bashkësitë - wordpress.com · Është shumë e thjeshtë të përjashtosh një element nëse ne...
TRANSCRIPT
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
1
Bashkësitë
Matematika diskrete i dedikohet studimit të strukturave diskrete, të cilat përdoren për të paraqitur
objekte diskrete. Strukturat diskrete ndërtohen nëpërmjet bashkësive, të cilat janë koleksione
objektesh.
Hyrje
Përkufizim: Një bashkësi1 është një grup i pa renditur objektesh, të cilat quhen elementë të
bashkësisë.
Bashkësitë shënohen me gërmat e mëdha të alfabetit, ndërsa elementët e tyre me gërmat e vogla
të alfabetit. Shpeshherë, por jo gjithmonë, elementët e bashkësive gëzojnë veti të njëjta. Për të
treguar që elementi 𝑎 bën pjesë (i përket) në bashkësinë 𝐴 , përdoret shënimi 𝑎 ∈ 𝐴 . Ka disa
mënyra për dhënien e një bashkësie:
Metoda Roster, në të cilën elementët listohen me radhë, për shembull:
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑},
𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}.
Me përshkrim, të një vetie të caktuar që e gëzojnë të gjithë elementët e bashkësisë, për
shembull:
𝑂 = {𝑥|𝑥 numër i plotë pozitiv më i vogël se 10},
ose
𝑂 = {𝑥 ∈ 𝑍+|𝑥 numër tek dhe 𝑥 < 10}.
Disa bashkësi të rëndësishme
Bashkësia e numrave natyror
Numrat natyror janë ata që përdoren për të numëruar ose renditur objekte (njësi) të ndryshme.
1 Ky pwrkufizim wshtw sipas Teorisw naive tw bashkwsive tw Georg Cantor.
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
2
A është numri zero (0), numër natyror? Disa përkufizime e konsiderojnë 0 numër natyror, dhe disa
të tjera jo.
Disa pro për konsiderimin e 0-s si një numër jo natyror janë:
Përgjithësisht, 0 nuk është aspak numër natyror. Ajo është e veçantë në shumë aspekte;
Njerëzit e fillojnë numërimin nga 1-shi;
Vargu harmonik 1/𝑛 është e përcaktuar për çdo numër natyror 𝑛;
Numri i parë është 1-shi;
Gjatë njëhsimit të limiteve, 0 luan një rol i cili është simetrik në lidhje me ∞, dhe ky i
fundit nuk është numër natyror.
Disa pro për konsiderimin e 0-s si një numër natyror janë:
Pika fillestare në teorinë e bashkësive është bashkësia boshe, e cila mund të përdoret për të
paraqitur 0 në ndërtimin e numrave natyror; numri 𝑛 mund të përcaktohet si bashkësia e
𝑛 numrave të parë natyror;
Kompjuterat fillojnë numërin nga 0;
Mbetjet gjatë pjestimit të një numri të plotë me 𝑛, janë 𝑛 numra të ndryshëm të cilët fillojnë
nga 0 deri në 𝑛 − 1;
Është shumë e thjeshtë të përjashtosh një element nëse ne na duhen numrat natyror pa
zeron, ndërkohë që është shumë e komplikuar të përcaktosh një element të ri nëse nuk e ke
atë tashmë;
Bashkësia e numrave të plotë, bashkësia e numrave real, bashkësia e numrave kompleks, e
përfshijnë numrin 0. Në këto bashkësi 0 luan një rol më të rëndësishëm se 1, sepse këto
bashkësi janë simetrike në lidhje me 0.
Ekziston një simbolikë për të përcaktuar bashkësinë pa zeron, për shembull 𝑅∗, ose numrat
pozitiv 𝑅+, por nuk ekziston një simbolikë për të përcaktuar një bashkësi të cilës i shtohet
elementi 0.
Grada e një polinomi mund të jetë 0, gjithashtu edhe rendi i derivimit mund të jetë 0.
