ber - unideb.hu · 2008. 2. 22. · y lszl budap est szeptem ber iv fejezet v alsznsgi tr vnyek x x...
TRANSCRIPT
-
Val�sz�n�s�gsz�m�t�s
Ketskem�tyL�szl�
Budapest�����szeptember��
-
�
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
x
��x�
x
��x�
x
��x�
���
���������
����
�
�����
����
�
��
���
���
��
�
����
�
���
����
�
���
���
�������
����
������
����
�
����
���
��������
����
��
���
����
�
�
�
���
���������
����
����
�
����
�
���
���
��������
����
�����
����
�
�
���
�������
����
�����
����
�
��
���
���
�����
����
������
����
�
�
��
�
�
��
�����
���
��
��
���
�
��
��
�
���
�
���
����
���
�
�
�
����
�
�������
����
�����
����
�
���
����
�
������
����
������
����
�
���
����
�
�����
����
����
����
����
����
������
����
������
����
�����
����
�������
����
��
���
����
���
����
�����
�
����
����
����
����
����
��������
����
�����
����
�����
����
��������
����
������
����
��
�
��
�
������
���
������
���
����
���
����
���
���
������
���
����
����
�����
�
����
������
��
�
�����
����
��
���
����
�����
��
�
�����
����
�
�����
����
��
�
��
�
�����
����
�
�����
����
��
��
��
�
����
����
�
�����
����
�����
��
�
��
�
����
�
������
����
�����
��
�
����
����
�
���
����
����
��
�
�����
����
������
����
�����
��
�
����
����
��
����
���
����
��
�����
����
��
���
���
���
�
��
��
����
������
����
������
���
����
����
�����
�
����
�����
���
���
�
����
����
�
����
��
���
���
�����
����
������
����
�����
���
�����
����
�������
����
���
���
����
����
�������
����
�
���
���
����
��
�
�����
�
����
�
����
���
�����
��
�
��
����
����
�
����
���
�����
���
�
����
���
�
�
��
��
�����
���
�
�����
���
�
����
��
����
Tartalomjegyz�k
EL�SZ�
�
I�AKolmogorov�f�leval�szn
s�gimez�
�
I���Avalsz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saximarendszere���
�
I���P�ld�kvalsz�n�s�gimez�kre
��������������������
I���K�s�rletsorozat�azesem�nyekrelat�vgyakoris�ga
��������
I���Afelt�telesvalsz�n�s�g�sazesem�nyekf�ggetlens�ge�����
I���Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
����������������
II�Aval�szn
s�givltoz�
��
II���Avalsz�n�s�giv�ltoz
fogalma�������������������
II���Azeloszl�sf�ggv�nyfogalma���������������������
II���Diszkr�tvalsz�n�s�giv�ltoz
k��������������������
II���Folytonosvalsz�n�s�giv�ltoz
k�������������������
II���Val
sz�n�s�giv�ltoz
ktranszform�cii��������������
II���Av�rhat
�rt�k����������������������������
II���Magasabbmomentumok�szr�sn�gyzet���������������
II�
�Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
��������������
�
III�Val�szn
s�givektorv
ltoz�k
��
III���Val
sz�n�s�givektorv�ltoz
k�egy�tteseloszl�sf�ggv�ny�����
III���Diszkr�tvalsz�n�s�giv�ltoz
kegy�tteseloszl�sa
��������
III���Folytonosvalsz�n�s�giv�ltoz
kegy�tteseloszl�sa�������
III���Val
sz�n�s�givektorv�ltoz
ktranszform�cii�������������
III���Akovariancia�sakorrel�cisegy�tthat���������������
III���Afelt�telesv�rhat
�rt�k������������������������
III���Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
�����������������
�
-
�
TARTALOMJEGYZ�K
IV�Val�szn
s�git�rv�nyek
���
IV���Nevezetesegyenl�tlens�gek�����������������������
IV���Val
sz�n�s�giv�ltoz
ksorozatainakkonvergenci�i���������
IV���Anagysz�mokt�rv�nyei������������������������
IV���Akarakterisztikusf�ggv�ny����������������������
IV���Centr�lishat�reloszl�st�telek���������������������
IV���Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
�����������������
Jel�l�sek
���
Ajnlottirodalom
���
F�GGEL�K
���
F�GGEL�K
Astandardnorm�liseloszl�seloszl�sf�ggv�ny�nekt�bl�zata
��x��
�p��
x R ��exp
� �t� �� d
t
��HaX
�N
�m�d��akkorP
�X�x���� x�m d� �E
zentulajdons�g
miattel�gcsakastandardnorm�liseloszl�st�bl�zat�tmegadni��
��Hax���akkor���x������x���Ezentulajdons�gmiattvana
t�bl�zatbancsaknemnegat�vxargumentum�
��Ha��������akkorP
� �u��X�m d
�u�
� ����u���������azaz
��u������ ��� u ������ ��� ��� �
��
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
EL�SZ�
AjegyzetaBMEVillamosm�rn�ki�sInformatikaiKarInformatikusszak��
nakVal
sz�n�s�gsz�m�t�sc�tant�rgy�hozk�sz�ltseg�danyag�
Ajegyzetazelm�letszok�sosfel�p�t�s�tk�vetven�gyfejezetretagoldik�
afejezetekszakaszokb
l�llnak�Azels�fejezettartalmazzaavalsz�n�s�gsz��
m�t�saximarendszer�t�avalsz�n�s�gim�rt�klegfontosabbtulajdons�gait
�skisz�m�t�s�nakklasszikusm
dszereit�Am�sodikfejezetavalsz�n�s�gi
v�ltoz
kkal�aharmadikfejezetavalsz�n�s�givektorv�ltoz
kkalfoglakozik�
Anegyedikfejezetbenkapnakhelyetanagysz�mokt�rv�nyei�sacentr�lis
hat�reloszl�st�telek�Afejezetekv�g�nnagysz�m�kidolgozottfeladat�s
�n�llanmegoldand
gyakorlattal�lhat
�Ajegyzetv�g�nafelhaszn�lt
jel�l�sek�szimb
lumok�sszefoglal�sa�t�rgymutat
�aj�nlottirodalmakje�
gyz�ke�sf�ggel�kbenanorm�liseloszl�st�bl�zataolvashat
m�g�
AVal
sz�n�s�gsz�m�t�sc�tant�rgyel�k�sz�tiaT�megkiszolg�l�sinfor�
matikairendszerekben�sazInform�cielm�letc�tant�rgyakat�deolyanm�s
t�rgyakis�p�tenekr��mintpl�aMatematikaistatisztika�Sztochasztikus
folyamatok�V�letlensz�mokgener�l�sa�sszimul�cik�Megb�zhat
s�gelm��
let�Oper�ci
kutat�s�stb�
Avalsz�n�s�gsz�m�t�staxiomatikusfel�p�t�sbent�rgyaljuk�eleveelfo�
gadottalapfogalmakb
l�salapt�telekb�lkiindulvajutunkelazegyszer�bb
t�teleken�sde�n�cikonkereszt�laz�sszetettebb�ll�t�sokhoz�sfogalmak�
hoz�At�teleknagyr�szebizony�t�sokkalegy�ttszerepel�amiazelm�leti
h�tt�rjobbmeg�rt�s�tszolg�lja�Ugyaneztseg�tikabemutatottp�ld�k�s
kidolgozottfeladatok�valamintamell�kelt�br�kis�Az�sszetett�bonyolult
bizony�t�sokatels�olvas�skormell�znilehet�af�bb�sszef�gg�sekan�lk�lis
meg�rthet�k�
Ez�tonmondokk�sz�netetDr�Gy�r�L�szl
akad�mikusnakak�zirat
gondos�tnez�s��rt�ajegyzetszerkezetifel�p�t�s�velkapcsolatostan�csai�rt
�s�rt�kesszakmaimegjegyz�sei�rt�kieg�sz�t�sei�rt�K�sz�n�mPint�rM�rta
�
-
�
TARTALOMJEGYZ�K
doktorandusznakis�hogyk�r�ltekint�enelolvastaak�ziratot��sseg�tettahi�
b�k�pontatlans�gokkik�sz�b�l�s�ben�K�sz�netteltartozomGy�riS�ndor
m�sod�vesinformatikushallgatnakis�akisokatdolgozottasz�veginter�
neth�lzatrat�tel�vel�V�gezet�lk�sz�n�mSalferG�bortan�rseg�dneka
LAT EXsz�vegszerkeszt�velkapcsolatostan�csait�seg�ts�g�t�
Budapest��
�szeptember���
Ketskem�tyL�szl
Aj�nlottirodalom
���R�nyiAlfr�d�Val
sz�n�s�gsz�m�t�s
Tank�nyvkiad�Budapest����
���Pr�kopaAndr�s�Val
sz�n�s�gelm�let
M�szakiK�nyvkiad
�Budapest����
���VetierAndr�s�Szeml�letesm�rt�k��svalsz�n�s�gelm�let
Tank�nyvkiad�Budapest���
���W�Feller�Bevezet�savalsz�n�s�gsz�m�t�sba�salkalmaz�saiba
