baróti, kis, schmidt, lukács - matematika feladatgyűjtemény

BUDAPESTI MŰSZAKI FŐISKOLA

Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar

Dr. Baróti György - Kis Miklós Schmidt Edit - Sréterné dr. Lukács Zsuzsanna

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

BMFKVK 1190 BUDAPEST, 2005

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar

Dr. Barótí György - Kis Miklós Schmidt Edit - Sréterné dr. Lukács Zsuzsanna

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Budapest, 2005

Szerkesztette: Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docens

Lektorálta: dr. György Anna főiskolai docens

Szerzők:dr. Baróti György főiskolai docens - 6., 7., 14. fejezet,Kis Miklós főiskolai adjunktus - L, 11., 13. fejezet,Schmidt Edit főiskolai adjunktus - 4., 5., 8. (8.3.1.-8.3.5. kivételével), 9. fejezet,Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docens - 2., 3., 8.3.1.-8.3.5., 10., 12., 15. fejezet

Felelős kiadó: Dr. Turmezei Péter, a BMF KVK dékánja. Munkaszám: BMF KVK 1190

ELŐSZÓFeladatgyűjteményünket a korábbi Kandó Kálmán Műszaki Főiskola hallgatói számára készítettük, akik ma a Budapesti Műszaki Főiskola három karán tanulnak. Az összeállításkor a nálunk folyó képzés igényeit tartottuk szem előtt, és tekintetbe vettük a különböző oktatási formák (nappali-, esti-, levelező tagozat, távoktatás) sajátosságait is.A kötet két részből áll: az első a feladatokat, a második a megoldásokat tartalmazza. A feladatok, egy-egy témakörön belül, nehézségi sorrendben következnek egymás után. A példák összeválogatásánál, a terjedelmi korlátok szabta kereteken belül, igyekeztünk bőséges és változatos kínálatot adni a zárthelyikre és a vizsgákra való felkészüléshez. A megoldási részben a feladatokhoz vagy végeredményeket (E), vagy vázlatos (V), vagy részletes megoldásokat (M) közlünk. Ezt jelzik a feladatok sorszáma mögött álló betűk. A gyűjteményünkben a mi követelményeinknek megfelelő feladatok szerepelnek. Reméljük azonban, hogy más felsőoktatási intézmények hallgatói is eredményesen tudják majd használni.Az észrevételeket, a könyvben előforduló esetleges hibák közlését kérjük és köszönettel fogadjuk.Budapest, 2000. szeptember

A szerkesztő

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁSMindenekelőtt megkülönböztetett köszönettel tartozunk dr. Bognár Sándor kari főigazgató, főiskolai tanárnak, akinek kezdeményezésére és támogatásával készítettük el ezt a régi hiányt pótló feladatgyűjteményt. Köszönjük a könyv lektorának, dr. György Anna kari főigazgató-helyettes főiskolai docensnek hasznos megjegyzéseit és javaslatait, amelyekkel segítette munkánkat.Végül köszönettel tartozunk a kötet szerkesztőjének, Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docensnek az észrevételeiért, a gondos és körültekintő szerkesztői munkájáért, amellyel biztosította, hogy formailag és tartalmilag egységes, reményeink szerint jól használható feladatgyűjteményt adhassunk hallgatóink kezébe.Budapest, 2000. szeptember

A szerzők

KVK-1190

KVK-1190

KVK-1190

1. KOMPLEX SZAMOK

1.1. Komplex számok ábrázolása

1.1.1. írja fel az alábbi komplex számok valós és képzetes részét, valamint algebrai alakban a konjugáltját, és számítsa ki az abszolút értéküket! A megadott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázolja a komplex számsíkon egy-egy pontként!

a)(M )z, = 3 - j ; b)(V) z , = - 2 + 2j;c)(V) Z3 = 2 + 3j; d)(E) z , = - 3 - 3 j ;e)(E) Z3 = - 5 ; f) (E) z ,= - 4 j ;g)(E) z, = - l + 3j; h)(E) z ,= 4 + j.

1.1.2. íija fel az alábbi komplex számok konjugáltját trigonometrikus alakban, nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irányszöggel. A megadott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázolja a komplex számsíkon egy-egy pont helyvektoraként!

a)(M) Zj = 3 (cos 45°+ j sin 45°);b)(V) Zj =4(cos210° + jsin210°);

c)(V) Z3 =V2(cos420° + jsin420°);d)(V) Z4 =3,5(cos(-1140°) + jsin(-1140°));

e)(E) Zj = 4

f) (E) z, =5

g)(E) z ,= 4 ,5

h)(E) z ,= V 3

71 . . 71 COS — + j s m —

6 6 /

cos2n

cos-

cos

320 71

+ jsm 27t

12■ + j s m -

20 7T

13714

+ jsm 13 71

/ /

1.1.3. írja fel az alábbi komplex számok konjugáltját exponenciális alakban, nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irány szöggel. A megadott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázolja a komplex számsíkon egy-egy pont helyvektoraként!

. 1 9 7 1

a)(M )z, = 3 e '" « ; b)(V) Z2 = 2 e^";. 5 71 . 2 1 71

c)(E) Z3 = 5 e '^ ; d)(E) z, = 3 e " '^ ;■ 23 71 ■ 25 71

e)(E) Z5 = 2 e' ; f) (E) z, = 4 e ‘ ;1 , ^ . 71 , 1 •— In5+j—

g)(M) Z7 =e^ 3. = e .

1.2. Áttérés a komplex szám egyes alakjai között

1.2.1. írja fel algebrai alakban az alábbi, trigonometrikus illetve exponenciális alakban megadott komplex számokat!

a) (M) z = 3 (cos 60° + j sin 60°);b)(V) z = 4 (cos (-45°) + j sin (-45°));c) (E) z = 2 (cos (-330°) + j sin (-330°));

d)(E) z = V2 (cos765° + jsin 765°);.571 .771 -J-T __ ^

KVK-1190

e) (M) z = V2 e ; f) (E) z = 2 e'’ ;_ . l l 7 I ■ 2 9 71

g)(E) z = 6 e '' ® ; h)(E) z = \Í3 o’ .

1.2.2. írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban az alábbi, algebrai alakban megadott komplex számokat!

a)(M) z = l + V3 j ; b)(M) z = -5 V 3+5 j ;c)(M )z = - 5 j ; d)(E) z = - 4 - 4 j ;e)(E) z = -5 ; f)(E) z = -e + e j ;g)(E) z = -0,61-8,83 j ; h)(E) z = -1 0 “' - 1 , 3 -lO^ j .

1.2.3. írja fel az alábbi komplex számokat algebrai, trigonometrikus és exponenciális alakban!

a) (M) z = -2 (cos 135° - j sin 225°);

b)(V) z = V2 (-s in 9 0 °-js in 2 7 0 °);c)(V) z = 6(tgl35° + jsin60°);

d) (E) z = - VS (ctg (-210°) - j tg (-300°));

e)(V) z = ( ln e ') - ( lg lO ^ )f ; f) (E) z = 4 f - 2 f ;

g)(E) z = (2j)'“ ; h)(E) z = (3 j)- \

1.2.4. Határozza meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét úgy, hogy irányszöge, illetve abszolút értéke a megadott legyen! A kapott komplex számot írja fel algebrai és trigonometrikus alakban is!

a)(M) z = -3 + b j ,h a (p = 150°; b)(E) z = a + V2 j ,h a (p = - y ;

c )(E) z = a + b j ,h a cp = -240° és r = 5;

d)(E) z = a + b j ,h a (p = és r = 17 .

1.3. Műveletek különféle alakú komplex számokkal

1.3.1. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban!

a)(M )z = (2 + 9 j)-h (4 -3 j); b)(E) z = ( - 7 - 4 j ) - ( l - 4 j ) ;

c)(E) z = ( - l + 3 j)+ (3 -5 j) ; d)(M) z = (-3 V 3 + 3 j)(V3 - j);

e)(V) z = (-2 V 3 -3 j)(-2 + V3j); f )(M )z = (2V 3-2j)(-V 3+V 3j);

g)(E) z = (3 + 2 j ) ( - 4 - j ) ; h)(V) z = (-2 + 2^3 j)';

i)(E) z = (-2 V 3 + 2 V 3 j) '; j) (V) z =

k )(E )z = - ^ ^ ; l ) ( E ) z = ( 2 '2 j ) - ( 7 - 3 j ) .

KVK-1190

- V 2 + V 2 j ’ (-3 + 7 j ) - ( - 5 + 9 j ) ’

n)ÍE) , - 2 V 3 -2 V 3 j -2V ^H -2j ’ 1 + V3j •

1.3.2. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban!

a)(M) z = (2(cos37° +jsin37°))(3(cosll3° + js in ll3 °));

b)(E) z = (VS (cos 108° + j sin 108°))(V2 (cos 72° + j sin 72°));c)(V) z = (5(cosl69° + jsinl69°))(0,3(cos(-199°) + js in (-199°)));d)(E) z = z ,z2 ,h a

KVK-1190

COS25 n \

+ jsin25 Ti \

Z2 = Vs (cos 240° + j sin 240°);6(cosl78° + jsin 178°)

e) (M) z = ---------------------------- ;2 (cos 133° + jsin 133°)

_ V2(cos336° + js in 336°),V8(cosl26° + jsinl26°) ’

_ 3 ^ ( c o s ( - i 7 ”) + i s m ( , - 3 r ) ) ,

V6(cos(-127°) + js in (-127°)) ’„ 4,28(cos(-257°) + jsin(-257°))

l,07(cos323° + jsin 323°)


a)(M) z = (3(cosl5° + jsin l5°))^

b)(E) z = (2 (cos45° + js in 45°))^;

c)(E) z = (2(cosl35° +jsinl35°))'';

d)(E) z = (cos(-3°) + jsin(-3°))‘

e)(M) z = ^ 2 7 (cos 180° + jsin 180°);

Í)(E) z = Vl6(cosl20° + jsinl20°);

g)(E) z = ^7,83(cos66° + js in 66°);

h)(V) z = (cos(-60°) + jsin(-60°))‘l .

KVK-1190


a)(M) z =

3 e “'3

■ IIA J tí

V /c)(V) z =

e)(M) z = ^ 2 V 2 e j’' ;

1.4, Vegyes feladatok

b)(E) z =

d)(E) z =

. 71 -^11,25 e

"Jt

f)(E) z = V81ej^" .

1.4.1. Végezze el a kijelölt műveleteket, és az eredményt adja meg algebrai és trigonometrikus alakban is!

j ( ( 6 + 5 j ) - ( 6 + 3 j ) ) 1 + j

1- J - 1+ J

(l + j ) . -------- 4e)(E) z = 0 (E ) z =( - l - j ) ( 3 - 3 j ) ^ ’ V 3 - j

gXV, z - M l í l M ; h ) (E )z = ^ ; 1+ J + J + J + J - 3 j

+ 2 - j;

i) (E) z = 6 - j: + 2 - j .


3V3 .

8- j ;a ) ( M ) z = V ^ ; b ) ( V ) z = 3

c)(V) z = V-5,47-10-^ ; d)(E) z = ^

e)(E) z = ^ ( 4 - 4 j ) ^ 0 (E ) z = ^ -1 6 ^ 3 + 1 6 j ;

81 81- V3 .- y + — j ;

KVK-1190

1.4.3. Adja meg az alábbi komplex számokat algebrai és trigonometrikus alakban is!

a) (M) z = Z3, haZl

. 5 7 1Jz, = 2 e ^ , Z2 =2a/3(cos90° +jsin90°) és Z3 = - j ;

b)(V) z = Z3, haZl

. 7t

z, =1 + V3 j , Z2 = 2 V3 (cos270°+ js in 270°) és Z3 ;

l + ~c)(V) z = ---- ^ ( z i - z 2),h a

1- —

Z2z, = 2 V2 (cosl35° +jsinl35°) és Zj = 2 - 2 j ;

„)(E) z = í l < í ^ , h aZ2Z3

z, =14e'' , Zj = -5 + V3 j és Z3 =1 + SV3 j; z, Z2 Z3

e)(E) z = --------- --------------- ,haZj Z2 + Z3 + Z2 Z3

■Jl 42 . - j i -i\ . V2 V2 .

Zj +Z2 +Z3. 71

Zj =3e''^ , Z2 = -V 3 + j és Z3 = 2 (cos30° + js in 30°);

10

KVK-1190

g)(E) z = ^ i^ 2 _ ± ^ ,h aZ,Z2 - Z 3

Zj = 2 (cos300°+ js in 300°), Zj =1 + V3 j és Z3 = 4 e ^ ;2 .71 . 3 ti

h)(E) -L^—---- ha z, = és Z2 = 3e 2Z1 - Z 2

1.4.4. Adja meg az alábbi komplex számokat algebrai és trigonometrikus alakban is!

a)(M) z ^ ^Zi (Z2 +Z3) , ha

z, =2e^", Z2 = 4 (cos90° + j sin90°) és Z3 = 4 + 4 j ;

b)(M )z = ^ Zi + Z 2,ha

j- \Flz, = 2 a/2 (cos90° + jsin90°), Zj =46^" és Zj = ------ ;

8

c)(E) z = ^Z2 + Z 3

^ , h a

Z, = - 2 yÍ2 , Z2 =4 V2

71 . . 71COS— + i s m —

2 ■’ 2es Z3 = — + j

8 8

d)(E) z = ^z, Z2 ’ , ha Z[ = í ) és Zj = 8V3 e'' ® ;

VZ1Z2 +Z3■ 5 ti

z, =2e^ , Z2 =1 + V3j és Z3 = 4 (cos 270° + j sin 270°);

f)(E) z = 4Z, + ( Z j + Z 3 ) z

3 — - + Z3, hay z, - Z 2 + z

Z[ = l + 2 j, Z2 = 2 - j és Z3 = l - j .

11

1.4.5. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán, és a gyököket adja meg algebrai alakban!

Q ÍÖa ) (M )z ^ - ( l + V3j) = 0; b)(V) 3 / , ;

KVK-1190

z^(3 + 3j)

c)(E) ^ + (2 -2 V 3 j)2 e^ ’'= 0 ;

d)(E) z " - ^ i - ^ = 0 ,h aZ3

z, = - V 3 - j , Z2 = Vl2 (cosl20° + js in l20°) és Zj = 2 j .

1.4.6. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán, és a gyököket adja meg exponenciális alakban!

a)(M) z ' - 2 z + 4 = 0; b)(E) 4 z ' - 5 z + 25 = 0;c)(V) z ^ 6 z ' +36 = 0; d)(E) z '+ 9 z = 0.

1.4.7. Jelentsen R, és X l mindegyike egy-egy tetszőleges, pozitív valós számot. Határozza meg az alábbiakban megadott, z komplex számok valós és képzetes részét!

é r

R j x ,

1.4.8.(V) Jelentsen R, X^ és X^ mindegyike egy-egy olyan paramétert, amelyek csak pozitív valós számokat vehetnek fel értékül. Adott X(, és X l esetén, hogyan válasszuk meg R értékét, hogy a

1Zo =-^------ j— + JX l

r “ P ^komplex szám képzetes része nulla legyen? Milyen feltételt kell teljesíteniük X , és X^ értékeinek ebben az esetben?

12

2. LINEÁRIS ALGEBRAKVK-1190

2.1. Mátrixok

2.1.1. Adottak az alábbi mátrixok:a* = 2 - 1 1 5 3], b* = 0 1 0 01 ^

'2 - 3 0‘ '1 0 0‘ '0 0 0‘A = 1 2 -1 B = 0 - 2 0 c = 0 0 0

0 1 5 ■ 0 0 0 0 0 0

■-3 -1 2 4 '1 0 0‘D = 0 1 - 4 5 , E = 0 1 0

- 2 3 7 6 0 0 1a)(E) Határozza meg az a*, B és D mátrixok típusát és a D mátrix

di2, Ó23 és d32 elemeit!b)(E) Milyen speciális mátrixokat talál a fenti mátrixok között?c) (E) írja fel a b*, B és D mátrixok transzponált]át!

2.1.2. Döntse el, hogy a mátrixokban szereplő a, b, c, d, f valós változók mely értéke esetén lesznek a mátrixok egyenlöek (e az Euler-féle szám)!

a)(M) A = In Ve sin 30°logsl -1

B =a b c -1

b)(E) A =a

t g ^ 0

0arctgl

B =log^4 b 0

c 0 d

13

KVK-1190

c)(E) A =

In e ^ -ln — cos480° e

sin(-300°)0 arccosO

B =a b c d 0 f

2-1

3

2.1.3. Adottak a következő mátrixok (j a képzetes egység, e az Euler-féle szám)!

'2 -1 3‘ ■-1 2 0'A = B =

0 5 1 1 -1 1

C =2 e 2

I n 4

cosO

sinO 3 (cos 180° + j sin 180°)

Végezze el az alábbi műveleteket! a) (E) A - 3B; b)(V) A - B + 2C.

2.1.4. Számítsa ki az alábbi skaláris szorzatok értékét!a)(E) a * b ,h a a* = [l - 3 2 O], b* = [3 1 0 1b)(E) c * d , ha c* = [2 -1 6 0 2],d* = [ - l 2 1 - 1 3

2.1.5. Adottak a következő mátrixok:

A =

'0 0 0’’ l - 2 3' 1 0 0

0 0 06 4 0 E = 0 1 0 0 =

0 0 02 -1 1 0 0 1

_0 0 0'1 0 2 - f5 2 0 13 -1 4 2

B =

Számítsa ki az alábbi szorzatokat! a)(E) AE; b)(E) BO ; c)(M) AB.

14

KVK-1190

2.1.6. Adottak a következő mátrixok:

A =

0 1 - 1 ;l '2 r '2 - 1 0'2 -1 0 1 3 - 1 1 2 1

, B = , c =1 - 1 1 0 0 2 3 - 1 20 2 0 1_ _5 1 0 1 1_

'5 - 2 3 0’a* = 2 - 3 1 \ .

1 4 6 5D =

Végezze el a kijelölt szorzásokat! a)(E) a*A ; b)(M) Aa ;d)(M )DB; e)(E) AC.

c)(E) AB;

2.1.7. Számítsa ki az AB és BA szorzatot és vizsgálja meg, hogy egyenlőek-e!

b)(E) A =

■3 - f'1 2 - í

A = B = 0 2_3 2 4_ ’

1 -1

■-1 0 — f 53 —

A = 1 f -■12 B = - 2

2 1 12_

8_ 3

2- 2

-2

c)(E) A =

1 3 - 42 0 5

-1 2 23 - 4 1

■3 2 - 5 0 ', B = 1 4 -1 3

2 2 4 -3_

2.1.8.Számítsa ki az AA* szorzatot és állapítsa meg, hogy milyen szabályosság van az eredmény mátrixban!

15

KVK-1190

■-2 5 r 3 -1 0 ia)(E) A = 3 -1 4 ; b)(E) A = 1 0 2 1

2 0 7 -1 4 1 5

2.1.9. (M) Számítsa ki az AP és PA szorzatokat és állapítsa meg, hogy milyen kapcsolat van az eredmény mátrix és az A mátrix között, ha

A =1 8 0' '0 1 0‘

- 3 5 -1 0 0 11 - 2 2_ 1 0 0_

2.2. Determinánsok

2.2.1. Számítsa ki az alábbi determinánsok értékét (j a képzetes egység, e az Euler-féle szám)!

3 2 - 5 4

b)(M) D = j 1 + j 2 - j

- 4 -1 12 2 0 0c)(M) D = 1 5 - 3 ; d)(M )D = 0 -■3 0 9

10 0 -3 0 0 0 5

3 -1 2 1 + j 1 je)(M) D = -1 0 5 -1 ; f ) (V )D = j 0 1- j ;

3 - 4 2 1- j ■j 1

g)(V) D = •28

cos450° + j • sin450°

2 (cos 180° + j • sin 180°)2

1 + j

. 7 1

•14

16

KVK-1190

h)(E) D =

4 - 3 9 1 1 2 -1 1- 2 7 - 2 2

; i ) ( E ) D =3 2 0 1

3 9 5 -1 - 3 1 2 51 3 4 2 2 0 4 6

2.2.2. Határozza meg, hogy mely valós vagy komplex x értékek esetén lesz az alábbi determinánsok értéke nulla (j a képzetes egység)!

1 1 2 X 1 1a)(V) D = 1 2 - x ' 2 ; b)(E) D = 1 X 1

2 3 1 1 1 X

1 - j - ] [

c)(V) D = 1 X - ] [ .

1- j 1 i

2.2.3. (V) Igazolja, hogy az alábbi egyenlőség bármely valós x esetén teljesül!

1 + cosx 1 + sinx 11 - sinx 1 + cosx 1

1 1 1= 1.

2.3. Lineáris egyenletrendszerek

2.3.1. Oldja meg Cramer-szabállyal az alábbi egyenletrendszereket! a)(M) b)(E)

X i + 4x 2 - 7 X 3 = - 7, X , + 2 X 2 + 3xj = 4,

x, + 6X2 - 10X3 = - 8, X ,-X 2 - X 3 = 3,3X [+ 2x 2 -X 3 = 9; 3 x ,-X 2 + 2X3 =5;

17

c)(E) d)(E)2x i + 3x 2 + 4x 3 = 3, 2x i - X 3 = 1,

X , - 6 X 2 + 2 X 3 = - 1, 2x , + 4 X 2 - X 3 = 1,

4x , + 3 x 2 - 8 X 3 = 1; - X , + 8 X 2 + 3 X 3 = 2;

e)(E) f)(E)2x , + 3 X j - X 3 = 5, 3x , - X 2 + 2 X 3 = - 4,

- X , + 2x 2 + X 3 = 6, X , - X 3 = 1,

4x , - 3 x 2 - 2 X 3 = - 8 ; 2x , + X 2 + 3 X3 = - 1;

g)(V) h)(V)5Xi + 3 X 2 + 4 X 4 = 7,

KVK-1190

-3Xi - 2x 2 + X3 = 6,X, - 3x 2 + 2x3 = - 1,

x, +X2 + 3X3 = 5;

A megoldást a természetes számok halmazán keresse!

5X2 + X3 + 6X4 = 30,

Xj + X 2 + X 4 = 7,

4x , + 2 X 2 + 3 X 4 = 10.

2.3.2. Számítsa ki Cramer-szabállyal a kijelölt ismeretlen értékét!a)(M) b)(E)

X; + X 2 + X3 + X 4 = 0, Xl + X 2 + 5 X3 + 2 X 4 = 1,

2x , - 3Xj - 2 X 3 = 1, 2x, + X 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = - 3,

- 2Xi + 3Xj + 6X3 - 6X4 = 1, 2X5+ 3X2 + 11X3 + 5X4 = 2,- X , - X 2 - 5 X 3 - 7 X 4 = 0; X, + X 2 + 3 X3 + 4 x 4 = - 3;

X 4 = ? X, = ?

c)(E) d)(E)X , + X 2 + X 3 + X 4 = 5, 2x , + X 2 - 5 X 3 + X4 = 8,

X , + 2 X 2 - X 3 + 4 X 4 = - 2, X , - 3x 2 - 6 X 4 = 9,

2x i - 3x 2 - X 3 - 5 X 4 = - 2, 2X2 - X 3 + 2 X 4 = - 5,

3x , + X 2 + 2 X 3 + 1 1 X 4 = 0; X , + 4 X 2 - 7 X 3 + 6 X 4 = 0;

X 3 = ? X 2 = ?

18

2.3.3. Oldja meg Cramer-szabállyal az alábbi egyenletrendszereket a komplex számok halmazán!

a)(M) b)(E)- 2j x i + (2 - j ) x 2 = 5 - 4j, X, + 2 x 2 = 1 + j,

(1 + j)xi - 5x 2 = - l l + 6j; 3xi + jx j = 2 -3 j ;

c)(V) d)(E)( - l + j ) x , - X 2 = 0, x , + 2x 2 + 4x j= 8,

Xi+X2 + jX 3 = 1, Xi + jXj - X 3 = - j ,- j x , +(l + j)x 2 = -3 + j; X, +(1 + j)x 2 + 2jx 3 = -2 + 2j.

2.3.4. Oldja meg Gauss-módszerrel az alábbi inhomogén egyenletrendszereket!

a)(E) b)(E)5x, + X2 + 4X3 - 2X4 = 3,

KVK-1190

Xj + 2Xj - X3 = 0,2xj - X2 + X3 = 5,

-X , + 3X2 - 4X3 = -5;

-X , +X2 +X3 +X4 = 6,- 8xj +2Xj - X 3 - X 4 = -3 ,

X2 + 2X3 + 3X4 = 14;

c)(M) d)(E)X.+X2+2X3+3x4= 1, 2x,+ X 2 -5 X 3 + X 4 = 8,Xj + 2X2 + 3X3 - X4 =-4, X , - 3x 2 —6 X 4 = 9,3x, - X2 - X3 - 2x4 = -4, 2xj - X3 + 2X4 = -5,2x, + 3x2 - X3 - X4 = -6; X, + 4X2 - 7X3 + 6X4 = 0;

e)(V) f)(E)X j- 8X2 + 9X3 = -32, 2 X ]-X 2 + 7 x 3 = 13,2 x , - X j + 3X3 = -1 , 9 x ,+ 4X2 - 8X3 = 2,

X , + 2x 2 ~ X 3 = 12; 5X [ + 6 X 2 - 2 2 X 3 = - 14;

19

g)(M) h)(E)X , - 3 x 2 + 2 X 3 - X 4 = 1’ 2x , - 3 x 2 + X3 + X4 = 6,

X 2 - X 3 +2 X4 = - 1, X [ + 2 x 2 - 4 x 3 = 4,

Xj - 2xj + X3 + X4 = 0, 3x , - X 2 - 3 X 3 - X 4 = - 2,

X j - X 2 + 3 x 4 = 0; 13x , - 2x j - 1 6 x 3 = 4;

i) (M) j) (E)2x , - X 2 + 3 x 3 = 1, X , + X 2 + 4 x 4 = 3 ,

2xj - 8X2 + 22X3 = -8, X2 - X3 + 3x4 = 1,

3 x , + 2 X 2 - 5 X 3 = 6 , X j - 2 x 2 + 3 X3 - 5 X 4 = 0 ,

5 x i + X 2 - 2 x 3 = 7; 3 x j - X j + 4 X 3 = 5 ;

k)(V) 1) (E)X, - X 2 + X 3 + X 4 = 1, X j + 2 X 2 + X 4 + X 5 = 7 ,

X 2 + 2 x 3 ~ X 4 = 2 , X i - X 2 + X 3 - 2 X 4 = 5 ,

2 x , + 5 X 3 = 8 , X 2 + X 3 + X 4 + 3 x 5 = 6 ,

x , - X 2 + X 4 = 3 ; 2 X ( - X 3 - 2 X 4 - 4 x j = 2 ;

m)(E) n)(E)- 2 x , + 3 X 2 + 2 X 3 - 2 X 4 = 1, X [ + X 2 + X 3 - X 4 = 4,

4Xi + 6 X 2 - 7 X 3 - 5 X 4 = - 2 , X, - X 2 + X 3 + X 4 = 8 ,

2 x , + X 2 - 3 X 3 - X 4 = - 1; 3X[ + X 2 + 3 X 3 - X 4 = 1 6 ;

o)(V) p)(E)- X j + 2 X 2 + 4 X 3 + 2 X 4 = 7, 2Xj + X 2 - X 3 + 3 X 4 = 13,

3xj - 2x 2 + 2X3 - 2X4 = 1, X, - X 2 + 2X3 - X 4 = 1,X , + 2 x 2 + 1 0 X 3 + 2 X 4 = 1 5 , 3 x , + X 2 + X 4 = 9,

- 2 X [ + 2 X 2 + X 3 + 2 x 4 = 3; X 2 - X 3 ~ X 4 = - 5 ;

írjon fel egy konkrét megöl- írjon fel két konkrét megoldást is! dást is!

KVK-1190

20

2.3.5. (M) Állapítsa meg, hogy a c valós paraméter mely értéke eseténvan az alábbi egyenletrendszernek legalább egy megoldása és oldja meg ezen érték esetén!

Xj + 2X2 - X 3 +X4 = 2,2X[ + 3 X2 - 3 X 3 - 2 X 4 = 4,

- 3x, - Sxj + 4X3 + X4 = c.

2.3.6. Oldja meg Gauss-módszerrel az alábbi homogén egyenletrendszereket!

a)(M) b)(V)2x , + X2 - X3 = 0, X, - 2x j - 4X3 + X4 - 3X5 = 0,

X; + 2Xj = 0, - Xj + X2 - 2X3 - 2x 4 - 2X5 = 0,3xi +X2 - X 3 = 0; 2x, - 5x 2 -H X 3 +X4 - l lX j = 0;

c)(E) d)(E)X , - 4x 2 + 2X3 = 0, X 1 + X 2 + 4 X 4 = 0 ,

2x i - 3 x 2 - X 3 - 5X4 = 0, X2 - X 3 + 3X4 = 0,3X[ - 7x 2 + X 3 - 5 X 4 = 0, X, - 2x 2 + 3 X3 - 5 X 4 = 0,

X2 - X 3 -X 4 = 0; 3 x i-X 2 + 4X3 = 0;

e)(V) f)(E)3X[ - X2 + X3 - X4 + 2X5 = 0, Xj + X2 + 2X3 - 3X4 = 0,

X , - 2 X 3 + X 4 + X 5 = 0, 2X [ + 3 X 2 - X 3 + X 4 = 0,

- 2x, + 2X2 + 3X4 -X j = 0, 2x, - 2X2 - X 3 + 4X4 = 0,3X2 - X 3 + 6X4 +Xj = 0; Xj -4 x 2 “ 3x3 + 2X4 = 0;

KVK-1190

g)(E) h)(E)x, - 2X2 + 2X3 - X 4 + 2X5 = 0,

2x 2 - X 3 +X4 = 0,X, + X j - X 3 + X4 - X 5 = 0,

2X[ +X2 - 3X3 - X 4 +X5 = 0, - 2xi - X2 - X3 + X4 - X5 =0;

Xj + 2X2 + X4 + 2X5 =0, X, + X 3 + 2 X 5 = 0 .

21

3. VEKTORGEOMETRIA

3.1. Alapfogalmak, alapműveletek

3.1.1. Adja meg az alábbi vektorok koordinátáit és számítsa ki abszolút értéküket!

a ) (E ) i , j ,k ; b)(M) a = 8 i- 4j + k ; c)(E) b = -2 i + 3k.

3.1.2. Adottak az a(2; -1; 0), b(4; 6; -2), c(3; -3; 5) vektorok.Számítsa ki az alábbi vektorok koordinátáit!

a)(E) V, = a - b , V2 = b - a ; b)(E) V 3 = 2 a-3 b + c;

1. - 1 - b + -2 3

KVK-1190

c)(E) V4 = - - b + - c .

3.1.3. Adottak az A (-l; 2; 1), B(0; 1; 5), C(2; 1; 3) pontok, írja fel a kijelölt vektorokat és számítsa ki a hosszukat!

a )(M )A C é sC A ; b)(E) AB; c ) ( E ) ^ .

3.1.4. Döntse el, hogy párhuzamosak-e az alábbi vektorok!a)(M) a(-2;3;l), b(0;0;0);b)(V) c(6;-12;18), d(-4;8;-12);

c)(E) / i ; 2 ; f(-2;-12;3).\ J J J

3.1.5. Döntse el, hogy egy egyenesen vannak-e az alábbi pontok!a)(E) A(l; 4; 6), B(-3; 2; 2), C(5; 6; 10);b)(E) A(2; 1;-1), B(3; 0; 1), C (2 ;-l;3 ).

3.1.6. írja fel az adott vektorok irányába mutató egységvektort!a)(M) a(-5; VÍT; s); b)(E) b(-3; 4; 0); c)(E) c(-l; -3; 2).

22

3.1.7.(V) Számítsa ki az A (-l; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1) csúcspontú háromszög kerületét! Milyen nevezetes háromszög az ABC háromszög?

3.1.8.(V) Adott az A(8; 2; -1), B(-3; 4; 1), C(2; -4; 0) csúcspontú háromszög. Állapítsa meg a szögek kiszámítása nélkül, hogy a háromszög melyik csúcsánál van a legnagyobb belső szöge!

3.1.9. (V) Egy háromszög csúcspontjai: A(3; -8; -2), B(-5; -2; 8),C(-3; -16; 8). Mutassa meg, hogy a háromszög szabályos!

3.1.10. Egy háromszög két csúcspontja A(l; 2; -1), B(-2; 1; 3), súlypontja S ( l; l ; -1 ) .

a)(E) Határozza meg a C csúcspont koordinátáit!b)(E) Számítsa ki az A csúcsból induló súlyvonal hosszát!

3.2. Vektorok szorzása

3.2.1. Számítsa ki az alábbi vektorok skaláris szorzatát és a hajlásszög kiszámítása nélkül döntse el, hogy a vektorpárok hajlásszöge he- gyes-, derék- vagy tompaszög!

a)(M) a = 3i + 2 j - 4 k , b = -2 i + 5j + 3k;b)(E) c(-l;2;0), d(-3;4;2);

KVK-1190

íc)(E) e l ; - 2 ; i f ( -2 ;-3 ;-8 ) .

3.2.2. (V) Egy háromszög csúcspontjai: A (-l; -2; 4), B(x; -2; 0),C(3; -2; 1). Határozza meg x értékét úgy, hogy a háromszög A csúcsánál derékszög legyen!

3.2.3. Határozza meg az alábbi vektorok hajlásszögét!a ) (M )a ( - l;l ;0 ) , b (2 ;- l;2 );b)(E) c (2 ;3 ;- l) , d (l;4 ;3 ).

3.2.4. Számítsa ki az alábbi csúcspontú háromszögek belső szögeit és a háromszög területét!

23

a)(E) A(4; 1; 1), B(-2; -1; 5), C(0; 2; 6);b)(V) A (l;3 ;2 ), B (l;5 ;0 ), C (-2 ;3 ;5 ).

3.2.5.(V) Mutassa meg, hogy az a(10; -5; 10), b (-l 1; -2; 10), c(-2; -14; -5) vektorok egy kockát feszítenek ki!

3.2.6. Számítsa ki az alábbi vektoriális szorzatokat!a ) (M )a x b ,h a a (-3 ;2 ;-^ ), b (3 ;l;5 );b)(E) d x c ,h a c(3;5;-4), d (2 ;-1 0 ;- l) ;c)(E) e x f ,h a e (2 ;0 ;- l) , f ( -3 ;- l ;2 ) .

3.2.7.(E) Számítsa ki a(b xc)-t, ha a(2 ;-3; 2), b (l; 1; 1), c(-2; 0;-2)!

3.2.8. (M) Számítsa ki az A(l; 5; 6), B(-2; -1; 0), C(2; 2; 1) csúcspontúháromszög területét!

3.2.9.Egy háromszög csúcspontjai: A(l; 0; 2), B(2; 1; 2), C(3; 1; 4).a)(V) Mekkora a háromszög legkisebb és legnagyobb szögének ösz-

szege?b)(V) Mekkora a háromszög területe?

3.2.10. Egy háromszög csúcspontjai: A(2; 1; 3), B(3; 1; X, + 3),C (l;2 ; 3).

a)(E) Mekkora a X értéke, ha a háromszög A csúcsánál lévő szöge 135°?

b)(E) Számítsa ki a háromszög területét, ha X, = 0!

3.2.11. Egy háromszög csúcspontjai: A(3; 1; 1), B(2; 1; -1),C(2; 0; 1).

a)(M) Döntse el, hogy a háromszög tompaszögű-e!b)(M) Számítsa ki az A csúcsból induló magasság hosszát!

3.2.12. Egy paralelogramma csúcspontjai: A(3; -8; -2), B(l; 6; -2), C (-5 ;-2 ;8 ),D (-3 ;-1 6 ;8 ).

a)(E) Számítsa ki a paralelogramma szögeit!b)(E) Számítsa ki a paralelogramma területét!

KVK-1190

24

3.2.13.(E)Egy háromszög csúcspontjai: A(l; 2; -2), B(2; 3; 2),C(2; 1; -2). Számítsa ki a háromszög területét! Legyen a háromszög BC oldalához tartozó magasságának talppontja T! Számolja ki a BT szakasz hosszát!

3.3. Vektorok geometriai alkalmazása

3.3.1. írja fel a P pontra illeszkedő, v vektorral párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét! Adjon meg még egy pontot az egyenesen!

a)(E) P (-2 ;5 ;l) , v (- l;2 ;3 );b)(E) P(3;5;-2), v(-4; 3; 12).

3.3.2. írja fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét,a)(E) amely átmegy az A(3; 1; 2) és B(l; -2; 1) pontokon!b)(V) amely illeszkedik a P(6; -3; 4) pontra és merőleges az

a(-2; 3; 1) és b(2; 0; 1) vektorokra!

3.3.3. (E) írja fel az origóra illeszkedő és az e egyenessel párhuzamosegyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha

e : x = 3 + 2t, y = - t , z = - + 2 t !

1 1 O

KVK-1190

Döntse el, hogy az A

az egyenesen vannak-e!6 ’ 3

és B(2; 1) pontok ezen

3.3.4.Döntse el, hogy párhuzamos-e az ei és 62 egyenes!a )(M )e i:x - l + 2t, y 2 -3 t , z -3 + 4 t,

e2: x = - t , y = l + |- t , z = l - 2t;

b)(E) ei: x = + 2t, y = -4 t, z = 3t,

e2: x = 3 - 3 t , y = 6t, z = - t .

3.3.5. írja fel a P pontra illeszkedő és az n vektorra merőleges sík egyenletét! Döntse el, hogy a sík illeszkedik-e az A pontra!

25

a)(E) P (-2 ;l;3 ) , n ( l ; - l ;2 ) , A(1;0;1);b)(E) P(2; 0; -5), n(-3; 2; 1), A(0; -1; -8).

3.3.6. írja fel az A, B, C pontok által meghatározott sík egyenletét! Adjon meg még egy pontot a síkban!

a )(M )A (l;0 ;- l) , B(-2; 1; 1), C (0 ;-l;2 );b)(E) A(-2; 3; 5), B(3; 2; 7), C(-3; 6; -2).

3.3.7. (E) írja fel a P(-3; 2; 5) pontra illeszkedő és az e egyenesre merőleges sík egyenletét, hae: X = 3 - 5 t , y = 4, z = 2 + 4t !

3.3.8.(V) írja fel az A (-l; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-4; 5; 3) pontok által meghatározott síkra merőleges és az AB szakasz felezőpontján átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét!

3.3.9. Állapítsa meg az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzetét!a)(M)e: x = - l + 2t, y = -5 + 3t, z = -6 + 4t, S: x - y + z - l = 0;b)(V) e: x = l + t, y = t, z = - l + 3t, S: 5x + y - 2 z = 0;c) (V) e: X = 2 + 1, y = t, z = 5 + 3t, S: 5x + y - 2z = 0.

3.3.10. (M) írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedika P(-2; 3; 1) pontra és párhuzamos az Si és S2 síkokkal, ha S, :2 x - 4 y + 6 z - 5 = 0, Sj :3x + 2 z - 3 = 0 !

3.3.11. (E) íija fel a P(0; 2; -5) pontra illeszkedő sík egyenletét, amelypárhuzamos az alábbi ei és e2 egyenesekkel! e i :x = - l + 3t, y = l + 2t, z = l - 4 t ;

1 3e2: x = —+ —t, y = 2 - t , z = 2t.

2 2 ^

3.3.12. Egy háromszög csúcspontjai: A(l; 1; 2), B(0; 2; 0),C(0; 1; 1).

a)(E) írja fel a háromszög A csúcsán átmenő és a háromszög síkjára merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét!

b)(E) Számítsa ki a háromszög területét!

KVK-1190

26

3.3.13. Egy háromszög csúcspontjai: A(l; 2; -1), B(0; 3; 3),C(2;2;-3).

a)(E) Bizonyítsa be, hogy a háromszögnek van tompaszöge!b)(E) írja fel a BC oldalhoz tartozó súlyvonal egyenesének paramé

teres egyenletrendszerét!c) (E) írja fel a háromszög síkjának egyenletét!d)(E) Számolja ki a háromszög területét!

3.3.14. (V) Határozza meg az x + y - 2z -1 = 0 és a 2x + 2y - 4z + 6 = 0síkoktól egyenlő távolságra fekvő sík egyenletét!

3.3.15. (E) írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik aP(2; 7; -3) pontra és az e egyenesre, ha e :x = - l + 2t, y = 4 + t, z = 2 - 3 t .

3.3.16. (M) Adott az ABCD paralelogramma három csúcspontja:A(3; -8; -2), B(l; 6; -2), C(-5; -2; 8).írja fel a BD átló paraméteres egyenletrendszerét!

KVK-1190

27

KVK-1190

4.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

4.1. Sorozatok

4.1.1.írja fel az alábbi sorozatok első hat elemét! Bizonyítás nélkül állapítsa meg, hogyan viselkednek a sorozatok monotonitás és konvergencia szempontjából!

a)(E) a „ = 3 +10

c)(E) a „ = ( - i r '- V i i ‘;

e)(E) a „ = |7 - 2 n | ;

. f 2nji'^g)(M) a„ =sm

b)(M) a„ =

d)(E) a„ =

/ 1

2-]0, ha n páros,

1n

ha n páratlan;

f)(E) a„ =10000 - 00)";

2h)(E) a„ = 2k = l V

120i) (M) a„ = ---- , aho ln != l-2 -...-n .n!

4.1.2. írja fel az alábbi sorozatok első négy elemét! Számítsa ki a határértéküket határértékszámítási szabályok alkalmazásával!

a) (M) a„ = n ' - lOn^ + 5 ; b) (V) a„ = ha n > 2;1-n^

c)(E) a„= .n^+1

5n^ - nd)(V) a„ = 1

V n+ 1- Vn

4.1.3. Állapítsa meg, hogy az alábbi sorozatok esetében hányadik elemtől kezdve teljesül, hogy az elemeknek a határértéktől való eltérése kisebb a megadott s értéknél!

a)(E) e = 0,01; b ) ( M ) a „ = ^ í ^ , s = 0,l;3 n - l

28

c)(V) a„ = — ------ , £ = 0,1." 2 " + 1 0 0

4.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata

4.2.1. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi függvények értelmezhetők!

1 x + 2

KVK-1190

x ^ - xa)(E) f(x) = ^ --------b)(E) f(x) =

X - x - 2

c) (V) f(x) = ; d)(E) f (X) = ;X

e)(V) f(x )= ^ ; 0 (E ) f(x) = log2x";1 - vx

g)(V) f(x) = lgcosx; h)(M) f(x) = ln^1 + x^

v l - X y

i)(E) f(x) = 2 ' - j)(E) f(x)=x -1

4.2.2. Képezze a megadott f(x) és g(x) függvényekből az f(g(x)) és g(f(x)) összetett függvényeket, és állapítsa meg ezek értelmezési tartományát! (E fejezet további részében és a következő fejezetben valamely f(x) egyváltozós valós függvény értelmezési tartományán, hacsak másképp nincs megadva, a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát értjük, amelyen a függvény értelmezhető.)

a)(E) f(x) = sinx, g(x) = Vx ; b)(E) f(x) = e% g(x) = - x ;

c)(V) f(x) = lgx, g(x) = lgx ; d)(E) f(x) = tgx, g(x) = ^ - x ;

e)(M )f(x ) = ^ i = , g(x) = l ; f) (E) f(x) = ^ , g(x) = 3 x - l .V l - x ' X x"

29

KVK-1190

4.2.3.Adjon meg az alábbi f(x) összetett függvényekhez egy h(x) külső és egy g(x) belső függvényt, hogy f(x) = h(g(x)) teljesüljön! Képezze fordított sorrendben is az összetételt!

a)(E) f(x)==cosx^; b)(E) f(x) = ;

c)(E) f(x) = l n - ;X

e)(E) f(x) = e^^

4.2.4. Vizsgálja meg az alábbi füg;

a)(M) f(x) = 0, D ,= - 1 ; 1

c)(E) f(x) = (x^+l)^

e)(M) f(x) = - ^ x^+1

d)(E) f(x) = arctglO^

f)(E) f(x) = sh (-x ).

^vényeket paritás szempontjából!

; b)(E) f(x) = - l ;

3xd)(M) f(x) =

4 x ^ - 1 ’

g)(E) f(x) =e^-e“e’' + e “

f)(E) f(x) = e 2 ;

e + xh)(M) f(x) = In

e - x

i)(E ) f(x) = -1 Df = n

4 ’ 4sm X + cos Xj) (M) f(x) = -x + l , haO< X < 2, ésf(x + 2) = f(x ), ha x e R; k)(E) f(x) = -3|x|, h a -7 i< x < 7 r, ésf(x + 27i) = f (x ) ,h a x e R .

4.2.5. Döntse el, hogy a valós számoknak mely részhalmazára képezi le az alábbi hozzárendelés a valós számoknak megadott A, B illetve C részhalmazait!

a)(M) f(x) = x \ A = N, B = ]-l;l[, C = R;K n

b)(E) f(x) = sinx, A = {k7i|k€Z}, B =2 2

, C = R;

c) (E) f(x) = 2x -1, A = N, B = [0;+oo[, C = R " ;. . . 1

X

1n e N s B = ^1;0;,

n

30

4.2.6.Ábrázolja a megadott függvényeket, és jellemezze a következő szempontok szerint: értékkészlet, korlátosság, tengelymetszetek, monotonitás, konvexitás! Állapítsa meg a függvények határértékeit a zárójelben megadott helyeken!

a) (E) f (x) = -x^ + 6x - 5, 0 < x < 5, (0 - bán jobbról, 5 - ben balról);

G \\3i X. ^ 0b)(E) f(x) = < ’ ’ ( - 00-ben, 0-ban, + 00-ben);

[e"", h a x > 0 ,

4, h a 0 < X < 71,

c) (M) f (x) = < 4 ésf(x + 27i) = f(x), hax 6 R,----x + 8, ha7i:<x< 2k ,

, n(0 - bán balról és jobbról, + oo - ben).

KVK-1190

4.2.7. Számítsa ki az alábbi határértékeket!a)(M) lim (-2x^ + x), lim (-2x^ + x), lim (-2x^ + x);

I V __^ _rr\ V _

b)(E) lim10

-lOOx'-lOOO limx +oo

X^+OO

3

10-100x^-1000

c)(M) lim x +x lim X + x ' lim x + xx^o i - 2 x ’ l - 2 x ’ l - 2 x ’

lim x +xi - 2 x ’

2

lim+x

l-2x2

lim

i 1 1 e)(M) l im e ’ , lim e ’‘, lim e ''.

3 -4 x lim 3 -4 x3 -4 x 3 -4 xd)(E) h m --------, h m -------- , m u -------- , mn -------- ,2 + x 2 + x 2 + x 2 + x

x +oo 1 1

x O

e"

lim e"";x O

f) (V) lim — , lim — , limx- -oo ^ x +oo ^ x->0 X

lim In r i+ x ^ , lim Inr i+ x ^

x^-l+ [ l - X j x^r l l - x j

31

KVK-1190

lim In1 + x

, lim In 1 + xx ^ - c c 1- X x^ + oo 1 - x

lim In 1 + x, lim In 1 + x

1 - x x - > r 1 - x

, lim In

, lim Inx^r

1 + x 1 -x

1 + x 1 -x

Ig X Ig x i) (E) lim- --- , h m -2-----x O X X

4.2.8.írja fel az alábbi függvények értelmezési tartományát intervallumok egyesítéseként, majd számoljon határértéket ezen intervallumok végpontjaiban a megfelelő oldalról!

a)(E) f(x) = ax ^ + b x ^ + c x + d, ahol a ,b ,c ,d € R és a > 0 ;

b)(E) f(x) = 2x1-x ^

d)(E) f(x) = ln^x;

f) (M) f(x) = a rc tg -;X

J_h)(E) f(x) = e ^ ;

c)(V) f(x) =

e)(E) f(x) =

(x + 1) x + 1

g)(E) f(x) = e”'’\ ahol p s R ;

i) (V) f(x) = arccosx • log^ x .

4.2.9.Döntse el, hogy folytonosak-e az alábbi függvények!í 0, ha X < 0,

a)(M) f(x) = <| _ aho l?i€R ";l - e '^ ’‘,ha X > 0,

b)(E) f(x) = sgn^(x), ahol sgn(x) =-1 , ha X < 0,

0, ha X = 0,1, hax > 0;

c)(E) f(x )= X, h a - l < x < l , ésf(x + 2) = f(x).

4.2.10. Ellenőrizze, hogy az alábbi függvények szigorúan monotonok! Adja meg az inverz függvényüket!

a)(E) f(x) = 3 x - 4 ; b)(M) f(x) = ;

32

KVK-1190

:2 x

c)(E) f(x) =

4.2.11. Állapítsa meg az alábbi kölcsönösen egyértelmű leképezéssel adott függvények inverzét!

s í n, ha n páros, _ a)(E) f(n) = - D f= N ;

1 - n, ha n páratlan,

b)(M) f (X) =

X -1 , ha X < 0,

x^, h a O < x < l,

1 u— , h a x > l . x

4.2.12. Számítsa ki számológép használata nélkül az alábbi kifejezések pontos értékét!

V(-12) .a)(E) 27(g4 ;

c)(V) +(34f + (-34 f ; d)(E) V Í Ö ^ ;In 4

f)(E) InV^-lnV^; g)(E) e ;— l ó g , 2

e)(V)492

h)(E) In tgr n

; i)(E)4 ;

k)(E) V?7

Sin/ a \ ’4k

1)(V) ctg

j) (M) log2 sin

/1

3771

7t-ln

m)(E) tgarctg(-V3);

arctgl arccosl arcctgl arcsinl ’

q)(V) log„ log„ arccos(-l); s)(E) sh(-ln3);

n)(M) arctgtg

V?

2jt 3 ’

p)(E) arcsinlg^;

r)(E) arccoschO; t) (M) th^(ln2).

33

5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA

5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény

5.1.1. Határozza meg az alábbi függvényeknek a differenciálhányadosát az általános Xg e pontjában a differenciálhányados definíciója alapján!

a)(V) f(x) = x^ b)(M )f(x) = - ;X

c)(V) f(x) = Vx, aholxo?^0.

5.1.2.AZ összeg-, különbség-, szorzat-, hányados, és a skalárral szorzott függvényekre vonatkozó deriválási szabályok alkalmazásával deriválja az alábbi függvényeket a változójuk szerint!

a)(M) f(x) = - ^ + - 1 5 ; b)(E) f(x) = ^ - x + l - - + ;Vx 2 2 X 2 x

c) (M) f(x) = X (x + 3)^; d)(E) f(x) = • ^

KVK-1190

e)(E) s(t) = Vot + t^ aholVo,a€R;

f)(E) r((t)) = 10(l + cos(t)); g)(E)

h)(V) f(x) = cos^x; i) (E) f(x) = ex-e'‘;j)(E) f(x) = ( l- lg x )( tg x + ctgx);

k)(M) f(x) = - y i= - ln x ; 1) (E) f(x) = (^/5-^/5x)x^;V 2x^

2 ^ - 2m)(E) f (X) = ------- ; n)(M) f(x) = - 2 -------■sh X ’ 4—arctgx

34

KVK-1190

o)(E) f(x) = ^ - ^ ; p)(E) u(v) = j i ^5x + 4 1- V2 ’

/ j

v2.

q)(V) f(x) = 4 ^ ; r)(V) f(x) = — ;X + 8 smx

s)(E) h(x) = - ...a h o ln e N ,n > 2 ;log„x + n ’‘

\ Vt-chtt)(E) f(x) = - —— ; u)(V) u ( t ) = ;e -Igx 3 - t

v)(M) f(x) = •e’‘ -cosx; w)(E) f(x) = Vx-cthx-

100 n 2 100

x)(V) T(x) = Y — = l + x + — + ... + , 2! 100!’

ahol n e N esetén n!= 1 • 2 •... ■ n, és 0!= 1;

y)(E) z(x) = y-x + —+ —+ x^'+y’"+ lnx + lny, aholy€R "‘, y ^ l .y X

5.1.3.Deriválja az alábbi összetett függvényeket a változójuk szerint!a)(E) f(x) = cosVx; b)(E) f(x) = ctge'';

c)(M) f(x) = 2""^ d)(M) f(x) = a rc tg -;X

e)(E) u(v) = arcsinVv ; f) (E) g(t) = lg lg t;g) (M) f (x) = In ax, ahol a e R, a 0;

h)(E) g(t) = e ^ i)(E) f(x) = 10- ^

j) (M) f(x) = tg f ; k)(E) f (X) = ;4

1) (V)f(x) = log3 th x ; m)(E) f(x) = Vsh Vx^;

n)(M) f(x) = ; o) (V) f(x) = arccos ^cos In X

35

KVK-1190

5.1.4.Deriválja az alábbi függvényeket a változójuk szerint!a)(E) y(t) = A-cosat + B-sinbt + C -e‘'‘, ahol A,B,C,a,b ,c€R\{o};b)(E) f(x) = sin^ x + cosx^+tg^x^;

c)(E) I(t) =R

R--- 11 -e ^

V

, aholU „,R ,L€R ^;

d)(E) f (X) = (3x + ly - 4 ^ ; e) (M) f (x) = ^ ;( x + i r

f) (E) P(r) = ahol U,R G(R + r)

g)(E) f(x) = X + arctgVl - x ; h)(E) f(x) = thx® •cthe’' ;1 . r oi)(E) f(x) = — In

Xx + — j)(V ) f(x) = lg Inx ’

m )(V )f(x)= V S -tg 71X

k)(E) y(t) = A • t^ • e ^, ahol A g R ;

1) (M) f(x) = a r c t g - ^ ^ ; _ , _ . ^1-x 2 ^n)(E) f(x) = x-sin(x-cosx); o)(M )f(x) = In x -V x^ -1

p)(V) f(x) = log,(x + shx-chx); q)(E) r((l)) =

TIX

2-sin2(t)^2 -sin '2 ( |) ’

71r)(E) f(x) = cos— sin

5.1.5. Hozza egyszerűbb alakra a megadott függvények képletét, s az új alakban deriválja őket x-szerint!

a)(E) f(x) = x r 1 vx + - ^vx

\2b)(E) f(x) =

7x-V x-2x^

c)(V) f(x) = 3 27 d)(E) f(x) =

36

KVK-1190

In-e)(M) f(x) =____^

- X

—logo 3xf)(E) f(x) = 2 ;

g) (E) f(x) = sin (arcsin (sin (arcsin x))).

5.1.6.Állapítsa meg, hogy az alábbi függvények deriválhatók-e a megadott helyeken, majd írja fel a deriváltfüggvényüket!

0, ha x < 0,

a) (M) f (x) = < x^, ha 0 < x < 1, (0 - bán és 1 - ben);1, ha X > 1,

0, ha X < 0,b)(E) f(x) =

l - e “ \h a x > 0 ,aholX eR ^ (0-ban).

5.1.7. Számítsa ki az alábbi függvények n-ik deriváltját az Xq helyen a megadott n és Xg értékek mellett!

a)(M) f(x) = In x , n = 4, x ^ ^ l ;b)(E) f(x) = sinx, n = 19, Xg=0;

c)(E) f(x) = e - \ n = 999, x „ = ln 3 ;

d)(E) f(x) = V ^, n = 3, Xo=100;

e)(E) f(x) = a rc tg - , n = 2, x ^ ^ - l ;X

f)(V) f(x) = e^^-^\ n = 2, x„= V 3.

5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai

5.2.1.íqa fel az alábbi függvények megadott x helyhez tartozó érintőjének egyenletét!

a)(M) f(x) = V x , Xo=4; b)(E) f(x) = sinx , x ^ ^ O ;

c)(E) f(x) = ^ , x „ = -2 ; d)(V) f(x) = x ^ - e \ x „ = -2 ;

37

KVK-1190

COS X 1e)(E) f(x) = ------ , Xo-7i; f) (V) f(x) = ——--------

X In (2x - e), Xo=e.

5.2.2.írja fel az alábbi függvények megadott x helyen vett x-szerinti differenciálját!

a)(E) f(x) = cos7ix, X q = -^ ; b )(E )f (x ) = — \ j = , Xq=8;6 X - Vx

5.2.3. Számítsa ki az alábbi határértéket a L’Hospital-szabály alkalmazásával!

a)(M) limx -oo X

lOOx^

2 ’

c) (E) limx ±co X -100

x^e)(E) lim ,x o e"" - e

g)(M) lim ( l - x ) e"'V

i) (V) lim x -e '';

k)(E) lim 71X -----

2tgx ;

b)(V) limX ^+'

d)(E) lim

9 + xx +oo 9 -x ^ ’

sin2x tg3x

f)(V) l im ^ ^ —X -^ + O O Q ---- 0

h)(E) lim x^-e”’' ;x->+oo

j) (E) lim V x-ln2x;

1 P1) (M) lim

x O s i n x X

5.2.4. Számítsa ki az alábbi függvények x-szerinti első és második deriváltfíiggvényeinek zérushelyeit!

,3 1a)(E) f(x) = .

x + 2

c)(M) f(x) = x - ( l - ln x )';

e) (V) f(x) = • sin X.

b)(E) f(x) = e -

d)(E) f(x) = V ? + -2x

38

KVK-1190

5.2.5. Végezzen teljes fuggvényelemzést az alábbi függvényeken!a)(E) f(x) = x ( x - 2 ) ^

c)(E) f(x) = - i ^ ;X +1

e)(E) f(x) =

g)(M) f(x) =

2x'2 x ^ + 3 ’

(x-1) .2 ’3x

i)(E ) f(x) = x -e '-^

k )(M )f(x )= ^e ^ -(2 -x )

m)(E) f(x) = ln^x;1o)(M) f(x) =

x-lnx

q)(M) f(x) = ( 3 - x ) V ^ ;

s)(V) f(x) = (1 5 x -7 )V ^ ;

u)(E) f(x) = Vx-InVx .

b)(M) í ( x ) = { x ^ - l j - ,

d)(V) f(x )=

f)(E) f(x) =

(x + 1)

_ i L( l-x )^

, . 3

h)(E) f(x) = - ^ ;x -1

j) (M) f(x) = x-e ;

1)(E) f(x) = e'^ ;

n)(E) f(x) = ln (x^-4x + 8);X

p)(V) f(x) =

r)(E) f(x) =

t)(E ) f(x) =

1 - l n x ’X

x + 2 , ^|x + l ’

5.2.6. Adj a meg az alábbi függvények megadott intervallumon felvett legnagyobb illetve legkisebb értékét!

a)(E) = [-2;0]; b)(E) f(x) = x^-e^\ [-2 ;!];(1-x)^

c)(M) f(x)==x-(l-lnx),

1

1

d)(V) f(x) =Vx^ - 2 x + 5

-;e

0;+oo

39

KVK-1190

5.2.7.Állapítsa meg az alábbi függvények értékkészletét!

a)(E) f(x) = 4 x ^ + - , D f= ]0;+ a ,[;

b)(E) f(x) = e S D ,=]0; + [ ;c)(M) f(x) = ln x - ln x ^ , D f= [l; + oo[;

d)(E) f(x) = ln(sinx + cosx), =

e)(V) f(x) = arctgV x-1, = [ 1;4].