Pra, në matematikë ka dy përcaktime për bashkësinë e numrave natyror. Sipas përcaktimit
tradicional, bashkësia e numrave natyror është bashkësia e numrave të plotë pozitiv {1, 2, 3, . . . },
ndërsa sipas një përkufizimi që jepet në shekullin e nëntëmbëdhjetë, bashkësia e numrave natyror
është bashkësia e numrave të plotë jonegativ {0, 1, 2, 3, . . . }.
Gjatë këtij kursi, për numrat natyror do të përdoret shënimi
𝑁0 = 𝑁0 = {0, 1, 2, 3, … } .
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
3
Në disa prej literaturave, ku bashkësia e numrave natyror përputhet me bashkësinë e numrave të
plotë pozitiv, si simbolikë përdoren
𝑁∗ = 𝑁+ = 𝑁1 = 𝑁>0 = {1, 2, 3, … } .
Bashkësia e numrave të plotë, 𝑍 = {0, ±1, ±2, ±3, … }.
Bashkësia e numrave të plotë pozitiv, 𝑍+ = {1, 2, 3, … }.
Bashkësia e numrave racional, 𝑄 = {𝑝
𝑞|𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍 dhe 𝑞 ≠ 0}.
Bashkësia e numrave real, R.
Bashkësia e numrave real pozitiv, 𝑅+.
Bashkësia e numrave kompleks, 𝐶 = {𝑎 + 𝑖𝑏|𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑖 = √−1}.
Nëse 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅 dhe 𝑎 < 𝑏 përcaktojmë si vijon bashkësitë e mëposhtme:
Segment (interval i mbyllur)
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏},
Gjysëm segment (interval gjysëm i mbyllur)
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏},
Gjysëm interval (interval gjysëm i hapur)
(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏},
Interval (interval i hapur)
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑎 < 𝑥 < 𝑏}.
Përkufizim: Dy bashkësi 𝐴 dhe 𝐵 do të quhen të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë kur ato kanë
të njëjtët elementë. Me simbolikë shkruajmë,
𝐴 = 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵}.
Bashkësitë {1, 3, 5}, {1, 5, 3} dhe {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5} janë të barabarta.
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
4
Përkufizim: Bashkësi boshe, quajmë bashkësinë që nuk ka asnjë element. Bashkësia boshe
shënohet me 𝜙 𝑜𝑠𝑒 { }.
Përkufizim: Bashkësia e cila ka saktësisht një element, quhet bashkësi një elementëshe.
Kujdes: Bashkësia 𝜙 dhe {𝜙} janë dy bashkësi të ndryshme.
Diagramat e Venn-it.
Diagramat e Venn-it (John Venn, 1881) mund të përdoren për të dhënë një bashkësi grafikisht.
Bashkësia e cila përmban të gjitha objektet që janë në shqyrtim, quhet bashkësi universale dhe
shënohet me 𝑈 . Bashkësia universale 𝑈 paraqitet me anë të një drejtkëndëshi. Brenda këtij
drejtkëndëshi mund të ndërtohen rrathë ose figura të tjera gjeometrike, për të paraqitur bashkësitë.
Pikat përdoren për të paraqitur elementët e bashkësive. Diagramat e Venn-it përdoren veçanërisht
për të treguar lidhjet që mund të ekzistojnë ndërmjet bashkësive.
Figure Diagrami i Venn-it për bashkësinë e zanoreve në alfabetin anglez.
Nënbashkësitë
Përkufizim: Bashkësia 𝐴 është nënbashkësi e bashkësisë 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur çdo element i
𝐴 është edhe element i 𝐵. Me simbolikë shkruajmë,
𝐴 ⊆ 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵}.
Për të treguar që 𝐴 ⊈ 𝐵, duhet të gjendet të paktën një element 𝑥 ∈ 𝐴, i tillë që 𝑥 ∉ 𝐵.
