1925. B 24.

ANNALEN DER PHYSIK. YIEBTE FOLGE. BAND 78.

1. Be&?r&ge mr Prage der WCtrmekoruvekt4om; vofi Bermhard G t h d e t .

Einleitung.

In den nachstehenden Ausfiihrungen sollen stationke Flussigkeitsstriimungen besprochen merden, die infolge einer durch eine bestimmte Temperaturverteilung bewirkten Inkon- stanz der Massendichte unter dem EinfluS der Schwerebeschleu- nigung zustande kommen. Bei diesen Striimungen wirken ver- mbge der Beweglichkeit der Fliissigkeitsteilchen die Warme- leitung und der konvektive Warmetransport gleichzeitig - eine Tatsache, die z. B. die Bestimmung der Whele i t fah ig- keit von Fliissigkeiten gegeniiber der von festen Korpern wesentlich erschwert hat.

Die Untersuchung dieser Strbmungen ist Gegenstand schon vieler Abhandlungen gewesen, doch hatten sie im allgemeinen nur spezielle, oft von experimentellen Absichten bedingte Ziele oder betrafen generelle Eigenschaften der Differentialgleichungen des Problems. Die theoretischen Arbeiten befassen sich vor- wiegend mit dem Problem der Abkiihlung eines heiBen Korpers in einem fliissigen oder gasfiirmigen Medium oder dienen der Ausarbeitung eines Verfahrens zur Bestimmung der Wlirme- leitf tlhigkeit von Fliissigkeiten und Gasen.

Die ersten mathematischen Formulierungen des Abktih- lungsproblerns unter Einrechnung der Konvektion sind schon von F o u r i e r 1) und P o i s s o n 2, gegeben worden, doch geben beide keine speziellen oder allgemeineren Lasungen des Problems. I m Jahre 1879 gab A. Oberbecks) die approxi-

1) J. B. J. F o u r i e r , Oeuvres de Fourier (Darboux's Edition. t. 11. p. 275ff. 1888).

2) D. Poisson, Thhorie math. de la chaleur (1835); vgl. A. Russell, Phil. Mag. 20. S. 591. 1910 sowie auch R. Seeliger, Phys. Zeitschr. 26. s. 282ff. 1925.

3) A. Oberbeck , Wied. Ann. 7. S. 291. 1879. Annalen der Physik. IV. Folge. 78. 45

698 3. Biiwdel.

mative Berechnung einer speziellen StrSmung, die er durch eine Entwicklung nach Potenzen des Warrneausdehnungskoeffi- zienten gewann. Zwei Jahre spater vertiffentlichte L. Lo - renz l ) eine Arbeit uber ein spezielles Problem, zu dem er durch Abkuhlungsversuche bei der Warmeleitfahigkeitsbestim- mung von Metallen gefuhrt wurde; er berechnete die stationare Strijmung in der Niihe einer heiSen, vertikalen Platte, um die Ergebnisse experimentellen Untersuchungen uber Abkuhlung dienstbar zu machen. An weiteren Arbeiten aus dem Gebiet der Warmeleitung und Warmekonvektion sind noch die Ab- handlungen von W e b e r 2, (1880), G r a e t z 3, (1883), E b e - l ing4) (1908) und Weber5) (1917) zu zitieren.

Ein wesentlich neuer Gesichtspunkt kam in die Frage der Warmekonvektion durch die Forschungen von B ous s in e s q *)), der die Differentialgleichungen des Abkuhlungsproblems durch eine geeignete Transformation von den Materialkonstanten be- freite und hierdurch zu einer Modellregel gelangte. Rossell') griff in seiner Abhandlung vom Jahre 1910 auf diese Modell- betrachtungen B ouss in e s q's zuruck und lieferte Berechnungen fur die Abkuhlung von Kreiszylindern und elliptischen Zylindern in einem Flussigkeitsstrome. Sehr ausfuhrlich werden die Modellregeln zwecks experimenteller Auswertungen von Dav i s 8,

behandelt, der in drei Aufsatzen die verschiedenen Gesichts- punkte des Problems bespricht.

Wahrend bei den zitierten Arbeiten im allgemeinen spezielle Stromungsfalle im Vordergrunde standen - meist Faille von alrtuellem Interesse fur Abkuhlungsfragen, fur die man eine geeignete Berechnungsmethode ausfindig zu machen suchte -, sol1 in der vorliegenden Arbeit insofern ein ent- gegengesetzter Weg eingeschlagen werden, als zu einem be-

1) L . L o r e n z , Phys. Ann. 13. S. 582. 1881. 2) H.F. Weber, Wied. Ann. 10. S. 103. 1880. 3) L. Graetz, Phys. Ann. 18. S. 79. 1853. 4) H. Ebel ing , Phys. Ann. 27. S. 391. 1908. 5) S. Weber, Phys. Ann. 54. S. 456. 1917. 6) V. J. Boussinesq, Thkorie analytique dela chaleuc 11. p. 154ff.

7) A. Russell, Phil. Mag. 20. S. 591. 1910. 8) A. H. Davis , Phil. Mag. 40. S. 692. 1920; 43. S. 329. 1922;

bes. p. 174ff. 1903.

44. S. 920. 1928.

Beitrage zuv P'qe der TTurmeltonvektion. GOO

stimmten allgemeinen Losuogsansatz die durch ihn leicht zu- ganglichen speziellen Falle aufgesucht werden sollea.

1. Problemstellung uud mathematisohe Formnlierung des Problems.')

Die Grundgleichungen, yon denen man auszugehen hat, sind die Kontinuitatsgleichung :

a e - + div(e b) = 0 , a t

die Rewegungsgleichung einer Fliiasigkeit mit innerer Reibung :

sowie die mit dem von der W'i'lrmekonvektion herruhrenden inneren Vektorprodukt - (0 grad z) versehene Warmeleitungs- gleichung (wobei von Strahlungswirkungen abgesehen wird):

a? a t _ - - ~ L I Z - (ugradr)

In diesen Gleichungen bedenten : b den Geschwindigkeits- vektor der Flussigkeit, Q die Maasendichte der Flussigkeit, f den Vektor der auf die Flussigkeit wirkenden Kraftdichte, p den hydrostatischen Druck, il den Koeffizienten der Flussig- keitsreibung, z die Temperatur , p den Temperaturleitungs- k~effizienten.~)

Das Symbol d / d t bezeichnet einen im bewegten Element gcbildeten Differentialquotienten, a / d t ortsfeste Differentiation. Der Charakter und das Vorzeichen des in Gleichung (3) ein- gefiigten Konvektionsgliedes sind leicht aus der fur jeden Skalar giiltigen Formel

zu ersehen, wenn man beachtet, daS fur den Fall der Kon- vektion

- " = p d t ist. d t

1) Zu diesen Betraehtungen vgl. auch A. Oberbeek, Wied. Ann.

2) Vgl. E. Madelung, Math.Hilfsm.d.Physikera, 2. Au0.1925. s.209. 7. S. 291. 1879.

w Wlrmeleitfahigkeit q.0

3) Es gilt die Beziehung p = -- = Dichte x spez. Wiirme *

7 00 B. Gundel.

Fur stationare Stromungen hat ae a b

a t -- a t -0, -=o ,

man zu setzen: at

~ = 0 . at

Die Kontinuitatsgleichung (1) geht hierdurch iiber in div(gb) = 0.

In unseren Betrachtungen werden wir die Dichte g an allen den Stellen der Gleichungen, wo sie rein mechanische Be- deutung hat und ihre Inkonstanz lediglich eine unwesentliche Korrektion zur Folge hat, als eine Konstante eo auffassen. Wir werden also die Fliissigkeit als inkompressibel behandeln. Dort, wo diese Inkonstanz hingegen als Stromungsursache er- scheint, ist sie selbstverstandlich zu beriicksichtigen. Mithin ist div b = 0.

Die Bewegungsgleichung (2) geht vermoge d b d b - =at + (bgrad)b, d t divb = 0 und -= a b 0

at

iiber in f - grad (P + Yj- 'I) f d b f po [b rot b] = 0 .

Die Gleichung (3) der Warmestromung wird

Die Volumkraftdichte f bestimmt sich als p d r - (bgradz) = 0.l)

f = o - e , wobei g den Vektor der Fallbeschleunigung bedeutet. Be- schrankt man sich auf Temperaturbereiche , innerhalb deren die Warmeausdehnung stark angenahert linear mit der Tem- peratur verlauft, so ist

@O

g = l + a ( r - z , ) *

Hierin ist a der kubische Ausdehnungskoeffizient der Fliissigkeit, po die Dichte derselben bei der festen Tem- peratur z0. a ( t - to) ist eine kleine Grofie, mithin setzen wir:

f = g . go. (1 - g ( t - z,)) . 1) Wegen div b = 0 ist diese Gleichung auch in der Form zu

nchreiben: div (p grad z - b z) = 0, d. h. der Vektor der WarmestrSmuug ist quellenfrei.

Beitrage zur Frage der Warmekonvektion, 701

Die Gleichungen, mit denen wir uns hier zu befaseen baben, Bind also: (4) divb II 0 ,

(6) p A t - (bgradt) = 0.l)

2. Aufstellung von Rekursionsgleichungen f i r Striimungen von verschwindendem EiufluB der Flussigkeitetragheit. Zunachst sollen Strbmungen betrachtet werden, bei denen

die Geschwindigkeit klein ist, sodaB in Gleichung (5) die in 0 quadratischen Glieder, die der Tragheit der Fliissigkeit Rechnung tragen, vernachlassigt werden k6nnen. Wir erhalten hier die Gleichungen : (1) div LI = 0 , (2) gg, (1 - ~ ( z - ro)) - gradp + l d b = 0,

(3) y d z - (agradz) P 0 . Dies ist ein System von partiellen Differentialgleichungen

fir b; z und p ; (1) und (3) sind skalare Gleichungen, (2) eine vektorielle. Gleichung (3) enth’ilt das quadratische Glied (a grad r), das die Berechnung spezieller Fglle insofern er- schwert, alu es jede Aufstellung und Superposition partikularer Losungen unmbglich macht.