5.2.8. (M) Az egységsugarú körbe írt téglalapok közül melyiknek maximális a területe?

5.2.9. (V) Az ábrán látható kapcsolási rajzon a belső ellenállás R értékerögzített, a külső ellenállás r értéke változtatható. Az utóbbinak mely értéke esetén legnagyobb a felvett teljesítménye?

U,R

5.2.10. Egy termék költségfüggvénye C(x) = x - 15x^ + 76x + 2 5 , árbevételi függvénye R(x) = 55x - 3x ezer pénzegységben, ahol x az előállított termék mennyiségét jelöli ezer tonnában.

a)(V) íija fel a határprofit függvényt!b)(M) Számítsa ki, mennyi többletköltséget okoz a termelés ezer ton

nával való növelése 2000 tonnás, illetve 4000 tonnás termelés esetén!

c) (V) Milyen mennyiségű termelés esetén lesz maximális a profit?

40

KVK-1190

5.2.11. (E) Egy termék árbevételi függvénye R(x) = x • 500 - , ahol

X az előállított termék darabszámát jelöli. Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel?

5.2.12. Egy termék költségfüggvénye C(x) = 100 + 601n(2x^-2x + l), ahol x az előállított termék darabszámát jelöli ezer egységben.

a)(E) Határozza meg a fix költség értékét!b)(E) Milyen termékszám esetén lesz minimális a költség?

41

6.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI

KVK-1190

6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok

6.1.1. Határozza meg a következő integrálokat!a)(M)

e)(V)

e)(M)

g)(E)

i)(M )

k)(E)

m)(M)

o)(M)<

r)(V)

(Sx' +2x + l)dx ;

dx;

(le"" -3sinx) d x ;

(4 ch x -3 sh x )d x ;

3 + x^

1 + x '1 + x '1 - x ^

dx;

dx;

V l- x

■tg x d x ;

2 - s h 'x

■dx;

ch^xdx;

X Xt) (V) sin—cos—d x;

J 2 2

b)(E)

d)(E)

f)(E)

h)(V)

j)(V )

1)(E)

n)(E)

P)(E)

s)(E)

u)(E)

(sx^ - 2 ^ / x - X ' ' j d x ;

3 x -V x + xdx;

4 - ^

(3-10’' + 5cosx)dx ;

2^ - 1 - 5^ -dx;3 ^

2x^ +3x^ +2x + 41 + x '

■dx;

d x ;

1 - x

2 - 3 V l - x "x" - 1

3 + sin^x

dx ;

sin^xd x ;

cth^x d x ;

3sh—eh—d x .2 2

42

KVK-1190

6.2. |f(ax + b)dx (a, b e R, a ^ O) típuSÚ fe la d a to k

6.2.1. Határozza meg a következő integrálokat!

a)(M)

c)(V)

e)(E)

g)(V)

h)(V)

i)(E)

j) (E)

k)(V)

m)(E) j

+ l)^” d x ;

x + 3

b)(E)dx

x + 2dx;

( l - x f ’ x ' - 3 x + 4

V2x + 3 -

-KM) J V ^ d x ;•' l - 2 x

dx; f)(E)dx

1 5l + 4x^ 9 x^ -1

cos 3x

dx;

1 3• +16 + x^ 4 - x ^ V9- X'

dx ;

1 29 + 25x" 16-9x^ ^ 4 _ 49x^

' - ■ dx;

dx;

2 1

2 + x^ l - 3 x ^ V s - 2 x ' dx

X +4x + 5 dx

yllx - x

1)(E)

n)(E)

dxx" - x + 1

dx

6.2.2.Határozza meg a következő integrálokat!b)(E)a)(M) sin^xdx;

c)(E) fch^xdx;

e)(V) J 3e’' dx;

d)(V)

f)(E)

|3 + 6x-x^

cos'^x d x ;

sh'^x d x ;

1

cos^(l-3x)dx;

43

KVK-1190

g)(E)1

sin (2x + 5)dx;

i) (M) ctg^Sxdx;

h)(E)1

eh '

2

dx;

j) (E) th 4x dx .

6.3. j[f(x)] f '(x )dx ( a e R , a ^ - i ) típusú feladatok

6.3.1. Határozza meg a következő integrálokat!a)(M) Jx (2 -3 x ')* d x ; b)(E) 2 x ' • V4 + 2x^ dx ;

c)(E) X

(l + x ')

e) (M) (sin 'xeosx-2ch^x shx) d x ;

d)(E) :dx;

sinx chxí)(V ) , .

cos X VI + shx g)(M) Jcos^xdx;

i)(V ) J ^ d x ;•’ Sin X

k)(V) í tg ^ d x ;

dx;

m)(E) e’‘ • Vl - 2e’‘ d x ;

X

»)<E)3- 2^

q)(E)

s)(V)

In^xXdx

dx;

x ln 'x

h)(E) Jsh^xdx;

j)(E )•’eh X

1)(E)

n)(V)

P)(E)

r)(E)

t)(E)

eth'^x d x ;

10"(3-4-10’‘) '"d x ;

Inxdx;

dx•V2 + 31n:

44

KVK-1190


a)(E)

c)(E)

e)(E)

g)(E)

i)(E )

arctg X

2 dx;

21 + X^arctgx1 + x

arcsin'^Sx

V l-9 x 2

dx

dx;

V l - X

arccos^xd x ;

b)(E)

d)(E)

0 (E )

h)(V)

j) (E)

arctg2x ,--- ;l + 4x '

dx(1 + X ) arctg X

arcsinx■dx;

dx

-yÖ^-x^yarcsinx

(3 + 2 arctgx) ■1 + x '

d x .

6 .4 . f— d x t í p u s ú f e l a d a t o kf(x)


a)(M)

c)(E)

e)(V)

g)(E)

•dx; x - 1l + x'

cosx ,---- — dx;1 - smxctgx dx ;

b)(V) f - dx;X. .

2 - e ’‘

1)(V)•' xlnx

dx;

k)(V) J

m)(E)

dx(l + x ) arctgx

dx

Vi^

d)(E)

f)(E)

h)(E)

j) (E)

1)(E)

n)(E)X arccosx

■2x + 3 shx

2 + 3chx th2x d x ;

2-3

dx;

1 + 3*dx;

dxX (3 - 21nx)

dx

^ J \ - x ^ (1 + arcsinx) dx

(l + x ) (4 + Sarcctgx)

45

KVK-1190

6.5. ff(g(x))g'(x)dx típusú feladatok


b)(E) x^ sin(l + 2x^)dx ;

dx;

a) (M) X e 2 dx ;

Xc)(M)

e)(V)

1 + X

3x'

a/i - x

jdx;

dx;

d)(M) I

f)(V)

Inlnx

re"" dx .

6.6. Parciális integrálással megoldható feladatok

6.6.1. Határozza meg a következő integrálokat!a)(M) |x e '“M x ;

c) (E) X cos2x dx ;

e) (E) (2x + 1) shx dx ;

b)(E) ( x ^+ l ) e ' ' dx ;

d)(V) f (x"+x)s inxdx;

f)(E) j (2 x '+ 3 x + 2 ) c h |d x

6.6.2. Határozza meg a következő integrálokat!a)(M)

c)(E)

e)(E)

g)(M)

x^ Inxdx ;

Inx dx;

X arctgx d x ;

3x^ arctgx d x ;

i) (V) arcsinx d x ;

b)(M) jlnxdx;

d)(V) (2x + 1) In^x dx ;

f) (E) arctg2x dx ;

h)(E) (x - 1) arctgx dx;

j) (E) arccosSxdx.

6.6.3. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M) | e ’‘ sin2xdx; b)(E) cosx d x .

46

KVK-1190

6.7. Racionális törtfüggvények integrálása


a)(M)

c)(E)

e)(M)

g)(E)

i) (M) J

x + 2

2 x ' - x - 1 + 2x + 3

dx;

X - Xd x ;

x ' + 3 x + 7(x -3 )(x + 2y

dx;

x^ +2 x +3x ^ - x ^

dx;

X + X + 2 x + x

d x ;

k)(M) 3 x - 2x' + x^

dx;

b)(V)

d)(E)

f)(E)

h)(V)

j) (E)

1)(E)

x ' -4 x^ +2xX - 5 x + 6

7x + l

dx;

( x-2 ) (x" + 2 x - 3 ) 2x + 5

(x - 2)(x^ + 2x +1)

x ' + 7 x - l

dx;

dx;

( x ^ + 5 x - 6 ) 2x^ - x - 8

(x + l)(x ' +4) 2x^ +3x + 4

2 dx;

dx;

X +2x +4xdx.

6.8. Integrálás helyettesítéssel

6.8.1. Határozza meg a következő, a Vax + b (keN\{0 ; l}és a, b e R állandók) racionális törtfüggvényeit tartalmazó integrálokat!

dxa)(M)

c)(E)

e)(E)

g)(E)

x^ • Vx +1 dx ;

Vx + 4-dx;

V x - 1 +1Vx -1 -1

dx;

Vx + X Vxdx;

b)(V)

d)(E)

f)(E)

h)(E)

3x + Vx^

dx;

dx;

1 + Vx1 + V^X - V ^

1 + Vx

Vx^ (V x -l]dx;

47

KVK-1190

i)(E), + V ^ + ^

:(1 + Vx)dx; j) (E)

dx

6.8.2. Határozza meg a következő, az e‘'’‘ (c € R állandó) racionális tört- függvényeit tartalmazó integrálokat!

dx^)(V)

c)(V) shx

2 - q -e"

b)(E)

d)(E)

f)(E)

( e ^ + i rX

1 + e^l + e’‘ch^x

dx;

shxdx .

6.8.3. Határozza meg a következő, a sinx és a cosx racionális törtfüggvényeit tartalmazó integrálokat!

a)(M)

c)(E)

e)(E)

dxsmx

dx5 + 4cosx 2cosx + sinx - 32cosx - sinx - 3

dx;

b)(E)

d)(E) J

f)(E)

dx1 + sinx + cosx 1 - sinx

cosxdx

-dx;

3 + 4tgx

6.8.4.Határozza meg a következő, Vax^Tbx + c (a,b,c e R a < 0,- 4ac > o) típusú kifejezéseket tartalmazó integrálokat!

a)(M) fV 4 -x ' dx; b)(V) f . ^ — dx;■’ •’V5 + 4 x - x ^

d)(V)c) (E) íV l-2 x -x ^ dx;X

48

KVK-1190

6.9. Vegyes feladatok


a)(E) 2^ + 5 ’

10^dx;

th^xdx;

dx

Vö"-^arccosxdx

e)(E)

g)(E)

•’4x +4x + 5 k)(E) |ch^3xdx;

m)(M) jsin^x cos^x d x;

o)(V) Jtg^xdx;

r)(M) f _ Í = d x ; W l - x ' ^

b)(E) Jctg^xdx;

d)(E) ^

0(E )

X (1 + Inx) ’

^ Ad x;x^ +8

h)(E)J (3 -c o s 'x ) '

J)(E) f ; , ^ dx;••x - 6 x + 13

1)(V) jsh^xdx;

n)(V) jsh^x ch^x d x ;

p)(E) cth^xdx;

s)(M) *■

t)(E)sinVxVx dx;

x ( l + ln^x) ’

«)(M)J r’cos^x

d x .

6.9.2.Határozza meg a következő integrálokat!

a)(V)

') (E ) k r ’■'2 + Vx

e)(E) f

dx.K V ) í ^ ;

d)(E) íx • V l - x d x ;

(x + l)(9x^+12x + 4) dx

g)(E) A------- d x;l + e ’‘

f)(E)

ll)(E) J

fi+vmX + x

l + e^’

dx;

dx.

49

KVK-1190


.)(V ) ^

c)(E) x^sinSxdx;

\2e)(M) J Inx

dx;

g) (M) X arccos2x d x ;

i)(E)

k)(E)

e sinx d x ;

11 - sinx

dx;

b)(E)

<I)(V) J

dx

j l - V l - x ^x + l .

dx;

f)(E)

h)(V)

(2x^ + x) arctgx d x ;

X arcsin(x - 1) d x ;

j) (V) Je’‘ cos^xdx;

2 + cosx-)(H) 4cosx

dx.

50

7.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI

KVK-1190

7.1. Alapíntegrálokra és az íf(g(x)) g'(x)dx = [F(g(x)J

(F' = f) képlet speciális eseteire visszavezethető feladatok

7.1.1. Számítsa ki a következő integrálok értékét!8 S

a)(M) J(x '-V ^)dx;

c)(E) dx1 Vl - x^

'2

b)(E) dx1 + x

V3

0

d)(E) jdx

cos X

sh2

e)(M)

g)(V)

dx

Vl + xdx

f) (V) [sin^—dx;0

ln2h)(V)

i) (E)dx

4 - x

k)(V) sh 3x d x ;

m)(E) 1 x ^+3x - 2

dx;

j)(V ) [ c o s ^ - d x ;0

3

1)(V)dx

3

-1n)(V)

- 2

V9x^^^

dxx^ +4x + 5

51

3

KVK-1190

o)(E)

r)(V)

dx2 x ' - x - l

x + 2x +2x^ + x

- 3

dx;

P)(V)

s)(V)

-4 (x + 5)

dxY

7f

d x ;

V3

1 - x 4 ■

7.1.2. Számítsa ki a következő integrálok értékét!V3

a)(V)

c)(E)

0 Vldx; b)(E) fx ' -V8-2x^ dx;

ln3 chx

0

71

2

sh 'x

e)(E) j ^ d x ;J Y

dx; d)(E)sinx

ln2

10

0 -yJ\ + 3 C O S Xdx;

f)(V)x -1

Vx -1^dx;

g)(E) sin^xdx;

l ó g , 2

i)(E) j 3 ’‘(2 -3 ’‘)dx;0

h)(V) c t g \ d x ;71

6

V3

j) (E)x + 1 d x .

7.1.3. Számítsa ki a következő integrálok értékét!

a)(V) tg2xdx; b)(E) 1 + 2 -ln2x + 2’‘

dx;

c)(V)

e)(V) J

X + x

x ^ 2 x ' + l

X

dx;

-1 x + X + 1dx;

d)(V) f = ^ d x ; ' sinx + cosx

x^ +3xf)(V)

J(x + l)(x ' +1)dx;

52

KVK-1190

- - l n 2 2

g)(M)

i)(E )

-21n 2

d x ;

4 gtgx

COS Xdx;

h)(E) |( x + l )cos(x^+2x)dx;

dx

-2

2

j) (E)42 X


7.2.1. Számítsa ki a következő integrálok értékét!71

ln2 4

a) (M) X e""" d x ; b)(E) J x sin2x dx ;02ti

c)(E) x^cosxdx;071

e) (E) (ti - x) cos3x d x ;-71

0ln4

d)(E) (2x + l)ch —dx;0 21

f)(E) f (x - l )^e^ ’‘ dx.


a)(M) fln(x + l)dx;0

2

c) (E) arccosx d x ;

b)(E) xlnxdx;

d)(E) x^ln2xdx;

^ I

e) (V) (x - V3) arctgx dx ; f) (E) arctg2x dx .0 0


a)(M) e ’‘ cosxdx;Ti

~2

b)(E) e sin2x d x ;

53

KVK-1190

c)(E) j e ’ cos^ —dx;7 T + 1

d)(E) Je^’‘“^ sin (x -l)d x .1

7.3. Helyettesítéssel megoldható feladatok


a) (M) X • Vl + X dx ;

c)(M)

e)(M)

- ln 3

' f e' + 2e’'e'’ +1

dx 2 - sinx ’

dx;

b)(V)

d)(V)

f)(V)

28 Vx - 1 - V x - 1

dx;

dx;

2 - e

dx3 + cosx

1e—

h)(V)g)(V) f x ^ - V 4 - x M x ; j -------0 0 vl + 4xch2 _____________________ ln2

i) (V) |V ( x ^ y ( x + l )dx; j)(V ) jV e ’' -1 dx.

d x ;


7.4.1. Számítsa ki a következő integrálok értékét!In2

a)(E)

c)(E)

"f 4sh2x ch^2x

dx;

x^-1

Vx" - 4 xdx;

716

b)(E) j2cos '3xdx ;0

ndx

d)(E) IV2 + 3 x - 2 x ' ’

54

KVK-1190

e)(E) dx

2

V2

4x +4x + 5f)(E)

g)(V)(x + 1)

i) (E)

( x^+l ) (x^+2)

dx

dx; h)(V) J dxx(l + ln x)

x^ - 2 x - 8In V I

j) (E) •dx;

k)(V)

m)(E) I

dx

dx

Vx-l3

1)(E) í ln (2x-3)dx ;

x - VsxTÍ ’_ 2

o) (E) ' X arctg(3x + 2);

n)(M)

P)(V)

dx1 + 2sin^x

2^ +3 dx.-1

7.5. Határozott integrálok alkalmazásai

7.5.1. Számítsa ki az adott görbe és az x tengely közti területet a megadott intervallumban!

a)(M) y = x ^ - 4 x + 5, 0 < x < 3 ; b)(E) y = s in ^^ , 0 < x < 2t i ;

c)(E) y = ln(x + l), 0 < x < e - l ; d)(E) y = sh2x, In2<x<ln3;e)(M) y = x ' + x - 2 , 0 < x < 2; f) (V) y = x (l-x ^ ), - 2 < x < 3 ;

g)(E) y = arctg^, - 2 V 3 < x < 2 ;

h)(E) y = — , i < x < e .X 2

55

7.5.2. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakban adott görbe és az x tengely közti területet a megadott intervallumban!

a)(M) x = 2cost, y = sint, 0<t<7i ;b)(E) x = t-s in t, y = l-co st, 0<t <2; i .

7.5.3. Számítsa ki az adott görbék által határolt korlátos síkrész területét!

a)(M) y = 6 x - x ^ - 7 , y = x - 3 ; b)(E) y = 2x^e\ y = -x^e’' ;2

c) (M) y = tgx, y = —cosx, x = 0;

KVK-1190

d)(V) y = x ^ - x , y = xV T öí, x = — , x = - .

7.5.4. Számítsa ki az adott görbeívnek az x tengely körüli megforgatásá- val kapott forgástest térfogatát!

a)(M )y = 4 - x ^ - 2 < x < 2 ; b)(E) y = 0 < x < ^ ;Vcosx o

c)(E) y = Vxe"*, 0 < x < l ; d)(V) y = ch^x, - I n 2 < x < l n 2 .

7.5.5. Számítsa ki az adott görbeív hosszát a megadott intervallumban!

a)(M) y = 2x2, 0 < x < l l ; b)(V) y = V2x-x^ -1, | ^ x < l ;

c)(E) y = chx, 0 <x <l n2; d)(E) y = - V x + 12, - l l < x < - 3 ;6

e)(E) y = sh^x, - In3<x<l n3; f)(E) y = ln(x^-l), 2 < x < 5 ;

g)(E) y = lnsinx, y < x ^ ^ ;

h)(E) y = Vl -x^ +arcsinx, 0 < x < — .16

56

7.5.6. Számítsa ki az alábbi paraméteresen adott görbeív hosszát a megadott intervallumban!

KVK-1190

a)(M) X = t^, y = t i - e3

71b)(E) x = 8sin t, y = 3cos2t, 0 < t < —;

c)(E) x = ^ch^t, y = sht, 0 < t < l ;

d)(E) x = e‘sint, y = e‘cost, 0 < t < l n 2 ;

e)(V) x = 2t'(l-t^ ), y = ^/i5t\ 0 < t < ^ ;

f) (V) x = cos^t, y = sin^t, 0<t<27i ;g)(V) x = t-s in t, y = l-c o st , 0<t <2; i ;

h)(E) x = ^ c o s ln t , y = ^ s in ln t , l < t < 2 ;V2 V2

i) (E) x = cost + tsint, y = sint-tcost, 0<t<7i ;j) (E) x = (t^-2)sint + 2tcost, y = (t^ -2 )cost-2 tsin t, 0 < t < ; i ;

k)(V) X = cost + lntg—, y = sint, —< t < — .2 2 6

7.5.7. Számítsa ki az alábbi integrálok közelítő értékét a Simpson-formu- lával, először négy, majd nyolc részre való felosztást alkalmazva!

a)(M) 1 ^ ;1

c)(E) ]

b)(E) fVl + x ' dx;

d x .

7.5.8. (V) Számolja ki, hogy az I(t) = sin2t erősségű áram mennyi hőt fejleszt n másodperc alatt!

57

7.5.9. (V) Mekkora a víz nyomóereje egy parabola által határolt függőleges falra és hol van a nyomatékközéppontja, ha a vízoszlop magassága 10 m és a víztükör a parabolából 6,8 m hosszúságú húrt metsz ki?

7.5.10. (M)Mekkora munkát kell végezni a nehézségi erő ellenébenahhoz, hogy feltöltsünk egy egyenes körkúp alakú homogén homokrakást, ha a kúp alapkörének sugara 1,2 m, magassága

g1 m és a homok faj súlya 2 — ?

cm

KVK-1190

7.6. Improprius integrálok

7.6.1. Számítsa ki a következő improprius integrálok értékét!

a)(M)

c)(M)

e)(E)

g)(E)

e-’' d x ;

X

l + x'

shx

dx;

eh Xdx;

dx;V2+ 0 0

0(E)^^xln X

+ 0 0 X

k)(M) xe M x ;0

+ 0 0

m)(V) e“’‘sinxdx;0

+ 0 0

o)(V) jdx

0 e +

b)(E) Je^^Mx;- ln 2

d)(E)

f)(V)

h)(V)

j) (E)

1)(E)

n)(V)

dxsh"2x

dxx^-r

x + 6X +3x

dx

dx;

x ' + 2x + 2 ’

(2x + 3 )e ''’‘ dx ;

(l + xVx)dx;

58

KVK-1190


a)(E) e ’ dx; b)(E) dx

- 0 0

- ln 2

i(2x-ir ’

c)(E)—00

-1

sh X

e) (E) X e dx ;

d)(M) arctgx d x ;—00

2e0(E) J -

+ e2xd x .


a)(M)

c)(V)

e)(E)

g)(V)

dx

— 00

+0 0

l + 4 x ' ’

+arctgx

1 4 V

dx

dx;

ch^ --00 2

(x + l fi ( x ^ + l ) (x ^ + 2 )

b)(E)

d)(M)

í)(V )

dx; h)(V)

dxx " + 2X + 10

X

Vl + x^dx;

+CO x “

(l + 2e’‘) ' '


a)(M) IV dx

c)(M)

e)(V)

g)(M)

V l - x

dx

b)(V)dx

/ ( 3 - x ) ^ / 2 - x ’

1 -x

dx

2 ’ d)(M) cosx d x ;smx

X + V x

dx

0( M) llnxdx;0

dxh)(M)xln X

59

KVK-1190

i)(E)-2

dx;

k)(M) Jtgxdx;0

j) (M)

1) (E)

dx

x + lJ Vx

d x .


a)(V) dxchx

— lO

+ 0 0 - X

c)(M) J----- rrdx;í 1 + e0

+ 0 0

e)(V)dx

X - X

b)(M)dx

0

+CX)

d)(V)

1 + sinx ’

dx

1+00

f)(V) f

x V x ^ ’

dx_ l(l + x^) ^arctgx

60

KVK-1190

8.KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése

8.1.1. Állapítsa meg a valós számpároknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi függvények értelmezhetők, majd ábrázolja ezt a tartományt az xy-síkon!

a)(E) f(x;y) = x^+xy + y ^ b)(E) f(x;y)

c)(E) f(x;y) = sin7jÖ^; d)(V) f(x;y) = e

e)(M) f(x;y) = ^ l - x ^ ; f) (E) f(x;y) = ^ .

8.1.2. Döntse el, hogy az alábbi kétváltozós valós függvények értelmezve vannak-e a megadott P, Q, illetve R pontokban, s ahol igen, ott számítsa ki a függvényértéket!

a)(E) f(x;y) = lg(ax + by + c),ahol a ,b ,c€ R ^ ,c 4 -5 cP(0;0), Q(l;l), R

b)(E) f(x ;y)=V x -2 y

c)(M) f(x;y) = arccos^, P(l;2), Q(1;0), RX.

d)(E) f(x;y) = (lnxy) Vln(x’ + y ‘ ),

,4a 4b

, P(0;4), Q(4;0), R(0;0);

2 ’2

V ^ ’“ V2,

61

8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása

8.2.1.Adja meg az alábbi kétváltozós valós fíiggvényeknek a változói szerinti elsőrendű parciális deriváltfuggvényeit!

a)(V) f(x;y) = - x '+ 3 x V - x y ^

b)(E) f(x;y) = ^ - | ; c)(E) g(u;v) = 6“ -v ^

d)(E) V(r;m) = ^ ; e )(M )f(x ;y )= ^

KVK-1190

x - y

f)(E) f(x;y) = ^ í i y ; g)(E) W(Q;C) = ^ ;X + y

h)(V) z(x;y) = - + + x + y + l; i) (M) f(x;y)= x ^y X

j)(E) f(x;y) = 7 y ^ -6 x ^ + 2 ; k)(V) h(u;v) = a rc tg -;V

1) (V) f(x;y) = ( 4 y f ; m)(E) f(x;y)= x-e^>';_ x

n)(M) z(x;y) = 7y-lg(x^+y^); <>)(E) g(x;y) = 3 •sin(Tixy);

p)(M) f(x;y) = : ^ . l n ( l O y - x ) - x ; lOy

q)(E) f(x;y) = V Í + . s h ( x + 2y);

r)(E) h(x;y) = - í í ^ ; s) (E) f(x;y) = (shx)^"*'\5xy

8.2.2. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvényeknek az x-, illetve y-szerinti elsőrendű parciális deriváltjait a megadott Po(xo;y,3) pontban!

a)(E) f(x;y) = x^+2xy + y ^ Po(0;0);

62

KVK-1190

b)(E) f(x;y) = 3x•e^^ P, ' l . i "v ' 2 ’2 .

c)(M) f(x;y) = 1lo g ^ iy '-x )

d)(E) f ( x ;y ) = .^ - c tg — , Po(-l;4).Vy y

8.2.3.írja fel az alábbi kétváltozós valós függvények teljes differenciálját, majd adja meg a teljes differenciált a megadott Po(xo;yo) pontban!

a)(E) f(x;y) = ^ , P ,( l;- l) ;

b)(E) f(x;y) = 10-V 4x-3y, P „(-4 ;-8 );X

c)(M )f(x ;y) = — , P„(6;3).X

8.2.4.Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a Pq pontban vett, a szöghöz tartozó iránymenti deriváltját adott Po(x,3;yo) és a mellett!

a) (M) f(x; y) = (2x - 4xy + y)^, P„ , a = 120°;

^Iny^b)(E) f(x;y) = s i n ^ , P„(l;l), a = -3 0 “;

V X ;

c)(E) f(x;y) = xy, Po(2;-2), a = 45°;

d)(V) f(x;y) = (sinx)“ ' \ P„/ \ 71 Kv 6 ’ 3 .

, a = 240°.

8.2.5. Adj a meg az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a változói szerinti másodrendű parciális deriváltfüggvényeit!

a)(E) f(x;y) = 7 x V - ^ ; b)(M) f(x;y) = e^;

63

KVK-1190

c)(E) f(u;v) = u +Vu -V

8.2.6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a változói szerinti vegyes másodrendű parciális deriváltját a megadott Po(xo;yo) pontban!

a)(M) f(x ;y ) = x - tg ^ , Po(V2;o);

b)(E) f(x;y) = —y

8.2.7. Adja meg egyszerűsített alakban az alábbi kifejezéseket a megadott kétváltozós valós függvényekre!

a)(E) | - y + | - r , ha u(x;y) = lnVx^+y^ ; a x o y

b)(E) y-f^(x;y)-x-fy(x;y), ha f(x;y) = arctg^ + arcctg^;

c)(V)f

2a 'f ^

[ö x ö y ;, ha f(x;y) = e ^

8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának alkalmazásai

8.3.1. Határozza meg az alábbi függvények lokális szélsőértékeit!a)(M) f(x ;y) = (5 + 2 x - y ) - e ’‘' ; b)(M) f(x; y) = e ’‘"';

X

c)(M) f(x;y) = 5 - x ^ + 4 x - y ^ d)(E) f(x;y) = e2-(x + y^);

e)(E) f ( x ;y ) = x '+ y '+ x y + y + ^ ;

f)(E) f(x;y) = x '+ y '- 3 x y ;g)(V) f(x;y)=y^ - x ' -4 y ^ +2xy';

64

h)(E) f ( x ; y ) = x y - ^ - ^ + 10;4 , . 2

KVK-1190

i)(E ) f(x;y) = e ' j)(E ) f (x ;y ) = x ^ + y ^ - 6 x ^ - 3 y ^ - 9 y ;

k)(E) f(x;y) = xy + — + — ;X y

1) (V) f(x;y)=x^ +xy + y^ -4 1 n x -1 0 1 n y ; m)(V) f (x; y) = (x - y)(l - xy);

n)(E) f(x ;y )= 4y‘ + y - 2 x y + 5.

8.3.2. (E) Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. A két termék előállítási költségét az alábbi kétváltozós függvény adja meg: C(x;y) = 3x^ +2xy + 2y^ -1 8 x -1 6 y + 48, ahol X az A jelű, y a B jelű termékből egy év alatt termelt mennyiséget jelenti ezer tonnában. Határozza meg, hogy milyen termékösszetétel esetén lesz minimális a költség!

8.3.3. (V) Egy üzem két terméket állít elő. A termékek előállítási költségét a C(x;y)= x ^ -2 x y + 2 y ^ + 7 x -7 y -5 , az árbevételt az R(x;y) = 3x + 5y kétváltozós függvények adják meg, ahol x az A jelű, y a B jelű termékből egy év alatt termelt mennyiséget jelenti ezer tonnában. Határozza meg, hogy milyen termékösz- szetétel esetén lesz maximális a profit!

8.3.4. (E) Határozza meg a z = xy -1 felületnek az origóhoz legközelebbeső pontját!

8.3.5. (V) Egy felül nyitott, téglatest alakú 4 m térfogatú tartályt akarunkkészíteni. Határozza meg, hogy az élek mely értéke esetén kell a legkevesebb anyag a tartályhoz!

65

8.3.6. Egy derékszögű háromszög rövidebbik befogójának hosszát a = 5±0,l cm-nek mértük, a másik befogójának hosszát pedig b = 12±0,2 cm-nek. Becsülje meg, hogy mekkora abszolút illetve relatív hibával számítható ki

a) (M) az átfogó hossza; b)(E) a háromszög területe;c) (V) tg p , ahol p a b oldallal szemközti csúcsnál fekvő szög!

8.3.7.(V) Az Rj ellenállás 6,4Q, az Rj ellenállás 4,2Q. Az adatok egy tizedesjegyre kerekítettek. Számítsa ki a hibák figyelembe vételével a két ellenállás párhuzamos eredő ellenállását!

8.3.8. (E) Kísérleti úton határozzuk meg egy bizonyos faanyag sűrűségét.Készítettünk belőle egy a = 20 cm oldalú homogén kockát, s lemértük ennek tömegét, melyre m = 419 dkg adódott. A hosszmérés hibája legfeljebb 0,1 cm, a tömegmérésé pedig 0,5 dkg volt. Számítsa ki a hibák figyelembe vételével a sűrűséget!

(Emlékeztetőül: p = ^

8.3.9. A véges növekmények tételének felhasználásával adjon közelítést az alábbi kétváltozós valós függvényeknek a megadott pontban felvett értékére egy olyan közeli pontból kiindulva, ahol a függvényérték könnyen számolható!

a)(M) f(x;y) = ln (x^-y^) P(B,02;1,96);b)(E) f(x;y) = (xy)^-2 (y + 2x)^ P ( - 1,98;3,01).

8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása

8.4.1. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját a megadott T tartományon!

a)(V) f(x;y) = l - | - í T = {(x;y)|-1 < x <1, - 2 < y < 2 } ;

KVK-1190

b)(E) f(x;y) = x-siny, T = J(x ;y) l< x < 2 , 0 < y < | [>;

66

KVK-1190

c)(E) f(x;y) = | ^ , T = {(x;y)| 0< x < 1, 0 < y <21+y

d)(M )f(x;y) = ^ ^ , T = { (x ;y )|0 < x < 2 , - l < y < o } ;

e)(E)--f(x;y) = ^-----T = {(x;y)|- 2 < x < 1, 1 < y < 3};( x - y - l j

f)(M) f(x;y)=:x^•e’‘'^ T = | (x;y) - l < x < - ^ , 0 < y < l

8.4.2. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját a csúcsaival adott téglalaptartományon!

/ \ X \ X \71 71

2 ’2a)(E) f(x;y) = cos(2x-y), A(0;0), B

In X

c , D

b)(E) f(x;y) =xy V

c)(M) f(x;y) = - ^ ^ , A(1;0), B(2;0), C(2;2), D(1;2).(x + y)

8.4.3. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját a megadott T tartományon!

a)(M) f(x;y) = - y , T = {(x;y) 0 < x < V 3 , 0 < y < arctgx };1 + x

b)(E) f(x;y) = ^ , T = U x;y) 0 < x < ^ , c o sx < y < 2 co sx

x '+ y " < 4 };c)(V) f(x;y) = 3 x -4 y , T = {(x;y)

d)(E) f(x;y) = x-sin2y + y, T = < (x;y)

e)(E) f(x;y) = ^ , T = {(x;y)| y S x <(l + y)^ 1 < y <3}.

7t0 < X < cos y, 0 < y < —

67

8.4.4. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját a csúcsaival adott sokszögtartományon!

f \a)(E) f(x;y) = x-siny, A ^ ;0 , B(ti;0), C(ti;7i);

V yb)(V) f(x;y) = x + 8y, A (-2 ;-9 ), B(14;-13), C(14;3);c)(E) f(x;y) = e^-^ A(0;0), B(1;1), C(0;2);

KVK-1190

d)(E) f(x;y) = - ^ , A(2;2), B(2;3), C(4;4);

e)(M) f(x;y) = 2y

(y’ - x ^ r V, B

1 3v2 2 ,

, C(0;2);

f)(V) f(x;y) = ^ + 3 y - V 7 ^ ,

A(0;0), B(4;4), C(4;S), D(0;1).

8.4.5. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját a csúcsaival adott sokszögtartományon!

a)(E) f(x;y) = e^^-^ A(0;0), B(1;-2), C (2;-2);

, A (-l;2), B(1;2), C(0;4);\J J

b)(M) f(x;y) =

c )(V )f(x ;y ) =l + (y -x )

d)(E) f(x;y) = x '- ln y , A(1;1), B(e;e), C(-e;e), d (-1;1);

A(l;l), B(2;1), c (2V3;V3) d (V3;V3);

e)(E) f(x;y) = 4xy

(x' + yO ‘V y '+ 3, A(0;l), B(0;2), C(2;2), D(1;1).

8.4.6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját azon a korlátos tartományon, amelyet a következő egyenletekkel megadott görbék határolnak!

a)(E) f(x;y) = ^ ^ ^ , x = l, x = e, y = 0, y = lnx;

68

KVK-1190

-C*/ \ COS X 7Z StT . .b)(E) f(x;y) = — x = - , x = — , y = sinx, y = 2sinx; y 4 4

c)(M) f(x;y) = x -1 , x = l, x = - l , y = x ^ y = 4 ;(y + iF

d)(V) f(x;y) 4y-shx, x = ln3, y = l, y = e’‘ .

8.4,7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját azon a korlátos tartományon, amelyet a következő egyenletekkel megadott görbék határolnak!

a)(M) f(x;y) = y-e% x = y, x = ^ y ^

b)(E) f(x;y) = ^ ^ ^ , x = -y , x = y ^ y = - | ;(1 + x)^

c)(E) f(x;y) = lny, x = - , x = y", y = - ;y 2

d)(V) f(x;y) = l, x = y ^ -4 , x = - ^ y ^ + 2 .

8.4.8. Számítsa ki az alábbi kettős integrálokat, majd ábrázolja azt a tartományt, ahol integrált!

a)(M) 2y -1 dy

2 i-2yc)(E) j (x + y + l)dx

o v o

dx;

dy.

b)(E)tgx

dx;

8.4.9.írja fel a következő, csúcsaikkal adott sokszögtartományokat normáltartományok egyesítéseként! Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvény kettős integrálját ezeken a tartományokon!

a)(M) f(x;y) = siny-cosx,a (7i;0), B(7t;7i), C(0;2jt), D(-7i;ti), e ( - ti;0);

b)(E) f(x;y) = 72x(y-4), A(-6;0), B(-2;2), C(0;4).

69

9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

9.1. Alapfogalmak

9.1.1. Döntse el, hogy az alábbi differenciálegyenletek hányadrendűek, illetve azt is, hogy lineárisak-e!

y' e’'a)(M) y'" • tg X------r- + y -------= x • arccos x ;4x sinx

b)(E) y" = 5 y '- 4 ; c)(E) y • Iny + siny" = 0.

KVK-1190

9.1.2. Döntse el, hogy az alábbi differenciálegyenleteknek megoldásai-e a megadott f(x) illetve g(x) függvények!

a)(V) (y ')^+ y 'y '' = 4cos4x, f(x) = cos2x, g(x) = -s in 2 x ;b)(E) y'' = y + x ^ f(x) = 2x^ g(x) = -x^ - 2 - e " .

9.1.3. Határozza meg integrálással az alábbi differenciálegyenletek általános megoldását, majd adja meg a megadott kezdeti feltételt illetve feltételeket kielégítő partikuláris megoldását!

a)(M) y'" = l, y(0)= l, y'(0) = 0, y"(o) = - l ;

b)(E) y" = c o s | , y(0) = 0; c)(E) y'(l + e’‘)=e% y (0 )-0 .

9.2, Elsőrendű differenciálegyenletek

9.2.1.Adja meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenletek általános megoldását! Ha adott kezdeti feltétel is, akkor írja fel az ezt kielégítő p.artikuláris megoldását is!

a)(M )y ' = 2 x y \ y(l) = - l ; b )(V )y ' = xy;

c)(E) d y -4 x 7 y d x , y ( l)= l; d)(E) xM y = yMx, y(0) = l;

e)(M) y'sinx = y ln y ; 0 (V) 1 + y^+2xy-y ' = 0;

70

9.2.2. írj a fel az alábbi elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek általános megoldását!

a)(M) xy' - 3y = 0; b)(E) y' + x ^ = 0;

c)(E) y 's in x -y c o sx = 0; d)(V) y' + —r — y = 0.X - 1

9.2.3.Oldja meg az állandó variálásának módszerével az alábbi elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket!

a ) ( M ) y ' - - ^ = x ^ - l ; b)(E) y '- 2 y = 2x; x + 1

c)(V) xy' + y = co s |-; d)(E) y' + y = 2ch2x;

e)(E) y' + - y = - ----X x^ + x - 2x^

2x

KVK-1190

g)(E) (l + y ^ )x - ( l + x^)y' = 0; h)(E) y'e^^^=l.

í)(E) y ' - —^ y = (x^+x)arctgx;1 + x^

g)(M) x^y' + y = x -e ’‘ -In x ; h)(E) y 'co sx ---------------= 1;cosx-tgx

l)(V) y ’- A = l; j)(E) 2x y '+ y = •1-x ' x + r

2 2, ” 1 k)(E) y' + ycosx = x -e’‘' “®'"''; 1) (E) y' + -Y y = e ’‘"-In—;

X X

m)(E) xy' + ^ = l ; n)(V) x y '+ x y -y + x = 0 .Inx

9.2.4. Határozza meg az állandó variálásának módszerével az alábbi elsőrendű lineáris differenciálegyenleteknek a megadott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását!

a)(E) 2 x y '-y = 2x^ y(4) = ^ ;

b)(V) y' + ytgx==-2cos^x, y (o )= l;

71

KVK-1190

c)(E) = y(e)=0; x - 2 x-lnx

d)(E) y ' - ^ = chx, y(0) = 0;e - x

e)(V) y ’+ - ^ y = l - x ^ y(0)=0;1 -x

f)(M) y' + y = sinx, y(o) = ^ ;

g)(E) y ' - - ^ y = -^=^==, y(0) = - 2 ;1 + x Vl + x '

/ \ 71 = 0 ;h)(E) y 'sinx + 2ycosx = cosx, y

u ,i) (E) y' + ycosx = cosx, y (o )= -e ;

i)(V) y - , ^ _ , y=i . y(o)=3.X ”r X

9.2.5. Oldj a meg próbafüggvény-módszerrel az alábbi állandó együtthatójú elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket!

a)(M) y' + y = sinx ; b)(E) y '- 2 y = 4x;

c)(V) 2y' + y = 10(e'’‘ + e-’‘); d)(E) y '- 4 y = ^ c o s 3 x + 2.

9.2.6. Az ábrán látható egyenáramú RL-körben R = 0,4Q, L = 0,8H, U = 12V.

a)(M) írja fel (zárt kapcsoló esetén) az áramkörben folyó i(t) áramra a Kirchhoff-féle huroktörvényből adódó differenciálegyenletet az idő függvényében!

b)(E) Az i(0) = 0 kezdeti feltétel felhasználásával adja meg a bekapcsolás pillanatától kialakuló áramot az idő függvényében!

72

KVK-1190u

y

R

9.3. Másodrendű differenciálegyenletek

9.3.1. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek általános megoldását!

a)(E) y " -2 y '- 3 y = 0; b)(M) y" + 5y' = 0;c)(E) 4y" + y' = 0; d)(E) y " -6 y ' + 9y = 0;e)(M) y " -2 y ' + 1 0 y -0 ; f) (V) y" + 4y = 0.

9.3.2.Oldja meg próbafíiggvény-módszerrel az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket!

a)(E) 9 y " -y = 4; b)(E) y" + y '-1 2 y = 6x + 2 ;X

c)(V) y" + y = 3 x '; d)(E) y" + y' = 6e^;e)(M) 5y" + y '= 18e'‘ -5 co sx ; f) (E) 4y" + y = 85(e"’‘ -e^’‘);

g)(E) 2y"-2y' + 5y = -(l00x^+24);

h)(E) y" + 10y' + 9y = 25sin |-; i) (E) y " -4 y = 10cosx + 8x;

j) (V) y" + 2y' + y = -1 0 co s2 x -5 s in 2 x ;k)(V) y" + 4y = -sh3x; 1) (V) y " -3 y '-1 0 y = 2e’‘ -sh x ;m)(M) y" + y = (x + l)e-’‘ ; n)(E) y " -5 y ' + 6y = 1 2 x '•e ’‘;o)(E) y"-16y^IS e '^-sinx ; p)(E) y " - 2 y '= -1 5 x -co sx .

9.3.3. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenleteknek az adott kezdeti feltételt illetve feltételeket kielégítő partikuláris megoldását!

a)(E) y" + y = 0, y (o )= -l, y(7i)=l;

73

b)(E) y" + 2y' = 0, y(o)= l;c)(V) y " -3 y ' + 2y = 0, y(o)=l, y'(0) = 0;d)(M) - y" + 4y' - 5y = 25x^ + , y(0) = 0;e)(E) y" + 7y' + 6y = -ősinX -cosX , y(0) = 0, y'(0) = 0.

9.3.4. Adottak az ay" + by' + cy = q(x) (a,b,c e R, a 0) alakú differenciálegyenletek karakterisztikus egyenletének A,,,^2 gyökei és a q(x) zavarófliggvény. írjon fel a partikuláris megoldás kereséséhez rezonanciamentes próbafíiggvényt!

a)(M) ^ ,= 2 , ^2= 3 , q(x) = e ^ ^ - x - l ;b)(E) = 0, ^2 = 4, q(x) = 20e^’‘ -1 6 ;c)(E) X, = 0 ,^ 2 = -3 , q(x) = 10cosx + 12x;d)(M) 2 = -1, q(x) = 2 e '" ; e) (E) A.; 2 = 4, q(x) = 4sh4x ;f)(E) A.,2 =+j, q(x) = sinx + cosx;

g)(V) A.,2=±3j, q(x):=12sin3x;

h)(E) ^12 =1± j, q(x) = e’‘ -sinx .

9.3.5.Oldja meg próbafíiggvény-módszerrel az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket!

a)(M) y ” - 5y' + 6y = Se^’ - 5e'’‘ + 6;

b)(E) y " -2 y '-3 y = 6(e'’‘ -x ) ; c)(E) 2y" + 3 y '= 10 sin - + 6;2

d)(V) 3 y " -y ' = 2 x - 7 ; e)(E) y" + 9y = sin3x-cos3x ;f) (E) y " -2 y ' = 1 0 co sx -4 x ; g ) (M )-y " -6 y ' + 7y = shx + l;

KVK-1190

h)(E) 4 y " -y = 8 e^ - 1

i)(E) y" + y' = 3 x '+ 6 x + l - 2 e “’‘;j)(E ) y " -4 y ' + 4 y - e ' ’‘ + 4 x ; k)(V) y " -8 y ' + 16y = 4ch4x ; 1)(E) y" + 2y' + y = 25sin2x + 2 e '^ m)(V) y" - 3y' = 2e" + (óx + 5)e'’ .

74

9.3.6. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenleteknek az adott kezdeti feltételt illetve feltételeket kielégítő partikuláris megoldását!

KVK-1190

= - l - e ;a)(E) y" + 2y' = 12x^-2, y(0)=0, y

b)(M) y " -6 y ' = 12 + 37sinx, y(o)=2, y'(0) = 0;c)(E) y " -3 y ' = 3e^’‘ +9, y(0)=0;d)(M) y " -5 y ' + 6y = -3e^’‘ +10sinx, y(0) = 0;e)(E) y" + y = 2cosx, y (o )= -3 ;

/ \f)(E) y" + 4y = sin2x + 2cos2x, y(o)= -l, y = 7t;

g)(V) y" - 3y' + 2y = 24ch x + 12x, y(o) = 0, y '(o) - 1;

h)(V) y " -y = x - e \ y(0)=0, y '( o )= -^ .

9.3.7.Az alábbi váltakozó áramú RLC-körben R = 40Q, L = 0,5H,

C = 25|j.F és U = Ug - sin (B t, a h o l Uq = 34V i l le tv e co = 314-.s

a)(M) írja fel az áramkörben folyó i(t) áramra a Kirchhoff-féle hu- roktörvényböl adódó differenciálegyenletet az idő függvényében!

b)(E) Adja meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

u-----------o o-------------

R L

- " lír -

75

10. L APL ACE-TRANSZFORMÁCIÓ

10.1. Laplace és inverz Laplace-transzformált

10.1.1. Képezze az alábbi függvények Laplace-transzformáltját!a)(E) f(t)= 2e^‘ + 3 t’ - 2 ;

b)(E) f(t) = 9 e '‘ ‘ + 3sin7t - 1 1 ;

_ t

c)(E) f(t) = 3 -2 c o s8 t + 3e~2;

d)(E) f(t) = ^sh 6 t-5 ch 3 t;

e)(E) f(t) = — e '“‘ + —sincűt (R, L, co, C pozitív állandók);L C

f)(M ) f(t) = 2e + e"‘ -chSt;g)(E) f(t) = e^‘ - t^

2t --h)(E) f(t) = e ‘ • s h y + 2e 2 -chSt;

i) (E) f(t) = e ‘ • cos2t + 4e"' • sin9t; j) (M) f(t) = sin^ t ;k)(M) f(t) = t-sin t;1) (M) f(t) = sint • cost;m)(V) f(t) = 8sht • cos3t + sin^t + cos^t;

n)(E) f ( t ) = t '+ e ^ ‘ + 4 s h |- c h | .

10.1.2. Az eltolási tétel alkalmazásával határozza meg a következő fíigg- vények Laplace-transzformáltját!

j O, ha t < 5,

( t - 5 f , ha t > 5 ;

KVK-1190

76

a)(E) f(t) =

fn Uc ^ -2

KVK-1190

b)(E) f(t) =0, ha t < 3,sin(t - 3), ha t > 3;

/ \ fO, ha t < 2,[cos(3t - 6), ha t > 2.

10.1.3. Határozza meg az alábbi függvények inverz Laplace-transzfor- máltját!

a)(E) f ( s ) = ^ + ^ - 5 ;s - 8 s + 4 s

b)(E) f(s) = 4 + ^ - ^ ;s 3s + 21 s - 4

c)(M )f(s) = ^ ^ ; d)(V) f(s) = — ^ + -s "+ 5 8 s" -5 0 63s"+28

e)(M )f(s)^ • f)(E) f(s) = 4-+s ^ -5 s + 4 ................ s" s " + 2 s - 3

g)(E) f(s) = - ^ -----h)(E) f(s) = - _ L - — + . ^s^+ 4s + 4 ’ s^+ 6s + 10 (s-3)^ ’

1) (M) f(s)= , ; j){ V )f(s )=s"-1 8 s + 82 s^+8s"+15s

k)(E) f(s) = 4 ^ ; D ( M ) f ( s ) = - ^ ^ ;s +2s s"^+9s'

m ) ( E ) f ( s ) = - | ^ ; n)(V) f(s)=-s -9 s s - 2 s +5s

10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval

10.2.1, Oldja meg Laplace-transzformációval az alábbi elsőrendű differenciálegyenleteket az adott kezdeti feltételek mellett!

a )(M )y ' + 3y = -8 e ^ \ y(o) = 4;b)(E) y' + 2y = 10sh3x, y(o) = 5;

77

KVK-1190

c)(E) y '- 5 y = 25x, y(0) = l ;d)(V) y' + 2y = 10sin4x, y(0) = 0;e) (E) y' + 3y = 2cosx, y(0) = 0;f)(E) y' 2y= 4x + 12chx, y(0) = 0;g)(V) y ' - y = 4 x - e - \ y(0) = 0;h)(V) y' + 2y = 17e'" -cosx, y(0) = 0;i)(E ) y '- 3 y = e ^ ^ -2 , y(0) = -2.

10.2.2 Oldja meg Laplace-transzformációval az alábbi másodrendű differenciálegyenleteket az adott kezdeti feltételek mellett!

a)(M) y" + 9y = 9,b)(E) y" + 4y = 13e^\c)(E) y" + 3y' + 2y = 2x + 5,d)(E) y" + 3y' + 2 y -1 2 e " \e)(E) y " - y ' = 2,f)(V) y " -6 y ' + 9y = 2 5 e ''‘ ,g)(E) y" + 4y' = 68sinx,h)(E) y" + 5y' + 4y = 4 t,i) (V) y" + 3y' - 4y = sh3x, j)(E ) y" + y' = t^ + 2 t , k)(E) y" + 2y = 6 e ^ \1)(E) y " - y ' - 2 y = 18e-^^+12, y(0) = 0, y'(0) = 0 m)(E) y" + y' - 2y = 15sin2x , y(o) = 0, y'(o) = 0 n)(V) y" + 4y' + 4y = 2 5 e '\o)M) y " -6 y ' + 9y = 3 x '- e ^ \ p)(M) y" + 2y' + 5y = 13e^% q)(E) y" + 3y' + 2y = 24ch2x, r)(E) y " -2 y ' + 2y = 2, s)(M) y" + 4y' + 4y = 8e“ \ t)(V ) y " - y - 8 x + 2 4 e \

y(0) = 0,y '(0) = l; y(0)= l , y'(0)=5; y(0) = 0 , y'(0) = 0

y(0) = 0, y'(0) = 2

y(0) = 0, y'(0) = 0

y(0) = 0 , y'(0) = 0

y(0) = 0 , y'(0) = 0

y(0) = l , y'(0) = 0 ; y(0) = 2 , y’(0)=3; y(0)=4, y’(0) = - 2 ; y(o)=o, y'(0 ) = 0

y(0)=0, y '(0)=0y(0)=0, y '(0)=0y(0)=0, y '(0)=0 y(0)=0, y '(0)=0y(0)=0, y '(0)=0y(0)= l, y’(0) = l ;y(0)=0, y '(0)=0;

78

10.2.3. (M) Határozza meg Laplace-transzformáció alkalmazásával azalábbi differenciálegyenlet általános megoldását! y" + 3y' = e \

10.2.4. (E) Egy állandó feszültségre kapcsolt soros RL-áramkörben azáramerősség időben történő változását az alábbi differenciálegyenlet írja le:

í ö + 8i(t)=4.dt ’

Határozza meg Laplace-transzformáció segítségével az i(t) időfíiggvényt az áramkör bekapcsolásakor (i(0)=0)!

10.2.5. (V) Egy rezgő tömegpontra az elmozdulással arányos, de azzalellentétes irányú rugóerő és ellentétes irányú súrlódási erő hat. A tömegpont egyenes mentén való mozgását az alábbi rezgési differenciálegyenlet írja le:

dt dt ^Határozza meg Laplace-transzformáció alkalmazásával az elmozdulás x(t) időfuggvényét, ha a t = 0 időpillanatban az elmozdulás nulla, a sebesség 2 m/s!

KVK-1190

u)(E) y " - 4 y ' + 5y = 2 e ' \ y(0) = 0, y ' (0 ) -0 .

79

KVK-1190

11. VÉGTELEN SOROK

11.1. Számsorok

11.1.1. írja fel a részletösszegek sorozatának első három elemét, majd vizsgálja meg, hogy teljesül-e a konvergencia szükséges feltétele!

"XM) ; b)(E) E 5+ 3n + 2 n=l V*

c)(M) X 2n=l

VI9 - I V5 +I

1

A” 00 o n - l ^ - n + 1

n=l

n=i Vn+T — Vnf)(E) |] (V ír+ 2 -V n + 4).

n=l

11.1.2. Vizsgálja meg az alábbi számsorok konvergenciáját! Amelyik konvergens, annak számítsa ki az összegét!

a ) ( M ) | ; 3 Í (n=0 \ f .00 on ,

\ 2n I— - \ n

b)(M) X

d)(E) t -n=0

Í 3 ^n

U ,9

3 2 n

2 H + 2 5

n=0

V e+ iV5+1

f)(E) 2 ( 1 / 5 - 2 )n=l

ViöV5+1

11.1.3. Számítsa ki az alábbi számsorok összegét!

a)(M) Zn=0

c)(E) t,í í ( n + l)(n + 2)

1: í ^ ( n - l ) ( n - 4 ) ’

n + 3

3n + 6t i n(n + 2)(n + 4)

1t^ (n + l)(n + 3)

t ^ ( n - l ) ( n + 2 )(n -2 ); f)(E) É io g :

n=2

1 -1

80

KVK-1190

11.1.4. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok konvergenciáját!

a)(M) | ; { - i r - L - ; b)(M) " + ^n=0 n + Z 2n + r

n + ^-1

„ 2 n - l

c)(E) cosnTi; d)(V) ' Z ^:^ ( n + 2)! 2

n! .„371 sin

> n - lf)(E)

/ 1 1 + -

n=0 n=2

11.1.5. A D’Alembert-féle hányados-, illetve a Cauchy-féle gyökkritérium alkalmazásával vizsgálja meg az alábbi, pozitív tagú számsorok konvergenciáját!

c)(E) X -n + 1

n=o (n + 2)(n + 3)

e)(V) | ; ( 2 n - l ) I ;

•»(V)n=2 ^

S ( n + 3 r ’

n=l

f)(E) Sn=l

^ n + 3 ^~ ,2 n + l .

11.2. Hatványsorok

11.2.1. Vizsgálja meg, hogy az alábbi hatványsorok konvergensek-e a megadott helyeken!

cc

a)(M) V ------ , ha Xj = 0,5 illetve X2 = 3;n=o n + 2

b)(V) ha X, = 1 illetve x^ = 5;„=o n + 1

c)(E) ha X , = 2 illetve X2 = 6;n=0 3 "

"3" x", ha X, = 0,5 illetve = 0,25 ;

81

®)(V) ha X, = 2 illetve Xj = 2e;n=l n

f)(E) y ^ — ha X, =0,1 illetve X, =10. ' ' ^ á 3 " ( n + 2)! ’ > ’

11.2.2. írja fel az alábbi függvények megadott körüli, harmadrendű Taylor-polinomját!

a)(M) f(x) = 2 \ ha Xo = 1; b)(M) f(x) = ^ , ha x„ = e ;X

c)(V) f(x) = - r ^ , h a x 0 = ^ ; d)(E) f(x) = x^ - x%ha x„ = 1; smx 2

e)(E) f(x) = xlnx, haxg = e ; f) (E) f(x) = e’‘\ ha x^ = -1 .

