belİrlİ İntegral
DESCRIPTION
BELİRLİ İNTEGRAL. KONUNUN AŞAMALARI. KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON. BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ. KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI. a. b. . . . . . . . . x 0 < x 1TRANSCRIPT
![Page 1: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/2.jpg)
KONUNUN AŞAMALARIKONUNUN AŞAMALARI
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON
BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
![Page 3: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/3.jpg)
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
a b
x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn
P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn }
[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)
[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)
![Page 4: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/4.jpg)
Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;
Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;
xk= xk –xk-1 sayısı xk= xk –xk-1 sayısı
[xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu
[xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu
![Page 5: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/5.jpg)
x1= x1 –x0 x1= x1 –x0
x2= x2 –x1 x2= x2 –x1
x3= x3 –x2 x3= x3 –x2
xn= xn –xn-1 xn= xn –xn-1
....................
Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere
Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere
[a.b] aralığının uzunluğu
[a.b] aralığının uzunluğu
b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn
b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn
![Page 6: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/6.jpg)
x1= x1 –x0 x1= x1 –x0
x2= x2 –x1 x2= x2 –x1
x3= x3 –x2 x3= x3 –x2
xn= xn –xn-1 xn= xn –xn-1
....................
Alt aralıklarının uzunlukları
birbirine eşitse
Alt aralıklarının uzunlukları
birbirine eşitse
P bölüntüsüne P bölüntüsüne
[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.
[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.
![Page 7: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/7.jpg)
P düzgün bir bölüntü ise;
P düzgün bir bölüntü ise;
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.
xk=n
ab = P
![Page 8: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/8.jpg)
ÖRNEK:
ÖRNEK:
[2,7] ARALIĞI İÇİN
[2,7] ARALIĞI İÇİN
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür.
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür.
x1=
x1=
3
52
3
11 x2=
x2=
3
5
3
11
3
16 x3=
x3=
3
5
3
167
3
5
3
27P
3
5
3
27P
![Page 9: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/9.jpg)
m1m2
m3 m4mn
y=f(x)
x1 x3x2 xk xn
x
y
0 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b
ALT TOPLAMALT TOPLAM
)P,f(A
n
1kkk x.m Δ nn2211 x.m......x.mx.m ΔΔΔ
![Page 10: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/10.jpg)
M1M2
M3 MKMn
y=f(x)
x1 x3x2 xk xn
x
y
0 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b
ÜST TOPLAMÜST TOPLAM
)P,f(Ü
n
1kkk x.M Δ nn2211 x.M......x.Mx.M ΔΔΔ
![Page 11: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/11.jpg)
x
y
0
y=f(x)
a=x0 t1 x1 t2 x2
f(t1)
x1
f(t2)
x2
xk-1 xktk
f(tk)
xk
xn-1 xntn
xn
f(tn)
RİEMANN TOPLAMIRİEMANN TOPLAMI
)P,f(R
n
1kkk x).t(f Δ
nn2211 x).t(f......x).t(fx).t(f ΔΔΔ
![Page 12: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/12.jpg)
n
1kkk x).t(f Δ
n
1kkk x.M Δ
n
1kkk x.m Δ
Alt Toplam
Rieman Toplamı
Üst Toplam
Bu toplamlar arasındaki sıralama
![Page 13: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/13.jpg)
ÖRNEK:
ÖRNEK:
f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;
f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;
Alt toplamınıAlt toplamını
Üst toplamını
Üst toplamını
Riemann toplamını bulalım:
Riemann toplamını bulalım:
![Page 14: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/14.jpg)
x1= x2= x3= x4=
2
1
4
02
4
ab
P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}
P, düzgün bir bölüntü olduğundan
P, düzgün bir bölüntü olduğundan
![Page 15: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/15.jpg)
Alt toplamı
Alt toplamı
y=x2
)P,f(A
n
1kkk x.m Δ
m1=f(0)=0m1=f(0)=0 m2=f(1/2)=1/4m2=f(1/2)=1/4
m3=f(1)=1m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4m4=f(3/2)=9/4
)P,f(A
n
1kkk x.m Δ 44332211 x.mx.mx.mx.m ΔΔΔΔ
2
1
4
9
2
11
2
1
4
1
2
10 2
1
4
9
2
11
2
1
4
1
2
10
4
74
7
y
x0 1/2 1 3/2 2
![Page 16: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/16.jpg)
Üst toplamı
Üst toplamı
y=x2
y
x0 1/2 1 3/2 2
)P,f(Ü
n
1kkk xΔ.M
M1=f(1/2)=1/4M1=f(1/2)=1/4 M2=f(1)=1/4M2=f(1)=1/4
M3=f(3/2)=9/4M3=f(3/2)=9/4 M4=f(2)=4M4=f(2)=4
)P,f(Ü
n
1kkk xΔ.M 44332211 xΔ.MxΔ.MxΔ.MxΔ.M
21
421
49
21
121
41
21
421
49
21
121
41
4
15415
![Page 17: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/17.jpg)
Riemann toplamı:
Riemann toplamı:
y=x2
y
x0 1/2 1 3/2 2
)P,f(R
n
1kkk xΔ).t(f
2xx
)t(f k1kk
2xx
)t(f k1kk
41
221
0t1
4
12
21
0t1
43
2
121
t2
43
2
121
t2
45
223
1t3
4
52
23
1t3
47
2
223
t4
47
2
223
t4
41
43
45
47
![Page 18: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/18.jpg)
)P,f(Ü
n
1kkk xΔ.M 44332211 xΔ.MxΔ.MxΔ.MxΔ.M
)P,f(Ü 4321 xΔ).47
(fxΔ).45
(fxΔ).43
(fΔ).41
(f
21
1649
21
1625
21
169
21
161
821821
![Page 19: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/19.jpg)
f:[a,b] R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun.
