beschreibende statistik schließende...
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Beschreibende Statistik Schließende Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modell
Schätzung
mit Risikoberechnung
Stichprobe
Grundgesamtheit
Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit
Durchschnitt Erwartungswert
Literatur
Beichelt, F.
Stochastik für Ingenieure, Teubner (2002)
Beucher, O
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mit MATLAB, Springer (2007)
Kühlmeyer, M
Statistische Auswertungsmethoden für Ingenieure, Springer (2001)
Sachs, L. u.a.
Angewandte Statistik, 14. Auflage, Springer (2011)
Ross, S.M.;
Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Spektrum Akad. Verlag (2006)
Storm, R.
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Statistische Qualitätskontrolle
Fachbuchverlag Leipzig – Köln (1995)
Fahrmeir, L. u.a.
Statistik, 4. Auflage, Springer (2003)
Timischl, W.
Biostatistik, 2. Auflage, Springer (2000)
Das Material darf nur zu Lehrzwecken an der EAH Jena verwendet werden.
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Version Oktober 2014
Prof. J. Schütze, FH Jena
2
Inhalt A Beschreibende Statistik ............................................................................................................................................................. 3
1. Grundbegriffe ........................................................................................................................................................................ 3
2. Eindimensionale Merkmale .................................................................................................................................................. 3
Häufigkeitsverteilungen ........................................................................................................................................................ 3
Statistische Maßzahlen.......................................................................................................................................................... 4
3. Mehrdimensionale Merkmale .............................................................................................................................................. 5
Diskrete Merkmale: Kontingenztabelle............................................................................................................................... 5
Zusammenhangsmaße für nominale Merkmale ................................................................................................................. 5
Zusammenhangsmaß für metrische Merkmale .................................................................................................................. 6
Lineare Regression ................................................................................................................................................................ 6
Parameterschätzung bei einigen nichtlinearen Regressionsfunktionen ........................................................................... 7
B Wahrscheinlichkeitsrechnung ................................................................................................................................................. 8
4. Grundbegriffe ........................................................................................................................................................................ 8
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ..................................................................................................................................... 8
Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ................................................................................................................... 9
5. Zufallsgrößen und ihre Verteilung ...................................................................................................................................... 9
Rechengesetze für Erwartungswert und Varianz ............................................................................................................... 9
Einige spezielle diskrete Verteilungen ............................................................................................................................... 10
Stetige Zufallsgrößen .......................................................................................................................................................... 10
Auswahl stetiger Verteilungen ........................................................................................................................................... 11
Spezielle Eigenschaften der Normalverteilung N(, 2) .................................................................................................. 11
Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik ............................................................................................................ 12
6. Grenzwertsätze .................................................................................................................................................................... 12
C Schließende Statistik .............................................................................................................................................................. 13
7. Parameterschätzungen und Konfidenzintervalle ............................................................................................................. 13
Methoden zur Parameterschätzung ................................................................................................................................... 13
Konfidenzintervalle für die Parameter der Normalverteilung ........................................................................................ 13
Konfidenzintervalle für Parameter p der Binomialverteilung ........................................................................................ 14
8. Statistische Tests für unbekannte Parameter ................................................................................................................... 15
Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen .................................................................................................. 16
Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen ........................................................................................................ 17
Tests für Parameter p der Binomialverteilung (unbekannte Wahrscheinlichkeit) ....................................................... 18
9. Parameterfreie Tests ........................................................................................................................................................... 19
²-Unabhängigkeitstest ..................................................................................................................................................... 19
²-Anpassungstest ............................................................................................................................................................. 20
Anhang ......................................................................................................................................................................................... 21
Tabelle 1: Quantile qmt , der t-Verteilung .............................................................................................................................. 21
Tabelle 2: Quantile der 2 - Verteilung ................................................................................................................................... 22
Tabelle 3a: 0.95 - Quantile der F-Verteilung ........................................................................................................................... 23
Tabelle 3b: 0.975 - Quantile der F-Verteilung .......................................................................................................................... 25
Tabelle 4: Gamma-Funktion ...................................................................................................................................................... 27
Tabelle 5: Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung )()( xXPx ................................................... 28
Prof. J. Schütze, FH Jena
3
A Beschreibende Statistik
1. Grundbegriffe
Grundgesamtheit alle Elemente, die prinzipiell gemessen bzw. beobachtet werden könnten
Stichprobe alle Elemente, die zufällig zur Messung/Beobachtung ausgewählt wurden
Erhebungseinheit/ jedes in die Stichprobe gelangte Element
Merkmalsträger Merkmal/ Ziel der Untersuchung/Beobachtung
statistische Variable mögliche Ausprägungen Wertebereich
Merkmalswert tatsächlich beobachteter Wert an einem konkreten Element
Skalenniveaus
Nominalskala qualitativ, keine Ordnung
Ordinalskala Rangfolge zwischen Ausprägungen, aber keine sinnvollen Abstände
Metrische Skala quantitativ, durch Auszählen (diskret) oder Messen (i.a. stetig)
2. Eindimensionale Merkmale
Häufigkeitsverteilungen
Stichprobe ( , ,..., )x x xn1 2 mit n Beobachtungen des Merkmals X, n heißt Stichprobenumfang
Diskretes Merkmal X (nominal oder ordinal mit endlich vielen Ausprägungen)
k verschiedene mögliche Ausprägungen nkxx k ,,...1
absolute Häufigkeit von xi h h xi i ( ) Anzahl des Auftretens von xi
in ( , ,..., )x x xn1 2
relative Häufigkeit von xi f f x
h x
ni ki i
i
( )( )
, 1
Stetiges Merkmal X (mögliche Ausprägungen sind alle reellen Werte eines Intervalls)
Einteilung des Wertebereichs in k Klassen K i gleicher Breite, nkki ,1 (Faustregel)
absolute Klassenhäufigkeit von K i h h Ki i ( ) Anzahl der ( , ,..., )x x xn1 2 in K i
relative Klassenhäufigkeit von K i f f Kh K
ni ki i
i ( )( )
, 1
Eigenschaften h nii
k
1
f ii
k
1
1
Bei ordinalen und metrischen Merkmalen kann eine Summenhäufigkeitsfunktion berechnet werden.
absolute Summenhäufigkeit :
( ) ( )i
j
j i x K
H x h K
,
relative Summenhäufigkeit :
( ) ( )i
j
j i x K
F x f K
Histogramm: Diagramm mit Klassenhäufigkeiten in y-Richtung über den Klassen in x-Richtung
Empirische Verteilungsfunktion (für stetige Merkmale)
Anzahl der Stichprobenwerte ( )
xF x
n
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4
Statistische Maßzahlen
nxx ,...,)1( geordnete Stichprobe vom Umfang n, d.h. min (1) ( ) max... nx x x x
empirisches -Quantil, 10
~( ) /
xx x k n
x k n k
k k
k
1 2
1
ganz
Ein Quantil teilt den Bereich zwischen kleinstem und größtem Stichprobenwert so, dass links davon etwa
·100%, rechts davon etwa (1-)·100% der Werte liegen.
Quartile: unteres Quartil bei = 0.25, Median bei = 0.5, oberes Quartil bei = 0.75
Quartilsabstand: Abstand zwischen oberem und unterem Quartil
Boxplot
Grafische Darstellung der Verteilung einer Stichprobe durch die Stichprobenkennwerte:
Quartile, min und max der Werte im Normalbereich sowie eventuell vorhandene Extremwerte
Normalbereich: unteres Quartil – 1.5*Quartilsabstand bis oberes Quartil + 1.5*Quartilsabstand
Achtung: Normalbereich ist im Boxplot nicht eingezeichnet! Werte außerhalb des Normalbereichs werden
im Boxplot separat dargestellt (ausreißerverdächtige Extremwerte).