M�szakiK�nyvkiad
�Budapest���
���A�N�Kolmogorov�Avalsz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai
Gondolat�Budapest��
�
���PaulR�Halmos�M�rt�kelm�let
Gondolat�Budapest��
�
���Bogn�rn��Mogyordi�Pr�kopa�R�nyi�Sz�sz�
Val
sz�n�s�gsz�m�t�sfeladatgy�jtem�ny
Tank�nyvkiad�Budapest��
�
�
�SoltGy�rgy�Val
sz�n�s�gsz�m�t�s�p�ldat�r�
M�szakiK�nyvkiad
�Budapest����
��DenkingerG�za�Val
sz�n�s�gsz�m�t�sigyakorlatok
Tank�nyvkiad�Budapest����
����B�ASzevasztyanov�V�P�Csisztyakov�A�M�Zubkov�
Val
sz�n�s�gsz�m�t�sifeladatok
Tank�nyvkiad�Budapest��
�
���
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
X�N�����azXvalsz�n�s�giv�ltoz
standardnorm�liseloszl�s�
X���n���azXvalsz�n�s�giv�ltoz
n��param�ter�gamma�eloszl�s�
X�Np����azXvalsz�n�s�givektorv�ltoz
p�dimenzi
snorm�lisvektor�
�v�rhat
�rt�k�vektorral�skovarianciam�trixszal
�����x�az���param�ter�norm�liseloszl�seloszl�sf�ggv�nye
����x�az���param�ter�norm�liseloszl�ss�r�s�gf�ggv�nye
��x�astandardnorm�liseloszl�seloszl�sf�ggv�nye
�x�standardnorm�liseloszl�ss�r�s�gf�ggv�nye
Xn
�v �XazXnvalsz�n�s�giv�ltoz
sorozat�valsz�n�s�ggelkonverg�lX�
hez
Xn
Lr �XazXnvalsz�n�s�giv�ltoz�sorozatr�edikmomentumbankonverg�l
X�hez
Xn
st �X
azXn
valsz�n�s�giv�ltoz�sorozatsztochasztikusankonverg�lX�
hez
Xn
e �XazXnvalsz�n�s�giv�ltoz�sorozateloszl�sbankonverg�lX�hez
I�fejezet
AKolmogorovf�leval
sz�n�s�gi
mez
I���
Aval�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi
�marendszere
Azalapfogalmakszeml�letb�lered��mag�t
l�rtet�d�fogalmakatjelentenek�
amelyeketegyszer�bbfogalmakseg�ts�g�velnemlehetde�ni�lni�hanemcsu�
p�nk�r�l�rnilehet�ket�illet�legp�ld�katlehetmutatnir�juk�
Hasonlan�azaxi�m�kbizony�t�sn�lk�lelfogadott�ll�t�sok�amelyek
annyiranyilv�nvalak�hogycsup�naszeml�letb�lvezetj�kle�ket�
I�����Alapfogalom�V�letlenk�s�rleten�K�olyanfolyamatot�jelens��
get�rt�nk�amelynekkimeneteleel�rebizonyosanmegnemmondhat
�csup�n
az�hogyelvilegmilyenk�s�rletkimeneteleklehetnek�Av�letlenk�s�rletet
ak�rh�nyszormeglehet�gyelni�vagyv�grelehethajtaniazonosfelt�telek
mellett�
I�����P�lda�
a��Egyszab�lyosj�t�kkock�valdobunk�Nemtudjukel�remegmondaniaz
eredm�nyt�deazt�ll�thatjuk�hogyaz������������rt�kk�z�lvalamelyiket
kapjuk�
b��Egyteljes�jlmegkevertcsomagmagyark�rty�b
lv�letlenszer�enkih��
zunk��lapot�Av�letlent�lf�gg�hogymelyikleszaza��lap�deazt
�
-
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
tudjuk�hogya
�lap�sszesism�tl�sn�lk�likombin�ci
jak�z�llehet
csakvalamelyik�
c��Egytelefonk�sz�l�ket�gyelvem�rj�kak�th�v�sk�z�ttelteltid�t�A
lehets�geskimeneteleka�����intervallumpontjai�
I�����Alapfogalom�AK
v�letlenk�s�rletlehets�geskimeneteleitelemi
esem�nyneknevezz�k�Av�letlenk�s�rletv�grehajt�sasor�nazelemies�
em�nyekhalmaz�b
lmindigcsakegyfogrealiz�l
dni�Azelemiesem�nyek
jel�l�s�reaz
�esetleg
iszimblumokatfogjukhaszn�lni�
I�����De�nci��AK
v�letlenk�s�rlettelkapcsolatos�sszeselemiese�
m�nyhalmaz�tesem�nyt�rneknevezz�k�s��valjel�lj�k�
I�����P�lda�
a��Akockadob�sk�s�rlet�velkapcsolatoselemiesem�nyekaz����
�
����
�rt�kek���f ����
�����g�
b��Ak�rtyah�z�sk�s�rletheztartoz
elemiesem�nyeka
��escsomag�sszes
��laposr�szhalmazai�alapoksorrendj�tnem�gyelembev�ve���f
�
a
�k�rtyacsomagegy��elemsz�m�kombin�ci
jag�
c��Atelefonh�v�sokk�z�ttiid�tartamravonatkoz
k�s�rletheztartoz
elemi
esem�nyekaz�������intervallumpontjai�
I�����De�nci��Azelemiesem�nyekhalmazait�az�esem�nyt�rr�sz�
halmazaitesem�nyekneknevezz�k��salatinabcbet�iveljel�lj�k�A�B�C�����
Megjegyz�s�
a��Azesem�nyekde�ni�l�s�tgyakranlogikai�ll�t�sokmegfogalmaz�s�val
tessz�k�Ilyenkorazesem�nynekmegfelel�halmazazokb
lazelemies�
em�nyekb�l�ll�amelyekrealiz�l
d�saeset�nalogikai�ll�t�s�rt�keigaz�
b��Azegyetlenelemiesem�nyb�l�llesem�nyeketazegyszer�s�gkedv��rt
atov�bbiakbanszint�nelemiesem�nyeknekfogjuknevezni�holottma�
tematikailagazelem�sazelemb�l�llegyelem�halmazfogalmanem
ugyanaz�Alegal�bbk�telem�esem�nyeket�sszetettesem�nynekisne�
vezz�k�
IV��
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
���
P�A�azAesem�nyvalsz�n�s�ge
P�AjB�azAesem�nynekaBesem�nyrevonatkoztatottfelt�telesvalsz��
n�s�ge
X�Y�Z�����Xi�Yi�Zi�������Rvalsz�n�s�giv�ltoz
k
FX�x�aXvalsz�n�s�giv�ltoz
eloszl�sf�ggv�nye�FX�x��
P�X�x�
p i�
P�X�xi�azXdiszkr�tvalsz�n�s�giv�ltoz
eloszl�sa
f X�x�azXfolytonosvalsz�n�s�giv�ltoz
s�r�s�gf�ggv�nye
f XjY�xjy�azX
valsz�n�s�giv�ltoz
nakazY�ravonatkoztatottfelt�teles
s�r�s�gf�ggv�nye
X�t��
EeitX
azXvalsz�n�s�giv�ltoz
karakterisztikusf�ggv�nye
EXazXvalsz�n�s�giv�ltoz
v�rhat
�rt�ke
��X�V
XaXvalsz�n�s�giv�ltoz
sz
r�sn�gyzetevagyvarianci�ja
�X�
�p ��XazXvalsz�n�s�giv�ltoz
sz
r�sa
R�X�Y�azX�sYvalsz�n�s�giv�ltoz
kkorrel�cisegy�tthatja
cov�X�Y�azX�sYvalsz�n�s�giv�ltoz
kkovariancia
FX��X������Xp�x��x������xp��FX�x�azX
��X��X������Xp�Tvalsz�n�s�gi
vektorv�ltoz
eloszl�sf�ggv�nye�illetveakomponensekegy�tteseloszl�sf�g�
gv�nye
f X��X������Xp�x��x������xp��f X�x�azX
��X��X������Xp�Tvalsz�n�s�gi
vektorv�ltoz
s�r�s�gf�ggv�nye�illetveakomponensekegy�ttess�r�s�gf�g�
gv�nye
EX�
�EX��EX������EXp�TazXvalsz�n�s�givektorv�ltozv�rhat
�rt�k�
vektora
X
��cov�Xi�Xj��i���������p
j���������p
azX
valsz�n�s�givektorv�ltoz
ko�
varianciam�trixa
X�I�A�vagyX�I�p�azXvalsz�n�s�giv�ltozazAesem�nyindik�tora�
p�P�A�
X�B�n�p�azXvalsz�n�s�giv�ltoz
n�pparam�ter�binomi�liseloszl�s�
X�Po���azXvalsz�n�s�giv�ltoz
�param�ter�Poisson�eloszl�s�
X�G�p�aXvalsz�n�s�giv�ltoz
pparam�ter�geometriaieloszl�s�
X�Pol�n�p��p������pr�azXvalsz�n�s�givektorv�ltozegy�tteseloszl�sa
polinomi�lis
X�U�a�b�azXvalsz�n�s�giv�ltoz
egyenleteseloszl�s�az�a�b�interval�
lumon
X�E���azXvalsz�n�s�giv�ltoz
�param�ter�exponenci�liseloszl�s�
X�N�����azXvalsz�n�s�giv�ltoz
���param�ter�norm�liseloszl�s�
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
n P i��xi�
x��x������xnn�tag��sszeg
P x�Cxazonxvektorok�sszege�amelyekaChalmazhoztartoznak
n Y i��xi�
x��x������xnnt�nyez�sszorzat
� n k� �n�
k��n�k��nalattak�binomi�lisegy�tthat
� x k� �x��x�����x���������x�k���
k�
�x�R�k�Naz�ltal�nos�tottbinomi�lisegy�tt�
hat
Ravalssz�mokteste
Rpavalssz�mp�esekvektortere
Rn�mavalskomponens�n�m�esm�trixokhalmaza
Cakomplexsz�mokteste
i�Cazimagin�riusegys�g
x�Rpp�dimenzi
soszlopvektor
A�Rn�mn�m�esm�trix
xT��x��x������xp�p�dimenzi
ssorvektor��T atranszpon�l�sjele
AT
azAm�trixtranszpon�ltja
A��azA�Rn�nm�trixinverze
detAazA�Rn�nm�trixdetermin�nsa
