, t → ∞ iken ∆ → 0 ve

V → ∞ olduğundan bu modeller uzaysal izotropiye yaklaşır. t → ∞ iken

w → −1 + 23m ve γ → 0 olduğuna göre, hızlanarak genişleyen modellerde

evrenin geç dönemlerinde akışkan izotroplaşır ve durum denklemi parametresi

m’in değerine bağlı olarak quintessence bölgesinde bulunan bir değere yaklaşır.

m = 1 için, bir önceki paragrafta belirtilen koşul altında, t → ∞ iken

w → −(3− α2c1c3/c2)−1 ve γ → (α2c1c3)/(3c2 − α2c1c3) olur. Buna göre

evren uzaysal izotropiye yaklaşır (çünkü t → ∞ iken ∆ → 0 ve V → ∞ ), ancak

akışkan izotroplaşmaz. Ancak α çok küçükse ya da c2 çok büyükse akışkan yine

gözlemsel olarak ayırt edilemeyecek kadar izotropik bir özellik sergileyebilir.

Üstel olarak genişleyen modele benzer biçimde, güç yasasına göre

genişleyen bu modellerde de hızlanarak genişleyen modeller ve sabitlerin uygun

şekilde seçilmesi durumunda sabit hızla genişleyen model izotropiye monoton

olarak yaklaşabilir. Ancak, akışkan yalnızca hızlanarak genişleyen modellerde

99

evrenin geç dönemlerinde izotroplaşabilir ve durum denklemi parametresi

quintessence bölgesinde bulunan izotropik bir akışkana doğru evrimleşebilir.

100

5. SONUÇ

Yüksek çözünürlüklü WMAP verilerinin başarılı bir biçimde çözümlenmesi

ve yorumlanması için Bianchi tipi bir geometriye gerek olup olmadığı üzerine

sürmekte olan tartışmalar son yıllarda Bianchi tipi kozmolojik modellere ve

anizotropik enerji kaynaklarına olan ilgiyi arttırmıştır. Bu tez kapsamında da belli

varsayımlar altında tanımlanmış bazı hipotetik anizotropik akışkanların varlığında

uzaysal olarak homojen fakat anizotrop Bianchi I, LRS Bianchi I ve Bianchi III

kozmolojik modelleri kurulmuş, modellerin kinematikleri ve akışkanların

dinamikleri incelenmiştir.

İlk modelde, geleneksel vakum enerjisi, durum denklemi parametresinin

anizotropi içermesi sağlanacak şekilde genelleştirilmiştir. Elde edilen bu

varsayımsal akışkanın varlığında de Sitter hacimsel genişlemesi sergileyen

Bianchi I uzay-zamanları incelenmiştir. de Sitter genişlemesinin koşulunun etkin

enerji yoğunluğunun (akışkanın enerji yoğunluğuyla anizotropi enerji

yoğunluğunun toplamı) sabit olması durumunda gerçekleşeceği gösterilmiş ve

sonra LRS Bianchi tip I uzay-zamanı çerçevesinde iki tam çözüm verilmiştir. Her

iki modelde de etkin enerji yoğunluğunun sabit olduğu varsayılarak evrenin de

Sitter genişlemesi sergilemesi güvence altına alınmıştır. Akışkanın x yönündeki

durum denklemi parametresinin eksi bir kabul edildiği ilk modelde, akışkanın

enerji yoğunluğunun ve anizotropisinin dinamik özellikte olduğu bulunmuştur. Bu

modelde evrenin geç dönemlerinde uzaysal anizotropi ve akışkanın anizotropisi

azalarak sıfır değerine yaklaşırken, akışkanın enerji yoğunluğu artarak bir

maksimum değerine yaklaşmaktadır. Akışkan evrenin geç dönemlerinde

geleneksel vakum enerjisini (Λ) taklit etmektedir. İkinci modelde, vakum enerjisi,

enerji yoğunluğu evrenin hacmi ile değişmeyen bir enerji kaynağı olarak

tanımlanmıştır. Bu modelde hem uzaysal anizotropi hem akışkanın anizotropisi

evren evrimleştikçe başlangıçtaki değerlerini korumaktadır. Akışkanın enerji

yoğunluğuna olanaklı en büyük değer verilirse akışkan izotrop olup geleneksel

vakum enerjisine dönüşmekte ve evren izotropik olarak genişlemektedir. Diğer

yandan akışkanın enerji yoğunluğunun en büyük değerinin altına düşmesi evrenin

101

genişlemesinde de anizotropi doğurmaktadır. Akışkanın enerji yoğunluğunun en

büyük değerinden sapmasının evrenin genişlemesinde anizotropi doğuruyor

olması ilginç bir sonuçtur. Çünkü, bu model vakum enerjisinin değerindeki olası

küçük doğal sapmaların evrenin uzaysal geometrisinde de izotropiden küçük

sapmalar doğurabileceğini göstermektedir.