Boxplot bei Stichprobe mit extremen Werten Boxplot bei Stichprobe ohne extreme Werte
Die aus den Stichprobenwerten berechneten Kenngrößen nennt man auch empirische Kenngrößen, um
sie von den entsprechenden Lage- und Streuungsmaßen der Grundgesamtheit zu unterscheiden..
extreme
Werte
Lagemaße Streuungsmaße
Arithmetisches
Mittel x
nxi
i
n
1
1
Empirische Varianz
n
ii
n
ii
xnxn
xxn
s
1
22
1
22
(1
1
)(1
1
mit absoluten.
Häufigkeiten )(
1 *
1
*
ii
k
i
i xhxn
x
2 * 2 * 2
1
1( ) ( )
1
k
i i ii
s x h x nxn
Standardabweichung 2ss
Variationskoeffizient (bei positiven Werten) x
sv
Standardfehler
n
ssx
Median 5,0~~ xx Quartilsabstand 25.075.05.0
~~~xxd
25% 25% der Werte 50%
0.25x 0.5x 0.75x min max 0.75x 0.25x
min, max im Normalbereich
extreme
Werte
extreme
Werte
extreme Werte
*
Alle Werte liegen im Normalbereich.
*
0.5x
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5
3. Mehrdimensionale Merkmale
Diskrete Merkmale: Kontingenztabelle
Zwei nominale oder ordinale Merkmale X und Y werden am gleichen Objekt gemessen,
X mit p Ausprägungen x1,...,xp; Y mit q Ausprägungen y1,...,yq
Dimension der Kontingenztabelle: p Zeilen, q Spalten
Zelleninhalt nik in der i-ten Zeile und k-ten Spalte: Anzahl der Kombinationen (xi, yk )
Stichprobenumfang n ist gleich der Anzahl der Messwertpaare
Y
X
Y1 y2 ... yq Randverteilung von X
(Zeilensummen)
x1
n11 n12 n1q
q
kknn
11.1
x2
n21 n22 n2q
q
kknn
12.2
xp
np1 np2 npq
q
kpkp nn
1.
Randverteilung von Y
(Spaltensummen)
p
iinn
111.
p
iinn
122.
p
iiqq nn
1.
p
i
q
kiknn
1 1
empirische Randverteilungen absolute Häufigkeiten relative Häufigkeiten
von X (Zeilensummen): ni. = h(xi) f(xi)= h(xi)/n
von Y (Spaltensummen): n.k = h(yk) f(yk)= h(yk)/n
Bedingte Häufigkeiten
von X unter der Bedingung Y= yk f(X = xi /Y = yk) = kik nn ./ , i=1,...,p
Spalte von Y= yk , normiert mit Spaltensumme
h(yk) entspricht Einschränkung auf Y = yk
von Y unter der Bedingung X= xi f(Y = yk /X = xi) = ./ iik nn , k=1,...,q
Zeile von X = xi , normiert mit Zeilensumme h(xi)
entspricht Einschränkung auf X = xi
Empirische Unabhängigkeit der Merkmale X,Y liegt vor, falls
nik = ( ni. n.k )/n für alle i, k
Zusammenhangsmaße für nominale Merkmale
beobachtete Zellhäufigkeiten: nik
bei Unabhängigkeit erwartete Zellhäufigkeiten n
nnn ki
ik..ˆ
Chi-Quadrat-Maß
p
i
q
k ik
ikik
n
nn
1 1
22
ˆ
)ˆ(
Kontingenzkoeffizient n
C
2
2
Korrigierter Kontingenzkoeffizient 1
d
dCCkorr , wobei ),min( qpd gilt
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6
Zusammenhangsmaß für metrische Merkmale
Pearsonscher Korrelationskoeffizient (empirischer)
2 2 2 2 2 2 2 22 2
( )( ) ( )
( ) ( )
i i i i i i i i
i i i ii i i i
X X Y Y n X Y X Y X Y nXYr
X X Y Y X nX Y nYn X X n Y Y
Für 1r besteht ein perfekter linearer Zusammenhang zwischen X und Y.
Zusammenhangsmaß für ordinale Merkmale oder metrische mit Ausreißern
)( ixR : Platznummer von ix bei aufsteigend geordneten Werten von X
)( iyR : Platznummer von iy bei aufsteigend geordneten Werten von Y
treten dabei Werte mehrfach auf, erhalten sie alle den gleichen mittleren Rang (Rangbindungen)
Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
2222
2
22 )()(
)()((
))(())((
))()()((
RnyRRnxR
RnyRxR
RyRRxR
RyRRxRr
ii
ii
ii
ii
s
mit 1
2
nR
Falls keine Rangbindungen vorliegen, gilt 2
2
61 , ( ) ( )
( 1)
i
s i i i
dr d R x R y
n n
Für 1sr besteht ein monotoner Zusammenhang zwischen X und Y.
Lineare Regression
für Beschreibung des linearen Zusammenhangs kardinaler Merkmale X, Y mit hoher Korrelation
Ansatz: y a a x 0 1
Optimalitätskriterium ist die Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)
y a a xi ii
n
0 1
2
1
min,
Residuen ii xaay 10 sind die vertikalen Abstände der Messpunkte von der Geraden
Normalengleichungen zur Bestimmung der Parameter a0 , a1 (summiert wird stets von i = 1 bis n )
x y a x a xi i i i 0 1
2
y a n a xi i 0 1
Parameterschätzung
221
ii
iiii
xxn
yxyxna
2
0 1 122
1i i i i i
i i
i i
x y x x ya y a x y a x
nn x x
‚Varianz‘zerlegung 222
1 0 1 0( ) ( ( )) ( )i i i iY Y Y a X a a X a Y
Bestimmtheitsmaß der linearen Regression
2
2
012
)(
)(
YY
YaXaR
i
i
Das Bestimmtheitsmaß ist der Anteil an Varianz der y-Werte, der durch die Regression erklärt wird.
Bei perfekter Anpassung ist das Bestimmtheitsmaß gleich 1.
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7
Zusammenhang zum Pearsonschen Korrelationskoeffizienten r
Es gilt 22 Rr
Schätzgröße für Streuung der Residuen (root mean square error)
2
0 1( ( ))i iy a a xRMSE
n p
, p ist die Anzahl der geschätzten Regressionskoeffizienten
Parameterschätzung bei einigen nichtlinearen Regressionsfunktionen
Quadratische Regression 2
210 XaXaaY
4
2
3
1
2
0
2
3
2
2
10
2
210
XaXaXaYX
XaXaXaXY
XaXanaY
Die Parameter erhält man als Lösung dieses Normalengleichungssystems.
Potenzansatz bXaY
log(log ) log log log log
(log ) ( log )a
X Y X X Y
n X X
2
2 2
22 )log()(log
loglogloglog
XXn
YXYXnb
Exponentenansatz XbaY (analog für cxy ae mit
cb e )
22
2
)(
logloglog
XXn
YXXYXa
22 )(
logloglog
XXn
YXYXnb
Logistischer Ansatz ,1 bXae
kY
k muss bekannt sein (Sättigungsgrenze)
22
2
)(
1ln1ln
XXn
Y
kXX
Y
kX
a
22 )(
1ln1ln
XXn
Y
kX
Y
kXn
b
27
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8
B Wahrscheinlichkeitsrechnung
4. Grundbegriffe
Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbares Experiment mit
ungewissem Ausgang,
wobei die Menge der möglichen Versuchsausgänge bekannt ist
Elementarereignis elementarer Versuchsausgang: ,
Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus
Ergebnismenge Menge aller Elementarereignisse:
Zufälliges Ereignis Teilmenge der Ergebnismenge
Das Ereignis ist das sichere Ereignis, das stets eintritt.