11.2.3. íqa fel az alábbi függvények Xq = 0 körüli Taylor-sorát! Határozza meg, hogy Taylor-sora melyik tartományban állítja elő a függvényt!

a) (M) f(x) = i sin 3x ; b) (V) f(x) = sin 2x cos x ;

c)(V) f(x) = 4 ; d)(E) fi;x) = x=e^';

e)(E) f(x) = cosx>; f) (M) f(x) = — ^ ;4 + x^

g)(M) f(x) = arctg2x ; h)(M) f(x) = ln (2 -x ) ;i)(V ) f(x) = xMn(x + 2); j) (E) f(x) = lg ( l - 2 x ) ;

k)(E) f(x) = V5 - x ; 1)(E) f(x) = 2 xarccos(-x ).

11.2.4. Az Xq = 0 körüH, harmadrendű Taylor-polinom alkalmazásával,adja meg két egész szám hányadosaként az alábbi függvények közelítő értékét a megadott Xj helyen, és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára!

a)(M) f(x) = e’‘, ha Xj = -0,1; b)(E) f(x) = Vl + x, ha X[ = 0,1;c)(E) f(x) = cosX, ha X, = 0,2; d)(E) f(x) = arctg2x, ha Xj = 0,1.

KVK-1190

82

11.2.5. Az integrandus Xg - 0 körüli, negyedfokú Taylor-polinomjánakalkalmazásával, adja meg két egész szám hányadosaként az alábbi határozott integrálok közelítő értékét, és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára!

“’fsin2x "’f 2a)(M) í ^ ^ d x ; b)(E) f e - ^ x .

0 X J

11.2.6. Az integrandus Xg = 0 körüli Taylor-polinomjának alkalmazásával, számítsa ki az alábbi határozott integrálok közelítő értékét úgy, hogy a pontos értéktől való eltérés legfeljebb 10"® legyen!

0 , 2 0 , 2 - X

a)(M) fe-’''d x ; b)(V) f ---- dx;0 o:”! X

0,6 _________ 0,5 .

c)(E) jVl + x^ d x ; d)(E)0,4 0 ^

11.3. Fourier-sorok

11.3.1. írja fel, és ábrázolja az alábbi periodikus függvények Fourier- sorának első három, nullától különböző Fourier-együtthatójú tagját, a függvény egy periódusában! Ábrázolja ezek összegét és a megadott függvényt is!

- 71, ha - 271 < X < 0,71, ha 0 < X < 271,

és f(x) = f(x + 47t) minden x € R esetén;b)(V) f(x) = x, ha -7 r< x < 7 i,

és f (x) = f (x + 2ti) minden x € R esetén.

11.3.2. Ábrázolja az alábbi periodikus, páratlan vagy páratlanná transzformálható függvények három periódusát, és határozza meg a Fourier-sorukat! A szakadási helyeken számítsa ki a sor összegét!

KVK-1190

a)(M) f(x) =

83

a)(M) f(x) =

KVK-1190

b)(V) f(x) =

d)(E) f(x) =

e)(E) f(x) =

3, ha - 7i< X < 0,- 3, ha 0 < X < 71,

és f(x) = f(x + In) minden x e R esetén;0, ha - 7i< X < 0,6, ha 0 < X < 7T,

és f(x) = f(x + I ti) minden x € R esetén;c)(E) f(x) = - x , ha -7 i< x < 7 t,

és f(x) = f(x + 2ti) minden x g R esetén;- X - 7t, ha - 7i< X < 0,- X + 71, ha 0 < X < 71,

és f(x) = f(x + In) minden x e R esetén;-1 , ha -1 < X < 0,1, ha 0 < X < 1,

és f(x) = f(x + 2) minden x g R esetén;f) (E) f(x) = 2 X, ha -1 < X < 1,

és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén.

11.3.3. Határozza meg az alábbi periodikus, páratlan vagy páratlanná transzformálható függvények Fourier-sorát!

a)(V) f(x) =x^+3, ha - l < x < 0 .

-x ^ + 3 , ha 0 < x < l , és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén;

0, ha -1 < x < -0,5 ,b)(V) f(x) = < 2 sin Tix, ha - 0,5 < x < 0,5 ,

0, ha 0,5 < X < 1, és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén;

2x, ha -1 < X < -0 ,5 ,c) (E) f (x) = < 2(x - sin 7ix), ha - 0,5 < x < 0,5 ,

2x, ha 0,5 < X < 1 ,

és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén.

84

KVK-1190

11.3.4. Ábrázolja az alábbi periodikus, páros függvényeket és határozza meg a Fourier-sorukat!

a)(V) f(x) =2, ha — < x < —,

2 21 1 ^ ^3711, ha - < x < — ,

2 2

b)(E) f(x) =

és f(x) = f(x + 2n) minden x g R esetén;- X, ha - 7T < X < 0,

X , ha 0 < X < 71,

és f(x) = f(x + 2ti) minden x e R esetén;

a)(M) f(x) =

c)(E) f(x) = 2 - |x |, ha - 2 < x < 2 ,és f(x) = f(x + 4) minden x g R esetén.

11.3.5. Határozza meg az alábbi periodikus, páros függvények Fourier- sorát!

e”’‘, ha - 2 < x < 0, e’‘, ha 0 < x < 2 ,

és f(x) = f(x + 4) minden x e R esetén;0, ha - 0,5 < X < -0,25 ,

2 cos 7IX, ha - 0,25 < x < 0,25,0, ha 0,25 < x < 0,5 ,

és f(x) = f(x +1) minden x e R esetén;c)(E) f(x) = x% ha - 2 < x < 2 ,

és f (x) = f (x + 4) minden x e R esetén.

11.3.6. Ábrázolja az alábbi periodikus függvényeket és határozza meg a00

Fourier-sorukat! A sort írja fel a,, + ^ c „ sin(n(ox + ) alakbann=l

is!

b)(E) f(x) =

85

KVK-1190

a)(M) f(x) =0, ha - n < x < —,

4

2, ha — < X < 71, 4

b)(E) f(x) =

és f(x) = f(x + 2n) minden x € R esetén;- X , ha - 2 < X < 0,

[ x -2 , ha 0 < x < 2 , és f(x) = f(x + 4) minden x e R esetén.

11.3.7. Határozza meg az alábbi periodikxis függvények Fourier-sorát! A00

sort írja fel a,, + sin(n(ox + (p„) alakban is!n=l

a)(M) f(x) =1 + x^, ha 0 < x < l ,

1, ha 1 < X < 2, és f (x) = f (x + 2) minden x e R esetén;

b)(E) f(x) =0, ha - 7 i < x < —,

4u ^ ^ sm X, ha — < x < n ,

4és f (x) = f (x + 2n) minden x e R esetén;

c)(E) f(x) =

0,1

ha 0 < x < - ,

SsinTtx, ha ^ < x < l ,

0, ha 1 < X < 2,

és f(x) = f(x + 2) minden x € R esetén.

86

KVK-1190

11.3.8. Határozza meg az alábbi, szakaszokból álló grafikonnal megadott, periodikus függvények Fourier-sorát!

a)(M)

b)(V)

c)(E)

7--'

H----- h H----- 1-K 2k 3n 4n 5k 6n 1% 8jt 9n IOtc IIjt x

87

12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

12.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása

12.1.1. Oldja meg grafikusan a következő kétismeretlenes lineáris egyen- lötlenségrendszereket és határozza meg a megoldáshalmazok csúcspontjait!

a)(M) b)(E)X i + X 2 ^ 12, X , + X 2 > 0,

2 < X [ < 8 , - 2 x , + X 2 > - 4 ,

3 < X j < 8 ; X j > 0 ;

c)(E) d)(E)X , - 3 x 2 > - 6 , X , + X j > 2 ,

X, + X j ^ 2, Xj - X j < 4 ,

Xj - X2 < 4 , - Xj + X j < 6 ,

X, , X2 > 0; X2 < 0 .

12.2. Lineáris programozás alapfeladata

12.2.1. írja fel az alábbi feladatokat az egyenlőtlenségek és a célfüggvény megfelelő átalakításával

Ax < b,X > 0 ,

(c * x) m ax. alaknak megfelelő formában!

KVK-1190

88

a)(E)X, + 2x j - X 3 < 6,

4xj -3x2 + 2X3 > 1,X2 - X 3 > -3 ,

Xj, X2, X3 > 0,(2x, -3x2 +X3)->m ax;

b)(E)x, - 3x 2 + ^ 3 - 10,

- X i - X 2 + 3 X 3 > 5,

2X[ -3x2 + X3 = 2,X,, X2, X3 > 0,

(-3 x , + X2 - 4X3) —> min .

KVK-1190

12.2.2. (M) Egy gyár négyféle terméket állít elő (Ai, A2, A3, A4) három erőforrás (I, II, III) felhasználásával. Az egyes termékek fajlagos erőforrásigényét, az egyes erőforrásokból rendelkezésre álló mennyiségeket, valamint az egyes termékek darabárát az alábbi táblázat mutatja.

Erőforrások Termékek ErőforrásokAi A2 A3 A4 kapacitása

I 1 2 4 3 100II 0 3 2 1 120III 2 0 0 4 80

Ar (ezer Ft-ban) 15 20 25 17

írja fel annak a feladatnak a matematikai modelljét, amely eleget tesz a következő feltételeknek:- az erőforrások kapacitása nem léphető túl;- az Ai termékből legalább annyit kell termelni, mint az

Ai-ből és A3-ból összesen;- a II. erőforrásból a kapacitást teljesen ki kell használni;- a gyár célja a maximális árbevétel.

89

KVK-1190

12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása

12.3.1. Oldja meg grafikusan az alábbi kétváltozós feladatokat! A célfüggvényeket a z, zi és Z2 szimbólumokkal jelöltük.

a)(M)Xj - 2X2 < 2,

2x, - 2x 2 ^ “ 8,X, + 4X2 > 8,

x,, X2 > 0, z = (x, + x 2) ^ m a x , z = (x, +X2)-> m in ;

c)(E)2x, + 3X2 > 6,

- 2x, +X2 < 2,-4X[ + 5X2 < 20,

X,, X2 > 0, z, =(4x, + 2x 2) ^ m a x , Z2 = (8x, - 10X2) - > min;

e)(E)2Xj -3x2 - 6,2x, + X2 > 4,

-X i +X 2 < 2,7x, - 6X2 < 42,X; >0, 0<X2 <7, z, = ( l 5 x , + 3x 2) —>m ax, Z2 = (6x 1 + 3x 2) ^ min;

b)(E)3x, + 5X2 <30,

Xi - 2x 2 < 2,- 4X[ + 3 X 2 < 12,

Xj, X2 > 0,Zj =(2xi - X2) —>max ,Z2 =(-3X i + 6x 2) —>• min ;

d)(E)X, + X 2 < 6,

2X[ - X2 > -2 ,Xj - 2X2 < 2,

Xi, X2 > 0,Zj =(5xj + 3 x 2 ) ^ m a x , Z2 =(5x, - 5x 2) ^ min;

f)(E)Xj + 3x 2 > 3,X, - 3x 2 < 3,

- X j + 3 X 2 <15,X, + 3 X 2 <21,

0 <x , <6, X2 > 0 , z, = ( - 2xi - 6x 2) ^ m a x , Z2 =(4Xi - 5X2) —>• min;

90

g)(E)X, + X2 > 2,

8x, - 6X2 < 48,- 4 x , + 2X2 < 8,

X , , X2 > 0, z, =(5x, + 3X2) ^ min, Z2 =(7x, + 1 0 x 2 )^ m a x ;

h)(E)x, +X2 > 4,

-X , +X2 < 5,2x, - 4x 2 < -4 ,X, >1, X2 > 0,Zj =(3x, + 3x 2) ^ min ,Z2 = (-4 x , + 2x 2) ^ m a x .

KVK-1190

12.3.2. (E) írjon fel olyan feladatot, amelyben a lehetséges megoldásokhalmazát az A(0;0), B(4;0), C(6;2), D(4;4), E(0;2) csúcspontok által meghatározott konvex poliéder pontjai alkotják és a 4X[ + 4X2 célfüggvény maximumát keressük! Oldja meg a feladatot grafikusan!

12.3.3. (V) Egy bányászati társaságnak két bányája van (A és B), mindkettőben háromféle minőségű (első-, másod-, és harmadosztályú) ércet termelnek ki. Az óránkénti kitermelést tonnában az alábbi táblázat mutatja.

bánya elsőosztályú

másodosztályú

harmadosztályú

A 2 3 3B 1 2 6

A társaság az első osztályú ércből legalább 100 tonnát, a másodosztályúból legalább 180 tonnát, a harmadosztályúból legalább 240 tonnát akar kitermelni. Az A bánya üzemeltetése óránként 250 $-ba, a B bányáé pedig óránként 275 $-ba kerül. Határozza meg a bányák optimális üzemeltetési idejét, amely alatt a szükségelt mennyiséget minimális költséggel termelik ki!

91

KVK-1190

13. VEKTORANALÍZIS

Ha azt külön nem jelezzük, akkor ebben a fejezetben, valamennyi függvény értelmezési tartományának a hozzárendelési szabály által megengedett, legbővebb halmazt tekintjük.

13.1. Vektor-skalár függvények

13.1.1. Határozza meg az alábbi vektor-skalár függvények első derivált függvényeit!

a) (M) r(t) = (t sin t)i + (t cos t)j + (arccos t )k ;

' 1 + t '^ i + (3‘ +t ) j + (log2t)k;b)(E) r(t) = In- í-2y1-t^

X

c)(E) r(t) = ( t '- 3 t ) i + (tgt)j + Vtk;

d)(M) r(t) = ((sh 2t)i + (eh 2t)j + (cth t)k );th t

e) (E) r(t) = (arc tg(l + ))i + t^e‘j + 2^Jt^ + 2 tk ;

f) (E) r(t) = V t' - t ( ( t 'i + 1'j + t"k )-(V ti + Vtj + Vtk)).

13.1.2. írja fel az alábbi vektor-skalár függvények t, és tj független változó értékei által meghatározott PjPj szakasz paraméteres egyenletrendszerét, és számítsa ki a pontok távolságát!

a)(M) r ( t)= , i + l z l j + t ^k ,ha t, = 0 és t, =1;e - e + 1 1+t

b)(E) r(t) = ( t^+l) i + ( t - 3 ) j + 2 tk ,ha t, = 0 és =1;

c) (E) r(t) = (sin t)i + (cos t)j +

d)(E) r(t) = (inít"* + 1))[ + (arctgt)j + (t'' - l)k , ha tj = 0 és tj = 1.

t + — 2

k , ha t, = 0 és t 2 =

13.1.3. írja fel az alábbi vektor-skalár függvények által meghatározott térgörbék esetében, a t^ független változó értékhez tartozó, pontbeli érintő paraméteres egyenletrendszerét!

92

KVK-1190

a)(M) r(t) = (t^ -1 l)i + ( t ' - 3t)j + 2 t k , ha t„ = 2;

b)(V) r(t) = + Vcostj + (21n(t + l))k , ha t,, = 0;

c)(E) r(t) = - ^ i + - ^ j + ^ i ^ ^ k ,h a to =1;eh t sh t t

71d)(E) r(t) = (ln2sint)i + (t lncost)j + t k , ha .

13.1.4. A megadott tj < t < tj esetén, számítsa ki az alábbi vektor-skalár függvények által meghatározott térgörbék ívhosszát!

a)(M) r(t) = t^i + + tk , ha 1 < t < 2;

b)(M) r(t) = (2 + In t )i + (3t^ - 4)j + 6 tk , ha Ve < t < e ;c) (V) r(t) = (3 cos t)i + (3 sin t)j + 3 tk , ha 0 < t < ti ;

d)(E) r(t) = ^ i ^ i + ^ ^ j + ^ ^ k , h a e < t < e ' ;6 3 2

e)(E) r(t) = t , ha 1 < t < e ;

f) (V) r(t) = (cth2t)i + j + k , ha ln2 < t < ln4;sh 2t sh 2t

g) (V) r(t) = ^ ((sín t)i + (cos t)j + (sh t)k ) , ha 0 < t < In V3 ;e +1

t l + 2t^h)(E) r(t) = ^ Í + (4V21n(l + t))j+ 2 1 n ^ - - ^ ^ k ,

ha 1 < t < 2;

i) (E) r(t) = ^ ^ ^ ^ i + (lnsint)j + ^ k , h a ^ < t < ^ ;

j) (E) r(t) = 3(ti + ( t - t g t ) j +V2(lncost)k), ha 0 < t < —;6

k)(E) r(t) = i i + í - ! Í - t + ln(l + t ) l j + Í ^t 1 2 J V2

k , ha 1 < t < 2;

93

l)(E ) r(t) = ^ i + í ^ j + | ^ k , h a - 3 < t < l .4 3 4e

13.1.5. (M) Hányszorosa a t, = 0 és a tj = 1 független változó értékekhez tartozó, P, és Pj pontokat összekötő térgörbe ívhossza, a pontok távolságának, ha a térgörbét az

1 . t \ V2 .

KVK-1190

r(t) = --------r-ri + — i+ ,9(1+ t')^ 3 3(1+ t^)

vektor-skalár függvény határozza meg?

13.1.6. Jelölje s, és Sj az alábbi vektor-skalár függvények által meghatározott térgörbék, t g < t < t , és t, < t < t j egyenlőtlenségekkelmegadott, két részletének ívhosszát. Számítsa ki az ívhosszak arányát!

a)(M) r(t) = e‘i + e^‘j + —k , h a - l < t < 0 é s O < t < l ;4

b)(E) r(t) = V3t^i + 3 t 'j + 2V 3t'k ,ha 0 < t < l és l < t < 2 ;

c)(E) r(t) = 3ti + 4tj + V s k , h a O < t < l és l < t < 3 ;

d)(V) r(t) - x(t)i + y(t)j + z (t)k , ahol x(t) - )_ ^

,, 12t^arcsint + (4t^ + 8 )V l-t^ . /x , y(t) = ------------------^------------------ és z(t) = In arcsm t ,

, 1 V2 , 42ha — < t < — es — < t < — .2 2 2 2

13.1.7. (V) Hányszorosa az egyenes körhenger palástjára írt csavarvonal egy teljes körülfordulásának ívhossza a henger alapköre kerületének, ha a csavarvonalat azr(t) = (r cos t)i + (r sin t)j + A,tk ,ahol r > 0 és X > 0 valós számok, vektor-skalár függvény határozza meg?

94

13.1.8. (V) 80 mm átmérőjű, kör keresztmetszetű, szigetelőanyagból készült csévetestre, 1,4 mm átmérőjű, ugyancsak kör keresztmetszetű huzalból, 300 menetet tekercselnek. Egy rétegben pontosan 100 menet fér el. A rétegek közötti szigetelés vastagsága 0,2 mm. Milyen hosszú huzalra van szükség a tekercs elkészítéséhez, ha a két kivezetés egyenként 120 mm hosszú?

KVK-1190

13.2. Skalár-vektor függvények

13.2.1. íija fel az alábbi kétváltozós, valós függvények teljes differenciálját!

a) (M) f(x; y) = cos x y ; b)(M) f(x; y) = log^ (x - y )^

c)(V) f(x;y) = a r c c t g ^ 2 ^ ; d)(E) =X + y c h ( l-y )

e)(E) f(x;y) = 3(^-»^ f) (E) f(x;y) = (x^

13.2.2. írja fel az alábbi kétváltozós, valós függvények iránymenti deriváltját!

a)(M) f(x;y) = sin(x^ +y^); b)(M) f(x;y) =

c)(V) f(x;y) = arccos------ ; d)(E) f(x;y) =x + y e ^ t g x

e)(E) f(x;y) = arctg ^ ; f) (E) f(x;y) = ( l n x - l n y ) t g ^ .e - e X

13.2.3. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós fíiggvények gradiensét a megadott Po(Xo;yo) helyen!

a)(M) f(x;y) = x^+2xy + y és Po(-l;2);

b)(M )f(x ;y) = ^ ^ ^ é s P „ ycosx

c)(E) f(x;y) = a r c t g ^ é s ? o ( l ; l ) ;1 + x

d)(E) f(x;y) = e-M nyés?o(0 ;l);

95

KVK-1190

e)(E) f(x;y) = s h - ^ c h : ^ é s P o ( 0 ; 0 ) ;1 + y 1 + x^

f) (E) f(x;y) = és P„(3;l).lo g 2 (x -y )

13.2.4. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvény megadott Pi3(Xo;yi3) helyen vett gradiensvektorával párhuzamos egyenes meredekségét!

a)(V) f(x;y) = x ^ - y ' és Po(l;l);/ \ ' 7T 71 '

v 6 ’ 3 .b)(E) f(x;y) = - & é s P „

siny

c)(V) f(x;y) = ^ ^ |^ é s P o ( e ; e ) .ylogv X

13.2.5. A megadott a esetén, számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvények Po(X(,;yo) pontbeli, iránymenti deriváltját!

a)(M) f(x;y) = s i n - ^ ^ , a = 30° és Po(l;V2);X + y

b)(E) f(x;y) = ^ x y ' + x V , a = 135° és P„(3;l);

c)(E) f(x;y) = sh^ x y -a rcc tg —, a = 60° és Po(-l;2).

13.2.6. A V = ui + vj vektorral meghatározott irány esetén számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvények Po(Xo;yo) pontbeli, iránymenti deriváltját!

a)(V) f(x;y) = ^y/x^"+^, v = i - V 3 j és Po(l;-l);

b)(E) f(x;y) = x - y , v = i - j és P„2 ’ 4

c)(E) f(x;y) = In^xy + x^ +x^, v = V3i + j és Po(e;e).

96

13.2.7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvények P(,(Xo;yo)pontbeli, iránymenti deriváltjának legnagyobb értékét!

x + 24 - x ' - y ^

b)(E) f(x; y) = xy - X + y és Pg (0;0);\

71 71

KVK-1190

c) (E) f (x; y) = cos(V3x + y) és PqV 3 ’ 6

13.2.8. írja fel a megadott kétváltozós, valós függvény által meghatározott felület Qo(xo;yo;Zo) pontbeli érintősíkjára merőleges,pontra illeszkedő egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha x^,

yo adott és z„ =f(Xo;yo)!a)(M) f(x;y) = xy^ - x V , h a Xq = 2 és yo = - 1 ;

b)(E) f(x; y) = e ’ - + x - y \ ha x„ = 2 és y« = 3;r / N co s(x -y ) , n , nc)(V) f ( x ; y ) = — i-----^ , h a x„ = - es yo = - ;

sm(x + y) 3 4

d)(E) f(x;y) = ^ ^ ; í l^ ,h a x „ = lé s y , = - l .chxy

13.2.9. írja fel az alábbi kétváltozós, valós fíiggvények által meghatározott felület Qo(Xo;yo;Zo) pontbeli érintősíkjának egyenletét, haXq, yo adott és z =f(Xo;yo)!

a)(M) f(x;y) = x^ -a rc tg y ,h a x^ =1 és yo =1;

b)(V) f(x;y) = (x - y)arcsin(y- x ) , ha Xo = ^ és yo = 1;

c)(E) f(x;y) = ^ —í ^ , h a Xo = 2 és yo =1;3 + x

d)(V) f(x ;y )= — - ^ ^ , h a Xq =1 és yo = 2 ;y ’‘ -x ^ x ^ + y

e)(E) f(x;y) = ^(2 + x)^ , ha Xq = 1 és yo = 2;

97

f)(V) f(x;y) = ln— y ^ ha Xq = ^ és = ^ .cos(x + y) 6 6

13.2.10. Számítsa ki annak a Pq pontnak az Xg, yg koordinátáit, amelyikben a megadott kétváltozós, valós függvény minden iránymenti deriváltja nulla! írja fel a függvény által meghatározott felület Qo(Xo;yo;Z|3) pontbeli érintősíkjának egyenletét, ahol

Zo =f(xo;yo)!a)(M) f(x;y) = +4y^ - 4 x + 8y + 9;

b)(E) f(x; y) = 3 .

c)(E) f(x;y) = x ^ + y ^ + x y + x + 4 y - l ;d)(E) f(x; y) = log3(6x' +18x + 3y' + 14y - 2xy + 48).

A következő feladatokban r , illetve u(r) az r(x;y;z) vektort, illetve az u(x;y;z) skalár-vektor függvényt jelenti.

KVK-1190

13.2.11. írja fel az alábbi skalár-vektor függvények teljes differenciálját!

a)(M) u(x;y;z) = shxyz; b)(E) u(x;y;z) - logj—x + y + z

_ox+y^z. arcctgxyzc)(E) u(x;y;z) = 2

e)(E) u(r) = ~ ;r

d)(V) u(x;y;z) =

f)(E) u(r) = ln

ln(x^ + yz] ’

13.2.12. Számítsa ki a V =ydXy

1 + j + V^Zyk (V olv.: nabla)

Hamilton-operátor és az alábbi skalár-vektor függvények szorzatát!

a)(M) u(x;y;z) = (x + z)(l + y); b)(E) u(x;y;z) = xyztg— ;yz

98

KVK-1190

c)(E) u(x;y;z) = (x"+ 2^)“"'; d)(E) u(x;y;z) = a r c c t g ^ ;

e)(E) u ( r ) = r In f)(E) u(r) =r

arc sin r

13.2.13. írja fel az alábbi skalármezők gradiensét!

a)(M )u(r) = 3 ^ r + 2 ) ^ b)(E) u(r) =

c)(E) u(r) =+ 1

-1 )’ '

d)(E) u(x ;y ;z)= — j-.X + y + z

13.2.14. Számítsa ki az alábbi skalár-vektor függvények gradiens vektorának koordinátáit a megadott r,3(Xo;yo;Zo) helyen!

eh xyz ,a)(M) u(x;y;z) = ^xyz

és ro(-l;0;l);

b)(V) u(x;y;z) = ^ 1 2 - ( x ' + y ' + z ' ) és ro (2 ;-l;-l);

c) (E) u(x; y; z) = - + - + - és To (3;2;1);y z X

Z Xd)(E) u(x;y;z) = -------arc cos— és r,3(-l;2;l);

x + y yz

e) (M) u(r) = logj

0 (E) u(r) =

1és r„(l;l;l);

rarc tg r

+ jr| + 2)

és r„(-l;0;0).

13.2.15. Megadott r,3(Xo;yo;Zo) és Ai^(AXo;Ayo;Azo) esetén, becsülje meg az alábbi skalár-vektor függvények értékének abszolút és relatív hibáját!

a)(M) u(x;y;z) = x" -y ^ + z " , ha ro(2;2V2;4) és

b)(E) u(x;y;z) = x^ '" , ha ro(2;2;-5) és Ar^(0,02;0,01;0,025);

99

KVK-1190

c) (E) u(x; y; z) - 4 = = = = ha (e; e; e) és+y^ +z^

At ,e e e

^50 20 50,

d)(E) u(x;y;z) = x^ycosz, ha Tf, és Ar,3/ 1 1 1 1 71

10 5 12

e)(E) u(x;y;z) = ^ ,h a r o ( 1 0 ;2 ;5 ) és Ar„(0,02;0,01;0,25). 2z

13.2.16. (V) Egy tekercs villamos jellemzőit mérjük. Önindukciós együtthatójának mért értéke Lg = 7,2 mH , a műszer méréshatára M l =10mH, a méréshatárra vonatkoztatott, relatív hibája pedig h^ - 2 % . Ellenállásának mért értéke R,, =5 ,6Q , az el- lenállásmérö méréshatára =10Q, erre vonatkoztatott relatív hibája h[ = 5%. A frekvencia mért értéke f,, = 49,8Hz, egy Mf =60 Hz méréshatárú műszerrel mérve, amelynek a méréshatárra vonatkoztatott, relatív hibája hf = 1% . A tekercs impedanciájának abszolút értékét a

Z = V R ' + ( 2 - 7 i - f - L fösszefüggés alapján számítjuk ki. Legfeljebb mennyi lesz az impedancia kiszámított értékének abszolút és relatív hibája?

13.3. Vektor-vektor függvények

A következő feladatokban r , v(r), illetve Vj (r) (i = 1; 2; 3) rendre az r(x;y;z) vektort, a v(x;y;z) vektor-vektor függvényt, illetve a koordinátafüggvényét, a Vj(x;y;z) skalár-vektor függvényt jelenti.

13.3.1. Számítsa ki a V = 1 + dy J + k Hamilton-operátor és

az alábbi vektor-vektor függvények skaláris szorzatát!

100

KVK-1190

a)(M) v(x;y;z) = ^ z i + xy^Vz j +Vx yz^ k;b)(M) v(x; y;z) = (tg xyz)i + (cos(x + y + z))j + (sin(x + y - z ) )k ;

c)(E) v(x;y;z) = ^ ^ i + - ^ ^ j + ^ ^ k ;z X y

d)(E) v(x; y; z) = y (in X" )i + z (in y ")j + X (in z ) k ;

e)(E) v(r) = |rji + |r|^ j + |r| k ;

rf) (E) v(r) = (ln|r|)i + (arc ctg|r|)j + —k .

13.3.2. írja fel az alábbi vektor-vektor függvények divergenciáját!

a)(M) v ( x ; y ; z ) - : ^ ^ i + ^ ^ ^ j + ^ ^ ^ k ;X y z

b)(V) v(x;y;z) = 2’ (lóg, z)i + 2 (lóg, y)j + 2>'(log, x ) k ;

c) (E) v(x;y;z) = (x + y)M + (y + z)" j + (x + z)>'k ;

d)(V) v(r )= -

e) (E) v(r) = (sh|r|)i + (ch|r|)j + (thjr|)k;

f)(E) v(r) = rel'‘l.

13.3.3. Döntse el, hogy forrásmentesek-e az alábbi vektor-vektor függvények által meghatározott vektormezők!

a)(M) v(x;y;z) = (x^ +3xy^ -2 x z )i-(3 x ^ y + y^)j + z^k;

b)(E) v(x;y;z) = ^ i + - ^ j + ^ k ;y" z ’ x^

c)(E) v(x;y;z) = x(x^ +3y)(lnz)i-3x^y(lnz)j + 3 y z(l-ln z)k ;

d)(M) v(r) =Inr

101

KVK-1190

13.3.4. Számítsa ki a V =d x

1 + j + ydz .k Hamilton-operátor és

az alábbi vektor-vektor függvények vektoriális szorzatát!a)(M) v(x;y;z) = x ^ ^ z i + xy^z^j + x ^ z ^ k ;b)(V) v(x; y; z) = (lóg, y)i + (log^ z) j + (lóg, x) k ;

c)(E) v(x;y;z) = ^ i + — j + ^ k ;x + y y + z X + z

d)(V) v ( r ) = r r ;, , , cos x y . sin yz . cos x z ,

e)(E) v(x;y;z) = ------ ^i + ---- ^ j + --------k;

f)(E) v(r) =+ 2

13.3.5. írja fel az alábbi vektor-vektor függvények rotációját!

a)(M) v(x;y;z) = — i + — j + — k;yz xz xy

b)(M) v(x; y; z) = 2“’'"=' i + j + 4" " k ;c) (E) v(x; y; z) = (ch(x + z))i + (cth(x - y))j + (sh(y - z))k ;d)(E) v(r) = (sin' -cos" + COS.2 |r |- l)r .

13.3.6. Döntse el, hogy örvénymentesek-e az alábbi vektor-vektor függvények által meghatározott, egyes vektormezők!

a)(M) v(x;y;z) = 2x(siny)(lnz)i + x^(cosy)(lnz)j + — ^ k ;z

b)(M) v(x;y;z) = - ^ i + — j + —í ^ k ;X yz xy z x y z

c)(E) v(x;y;z) = ^ i + f f i j + i ^ k ;y" z" Z

d)(E) v(r) ^ i + j + (xy) (Inxy)k .

102

KVK-1190

13.3.7. Döntse el, hogy a megadott skalár-vektor függvény potenciál- függvény e-e a vektor-vektor függvénynek!

1a)(M) v(x;y;z) =

■sjx +y^ +z^ y . X , xy

(xi + y j + zk) és u(r) =

b)(V) v(x;y;z) = - ^ i + ^ j - ^ k és u(x;y;z) = ^ ;

c)(V) v(x;y;z) =

u(x;y;z) = sh

l j ^ (x + z) , , 1

y yx + z

, x + z , eh------ es

d)(E) v(r) =In 2

és u(r) = log2

13.3.8. írja fel az alábbi skalár-vektor függvények gradiensét, majd a gradiens divergenciáját és rotációját!

a)(M) u(x;y;z) = b)(M) u(r) =1

c) (E) u(r) = r lóg. d)(E) u(r) = arcsin

13.3.9. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti integrálját a megadott görbe mentén és határok között!

a) (M) v(x; y; z) = (y + z)i + (x + z)j + (x + y )k ,

ha r(t) = t^ i + V tj + tk és 0 < t < l ;

b)(M) v(r) = r r , ha r(t) = t i + j + k , l < t < 2 ;

c)(V) v(r) = — , ha r(t) = e‘ i + j + -yjle* k és 0 < t < In2;

d)(E) v ( x ; y ; z ) - — i + i j + — k , y z X x y

ha r(t) = (t +2t ) i + t j + t k és l < t < 2 ;

103

KVK-1190

e)(E) v(r) = 2e'' 1 , 2—T + ln r ,

ha r(t) = 5(cos2t)i + 5(sin2t)j + e'*'"‘ k és 0 < t < 7i;

f)(E) v(x;y;z) = 3 Í Í i + i

ha r(t) = (cos^ t)i + (sin t)j + k és — < t < —.6 4

13.3.10. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti integrálját a P, kezdő- és Pj végpontú szakasz mentén!

/ N x ^ + y . y ^ + z , x + z \a)(M) v(x;y;z) = ------ + ---------- j + -------- k ,z X y

ha P,(l;l;l) és P,(2;2;2);b)(V) v(x;y;z) = (ycosx)i + (zsiny)j + x z k ,

ha P,(0;0;0) és Pj n Kv ’ 3 ’4 ..6 3 ’4^

c)(E) v(x;y;z) = xe^M + y z j + xz(ln(l + y ) ) k , ha P,(0;0;0) és P2(2;l;3);

d)(E) v(x; y; z) = (x y sh z)i + (y - z)(ch x)j + x y z k , haP ,(l;2 ;l) ésP ,(3 ;2 ;2);

e)(E) v(r) = -* y ,h a P ,(-2 ;-l;3 ) és P2( - l ;0;4);r

f) (E) v(r) = r ln(l + |r|), ha P, (0; 0; 0) és P (2; -1; - 2).

13.3.11. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti integrálját a Pl, ?2 és P3 pontok által meghatározott törött-vonal mentén!

a)(M) v(x;y;z) = — i - ^ j - ^ k , yz y z yz

ha P,(2;l;3), P ,(l;2;l) és P3(3;l;3);

104

b)(E) v(x;y;z) = i Ü ^ i . y Í 2 a ± í ) j . y í k ,X X X

ha P ,(-2;l;0), PA-2;2;2) és P3( -2;l;3).

13.3.12. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti integrálját a Pl, Pj, P3 és P4 pontok által meghatározott töröttvonal mentén!

y^cosx. 2ysinx . y^sinx,a)(M) v(x;y;z) = -i^ — 1 + — , .J ~ , k ,

e e" e

KVK-1190

ha P,(3;2;5), P2( - l ;4;3), P3( - 2; - l ; 6) és P4(3;2;5);1 . arctgx . arctgx

b)(E) v(x;y;z) = - ----- ----------- 1- - ------ -------------- ^ k ,(l + x^)(y + z) (y + z) (y + z)'

ha P ,(l;l;l), P ,(-2;4;3), P3(5;3; - 6) és P^O;!;!).

105

14.VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

14.1. Eseményalgebra

14.1.1. Egy dobókockával háromszor egymás után dobunk. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy az i-edik dobás 6-os (i = 1, 2, 3)! írja fel az Ai, A2 és A3 eseményekkel az alábbi eseményeket:

a)(E) legalább az egyik dobás 6-os;b)(E) mindhárom dobás 6-os;c) (E) az első dobás 6-os, a második és harmadik dobás nem 6-os;d)(M) pontosan egy dobás 6-os;e) (E) pontosan két dobás 6-os;f) (V) legalább két dobás 6-os;g)(E) legfeljebb két dobás 6-os!

14.1.2. Milyen kapcsolat van az A és B események között, ha:a)(E) A + B = B; b)(V) (A + B) - B = A;c)(E) A + AB = A; d)(V) A + B = AB ?

14.1.3. Milyen A és B eseményre teljesülnek a következő egyenlőségek?a)(V) A + B = Á;b)(E) ÁB = A;c)(E) A + B = AB.

14.1.4. (M) Adott az A és B esemény. írja fel az X eseményt, haX + A + X + A = B !

14.1.5. Bizonyítsa be a következő egyenlőségeket:

KVK-1190

a)(V) A + AB = A; b)(V) AB + AB + AB = AB;c)(V) A (B -C ) = AB-AC;

d)(V) ( a + b )c = C - C ( A + B);e)(V) A -{ A -[B -(B -C )]} = ABC;f)(V) (a + b )(a + c )(b + c ) = a b + a c + b c !

106

14.1.6. Tekintsük elektromos jelfogók egy hálózatát. Mindegyik jelfogóhoz hozzárendelhető egy esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha a jelfogón folyik áram. Két jelfogó soros kapcsolásának a megfelelő események szorzata, párhuzamos kapcsolásának a megfelelő események összege felel meg. Ha egy jelfogón sohasem folyik áram, akkor annak a lehetetlen esemény, ha mindig folyik áram, akkor a biztos esemény felel meg. írja fel a következő hálózatoknak megfelelő eseményalgebrai kifejezéseket, majd egyszerűsítse azokat és ezután rajzolja fel az egyszerűsített kifejezéseknek megfelelő hálózatokat!

a)(E)

KVK-1190

b)(E)

107

14.2. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja

14.2.1. Bizonyítsa be a következő egyenlőségeket!a)(V) p (a ) = 1 - P ( a ); b)(V) p (a b )= P(a )-P (A B );c) (V) P(A + B) = P(a ) + P(b ) - P(AB) ;d)(V) P(A + B + C) = P(a ) + P(b ) + P(C) - P(AB) - P(AC) -

- P(BC) + P(ABC).

14.2.2. Egy szabályos dobókockát feldobva, mennyi annak a valószínűsége, hogy

a) (E) 6-ost dobunk;b)(E) legalább 5-öt dobunk;c) (E) nem az 1-est dobjuk;d)(E) törzsszámot dobunk?

14.2.3. Két szabályos dobókockát feldobva, mennyi annak a valószínűsége, hogy

a)(M) legalább az egyiken 6-os áll;b)(E) a dobott számok minimuma 3;c)(E) a dobott számok maximuma 3;d)(E) a dobott számok összege kisebb, mint 5;e) (E) a dobott számok legnagyobb közös osztója 2?

14.2.4. Egy szabályos pénzdarabot ötször feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy

a)(E) dobunk fejet és írást is;b)(E) legalább két fejet dobunk;c) (M) több írást dobunk, mint fejet;d)(E) nem dobunk két fejet egymás után;e) (E) dobunk három fejet egymás után?

14.2.5. (E) Egy dobozban 20 cédula van 1-től 20-ig megszámozva. Találomra kiveszünk 5 cédulát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy kihúzott számok mindegyike 8-nál nagyobb?

KVK-1190

108

14.2.6. Egy főiskolán 400 oktató tanít. Angolból 120-nak, németből 100-nak és oroszból 85-nek van nyelvvizsgája. Angolból és németből 45-nek, angolból és oroszból 20-nak, németből és oroszból 25-nek van nyelvvizsgája. 4 oktatónak mind a három nyelvből van nyelvvizsgája. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott oktatónak a három nyelv közül

a)(V) egyikből sincs nyelvvizsgája;b)(V) csak oroszból van nyelvvizsgája;c) (V) csak angolból és németből van nyelvvizsgája?

14.2.7.32 lapos magyar kártyából 3 lapot találomra kihúzva, mennyi annak a valószínűsége, hogy

a)(M) a kihúzott lapok különböző színűek;b)(M) a kihúzott lapok között van piros is és ász is?

14.2.8. Egy szabályos dobókockát négyszer feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy

a) (E) különböző számokat dobunk;b)(E) a harmadik dobásnál dobunk először 6-ost;c) (M) nem dobunk két 6-ost egymás után;d)(M) a dobott számok maximuma 4;e) (M) dobunk 6-ost és 1-est is, de a 6-os előbb van, mint az 1-est?

14.2.9. (M) 5 különböző dobozba találomra belehelyezünk 10 különbözőgolyót. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindegyik dobozban pontosan két golyó lesz?

14.2.10.(E) 5 különböző dobozba találomra belehelyezünk 10 egyforma golyót. Két elhelyezést csak akkor tekintünk különbözőnek, ha az egyiknél található legalább egy olyan doboz, amelyben nem ugyanannyi golyó van, mint a másiknál ebben a dobozban. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindegyik dobozban pontosan két golyó lesz?

14.2.11.Tekintsük az első 6 pozitív egész szám egy véletlen permutációját! Mennyi annak a valószínűsége, hogy

a)(E) az 1 és a 2 nem lesz egymás mellett;b)(E) megtalálható benne a 123 háromjegyű szám?

KVK-1190

109

14.3. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel

14.3.1. (M) 100 alkatrész közül 5 selejtes. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 10 alkatrészt találomra kiválasztva, azok között 3 selejtes lesz?

14.3.2.32 lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kiválasztva mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok között

a) (E) pontosan két piros lesz;b)(E) legalább egy ász lesz;c) (E) legfeljebb egy zöld lesz?

14.3.3. (E) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötös lottón egy találomra kitöltött lottószelvénnyel pontosan k találatot érünk el (k = 0,1, 2, 3, 4, 5)?

14.3.4. Egy urnában 5 piros és 3 fehér golyó van. Az urnából 10-szer húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót mindig visszatesszük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy

a)(M) pontosan 3 piros golyót húzunk;b)(M) legalább egy fehér golyót húzunk;c) (M) több piros golyót húzunk, mint fehéret?

14.3.5. Bizonyos típusú tranzisztorok 3 %-a selejt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 10 db tranzisztort vásárolva azok között

a)(M) 3 selejtes lesz;b)(M) több selejtes lesz, mint jó?

14.3.6. Alkatrészek közül egy mintát veszünk. A mintában szereplő selej-2

tes alkatrészek várható értéke 2, szórásnégyzete —.

a) (M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, ha a minta 5 elemű és a mintát visz- szatevés nélkül vesszük?

b)(M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, ha a mintát visszatevéssel vesszük?

KVK-1190

110

14.4. Feltételes valószínűség és függetlenség

14.4.1. (M) Számolja ki a P(A + B) és a P(A I B ) valószínűségeket, ha:

P(A) = i P(A |B) = ^ é s P ( B | A ) = i !

14.4.2. (M) Két szabályos dobókockát feldobunk. Jelölje A azt az eseményt, hogy az egyik kockán 6-os áll, Bi azt, hogy a két szám különböző, B2 azt, hogy az összeg páros és B3 azt, hogy a dobott számok minimuma 4. Számolja ki a P(A | Bi) feltételes valószínűségeket (i = 1, 2, 3)!

14.4.3. Két urna közül az egyikben 6 piros és 4 fehér, a másikban 5 piros és 3 fehér golyó van. Találomra kiválasztjuk az egyik urnát és abból találomra kihúzunk egy golyót.

a) (V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a golyó piros?b)(V) Megnézzük a kihúzott golyót és látjuk, hogy piros. Mennyi

annak a valószínűsége, hogy az első urnából húztunk?

14.4.4. (V) Tíz gép mindegyikén ugyanannyi és ugyanolyan típusú alkatrészeket gyártanak. Hat gépnél 2 %, három gépnél 1 % és egy gépnél 0,5 % a selejt. A tíz gép által gyártott alkatrészekből találomra kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez nem selejtes?

14.4.5. (V) Egy szabályos dobókockát egyszer feldobunk. Ha a dobottszám k, akkor feldobunk k-szor egy szabályos pénzdarabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem dobunk kétszer egymás után fejet?

14.4.6. (E) 100 csavar közül 10 selejtes. Visszatevés nélkül egyesévelkihúzunk 4 darabot és látjuk, hogy ezek mindegyike jó. Ezután ugyanígy kihúzunk 4 darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek között 2 selejtes lesz?

KVK-1190

111

14.4.7. (V) Egy oktatót keresünk a főiskolán. Tudjuk, hogy p annak avalószínűsége, hogy az oktató a főiskolán tartózkodik és itt ugyanolyan valószínűséggel lehet öt adott terem valamelyikében. Feltéve, hogy négy termet megnézve nem találjuk az oktatót, mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötödik teremben megtaláljuk?

14.4.8. (E) Egy üzletben 50 műszer van. Jelölje Ai azt az eseményt, hogya műszerek között i darab szépséghibás van (i=0, 1, 2, 3, 4). Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy hibátlan műszert veszünk, ha bármelyik műszert ugyanolyan valószínűséggel vehetjük meg és

P(A ,) = i P(A,) = i P(A ;) = P(A ,) = - i , P(A ,) = -^ ?4 6 Íz Íz

14.4.9. (V) 32 lapos magyar kártyából találomra kiválasztunk egy lapot.Jelölje A azt az eseményt, hogy a kihúzott lap piros, B azt, hogy ász és C azt, hogy az az alsó, felső, király, ász valamelyike. Igazolja, hogy az A és a B, valamint az A és a C függetlenek, de a B és a C nem függetlenek!

14.4.10.(M)Bizonyítsa be, hogy ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B, valamint az A és B események is függetlenek!

14.4.1 l.(E) Egy üzemben három gép dolgozik egymástól függetlenül. Az első hetenként 0,15, a második 0,2 és a harmadik 0,1, valószínűséggel esik ki a termelésből. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy hét folyamán legalább az egyik gép kiesik a termelésből?

14.4.12.(E) Egy 1000 darabból álló szállítmány 4%-a szépséghibás. A szállítmány átvevője találomra megvizsgál 15 darabot, majd ezeket visszatéve megismétli a vizsgálatot. A szállítmányt csak akkor veszi át, ha az egyik vizsgálatnál sem talál szépséghibás darabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy átveszi a szállítmányt?

KVK-1190

112

KVK-1190

14.5. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások

14.5.1. (E) Egy szabályos pénzdarabot 4-szer feldobunk. Jelölje ^ azt avalószínűségi változót, hogy hány fejet dobunk. írja fel ^ eloszlását!

14.5.2. Az alábbi számsorozatok közül melyek alkotnak valószínü- ségeloszlást?

a)(V) p ', 3 p \ , 3pq\ q ' (q = 1 - p, 0 < p < 1);

b)(V)n o ^ k Í2^ 1 0 - k

, k = 0,l , . . . ,

c)(V) ^ e - ^ k!

k = 0 , l , 2, . . . ;

d)(V)

e)(V)

U J

14 ^

'20^

. 4 ;

1k(k + 1)’

k = 0 , l , 2 , 3 , 4 ;

k = l, 2, . . . ;

v3yk = 0,l,.

14.5.3. (M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tízgyermekes családban pontosan 4 lány van, ha egy fiúgyermek születésének valószínűsége 0,51 és egy lánygyermek születésének a valószínűsége pedig 0,49?

113

14.5.4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockát 20-szor feldobva

a)(E) legalább háromszor dobunk 3-mai osztható számot;b)(E) legalább 3, de legfeljebb 5 dobás lesz 3-mai osztható szám?

14.5.5. Egy dobozban 60 kártya van. Húsz kártyán van A betű, tíz kártyán B betű és harmincon C betű. Egymás után 5 kártyát visszate- véssel kihúzunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy

a)(E) pontosan 3-szor húzunk A betűt;b)(E) legalább kétszer húzunk B betűt;c) (E) páros sokszor húzunk C betűt?

14.5.6. Egy céltáblára 15 fiú ad le egy-egy lövést. Mindenki 0,6 valószínűséggel talál bele a 10-es körbe. Mennyi a valószínűsége, hogy

a)(E) pontosan 5 találat lesz a 10-es körbe;b)(E) legfeljebb négy találat lesz a 10-es körbe,c) (E) legalább két találat lesz a 10-es körbe?

14.5.7. (V) Legalább hányszor dobjunk fel egy szabályos dobókockátahhoz, hogy legalább 0,5 valószínűséggel a hatos dobások száma legalább kettő legyen?

14.5.8.Egy telefonközpontba 1 perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott időtartam alatt beérkező hívások száma Poisson-eloszlású, mennyi annak a valószínűsége, hogy egy perc alatt:

a) (M) pontosan 2 hívás érkezik be;b)(M) legfeljebb 3 hívás érkezik be;c) (M) legalább egy hívás érkezik be?

14.5.9. (M) Egy 400 oldalas könyvben 100 sajtóhiba van. Mennyi annaka valószínűsége, hogy 20 véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, ha feltesszük, hogy a sajtóhibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó?

14.5.10.(E) Egy ruhaszövet anyagában 50 méterenként átlag 2 hiba van. Egy 400 méteres szövetet 4 méteres darabokra vágunk szét. Várhatóan hány hibás darab lesz ezek között, ha feltesszük, hogy a hibák száma Poisson-eloszlást követ?

KVK-1190

114

14.5.11. (M)Egy üzemben egymástól függetlenül azonos típusú gépekműködnek. Jelölje a § valószínűségi változó azt, hogy hány gép hibásodik meg egy adott időn belül. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a gépek közül átlagosan 500 óránként romlik el egy. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5000 óra alatt legfeljebb 5 gép romlik el?

14.5.12. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával dobva a hatodik dobásnál dobunk

a)(M) először hatost;b)(M) másodszor hatost;c) (M) harmadszor hatost?

14.5.13. Egy szabályos dobókockával egymás után dobunk.a)(V) Jelölje a ^ valószínűségi változó azt, hogy hányadik dobás

nál dobunk először 6-ost. írja fel ^ eloszlását!b)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros sorszámú dobás

nál dobunk először 6-ost?c) (V) Jelölje az r| valószínűségi változó azt, hogy hányadik do

básnál dobunk másodszor 6-ost. írja fel r\ eloszlását!

14.5.14. Egy dobozban 21 piros és 7 fehér golyó van. Kihúzunk a dobozból 10 golyót. Jelölje a ^ valószínűségi változó a kihúzott golyók között a piros golyók számát! Melyik értéket veszi fel ^ a legnagyobb valószínűséggel, ha

a)(M) visszatevés nélkül húzzuk ki a 10 golyót;b)(M) visszatevéssel húzunk ki a 10 golyót?

14.5.15. (V) Jelölje a ^ valószínűségi változó az ötös lottón kihúzottszámok közül a legnagyobbat és t] a legkisebbet! írja fel ^ és T| eloszlását!

14.5.16. (E) Legyen X paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségiváltozó. Melyik k természetes szám esetén lesz a P(^ = k) valószínűség a legnagyobb?

KVK-1190

115

14.6. Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény

14.6.1. Igazolja, hogy F(x) eloszlásfüggvény. írja fel az F(x) eloszlás- fíiggvényű ^ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét és számolja ki a felírt valószínűségeket!

KVK-1190

a)(M) F(x) =1 + e

(-oo<x<+oo), P(^>0), P(ln2 < §< ln3);

b)(E) F(x) =

0 , ha x < - l ,1

1---- arccosx, ha - l < x < l ,n

1,

< — 2 , P

ha x > 1,

, P ( - 2 < ^ < 0 ) ;

c)(E) F (x ) =0 , ha X < 0,

1 - e ha X > 0 (a > 0 valós állandó),

V

d)(E) F(x) =1 -

0 ,

ha x > x „ ,

ha x < x„ (xo > 0 valós állandó).

p f e < 2 x j , p ( o<5<x; ) :

e)(E) F(x) =0, ha x < l , x - 1x + 1

, ha x > l ,P(^>2), P(0<^<3).

116

KVK-1190

14.6.2. Határozza meg az A és a B állandókat úgy, hogy F(x) eloszlás- függvény legyen!

a) (M) F (x ) = a + B arctgx ( - oo < x < +00);

b)(E) F(x) = A + Bthx ( - o o < x < + o o ) ;

c)(V) F(x) = <

d)(M) F(x) =

e)(E) F(x) =

0 , ha x < 0 ,

A + Be“’‘, ha x > 0;

0 , ha x < - l ,A + Barcsinx, ha - l < x < l ,

1, ha x > l ;

0 , ha x < l ,Ax + B, ha 1 < X < 2,

1, ha x > 2 ;

f)(E) F(x) =A + e’ , ha x < 0 ,B, ha X > 0;

g)<E) F(x) =

A,x' +2x

B4 ’

x ' + 3 248

1,

ha x < 0 ,

ha 0 < X < 1,

ha 1 < X < 2,

ha 2 < x < 4 ,

ha X > 4.

117

14.6.3. Igazolja, hogy f(x) sűrűségfüggvény és írja fel a megfelelő eloszlásfüggvényt!

KVK-1190

a) (M)f (x)= V, -Go<x<+oo;7l( l + X j

b)(M) f(x) =A,e % ha x > 0,

0, ha X < 0 (X > 0 valós állandó);

c)(E) f(x) =ha X > 1,

0, ha x < l ;

d)(M) f(x) =x + —, ha 0 < x < l ,

20, máshol;

e)(E) f(x) =4cos2x, ha — < x < —,

12 40, máshol.

14.6.4. (V) Igazolja, hogy ha c olyan valós szám, amelyre 2 < c < 3, akkor az alábbi f(x) függvény sűrűségfüggvény:

f(x) =

0,X - c

ha X < c.

3 - c ’ha c < X < 3,

1,4 - x

ha 3 < X < c + 1,

3 - c ’ha c + 1 < X < 4,

0, ha 4 < X.

118

14.6.5. Egy ^ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x). írja fel a c állandó értékét és a ^ eloszlásfüggvényét!

KVK-1190

a)(M) f(x) =ha x > 2 ,

0, ha x < 2 ;

b)(V) f(x) = x ^ + x - 2, ha X > 4,

0, ha x < 4 ;

c)(E) f(x) =cxe ha x > 0,

0, ha x < 0 ;

d)(V) f(x) = ce - o o < x < + c o ;

e)(E) f(x) =c-Vx + 1, ha 0 < X < 3,

0, máshol;

f) (M) f ( X ) =

0, ha X < 0,C ha X > 0;

g)(V) f (x ) -cxlnx, ha l < x < e ,

0, máshol;

h)(V) f(x) =c-arccosx, ha < i

20, máshol;

i) (M) f(x) = cx^e - o o < x < + o o ,

119

14.7. Várható érték és szórás

14.7.1. (V) Egy sorsjátékon 1 darab 100000 Ft-os, 10 darab 10000 Ft-osés 1000 darab 500 Ft-os nyeremény van. Mennyi legyen egy sorsjegy ára, ha 50000 jegyet adnak ki és egy jegy ára az egy jegyre jutó nyeremény várható értékének a másfélszeresével egyenlő?

14.7.2. (V) Egy szabályos dobókockával ötször dobunk egymás után.Jelölje a ^ valószínűségi változó azt, hogy hányszor dobtunk 6-ost; az r| valószínűségi változó pedig jelölje a dobott számok összegét! Számítsa ki a ^ és az r| valószínűségi változók várható értékét és szórását!

14.7.3. (M) Egy dobozban 4 piros és 6 fehér golyó van. Találomra húzunk - visszatevés nélkül - egy-egy golyót, amíg pirosat nem húzunk. Számolja ki a kihúzott golyók számának várható értékét és szórását!

14.7.4. (M) Mennyi lesz az előző feladatban (14.7.3. feladat) a kihúzottgolyók számának várható értéke, ha a kihúzott golyót mindig visszatesszük?

14.7.5. (E) Két játékos, Pista és Gábor, az 52 lapos francia kártyávaljátszik. A játék szabálya a következő: a kártyacsomagból felváltva felütnek egy-egy lapot és ha az első négy felütött lap között van pikk, akkor Pista fizet Gábornak 40 Ft-ot, ha pedig a négy lap között nincs pikk, akkor Gábor fizet Pistának 100 Ft-ot. Melyik játékosnak előnyösebb a játék? Mennyit fizessen Gábor a Pistának, hogy a játék igazságos legyen? (Egy játékos számára akkor előnyösebb a játék, ha a nyereségének a várható értéke pozitív és a játék akkor igazságos, ha ez a várható érték 0.)

14.7.6. (V) Egy szabályos pénzdarabbal addig dobunk, amíg fejet nemkapunk. Mennyi az ehhez szükséges dobások várható száma?

KVK-1190

120

14.7.7. Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x). Számolja ki ^ várható értékét és szórását!