Sabit ivmelenme parametresiyle genişleyen, anizotropik ve ideal akışkanın

birlikte olduğu LRS Bianchi I modelleri üstel genişleme ve güç yasasına göre

genişleme için incelenmiştir. Bu modelde, anizotropik akışkanın belli bir süre için

evrenin izotropik olarak genişlemesine katkıda bulanabileceği gösterilmiştir.

Ancak bu modellerde evren önünde sonunda anizotropik bir genişleme hızına

ulaşmaktadır. Bu modelin parametrelerinin değerleri güncel kozmolojik veriler

kullanılarak günümüz evrenini anlatacak biçimde ayarlanmış ve modelin

günümüz yöresindeki davranışı tartışılmıştır. Buna göre, bu modelde elde edilen

hipotetik akışkana benzer karanlık enerji kaynaklarının standart enflasyon

senaryosuna göre enflasyon döneminde yüksek derecede izotroplaşmış evrenin

izotropisini kırabileceği gösterilmiştir.

Bianchi III uzay-zamanı çerçevesinde ele alınan son modelde, anizotropik

akışkanların evrenin genişleme hızını anizotropik olmaya zorlamayabileceği

gösterilmiştir. Bu modelde anizotropik eğriliğe sahip Bianchi III uzay-zamanın

izotropik akışkanın varlığındaki izotropik eğriliğe sahip Bianchi I ve V modelleri

ile aynı biçimde izotroplaşmasını sağlayan bir anizotropik bir akışkan elde

edilmiştir. Güç yasasına göre hızlanarak genişleyen modellerde evren

izotroplaşmakta ve akışkan da izotroplaşarak quintessence bölgesindeki bir

izotropik akışkana dönüşmektedir. Üstel olarak genişleyen modelde ise evren ve

akışkan izotroplaşmakta ve akışkan evrenin geç dönemlerinde geleneksel vakum

enerjisini taklit etmektedir. Hızlanarak genişlemeyen modellerde ise hem akışkan

hem de evren izotroplaşamamaktadır.

Sonuç olarak, ileride yapılacak gözlemlerle evrenin en büyük ölçeklerde

homojen ve izotrop olduğu kesinleşse dahi anizotropik enerji kaynaklarının var

102

olma olasılığı dışlanamaz. Diğer yandan, CMB ışınımdaki anomalilerin

kesinleşmesi anizotropik enerji kaynaklarının yer aldığı kozmolojik modellerin

önemini daha da arttırabilir.

103

KAYNAKLAR DİZİNİ

Akarsu, Ö. and Kılınç, C.B., 2010a,LRS Bianchi type I models with anisotropic

dark energy and constant deceleration parameter, General Relativity and

Gravitation, 42:119-140.

Akarsu, Ö. and Kılınç, C.B., 2010b, de Sitter expansion with anisotropic fluid in

Bianchi type-I space-time, Astrophysics and Space Science, 326:315-322.

Akarsu, Ö. and Kılınç, C.B., 2010c, Bianchi type III models with anisotropic

dark energy, General Relativity and Gravitation, 42:763-775.

Alnes, H., et al., 2006a, Inhomogeneous alternative to dark energy?, Physical

Review D, 73:083519.

Alnes, H., et al., 2006b, CMB anisotropies seen by an off-center observer in a

spherically symmetric inhomogeneous universe, Physical Review D,

74:103520.

Amanullah, R., et al., 2010, Spectra and Hubble Space Telescope Light Curves

of Six Type Ia Supernovae at 0.511 < z < 1.12 and the Union2 Compilation,

The Astrophysical Journal, 716:712.

Arbab, A.I., 1997, Cosmological Models With Variable Cosmological and

Gravitational “Constants” and Bulk Viscous Models, General Relativity and

Gravitation, 29:61-74.

Armendariz-Picon, C. and Pekowsky, L., 2009, Bayesian Limits on Primordial

Isotropy Breaking, Physical Review Letters, 102:031301.

Bali, R. et al., 2010, Bianchi Type III Cosmological Models for Barotropic

Perfect Fluid Distribution with Variable G and Λ, International Journal of

Theoretical Physics, doi:10.1007/s10773-010-0322-5.

Barrow, J.D. and Turner, M.S., 1981, Inflation in the Universe, Nature,

292:35-38.

Barrow, J.D., 1995, Why the universe is not anisotropic, Physical Review D, 51

(6):3113-3116.

104

KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)

Beesham, A., 1994, Bianchi type I cosmological models with variable G and Λ,

General Relativity and Gravitation, 26(2):159-165.

Bennett, C.L., et al., 2003, First-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

(WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results, Astrophysical

Journal Supplement Series, 148:1-27.

Bennett, C.L., et al., 2010, Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

(WMAP) Observations: Are There Cosmic Microwave Background

Anomalies?, arXiv:1001.4758v1 [astro-ph.CO].

Berman, M.S., 1983, A special law of variation for Hubble's parameter, Nuovo

Cimento B, 74B:182-186.