Ereignis A tritt ein, wenn der beobachtete Versuchsausgang ein Element von A ist.
Die leere Menge beschreibt das unmögliche Ereignis, das nie eintritt.
Komplementärereignis A A \ tritt genau dann ein,
wenn A nicht eintritt.
Zwei Ereignisse A, B heißen unvereinbar oder disjunkt,
wenn sie keine gemeinsamen Elementarereignisse besitzen,
A B =
Ereignis A zieht Ereignis B nach sich, wenn A B gilt.
Ereignis A B (Vereinigung) tritt ein, wenn mindestens eins
der Ereignisse A, B eintritt (A B).
Ereignis A B (Durchschnitt) tritt ein, wenn beide
Ereignisse A, B eintreten (A B).
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Sicheres Ereignis 1)( P
Unmögliches Ereignis Ø 0)( P
Monotonie ( ) ( )A B P A P B
Additionssatz allgemein
Spezialfall: disjunkte Ereignisse
)()()()( BAPBPAPBAP
BABPAPBAP falls ),()()(
Spezialfall: diskret
A
PAP
)()(
Komplementäres Ereignis )(1)( APAP
Differenz ( \ ) ( ) ( )P A B P A P A B
Laplacesche Wahrscheinlichkeit: endlich,
Elementarereignisse gleichwahrscheinlich.
Anzahl der Elementarereignisse von A ( )
Anzahl der Elementarereignisse von P A
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9
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, P(B) > 0
( )( / )
( )
P A BP A B
P B
falls P(B)>0
Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse A, B
)()/( APBAP bzw. ( / ) ( )P B A P B bzw. ( ) ( ) ( )P A B P A P B
Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
Multiplikationssatz
Spezialfall: unabhängige Ereignisse
( ) ( / ) ( )
( ) ( ) ( ), , falls unabhängig
P A B P A B P B
P A B P A P B A B
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
nBBB ...21 , Bk paarweise disjunkt 1
( ) ( / ) ( ) n
k k
k
P A P A B P B
Bayessche Formel
nBBB ...21 ,Bk paarweise disjunkt 1
( / ) ( ) ( / ) ( )( / )
( )( / ) ( )
i i i ii n
k k
k
P A B P B P A B P BP B A
P AP A B P B
5. Zufallsgrößen und ihre Verteilung
Zufallsgröße: Als Ergebnis eines Zufallsexperiments wird eine (reelle) Größe ( )X betrachtet.
Diskrete Zufallsgrößen: Wertebereich ,...,...,1 nxx , endlich oder abzählbar unendlich
Verteilung )( kk xXPp , 1k
kp (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
Wahrscheinlichkeiten ( ) ( )k
k
x A
P X A P X x
Erwartungswert k
kk xXPxEX )(
Varianz 2 2 2( ) ( ) ( )k k
k
VarX x EX P X x EX EX
Standardabweichung VarXs (Streuung)
Unabhängigkeit: Zwei diskrete Zufallsgrößen X und Y mit Werten 1 2, ,...x x bzw.
1 2, ,...y y
sind unabhängig, falls ( , ) ( ) ( )j k j kP X x Y y P X x P Y y für beliebige j und k gilt.
Rechengesetze für Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert Varianz
a b, konstant E a a Var a 0
X Zufallsgröße E aX a E X Var aX a 2Var X
E aX b a E X b Var aX b a 2Var X
X, Y Zufallsgrößen E X Y E X EY Var X Y Var X VarY + 2Cov(X,Y)
X Y, unabhängig E X Y E X EY Var X Y Var X VarY
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10
Einige spezielle diskrete Verteilungen
Verteilung Parameter Einzelwahrscheinlichkeiten
( )P X k
Erwartungswert Varianz
Gleich-
verteilung
n 1/ n , k = 1,…,n 1
2
n 21 1
12 12n
Binomial-
verteilung
,n p (1 ) , 1,...,k n k
np p k n
k
np (1 )np p
Hypergeometr.
Verteilung
, ,
,
N M n
N M n N / , 1,...,
M N M Nk n
k n k n
Mn
N 1
1
M M N nn
N N N
Poisson-
verteilung
, 0,1,...
!
k
e kk
Geometrische
Verteilung
p 1(1 ) , 1,2,...kp p k 1
p
2
1 p
p
Näherungsformeln
Näherung der hypergeometrischen durch die Binomialverteilung
Faustregel: n ≤ 0.05∙N
oder (nach Sachs): n < 0.1 N, M < 0.1 N, N > 60
knk
N
ppk
n
n
N
kn
MN
k
M
1lim mit pM
N
Näherung der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung
Faustregel: n > 10, p < 0.05
e
kpp
k
n kknk
pnn !
)1(lim mit np
Stetige Zufallsgrößen
Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn sie alle reellen Werte eines Intervalls annehmen kann.
Verteilungsfunktion ( ) ( )F x P X x
Intervallwahrscheinlichkeit ( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b F b F a
)()( bFbXP
)(1)( aFXaP
Dichte 0)( xf ,
1)( dxxf
Erwartungswert dxxfxEX )(
Varianz 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )VarX x EX f x dx x f x dx EX
2 2( )EX EX
Standardabweichung (Streuung) VarXs
Quantil der Ordnung , 0 < < 1 u mit )( auXP
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Zusammenhang von Dichte und Verteilungsfunktion
( ) ( ) ( )
x
F x f t dt P X x
( ) '( )f x F x
Unabhängigkeit stetiger Zufallsgrößen
X, Y sind unabhängig, falls für alle reellen Zahlen x, y gilt
( , ) ( ) ( )P X x Y y P X x P Y y
Auswahl stetiger Verteilungen
Verteilung Para-
meter
Dichte f(x) Verteilungs-
Funktion F(x)
Erwartungs-
wert
Varianz
Gleich-
verteilung
a, b 1
0
a x bb a
sonst
0
1
x a
x aa x b
b a
x b
2
a b
2
12
b a
Exponential-
verteilung 0 0
0x
x
e x
0 0
1 0x
x
e x
1
2
1
Normal
Verteilung ,
2
22
2
1
2
x
e
( ) ( )
x
x f t dt
2
Weibull-
verteilung
T, b 1
, 0
bb x
Tb xe x
T T
1 , 0
bx
Te x
11T
b
2
2
2
21
11
Tb
Tb
Erlang-
verteilung , n 1( )
( 1)!
nxx
en
1
0
( )
!
kn
k
xe
k
n
2
n
Γ(x): Gamma-Funktion (Tabelle s. Anhang), speziell ist
( ) ( 1)!n n für n , somit (1) 1, (2) 1, (3) 2, …
(1/ 2) , 3 / 2 / 2, (5 / 2) 3 / 4 , 1 1 3 5 ... (2 1)
2 2n
nn
( ) ( 1) ( 1)
Spezielle Eigenschaften der Normalverteilung N(, 2)
Eine Zufallsgröße X N , 2 heißt standardnormalverteilt, wenn 20, 1 gilt.
Für X N , 2 ist Z
X
N 0 1, standardnormalverteilt, Z ~ 0,1N (Tab. der VF Anhang)
Intervallwahrscheinlichkeiten
abbXaP )(
aXaP 1)(
bbXP )(
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12
k--Regel für normalverteilte Zufallsgrößen X N , 2 : 1)(2)( kkXP ,
für k = 1, 2, 3
9973.0)33(
9544.0)22(
6826.0)(
XP
XP
XP
Additionssatz für unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen 2~ ( , ), 1i i iX N i n
2
1 1 1
~ ,n n n
i i i
i i i
X N
Seien nXX ,...1 unabhängig, identisch verteilt nach 2,N , dann gilt für den Mittelwert
iXn
X1
nN
2
,
Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik
χ²-Verteilung (n FG) 2 2 2
1 ...n nZ Z mit iZ ~ N(0, 1), unabhängig
T-Verteilung (n FG) 2/ /n nT Z n mit Z ~N(0, 1), 2
n ~ χ², unabhängig von Z
F-Verteilung (n, m FG) 2 2
, ( / ) /( / )n m n mF n m mit 2 2,n m ~ χ², unabhängig
Die Quantile dieser Verteilungen liegen in Tabellen vor, s. Anhang..
