Bazat e Elektroteknikës

Ligjërata: 12

Metodat e zgjidhjes së rrjetave

Akademik Alajdin Abazie-mail: a.abazi@seeu.edu.mk , Tel: (044)356-110

2

Struktura e rrjetave elektrike

Topologjia – konfiguracioni i rrjetës që përshkruan pozitat dhe mënyrat e ndërlidhjes së

elementeve të rrjetës elektrike.

Kuptime themelore nga topologjia e rrjetave elektrike:

• Degë – pjesë e rrjetit ku rrjedh rryma e njejtë.

• Nyje – vendi (pika) ku takohen tre ose më tepër degë.

• Konturë – rruga e mbyllur përmes degëve të rrjetit• Rruga e mbyllur – rruga nëpër degët e rrjetit që fillon nga

një nyje (duke mos kaluar më tepër se një herë në të njejtën nyje) dhe mbaron në po të njejtën nyje.

• Kontura të pavarura – konturat që dallojnë nga njëra tjetra së paku për nga një degë.

3

Përshkrimi i rrjetave përmes ligjeve të Kirhofit Rrjeta elektrike që ka:

d – degën – nyje dhek – kontura të pavarura

Mund të përshkruhet si sistem i d=k+n-1 barazimeve të pavarura, nga të cilat:

k – janë barazime të Kirhofit për tensione (LIIK) dhen-1 – janë barazime të Kirhofit për rryma (LIK).

Madhësitë e rezistencave dhe burimeve të rrjetit janë parametra të këtij sistemi të barazimeve dhe me zgjidhjen e tij, fitohen rrymat e panjohura të të gjitha degëve (elementeve) të rrjetit elektrik.

4

Metoda e potencialeve (tensioneve) të nyjeve Nëqoftëse rrymat (në k barazimet LIIK) e degëve

shprehen përmes tensioneve të degëve (të shprehura si diferencë e potencialit të nyjeve) ata shndërohen në barazime të LIK, dhe fitohet sistemi me n-1 barazime, në të cilat të panjohura janë potencialet e n-1 nyjeve (për njërën prej tyre (referente) supozohet se është φ=0).

Sistemi i fituar i barazimeve përshkruan rrjetin elektrik njëlloj sikurse ligjet burimore të Kirhofit, mirëpo është më i lehtë për zgjidhje, ngase përmban numër më të vogël (vetëm n-1 në vend të d të barazimeve.

Nga tensionet e llogaritura të degëve (si dallim potenciali mes nyjeve) mund të llogariten pastaj edhe rrymat e të gjitha degëve. Andaj, kjo metodë e zgjidhjes së rrjetave quhet metoda e potencialeve (tensioneve) të nyjeve.

5

Aplikimi i metodës së potencialeve të nyjeve

1. Një nyje zgjedhet si referente (me potencial φ=0)

2. Për të gjitha nyjet tjera n-1 shkruhen ekuacionet e formës:

ku, φi – nyja për të cilën shkruhet ekuacioni;

φi , φk , deri φn – potencialet e nyjeve fqinje të cilat me nyjen e i-të kanë së paku një degë të përbashkët; Gi – përçueshmëria e të gjitha degëve që vijnë nënyjen i;

Gij – përçueshmëria e degës së përbashkët mes nyjeve i dhe j.

Ils – rrymat e lidhjes së shkurtë të të gjtha degëve (aktive) që hyjnë në nyjen iDegë aktive janë degët me burime. Rrymat e lidhjes së shkurtë të degëve përmbajnë parashenjë “+” nëse hyjnë në nyje, kurse “-” kur dalin nga nyja.

3. Zgjidhet sistemi i ekuacioneve dhe fitohen potencialet e nyjeve. Nga dallimet e potencialeve (tensionet e degëve) pastaj mund të llogariten rrymat e të gjitha degëve të rrjetit.

lg

...a

lsinnikkijjii IGGGG

6

Ekuacionet e potencialeve të nyjeve

Në rrjetin elektrik:

Nyjen e katërt e zgjedhim si nyje referente, dmth φ4=0:

ku: Gi=1/Ri , i=0, 1, ….5 , përçueshmëria e degëve të veçanta

)1()( 440003124101 NyjaGUGUGGGGG

)2(0)( 23521211 NyjaGGGGG

)3()( 330032032201 NyjaGUGUGGGGG

7

Vetitë e ekuacioneve të potencialeve të nyjeve Ekuacionet e potencialeve të nyjeve mund të

shkruhen edhe në formë matricore:

• Matrica e përçueshmërisë G është matricë diagonale simetrike dhe simetria shërben për verifikim të korektësisë së ekuacioneve të shtruara për rrjetën e dhënë. Nënkuptohet se verifikimi është vetëm formal, ngase për verifikim detal, duhet patur kujdes të gjitha elementet e rrjetit.

