7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 1/10

A. ROTASI BENDA TEGARAda dua jenis gerak rotasi benda tegar, yaitugerak rotasi benda tegar 

sekitar sumbu tetap (fxed axis) dan rotasi benda tegar sekitar sumbubergerak. Contoh rotasi sekitar sumbu tetap adalah gerak rotasi compact disk (CD)dalam sebuah CD player. Contoh rotasi benda tegar disekitar sumbu bergerakadalah bola bowling yang menggelinding pada lintasan bowling. Untuk gerak rotasi

benda tegar sekitar sumbu tetap dapat ditentukan beberapa besaran fsika yangterkait dengannya. Pertama posisi sudut sebuah benda tegar yang berotasi. Posisisudut tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan!

" # s $ r (radian)di mana s adalah panjang segmen lingkaran yang disapu jari%jari r.

  &esaran fsika lainnya adalah perpindahan sudut, kecepatan sudut,percepatan sudut, dan energi kinetik. Perpindahan sudut dari sebuah bendayang berotasi dapat pula diartikan sebagai besar sudut yang ditempuh oleh bendategar yang berotasi tersebut. 'ecara matematik perpindahan sudut (sudut tempuh)adalah

" # "* + ",

B. BENDA TEGAR DALA !ER"E!ATAN S#D#T $ONSTAN

&ayangkan bahwa benda tegar berputar pada sumbu tetap dan bahwa iamemiliki percepatan sudut konstan. Dalam kasus ini kita menghasilkan modelanalisis baru untuk gerak rotasi yang disebut benda tegar dengan percepatan sudutkonstan. -odel ini adalah analog rotasi ke partikel dalam model percepatankonstan. ita mengembangkan hubungan kinematik untuk model ini di bagian ini.-enulis Persamaan ,/0 dalam bentuk dw#a dt dan mengintegrasikan dari ti # /sampai t1  # t memberikan!21  # 2i 3 at (untuk a konstan) (,/.4)

  dimana 2i adalah kecepatan sudut dari benda tegar pada waktu t # /.Persamaan ,/.4 memungkinkan kita untuk menemukan kecepatan sudut w1  dariobjek setiap saat t kemudian. -engganti Persamaan ,/.4 ke ,/.5 Persamaan danmengintegrasikan sekali lagi kita memperoleh!61  # 6i 3 2it 3 7 at*  (untuk a konstan) (,/.8)

  dimana 6i adalah posisi sudut dari benda tegar pada waktu t # /. Persamaan,/.8 memungkinkan kita untuk menemukan posisi 6 1  sudut dari objek setiap saat t

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 2/10

kemudian. -enghilangkan t dari Persamaan ,/.4 dan ,/.8 memberikan!21 

* # 2i* 3 *a (61  + 6i) (untuk a konstant) (,/9)

Persamaan ini memungkinkan kita untuk menemukan kecepatan sudut w1   daribenda tegar untuk setiap nilai posisi sudutnya 6 1 . :ika kita menghilangkan antara

Persamaan ,/.4 dan ,/.8 kita memperoleh!61  # 6i 3 7 (wi 3 w1  )t (untuk a konstan) (,/;)

<ilai energi kinetik dari sebuah benda tegar yang berotasi eki=alen dengan nilaienergi kinetik gerak transalasi yaitu!

>k # 7 ?2*". OEN INERSIA

o%en Inersia adalah ukuran kelembaman(resistansi) sebuah partikel

terhadap perubahan kedudukan atau posisi dalam gerak rotasi. o%en

inersiapartike& bisa ditulis dalam persamaan atau rumus matematika ? # mr*

dengan ?# momen inersia(satuan kgm*) m # massa (satuan kg) serta r #jarakpartikel ke sumbu putar (satuan m).

 :ika terdapat banyak partikel atau lebih dari satu dengan massa mi dan jaraknya

ri terhadap poros atau sumbu putar maka %o%en inersia total adalah jumlah

aljabar dari masing%masing %o%en inersiapartikel tau ditulis dalam bentuk

persamaan berikut

m# massa partike (kg) serta r# jarak partikel ke@poros(m)

Benda !oros Ga%bar o%en inersia

&atang silind

erPoros melalui pusat

&atang

silinderporos melalui ujung

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 3/10

'ilinder

berongga-elalui sumbu

'ilinder pejal -elalui sumbu

'ilinder pejal -elintang sumbu

&ola pejal -elalui diameter

&ola pejal-elalui salahsatu garis

singgung

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 4/10

&ola

berongga-elalui diameter

D. OEN INERSIA BENDA $ONTIN#o%en inersia benda yang berotasi dengan sumbu putar di titik tertentudinyatakan dengan persamaan

 

-isalkan kita akan menghitung besarnya momen

inersia untuk silinder berongga dengan massa -

seperti gambar di bawah ini.