6. Grenzwertsätze
Zentraler Grenzwertsatz
Sei 1 2, ,...X X eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen, 2,i iEX VarX
Dann ist 1
/
n
i
in
X nX
Zn n
für n standardnormalverteilt (Faustregel: n > 30).
Grenzwertsatz von Moivre-Laplace
Sei X~Bin(n,p), dann nähert sich die Verteilung von )1( pnp
npXZn
für n
der Standardnormalverteilung. Es gilt (mit Stetigkeitskorrektur)
2 11 2
0.5 0.5( )
x np x npP x X x
npq npq
,
(Faustregel: )1(
9
ppn
, bei 5.0p auch 5 pn )
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Sei 1,2,...n n
X
eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit 2,n nEX VarX ,
dann gilt für alle > 0
1
1lim 0
N
N n
n
P XN
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13
C Schließende Statistik
7. Parameterschätzungen und Konfidenzintervalle
Methoden zur Parameterschätzung
Stichprobenfunktion Parameter der Grundgesamtheit
Relative Häufigkeit )( kn xf Wahrscheinlichkeit )( kxXP
Mittelwert )( knk
k xfxx Erwartungswert )( kk
k xXPxEX
empirische Varianz )()(1
22
kn
kk xfxx
n
ns Varianz )()( 2 k
kk xXPEXxVarX
empir. Standardabw. 2ss Standardabweichung VarX
Die Kennzahlen der Stichprobe verwendet man für eine Schätzung der entsprechenden Parameter der
Verteilung in der Grundgesamtheit.
Momentenmethode k-tes Moment einer Zufallsgröße X: k
kM EX
k-tes empirisches Moment (aus Stichprobe): 1
1( ... )k k
k nm x xn
Schätzungen für die i Parameter einer Verteilung nach der Momentenmethode gewinnt man durch
Gleichsetzen von k kM m für 1 k i .
Maximum-Likelihood-Methode Man maximiert die gemeinsame Dichte 1( ,... , )nf x x , wobei für den Vektor der Verteilungsparameter
steht, indem man die partiellen Ableitungen nach den Parametern gleich Null setzt.
Berechnung der Verteilung von Schätzfunktionen
Konkrete Stichprobe x1, . . . , xn (Messreihe)
Mathematische Stichprobe X1, . . . , Xn (unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen, Modell)
Die konkrete Stichprobe entsteht durch Beobachtung der mathematischen Stichprobe bzw. als n
unabhängige Realisierungen der Zufallsgröße X.
Damit kann man aus der Verteilung von X oft die Verteilung geeigneter Schätzfunktionen ableiten, z.B.
gilt bei NV
Xn
X ii
n
1
1
~
nN
2
,
Daraus kann man einen Bereich konstruieren, der den unbekannten Parameter mit vorgegebener Sicherheit
überdeckt, den man Konfidenzintervall zur Sicherheit 1 - nennt.
Konfidenzintervalle für die Parameter der Normalverteilung
Bezeichnungen
n Stichprobenumfang
Irrtumswahrscheinlichkeit, Risiko
1 Sicherheit
1z , ( 2/1 z ) Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1 , ( 1 /2)
1,nt , ( 2/1, nt ) Quantil der t-Verteilung mit n Freiheitsgraden der Ordnung 1 , ( 1 /2)
2
1, n , ( )2
2/1, n Quantil der 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden der Ordnung 1 , ( 1 /2)
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14
KI für Erwartungswert bei bekannter Standardabweichung zur Sicherheit 1
Zweiseitiges KI Einseitiges oben offenes KI Einseitiges unten offenes KI
nzx
nzx
2/12/1 ,
,1
nzx
nzx
1,
KI für Erwartungswert bei unbekannter Standardabweichung zur Sicherheit 1
Zweiseitiges KI Einseitiges oben offenes KI Einseitiges unten offenes KI
n
stx
n
stx nn 2/1,12/1,1 ,
,1,1
n
stx n
n
stx n 1,1,
Notwendiger Stichprobenumfang für maximale Länge L des Intervalls für ( bekannt)
2
2/12
L
zn
KI für Varianz ² , Sicherheit 1 KI für Standardabweichung , Sicherheit 1
2
2
2/,1
2
2
2/1,1
1,
1s
ns
n
nn
sn
sn
nn
2
2/,1
2
2/1,1
1,
1
Die gleichen Vorschriften führen zu asymptotischen Konfidenzintervallen, wenn keine Normalverteilung
vorliegt, aber der Stichprobenumfang größer als 30 ist.
Konfidenzintervalle für Parameter p der Binomialverteilung
Bezeichnungen
n Stichprobenumfang,
1 Sicherheit
1 / 2c z Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1 / 2
k Anzahl des Auftretens des Ereignisses in der Stichprobe (absolute Erfolgshäufigkeit)
n
kp ˆ relative Erfolgshäufigkeit, Schätzung für p
Asymptotische Konfidenzintervalle für p 50, 50k n k (1 ) 9np p
)ˆ1(ˆˆ,)ˆ1(ˆˆ pp
n
cppp
n
cp
2 2 2 2 2 2
2 2
2 4 2 4,
c k c c k ck c k k c k
n n
n c n c
Exaktes Konfidenzintervall für p
1 2
1 2 1 2
, ,1 / 2
, ,1 / 2 , ,1 / 2
( 1),
( 1) ( 1)
g g
f f g g
k Fk
k n k F n k k F
F: Quantil der F-Verteilung der Ordnung 1 / 2
mit entsprechenden Freiheitsgraden:
1 22( 1), 2f n k f k , 1 22( 1), 2( )g k g n k
Notwendiger Stichprobenumfang für max. Länge 2 des asymptotischen Konfidenzintervalls
ohne Information über Größenordnung von p
2
4
1
cn
wenn Größenordnung p̂ bekannt )ˆ1(ˆ
2
ppc
n
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15
Asymptotisches Konfidenzintervall für Parameter λ der Poissonverteilung
2 2 2 2
1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
1 1 1 1 1 1,
2 4 2 4X z z X z X z z X z
n n n nn n
Asymptotisches Konfidenzintervall für Parameter λ der Exponentialverteilung 2 2
2 , / 2 2 ,1 / 2
1 1
,
2 2
n n
n n
i i
i i
X X
8. Statistische Tests für unbekannte Parameter
Test-Schema
am Beispiel des Mittelwertvergleichs 0 bei Normalverteilung mit bekanntem , 0 Referenzwert
00 : H Nullhypothese
01 : H Alternativhypothese (zweiseitig)
Irrtumswahrscheinlichkeit
n
XT
/
0
Testgröße, unter Gültigkeit von 0H ist T standardnormalverteilt
2/1 zT Ablehnbereich von 0H , 2/1 z ( 2/1 )-Quantil der Standardnormalverteilung
d.h. wenn der aus der Stichprobe berechnete Wert t der Testgröße diese Bedingung
erfüllt, wird die Nullhypothese abgelehnt.