8

Teorema e Millmanit

Rrjeta me dy nyje mund tëpërshkruhet me vetëm njëekuacion të potencialit tënyjeve. Për φb=0, është:

ku, G është përçueshmëria e degëve, kurseIls rrymat e lidhjes së shkurtë të degëve

aktive.

Kur φb=0, φa=Uab, andaj tensioni Uab mund të njehsohet si:

Kjo shprehje është e njohur si Teorema e Millmanit

G

I

U als

ablg

lga

lsa IG

9

Teorema e Millmanit – Vërtetimi (1)

Në qarqet elektrike me dy nyje, a dhe b, Tensioni Uab përcaktohet nga shuma algjegrike e të gjitha rrymave në nyjen a, e pjestuar me shumën e përçueshmërive të të gjitha degëve mes a dhe b.

10

Teorema e Millmanit – Vërtetimi (2)

Kur në qarkun elektrik me dy nyje, burimet e tensionit ekuivalentohen me burrime rrymore, fitohet:

niR

EI

i

ii ,...,1,

11

Teorema e Millmanit – Vërtetimi (3)

,që edhe duheshte të vërtetohet!

n

i ii

in

ii R

GR

EII

11

1;

n

i i

n

i i

i

ab

R

RE

G

IU

1

1

1

12

Rrjeta elektrike nga këndvështrimi i një elementi Kur na intereson vetëm një element i rrjetit (p.sh.

rezistenca R mes pikave a dhe b në rrjetë), pjesën tjetër të mbetur të rrjetit mund ta trajtojmë si “kuti të zezë”

A - rrjeta aktive lineare

13

Rrjeta aktive lineare = Burim real

Po të largohet rezistenca R, mes pikave a dheb do të egziston tensioni Uab , gjegjësishttensioni i lidhjes së hapur

Po të zëvendësohet rezistenca R me lidhje tëshkurtë, mes lidhjes së shkurtë të pikave a dheb do të rrjedhë rryma Iab e lidhjes së shkurtë.

Rrjeta aktive lineare A, e shiquar nga dy pika(a dhe b), sillet si burim real!

Raporti mes tensionit të lidhjes së hapur dherrymës së lidhjes së shkurtë paraqetrezistencën e brendëshme të rrjetit Rab

ab

abab I

UR

14

Teorema e Tevenenit

Poqëse një element vështrohet nga dy pikat kyçëse, atëherë rrjeta aktive lineare mund të zëvendësohet me modelin e tensionit të burimit real (Burimi i Tevenenit) me parametrat ET dhe RT.

Forca elektromotore e Burimit ekuivalent të Tevenenit (ET–Tensioni i Tevenenit) është e barabartë me tensionin e lidhjes së hapur mes dy pikave të vështruara.

Rezistenca e brendëshme e burimit ekuivalent të Tevenenit (RT–Rezistenca e Tevenenit) është e barabartë me rezistencën e përgjithshme të rrjetit mes dy pikave të vështruara.

15

Aplikimi i Teoremës së Tevenenit

Përcaktohen pikat kyçëse (p.sh. a dhe b) të elementit të rrjetit të cilit dëshirojmë t’ia përcaktojmë rrymën (ose tensionin) dhe ai element largohet (ç’kyqet) nga rrjeti (lidhja e hapur mes pikave a dhe b)

Përcaktohet tensioni i lidhjes së hapur Uab, me çka përcaktuar tensioni i Tevenenit: UT= Uab.

Përcaktohet rezistenca e përgjithshme e rrjetit të mbetur Rab mes pikave a dhe b, ashtuqë shuhen të gjitha burimet, me çka përcaktohet edhe rezistenca e Tevenenit RT=Rab.

Pjesa e mbetur e rrjetit ekuivalentohet me burimin e Tevenenit, në të cilin kyqet sërish elementi i ç’kyqur dhe llogaritet rryma dhe tensioni përkatës.

16

Teorema e Tevenenit – Vërtetimi (1)

Rryma në cilëndo degë a-b të qarkut (rrjetës) elektrik, ku mes pikave a dhe b ndodhet rezistenca R, përcaktohet duke zëvendësuar pjesën tjetër të qarkut me burim ekuivalent të tensionit.

Forca elektromotore e burimit (ET) është e barabartë me tensionin në skajet e degës a-b kur ajo është e hapur.

Rezistenca e brendëshme e rezistencës ekuivalente (RT) është e barabartë me rezistencën e përgjithshme të qarkut pasiv vështruar nga skajet e hapura a dhe b.