KVK-1190

a)(M) f(x) =h a x > l ,

0 , h a x < l ;

b)(E) f ( x ) =e , ha X > 0, 0, ha x < 0 ;

c)(E) f ( x ) =xe , ha x > 0, 0, ha x < 0 ;

d)(E) f(x) = -x + ^ , ha 0 < x < l ,

0, máshol;

e)(M) f ( x ) =ha x > l ,

0, ha x < l ;

f) (M) f(x) = -T -Í—y r , - 0 0 < X < + 0 0 ; 7l(l + X )

g)(V) f ( x ) = 7l(l + x ^ ), ha 0 < x < l ,

0, máshol;

h)(V) f ( x ) = | e ' l ’‘l, - o o < x < + o o ;

121

KVK-1190

r, ha X <1,i) (V) f(x) = -

0 , ha X > 1;

j)(V ) f(x) =arccosx, ha 0 < x < l ,

0 , máshol;

k)(E) f(x) =TZ

4xsin2x, ha 0 < x < —,4

0 , máshol;

l)(E ) f(x) =2 -lnx

, ha l < x < e ,

0, máshol;

m)(V) f(x) =1

ha 0 < x < 4 ,V4x + 9

0 , máshol;

n)(M )f(x) =0, ha X < 0,

Í2 - ~ — e 2 , ha X > 0;V

1 - —o)(V)f(x) = - y = x ^ e - Q o < x < + o o .

■sI I tí

14.7.8. Számolja ki azr) = 2^ +1 valószínűségi változó várható értékét ésszórását, ha ^

a) (E) standard normális eloszlású;b)(V) \ paraméterű exponenciális eloszlású!

122

14.8. Nevezetes folytonos eloszlások

14.8.1. Legyen ^ normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek a várható értéke m és szórása a!

a)(M) Számolja ki a P(|^| > 0,2) valószínűséget, ha m = 0 és a = 0,1! Milyen x értékre teljesül a P(^ > x) = 0,0668 egyenlőség?

b)(E) Számolja ki a P(|^| <2) valószínűséget, ha m = -1 és P(^> 1) = 0,1587!

c) (V) Számolja ki az m és a a értékét, ha m = 4a ésP(^< 12) = 0,0228!

d)(E) Számolja ki a P(|^| > 1) valószínűséget, ha a = 2 és P(^< 2) = 0,8413!

e) (E) Számolja ki a P(|^| < 0,5) valószínűséget, haP(^ < 1) = 0,8413 és P(^ > 2) = 0,0228!

14.8.2. Valamely súly mérésekor a tényleges és a mérleg által mutatott súly különbsége, azaz a mérési hiba normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek várható értéke 0 gramm, szórása 1 gramm.

a)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mérési hiba legalább 0,5 gramm?

b)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mérési hiba abszolút értéke legfeljebb 0,2 gramm?

14.8.3. (V) Egy automata gép folyékony mosogatószert adagol műanyagflakonokba. A flakonokba töltendő mennyiség 1 liter, ez a gép által adagolt mosószermennyiség várható értéke. A betöltött mennyiség szórását szabályozni lehet. Mekkorára állítsuk be a szórást, ha azt szeretnénk, hogy 0,9876 legyen annak a valószínűsége, hogy a flakonokba töltött mennyiség 0,98 és 1,02 liter között legyen? (A tapasztalatok azt mutatják, hogy a flakonokba töltött mosószermennyiség normális eloszlású valószínűségi változó.)

KVK-1190

123

14.8.4. (V) Egy repülőgép egy 100 m magasságú légifolyosóban repül. Arepülőgép repülési magasságának a légifolyosó közepétől való eltérése 20 m várható értékű és 50 m szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a repülőgép a légifolyosóban halad?

14.8.5. (V) Egy gyártmány mérethibája - azaz a névleges mérettől valóeltérése - 0 várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó. Annak a valószínűsége, hogy a mérethiba abszolút értéke a 12 mm-t meghaladja 0,1336. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mérethiba abszolút értéke 10 mm-nél kisebb?

14.8.6. (V) Egy munkapadról kikerült termék hossza m cm (m > 0) várható értékű és 4 cm szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza 0,5w és m közé esik 0,2881. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza több, mint lm cm?

14.8.7. (V) Egy barkácsboltban bizonyos típusú lécek között válogatunk.A lécek hossza normális eloszlású valószínűségi változó. Annak a valószínűsége, hogy egy léc 143 cm-nél kisebb 0,3085 és annak a valószínűsége, hogy 146 cm-nél nagyobb 0,1587. Számolja ki a lécek hosszának várható értékét és szórását, továbbá annak a valószínűségét, hogy egy léc hossza 143,5 cm és 144,5 cm közé esik!

14.8.8. (E) Legyen ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó az (1;4)intervallumon. írja fel ^ sűrűségfüggvényét, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását!

14.8.9. (M) A ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értékeés szórásnégyzete egyaránt 4-gyel egyenlő. írja fel ^ sűrűségfüggvényét, eloszlásfüggvényét és számolja ki annak a valószínűségét, hogy a ^ értéke 3 és 5 közé esik!

KVK-1190

124

14.8.10. Legyen ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a (0;1) intervallumon!

a) (V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ^ értékének első tizedes jegye a 3-as?

b)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ^ értékének az ötödik tizedes jegye a 3-as?

14.8.11. Legyen ^ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a (-1;1) intervallumon! írja fel sűrűségfüggvényét, ha

a)(M)Ti = 2 ^ - l ;

b)(M )n = |^|;

c) (M ) ti = ^^;

d)(M) r\ = arcsin^.

14.8.12. (V) Egy benzinkútnál a tapasztalatok alapján annak a valószínűsége, hogy a tankolásra 3 percnél több ideig kell várni, 0,1. Ha a várakozási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, mennyi annak a valószínűsége, hogy a benzinkúthoz érkezve 1 percen belül elkezdhetünk tankolni?

14.8.13. (M)Egy gép 10 olyan alkatrészt tartalmaz, amelyek bármelyikének meghibásodása esetén a gép leáll. Az alkatrészek élettartama, azaz a gép beindításától számított működési ideje egymástól független mi, m2, ..., mio várható értékű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Jelölje az r| valószínűségi változó a gép beindításától az első leállásáig eltelt időtartamot. írja fel r\ eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét és számolja ki a várható értékét és a szórását!

KVK-1190

125

KVK-1190

15. MATEMATIKAI STATISZTIKA

15.1. A statisztikai minta jellemzői

15.1.1. (M) Az alábbi táblázat 20 iskolás gyerek magasságát tartalmazzacentiméterre kerekítve:

130 137 119 135 132131 128 142 127 142133 131 126 144 125134 135 138 130 129

Készítsen gyakorisági eloszlást az osztályközt 5-nek választva, és adja meg az osztályközepeket!

15.1.2. (E) Az alábbi táblázatban azon időket adtuk meg másodpercre kerekítve, amelyekre 40 egyetemi hallgatónak egy feladat megoldásához szüksége volt. Készítsen gyakorisági hisztogramot, az adatokat 7 osztályba sorolva.

135 170 151 133 123 125 148 158144 158 140 138 150 152 147 143163 129 138 180 165 117 154 153146 175 143 147 135 152 140 134162 145 133 142 152 158 145 126

15.1.3.a)(E) Határozza meg a {3, 8, 1,6, 5, 2} számhalmaz átlagát és ta

pasztalati szórását.b)(E) Mutassa meg, hogy ha a fenti számhalmaz minden eleméhez

3-at hozzáadunk, akkor a két halmaz tapasztalati szórása azonos, de az átlaguk nem!

15.1.4. Határozza meg az átlagot és a tapasztalati szórást az alábbi minták esetén!

a)(V) 17,18,16,16,17,18,19,17,15,17,19,18,16,16,18,17;

126

KVK-1190

b)(V) A gyakorisági eloszlás;

Xi 2 3 4 5 7 103 1 2 3 4

15.1.5. (E) Egy középiskolában 55 tanulót megkérdeztek, hogy hány perc alatt érnek be reggel az iskolába. Az alábbi táblázat a közlekedési idejük gyakorisági eloszlását tartalmazza.

Idő (perc) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24Gyakoriság 2 4 8 12 16 10 3

Készítse el a gyakorisági hisztogramot, és számítsa ki, hogy átlagosan mennyi idő alatt érnek be a tanulók az iskolába!

15.1.6. (M) Az alábbi táblázat egy főiskolai matematika szigorlaton legalább elégséges jegyet elért hallgatók pontszámának gyakorisági eloszlását tartalmazza.

Pontszám 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100Gyakoriság 15 18 37 20 10

Készítse el a sürűséghisztogramot, és számítsa ki a mintaközepet!

15.1.7. (M) Adott az alábbi gyakorisági eloszlás.

Osztályok 61-63 63-65 65-67 67-69 69-71Gyakoriság 5 18 42 27 8

Számítsa ki a mintaközepet, a tapasztalati szórást és a korrigált tapasztalati szórást!

15.1.8. (V) Egy i:Qúsági szállóban 1426 szállóvendég esetén feljegyezték az életkorukat, és az alábbi gyakorisági eloszlást kapták.

127

KVK-1190

Életkor 15-20 20-25 25-30 30-35 3 5 ^ 0Gyakoriság 562 450 350 58 6

Számítsa ki a mintaközepet, a korrigált tapasztalati szórást és a variációs tényezőt! Milyen következtetéseket tud levonni a kiszámított értékekből?

15.1.9. (E) Egy gazdaságban megfigyelték 108 tábla hektáronkénti szénatermését. A nyert adatokat 7 osztályba sorolták, amelyet az alábbi táblázat tartalmaz.

Szénatermés(q/ha)

0-20 20-40 40-60 60-80 80-100

Gyakoriság 1 6 25 43 26

Szénatermés(q/ha)

100-120 120-140

Gyakoriság 5 2

Számítsa ki a hektáronkénti átlagos termést és a tapasztalati szórást!

15.2. Konfídencíaíntervallum várható értékre

15.2.1. (M) Egy normális eloszlású sokaság szórása 5. A sokaságból 25elemű véletlen mintát vettek és a mintaközépre 14-et kaptak. Adjon 95 % -os megbízhatósági szinten konfidenciaintervallumot a várható értékre!

15.2.2. (M) A szórás ismeretében, 200 elemíi minta alapján 95 % -osmegbízhatósági szinten szimmetrikus konfidenciaintervallumot számoltak egy bizonyos gép által gyártott csapágyak átmérőjére. A csapágyak átmérője normális eloszlásúnak tekinthető. Határozza meg a szórást és a minta átlagát,ha a kon

128

fidencia-intervallum: (8,182;8,298)! Adja meg a 98% -os szintnek megfelelő konfidenciaintervallumot!

15.2.3. (E) Orvosi vizsgálat során 250 véletlenszerűen kiválasztott felnőtt férfi magasságából a következő adatokat számították ki:250 250

=43205, =7469107, ahol Xi a centiméterrei = l i = l

kerekített magasságokat jelenti. A magasság normális eloszlásúnak tekinthető. Adjon 99 % -os szintnek megfelelő konfidenciaintervallumot a várható értékre a számított adatok fel- használásával!

15.2.4. (V) Egy normális eloszlású sokaságból vett 120 elemes mintábóla mintaközépre 8,4-et, a korrigált tapasztalati szórásra 1,2-t kaptak. Adjon 97 % -os szintnek megfelelő konfidenciaintervallumot a várható értékre!

15.2.5. (E) Egy normális eloszlású valószínűségi változónál 7 eleműminta (Xi) esetén a következő adatokat ismerjük:

X X i = 35,9 186,19.i = i i = i

Adjon 90 % -os szinten konfidenciaintervallumot a változó várható értékére!

15.2.6. (E) Bizonyos televízió-képcsövek élettartamának szórását 100órára becsülték. Mekkora mintát kell venni ahhoz, hogy 95 % -OS szinten biztosak lehessünk abban, hogy a becsült átlagos élettartam hibája nem haladja meg a 20 órát?

15.3. Statisztikai próbák

15.3.1. Ebben a feladatban adott mo, és adott Oo paraméterű, normális eloszlású sokaságot vizsgáltak. Az n elemű véletlen minta átlaga X . A táblázatbeli adatok alapján ellenőrizze a hipotéziseket az adott szignifikanciaszinten!

KVK-1190

129

KVK-1190

n X CTo HipotézisekSzigni-

fikancia-Szint

a)(M) 16 197 3 Ho:mo=200; Hi;mo7^200 1 %b) (E) 50 5,92 0,8 Ho:mo=6; Hi:mo9 6 5%c)(M) 81 15 2,3 Ho:mo=15,4; Hi:mo<15,4 5%d) (E) 50 1850 100 Ho:mo=1800; Hi:mo>1800 1 %

15.3.2. (E) Egy gyár által előállított villanykörtékből egy bizonyos napon100 elemű mintát vettek. Az élettartam normális eloszlású 120 óra szórással. Az átlagos élettartamra 1570 órát kaptak. Döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy ez az eredmény a villanykörték 1600 órás várható élettartamának megváltozását jelenti-e! Magyarázza meg, hogy mit jelent az „5 % -os szignifikanciaszint”!

15.3.3. (V) Egy csomagológép által készített 11 bála mérlegelése után abálák átlagos tömegére 1506,8 kg kerekített értéket kapták. A báláknak 1506,5 kg tömegűnek kell lenniük. Feltételezve, hogy a bálák tömege normális eloszlású 0,4 kg szórással, döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy a csomagológép által készített bálák túlsúlyosak-e!Adjon 99 % -os szintnek megfelelő konfidenciaintervallumot a bálák tömegére!

15.3.4. Egy bizonyos pékségben készült cipók tömege normális eloszlású 500 g várható értékkel és 20 gramm szórással.

a)(E) Számítsa ki, hogy a cipók hány százaléka lesz 475 grammnál kevesebb tömegű és hány százalékuk 530 grammnál nagyobb tömegű!

b)(E) 25 cipót lemértek és a tömegük átlagára 490 grammot kaptak. Állíthatjuk-e, hogy a teljes készletnél csökkent a tömeg átlagos értéke? Állapítsa meg, hogy egy- vagy kétoldali próbát kell alkalmazni és döntsön 5 % -os szignifikanciaszinten!

130

KVK-1190

15.3.5. Ebben a feladatban adott nio, és ismeretlen a paraméterű normális eloszlású sokaságokat vizsgáltak. Az n elemű véletlen minta átlaga: X . A táblázatbeli adatok alapján ellenőrizze a hipotéziseket az adott szignifikanciaszinten!

a)(M)

b)(M)

c)(E)

n X Z ( x - x r HipotézisekSzigni-

fikancia-szint

64 1997 9694,6 Ho:mo=2000,Hi:mo<2000 2 %

10 1,978 0,00336 Hoimo=2,Hi:mo^2 1 %

6 1505,8 50,8 Ho:mo=1503,Hi:mo>1503 5%

15.3.6. (E) Egy tojásszállítmányból 5 darabos mintát vettek, a tojásoksúlyára 6,7; 6,5; 7,1; 7,3 és 6,8 grammot kaptak a méréskor. Döntse el 5 % -os szinten, hogy a tojásszállítmány szignifikánsan eltér-e a 7 grammtól!

15.3.7. (V) Egy konzervgyárban egy bizonyos adagológép előírás szerint500 grammot tölt egy üvegbe. Ellenőrzés során 10 üveg le- mérésekor a minta átlagára 494 grammot, a tapasztalati szórásra 8,06 grammot kaptak. A tömeg normális eloszlásúnak tekinthető. Döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy a gép jól dolgozik vagy kevesebbet tölt az üvegekbe!

15.3.8. Döntse el a táblázatbeli adatok alapján, hogy van-e szignifikáns eltérés az adott oi és a2 paraméterű normális eloszlású alapsoka-

n, X. < 1 n 2 X, a 2 HipotézisekSzigni-

fikancia-szint

a)(M) 100 5400 900 100 6000 1000 Ho:m,=m2,5%

b)(E) 50 68,2 2,5 50 67,5 2,8 Ho:mi=m2,Hi:rtii>m2 5%

c)(E) 20 4,75 1,517 25 5,4 1,581 Ho:mi-iii2,Hi:mi<m2 2 %

131

15.3.9. Döntse el a megadott adatok alapján, hogy van-e szignifikáns eltérés az ismeretlen, de azonos a paraméterű normális eloszlású sokaságok mi és m2 várható értéke között!

KVK-1190

n, I X Z ( x - x f »2 l Y l ( Y - Y f HipotézisekSzig-nifi-

kancia-szint

20 43 1296 17 36 1388 Ho:mi=m2,Hi:mi^ni2 2 %

b)(V)

Z X IX " »2 l Y I y 2 HipotézisekSzig-nifi-

kancia-szint

72 7920 879912 68 7820 904808 Ho:mi=rri2,Hi:mi<ni2 1 %

15.3.10. (V) Egy normális eloszlású sokaság szórása 8. A sokaságból 40elemes véletlen mintát vettek, a minta átlaga 74. Egy másik normális eloszlású sokaság szórása 7. A sokaságból vett 50 elemes minta átlaga 78. Döntse el 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy van-e szignifikáns eltérés a két sokaság várható értéke között!

15.3.11. (V) Két egyetemen (A és B) az aktív sportolók közül véletlenszerűen kiválasztott fiú hallgatóknak megmérték a magasságát. Az A egyetemen 6 elemű minta átlagára 179,67 cm-t, a tapasztalati szórásnégyzetre 4,556 cm-t kaptak. A B egyetemen a 11 elemű minta átlaga 181 cm, a tapasztalati szórásnégyzete pedig 4,909 cm. A sportoló hallgatók magasságáról mindkét egyetemen feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak és azonos szórásúak. 5 % -os szignifikanciaszinten döntse el, hogy feltételezhetjük-e, hogy az A egyetem sportolói alacsonyabbak?

132

KVK-1190

15.3.12. (M) Egy dobókockáról el akarjuk dönteni, hogy szabályos-e.1200 dobást végezve az alábbi gyakorisági eloszlást kaptuk.

Szám 1 2 3 4 5 6Gyakoriság 195 210 190 204 205 196

Döntsön 5 % -os szignifikanciaszinten!

15.3.13. (V) Az alábbi táblázat az 1 és 12 közötti egész számokból véletlenszám-táblázattal kiválasztott 500 szám gyakorisági eloszlását tartalmazza.

Szám 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Gyakori 41 34 54 39 49 45 41 33 37 41 47 39ság

Ellenőrizze próbával 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy eltér-e szignifikáns mértékben a várható eloszlástól!

15.3.14. (E) Egy pénzérmét 200-szor feldobva 115 alkalommal fej, 85alkalommal írás az eredmény. Ellenőrizze %^-próbával 5 % - os szignifikanciaszinten, hogy az érme szabályos-e!

15.3.15. (V) Négy érmét 160-szor feldobtunk. A fej-dobás gyakoriságieloszlását az alábbi táblázat tartalmazza.

Fej dobások száma (k)

0 1 2 3 4

Gyakoriság(fk)

5 35 67 41 12

Ellenőrizze x^-próbával 5 % -os szignifikanciaszinten, hogy az érmék szabályosak-e!

133

KVK-1190

15.3.16. (V) Döntse el x^-próbával 5 % -os szignifikanciaszinten az alábbi táblázatban adott adatokról, hogy azok egy Poisson- eloszlású sokaságból származnak-e!

Szám (Xi) 0 1 2 3 4 5 6 7Gyakoriság

ifi)....... 14 18 29 18 10 7 3 1

15.3.17. (M) Egy automata gép működését kívánták ellenőrizni. 1500 db legyártott alkatrésznél lemérték egyik lényeges méretének az elméleti mérettől való 5 eltéréseit mikronban. A mérési eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza.

Eltérés Gyakoriság(-1 6 )-(-1 2 ) 17( - 12) - ( - 8) 63(- 8) - ( - 4) 254

( -4 ) -0 4460 - 4 4224 - 8 2088 - 1 2 71

1 2 -1 6 19

A szórás 5 |a. Ellenőrizze 1 % -os szignifikanciaszinten, hogy a hibaeloszlás normális eloszlású-e!

15.4. Lineáris korreláció, regressziós egyenes

15.4.1. Az alábbi táblázatokban szereplő adatokhoz adja meg a legkisebb négyzetek elve alapján számított regressziós egyenes egyenletét!

a)(M)X 1 3 4 6 8 9 11 14y 1 2 4 4 5 7 8 9

y-t X függvényeként adja meg!Rajzolja meg a szórásdiagramot és ábrázolja a kapott regresz- sziós egyenest is!

134

KVK-1190

b)(E)X 1 2 4 6 7 8 10y 10 14 12 13 15 12 13

c)(V)y-t X függvényeként adja meg!

X 51 67 84 81 101 109 71 97 109 51 105 89y 25 30 43 44 57 58 43 46 62 45 55 45

y-t X függvényeként és x-et y függvényeként is adja meg!

15.4.2. Az alábbi táblázatokban szereplő adatok felhasználásával állapítsa meg az empirikus lineáris korreláció mértékét!

I x Z y Xxy ly ^ na)(E) 680 996 20154 24844 34670 30b)(E) 36 54 268 428 694 10c)(M) 225 361 8875 12905 22641 6d)(E) 1015 553 90667 48888 26807 12

15.4.3. Az alábbi táblázat 10 malac 4, illetve 8 hetes kori súlyát tartalmazza.

4 hetes súly (xkg) 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 6,4 6,8

8 hetes súly (y kg) 14 12,8 13,2 12,8 13,6 14,5 14,2 16,5 15 17,5

a)(V) Mutassa meg, hogy szoros lineáris korreláció van a két súly között!

b)(V) írja fel a regressziós egyenes egyenletét, y-t x függvényeként adja meg!

c) (V) Adjon becslést egy 5 kg-os 4 hetes malac 8 hetes súlyára!

15.4.4. Megmérték 9 búzakalász hosszát és megszámolták a kalászonkén- ti szemek számát. Az eredményt az alábbi táblázat tartalmazza.

135

KVK-1190

Kalász hossza (x cm) 10,2 9,5 8,6 8,3 8,1 8,1 7,7 7,3 7,1

Szemek száma (ydb) 41 38 29 33 30 28 22 24 26

a)(E) Mutassa meg, hogy szoros lineáris korreláció van a kalászok hossza és a kalászonkénti szemek száma között!

b)(E) írja fel a legkisebb négyzetek elvével illesztett regressziós egyenes egyenletét, y-t x függvényeként adja meg!

15.4.5. Az alábbi táblázat egy főiskola első éves hallgatói közül véletlenszerűen kiválasztott 10 hallgatója fizika és matematika vizsgadolgozatának a pontszámát tartalmazza.

Fizika(x) 77 84 75 80 93 65 87 71 98 68

Matematika(y ) ..... 74 89 82 78 86 72 91 80 95 72

a)(E) Határozza meg az adatokhoz a legkisebb négyzetek elvével illesztett regressziós egyenes egyenletét, y-t x függvényeként adja meg!

b)(E) Egy hallgató csak a fizika dolgozatát írta meg, amely 95 pontos lett. Várhatóan hány pontos lenne a matematika dolgozata?

15.4.6. 15 véletlenszerűen kiválasztott parcellán lemérték a burgonya- termést és a talaj humusztartalmát. Az alábbi táblázat a mérések eredményét tartalmazza, a humusztartalmat mg %-ban (100 g földben levő humusz mg-ban), a burgonyatermést pedig mázsában kataszteri holdanként.

Humusz (x mg %) 523 594 517 593 696 845 617 780Termés

136

KVK-1190

(yq/kh) |27,3 62,8 52 49,6 61,5 71,8 51 79,6

Humusz (x mg %) 634 671 732 724 739 732 682Termés

..(yq/kh) 53,9 53,6 63,1 71,9 78,9 72,2 63

a)(E) Állapítsa meg, hogy milyen szoros lineáris korreláció van a talaj humusztartalma és a terméseredmény között!

b)(E) Az adatok alapján írja fel a regressziós egyenes egyenletét, y-t X függvényeként adja meg!

137

KVK-1190

138

KVK-1190

MEGOLDÁSOK

139

KVK-1190

140

KVK-1190

1. KOMPLEX SZAMOK

1.1. Komplex számok ábrázolása

1.1.1.lm

í------2------ i í------ ------------- i í

11 z

J

11

z

2í------

2------ i í------ ------------- i í

Z4 Z7

Re

a) A megadott komplex szám valós illetve képzetes része: ReZj =3 illetve ImZj = -1 , konjugáltja; z, = (R eZ i)-(Im Z i)j = 3 + j , ab

szolút értéke: z, = ^j{Rez^y +(lmzi)^ = -^3 + (~ 1) = a/iÖ.

b)Rez2 = - 2 , Imzj = 2 , Zj = - 2 - 2 j , jzj] = -^ /( -2 p T ^ = 2 ^ 2 .

c) ReZj = 2 , Im z3 = 3 , Z3 = 2 - 3 j , Z3 =-\ll^ +3^ = VÍ3 .

141

KVK-1190

d)R ez4 = - 3 , Imz4 = - 3 , Z4 = - 3 + 3j, \z \ = 3^[2.

e) Rezj = -5 , Imzj = 0 , Z5 =z^ = -5 , [zj] = 5 .

f) Rezg = 0 , Imzg = -4 , Zg = 4 j , |zg| = 4.

g)ReZy = -1 , Imzy = 3 , z = - l - 3 j , z =VlO.

h)ReZg = 4 , ImZg =1, z = 4 - j , |zg| = VÍ7 .

1.1.2.

a) A megadott komplex szám konjugáltjának irányszöge, az irányszög mínusz egyszerese: z, = 3 (cos (-45°) + j sin (-45°)).A forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése alapján;

142

cos(-45°) = cos(-45° + 360°) = cos 315° és sin(-45°) = sin(-45° + 360°) = sin 315°.így a konjugált nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irányszöggel: z, =3(cos315° + jsin315°).Ebben és a következő feladatban, a komplex számsíkon az irányszög nulla értékét és pozitív irányát a pozitív, valós féltengelyre állított nyíl jelöli.

b) Z2 = 4 (cos (-210° + 360°) + j sin (-210° + 360°)) == 4 (cos 150°+ j sin 150°).

c) Z3 = V2 (cos (-420° + 720°) + j sin (-420° + 720°)) =

= V2(cos300° + jsin300°).

d) Z4 = 3,5 (cos (1140° - 1080°) + j sin (1140° - 1080°)) == 2 (cos 60° + j sin 60°).

KVK-1190

e) Z5 = 4

g) Z7 = 4,5

l l j i . . 1 l;icos-----+ jsm -----

6 67t . . 71

COS— + ism —3 3

f) Zg =5

h)Z3=V3

2 n . . 2 n ) cos— + jsm —

3 3 ,5;t . . 5n

COS— + jsm —4 4

1.1.3.a) A megadott komplex szám konjugáltjának irányszöge, az irányszög

■ 1971

mínusz egyszerese: Zj = 3e *> .Az Euler-féle összefüggés és a forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése alapján:

19ti . . 19ti 7n . . 7k .e = cos-----+ jsm ----- = cos— + jsm — = e , ezert a konju-

6 6 6 6■h

gált nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irányszöggel: z, = 3e ® .

h ) z , = 2 e 'j’' = = 2ej’' = z ^ .

143

KVK-1190

■h.c) Z3 = 5e ® .

. 7t

e) Z5 - 2 e^'^.

.371d )z 4 = 3e 2 .

. Tif) Zg = 4 e ' ^

g)A logaritmus definíciója, a hatvány logaritmusa és a hatványozás— In5+ j— I n V s + j — i— j —

azonossága alapján: z-j ^ = e ^ = V 5 e ^ .A komplex.5n

szám konjugáltja: = Vs e ® .

h)zg =5ej<'’'- '\

144

KVK-1190

1.2. Áttérés a komplex szám egyes alakjai között

a) Behelyettesítjük a szögfuggvények értékeit, és kiszámítjuk a komplex szám valós és képzetes részét;

z = 32 2 •*

3 3^Í3 .

b)z = 42 2

= 2 V2 - 2 V2 j.

c) z = Vs + j . d) z = 1 + j .

e) Az exponenciális alakban megadott komplex számot felírjuk trigonometrikus alakban, és kiszámítjuk az algebrai alakot;

= V2 5nV V 4 ycos + jsin

5n= V2

f) z = - 2 j.

h) z « 1,43 +0,69 j.

2 2

g)z = 3V 3+ 3 j.

= - l + j.

1.2.2.a) A komplex szám abszolút értéke; |z| = -y/(Rez)^ +(Imz)^ = 2.

145

KVK-1190

Ábrázolva a Gauss-féle számsíkon a komplex számnak megfelő pontot, megállapítjuk, hogy a komplex szám irányszöge hegyesszög:

Imz ^|3 n ...(p = arc tg----- = arc tg — = —, illetve

Réz 1 3(p = 60°. A komplex szám trigonometrikusés exponenciális alakban tehát

. 71_ - 7C . . 7T. , _ Jt

z = 2 (cosy + js in —) es z = 2 e .

b)A komplex szám abszolút értéke: |z| = + 5 = 10.Mivel a komplex szám a második síknegyedbe esik, ezért

(D = 71 + arc t g— = 7 1 , illetve (p = 150°.-5V 3 6 6

. 5 tü

így z = 10(cosl50° + jsinl50°) és z = 10e

c)Mivel Réz = 0 és Imz = -5, ezért cp = 270° és |z| = 5 A komplex szám trigonometrikus alakban z = 5(cos270° + jsin270°), és ex-

■ 371

ponenciális alakban z = 5e .

.571

d)z = 4V2(cos225° + jsin225°) és z = .

e) z = 5(cos 180° + jsin 180°) és z = 5e^".

. 3 tü

f) z = V2e(cosl35° + jsinl35°) és z = V2ee'''^ .

. 2 6 6 ,0 5 n

g) z « 8,851 (cos 266,05° + j sin 266,05°) és z « 8,851 • e .

h) z « 1,64 • 10“ (cos232,43° + jsin 232,43°) és

146

KVK-1190. 2 3 2 ,4 3 n

z = l,64-10"^e'

1.2.3.a) A szögfíiggvények értékeit behelyettesítve, megkapjuk a komplex

szám algebrai alakját: z = -2V2

= V 2 -V 2 j. Ab

szolút értéke: + (V2 ) = 2. Mivel a komplex szám anegyedik síknegyedbe esik, ezért

- Imz - V2 - 71 7ti(D = 271 + arc tg----- = 2 n - arc t g = 27i-----= — ,^ ^R ez 4 4illetve (p = 315°. így a megadott komplex szám trigonometrikus és

exponenciális alakban: z = 2 (cos 315° + j sin 315°) és z = 2 e7 7t

b)z = V2 ( - l - ( - l ) j ) = -V 2 +V2 j, |z| = V(-V2 )'+ (V 2 )' = 2 ,

V2 3ti(p = 71 + arc tg _ = — , illetve (0 = 135°.

- V 2 4 ’. 3 ji

z = 2(cosl35° +jsinl35°) és z = 2e .

c) z = -6 + 3-v/3 j , z =3>/7 «7 ,94 , (p = 7t + arc tg — .

z « 7,94(cosl39,ll° + jsin l39 ,ll°) és z« 7 ,9 4 e

- 6 180J 39 , l l ; t

180

. 7t

d)z = 3 + 3 j, z = 3V2(cos45° + jsin45°) és z = 3 ^ e ~ \

e) A hatványozás és a logaritmus azonosságait alkalmazva:. 71

z = 3 + V s j, z = 2 V3 (cos30° +jsin30°) és z - 2 y f 3 e ^ .

í) z = 4 - 2 j , z«4,47(cos333,43° + jsin333,43°) és

147

KVK-1190

z«4,46ej■'’'^

g)z = - 2 , z = 2(cosl80° + jsinl80°) és z = 2 e^’'.

1 1 1 ' h )z = — j , z = — (cos9 0 °+ isin90°) és z = —

27 27 27

1.2.4.

a)Mivel tg 150° = —- , ezért b = sV s, tehát a komplex szám algebrai

alakban: z = -3 + 3 V s j.A komplex szám abszolút értéke

+ (3 Vs) = 6 , trigonometrikus alakja pedig: z = 6(cosl50° + jsinl50°).

b )z = ^ + V2 j és z = 2 ^ (c o s 6 0 ° +jsin60°).

d) z « -7 ,06 -15 ,46 j és z = 1715ti . . 15ti

cos-----+ ism ------11 11

1.3. Műveletek különféle alakú komplex számokkal

1.3.1.a) Az összeg valós része a valós részek, képzetes része pedig a képze

tes részek összege: z = (2 + 4) + (9 -3 ) j = 6 + 6 j .A komplex szám abszolút értéke és irányszöge:

z| = V 6 ^ T ^ = 6V2 és (p = arctg-^ = - illetve (p = 45°. Az ösz-

szeg trigonometrikus alakban: z = 6 V2 (cos 45° + jsin 45°).

148

KVK-1190

b) z = 8 (cos 180° + j sin 180°). c) z = 2 V2 (cos 315° + j sin 315°).

d)A szorzatot a kéttagú összegek szorzására vonatkozó azonosság alapján, arra figyelemmel számítjuk ki, hogy f = -1 :

z = -9 + 3V3 j + sV3 j - 3 j^ = -6 + 6 V3 j . A komplex szám ab

szolút értéke és irányszöge: |z| = = 12 és

6^/3 2n(p == 71 + arc tg

z = 12

= — . A szorzat trigonometrikus alakban: - 6 3

2% . . 2n cos— + jsm —

3 3

e) z = 7 Vs (cos 0° + j sin 0°).

f) z = (2 V 3 -6 ) + (2V3 + 6) j , |z| = 4V6 és

(p = 71 + arc tg — = 7i-arctg(2 + V3). 2 V 3 -6

Megjegyezzük,

= 2 + V3,

7t 71 V3 ,, tg —+ tg— ----+ 1u * 6 4 3 hogy tg— = ---- ^ ^ =

12 . n n 731 - t g - t g -6 4 3

ezért (p = ^ , illetve (p = 105°. A komplex szám, trigonometrikus

alakban: z = 4V6(cosl05° + jsin l05°).

g) z «14,87 (cos 227,73°+ j sin 227,73°).

h) A kéttagú összeg négyzete: z = 4 - 8 V 3 j-1 2 = - 8 -8 V 3 j .A komplex szám abszolút értéke és irányszöge |z| = 16 és(p = 240°, trigonometrikus alakja: z = 16 (cos 240° + j sin 240°)

149

KVK-1190

i) z = 48V6(cos45° + jsin45°).

j) A törtet bővítjük a nevező konjugáltjával: z = 2 - 2 j M 1+ j 1- j

= - 2 j .

A kapott komplex szám trigonometrikus alakja; z = 2 (cos 270° + j sin 270°).

k )z = l,5(cos315° + jsin315°). 1) z = 2,5(cos 180° + jsin 180°).

m)z = 3 (cos 150°+ jsin 150°). n) z = Vó (cos 255°+ j sin 255°),

1.3.2.a) A szorzat abszolút értéke a tényezők abszolút értékeinek szorzata,

irányszöge pedig a tényezők irányszögeinek összege: z == 6 (cos 150° + j sin 150°). A szorzat algebrai alakban:

z = 62 2

= -3 V 3 + 3 j.

b) z = -4 .

c) z = 1,5 (cos(-30°) + jsin(-30°)) = 1,5

d)z = 2V6 j .

i S 3 . 4 4^ '

e) A hányados abszolút értéke a számláló és a nevező abszolút értékének hányadosa, irányszöge pedig a számláló és a nevező irányszögének különbsége:

z = I (cos (178° -133°) + j sin (178° -133°)) =

= 2 (cos 45° + j sin 45°). A hányados algebrai alakban:

z = V2 +V 2 j.

150

KVK-1190

4 4

h) z «-3 ,06 +2,57 j .

1.3.3.a) A hatvány abszolút értéke a hatványalap abszolút értékének hatvá

nya, irányszöge pedig a hatványalap irányszögének és a hatványkitevőnek a szorzata:z = 3 (cos(2-15°) +jsin(2-15°)) = 9(cos30° +jsin30°).

A hatvány algebrai alakban; z = ^ + “ j •

b )z = -1 6 V 2 -1 6 V 2 j. c )z = -1 6 .

d )z = ------------j.2 2 -'

e)A komplex számból való gyökvonás eredménye annyi komplex szám, ahányadik gyököt vonunk. Abszolút értékeik egyenlők egymással. Ez a gyökjel alatt álló komplex szám abszolút értékének adott kitevőjű gyöke: r = r, = = V27 = 3. Az első gyök irányszöge az irányszög és a gyökkitevő hányadosa, minden további irányszög rendre annyival nagyobb az előzőnél, mint a 360° és a gyökkitevő hányadosa, tehát:

(p = 1^ = 60°, (p, =60° + ^ = 180° és

360°=180° + — = 300°.

151

KVK-1190

Tehát a három gyök, trigonometrikus alakban:Zq =3 (cos 60° + j sin 60°) z, = 3 (cos 180°+ j sin 180°)Z2 = 3 (cos 300° + j sin 300°), és algebrai alakban:

3 3V3 . , , 3 3V3 .Zo = 2 " 2 — 2 ^ ^ '

f) Zo =V3 + j , z, = -V 3 + j , Z2 = - V 3 - j és Z4 = V 3 - j .

g)Zo «1,47 +0,34j, z, « 0,13 +1,50j , Zj «-1,39 + 0,59 j , Z3 «-0 ,99-1 ,14 j és Z4 « 0,78-1,29 j.

h)A negatív, törtkitevös hatvány azonossága alapján

.A hatványozás és a négyzetgyök-z = •V(cos(-60°) + jsin(-60°))'

vonás után, kiszámítjuk az algebrai alakot:

=cos330° + jsin330° = — j,Zo = cos30° +jsin30°

1

2 2 '

J 3 1z, --------------------------- -- cosl50° + jsin l50° = ------+ —j-

cos210° + js in 210° 2 2

1.3.4.a) A szorzat abszolút értéke a tényezők abszolút értékeinek szorzata,

irányszöge pedig a tényezők irányszögeinek összege;.Í2n / X

3n . . 3 n ] cos— + jsm —

4 4z = 2V 2e'^ ''^ '^ =2V 2

algebrai alakban: z = -2 + 2 j .

152

KVK-1190

KX 5V3 5 .b) z = -----------1.2 2 *

.471A “ j ---- + j27üc )z = 3 e =81

d) z « -0 ,8 7 -2 ,6 9 j .

2ti . . 2n cos— + isin—

3 381 81V3 .

= - y + — J.

e) A gyökvonást exponenciális alakban ugyanúgy kell elvégezni, mint trigonometrikus alakban.

^Í2 Vó . , V2 Vó .

f) Zo = 3 j , z, = -3 , Z2 = - 3 j és Z3 = 3.


1.4.1.a) A nevezőben elvégezzük a kivonást és algebrai alakban a szorzást:

z = ^ 2 '^^^ = -3 V3 - 3 j , mivel a nevező képzetes része nulla. A

hányados abszolút értéke és irányszöge:

z| = -J(-3 + ( - 3) = 6 és (p = 7i + arctg

A hányados trigonometrikus alakban: z = 6 (cos 210° + j sin 210°).

b) A nevező konjugáltjával bővítjük a törtet, és a számlálóban (-2) - 1 kiemelünk, így a tört algebrai alakban:

(l + j ) ( l - j ) 2

A hányados abszolút értéke és irányszöge: |z| = 2 V2 és cp = 45°.

A hányados trigonometrikus alakban: z = 2 V2 (cos 45° + j sin 45°).

153

c) z = -1 és z = cos 180°+ j sin 180°.

d) z = -8 és z = 8 (cos 180° + j sin 180°).

e) z = ^ —«3,1-10” és z = (cos 0° + j sin 0°).324 324

f) z - 2 + -\Í3 és z = (2 + V3)(cos0° + jsin0°).

g) A képzetes egység hatványozásának ciklikussága miatt,

z ^ j + l - J - ^ + J ^ j z = cos9 0 °+ isin90°.1 - j - l + j + l

h)z = - 3 - 2 j és z*3,61(cos213,69° + jsin213,69°).

i) z « 1,59-1,42 j és z « 2,13 (cos 318,26°+ j sin 318,26°).

1.4.2.a)A gyökjel alatti komplex számot felírjuk trigonometrikus alakban:

cOk = (cos (60° + k ■ 120°) + j sin (60° + k • 120°)), ahol k = 0;1; 2. A gyökök trigonometrikus alakban:(űq = 3 (cos 60° + j sin 60°), cOj = 3 (cos 180°+ j sin 180°) és (Ű2 = 3 (cos 300° + j sin 300°); algebrai alakban pedig

3 3V3 . , , 3 3V3 .(o„ = —+ ------j , 00, = -3 es co, = ----------- j.

” 2 2 ' ^ ' " 2 2

b) (0, = — (cos (30° + k • 120°) + jsin (30° + k • 120°)), (k = 0; 1; 2),

3 V3 . 3 V3 . , V3 .cűf, = —+ — 1, co, = ----- 1----- 1 es 0), = -------j.» 4 4 J ’ ' 4 4 - ’ ' 2 ^

c) % (cos(90° + k-180°) + jsin(90° + k-180°)),(k = 0;1), (Oq w 2,34 j és co, » -2,34 j .

KVK-1190

154

KVK-1190

3 V3 3 . 3 3 V3 . 3 V3 3 . ,d )® o = — + - J , cű, ® 2 ==— ------es

3 3 V3 .CO3 = - - ■ -J-

e)(ö|3= 4 V2 + 4 V2 V3 j, (o, = - 8^2 és CO2 = 4 ^ 2 - 4 ^ 2 7 3 ] .

f) 00 «l,89 + l,45j, co, « - l,4 5 + l,89j, Wj « -1 ,8 9 -1 ,45j és03 « 1,45-1,89 j.

g) Wq «-2,83 +1,41 j és co, w 2,83-1,41 j.(Megjegyezzük, hogy a gyökök pontos értéke is meghatározható. Mivel a gyök alatt álló komplex szám valós része pozitív, képzetes része pedig negatív, ezért irányszöge (p = 270° + a . Ezért egyik

agyökének irányszöge (Po = 135° + —, a gyökök abszolút értéke pe

dig ^/lÖ. Ezen gyök valós része

Re (ön = VÍÖcos 135° + - = -VÍÖ cos 135°+“2

Alkalmazva a megfelelő linearizáló és az összegzési azonosságot,

cos 135°+“2

1 + cos (270° + a) 1 + sina, továbbá mivel

a hegyesszög, ezért sin a =Re(6 - 8j) 6

6 - 8j= — . Behelyettesítve:

Re (ön - -VlÖ1 +

10 = -2 V 2 ,ées

ImcOg = = ^/2 adódik.)

h)cOo «0,59 + 0,81j, co, « -0,59 + 0,81j, «-0 ,95 - 0,31 j , (O3 = - j és (Ű4 w 0,95-0,31 j .

155

1.4.3.a) Az exponenciális és a trigonometrikus megadott komplex számokat

átváltjuk algebrai alakra: z, = 2 (cos 300° + j sin 300°) = 1 - V3 j , z , = u V 3 j és Zj =2yÍ3 j. Behelyettesítünk és elvégezzük a kije

lölt műveleteket: z = ^ —V3 j)+ 2 V3 j J ^1 + y i j 1 + V3 j

kapott komplex szám abszolút értéke 1, irány szöge pedig 270°. Trigonometrikus alakban, tehát z = cos 270°+ j sin 270° .

b)Algebrai alakra való áttérés után z = —V 3 jj+ 2 V ^ ^1 + V3 j

nometrikus alakban: z = cos 90° + j sin 90°.

c) Mivel komplex számok reciprokát, összegét és konjugáltját kell képezni, ezért célszerű a Zj komplex számot is algebrai alakban felírni.z = -4 és z = 4(cosl80° + jsin l80°).

d )z = 4 és z = 4(cos0° + jsinO °).

3 3é ) z - — j és z = - (c o s 270° + js in 270°).

8 8

f) z = —j és z = —(cos90° + jsin 90°).5 5

g) z = - j és z = cos 270° + j sin 270° .

h) z « -1,61 + 0,38 j és z « 1,65 (cos 166,66°+ j sin 166,66°).

1.4.4.a) Az exponenciális és a trigonometrikus alakban megadott komplex

számokat átváltjuk algebrai alakra:

KVK-1190

156

z, = 2(cosl80° + jsinl80°) = - 2 , = 4 j és Z3 = 4 - 4 j .Behelyettesítünk, elvégezzük a kijelölt műveleteket és áttérünk trigonometrikus alakra:z = ^ - 2 (4 j + (4 - 4 j) = = ^8 (cos 180° + j sin 180°).A gyökvonás eredményei trigonometrikus alakban:(0 ^ = 2 (cos (60° + k • 120°) + j sin (60° + k • 120°)), (k = 0; 1; 2), és algebrai alakban:cOo = 1 + Vs j , co, = -2 és 0O2 = 1 - V3 j .

b)Algebrai alakban behelyettesítünk, elvégezzük a kijelölt műveleteket és áttérünk trigonometrikus alakra:

^ ^ • + ^ ^ ^ - 2 ^ / ^ = V ^ = V16(cos180° + js in l8 0 °) .

KVK-1190

8A gyökvonás eredményei trigonometrikus alakban:cOk = 2 (cos (45° + k • 90°) + j sin (45° + k • 90°)), (k = 0; 1; 2; 3),és algebrai alakban:cOq = s í i + ^f2 j , cOj = —V 2 -I- ^ [2 j , CO2 = —J 2 — V 2 j és

CO3 = V2 - V2 j .

c) (0^=2 (cos (45° + k • 90°) + j sin (45° + k • 90°)), (k = 0; 1; 2; 3),

cog = V2 + V2 j , co, = -V 2 + V2 j , (Ű2 = - V2 j és

CO3 = V2 — V2 j .

f id) (Ok = ^ (cos (90° + k • 120°) + j sin (90° + k • 120°)), (k = 0; 1; 2),

S . 3 V3 . , 3 V3 .cOf, = — j, 0), = ----- \----- 1 es co, = ----------j.0 2 ‘ 4 4 - ’ ' 4 4 •’

157

e) (Ok = cos (30° + k • 120°) + j sin (30° + k • 120°), (k = 0; 1; 2),

V3 1 . V3 1 . ,co„ = — + —J, «>i = ------+ —J es (0, = - j .

° 2 2 -’ ' 2 2 - " ^

f) (Oq w 1,35 (cos 2,86° + j sin 2,86°) « 1,34 + 0,07 j ,(0, » 0,66(cos 264,15° + j sin 264,15°) « 0,07 - 0,65 j ,(O2 » 2,17 (cos 287,59° + j sin 287,59°) « 0,65 - 2,07 j ,(Ű3 « 2,47 (cos 326,96° + j sin 326,96°) « 2,07 -1,34 j .

1.4.5.a) Az ismeretlent kifejezzük az egyenletből és a gyök alatt álló komp

lex számot trigonometrikus alakban írjuk fel;

z = ^ l + V3j =V2(cos60° + jsin60°).A gyökvonást a komplex szám trigonometrikus alakjában végezzük el, majd áttérünk az algebrai alakra:(ű, = V2 (cos (15° + k • 90°) + j sin (15° + k • 90°)), (k = 0; 1; 2; 3),(űq « 1,15 + 0,31j, (űi «-0,31 + 1,15 j, 0)2 w -l,15 -0 ,31 j és (Ű3 w 0,31-l,15j.

b) Áttérünk a trigonometrikus alakokra:9V2 = 9V2 (cosO° +jsinO °), 3 + 3j = 3V2 (cos45° +jsin45°) és

. ne = cos 270° + j sin 270°.A komplex számok trigonometrikus alakját helyettesítjük be, és kifejezzük az ismeretlent:

KVK-1190

z = 3 9V2(cosO° +jsinO°)y 3 V2 (cos 45° + jsin 45°) (cos 270° + j sin 270°)

= ^3 (cos (-315°) + j sin (-315°))= \j3 (cos 45° + j sin 45°).A gyökvonást a komplex szám trigonometrikus alakjában végezzük el, majd áttérünk az algebrai alakra:cOk = V3 (cos (15° + k • 120°) + j sin (15° + k • 120°)), (k = 0; 1; 2),(űq » 1,39 +0,37 j , co, «-1,02 +1,02 j és cOj « -0 ,37-1 ,39 j.

158

c) (ÖQ = 1 + Vs j , co, « -1 ,34+ 1,49 j , ©2 *1,83-0,81 j ,CO3 w 0,21-1,99 j és CO4 «1,96-0,42 j.(Megjegyezzük, hogy valamennyi gyököt van mód pontosan felír-

J 1O + 2 V5 V5 - Ini, mivel ismert, hogy sin 72° = ------------- és cos 72° = --------, s

4 4így a szögfliggvények összegzési tételei segítségével pontosanmegadhatók a (p, = 60° + k • 72°, (ahol k = 1; 2; 3; 4) alakú szögekszögfíiggvényei.)

d)cOo wl,15 + 0,31j, co, « -0 ,3 1 + l,15j, cOj « - l,1 5 -0 ,3 1 j és CO3 «0 ,3 1 -l,1 5 j.

1.4.6.a) A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva, a két gyök a

^12 ~ ^—— = 1 ± V3 j alakú, konjugált komplex számpár.

Abszolút értékük: z, = Zj =2 , irányszögük pedig71 , 531

9i es (P2 = Y ‘. 7 1 . 5 7t

Exponenciális alakjuk: z, = 2 e és Zj == 2 e .

. 7 1 . 5 7 1

b) z, = 5 e és Zj = 5 e .

c) Az u = z helyettesítéssel vezessük vissza másodfokú egyenletre. A megoldásként kapott komplex számokból négyzetgyököt vonunk, és megkapjuk a megadott egyenlet megoldásait:

. 7 1 . 4 7 1 . 2 7 1 . 5 n

Z[ = Vö e'* , Z2 = Vó e'' , Z3 = Vö e és z^ = Vó e'' .

. 7 1 . 3 7 1

d) Z[ = 0, Z2 = 3 e'' 2 és Z3 = 3 e'' .

KVK-1190

159

1.4.7.a) A törtet a nevező konjugáltjával bővítve,

R t X cRezo = —;------ 7 es Imz„ = , t -“ R^+Xc' ” R +Xc

b)A jobboldalt közös nevezőre hozva, és mindkét oldal reciprokát véve,

i R XZg = . A nevező konjugáltjával való bővítés után,

R + j^ LR X l' , R 'X l

Rez„ = —r— ^ es ImZn =

KVK-1190

RÍXcX, fc) Rezg = --------- . y ---------------- ^ es

( X c X j= + R ^ (X ,-X c f

Irnz, = -R % X , ( X , - X j

{ X , X j + R ^ { X ^ - X j '

■ 2

R " + X l " R '+ X l"

R^X R^X1.4.8. Az ImZo = X , -----;---- ^ = 0, ha X, = —^ E z t átrendezve

“ R '+ X c ' R +Xc'X

adódik, hogy R = . Mivel R, X^ és X l mindegyike csak

pozitív valós szám lehet, ezért a feladatbeli feltétel csak X^ < X . esetén teljesülhet.

160

KVK-1190

2. LINEÁRIS ALGEBRA

2.1, Mátrixok

2.1.1.a) a* 1-5 típusú, B 3-3 típusú, D 3-4 típusú,

di2 = —1, (Í23 = “4, (Í32 = 3 .

b)sorvektor; a*, b*; egységvektor: b*; négyzetes mátrixok: A, B, C, E; zérusmátrix: C;diagonál mátrix: B, C, E; egységmátrix: E.

c)(b*)* = b =

’o' ■-3 0 - 2 ‘"1 0 0‘

1 -1 1 3, B* = 0 - 2 0 , D* =

0 2 - 4 70 0 0

0 4 5 62.1.2.

a) A és B típusa megegyezik, ezért A = B, ha megfelelő indexű~ 1 1

elemeik egyenlők, tehát, ha a = lnVe=lne^ = —, b = sin30° = —,

c = log3l = 0.

nb)a = -2 , b = 3, c = - l , d = - .

4

161

2.1.3.

a) A -3 B =

KVK-1190

5 - 7 3- 3 8 - 2

b)A kijelölt műveletek elvégezhetők, mert a mátrixok azonos típusúak. A C mátrixban szereplő komplex számokat felírjuk algebrai alakban és kiszámítjuk a mátrixban levő kifejezések értékét:

2j 1 2C =

- 2 0 - 3Az A - B + 2C mátrix elemeit úgy kapjuk meg, hogy A eleméből kivonjuk B megfelelő indexű elemét és ehhez hozzáadjuk C megfelelő indexű elemének kétszeresét!így _

3 + 4j -1 7C =

- 5 6 - 6

2.1.4.a)0.

2.1.5.a) AE = A .

b)8.

b)B0 = 0.

c) A 3-3 típusú A és a 3-4 típusú B mátrixok szorzata 3-4 típusú lesz.

Például az AB mátrix második sorának harmadik elemét úgy kaptuk meg, hogy az A mátrix második sorát, mint sorvektort, skalári-

162

san megszoroztuk a B mátrix harmadik oszlopával, mint oszlopvektorral. A műveletben részt vevő értékeket félkövéren írt számokkal emeltük ki.Tehát 6-2+ 4-0+ 0-4= 12.

KVK-1190

2.1.6.a) [-5 6 - 1 2 .

b) Ennél a feladatnál nem kell a táblázatos formát használni, hiszen az eredmény egy oszlopvektor lesz. Négy elemét megkapjuk, ha az A mátrix minden sorát, mint sorvektort skalárisán megszorozzuk az a oszlopvektorral. így például az Aa első eleme0-2 + l-(-3) +(-!)• 1 + 2-1 = -2 lesz.

Aa =

'0 1 -1 1 1 ■ 13 - f2 -1 0 1 - 3 8 6 4

c) AB =1 -1 1 0 1 6 -1 40 2 0 1_ 1_ _-5_ 11 -1_

d)A 2-4 típusú D mátrix és a 4-2 típusú B mátrix DB szorzata 2-2

163

2.1.7.

a) AB =

KVK-1190

0 4 - 7 ‘■ 2 4"

, BA = 6 4 813 -3^

- 2 0 -5_, AB BA

b)AB =1 0 0 0 1 0 0 0 1

, BA =1 0 0

0 1 0 0 0 1

AB = BA = E

■-2 6 -2 4 21'" 12 -1 -1 2 '

16 14 10 -15c) AB = , BA = 19 -11 17

3 10 11 0- 1 26 7_

7 - 8 - 7 -15AB B A .

2.1.8.■-2 3 2 ■ 30 - 7 3‘

a) A* = 5 -1 0 , AA* = - 7 26 341 4 7 3 34 53_

Elemei a föátlóra szimmetrikusak (szimmetrikus mátrix).

b) A* =

Elemei a föátlóra szimmetrikusak (szimmetrikus mátrix).

3 1 - \"14 5 3‘

-1 0 4, AA* = 5 6 6

0 2 13 6 43_

2 1 5_

164

KVK-1190

2.1.9.0 1 00 0 11 0 0

1 8 0 0 1 8

A = - 3 5 -1 -1 - 3 51 - 2 2 2 1 - 2

= P

= AP

P =

1 8 0- 3 5 -1 = A

1 - 2 2

0 1 0 - 3 5 -10 0 1 1 - 2 2 = PA1 0 0 1 8 0

Megfigyelhető, hogy AP-ben A oszlopai szerepelnek, de más sorrendben, míg PA-ban A sorai szerepelnek, más sorrendben.A cserét a P mátrix 1-gyel egyenlő elemeinek (pi2, P23, P3i) indexei alapján állapíthatjuk meg.AP-nél az első index A oszlopát, a második index ezen oszlop AP- beli helyét jelöli ki.TehátP12 = 1, ezért A első oszlopa AP második oszlopa lett,P23 = 1, ezért A második oszlopa AP harmadik oszlopa lett,P31 = 1, ezért A harmadik oszlopa AP első oszlopa lett.PA-nál a második index A sorát, az első index ezen sor PA-beli helyét jelöli ki.TehátP12 = 1, ezért A második sora PA első sora lett,P23 = 1, ezért A harmadik sora PA második sora lett,P31 = 1, ezért A első sora PA harmadik sora lett.

165

KVK-1190

2.2. Determinánsok

2.2.1.a)D = 22. b)D = j . ( - j ) - 2 ( l + j) = - j ^ - 2 - 2 j = - l - 2 j .

c) D = 0, mert a harmadik oszlop az első oszlop (-3)-szorosa.

d)Mivel a föátló felett és alatt minden elem nulla, ezért a determináns értéke a főátlóbeli elemek szorzatával egyenlő.D = 2 -(-3 )-5 = -3 0 .

e) Megpróbálunk valamelyik sorban vagy oszlopban két elem helyén nullát előállítani, például a 3. oszlopban.Adjuk hozzá a második sor 2-szeresét az első és harmadik sorhoz, így a harmadik oszlopban két nulla elem lesz, majd a kapott determinánst kifejtjük a 3. oszlop szerint. A kifejtésnél azon alde- terminánsokat, amelyek 0 elemhez tartoznak nem írjuk le, mert 0- val való szorzatuk úgyis nulla lesz. A (-l)-hez tartozó aldetermi- nánst (-l)-gyel kell szoroznunk a „sakktábla-szabály” szerint.

D =-1 7 9 0

-1 7 9-1 0 5 -1

-1 7 6-1 7 6 0

= -17-6 + 17-9 = 3-17 = 51.

f) A determinánst kifejtjük a második oszlopa szerint, a nulla elemhez tartozó aldeterminánst nem írjuk le, mert 0-val való szorzata úgyis nulla lesz.

D = - j 1 - j 1 - j 1

+ J1 + j

jJ

1 - j

166

KVK-1190

g)A komplex számokat felírjuk algebrai alakban és a j hatványokat kiszámítjuk, majd a kapott determinánst kifejtjük például az első oszlop szerint.

-1 j - jD = 1 2 j

- 2 1 + j -1

= - ( - 2 - j ( H - j ) ) - ( - j + j(l + j ) ) -2 ( j^ + 2 j)= 4 -3 j .

2 j j - j - 2 j - j1 + j -1 1 + j -1 2 j

h)D = 0. i) D = -4 8 .