Wir betrachten im Folgenden die Qleichungen (I)* (2) und (3) im Zweidimensionalen, also Stromungen, bei denen sich far jeden Schnitt senkrecht zu einer bestimmten Richtung dasselbe Stromungsbild ergibt und alle Komponenten in dieser Rich- tung verschwinden. Bildet man Ton Gleichung (2) die Botation, so erhalt man leicht die im Zweidimensionalen skalme Gleichung

po .a[ggradt ] + h d r o t t , = 0 . Hisrbei ist zu beachten, da6 wir durch die Rotationebildung keine Losungsteile der Geschwindigkeit und der Temperatur verlieren, da p in unseren Gleichungen nur in der Form von grad p auftritt, wir also alle Teile der Gleichung, die Gradient eines Potentials sind, zu gradp gehbrend rechnen kiinnen.

1) Die GriiSen p und 1 gelten a h Konstanten, ihre Abhiingigkeit von der Temperatur tritt in praktischen FUIen i. A. wohl eelten in Erscheinuag.

102 B. Gundel.

Wir legen die x-Achse horizontal nach rechts gerichtet, die y-Achse senkrecht zu ihr nach oben; demgemaB ist g, = 0 und gy = - g und unsere Gleichungen lautcn:

.-+--0, avz a v , - (4) 3% d y

y ' = + at. 1 . d ( z - 3 T ) = o j ar, av, y = p O " g J (5)

(6) /L A z - Die Lijsung dieser

Doppelsummen an:

(4 4 =

Gleichungen setzen wir in Form von

m m

m = L n = l

m m

In der Erstreckung der Summen auf Potenzprodukte x m . yn von nur positiven, von 0 verschiedenen m und n liegt keine Beschrankung der Allgemeinheit der physikalisohen Probleme, da in ihnen Singularitaten der Oeschwindigkeit und der Temperatur im Endlichen nicht auftreten und wir bei physikalischen Problemen immer einen Punkt als Koordinaten- ursprung wahlen kijnnen, fur den vz = vq = 0 ist und dessen z wir als zo bezeichnen. Die Dichte po der oben angestellten Betrachtungen ist die Dichte der Ir'lussigkeit am Koordinaten- an fangspunkt.

Setzt man diese Doppelsummen in die Gleichungen (4), (5) und (6) ein, so berechnet man folgende Koeffizienten- beziehungen.

Aus Gleichung (4):

Die Bo,* und Bm,o bleiben hier noch frei verfiigbare Koeffi- zienten.

11.

Fur m = 0 liefert Gleichung (5) keine Koeffizienten-

Aus Gleichung (6) bei Beriicksichtigung von I. und Ein- relation.

fuhrung geeigneter Laufindizes:

111.

Es fmgt sich nun, ob dieses System der Gleichungen I, I1 u. I11 zwischen den Koeffizienten der Doppeleummen eine rekursive Ermittlung gestattet, d. h. ob die Gleichungen immer in den Indizes hochste Glieder enthalten, die in den dem Grad der entsprechenden xm . y’” nach vorangehenden oder nach- folgenden Gleichungen nicht ebenfalls hiichste Koeffizienten sind. Gleichung I verbindet stets Gllieder gleich hohen Grades, wie sich aus der Gleichheit der Indexquersumme auf beiden Seiten der Gleichung ergibt. Sie dient zur Berechnung der A,n, A aus den B,, (abgesehen von den Ao, n), und es fragt sich mithin nur, ob die Relationen I1 und I11 eine rekursive Er- mittlung der B,, n, Ao, n und C,n, n gestatten. In Gleichung I1 treten die B,n,n bzw. durchweg mit Indizes behaftet auf, deren Summe um 2 gro6er ist als die der Indizes des auf der linken Seite der Gleichung stehenden Cm,n bzw. C,,m,. Die Bm, bzw. Ao, sind hier also die hochsten Gllieder und treten als solche nur d a m , aber auch immer dann auf, wenn man

704 B. Gundel.

von den Cm,* mit einer urn 2 kleineren Indexquersumme aus- geht. Leiten sich nun die Cm, nach Gleichung I11 aus tieferen Bm, .Ao, und Cm, ab, so haben wir ein Rekursionssystem vor uns. Tatsiichlich sind in I11 die Cm,* auf der Iinken Seite der Gleichung einmal und nur einmal die hSchsten Koeffizienten, denn da Ao, = Bo, = 0 ist, treten in den Produktsummen a l ~ hochste Koeffizienten die C,, ,,) B,, ,,, Ao, ,, mit einer Indexquer- summe auf, die urn 2 kleinev ist als die der auf der linken Seite stehenden em, ,,.

Bei dem Berechnen jeder neuen Koeffizientendiagonale - unter einer solchen wollen wir die Gesamtheit der Koeffizienten der Glieder eines Grades xm y* verstehen - hat man die Gleichungen I1 und 111 in allen mbglichen m und n anzu- setzen, fur die rn + n + 2 gleich dem Grad der zu bestim- menden Glieder Bm, xm . yn, Ao, y n und C,, x m yn ist. Man erkennt hierbei, daS man, um die Koeffizienten einer Dia- gonale zu exhalten, d. h. durch niedere auszudriicken, lineare Gleichungssysteme aufzulosen hat, bei denen die Anzahl der Unbekannten und die der Gleichungen zwischen ihnen mit steigendem Grad der Potenzglieder xm y" wachsen. Beim Ansetzen einer neuen Diagonale von Koeffizienten bleiben j e nach der Art des speziellen Problems mehr pder weniger Frei- heiten fur die zu berechnenden Koeffizienten, iiber die man bei der Erfiillung der Randbedingungen zu verfugen hat. Man ersieht aus der Wirkungsweise der Gleichungen I1 und 111, daI3 man im allgemeinen keine abbrechenden Losungen er- warten kann.

Die Berechnnng des Druckes p erfolgt nach Ermittlung der us, vy und T gem56 den Komponentengleichungen der Be- wegungsgleichung (2). Nach ihr ist:

- BY - Y go (1 - @(t - To)) + L d v , .

Die erste dieser Gleichungen ermittelt p bis auf eine Funktion von y allein, man henotigt die zweite von ihnen nur zur Bestimmung der von x frsien Glieder der den hydro- statischen Druck darstellenden Doppelsumme.

Beitriige ZUT &age der Warmekonuektion. 705

3. StrSmungen mit einer identisoh verschwindenden Gesohwindigkeitskomponente (triviale Erfiillung der

Divergenzbedingung). Zuniichst behandeln wir einige Fhlle, bei denen wir prin-

zipielle Forderungen fifr die Geschwindigkeitskomponenten auf- stellen und die Eandbedingungen erst nach MaBgabe der ent- stehenden Losungen formulieren.

a) Wir suchen eine Stromung, fur die u, = 0 ist. Hier sind also alle = 0, und gemiiB Gleichung I verschwinden alle Bm, = 0 fiir ~t > 0, es existieren lediglich die Bm, ,. Nach Relation I1 sind dann nur Cmlo und Co,n vorhandeo. Ein wenig komplizierter liegen die Verhaltnisse bei Gleichung 111. Fiir m = 0 ist:

p Co,n+2(n + l ) ( n + 2) = 0 , sofern n s O , (C3, , + C,, 2) = 0 , sofern n = 0 ist.

Setzt man in 111 m > 0, n = 1, so ist:

und da nicht alle Bm,, verschwinden, muB C,, 3 - C2,, =: 0 sein. Mithin existieren nur die Bm,,, Cm,, nebst ~ 7 , , ~ . l ) Fiir m > 0, n = 0 erhiilt man:

fur m > 0, n > 0 ergibt sich: ~ * C m + a , o f m + 1 ) ( ~ + 2 ) - ’ 0 , 1 . ’ ~ , 0 10,

C o , n + 1 * B m , o und diese Beziehng fordert kein Verschwinden der B,,,, ds fur n > 1 C,, -- 0 ist; unsere Rechnungen tragen also. keine Widerspruche in sich, da die Rekursionen uns nicht von haheren Koeffizienten, deren Verschwinden generell gefordert ist, zu neuen Gleichungen fiir tiefere Koeffizienten fiihren, iiber die schon rekursiv verfiigt ist.

Der Fall, daB u, 5 0 ist, fiihrt mithin zu den Rekursions- gleiehungen :

1 Bm+2,0 = - - 1 (m + l)(m +2, C m m

~ 0 . 1 Bm.0

cm+2A) =+ p(m + l ) ( m + 8) ’ wobei C2,0 = 0 ist, d. h. alle B,*,, = C,,,,,, = 0 sind.

1) Abgesehen ist von dem irrelevanten C,,, =I z,.

706 B. Gundel.

Es ist ein Leichtes, diese von den vier Konstanten Cl,o = A ; Co,l = B ; Bl,o = a ; B2,0 = b ausgehenden Re- kursionen durchzufuhren.

1. ZunBchst betrachten wir den Fall, daS Co,l = B = 0 ist. Wir erhalten unmittelbar die sehr einfache Liisung :

v,L. = 0 , vy = ax + ~ x 2 - e x s ,

t I- zo + A x , S?,

mit den uns fur die Erfiillung von Randbedingungen zur Ver- fugung stehenden Konstanten A, a, b, to.

Mit dieser Losung koonen wir die Striimung zwischeii zwei vertikalen parallelen Platten von verschiedener, aber auf jeder derselben konstanten Temperatur darstellen. Die Ebeoen miigen die Lagegleichungen x = + und z = - - haben, auf der ersteren herrsche die Temperatur zl, auf der letzteren z2 ; wy verschwindet an beiden Platten. Die Beriicksichtigung der Ilandbedingungen liefert:

d d 2

o z = o ,

ferner erhalt man nach dem auf S. 704 angegebenen Verfslhren P =Po - - 9 @ o * Y .

Hierin ist p , eine Integrationskonstanto, die mir als den hydrostatischen Druck fur y = 0 aufzufassen haben; sie hat fur unsere Rechnung keine Bedeutung, da in den Gleichungen unserea Problems nur Differentialquotienten von p auftreten.

Die lediglich von x abhangige Geschwindigkeit zeigt fur jedes y denselben Verlauf einer ungeraden ganzen rationalen Funktion 3. Grades. Nehmen wir an, es sei z1 > t2 - und hierin liegt keine Einschrankung - so ist vy im Bereich

d d 0 < x < positiv und demnach im Interval1 - < x < 0

negativ von demselben Betrag, und es ereicht fiir x = & F13 den Maximalbetreg

d

Beitr age z ur P r q e der War me ko nve kiio E. 707

d d 2 -

Da fiir alle Bereiche - -,- f 3 s+ (und alle Sub-

stauzen) der Ausdruck -;i- - (9)3 551‘8 ist und fiir ver- schiedene d an llhnlich gelegenen Stellen x = zo denselben Wert annimmt, gestattet der Faktor y d3 (tl - r2) / 48 A un- mittelbar die Feststelluug, da3 die Gesohwindigkeit dem Qua- drat des Plattenabstandes, der Temperaturapannung (rl - z2) und dern Produkt pou direkt, dern Faktor der inneren Rei- bung umgekehrt proportional ist.