Coba perhatikan gambar di atas. Dari gambar

tersebut dapat dilihat bahwa kulit silinder memiliki

 jari%jari * tebal dr  jari%jari dalam , dan dengan

panjang B. :ika massa jenis silinder () yaitu massa

tiap satuan =olume maka dapat ditulis dengan persamaan!

dm = ρ dV 

dengan dV merupakan =olume kulit silinder yang memiliki massa dm. ita ketahui

bahwa =olume silinder dapat dirumuskan!

dV = (2πr dr)L

sehingga dengan demikian maka massa silinder dapat dicari dengan persamaan!

dm = ρ dV 

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 5/10

dm = ρ (2πr dr)L

dm = 2πρLr dr 

ita ketahui bahwa momen inersia untuk benda tegar atau sisitem kontinu adalah!

I = ∫r 2dm

-aka momen inersia untuk silinder pejal berongga (cincin) dapat dicari sebagai

berikut!

? # r*dm

? # r*(*ErB dr)

? #*EBr5

dr? # 7 EB (*

F + ,F)

Dalam hal ini *F + ,

F # (** + ,

*)(** 3 ,

*) maka persamaannya menjadi!

? # 7 EB (** + ,

*)(** 3 ,

*)

ita ketahui bahwa massa silinder berongga - adalah perkalian antara massa jenis

dengan =olume yaitu!

- # G

'edangkan =olume G silinder berongga dapat dicari dengan persamaan!

G # E(** + ,

*)B

-aka massa silinder berongga adalah!

- # E(** + ,

*)B

- # EB(** + ,

*)

'ekarang momen inersia untuk benda berbentuk silinder pejal yang berongga

adalah!

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 6/10

? # 7 EB (** + ,

*)(** 3 ,

*)

? # 7 -(** 3 ,

*)

 :adi momen inersia untuk silinder pejal berongga (cincin) yang bermassa - dengan

 jari%jari dalam , dan jari%jari luar * yang berputar terhadap sumbunya adalah!

? # 7 -(** 3 ,

*)

Dari persamaan ? # 7 -(** 3 ,

*) kita akan dapatkan momen inersa silinder dalam

bentuk lain. -isalnya untuk momen inersia silinder pejal tak berongga (piringan)

kita dapat cari dengan mengganti , # /. -aka momen inersia silinder pejal tak

berongga (piringan) yang diputar terhadap sumbunya adalah!

? # 7 -*

Dari persamaan ? # 7 -(** 3 ,

*) kita juga akan dapatkan momen inersa silinder

dengan ketebalan yang sangat tipis dengan mengganti ** # ,

* # . -aka momen

inersia silinder dengan ketebalan yang sangat tipis yang diputar terhadap

sumbunya!

? # 7 -(** 3 ,*)

? # 7 -(* 3 *)

? # -*

Teorema Sumbu Sejajar 

Teore%a Su%bu se'a'ar digunakan untuk menghitung %o%en

Inersia suatu bangun yang diputar dengan poros tidak pada pusat massa(pm) atau

sembarang tempat. &ila momen inersia sebuah benda terhadap pusat massa(?pm)

diketahui %o%en inersia terhadap sembarang sumbu yang sejajar(paralel)

terhadap sumbu pusat massa dapat dihitung dengan persamaan

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 7/10

eterangan

?# %o%en inersia terhadap sembarang sumbu

?pm# momen inersia terhadap pusat massa

-# massa total benda

a#jarak sumbu pusat massa ke sumbu paralel.Persamaan diatas dikena& dengan Teore%a su%bu se'a'ar atau teore%a

su%bu para&&e&

E. TORSI

Torsi atau %o%en ga(a adalah hasil kali antara gaya H dan lengan

momennya. Iorsi dilambangkan dengan lambang .

'atuan dari torsi adalah N% (<ewton meter).

). DINAI$A ROTASI *+uku% Neton II Rotasi-

 :ika terdapat resultan gaya pada suatu benda bermassa m maka benda

bergerak lurus dengan percepatan a. Jubungan antara resultan gaya massa dan

percepatan dinyatakan melalui persamaan !

 &esaran fsika pada gerak rotasi yang identik dengan resultan

gaya pada gerak lurus adalahresultan momen gaya. &esaran fsika pada gerakrotasi yang identik dengan massa pada gerak lurus adalah momen inersia. &esaran

fsika pada gerak rotasi yang identik dengan percepatanpada gerak lurus

adalah percepatan sudut.

  :ika terdapat resultan momen gaya pada suatu benda yang

mempunyai momen inersia maka benda berotasi dengan percepata sudut tertentu.

Jubungan antara resultan momen gaya momen inersia dan pecepatan sudut

dinyatakan melalui persamaan !