2.2.2.a) Vonjuk ki a második sorból az első sort, majd fejtsük ki a kapott

determinánst a második sora szerint!1 1 1

D = 0 1 - x ' 0 = x ' - l = 0.2 3 1

Tehát X = 1 és X = -1 esetén lesz a determináns értéke 0.

b)x = 1, X = -2.

c) Adjuk hozzá az első oszlophoz a harmadik oszlopot, és fejtsük ki a kapott determinánst az első oszlopa szerint!

0 - j -1 D = 0 x -1 =2 + j + x ( l - 2 j ) = 0.

l - 2 j 1 - j Fejezzük ki x-et!

x = ^ .l - 2 j

Az osztás elvégzése után x = -j.

167

2.2.3. Vonjuk ki az első és a második sorból a harmadik sort és fejtsük ki a determinánst a harmadik oszlop szerint. Ezután könnyen belátható az állítás.

2.3. Lineáris egyenletrendszerek

A determináns soraival, illetve oszlopaival elvégzendő műveleteket az egyenlőségjel felett adjuk meg rövidített formában. Az első tag jelöli ki azt a sort, illetve oszlopot, amelyhez hozzáadjuk a második tagban megjelölt sor, illetve oszlop számszorosát.Például: 1.0+3-3.0 jelentése: az első oszlophoz hozzáadjuk a harmadik oszlop 3-szorosát.A sor rövidített jelölésére az s betűt használjuk.

KVK-1190

2.3.1.

a)Felhasználjuk, hogy = —- , ha D ^ 0.D

1.0+3-3.02.0+2-3.0

kifejtünk a 3.0 szerint

1 4 - 7 -2 0 -1 0 - 7D = 1 6 -1 0 = -2 9 -1 4 -1 0

3 2 -1 0 0 -1

-2 0-2 9

-10-1 4

= -(2 8 0 -2 9 0 ) = 10,

1.0+9-3.02.0+2-3.0

kifejtünk a 3.S szerint

- 7 4 - 7 -7 0 -1 0 - 7

D .= - 8 6 -1 0 = -9 8 -1 4 -1 09 2 -1 0 0 -1

= 980 -9 8 0 = 0, Xi_ D ,

D= 0.

-7 0-9 8

-10-1 4

168

KVK-11902.5-1.S3.5-3-1.S

kifejtünk az 1. szerint

1 - 7 - 7 1 - 7 - 7-1 - 3

1 - 8 -1 0 zz: 0 -1 - 3 =30 20

3 9 - 1 0 30 20

= -20 + 90 = 70,

03 =3 2

= 6 0 -1 0 = 50,

70,D, 70 _

X, _ 2 = - = 7.z D 102 .S -1 .S kifejtünk az3.S-3-1.S 1. 0 szerint

- 7 1 4 - 72 -1

- 8 _ 0 2 -1 —

-1 0 309 0 -1 0 30

50 . X, = — = 5.

10

b)x , -4,X2 =3,X3 = - 2 .

d) X[ = 1, Xj = 0, X3 = 1 .

f ) X, = 0 , X 2 = 2 , X 3 = - l .

1 1 1 C)Xi = - , X 2 = J ,X3 = -

e)x, =1, X2 = 2 , X3 =3 .

- 3 - 2 1 6 - 2 1g)D = 1 - 3 2 = 39, D ,= -1 - 3 2

1 1 3 5 1 3

X. =•D

= -78 ,

= - 2 , mivel ez nem természetes szám, az egyenletrend

szernek nincs megoldása a természetes számok halmazán.

h)D =

5 3 0 4 7 3 0 40 5 1 6 30 5 1 6

= 0, D, =1 1 0 1 1 7 1 0 14 2 0 3 10 2 0 3

= 10.

169

KVK-1190

Mivel D = 0 és van nullától különböző módosított determináns (Dl 0), ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.

2.3.2.

a) X4 =D

D^ O .

l.O .O2.o- .o3.o .o

kifejtünk az 1. s szerint

1 1 1 1 0 0 0 12 - 3 - 2 0 2 - 3 - 2 0

- 2 3 6 - 6 4 9 12 - 6-1 -1 - 5 - 7 6 6 2 - 7

2. S+6-1.S3. s + l . s

kifejtünk a 3. o szerint

2 - 3 - 2 2 - 3 - 24 9 12 = — 16 - 9 06 6 2 8 3 0

= 2(48 +72) = 240,

= 2-168

- 93

3. s-2. s kifejtünk a 4. o szerint

1 1 1 0 1 1 1 02 - 3 - 2 1 2 - 3 - 2 1

- 2 3 6 1 - 4 6 8 0-1 -1 - 5 0 -1 -1 - 5 0

1. 0-3. o2. 0-3. o

-48+ 8 = ^ 0,

kifejtünk az 1. s szerint

1 1 1 0 0 1- 4 6 8 = -1 2 - 2 8-1 -1 - 5 4 4 - 5

- 1 2

4

- 2

4

X4 =■D4 ^-40 D 240 6

170

KVK-1190

a ) D =

b )x i= -2 .

2.3.3.

c) X3 = 3. d)X2=-4 .

- 2 j 2 - j 1 + j - 5

= -3 + 9j,5 - 4 j 2 - j

-11 + 6 j - 5

= -25 + 20j - ( - 22 + 6 + j(l2 + 1 1)) = -9 - 3j,

D ,=

= 1 0 j - ( 2 - j ) ( l + j) = 10j - (2 + l + j(2 - l ) ) =

= - 5 ( 5 - 4 j ) - ( 2 - j ) ( - l l 4 - 6 j ) =

-

egyszerűsítünk 3-mai és bővítünk a nevező konjugáltjával

D, - 9 - 3 j - 3 - j - l - 3 jD - 3 + 9j - l + 3j - l - 3 j

3 - 3 + j(9 + l) lOj 10 10

- 2 j 5 - 4 j 1 + j - l l + 6j

= 12 + 22j - (5 + 4 + j(5 - 4)) = 3 + 21j,

D,X2 =■

egyszerűsítünk 3-mai és bővítünk a nevező konjugáltjával

3 + 21j l + 7j - l - 3 jD - 3 + 9j - l + 3j - l - 3 j

_ - l + 21 + j ( - 3 - 7 ) _ 2 0 - 1 0 j _ ^ •10 " 10 ~

b)x, = l - j , X2 = j .

171

-1 + j c ) D = 1

- j 0 1

KVK-1190

D . =

^ 2 =

Ü3 =

-1 1

1 + j 0

-1 1

- 3 + j 1+j

= - l + 2 j,

= l + 3j ,

-1 + j 1

- j

-1 + j 1

- j

0 1

- 3 + j 0

-1 1

= - 4 - 2 j ,

= l - 2j,

X - — - 1 - iX . - D - 1 J-

x , = ^ = 2j .

x , = 5 l = - l .

1+j - 3 + j

d)x, = -2 + 2j, X2 = - l - 5j, X3=3 + 2j.

D

2.3.4.a) X, = 2, Xj = -1 , X3 = 0 . b)x, = 0, Xj =1, X3 = 2,X4 = 3.

c) 1. lépés: átírjuk az egyenletrendszert táblázatos alakba.2. lépés; xi kiküszöböléséhez az első sor (-l)-szeresét a második

sorhoz, (-3)-szorosát a harmadik sorhoz, ( -2)-szeresét a negyedik sorhoz adjuk.

3. lépés: X2 kiküszöböléséhez a második sor 4-szeresét a harmadik sorhoz, (-l)-szeresét a negyedik sorhoz adjuk.

4. lépés: a harmadik és negyedik sort elosztjuk (-3)-mal.5. lépés: X3 kiküszöböléséhez a harmadik sor (-2)-szeresét a ne

gyedik sorhoz adjuk.1 1 2 3 1 1 1 2 3 11 2 3 -1 - 4 0 1 1 - 4 - 53 -1 -1 - 2 - 4 0 - 4 - 7 -11 - 72 3 -1 -1 - 6 0 1 - 5 - 7 - 8

172

KVK-1190

1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 10 1 1 - 4 - 5 0 1 1 - 4 - 5 0 1 1 - 4 - 50 0 - 3 - 2 7 - 2 7 0 0 1 9 9 0 0 1 9 90 0 - 6 - 3 - 3 0 0 2 1 1 0 0 0 - 17 -176. lépés; felírjuk a redukált egyenletrendszert az utolsó táblázat alapján:

X, +X2 + 2X3 + 3X4 = 1,X2 +X3 - 4X4 = -5 ,

X3 + 9x 4 = 9,- 17x 4 =- 17 .

7. lépés: az utolsó egyenletből kifejezzük X4-et majd visszafelé haladva, behelyettesítéssel rendre megkapjuk a többi ismeretlen értékét.

X4 = 1,X3 + 9 = 9, tehát X3 = 0.X2 ~ 4 = - 5 , tehát X2 = - l .

X i - l + 3 = 1, tehát X, = -1 .

d)x, =3, X2 = - 4 , X3 = - 1, X4 = 1.

e) xi kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk:1 - 8 90 15 -1 5 0 10 -10

-3 26344

A második és harmadik sornak megfelelő egyenletek ellentmondóak, ezért nincs megoldás.

f) Nincs megoldás.

g) l . lépés: felírjuk az egyenletrendszernek megfelelő táblázatot.2. lépés: az első sor (-l)-szeresét, hozzáadjuk a harmadik és negyedik sorhoz.

173

KVK-1190

1 - 3 2 -1 1 1 - 3 2 -1 10 1 -1 2 -1 0 1 -1 2 -11 - 2 1 1 0 0 1 -1 2 -11 -1 0 3: 0 0 2 - 2 4 -1

3. lépés: észrevehető, hogy a második és harmadik sor megegyezik, a negyedik sornak megfelelő egyenlet ezekkel ellentmondó, hiszen a negyedik sorban az ismeretlenek együtthatói a második, illetve a harmadik sorban levők kétszerese, míg ez nem teljesül a választóvonal mögötti konstansra, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.

h)Nincs megoldás.

i) 1 . lépés: átírjuk az egyenletrendszert táblázatos alakba.2 . lépés: célszerű először X2-t kiküszöbölni, ehhez az első sor ( - 8)-

szorosát a második sorhoz, 2-szeresét a harmadik sorhoz, az első sort a negyedik sorhoz adjuk.

3. lépés: a harmadik és negyedik sor megegyezik, a második sor pedig ezek (-2)-szerese, ezért kettő közülük elhagyható, hiszen a nekik megfelelő egyenletek ekvivalensek. Hagyjuk el például a második és harmadik sort!2 -1 3 1 2 -1 3 1 2 - 1 3 12 - 8 22 - 8 - 14 0 - 2 - 16 7 0 183 2 - 5 6 7 0 1 85 1 - 2 7 7 0 1 8

4. lépés: felíijuk a redukált egyenletrendszert:2x, - X2 + 3X3 = 1,

7x, + X3 = 8 .5. lépés: végtelen sok megoldás van, egy ismeretlen paraméternek

választható, hiszen három ismeretlen, de csak két egyenlet van. Válasszuk például xi-et paraméternek!

6. lépés: kifejezzük az X2, X3 ismeretleneket az xi paraméterrel:X 3 = 8 - 7 X i ,

X2 = - l + 2x, + 3X3 = -1 + 2X[ +24-21Xj = 23-19x, .

174

KVK-1190

A megoldás: X2 = 2 3 - 1 9 x i , X3 = 8 - 7Xj.

j) X; = 3 - X 2 - 4X4, X3 = - l + X 2 + 3 X 4 .

k)Az xi és X2 ismeretlenek kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk, ahol az utolsó sor elhagyható.

Redukált egyenletrendszer:Xi - X 2 +X3 +X4 = 1,

X2 + 2X3 - X 4 = 2,- X 3 = 2.

1 - 1 1 110 1 2 - 1 2

0 0 - 1 02

0 0 - 1 02Végtelen sok megoldás van, egy ismeretlen paramétemek választható, például X4.A megoldás: xi = 9, X2 = 6 + X4, X3 = - 2 .

1) Xj = 3 + X4 + X 5 , X 2 = 2 - X 4 ~ X 5 , X 3 = 4 - 2 X 5 .

11 am)x, = y X 2 - 4 X 4 X 3 = 4X2 - 3 X 4 .

n)x, = 6 - X 3, X2 = -2 + X4 -

o)Az xi ismeretlen kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk, amelyből a második és harmadik sor elhagyható.

-100

2 4 4 14 4 14

0 - 2 - 7 - 2

72222

-11

Redukált egyenletrendszer -X , + 2X2 + 4X3 + 2X4 = 7,

2X2 + 7X3 + 2X4 = 11.

Végtelen sok megoldás van, két ismeretlen paramétemek választható, például X3, X4.

11 7Megoldás: X, = 4 - 3 X 3 , ^ 2 = ---------- X 3 - X 4 .

2 2

Konkrét megoldás például: X3 = 0, X4 = 0, Xj = 4, Xj =

175

p)X[ = 9 - 2X4, Xj = -1 8 + 5X4, Xj = -1 3 + 4X4.Konkrét megoldások például: X4 = 0, Xj = 9, Xj = -18 , X3 = -13. X4 =4,Xi =l ,Xj =2,X3 =3.

2.3.5.1. lépés: felírjuk az egyenletrendszernek megfelelő táblázatot.2. lépés; xi kiküszöböléséhez az első sor (-2)-szeresét a második

sorhoz, 3-szorosát a harmadik sorhoz adjuk.3. lépés: X2 kiküszöböléséhez a második sort a harmadik sorhoz

adjuk.

KVK-1190

1 2 -1 1 2 1 2 -1 1 22 3 - 3 - 2 4 0 -1 -1 - 4 03 - 5 4 1 c 0 1 1 4 6 + c

1 2 -1 1 /20 -1 -1 - 4 00 0 0 0 6 + c4. lépés: az egyenletrendszer akkor oldható meg, ha 6 + c = 0, azaz

c = - 6.5. lépés: a második sort végigszorozzuk (-l)-gyel és felírjuk a re

dukált egyenletrendszert.x, +2X2 -X3 +X4 =2,

X2 +X3 + 4X4 = 0.6. lépés: végtelen sok megoldás van, két ismeretlen paramétemek

választható például X2, X4.7. lépés: kifejezzük xi, X3-at a paraméterekkel.X3 = -X 2 - 4X4,Xj = 2 - 2Xj +X3 - X4 = 2 - 2x 2 “ ^2 “ 4x4 “ ^4 == 2 - 3Xj - 5X4 .

Tehát a megoldás:X, = 2 - 3x 2 - 5 X 4 , X3 = - X 2 - 4x 4.

176

a ) l. lépés; felcseréljük az első és második sor sorrendjét és felírjuk az egyenletrendszernek megfelelő táblázatot.

2. lépés: xi kiküszöböléséhez az első sor ( -2)-szeresét a második sorhoz, (-3)-szorosát a harmadik sorhoz adjuk.

3. lépés: a második sort végigszorozzuk (-l)-gyel, most Xs-at célszerű kiküszöbölni, ehhez a második sort hozzáadjuk a harmadik sorhoz.

KVK-1190

2.3.6.

1 2 0 0 1 2 0 o| 1 2 0 02 1 -1 0 0 - 3 -1 0 0 3 103 1 -1 0 0 - 5 -1 0 0 - 2 0 0

4. lépés: felírjuk a redukált egyenletrendszert.X, + 2x 2 3x2 +X3 = 0,

- 2X2 = 0 .5. lépés: az utolsó egyenletből X2 = 0 , visszafelé haladva kiszá

mítjuk X3, xi értékét is. Megoldás: Xj = 0 ,X2 = 0 ,X3 = 0. Az egyenletrendszernek csak triviális megoldása van.

b)xi kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk:

1 - 2 - 4 1 - 3 00 -1 - 6 -1 - 5 00 -1 - 6 -1 - 5 0

A második és harmadik sornak megfelelő egyenletek azonosak, így például a harmadik elhagyható.

A redukált egyenletrendszer;X , - 2x 2 - 4 X 3 + X 4 - 3 X 5 = 0,

X2 + 6X3 + X 4 + 5X5 = 0 .

Végtelen sok megoldás van, három ismeretlen paraméternek választható, például X3, X4, X5.A megoldás: x , = - 8X3 - 3X4 - Xj = - 6X3 - X 4 - 5x j .

177

c) X, = 4X2 - 2X3, X4 =X2 ~X3.

d)Xi = - X 2 - 4X4, X3=X2+3X4-

e) Az első és második egyenlet sorrendjét felcseréltük, xi és X2 kiküszöbölése után az alábbi táblázatot kapjuk:

KVK-1190

1 0 - 2 0 1 - 7 0 0 10

1 1 4 1

-3 -1

A harmadik és negyedik sornak megfelelő egyenletek ekvivalensek, így például a negyedik sor elhagyható.

0 0 20 - 6 - 2 (

A redukált egyenletrendszer:Xj - 2X3 +X4 +X5 = 0,

X2 - 7X3 + 4X4 +X5 =0,10X3 - 3X4 - X 5 = 0.

Végtelen sok megoldás van, két ismeretlen paraméternek választható, pl. X3, X4.A megoldás: X, = - 8 X 3 + 2 X 4 , X2 = - 3 X 3 - X 4 , Xj =1 0 X3 - 3 X 4 .

f) Csak triviális megoldás van: x, = 0 , X2 =0, X3 = 0 , X4 = 0 .

g) X, = 2 X 4 - 2 x 5 , X2 = - 3 x 4 + 3 X 5 , X3 = 0 .

h)Xj = - X j - 2X5, X4 = - 2x 2 +X3.

178

KVK-1190

3. VEKTORGEOMETRIA

3.1. Alapfogalmak, alapműveletek

3.1.1.a )i(l;0 ;0 ), j(0; 1; O), k(0;0; l ) ,

j = k = l .

b ) (8 ;- í; l) , |a| = ^8' + ( - 4 f = 9

c)b(-2;0;3), b = V Í 3 .

3.1.2.a)vi=(-2;-7;2), V 2(2 ;7 ; -2 ) .

b )v 3 (-5 ;-2 3 ;ll). c) V4

3.1.3.a) AC = c - a , ahol a és c az A és C pontok helyvektorai, koordinátá

ik megegyeznek A és C koordinátáival.AC(3; -1 ; 2) CA = -AC, így CA(- 3; 1; - 2 ) ,

AC = CA =V9 + 1 + 4= VÍ4 .

b)A B(l;-1; 4 ), AB = 3 VI

c) BC(2; 0 ; - 2), B C = 2^/2

179

3.1.4.

KVK-1190

a) A nullvektor iránya megállapodás szerint tetszőleges, ezért párhuzamos a-val.

3 3b)A megfelelő koordináták hányadosa - —, tehát c = - —d. A két

vektor párhuzamos.

c) Nem párhuzamosak.

3.1.5.a) Igen. b)Nem.

3.1.6.1

a) Az a irányába mutató egységvektor; = — aa

= V25+ 11 + 64 =10, e ^ = ^ a , í g y e ^ =

b)Ci5 5

c)e<

1, VíT, 42 ’ 10 ’ 5

Vh ’ V Í 4 ’ VÍ4

3.1.7. A három oldal oldalvektora: AB(-3; 0; - 4 ) , BC(7; 0; l),

CA(- 4; 0; 3) (a vektorokat ellenkező irányítással is vehetnénk).

K = AB + BC CA = 10 + 5 V2 egység .

A háromszög egyenlőszárú derékszögű háromszög, mert

AB = CA = 5 és AB CA =B C

3.1.8. A háromszög legnagyobb belső szöge a leghosszabb oldalával szemben van.Mivel AB = Vl29 > BC = V9Ö > CA = , ezért a háromszög

legnagyobb szöge az AB oldallal szemben, a C csúcsnál van.

180

3.1.9. A háromszög szabályos, ha oldalai egyenlő hosszúak. A B (-8 ;6 ;10), BC (2;-1 4 ; O), CA(ó; 8 ; - lO) ,

= I0 V2 , tehát a háromszög szabályos.

KVK-1190

AB BC CA

3.1.10.3

a)C(4; 0; -5 ) . b)A súlyvonal hossza: — egység.

3.2. Vektorok szorzása

3 .2 .1 .a)ab = 3 - ( - 2 ) + 2 - 5 - 4 - 3 = -8 .

Mivel ab = -8 < 0, ezért a és b hajlásszöge tompaszög.

b)c és d hajlásszöge hegyesszög.

c) e és f hajlásszöge derékszög.

3.2.2.Ha az A csúcsnál derékszög van, akkor az AB(x + 1; 0; - 4 ) és

AC(4; 0; - 3) vektorok skaláris szorzata nulla. Ez x - ^ esetén teljesül.

3.2.3.a) Jelöljük a hajlásszöget a-val! A skaláris szorzat definíciója alapján

ab - 2 - 1 - 3 1 cosa = ----- = —r=— = —7=— = — , tehat a = 135 .

a b V2-V9 V2-3 yÍ2

b)Hajlásszög ~ 54,79°.

3.2.4.a)a = 30°, p = 60°, y = 90°,

T = 7 • V3 területegység.

181

KVK-1190

b)cosa =A B A C

AB AC 2a =120°.

r> Acosp = ^ r - ^ T = r « 0,802955, p ~ 36,59°.

BC BA

y - 1 8 0 ° - ( a + p)«23,41° .

T = - 2

AB AC sinl20° = 3V3 területegység.

i •

J k2 - 4 - 3 - 4 - 3 2

- 3 2 - 4 = i - j + k1 5 3 5 3 1

3 1 5

3.2.5. A kocka egy csúcsból induló élei páronként merőlegesek egymásra és hosszuk egyenlő.a| = |b| = |c| = 15 és ab = bc = ca = 0, tehát a három vektor egy

kockát feszít ki.

3.2.6.

a) a X b =

= i(l0 + 4 ) - j ( - 1 5 + 12) + k ( - 3 - 6 ) = 14i + 3 j - 9 k .

b) dx c = 45i + 5j + 40k .

c) e X f = - i - j - 2k .

3 .2 .7 .a(bxc) = 0 .

3.2.8. A háromszög területe: ^ = ~ x AC .

(Bármelyik egy csúcsból kiinduló két oldalvektorát használhatnánk.)A B ( - 3 ; - 6 ; - 6 ) , A C ( 1 ; - 3 ; - 5 ) .

182

KVK-1190

A BxA C= = 1 - J + ki j k

- 3 - 6 - 6 1 - 3 - 5

= i(3 0 -1 8 ) - j( l5 + 6) + k(9 + 6 )= 1 2 i-2 1 j + 15k,

- 6 - 6 - 3 - 5

- 3 - 6 1 - 5

- 3 - 6 1 - 3

ABxAC

^ _ 9-VlÖ

= V144 + 441 + 225 = V ^ = 9VÍÖ,

területegység.

3.2.9.

a) AB AC = 3, BC = V s, a legnagyobb szög tehát a B

csúcsnál levő p szög, a legkisebb szög a C csúcsnál levő y szög. Mivel p + Y = 180° - a , ezért elég a-t kiszámítani.

cosa = ^ , a = 45°, így P + y = 135° .V2

b)A BxA C = 2 i - 2 j - k , 1T = - 2

3.2.10.

a)? = 0.

AB X AC = — területegység . 2

3.2.11.a) A tompaszög a háromszög leghosszabb oldalával szemben lehet.

A B ( - l ;0 ; - 2 ) , B C (0 ;-1 ;2 ), CA(1; 1; O),

= V5,AB BC = V5, C A = V 2 , AB BC > CA

Két tompaszög nem lehet, ezért a háromszög nem tompaszögű.

183

KVK-1190

b) Az A csúcsból induló magasság: m =2T ABxAC

BC BC

A B xA C =i j k

-1 0 - 2 -1 -1 0

= -2 i + 2j + k ,

ABxAC = V4 + 4 + l= 3 ,3 SVS

m = - p = —— egyseg.v5 5

3.2.12.a) A és C csúcsnál levő szögek: 120°,

B és D csúcsnál levő szögek: 60°,

b) T = 100 • Vs területegység.9 9^f5

3.2.13. T = 3 területegység, BT hossza: - p = ------egység.V5 5

3.3. Vektorok geometriai alkalmazása

3.3.1.a )x = - 2 - t , y = 5 + 2t, z = l + 3 t .

Még egy pont az egyenesen: A(-3; 7; 4) (t = 1 választással).

b)x = 3 - 4 t , y = 5 + 3t, z = -2 + 12t .Még egy pont az egyenesen: B(7; 2; -14) (t = -1 választással).

3.3.2.a)x = 3 + 2t, y = 1 + 3t, z = 2 + 1 vagy x = 1+ 2t, y = -2+ 3t, z =1 + 1.

b) a X b merőleges a-ra és b-re is, ezért irányvektomak vehetjük az aX b = v(3; 4; - 6 ) vektort.Az egyenes egyenletrendszere: x = 6 + 3t, y = -3 + 4t, z = 4 - 6 t .

184

KVK-1190

3.3.3. X = 2t, y = -t, z = 2t.Az A pont rajta van, a B pont nincs rajta az egyenesen.

3.3.4.a) A két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak.

( 3ei irányvektora: vi(2; -3; 4), ea irányvektora \ ^ = -1 ; —; - 2V 2

A megfelelő koordináták hányadosa: - 1 f - 2 1

■ ~ " 2 ’azaz V 2 = --V i.

22 - 3 4Mivel Vi és V2 párhuzamosak, ezért az egyenesek is párhuzamosak.

b)Nem párhuzamosak.

3.3.S.a) X - y + 2z - 3 = 0, a sík illeszkedik az A pontra.

b ) 3 x - 2 y - z - l l = 0 , a sík nem illeszkedik az A pontra.

3.3.6.a) A síkot egy pontja és egy, a síkra merőleges vektor határozza meg.

Pontnak válasszuk pl. az A-t (nyilván bármelyiket választhatjuk). Síkra merőleges vektort kapunk, ha vesszük a sík két vektorának,például AB, AC-nek a vektoriális szorzatát.

A B (-3 ;1 ;2 ), A C ( -1 ; -1 ;3 ) ,

i j k— — ■' 1 2 A B xA C = - 3 1 2 = i - j

- 1 - 1 3= 5i + 7j + 4k .Tehát normálvektomak n(5; 7; 4)-et felhasználva a sík egyenlete: 5 ( x - l ) + 7 y + 4(z + l) = 0 .Rendezés után: 5x + 7y + 4 z - l = 0 .

- 3 2 -1 3

+ k- 3 1 -1 -1

185

KVK-1190

A sík egy pontját megkapjuk, ha pl. x-nek és y-nak választunk valamilyen értéket, amelyeket a sík egyenletébe behelyettesítve megkapjuk a pont harmadik koordinátáját.

Legyen pl. x = 0, y =0, ekkor z = — .

A D r0; 0; — a sík egy pontja.

4

b) X + 33y + 14z-167 = 0, a sík még egy pontja: D(l; 1; 9,5) .

3.3.7. 5 x -4 z + 35 = 0 .

3.3.8. Az AB oldal felezőpontja: F\

Az egyenes v irányvektora merőleges a síkra, tehát annak bármely vektorára, így például AB és AC vektorokra. Az irányvektor tehát párhuzamos az AB x AC vektorral.

AB X AC = 6i + 6j - 3 k , vegyük ennek ^ -szorosát, v(2; 2; -1).

Az egyenes egyenletrendszere: x = ^ + 2 t , y = 2t, z = 2 - t .

3.3.9.a) Ha van közös pontjuk, akkor a koordináták kielégítik az egyenes és

a sík egyenleteit is. A sík egyenletébe behelyettesítjük az egyenes paraméteres egyenletrendszerből x, y, z-t:-1 + 2t + 5 - 3t - 6 + 4t - 1 = 0 .Rendezés után 3t = 3, azaz t = 1. A síknak és az egyenesnek tehát egy közös pontja van, az egyenes t = 1 paraméterértékhez tartozó pontja: x = 1, y = -2, z = -2.A közös pontjuk: D(l; -2; -2).

186

b)Az a) feladat megoldásához hasonlóan járunk el:5 + 5t + t + 2 - 6 t = 0 . Rendezés után 7 = 0, ami nem teljesülhet, tehát az egyenes egyetlen pontja sincs a síkban. Az egyenes párhuzamos a síkkal.

c) Az a) feladat megoldásához hasonlóan járunk el:10 + 5t + t - 1 0 - 6 t = 0 .Rendezés után 0 = 0, tehát bármely t esetén teljesül az egyenlőség. Az egyenes a síkban fekszik.

3.3.10. Ha az egyenes párhuzamos a síkokkal, akkor merőleges a két sík normálvektorára, ni-re és n2-re, vagyis párhuzamos (ni x n2)-vel. A síkok normálvektora:ni(2; -4; 6), n2(3; 0; 2).

i j k

KVK-1190

n, xHj =- 4 6

0 2 - J2 6 3 2

+ k2 - 43 0

2 - 4 6 = i3 0 2

- - 8 i + 14j + 12k .

Iránjrvektomak vehetjük a v = ^ **2)vektort: v(4; -7; -6).

Az egyenes egyenletrendszere: X = -2 + 4t, y = 3 - 7 t , z = l-6 t .

3.3.11.2y + z+ 1 = 0 .

3.3.12.a) Az egyenes egyenletrendszere: x = l - t , y = l + t , z = 2 + t .

b) T = — területegység .

3.3.13.a) Az A csúcsnál tompaszög van.

b)A súlyvonal egyenesének egyenletrendszere:

x = l , y = 2 + ^ t , z = - l + t .

187

c) A háromszög síkjának egyenlete: 2 x - 2 y + z + 3 = 0.

3d) T = — területegység.

3.3.14. A két sík párhuzamos, tehát van ilyen sík. A keresett sík normálvektora párhuzamos a két sík normálvektorával, így az n ( l ; 1; -2)-t választhatjuk normálvektomak. írjuk fel az első sík egy tetszőleges pontján, például P(l; 2; 1) ponton átmenő, a síkokra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét: x = l + t , y = 2 + t, z = l - 2 t .

f i 4 l 'Ez az egyenes a másik síkot D

KVK-1190

3 ’ 3 ’ 3,'2 5 5 3 ’ 3 ’ 3

pontban döfi. A kere-

felezőpontjára, ígysett sík illeszkedik a PD szakasz F\

egyenlete: x + y - 2 z + l = 0.

3.3.15. 4x + y + 3 z - 6 = 0 .

3.3.16. Jelöljük a B pont helyvektorát b-vel, a D pontét d-vel, amely d = b + BD alakban állítható elő és BD = BA + B C .Számítsuk ki a BA, BC vektorokat:

BA(2; -1 4 ; O), B C (-6 ; - 8 ; lO), így BD (-4; -2 2 ; lO), tehát d ( -3 ; - 1 6 ; 8).A D pont koordinátái megegyeznek d koordinátáival, így a paralelogramma negyedik csúcspontja: D(-3; -16; 8).A BD átló egyenesének irányvektorának vegyük a BD vektor

-szeresét: v(2; 11; -5).

A B pontot használva, az átló egyenesének egyenletrendszere: x = l + 2 t, y = 6 + l l t , z = - 2 - 5 t .

188

4.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

4.1. Sorozatok

4.1.1.a )3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; 3,00001; 3,000001. Szigorúan monoton

csökken, konvergens, határértéke 3.

3, 3. 9. 15. 33, 632 ’ 4 ’ 8 ’ 16’ 32’ 64 '

Mivel egy negatív valós szám pozitív egész kitevős hatványai váltakozó előjelűek, ezért a sorozat elemei váltakozva kisebbek illetve

f 1Ynagyobbak - 1-nél. Így a sorozat nem monoton. A — abszolútV 2^

értéke n növekedésével csökken, 0-hoz tart. Tehát a sorozat elemeinek -1 -töl való eltérése 0-hoz tart. így a sorozat konvergens, határértéke -1 .

c) 1; -V 2 ; V3; -2 ; Vs, -V 6 . Nem monoton, divergens, nincs határértéke.

d)l; 0; —; 0; — ; 0. Nem monoton, konvergens, határértéke 0.9 23

e)5; 3; 1; 1; 3; 5. A negyedik elemtől kezdve szigorúan monoton nő, divergens, határértéke + oo.

f) 9990; 9900; 9000; 0; - 90000; - 99000. Szigorúan monoton csökken, divergens, határértéke - oo.

n. A . - A . n 2 ’ 2 ’ ’ 2 ’ 2 ’ ■

Az előjel váltakozása miatt nem monoton. Mivel bármely indextől

KVK-1190

189

kezdve van a sorozat elemei között és is, nincs olyan2 2

valós szám, amelytől ezen elemeknek való eltérésének abszolút ér

téke kisebb lenne, mint például ^ . Tehát a sorozatnak nincs határ

értéke, divergens.

1 3 7 15 31 63 ,h )—; —; —; — ; — ; — . Szigorúan monoton no, konvergens, ha- ^2 4 8 16 32 64 ®tárértéke 1.

i) 120; 60; 20; 5; 1;6

Mivel n növekedésével a nevezőben álló n! értéke is növekszik, ezért a sorozat szigorúan monoton csökken. A sorozat elemei a hatodik elemtől kezdve 1-nél kisebbek, s az n-edik elem nevezője az előző elem nevezőjének n-szerese. A nevezők minden határon túl való növekedésével a törtek 0-hoz tartanak. Tehát a sorozat konvergens, határértéke 0.

4.1.2.Figyelje meg, hogy egy sorozat első néhány eleméből általános esetben még nem tudjuk megsejteni a határértéket!Ebben a feladatban és a továbbiakban is egy szorzat vagy hányados határértékének megállapítjuk a „típusát”, és ezt az egyenlőségjel alatt zárójelben megadjuk. (Azaz szorzatnál a tényezőknek, hányadosnál a számlálónak és a nevezőnek külön kiszámítjuk az adott helyen vett határértékét.)

a) a, = -4; &2 - -27; aj = -58; = -91; de pl. ajo = 4005.

KVK-1190

lim a„ = lim/n ^ 1 1 1 10- +5- ,

\

V n n ^/= + 00, felhasználva, hogy

(+00.1)

10- —^ 1 0 - 0 = 0, é s 5 - ^ - > 5 - 0 = 0 ,h a n ^ + o o .n n^

190

KVK-1190

7. 9. 11. 13üj 3.9 — 5 3-0 — , 3.4 — , 3,c —

' 3 ' 8 ^ 15 ' 24

1 +lim a„ = lim ------ ^ = Hm

n—>+00 n—>+00 — 1 n- +Qo

o -----2 2n = 0 .

c)0,71; 0,71; 0,82; 0,92. lim a„=+oo.n->oo

d) a, =2,41; a =3,15; aj =3,73; a =4,24,

Vn +1 + Vnhm a„ = h m ---------------= +00.n +® n^+” (n +1) - n

4.1.3.a) n> 10001.

a „ - A4n + 10 4 343 n - l 3 3 (3 n -l)

sül, ha < — , hiszen34

1< — telie- 10

pozitív, mert n > 1. Ebből3 (3 n -l) 10^ 3 (3 n -l)

átrendezéssel kapjuk, hogy 340 < 9n - 3, azaz n > 39.

c) lim a„ = 1, és 1 - a„ = 1 - a„, mivel 1 - a„ > 0.n- +QO

2” 11-------------< — , azaz 900 < 2" teljesül, ha n > 10.

2 " +100 10

4,2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata

4.2.1.a ) x € R \{ 2 ; - l} . b ) x e R \{ - l ;0 ; l} .

191

c) - 2 - 3x > 0, és X 0, így X €

d)x e ] - o o ; - 2 ] U [ 2 ; + oo .

KVK-1190

2

e) X > 0 és 1 - VX 0, azaz x 1, így x e [ 0; 1 [ u J1; + oo

f) x e R \{ 0 } .

g) cos X > 0, azaz x g - — + k-2n; —+ k-27i2 2

, ahol k e Z ,

h)Csak pozitív kifejezéseknek értelmezzük a logaritmusát, így 1 + X------> 0 . Ez pontosan akkor teljesül, ha l + x > 0 é s l - x > 0 ,1 -x

vagy l + x < 0 és l - x < 0 . Összesítve: -1 < x < 1. (Az utóbbi két egyenlőtlenség nem teljesülhet egyszerre.) Tehát x e ] -1; 1

i) X € R \{ o }.

4.2.2.a)f(g(x)) = sinVx, x g [ 0 ; + o o [ ;

j) X € R \{ 1 ]

g(f(x)) = Vsinx, X G [ k • 2k; tih-k• 2ti ], ahol k g Z .

b)f(g(x)) = e"% x g R; g(f(x)) = -e% x g R .

c)f(g(x)) = g(f(x)) = lg lgx .lg x > 0 , a z a zx > l, így x g ] 1 ; + oo .

/ \ 71----- X

v2 yd)f(g(x)) = tg —- X , XGR\{k-7i } ,ah o lk eZ ;

71 71g(f(x)) = —- tg x , x g R\< —+ m-7i [>,aholmGZ.

192

KVK-1190

e)f(g(x)) = -

i1-

x ;

-1X

A tört nevezőjében a gyök alatt csak pozitív szám állhat, ezért -1 > 0 , azazx^ >1. Ez teljesül, ha x e ] -o o ;-1 [U] 1;+<»

g(f(x)) =11

A gyök alatt nem állhat negatív szám, ezért 1 - x^ > 0, azaz x < 1. Ez teljesül, ha x e [ -1; 1 ].

f)f(g (x)) = — x e R \ | i | ; g(f(x)) = 3 — -1, x € R \{ o } . (3 x - l) [3J X

4.2.3.a) h(x) = cos X, g(x) = x ^ g(h(x)) = cos^ x .

b)h(x) = e% g(x) = ctgx, g(h(x)) = c tg e \

c) h(x) = In X, g(x) = - , g(h(x)) =X Inx

d)h(x) = arctgx, g(x) = 10% g(h(x)) =

e)h(x) = e% g(x) = e% g(h(x)) = e^ \

f) h(x) = sh X, g(x) = -x , g(h(x)) = -sh x ,

4.2.4.a)D f szimmetrikus a 0-ra, és bármely x e esetén f (-x ) = 0.

Mivel f (-x ) = f(x) = - f(x ) = 0 is teljesül, a függvény páros és pá-

193

KVK-1190

ratlan is. Megjegyzés: Azon függvények, melyek egyszerre párosak és páratlanok, pontosan a következők: f(x) = 0, szimmetrikus a0-ra.

b)Páros. c) Páros.

1d)Df =R\<{± —}•, ez szimmetrikus a 0-ra. Bármely x e D,. esetén

f(-x ) =3(-x) _ -3 x

4 ( - x ) ^ - l “ 4x^-1= - f ( x ) , tehát a függvény páratlan.

e)Mivel D f = R \{ - l} nem szimmetrikus a 0-ra, nincs értelme paritásról beszélni.

f) Páros. g) Páratlan.

f (-x ) = ln\

h )D f= J -e ;e [ , ez szimmetrikus a 0-ra. Bármely x € Df esetén

e - x ve + xy

= lnV e - x

= - ln^ e -x ^

e + x= - f (x ) , tehát a

függvény páratlan. (Felhasználtuk, hogy lnx“’ = - ln x , hiszen az értelmezési tartományuk megegyezik, a függvényértékek egyenlősége pedig az ismert logaritmus azonosságból adódik.)

i) Nem páros és nem páratlan.

j) Df = R \{k -2 } ,ah o lk egész, ez szimmetrikus a 0-ra. Jelen esetben a függvény ábrájából a legkönnyebb eldönteni, hogy a függvény páratlan, hiszen grafikonja szimmetrikus az origóra. (4.1. ábra)

k)Páros.

4.1. ábra

194

KVK-1190

4.2.5.Ebben a feladatban f(A) = H jelöli, hogy az A halmazt az f(x) függvény a H halmazra képezi le.

a) A természetes számokat négyzetre emelve a négyzetszámokat kapjuk, kivéve a 0-t, így f (A) = {négyzetszámok}\{o}. Ha pedig-1 < X < 1, akkor 0 < < 1, s bármely [0;l[-beli valós szám előáll -l;l[-beli valós szám négyzeteként (például a gyökének négyzete

ként), így f(B) = [0;l[. Hasonlóan f(C) = [0;+oo .

b)f(A )-{0}, f(B) = f(C) = [ - l;i; .

c) f(A) = {pozitív páratlan egészek}, f(B) = [- l;+oo[, f(C) = }- oo;-l .

d )f(A ) = N, f(B) = ^o );-l[, f(C) = R ".

4.2.6.Ebben a feladatban és a továbbiakban is lim f(x) = b" azt jelenti,x^ahogy az f(x) függvény az a helyen a b-nél nagyobb számokon keresztül tart b-hez, limf(x) = b“ pedig azt, hogy f(x) a b-nél kisebbx aszámokon keresztül tart b-hez. Természetesen a limf(x) = b meg-x- aoldás is helyes.

a) f(x) = - ( x - 3 ) ^ +4, D f= [0 ;5 [ , R f = [ - 5 ;4 ] , korlátos. x -tm :P ,(l;0 ), y -tm :P 2 (0 ;-5 ).A [O; 3 ]intervallumon szigorúan monoton növekszik, a [ 3; 5 [ intervallumon szigorúan monoton csökken. Konkáv. lim f(x) = -5"^, lim f(x) = 0^. (4.2.a. ábra.)x 0+ x- 5~

b) Df = R \ {O}, Rf = ] 1; + 00 [, alulról korlátos. Páros.Nem metszi a tengelyeket.A ] - oo; 0 [ intervallumon szigorúan monoton csökken, a ] 0; + oo

intervallumon szigorúan monoton növekszik.

195

KVK-1190

A ] - oo; 0 [ intervallumon és a ] 0; + oo [ intervallumon konvex.

lim f(x) = lim f(x) = +00, lim f(x) = T . (4.2.b. ábra.)x- -oo x- +oo x-^0

a) b)

c)

c) Az fjíx ) = — x + 8 függvény képe egyenes, mely az fjÍTi) = 4 és n

f2(271) = 0 függvényértékek segítségével felrajzolható.Df = R, Rf = [ 0; 4 ], korlátos, periodikus, y - tm : Pj(0; 0).A függvény további jellemzését a ] 0; 2ti ] periódusban adjuk meg: X - tm : ?2 (2k; 0).A ] 0; 71 ] intervallumon konstans (monoton nő és csökken), a

7i; 271 ] intervallumon szigorúan monoton csökken.Konkáv, mert az intervallumon belül bármely két pontját összekötve, a húr nem megy a függvénygörbe fölé. (A ] 0; 7i ] intervallumon konkáv és konvex.) lim f(x) = 0^, lim f(x) = 4.x 0~ x- 0

196

Az f(x) függvénynek a + co -ben nem létezik határértéke. Ha ugyanis az x„ =n-27i sorozaton keresztül tartunk a +oo-be, akkor a függvényértékek sorozata f(x„)= f(n-27i) = 0 a 0-hoz tart, ha az x„=7i + n-27i sorozaton keresztül, akkor f(x„)= f(7i + n-27i)= 4 pedig a 4-hez. (4.2.c. ábra.)

KVK-1190

4.2.7.

a) lim (-2x^ + x) = -2 Jiv2y

+ - = 0. 2x^-

2

lim (-2 x ^ + x ) = - 00.X - ^ - o o - o o + ( - o o )

lim (-2x^ +x) = lim -2x"X - ^ + o o - 0 O + ( + Q o ) x -^ + 0 0

, _ i . i2 X

= — 00 .( - C 0 - 1 )

1Felhasználtuk, hogy lim x = +oo, és lim — = 0.X -^ + O O X - ^ + 0 0 ^

A fentihez hasonlóan általában is belátható, hogy a racionális egész függvényeknek a + oo -ben (illetve - oo -ben) vett határértéke megegyezik a legmagasabb fokú tagnak a +oo-ben (illetve -oo-ben) vett határértékével.

b) lim f(x) = - 00, lim f(x) = +oo.

x^+x^ 0^+0^c) hm --------- = hm --------- = 0.x o i_ 2 x x ^ o i-2 -0

x^+x^h m --------- = hmx -oo i_ 2 x

+ 0 0

= - cxd:

/

x^ X = limX -QO

1 ^ 2 X- 2 x 1- ‘

2 x ;

— A 2 1 ^

2xy(-00-1)

V V

x^+x^ h m --------- = hml - 2 x

1------X

2

1 + -2 X

1 -2x

= - 0 0 .(-00-1)

197

KVK-1190

A fentiekhez hasonlóan általában is belátható, hogy a racionális törtfüggvényeknek a + 00-ben (illetve - 00-ben) vett határértéke megegyezik a számláló és a nevező legmagasabb fokú tagjainak hányadosának a + 00 -ben (illetve - 00 -ben) vett határértékével. Ezt a későbbiekben használni fogjuk.

x + x 1lim ----- — = + 00, felhasználva, hogy x < — esetén 1 - 2x > 0.x^-2

1- l - 2 x

x^+x^ 1lim --------- = - 00, felhasználva, hogy x > — esetén 1 - 2x < 0.. 1; l - 2 x (X] ’ 2

d) lim f(x) = -4, lim f(x ) = -4, lim f(x ) = -oo, lim f(x ) = +oo.x -00 X+QO x -2~ x -2"

e) Összetett függvények esetén a határértékszámítást belülről kifelé haladva végezzük, akárcsak a fíiggvényértékszámítást.

i 1lim e ’‘ = 1 , hiszen lim — = 0 , és lim e’ = 1 .

x^-00 x^-00 ^ x^O

1 1lim e"" =1^, hiszen lim — = 0^, és lim e"" =1^.

x^+00 x->+oo ^ x O"

1 1lim e"" =0^, hiszen lim — = - 00, és lim e"" = 0^.x- 0 x O X x -QO- 1

lim e ’' = +00, hiszen lim — = +00, és lim e"" = +00 .x- 0 x O X x +00

pXí) lim — 0 , lim — — 0% lim — —

X->-00 X " 1 ' X+QO X ' 1 ' +00 X +00

. 0 y

198

KVK-1190

g) lim Inx^-r

r i+ x ^ r i+ x ^= - 00, hiszen lim[ l - x j x -l* U - x J

= 0 \

^1 + x^ = +CO, hiszen limr i+ x ^

lim In = +00x^r { í - x j x^r U -X y

h) lim Inx ±oo

lim Inx -l*

1 + X

1 -x 1 + X

= 0, hiszen lim = -1, így limX±QO _ ^ J X+QO

X + 1

- X + 1= +1.

lim In

1 -x 1 + X

= - 00, hiszen lim1 + X

1 - X= +00, hiszen lim

x l*

1 -x 1 + X

= 0 ^

1 -x= +0O.

i) lim f(x) = - 00, lim f(x) = +oo.x->0“ x O’"

4.2.8.a ) D f = ] - o o ; + Go [, lim f(x ) = -oo, lim f(x ) = +oo.

b)Df = ]-o o ;- l[U -1;1 U]l;+oo[, lim f(x ) = 0"‘, lim f(x) = +co,x - ^ - o o x-^-1

lim f(x) = -oo, lim f(x) = +oo, lim f(x) = -oo, lim f(x ) = 0".x ^ - r x - ^ r x ^ l - " x - » + o o

c) Df = ] - o o ; - l [U ]-l;+ o o .

lim = l i m ^ = l. lim ^x^±®x^+2x + l x- ±co (x + 1) ‘ 'i

= + 0 0 ._i_'

d)Df = ]0 ; +00 [, lim f(x) = lim f(x) = + 00,V n+ V_x O

e )D f= l0 ; + o o , lim f(x )= lim f(x) = +oo,x- 0 x +co

199

KVK-1190

f) Df = ] - oo; 0 [U ] 0; + 00

lim arctg— = 0“, hiszen lim — = 0”, és lim arctgx -- 0“ .X- -QO ^ x^-oo ^ x-^0

1 1 lim arctg — = — , hiszen lim — = -oo, és lim arctg x = — .x->o X 2 X x^-co 2

Mivel a függvény páratlan, ezekből következnek az alábbiak:

1 * 1 * 1 + hm arctg—= — ,es hm a r c tg -= 0 .X 2 X

g)Df = ] - o o ; + o o [, lim f(x ) = + o o , lim f(x ) = 0^.

h ) D f = ] 0 ; +00 [, lim f(x) = + o o , lim f(x ) = r .X- 0 X-+QO

i) Df = ] 0; 1 ], felhasználva, hogy a g(x) = arccos x függvény értelmezési tartománya: Dg = [ -1; 1 . lim arccosX-lóg„ X = - o o .x ^ 0+ " í n . . )

lim arccos x • log„ x = arccos 1 • log^ 1 = 0.X—>1

4.2.9.a ) lim f(x ) = 0, lim f(x) = l - e =0, azaz lim f(x) = f(0) = 0 .x O x O x O

Az f, (x) = 0 és az fj (x) = 1 - e” ’‘ elemi függvények, így folytonosak. Az f(x) függvény a 0-ban is folytonos a fentiek alapján, tehát értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Az f(x) függvény folytonos függvény.

b)Nem folytonos. c) Folytonos.

4.2.10.

a)f(x) szigorúan monoton nő, f(x) =x + 4

200

b)Az X, < X2 egyenlőtlenséggel ekvivalensek az alábbiak:

- X i> - X 2, 1 -x , >1-X 2, ^ 1 - x , > ^1-X 2 . (Felhasználtuk,

hogy a g(x) = Vx függvény szigorúan monoton nő.) Tehát Xi < X2 esetén f (x ,)> f (x 2) , azaz az f(x) függvény szigorúan

monoton csökken. Mivel y = V l-x esetén y = 1 - x , azaz

X = 1 - y \ az f(x) függvény inverze: f(x) = 1 - x \

KVK-1190

c)f(x) szigorúan monoton nő, f(x) =logj 2x

4.2.11.

a)D - = { 2 n |n e N } u { -(2 n - l) |n € N } és f(x) =X, ha x > 0,

- X, ha X < 0.

b)Legyen fj(x) = x - l és = A = ]-oo;0]. Ekkor a 4.2.5. és a 4.2.10. feladatok megoldásait és jelöléseit alkalmazva fi(A) = ]-oo;-l] és fi(x) = x + l. Hasonlóan legyen f2(x) = x^,

Df^=B = ]0;l], ezekre f2(B) = ]0;l], f2(x) = Vx. Végül legyen

f3(x) = - —, Df =C = ]l;+oo[, ezekre f3(C) = ]-l;0[, f3(x) = - —. X ' x

Ezen adatok segítségével az inverz függvény:X +1, ha X < -1,

D -= f ,(A )U f3(C )U f2(B), f(x) = , h a - l < x < 0 ,X

Vx, h a O < x < l.

4.2.12.

c) V(17) '( i + 2 ^ + 2 ') = 51,

b)l í r i \ ÍTÍ 3 3

d)20.

2" 16

201

KVK-1190

e)4 9 2

{ r j

h)0.

j) log2 sin

k ) -6 .

g )2 .

3n- 5 - 2 n = lóg 2 sin

i) 5.

v 4 . ' 2

1) ctgv ’ 2 ,

= 0. m) - V3 ,

n) arctg tg = arctg (- Vs)=

arctgtg Xq = Xj, ahol x, e

o) 0, mertarccosl = 0.

q)log^l = 0. r )0 .

t) (thln2)' =

7t- —.Megjegyzés:

7l _ 71

2 ’2, és X, = Xg + k • 71,aholk s Z .

» > -!■

S ) - f

Í 2 - i ^2

2/gln2 _g-ln2 >2

rs^ ' _ 9

2 . 12 ;

~25

202

5.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA

KVK-1190

5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény

5.1.1.

a) f'(Xq) = lim ^^0 ^ • Ax + Ax^) = 3xqAx O Ax O

1 1 Xo-(Xo+Ax)

b )fX x .) = lim = limAx o Ax Ax

- lim ----- -------------- Í- = lim “ ^Ax^o(x„+Ax)-Xo Ax ^=<^HXo+Ax)-Xo Xq-Xq x ‘

e) fX x.) = lim = Um .:Ax A x - [ J x ^ + A x + ^ x ^ )

2a/ ^ ’

5.1.2. A deriváltfüggvényeket akkor egyszerűsítjük, ha ettől az eredmény valóban egyszerűbbé válik.

a )f '(x ) = X~2 + -(3^' -(15)' = --x " 2 + 1 .3 ’ - ln 3 -0 - 2^ 2 2

7 ln3: + ----- 3 \

b )f'(x ) = x - l + - L - ± .X x

203

KVK-1190

c) f'(x) = (x(x^+ÓX + 9)) = (x^+6x^+9x) =3x^+12x + 9.

21 4Vxd)f'(x ) = - e)s '(t) = Vo+at.

f) r'((|)) = -10sin()). g )f '( t) = |( c o s ' t - s i n ' t).

h) f'(x) = (cos X • cos x)' = - 2 sin x • cos x .

i) f'(x) = e-e’‘(x + l )= e ’‘"'(x + l).

j) f'(x) = ----- |^ - ( t g x + ctgx) + ( l- lg x )x-lnlO cos^ X s i n ^ X y

k)f'(x ) =V2

V22 -- -- 1— X Inx + x —5 X

l - - l n x5

1) f'(x) = • x ^ + (5 - sV ^jx ’ " '.2Vx

ln2-2 ’ -sh x -(2 ’ -2 )-chx sh^ x

204

KVK-1190

n)f'(x ) = —■ — 2 41

tgx ^arctgx

3 „„„2 ,r^ rc tg x -tg x -^ _ ^

_ 3 (tg x) • arctg x - (arctg x) • tg x _ 8 (arctg x)^

1cos x 1 + x

arctg X

0)f '(x ) = -23

(5x + 4)2 • p) u'(v) =4v

, , 8x(x^+8)-4x^-3x^ . x"^-16xq)f'(x ) = — i— - r^— r:5-------- = -4-7-------

(x>+8/ (x'+8)^

, 0-sinx-7i-cosx cosx r) f'(x) = -------- -------------= -71

sm X sin^ X

s) h'(x) =^ ( l o g . x + n ’ )-R /7

1x ln n

H-n'^ -Inti

(log„x + n")'

- • I g x - ln x - lg x ----

e’‘ -lg^x

u)u '(t) =

1 I-----P=-cht + V t-sht (3 -t)+ V t-c h t,4-V F J

(3-t)^3cht + 3t-cht + 12 t-sh t-4 t^ -sht

4 - \ f é { 3 - t f

205

v)Két megoldást adunk a példára:

f'(x) = (x •e’‘) -cosx + x •e’‘(cosx) =(2x-e’‘ +x^ •e '')cosx- -x ^ •e'' -sinx = e’‘(2x-cosx + x co sx - x -sinx).Másrészt felhasználva a háromtényezös szorzat deriválására vonat

kozó (f (x) • g(x) • h(x)) = f'(x) • g(x) • h(x) + f (x) • g'(x) • h(x) +

+ f(x) • g(x) • h'(x) képletet:

f'(x) = (x^) •e’ -cosx + x •(e'') -cosx + x •e’‘ -(cosx) =Ix -e ’ -cosx + x •e'' -cosx-x^ •e’‘ - sinx.

KVK-1190

W ) f ' ( x ) =v2y

cthx x5 sh X

- + In- X • cth X

x) Felhasználva, hogyk!

k-x k - l .k-1

k -(k - l) ! (k - l) !

TV \ 1T (x) = l + x + ----+ ... + ------= > ----- .

, ha k e N ,

99! t i n!

5.1.3.

a ) f ' ( x ) - — ^ - s i n V ^ . 3Vx"

b )f'(x ) = — :sin^ e’‘

c) f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = 2% h'(x) = 2"" • In2 és g(x) = sin x , így

f'(x) = h'(g(x)) • g'(x) = • In 2 • (sin x) = In 2 • 2®'"’‘ • cos x .

206

KVK-1190

d) f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = arctg x, h'(x) = —^ és g(x) = - , így1 + x X

r (x ) = h'(g(x))-g'(x) =1

l + (g(x))^

1

1+

x^+1

e) u'(v) - í) g'(t) =1

(InMO)t-lgt

g) f (x) = h(g(x)), ahol h(x) = In x, és g(x) = ax , így bármely

aeR \{ o } esetén f'(x) = h'(g(x))-g'(x) = — •(ax)' = — •a = —.ax ax

Az integrálszámításban felhasználjuk azt az eredményt, hogy

(in (-x )) = (in x) = —, s ebből következően (in x ) = —.

h)g '(t) = e ‘ -e*. i) f'(x) = ( - ln l0 ) 1 0 '\

j) Többszörösen összetett függvények esetén a láncszabályt alkal-X.

mázzuk. f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = x és g(x) = tg—.

f'(x) = 2 - tg - . X= 2 tg - .

2 X COS —

v 4 . O 2 X2 cos —

k)f'(x ) =-chx

2-^shx

207

KVK-1190

1 1 6 log3 thx1) f'(x) = 3(log3 thx)--

t h x - l n 3 ch^ X ln 3 s h 2 x

(F elh aszn á ltu k , h o g y s h 2 x = 2 s h x - c h x .)

3 c h V x ^ m )f (x) = - - - = -------

n ) f ' ( x ) = • l n 5 '(cos^ 2 x ) = l n 5 - 5 “ ®' ’‘ • Í 2 - c o s 2 x - ( c o s 2 x )V /

= 2 In 5 • 5“ * ' • c o s 2 x • ((- sin 2 x ) • ( 2 x ) ') = - 2 In 5 • 5 " ° * ' • s in 4 x .