Berman, M.S. and Gomike, M.S., 1988, Cosmological models with constant

deceleration parameter, General Relativity and Gravitation, 20(2):191-198.

Bernui, A., 2008, Anomalous CMB north-south asymmetry, Physical Review D,

78:063531.

Bianchi, L., 1898, Memorie di Matematica e di Fisica della Societa Italiana delle

Scienze, serie III. Tomo XI, 267. (English translation. 2001, General

Relativity Gravitation, 33:21-57).

Bianchi, L., 1918, Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni

(Lectures on the theory of finite continuous transformation groups). Spoerri

Pisa, Sections 198–199.

Brandenberger, R.H., 2010, Cosmology of the very early universe, arXiv:

1003.1745v1 [hep-th].

Campanelli, L., et al., 2006, Ellipsoidal Universe Can Solve the Cosmic

Microwave Background Quadrupole Problem, Physical Review Letters,

97:131302 (97:209903 Erratum).

Campanelli, L., et al., 2007, Cosmic microwave background quadrupole and

ellipsoidal universe, Physical Review D, 76:06307.

105


Campanelli, L., 2009, Model of universe anisotropization, Physical Review D,

80:0630006.

Carroll, S., 1997, Lecture Notes on General Relativity, arXiv:gr-qc/9712019v1.

Chakraborty, N.C. and Chakraborty, S., 2001, Bianchi - II, III, VIII and IX

bulk viscous cosmological models with variable G and Λ, Il Nuovo Cimento

B, 116:191–198.

Choudhury, T.R. and Padmanabhan, T., 2005, Cosmological parameters from

supernova observations: A critical comparison of three data sets, Astronomy

and Astrophysics, 429:807.

Clowe, D., et al., 2006, A Direct Empirical Proof of the Existence of Dark Matter,

The Astrophysical Journal, 648:L109-L113.

Collins, C.B. and Hawking S.W., 1973, Why is the universe istoropic?, The

Astrophysical Journal, 180:317-334.

Copeland, E.J., Sami, M. and Tsujikawa, S., 2006, Dynamics of dark energy,

International Journal of Modern Physics D, 15:1753-1935.

Copi, C.J., et al., 2004, Multipole vectors: A new representation of the CMB sky

and evidence for statistical anisotropy or non-Gaussianity at 2⩽l⩽8, Physical

Review D, 70:043515.

Cruz, M., et al., 2006, The non-Gaussian cold spot in Wilkinson Microwave

Anisotropy Probe: significance, morphology and foreground contribution,

Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 369:57.

Cruz, M., et al., 2007, The Non-Gaussian Cold Spot in the 3 Year Wilkinson

Microwave Anisotropy Probe Data, Astrophysical Journal, 655:11-20.

de Oliveira-Costa, A., et al., 2004, Significance of the largest scale CMB

fluctuations in WMAP, Physical Review D, 69:063516.

106


de Sitter, W., 1917a, On the relativity of inertia. Remarks concerning Einstein's

latest hypothesis, Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen

Proceedings,19(2):1217-1225.

de Sitter, W., 1917b, Einstein's theory of gravitation and its astronomical

consequences, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 78:3-28.

Efstathiou, G., 2003, The statistical significance of the low cosmic microwave

background mulitipoles, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,

346:L26-L30.

Einhorn, M.B. and Sato, K., 1981, Monopole production in the very early

universe in a first-order phase transition, Nuclear Physics B, 180(3):

385-404.

Einstein, A., 1917, Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen

Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie

der Wissenschaften (Berlin), Seite 142-152.

Ellis, G.F.R. and MacCallum, M.A.H., 1969, A class of homogeneous

cosmological models, Communications in Mathematical Physics, 12:108.

Ellis, G.F.R. and van Elst, H., 1999, Cosmological models, NATO Science

Series, Series C, Mathematical and physical sciences, 541:1-116.

Ellis, G.F.R., 2002, Cosmological Models, 108-158, Modern Cosmology,

Bonometto, S., Gorini, V. and Moschella, U. (Eds.), Institute of Physics

Publishing, Bristol and Philadelphia, 480p.

Ellis, G.F.R., 2006a, The Bianchi models: Then and now, General Relativity and

Gravitation, 38(6):1003-1015.

Ellis, G.F.R., 2006b, Issues in the Philosophy of Cosmology, arXiv:0602280v2

[astro-ph].

Eriksen, H.K., et al., 2004, Asymmetries in the Cosmic Microwave Background

Anisotropy Field, The Astrophysical Journal, 605:14 (609:1198 Erratum).

107


Fagundes, H.V., 1992, Closed Spaces in Cosmology, General Relativity and

Gravitation, 24(2):199.

Friedmann, A., 1922, Über die Krümmung des Raumes, Zeitschrift für Physik,

10:377–386. Reprint: 1999, On the Curvature of Space, General Relativity

and Gravitation, 31(12):1991-2000.