2. 1st Co, = B > 0, so bricht die Liisung nicht ab; man rechnet mit den aus den obigen 1) leicht abzuleitenden Re- kursionen :

Y*B B m , o

2 %

B m + 4 , 0 = - - * p I (??a + 1) (nz + 2) (m + 3) (m + 4) ’ - Y*B em, 0 c,n+4,0 - - - __--.

p rl (Pa + 1) (m + 2) !m + 3) (m + 4)- ’ wobei nunmehr auszugehen ist von den GriiBen

Cl,o = A ; B, ,o = U ; B2.0 = b ;

Setzt man zur Abkiirzung Xl!? = v, so erhiilt man die t L L

LBsungen: u z = o ,

m m %4 1L + 1 z4 ta + 2

Y = ‘z(- ’)”’ (498+ I)! $- 26E(-vv)”* (4,*+2)! n=O I2 = 0

n = 0

1) Vgl. S. 705.

708 B. Gundel.

Beachtet man, dab Q,

1 4 63 =-- (bintixcoses - 6ofexsine.r)

l a r o -- __

, 4 ist, worin 8 = = bedeutet, und daB die ubrigen Potenzreihen sioh aus dieser durch Differentiation herleiten, so erhlilt unsere Losung die Form:

4 LP

vz zizs 0 ,

C! go1 e 2 sin 6.z *Y = 6inexcosex + 4 e S I 2asaA+ y A 2ae9IZ-

4a3L

an noch willkurlichen Konstanten enthalt diese Losung 8 , a, B, 6, to. Wir bestimmen die verfiigbaren Konstanten so, daS die Stromung folgende Randbedingungen erfiillt :

v y = O fur a = f d und x = - d d , z = t l + B y fur x = + d , z = ta +By fur x =- d ,

Setzt man zur Abkurzung

so erhhlt man bei Beriicksichtigung der Randbedingungen fol- gende Lijsung I) :

Y+, - 72)

f " 0 ,

vy = 4ea. (p4 + {S, Gin E X cos EX - P- Bof ex sin E X ) ,

*) Bei der Berechnung dieser Liisung ergibt sich fiir den allgemeinen Fall, daB sin sd und cos sd =t= 0 sind, unmitteIbar b = 0. Fur cos 6d = 0 wird ebenfalls 6 = 0; f ir den Fall, daB sin ad verschwindet, wird b aus naheliegenden Analogie- und Symmetriegriinden gleieh Null gesetzt,

Beitrage zur Frage der Warmekonvektion. 709

der hydroatatische Druck wird Y*B a . P = Po - 9 ell -Y + 2 Y

Es ist dies ein in mancher Hinsicht eigenartiges Resultat, insofern fur hinreichend groBes d die Geschwindigkeit vg neben x = 0 und x = + d auch innerhalb des Bereiches 0 d Nullstellen besitzt, die i. A. mit Vorzeichenwechsel des uv ver- bunden sind. v, verschwindet namlich fiir alle x,,, die der

x

Relation

geniigen. Wir betrachten

stetige Funktion ist, Da Sgsx eine also die Funktion

deren Wert fiir x > Ol) stets zwischen 0

xg 81;

und 1 liegt und - = ctg E X in jedem Bereich k w < E X

< ( k + 1)n (K = 0, 1, 2, . . .) stetig ist und alle Werte von -w bis $03 durchlauft, nimmt der Quotient Sgix sicher in allen Bereichen k n < E X < ( R + 1) n, in denen Sg E X > 0 ist, alle Werte zwischen -m und +03 an, mithin in allen mit Ausnahme des Intervalls 0 < E X < n, da Sg E X fur x P 0 ver- schwindet und

tg 62:

fur x = 0 den Wert 1 hat, Nun verschwindet der Differentialquotient

@in s x &of 8 5 - sin e x cos ex ~~of?& x sin* 8 5

=- ("8"s) &. d X t g 8 X

fur 5 r= 0, wird fur x = Rn(k = 1, 2, 3 . . .) negativ unendlich groB, und wegen

IGinE+j>/s inex/ , I Q o ~ e x j > ] c o s ~ r [ fiir c > O und Ginsz> 0 , &o\ex>O fur x > O

eine in ist er durchweg fur x > 0 negativ. Mithin ist jedem Bereich k w < E X < (h + 1 ) m monoton fallende Funktion, die in dem Interval1 0 ex 5 w von + 1 bis -m, in jedem anderen Interval1 kn: 5. E X ( k + 1) rc von + 03 bis - o lauft und, abgesehen von dem Bereich O ~ o x ~ n , in jedem

zfi 6 2

1) Da die in v, auftretenden Funktionen von x ungerade sind, geniigt die Betrachtung fir x > 0; Analoges gilt dam fur cc < 0.

710 B. G'iindcl.

Interval1 jeden Wert zwischen $00 und -m einmal und nur einmal annimmt, in dem Bereich 0 E X 5 rn alle Werte yon + 1 bis -m einmal und nur einmal.

Fur hinreichend groSe d ist also die Bedingung

- = _- %gkgsd fiir 0 <En < d 5 3 6%

tg ex, tg ex mindestens einmal erfullt, und vg hat in dem Bereich 0 < t < cl mindestens eine Nullstelle und Vorzeichenwechsel. Fur diese d erhalt man eine Stromung, die zwar stationar ist, indessen im Experiment kaum realisierbar sein und zu Wirbeln uud instationaren Verhiiltnissen fiihren durfte.

Die obere Grenze D > 0 des Bereiches fur d, innerhalb nie Wd gleich wird, ist dadurch gegeben, daB &g e x dessen -

O < E D < + und Xge-D=tgeD ist, d.h.8.D ist die obere Grenze des ersten Intervalis, in dem 'aBx alle Werte von -m bis + w gerade einmal annimmt.

Es sei Zg Q = tg m, ~ o b e i n < w < $.YE ist; dann ist

tg6G tg6d

Hierin ist w eine feste, rein mathematische Gr8Be von dern Zahlenwert 3,9266 (= 4~ - 0,0004). Z. €3. wird bei Zimmer- temperatur 7,, = 15 - 20° fur Wasser

fiir Luft 1,6339 DL = ~ cm . i/B

Je gr6Ser B ist, desto kleiner hat man offenbar d zu nehmen, urn keine Turbulenz zu erhalten.

Diese Strbmungshlle, die keinen . physikalischen Wider- spruch in sich tragen, sollen hier nicht weiter verfolgt werden, wir begniigen uns mit dem Resultat, da6 es bei jeder Substanz und gegebenen Temperaturvorschrift B fur den Ebenenabstand 2 d einen Bereich 0 < 2d < 2 0 gibt, innerhalb dessen die Ent- stehung einer stationiiren Stromung physikalisch miiglich ist.

Beztriige zur Frage det. N‘a,.melionzteBtioli. ‘ill

Es sei ferner noch bemerkt, dab fur z1 = t2

vy verschwindet; dies entspricht der Tatsache, daB eine hori- zontale Schichtung einer mit y linear zunehmenden Temperatur zu keiner Stromung fuhrt und im Fall der bei h e a r e r Abnahme der Temperatur vorliegenden Labilitat eine eindeutige stationare Stromung nicht zu erwarten ist.

3. Diese letzte Bemerkung greift bercits dem noch nicht behandelten Fall vor, daB B negativ ist. Setzt man B = - B’, v = - v’, wobei B’ und Y’ positive GroBen sind, so erhiilt man die Rekursionen I):

Bw.n Rw* + 4,0 = Y’* (nz f 1) (m f 2) (m f 3) ( 1 n +< ’

Cm, n c, + 4,o = v‘. ------ (m f 1) (m f 2) (m 4- 3) (m f 4) ’

und in den Potenzreihen tritt an die Stelle von (- v)” die Potenz Y’”. Die Zusammenfassung fiihrt auf

n - 0

und auf die durch Differentiation erhaltlichen Funktionen. Die Rechnung verlauft im ubrigen ganz analog der Stro-

mungsberechnung fiir B > 0; sie soll him, zumal diese Falle B < 0 von geringerem Interesse als die von positivem B sein durften, nicht durchgefuhrt werden. vy verschwindet auch hier identisch fur tl = ta und die Temperatur weist eine horizon- tale Schichtung z = to - B’y auf; wir erhalten einen labilen Ruhezustand, sodaB wir das Zustandekommen einer eindeutigen stationaren Striimung nicht zu erwarten haben.

b) Im AnschluB hieran soll eine weitere abbrechende Liisung der Differentialgleichungen kurz angegeben werden, die zwar die Grundgleichungen nebst geeigneten Randbedingungen erfullt, aber lreine physikalisch reillen Verhaltnisse darstellt.

Es sei vy= 0, also alle B,,,. = 0. Durch ahnliche Betrachtungen wie auf S. 705 gelangt man zu den Glei- chungen:

1) Vgl. 8. 707.

712 B. Gundel.

Rekureion I1 in der Form 3,

g ClrR = -(n + 1)(n + 2)(n + 3)8, , ,+, fur IZ = 0 , l ;

i ~ ~ , , . + , ( ~ + ~ ) ( ~ + ~ ) = ~ , , : ~ , , , + ~ , , . ~ , ~ ~ , , , fur n = 1,2,3,4,5. Rekursion III in der Form

Die AusgangsgroBen sind A,,, = a ; Ao,2 = 6; I?,,~ = B ; C, , , = A ; Cl,l = C, und nach einfacher Rechnung erhalt man die LGsung:

2) = o ; 7 ? $ = a y + 1 . y 2 + m . y ~ + - ; - y YA YC 4 ;

24 i

p4 a A b A -i- aC 6 P 12P

Y - T = Zo + L t X + By+ cX?J+-y3+

Es ist dies natiirlich ein experimentell-physikalisch sinn- loses Resultst. Anschaulich kann man diese Stromungsbilder ditdurch deuten, daB bei x = f co Temperaturen herrschen, die daselbst Kriifte nach oben bzw. unten bewirken, denen durch die berechnete Flussigkeitsbewegung in stationarer Weise Rechnung getragen wird.