(F elh aszn á ltu k , h o g y s in 2 x = 2 s i n x - c o s x . )

- sin In XI --------------------------- -------------------------------- 111 — I---------------------------------------

V l-cos-M „x x - c o s M n x j l - 'COS In x

5.1.4.y (t) = “ A • a • sin at + B • b • cos bt + C • c • e‘"‘ .

b )f'(x ) = 2sinx-cosx-2xsinx^ ^ 4xtgx^COS X

d) f'(x) = 12(3x + 2 y - (31n4)4'’‘ ".

e)Az alábbi megoldásban megmutatjuk, hogyan célszerű racionális törtfüggvények vizsgálatakor a deriváltfíiggvényt kiszámítani. A zárójelek felbontása előtt kiemelünk, majd egyszerűsítünk.

208

KVK-1190

r u ) = 2 (2x -3 )-2 -(x + 1 )^-(2x-3)^-3 (x + 1) ^(x + 1)*

_ (2x - 3)(x +1)^ (4(x +1) - 3(2x - 3)) ^ (2x - 3)(-2x +13) (x + 1) “ (x + i r

(R + r)^g)f'(x) = l -

2(2 - x )V l-x

h)f'(x ) =ex^-'-cthe’ e^-thx^

c h 'x ' sh 'e"

i) f Xx) = - — -\nr

x + —x ^ -1

x +x^ ’

j) f'(x) =Inx

(lnlO)x vlnx^_ ln x (ln x - l)

(lnlO)xlti^ X

V

1) f'(x) = - / T \22x1 +

1 - x '

2x1 - x '

J ____ 2 (l-x ^ )+ 2 x -2 x

1 +4x^ (l-x^r

2 + 2x^ ^ 2(l + x ^ )^ 2

(l-x^)^+4x^ + 1 + x^Megjegyezzük, hogy a megadott függvény deriváltfliggvénye a közös értelmezési tartományban megegyezik a g(x) = 2arctgx függvény déri váltfíiggvény ével.

209

KVK-1190

m )f'(x) = 5Í V S -tg TIX\4

/ N \

1 71

2 7TX *2COS —

V 2 y /

5k

2cos^V s - tg nx \4

n) f'(x) = sin(x • cos x) + X • (cos(x • cos x))- (cos x - x • sin x)

o) f '(X) =1

X - Vx^ - 1

1 V x ' - l -

X - V x ^ ^1 -

2x

2a/x^ -1

p)f'(x ) =

x -V x^ -1 Vx^ -1 Vx^ -1

(x + shx-chx)' 1 + ch^x + sh^x(In 4)(x + sh X • eh x) (In 4)(x + sh x • eh x)

2eh^ X

(ln4)(x + shx-ehx)

q)r'((t)) =

. (Felhasználtuk, hogy 1 + sh x = eh x .)

2-sin^2(j) 2eos2(j)(2 + sin^ 2(())2 sin 2(1) (2-sin '2(|))'

, 71 - 2 x ^ + X TIXr) f (x) = ------- p = = ^ - c o s -

'y/(2x + x f V2x^ +x

5.1.5.a)f(x ) = x '+ l + 2x, f'(x) = 2x + 2.

210

KVK-1190

1 1 \b)f(x) = - x « - - x 2 , f'(x) = -1 8 ^ 3VÍ ’

c) f(x) =Vvlv?

( l„ 3 )x - Í '

’V9x'=

d) f(x) = - e“’‘, f'(x) = e’‘ + .

e) f(x) = (in x )• e = -3 e’‘ • In x, f'(x) = -3 e ’ 1 ,—+ lnx x

(Felhasználtuk, hogy lnx “ = -3 1 n x , hiszen a két függvény értelmezési tartománya megegyezik, a függvényértékek azonosságát pedig az ismert logaritmus azonosság biztosítja.)

1 /Tf ) í ( x ) = y Í 3 x \ f'(x) = - ^ . g )f(x) = X, f'(x) = l.

2vx

5.1.6.a) A deriválhatóság szükséges feltétele, a folytonosság teljesül.

x < O ese tén f(x )-f[(x ), aholf,(x) = 0, ezért x < 0 esetén a derivált, illetve az x = 0 helyen a baloldali derivált f/(x) = 0.0 < X < 1 esetén f(x) = f2(x), ahol fjíx ) = x^ , ezért 0 < x < 1 esetén a derivált, illetve az x = 0 helyen a jobboldali, az x = 1 helyen a baloldali derivált (^) = 2 x .x > lese tén f(x ) = f3(x), aholf3(x) = l , ezért x > l esetén a derivált, illetve az X = 1 helyen a jobboldali derivált f3(x) = 0.Mivel az X = 0 helyen a bal-, illetve jobboldali derivált is 0, ezért itt a függvény deriválható, de az x = 1 helyen a baloldali derivált 2, a jobboldali derivált pedig 0, tehát itt a függvény nem deriválható.

211

KVK-1190

(A deriváltfuggvény az x = 1 helyen nincs értelmezve.)0, ha X < 0,

f'(x) = < 2x, ha 0 < X < 1,0, ha X > 1.

b)A függvény az x = 0 helyen nem deriválható.0, ha X < 0,

A-e" ’‘,h ax > 0.f ' ( X ) =

5.1.7.

a ) ( l n x r =(3)

^ 1 ^ í— = , 2 ~3X y U J

800000 - V / 2

f) f"(x) = 3e'’‘-’‘'(3 ( l -x ^ ) '- 2 x ) f"(V3)= 6(ó-V s).

5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai

5.2.1.a)A Po(Xo,yo) ponton áthaladó, m meredekségü egyenes általános

egyenlete: y - Yo = ni(x - Xq ) , ahol m = f'(Xq ) • (Ld. az ábrát.)

Xo=4, yo=f(Xo) = 2, = m = f'(Xo) = ^ .

Az érintő egyenes egyenlete: y - 2 = —(x - 4), azaz y = — x +1.4 4

212

KVK-1190

b)y = x .

4 4d)Y o=— , m = 0, y = —

e ee )y = ^ x — .

71 71

(2 x -e ) - ln '(2 x -e ), y = — x + 3.

e

5.2.2.7t

b) df = —^ d x , 96

c)Az f(x) függvény Xg helyen vett x-szerinti differenciálja: df = f'(Xo)dx. A megadott adatokkal:

f'(x) = 12 ^ í x ^ ^ | l - x

, f 'v2.

1

V2 ’ V2

= 1, df = dx.

5.2.3. Ebben a feladatban és a továbbiakban is egy szorzat, hányados, összeg vagy különbség határértékének „típusát” az egyenlőségjel alatt zárójelben megadjuk, ahogy ezt a sorozatoknál is tettük. (Ez azt jelenti, hogy szorzat esetében a tényezők, összeg és különbség esetében a tagok, hányados esetében pedig a számláló és a nevező adott helyen vett határértékét külön-külön kiszámítjuk.)

a , , i „ Í Í Z ^ , H „ z X2z í ) 1 ,2x

= lim 3(2 - x) = +C0 . (A szabályt kétszer alkalmaztuk.)

213

b) lim lim (-1) = -1 . c)0"^.X+OO _ 2x X+QO

KVK-1190

e) 0.

f) lim — ^ = lim — = l im ---- = 0^.X +CO e ’‘ _ e X +OO X +CO _ g

g) lim ( l - x ) e ’‘ , = .limX —> - 0 0 l^+oo-O'^ j x - ^ - o o Q

1-x x^-oo _ Q1-x

(Felhasználtuk, hogy (e’‘ ' ) ' = e'

h ) 0 \

i) lim l im ------- — = lim e"' = +oo. (Megjegyezzük, hogyX - X x O*

az x -e ’‘ = átalakítás zsákutcába vezet.)

j) 0-. k ) - l .

1) limx O1 1 x -s in x 1 -cosx

= h m ---------- = h m ---------------

= lim

x^o- X • sin X

smx

x o- smx + x-cosx

"0 2 co sx -x -s in x. 0 , U J

5.2.4.

a) f '(0) = f '(-3) = 0, f"(0) = 0. b ) f '(x )^ 0 , f" " i " v ’ 2 .

= 0.

214

KVK-1190

c)f'(x ) = ( l - ln x ) '+ x - 2 ( l - ln x ) - - = ( l - l n x ) '- 2 ( l - l n x ) =l x ;

= In X-1 . f'(x) = 0, ha In x = 1,azaz Inx = 1,tehátx = e,1 í vagy In X = -1, tehát x = —. f'(e) = f ' — =0.e y e j

f"(x) = 21nx-—, f"(x) = 0, halnx = 0, azaz x = l, f"(l) = 0.X

í 1

d ) f '( - l ) = 0, f"(x)9tO.

e) f'(x) = e’‘(sinx + cosx), f '

f"(x) = 2e’‘ -cosx, f

Ti — + k-7i4

= 0, ahol k € Z .

n—+ m-7i 2

= 0, ahol m € Z ./

5.2.5. Az alábbi feladatban, hacsak külön nem jelezzük, a deriváltfüggvények értelmezési tartománya megegyezik, vagy bővebb az eredeti függvény értelmezési tartományánál,

a) Rf = R .

b)l. Értelmezési tartomány:D f = R = ] - oo; + 00 .

2. Párosság:f(-x ) = ((-x)^ - - 1) = f (x ) , tehát az f(x) függvény páros,

215

KVK-1190

elemzését a [ 0 ,+ o o [ intervallumon végezzük, majd tükrözzük a képét az y-tengelyre.3. Határértékek; lim f(x) = +oo.

X +QO

4. Tengelymetszetek:x-tm; Pj (1; 0 ) , mert (x - 1) = 0, ha x = 1 (x > 0 mellett), y-tm: P2( 0; - l ) , mert f(0) = - l .5. Monotonitás:

f'(x) = 3(x - 1) • 2x = 6x(x^ - 1) , f'(x) = 0, ha X = ±1, vagy x = 0. Az értelmezési tartománj^ olyan intervallumokra bontjuk, melyeken belül a derivált előjele egységes. Most kivételesen megvizsgáljuk a ]-l;0[ intervallumot is, hogy eldönthessük, van-e szélsőérték az x = 0 helyen. (Az előjelvizsgálathoz felhasználjuk, hogy

(x^ - l ) ^ > 0 , ha X 9 + 1 .)

- l < x < 0 0 0 < x < l 1 X > 1f'(x) - 0 + 0 +f(x) i P2 t t

Lokális minimum: ?2 (0; - 1 ) .6. Konvexitás:f"(x) = 6(x^ -l)^ +6x-2(x^ - l) -2 x = ó(x^ “ 0 ’

f"(x) = 0, ha X = 1, vagy x = « 0,45 (x > 0 mellett).V5

Az értelmezési tartományt olyan intervallumokra bontjuk, melyeken belül a második derivált előjele egységes.

0 < x < - ^V5

14~5

1—p ^ < x < l ^f5 1 X > 1

f"(x) -1- 0 - 0 +f(x) u P3 n Pl u

216

Inflexiós pontok; P31 -6 4

V s’ 125

Rf = [ - l ; + oo

c )R f= [-2 ;2 ] ,

KVK-1190

X- ±QO x- -Pd ) D f = R \{ - l} , lim f(x ) = 0- lim f(x ) = +oo,

f'(x) = -2

5x + —

( x + \ y ( x + i r= 0 .

217

KVK-1190

Rf =

e)R f =[0;i;.

í )R f =

218

KVK-1190

g)l. Értelmezési tartomány:Df = R \ { 0 } = ] - o o ; 0 [ U ] 0 ; + o o2. Párosság:

^ 2 , f ( - x ) ^ f ( x ) , f ( - x ) ^ - f ( x ) , tehát 3(-x) 3x

a fíigvény nem páros és nem páratlan.3. Határértékek:

(x -1 ) 'hm

3x= lim — 7 = lim — = ±00, lim (x-1)^

X-^±00 X—>±00 ^ 3x^= — 00.

0+4. Tengelymetszetek:x-tm: P, (l; 0 ), mert (x -1)^ = 0, ha x = 1, y-tm nincs, mert 0 gÉ D f.5. Monotonitás:f' í.r\ _ -1)^ • x - (x -1)^ • 2x _ 1 x(x -1 )^(3x - 2(x -1)) _

3 ? “ 3 ? “l ( x - l ) ^ ( x + 2) , f'(x) = 0, hax = lvagyx = -2.

(Felhasználjuk, hogy -^(x -1)^ > 0, ha x 1.)

x < -2 - 2 - 2 < x < 0 0 < X < 1 1 X > 1

f'(x) + 0 - + 0 +f(x) t P2 t t

Lokális maximum: P,

6. Konvexitás:

x ^ -3 x + 2 = - ( l - 3 x ^+2x ==-(óx ^ -6 x '*) =

= 2^^-^ , f"(x) = 0, ha X = 1. x

2(Felhasználjuk, hogy — > 0, ha x e D f.)

X

219

KVK-1190

x <0 0 < x < l 1 X > 1f " ( x ) - - 0 +

f ( x ) n n P. u

Inflexiós pont: P i(l;0 ).

Rf = R .

h)Rf = R .

220

KVK-1190

i) Rf =]-oo;l .

j) 1. Értelmezési tartomány:Df = R \ { 0 } = ] - o o ; 0 [ U ] 0 ; + oo2. Párosság:

zL if(-x ) = (-x )-e^’‘ = - x - e ’‘, f ( - x ) 5tf(x ) , f ( - x ) - f ( x ) , tehát a fügvény nem páros és nem páratlan.3. Határértékek:

_1 - i -1 lim x-e = - 00, lim x-e = + 00, lim x-e = .0 ^ ,

X —> - 0 0 ( - Q O - l ) X - ^ + Q O ( + 0 0 - 1 ) X —> 0 "^

- e1 e '" ‘lim X • e , lim — r- = ü m -------- — = lim

x-»0“= —00.

/4. Tengelymetszetek:

x-tm nincs, mert x • e =0, ha x = 0, de 0 ^ , y-tm nincs, mert 0 g D f.5. Monotonitás:

f '(x ) - Q + x-e1

= eV Xy

, f'(x) = 0, hax = - l .

(Felhasználjuk, hogy e ’‘ > 0, ha x e D f.)

221

KVK-1190

x < - l -1 - l < x < 0 x > 0f'(x) + 0 - +f(x) t P. 4 t

Lokális maximum: Pj (-1 ; - e ).6. Konvexitás:

f"(x) = = e-- 1 r, 1" i + - + e

= e1

X1 + - - 1

X= e 1

(Felhasználjuk, hogy e > 0, ha x e .)

x <0 X > 0f"(x) - +f(x) n u

Rj, = ] - Q o ; - e ] U ] 0 ; + oo

222

KVK-1190

k) f(x) = ------ alakban vizsgáljuk a függvényt.2 - x

1. Értelmezési tartomány:Df = R \{ 2 } = ] - oo;2 [U ]2 ;+ oo\2. Határértékek:

lim

lim

e“’‘lim

X->-QO

-e -^ = Hmx- -oo2 - x +00 -1

c

e'^

+00,

limX- +QO

e”"2 - x -2 e

Oü,2 - x

(X)

h m ------ = + 00,2 -X

0+

3. Tengelymetszetek:

x-tmnincs, mert e”"" ^ 0 , y-tm: Pj

4. Monotonitás:

f - ( x ) = z £ l í z í ) z p z l ) , í ; í i z » , r ( x ) = 0 ,h a x = l.( 2 - x ) ' ( 2 - x ) '

(Felhasználjuk, hogy-------- ^ >0, ha x € D f.)( 2 -x )

X < 1 1 l < x < 2 x > 2f'(x) - 0 + +f(x) 1 P2 t t

Lokális minimum; P.

5. Konvexitás:

(e“" (x - l) ) = -e " " (x - l) + e"’‘ = e '" (2 -x ) , ((2-x)^) = -2 (2 -x )

felhasználásával f "(x) = e~ (2 - x)(2 - x)^ + 2e'^ (x - 1)(2 - x)(2-x)^

223

KVK-1190

e - (2 -x )( (2 -x )^ +2 (x - d ) e - (x ^ - 2 x + 2] ( 2 - x / ( 2 - x ) ’ ’

(Felhasználjuk, hogy e’’‘ (x - 2x + 2)> 0.)

x < 2 x > 2f"(x) + -

f(x) u n

7. Értékkészlet;

-oo;0[U" 1

- ; + o o_ e

1) Rf = ]0;l]. Megjegyezzük, hogy a függvény fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban.

224

KVK-1190

m ) R f = [0;+oo

1. Értelmezési tartomány:Df = R n { l} = ] 0 ; l [ U ] l ; + oo2. Határértékek:

lim X-* _ lim = = lim/ P = -00, lim

x-‘ _x->0* Inx +00 x->0* \ x->r Inx 1 ^

V J

= - 00 ,

X”' x ”‘lim — = + 00, lim — =x^iM nxí±l x->” lnxío"'

3. Tengelymetszetek:x-tm nincs, mert x”' 0, y-tm: nincs, mert 0 g D f.

225

KVK-1190

4. Monotonitás:- x '^ - I n x - x ”'-x '* - x ’^(lnxH-l) lnx + 1f'(x) =

(Inx)' In 'x (x-lnx) 2 ’

1f'(x) = 0, halnx = - l , azaz x = - .e

(Felhasználjuk, hogy (x • In x)^ >0, ha x e D f.)

0 < x < -e

1e

1- < X < 1e X > 1

f'(x) + 0 - -

f(x) t P. 1

Lokális maximum: P, - ; - ee

5. Konvexitás;

((x • In x)^) = 2(x • In x)(l • In x + x • —) = 2x • In x • (In x +1)X.

—(x-lnx)^ -2 x -ln x (ln x + l)^felhasználásával f"(x) = -^^----------------------r--------------=

(x-lnx)_ (x • In x)(ln x - 2(ln x +1)^) lnx-2(ln^ x + 21nx + l)

(x-lnx)"^ (x-lnx)^21n^x + 31nx + 2 „ - 2 ^= --------------- r----- , f (x)í^O, mert 2a +3a + 2í^0.

(x-lnx)(Felhasználjuk, hogy 21n x + 31n x + 2 > 0 .)

X<1 X>1f"(x) - +f(x) n u

226

KVK-1190

7. Értékkészlet:R f = ] - ° o ; - e ] U ] 0; + oo

p) Df \ {e }, lim f(x) = 0 lim f(x) = +00, lim f(x) = -co.x-^+00

3 - ln x(1 -lnx )

= - o o ; - e \ u ] 0;+oo

x ( l- ln x )r(e^ )= o .

227

q)l. Értelmezési tartomány:Df = [2 ; + oo .2. Határértékek:lim f(x) = f(2) = 0, lim (3 -x )V x ^ ^ = -°o .

X +QO (-QO-+QO)

3. Tengelymetszetek;x-tm: P ,(2 ;0),P2(3;0), hiszen f(x) = 0, hax = 2,vagyx = 3, y-tm nincs, mert 0 í D f.4. Monotonitás:

\ I---- ^ A 1 - 2 ( x - 2 ) + (3 -x ) -3 x + 7f'(x) = - V x - 2 + ( 3 - x ) — p = = — i ------ = — P = ,2 V x -2 2 V x -2 2 ^ | x - 2

Df, =]2; + oo[, f'(x) = 0, hax = ^ .

(Felhasználjuk, hogy 2 V x -2 >0, ha x € Df,.)

KVK-1190

72 < x < -

373

7X > —

3f'(x) + 0f(x) t

Lokális maximum: P, 7 23 ’ 3 V 3 / 3^Í3

5. Konvexitás:

- 3 V ^ ^ - ( - 3 x + 7 ) ^

«0,38.

x - 22V T ^ _ - 6( x - 2) - ( - 3x + 7)

4 (x -2 )V ^ r^

= -------, D f.= ]2 ; + oo[, f"(x )^0 , m ert-g D f..4 ( x - 2 ) v x - 2 5

(Felhasználjuk, hogy 4(x- 2)V x-2 > 0, ha x e D ^ .)

228

KVK-1190

x >2f " ( x ) -

f ( x ) n

Rf = — co: ■

r ) R(. = } - o o ; 0] U [ 4;+ oo

229

KVK-1190

s) Df = [O;+oo[, lim f(x) = +co.

f'(x) = y x H 3 x - l ) , f"(x) = - ^ x 2 ( 5 x - l ) , Rf105:+oo

230

KVK-1190

u)Rf = — ;+oo e

5.2.6.a)Maximum: f(0) = 1, minimum: f ( - l ) = 0.

b)Maximum:f(l) = e^, minimum: f(0) = 0 . (Megjegyezzük, hogy a minimum értéke rögtön adódik az > 0, e ** > 0 egyenlőtlenségek figyelembevételével.)

c)1-;e Df f'(x) = ( l- ln x ) + x

1

A deriváltfuggvény segítségével monotonitásvizsgálatot végzünk a függvényen a megadott intervallum fölött.

e 1 1 < X < e

f'(x) + 0 -

f(x) t lók. max. 1

A függvény menete alapján a maximum: f(l) = 1, a minimum le-1 3 r 1 ^

hetséges helyei: x = — , vagy x = e . Mivel f(e) = 0 < - y = f — e" e y

ezért a minimum: f(e) = 0.

231

KVK-1190

d)f'(x ) = „ ■ f'(l) = 0, f(0) = - í - , lim f(x ) = 0*. V (x^-2x+ 5)‘ V5

1

5.2.7.a ) R f =[3 ; + oo[.

c)A megadott intervallumon érvényes az Inx^ s 21nx azonosság.

l; + o o [ e D f f'(x) = 21nx- —- 2 - —= —(in x -l) , f'(e) = 0.X X X

A deriváltfuggvény segítségével monotonitásvizsgálatot végzünk a függvényen a megadott intervallum fölött.

1 < X < e e X > ef'(x) - 0 +f(x) 1 lók. min. t

f(l) = 0, f(e) = - l , lim (lnx-(lnx-2))=(+oo-+oo) = +oo.X - > + Q O

A fiiggvény menetét vázölva, s felhasználva, hogy a függvény folytonos, értékkészlete a fenti adatokból leolvasható: Rf = [-1; + oo .

d)Rf = 0;

e )f '(x ) = - ^ = , f '(x )> 0 , Rf = 2xV x-l'

232

5.2.8. Válasszuk a téglalap oldalainak felét a illetve b egységnek.

KVK-1190

Ekkor nyilván 0 < a < l , 0 < b < l és b = V l-a^ A téglalap terüle

te: T(a) = 2a • 2b == 4aVl - a . Vizsgáljuk meg a T(a) függvény menetét.

T'(a)==4 a +a- -2 a

2 V T V= 4 = 4-

j ví^a

A deriváltfüggvény zérushelye 0 < a < 1 esetén a =V 2 ‘

0 < x < - ^V2

1V2

- ^ < X < 1V2

T'(a) + 0 -

T(a) t lók. max.

Látszik, hogy az a = helyen lokális és egyben abszolút maxi- V2

muma van a területfíiggvénynek. Ekkor b =

hát a négyzet esetében maximális a terület.

1 A"1-

1V IV 2 J V2

1 ,te-

233

KVK-1190

5.2.9. P(r) = l ' r =R + r

•r = U^ P'(R) = 0.(R + r r

Az r = R helyen a P(r) függvénynek abszolút maximuma van.5.2.10.

a)A profitfuggvény: P(x) = R (x )-C (x ) = - x ^ + 1 2 x ^ - 2 1 x - 2 5 , X > 0. A határprofitfíiggvény; MP = P'(x) = -3x^ + 24x - 21.

b)Egységnyi termelés növekedés esetén a többletköltséget a MC = C'(x) függvény segítségével határozzuk meg az adott ter

melési szinten. MC = (x^-15x^ + 76x + 25) = 3 x ^ - 3 0 x + 76. 2000 tonnás termelésnél a költségnövekedés C'(2) = 28, azaz 28000 pénzegység. 4000 tonnás termelésnél a költségnövekedés C'(4) = 4 , azaz 4000 pénzegység.

c) P'(x) = -3 x ^ + 2 4 x -2 1 = 0, Xj=7, X2 = l .

0 < x < l 1 1 < X < 7 7 x > 7P'(x) - 0 + 0 -P(x) lók. min. t lók. max 4

Tehát 7000 tonnás termelés esetén lesz maximális a profit.

5.2.11. 10000 darab.

5.2.12.a) 100 pénzegység. b)500 darab.

234

6.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI

KVK-1190

6.1. Alapíntegrálokkal megoldható feladatok

6.1.1.

a)Az x “ dx = ------ + C ( a e R , alapintegrált az a = 2,(X + 1

a = 1 és a = 0 értékekre felírva azt kapjuk, hogy az x , x és 1 egy-x x^egy primitív függvénye: — , — és x. Mivel egy számmal szorzott

függvény egy primitív függvényét úgy kapjuk meg, hogy a függvény egy primitív függvényét megszorozzuk a számmal, az előbbieket felhasználva nyilvánvaló, hogy a 3x , 2x és 1 egy-egy primitív függvénye: x , x és x. Tehát:

(Sx + 2x + l)dx = x + x^ + X + C .

, Sx"* 4x^ x ^ ^ 5x" 4xVx 1 ^b )--------------+ ----- + C = ----------------- + — r + C.4 3 3 4 3 3x'

c)(2 -Vx - Vx j _ j*4x -4X* + X _

X^ _ 4 1 ^

4 x " 3 - 4 x~6+ -X

12 24 .: + + In X + C .

d)

7 13 1

15x^ 5x^» 5x~'° 28 13 2

+ C =28 13 2 > ^

+ C,

235

KVK-1190

e) Az e’‘dx = e’‘ + C , az sinx dx = -cosx + C alapintegrálokat

felhasználva a következő eredményt kapjuk:(2 • 6* - 3sinx)dx - 2 - e ’‘ + 3cosx + C .

10’‘f) 3 -------+ 5sinx + C.

InlOg) 4 s h x - 3 c h x + C

h)r2" -7-5^

dx =v3.

- 7 ' dx =

- 7 -In- v3.

1

in^3

i) Ha egy racionális törtfüggvény számlálója nem alacsonyabb fokú, mint a nevezője, akkor a racionális törtfüggvény felírható egy racionális egészfüggvény, azaz egy polinom és egy olyan racionális törtfüggvény összegeként, amelynek a számlálója már alacsonyabb fokú, mint a nevezője. így:3 + x^ 2 + 1 + x"1 + x ' f3 + x '

1 + x 1 + x■ + 1. Tehát:

1 + xdx = 2--

1 + x '+ 1 dx = 2arctgx + x + C .

,, 2x^+3x^+2x + 4 2x(l + x^)+3Íl + x^)+l . . 1 j ) -------------- ^ ^ — = 2x + 3 + ------ r .

1 + x' r 2 x ^ + 3 x ' + 2 x + 4

1 + x^dx =

1 + x

2x + 3 + ■

1 + x

1 + x^dx =

= x^ + 3x + arctgx + C . 1 + xk) - x + In1 -x

+ C. 1) - - — x + —In 3 2

1 + x1 - x

+ C.

236

KVK-1190

m)Nyilvánvaló, hogy: - (l - ).Vl - x ^ Vl - x ^

így az alapintegrálok táblázatát felhasználva azt kapjuk hogy:

^

dx =

= arcsin x - x H-----+ C .3

n ) - ln 1 + x1 -x

+ Sarcsinx + C .

o) Ismert trigonometrikus azonosságok alapján a következőket írhatjuk:

■2- j2 sin X 1-cos Xtg x = ^ = ------ i— = —cos X cos X cos X

- 1 .

így az alapintegrálok táblázatát felhasználva azt kapjuk, hogy:

4tg^x dx = 4 1 -1 dx = 4(tgx - x ) + C .

p) - 3ctgx - cosx + C .

2 -sh ^ x _ 2 - ( c h 2 x - l ) _ B -ch^x _ 3ch^x 2 -sh ^ x

eh X

eh X eh X-1

eh X eh X

dx =3thx - X + C .

így:

s) x -c th x + C.

t) fsin—cos—dx = J 2 2

fsmx , cosx ^---- dx = ---------+ C.2 2

237

KVK-1190

u ) —chx + C.

6.2, ff(ax + b)dx (a, b e R, a O) típU SÚ feladatok

6.2.1.a) Itt az f(ax + b)dx = + q képlet használható az f = x ,

•' aa = 2 és b = 1 választással. F az f egy primitív függvénye, tehát az

x“ dx =Xa + l

a + 1+ C alapintegrált a =20-ra felírva azt kapjuk, hogy:

,21F =

21 • így:

'(2x + I f dx = + C = + C . 2-21 42

b)9(1- x y

■ + C.

c)fX + 3x + 2

dx = X + 2 + Íx + 2

dx = 1 + -x + 2

dx = x + lnx + 2 + C

d)A számláló nem alacsonyabb fokú, mint a nevező. Ezért a számlálót elosztjuk a nevezővel. Először a számlálót és a nevezőt 2-vel megszorozva és a nevezőből (-l)-et kiemelve, majd célszerű átalakításokat végezve a következőt kapjuk: x ^ - 3 x + 4 _ 1 2 x ^ - 6 x + 8 _ 1 x ( 2 x - l ) - 5 x + 8 _

l - 2 x 2 2 x - l 2 2 x - l

X - -1 lO x-162 2x -1

1 1 5 ( 2 x - l ) - l l 1 = — x + ---- -------- ------ = — x

1+ — 4

5 - - 112 x - l

12 4 2 x - l

5 11 1

+

= — x + ----------------- . így:2 4 4 2 x - l

238

KVK-1190

fx -3 x + 4l - 2x

dx = 1 5 11 1 ^- - X + -----

4 4 2 x - ldx =

x 5 11= ----- + — X------l n 2 x - l + C, ahol az utolsó tag integrálásánál az4 4 8

f (ax + b)dx = + Q képletet alkalmaztuk az f = —, a = 2a X

és b = -1 választással.

e ) + 3(1 - x ) f + C + 3 . + C .

f ) í ^ + C.

g) + -l + 4x^ 9x^- 1 - J T Á e ?

> . 5 .

dx =

1 dx = arctg2x +

1+ - ln

6l + 3x

l - 3x+ —arcsin4x + C .

4

h)1 3- + •

16 + x^ 4 - x ^ ^ 9 - x ^

1 1 3 1

dx =

3 dx =

1 X 3 = —arctg—+ —In 4 4 4 2 - x

■2arcsin —+ C. 3

239

KVK-1190

. , 1 5x 1 ,i) — arctg— ---- In15 ^ 3 12

4 + 3x4 -3 x

3 . 7x ^ — arcsin— + C. 7 2

1 + V3)1 - V3 X

1 • 2 ^ + —= arcsin, — x + C . V2 \ 5

k)dx dx

x^ +4x + 5 •’l + (x + 2)= arctg(x + 2) + C .

,) ^ a r c t g ^ + C.

m) arcsin ( x - l ) + C . • x - 3 n) arcsin— ;^ + C2^f3

6.2.2.a) Egy lineáris függvény szinuszának, koszinuszának, szinuszhiper-

bolikuszának, és koszinuszhiperbolikuszának páros kitevős hatványait pl. az ún. linearizáló formulákkal integrálhatjuk. Most

sin^xdx = - cos2xdx = -

2 2X -■

sin2x+ C.

, 12x + 8sin2x + sin4x ^ 1b ) -------------------------- + C . c) -

32 ^ 2sh2x- + x + C,

d) sh'^x = (sh^x)^ =

irch 4 x + l

ch2x 1 = l(c h '2 x -2 c h 2 x + l) =

-2ch2x + l • így:

sh 'x dx = I ch4x ch2x 3~ 8 r ~ ^ 8

sh4x sh2x 3x ^dx = ----------------+ — + C .

32 4 8

240

KVK-1190

e)3e"/- Q - ^ - i e + -

3 e,3 x ^

dx = = ^ ( e - 2 e ’‘ +e^’‘)dx =

+ C.

- 3g)_£tg(2x + 5 ) ^ ^

h )2 th/ \

v2 y+ c .

i) Alkalmazzuk a ctg a = — r---- 1 azonosságot a = 3x-re!sin a

1sin 3x

-1 dx = - Í Í S ^ - x + C.

.. th4xj) X ---------- + C .•* 4

6.3. J[f(x )ff '(x )dx ( a e R , a - i ) típusú feladatok

6.3.1.a) A 2 -3x^ deriváltja -6x. Ezt figyelembe véve az integrált a követ

kező alakban írjuk fel:

x(2 - 3x dx = - (2 - 3x ) ( - 6x ) d x . Itt alkalmazhatjuk az

r a+1

f “ f ' dx = ------ + C (a - l ) képletet, amelyben most•' a + 1f = 2 - 3x^ és a = 8. így az integrál értéke:

l ( 2 - 3 x ^ r . . _ (2 -3 x -f8 + 1 54

■ + C.

241

KVK-1190

(4 + 2 x )3 ^ _ (4 + 2x ^ )\J 4 + 2x^4

■ + C.

c) -9(l + x^y

■ + C. d ) -V l - x '

■+c.

e) A sinx deriváltja cosx és a chx deriváltja shx. így aza+1

[f “ f ' dx = ------ + C képlet az első tagra az f = sinx és a = 2, aJ a + 1

második tagra pedig az f = chx és a = 3 választásokkal alkalmazható. Tehát:

(sin^xcosx - 2ch^xshx)dx =

sin^x ch"x+ C.

J sinx chx---- T“ +cos x

dx =Vl + shx

- (cos x)^'' ( - sin x) + (1 + sh x)"2 eh x dx =

—------T— h 2"\/l + shx + C .3cos X

g)A lineáris függvény szinuszának, koszinuszának, szinuszhiper- bolikuszának és koszinuszhiperbolikuszának páratlan kitevös hatványait pl. úgy integrálhatjuk, hogy felírjuk az első hatványának és a maradó páros hatványának a szorzataként, majd a páros hatványt a négyzetes összefüggések segítségével a megfelelő másik függvényre írjuk át. Ebben a feladatban a cos^x = l-s in ^ x négyzetes összefüggést használhatjuk fel. Tehát:Jcos^ dx = Jcos^x • cosx dx = (l - sin^x)cosx dx =

242

KVK-1190

/ - 2 ^ . • sin X ^ ^cosx - sin xcosx jdx = sinx---------- h C ,

ahol az integrálásnál a második tagban az

(a ^ -1) képletet alkalmaztuk az f = sinx és a - 2 választással.

ra+1f “ f ' dx = -!---- + C

a + 1

. , ch^x , ^h )-------- chx + C .

I) Jf2?;2iax = - J ( c . g > x í - Vsin X V sm x

.. th^x ^ J) —^ + c .

k) f tg^xdx= f ( tg ^ x ) í^ ^ ---- l l d x = |f(tg^x)— ^ - t g ^ x■' •’ \ c o s X J cos X

dx =

tg^x fT 1Vcos X

• -1 dx = - tgx + X + C .

cth^x . ^1 ) ------------cthx + x + C.

m ) - | ( l - 2 e " ) í +C = - | ( l - 2 e ’‘)V l-2 e ’‘ +C.

n) dx = - '(2 + e->)’ ( - e - ) d x = - Í ^ Í ^ + C,6

o ) -

(3-In 2) 3 - 2 2V y

+ C .4 4 -In 10

243

In 'x q)—— + C.

KVK-1190

In^x r ) ------+ C

s)dx

xln X

V, \-2 1 j (inx) ^ 1(Inx) • —dx = -— -— + C = ------ + CX - 2 + 1 Inx

t) -V 2 + 3 -lnx+ C .

6.3.2.

a)£SÍ8Ji + c .3

3(arctgx)3 ^ _ 3arctgx ârctgx4 4

d ) -1

3arctg X■ + C.

arcsin^Sx ê ) ------------ + C ,

15

^ arcsin x ^ f ) -----------+ C. g ) - •+c ,

arcsinx

h)dx

^(l - x^jarcsinx(arcsinx). 1

Vl - X"rdx = 2Varcsinx + C .

arccos x î ) ------------- + C. (3 + 2arctgx)^ , ^

12

244

KVK-1190

6.4. f^^dx típusú feladatokf(x)

6.4.1.a) Az 1 + x deriváltja 2x. Ezért az integrált a következő alakban ír

hatjuk fel:f X , 1 f 2xX 1

— ^dx = - ' 2[ + x 1 + x^

dx.

fMost alkalmazhatjuk az — dx = In f + C képletet, amelyen f he

lyére (l + x^ )-et kell írni. Tehát az integrál értéke: ~ln(l + x^),

ahol felhasználtuk, hogy

pozitív.

1 + x' = l + x^, mivel az 1 + x^ mindig

b) f— ^— dx = — f —-— dx = —ln(x^ - 2x + 3)+ C . ' J x ' - 2 x + 3 2 J x ' - 2 x + 3 2 ^

c) - ln ( l - s in x )+ C . d )^ ln (2 + 3chx)+C.

cosxe) ctgx dx = —;— dx = In sinx + C .smx

f) ^Inch2x + C.

ln3

g ) - ln 2 - e ’‘ + C .

i)dx

xlnx Inxdx = In Inx + C

j) - |ln |3 -2 1 n x | + C.

245

KVK-1190

k) 7-----------------= - ^ ± ^ d x = ln arctgx+C .(l + x^) arctgx •’ arctgx

1) ln| 1 + arcsinx| + C. m) - In(arccosx) + C .

n) - ln( 4 + Sarcctgx) + C .

6.5. Jf(g(x))g'(x)dx típusú feladatok

6.5.1.

a) Mivel a deriváltja -x, legyen az

f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C (F '= f) képletben az f = e’' és

x^g - — Y ■ Ekkor g’ = -x és F = e . így:

|x e dx = - e ^ (-x )d x = -e +C .

cos(n -2x-)^ C .6

c) Legyen az

f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C (F '= f) képletben f = — és1 + X

g = x^ . Ekkor f(g(x)) = — í— , g'= 2x és F = arctgx. így:1 + x

X 1 f 1 ^ , 1 2 ^------- = — ------- • 2x dx = — arctgx + C .1 + x ' 2 J 1 + X' 2

d)Legyen az f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C (F' = f) képletben

246

KVK-1190

f = Inx és g = Inx. Ekkor f(g(x)) = Inlnx, g'= — és a 6.6.2. b) fela-X

dat megoldása alapján F = x(lnx - 1). így:r Inlnx

X(inlnx)- —dx = (l nx)(lnlnx-l) + C.

e)3x^

V l-x^dx = ■ 3x^ dx = arcsinx + C

re^ t1

í 1f , dx = 2X K ^ Jdx = -6" + C.


6.6.1.a) Legyen a parciális integrálás f 'g d x = f g - fg'dx képletében

f ' = e'"' és g = X. Ekkor f = -e '" ’ és g' = 1. így a feladat megoldása a következő;Jxe '-’‘ dx = x ( -e '- ’‘) - j ( - e ' - ’‘)-ldx = -xe '-" - e '- ’‘ +C =

= (x + l)+ C .

b ) ( x '- 2 x + 3)e’‘ + C . xsin2x cos2x ^

c ) --------- + -------- + C .2 4

d) (x^+x)sinxdx = (x^+x)(-cosx)+ (2x + 1) cosx dx =

= -(x^ + x) cosx + (2x + 1) sinx + 2cosx + C == (2 - x^ - x) cosx + (2x + 1) sinx + C .

e) (2x + 1) chx - 2shx + C .

247

KVK-1190

f) (4 x '+ 6 x + 3 6 )sh |- -( l6 x + 12)ch |- + C.

6.6.2.a) Legyen a parciális integrálás f 'g d x ^ f g - fg'dx képletében

1f ' = X és g = Inx. Ekkor f = — és g'= —. így:

3 X

x^ Inx dx = — Inx - fx ' 13 x

— dx =x ' Inx 1

x^ dx =

_ xMnx x^ _ x^(31nx-l)+ C.

b) Gyakran a parciális integrálás képletét úgy alkalmazzuk, hogy az integrandus elé egy 1-es szorzót írunk és ezt választjuk f'-nek. Eb

ben a feladatban a parciális integrálás j f 'g d x = f g - fg'dx képle

tében f '= 1 és g = Inx, tehát f = x és g'= —. így;X

jlnxdx = x ln x - |x • —dx = x lnx - Jdx = x ln x - x + C =

= x ( ln x - l)+ C .

c) 2-v/x (inx -2 )+ C .

d) J(2x + 1) In^x dx = (x + x) In^x - 2 (x + 1) Inx dx =

= (x^ + x ) ln ^ x -2 - + xvv

In x -V

dx

= (x^ +x)ln^x -(x^ +2x)lnx + — + 2x + C.

^ ) (x^ + l)a rc tg x -x ^C . f) xarctg2x-iln(l + 4x>)+C.

248

KVK-1190

g)Legyen először a parciális integrálás f 'g dx = fg - Jfg'dx képle

tében f ' = 3x^ és g = arctgx. Ekkor f = x és g'= — í—r-. így:1 + x

3x^ arctgx dx = x arctgx -1 + x '

■dx.

A kapott racionális törtfüggvény számlálója nem alacsonyabb fokú, mint a nevezője, tehát elvégezzük az osztást:

x x(l + x M -x x r f ' , X- ^ ,------ r- = —-------i---- = x --------- Ha az — dx = ln f +C kep-1 + x ' 1 + x ' 1 + x" J f

letben f helyére (l + x")-et írunk, akkor azt kapjuk, hogy a2x

1 + x

egy primitív függvénye ln(l + x"), vagyis az — egy primitív1 “1“ X

függvénye + x"). Az elmondottakat felhasználva a következő

eredményhez jutunk:

JSx "arctgx dx = x arctgx - + -^ln(l + x ")+ C .

h) - x arctgx “ ~ (x - arctgx - ln(l + x ")) + C .

f f f Xi) arcsinx dx = 1 • arcsinx dx = x arcsinx - , dx =

= X arcsmx + — 2

( l- x " ) 2 ( - 2x)dx = xarcsinx + V l- x" + C

249

6.6.3.a) Az •sin(cx + d)dx és az •cos(cx + d)dx (ahol a, b, c

és d állandók) típusú integrálok egyikét parciálisán integrálva a másik típusú integrált kapjuk. Ezt - az első integrálásnál használt szereposztással - újra parciálisán integrálva az eredeti integrál egy számszorosához jutunk. így a kapott egyenletből meghatározhatjuk az eredeti integrált.Ebben a feladatban a parciális integrálás

f 'g dx = fg - fg' dx képletében legyen f ' = e"" és g = sin2x.

Ekkor: f = e"" és g’=2cos2x.k y -

e’‘sin2xdx = e’‘sin 2 x -2 e’‘cos2xdx.

Most legyen a parciáhs integrálás felírt képletében f '= e ’‘ ésg = cos2x. Ekkor: f = e ’ és g'= -2sin2x . így:

e’‘cos2x dx = e’‘cos2x - e’‘ (- 2sin2x)dx.

Ezt felhasználva az eredeti integrálra a következő egyenletet kapjuk:

esin2x dx = esin2x - 2e cos2x - 4 esin2x dx .• •

Ebből az alábbi egyenlőséghez jutunk:5 e’‘sin2xdx = e’‘(sin2x-2cos2x)+5C ,

ahol a jobb oldalra egy állandót írtunk, hiszen a baloldal tartalmaz egy állandót. A célszerűség kedvéért ezt az állandót 5C alakban írtuk fel. Tehát a végeredmény:

e’‘sin2x dx = — (sin2x - 2cos2x)+ C .

e2x+3b) —^— (2 cosx + sinx) + C .

KVK-1190

250

KVK-1190

6.7. Racionális törtfüggvények integrálása

6.7.1.1

a )A 2 x - x - l = 0 másodfokú egyenlet gyökei — és 1. így:

2x ' - x - l = 2 x + - 2

(x - 1) = (2x + l)(x - 1). Ezért a résztörtekre

való felbontást a következő alakban kereshetjük: x + 2 A B

(2x + l ) ( x - l ) “ 2x + l x - T

mivel a felbontásban a (2x + 1) elsőfokú tényezőnek2x + l

es az

X - 1 e l s ő f o k ú t é n y e z ő n e kB

x -1felel meg, ahol A és B állandók.

Az egyenlőség mindkét oldalát (2x + l)(x - l)-gyel megszorozva a következő egyenlőséghez jutunk:(*) x + 2 = A (x-1) + B(2x + 1).

r nAz első résztört nevezőjének zérus-helye a — . Ezt a (*) egyen

lőségbe az X helyére behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

- i - i2

1, mivel a B(2x + 1 ) tényező az ^- i + 2 = A

2kénél 0. Ebből A = -1.A második résztört nevezőjének zérushelye 1. Ezt az x helyére behelyettesítve a következő egyenlőséghez jutunk:1 + 2 = B(2 • 1 + 1), mivel az A(x - 1) tényező az x = 1-nél 0. így B = 1.

A kapott értékeket felhasználva az alábbi felbontást kapjuk: x + 2 1 1 '

• így:(2x + l ) (x - l ) 2x + l x -1 x + 2

í ( 2 x + l ) ( x - l )

1 1+ ■2x + l x -1

dx =

251

KVK-1190

In 2x +1+ In X -1 + C .

,^ x ^ - 4 x ^ + 2 x x (x ^ -5 x + ó )+ x ^ -4 x b) — = ^ =x " -5 x + 6 x " -5 x + 6

X +

x ^ -5 x + 6 + x - 6 , x - 6 , 4 3+ -------;-----------------------= X + 1 + —------------= X + 1 + -

x^ -5 x + 6 -x -4 x ^ +2x

X -5 x + 6 x - 2 x - 3

x ' -5 x + 6x

dx = X + 1+-x - 2 x - 3

= — + x + 4 1 n x - 2 - 3 1 n x - 3 + C .2

c) 31nx - 3 1 n l-x - I n l + x + C.

d )3 1 n x -2 - 2 1 n x - l - lnx + 3 + C.

e) A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük: x '+ 3 x + 7 A B C

■ + ------ r:r + -(x -3 )(x + 2) x - 3 (x + 2) x + 2

mivel a felbontásban az x - 3 elsőfokú tényezőnekx - 3

felel meg.

továbbá (x + 2) az x + 2 elsőfokú tényező második hatványa, B Caminek a ------- — + ------ összeg felel meg. A felírt egyenlőség

(x + 2) x + 2

mindkét oldalát (x - 3)(x + i f -nel megszorozva az alábbi egyenlőséget kapjuk:(*) x ' + 3 x + 7 = A ( x + 2 f + B ( x - 3 ) + C (x + 2 ) ( x - 3 )

Az eredeti tört (x - 3)(x + 2) nevezőjének zérushelyei: 3 és -2. A (*) egyenlőségben x helyére 3-at behelyettesítve a következő egyenlőséghez jutunk:3 '+ 3 -3 + 7 = A(3 + 2 f ,

252

KVK-1190

mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = 3-nál 0. így 25 = 25A, azaz A = 1. Ezután a (*) egyenlőségben az x helyére a nevező másik zérushelyét a (-2)-t írjuk. Ekkor azt kapjuk, hogy:( - 2 f + 3 ( - 2 ) + 7 = B ( -2 -3 ) ,mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = -2-nél. így;5 = -5B, azaz B = -1. A (*) egyenlőség baloldalán az x együtthatója 1. A jobb oldalon az A(x + 2)^-ből Ax^-et, C(x + 2 )(x -3 )-ból Cx^-et kapunk, így ezen az oldalon az x együtthatója A + C. Tehát 1 = A + C. Az A értéke 1 volt. Ezért C = 0. A kapott értékeket felhasználva a felbontás a következő:

x" +3x + 7 1(x -3 )(x + 2)' x - 3 (x + 2)'

. Tehát a végeredmény:

x +3x + 7(x -3 )(x + 2y

dx = Jx - 3 (x + 2)^

dx = In X - 3 + -x + 2

-+ c .

f) In X - 2 + — -----In X +1 + C .x + 1

g )---- 21nx - Inx + 1 + 3 1 n x - l + C.X

h) A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük; x '+ 7 x - l A B C D

(x - l ^ x + 6)" " (x -1)" X -1 (x + 6)" X + 6 ■A végeredmény;

1 1í

x" + 7X -1 1 f 1 1■ dx = - ^ + ■( x - l f ( x + 6) 7 J l^ (x -l)^ x - 1 (x + 6 f x + 6

dx =

x -1+ In X -1

x + 6- In X + 6 + C.

i) A nevező az x és a nem felbontható 1 + x tényezők szorzata. A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük;

253

KVK-1190

+X + 2 _ A ^ B x + CX 1 + x

mivel az elsőfokú x tényezőnek — és a nem felbontható 1 + xX

tényezőnek -------^ felel meg. Mindkét oldalt x(l + x^)-tel meg-1 “I" X

szorozva a következő egyenlőséget kapjuk:(*) x^ +x + 2 = a (i + x")+(Bx + C)x .Az eredeti x(l + x^) nevezőnek egy zérushelye van és ez a 0. Ezt az (*) egyenlőségbe helyettesítve az alábbi egyenlőséghez jutunk:0 + 0 + 2 - a (i + 0^), vagyis A = 2.így a (*) egyenlőség a következő alakban írható fel:x^ + x + 2 = 2(l + x^)+(Bx + C)x,azazx^ + x + 2 = (B + 2)x + Cx + 2.A baloldalon az x együtthatója 1, a jobb oldalon B + 2, tehát B = - l .A baloldalon az x együtthatója 1, a jobb oldalon C, tehát C = 1.A kapott értékeket felhasználva az alábbi felbontáshoz jutunk: ■>f +x + 2 2 - x + 1 í

r • így:.3X + X

•x^ + X + 2 x +x '2 1

X 1 + x^

dx =

2x

2 - x + íX 1 + x^

- + ■ 12 1 + x" 1 + x

dx = 21n X “ )+ arctgx + C .

j) - ln |x + l| + —ln(x^+ 4)-2arctg—+ C.

k)A nevező az x és a nem felbontható 1 + x tényezők szorzata. Arésztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük:

3x - 2 A B Cx + B

254

mivel a felbontásban a nevezőben szereplő x elsőfokú tényező má- A Bsodik hatványának — H— és a nem felbontható +1 tényező-X X

nek — felel meg. Mindkét oldalt x^íx^ +l)-tel megszorozva x^+1

a következő egyenlőséget kapjuk:(*) 3x - 2 = a (x' + 1)+ Bx(x' + 1)+ (Cx + D)x ' .A tört x^(x^ + l) nevezőjének egy zérushelye van a 0. Ezt a (*) egyenlőségbe behelyettesítve az alábbi egyenlőséghez jutunk: 3 - 0 - 2 = a ( 0 '+ i),mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = 0 estén 0. Tehát A = -2.így a (*) egyenlőség a következő alakban írható fel:3 x - 2 = -2(x^ +l)+Bx(x^ + i )+(Cx + D)x^, vagyis 3x - 2 = (B + C)x'+ ( D - 2 ) x ' + B x - 2 .Itt a baloldalon az x együtthatója 3, a jobboldalon B, tehát B = 3. A baloldalon az x együtthatója 0, a jobboldalon B + C, tehát B + C =0. Mivel B = 3, ebből C = -3. A baloldalon az x együtthatója 0, a jobb oldalon D - 2. tehát D = 2.A kapott értékeket felhasználva a következő felbontást írhatjuk fel:

3 x - 2 - 2 3 -3 x + 2 ,- 2/' 2 " — + - + 2 1..• így ^ vegeredmeny:X (x + lj X X X +1

KVK-1190

^ d x = f ( - 2 ) -

2

. 1 3 2x 1, + 3 ------------ r---- + 2 --------;

X 2 X +1 1 + x'dx =

= —+ 31nx — ln(x^ + l)+2arctgx + C.X ^

1) ln|x| + ^ ln (x '+ 2 x + 4)+C .

255

6.8. Integrálás helyettesítéssel

6.8.1.a) Ha egy integrálban egy lineáris függvény különböző gyökei szere

pelnek, és a lineáris függvénynek azt a gyökét vezetjük be új változónak, amelynek a gyökkitevöje a szereplő gyökkitevők legkisebb közös többszöröse, akkor általában egy racionális törtfüggvény integráljához jutunk. Ebben a feladatban legyen: t = Vx + 1, azaz X = t -1 , tehát dx = 2t d t .Ezeket az integrálba behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

| x ' V ^ d x = |( t ^ - l ) 't - 2 td t= J ( t '- 2 t '+ l ) 2 t^ d t =

KVK-1190

= 2 Í ( t^ - 2 t" + t ') d t = 27 5 3

+ C —

= 2 (Vx + l)^ { j x + \ J7 5 3

ben visszahelyettesítettük a t helyére a (Vx + l]-et.

+ C , ahol az utolsó lépés-

b)Legyen \[x - t , azaz x = t és dx = 3t^. Ekkor:dx

3x + \ [x^

3-V ^ + l

3t'

= ln

-3 t' + t '

+ C.

dt =3t + l

dt = ln3t + l +C =

c)2 Vx + 4 - In 2 + V x+4____ ,C . d )x -2 (V ^ - ln ( l + V^))+C.2 -V x + 4 j

e) x + 4 (V x -l + ln V x - l -1 + C . f) 3 V x+ ln V x - l ) + C .

g ) |ln ( l + V j^ + C.

256

KVK-1190

h ) 4 1 n ^ - l + ln(Vx + Vx + l)+ 2V3arctg^ - + C.

i) 6 + arc;tgVx + C.

6 12j) lnx + --------^ + - -12-ln(l + '^ ) + C .

6.8.2.dt í

a)Legyen t = 6* . Ekkor: e ^ = , x = Int és dx = — . így;

r dx r 1 dt dt f i i 1 ^e2x _gX ~ } ^2_^ - J

= - - l n t + l n t - l + C = e “ t

t ^ ( t - l ) - J

" - x + ln e’‘

t ' t t - l j

-1 + C .

dt =

b) X - ln(e’‘ + 1)+ —-— + C . e ’‘ + l

c) Legyen t = e’' . Ekkor: sh x = ----- -— = -— - = -— és dx = —2 2 2t t

dxshx

2t dtt " - l t t^ - 1

dt = In 1 - t1 + t

+ C —

In l - e ’+ C = ln th ^

1 + e" 2+ C.

X

d) X - ln(l + e’‘)+ 2arctge^ + C .

e) ^ - - ^ I n e ’ - 1 -■^ln(e’‘ + 2 )+ C . f)chx + ln th ^ + C.

257

6.8.3.

a) A sinx és cosx racionális törtfüggvényeit gyakran a t = tg— he-

2t iiZdtlyettesítéssel célszerű integrálni. Ekkor sinx = ;— -7 , dx =

KVK-1190

1 + t 1 + t 'Ezeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy: f dxax _ f 1 2dtsin\ 1 + t

= ln t +C = lnt

x^tg ^

V ^ J

ahol az utolsó lépésben visszaírtuk a t helyére a "t-

Xb )ln l + t g - + C.

2 te - c) —arctg— + C .

d ) 21n l + tg |- In 1 + tg ^ - + C

e ) i ln - 6+ —5 5 tg -f + 2 tg f + l 5

5 t g f + 1 Xarctg— ---- + -

2 2+ C,

f) — In25

3 t g ' f - 8 t g f - 31 + tg ^ f

H-------X + C25

6.8.4.a)Ha egy másodfokú kifejezés négyzetgyökét tartalmazó integrál

teljes négyzetté való kiegészítés után

■yja - {cx + df (a, b, c € R és a > 0) típusú kifejezést tartalmaz, akkor gyakran a cx + d = a-sint (vagy a ex + d = a cost) helyettesítést célszerű alkalmazni. Ebben a feladatban legyen X = 2sint, ekkor dx = 2cost dt. Ezeket az integrálba behelyettesítve

azt kapjuk, hogy:^ | 4 - x ^ d x = -y/4-4sin^t -2costdt - 4cos^tdt.

258

Most alkalmazva a1 “h cos2tcos^t = ----------- ún. linearizáló formulát a következőhöz jutunk:

KVK-1190

4cos^tdt = 2 (l + cos2t)dt = 2 t + -sin2t+ C.

Ebből felhasználva, hogy sin2t = 2 sint cost = 2 sint • Vl - sin t és

visszaírva az (x = 2 sint)-böl adódó t = arcsin— értéket, az alábbi

eredményt kapjuk:

|V 4 -x ^ dx = 2X X

arcsin—+ —2 2 ] j

1 - + C =

X x-\l4-x‘■ + C.- 2 arcsin—+2 2

Megjegyezzük, hogy valójában kétszer is „csaltunk”, mivel

V 4-4sin^ t == 2cost és cost = ±Vl -sin^ t . A végeredmény mégis helyes, amiről differenciálással könnyű meggyőződni. Tehát arról van szó, hogy „a két csalás kiegyenlíti egymást”, amit nem nehéz precízen is bizonyítani.

b) 5 + 4x - x^ = 9 - (x - 2)^. Tehát, legyen x - 2 = 3sin t. Ekkor:X = 2 + 3sint és dx = 3cost d t . így:

(•(2 + 3 sintdx =

V 5 - 4 x - x ' J 3 cost

(4 + 12sint + 9sin^t)dt =

•3costdt =

= 4 t-12cost + — 2

sin2t

4 + 12sint + 9- 1 - cos2t dt =

+ C = — t - 1 2 V l - s i n ' t -2

9 . r---- ^ 17 . x - 2 (x + 6W5 + 4 x -x ^ ^— sm tv l-sm t + C = — arcsm----------------- ----------------- + C.

2 2 3 2Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldásánál elmondottak szerint végeztünk el.

259

KVK-1190

. x + 1 (x + l W l - 2 x - x ' ^c) arcsin— ----------------+ C .

V2 2

d) Legyen x = sint. Ekkor: dx = cost d t . így:

■dx =X

cos^tsint

dt =1-sin^t

sintdt =

sint- sint dt =

= ln

= ln

t'« 2

+ cost + C = In sin^tsínt

+ V l-x ^ + C .