Friedmann, A., 1924, Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer

Krümmung des Raumes, Zeitschrift für Physik, 21:326–332. Reprint: 1999,

On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space,

General Relativity and Gravitation, 31(12):2001-2008.

Garrett, K. and Duda, G., 2010, Dark Matter: A Primer, arXiv:1006.2483v1

[hep-ph].

Grøn, Ø., 1985, Expansion isotropization during the inflationary era, Physical

Review D, 32(10):2522-2527.

Guth, A. H., 1981, The Inflationary Universe: A Possible Solution To The

Horizon And Flatness Problems, Physical Review D, 23:347.

Hinshaw, G., et al., 2009, Five-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

Observations: Data Processing, Sky Maps, and Basic Results, Astrophysical

Journal Supplement Series, 180(2):225-245.

Hoftuft, J., et al., 2009, Increasing Evidence for Hemispherical Power

Asymmetry in the Five-Year WMAP Data, The Astrophysical Journal,

699:985-989.

Hubble, E., 1929, A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-

Galactic Nebulae, Proceedings of the National Academy of Sciences of the

United States of America, 15(3):168-173.

Jaffe, T.R., et al., 2005, Evidence of Vorticity and Shear at Large Angular Scales

in the WMAP Data: A Violation of Cosmological Isotropy?, The

Astrophysical Journal, 629:L1.

108


Jaffe, T.R., et al., 2006, On The Viability of Bianchi Type VIIh Models with Dark

Energy, The Astrophysical Journal, 644:701.

Jarosik, N., et al., 2010, Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

(WMAP) Observations: Sky Maps, Systematic Errors, and Basic Results,

arXiv:1001.4744v1 [astro-ph.CO].

Kalligas, D., Wesson, P.S. and Everitt, C.W.F., 1995, Bianchi type I

cosmological models with variable G and Λ: A comment, General Relativity

and Gravitation, 27(6):645-650.

Kantowski, R. and Sachs, R.K., 1966, Some Spatially Homogeneous

Anisotropic Relativistic Cosmological Models, Journal of Mathematical

Physics, 7:443.

Kasner, E., 1925, Solutions of the Einstein Equations Involving Functions of

Only One Variable, Transactions of the American Mathematical Society,

27:155-162.

Kirzhnits, D.A., 1972, Weinberg Model in the Hot Universe, Journal of

Experimental and Theoretical Physics Letters, 15:529.

Kirzhnits, D.A. and Linde, A.D., 1972, Macroscopic Consequences Of The

Weinberg Model, Physical. Letters B, 42:471.

Koivisto, T. and Mota, D.F., 2008a, Accelerating Cosmologies with an

Anisotropic Equation of State, The Astrophysical Journal, 679:1.

Koivisto, T. and Mota, D.F., 2008b, Anisotropic dark energy: dynamics of the

background and perturbations, Journal of Cosmology and Astroparticle

Physics, 06:018.

Koivisto, T. and Mota, D.F., 2008c, Vector field models of inflation and dark

energy, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 08:021.

109


Komatsu, E., et al., 2009, Five-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

Observations: Cosmological Interpretation, Astrophysical Journal

Supplement Series, 180:330-376.

Komatsu, E., et al., 2010, Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

(WMAP) Observations: Cosmological Interpretation, arXiv:1001.4538

[astro-ph.CO].

Kumar, S. and Singh, C.P., 2007, Anisotropic Bianchi type-I models with

constant deceleration parameter in general relativity, Astrophysics and

Space Science, 312(1-2):57-62.

Landau, L.D. and Lifshitz, E.M., 2005, The Classical Theory of Fields,

Elsevier, Butterworth-Heinemann, 423p.

Lemaître, G., 1933, L'Univers en expansion, Annales de la Société Scientifique

de Bruxelles, A53:51. (Reprint: 1997, The Expanding Universe, General

Relativity and Gravitation, 29(5):641-680).

Letelier, P.S., 1980, Anisotropic fluids with two-perfect-fluid components,

Physical Review D, 22:807-813.

Liddle, A.R., 1997, The Early Universe, 31-62, From Quantum Fluctuations to

Cosmological Structures (Proceedings of the First Moroccan School of

Astrophysics), Valls-Gabaud, D.; Hendry, M. A.; Molaro, P.; Chamcham, K.

(Eds.), Astronomical Society of the Pacific Conference Series, Vol. 126.

arXiv:9612093 [astro-ph.]

Linde, A.D., 1974, Is the Cosmological Constant Really a Constant?, Journal of

Experimental and Theoretical Physics Letters, 19:183.

Linde, A.D., 1982, A New Inflationary Universe Scenario: A Possible Solution Of

The Horizon, Flatness, Homogeneity, Isotropy And Primordial Monopole

Problems, Physical Letters B, 108:389.

Linde, A.D., 1983, Chaotic Inflation, Physical Letters B, 129:177.

110


Linde, A.D., 2008, Inflationary Cosmology, Lecture Notes in Physics, 738:1-54.