adjAazA�Rn�nm�trixadjung�ltm�trixa�
�detA
� adjA� T �A��
diagA�
�a���a�������ann�TazAm�trixdiagon�lis�banl�v�elemekb�l�ll
oszlopvektor
diag�a��a������an�egyolyann�n�esdiagon�lism�trix�melynekdiagon�lis�ban
a��a������an�ll
traceA�
n P i��aiiazA�Rn�nm�trixnyoma
En�Eazn�n�esegys�gm�trix
K
v�letlenk�s�rlet
�aK�valkapcsolatoselemiesem�nyekhalmaza�abiztosesem�ny�illetve
esem�nyt�r
�lehetetlenesem�ny
�
i��elemiesem�ny
A�B�����Ai�Bi������esem�nyek
� AazAesem�nyellentettesem�nye
K�valkapcsolatosesem�nyekhalmaza�azesem�nyalgebra
P
�������valsz�n�s�g�
I��
A
val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere
I�����De�nci��AzAesem�nybek�vetkezik�haak�s�rletv�grehajt�sa
ut�nolyanelemiesem�nyrealiz�l
dott�amiazAeleme�
I�����P�lda�a��Akockadob�sk�s�rlet�velkapcsolatosesem�nyaf����g
elemiesem�ny�halmaz�melyeta�p�rosatdobunk logikai�ll�t�ssalisde�ni�
�lhatunk�
b��Ak�rtyah�z�sk�s�rletheztartoz
esem�nypl�a��van�szakih�zott
lapokk�z�tt �ll�t�shoztartoz
k�rtya�kombin�ci
khalmaza�amelyhezaz
���talkot� �� �
db�elemiesem�nyb�l� �� ��� � �
tartozik�
c��Atelefonh�v�sokk�z�ttiid�tartamravonatkoz
k�s�rletheztartoz
esem�nypl�az��tpercenbel�lfogcs�ngeni �ami�ppena�����intervallum
pontjaitde�ni�lja�
I�����De�nci��AzAesem�nymagaut�nvonjaaBesem�nyt�haaz
Aesem�nyr�szhalmazaaBesem�nynek�Jel�l�s�A�B�
Megjegyz�s�AK
v�letlenk�s�rlet
elemiesem�nyeitjellemziaz�hogy
nincsolyanB
��esem�ny�amely
�tmagaut�nvonn��
I�����P�lda�a��Kockadob�sn�la�hatostdobunk esem�nymagaut�n
vonjaa�p�rosatdobunk esem�nyt�
b��K�rtyah�z�sn�la�mindan�gy�sztkih�ztuk esem�nymagaut�n
vonjaa�vanpirossz�n�lapakih�zottakk�z�tt esem�nyt�
c��Telefonh�v�sn�laz��tpercenbel�lcs�r�gnifog magaut�nvonjaa
�t�zpercenbel�lcs�r�gnifog esem�nyt�hiszen�������������
I�����De�nci��AzA�sBesem�nyekekvivalensek�haA�B�sB�A
teljes�legyszerre�Ekvivalensesem�nyekk�z�ttnemtesz�nkk�l�nbs�get�
Jel�l�s�A�B�
I�����De�nci��Lehetetlenesem�nyneknevezz�kazta��veljel�ltese�
m�nyt�amelyaK
b�rmelyv�grehajt�sasor�nsohanemfogbek�vetkezni�
azaz�az�reshalmaz��megfelelakonstanshamis�ll�t�snak�olyanesem�ny�
amielvilegsohanemk�vetkezhetbe�
I�����De�nci��Biztosesem�nyneknevezz�kaztazesem�nyt�amelyik
aK
b�rmelyv�grehajt�sasor�nmindigbek�vetkezik�Ezazesem�nynem
m�s�mintaz�esem�nyt�r��megfelelakontansigaz�ll�t�snak�
-
��
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
I�����P�lda�
a��Akockadob�sn�la����n�lkisebb�rt�ketdobunk esem�nyaz��val�a
�negat�v�rt�ketdobunk esem�nypedig��velekvivalens�
b��K�rtyah�z�sn�l�vanalapokk�z�tthetest�lk�l�nb�z� ��val�m�ga
�mindenlap�rt�kelegal�bbt�z ��velekvivalens�
c��Telefonh�v�sn�l�valamikorcs�r�gnifog ��val��sohanemfogcs�r�gni
pedig��velekvivalens�
I�����De�nci��EgyAesem�nyellentettesem�nyeazaz� A�valjel�lt
esem�ny�amipontosanakkork�vetkezikbe�amikorAnemk�vetkezikbe�� A
azA�nakaz��ravonatkoztatottkomplementerhalmaza�azaz� A��nA�
I�����De�nci��AzA�sBesem�nyek�sszeg�naztazA�B�veljel�lt
esem�nyt�rtj�k�amelypontosanakkork�vetkezikbe�haA�sBk�z�llega�
l�bbazegyikbek�vetkezik��A�BazA�sBesem�nyekunija��
I������De�nci��AzA�sBesem�nyekszorzat�naztazABvagyA�B�
veljel�ltesem�nyt�rtj�k�amelypontosanakkork�vetkezikbe�amikorAis
�sBisegyidej�legbek�vetkezik��ABazA�sBesem�nyekmetszete��
I������De�nci��AzA�sB
esem�nyekk�l�nbs�g�naztazAnB�
veljel�ltesem�nyt�rtj�k�amipontosanakkork�vetkezikbe�amikorA
bek�vetkezik�deBnem��AnB�A�� B��
I�����T�tel�Tetsz�legesA�B�sCesem�nyekreigazakazal�bbiak�
a��A�B�B�A�
b���A�B��C�A��B�C��
c��A�A�A�
d��AB�BA�
e���AB�C�A�BC��
f��AA�A�
g��A�B�C���AB���AC��
h��A��BC���A�B��A�C��
i��A�A�
j��A�B�
� A�� B�
k��A�B�
� A�� B�
Jel�l�sek
�a�l�tezik kvantor
a�mindenegyes kvantor
��akkor �illetve�k�vetkezik
��akkor�scsakakkor �illetveazekvivalenciarel�ci
��nemk�vetkezik
�
�de�n�ci
szerint
�azonosanegyenl�
�nemegyenl�
f�A�BazAhalmaztaB�belek�pez�f�ggv�ny
fx�y�z����gazx�y�z����elemekb�l�llhalmaz
limx�a�
f�x��f�a���azff�ggv�nyjobboldalihat�r�rt�keazapontban
limx�a�
f�x��f�a���azff�ggv�nybaloldalihat�r�rt�keazapontban
exp�x��
exazexponenci�lisf�ggv�ny
lnxaterm�szetesalap�logaritmusf�ggv�ny
��x��
� R e�t tx��dtagammaf�ggv�ny
o�f�t���kisordf�t� marad�ktag�limt�
o�f�t��
f�t�
���
O�f�t���nagyordf�t� marad�ktag�limt�
O�f�t��
f�t�
���
f�x��min �xazf�x�f�ggv�nyminimaliz�l�sa
f i�x��min �iadottx�n�laz�i indexbenminimaliz�l�s
f i�x��min �jf j�x�azf i�x��min �iprobl�maaz�i indexn�lveszifelamini�
mum�t
�f�x�
�x
�grad�f�x��azfgradiensvektora
��f�x�
�x�xT
aHessem�trix
��
-
��
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
I��
A
val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere
��
l��A�� A���
m��A�� A���
n��A��A�
o��A�����
p��A����
r��A���A�
Bizony�t�s�Mivelazesem�nyekk�z�ttim�veletekahalmazokk�z�tti
uni�smetszetilletveakomplementerseg�ts�g�velvoltak�rtelmezve��sott
igazakaBoolealgebra�sszef�gg�sei�ittis�rv�nyeseklesznek�
I������De�nci��AzA�sBesem�nyekegym�stkiz�r�ak�haAB���
azazszorzatukalehetetlenesem�ny�Egym�stkiz�resem�nyekegyidej�leg
nemk�vetkezhetnekbe�
I������De�nci��AzA��A������An����esem�nyek�nemfelt�tlen�lv��
geselemsz�m��rendszereteljesesem�nyrendszertalkot�hai�j�reAi�Aj��
�p�ronk�ntegym�stkiz�rj�k��sP �iA
i��teljes�l�
Megjegyz�s�
a��AK
v�letlenk�s�rletegyv�grehajt�sasor�nateljesesem�nyrendszer
esem�nyeik�z�lcsakegyik�kfogbiztosanbek�vetkezni�
b��AzA�s� Ak�telem�teljesesem�nyrendszer�
I�����P�lda�Afranciak�rty�b
lvalh�z�sn�lazA�!�k�rth�zok �A�
!�k�r
th�zok �A�!�pikketh�zok �sA�!�tre"eth�zok esem�nyekteljes
esem�nyrendszertalkotnak�
I�����Axi�m
k�AK
v�letlenk�s�rlettelkapcsolatos�sszesesem�nyek
rendszere�az��n�esem�nyalgebra���algebra�azazkiel�g�tiazal�bbi
tulajdons�gokat�
�o��
�oHaA��� A�is�
�oHaA��A������An������P �iA
i�is�
Megjegyz�s�
-
��
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
a��nemfelt�tlen�lesikegybe��sszesr�szhalmazainak��halmazrendsz�
er�vel��bencsakak�s�rlettelkapcsolatbahozhat
��n�meg�gyelhet�
esem�nyekvannak�Nemz�rjukki�hogylehetnek��nakolyanAr�szhal�
mazai�amelyeketnemtudunkmeg�gyelni�azazlehetolyankimenetel�
amiv�g�nnemtudjukmegmondani�hogyAbek�vetkezett�evagysem�
Azaxim�kkal�ppenazilyenAesem�nyeketakarjukkiz�rniatov�bbi
vizsg�latainkb
l�
b��Azaxim�knyilv�nval
tulajdons�gokatfogalmaznakmeg�Az�opont�
banaztk�vetelj�kmeg�hogyabiztosesem�nymeg�gyelhet�legyen�A
�o�benazt�ll�tjuk�hogyhaazAesem�nytmegtudjuk�gyelni�akkor
azellentettj�tismegtudjuk�A�o�banpedigazaz�ll�t�s�hogyhaes�
em�nyeknekegyrendszer�tegyenk�ntmegtudjuk�gyelni�akkoraztaz
esem�nytismegfogjuktudni�gyelni�amelyakkork�vetkezikbe�haa
felsoroltesem�nyekk�z�llegal�bbegybek�vetkezik�
I�����T�tel�Azaxim�kbllevezethet�k�nektov�bbitulajdons�gai
is�
a�����azazalehetetlenesem�nyismeg�gyelhet��
b��HaA�B��A�B�is�azaza�oaximav�gessokesetreisigaz�
c��HaA�B��AB�is�azazmeg�gyelhet�esem�nyekszorzatais
meg�gyelhet��
d��HaA��A������An������
Y �iAi�isigaz�azazmeg�gyelhet�
esem�nyekegy�ttbek�vetkez�seismeg�gyelhet��
e��HaA�B��AnB��sBnA��azazmeg�gyelhet�esem�nyek
k�l�nbs�geiismeg�gyelhet�ek�
Bizony�t�s�
a��Az�o�s�oaxim�kb
ltrivi�lisank�vetkezik�
b��AzA��A�A��B�A��A�������v�laszt�ssal�a�oaxim�b
l
k�vetkezik�
IV��
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
���
IV�����Gyakorlat�Egyszerencsej�t�kosmeg�gyeli�hogy�tlagosan�
k�s�rletut�nnyer�H�nyszorkellk�s�rleteznie�hogy����valsz�n�s�ggel
nyerjenlegal�bbegyszer#
IV�����Gyakorlat�Egym�r�selv�gz�s�hezegypontatlaneszk�z�nk
van�aholam�r�shib�jastandardnorm�liseloszl�s��Am�r�stn�szer
v�gezz�kel�majd�tlagolunk�Mekkoralegyenazn�hogylegfeljebb����
valsz�n�s�ggelt�rjenelaz�tlagam�rend��rt�kt�l����del#
IV�����Gyakorlat�����osvalsz�n�s�ggelszeretn�nkgarant�lni�hogy
����p�nzfeldob�sb
llegal�bbn�szerfejetkapjunk�Hogyanv�lasszukmeg
n�et�haafejdob�svalsz�n�s�gep#
IV�����Gyakorlat�AdottakazX��X������Xn
�U�����teljesenf�g�
getlenv�letlensz�mok�Ezekseg�ts�g�velgener�ljunkN�����norm�liselos�
zl�s�v�letlensz�mot�
IV�����Gyakorlat�Jel�ljeazX
valsz�n�s�giv�ltoz
karakterisztikus
f�ggv�ny�tf�t��Fejezz�kkiazY
�
�Xvalsz�n�s�giv�ltoz
karakter�
isztikusf�ggv�ny�tf�t��vel�
IV�����Gyakorlat�Jel�ljeazX
�sYf�ggetlen�azonoseloszl�s�va�
lsz�n�s�giv�ltoz
kk�z�skarakterisztikusf�ggv�ny�tf�t��Fejezz�kkiaz
X�Y�sX�Y
�
valsz�n�s�giv�ltoz
kkarakterisztikusf�ggv�ny�tf�t��vel�
IV�����Gyakorlat�LegyenekX��X������Xn�N�����teljesenf�gget�
lenek��sY�
n P i��X� i�AdjukmegYkarakterisztikusf�ggv�ny�t�
IV������Gyakorlat�AdjamegaPo���diszkr�teloszl�skarakteriszti�
kusf�ggv�ny�t�Eztfelhaszn�lvasz�moljakianegyedikmomentumot�
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
������
�� ����
�f� �
�
f�
�
���hiszenEX
�
��Vagyis��u����Ebb�l
k�vetkezik�hogy
�t��
��t��azaz
��t��
�t��Teh�t
�u������
��n
� u �n��
��u�
u�
���
u �n�
�u �n���n���
� ��hiszen
�u��
����u
� ����u� �
������
o�u����s
����
� ������
���������Innen
�u���u� �
k�vetkezik�
azazf�u��exp
� �u� �� �a
miastandardnorm�liseloszl�skarakterisztikus
f�ggv�nye�HaX�Ystandardiz�ltjainakkarakterisztikusf�ggv�nyestandard
norm�lis�akkorX�Yisnorm�lis�
IV������Feladat�LegyenekX��X������Xn
�E���teljesenf�ggetle�
nek��sY�
n P i��Xi�AdjukmegYs�r�s�gf�ggv�ny�t�
Megold�s�Xk�kk�z�skarakterisztikusf�ggv�nye�Xk�t��
����it��gy
Y�t���Xk�t��
n�� � ���
it� n �M
ivel
� R �n
�n����zn��e��zeizt dz�
�n
�n����
� R zn��ez�it��� dz�
�n
�n����
h � it��zn��ez�it����n��
�it����zn��ez�it�������������
�n���n����
�it���nez�it���i �
�
�n
�it���n��skeresetts�r�s�gf�ggv�ny�f Y�z��
�n
�n����zn��e��z�z���
�Megjegyz�s�Y���n����azazn��param�ter�gammaeloszl�s��
IV������Feladat�Jel�ljeazX
valsz�n�s�giv�ltoz
karakterisztikus
f�ggv�ny�tf�t��Fejezz�kkiazY
�
aX�bvalsz�n�s�giv�ltoz
karak�
terisztikusf�ggv�ny�tf�t��vel�
Megold�s�Y�t��Eei�aX�b�t�eibtEeiX�at��eibtf�at��
IV�����Gyakorlat�Egyp�rtraaszavaz
kpvalsz�n�s�ggelszavaznak�
ami�ltal�banismeretlen�Ak�zv�lem�nykutat
kap�rtotv�lasztkpoz�
it�vv�lasz�nak�samegk�rdezetteksz�m�nakar�ny�valbecs�likmegp�t�
Mekkoralegyenamegk�rdezetteknsz�m�mint�ja�haaztakarj�kel�rni�
hogyakapottrelat�vgyakoris�gp�t�llegfeljebb������delt�rjenel������os
valsz�n�s�ggel#
IV�����Gyakorlat�Legal�bbh�nymeg�gyel�ssz�ks�gesahhoz�hogy
egy��n�lnemnagyobbsz
r�s�valsz�n�s�giv�ltoz
�rt�keinek�tlaga����
osvalsz�n�s�ggelav�rhat
�rt�k����sugar�k�rnyezet�beessen#
I��
A
val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere
��
c��HaA�B��akkor�omiatt� A�� B�isigaz�deakkorb��miatt� A�� B
�isfenn�ll�de�jraa�oaxim�rahivatkozvaekkor� A�� B�A�B�
isfenn�ll�Azutolsl�p�sbenaI����t�telj���si���ll�t�saithaszn�ltuk
fel�
d��Azel�z�h�zhasonl
an�a�o�s�oaxim�kb
lvalamintaDeMorgan
azonoss�gokb
lk�vetkezik�
e���omiatt� A�� B�isigaz��gyc��miatt�AnB��A�� B��s
�BnA��B�� A�isigaz�
I�����Axi�m
k�AdottegyP
�������halmazf�ggv�ny�melyetva
l�sz�n
s�gneknevez�nk�AP
f�ggv�nykiel�g�tiazal�bbitulajdons�gokat�
�oP�����
�oHaA��A������An�����p�ronk�ntegym�stkiz�rj�k�azaz
i
�j�re
Ai�Aj���akkorP�P �iAi��P �iP�Ai��
Megjegyz�s�
a��A�oaxim�banmegfogalmazotttulajdons�gotavalsz�n�s�g��additi
vit�situlajdons�g�naknevezz�k�
b��Ameg�gyelhet�esem�nyekvalsz�n�s�geitkisz�m�thatnakt�telezz�k
fel�AP�A��rt�kazAesem�nybek�vetkez�s�nekm�rt�ke�es�lye�AP
halmazf�ggv�nyrendelkezikazokkalatulajdons�gokkal�amikkelminden
m�sm�rt�kisrendelkezik�pl�hossz�ter�let�t�rfogat�t�megstb��A�o
aximaazt�ll�tja�hogyegym�stkiz�resem�nyek�sszeg�nekvalsz��
n�s�geazesem�nyekvalsz�n�s�geinek�sszege�mintahogypl�egym�st
�tnemfed�r�szekb�l�lls�kidomter�leteegyenl�ar�szekter�leteinek
�sszeg�vel�Az�oaximaaztposztul�lja�hogylegyenabiztosesem�ny
valsz�n�s�ge���sehhezk�pestjellemezz�kat�bbiesem�nybek�vetke�
z�s�nekes�ly�t�A�zikaimennyis�gekhezm�r�m�szerekszerkeszthet�k�
hogyazadotttestegy�zikaijellemz�j�nekelm�leti�rt�k�tnagypon�
toss�ggalmegbecs�lhess�k�Ilyenm�szerahosszm�r�sream�terr�d�
t�megreakarosm�rleg�Ugyan�gy�mintm�sm�rt�kn�l�avalsz�n��
s�geset�nisszerkeszthet�m�r�m�szer�amivelazelm�letivalsz�n�s�g
sz�m�rt�kejlbecs�lhet�lesz�Eza�m�r�m�szer ak�s�bb�rtelmezend�
relat�vgyakoris�glesz��L�sdazI���szakaszt��
-
��
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
I������De�nci��Az����P�h�rmastaK
v�letlenk�s�rletheztartoz
Kolmogorovf�leval�sz�n
s�gimez�neknevezz�k�
I�����T�tel�Avalsz�n�s�gaximarendszer�b�llevezethet�ekaval�
sz�n�s�gal�bbitulajdons�gai�
a��P�� A����P�A��
b��P������P������
c��HaA��A������An�����esem�nyekteljesesem�nyrendszertalkotnak�
akkorP �iP�Ai����
d��HaA�B�akkorP�A��P�B��
e��P�AnB��P�B��P�AB��
Bizony�t�s�
a��A�� A���A�� A���s�o��omiatt��P����P�A�� A��P�A��P�� A��
b��� ���miattazel�z��ll�t�sbltrivi�lis�
c��MivelP �iA
i���sazA��A������An����esem�nyekegym�stp�ronk�nt
kiz�rj�k�azaxim�kblm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�
d��B�A�� A�B�sA��� A�B�����gyP�B��P�A��P�� A�B��Mivel
P�� A�B����m�rk�vetkezikaz�ll�t�s�
e��B�A�B�� A�B�s�A�B���� A�B���miattP�B��P�A�B��P�� A�B��
MivelBnA!B�� A�gyaz�ll�t�sm�rk�vetkezik�
I�����T�tel��Poincaret�tel
HaA��A������An�tetsz�legesek�akkorP�
n P i��Ai��
n P i������n��Sn i�ahol
Sn i�
P�j�j ����j in
P�Aj ��Aj ������Aj i��
IV��
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
���
Megold�s�Jel�ljeXam�k�d�g�peksz�m�t�Nyilv�nX�B�
��������A
Moivre�Laplace�t�telb�lP
� X�np�xp npq� �P
�X��������
�x��
��x��Mivel��
���������gyP
�X��
��������vagyisaz�zemel�
g�peksz�makevesebb�mint�
������kal�
IV������Feladat�Egytanfolyamra���hallgat
iratkozikbe�M�sel�
foglalts�gamiattmindenhallgat
���valsz�n�s�ggelmegyelazegyes
r�kra�
Felt�telezz�k�hogyegym�stlf�ggetlen�ll�togatj�kaz
r�kat�H�nyf�s
teremkellahhoz�hogyaz
r�ra�rkez�hallgat
k����osbiztons�ggalelf�r�
jenekateremben#
Megold�s�Hallgat
ksz�ma�X�B����������P� X������
p ���
x� �
��x������x�����������
p ���
�����akeresettteremkapacit�s�
IV������Feladat�AdottakazX��X������Xn�U�����teljesenf�gget�
lenv�letlensz�mok�Ezekseg�ts�g�velgener�ljunknorm�liseloszl�s�v�letlen
sz�mot�
Megold�s�Y�
�
P i��X
i�EY������Y�
�
���Acentr�lishat�reloszl�s
t�telb�lk�vetkezik�hogyYstandardiz�ltjak�zelstandardnorm�lis�Teh�t
Y�
�
p ���N������
IV������Feladat�Bizony�tsukbe�hogyhaX
�sYf�ggetlen�azonos
eloszl�s��sv�gessz
r�s�valsz�n�s�g�v�ltoz
k�akkorX�Y�sX�Y
akkor�scsakakkorlesznekf�ggetlenek�haX�sYnorm�liseloszl�s�ak�
Megold�s��HaX�sYnorm�liseloszl�s�ak�akkorcov�X�Y�X�Y��
E
�X��Y
���E
�X�X�E
�X�Y���miattX�sYf�ggetlenekis�hiszen
norm�liseloszl�sn�lakorrel�latlans�gekvivalensaf�ggetlens�ggel�
�Tegy�kfel�hogyEX
�EY
���s��X
���Y
��k�l�nbena
standardiz�ltjaikkalsz�moln�nktov�bb�Jel�ljef�t�ak�z�skarakterisztikus
f�ggv�ny�ket�EkkorX�Y�t��f��t��sX�Y�t��f�t�f��t���s�X�
�X�Y���X�Y�miatt�X�t��
X�Y�t�X�Y�t��
f��t�f��t�is�
Legyen
�t��lnf�t��Ekkor
��t��
�t��
��t��Bevezetvea��t��
�t��
��t�jel�l�st����t��
��t��
���t��
�t��
��t��
��t��
�t����t�����t�����t��Teh�t��u����� u ������� u ��������
�n�� u �n������Ebb�lm�rk�vetkezik�hogy
�u�u
�
�
u �n�u �n
�limt�
�t��
�
�
t
�
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
t�bl�zat�b
lolvastukki��Ld�Af�ggel�kben��
Megjegyz�s�Azel�bbi�sszegkisz�m�t�sam�gsz�m�t
g�pre�rtprogram
seg�ts�g�velsemtrivi�lisabinomi�lisegy�tthatkbanszerepl�nagyfak�
tori�lisokmiatt�
IV������Feladat�Egysz�v�g�p���sz�llaldolgozik�Annakavalsz��
n�s�ge�hogyegysz�lid�egys�galattelszakad�����mindensz�lra�Hat�roz�
zukmeg�hogy����valsz�n�s�ggelmilyenhat�rokk�z�ttv�rhat
asz�lsza�
kad�soksz�maegyid�egys�galatt#
Megold�s�Jel�ljeX
asz�lszakad�soksz�m�t�EkkoraMoivre�Laplace�
t�rv�nyb�l�P
� X�
��
p
��
������x
� �P
�X������x�
����x��M�s�
r�szt�������������azazx������n�l�P
�X�����������
��P
�X�������
vagyisasz�lszakad�soksz�ma��n�lkisebbleszlegal�bb����osvalsz�n�s�ggel�
IV������Feladat�LegyenekX��X������Xn����f�ggetlenazonoselosz�
l�s�valsz�n�s�giv�ltoz
kv�gessz
r�ssal�Bizony�tsukbe�hogytetsz�leges
xvalssz�meset�nlimn��P
�X��X������Xn�x��f�������g�vagyisa
hat�r�rt�kcsak�vagy���vagy�lehet�
Megold�s�Acentr�lishat�reloszl�st�telthaszn�lva�
limn��P
�X��X������Xn�x��
limn��P
� X ��X������Xn�nm
pn�
�x
� �
��
� lim n��
x
� �aholm�EXi�����Xi�x
�x�nm
pn��
Delimn��
x�nm
pn�
�� � ����ham��
��ham��
��ham��
�amib�lm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�
IV������Feladat�Haegygy�regyformaenergiaig�ny�g�peik�z�l�t�
lagosan���m�k�dik�s
��v�rjav�t�sra�vagy�ppenjav�tj�k�akkor�t�
lagosan���g�penergiaig�ny�tkellkiel�g�teni�Mennyienergi�tkellbiz�
tos�taniakkor�ha������osbiztons�ggalszeretn�nkel�rniazt�hogymin�
denm�k�d�k�pesg�pvalbanm�k�dnitudjon#�Feltessz�k�hogyag�pek
meghib�sod�saegym�stlf�ggetlen��
I��
A
val�sz�n�s�gsz�m�t�salapfogalmai�saxi�marendszere
��
Bizony�t�s�n�revonatkoz
teljesindukcival�
n��esetben�
A��A��A���A��� A���sA���A��� A����miattI����t�tele���ll�t�s�t
felhaszn�lva�P�A��A���P�A���P�A��� A���P�A���P�A���P�A��A���
Tegy�kfel�hogyaz�ll�t�sigazn��esetben�
n���reaz�ll�t�sbizony�t�sa�
n�� P i��A
i�
n P i��Ai�An����gy
P�n
�� P i��A
i��P�
n P i��Ai��P�An����P�An���n P i��Ai��
�P�
n P i��Ai��P�An����P�
n P i��Ai�An����
Azindukcisfeltev�sfelhaszn�l�s�val�
P�n
�� P i��A
i��
n P i��P�Ai��P ijP�AiAj��
Pijk
P�AiAjAk�������
�����nP�A�A������An��P�An����
n P i��P�AiAn����P ijP�AiAjAn�����
��������nP�A�A������AnAn���
ahonnanatagokfelcser�l�s�velaz�ll�t�stkapjuk�
I�����T�tel��Booleegyenl�tlens�g
Legyen����P�Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gimez��Akkorminden
A��A������An�eset�n
a��P
� n P i��Ai �
n P i��P�Ai��
b��P
� n Q i��Ai ���
n P i��P� � A i��
Bizony�t�s�
a��
n P i��Ai�A���A�nA����A�n�A��A���������Annn
�� P i��Ai��
Ezegydiszjunktfelbont�s��s
A�nA��A��P
�A�nA���P
�A���
A�n�A��A���A��P
�A�n�A��A����P
�A���
� � �
-
��
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
Annn
�� P i��Ai�An�P
� A nnn
�� P i��Ai �P
�An��
Avalsz�n�s�g��additivit�samiatt�
P
� n P i��Ai �P
�A���P
�A�nA���P
�A�n�A��A�������
�����P
� A nnn
�� P i��Ai �
n P i��P�Ai��
b��ADeMorganazonoss�gb
l�
n P i��� Ai�
n Q i��Ai�
n Q i��Ai�
$gyaza���ll�t�seredm�ny�tisfelhaszn�lva�
P
� n Q i��Ai �P
� n P i��� Ai ���P
� n P i��� Ai ���
n P i��P� � A i��
I�����T�tel��Aval�sz�n
s�gfolytonoss�gitulajdons�ga
a��HaA��A������An�����olyanesem�nyek�hogy
A��A������An�����
� P i��Ai�
limn��
An�
akkorP�
� P i��Ai��
limn��P�An��
b��HaA��A������An�����olyanesem�nyek�hogy
A��A������An�����
� Y i��Ai�
limn��
An�
akkorP�
� Y i��Ai��
limn��P�An��
Megjegyz�s�At�telelnevez�seaz�rtjogos�mertfolytonosf�ggv�nyekn�l
fenn�llaf�limn��
xn��
limn��
f�xn�tulajdons�g�
Bizony�t�s�
a��LegyenA
���sCi�AinAi��
�i����������
EkkorCi�Cj���hai
�j�mert
�AinAi�����AjnAj����Ai�Aj�� Ai���� Aj�����hai
�j�
Tov�bb�
� P i��Ai�
� P i��Ci�
IV��
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
���
F�x��P
�Xn�x��P
�Yn�x��
� � ���hax��
� ��ha��x��
��hax��
�
Legyentov�bb�X
�I�A��sY�I�� A��EkkorX�Y���azazeloszl�s�
f�ggv�nye
G�x��P
�X�Y�x��
��hax��
��hax����sXn�Yn
��I�A��aminek
eloszl�sf�ggv�nye�
Fn�x��P
�Xn�Yn�x��
� � ���hax��
� ��ha��x��
��hax��
�
L�that�hogylimn��
Fn�x��F�x�
�G�x��azazXn�Yn
e �X�Y�
IV������Feladat�Bizony�tsukbe�hogyhaXn
st �X�sP
�jXnj�K��
��mindenn�re�akkorXn
Lr �Xisfenn�ll�
Megold�s�E
jXn�Xjr��KrP
�jXn�Xj������tetsz�leges���
eset�n�amib�lm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�
IV������Feladat�Legyenp n������tetsz�legesnullsorozat��s
Xn�G�pn��Mutassukmeg�hogyYn�
Xn
EXn
e �Y�aholY�E����
Megold�s�P