+ V l-sin^ t +C =

1Felhasználtuk, hogy a 6.8.3. a) feladat megoldása alapján az —sinx

egy primitív függvénye In •s f . Felhasználtuk továbbá a követke-

X 1 - cosx 1 - V l-sin^xzo egyenloseget is: tg — = ----------= ------------------ .

2 sinx sinxMegjegyezzíik, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldásánál elmondottak szerint végeztünk el.


6.9.1.y x

a ) - ^ ----- — + C.In5 ln2

b)-x-ctgx+C.

o ^ . c ,5

e) X - th X + C .

d) In 1 + Inx + C .

f) ^ ln (x '+ 8 )+ C ,

260

KVK-1190

g) -2Varccosx + C.

i)

, . X sh6x ^k) - + ------ + C .2 12

h ) -

j)-^ln(x^ - 6x +13)+ arctg - + C .

4(3 - cos x)"■ + C.

x - 3

1) sh^x dx =

ch 'x

(ch^x -l)shx dx =

- chx + C .

(ch^x shx - shx)dx =

m)A sin2x = 2sinxcosx és a sin^x =1 - cos2x

azonosságok alapján:

• 2 2 sin 2x l-co s4 x r sin X cos X = ---------= ------------ . így:

• • 2 2 , 1sin X cos X dx = —8J

(l-cos4x)dx = — X -sin4x

+ C .

n) Jsh^xch^x dx = ((sh^x)(l + sh^x)chx) dx =

= (sh^xchx + sh'^xchx)dx = sh X sh X _ ------+ -------+ C.

o) tg^x dx =cos x

-1X

tg X dx = — + In cos X + C.

p) In sh X cth^ X+ C.

r) Legyen az Jf(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C (F' = f ) képletben

261

KVK-1190

f = J - — és g = x ^ Ekkor: f(g(x)) = - 7 = L = , g' = 8x’ , -/i ^ - 2 Vl-X'®VT

és F(g(x)) = arcsinx^. így:

dx = —Vl-x'® 8 ^yf[Z

1 V arcsin x• 8x dx = ----------- + C ..16

s) Legyen az f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+ C (F' = f ) képletben

1 + xés g = Inx. Ekkor:

f(g(x)) = :;— g' = - , F = arctgx és F(g(x)) = arctglnx. így:1 + ln X X

dx c l 1:(l + ln^x) M + ln^x x

— dx = arctglnx + C .

t) -2 c o sV x + C .

u)Legyen az f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C (F' = f ) képletben

f = Inx, g = tgx. Ekkor:

f(g(x)) = Intgx, g' =cos X

és a 6.6.2. b) feladat megoldása sze

rint: F = x(ln X - 1), s ezért F(g(x)) = (tg xXln tg x - 1). így:

dx = (tgx)(lntgx - 1) + C .cos X

6.9.2.

a)dx

(x + l)(9x^ + 6X + 4) 1

1 3

= In X +13x + 2

x + 1 (3x + 2) 3x + 2

— In 3x + 2 + C .

262

KVK-1190

b)dx

x ^ -x ^1 1 1 1---- ------ --------1-------

X X X x- 1dx =

2x' x

c) 2(V^-21n(2 + V^))+C. d)3(1-x)^ (1 -x)^

7 4+ c .

e) 63 2

+ C.

f) 2 In Vx + 1 -1 - ln(x +1) + C . g) e’‘ - ln(l + e’‘)+ C

h) X + ------+ C .1 + e

6.9.3.a)Legyen x = sint. Ekkor: dx = cost dt és Vl - x^ = cost. így:

dx

x V l- x '

dtsint

= In + C , ahol az utolsó lépésben a

6.8.3. a) feladat megoldásában felírt eredményt használtuk fel.

. . . , a 1 -cosa 1 -V l-s in ^ a • *u i 'Mivel tg — = ----------= ------------------ , azért a smt helyere vissza-2 sina sina

írva x-et a következő végeredményhez jutunk:

dx= ln

1 -V T ^+ c .

Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldásánál elmondottak szerint végeztünk el.

263

KVK-1190

\ Í+ c .

c) -X cos3x 2xsin3x 2cos3x

- + ■27

d)Legyen a parciális integrálás képletében g = x + 1 és f ' = 2 . így:x + 1dx = ■(x + 1)2-’‘ dx = +

ln2 ln2•dx =

x + 1 12Mn2 2M n'2

• + C.

e) Legyen a parciális képletében f ' = x és g = In x . így:’ . 2,Inx^

Újra parciálisán integrálunk az f ' = x és a g = Inx szereposztással.

’ -2 1 j Inx x Inx dx = ------ +

Tehát a végeredmény:

í dx = - —(ln^x + 21nx + 2)+C .•’V X j X

g)Legyen a parciális integrálás képletében f ' = x^ és g = arccos2x.. 3

•így:Ekkor: f = — és g' = — , ^3 V T 4 ?

x^ arccos2x dx = — arccos2x + — f , ^ d x ,3

264

KVK-1190

Alakítsuk át a kapott integrandust!l ( l - 4 x ^ ) x - x _ 1

V l-4x^ 4 V l-4x^ 4x^|l-4x^ -

X

V l-4x^

32(l - 4 x ' )2(- 8 x )- (l - 4x^ ) '2 (- 8x)

Mivel (l - 4x^) = - 8 x , azért alkalmazhatjuk aza+1

ff “ f ' dx = ------+ C (a 7 - l ) képletet az f = 1 - 4x^ és az•' a + 1

a = —, valamint az a = - — választásokkal. Tehát:2 2

x^ arccos2x dx =

3 1 / i _i '= ^ a r c c o s 2 x + — j ( l-4 x ^ )^ (-8 x )- ( l-4 x ^ ) ^(-8x) dx =

x (l-4x^)^ V l-4x^= — arccos2x + ---------- -----------------+ C.

3 72 24

h)Parciálisan integrálunk.f . / , x^arcsin(x-l) 1 X arcsm(x -1 j dx = ----------------- - — dx

A kapott integrált pl. az x - 1 = sint helyettesítéssel lehet kiszámolni. így;

dx = • cost dt = (l + 2sint + sin^t)dt =cost

rí. . l-c o s2 t = J 1 + 2smt + ----------- dt =cos2t— + 2sint -

2 2dt =

3^ - sin2t ^ 3^ - r. s in tV l-s in 't= - t - 2 c o s t ---------+ C, = - t - 2 V l - s m n ------------------

2 4 ' 2 2így - egyszerű átalakítások után - a feladat végeredménye:

+ c , .

265

KVK-1190

arcsin. / (x + 3)V 2x-x" in(x -1 ) +-5------------------ ■+c .

Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldásánál elmondottak szerint végeztünk el.

i) - - ^ ( s i n x + cosx) + C.

j) cos^x = + cos2x integrálással kapjuk, hogy:

|e ’'cos2x dx =

e’‘sin2x 1----------- 1---2 2

e’‘sin2x 12 2

e’‘cos2x 12 2 J

e’‘sin2x dx =

e’‘cos2x dx

Ebből egyszerű átalakítások után következik, hogy: 5- e’‘cos2xdx = e''(2sin2x + cos2x)+Ci.

Ezt felhasználva a feladat végeredménye:1 e’‘— x + — Í2 sin2x + cos2x) + C .2 10^ ^

k)1 - tg f

■ + C. 1) — x + —arctg-^^ + C.4 2

266

KVK-1190

7.EGYVALTOZOS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI

7.1. Alapíntegrálokra és az Jf(g(x)) g'(x)dx = [F(g(x))a

(F' = f) képlet speciális eseteire visszavezethető feladatok

3 Ia) Az egy primitív függvénye — , a Vx = egy primitív függvé-

. 3X 3 ~ 'nye ped ig----- = — x ^ . így a Newton-Leibniz formula alapján:

1 + 1 4

(x - Vx)dx = 3 1-----x^ = ------ 11.83 -3 4

= 159,08.3 3 4 12

d)i.

sh2e)

dx

shl Vl + x^In X + Vl + x^ 13, = ln(sh2 + Vl + sh^2

- ln[sh 1 + Vl + sh^l) = ln(sh2 + ch2) - ln(sh 1 + eh l) == Ine - Ine = 2 -1 = 1, ahol felhasználtuk, hogy 1 + sh^x = ch^x és shx + chx = e’' . Egyszerűbben juthatunk célhoz, ha ismerjük az shx függvény inverzét, mert ekkor:

267

sh2

KVK-1190

dx

shlVl + Xarshx]j“ = 2 -1 = 1

f) sin^ —d x = — (l-cosx)dx = —X - sinx31 ^Í3

ln 2 x - l ln3

ln2h) k z í í

ln22x

-2x

dx = M - 4 e " + e '’‘

0

A ^ A ^4 -------- 4 ------ + x- 2 -1

2x

1= - - + ln2. 2

i) l n | .

j) cos" — dx = J ^ dx = —J(l + 2cosx + cos^x)dx = 0 ^ ^0

l + 2cosx + l + cos2x dx =

x + 2sinx + — 2

x + -sin2x 43t + 9V3

32

6 10 1 k) sh^3x dx = — (ch6x - l)dx = —

n 2 2

sh6x- X

6 _ sh l-1 . " 12

268

KVK-1190

3 dx ln(3x + - l )chlX _ ln(chl + shl) _ 1

“ 3 ~ 3

m ) y + 71n2.

n) j- dx -1 dx_2X +4x + 5 _2 l + (x + 2 f

arctg(x + 2)_ -I _ n

-^ “ 4

1 , 10 o) - I n —3 7

- 3 -3

P)-4 (x + s y

dx = 1

-4 V

1 5- +

(x + 5)> (x + 5)*

13

dx =

2(x + 5) 3(x + 5)

- 3

-412

r)x + 2

X + 2 x + xdx = x + 2

1 x(x + l)'dx =

X (x + l)^ x + 1dx =

2-ln + ■x + 1

- 2 • In X + 11 ^ , 4

= — + 2 • In —. 6 3

[ dx 1 ^ f i Ml - x ^ " 2 J

1vl + X

dx =

'V 3 “73

1 . l l —arctgx + —In 2 4

1 + x1 -x

^ K 1, V3 +1 = —+ —ln-7=— . ± 6 2 V 3-1

”V3

269

l . \ 2 .

a)

KVK-1190

^ X , 1 ^dx = -20 Vl + x^

(l + x^) 2 . 2x dx = Vl + xV3

= 1.0

b)0. c)1 1

shln2 shlnS 12 < .)f . e)InlO

V5f)

x -1______ - (x ^ - l ) ~ 2 .2 x —

i V x ' - i V x ^ - i

g)

^|x^ - I - In x + Vx^ -1

8 - 5V2

V s + 2 '

12

h) c t g \ = ctg^x • ctg^x = (ctg^x)í —^ -1Vsin X ^

= (c tg ^x )-T ^ - ctg^x = (ctg^x)-:^^-------+1. így:sin X

ctg'^xdx =ctg X

+ CtgX + X

sin X sin X

3 _SV3 K 27 6 ■

i)1

2-ln3

7.1.3.

a) tg2x dx = —]_‘'r-2sin2x 2 cos2x

nIn cos2x

,^ l n 2“ 2

b)ln3.

270

KVK-1190

c) —;-------;-----dx =—x " + 2 x ^ + 2 4

X + X , Ír,ln (x '+ 2 x '+ 2 )] ‘

d)sinx - cosx dx = - Insinx + cosx

sinx + cosx 2 = 0 .

e)1 2X + 1-1 1 2 x + l

x^+ x + 1 2 x^+ x + 1 2 x^+ x + 1 31 +

-1X^ + X + 1

ln3 TtVs

1 , / 2 i'i V3 2x + l — Inix + X + 1I------ arctg— 1=—2 ’ 3 S -1

•’ í;x^+3x rdx =

0 V(x + l)(x^+l)2x 1

X +1 X +1 x+1

ln(x^ + 1)+ arctgx - ln|x +11 _ 710 “ 4

g)Ha f egy primitív függvénye F, akkor f(g(x))g'(x) egy primitív

függvénye F(g(x)). Tehát, legyen f = , = és g = 2 e \ EkkorV l-x^

F = arcsinx és g' = 2e’‘ . így;

in(2e’‘)- | .„ 2

-2-ln2

,........... dx = —V l-4 e '" 2

arcsmi’4ln2 7T

-2-ln2 12

h)0.

Megjegyezzük, hogy a t = e’ helyettesítéssel talán könnyebb megoldani a feladatot.

71i ) e - 1. j) 12

271


KVK-1190

7.2.1.a) Legyen a parciális integrálás képletében g = x és f ' = e . Ekkor:

g' = 1 és f = - e “’‘. Tehát:ln2

xe dx = - x eln20

ln2

■ f(-e"’‘)dx = -ln2 ln2 _ 1 - ln2

0 ~ Z

c)4 ti.

d) 2(2 ln4 + l)sh ln2 - 8ch ln2 + 8 = - | + 61n2.

e)0. í)e^-1

7.2.2.a) Legyen a parciális integrálás képletében f ' = 1 és g = ln(x + 1).

Ekkor: f = x és g' = — . Tehát: x + 1

ln(x + 1) dx = [x ln(x + 1) X

x +- dx = ln2 - dx1 í x + 1

= ln 2 - 1 -x + 1

dx = ln2 - x - In X + 1 = ln4 -1 .

b) — +ln4. 4

. 6 + ^|3n 7 -c ) ---------- . d) — + 5 • In 2,12 ^ 9

272

KVK-1190

4ie) (x - -v/3)arctgx dx = arctgx

V3

V3í ( x - v j r 1 ' dx = r 1 Vs 2x 1 '

•0 2 1 + x '\ / 0 2 2 1 + x 1 + x^\ ydx =

V3

f)7i-ln4

8

7.2.3.a) Kétszer egymás után ugyanolyan szereposztással parciálisán integ

rálva az eredeti integrál egy számszorosához jutunk, s ebből már az integrál értéke felírható.

e^’‘cosx dx = e^’‘sinxí 2. 2 _

7t

22

2e^'‘sinx dx = e" + e ” +

+ 2 2xe cosx

71

n 2. 2 _

71

~2 2

2e '‘cosxdx = e " + e ” - 4 e ’‘cosxdx. így;

azt kapjuk, hogy:

5 e^’‘cosx dx = e" + e " = 2ch7i, s ebből: Je^’‘cosx dx = 2ch;r

b ) | e 1 + e c)e " - 3 d) — (e " ‘ +e)

273

KVK-1190

7.3. Helyettesítéssel megoldható feladatok

7.3.1.a) Legyen t = Vl + x , ekkor x = -1 , s ezért dx = 2t dt. Az új hatá

rok: Vl + 0 = 1 és Vl + 1 = V2 . így az integrál:

( t '- l ) - t - 2 t d t = 2 í( t" - t^ )d t = 25 3

V2^ 4(1 + 7 2 )

15

b) t = V x-1 , X = t +1, dx = 6 t ^ t . így az integrál:

t - t .56t" dt = 6i t ' - l

54V3 - 34V2

•dt = 6V2Vat" +1

- 2ti + 6arctgV2 .

t " - t ^ + l - - 11 + t '

dt =

c) Legyen e’ = t. Ekkor: x = Int, s ezért dx = ^ . Az új határok: e° = 1

-in3—inj I-- rés e^ = V3 . így az integrál:

t^ + 2 t dt S

+ 1 tt + 2 VJ

t '+ ldt =

-^ln(t^ + l)+2arctgt/3

^ 2 t ^ + l

_ ln2 71 “ ^ ^ 6 ■

t '+ ldt =

1 + 1 dt 12 - t t 2 / '^ 2 - t t

3 1+ - dt = I [- 3 • ln|2 - 1| + ln|t|] f = ln(2 V3).

X * X . 2t . 2dt * Me) tg — = t , sinx = —— , dx = -— — . így az integrál:

274

KVK-1190

J2--23- '1 + -

i S

V 1 2dt dt____ _ ________ dt. ' 2 - * T 7 7 " J t ^ - t + r 3 J ü ^

arctg-2 t - lV3

2V371

- X 1-t^ , 2dt ' • * Mf) tg—= t, cosx = -----dx = ---------. így az integrál:2 1 “1“ t 1 “1“ t

‘ 1 2dt V dt 1 V dt

V33 + ^ 1 + t ^ 2 + t 2 ^ 1 +

t 1' _V2 1 1 ^arctg

V2 ^ 2arctg arctg V2 A/6 y

g)x = 2 sin t, -\/4-x^ = 2 cost , d x = 2 co s t dt. í g y a z in tegrá l:

71

24 s i n ^ t - 2 c o s t - 2 c o s t d t = | 4 s i n ^ 2 t d t = 2 ( l - c o s 4 t ) d t = J i ,

0 0 0

h) X = — , Vl + 4x^ = cht, dx = — d t. így a z integrál:

fiÍLl dt = — f(ch2t - 1) dt = — i 8 16^ 16

sh2 -1 e"* -4e^ -1 64?

i) x = cht, -y/(x-l)^(x + l) = |x-l|Vx^ -1 = |cht-l||sht dx = sht dt. így az integrál:

ch2t-l^(cht-l)sh^tdt - sh tch t-- dt =

275

KVK-1190

sh^t sh2t 1----------------1---^3 4 2

sh^2 sh4 + 1.

1 l el + V

dt = [2(t - arctgt)

j) t = -1 , X = ln(l + ) , dx = • így integrál:

4 - 7 1


7.4.1.

a ) l - chln2 / 2

693 _ 4

d)7 ^12

e) — . 16

f)0.

g)(x + 1)

(x^+ l)(x^+ 2)dx = I

2x 2x 1 dx =

ln(x^ + l)-ln(x^ + 2)+ — a r c t g ^2 -\/2

4242-k , 3------ + ln—.

8 2

71

. , 1 , 2 1) - I n - .

6 5j) 7 + ln4.

k) e’ = t , dx = ^ . így az integrál értéke:

276

KVK-1190

VI dt' t + f ' t

V3 dt+1

= arctgt~12

1) - l + - ln 3 . m )— lnl2.5

n) 1 + 2sin^x = sin^x + cos^x + 2sin^x = cos^x + Ssin^x =

= (cos^x)(l + 3tg^x)= (cos^x)íl + (V3tgxf \ Tudjuk, hogyV y

f(g(x))g'(x) egy primitív függvénye F(g(x)), ahol F a f egy primi

tív függvénye. Legyen f = — és g = Vs tgx . Ekkor: F = arctgx1 + x

V3és g' = —-Y~ • Ezeket felhasználva az integrál értéke a következő:

cos x

_ L J L d x = J -^3 (, 1 + { 13 tgx)^ X Vs

arctgl(Vstgx) 4 — 0 ”n

sVs ■

o)

Megjegyezzük, hogy a feladat megoldható a szokásos t = tg— he

lyettesítéssel is, de ez hosszadalmas és nehéz számoláshoz vezet.

3 ; i - 2 - ln l636

P)f2’‘ +3^ 1

dx = J 2vey

+ dx =

e - 2 e - 3e ( l- ln 2 ) e ( l - ln 3 ) ‘

1

e

+1

In -e

277

7.5. Határozott integrálok alkalmazásai

7.5.1.a)Az x ^ -4 x + 5 = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa negatív,

ezért a megfelelő függvény minden x-re, s így 0 < x < 3 esetén is pozitív. Tehát a görbe és az x tengely közti terület:

KVK-1190

)

(x - 4 x + 5)dx = ■-2x" +5x = 6.

b)7i. c)l. d)ch(2-ln3)-ch(2-ln2)_175

144

e)Az x ^ + x -2 = 0 másodfokú egyenlet egyik gyöke -2, a másik 1. Ezért a megfelelő görbe a (-2; 1) intervallumban negatív, azon kívül pozitív. így a kérdezett terület:

x ^ + x - 21 z

dx = ( - (x ^ + x -2 ) )d x + (x + X -2 )dx = 3.

f) |x ( l - x ^ ) d x = x ( l - x ^ ) d x - jx ( l - x ^ ) d x + x ( l - x ^ ) d x -- 2 - 2 -1 0

- 'x ( l - x ^ ) d x = — .

g , k ± l 3 ^ - 3 , „ 2 .6

h)l + ln^2

7.5.2.a)Mivel az adott intervallumban y = sint>0 és x = -2 sin t< 0 , a

kérdezett terület értéke a következő:sin2t^’'

yx dt = (sint)(2sint) dt = (1 - cos 2t) dt t .j t .

278

KVK-1190

b)37r.

7.5.3.a)A két görbe közös pontjainak abszcisszáit a 6 x - x ^ - 7 = x - 3

másodfokú egyenlet gyökei adják meg. Ezek l é s 4 . A z l < x < 4 intervallumban 6 x - x ^ - 7 > x - 3 , tehát a kérdezett terület:

J ó x -x ^ - 7 - ( x - 3 ) dx =x 5x^--------[_ _3 2

-4 x92

b )1 8 e " '-2 .

c)A két görbe közös pontjának abszcisszáit a tgx = —cosx egyenlet

gyökei adják meg. Az egyenletből - egyszerű átalakítások után - a

2sin^x + 3sinx - 2 = 0 egyenlethez jutunk, amiből sin x = —. Ennek2

naz X = 0-hoz legközelebb eső gyöke —. A

60;

n intervallumban

tgx < — cosx, így a kérdezett terület a következő:

—cosx-tgx dx = —sinx + Incosx3

3

4 r

d) X Vl - X - (x - x) dx = ( l - t^ ) t ( - 2 t ) d t -A 125 5

= 0,230805.25

279

KVK-1190

7.5.4.a) A kérdezett térfogat a következő:

2 27t dx = 711(4 - dx = 7t

- 2 - 2

8x' x '16x-------+ —

3 5 - 2

5127115

b ) |ln 3 . 1 -

ln2 ln2 / í r . \f u 4 1 rfch2x + l l

d) 71 I eh X dx = 71 J ----------ln2 -ln2 V 2

2 ln2

dx = -4 -ln2

(eh 2x + 2eh2x + l)dx =

= i ích4x +1

+ 2ch2x +1-ln2

dx =

3-ln25MlJ5?) + sh(2.1n2)+. 8 ’ 2 )

735128

+ 3-ln2

7.5.5.

a) y' = 3x^, tehát az ívhossz az s = jVl + (yO képlet alapján:

2s = 1 + 3x2

V ydx =

27(l + 9x)

11= 74.

1

b) s =X \ 2 1

1+ 1 - x 1dx = -

1[ V 2 x -x ^ J

dx

1 V l - ( x - l ) '

f)3 + ln2.

d)253

g)ln3.

e)40

h)V2

280

KVK-1190

7.5.6.

a) x = 2t, y = -^-3t^. így x + y = 3 t '+ -3y

. Tehát:

s =3y i \

3 t '+ - dt = t ^ + -3 4

27

b)10. , 1 sh2c ) - + ----^2 4

d)V 2.

e ) s = í^ (6 t '-1 0 t" ) '+ (4 V Í5 t ') ' d t= {(ó t'+ 10t")d t =2 V2

271f) s = -y/(-Beoszt sint+(3sin^tcost)^ ~ 2

2)tsin2t dt -

= 6 sin 2t dt = 6.

g) +y^ =(l-cost)^ + sinh = 2 (l-cost) = 4sin^-^.

2tü .s= J2sin—dt = 8.

h)l.

281

57T

KVK-1190

k ) s -í \2- sin t +

sínt

5716

+ cos^ t dt = 'y/ctg^t dt = (- ctgt)dt =

SttInsint] ® = ln2.

2

7.5.7.

a) Legyen n = 2k, h = ------ és Xj = a +ik (0 < i< n).n

Ekkor a Simpson-formula a következő;

f (x )d x « ^ f (x J + f (x J + 2 -£ f (x 2 j)+ 4 -^ f (x 2 j_ i)j=i j= i

így ha f = = ^ , a = l , b = 2 é sn = 4, akkor:X

dx 1 1 + - + 2 - - + 4 4 9 x" 12 ^

Ha n = 8, akkor pedig: rdx

J_6 ]6 2 5 ^ 4 9 yy

0,50004.

x ' 241

+ 4

64 64 64+ ---- + - +

64 64 64 64+ ---- + -----+

100 144 196,

« 0,50003.81 121 169 225_

Megjegyezzük, hogy az integrál pontos értéke:dx

= 0,5.

b)n = 4 esetén: 1,14778; n = 8 esetén: 1,14779.

c) n = 4 esetén: 0,74686; n = 8 esetén: 0,74682.

282

KVK-1190

7.5.8. A T idő alatt fejlődött Q hőmennyiség a következő:T 7T 71

Q = 24 f[l(t)f dt =24 f[sin(2t)f dt =12 f(l-cos4t)dt =12ti.

7.5.9. Ha a folyadéknyomás alatt álló falfelületet alulról az y,(x) ésy2(x) görbe, felülről az x = 0 egyenes (a vízszint) határolja, akkor

h

a falfelületre ható nyomóerő: F = y (yj (x) - (x))x dx ,0

ahol h a felület mélypontjának a folyadéktükörtöl való távolsága és Y a folyadék faj súlya. Az adott értékekkel:

yi(x) = - y 2(x) = 3,4- l l - - ^ és Y = 1 0 0 0 ^ . így:V 10 m

10X 1----- dx =1,36-10® f t ' ( t ' - l ) d t « 181300.

10 J

7.5.10.Egyszerű hasonlóságból következik, hogy a kúp alakú homokrakás X magasságú metszetének sugara r = l ,2 ( l-x ) . így ebben a magasságban a homokrakás dx vastagságú elemének dG súlya közelítőleg a következő:dG = fajsúly • térfogat = 2 r^ji dx = 2,887i(l - x) d x .Tehát annak a munkának a nagysága, amellyel ezt az elemet a földről x magasságra lehet felemelni:

dW = dG • X = 2,88ti x (l - x) dx . így a keresett munka - amely ezen elemi munkák „összege” -:

2,8871W = 2,88ti x (l-x )^dx = 2,88712x^ x -----+ —

12

283

KVK-1190

7.6. Improprius integrálok

7.6.1.

a) e"’' dx = - e+ 00 0

b)2.

+ 0 0

c) [— dx = —Jl + X 2

lti(l + x^)o” = ^(lim ln (l + x ^ )-ln l] .

Mivel limlnll + x ) = + qo, az integrál divergens.x-^oo '

d ) - i ( l - c th ( 2 - ln 2 ) )= - i . e )l.

X ) Jdxx^ - 1

In1 + x1 - x

ln3

g) 36

'x "+ 3 x

In-X

2 - 2 x + lj ~ + —i— — f y x X +3

X

x "+ 3 3+ — arctg

dx =

71V3 + ln4.

i ) l .

k)Parciálisanintegrálunkag = xés f ' = e választással. így

284

KVK-1190

X+00

c = - 2 x e 2_ _0

x > -X

xe 2 - 4e" 2

V

( - 2)e dx =

= -2-limX- QO

Felhasználtuk, hogy a L’Hospital-szabály alapján:

= 0 - 4-lim e + 4 - 4 .X- QO

limx->co xe

1)7.

m)Mivel, e '‘sinx < e és az e -nek a 0-tól a +oo-ig vett improprius

integrálja konvergens, azért az e ’‘sinx megfelelő integrálja is konvergens éslime"’‘sinx = 0. Hasonló állítások igazak (e“’‘cosx)-re

x- oo '

is. Kétszer parciálisán integrálunk, majd rendezzük az egyenlőséget.-t-ou

í'e ’‘sinx dx = - e ’‘sinx e ’ cosxdx = - e '‘cosx-t-QO0

-t-OO -t-00

- je “’‘sinx dx = 1 - Je^’ sinx dx . Tehát:

+00 ^ +00 ^

= h ---- ;^ 2 td t = - |(l + t ') ''(3 t ')d t = - - o(l + t 'J ----------------------------------------- 3 1 + t '

23

o) Legyen ^/e^ - e ^ - t . Ekkor az integrál;

1 2dt^t + t^ t

= 2 (l- ln 2 ).

■ = 2 í ± _ l _ l _ )

t"^ l + tdt = 2 r 1 , i + t i— + ln-----

t t

285

7.6.2.

a)e.

KVK-1190

c) cth(ln2)-l = —.

d)Parciálisan integrálunk az f ' = 1 és g =arctgx választással. így:0

arctgx = [x a r c t g x ] ^ dx = - lim (x arctgx) -1 + x

ln(l + x^) = lim ■ ln(l + x ^ ) -x arctgx

= limx^-oo

ln(l + x")2x

arctgx

Itt a L’Hospital-szabály alapján:l n ( ^lim

2x= 0, tehát az

ln(l + x^)2x

arctgx

71határértéke a (^ )-b e n —, aminek x-szerese (-^)-hez tart. így az

integrál divergens.

e) ^e'" .4

7.6.3.

a)1 dx arctg2xi l + 4x ' 2 -00 2 '

lim arctg2x - lim arctg2x

/ wK2

n2

71

2'

(Felhasználtuk, hogy az1

l + 4x^bármely [a, b] intervallumban

integrálható és primitív függvénye bármely valós számra

értelmezve van és korlátos.)

286

KVK-1190

c)— + arctgx

1 + x 'dx = — + arctgx 2 I= —7t ,

d)Az = —(l + x ^ ) 2 2 x egy primitív függvénye ^/l + x ‘"^J\ + x^ 2

Ennek határértéke a (+oo)-ben +00. így, például a -------oVl + x"

integrál divergens, s ezért az eredeti integrál is divergens.

dx

+ 0 0 X

e)4. f) J: - e = 0.

g) i ( x ’ + l)(x=+2)dx =

2x 2x 1

-QoV X +1 X +2 X +2dx =

, X^+1 V 2 XIn —;-----+ — arctgx "+ 2 2 V2

7T

h)Legyen e’ = t. Ekkor az integrál a következő:dt 1 1

(l + 2ty t 2 J ^ l + 2t)’ (l + 2tydt = i .

8

Megjegyezzük, hogy az l + 2e’‘ = t helyettesítéssel egy kicsit egyszerűbb a számolás.

7.6.4.

a)dx

V l- x- 2 V I-X Ó = lim (-2 V l-x )+ 2 = 0 + 2 = 2.

x l

287

KVK-1190

b)H aV 2-x = t , akkor az integrál: “ -2[arctgt 0 n

c)Az — egy primitív függvénye —In 1 X 2

1 + x1 -x

. Ennek az 1-ben a

baloldali határértéke +oo. így az integrál divergens.

d) f - ^ ^ d x = [ 2 V ^ b = 2 - l i m ( 2 - > & r ) - 2 - 0 - 2^ / c i n V X —^ 0 ^Vsinx

e) HaVx = t , akkor az integrál:2tdtt^ + t

= 2[ln(l + t)]o = 2-ln3 .

f) Parciálisán integrálunk az f ' = 1 és g = Inx választással. így:1 I 1Inx dx = 1 • In x dx =[x InxJ - x • — dx = -1 , ahol felhasználtuk,

hogy a L’Hospital-szabály alapján:

lim(xlnx) = lim = lim \ = 0.x^.0* x->0* 1 x^.0* 1

X

g)dx

- V l - x '71

2

/ \ 71

v ’ 2^

arcsinx

= 71..

= lim arcsinx - lim arcsinx =x^i x^~r

h) Mivel a — = (inx) •— egy primitív függvénye — ^ és en- xln X X Inx

nek az 1-ben a baloldali határértéke +oo, az integrál divergens.

288

KVK-1190

i)0 .

j) Az integrandus nevezője (-l)-nél 0, tehát:0 -1

(x + l) 3 dx = (x + l) 3 dx + (x + l) 3 = 3-2

+ 3

-2 -1(x + 1)

-1+

-2

(x + l): = 3 + 3 = 6.-1

71k)Az integrandus nevezője a 0, tehát:

j fSinx , rsinx ,tgxdx= ------dx+ -------dx.

cosx ^

sinxcosx

sinxcosx

egy primitív függvénye a

K

intervallumban

- Incosx, amelynek a baloldali határértéke a — -nél +00, így az ere

deti integrál divergens.

7.6.5.

a) e’ = t. í— - • — = [2arctgt h + t ~ ' t

= 31.

b)Ha tg—= t , akkor l + sinx = l+ és dx = 2dt1 + t" 1 + t 1 + t2 ’

továbbá az új határok; tgO = 0 és lim tg — = +00. így az integrál:x->7t 2

(t+ iy-dt =

t + 1= 2.

289

KVK-1190

dtc) Legyen e = t. Ekkor dx = —^ , az új határok pedig e = 1 és

lime‘’‘ = 0. így az integrál értéke a következő;

1 + tdt

Iníl + t)]® = ln2.

Megjegyezzük, hogy a z ----- ^ egy primitív függvénye:1 + e

- ln(l + e“*) és ezt felhasználva is célhoz jutunk.

d)Ha t = Vx - 1 , akkor az integrál:2tdt

(1 + t ^ t- 2[arctgt = 71 .

+ 0 0 J

X f dxe) 1 -----=• 'x - X

1 + 0 0 dx ■ +x ^ - x

dx . 1 ----- . Az

X - X X - X x - 1 X

1 - x

1 1 — egy primi

tív függvénye a (0 ; 1) intervallumban In------, aminek a 0-ban aX

jobb oldali határértéke +oo, így az eredeti integrál divergens,

dx “f dx °f dx^ f gx_____ _ r ax ^ f ax_l(l + x^)^arctgx _i(l + x^)^arctgx o (l + x^)Varctgx

(arctgx): 3+ — 2

(arctgx) = 0.

Megjegyezzük, hogy ha egy páratlan függvény integrálható a számegyenesen, akkor a számegyenesen vett integrálja 0.

290

KVK-1190

8.KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése

8.1.1. A tartományokat a 8.1. ábrán ábrázoltuk.

b)a)

y y ^ / v / ^ /

c)

í v v ^

e)

f ^ / / / / \

w

a) Df = R ^

d)

8.1. ábra

b)D f = { (x ;y )e R ^ |y ^ -x } .

c) Df = {(x ;y )€ R ^ |(x > 0 és y > 0 ) vagy (x < 0 és y^O)}.

291

KVK-1190

d)x^ -y ^ = (x -yX x + y);>iO miatt Dj. = { (x ;y )€ R ^ |y ^± x } .

e) Négyzetgyök alatt csak nem negatív kifejezés állhat, ezért l - x ' - y ^ >0, azaz x + y" <1. = {(x;y^x^+y^ < 1}.

Az x +y^ < 1 egyenlőtlenség ekvivalens a ^Jx^ +y^ <1 egyenlőtlenséggel, s ez utóbbi baloldalán álló kifejezés egy P(x;y) pontnak az origótól való távolsága. így az x^ +y^ < 1 feltétel az xy-sík origó középpontú egységsugarú körének belsejében és határán fekvő pontokra teljesül.

f) D f = { ( x ; y ) € R ^ | x 9 í 0 , y > 0 } .

8.1.2.a)f(p ) = lgc, f(Q) = lg(a + b + c), f (R )= 0 .

b ) f (q) = 2, P-ben és R-ben nincs értelmezve.

yc) Az arccos t értelmezése miatt -1 < t < 1, ezért a -1 < — < 1 egyen-

Xlötlenségeknek kell teljesülni. Tehát P-ben nincs értelmezve a függvény, a másik két helyen igen. Behelyettesítéssel:

f(Q)= arccos 0 - f(R) = arccos(-1) = ti .

d) f (P) = f ( r ) = 0, Q-ban nincs értelmezve.

8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása

8.2.1. A parciális deriváltak kétféle jelölését vegyesen használjuk.

a) Mikor az egyik változó szerint deriválunk, a másikat konstansként kezeljük. Az egyváltozós valós fíiggvények deriválási szabályait

292

alkalmazva: f^(x;y)= (-x^) +3y(x^) -y^(x ) = - 3 x ^ + 6 x y - y \ Hasonlóan: f'(x ;y ) = 3x^-3xy^.

KVK-1190

. , Ő f / ^ 3 d í ( 1b )— (x;y) = - , — ( x ;y ) = - - .5x 4 öy 8

c) g;,(u;v)=(ln6)6‘‘ •v^ g ;(u ;v )= 6 “ ' •v^

e) f(x; y) = (x - y) * alakban deriválunk.

f x ( x ;y ) = - ( x - y r - ( x - y ) x =-^---- í-r^, mert ( x - y ) x = l ,( x -y )

f ;(x ;y )= - (x -y ) '^ - (x -y )y = mert (x -y )y = - l(x -y )

f) f:(x;y)^y | y ' ~ ^ ) f;(x,y) = y í ^ - ^ . ix '+y 'j (x +y j

ŐQ C dC 2C"

h)Mivel\ y J x V-’’ 7x

/ \ X

vY/y-2 X

xy = —

Z x ( x ; y ) = - - - 4 + i ’ < ( x , y ) = - ^ + - + i .

293

KVK-1190

i) Az f(x ;y )= függvény x-re nézve hatványfüggvény, y-ra nézve exponenciális függvény. A parciális deriváltfüggvények ennek megfelelően; f^(x;y)= y-x^“', f '(x ,y )= (inx)x^.

Őf^ - 6 x d f ^ 3y'j) — (x;y)= ..... ^ ( x ; y ) = , ........... -

őx 7y +2 S y 2 Vy -6 x ^ + 2

k)h:(u ;v) =1 +

U

K (u ;v )=1 +

/ \2 uu - u

9 2 *u +v

1) f ;(x ;y )= (4 y f (ln4y).(3x); = 3 (ln 4 y X 4 y f,

f ;(x ;y )= 3 x (4 y f- ' (4y),' = 1 2 x ( 4 y r '.

m )f;(x;y) = e-‘>(l + xy)i f ’(x;y)= x ^ e " ' .

n)Vegyük észre, hogy a függvény x-re nézve konstanssal szorzott, y- ra nézve pedig szorzatfüggvény.

z;(x;y)= V^(lg(xN y’) ): = =

4(^;y)=(V y)y ig (x '+y ')+V y(ig(x '+y '))y

+ r (^^+y^y ^ lg ( x '+ y ^ ) 3y^Vy (inloX x^+y') 2Vy ( ln lO )(x '+ y ') '

294

KVK-1190

o ) |^ ( x ;y ) = 3dx

dy(x;y)=3

- • sin(7Dcy)+ Tiy • cosÍTixy), y

• sin(7Txy)+ 7tx • cos(7ixy)

P)fx(x;y) = -^ (x - ln (lO y -x )X - (x ) , = :^ ( l - ln ( lO y -x )+ lOy lOy

+ x ( i o y - 4lO y -x

_1 = .1

lOyln (lO y -x )-

lO y -x -1 ,

f; (x;y) = ^ ( y ' • In(l0y - x)V - (*),' = - ^ ( - y - ' • ln(lOy - x)+

+ y -1 ( i o y - 4lO y -x

- 0 =10 y(lO y-x),

q ) f x ( x ;y ) = :^ + V y 2vx

sh (x + 2y) ^ eh (x + 2y)

f;(x ;y)= ' Í Ü ^ . 2 V ^ . c h ( x . 2 y )V x l 2 ^ y

(in y)y' • -. j - - 2(ln 5)xy • th y r )h ;(x ;y ) = ----------- -----------------------------

h;(x;y)= cx-y

S) fx (x; y) = y • eh y • eh x(sh x f ,f ' (x; y) = (in sh xXsh x)^ (eh y + y • sh y ) .

295

8.2.2.a ) f ^ ( P o ) = f ; ( P o ) = 0 . b ) f : ( P o ) = 3 e , f ; ( P o ) = - 3 e .

C) fx (x, y) - 2 _ ^j 2Xy' - x) ( ln 2 X y '-x ) lo g ^ y " -x ) ’

^'^^’^ ^ ~ lo g U y '-x ) (ln 2 X y '-x ) ( ln 2 X y '-x ) lo g ^ y " -x ) ’A P() pontban vett parciális deriváltakat a koordinátáinak behe

lyettesítésével kapjuk. Felhasználva, hogy y ^ -x ^ = 3 ^ -5 = 4 , és

log24 = 2^ =4, kapjuk; (5;3) = — f (5;3)= - -

KVK-1190

d ) f : (P o )= -7 ’ f;(Po)=

161n2 81n2

1-714 1 6

8.2.3.

a) df(x;y) = ^ ^ d x + x Y dy, df(?o) = - | d x + d y .

. 40dx lOdy W r, ^b)df(x;y) = — , — df(Po)=— d x - - d y .3-V (4x-3y)' y { 4 x - 3 y f ^ 2

c) A teljes differenciál: df(x; y) = f (x; y)dx + f (x; y)dy. A Pq pont

ban vett teljes differenciált pedig az x = x,, = 6 és y = yo = 3 behelyettesítéssel kapjuk.

^ X

e ’ - - x - l e > . ,

7 2 ’ X \ U / ^ y ^x X y 36

296

KVK-1190

f ;(x ;y )= -!-e í.x = - - L e ' . f ; ( P j = - ^ .

_ - 1 - 2 2

Tehát df(x;y)= ^ ^ e^dx— re^'dy, df(P(,)=— d x - — d y .X y y 36 9

8.2.4.a) A Pq pontban vett, a szöghöz tartozó iránymenti derivált:

fá(Po) = fx(Po)-cosa + f;(?o)-sina.

f:(x ;y )= 3 (2 x -4 x y + y n 2 - 4 y ) , f;

r 1 A

= -450,

f;(x;y)=3(2x-4xy + y n - 4 x + l)i = 225.

így f:(P « )= M 5 0 )1 A . S+ 225— = 225

21 +

^ > 4 -c )0 .

d)f^(x;y)= cosy(sinx)“ * ' -cosx,

fy (x; y) = -(in sin x)sin y(sin x)“ ' \ f ; (P j = - ^ (l + Vs In 2).O

8.2.5.a) fx"x ( x; y ) = 42xy", f,; ( x; y ) = f;; ( x; y ) = 42x V ,

f ; ( x ;y )= 1 4 x ^ -6 y ^

b )f; (x ;y )= i-e> , f ' ( x ; y ) = .X

1 1 — 1 —

fxx(x;y)=(f;(x;y)),

297

KVK-1190

e" = - ^ ( y + x).

f ;(x ;y )-( f ;(x ;y )) e"' = — ^ ( 2 y + x).y

c)f:u(u;v) = - ^ ^ , C (u ;v )= f,„ (u;v) = -2 ,(u -v ) ( u -v )

Cv(u;v) = - r ^ ^ .(u -v )

8.2.6.a)A vegyes másodrendű parciális deriváltfüggvényt kétféle sorrend

ben is meghatározhatjuk. Itt először y-szerint célszerű deriválni.\-2

f ;(x ;y )= x ' 1 1 ycos—

f;(x ;y )= -2 y^cos—- 3

. y- s in — = -2-

. yysm —X

x^cos^ —

Pq koordinátáinak behelyettesítésével: f"^(Po)=0.

b)C (Po) = 4 (l- ln 2 ) .ln 2 .

8.2.7.a)0 . b ) - 2

298

KVK-1190

\ 2 d f ( . 2c )— (x;y)=xy e , (x ;y )= x y e .o x o y

|4 ( x ;y ) - y '( i+ x V " ) e ' , |4 ( ^ ; y ) = ^ '0 + ^ V ') e ,o x o y

£ ^ ( x ;y ) = x y ( 2 + x V > ^ ,

2d^f']

[ax5y^ [ö y 'J = x V ’ ( 3 + 2 x V y ’’ .

8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának alkalmazásai

8.3.1. A feladatok megoldásánál az alábbi lépésekre az előttük álló számokkal fogunk hivatkozni.(1) Felírjuk az elsőrendű parciális deriváltakra vonatkozó egyen

letrendszert (f^(x;y)=0; fy(x;y)=o).(2) Az egyenletrendszert megoldjuk, és megállapítjuk a stacionári

us pontokat (ezekben lehet szélsöértéke a függvénynek).(3) Ha van stacionárius pont, akkor kiszámítjuk a másodrendű

parciális deriváltakat.(4) Pontonként ellenőrizzük az elégséges feltétel teljesülését.

Megadjuk a lokális szélsőérték(ek)et.

a)(l) f;(x;y) = 2e”' +(5 + 2 x - y ) - e '’ ■2x=0,

f ; ( x ;y ) = - e - '= 0 .(2) Az egyenletrendszernek nincs megoldása, hiszen a második

egyenlet egyetlen x értékre sem teljesül. A függvénynek nincs szélsőértéke.

b)(l) f;(x;y) = e’‘='-y = 0, f;(x;y) = e""'-x = 0.

(2) x = 0, y = 0. A stacionárius pont: P(0;0).

299

(3) f ,'(x;y)=y^.e’‘’ , f;,(x;y)= f ; ( x ; y ) = e « + x .y .e ‘>,

f ;{ x ;y )= x ^ e « ^

(4) f.:(0;0) = 0, f ;(0 ;0 )= f ;,(0 ;0 )= l, f ;(0 ;0 ) = 0 .

Mivel D(0;0)= ^ ^ = - l < 0 , ezért f-nek a P(0;0) pontban

nincs lokális szélsöértéke. AP(0;0) pont nyeregpont.

c )(l) f^(x ;y)= -2x + 4 = 0, f;(x;y) = -2 y = 0.

(2) x = 2, y = 0. A stacionárius pont: P(2;0).(3) C (x ;y )= -2 , f ;(x ;y ) = f ;(x ;y ) = 0, f ; ( x ;y ) = - 2 .

(4) f;(2 ;0 ) = -2, f ;(2 ;0 )= f ;(2 ;0 )= 0 , f ;(2 ;0 ) = -2 .

- 2 0

KVK-1190

Mivel D(2;0) =0 - 2

= 4 > 0, ezért f-nek a P(2;0) pontban

lokális szélsőértéke van, mégpedig f (2; O) = -2 < 0 miatt lokális maximuma van.A lokális maximum értéke: f(2;0)= 9.

d)A P(- 2;0) pontban lokális minimum van, amely értéke:

f(-2 ;0 )= — .e

23 ’ 3

e)A P pontban lokális minimum van, amely értéke:

_3 ’" 3 ,

= 0.

f) A P(l;l) pontban lokális minimum van, amely értéke: f(l;l) = - l . (A Q(0;0) pont nyeregpont.)

g)(l) f;(x;y) = -2x + 2y = 0, f;(x;y) = 3 y ^-8 y + 2x = 0.

300

(2) X = 0, y = 0, és X = 2, y = 2.A stacionárius pontok; Pi(0;0), P2(2;2).

(3) f;;(x;y) = -2, f;;(x;y) = f" (x;y)= 2, f;;(x;y) = 6 y - 8 .

(4) Mivel D (0;0)=12>0 és f;,(0;0) = - 2 < 0 , ezért a P,(0;0) pontban lokális maximum van, amely értéke: f(0;0) = 0 .Mivel D(2;2) = - 1 2 < 0 , ezért f-nek a ?2(2;2) pontban nincs lokális szélsőértéke. A P2(2;2) pont nyeregpont.

h)A Pi(l;l) és P2(- l; - 1) pontokban lokális maximum van, amelyek

értéke: f(l;l) = f ( - l ; - l ) = — . (A P3(0;0) pont nyeregpont.)4

i) A P(0;0) pontban lokális maximuma van, amely értéke: f(0;0) = 1.

j) A P i(0;-l) pontban lokális maximum van, amely értéke:f (0 ;- l) = 5, a P2(4;3) pontban lokális minimum van, amely értéke: f(4;3) = -5 9 . (A P3(0;3) és a P4(4;-l) nyeregpontok.)

k) X 0, y ^ 0 , a P(5;2) pontban lokális minimum van, amely értéke: f(5;2)=30.

1) (1) Mivel a logaritmusfüggvényeket pozitív valós számokra értelmezzük, ezért X > 0, y > 0.

f:(x ;y )= 2x + y - - = 0, f;(x ;y)= x + 2 y - - = 0 .X y

(2) A második egyenletből: x = — - 2 y , amelyet behelyettesítvey

az első egyenletbe a 3y'^-37y^+100 = 0 egyenletet kapjuk. Figyelembe véve az x > 0, y > 0 feltételeket, az egyenletrendszer megoldásaiból csak az x = 1, y = 2 felel meg.A stacionárius pont: P(l;2).

KVK-1190

301

KVK-1190

(3) f:;(x ;y )= 2 + , C (x ;y )= C (x ;y )= 1, f ''(x ;y )= 2 + ^ .

(4) Mivel D(1;2)=26>0 és f;,(l;2 )= 6 > 0 , ezért a P(l;2) pontban lokális minimum van, amely értéke: f(l;2) = 7 - 101n2.

m)(l) f ( x ;y ) = x - y - x V + xy^ f^ (x ;y )= l-2 x y + y^ = 0 , fy(x;y) = - l - x ^ +2xy = 0.

(2) Összeadva a két egyenletet; y - x = 0, tehát y = x vagy y = -x.Az első egyenletbe való behelyettesítésükkel kapjuk, hogy az egyenletrendszer megoldásai: x = l ,y = 1 ésx = - l , y = - l .A stacionárius pontok: P,(l;l) és P2( - l ; - l ) .

(3) C (x ;y )= -2 y , f .;(x ;y )= f ;(x ;y )= -2 x + 2y ,

f ;(x ;y )= 2 x .

(4) Mivel d (1;1) = - 4 < 0 , ezért nincs lokális szélsőérték a P,(l;l) pontban. A Pi(l;l) pont nyeregpont.Mivel D ( -1 ;-1 )= -4 < 0 , ezért nincs lokális szélsöérték a P2( - l ; - l ) pontban. A P2( - l ; - l ) pont nyeregpont.

n)A P, és a P,

lyek értéke: f ;>4;V ^ y

{

pontokban lokális minimum van, ame-

= f _ O 19’ 2 .

(A P3(0;0) pont nyeregpont.)

8.3.2.Minimális lesz a költség, ha az A jelű termékből 2000 tonnát, a B jelűből 3000 tonnát állítanak elő.

8.3.3. (1) A profit függvény: P(x;y) = R(x;y) - C(x;y), ígyP(x;y) = -x^ + 2xy-2y^ -4 x + 12y + 5.P '(x ;y )= -2 x + 2 y -4 = 0, P '(x;y) = 2 x -4 y + 12 = 0 .

302

(2) Az egyenletrendszer megoldása: x = 2, y = 4.A stacionárius pont: Q(2;4).

(3) P ;(x ;y )= -2 , P ;(x ;y)= P ;(x ;y )= 2, P ;(x ;y )= -4 .

(4) Mivel D(2;4) = 4 > 0 és P;,(2;4) = -2 < 0, ezért a P(2;4) pontban lokális maximum van. Maximális lesz a profit, ha az A jelű termékből 2000 tonnát, a B jelűből 4000 tonnát állítanak elő.

8.3.4. A felület P(0;0;-l) pontja van legközelebb az origóhoz.

8.3.5.Jelölje x, y az alaplap éleit és z a tartály magasságát méterben. A tartály felülete: F(x;y) = xy + 2xz + 2yz. A tartály térfogata:

8 8xyz = 4. Tehát az FÍx;y)= xy + —+ — kétváltozós függvény loká-

y Xlis minimumát keressük.

(1) F ; ( x ; y ) = y - ^ = 0, F ; ( x ; y ) = x - ^ = 0.

(2) Az egyenletrendszer megoldása: x = 0, y = 0 és x = 2, y = 2. A feladat geometriai tartalmából következik, hogy a stacionárius pont: P(2;2).

(3) F;;(x;y) = ^ , F,;(x;y)= F;;(x;y)= 1, F;;(x;y) = ^ .X y

(4) Mivel D (2;2)=3>0 és F"^(2;2)= 2 > 0 , ezért a P(2;2) pontban lokális minimum van. Tehát azon négyzetalapú tartályhoz kell a legkevesebb anyag, amelynek az alapélei 2 méter, magassága 1 méter hosszúak.

8.3.6.a) Az átfogó c hosszát a következő kétváltozós függvénnyel számít

juk: c(a;b) = +b^ . Az abszolút hiba becslésére az alábbi képletet használjuk: Ac « c'(ao;b(,)|- Aa + cJ,(ao;bo)|- Ab , ahol

ÜQ és b() a mért értékek, Aa és Ab pedig a mérési hibák. Az adatok

cm-ben: a,, =5; b,, = 12; Aa = 0,1; Ab - 0,2.

KVK-1190

303

< (a;b ) =

cUa;b) =

KVK-1190

2a

2 V a ^ + ^2b

2V a'+b^

Va^ +b^ b

1312

így az abszolút hiba: Ac — •0,1 + — -0,2 « 0,22. Mivel a mért13 13

adatokkal számolt érték: c(a(,;bo) = 13, a mérés relatív hibája:

5c =Ac 0,22

c(ao;bo) 13

b) AT «1,1; ŐT « 0,037.

c) (tgpXa;b) = (tgPX (a;b) = (tgp), (a;b) = - ,

8.3.7. R =

A(tgp)| =

R, R

a1225

0,1 0,2 « 0,088; 5(tgp) = 0,037.

Rl + ^2—«2,536; AR. = AR, = 0,05 a kerekítés miatt.

A R « 0,026. Tehát R = 2,54 ± 0,03 f2 . A kiinduló adatok egytizedesjegyre kerekítve vannak megadva, így a számolt adatot is elég ekkora pontossággal megadni: R = 2,5 Q , vagy R = 2,6 Q .

8.3.8. p = 524+ 9 kg3 •m

8.3.9.a) A véges növekmények tétele szerint

Af(x;y)«f;(Xo;yo)-Ax + f;(Xo;yo)-Ay, ahol Po(Xo;yo) egy a P(x;y) ponthoz közeli olyan pont, ahol a függvényérték könnyen számítható, s Af(x;y) = f(x ;y )-f(X o;yo) illetve Ax = x -X q, Ay = y -y o . Legyen Po(3;2) ez a kiinduló pont. Ekkor

304

KVK-1190

f (Pi3 )= ln (3 ^ -2 ^ )= 0 .A további adatok;Ax = 3,02-3 = 0,02; Ay = 1,96 - 2 = -0 ,04 .

= f;(P.)=7 = 6.X - y 1

-12= - 12.

így Af (P)« 6 • 0,02 + (-12)- (-0,04) = 0,6, s végül: f (?)« f (Po)+ Af (P) = 0 + 0,6 = 0,6.

b ) f ( - 1,98; 3,01)« 37,22.

8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása

8.4.1.a) Amikor az egyik változó szerint integrálunk, a másikat konstans

ként kezeljük. Ha mindkét változó határa konstans, akkor tetszőleges sorrendben számolhatjuk a kettős integrált.

Í2 / \ \ 1 2 2 1 / \í i - i ^ - y dy dx =

X yy y o dx = 4 Í f l - - dx = 8

V-2 3 4 , J•-1 3 8 j

-2 -1 3 ;

^>1-c ) i ln 5 .

d)Itt az integrálást célszerű x-szerint kezdeni.

1 + xy

- i V o 1 -yd x ldy= x + y ~ dy= í ^ ( ( 2 + 2 y )-

•’. l - y 2 „ U - Y- r y

- (O + 0))dy = j ^ r ^ d y = -21 -y

= -2[y + 21n|y-l|]_“ =-2((0 + 0 ) - ( - l + 21n2))=41n2-2

e) In 2 .

y + 1-1* y

0 /

-1 y -1dy = -2 1 + -

-iv y -1dy =

305

KVK-1190

f) Itt az integrálást célszerű y-szerint kezdeni.

í ' x ' • e’‘' dy dx= fx^ 9 dx = xle’ '- l-ll^O f(ay+b) j

j-1 X

0\

1

dx =

1/2

f(g(x>g'(x)

dx = [ie«-x^‘ 1

e’'" -x ^ ._2 2 _

f re - i

wr ^/e - e + —

4

8.4.2.a ) l . b )l

c)T = {(x ;y^l<x<2, 0 < y < 2 }

2 -

2/2 X

(x + y)

X

1 V x + 2

,2^y

+1

dx =x + y

z .

dx = J-2

XI V

1 1

dx =/ ( 9 ^ 2_ 1 ^ + 1 dx = 2

V x + 2 ; J 1

x + 2 X

1x + 2

^2[ln|x + 2 |f = 2 (ln 4 -ln 3 )= 2 1 n ^ .

8.4.3.a)A T tartomány az x-tengelyre nézve normális. Ezért az integrálást

y-szerint kell kezdeni, a megadott határok között. (8.2.a. ábra.)

306

KVK-1190

V3

0V3

= 27 arctg^x — í-y dx = 27 1 + x

a r c t g X = 9 71

J y-0^ 71

^>1-

c)A T tartomány egy origó középpontú, 2 egység sugarú körtartomány az xy-síkon. Ez az x-tengelyre (és az y-tengelyre) nézve normáltartomány, melyet határaival így is megadhatunk:

T = |(x;y) - 2 < x <2, - ^J4-x^ < y < V4-x^ |. (8.2.b.ábra.)

- 2

(3x - 4y)dy dx = |6 x V 4 -x ^ dx - 0 .-2

^2 4e ) 8 - 4 V 3 + |.

a)

'T 'Zl

. arctgx

b)

\N

\

y-2

8.4.4., 1

a ) ------+ - .8 2

8.2. ábra

307

KVK-1190

b)Az ABC háromszögtartomány az x-tengelyre nézve normális, ahol y alsó határa az AB egyenes, felső határa pedig az AC egyenes. Ezek egyenleteinek felírásához például az y -y o = m (x-X o) képletet használhatjuk, ahol m az egyenes meredeksége, Po(x(,;yo) pedig egy pontja. (8.3.a. ábra.)