4. Allgemeine FZille. (Nioht trivial0 Erfiillung der Divergenzbedingung.)

Vo r b em e r kun g en. Wir gehen nun zu allgemeineren Fallen iiber. Schon oben

wurde darauf hingewiesen, daB das rekursive Rechnen diagonal- weise vor sich geht. Bei der Berechnung einer Koeffizienten- diagonale aus der bzw. den vorangehenden Diagonalen treten j e nach dcr Art des speziellen Problems mehr oder wcniger Freiheitsgrade fur die neu zu bestimmenden Koeffizienten auf; umfa6t z. B. des Gleichungsystem I1 m Gleichungen, so ist die Anzahl der gesuchten nachsthoheren B,,,. bzw. im all- gemeinen Fall (m + 4); hat man ein Gleichungssystem I11 von m Gleichungen, so vermitteln diese (m + 2) nachsthtihere Cm,,; man erhiilt also im ganzen bei jeder neuen Koeffizienten- diagonale 6 noch freie UrSBen, die man zur Erfiillung der Randbedingungen zu verwenden hat. Wahlt man ihren Wert willktirlich, so erhklt man das Bild von Striimungen, die atationiir

Beitrage zur &age der Warmehonvektiorb. 713

mijglich sind, die indessen kein physikalisches Interesse haben, da alle physikalisch realen Falle Randbedingungen fur vz, vy und t an denselben Flachen mit sich bringen, deren Befrie- digung nur durch systematische Verfugung uber die freien Koeffizienten zu erreichen iat.

Sind die Gleichungen y = f ( x ) der die Stromungen be- grenzenden Flachen und die an ihnen gegebenen Temperatur- vorschriften ungerade Funktionen dergestalt, da6 sie fur (- x, - y) entgegengesetzt gleiche Werte zu denen von (+ x, 4- 3) annehmen, so wird gema6 der physikalischen Konstellation der Strijmungsverlauf sowie die Temperaturverteilung derart sein, daB vz, vy und (t - to) in gegenuberliegenden Koordinaten- quadranten entgegengesetzte Werte haben; mithin weisen dann die Doppelsummen fur us, vg und (t - to) nur Glieder xm $72

auf, fiir die m + n eine ungerade Zahl ist. Wir werden uns im folgenden mit Fallen dieser Symmetrie befamen, doch bevor wir an die Berechnung von Stromungen gehen, soll an dieser Stelle eine physikalisch wesentliche Einteilung der Grenz- flachen in strijmungsaktive und stromungspassive vorgenommen werden.

Strijmungsaktiv heibe eine FYache, an der die Ternperatur rorgeschrieben ist ; die FlLche vermittelt der Striimung Warme oder nimmt von ihr Warme entgegen. Der Temperaturabfall bzw. -anstieg in normaler Richtung verschwindet an ihr nicht identisch; die Flache ist warmedurchlassig.

Strijmungspassiv heiSe eine Flache, an der das identische Verschwinden der Normalkomponente des Temperaturgradienten gefordert ist. Weder gibt die Flache der Strijmung Warme, noch nimmt sie Warme von ihr, die Temperatur stellt sich an ihr ein und ist nicht vorzuschreiben; diese Flache ist warme- undurchlassig.

Wir werden Falle mit nur aktiven und Falle mit aktiven und passiven Flichen behandeln; es ist evident, dab StrSmungen von nur passiver Begrenzung unmijglich sind.

a) Stromungen rnit nur s t r i imungssk t iven Wandungen. 1. Als erster Fall von nur strdmungsaktiver Begrenzung

soll die Stromung berechnet werden, die entsteht, wenn man von zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen, von denen

Annalen der Physik. IV. Folgo. 78. 46

714 B. Giindel.

die eine horizontal, die andere vertikal verlauft, die vertikale auf konstanter Temperatur halt, wlhrend man auf der anderen fur linearen Anstieg oder Abfall der Temperatur sorgt.

Hier ist also:

vsIy=o= 0, vYly=o- 0 , vzjx=0= 0 , vyl,,O= 0 ;

Die Konstellation fiir b und z auf den Grenzebenen er- gibt fur die Strijmung die angegebene Symmetrie zweimaliger Spiegelung an den Koordinatenachsen; wir haben also nur die Koeffizientendiagonalen zu berlicksichtigen, fur die m + n eine ungerade Zahl ist. Die Randbedingungen fur us, ug und T

fordern :

+,ro= t o , T ] ~ = O = z0 + AX.

Bm,o = 0 , Bo,, = 0; B m , l = 0, '0,n 0 ; Co,n = 0, C,n,O = 0 fur m > 1, C,,o = A .

Man sieht, da6 hierdurch beim Fortschreiten um eine Dia- gonale die sechs Freiheitsgrade der Am,,, B,," und C,,,n restlos ausgenutzt werden. Wir berechnen sukzessive unter Beruck- sichtigung dieser Bedingungen die Koeffizienten der Glieder des l., 3., 5., 7. und 9. Grades und erhalten, wenn wir x = - 7 A setzen,

P i

und nach dem auf S. 704 angegebenen Verfahren

288 288 xa X 9

2160 4320 +-zc+-*y'+. ..

hierbei treten in wa, uy keine Glieder 9. Grades, ip p keine 8. Grades auf.

Beitrage zur 3 h q e der It.'iirmehonveAtion. 715

Es ergibt Rich fur die Umgebung des 0-Punktes das folgende, die Verhaltnisse lediglich qualitativ und im Interesse der Deutlichkeit iibertreibend darstellende Bild:

T = r,

z = q , + A %

Fig 1.

Hierin geben die Pfeile die Strijmungsrichtung an, die ausgezogenen Linien sind die konstanter Temperatur, die punktierten die konstanten Druckes, wobei die Temperatur in Richtung der positiven z-Achse, der Druck in Richtung-der negativen 9. Achse steigt.

2. A h zweiken Fall mit nur aktiven Wanden behandeln wir die StromuDg zwischen den Ebenen y = 0 und y = 3, wenn auf der ersteren eine linear ansteigende oder abfallende iind auf der letzteren konstante Temperatur vorgeschrieben ist.

Die Doppelsummen (A), (B) und (C) haben neben den Rekursionsgleichungen folgende Bedingungen zu erfiillen :

fiir die Ebene y = 0:

B,,,o = 0 Bm,l = 0, fiir d l e m 21 0, Cl,o = A ; Cm,o = 0 fur wz > 1 ,

fur die Ebene y = 2:

pm,. = 0, 2 cm,n = 0, 2 4 , n = 0 , m + n = 2 k + l ?)L f 11. = 2 k .t 1 n& + n = 2 k i- 1

fur alle K z O , 46*

710 B. Qundel.

denn f i r y = x gehen die Doppelsummen in Potenzreihen in .r oder y allein uber, deren identisches Verschwinden durch dns Verschwinden aller Koeffizienten von x21L + 1 oder y2k f 1 garztntiert is t.

Die Rekursionsrechnung liefert :

der hydrostatische Druclc wird

7 % 5 % 3 7 x 2 552960

- - . 5 5 . 29 x 2 11x2 Y + 36861 *z8 Y' -- 29 x 2 5 3 . 9 3 4 - - . , 2 . 2 . 3 4 37 %2

92160

27618 36864 221 %* 203%' 92160 552960

-- In us und vzl treten keine Glieder 9. Grades, in t keine 7. Grades und in p keine 8. Grades auf. Me Koeffizienten des 9. Grades in t Bind ihrem absoluten Betrage nach

Beitrage zur &age der Wiirmekonvektion. 717

Fur die Umgebung des 0-Punktes erhiilt man das folgende, lediglich den Charakter des Stromungsverlaufs wiedergebende Bild:

T = To

. Hierin bedeutet :

-f = Strijmungsrichtung, - = z = conet., ---- = p = const.; z steigt in Eichtuug der positiven a-Achse, p in Richtung der uegativen y-Achec.

Fig. 2.

3. Ein drittes Beispiel von nur stromungsaktiven Wiinden sei die Striimung, die zwischen den Ebenen z = 0 und y = 2 entsteht, wenn die Temperatur auf der ersteren konstant gehalten wird und auf der letzteren linear ansteigt bzw. abf hllt .

Die Randbedingungen sind hier :

v$[a=o= I 0 , v&o= 0, t l z = O = q); 25c/y=a= 0, ?Jy!’J=z= 0, Zlyr.-0 + Ax;

sie kommen durch folgende Koeffizientenbedingungen zum Ausdruck:

fur die Ebene I = 0:

718 B. Guadel.

fur die Ebene y = x:

2 A ,,,,, = 0 , ZB-., I= 0 ,

7 c~,,~,, = O fir alle R > 0 ;

fur alle k & 0,

c ~ , ~ + c ~ , ~ = A .

111 f a = 2 k +1 111 f n = 2 k+1

d m f n = 2 k f l

Die rekursive Rechnung liefert :

us =.p - --3 + Xx2.y+- - - 31 xp -7 { 1"6 16 921600 122880 x8*y 11 x 2 __

5 %P 19xa .25.yB - ___ , "".yB - -- 19xe

7 x=

184320 * x3 ' yL - --

153600 36864

+xiKO 3 % 19 %a 16 16 307'20 x'I

uy 5 p ( - ; 2 3 + - 2 2 . ?J - -5 x .y2 + - 217xa 33 x a 19x8

921 600 122880 92160 ys l 9 2 7 x g 5 x2

- -- . p . y + _ - - , x 5 . y 2 + -.x4.

.,3.y4 + ---. 5 2 . 5- ~ +zm-4 307200 122880 ' '9' + * * ') 7

t = ro + A (x - x x6 + + x4.y - x x3 y2 384 192

3 % 3 a

4 3 x 9 - 19 %3 61440 20480 11 2

16 921600

-__ ' p ' y - - .x t .ya

19 xa .x3 .ys - - +im 61440 xa ' y4 19 2

921600

In dieser Liisung treten in T keine Glieder des 7. Grades, in us und v,, keine 9. und in p keine Glieder 8. Grades auf.

Nennt man den linearen Temperaturanstieg bzw. Abfall auf der Ebene y = x pro Langeneinheit w) so ist die 6r8Se A = w v% zu setzen.