�Yn�x��P
�pnXn�x��
Pk �x pn��
��p n�k
��p n�
������p n��
x pn�n�� ���e�x�
IV������Feladat�K�zel�t�leghat�rozzukmegazA�
��
P
k���
�
k��sszeget�
Megold�s�LegyenX
�B����������Ekkorakisz�m�tandA�sszeget
fel�rhatjuk�A��
��
P
k��
P�X
�k�alakban�AMoivre�Laplace�t�telsze�
rint�
Pyk����
p���x
P�X
�k����x����y��Most�gykellx�et�sy�tmeg�
v�lasztani�hogy��������
p ���y�s��������
p ���xlegyen�Teh�t
y������
�����
�sx�����
�����������amivel��
A����
���azaz
A���������������e�����Af�ggv�ny�rt�keitastandardnorm�liseloszl�s
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
Megold�s�Anagysz�moker�st�tel�b�lk�vetkezik�hogyYn
�v �m�
M�sr�sztminfs��s������sng�np s�s ����sn
�maxfs��s������sng��gyha
s n�a�akkora�liminfsn�np s�s ����sn�np s�s ����sn�limsups n�a�
azaznp s�s ����sn�a�Ebb�lm�rk�vetkezikaz�ll�t�s�
IV������Feladat�LegyenekX��X������Xn
f�ggetlen�azonosU�a�b�
eloszl�s�valsz�n�s�g�v�ltoz
k�LegyenYn�minfX��X������Xng�sZn�
maxfX��X������Xng�Igazoljuk�hogyYn
e �a�sZn
e �b�
Megold�s�AzU�a�b�eloszl�sf�ggv�nye�F�x��
� � ���hax�a
x�ab�a�hax��a�b�
��hax�a
�
FZn�x��P
�Zn�x���F�x��
n�
� � ���hax�a
� x�a b�a� n �
hax��a�b�
��hax�b
�
��hax�b
��hax�b
�Zn
e �b�
FYn�x��P
�Yn�x�������F�x��
n�
�� � �
��
hax�a
��� b�x b�a� n �
hax��a�b�
��
hax�b
�
��hax�a
��hax�a
�Yn
e �a�
IV������Feladat�Bizony�tsukbe�hogyhaXn
e �c�akkorXn
st �cis�
Megold�s�Ackonstans�mintvalsz�n�s�giv�ltoz
eloszl�sf�ggv�nye�
F�x��P
�c�x��
��hax�c
��hax�c
�
Legyen���tetsz�leges�limn��P
�jXn�cj����
���limn��P
�c���Xn�c������limn��
�FXn�c����FXn�c�����
���F�c����F�c������Xn
st �c�
IV������Feladat�Mutassunkp�ld�tolyanXn�Yn
sorozatokra�hogy
Xn
e �X�sYn
e �Y�deXn�Yn
e �X�Y�
Megold�s�LegyenA�olyanesem�ny�hogyP
�A��
� ��LegyenXn�
Yn
�
I�A��vagyisazAesem�nyindik�torv�ltoz
i�K�z�seloszl�sf�gg�
v�ny�k�
I��
P�ld�kval�sz�n�s�gimez�kre
��
$gyP
� � P i��Ai �P
� � P i��Ci �
� P i��P�Ci��
limn��
n P i��P�Ci��
�
limn��
n P i���P
�Ai��P
�Ai�����
limn��
�P�An��P
�A
���
limn��P
�An��
b��LegyenBi�
� Ai�akkorB��B������Bn�����
� P i��Bi�
Mivel
� P i��Bi�
� P i��� Ai�ez�rt
� P i��Bi�
� Y i��Ai�teh�talkalmazvaaza��
eredm�ny�t
P�
� P i��Bi��
limn��P�Bn��
limn��
���P�An�����limn��P�An��
P�
� Y i��Ai����P�
� P i��Bi��
limn��P�An��
I�
�
P�ld�kval�sz�n�s�gimez�kre
I�����P�lda�Aklasszikusval�sz�n
s�gimez��adiszkr�tegyenleteselos
zl�s
Ekkorazesem�nyt�rv�geselemsz�m�elemiesem�nyhalmaza�
��f
��
������
ng�azesem�nyalgebra��sszesr�szhalmazainakrend�
szere��smindegyikelemiesem�nybek�vetkez�s�nekegyformaavalsz�n��
s�ge�P�f
�g��P�f
�g������P�f
ng��Mivelaz�sszeselemiesem�nyek
rendszereteljesesem�nyrendszertalkot�ez�rt��P����P�
n P i��f
ig��
n�P�f
�g��p i�P�f
ig��
� n
i�re�
$gy�haAtetsz�legesesem�ny�akkorP�A��
P ��AP�f
g��
� n
P ��A��
kA n�aholkA
azAesem�nysz�moss�ga�Vagyisazesem�nyekvalsz�n�s�ge
ilyenkor�gysz�m�that�hogyazesem�nybek�vetkez�seszempontj�b
lked�
vez�elemiesem�nyeksz�m�tosztjukak�s�rlettelkapcsolatos�sszeselemi
esem�nyeksz�m�val�
Klasszikusvalsz�n�s�gimez�velmodellezhet�akockadob�s�ap�nzfel�
dob�s�arulettez�s�ak�rtyah�z�s�alott
h�z�s�atottippel�sstb�
I�����P�lda�Geometriaival�sz�n
s�gimez�
AlkossonaK
v�letlenk�s�rletelemiesem�nyeinekhalmazaegyv�gesm�rt�k�
-
�
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
geometriaialakzatot�Ilyenkorazesem�nyrendszerageometriaialakzatm�r�
het�r�szhalmazaitjelenti��sazAesem�nyvalsz�n�s�g�taP�A��
��A�
����
m
donsz�m�tjuk�ahol�ageometriait�rm�rt�k�tjel�li�Hapl��inter�
vallum�akkorhosszm�rt�k�has�kidom�akkorter�letm�rt�k�hatest�akkor
t�rfogatm�rt�kstb�
P�ld�ul�hax�syk�tv�letlen�lv�lasztott��s�k�z�es�sz�m�akkor
mennyiannakavalsz�n�s�ge�hogyx�y���sxy�����lesz#
�mostazegys�gn�gyzetlesz�azk�rd�sesesem�nypedigazal�bbi�br�n
besat�rozottter�letnekfelelmeg�
Abesat�rozottter�letnagys�ga�
� R �����x
dx�������
��
I���
K�s�rletsorozatazesem�nyekrelat�vgya
koris�ga
I�����De�nci��Tekints�nkegyK
v�letlenk�s�rletet��sjel�ljeKn
azt
ak�s�rletet�amelyaK
n�szeresazonosk�r�lm�nyekk�z�ttiism�teltv�gre�
hajt�s�b
l�ll�Kn�tegyn�szereskis�rletsorozatnaknevezz�k�
I�����P�lda�Amikort�zszerdobunkegyszab�lyosj�t�kkock�val�akoc�
kadob�shoztartoz
t�zszereskis�rletsorozatr
lvansz
�Alott
h�z�soksoro�
zatat�bbmintharminc�ven�ttart
kis�rletsorozatk�ntisfelfoghat��gyaz
nk�s�rletsz�mraigazazn������Ultiz�sn�lmindenj�t�kel�ttazoszt�sn�l
v�grehajtjukazI����%b��p�ld�baneml�tettK
k�s�rletet�azazittiskis�rlet�
sorozatr
lvansz
�
I�����De�nci��Haegyn�szeresk�s�rletsorozatbanazAesem�nykA
�szork�vetkezettbe�akkorkA
azAesem�nygyakoris�ga�r n�A��
kA n
pedig
arelat�vgyakoris�ga�
IV��
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
���
jYjjXn�Xj�Legyen���tetsz�leges�P
�jXnYn�XYj����
P
� jX n�XjjYn�Yj�� �� �P
� jXjjY n�Yj�� �� �P
� jYjjXn�Xj�� �� �
Tov�bb��P
� jX n�XjjYn�Yj�� �� �P
� jX n�Xj�p � ���
P
� jY n�Yj�p � �����M�sr�szt�hay��tetsz�leges�
P
� jXjjY n�Yj�� �� �P
� jY n�Yj�� �y
� �P
�jXj�y����han�y���
Ebb�lm�rk�vetkezik�hogyP
�jXnYn�XYj������
IV������Feladat�Igazolja�hogyhaXn
st �avalamelya��sz�mra�
akkor
� Xn
st �� ais�
Megold�s�P
� jX n�aj�a �� ���P
� a ��Xn
� �����hoz�n
�n�n
eset�n����P
� jX n�aj�a �� �P
� a ��Xn
� �
A�
Qn
n�
� jXn�
��a �� ��
slegyen���tetsz�leges�
P
� A�n � X
n
�� a
��o��P
�A�fjXn�aj�jXnaj�g��
P
� jXn�aj�a� ��� ����n����MivelP
� � X n�
� a
��� �
P
� � X n�
� a
���A
� �P� � X n�
� a
���� A
� �P
� jXn�aj�a� ��� �P
� � A��
P
� jXn�aj�a� ��� ���$gylimsupP
� � X n�
� a
��� ����smivel�tet�
sz�legesvolt�m�rk�vetkezikaz�ll�t�s�
IV������Feladat�LegyenekX��X������Xnf�ggetlen�azonoseloszl�s�
valsz�n�s�g�v�ltoz
k�EXi�m���Xi�d��Igazolja�hogy
n P i��Xi
n P i��X� i
st �
mm��d��
Megold�s�Anagysz�mokt�tel�b�lk�vetkezik�hogy
� n
n P i��Xi
st �m
�s
� n
n P i��X� i
st �m��d��Felhaszn�lvaazel�z�k�tfeladateredm�ny�t�m�r
k�vetkezikaz�ll�t�s�
IV������Feladat�LegyenekX��X������Xnf�ggetlen�azonoseloszl�s�
valsz�n�s�g�v�ltoz
k�EXi�m���Tekints�kaZn�
np Y�Y����Ynval�
sz�n�s�giv�ltoz
t�aholYk�
� k
k P i��Xi�Igazoljuk�hogyZn
�v �m�
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
�rt�ke�EX
���Ekkor
���eset�nP�X
����EX �
�Legyen���
tetsz�leges�ekkorP�jXn�Xj����
EjXn�Xj
�
���n����
Ellenp�ldaarra�hogyat�telnemmegford�that�
LegyenekAn�olyanesem�nyek�melyekvalsz�n�s�geiP�An��
� n��A
sorozatelemeinekde�n�cija�Xn�
��
n��
�An
��
��An
�
Megmutatjuk�
hogyasorozatb�rsztochasztikusankonverg�lazX
���hoz�dem�rels�
momentumbannem�
L�that�hogyP�jXn�Xj����P�Xn
����
� n��han�
� �p�
�azaz
Xn
st �X�DeE
�jXn�Xj��EXn
�n��� n�
�n��amomentumban
valkonvergencianemigaz�
IV�����Feladat�Bizony�tsabeaIV�����t�telt�
Megold�s�Ellenp�ldaarra�hogyXn
L� �X�deXn
�v �X�AIV����p�lda
ittisj�mertham�n�k�
E
�jXm
�Xj��EXm
�� n��
�Xn
L� �X�deamintl�ttuk�Xn
�v �X�
Ellenp�ldaarra�hogyXn
�v �X�deXn
L� �X�
LegyenekAn�ekolyan
teljesenf�ggetlenesem�nyek�aholP�An��
� n��Legyenasorozatelemeinek
de�n�cija�Xn�
��
n��
�An
��
��An
�ahat�rvalsz�n�s�giv�ltoz
pedig
X
���MivelE
�jXn�Xj��EXn
�n���Xn
L� �X�Viszont
megmutathat�hogyXn
�v �X�
IV�����Feladat�Igazolja�hogyhaXn
st �X
�sYn
st �Y�akkorXn�
Yn
st �X�Y�
Megold�s�P
�j Xn�Yn��Y�X�j����P
�jXn�Xj���jY n�Yj����
P
�jXn�Xj����P
�jYn�Yj������
IV������Feladat�Igazolja�hogyhaXn
st �X�sYn
st �Y�akkor
Xn�Yn
st �X�Y�
Megold�s�jXnYn�XYj�jXnYn�XnY�XnY�XYj�
jXn�X�XjjYn�Yj�jYjjXn�Xj�jXn�XjjYn�Yj�jXjjYn�Yj�
I��
A
felt�telesval�sz�n�s�g�sazesem�nyekf�ggetlens�ge
�
Megjegyz�s�Nyilv�nval�hogymindagyakoris�g�mindarelat�vgyako�
ris�gkonkr�t�rt�kef�ggav�letlent�l�Arelat�vgyakoris�grendelkezikaz
al�bbitulajdons�gokkal�
I�����T�tel�Egyadottn�szeresk�s�rletsorozatn�l
a��r n��������
b��r n������
c��HaA��A������An����egym�stkiz�resem�nyek�akkorr n�
� P i��Ai��
� P i��rn�Ai��
Megjegyz�s�Azel�z�t�telazt�ll�tja�hogyarelat�vgyakoris�gren�
delkezikavalsz�n�s�gtulajdons�gaival�K�s�bbl�tnifogjukaztis�hogy
nn�vekedt�velr n�A��P�A�isfenn�ll��Nagysz�mokBernoulli�f�let�r�
v�nye��Eztat�rv�nyszer�s�getel�sz�rtapasztalati�tonfedezt�kfela
XVII�sz�zadban�mikormeg�gyelt�k�hogyarelat�vgyakoris�gegyrekisebb
m�rt�kbeningadozikegy��s�k�z�es�sz�mk�r�l�Aklasszikusmatema�
tikusok�ppenezalapj�nde�ni�lt�kazesem�nyekelm�letivalsz�n�s�g�t�
azaz�rt�k�amelyk�r�larelat�vgyakoris�gingadozik�Arelat�vgyakoris�g
teh�talkalmasavalsz�n�s�g&mint�zikaimennyis�g&m�r�s�re�
Kolmogorovazaxim�ibanarelat�vgyakoris�ga���c��tulajdons�gait
�r�k�tette�tavalsz�n�s�gre�minthogyahat�r�tmenetezeketatulajdon�
s�gokatmegtartja�
I���
A
felt�telesval�sz�n�s�g�sazesem�nyek
f�ggetlens�ge
AK
v�letlenk�s�rletelemiesem�nyeisz�munkrav�letlenszer�enk�vetkeznek
be�m�gpedigaz�rt�mertav�geredm�nytbefoly�solk�r�lm�nyekbonyolult
komplexum�tnemismerj�kpontosan�Viszontismerj�kazegyesesem�nyek�
elemiesem�nyekbek�vetkez�sies�lyeit&avalsz�n�s�get&�vagylegal�bbis
tetsz�legespontoss�ggalm�rhetj�k�ket�HaviszontazAesem�nybek��
vetkez�sik�r�lm�nyeir�ltov�bbiinform�cikatszerz�nkbe�vagybizonyos
pontos�t
felt�telez�ssel�l�nk�megv�ltozhatazAbek�vetkez�sies�lye�n�het
is�decs�kkenhetis�Pl�akockadob�sk�s�rletn�l�a��osdob�sesem�nyval�
sz�n�s�ge��hatudjuk�hogyadobott�rt�kp�ratlansz�m��s
� ��hatudjuk�
hogyadobott�rt�kp�rosvolt�
-
��
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
Hogyanv�ltozik�v�ltozna�azA
esem�nyvalsz�n�s�ge�haazA�val
egyidej�legmeg�gyelhet�Besem�nybek�vetkez�s�tismerj�k�ismern�nk�#
Tegy�kfel�hogyaK
k�s�rlettelv�grehajtottunkegynhossz�s�g�kis�rlet�
sorozatot�AzAesem�nytkA
�szor�aBesem�nytkB
�szer�azABesem�nyt
pedigkAB
�szer�gyelt�kmeg�EkkoraBesem�nybek�vetkez�s�hezk�pest
azAesem�nybek�vetkez�s�nekrelat�vgyakoris�ganyilv�nr n�AjB��
kAB
kB
�
melyetazAesem�nynekaBesem�nyrevonatkoztatottrelat�vgyakoris�g��
naknevez�nk�Ezazar�nyazAbek�vetkez�sies�lyeitpontosabbant�kr�zi�
haaBbek�vetkez�s�r�lbiztostudom�sunkvan�mintazr n�A��
kA n�
Afelt�telesrelat�vgyakoris�gtulajdons�gainyilv�n�
a����r n�AjB����
b��r n�BjB����
c��HaA��A������An�����egym�stkiz�resem�nyek�akkor
r n�
� P i��AijB��
� P i��rn�AijB��
Azr n�AjB��
kAB
kB
�kABnkB n
�r n�AB�
r n�B�
�t�r�sut�n�han���kapjuk�hogy
r n�AjB��
P�AB�
P�B��
I�����De�nci��LegyenekA�B�olyanesem�nyek�hogyAtetsz��
leges�sP�B����AkkorazAesem�nynekaB�revonatkoztatottfelt�teles
val�sz�n
s�g�naP�AjB��
P�AB�
P�B�
sz�mot�rtj�k�
I�����T�tel�Tekints�kaz����P�Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gime�
z�t�B��P�B���r�gz�tett�
EkkoraPB�A��
P�AjB�felt�telesvalsz�n�s�greteljes�lnekazal�bbi
tulajdons�gok�
a����PB�A���
�A���
b��PB�B����PB������
c��
A��A������An������Ai�Aj���i
�j��
PB�
� P i��Ai��
� P i��PB�Ai��
Bizony�t�s�
IV��
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
��
IV�����Feladat�Bizony�tsukbeaIV�����t�telt�
Megold�s�Egyellenp�ld�tfogunkadni�amelyeloszl�sbankonverg�lva�
lsz�n�s�giv�ltoz�sorozatlesz�deam�sikh�rom�rtelembennemkonverg�l�
LegyenA�tetsz�legesP�A��
� �esem�ny�legyenX�I�A��s
Y�I�� A�indik�torvalsz�n�s�giv�ltoz
�AzX�Yazonoseloszl�s��hiszen
p
�P�X����P�� A��
� ��q
�P�Y����P�A��
� ��
p ��P�X����P�A��
� ��q ��P�Y����P�� A��
� ��
De�ni�ljukasorozatot�gy�hogyXn�X�
n�re�Ekkornyilv�n�
FXn�x��FX�x��FY�x��
� � ���x��
� ����x��
��x��
�
MivelFXn�x��FY�x��ez�rtXn
e �Y�dejXn�Yj��miattam�sikh�rom
�rtelembennemkonverg�lhatXnazY�hoz�
IV�����Feladat�Bizony�tsabeaIV�����t�telt�
Megold�s�Konverg�ljonazX��X������Xn����valsz�n�s�giv�ltoz�soro�
zatsztochasztikusanX�hez�azaz
���eset�n
P
�f
�jXn�
��X�
�j��g����n����
Legyen���tetsz�leges�
FXn�x��P�Xn�x��P�Xn�x�X�x����P�Xn�x�X�x����
�P�X�x����P�X�Xn����P�X�x����P�jXn�Xj����
FX�x����P�jXn�Xj����M�sr�szt�
FX�x����P�X�x����P�Xn�x�X�x����P�Xn�x�X�x����
�P�Xn�x��P�X�Xn����FXn�x��P�jXn�Xj����
Ak�tegyenl�tlens�gb�l�
FX�x����P�jXn�Xj����FXn�x��FX�x����P�jXn�Xj����
Afentiegyenl�tlens�gbenn��hat�r�tmenetetk�pezve�
FX�x����liminfFXn�x��limsupFXn�x��FX�x����
Haxfolytonoss�giponjaFX�x��nek�akkorlim��
FX�x����lim��
FX�x����
FX�x��$gy�limn��
FXn�x��s�FX�x��
IV�����Feladat�Bizony�tsabeaIV�����t�telt�
Megold�s�Ehhezaz�ll�t�shozaMarkov�egyenl�tlens�getfogjukfelhasz�
n�lni�LegyenX��olyanvalsz�n�s�giv�ltoz
�melynekl�tezikav�rhat
-
��
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
Megold�s�Jel�lj�kX�szelatal�latoksz�m�t�Al�v�ssorozatfelfoghat
egyn����hossz�s�g�k�s�rletsorozatnak�aholameg�gyeltesem�nyac�l�
ponteltal�l�sa�Ez�rtbinomi�liseloszl�s�n�����sp���
param�terekkel�
$gyEX�np�������������X�npq������������
��ACsebisev�
egyenl�tlens�getalkalmazzukerreazesetre��
p ���Xv�laszt�ssal�
P
� jX�EXj�
p ���X� �P
� jX���j�
p ��� �����ahonnan
P
� jX���j�
p ��� �P
� ���
p ���X����
p ��� �
�P
����X���������ad
dik�azazal�v�sek���s���k�z�fognakesni
legal�bb����osvalsz�n�s�ggel�
IV�����Feladat�Egyautomatamin�s�gvizsg�ln�������elem�min�
t�tellen�rizleegygy�rtsoronel��ll�tottsz�m�t
g�pesalkatr�szt�megb�l�A
vizsg�latut�nmilyenvalsz�n�s�ggel�ll�thatjuk�hogyamint�b
lmeghat��
rozottselejtar�nyak�szletelm�letipselejtvalsz�n�s�g�t�llegfeljebb�����dal
t�rel#
Megold�s�Xmostaselejtesterm�keksz�m�tjel�ljeamint�ban�Ekkor
aselejtar�nyamint�banX �
�
lesz�Nyilv�nX
�B��������p��aholapis�
meretlen�EX�np���
p���X�npq���
�pq�ACsebisev�egyenl�s�get
most�������relalkalmazzuk�P
�jX���
pj�������
�P
� X ���p ������ ���
�
�pq
�
�
���
�
�������Alevezet�sbenfelhaszn�l�
tuk�hogypq�p�p�������
IV�����Feladat�Egy�zembencsavarokatcsomagolnak�Egy�egydo�
bozba�tlagosan����csavarker�l�Acsavaroksz�m�naksz
r�saatapasz�
talatszerint��darab�Mitmondhatunkannakvalsz�n�s�g�r�l�hogyegy
dobozbanacsavaroksz�ma
����s����k�z�esik�haazeloszl�stnemis�
merj�k#
Megold�s�Jel�ljeX
acsavaroksz�m�t�EkkoraCsebisev�egyenl�tlen�
s�gb�l�P
�����X�������P
�jX�����j��������
�
�
������
IV�����Feladat�LegyenX
standardnorm�liseloszl�s�valsz�n�s�gi
v�ltoz
�Astandardnorm�liseloszl�st�bl�zat�nakhaszn�latan�lk�lbi�
zony�tsabe�hogyekkorfenn�llaP��
�X�
����
�p��
egyenl�tlens�g�
Megold�s�AMarkov�egyenl�tlens�gb�l�P
�jXj�
��
EjXj
�
�
� �
� p��
�
amib�lm�rk�vetkezikP
��
�X�
����
� �
� p��
�
I��
A
felt�telesval�sz�n�s�g�sazesem�nyekf�ggetlens�ge
��
a��MivelAB�B�ez�rtP�AB��P�B��teh�tk�vetkezikaz�ll�t�s�
b��B�B�BmiattPB�B��
P�B�
P�B����sB�����teh�tPB����
P���
P�B����
c��MivelazA��A������An����esem�nyrendszeregym�stkiz�resem�nyek�
b�l�ll�ez�rtA��B�A��B�����An�B����isegym�stkiz�resem�nyekb�l
�llrendszer��gyavalsz�n�s�g��additivit�situlajdons�g�b
l�P�
� P i���AiB���
� P i��P�AiB��Mindk�toldaltosztvaP�B��velm�rad
dikaz�ll�t�s�
Megjegyz�s�
a��Azel�z�t�telazt�ll�tja�hogyhaB�tr�gz�tj�k��s B�
fC�C�A�B�A�g�
akkora�B�B�PB�kiel�g�tiaKolmogorovvalsz�n�s�gimez�axim�it�
b��VannakA�Besem�nyek�amelyekreP�AjB��P�A�teljes�l�azazAva�
lsz�n�s�genemv�ltozikmeg�haaBesem�nybek�vetkez�s�tismerj�k'
azAvalsz�n(s�gef�ggetlenaBbek�vetkez�s�t�l�
I�����De�nci��LegyenekA�B�tesz�legesesem�nyek�AzA�sB
esem�nyekf�ggetlenek�haP�AB��P�A�P�B�fenn�ll�
Megjegyz�s�
a��HaazA�B�esem�nyekf�ggetlenek�sP�A�P�B����akkorP�AjB��
P�A��sP�BjA��P�B�isfenn�ll�vagyisazegyikesem�nybek�vetke�
z�s�nekismerete�nembefoly�soljaam�sikesem�nyvalsz�n�s�g�t�
b��Nemszabad�sszekeverniazegym�stkiz�resem�nyek�saf�ggetlenes�
em�nyekfogalmait�Hak�tesem�nyegym�stkiz�rja�azazAB���akkor
azegyikbek�vetkez�seigencsakmeghat�rozzaam�sikbek�vetkez�s�t�
hapl�Abek�vetkezik�akkorBbiztosannemk�vetkezikbe�F�gget�
lenesem�nyekeset�n�haazegyikesem�nybek�vetkez�s�tismerj�k�nem
v�ltozikmegam�sikbek�vetkez�sival
sz�n�s�ge�
c��Azesem�nyekf�ggetlens�g�nekafogalmak�l�nb�zika�zikai�rtelemben
vettf�ggetlens�gfogalm�t
lis�A�zikaif�ggetlens�gaztjelenti�hogy
azokozatnemk�vetkezm�nyeazoknak�teh�tittaf�ggetlens�gnem
szimmetrikus�
-
��
I�FEJEZETA
Kolmogorov�f�leval�sz�n�s�gimez�
I�����T�tel�HaazA�B�esem�nyekf�ggetlenek�akkor
a��A�s� B�
b��� A�sB�
c��� A�s� B
isf�ggetlenek�
Bizony�t�s�
a��P�A� B��P�AB��P�A��P�A� B��P�A��P�AB��
P�A��P�A�P�B��P�A����P�B���P�A�P�� B�
�A�� Bf�ggetlenek�
b��P�� AB��P�AB��P�B��P�� AB��P�B��P�AB��
P�B��P�A�P�B��P�B����P�A���P�B�P�� A�
�B�� A
f�ggetlenek�
c��P�� A� B��P�A� B��P�� B��P�� A� B��P�� B��P�A� B��
P�� B��P�A�P�� B��P�� B����P�A���P�� B�P�� A�
�� B�� A
f�ggetlenek�
I�����T�tel�Az��s�esem�nyekmindenA�esem�nyt�lf�ggetle�
nek� B
izony�t�s�P��A��P�������P�A��P���P�A����sAf�ggetle�
nek�P��A��P�A����P�A��P���P�A����sAf�ggetlenek�
I�����De�nci��AzA��A������An�esem�nyekp�ronk�ntf�ggetle
nek�haP�Ai�Aj��P�Ai��P�Aj��i
�j��
I�����De�nci��AzA��A������An�esem�nyekteljesenf�ggetlenek�
ha
k�f��
�����ng�s
��i ��i ������i k�nindexkombin�ci
ra
P�Ai �Ai ����Ai k��P�Ai ��P�Ai �����P�Ai k��
I�����T�tel�HaazA��A������An�esem�nyekteljesenf�ggetlenek�
akkorp�ronk�ntisf�ggetlenek�Ford�tva�ltal�bannemigaz�
IV��
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
���
romoseloszt
k�zpontbanisnorm�liseloszl�s�naktekinthet�alakoss�gifo�
gyaszt�s�hiszennagyonsokkisfogyasztered�jek�nt�llel��Lehet�hogy
azegyesfogyaszt
kk�l�n�k�l�nnemanorm�liseloszl�sszerintfogyasz�
tanak�deaz�tlagosfogyaszt�stanagysz�mokt�rv�nye�rtelm�benbiztosan
tekinthetj�knorm�lisnakmodelljeinkben�
IV�����T�tel��AMoivre�Laplacet�tel������
Legyen����P�Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gimez��A
�egypozit�v
valsz�n�s�g�esem�ny�p�P�A����Hajtsunkv�greegyv�gtelenk�s�r�
letsorozatot�vagyis�gyelj�kmegazAbek�vetkez�seitaz��������n�����edik
k�s�rletn�l�LegyenXi�
��
�A
��
��A
�vagyisazi�edikv�grehajt�skoraz
esem�nyindik�torvalsz�n�s�giv�ltoz
ja�AzXi�kteljesenf�ggetlenek�s
azonoseloszl�s�ak�
p
�P�Xi����P�� A��q�p ��P�Xi����P�A��p�EXi�p�
��Xi�pq�
EkkoraZn
�
X��X������Xn�n�p
p n�p����p�
valsz�n�s�giv�ltoz�sorozathozl�tezik
olyanZ�N������hogyZn
e �Z�vagyis
FZn�x��P�Zn�x����x��n���
x�R�
Bizony�t�s�AIV����t�telspeci�lisesete�amikorazXi�I�A��azaz
indik�toreloszl�s�ak�R�ad�sul
FZn�x��P�Zn�x��P�n�Sn�p n�p�q�x�n�p��mivel
r n�A��Sn�X��X������Xn
n
arelat�vgyakoris�g�sn�Sn�B�n�p���gy
P�n�Sn�k��� n k� pk�qn�k�amib�lazeloszl�sf�ggv�nyre�
P�n�Sn�p npq�x�np��
Pkpnpq�x�np
� n k� pk�qn�k�
Pk�np
pnpq�x
� n k� pk�qn�k�
Teh�tat�telazt�ll�tja�hogy
limn��
Pk�np
pnpqx
� n k� pk�qn�k���x��
� p��
x R ��e�t� �dt��x�R��
IV���
Kidolgozottfeladatok�sgyakorlatok
IV�����Feladat�Egyc�lpontra���l�v�stadnakle�Atal�latvalsz�n��
s�gemindenl�v�sn�l��
�Milyenhat�rokk�z�fogesni����osvalsz�n�s�ggel
atal�latoksz�ma#
-
���
IV�FEJEZETVal�sz�n�s�git�rv�nyek
�sazonoseloszl�s�ak�azonoseloszl�sf�ggv�nnyelrendelkez�k�az����P�
Kolmogorov�f�levalsz�n�s�gimez�n�L�tezz�kak�z�s��EXiv�rhat
�rt�k�k�sak�z�s�
���
�Xisz
r�sn�gyzet�k�
EkkoraZn
�
X��X������Xn�n��
pn��
valsz�n�s�giv�ltoz�sorozathozl�tezik
olyanZ�N������hogyZn
e �Z�vagyisFZn�x��P�Zn�x��
�P�X
��X������Xn�n��
pn��
�x����x���n����
x�R�
Bizony�t�s�AHellyt�telalapj�n�ld�IV����t�telt�aztfogjukbizony��
tani�hogyZnZn
karakterisztikusf�ggv�nyeineksorozataegyenletesenkon�
verg�l��t��e�
t� �
�h�z�astandardnorm�liseloszl�skarakterisztikusf�gg�
v�ny�hez�
MivelXi�kazonoseloszl�s�ak��gyk�z�skarakterisztikusf�ggv�ny�kvan�
melyetjel�lj�nkXi�t��g�t��vel�EkkorazXi��valsz�n�s�giv�ltoz
k
k�z�skarakterisztikusf�ggv�nye�
�t��
Xj���t��e�i��t�Xj�t��e�i��t�g�t��
Af�ggetlens�gmiatt�Xi�X������Xn�n��t����t��
n�
$gyZn�t��X��X������Xn�n��
pn��
�t��
h �tpn��
�i n�
MivelE�Xi������sE
�Xi�������Xi���a
�t�els�k�tderiv�ltja
l�tezik��saIV����t�telmiattm�sodiktagig�k�r�lTaylor�sorbafejthet��
�t����
i�E�Xi���
��
�t�
�i���E�Xi����
��