Qarku pasiv fitohet nga qarku (rrjeta) real, pasi të jenë shuar të gjitha burimet!

17

Teorema e Tevenenit – Vërtetimi (2)

Qarku aktiv:

Me shuarjen e burimeve në A fitohet qarku pasiv:

18

Teorema e Tevenenit – Vërtetimi (3)

Marim dy burime tensioni E1 dhe E2, E1= E2=Uab, dhe i lidhim në degën a-b, si vijon:

Sipas parimit të superpozicionit, po ta shuajmë E2 dhe ta lëmë E1 dhe të gjitha burimet tjera në qarkun aktiv A, atëherë nëpër rezistencën R do të rrjedhë rryma I’e cila është e barabartë me zero (ngase E1=Uab).

19

Teorema e Tevenenit – Vërtetimi (4)

Sipas parimit të superpozicionit, në hapin e dytë, i shuajmë të gjitha burimet në A dhe E1, kurse e lëmë aktiv vetëm burimin E2. Tani në rrjetë rrjedh vetëm rryma I’’.Meqë I=I’+I’’ :

Andaj:

,që edhe duheshte të vërtetohet!

abRR

EII

2''

20

Teorema e Nortonit

Poqëse një element vështrohet nga dy pikat kyçëse, atëherë rrjeta aktive lineare mund të zëvendësohet me modelin rrymor të burimit real (Burimi i Nortonit) me parametrat IN dhe RN.

Rryma e burimit ekuivalent të Nortonit (IN – Rryma e Nortonit) është e barabartë me rrymën e lidhjes së shkurtë mes dy pikave të shqyrtuara.

Rezistenca e brendëshme e burimit ekuivalent të Nortonit (RN –Rezistenca e Nortonit) është e barabartë me rezistencën e përgjithshme të rrjetës mes atyre dy pikave.

21

Aplikimi i Teoremës së Nortonit

Përcaktohen pikat kyçëse (p.sh. a dhe b) të elementit të rrjetit të cilit dëshirojmë t’ia përcaktojmë rrymën (ose tensionin) dhe ai element largohet (ç’kyqet) nga rrjeti kurse pikat a dhe b lidhen shkurt.

Përcaktohet rryma e lidhjes së shkurtë Iab, me çka në fakt përcaktohet rryma e Nortonit: IN= Iab.

Hapet lidhja e shkurtë dhe përcaktohet rezistenca e përgjithshme e rrjetit të mbetur Rab mes pikave a dhe b, ashtuqë shuhen të gjitha burimet, me çka përcaktohet edhe rezistenca e Nortonit RN=Rab.

Pjesa e mbetur e rrjetit ekuivalentohet me burimin e Nortonit, në të cilin kyqet sërish elementi i ç’kyqur dhe llogaritet rryma dhe tensioni përkatës.

22

Teorema e Nortonit – Vërtetimi (1)

Rryma në cilëndo degë a-b të qarkut (rrjetës) elektrik, ku mes pikave a dhe b ndodhet rezistenca R, përcaktohet duke zëvendësuar pjesën tjetër të qarkut me burim ekuivalent të rrymës.

Rryma e burimit ekuivalent të rrymës (IN) është e barabartë me rrymën në degën a-b kur ajo është e lidhur shkurt.

Rezistenca e brendëshme e burimit ekuivalent të rrymës (RN) përcaktohet në të njejtën mënyrë sikurse te teorema e Tevenenit (prej ku rrjedh që RN=RT).

23

Teorema e Nortonit – Vërtetimi (2)

Nga Teorema e Tevenenit dhe nga ekuivalentimi i burimit real të tensionit në burim real të rrymës:

Në mënyrë alternative munt të praktikohet parimi i superpozicionit për bashkangjitjen e dy burimeve rrymore me rryma të njejta (IN), por me kahje të kundërta, në mënyrë paralele me degën a-b.

TNT

TN RR

R

EI ;

24

Teorema e Nortonit – Vërtetimi (3)

Në qarqet e rrymës njëkahore, teorema e Tevenenit dhe e Nortonit janë ekuivalente në zëvendësimin (por me parametra të ndryshëm) e rrjetës aktive lineare A.

Në qarqet e rrymës së ndryshueshme nuk vlen në të gjitha rastet ekuivalentimi mes këtyre dy teoremave. Në fakt, egzistojnë qarqe të rrymës së ndryshueshme te të cilat mund të praktikohet vetëm njëra nga këta dy teorema, andaj edhe arsyetohet formulimi në veçanti i këtyre dy teoremave.

25

Pyetje!