Beitragc tur Frage der Warmekonvektiow. 719

Das den Charakter der Stromung von positivem A fiir die unmittelbare Umgebung des 0-Punktes veranschaulichende Rild ist das folgende:

Es bedeuten wiederum: -t die Stromungeriohtung, - die Kurven konstanter Temperatur, ----- die Kurven konstanten Druckee,

T iteigt iu Richtung des poeitiven z, p in Richtung dee negativen y. Fig. 3.

4. Als letzte d i e m spiegelsymrnetrischen Stramungen mit ausschlieBlich aktiven Wandungen werde der Fall behandelt, daB die Geschwindigkeit an den Ebenen y 3: 2 und y = - x verschwindet und die Temperatur an ihnen beiden denselben linearen Verlauf zla =Fy = ro + A Z hat.

Es gelten folgende Koeffizientenbedingungen : fur die Ebene x = y:

ZA,,,.= Q j ZBm,,= 0, far h z O J ?n + s= 3 k t 1 m t n = 2 k t l

720 B. Giindel.

fur die Ebene 2 = - y: -y(- lyf lm,n = 0, E(- lp.Bm,n = 0, fiir kZ0,

z(- I ) " c , ~ , ~ = o fur R > 0, c , ,~ - c ~ , ~ = A.

Dies sind 6 Bedingungen fur jede Diagonale, welche sich paarweise nur durch das alternierende Vorzeichen unter- scheiden.

m+n= 2 7; + 1 ?I2 t l L = 2 k t 1

m+n='Lk+l

Bis zum 9. Grad einschlieBlich lautet die Lasung:

. $6 . y2 . $ 7 + __

.x3. ?/& + -.2.

7 x? { I I 8 7 680 7680 x?

5 x2

4608 23040

2, = p - -++ x y 3 -

y6+ * - .) 1

7 x $ --

vv = p (- ;c3 + 5 . g + - 7 xa .xG.y - - 'Ixa .,4,y3

t = to + ff (2- -It.4.y + - L 2 . ? / S + - 5 9 5 192

8 7680 4608

3 2 XB

4608 23040 + -- .3? 3 6 - -- 9y7 + . . .] ,

64 96

1st der lineare Temperaturanstieg bzw. -abfall pro Langen- einheit auf der Ebene x = y gegeben durch w, so ist miederum A = m f 3 zu setzen.

Den Charakter dieser L8sung fur die Umgebung des 0-Punktes gibt Fig. 4, S. 721.

Hiermit solldie Berechnung spiegelsymmetrischer Stromungs- f aile mit nur aktiven Wanden abgeschlossen, nur einige Be- merkungen sollen noch angefugt werden.

Die hier berechneten Falle gestatteten die Durchfuhrung der rekursiven Bestimmung der Koeffizienten unter gleichzeitiger Beriicksichtigung und diagonalweiser Einrechnung der Rand-

Beitrage zur #%age der Warmehonvehta'on. 12 I

bedingungen. Diese FWe sind noch einiger Erweiterungen fiihig, insofern, als an dem Verfahren generell nichts geandert wird, wenn statt der Ebenen x = f y, 2 = 0 oder y = 0 Be- grenzungsfliichen y = c z , worin c eine beliebige reelle GroBe ist, angewandt und an ihnen auch eventuell andere als linear verlaufende Temperaturen vorgeschrieben werden, etwa e-Funk- tionen oder dergleichen.

-----t Strtimungsrichtung, - Kurven konstanter Temperatur, -I--- Kurven konstanten Druckes. t eteigt mit positivem 5, p mit negativem y.

Fig. 4.

Eine weitere Bemerkung betrifft die spiegelsymmetriechen FZille, bei denen an irgendwelchen Ebenen y = o x lineares Verhalten der Temperatur vorgeschrieben ist. Fiihrt hier die Berechnung der Glieder ersten Grades der Doppelsummen zu

so kommt man i. A. zu der trivialen Lbsung

drs in Rekursion I1 niemals eio C0,* Ausgangskoeffizient fiir hohere Bn,, 11 und Ao, ist und alle Rekursionsgleichnngen und Randbedingungen homogene Gleichungen fiir die zu bestim- menden Koeffizienten liefern. Diese Triviallosungen stellen eine stabile oder labile Temperaturschichtung dar, bei der die Temperatur fiir y = const. einen festen Wert hat. So fiibren beiapielsweise die Randbedingungen

C1,O = 0, COJ * 0, 4 , o = 4J,l = q , o = BOJ = 0,

t o + QOJ Y 9 0, vy = 0, t = v,

722 B. Gikndel.

b) Striimungen mit etri imungsaktiven und striimungspaesiven Wan dung en.

Die Randbedingung fur die Temperatur an warme- undurchlassigen, passiven Fliichen ist die Forderung des Ver- schwindens der Normalkomponente des Temperaturgradienten. Wir werden es im folgenden nur mit Ebenen zu tun haben; hier lautet unsere Bedingung fur strtimungspassive, ebene Wando

at at at. -=- . cos(nz)+-cos(11y) = 0. a m a% aY

Man erkennt Ieicht, da6 die Erfullung der Randbedingungen fur Ebenen von der Gleichung y = c z wiederum bei jeder Diagonale geschehen kann.

1. Als erstes Beispiel einer spiegelsymmetrischen Striimung mit einer passiven Wand behandeln wir den Fall, da6 die Geschwindigkeit an den Ebenen y = 0 und y = x verschwindet. y = 0 sei eine passive, z = y eine aktive Wand mit dem vor- geschriebenen Temperaturverlauf r],=y = to + A x .

Die Randbedingungen fordern von den Koeffizienten fur die Ebene y = 0:

Rm,o = 0, Am,o = 0, also Bm,l = 0, fur alle m 2 0,

fur die Ebene y = 2:

2 sm,,,= 0, 2 A , , , ~ = 0, fiir alle K ~ O , m + n = 2 k + l m + n = 2 k + l

2 Cm,n = 0 fiir k > 0, C,so =: A. w + n = 2k f 1

Beitrage xur I/'rage der Warmekonvektioii. 723

Die Rekursionsrechnung liefert:

193%' .%j' - - x 9 8 3 73x9 + m x y +- 24576 61440 xY5

Hierin enthalten us und vg keine Olieder 9. Grades, p keine 8. Grades und t keine fflieder 7. Grades und ee ist

Dieser Fall fuhrt, obwohl die Konstellation derjenigen ahnlich ist, die bei ausechlieBlicher AktivitZit der Wande zu Triviali- tiiten fuhrte, nicht zu stabiler oder labiler Ruhe und horizon- taler Temperaturechichtung, da diese nicht die Bedingung

*/ = 0 erfiillt. Das die Strijmung in der 0-Punktsum- gebung wiedergebende Orientierungsbild (Fig. 5, S. 724) zeichnet sich dadurch aus, daS die Kurvenschar t = oonst. die y-Acbse orthogonal schneidet.

An dieser Stelle sei eine Bemerkung eingefigt. Die Be- trachtungen, die wir angestellt haben, fuBen restlos auf der Annahme, dtlB alle in Rede stehenden Funktionen us, vv, T und p und deren Differentialquotienten stetige Funktionen eind.

ay y r O

214 H. Gundel.

Man wird erwartea, daB die dem soeben behandelten Fall ver- wandte Anordnung bj ,=o = 0, bly =o, %g = = 0, ?I5= o =

r0 + By zu einer stationaren Strimung fuhrt. Beim rekur- siven Rechnen kommt maq indessen zu Widerspruchen, da

s 0 fur den der Ebene y = 0 angehorenden Punkt a Z

5 = 0, ?j = 0 der Forderung t/+ ~ = ro + A y widersprichf.

-- + Strijmungsrichtung, - t = const., t steigt mit positiver 2-Richtung, ---- p = const., p steigt mit negativer y-Ricbtung. Fig. 5.

. m . A > O

weist fur m = 0 eine Unstetigkeit auf, mithin kann der d y y = o

generelle Ansatz 21 = 0 unter Annahme der Stetigkeit ay y = o

nicht zum Ziel fuhren. Analoge Verbiiltnisse weist der Fall auf, dab:

- "1 =o , t j y = ~ = t O + A r , b l z s o = o , )Dlyro=O, a + = 0

desgleichen der Fall, dn6

2. Wir berechnen nooh folgende spiegelspmmetrische StrSmung: Die Geschwindigkeit moge an den Ebenen x = y und x = 0 verschwinden, die Wand x = y sei passiv, also

Beitriige zur A.age dcr Warmekonvektion. 725

- '" zi, = o = to + A y.

in den Koeffizientengleichungen wieder:

= 0, die Ebene o = 0 sei aktiv mit der Vorschrift dn(.=!,

Die Bandbedinguugen fur die Geschwindigkeit geben sich

I

'r ,k > 0

Die Randbedingung fur die Temperatur fur die Wand z = 0 ist Co,n = 0 fur n > 1 nebst Co,l = A ; fur die passive Wand x = y leitet sich folgende Relation ab:

Diese Bedingung verknupft nur Koeffizienten Cgn, gleichhohen Grades und fiihrt zu der Beziehung:

hierbei ist zu beachten, daS wegen m + n = 21t + 1 der Fall m = n nicht eintritt.

Man erhalt die LSsung:

726 B. Giindel.

P = ~ ~ - - 9 B o ? l + ( Z ~ ( - 1 6 " a - X r J / 3% +--# 11% 8 16

347 x p 173xs 3 7 x =

29x9 3987gxBp4 xzy4 27648

19x*

+-----rO- - 92160 "'Y + 36864 Z*Y'

+ -.3yS-- + -"y6 + --

552960

92160 592960 37x4 y6+ ...). Das Orientierungsbild fur die Umgebung des 0-Punktes ist hier das folgende:

r = r,, +-By, A > 0

-----+ Strtimungsrichtung, - z = const., ----I p = const. z eteigt in der positiven Richtung der Geraden 2 r; 9, p in der negativen Riclitung der y-Achse.

Fig. 6.

c) Betrachtungen im AnechluB an d ie berechneten

Die Dimension des Faktors x = - A g p o a ist die einer negativen 4. Langenpotenz. Aus dem Rechenverfahren der er- mittelten Striimungen ersieht man, da6 der Exponent von x stets urn 1 steigt, wenn der Grad von xm.yn urn 4 wachst; es be- steht mithin die Mtiglichkeit, durch geeignete Koordinaten-

S t r 6 mu n g e n (M o d e 1 1 reg e 1).