Fehler 1. Art Wahrscheinlichkeit, dass eine Ablehnung von 0H erfolgt; obwohl 0H richtig ist,
(nicht vorhandener Unterschied gefunden) ist bei diesem Verfahren maximal
Fehler 2. Art Wahrscheinlichkeit, dass keine Ablehnung von 0H erfolgt; obwohl 0H falsch ist,
(vorhandener Unterschied wird übersehen)
äquivalente Testentscheidung anhand von p-Werten (Variante bei Rechnung mit Computer)
t aus Stichprobe berechneter Wert der Testgröße T
)( tTPp p-Wert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße T unter 0H einen extremeren
Wert als das aus den Stichprobenwerten berechnete t annimmt
Ablehnung von 0H , wenn p gilt
Wenn die Nullhypothese wahr ist, liegt der aus der Stichprobe berechnete Wert t der Testgröße T mit
Wahrscheinlichkeit im Ablehnbereich 2/1 zT = ),(),( 2/12/1 zz . Eine ungerechtfertigte
Ablehnung von 0H erfolgt somit maximal mit Irrtumswahrscheinlichkeit .
Fehlermöglichkeiten bei der Testentscheidung
H0 abgelehnt H0 nicht abgelehnt
H0 richtig Fehler 1. Art: richtige Entscheidung
H0 falsch richtige Entscheidung Fehler 2. Art:
Interpretation
Von beiden Wahrscheinlichkeiten bei Fehlentscheidung kann nur vorgegeben werden, d.h. die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine richtige Nullhypothese abgelehnt wird.
Eine Irrtumswahrscheinlichkeit besagt, dass man bei 100 Tests mit der Ablehnung der Null-
hypothese nach diesem Verfahren in etwa 100 Fällen einen Fehler macht.
Je kleiner gewählt wird, desto größer ist der mögliche Fehler , der bei Nichtablehnung der
Nullhypothese entsteht.
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16
Die Wahrscheinlichkeit für die Beibehaltung der falschen Nullhypothese (vorhandener Unterschied
wird übersehen) kann für jeden alternativen Referenzwert 1 der Alternativhypothese und dem
Stichprobenumfang n berechnet werden. Durch Umstellen dieser Formel erhält man einen Mindes-
tstichprobenumfang n, der die Einhaltung vorgegebener Werte für und sichert (Fallzahlplanung).
Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen
Bezeichnungen
Stichprobenumfänge: , ,x yn n n
Mittelwertschätzungen:
xn
i
i
x
Xn
X1
1
yn
i
i
y
Yn
Y1
1
Varianzschätzungen: 2 2
1
1( )
1
xn
x i
ix
s X Xn
, 2 2
1
1( )
1
yn
y i
iy
s Y Yn
gepoolte Varianz 2
)1()1( 22
2
yx
yyxx
gnn
snsns
Risiko:
Quantile: qz Quantil der Ordnung q der Standardnormalverteilung
qmt , Quantil der Ordnung q der t-Verteilung mit m Freiheitsgraden (m ganzzahlig)
qft , Quantil der Ordnung q der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden, wobei
)1/()/()1/()/(
)//(2222
222
yyyxxx
yyxx
nnsnns
nsnsf (abrunden!) FG für Welch-Test
Einstichprobentests
Vergleich mit Referenzwert 0 ; bekannt2 (Gauß-Test)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnkriterium
00 : H 01 : H
n
XT
/
0
~ N(0, 1)
2/1 zT
00 : H 01 : H 1zT
00 : H 01 : H 1zT
Vergleich mit Referenzwert 0 , unbekannt2 (T-Test)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnkriterium
00 : H 01 : H
ns
XT
/
0
0
1~H
nt
2/1,1 ntT
00 : H 01 : H 1,1ntT
00 : H 01 : H 1,1ntT
Zweistichprobentests
Vergleich yxD mit 0; 2
D unbekannt; X, Y verbunden, D = X – Y
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnkriterium
0:0 DH 0:1 DH n
s
dT
D
0
1~H
nt
2/1,1 ntT
0:0 DH 0:1 DH 1,1ntT
0:0 DH 0:1 DH 1,1ntT
mit i i id x y , d arithmetisches Mittel, Ds, empirische Standardabweichung der Werte der id .
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17
Vergleich x mit y ;
22 , yx unbekannt, aber gleich; X, Y nicht verbunden (doppelter T-Test)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnkriterium
yxH :0 yxH :1
yx
yx
g nn
nn
s
YXT
~ 0
2~x y
H
n nt
2/1,2 yx nntT
yxH :0 yxH :1 1,2yx nntT
yxH :0 yxH :1 1,2yx nntT
Vergleich x mit y ;22 , yx unbekannt, verschieden; X, Y nicht verbunden (Welch-Test)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnkriterium
yxH :0 yxH :1
y
y
x
x
n
s
n
sYXT
22
/)(
~ ft (asymptotisch)
2/1, ftT
yxH :0 yxH :1 1,ftT
yxH :0 yxH :1 1,ftT
Planung des Stichprobenumfangs
Fehler 1. Art, d.h. Wahrscheinlichkeit für Ablehnung von 0H , obwohl 0H richtig ist
Fehler 2. Art, d.h. Wahrscheinlichkeit für Beibehaltung von 0H , obwohl 0H falsch ist
L statistisch relevanter Unterschied zwischen den Parametern und 0 bzw. x und y
d.h. Mittelwertdifferenzen kleiner als L sind praktisch vernachlässigbare Unterschiede
Mindeststichprobenumfang zur Einhaltung von , bei gegebenem L und bekanntem 2
Vergleich mit 0
(Einstichprobentest)
Vergleich X mit Y
(Zweistichprobentest)*
Zweiseitiger Test 2
2
2
12/1
0
)(
L
zznn
2
1 / 2 1 2
0 2
( )2
z zn n
L
Einseitiger Test 2
2
2
11
0
)(
L
zznn 2
2
2
11
0
)(2
L
zznn
1 2* 20n n n
Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen
Einstichprobentest
Vergleich 2
0
2 mit (Referenzwert)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich 2
0
2
0 : H 2
0
2
1 : H 2
0
2 /)1( snT
0
2
1~H
nasy
2
2/1,1 nT oder 2
2/,1 nT
2
0
2
0 : H 2
0
2
1 : H 2
,1 nT
2
0
2
0 : H 2
0
2
1 : H 2
1,1 nT
Zweistichprobentest
Vergleich 2
2
2
1 mit
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich 2
2
2
10 : H 2
2
2
11 : H 22 / yx ssT
0
1, 1~x y
H
n nF
2/1,1,1 ynxnFT oder 2/,1,1
ynxnFT
2
2
2
10 : H 2
2
2
11 : H ,1,1 ynxnFT
2
2
2
10 : H 2
2
2
11 : H 1,1,1 ynxnFT
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18
Schreibt man in der Testgröße den größeren der Werte in den Zähler bei entsprechender Anpassung von
,x yn n , vereinfacht sich der Ablehnbereich des zweiseitigen Tests zu 1, 1,1 / 2x yn nT F .