Teoremë: Çdo bashkësi jo boshe 𝑆 ka të paktën dy nënbashkësi, të cilajt janë 𝜙 dhe 𝑆.
Vërtetim:
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
5
Le të jetë 𝑆 një bashkësi. Për të treguar që 𝜙 ⊆ 𝑆 duhet treguar që ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝜙 → 𝑥 ∈ 𝑆} është i
vërtetë. Duke qënë se 𝑥 ∈ 𝜙 është një kontradiksion pasi është gjithmonë e gabuar, kemi të
mundshme dy lloje implikimesh të cilat janë gjithmonë të vërteta,
𝐺 → 𝑉 ≡ 𝑉,
𝐺 → 𝐺 ≡ 𝑉.
Për të treguar që 𝑆 ⊆ 𝑆 duhet treguar që ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑆} është i vërtetë. Nëse kemi që
𝑥 ∈ 𝑆 është e vërtetë, atëherë implikimet janë të formës
𝑉 → 𝑉 ≡ 𝑉,
të cilat janë gjithmonë të vërtetë.
Nënbashkësitë e përpikta
Përkufizim: Le të jenë 𝐴 dhe 𝐵 dy bashkësi. 𝐴 quhet nënbashkësi e përpiktë (rigoroze) e
bashkësisë 𝐵 nëse 𝐴 është nënbashkësi e 𝐵 dhe 𝐴 është e ndryshme nga 𝐵 . Me simbolikë
shkruajmë,
𝐴 ⊂ 𝐵 atëherë dhe vetëm atëherë kur ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵} ∧ ∃𝑥{𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}.
Për të treguar që dy bashkësi janë të barabarta duhet treguar që ato janë nënbashkësi të njëra-
tjetrës,
𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴.
Ndodh që elementët e një bashkësie të jenë sërish bashkësi, për shembull
𝐴 = {𝜙, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}}
dhe
𝐵 = {𝑥|𝑥 është nënbashkësi e {𝑎, 𝑏}}.
Vini re se bashkësia 𝐴 është e barabartë me 𝐵.
𝐾𝑢𝑗𝑑𝑒𝑠: Është e vërtetë që {𝑎} ∈ 𝐴 por 𝑎 ∉ 𝐴.
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
6
Përmasa e një bashkësie
Përkufizim: Le të jetë 𝑆 një bashkësi. Nëse në të gjenden saktësisht 𝑛 elementë të ndryshëm nga
njëri-tjetri, ku 𝑛 është numër i plotë jonegativ, atëherë bashkësia 𝑆 quhet bashkësi e fundme dhe 𝑛
quhet kardinali i saj. Kardinali i bashkësisë 𝑆 shënohet me |𝑆|.
Përkufizim: Një bashkësi quhet e pafundme, nëse ajo nuk është e fundme.
Bashkësia fuqi
Përkufizim: Bashkësia fuqi e një bashkësie 𝑆 është bashkësia e të gjitha nënbashkësive të saj dhe
shënohet me Ρ(𝑆).
Shembull: Le të jetë S={0, 1, 2}. Bashkësia fuqi e saj është
Ρ(𝑆) = {𝜙, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.
Shembull: Bashkësia fuqi e 𝜙, është Ρ(𝜙) = {𝜙}.
Shembull: Bashkësia fuqi e {𝜙} është Ρ({𝜙}) = {𝜙, {𝜙}}.
Teoremë: Nëse S është një bashkësi e fundme e tillë që |𝑆| = 𝑛, atëherë |Ρ(𝑆)| = 2𝑛.
Prodhimi kartezian
Shpesh në një koleksion të caktuar objektesh/elementësh i kushtohet rëndësi renditjes së tyre.
Përkufizim: Një bashkësie renditur me 𝑛 elementë (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛) është një grup i renditur
elementësh ku 𝑎1 është elementi i parë, 𝑎2 është elementi i dytë, e kështu me radhë, 𝑎𝑛 është
elementi i renditur në pozicionin e 𝑛-të.