Lorenz, D., 1982, Comment: On the solution for a vacuum Bianchi type-III

model with a cosmological constant, Journal of Physics A: Mathematical

and General, 15:2997–2999.

Luminet, et al., 2003, Dodecahedral space topology as an explanation for weak

wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background,

Nature, 425:593.

Markevitch, M., et al., 2004, Direct Constraints on the Dark Matter Self-

Interaction Cross Section from the Merging Galaxy Cluster 1E 0657-56, The

Astrophysical Journal, 606:819-824.

McGlinn, W.D., 2003, Introduction to Relativity, The Johns Hopkins University

Press, Baltimore, 205p.

Moffat, J.W., 2005, Cosmic microwave background, accelerating universe and

inhomogeneous cosmology, Journal of Cosmology and Astroparticle

Physics, 10:012.

Moussiaux, A., et al., 1981, Exact solution for vacuum Bianchi type III model

with a cosmological constant, Journal of Physics A: Mathematical and

General, 14:L277–L280.

Mukhanov, V. F. and Chibisov, G. V., 1981, Quantum Fluctuation And

‘Nonsingular’ Universe,” Journal of Experimental and Theoretical Physics

Letters, 33:532.

Olive, K.A., 1990, Inflation, Physics Reports, 190:307-403.

Peacock, J.A., 2002, Cosmological Physics, Cambridge University Press,

Cambridge, 682p.

Peiris, H.V., et al., 2003, First-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

(WMAP) Observations: Implications For Inflation, Astrophysical Journal


111


Peiris, H.V., 2008, Cosmology Part I: The Unperturbed Universe (Lecture Notes)

ht tp : / /camd05.as t .cam.ac.uk/Cosmology/COSMOLOGY_fi les /

Cosmology.pdf. (Erişim tarihi: 14/07/2010)

Pereira, T.S. and Abramo, L.R., 2009, Angular-planar CMB power spectrum,

Physical Review D, 80:063525.

Perlmutter S., et al., 1999, Measurements of Omega and Lambda from 42 High-

Redshift Supernovae, The Astrophysical Journal, 517:565.

Riess, A. G., et al., 1998, Observational Evidence from Supernovae for an

Accelerating Universe and a Cosmological Constant, The Astronomical

Journal, 116:1009.

Riess, A. G., et al., 2004, Type Ia Supernova Discoveries at z > 1 from the

Hubble Space Telescope: Evidence for Past Deceleration and Constraints on

Dark Energy Evolution, The Astrophysical Journal, 607:665.

Riotto, A., 2002, Inflation and Theory of Cosmological Perturbations, Lecture

notes, ICTP Summer School on Astroparticle Physics and Cosmology

(Trieste/Italy), arXiv:0210162v1 [hep-ph].

Rodrigues, D.C., 2008, Anisotropic cosmological constant and the CMB

quadrupole anomaly, Physical Review D, 77:023535.

Roy, S.R. and Banerjee, S.K., 1996, Bianchi VI0 electric type cosmological

models in General Relativity with stiff fluid and heat conduction, General

Relativity and Gravitation, 28:27-33.

Ryan, M.P. and Shepley, L.C., 1975, Homogenous Relativistic Cosmologies,

Princeton University Press, Princeton-New Jersey, 320p.

Schwarz, D.J., et al., 2004, Is the Low-ℓ Microwave Background Cosmic?,

Physical Review Letters, 93:221301.

Sharif, M. and Zubair, M., 2010, Dynamics of Bianchi I Universe with

Magnetized Anisotropic Dark Energy, arXiv:1005.4480v1[gr-qc]

112


Singh, C.P., 2009, LRS Bianchi-V cosmology with decaying vacuum density and

heat flow, Astrophysics and Space Science, 323:197-203.

Singh, C.P. and Kumar, S., 2006, Bianchi Type-II Cosmological Models with

Constant Deceleration Parameter, International Journal of Modern Physics

D, 15:419-438.

Singh, C.P. and Kumar, S., 2007, Bianchi Type-II inflationary models with

constant deceleration parameter in general relativity, Pramana Journal of

Physics, 68(5):707-720.

Singh, C.P., Ram, S. and Zeyauddin, M., 2008a, Bianchi type-V perfect fluid

space-time models in general relativity, Astrophysics and Space Science,

315(1-4):181-189.

Singh, C.P., Zeyauddin, M. and Ram, S., 2008b, Some Exact Bianchi Type V

Perfect Fluid Solutions with Heat Flow, International Journal of Theoretical

Physics, 47(12):3162-3170.

Singh, J.P. and Baghel, P.S., 2009, Bianchi Type V Cosmological Models with

Constant Deceleration Parameter in General Relativity, International

Journal of Theoretical Physics, 48(2):449-462.

Singh, J.P., et al., 2007, Bianchi Type-III Cosmological Models with

Gravitational Constant G and the Cosmological Constant Λ, Chinese

Physics Letters, 24:3325.