Tests für Parameter p der Binomialverteilung (unbekannte Wahrscheinlichkeit)
Bezeichnungen
Stichprobe nXX ,...,1 mit 1 falls A eingetreten
0 sonstiX
P( X = 1) = P(A) = p, unbekannte Wahrscheinlichkeit
k : Anzahl der Einsen in der Stichprobe (absolute Häufigkeit des Eintretens von A bei n Versuchen
n
kp ˆ relative Häufigkeit von A (Schätzung für p)
Einstichprobentests
Vergleich 0mit pp (Referenzwert), asymptotischer Binomialtest, (Faustregel: (1 ) 9np p )
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich
00 : ppH 01 : ppH
)1(/)( 000 pnpnpkT
~ N(0, 1) (asymptotisch)
2/1 zT
00 : ppH 01 : ppH 1zT
00 : ppH 01 : ppH 1zT
Exakter Binomialtest (wenn Faustregel: (1 ) 9np p nicht erfüllt)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich
00 : ppH 01 : ppH
k 0
~H
Bin(n, p0)
uk k oder ok k
00 : ppH 01 : ppH 'uk k
00 : ppH 01 : ppH 'ok k
Die Schranken , ,o uk k k des Ablehnbereichs werden mit 0p aus den Wahrscheinlichkeiten. der
Binomialverteilung so berechnet, dass seine Wahrscheinlichkeit bei Gültigkeit der Nullhypothese kleiner
als ist:
Ablehnbereich bei zweiseitigem Test
: 0,..., / 2u uk P k und 0,..., 1 / 2uP k sowie : ,..., / 2o ok P k n und 1,..., / 2oP k n
Ablehnbereich bei einseitigem Test 00 : ppH
' : 0,..., 'u uk P k und 0,..., ' 1uP k
Ablehnbereich bei einseitigem Test 00 : ppH
' : ',...,o ok P k n und ' 1,...,oP k n
Zweistichprobentests
Nicht verbundene Stichproben (asymptotischer Test)
Bezeichnungen
A wird beobachtet in zwei unabhängigen Grundgesamtheiten G1 und G2
G1: Stichprobenumfang n1, k1: Anzahl der Einsen, 111 /ˆ nkp Schätzung für P(A) = p1 in G1
G2: Stichprobenumfang n2, k2: Anzahl der Einsen, 222 /ˆ nkp Schätzung für P(A) = p2 in G2
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19
21
21ˆnn
kkp
Schätzung für P(A) bei Gleichheit der Anteile
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich
210 : ppH 211 : ppH
)ˆ1(ˆ)/1/1(
ˆˆ
21
21
ppnn
ppT
~ N(0, 1) asymptotisch
2/1 zT
210 : ppH 211 : ppH 1zT
210 : ppH 211 : ppH 1zT
Verbundene Stichproben (McNemar-Test)
Bezeichnungen: a, b, c, d sind absolute Häufigkeiten
Untersuchung 2
Untersuchung 1 A eingetreten A nicht eingetreten
A eingetreten A b
A nicht eingetreten C d
Nullhypothese: Wahrscheinlichkeit des Wechsels des Eintretens von A ist in beide Richtungen
gleich
Testgröße: 2( )b c
Tb c
Ablehnbereich : 2
2/1,1 T
Der Test ist asymptotisch, als Faustregel für gute Näherung gilt 30 cb .
Ist 30> 20b c , rechnet man mit der modifizierten Testgröße cb
cbT
2)1(.
Bei b + c < 20 oder erwarteten Zellhäufigkeiten für die Zellen b, c kleiner als 5 rechnet man einen
Binomialtest mit N = b + c, k = b, p0 = ½.
Einseitige Tests rechnet man mit der Testgröße ( ) /T b c b c , die unter H0 asymptotisch N(0,1) ist.
9. Parameterfreie Tests
²-Unabhängigkeitstest
Bezeichnungen
X, Y Zufallsgrößen mit diskreten Wertebereichen pxx ,...,1 bzw. qyy ,...,1
Stichprobe mit n Messwertpaaren ( ji yx , )
ijn : Anzahl des Auftretens der Kombination ( ji yx , ) in der Stichprobe
q
j
iji nn1
. ,
p
i
ijj nn1
. ,
q
j
p
i
ijnnn1 1
.. ,n
nnn
ji
ij
..ˆ
Nullhypothese: X, Y unabhängig
Testgröße
p
i
q
j ij
ijij
n
nnT
1 1
2
ˆ
)ˆ(
Risiko
Ablehnbereich 21),1()1( qpT
Der ²-Test kann auch für stetige Zufallsgrößen durchgeführt werden, wenn vorher eine
Klasseneinteilung erfolgte. Die Werte ijn sind dann die Klassenhäufigkeiten.
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20
Achtung
Da die Testgröße nur näherungsweise ²-verteilt ist, sollte keine der erwarteten Häufigkeiten ijn̂ gleich
Null und maximal 25% kleiner als 5 sein (sonst benachbarte Klassen zusammenlegen).
²-Anpassungstest
Getestet wird, ob eine vorliegende Stichprobe einer Grundgesamtheit mit bestimmter Verteilung (z.B.
NV) entstammt.
Testidee: Vergleich der absoluten Häufigkeiten iO geeigneter Ereignisse mit den unter der Testverteilung
erwarteten Häufigkeiten iE dieser Ereignisse
Bei diskreter Testverteilung entsprechen diese Ereignisse den Realisierungen der Zufallsgröße, eventuell
werden dabei benachbarte Realisierungen zu einem Ereignis zusammengefasst.
Bei stetiger Testverteilung erfolgt Klasseneinteilung (analog Histogramm, aber mit offenen Randklassen).
Die Ereignisse entsprechen diesen Klassen, wobei eventuell benachbarte Klassen zusammengefasst
werden.
n: Stichprobenumfang,
k: Anzahl der Realisierungen (diskret) bzw. Anzahl der Klassen (stetig)
iO : absolute Häufigkeit der i-ten Realisierung bzw. der i-ten Klasse
iE : entsprechend der Testverteilung zu erwartende Häufigkeit, i iE p n
dabei werden gegebenenfalls die p unbekannten Parameter der Verteilung aus der Stichprobe geschätzt
(z.B. bei NV mit Schätzung von Erwartungswert und Varianz: p = 2)
Nullhypothese: Testverteilung liegt vor
Testgröße:
2
1
( )ki i
i i
O ET
E
, unter
2
0 1: ~ k pH T
Risiko
Ablehnbereich 2
1 ,1k pT
Achtung
Im Unterschied zu anderen Tests ist man hier i.a. nicht an einer Ablehnung der Nullhypothese interessiert!
Da man den dafür zuständigen -Fehler nicht kennt, hat man das Vorliegen der Testverteilung nicht mit
statistischer Sicherheit nachgewiesen.
Man geht bei Nichtablehnung der Nullhypothese davon aus, dass die Stichprobenwerte nicht gegen das
Vorliegen der Testverteilung sprechen.
Um den -Fehler klein zu halten, wählt man aus diesem Grund den -Fehler oft größer als 0.05.