P k

Beitrage zur #'rage dw Wurmehonvehtion. 727

transformation Reihen fur v,, vg, z u n d p zu gewinnen, welche die physikalischen Konstanten nnr noch mittelbar enthalten. Setzt man namlich

4 - 4 -

z' = 1/X.x, y' = +y, so gehen un8ere Lijsungen in Ausdriicke der Form Uber

m

m

m

p = p , - 7 g eo Y' + h p j / 1 ; 2 ~ d m , n x ' m * y ' n . 6 p=O m t n = 4 p t 2

Ohne Einschrankung kann man hier x > 0, also $ reel1 an- nehmen, da man fur x < 0 die Koordinatentransformation vor- nehmen kann, nachdem man das eventuell negative Vorzeichen von x n vor das ganze Glied a,,n-xp x". yn gesetzt hat. Die Koordinaten x', y' bind dimensionslos. Diese Reihendarstellung gestattet eine generelle Aussage uber die QraBe der Qe- schwindigkeit. Wir nehmen an, es existiere f i r unsere Liisnngen in den x, y ein Konvergenzbereich, dessen Qrenzen von x, also von den Konstanten der Substanz und A abhangig Bind.') Durch die Koordinatentransformation erhalt man Reihen in den d, y', deren Konvergenzbereich nur von den rein nnmerischen Koeffizienten a%,- . . ., abhangt. Fur alle Sub- stamen hat man also in den x', y' denselben Konvergenzbereich, innerhalb dessen unsere Reihen die groBten Werte

m

R, = max 1 2 2 a,,, x'"& ~ y ' ~ ~ I und analog R,, , p=O m+n=4p+3

R, und Bp haben miigen; auoh diese GriiBen R sind un-

1) Das folgende gilt in noch umfasaenderem Sinn, falls der Kon- vergenzbereich von x unabhiingig sein sollte.

728 3. Gundel.

abhangig von den physikalischen Konstanten der vergchiedenen Substanzen. Innerhalb des Konvergenzbereiches ist demnach

j 2;; [ S ,u H,, , I vy 1 S p 7; Rug,

l p - - p o + g e o y I ~ p j - i I ~ ~ y .

Wir ersehen hieraus, daf3 unsere Voraussetzung kleiner Qe- schwindigkeit, unter der wir die Tragheit vernachllssigten, fur Stoffe von geringer Wiirmeleitfiihigkeit I ) und solchen grol3er innerer Reibung erfullt ist ; auch Substanzen von geringer Wiirmeausdehnung zeitigen langsame Bewegung, doch sind dies i. A. Erwagungen von nur formalem Interesse, da fur jede Fliissigkeit alle Konstanten gegeben sind und uns eine Willkiir in der Variation derselben nicht freisteht ; maBgebend fur die GrbBenordnung der Geschwindigkeit ist das Produkt p 1;; die Temperaturleitfahigkeit p diirfte insofern eine Aus- nahmestellung vor den anderen Substanzkonstanten einnehmen, als die vierte Wurzel aus x selbst fur extreme Werte von x in normaler GrBBenordnung bleibt, soda6 extrem gro6e oder kleine p von hervortretendem EinfluB auf die Geschwindigkeit sein durften.

Unsere Reihendarstellung in den t', y' gibt bis auf die Faktoren bzw. Summanden vor den Summen fiir alle Sub- stanzen dasselbe Bild ; das effektive Stromungsbild erhalt man

Die Er- 97' dann durch Streckung gema6 x = y = -La i/, k-

kenntnis, da6 es ein ,,Normalstrcimung~biId" gibt, dargestellt durch m

p=O m+n=4p+3

und analoge Formeln fiir v ~ ' , t' und p', wobei

- . Warmeleitfiihigkeit Diohte x spez. Warme 1) Gemiifl p = -~

Beitrage ZUY Fraye der Tarmekonvektion. 729

ist, ermoglicht eine Verkniipfung von Striimnngen verschie- dener Substanzen bei verschiedenem A und damit eventuell eine Beurteilung experimentell unzugBnglicher Falle mit Hilfe anderer, im Experiment realisierbarer Strbmungen.

Betrachten wir zwei Strbmungen (1) und (2) von gleichep riiumlicher Konstellation, aber verschiedenen Konstanten p l , il, yl, A, und pz, A,, y z , A*, so entstehen ahnliche Stromungsbilder derart, daS fur beide Strijmungen die Aus- driicke

an entsprechenden Stellen den gleichen Wert haben; zwei sich entaprechende Punkte (q, yJ und (xz, yzf der beiden Strbmungen hhgen derart zusammen, dab

ist, und fiir die Geschwindigkeit, die Temperatur und den Druck ergib t sich :

Sind nun fur eine experimentell unzugangliche Stromung einer Substanz (2) die Konstanten pz, A,, yz und A, bekannt, 80 kann man stets das A, for eine Stromung einer anderen Bubstanz (1) angeben, so da8 die Koordinaten korrespon- dierender Punkte in gegebenem Verhaltnis stehen. Da nam., Xch die Beziehung x2 x1 g' ilt , in der

Annalen der Physlk. IT. Folge. 78. 47

730 B. Qiindel.

ist, so braucht man fur die Stromung (1) nur

anzusetzen, um der Forderung des gegebenen Verhaltnisses xa /xl korrespondierender Punkte gerecht zu werden.

Mit diesen Betrachtungen gewinnt man also die Mbglich- keit, unter Umstanden das Bild einer experimentell unzugiing- lichen Stromung, fur die man die stromungsbestimmenden Konstanten p, A, y und A kennt, zu entwerfen, indem man zu einer anderen Substanz ubergeht , die eine experimentelle Untersuchung der Stromung gestattet, und die hier bespro- chenen Transformationen durchfuhrt - ein Verfahren , das zudem noch den Vorteil bietet von dem Konvergenzbereich der Reihen unabhangig zu sein, da es gleichsam eine Art physikalisch-analytischer Fortsetzung darstellt. Die physika- lische Anwendbarkeit desselben hangt im wesentlichen davon ab, ob das fur den gegebenen MaBstab xa/xl berechnete A, die physikalischen Voraussetzungen linearen Warmeausdehnungs- verlaufu, Konstanz der QroBen I,, p, y usw. erfullt und die Vernachlassigung der Flussigkeitstragheit gestattet.

I n Anlehnung an die von Boussinesql) und Davisa) angestellten Betrachtungen leiten wir die allgemeine Modell- regel aus den Grundgleichungen unseres Problems fur den Fall ab, da6 wir die Trigheit der Fliissigkeit vernachlassigen. Es gilt

O f az a z ax Y ay (1) 1 p d t - v * . - - V . - =

I I

- Setzen wir Z = a a z , y = a y ,

,%(%j) = 6V,(X,Y), qw = ~v,(.,y), t ( Z , j ) = cz(x,y),

1) V. J. Bouss inesq, Thkorie analytique de la chaleur, 11.

2) A. H. Dav i s , Phil. Mag. 40. S. 692. 1920. p. 174ff. 1903.

Beitrage zur Frage der Warmckonvektion. 731

I sofern man, wie eine einfuche Rechnung zeigt,

setzt. Mithin geniigen stets, d. h. fur jedes a - 1 1 - r

als Funktionen von Z und ij den Gleichungen (2), wenn v,, und t die Gleichungen (1) erfiillen. Die Randbedingungen be- reiten bei dieser Transformation keine Schwierigkeiten, denn wegen durchgehender Voraussetzung stetigen Verhaltens von P und T verschwindet die Geschwindigkeit an entsprechenden Bereichsgrenzen und die Randvorschriften fur die Temperatur gehen in Funktionen von entsprechend stetigem Verhalten iiber.

Da das Gleichungssystem (2) keine Materialkonstanten mehr enthdt, ist die Miiglichkeit gegeben, die Striimungen ver- schiedener Substanzen von gleicher raumlicher Anordnung miteinander in Beziehung zu setzen und damit namentlich zu einer Striiimung einer Substanz (1) die einer anderen Sub- stanz (2) von gegebenem matlstablichen Verhalten ausfindig zu machen.

(3) v, = - v,, @g = - p a u s ) r = - 7 p l a a

Urn aus der Gleichung - gq, (1 - a(r - 7,)) + gradp + ildt, = 0

zu einer Modellregel fiir p zu gelangen, setzen wir zunachst

dann gilt, da g die Komponenten g, = 0 , g, = - g hat, die folgende Gleichung : (4) gapo a(r - to) + gradp* + il A t , = 0 ; setzen wir p* = d.p* und gehen hiermit und mit den Rela- tionen (3) in Gleichung (4) ein, so geniigen 5, f und p* der Qleichung :

P = - 9 ~ o ~ +p*i

-(f g - go) + gradp* + i f i = 0 , 9

47 *

132 B. Gundel.

1 sofern man d = - h p a 2

setzt; mithin gesellt sich zu den Trnnsformationen (3) noch die folgende:

1 1 fj* = - IP + 9 O O Y l = Fjae*.

6. Der Doppelaummenansatz unter Berucksichtigung der FlussigkeitstrIgheit.

1. Unsere ursprungliche, die ’ Triigheit der Flussigkeit beriicksichtigende Bewegungsgleichung war l)

g p o ( l - c c j t - to)) - grad ( p + +) + i l d b + g,[brotb] = 0.

Bildet man hiervon wiederum die Rotation, so erhalt man bei Beriicksichtigung von div b = 0

+ ~ g ~ [ g g r a d t ] + i l d r o t b - ~ ~ , ( b g r a d ) r o t b = O , in Komponentenform

hierin ist y = ac p,, 9.

und In diese Gleichungen fiihren wir die Doppelsummen (A), (13)

ein und erhalten fur m > 1 :

1) Vgl. 8. 701, ($1. (5). 2) Vgl. s. 702.

Beitrage ZUT &age der Warrnekonvektion. 7 33

fur rn = 0 sagt diese Rekursionsgleichung uber die hijheren Koeffizienten wiederum nichts aus.

Die auf der rechten Seite der Gleichungen auftretenden Koeffizienten stehen mindestens eine Diagonale unter den zu berechnenden hidheren Koeffizienten, da die Indexquersumme der Produkte AP,* - .BT,a (m + n: + 1) ist und Ao,o = Bo,o = 0 ist. Fur unsere oben berechneten Falle, in denen vz und vy erst mit dem 3. Grad beginnen, ergibt sich unmittelbar, daI3 der EinfluB der Tragheit sich erst bei der Berechnung des 7. Grades von vz und vv bemerkbar macht.