Bashkësia e renditur me dy elementë quhet çift i renditur, bashkësia e renditur me tre elementë
quhet treshe e renditur.
Dy çifte të renditur (𝑎, 𝑏) dhe (𝑐, 𝑑) janë të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë kur 𝑎 = 𝑐 dhe
𝑏 = 𝑑.
Kujdes: (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎) por {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}.
Përkufizim: Prodhim/produkt kartezian të dy bashkësive 𝐴 dhe 𝐵 është bashkësia e çifteve të
renditura të elementëve, ku elementi i parë është nga bashkësia 𝐴 dhe elementi i dytë nga bashkësia
𝐵. Shënojmë
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
7
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}.
Shembull: Le të jetë 𝐴 = {1, 2} dhe 𝐵 = {𝑎, 𝑏}. Cili është prodhimi kartezian 𝐴 × 𝐵 dhe 𝐵 × 𝐴?
A janë të barabartë ata? Çfarë ndodh në përgjithësi, a e gëzon prodhimi kartezian vetinë e
ndërrimit?
Zgjidhje:
𝐴 × 𝐵 = {(1, 𝑎), (1, 𝑏), (2, 𝑎), (2, 𝑏)}
𝐵 × 𝐴 = {(𝑎, 1), (𝑏, 1), (𝑎, 2), (𝑏, 2)}
Vëmë re se 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴. Në përgjithësi prodhimi kartezian nuk e gëzon vetinë e ndërrimit, me
përjashtim të rastit kur 𝐴 = ∅ dhe 𝐵 = ∅ ose 𝐴 = 𝐵.
Kujdes:∅ × ∅ = ∅.
Përkufizim: Prodhimi kartezian i një koleksioni të fundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛 është një
bashkësi bashkësish të renditura, ku elementi i parë është nga 𝐴1, elementi i dytë nga 𝐴2, e kështu
me radhë elementi i 𝑛-të nga 𝐴𝑛 . Shënojmë ,
𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎_𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 𝑝ë𝑟 𝑖 = 1,2, … , 𝑛}.
Shembull: Nëse 𝐴 = {0, 1}, 𝐵 = {1, 2} dhe 𝐶 = {0, 1, 2} prodhimi kartezian 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 =
{(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2), (0,2,0), (0,2,1), (0,2,2), (1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,2,2))}.
Nëse kemi prodhime karteziane të një bashkësie 𝐴 me veten e saj, shënojmë si vijon:
𝐴 × 𝐴 = 𝐴2
ose
𝐴 × 𝐴 × … × 𝐴 = 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑝𝑤𝑟 𝑖 = 1, … , 𝑛}
Një nënbashkësi 𝑅 e një prodhimi kartezian 𝐴 × 𝐵 , do të quhet relacion nga bashkësia 𝐴 në
bashkësinë 𝐵.
Përdorimi i kuptimit të bashkësisë me sasiorët
Në disa raste, kur fusha e shqyrtimit të një sasiori ngushtohet në një bashkësi të caktuar kemi
shkurtimet e simbolikës si vijon:
∀𝑥 ∈ 𝑆{𝑃(𝑥)} është shkurtim 𝑖 ∀𝑥{𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑃(𝑥)},
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
8
∃𝑥 ∈ 𝑆{𝑃(𝑥)} është shkurtim 𝑖 ∃𝑥{𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑃(𝑥)}.
Bashkësia e vërtetësisë dhe sasiorët
Me dhënien e një predikati 𝑃 dhe një fushe shqyrtimi 𝐷, përcaktojmë bsahkësinë e vërtetësisë së
𝑃, si bashkësia që përmban elementët 𝑥 nga 𝐷 për të cilat 𝑃(𝑥) është e vërtetë. Shënojmë,
{𝑥 ∈ 𝐷|𝑃(𝑥)} .