Spergel, D.N., et al., 2007, Three-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

(WMAP) Observations: Implications for Cosmology, Astrophysical Journal


Starobinsky, A.A., 1979 Spectrum Of Relict Gravitational Radiation And The

Early State Of The Universe, Journal of Experimental and Theoretical

Physics Letters, 30:682.

113


Starobinsky, A.A., 1980, A New Type Of Isotropic Cosmological Models

Without Singularity, Journal of Experimental and Theoretical Physics

Letters B, 91:99.

Tiwari, R.K., 2009, Bianchi type-III universe with perfect fluid, Astrophysics and

Space Science, 319:85–87.

Tomita, K. and Inoue, K.T., 2008, Second order gravitational effects on CMB

temperature anisotropy in Λ dominated flat universes, Physical Review D,

77:103522

Tonry, J. L., et al., 2003, Cosmological Results from High-z Supernovae, The

Astrophysical Journal, 594:1.

Tsujikawa, S., 2003, Introductory Review of Cosmic Inflation, arXiv:0304257v1

[hep-ph].

Vielva, P., et al., 2004, Detection of Non-Gaussianity in the Wilkinson

Microwave Anisotropy Probe First-Year Data Using Spherical Wavelets,

The Astrophysical Journal, 609:22.

Wald, R.M., 1983, Asymptotic behavior of homogeneous cosmological models in

the presence of a positive cosmological constant, Physical Review D, 28(8):

2118-2120.

Wald, R.M., 1984, General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago

and London, 473p.

Yadav, A.K. and Yadav, A., 2010,Bianchi Type III Anisotropic Dark Energy

Model with Constant Deceleration Parameter, arXiv:1007.1411 [gr-qc].

114

ÖZGEÇMİŞ

Doğum Tarihi .... : 14-Şubat-1980

Doğum Yeri ....... : İzmir/Türkiye

Uyruğu ............... :Türkiye Cumhuriyeti

Cinsiyeti ............ :Bay

Medeni Durumu: Evli

ARAŞTIRMA İLGİ ALANI

Genel görelilik • kuramsal kozmoloji • kozmolojik çözümler • anizotropik evren

modelleri • enflasyon • karanlık enerji • yüksek boyutlu evren modelleri

ÖĞRENİM DURUMU

Doktora (Ph.D.)

• Ege Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Astronomi ve Uzay Bilimleri Ana

Bilim Dalı, Astrofizik Bilim Dalı, 2005 –

o Tez adı: Bianchi Tipi Evrenlerin Kozmolojik Çözümleri (Danışman:

Prof. Dr. Can B. Kılınç)

• University of Cambridge, Department of Applied Mathematics and Theoretical

Physics (DAMTP), misafir doktora öğrencisi, Eylül 2008 - Mart 2009.

Yüksek lisans (M.Sc.)

• Ege Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Astronomi ve Uzay Bilimleri Ana

Bilim Dalı, Astrofizik Bilim Dalı, 2003 - 2005.

o Tez adı: Astrofizikteki Temel Problemlerden Evrensel ‘Sabitlerin’

Değişimi (Danışman: Prof. Dr. Can B. Kılınç)

Lisans (B.Sc.)

• Ege Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü, 1998 -

2003 (Bölüm birincisi olarak mezun olmuştur).

115

Lise ve orta öğrenim

• Bornova Mustafa Kemal Lisesi, İzmir, 1997-1998.

• İzmir Özel Türk Koleji, Fen Lisesi , İzmir, 1995-1997.

• İzmir Özel Türk Koleji, Anadolu Lisesi (orta öğrenim), İzmir, 1991-1995.

YABANCI DİL

İngilizce: Mayıs KPDS 2010, 95 Puan.

ALDIĞI BURSLAR VE DESTEKLER

• Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) Yurt İçi

Doktora Burs Programı, 2006-2010.

• TÜBİTAK-ULAKBİM Uluslararası Bilimsel Yayın Teşvikleri.

• T.C. Başbakanlık Yüksek Öğrenim KYK Yüksek Lisans Bursu, 2004-2005.

• Ege Üniversitesi Araştırma ve Fon Saymanlığı Yüksek Lisans Tez Projesi

Desteği, 2003.

HAKEMLİ DERGİLERDEKİ YAYINLAR

SCI (Science Citation Index) tarafından taranan dergilerde yayınlanan

makaleler • “Bianchi Type III Models with Anisotropic Dark Energy” Akarsu, Ö. & Kılınç,

C.B., General Relativity and Gravitation 42, 763-775 (2010)

• “de Sitter Expansion with Anisotropic Fluid in Bianchi Type I Space-Time”

Akarsu, Ö. & Kılınç, C.B., Astrophysics and Space Science 326, 315-322

(2010)

• “LRS Bianchi Type I Models with Anisotropic Dark Energy and Constant

Deceleration Parameter” Akarsu, Ö. & Kılınç, C.B., General Relativity and

Gravitation 42, 119-140 (2010)

116

SCI kapsamında bir dergiye yollanmış olup henüz değerlendirmede olan

makaleler• “Some Anisotropic Universes in the Presence of Imperfect Fluid Coupling with

Spatial Curvature” Akarsu, Ö. & Kılınç, C.B., General Relativity and

Gravitation dergisine yollanmıştır.