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21
Anhang
Tabelle 1: Quantile qmt , der t-Verteilung
m: Anzahl Freiheitsgrade, q: Quantilordnung,
qmt
mt qdxxf,
)(,
q
m ,90 ,95 ,975 ,99 ,995 ,999 0,9995
1 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 318,31 636,62
2 1,89 2,92 4,30 6,96 9,92 22,33 31,60
3 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 10,21 12,92
4 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61
5 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 5,89 6,87
6 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96
7 1,41 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,41
8 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04
9 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,78
10 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59
11 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 4,02 4,44
12 1,36 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32
13 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22
14 1,35 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14
15 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07
16 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01
17 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,97
18 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92
19 1,33 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88
20 1,33 1,72 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85
21 1,32 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82
22 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82 3,50 3,79
23 1,32 1,71 2,07 2,50 2,81 3,48 3,77
24 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,75
25 1,32 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,73
26 1,31 1,71 2,06 2,48 2,78 3,43 3,71
27 1,31 1,70 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69
28 1,31 1,70 2,05 2,47 2,76 3,41 3,67
29 1,31 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66
30 1,31 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65
40 1,30 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55
60 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46
120 1,29 1,66 1,98 2,36 2,62 3,16 3,37
Näherung für große m: qqm zt , (Quantil der Normalverteilung N(0,1))
Prof. J. Schütze, FH Jena
22
Tabelle 2: Quantile der 2 - Verteilung
Für große Werte von m gilt:
3
2
;9
2
9
21
mu
mm qqm
Näherungsformel von Wilson und Hilferty
m = Anzahl der Freiheitsgrade, q = Ordnung des Quantils
q
m 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,90 0,95 0,975 ,99 0,995
1 ,00 ,00 ,00 ,00 ,02 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88
2 ,01 ,02 ,05 ,10 ,21 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60
3 ,07 ,11 ,22 ,35 ,58 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84
4 ,21 ,30 ,48 ,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86
5 ,41 ,55 ,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75
6 ,68 ,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55
7 ,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28
8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95
9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59
10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19
11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76
12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30
13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82
14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32
15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80
16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27
17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72
18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16
19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58
20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00
21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40
22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80
23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18
24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56
25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93
26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29
27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64
28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99
29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34
30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67
40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77
50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49
60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95
70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21
80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32
90 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30
100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17
Prof. J. Schütze, FH Jena
23
1m
2m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 85 8,81 8,79 8,76
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99
75 3,97 3,12 2,73 2,49 2,34 2,22 2,13 2,06 2,01 1,96 1,92
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89
200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88 1,84
300 3,87 3,03 2,63 2,40 2,24 2,13 2,04 1,97 1,91 1,86 1,82
400 3,86 3,02 2,63 2,39 2,24 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81
500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81
1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80
Tabelle 3a: 0.95 - Quantile der F-Verteilung
95.0)( 95.0,, 21 mmFFP
Prof. J. Schütze, FH Jena
24
12 14 16 20 30 50 75 100 500 1000 1m
2m
243,91 245,36 246,46 248,01 250,10 251,77 252,62 253,04 254,06 254,19 1
19,41 19,42 19,43 19,45 19,46 19,48 19,48 19,49 19,49 19,49 2
8,74 8,71 8,69 8,66 8,62 8,58 8,56 8,55 8,53 8,53 3
5,91 5,87 5,84 5,80 5,75 5,70 5,68 5,66 5,64 5,63 4
4,68 4,64 4,60 4,56 4,50 4,44 4,42 4,41 4,37 4,37
4,00 3,96 3,92 3,87 3,81 3,75 3,73 3,71 3,68 3,67 6
3,57 3,53 3,49 3,44 3,38 3,32 3,29 3,27 3,24 3,23 7
3,28 3,24 3,20 3,15 3,08 3,02 2,99 2,97 2,94 2,93 8
3,07 3,03 2,99 2,94 2,86 2,80 2,77 2,76 2,72 2,71 9
2,91 2,86 2,83 2,77 2,70 2,64 2,60 2,59 2,55 2,54 10
2,79 2,74 2,70 2,65 2,57 2,51 2,47 2,46 2,42 2,41 11
2,69 2,64 2,60 2,54 2,47 2,40 2,37 2,35 2,31 2,30 12
2,60 2,55 2,51 2,46 2,38 2,31 2,28 2,26 2,22 2,21 13
2,53 2,48 2,44 2,39 2,31 2,24 2,21 2,19 2,14 2,14 14
2,48 2,42 2,38 2,33 2,25 2,18 2,14 2,12 2,08 2,07 15
2,42 2,37 2,33 2,28 2,19 2,12 2,09 2,07 2,02 2,02 16
2,38 2,33 2,29 2,23 2,15 2,08 2,04 2,02 1,97 1,97 17
2,34 2,29 2,25 2,19 2,11 2,04 2,00 1,98 1,93 1,92 18
2,31 2,26 2,21 2,16 2,07 2,00 1,96 1,94 1,89 1,88 19
2,28 2,22 2,18 2,12 2,04 1,97 1,93 1,91 1,86 1,85 20
2,25 2,20 2,16 2,10 2,01 1,94 1,90 1,88 1,83 1,82 21
2,23 2,17 2,13 2,07 1,98 1,91 1,87 1,85 1,80 1,79 22
2,20 2,15 2,11 2,05 1,96 1,88 1,84 1,82 1,77 1,76 23
2,18 2,13 2,09 2,03 1,94 1,86 1,82 1,80 1,75 1,74 24
2,16 2,11 2,07 2,01 1,92 1,84 1,80 1,78 1,73 1,72 25
2,15 2,09 2,05 1,99 1,90 1,82 1,78 1,76 1,71 1,70 26
2,13 2,08 2,04 1,97 1,88 1,81 1,76 1,74 1,69 1,68 27
2,12 2,06 2,02 1,96 1,87 1,79 1,75 1,73 1,67 1,66 28
2,10 2,05 2,01 1,94 1,85 1,77 1,73 1,71 1,65 1,65 29
2,09 2,04 1,99 1,93 1,84 1,76 1,72 1,70 1,64 1,63 30
2,00 1,95 1,90 1,84 1,74 1,66 1,61 1,59 1,53 1,52 40
1,95 1,89 1,85 1,78 1,69 1,60 1,55 1,52 1,46 1,45 50
1,88 1,83 1,78 1,71 1,61 1,52 1,47 1,44 1,36 1,35 75
1,85 1,79 1,75 1,68 1,57 1,48 1,42 1,39 1,31 1,30 100
1,80 1,74 1,69 1,62 1,52 1,41 1,35 1,32 1,22 1,21 200
1,78 1,72 1,68 1,61 1,50 1,39 1,33 1,30 1,19 1,17 300
1,78 1,72 1,67 1,60 1,49 1,38 1,32 1,28 1,17 1,15 400
1,77 1,71 1,66 1,59 1,48 1,38 1,31 1,28 1,16 1,14 500
1,76 1,70 1,65 1,58 1,47 1,36 1,30 1,26 1,13 1,11 1000
1;
;;
;12
21
1
mm
mmF
F
Prof. J. Schütze, FH Jena
25
1m
2m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 973,03
2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41
3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,37
4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,79
5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,57
6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,41
7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,71
8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,24