Shembull: Cila është bashkësia e vërtetësisë për 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥), 𝑅(𝑥), ku
𝑃(𝑥) = "|𝑥| = 1"
𝑄(𝑥) = "𝑥2 = 2"
𝑃(𝑥) = "|𝑥| = 𝑥"
në rast se fusha e shqyrtimit të tyre është bashkësia e numrave të plotë.
Zgjidhje:
Bashkësitë e vërtetësisë për 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥) dhe 𝑅(𝑥) janë përkatësisht {-1, 1}, ∅, 𝑍+.
Veprimet me bashkësitë
Përkufizim: Le të jenë 𝐴 dhe 𝐵 dy bashkesi. Bashkimi i dy bashkësive 𝐴 dhe 𝐵 shënohet 𝐴 ∪ 𝐵
dhe përmban elementët të cilët gjenden në 𝐴 ose në 𝐵.
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Me anë të diagramës së Venn-it ilustrojmë si më poshtë bashkimin e dy bashkësive.
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
9
Figure 1
Figure 2
Shembull: Nëse 𝐴 = {1, 3, 5} dhe 𝐵 = {1, 2, 3} atëherë 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 5}.
Përkufizim: Le të jenë 𝐴 dhe 𝐵 dy bashkesi. Prerja e dy bashkësive 𝐴 dhe 𝐵 shënohet 𝐴 ∩ 𝐵 dhe
përmban elementët të cilët gjenden njëkohësisht në 𝐴 dhe në 𝐵.
𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Me anë të diagramës së Venn-it ilustrojmë si më poshtë prerjen e dy bashkësive.
Figure 3
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
10
Figure 4
Shembull: Nëse 𝐴 = {1, 3, 5} dhe 𝐵 = {1, 2, 3} atëherë 𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3}.
Përkufizim: Dy bashkësi do të quhen jo prerëse/ të papajtueshme nëse ato s’kanë asnjë element të
përbashkët, prerja e tyre të jetë boshe.
Shembull: Nëse 𝐴 = {1, 3, 5, 7, 9} dhe 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10} atëherë 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Shpesh jemi të interesuar për kardinalin e bashkimit të dy bashkësive të fundme A dhe 𝐵. |𝐴| +
|𝐵| numëron saktësisht një herë elementët të cilët gjenden vetëm në 𝐴 (jo në 𝐵) dhe numëron
saktësisht një herë elementët të cilët gjenden në 𝐵 (jo në 𝐴) dhe numëron dy herë elementët të cilët
gjenden njëkohësisht në 𝐴 dhe në 𝐵, domethënë në 𝐴 ∩ 𝐵.
Kështu, |𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|. Ky rezultat i përgjithësuar për më shumë se dy bashkësi
të fundme njihet me emrin Parimi i Përfshirje-Përjashtimit, parim i cili është shumë i rëndësishëm
gjatë procesit të numërimit.
Përkufizim: Diferenca e bashkëssisë 𝐴 me 𝐵 shënohet 𝐴 − 𝐵 (ose A\B) dhe përmban elementët të
cilët gjenden në 𝐴 por nuk gjenden në 𝐵. Diferenca e 𝐴 me 𝐵 njihet ndryshe dhe si komplementi i
𝐵 në 𝐴. Shënojmë,
𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵
ose
𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ �̅�} = 𝐴 ∩ �̅�.
Me atë diagramës së Venn-it ilustrojmë si më poshtë diferencën e bashkësive:
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
11
Figure 5
Figure 6
Figure 7
Përkufizim: Diferencë simetrike të bashkësisë 𝐴 me 𝐵, e shënojmë 𝐴⨁𝐵 dhe përmban elementët
që gjenden në 𝐴 ose në 𝐵, por jo në të dyja bashkësisë njëkohësisht. Me simbolikë shënojmë
𝑥 ∈ 𝐴⨁𝐵 ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)
ose
𝐴⨁𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)} .