2. Als Beispiel hierzu sol1 einer der oben behandelten Palle mit Beriicksichtigung der Tragheit durchgerechnet w erden, um Betrachtungen uber den EinfluB derselben an einfachem Beispiel anstellen zu konnen. Hinsichtlich der im 3. Kapitel (S. 705-71 1) berechneten Striimungen , bei denen vz = 0 ist, zeigt eine einfache Uberlegung, daB in ihnen die Stromungs- verteiluug durch die Tragheit nicht beeinfluBt wird. Da namlich vv = f (z ) und vs G 0 ist, verschwindet das der Fliissig- keitstragheit Rechnung tragende Glied (b grad) b, wie es aus der Definition dieses Vektors unmittelbar hervorgeht.

Als Beispiel berechnen wir die auf S. 713-715 behandelte Stromung mit nur aktiven WBnden, den Fall, daB

1 eor 192 I

49

734 B. Giindel.

Die Berechnung des hydrostatischen Druckes geschieht analog dem auf S. 704 angegebenen Verfahren, durch welches man ( p + $) erhalt; man hat also von dem auB ihm gewonnenen

Resultat noch abzuziehen, um zu p selbst zu gelangen. Im Hinblick auf die im AnschluS an dieses Beispiel an-

zustellenden Betrachtungen sei noch bemerkt, daI3 die durch die Tragheit in die 5,,,n und A,,,,n des 11. Grades gelangenden

adweisen. 3. Es ist evident, daI3 sich hier die Koeffizienten in physi-

kalischer Hinsicht nicht mehr 80 einfach aus den Material- bzw. Versuchskonstanten zusammensetzen wie in den friiheren Rechnungen, und aus diesem Grunde ist eine einfache Dar- stellung der LSsung nicht ohne weiteres mbglich, doch fiihrt folgende Betrachtung zu einer Ubersicht uber den Organismus der entstehenden Reihen.

Der Ausdruck B = 7 ist dimensionslos. An Stelle der 2 treten in den vx, vyt z und p jetzt offenbar alle mijglichen Konstanten der Form ct XP auf, wobei t alle positiven ganzen Zahlen von 0 bis @ - 1) durchliiuft. Dies kann man durch vollstaudige fnduktion zeigen. Bis zu einem gowissen Grad ( 4 h + 1) mogen in den Cm,* die Kombinationen

2

Anteile die physikalischen Faktoren p 0 x 3 bzw. p ( B ; p 3 -

(1. Grad) A , (5. Grad) Ax )

(9. Grad) A x , A a x 2 ,

( ( 4 h + 1). Grad) Ax!; B B X ’ ~ , A B ~ - ~ ~ ~ , . . . ., A o h - l - x h

und in den Am,n und B,,,n die Kombinationen bis zum (4h- l).Grad (da der (4h + 1). Grad in vx und vy nicht existiert)

(3. Grad) p x , (7. Grad) p z 2 , p a x 2 ,

(11. Grad) p x 3 , p s x s , p c 2 . x 3 )

((4h - 1). Grad) p x h , p a x h , p o 2 - x h , . . . ., p g h 3 1 . x h auftreten.

Bei&age ZUT Prage der Warmekonvektion. 7 35

Setzt man die Ermittlungsgleichungen fiir die B,,, und des ( 4 h + 3). Grades an, so entstehen Kombinationen des

p = 0, I, 2, . . . (h - 1)

mit

rl'ypus __ Y A gP , x ' c , sowie L

I t = 0 , 1 , 2 ,... ( r - l ) , u = 0, 1, 2 , . . . (s - 1) nebst

ist,

, 7 ' + S = h f l

A P 1 I

rl I mithin, wenn man beachtet, dab x = L- und FL =

p 0 p . x h + l , p = 0, 1, a, . . . . h ;

durch entsprechende Betrachtungen kommt man fiir T zu dem Faktortyp E = 0, 1, 2, . . . h und fur p zu 2.p.d- x , t = 0, 1, 2, . . . . (h - 1). Unsere Doppelsummen konnen wir somit in der Form darstellen

h

und entsprechende Ausdriickel) fur vy, T und p, in denen a m , n , p , bm,n,p 9 ~ m , n , p und dm,n,p reine Zahlen sind, lediglich bedingt durch die Rekursionsgleichungen und die Randvor- schriften. Nan uberzeugt sich leicht, daB durch das Auftreten der Produkte A , , B,.8 in 11' an der Tatsache, dal3 nur A,,,,B,,, existieren, fiir die m + n = 4 k + 3 ist, nichts gelndert wird. Wir nehmen an, bis zu einem gewissen Grad (48 + 3) existierten nur Am,% und B,,. mit m + n = 4 r + 3. Setzen wir jetzt die Rekursionsgleichungen 11' fur die nachsthaheren Am,n und Bm,, an, die also die Quersumme (4K + 5 ) der Indizes habea, so ist. in den Koeffizientenprodukten Ap,p . BT,8 die Index- quersumme p + q + r + s = 4K + 4 = 4(R + 1). Da nun diese Zahl nur auf diese Weise

in ungerade Zahlen zerlegbar ist und Koeffizienten mit m + n = 4p + 1 unter den tieferen, bekannten Koeffizienten Am,n und Bm,w nicht existieren, miissen die Koeffizienten der Indexquersumme 4k + 5 = 4 (k + 1) f- 1 wegen Homogenitiit der

4(k + 5 ) = (4p 4- 3) 4- (4p + 1)

1) vgl. S. 727.

7 36 B. Gundel.

Rie bestimmenden Gleichungen verschwinden. nberlegung zeigt, daB lediglich die m + n = 4K + 1 ist.

Eine analoge existieren, fur die

= z, worin w die Warmeleitfaliigkeit und e die spez. Warme bedeutet, ersieht man, daB der EinfluB der Triigheit mit fallendem p, d. h. auch mit fallendem 20, oder mit wachsendem il abnimmt ; die unter der Voraussetzung ver- schmindenden Tragheitseinflusses berechneten Losungen gehen aus den hier angegebenen Reihen hervor, indem man c = 0 setzt; inwieweit diese Vernachlassigung berechtigt i d , zeige folgende Tabelle, in der fur jede Substaaz auch ihr Wert von x angegeben ist:l)

Aus D = A 0 . l

Substanz Temperatur <I x Quecksilber 15 R7,72 3399 A Luft . . . 15--20' 1,192 133 A Wasser . . 20--?So 0,1349 12840 A Oliveniil . 18' 0,0007 851,2 A

Die auf S. 726-732 angestellten allgemeinen Betrachtungen uber Normalstromungsbilder kommen hier nicht mehr in Be- tracht ; die Miiglichkeit der ma0stablichen Verkniipfung zweier Strijmungen ist in der auf S. 726-732 besprochenen Weise nur dann gegeben, wenn man Stromungeii derselben Substanz ins Auge fafit, oder wenn die beiden Stoffe dasselben 0 haben. So einschrankend die ietztere Voranssetzung erscheinen mag, so ist sie eventuell fur experimentelle Arbeitenz) doch nicht ohne

1) Die Wertq der Konstanten w, I, a, el po sind den Tabellen in K o h l r a u s c h , Lehrbuch der praktischen Physik und L a n d o l t - B i i r n - s t e i n , Tabellen entnommen.

2) Fur meteorologische Untersuchungcn diirften dies? Modellregeln kaum in Frage kommen, d a fur Falle z. B. linearen Temperaturverhalten? auf den Wandungen achon bei einer maastablichen Verkleiuerung eines Striimungsbereiches von nur 100 : 1 = a, : a, bei gleicher Substanz gemiiS

a1 1 a a2 a, 100

A , = (2)4. A , , * - - -2 . z l , - = -

der im Experiment anzuwendende Linearitatsfaktor A, loo4 ma1 so groB sein mu8 als daa A, des in der Natur betrachteten Bereiches, sods8 der Bereich des linearen Verhaltens der Warmeausdehnung weit iiber- schritten wird. Andererseits diirfte sich zu Luft, dessen u ungefiihy = 1 ist, kaum eine Substanz finden lassen, deren cr ebenfalls = 1 ist und diese extremen Verhiiltnisse geniigend mildert.

Beitrage ZUT $’rage der Warmekonuektion. 73 1

Wert, zumal ea msglich ist, da3 zwei Substanzen wesentlich verschiedenes 5 = -I-, aber hinreichend gleiches 0 aufweisen.

Auch bei Berucksichtigung der Tragheit der Flussigkeit la& sich die Modellregel leicht aus den Differentialgleichungen direkt ableiten.’)

LCc

Die Gleichungen des Problems sind hier :

a r 2, . - - = o , a r p A t - vZ * - - a x y a y

Die Transformation 3 = a z , 4 = a y ; B2 (Z, j ) = b u, (x, y) , By @,4) = b * Vy (z, y) ;

7 (E, 3) = c * t (5, y] fuhrt zu

sofern

In diesem Fall ist die Moglichkeit einer Modellregel nur bei Substanzen gegeben, fur die e, , .p / j l denselben Wert hat. 1st dieser nicht = 1, sondern allgemeiner = s, so tritt an die Stelle der transformierten Bewegungsgleichung die folgende:

4. Eine besondere Bemerkung gelte hier den sogenannten reibungsfreien Flussigkeiten.

Bei der Behandlung vieler hydrodynamischer Probleme setzt man den Faktor der inneren Reibung = 0, da die Fliissigkeitsreibung auf die betreff enden Effekte von ver-

1) Siehe A. H. Davis , a a. 0. 1922; vgl. auch S. Webes , Phys. Ann. 64. 8. 456ff. 1917.

7 38 B. Giindel.

schwindendem Einflufi ist, und spricht demgemafi von reibungs- freien Fliissigkeiten. Diese Qualitat der Reibungsfreiheit ist indessen offenbar nur von relativer Bedeutung, und nur in Problemen, in denen die Auswirkung der inneren Reibung als ein unwesentliches Accedens zu dem wesentlichen Effekt hin- zutritt, ist man berechtigt, Substanzen hinsichtlich bestimmter physikalischer Phanomene durch il = 0 zu idealisieren.

