basiswiskunde hoorcollege 1313 oktober 2014 gerrit oomens basiswiskunde hoorcollege 13 van q naar r...
TRANSCRIPT
-
Basiswiskunde Hoorcollege 13Extra: constructie van de reële getallen
Gerrit [email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor WiskundeFaculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
13 oktober 2014
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.
Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.
Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.
Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.
Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Van Q naar R
In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.
Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.
Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.
Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N.
De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent.
Bekijk bijv.
√2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414
een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Cauchy-rijen in Q
Definitie
We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.
Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .
Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.
Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:
Convergente rijen zijn Cauchy.
Cauchy-rijen zijn begrensd.
Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n
:= (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n
:= (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.
Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n
⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R.
Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n]
van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n.
We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n]
= {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met Cauchy-rijen
We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:
(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n
(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.
Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door
(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.
De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben
[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R.
Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n].
We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r
:= [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r .
Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze?
Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n]?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?
Ja
: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0
, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n)
= (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)
→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Rekenen met reële getallen
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren
s + r := [(sn + rn)n].
We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat
(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,
geldt dan
[(sn + rn)n] = [(s′n + r
′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?
Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook
(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?
Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q)
= [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n]
, met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R
die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is.
Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ R
is dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Q is een deelverzameling van R
Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.
Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer
i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.
Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij
(2, 2, 2, 2, . . .),
en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +
13 , 2 +
14 , 2 +
15 , . . .).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n
, dus rn − sn → 0.
We willen aantonen dat r2n − s2n → 0
, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.
Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣
=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n
, dus rn − sn → 0.
We willen aantonen dat r2n − s2n → 0
, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.
Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣
=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n
, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0
, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.
Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣
=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.
We willen aantonen dat r2n − s2n → 0
, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.
Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣
=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0
, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣
=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.
Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣
=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣
=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn|
≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn|
→ 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn
,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn|
≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn|
≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C
voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C
en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Kwadraat
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
].
Claim
De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.
Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣
= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,
waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N
, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|
, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N
, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|
, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)
⊆(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|
, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|
, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|
, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|
, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|
, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2
<2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N
=1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/�
geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim
De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.
Laat m, n ≥ N, dan geldt
a2m ∈(2− 1m , 2 +
1m
)⊆
(2− 1N , 2 +
1N
),
en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +
1N
).
Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .
We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|, dus
|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|
≤∣∣a2n − a2m∣∣
2<
2
2N=
1
N.
Dus voor N ≥ 1/� geldt er |an − am| < �.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
]. Laat verder an ∈ Q≥0 met
a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim (bewezen)
De rij (an)n een Cauchy-rij.
We schrijven√
2 :=[(an)n
]∈ R.
Claim
Er geldt g(√
2) =[(a2n)n
]= 2 :=
[(2)n
].
We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n
, dus dat a2n − 2→ 0.
Er geldt a2n − 2 ∈(− 1n ,
1n
).
Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .
Er volgt dat a2n − 2→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
]. Laat verder an ∈ Q≥0 met
a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim (bewezen)
De rij (an)n een Cauchy-rij.
We schrijven√
2 :=[(an)n
]∈ R.
Claim
Er geldt g(√
2) =[(a2n)n
]= 2 :=
[(2)n
].
We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n
, dus dat a2n − 2→ 0.
Er geldt a2n − 2 ∈(− 1n ,
1n
).
Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .
Er volgt dat a2n − 2→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
]. Laat verder an ∈ Q≥0 met
a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim (bewezen)
De rij (an)n een Cauchy-rij.
We schrijven√
2 :=[(an)n
]∈ R.
Claim
Er geldt g(√
2) =[(a2n)n
]= 2 :=
[(2)n
].
We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n
, dus dat a2n − 2→ 0.Er geldt a2n − 2 ∈
(− 1n ,
1n
).
Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .
Er volgt dat a2n − 2→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
]. Laat verder an ∈ Q≥0 met
a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim (bewezen)
De rij (an)n een Cauchy-rij.
We schrijven√
2 :=[(an)n
]∈ R.
Claim
Er geldt g(√
2) =[(a2n)n
]= 2 :=
[(2)n
].
We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n, dus dat a2n − 2→ 0.
Er geldt a2n − 2 ∈(− 1n ,
1n
).
Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .
Er volgt dat a2n − 2→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
]. Laat verder an ∈ Q≥0 met
a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim (bewezen)
De rij (an)n een Cauchy-rij.
We schrijven√
2 :=[(an)n
]∈ R.
Claim
Er geldt g(√
2) =[(a2n)n
]= 2 :=
[(2)n
].
We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n, dus dat a2n − 2→ 0.Er geldt a2n − 2 ∈
(− 1n ,
1n
).
Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .
Er volgt dat a2n − 2→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
]. Laat verder an ∈ Q≥0 met
a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim (bewezen)
De rij (an)n een Cauchy-rij.
We schrijven√
2 :=[(an)n
]∈ R.
Claim
Er geldt g(√
2) =[(a2n)n
]= 2 :=
[(2)n
].
We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n, dus dat a2n − 2→ 0.Er geldt a2n − 2 ∈
(− 1n ,
1n
).
Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .
Er volgt dat a2n − 2→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Worteltrekken
We bekijken g =[(rn)n
]7→
[(r2n )n
]. Laat verder an ∈ Q≥0 met
a2n ∈(2− 1n , 2 +
1n
).
Claim (bewezen)
De rij (an)n een Cauchy-rij.
We schrijven√
2 :=[(an)n
]∈ R.
Claim
Er geldt g(√
2) =[(a2n)n
]= 2 :=
[(2)n
].
We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n, dus dat a2n − 2→ 0.Er geldt a2n − 2 ∈
(− 1n ,
1n
).
Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n . Er volgt dat a2n − 2→ 0.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N.
We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:
Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).
Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).
Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).
Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Ordeningen
We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.
Definitie
Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.
Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X .
Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.
We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .
Er bestaat x ∈ X .
Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.
We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X .
Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x .
Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.
We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens
en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.
Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.
Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r
en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13
-
Supremum
Stelling
Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.
Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:
ln rnmn = (ln + rn)/2
Definieer
als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn
anders: ln+1 = mn rn+1 = rn
Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r en dit is de kleinste bovengrens.
Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13