Me anë të diagrmait të Venn-it paraqesim diferencën simetrike të dy bashkësive si vijon:
Figure 8
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
12
Vini re që 𝐴⨁𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴).
Shembull: Le të jetë 𝐴 = {1, 3, 5} dhe 𝐵 = {1, 2, 3}. Diferenca e bashkësive janë përkateisht 𝐴 −
𝐵 = {5} dhe 𝐵 − 𝐴 = {2} ndërsa diferenca simetrike është 𝐴⨁𝐵 = {2, 5}.
Përkufizim: Le të jetë 𝑈 bashkëisa universale. Komplementi i bashkësisë 𝐴 në lidhje me 𝑈
shënohet �̅� (ose 𝐴𝑐) dhe �̅� = 𝑈 − 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}.
Me anë të diagramës së Venn-it ilustrohet komplementi i bashkësisë si më poshtë:
Figure 9
Shembull: Le të jetë 𝐴 bashkësia e numrave të plotë pozitiv më të mëdhenj se 5 dhe 𝑈 bashkësia
e numrave të plotë pozitiv. Komplementi i 𝐴 në 𝑈 është bashkësia �̅� = {1, 2, 3, 4, 5}.
Identitetet e bashkësive
1. Ligjet e identikut
𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴
𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
2. Ligjet e dominancës
𝐴 ∩ ∅ = ∅
𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈
3. Ligjet e idempotencës
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴
4. Ligji i komplementit të dyfishtë
�̅̅� = 𝐴
5. Ligjet e ndërrimit
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
6. Ligjet e shoqërimit
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
13
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
7. Ligjet e shpërdarjes (nga e majta)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
8. Ligjet De Morgan
𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∩ �̅�
𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∪ �̅�
9. Ligjet e përvetësimit
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
10. Ligjet e komplementit
𝐴 ∪ �̅� = 𝑈
𝐴 ∩ �̅� = ∅
Shembull: Tregoni se 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∪ �̅�.
Zgjidhje:
Mënyra e parë:
Tregojmë se janë të vërteta përfshirjet 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊆ �̅� ∪ �̅� dhe 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊇ �̅� ∪ �̅�.
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⟺ 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∈ �̅� ∨ 𝑥 ∈ �̅� ⟺ 𝑥 ∈ �̅� ∪ �̅�
Mënyra e dytë:
𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵} = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐵} = {𝑥|𝑥 ∈ �̅� ∨ 𝑥 ∈ �̅�} = �̅� ∪ �̅�
Shembull: Tregoni që 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) për çdo tre bashkësi A, B dhe C.
Zgjidhje:
Mënyra e parë
Tregojmë se janë të vërteta përfshirjet 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) dhe 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊇
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶).
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ⟺
⟺ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶) ⟺ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶).
Mënyra e dytë
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
14
Për të treguar vërtetësinë e një identiteti mund të përdorim tabelën e vlerave të përkatësisë, ku nëse
një element i përket një bashkësie, në tabelë vendosim vlerën 1, në të kundërt vendosim vlerën 0.
𝐴 𝐵 𝐶 𝐵 ∩ 𝐶 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 ∪ 𝐶 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Krahasojmë kolonën e katërt dhe të fundit. Vemë re se këto dy kolona përputhen. Kjo nënkupton
që identiteti është i vërtetë.
Shembull: Tregoni që 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = (𝐶̅ ∪ �̅�) ∩ �̅�.
Zgjidhje:
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∩ (𝐵 ∩ 𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = �̅� ∩ (�̅� ∪ 𝐶̅) = �̅� ∩ (𝐶̅ ∪ �̅�) = (𝐶̅ ∪ �̅�) ∩ �̅�.
Përgjithësimi i bashkimeve dhe prerjeve të bashkësive
Le të jenë 𝐴, 𝐵 dhe 𝐶 bashkësi.