9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,91
10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,66
11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,47
12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,32
13 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 3,25 3,20
14 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 3,15 3,09
15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 3,01
16 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,22 3,12 3,05 2,99 2,93
17 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,16 3,06 2,98 2,92 2,87
18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,10 3,01 2,93 2,87 2,81
19 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 3,05 2,96 2,88 2,82 2,76
20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,72
21 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,97 2,87 2,80 2,73 2,68
22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,93 2,84 2,76 2,70 2,65
23 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,90 2,81 2,73 2,67 2,62
24 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,87 2,78 2,70 2,64 2,59
25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 2,56
26 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,82 2,73 2,65 2,59 2,54
27 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,80 2,71 2,63 2,57 2,51
28 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,78 2,69 2,61 2,55 2,49
29 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,76 2,67 2,59 2,53 2,48
30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,46
40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,33
50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 2,32 2,26
75 5,23 3,88 3,30 2,96 2,74 2,58 2,46 2,37 2,29 2,22 2,17
100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 2,18 2,12
200 5,10 3,76 3,18 2,85 2,63 2,47 2,35 2,26 2,18 2,11 2,06
300 5,07 3,73 3,16 2,83 2,61 2,45 2,33 2,23 2,16 2,09 2,04
400 5,06 3,72 3,15 2,82 2,60 2,44 2,32 2,22 2,15 2,08 2,03
500 5,05 3,72 3,14 2,81 2,59 2,43 2,31 2,22 2,14 2,07 2,02
1000 5,04 3,70 3,13 2,80 2,58 2,42 2,30 2,20 2,13 2,06 2,01
Tabelle 3b: 0.975 - Quantile der F-Verteilung
1 2, ,0.975( ) 0.975m mP F F
Prof. J. Schütze, FH Jena
26
12 14 16 20 30 50 75 100 500 1000 1m
2m
976,71 982,53 986,92 993,10 1001,41 1008,12 1011,49 1013,18 1017,24 1017,75 1
39,41 39,43 39,44 39,45 39,46 39,48 39,48 39,49 39,50 39,50 2
14,34 14,28 14,23 14,17 14,08 14,01 13,97 13,96 13,91 13,91 3
8,75 8,68 8,63 8,56 8,46 8,38 8,34 8,32 8,27 8,26 4
6,52 6,46 6,40 6,33 6,23 6,14 6,10 6,08 6,03 6,02
5,37 5,30 5,24 5,17 5,07 4,98 4,94 4,92 4,86 4,86 6
4,67 4,60 4,54 4,47 4,36 4,28 4,23 4,21 4,16 4,15 7
4,20 4,13 4,08 4,00 3,89 3,81 3,76 3,74 3,68 3,68 8
3,87 3,80 3,74 3,67 3,56 3,47 3,43 3,40 3,35 3,34 9
3,62 3,55 3,50 3,42 3,31 3,22 3,18 3,15 3,09 3,09 10
3,43 3,36 3,30 3,23 3,12 3,03 2,98 2,96 2,90 2,89 11
3,28 3,21 3,15 3,07 2,96 2,87 2,82 2,80 2,74 2,73 12
3,15 3,08 3,03 2,95 2,84 2,74 2,70 2,67 2,61 2,60 13
3,05 2,98 2,92 2,84 2,73 2,64 2,59 2,56 2,50 2,50 14
2,96 2,89 2,84 2,76 2,64 2,55 2,50 2,47 2,41 2,40 15
2,89 2,82 2,76 2,68 2,57 2,47 2,42 2,40 2,33 2,32 16
2,82 2,75 2,70 2,62 2,50 2,41 2,35 2,33 2,26 2,26 17
2,77 2,70 2,64 2,56 2,44 2,35 2,30 2,27 2,20 2,20 18
2,72 2,65 2,59 2,51 2,39 2,30 2,24 2,22 2,15 2,14 19
2,68 2,60 2,55 2,46 2,35 2,25 2,20 2,17 2,10 2,09 20
2,64 2,56 2,51 2,42 2,31 2,21 2,16 2,13 2,06 2,05 21
2,60 2,53 2,47 2,39 2,27 2,17 2,12 2,09 2,02 2,01 22
2,57 2,50 2,44 2,36 2,24 2,14 2,08 2,06 1,99 1,98 23
2,54 2,47 2,41 2,33 2,21 2,11 2,05 2,02 1,95 1,94 24
2,51 2,44 2,38 2,30 2,18 2,08 2,02 2,00 1,92 1,91 25
2,49 2,42 2,36 2,28 2,16 2,05 2,00 1,97 1,90 1,89 26
2,47 2,39 2,34 2,25 2,13 2,03 1,97 1,94 1,87 1,86 27
2,45 2,37 2,32 2,23 2,11 2,01 1,95 1,92 1,85 1,84 28
2,43 2,36 2,30 2,21 2,09 1,99 1,93 1,90 1,83 1,82 29
2,41 2,34 2,28 2,20 2,07 1,97 1,91 1,88 1,81 1,80 30
2,29 2,21 2,15 2,07 1,94 1,83 1,77 1,74 1,66 1,65 40
2,22 2,14 2,08 1,99 1,87 1,75 1,69 1,66 1,57 1,56 50
2,12 2,05 1,99 1,90 1,76 1,65 1,58 1,54 1,44 1,43 75
2,08 2,00 1,94 1,85 1,71 1,59 1,52 1,48 1,38 1,36 100
2,01 1,93 1,87 1,78 1,64 1,51 1,44 1,39 1,27 1,25 200
1,99 1,91 1,85 1,75 1,62 1,48 1,41 1,36 1,23 1,21 300
1,98 1,90 1,84 1,74 1,60 1,47 1,39 1,35 1,21 1,18 400
1,97 1,89 1,83 1,74 1,60 1,46 1,38 1,34 1,19 1,17 500
1,96 1,88 1,82 1,72 1,58 1,45 1,36 1,32 1,16 1,13 1000
1;
;;
;12
21
1
mm
mmF
F
Prof. J. Schütze, FH Jena
27
Tabelle 4: Gamma-Funktion
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,09
1,0 1,000 0,994 0,989 0,984 0,978 0,974 0,969 0,964 0,960 0,956
1,1 0,951 0,947 0,944 0,940 0,936 0,933 0,930 0,927 0,924 0,921
1,2 0,918 0,916 0,913 0,911 0,909 0,906 0,904 0,903 0,901 0,899
1,3 0,898 0,896 0,895 0,893 0,892 0,891 0,890 0,889 0,889 0,888
1,4 0,887 0,887 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886
1,5 0,886 0,887 0,887 0,888 0,888 0,889 0,890 0,891 0,891 0,892
1,6 0,894 0,895 0,896 0,897 0,899 0,900 0,902 0,903 0,905 0,907
1,7 0,909 0,911 0,913 0,915 0,917 0,919 0,921 0,924 0,926 0,929
1,8 0,931 0,934 0,937 0,940 0,943 0,946 0,949 0,952 0,955 0,958
1,9 0,962 0,965 0,969 0,972 0,976 0,980 0,984 0,988 0,992 0,996
Erweiterung für 1x : ( ) ( 1) ( 1)x x x
0 1x (1 )( ) sin
xx x
Spezielle Funktionswerte ( ) ( 1)!, 1,2,3,...n n n
1
( )2
2 12 1
(2 ) ( ) ( ), 02
x
x x x x
3 0.53 1 2
(3 ) ( ) ( ) ( ), 02 3 3
x
x x x x x
Gaußsche Multiplikationsformel
(1 ) / 2 1/ 2 1 1( ) (2 ) ( ) ( ) ... ( ), 0, 1,2,3,...n nx nnx n x x x x n
n n
Prof. J. Schütze, FH Jena
28
Tabelle 5: Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung )()( xXPx
Hinweise
Für 0x ist )(1)( xx zu verwenden
Für 9,3x ist bei der vorgegebenen Genauigkeit 1)( x zu setzen
0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,00 ,5000 ,5040 ,5080 ,5120 ,5160 ,5199 ,5239 ,5279 ,5319 ,5359
0,10 ,5398 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5753
0,20 ,5793 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 ,6103 ,6141
0,30 ,6179 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517
0,40 ,6554 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879
0,50 ,6915 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224
0,60 ,7257 ,7291 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,7549
0,70 ,7580 ,7611 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852
0,80 ,7881 ,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133
0,90 ,8159 ,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8315 ,8340 ,8365 ,8389
1,00 ,8413 ,8438 ,8461 ,8485 ,8508 ,8531 ,8554 ,8577 ,8599 ,8621
1,10 ,8643 ,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,8830
1,20 ,8849 ,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8997 ,9015
1,30 ,9032 ,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,9177
1,40 ,9192 ,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,9319
1,50 ,9332 ,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 ,9441
1,60 ,9452 ,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,9545
1,70 ,9554 ,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,9633
1,80 ,9641 ,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,9706
1,90 ,9713 ,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 ,9767
2,00 ,9772 ,9778 ,9783 ,9788 ,9793 ,9798 ,9803 ,9808 ,9812 ,9817
2,10 ,9821 ,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,9857
2,20 ,9861 ,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,9890
2,30 ,9893 ,9896 ,9898 ,9901 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,9916
2,40 ,9918 ,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9932 ,9934 ,9936
2,50 ,9938 ,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,9952
2,60 ,9953 ,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,9964
2,70 ,9965 ,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,9974
2,80 ,9974 ,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,9981
2,90 ,9981 ,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,9986
3,00 ,9987 ,9987 ,9987 ,9988 ,9988 ,9989 ,9989 ,9989 ,9990 ,9990
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
,9987 ,9990 ,9993 ,9995 ,9997 ,9998 ,9998 ,9999 ,9999 ,9999