In dem hier behandelten Problem spielt die Erscheinung der Fliissigkeitsreibung eine wesentliche Rolle, sie ist in unseren stationken Stromungen untrennbar mit den Phanomenen der WLrmeleitung, Warmeausdehnung und Fallbeschleunigung ver- bunden, und ihr EinttuS tritt durchaus nicht als Korrektion zu einem von ihren Einwirkungen qualitativ unabhilngigen Effekt. Mathematisch-pbysikalisch spiegeln sich diese Verhlltnisse in dem Auftreten der GrGSe il in den Konstanten x und cr wider; in x=-- ' g e O a und g=- @' sind alle Materialkonstanten mit-

I Y k einander verkettet, und die Kleinheit Ton h allein lafit keine Schliisse iiber die Stromung zu.

6. Betrachtungen uber andere in Frage kommende LSsungsmethoden.

Im folgenden sol1 kurz iiber Lbsungsversuche berichtet werden, die nicht zum Ziel gefiihrt haben, die aber die wesent- lichen Schwierigkeiten erkennen lassen, welche die Behandlung der Differentialgleichungen unseres Typus bietet. Zunachst sei dsrauf aufmerksam gemacht, da6 infolge des Auftretens quadratischer Qlieder in den Differentialgleiohungen die in der Physik bei homogenen linearen Differentialgleichungen vielfach anwendbare Methode der Separation der Variablen und der Aufstellung von partikularen Losungen nicht mehr in Frage kommt. So bleiben im wesentlichen nur die Wege der Re- kursionsmethode und des Iterationsverfahrens.

Bei quadratischen Differentialgleichungen kommen fiir die Rekursionsmethode als Entwicklungselemente nur solche in Betracht, deren Produkt wiederum auf dieselben Elemente fiihrt, mithin Potenzen, Exponentialfunktionen und aus diesen beiden kombinierte Glieder, auf die wir hier kurz eingehen wollen.

Beitrage zur Prage der Warmeko nveklion. 739

1. Hinsichtlich des Ansatzes, nach Gliedern xm.yn zu entwickeln, eriibrigt sich jede weitere Wurdigung.

2. Eine Entwicklung nacli den gemischten Gliedern x m e n y

bzw. ym . ems liefert bei m 0, n] 5 0 fur die quadratische Dif- ferentialgleichung keine Rekursion , da in den Eoeffizienten- relationen die zu demselben xmeeny bzw. ymeenz gehorigen Koef- gzientenprodukte in nicht mehr endlicher Anzahl auftreten. Mit dem Ansatz eines lediglich positiven n ist keine Symmetrie hinsichtlich der y- bzw. x-Koordinate zu erzielen; um Sym- metrieforderungen gerecht zu werden, hat man an Ansatze zu denken, in deren Glieder Kombinationen von e-Funktionen auftreten. Eine Entwicklung nach xm bin n y xm - sin n y u il. fur m ZO, nr 0 gestattet nun zwar die Darstellung symmetrischen Verhaltens, doch, ganz abgesehen von der MSglichkeit, iiberhaupt eine Rekursion gewinnen zn konnen, fuhrt die Erfiillung der RandbediGgungen auf mindestens ebensogroae Schwierigkeiten wie der Ansatz in Potenzea kartesischer Koordinaten.

3. Auch die Entwicklung nach Elementen e m z + n y ,

Gin(mx + ny), sin(m x + BY) usw. fiihrt nicht zu giinstigeren Konstellationen.

Zusammenfassend kann man sagen, daB die Moglichkeit, iiberhaupt zu einer Bekursion zu gelangen, sehr gering ist und daB sie, abgesehen von der Entwicklung nach z m - y , im wesentlichen nur da gegeben ist, wo physikalische Problem- forderungen nicht mit den Einschriinkungen vereinbar sind, unter denen man ein Rekursionssystem aufstellen krtnn., Auch bei den naheliegenden Ansatzen in Polarkoordinaten begegnet man denselben Schwierigkeiten.

Auch Iterationsversuche fuhren zu recht komplizierten Verhaltnissen. Ea sollte versucht werden, die Stromung in einem unendlich langen horizontalliegenden Kreiszylinder, an dessen Oberflache eine symmetrische Temperaturverteilung ge- geben ist, ferner die Strijmung in einem unendlich langen liegenden GefaB von rechteckigem Querschnitt zu ermitteln, an dessen beiden Vertikalwanden zwei verschiedene konstante Temperaturen vorgeschrieben und dessen Horizontalwade wiirmeundurchltissig sind. Zunachst ka.m in Betracht, eine

740 B. Gundel.

einfaohe plausible Cleschwindigkeitsverteilung zu suchen, welche die Randbedingungen befriedigt und die evidente Symmetrie aufwies, um dann durch Verbesserung den Forderungen der Differentialgleichungen iterativ gerecht zu werden. Solche plausible Ansatze fur die Geschwindigkeit scheinen indessen nicht in einer zur tatsachlichen Durchfuhrung von Verbesse- rungen geeigneten Form angebbar zu sein. So wurde dieser Weg rein mathematischer Iteration verlassen und ein anderer beschritten, den man etwa den Weg der physikalisch-iterativen Approximation nennen konnte. Es sollten zuerst Stromungen ermittelt werden, bei denen eine groBe Warmeleitfahigkeit, verbunden mit groBer innerer Reibung der Substanz, fur eine Temperaturverteilung sorgt, welche annahernd der Qlei- chung A z = 0 genugt, da bei diesen Stromuugen der konvektive Warmetransport wegen der Kleinheit der Geschwindigkeit vernachlassigt werden h n n . F u r den Fall des rechteckigen GefaBes wurde z = z,, + a r angenommen und versucht, die Geschwindigkeitskomponenten aus der Bewegungs- und Diver- genzgleichung in Anlehnung an das in der Elastizitatstheorie bekannte St. Venan t sche Verfahren zu gewinnen, um dann auf Grund der errechneten Geschwindigkeit vermoge p d t - (t, grad z) = 0 eine neue Temperaturverteilung zu ermitteln und durch Wiederholung dieser Schritte zu Annaherungen auch fur Falle nicht extremer Warmeleitungs- und Reibungs- verhaltnisse zu kommen. Schon bei der ersten Approximation stellen sich indessen groBe Schwierigkeiten ein, zumal die Erfullung der Randbedingungen in Analogie zur S t. Ven an t - schen Methode nicht ohne weiteres moglich ist.

SchluB.

Xhe wir an eine kurze Zusammenfassung unserer Be- trachtungen gehen, haben wir noch der Frage nach der Kon- vergenz der Reihen zu gedenken. Der Konvergenzbeweis bietet bei dem komplizierten Rekursionssystem, dae wir vor uns haben, begreiflicherweise ganz wesentliche Schwierigkeiten, und diesbeziigliche Uberlegungen haben zu keinem greifbaren Resultat gefuhrt. Angesichts der vielen Freiheiten, welche die lediglich den Rekursionsgleichungen genugenden Reihen entc

Beitraye zur Frap der Warmekonvektion. 741

halten, erscheint es hochst unwahrscheinlich, den Konvergenz- beweis allgemein, unter gewissen Voraussetzungen uber die Werte der freien Koeffizienten fiihren zu ESnnen; aber auch in speziellen F ~ l e n , soweit sie nicht wie die im 3.Kap. 2. u. 3. behandelten eine Zusammenfassung der Reihen gestatten, ist eine Abschatzung kaum moglich. Es fuhrt zu weit, hier uber alle Versuche zu berichten, die in dieser Richtung unternom- men wurden; sie fuhrten alle zu keinem Beweis. Die physi- kalische Plausibilitat der unter der Vosaussetzung der Kon- vergenz gewonnenen Stromungsbilder macht es wahrscheinlich, dab die fur die betrachteten Spezialfalle berechneten Reihen in einem bestimmten Bereich konvergieren, und lB6t die physi- kalischen Konsequenaen, die wir aus den Lijsungen zogen, wohl binreichend gerechtfertigt erscheinen.

Wir fassen zusammen. Nachdem wir in dem ersten Kapitel die das Problem beherrschenden Gleichungen unter Vernachlassigung physikalisch i m allgemeinen unwesentlicher Erscheinungen wie Kompressibilitat , Strahlungswirkungen und nicht exakt lineares Verhalten der Warmeausdehnung abgeleitet hatten, gingen wir auf die tragheitsfreie Stromung ein, die bei Substanzen von groBer innerer Reibung und kleiner Tem- peraturleitfahigkeit und damit kleiner Wiirmeleitfahigkeit an- nahernd realisiert erscheint. Wir suchten Falle auf, bei denen eine Geschwindigkeitskomponente idsntisch verschwindet; bei ihnen war sogar die Moglichkeit einer Darstellung der Losung mit Hilfe trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen gegeben. Sodann berechneten wir Stromungen mit stromungs- aktiven und stromungspassiven Wandungen, die eine ubersicht- liche Rekursions- und Randbedingungsrechnung gestatteten. Hierbei ergaben sich Losungen, die es ermoglichten, jedes Striimungsbild, bei dem die Tragheit eine unwesentliche Rolle spielt , aus einem Normalstromungsbild mit Hilfe einfacher MaSstabsoperationen zu gewinnen und damit auch experi- mentell unzugangliche Striimungen eventuell durch Vergleich mit anderen , versuchstechnisch zuganglichen zu untersuchen. Wesentliche Einschrankungen in dieser Hinsicht stellen sich ein, wenn der EinfluS der Wagheit der stromenden Substanz nicht vernachlassigt werden kann. Die rekursive Rechnung bietet wenig neue Schwierigkeiten, indessen fiihrt sie zu

742 B. Giindel.

Losungen, die prinzipiell nicht mehr die Einfuhrung einer Normalstriimung gestatten, da die durch die Wigheit ein- gehende Materialkonstante

Beitriiye zur B a g e der Wiirmekonvektion.

Temperaturleitfdhigkeit x Diehte Innere Reibung

g=-

die Gewinnung einer von der Substanz nur mittelbar ab- hangigen Reihendarstellung unmoglich macht. Ein mal3stab- licher Stromungsvergleich ist hier nur bei Stromungen des- selben Stoffes oder Substanzen von gleichem o moglich.

Die Anregung zu dieser Arbeit ging von Hrn. Professor Dr. E. Made lung aus, dem ich auch an dieser Stelle fur seine freundliche Unterstiitzung und Beratung meinen er- gebensten Dank ausspreche.

(Eingegangen 26. November 1925.)