Përkufizim: Bashkësia 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) përmban elementët të cilët
gjenden në të paktën një nga bashkësitë 𝐴, 𝐵 ose 𝐶.
𝑃ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚: Bashkësia 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) përmban elementët të cilët
gjenden njëkohësisht në të tria bashkësitë 𝐴, 𝐵 dhe 𝐶.
Raste të mundshme të prerjeve dhe bashkimmeve të tri bashkësive 𝐴, 𝐵 dhe 𝐶 jepen me anë të
diagramave të Venn-it si më poshtë:
Figure 10
Figure 11
Figure 12
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
15
Figure 13
Figure 14
Figure 15
Shembull: Le të jenë 𝐴 = {0, 2, 4, 6, 8}, 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4} dhe 𝐶 = {0, 3, 6, 9}. Atëherë kemi që
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} dhe 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {0}.
Përveç rasteve ku kërkohet prerja ose bashkimi i tre bashkësive, mund të dallojmë edhe rastet kur
kemi të bëjmë me një koleksion të fundëm bashkësish ose një koleksion të pafundëm bashkësish.
Përkufizim: Bashkimi i një koleksion të fundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 është një bashkësi e cila
përmban ato elementë të cilët gjenden në të paktën një prej bashkësive të koleksionit,
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = ⋃ 𝐴𝑖 = {𝑥|∃𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.
𝑛
𝑖=1
Përkufizim: Prerje e një koleksioni të fundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 është një bashkësi e cila
përmban ato elementë të cilët gjenden njëkohësisht në të gjitha bashkësitë e koleksionit,
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 = ⋂ 𝐴𝑖 = {𝑥|∀𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.
𝑛
𝑖=1
Shembull: Për 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 le të jetë 𝐴𝑖 = {𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, … } . Përcaktojmë prerjen dhe
bashkimin si vijon:
⋃ 𝐴𝑖 = ⋃{𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, … } = {1, 2, 3, … } = 𝐴1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
⋂ 𝐴𝑖 = ⋂{𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, … } = {𝑛, 𝑛 + 1, … } = 𝐴𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
Përkufizim: Bashkimi i një koleksion të pafundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, … është një bashkësi
e cila përmban ato elementë të cilët gjenden në të paktën një prej bashkësive të koleksionit,
MAT 263 Matematikë Diskrete
Përgatiti: Dr. Orgeta Gjermëni
https://orgetagjermeni.wordpress.com/teaching-materials/
16
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ∪ … = ⋃ 𝐴𝑖 = {𝑥|∃𝑖 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.
∞
𝑖=1
Përkufizim: Prerje e një koleksioni të pafundëm bashkësish 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, … është një bashkësi e
cila përmban ato elementë të cilët gjenden njëkohësisht në të gjitha bashkësitë e koleksionit,
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 ∩ … = ⋂ 𝐴𝑖 = {𝑥|∀𝑖 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.
∞
𝑖=1
Ne mënyrë të ngjashme, nëse 𝐼 është bashkësia e indekseve të bashkësive të koleksionit, për
prerjen dhe bashkimin e bashkësive 𝐴𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 shënojmë:
⋂ 𝐴𝑖
𝑖∈𝐼
= {𝑥|∀𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖},
⋃ 𝐴𝑖 =
𝑖∈𝐼
{𝑥|∃𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖}.
Shembull: Le të jetë 𝐴𝑖 = {1, 2, 3, … , 𝑖}, për 𝑖 = 1, 2, 3, …. Kemi që,
⋃ 𝐴𝑖 = ⋃{1, 2, 3, … , 𝑖} = {1, 2, 3, … } = 𝑍+
∞
𝑖=1
∞
𝑖=1
,
⋂ 𝐴𝑖 = ⋂{1, 2, 3, … , 𝑖} = {1}
∞
𝑖=1
.
∞
𝑖=1