SCI dışındaki uluslararası indekslerce taranan dergilerde yayınlanan

makaleler • “Bir Kültür Olarak Matematik ve Bilgikuramsal Bir Çözümleme” Kuryel, B. &

Akarsu, Ö., Felsefelogos (The Philosopher's Index tarafından taranmaktadır)

23, 81-92 (2004)

• “Evren Üzerine Felsefi Bir Konuşma” Akarsu, Ö., Felsefelogos (The

Philosopher's Index tarafından taranmaktadır) 19, 111-128 (2002)

BİLİMSEL TOPLANTILARDA SUNULAN VE BASILAN BİLDİRİLER

• “Anizotropik Karanlık Enerjinin Varlığında Bazı Evren Modelleri” Akarsu, Ö.

& Kılınç, C.B., XVI. Ulusal Astronomi Kongresi Bildiri Kitabı, (toplantı Eylül

2008), Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Yayınları, 2008, No 37, Cilt 7b,

sf. 1049-1062.

• “Kant’ın Newtoncu Kozmolojisi ve Modern Yıldız Kuramının Temellerinin

Atılışı” Akarsu, Ö. & Ural, Ş., XV. Ulusal Astronomi Kongresi Bildiri Kitabı,

(toplantı Ağustos 2006), İstanbul Kültür Üniversitesi Yayınları, 2007, No 60,

Cilt 1, sf. 55-60.

• “FG Uma’nın Üç Ayrı Yöntemle Işıkölçüm Çözümlemesi” Doğan, T., Akarsu,

Ö., Dervişoğlu, A., Evren, S., XV. Ulusal Astronomi Kongresi Bildiri Kitabı,

(toplantı Ağustos 2006), İstanbul Kültür Üniversitesi Yayınları, 2007, No 60,

Cilt 1, sf. 259-266.

• “Astrofizikte Çözülmemiş Temel Problemlerden G ve Λ’nın Değişimi” Akarsu,

Ö. & Kılınç, C.B., XIV. Ulusal Astronomi Kongresi Bildiri Kitabı, (toplantı

Ağustos 2004), 2007, sf. 172-177.

117

• “Kozmos ve Kaos ile Apollon ve Dionysos” Akarsu, Ö., Mantık, Matematik ve

Felsefe II. Ulusal Sempozyumu - Kaos Bildiri Kitabı, (toplantı Eylül 2004),

İstanbul Kültür Üniversitesi Yayınları, 2004, No 49, sf. 425-430.

• “Plazma Evren Modeli ile Big Bang’in a priori ve posteriori

Karşılaştırmaları” Akarsu, Ö. & Doğan, T., XIII. Ulusal Astronomi Toplantısı

TÜBİTAK Ulusal Gözlemevi Toplantı Kitabı, (toplantı Eylül 2002), 2003, sf.

339-344.

DİĞER BAZI YAYINLAR

• “Evrenin Yapısı ve Evrimi” Akarsu, Ö. & Işık, E., Yaşadıkça Eğitim, 2009, No

103, sf. 8-14.

• “Newton’un İki Başyapıtı: Principia ve Optikcs: Yeni bir fizik ve doğa

anlayışı” (Bir sunuş ile “Great Physicists, Cropper, W.H., Oxford Uni. Press,

sf:31-36 çeviri) Akarsu, Ö., Bilim ve Gelecek, 2007, No 35, sf. 38-43.

• “Evren Neye Benziyor?” Akarsu, Ö., Bilim ve Gelecek, 2006, No 34, sf. 22-32.

• “Felsefe Tarih ve Evrimin Unutulan Dansı” Akarsu, Ö., Üniversite ve Toplum,

2003, No 1, Cilt 3, sf. 05.

• “İnsana Benzetilmiş Evren” Akarsu, Ö., Bilim ve Ütopya, 2001, No 84, sf.

73-75.

KATILDIĞI KISA DÖNEMLİ OKULLAR VE ÇALIŞTAYLAR

• International Workshop on Observational Cosmology, TÜBİTAK Ulusal

Gözlemevi, Antalya-Türkiye, Ekim 2009.

• Summer School in Cosmology, The Abdus Salam ICTP, Trieste-İtalya, Temmuz

2008.

• Workshop on Cosmology and Strings, The Abdus Salam ICTP, Trieste-İtalya,

Temmuz 2007.

• Summer School in Cosmology and Astroparticle Physics, The Abdus Salam

ICTP, Trieste-İtalya, Temmuz 2006.

118

KATILDIĞI TOPLANTILAR

• Mantık, Matematik ve Felsefe VII. Ulusal Sempozyumu, konu: Toplum, Bilim,

Teknoloji ve Etik Değerler, İzmir-Türkiye, Eylül 2009.