G. OENT# S#D#T

  o%entu% sudut merupakan besaran =ektor. -omentum sudut

didefnisikan sebagai hasil perkalian silang antara =ektor r dan momentum

linearnya. Ara momentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapat ditentukan

dengan kaidah putaran sekrup atau dengan aturan tangan kanan. :ika keempat jari

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 8/10

menyatakan arah gerak rotasi maka ibu jari menyatakan arah momentum sudut.

Pada gerak translasi benda memiliki momentum linier sedangkan pada gerak rotasi

ada momentum sudut .

Arah o%entu% Sudut

Arah momentum sudut B tegak lurus dengan arah r dan arah ! . Arah momentum

sudut sesuai dengan arah putaran sekrup tangan kanan yang ditunjukan gambar

berikut !

-omentum sudut linear akan kekal bila total gaya yang bekerja pada sistemadalah nol. &agaimana pada gerak rotasiK Pada gerak rotasi kita akan menemukan

apa yang disebut sebagai mometum sudut. Dalam gerak rotasi besaran yang

analog dengan momentum linier adalah momentum sudut. Untuk benda yang

berotasi di sekitar sumbu yang tetap besarnya momentum sudut dinyatakan !

L = I. ω

dengan!

L # momentum sudut (kgm*$s)

" # momen inersia (kgm*)

2 # kecepatan sudut (rad$s)

 :ika benda bermassa m bergerak rotasi pada jarak r dari sumbu rotasi dengan

kecepatan linier = maka persamaan dapat dinyatakan sebagai berikut !

L = " . #

arena " = m . r 2 dan 2 # maka !

L = m . r 2.

L = m . r . ! 

 Iampak bahwa momentum sudut analog dengan momentum linear pada gerak

rotasi kecepatan linear sama dengan kecepatan rotasi massa sama dengan

momen inersia.

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 9/10

Jubungan -omentum 'udut Dengan -omen Laya

ita telah mengetahui bahwa impuls merupakan perubahan momentum dari benda.

arena = # r . 2 maka !

 :adi kedua ruas dikalikan dengan r diperoleh!

-engingat r . $ = % dan m . r 2 = "& maka !

dengan ". # adalah momentum sudut sehingga !

&erdasarkan persamaan diatas dapat dinyatakan bahwa momen gaya merupakan

turunan dari 1ungsi momentum sudut terhadap waktu.

 Jukum ekekalan -omentum 'udut

  Dalam gerak linear kita telah mempelajari apabila tidak ada gaya dari luar

sistem maka momentum sudut total sistem adalah kekal atau tidak berubah. Dari

Persamaan momentum sudut diatas tampak jika torsi pada suatu sistem adalah nol

maka dB #/ atau perubahan momentum sudutnya nol atau momentum sudutnya

kekal. Apabila M # / maka B konstan merupakan hukum kekekalan momentum.

'ebagai contoh seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut '

momen inersianya "m. &ila dia kemudian merentangkan kedua tangannya sehingga

momen inersianya menjadi "a berapa kecepatan sudut penari sekarangK ita bisa

menyelesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan momentum sudut. Pada

penari tidak ada gaya dari luar maka tidak ada torsi dari luar sehingga momentum

sudut kekal !

7/17/2019 Benda Tegar

http://slidepdf.com/reader/full/benda-tegar-568e0e85bceb4 10/10

Lm = La

Lm #m ="a #a

Penari merentangkan kedua tangannya maka momen inersianya menjadi

bertambah. "a  "m maka kecepatan sudut penari menjadi berkurang.

Prinsip ini juga dipakai pada peloncat indah. 'aat peloncat meninggalkan

papan memiliki laju sudut 2o terhadap sumbu horiNontal yang melalui pusat

massanya sehingga dia dapat memutar sebagian tubuhnya setengah lingkaran.

 :ika ia ingin membuat putaran 5 kali setengah putaran maka ia harus mempercepat

laju sudut sehingga menjadi 5 kali kelajuan sudut semula. Laya yang bekerja pada

peloncat berasal dari gra=itasi tetapi gaya gra=itasi tidak menyumbang torsiterhadap pusat massanya maka berlakukekekalan momentum sudut. Agar laju

sudutnya bertambah maka dia harus memperkecil momen inersia menjadi ,$5

momen inersia mula%mula dengan cara menekuk tangan dan kakinya ke arah pusat

tubuhnya sehingga terbantu dengan adanya momentum sudut dari gerakannya.

DAHIA PU'IAA

http!$$mafa.mafaol.com$*/,F$/*$momen%inersia%benda%kontinu%benda%tegar.html 

diakses tanggal F Oktober Pukul ,;./0 ?&

https!$$id.wikibooks.org$wiki$umus%umusQHisikaQBengkap$DinamikaQrotasi diakses

tanggal F Oktober Pukul */.,0 ?&

https!$$gurumuda.net$hukum%ii%newton%pada%gerak%rotasi.htm diakses tanggal F

Oktober Pukul */.5/ ?&