s)P,f(Ülim)P,f(Alim0P0P
ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.
sdx).x(fb
a
sdx).x(fb
a
![Page 20: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/20.jpg)
0P olması ne demektir?
[a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir.
Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.
Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.
![Page 21: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/21.jpg)
P parçalanması, düzgün bir parçalanma
olduğundan;
P parçalanması, düzgün bir parçalanma
olduğundan;
n0P
b
a
n
1kkkn
dx).x(fxΔ).t(flim
b
a
n
1kkkn
dx).x(fxΔ).t(flim
![Page 22: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/22.jpg)
ÖRNEK:
3
0
2dxx belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım:
[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;
[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;
k{0,1,2,....,n} için,
k{0,1,2,....,n} için, n
3n
03n
abxΔP k
n
3n
03n
abxΔP k
;seçilirseolarakxΔ.kat kk ;seçilirseolarakxΔ.kat kk
![Page 23: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/23.jpg)
nk3
n3
.k0tk nk3
n3
.k0tk
n
1kP
3
0
2
n3
).nk3
(flimdxx
n
1kP
3
0
2
n3
).nk3
(flimdxx
n
1k
23P
n
1k2
2
Pk
n27
limn3
nk9
lim
n
1k
23P
n
1k2
2
Pk
n27
limn3
nk9
lim
6
)1n2).(1n.(nn27
lim30P
6
)1n2).(1n.(nn27
lim30P
![Page 24: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/24.jpg)
3
23
n n6)nn3n2.(27
lim
3
23
n n6)nn3n2.(27
lim
96
2.279
62.27
3
0
2 9dxx 3
0
2 9dxx
![Page 25: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/25.jpg)
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
f: [a,b] R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle-nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b] R fonksiyonu(a,b) aralığında türevli ve x(a,b) için, F’(x)=f(x)ise,
.dır)a(F)b(F)x(Fdx)x(fb
a
b
a .dır)a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a
![Page 26: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/26.jpg)
ÖRNEK:
:bulalımegraliniintbelirlidx)4x3(2
1 :bulalımegraliniintbelirlidx)4x3(
2
1
dx)4x3( cx42
x3 2
142.42
2.3)2(F
2
142.42
2.3)2(F
2
2
111.4
2
1.3)1(F
2
2
111.4
2
1.3)1(F
2
2
17
2
1114)1(F)2(Fdx)4x3(
2
1
2
17
2
1114)1(F)2(Fdx)4x3(
2
1
![Page 27: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/27.jpg)
f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
π
2/π
dx)xcosxsin.3( = π
2/π
xdxsin.3 + π
2/π
xdxcos
= 3(-cosx)
+ sinx
![Page 28: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/28.jpg)
3(-cosx)
+ sinx
-3.[(cos - cos(/2)]
+ [sin - sin (/2)]
[-3.((-1)+3.0)] + (0-1)
2 2
![Page 29: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/29.jpg)
b
a
b
a
dx)x(f.cdx)x(f.c b
a
b
a
dx)x(f.cdx)x(f.c
8
3
8
3
dx.xln.4dx.xln.4 8
3
8
3
dx.xln.4dx.xln.4
5
1
35
1
3 dx.x.5dx.x.5
5
1
35
1
3 dx.x.5dx.x.5
6
2
6
2 xdx
.3xdx.3
6
2
6
2 xdx
.3xdx.3
![Page 30: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/30.jpg)
a
a
0dx)x(f a
a
0dx)x(f
0dx.xln3
3
0dx.xln3
3
0dx.x1
1
3
0dx.x1
1
3
0xdx2
2
0xdx2
2
![Page 31: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/31.jpg)
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f
5
1
1
5
22 dxx3dxx3 5
1
1
5
22 dxx3dxx3
1241125153x
.3 335
1
3
1241125153x
.3 335
1
3
124)124()1251()51(3x
.3 331
5
3
124)124()1251()51(3x
.3 331
5
3
![Page 32: BELİRLİ İNTEGRAL](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56812a76550346895d8dfb90/html5/thumbnails/32.jpg)
c
b
b
a
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f c
b
b
a
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
[a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;