• Mantık, Matematik ve Felsefe VI. Ulusal Sempozyumu, konu: Evrim, sözlü

bildiriyle: Enflasyon Kozmolojisinde Evrenin Evrimi, İzmir-Türkiye, Eylül

2008.

• XVI. Ulusal Astronomi Kongresi, sözlü bildiriyle: Anizotropik Karanlık

Enerjinin Varlığında Bazı Evren Modelleri, Çanakkale-Türkiye, Eylül 2008.

• Conference on Mathematics, Physics and Philosophy in the Interpretations of

Relativity Theory, Budapest-Hungary, Eylül 2007.

• Mantık, Matematik ve Felsefe V. Ulusal Sempozyumu, konu: Bilim ve Sanat,

sözlü bildiriyle: Kozmos Olarak Doğa: Doğanın Nicelenmesi ve

Geometrikleştirilmesi, İzmir-Türkiye, Eylül 2007.

• XV. Ulusal Astronomi Kongresi, sözlü bildiriyle: Kant’ın Newtoncu

Kozmolojisi ve Modern Yıldız Kuramının Temellerinin Atılışı, İstanbul-Türkiye,

Eylül 2006.

• Mantık, Matematik ve Felsefe IV. Ulusal Sempozyumu, konu: Olasılık, İzmir-

Türkiye, Eylül 2006.

• Mantık, Matematik ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, konu: Görelilik ve

Sonsuzluk, İzmir-Türkiye, 2005.

• XIV. Ulusal Astronomi Kongresi, sözlü bildiriyle: Astrofizikte Çözülmemiş

Temel Problemlerden G ve Λ’nın Değişimi, Kayseri-Türkiye, 2004.

• Mantık, Matematik ve Felsefe II. Ulusal Sempozyumu, konu: Kaos, sözlü

bildiriyle: Kozmos ve Kaos ile Apollon ve Dionysos, Çanakkale-Türkiye, 2004.

• Mantık, Matematik ve Felsefe I. Ulusal Sempozyumu, Çanakkale-Türkiye,

2003.

• II. Ulusal Astronomi Öğrenci Toplantısı, sözlü bildiriyle: Plazma Evren

Modeli ile Big Bang’in a priori ve a posteriori Karşılaştırmaları, Antalya-

Türkiye, 2002.

• V. İstanbul-Viyena Felsefe Çevresi Toplantısı, konu: Zaman, İstanbul-Türkiye,

Ekim 2000.

119

• I. Ulusal Astronomi Öğrenci Toplantısı, sözlü bildiriyle: Evren Modelleri ve

Bilim Felsefesi, İzmir-Türkiye, 2000.

SUNUMLAR

• “Bianchi Tipi Evren Modellerinin Kozmolojik Çözümleri I-II” Sezon

Seminerleri Dizisi, Ege Üniversitesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü,

İzmir-Türkiye, Şubat ve Mart 2010.

• “Bianchi Type-I Cosmologies with Anisotropic Dark energy” Research

Presentation in Summer School in Cosmology, The Abdus Salam ICTP, Trieste-

İtalya, Temmuz 2008.

• “Evren Neye Benziyor?” EBİLTEM, Ege Üniversitesi, İzmir-Türkiye, Mart

2007.

• “Kozmolojik Sabit Problemi” Sezon Seminerleri Dizisi, Ege Üniversitesi,

Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü, İzmir-Türkiye, Nisan 2005.

• “Newton Kütleçekim Sabitinin Zamana Bağlılığı” Sezon Seminerleri Dizisi,

Ege Üniversitesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü, İzmir-Türkiye, Mart

2005.

• “Evren Modelleri ve Bilim Felsefesi” II. Ulusal Astronomi Öğrenci Toplantısı,

İzmir-Türkiye, Eylül 2000.

• Fizik, kozmoloji, bilim ve bilim felsefesi çerçevesinde birçok popüler

konuşma...

VERDİĞİ DERSLER

Uygulamalar

• Teorik Mekanik

• Astronomide Matematik Yöntemler

• Galaksiler ve Kozmoloji

• İleri Matematik I

• Kuantum Mekaniği II

• Görsel Bölge Dışı Astronomi

120

• Değişen Yıldızlar

• Özel Yıldızlar

• Bilim İngilizcesi I

BİLGİSAYAR DENEYİMİ

İşletim sistemleri………………….: DOS, Mac OS, MS/Windows

Hesaplama, veri analizi, yazılım..: Maple, Mathematica, Period04

Metin yazımı, düzenlemesi…….…: LaTeX, iWork, MS/Office

ÖZEL İLGİ ALANLARI

Fizik, matematik, kozmoloji, astronomi, felsefe, mantık, psikoloji, edebiyat, tarih

ve sosyoloji, yüzme (eski lisanslı yüzücü), dağ bisikleti, klasik batı müziği, klasik

Türk sanat müziği, Türk halk müziği.

121

bianchi

Documents