AB: m= y + 9 = - - ( x + 2); y = - l x - — .16 4 4 4 2

12 3 . 3 / 3 15Xb -X a

AC: = = y + 9 = ^ (x + 2>, y = ^ x - - ^ .-- - 16 4 ^ 4^ ^ ^ 4 2

14

-2

3 15- X ---------4 2

(x + 8y)dy

2 2e'd ) 2 + 81n-.

4

e)A tartomány egy tengelypárhuzamos derékszögű háromszögtartomány, ez mindkét tengelyre nézve normáltartomány. Mivel az integrálást y-szerint egyszerűbb elkezdeni, válasszuk ezt a sorrendet. A CB egyenes egyenlete az ábráról leolvasható: y = -x + 2, mert a

V — V 0meredeksége m = — — — - —í - 2

Xb -X c 1 _ o= -1 , és az y-tengelyt 2-nél

metszi. így T =

1 í

(x;y) 0 < x < —, —< y < - x + 2 k (8.3.b. ábra.) 2 2 ^ ' ^

-x+22y

2

dy dx = J-x+2

3

V 2

( y '- x ^ r - 2 y d y

( f (y ))“ -f'(y)

dx =

308

KVK-1190

- x+2

y^-x^dx = - J 1

( -x + 2 ) " -x2 ^2 ^2^2

v2.- X

dx =

- í1 1

- 4 x + 4 9 _ 2X

4

dx = — dx + — 4 J x - l 9

1 -2— X

\2

V- /

dx =

J_r,4

In x -1 4 3 1H---* — • —

9 2 2In 3

l - ' x3

l n - - 02

+ l ( l n 2 - 0 ) =

= - - l n 2 + - ln 2 = — ln2. 4 3 12

b)

c)

8.3. ábra

309

KVK-1190

f) T = { (x ;y )|0< x< 4 , x < y < x + l}.

x+ldy dx =

1 + e’■ + (2 x + 1)2 dx = In + -242

8.4.5.

12 6 4

b)Az ABC háromszög az y-tengelyre nézve normáltartomány, ahol x alsó határa az AC egyenes, felső határa pedig a BC egyenes.

y — 4Az AC egyenes egyenlete: y = 2x + 4, azaz x = ^ , a BC egye-

4 — ynesé pedig y = -2x + 4, azaz x = ^ . (8.3.c. ábra.)

T = |(x ;y )

U-y

2 < y < 4 2 2 ^

x^dx

-4Ydy = 1

4-y2 1 1

dx = —y-4 3

4 - y \ 3 X * X 3 A / y _ 4 \dy =

2 / 41

3-8

112

y ((4 -y ) '+ (4 -y )^ )d y =

dy =

2 'f 1

2 ^

"^64 48----- + 1 2 -y

ly =' 2 4 { y

1 6412 y

J -(6 4 -4 8 y + 1 2 y '-y ^ )d y =

48 Íny + 12y--

= ^ ( ( -1 6 -4 8 1 n 4 + 4 8 -8 )- ( -3 2 -4 8 1 n 2 + 2 4 -2 )) = y - 4 1 n 2 .

Felhasználtuk, hogy In 4 = In 2 = 21n2 .

310

KVK-1190

V3

c)2y

V,y l + (y -x y-dx

2 S* r 1 T rdy = - 2[arctg ( y - x ) J ’'dy= 2 - arctg y dy =

r r ‘"(y)V3

2y • arctg y ] f - dy = 2tif l + y 3 4

- ln 2 .

1d) — I----8 24

e) 2(V 7-2)ln2.

8.4.6.a)l . b)0 .

c) A T tartomány az x-tengelyre nézve normáltartomány. T = |(x; y ) - l < x < l , x ^ < y < 4 |. (8.4.a. ábra.)1/ 4

-1

T ^ ^ d y dx= j ( l -x )(y+i) j Ly+i

1 X

d y = í ( i - x f i - ‘-1 ,5 x "+ l

dx =

-1 5 5 1 + x ' 1 + x '

In 25 10 4"^ 2

dx =

1 1

X X 1 , , 2-----------arctgx + —Inl + x5 10 2

5 10

/ \ 71

v '4 .+ -

In 2

yy

2 n 5 ~ 2

-1

InSÍ ln3/ x _ - x A i

d) J |4y-shxdy dx = 4 j --------------(e^’‘ - l)d x =

In 3

'(e^- - 2e^ + e-" )dx = j . (8.4.b. ábra.)

8.4.7.a) A tartomány az y-tengel)Te nézve normáltartomány. A két görbe

metszéspontjainak y-koordinátáit az y = ^y^ egyenlet gyökei ad

ják:

311

y = 0 illetve y = 3. T = -j (x;y)

KVK-1190

y 3 y 3

y-e’‘dx dy = y- e^ y-e^ - y-e ^

0 ^ 0 ■J /

^y^ < x < y , 0 < y < 3

dy =

= y - e ^ 'l o - je ' 'd y - | j e 3 — ydy = (Se^- o ) -3'

f(g(y)>g'(y)

3 3 ■ y i '3

e'' e ^ =

0

= 3 e^ -(e^ -l)--^ (e^ -l)= -^ e^ + -^ . (8.4.c. ábra.)

a)

[7

-1

.X2

b)

Á

In3

d)

8.4. ábra

312

KVK-1190

..X 1 , 3 1 , 5 3, ^b) —+ ln—+ —In—+ —ln2.2 2 2 4 2

c ) — - - l n ' 2 - — ln2.72 2

_1_24

d ) J-2

-+2

Idxy'-4

dy = 16. (8.4.d. ábra.) Megjegyezzük, hogy egy tar

tományon az f(x;y) = l függvény kettős integráljának geometriai jelentése (a tartomány feletti térfogat mellett) a tartomány területe.

8.4.8. A tartományokat a 8.5. ábrán rajzoltuk meg.

a)

'Inx

b)

é

sCosx

/1

--------

8.5. ábra

313

- Inx / -^2y

KVK-1190

a)V 0

e

-1 dy dx = - - yInx

dx =X - In x dx =

(inx)^ •—d x -e

’l-lnx = (inx)^ r *1 r- X • In X f + ]

•1 3 L J 1

1 1

Idx =

^ - 0 V ( e - 0 ) + [ x ] ^ = ^ - e + ( e - l ) = - | .

Az integrálás határaiból leolvasható az integrálási tartomány; T = {(x;y)| 1 < X < e, 0 < y < In x }, mely az x-tengelyre nézve normáltartomány. Ábrázoljuk az y = 0, y = In x, x = 1, x = e görbéket, majd a tartományt.

b)0. 0 ^ .8

8.4.9.a) Érdemes a tartományt az y-tengelyre nézve normáltartományok

egyesítéseként felírni, mert akkor az egyik tartomány téglalap lesz.TaBCDE — TabDE U 5 aholTabde = {(x;y)|-7i<x<7i, 0< y< 7i} ,

Tbcd = { (x ;y )|y -2 7 r< x < 2 7 i-y , 7i<y<27i}.Utóbbihoz felhasználtuk a CD illetve BC egyenesek egyenleteit: y = X + 2n, azaz x = y - 27i, illetve y = -x + 2n, azaz x = 2ti: - y .

2tí C

CD. / \

D

_E- K

\ B C

\ B

AK

314

7t í n 2 t z ^ 2 n - y ''jf(x;y)dT = sin y • cos x dx dy + siny-cosxdx

A B C D E 0 V-í 71 l y-271 J

KVK-1190

d y -

2ji

+

siny-[sinx]!^dy+ siny-[sinx]y!2rtdy = siny(0-0)dy +71 0

2n 2n

sin y (sin(27i - y ) - sin(y - 27i))dy = 0 + sin y (- sin y - sin y)dy =

2n 2n-iin^ydy = - 2 Í — dy^ í(cos2y-l)dy =

j 2 •’

2 7 1

Sin= - 2

s i n 2 y2 7 1

= (O - 2 ti)- (O - n ) = - n .

Felhasználtuk, hogy az f(y) = siny függvény 2n szerint periodikus és páratlan.

b)912.

315

9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

KVK-1190

9.1. Alapfogalmak

9.1.1.a) A differenciálegyenlet harmadrendű, mert benne az ismeretlen

függvény legmagasabb deriváltjának rendje három. Lineáris is, mert f„(x)-y^"^ + ... + fi(x)-y ' + fo(x)-y = g(x) alakú. (n = 3.)

b)Másodrendü, lineáris. c) Negyedrendű, nem lineáris.

9.1.2.a)Az f(x) nem megoldás, mert behelyettesítve nem teszi igazzá a

differenciálegyenletet. A g(x) megoldás, mert

(-2cos2x)^ + (-sin 2x^4 sin 2x) = 4(cos^ 2x-sin^ 2x)= 4cos4x

b)Azf(x) nem megoldás, a g(x) megoldás.

9.1.3. Az alábbi megoldásokban és a továbbiakban sem vizsgáljuk a meg- oldásfuggvények értelmezési tartományát.

a) Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldását háromszori integrálással határozhatjuk meg. Legyen y = y (x ).

y"(x) = 1, y"(x) = Jl dx = X + C, y'(x) = J(x + C)dx = — + Cx + D,

+ Cx + Dx x^

dx = — 4 € — + DX + E, ah o lC ,D ,E eR . 6 2

y (x )= jV /

Az y(x) függvény valóban megoldása a differenciálegyenletnek, erről deriválással meggyőződhetünk. A differenciálegyenlet harmadrendű, ezért y(x) általános megoldás, hiszen három független

316

paramétert tartalmaz. Tehát: (x) = — + C— + Dx + E.6 2

A kezdeti feltételeket felhasználva: y(0) = 0 + C 0 + D 0 + E = E = l, így E = l, y'(0) = 0 + C 0 + D = D = 0, így D = 0, y"(0)=0 + C = C = - l , ígyC = - l .Az így kiszámolt konstansok értékét az általános megoldásba helyettesítve kapjuk a kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris meg-

x^oldást: y„(x) = ----------+ 1.

” 6 2

KVK-1190

X Xb )y 4(x) = -4cos—+ Cx + D, yp(x) = -4 co s—+ Cx + 4.

c) yi(x) = ln(l + e’‘)+C, yp(x) = ln(l + e’‘) - ln 2 = In1 + e

9.2. Elsőrendű differenciálegyenletek

9.2.1.a)A megoldás menete: y' helyébe az y-nak x-szerinti deriváltjának

dymásik jelét, — -et írunk, majd ezt valódi törtként kezelve külön ol- dx

dalra rendezzük a változókat. így mindkét oldalon egy-egy integrandust kapunk, s integrálunk.

— = 2xy^, dy = 2x dx, (y ^ 0), dy = f2x dx, ebből dx y J J

- —+ C, =x^ + C 2, ahol €, ,€2 e R . A Cj -C j =C bevezetésévely

- —= x^+C, ahol C e R , azaz y.(x) = — — . (Ez a módszery ’ .TaV /

valóban megoldást ad, s az egyetlen paraméter miatt ez általános megoldás.) A kezdeti feltétel behelyettesítésével:

317

KVK-1190

y ( 0 = - T ^ = 4 ^1

l + C Í + C = 2, C = l . így yp(x) = - ^ 2^ ^ .

Megjegyezzük, hogy a differenciálegyenletnek a levezetés során kizárt y(x) = 0 is megoldása, ez szinguláris megoldás.

+C, —b)ln|y| = — + Ci, (y^ tO), |y| = e2 ' = e -e*^'= C2-e ^ , ahol

x“ ^

€ 2 = 6 ' > 0. Ebből y = CjB vagy y = -CjC , ahol Cj e .

így y = Ce , ahol C e R \ {O}, hiszen Cj végigfut a pozitív valós számokon, - C j a negatív valós számokon. Behelyettesítéssel kapjuk, hogy a C = 0 (y = 0) választás is megoldást ad, tehát:

y = Ce 2 , ahol C € R .

c) Yá = + C)^, yp = illetve yp = (x - i f .

d)Yá V C x '+ l, nincs megfelelő partikuláris megoldás.

, dy .e) — smx = ylny, dx

1ylny

dy =smx

dx, In In y = In X+ lnC ,,

f Vx^ahol C, > 0. (A baloldali integrál alakú, a jobboldalit a

f(x)

t = tg—-es helyettesítéssel integrálhatjuk.) A valós konstanst fel

vehetjük InCj alakban, mert az f(x) = lnx függvényértékkészlete a valós számok halmaza. Azért célszerű ezt megtennünk, mert akkor a logaritmus-azonosságokat felhasználva egyszerűbb alakra hozhatjuk az összefüggést:

318

KVK-1190

In Íny = InC, Íny - ClX (C, > 0) a logaritmusfíiggvény

szigorú monotonitása miatt. Ebből a b) feladatban részletezettek

alapján lny==Ctg—, C e R következik. (A C = 0,y = l választás

is megoldás. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy itt a két abszolút érték jel elhagyása miatt további megoldások is léteznek, ezek leírása viszont már nagyon nehézkessé teszi a megoldást.) így

y = eC t g -

2, C e R .

1 + y^f)A differenciálegyenlet átrendezve: y' = ------ tovább alakítva:

2y-x2 jj

— d y = — d x . Ennek megoldása: 1 + y^ = —, y = ±^j---- 1 .1 + y X X

g)y = tglnCVl + x^, C > 0 . h )y = ln (c -e

9.2.2.a) Az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek speciális

szétválasztható változójú differenciálegyenletek. Megoldásuk tehát a változók szétválasztásával és integrálással történhet.

—dy= f—dx, Íny = 3 1 n x + ln C j, y Jx

y - C x ^ C g R .Érdemes megjegyezni a megoldásfüggvény alábbi alakját. Az y' + p(x)-y = 0 alakú elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása: y . = Ce"’’ '' , ahol P(x) a p(x)függvénynek egy primitív függvénye, és C tetszőleges valós szám. Ennek alkalmazásához a differenciálegyenletet a megfelelő alakra kell hozni:

x ^ = 3y, - d y = -d x , dx y X

ahol Cl > 0. így y = Ci

319

KVK-1190

y ' - - . y = 0 ,íg y p(x) = - - , ebből P(x) = -31n|x|. ígyX X

y ,(x) = = C, x a z a z y = Cx^ C € R

b) y = Ce c) y = Csinx.

d)p(x) =x ' - l

P(x) = - - l n1 + x1 -x

y = C-,1 + x 1 -x

9.2.3.

y» - d y = ^ —dx, f - d y = f - ^ d x , y x + 1 ■'v •’x + l

a) Lineáris inhomogén differenciálegyenletek általános megoldását az egyenlethez tartozó homogén differenciálegyenlet (a továbbiakban röviden homogén egyenlet) általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összege adja.(yi,á = yh,á+yi,p •)

1. A homogén egyenlet: y '---- í—y = 0. Ezt a változókx + 1

szétválasztásával megoldva: dy _ 1dx x + 1 y x + 1 •'y Íny = ln x + l+ ln C i =lnC, x + 1, C j> 0 , y = C , x + 1.

így yh,á = c (x + l), C € R .2. Az állandó variálásának módszere szerint ekkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását yj p = k(x) • (x + 1) alakban

keressük. Ekkor y'p = k'(x)-(x + l)+ k(x). Ezeket az inhomogénegyenletbe helyettesítjük.

k '(x )• (x + 1)+ k (x )---- — • k (x)• (x + 1) = x^ -1 .x + 1

Ha jól dolgozunk, a k(x) -et tartalmazó tagok összege 0. Ezután

k'(x) =x ^ - l ^ (x - l) (x + l) x+1 x+1

= x - l .

320

KVK-1190

A k(x) függvény a k'(x) primitív függvénye, pl. k(x) = — + x .

így yi,p =k(x)-(x + l) =

3. y i4 =C(x + l)+ x

- + xV

/ \ ^ + 1

v2 .

(x + l) =/ \

2(x + 1).

(x + l) = (x + l)j^C + + x

b)y = C e '’‘ - x - | .

- , 1 1 Xc) y + —y = —cos—.

X X 2

1 V — C - C - c •— V ——1-Yh.á-'-'ie - ' - i i„|x| - '-1 Yh,á - ^ •

2- Yi,p = k'(x) = cos^ , k(x) = 2 s in ^ .X 2 2

3* yi,á =1

C + 2 s in -

d)y = Ce + - ^ - e e) y = C + lnx -1x + 2

í ) y„ X 1 1+ — arctg X + —arctg X - —X

X , 1 1 - .g)y + — y = —•e’‘ -Inx .

11. y' + ~Yy = 0. A 10.2.2.a) feladatban leírt képletet használva:

321

KVK-1190

p(x) = i , P(x) = - i , y ,,,= C e-'’« = C e : .

1 \2. y .p= k(x)-e^ , y 'p = k '(x )-e ^ + k (x )-e ’

Ezeket az inhomogén egyenletbe helyettesítve:i 1 i 1 - 1 -

k '(x)-e '‘ -k (x )- — •e’‘ + — •k(x)-e’‘ = —•e’' -Inx, azazX^ x^ X

' 1 ‘ 1k '(x)-e '‘ = - • 6 ’' -Inx, k'(x) = - - l n x .X X

Érdemes megjegyezni, hogy ha yjp = k(x)-r(x) alakú, akkor eb

ben a lépésben mindig az k'(x) = q(x)r(x)

egyenlethez jutunk, ahol

q(x) az y' + p(x)-y = q(x) alakra hozott differenciálegyenlet jobboldala.

1 . . . In X In X -k '( x ) = l n x - - , k(x) =X 2

(f(x))“ .f'(x)

1

yi,p=-

3. yi,á = e c +In x

h)y = tgx C + lnX

t g j

2—In 2»)1. yh,á=C,e

1 -x

1+x1-x

2. k'(x) =1 + x

= C

1--

1 + x1 -x 2 ^

x + 1, k(x) = -x + 21nx + l

3. y ^ , = i ^ ( c - x + 21n|x + l|).1 X.

322

KVK-1190

C arctgVxj ) y = ^ + i -------

Vx vx

, C Inxm) y = -----A-------Inx 2

n)A differenciálegyenletet a szokásos alakra rendezzük:

xy' + y ( x - l ) = - x \ y' + y = - X .

1. y' + y = 0, P(x) = x-ln |x |, y _. = C x -e ’‘ .

2. yi p = k(x) • x • e”’‘, k'(x) = - x • e’‘. Parciális integrálással:

k(x) = e’‘( l-x ) , yjp = e ’‘( l - x ) - x - e '’‘ = x ( l - x ) = x - x ^ .

3. y-j =C x-e”’‘ + x ( l -x ) .

9.2.4.

a) y = -12Vx + —x^.

b)l. y,^, =C,e'"l“ ’‘l =C cosx.

2. k'(x) = -2 cos^ X = -(l + cos 2x), k(x) =

( sin2x3. yj^ =cosx C - x ----------

-X --sin2x

4. C = l, y =(cosx)- 1 - x -sin2x

c) y = (x -2 )ln Inx1 -ch x .

d) y = ---------- h sh X.x - e

323

e )l. y' + - ^ y = 0, y h , á = C - ^ .1 -x 1+x

2- Yi,p k'(x) = ( l - x ^ ) - | ^ = (l + x)%1 + X 1 - X

KVK-1190

k(x) = Í L Í 3 Í , y ^ , = f i ± 2 Í ( l z í )3 3

^ V - r 1 -x ( i+ x y ( i -x )

1 1 1 -x (l + x )^ (l-x )4. C = - - , Yp +

3 3 1+x 3

f ) l . y' + y = 0, p(x) = l, P(x) = x, yh ,^=C e"\

2. yi =k(x)-e"% k'(x) = ^ ^ = e’‘ -sinx.e

A k(x) meghatározásához k'(x)-et kétszer parciálisán integráljuk, majd átrendezéssel adódik a határozatlan integrál,

e • sin X dx = e’‘ • sin X - e’‘ • cos x = e’‘ - s in x -e ’‘ - cos x -f'(x) g(x) J f'(x) g(x)

>e'^-sinxdx. Azaz 2 e’ -sinxdx = e’ • s in x -e ’ -Cosx + Ci,

e’ -sinxdx = — e’‘(s in x -c o sx )+ c . Például a c = 0 választással 2 .

megkapjuk k'(x)-nek egy primitív függvényét. (Az integrálási konstanst ebben a lépésben le kell rögzíteni, mert egy elsőrendű differenciálegyenlet partikuláris megoldása nem tartalmazhat szabadon választható konstanst.) Tehát:

k(x) = -^e’‘(sinx-cosx), yjp = k (x )-e”’‘ = -^ (sinx-cosx).

3. yj^ =Ce"'‘ + ^ (s in x -c o sx ).

4. y(o) = —, — = C-1 + —(O-l), C = l . így a kezdeti feltételt ki-

elégítő partikuláris megoldás: yp = e ”’‘ + ^ (s in x -c o sx ) . (Érdemes

324

összehasonlítani ezt a megoldást a 10.2.5.a) példa megoldásával.)

KVK-1190

g)y = Vl + x ^ (x -a r c tg x -2 ) . h )y = ^ ~ /2 4sm X

i) y = l - ( e + l)e'*‘" \

j) 1- P(x) =

yh,á = c

- 3 1 1x ^ + x - 2 x + 2 x -1

x -1

, - P(x) = In x -1x + 2

x + 2

2. k'(x) = ^ ^ = l + ^ , k(x) = x + 3 1 n x -l x -1 x -1

3. y-, = ——í-(c + x + 3 1 n x -l) . ■’' x + 2 '' ’

x -14. Yp = —---- (x + 3 1 n x -l - ó ) .x + 2

9.2.5.a) A megoldás szerkezete megegyezik az előző feladatokban alkalma

zott szerkezettel, csak más módszereket alkalmazunk az y^. és

Yi p megoldások számítására.1. A homogén egyenlet; y' + y = 0. Az ennek megfelelő elsőfokú karakterisztikus egyenlet: X, +1 = 0, melynek megoldása; = -1 . Ha az elsőrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének gyöke X.,,, akkor megoldá

sa; y = Ce^“’‘. így itt y ^ = Ce"’‘ .2. A próbafíiggvény módszer alapján q(x) = sinx miatt az inhomogén egyenletnek yjp = Asinx + Bcosx alakban keressük a

megoldását. Ekkor yjp = A c o sx -B s in x . Ezt a két kifejezést az inhomogén egyenletbe helyettesítve;

325

(Asinx + B cosx)+ (A cosx-B sinx) = s in x , rendezve:(A -B )sinx + (A + B)cosx = sinx. Az egyenletben szereplő két függvény együtthatóit összehasonlítva: sinx: A - B = l, cosx: A + B = 0.

Az A, B-re kapott egyenletrendszert megoldjuk:

Visszahelyettesítve: yjp = ^ s in x - ^ c o s x .

^ -X 1 • 13. y i4 =Ce + —s in x - —co sx .

(Érdemes összehasonlítani ezt a megoldást a 10.2.4.f) példa megoldásával.)

b )y = Ce^’‘ - 2 x - l .

KVK-1190

c) 1. X.Q - 2 , y^ 4 — Ce ^ .

2. y^,p=Ae^’‘ +Be-% y'^ = 2A e^^-B e“\

5Ae'’‘ - B e “’'= 1 0 e '" + 1 0 e '\ A = 2, B = -1 0 .

3. y ,, =Ce 2 +2e"’‘ - 1 0 e - \

d )y = Ce'^’‘ -cos3x + —sinSx- —.4 2

9.2.6.

a)A huroktörvény szerint U - U l - U ^ = 0, aholUL = L ~ = L-i'

és U r = R - i . Tehát a differenciálegyenlet U - L i '- R i = 0, azaz Li' + Ri = U . A megadott adatokkal: 0,8 • i' + 0,4 • i = 12 .

b ) i( t) -3 0 ( l-e '® '‘).

326

9.3. Másodrendű differenciálegyenletek

9.3.1.a )y = C,e^"+C2e’\

b)Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását a (másodfokú) karakterisztikus egyenletének gyökeinek segítségével kaphatjuk, mely itt;

+ 5A- = + 5) = 0. Ennek gyökei: A., = 0, = -5 .Két különböző valós gyök esetén az általános megoldás, mely két szabadon választható független paramétert tartalmaz: y = = C, + .

_x

c )y = C,+C2e"4_ d )y = C ,e '’‘ +C2X-e^\

e) A karakterisztikus egyenlet: + 2X. +10 = 0, ennek diszkriminánsa D = 4 -4 0 = -36 negatív. Az egyenletnek így nincsenek valós gyökei, a komplex gyökök:

- ^^^-*= - i + 3j, hiszen V - ^ = 6 V ^ , és

KVK-1190

értéke j vagy - j .Ha a karakterisztikus egyenletnek a ± pj a komplex gyökei, akkor az általános megoldás: y = e“’‘ (Cj cosPx + Cj sinPx).Itt a = - l ,P = 3,tehát y = e"'‘(CiCOs3x + C2SÍn3x).(Megjegyzés: a p = -3 választás is helyes.)

f)A,^+4 = 0, 7^ =-A, X = 0±2j, y = Cl cos2x + C2 s in2x .

9.3.2.

-4 x , /-I „3x ^a )y = Cie3 +C^q - 4 . b )y = C,e'"’‘ + € 26 ’ ----2 24

327

2. yi p = Ax^ + Bx + C . (Ügyeljen arra, hogy a próbafüggvény nemhiányos polinom akkor sem, ha a differenciálegyenlet jobboldalán álló zavarófiiggvény az volt!)A = 3, B = 0, C = -6, y.p = 3 x ^ -6 .

3. y; =C ,cosx + C2SÍnx + 3x - 6 .

KVK-1190

c )l. y" + y = 0, X.^+1 = 0, A, = ±j, = C, cosx + Cj sinx.

d)y = C,+C2e"’'+ 8 e 2 .

e ) l. 5y" + y' = 0, 5A,^+X = ^5X + l)= 0 , X ,=0, X2 = - | .

_x

í§y yh,á “ 1 + 2® •2. Ha az egyenlet jobboldalán álló zavarófiiggvény több fiiggvény összege, akkor a próbafuggvényt tagonként állítjuk elő, természetesen különböző paraméterekkel, így itt; yj p = Ae* + Bcosx + C sin x . A deriváltak:

y'p = Ae* -B s in x + Ccosx, y"p = Ae"' - B c o s x -C s in x .

5y" + y = 5(Ac’‘ - Bcos x - C sin x)+(Ae’‘ -B s in x + Ccosx)== 6Ae’‘ + (C -5B )cosx + (-B -5 C )s in x = 18e’‘ -5 c o sx .A szereplő fíiggvények együtthatóinak összehasonlításával: e’‘ :6A = 18, A = 3, co sx :C -5 B = -5, s in x ; -B -5 C = 0.

25 5A két utóbbi egyenletből: B = — , C = -26 26

X 25 5 .+ — COSX-------- í

26 26így y p = 36^^+ — COSX- — sinX .

-- 25 53- Ym =yh,á+yi,p =Ci+C2e s+ S e ’ H-— COSX-— sinX.

Q y = C ,co s^ + C2SÍn^ + 17e -5e^’‘ .

328

KVK-1190

g)y = eX

— 2 C, cos—x + C, sin—X ' 2 ' 2

\-2 0 x ^ -1 6 x +

24

h)y = Cie '‘ +€26 sin— cos— ' ' 13 2 13 2

i) y = Cie^’‘ H-CjC - 2 c o s x -2 x .

j) 1. Xj 2 = ~lj yh,á~^l® + C 2X-e2. Yip = Acos2x + Bsin2x, A = 2, B = - l .

3. Yi =C ,e"’‘ +C 2X-e“'‘ + 2 co s2 x -sin 2 x .

k )l. X, 2 = ±2j, 4 = Cj cos2x + C2 sin2x.

2. Mivel - sh3x = -------- -— = - —e^’‘ + —e” ’‘ , ezért2 2 2

, 3x , t ) „ - 3 x * 1 ^ 1Y: =Ae"’‘ +B e-^\ A = ----- , B =26 26

3. Yj. =C,C0s2x + C 2 sin 2 x -— e^’‘ + — e“ ’‘ .' 26 26

1)1. X ,=5, ^ 2 = -2 , Yh,.=Qe^’‘ +C2e-^’‘-

2. Mivel 2e’‘ • shx = 2e’‘ • = e^’‘ - 1 , ezért2

Yi„ = Ae"’'+ B , A = - — , B = — .12 10

3. Yi á = C.e'" + C2e-"’' - — e '’ + — .J'-.a 1 12 10

m )l. Y" + y = 0, A,^+1 = 0, X ^ = - l , ^ i2 = ± j.

y h,á = C, cos x + C 2 sin x .

2. Yi,p = (Ax + B)e“’‘ a zavarófíiggvény alakjából.

329

KVK-1190

y'_p = Ae - (Ax + B)e , y"p = - Ae - Ae ’‘ + (Ax + B)e'

Különválasztva az e”"" és x ■ e"'' függvényeket:Yi p = Ax • + Be~% y ■ p = A x• e”’ + (B- 2A)e“’‘ .

Ebből y " + y = 2Ax • + (2B - 2A)e"’‘ = x • e'" + e“" .

x-e^":2A = l, A = | , e '^ 2 B - 2 A = l, B = l .

így y>,p =

3* Yi,á = yh,á + yi,p = c , cos X + Cj sin x +

n)y = C,e^" +(óx' +18x + 2 l)e".

o )y = Cie'''‘ +€26 e"" - s in x -— e -cosx.10

/p)y = Ci +C2e^’‘ +

9.3.3.3 . 3

a) y = -c o s —x - s in —X. ^ 2 2

10

f . 42^ 6^+ 3x + — COSX + 6x — sinx5 , V 5;

b )y = Ce“ ’‘ + l - C

c )l. A., =1, A,2 = 2, y, = C ,e^+ C 2e ' \2. y,(0) = C ,+ C 2 = l. y;=C,e^+2C2e^\ y'(o)=C,+20^ =0.A két egyenletből: C, =2, Cj = -1, yp = 2e'' - e^’‘.

d ) l . - y " + 4 y '-5 y = 0, - X ^ +4 X - 5 = 0,

- 4 + V ^ - 4 + 2Í A.,.= = — ■-^-' = 2 ± (-l)j= ^2 ± j .'-1,2 - 2 - 2

330

KVK-1190

Yh = e '‘ (C, cos X + C2 sin x ).

2. y,_p = A x '+ B x + C + D e '\

y ' p = 2Ax + B + 2De^^, = 2A + 406^^^.A behelyettesítést a jobboldalon szereplő függvények együtthatóinak alábbi táblázatos elrendezésével megkönnyíthetjük:

x^ X 1-y" -2 A - 4 D4y' 8A 4B 8D

-5 y -5 A -5 B -5 C -5D

A három sort összeadva: - y" + 4y' - 5y = (- 5A)x ++ (8A - 5B)x + (- 2A + 4B- 5C)+ (- D)e'" = 25x" + e"".

x ^ A = -5, x :B = -8, l : C = - — .

így y , p = - 5 x ^ - 8 x - y - e ^ \

223. Yi. = e^’‘(C, C0SX + C2 sinx)-5x^ - 8 x - — -e ^ ’ .

99 774 .y(0) = C , - y - l = 0, C,

Y p -e 2x 27 cosx + Csinx _ 5 x ^ - 8 x - — - e ^ \ 5

(Megjegyzés; Ha nincs két konstans, akkor felesleges a paraméter indexelése. Legyen Cj = C .)

1 -X 1 . 1e )y = — e — smx + —cosx.2 2 2

9.3.4.a) A gyökökből: y,, = C,e + C 2e . A próbafuggvényt a q(x)

alakjából következtetjük k i : yj p = Ae^’ + Bx + C . Azonban össze-

331

hasonlítva a tagokat a homogén általános megoldás tagjaival, látjuk, hogy az Ae^’‘ tag rezonál (szerkezetében megegyezik a C,e^’‘ taggal). Ekkor ennek a rezonáló tagnak az x-szeresével kell próbálkozni: yi p = Ax • e^’‘ + Bx + C . Ez már rezonanciamentes.

b )y = A x e " ’‘ + B x.

c) y = Acosx + Bsinx + Cx^ +Dx .(Megjegyzés: Polinomnak minden tagját szorozzuk x-szel, noha csak a konstans tagja rezonálhat.)

d)yh,á = C ,e’‘ +C2X -e\

A q(x) alakjából: yjp = Ae“’‘, amely rezonál, hiszen szerkezetében megegyezik a homogén általános megoldás egyik tagjával. A következő próbálkozásunk, yip = Ax-e”’‘ pedig a másik taggal re

zonál. Ilyenkor az eredeti próbafuggvényt x^-tel kell szorozni.

KVK-1190

yj = Ax^ • e . Ez már rezonanciamentes.

e) y = Ax -e +Be . f) y = Ax-cosx + Bx-sinx.

g)yh,á cosSx + CjSinSx.(yj p = Acos3x + Bsin3x]t yj p = Ax-cos3x + Bx-sin3x .

h) y = Ax • e’‘ • sin X + Bx • e’‘ • cos x .

9.3.5.a )l. y " -5 y ' + 6y = 0, X^-5X + 6 = 0, X ^ = 2 , X ^ = 3 .

2. (yj p = Ae ' + Be^ + c ) . A rezonancia miatt:UP

yjp = Ax • e^’ + Bx • e^’‘ + C .

y 'p = Ae'" + 2 Ax • e '’' + Be'’ + 3Bx • .

332

KVK-1190

y';p =2Ae'" +2Ae"’‘ +4Ax-e"’' +3Be"’‘ +3Be"’‘ +9Bx-e^’‘ .

A behelyettesítést táblázattal végezzük:

x-e^’‘ x-e^’ 1y " 4A 4A 9B 6B

-5 y ' -lO A -5 A -15B -5 B6y 6A 6B 6C

y " - 5y' - 6y = - Ae^" + Be^’ + 6C = Se^’ - Se^’ + 6. e"’‘ ; - A = 3, A = -3, e^’‘ :B = -5, 1:6C = 6, C = l. Yi p = -3x • e^’‘ - 5x • e^’‘ +1.

3. y ., = C ,e '’‘ + C^e'’ - 3x • e ' ’ - 5x • e '’ +1.

43

c)y = C ,+ C 2e ^ -2 s in —-6 c o s—+ 2x.2 2

d)l. X ,= 0 ,X j= i , y „ = C ,+ C ,e " .

2* (yi,p = Ax + b ) yj p = Ax^ + Bx, A =X

3. yi_i = C, -x ^ + x .

-1, B = 1

e) y = C] cos 3x + Cj sin 3x - - X (sin 3x + cos 3x).6

f) y = C ,+ C 2C - 2 c o s x - 4 s in x + x + x .

g ) l . - y " - 6 y ' + 7y = 0, - X ^ - 6 X + 7 = 0, X, = 1 ,^2 = -7 . y ,,,= C .e ’‘ +C2e-’\

333

KVK-1190

2. Mivel shx = —e"" e , ezért a próbafíiggvény:

= Ae^ + Be-^ + c ) = Ax • e + Be-’' + C .

y' p = Ae’' + Ax • e" - B e '" , = 2Ae" + Ax • e’' + Be^’ . Behelyettesítve:- y" - 6y' + 7y = -(2 Ae^ + Ax • e’' + Be“ ) -- óÍAe’' + Ax • e" - B e '" )+ ?(Ax • e" + Be"’' + c )= -8 Ae’ +

+ 12Be“’‘ +7C = - e " - - e “" + l . A = - — , B = - — , C = -2 2 16 24 7

1 X 1 -X 1Yin = -----x -e ’ ------e + - .16 24 7

,-V x 1 _ x 1 „-X 13. y ,, = C ,e’‘ + C ,e - '" - — x-e’' - — e"’‘ + - . ' ' 16 24 7

h)yi,á =C[e^ H-CjC 2 +2x-e^ -x ^ .

i) y = C, + Cje""" + x + X + 2x • e“\

j) y = C,e'’‘ +C2X-e'’‘ + -x '-e" ^ + x + l.

k)l. y" + 8y' + 16y = 0, =4, y , , =Cie"’‘ + C ,x -e " \

2. q(x) = 4ch4x = 2e''’‘ + 2e“'’’‘ miatt:

y.,p = Ax^-e^’‘ + B e-^ \ A = l, B = ^ .

3. y i, = C,e'^ + Cjx • e ' ’ + x ' • + — e ' ' ’ .1 2 22

1) y = Cie”’‘ +C 2X-e”’‘ +x^ •e’’ -4 co s2 x -3 s in 2 x

334

m )l. y " -3 y ' = 0, X ,=0, ^2=3, y,,, = C ,+ C ,e^ \

2. yj p =A e"+(B x'+C x)e'% A = -1 , B = 1, C = 1.

3. y j . = Cl + + (x + x)e^''.

9.3.6.a )y = l - e “' ’‘ + 2 x ^ -3 x '+ 2 x .

b)l. y " -6 y ' = 0, X ^ -6 X = 0, X ^ = 0 , X ^ = 6 , =C^+C^e^ \

2. (yjp = A + Bsinx + Ccosx), yjp = Ax + Bsinx + Ccosx.

y'p = A + B cosx-C sinx , y"p = -B s in x -C co sx . y " -6 y ' = ( -B s in x -C c o sx )-6 (A + B cosx -C sinx ) == -6A + (6C -B )sinx + (-6 B -C )co sx = 12 + 37sinx .1 :-6 A = 12, A = -2, s in x :6 C -B = 37, cosx : - 6 B - C = 0,B = - l , C = 6. Behelyettesítve: yjp = -2 x -s in x + 6 co sx .

3. yj . =C, + C 2e®’‘ - 2 x - s in x + 6co sx .

4. A kezdeti feltételeket helyettesítjük: y(o) = C i+ C 2+6 = 2. y ', = 6C2e‘'’‘ - 2 - c o s x - 6sinx, y'(0) = ó C j- 2 - 1 = 0 .A két konstansra kapott egyenletrendszert megoldjuk:

6 C ,= 2 , C , + C , = - 4 , C , = - | .

KVK-1190

Végül: yp - 2 x - s in x + 6cosx .

c) y = C - Ce^’‘ + X • e^’‘ - 3 x .

d)l. y " -5 y ' + 6y = 0, X '-5?i + 6 = 0, X , =2, 1 ^ = 3 ,

2. {yi p = Ae^’‘ + B sin X + C cos x ). A rezonancia miatt:

yjp =A x-e^’‘ +Bsinx + C cos x . Ez már rezonanciamentes.

y[p = Ae^’‘ +2Ax-e^’‘ + B co sx -C sin x .

335

KVK-1190

y' =2Ae^’‘ +2Ae^'' +4Ax-e^’‘ -B s in x -C c o s x .

x-e^’‘ sinx cosx

y" 4A 4A - B - C-5 y ' -lO A -5 A 5C -5 B6y 6A 6B 6C

y " - 5y' + 6y = -Ae^’ + (SC + 5B)sin x + (- 5B + 5C)cos x == -3e^’‘ + 10sinx. ,2x : - A = -3, A = 3,sinx:5C + 5B = 10, co sx : -5 B + 5C = 0, B = C = 1.Behelyettesítve: y^p =3x-e ’‘ + sinx + c o sx .

'i,á3. yj^ = € 16 " +C 2e^’‘ +3x-e^’‘ +sinx + cosx.

4. y(0) = C i+ € 2+1 = 0, C, =C, C2 = - ( l + C). így Yp =Ce^’‘ - ( l + C)e^'‘ +3x-e^’‘ +sinx + co sx .

e) y = -3cosx + Csinx + x-sinx.

f) y = -cos2x + — sin2x + —x -s in 2 x -—x-cos2x . 8 2 4

g ) l . y , , = C , e ^ ’‘ + C 2 e \

2. (y; p = Ae' + Be”’ + Cx + d ), y; p = Ax • e’ + Be“’‘ + Cx + D .

- Ae’ + 6Be“" + 2Cx + (2D - 3C) = 12e’‘ + 12e“’‘ + 12x.y; p = -12x • e’‘ + 26"" + 6x + 9.

3. y . + C^e’ - 12x • e’ + 2e"’‘ + 6x + 9.

4. C ,+ C 2 = -1 1 , 2 C ,+ C 2 = 8 .yp = 19 e '’‘ - 30e’‘ - 12x • e" + 2e-’‘ + 6x + 9.

h )l. A,|2 = il? yh,á = CjC +C2Q2. (yj p = (Ax + B)e’‘ \ y; p = (Ax^ + Bx)e’‘ = Ax^ • e + Bx • e’‘ .

336

3* yi,á = C ,e’‘ +C2e"’‘ + ^ ( x ^ - x ) e \

4. Cl = € 2 = 0, y p = ^ ( x ^ - x ) e \

9.3.7.a)A huroktörvényböl U - U r - U l -U ^ = 0 , ahol U r = R - í ,

U l =L- — , U c= —-Q és U = Uo-sincot. így a differenciál- dt C

egyenlet; sincot = L — + R i + — Q, ahol — = i. Ez utóbbidt C dt

összefüggést figyelembe véve deriváljuk t-szerint az egyenletet, hogy csak az i(t) függvény legyen ismeretlen. így i(t) -re egy állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenletet kapunk.

d 'i ^ di 1— — + R ----- 1—dt^ dt C

10676 cos 314t = 0,5 • i" + 40 • i ' + 40000 • i .

KVK-1190

U qCo • cos cot = L • + R ~ • i , azaz a megadott adatokkal:

b)Kissé hosszadalmas számolás után, az együtthatókat kerekítve:i = e“''°‘(C, cos280t + C2 sin280t)-0,41cos314t+ 0,55sin314t.

337

KVK-1190

lO.LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ

10.1. Laplace- és inverz Laplace-transzformált

10.1.1.2 3-7! 2 X 9 21 1

a)f(s) = ------+ — ------- . b)f(s) = --------+ —--------------7^ s - 9 s* s ^ s + 12 s '+ 4 9 2s'

C)f(s)=------ J— 77 + :;— 7- d)f(s}=-

, \ R 1 1 (öe)f(s) = - --------- + -■

L s + co C s^+co^

\ 2q s +1 2e s +1f)f(s) = ^ + _-------------= _ +s (s + l)^ -2 5 s s ^ + 2 s -2 4

vagy felhasználjuk, hogy ch5t kifejezhető exponenciális függvénnyel:

f(t) = 2e + e“‘ •-— — = 2e + —e"" + —e”®‘ és ekkor2 2 2

2e 1 1 1 1 2e 1 1f (s) = — + ----------+ -----------= — + -------- +s 2 s - 4 2 s + 6 s 2 s -8 2s + 12

Ez az eredmény látszólag különbözik a korábbiakban kapottól, de közös nevezőre hozás után a két eredmény formailag is megegyezik.

\ cí \ ^ 6s + 2• h )f(s )= — ^ +( s - 3 ) ' ■ 9 ( s - 3 ) ' - 4 3(s + } ) ' - 7 5 ‘

\ s - 5 360 f(s)= 7 — — : + ■( s - 5 ) '+ 4 (s + l f + 8 1

s - 5 36s" -1 0 s + 29 s^+ 2s + 82

338

KVK-1190

j) f(t)-t a linearizáló képlettel átalakítjuk először, hogy olyan függvényeket kapjunk, amelyek képletét megtaláljuk a táblázatban:f í A ■ 2* l-c o s2 t 1 1f(t) = sm t = -----------= --------cos2t ,

2 2 2

f(s) = — - i ___^ = —T_____ r = -T_____2s 2 s^ + 4 2s(s^ + 4) s(s^ +4)

+ 4 - s ^

k)A hatványfüggvénnyel szorzott függvény Laplace-transzformá- ciós képletét fogjuk alkalmazni n = 1 esetén.

, kiszámítjuk az első deriváltját;L sints^ +1

2s

(s +]

1 ^f

2s

+lyf (s ) -

2s

m)f(t)-ben az sht függvényt kifejezzük exponenciális függvényekkel, sin^t + cos^t helyébe pedig az ismert összefüggés alapján 1-t írunk.A műveletek elvégzése után:f(t) = 4e‘ -c o s3 t-4 e “‘ -cosSt + l ,5/ N 4s - 4 4s + 4 f(s) = -

1+ -

{ s - l f + 9 [s + l f + 9 s4s - 4 4s + 4

s ^ - 2 s + 10 s^+ 2s + 10 s

2 4 20n) f(s) = — + ------- + ----- ------

^ s 4 s -3 25s' - 4

339

10.1.2.KVK-1190

a)f(s)=e-” 4 - - b ) f ( s ) = e - ' - . ^ .s s +1

c) f(t)-t először átalakítjuk, hogy kiolvashassuk, hogy melyik függvényre kell az eltolási tételt alkalmazni:

0, ha t < 2cos3(t-2 ), ha t> 2 .

Látható, hogy a cos3t függvény van 2 egységgel pozitív irányba eltolva, így

f(t) =

f(s) = -2s S

s +9

10.1.3.

a )f(t) = 2e^‘ + s in 2 t-5 . b )f(t) = ^ t " + ^ e " ' '- 8 c h 2 t .

c) f(s)-t két tört összegére bontjuk:

s +5 s +5 ’s

Az első tagról már látjuk, hogy —;----- - alakú. A második tags + a

/ 'pedig az —----- - képlethez hasonló alakú, a nevezőből a-ra v5 -t

s + akapunk. A tört számlálójából a 3-at kiemeljük és ezután a törtet

-tel és -tel is szorozzuk, ekkor már a visszatranszformá-Vsláshoz megfelelő alakú lesz.

f(t) = 2cosV5t + -7=sinV5t .

V5

340

K.VK.-1190

1 128 s ^ - f 6 3 s ^ + f

A nevezőbeli törteket egyszerűsítjük, majd az a^-nek megfelelő tagból kiolvassuk a-t és ezeket előállítjuk a számlálókban a megfelelő számokkal való szorzással és osztással.

f(s)= T -4 s ^ - ( f ) = 7 s = + ( i r

f(t) = —sh —1 + —sin —t . ^ ^ 4 2 7 3

e) Ha a nevezőben s + bs + c (b O) kifejezés áll, akkor a nevezőt teljes négyzetté egészítjük ki, majd az exponenciális függvénnyel szorzott függvény képlete alkalmazható.

6f(s) = = 4

f(t) = 4e2 - s h ^ t = 4e, It

- e3—t 2

f) f(t) = - t^ + e"‘ • c h 2 t í= - ( t ' + e ‘ + e '^ ‘)2 V 2

g )f(t) = 5t-e-^‘ .

h )f(t) = e -sint + —t^ -e^‘

s -1 0i) A nevezőt teljes négyzetté egészítjük ki: f(s) = v( s -9 ) +1

Az exponenciális függvénnyel szorzott függvény képletét akkor alkalmazhatjuk, ha a számlálóban is az s helyén s - 9 áll, ezért két tört összegére bontjuk:

341

KVK-1190

f(s) = f ------------------- , f(t) = e’* • cost - e ‘ • sin t.( s -9 )" + l ( s -9 )" + l

j) Ha a Laplace-transzformált olyan valódi racionális törtfüggvény, amely nevezője legalább harmadfokú polinom, akkor a törtet résztörtek összegére bontjuk.

1 5 S - 1 5 A B C f (s)= ^ - ; v r - A = - + —^ + ■s(s + 3)(s + 5) s s + 3 s + 5 ’A = - l , B = 10, C = - 9 .

f(s) = - l + ^ ^ -------f ( t ) = - l + 10e '^*-9e" '‘ .s s+ 3 s+ 5

2 J 2k )f(t) = -2 t + ^ •sinV2t .

1) f(s)-t résztörtek összegére bontjuk:X s +18 _ A B C Ds + E

Mindkét oldalt megszorozzuk s^(s^ +9)-cel: s +18 = a (s ' + 9 )+ B s(s' + 9 )+ C s^(s' + 9 )+ s'(D s + E) . Válasszuk s-nek a nevező valós gyökét: s = 0: 18 =9A, ahonnan A = 2.Hasonlítsuk össze az s hatványok együtthatóit: s"; 0 = C + D, s ^ 0 = B + E ,

s ^ : 1 = A + 9C, ahonnan C = - ^ ,

az első egyenlet alapján D =

s : 0 = 9B, ahonnan B = 0 , a második egyenlet alapján E = 0.

f(s) = ^ - - - - + ---r-^— , f(t)= t^ - - + - c o s 3 t . s ' 9 s 9 s ' +9 9 9

342

KVK-1190

w 2 9 9 9 , n) f(s)-t résztörtekre bontjuk:

7;/ \ 15 A Bs + Cfis) = - 7- ----------- \ = — .

s(s -2 s + 5) s s - 2s + 5A = 3, B = -3 , C = 6 .

s (s - 1)^+4 2 ( s -1 )^ + 4 ’

f(t) = 3-3e* •cos2t + -^e‘ •sin2t .

10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval

10.2.1. A feladatok megoldásánál a továbbiakban az alábbi lépésekre az előttük álló számokkal fogunk hivatkozni.(1) A differenciálegyenlet mindkét oldalának képezzíik a Lapla-

ce-transzformáltját, és behelyettesítjük a kezdeti felté- tel(ek)ben adott érték(ek)et.

(2) Kifejezzük az ismeretlen függvény Laplace-transzformáltját.(3) Elvégezzük a visszatranszformáláshoz szükséges átalakításo

kat.(4) Inverz Laplace-transzformációval meghatározzuk a keresett

partikuláris megoldást.

a) (1) sy - 4 + 3y = - ^s - 5

—í 1 — 4s ~ 28(2) y(s + 3j = --------+ 4, ahonnan y =s - 5 ’ (s + 3)(s - 5)

(s + 3)(s - 5) s + 3 s - 5Mindkét oldalt megszorozzuk (s + 3)(s - 5)-tel:4s -2 8 = A(s - 5 ) + b (s + 3).

343

KVK-1190

s = -3: ^ 0 = -8 A, ahonnan A = 5.s = 5: -8 = 8B, ahonnan B = -1.f - 5 1 ^ 1 1így y = --------------- = 5 ----------------- .

s+ 3 s - 5 s+ 3 s - 5(4) y = 5e-'’‘ - e ' \

b )y = e '’‘ + 5 e-'’‘ - e - ' \

c) y = - 5 x - l + 2 e ' \

40d)(l) sy + 2y = -

+16- 40^ (s + 2)(s^ +16)

40 A Bs + C(s + 2){s' + 1 6 )" s + 2 ^ s ^ +16

A = 2, B = -2, C = 4.

+ 1 6 ^ s^ +16 (4) y = 2e~^^ - 2cos4x + sin4x.

3 3 1 .e )y = — e + —cosx + —sinx. ^ 5 5 5

f) y = 2x + l-2 e '= ‘ -66= + 7 e '\

® " “ (s - l) (s + i r '

(3) = "(s - l)(s + 1) S -1 (s + l)^ S + 1 A = l , B = -2, C = - l .

344

KVK-1190

í g y y = ^ - 2 ^s - 1 (s + 1) s + 1

(4) y = e ’' - 2 x - e - ’‘ - e ‘\

(s -2 )^ H -r _ 17S-34 ^ ~ (s + 2)(s' - 4 s + 5)‘

17S-34 A Bs + C(3) / .X/ , .---- T i- ---- r +(s + 2)(s^ - 4s + 5) s + 2 s ^ -4 s + 5

A = ^ , B = 4, C = -7. í _ 4 4s - 7így y = ------ r +s + 2 s - 4 s + 5

1 s - 2 1= - 4 ------- + 4 • -------------- + ■s + 2 ( s - 2 ) " + l ( s - 2 ) " + r

(4) y = - 4e “ ’‘ +4e^’' • cosx + e^’‘ • sinx .

i) y = l + x . e '’' - - e ' \ 3 3

10.2.2. A feladatok megoldásánál a 10.2.1.-ben bevezetett jelöléseket használjuk.

a )(l) s ^ - y - l + 9y = —.s

(2) y(s=H.9)=Í + l,.eh á t y = ; ^ .

s + 9 A Bs + C s(s^ + 9) s s +9

Mindkét oldalt megszorozzuk s(s^ +9)-cel: s + 9 = a(s^ + 9)+ (Bs + C )s. s = 0; 9 = 9A, ahonnan A = 1. s : 0 = A + B, ahonnan B = -1.

345

KVK-1190

í _ 1 - s + 1 1 s 1 3így y = - + — — = ------ 7— - + -

s: 1 = C.

s s^+ 9 s s^+ 9 3 s ^ + 9

(4) y = 1 - cosBx + ^ sinSx .

b) y = + sin2x.

c) y = X +1 - + 2e“ ’‘.

d )y = e^’‘ - 2 e - ’‘ + e “" \

e) y = 2e’‘ - 2 x - 2 .

0 (1 ) s^y -6 sy + 9y = ^ ^ .s + 2

" “ (s + 2 ) Í - 3 ) ^ '25 _ A B C

(s + 2 ) ( s -3 ) " ” s + 2 '" { s - 3 ) " ' 's - 3A = l , B = 5, C = - l .I _ 1 5 1

(4) y = e-^‘ + 5 t-e '‘ - e ' ‘ .

g) y = 17 - - 1 6cosx - 4sinx.

h )y = t - —+ - e — e4 3 12

i) (1) s ^ y - 2 s - 3 + 3 ( s y -2 ) -4 y = ^s ' - 9

346

(2) y =

KVK-1190

2s +9s^ - lS s - 7 8(s-3 )(s + 3)(s + 4 ) ( s - l ) '

2 s ^ + 9 s ^ - lS s -7 8 A B C D(3) = — r + — r + — + -(s - 3)(s + 3)(s + 4)(s - l ) s - 3 s + 3 s + 4 s -1

A = — , B = - , C = - - , D = — .28 8 7 8

í _ 1 1 1 1 2 1 17 1így y = — — r + - — T - - — 7 +28 s - 3 8 s+ 3 7 s + 4 8 s -1

(4) y = J _ e ' ^ + i e “' ^ + — e \28 8 7 8

1 3j) y = - t ^ + 2 + 2e-‘ .

k) y = - cosV2 x - V2sinV2 x ,

1) y = -6 + e-^’‘ +2e^’‘ + 3 e '\

5 3 9m )y = 2e’‘ — — cos2x — sin2x .

4 4 4

2 . 25n)(l) s y + 4sy + 4y =

(2) y=.

s - 3 25

(s-3 )(s + 2 ) - 25 A B C

(3) = — 7 + 7— :^ +(s-3 )(s + 2 f s - 3 (s + 2)' s + 2 A = l , B = -5, C = - l .i - I 5 1

(4) y = e"'‘ - 5 x - e “'^ - e “' \

347

KVK-1190

o)(l) s^y -6 sy + 9y =( s - s r

(2) y (s^ -6 s + 9 )= — ^ , t e h á t y = - r - ^ s(s -3 ) ( s -3 )

(3) A számlálóban 4! = 24-et kell előállítani:_ 1 24" ' % ' ( s - 3 r

<4) y = le > -.x * .

,2 . . - - 13p)(l) s y + 2sy + 5y =s - 2

(2) y(s^+2s + 5 ) = - ^ ^ , tehát y = 7--------------------- \-^ ’ s - 2 ( s -2 ) ( s '+ 2 s + 5)

(s-2)(s^ +2s + 5) s - 2 s^+2s + 5 Szorozzuk meg mindkét oldalt (s - 2)(s^ + 2s + 5)-tel:13 = a (s' + 2 s + 5)+(B s + C)(s - 2). s = 2: 13 = 13A, ahonnan A = l . s : 0 = A + B, ahonnan B = -1. s; 0 = 2A - 2B + C, ahonnan C = - 4. í _ 1 s+ 4 1 s + 4így y= s - 2 s + 2s + 5 s - 2 (s + 1) + 4A második tagot a visszatranszformálás előtt átalakítjuk: _ _ 1 (s + l) + 3 _ 1 s + 1^ “ s - 2 (s + l ) ' + 4 ~ s - 2 (s + l ) ^+4

2 (s + l ) ' + 4 ‘

(4) y = e^’‘ - e - c o s 2 x - - ^ e - s i n 2 x .

q) y = -12x • e - '’‘ - 9e-'’‘ + 8e-’‘ + e"’‘ .

348

r) y = 1 - e ’ • cosx + e’‘ • sinx.

s )( l) s ^ y - s - l + 4 (sy - l) + 4y = —s + 2

(2) y(s^+4s + 4 )= — + s + 5,tehátS “h 2

_ s^+7s + 18(s + 2y •

s ' + 7 s + 18 A B C(3) . = ^ ^ + 7— TT7 +

KVK-1190

(s + 2) {s + i y {s + 2 f s + 2

Mindkét oldalt megszorozzuk (s + 2) -nal: +7s + 18 = A + B(s + 2) + C(s + 2)^

s = -2; 8 = A. s : 1 = C.s: 7 = B + 4C, ahonnan B = 3.í _ 8 3 1így y= 7— iTT+7— IT7+(s + 2) (s + 2) s + 2Az első és második tag számlálójában előállítjuk a megfelelő konstansokat:

(s + 2) (s + 2) s + 2 ■

(4) y = 4x^ +3x •e'^’‘ +e"^’‘.

2- _ 8 24 V — V = -

s -1t ) ( l ) s ^ y - y = — + ■

_ 2 4 s ' + 8 s - 8 (2) y = -s^(s-l)^(s + l)

2 4 s ' + 8 s - 8 A B C D E(3) ^ ^ - T T ^ - T = ^ + - + 7— TT + — 7 +s ^ ( s - l f ( s + l) s s ( s - l f s - 1 s + 1

A = -8, B = 0, C = 12, D = -2, E = 2.

349

KVK-1190

így y = -8 • ^ +12 • , ^ ,, - 2 • + 2 • ^(s-l)^ s -1 s + 1

(4) y = - 8x + 12x - e " - 2e " + 2e ' \

u) y = • cosx - • sinx.

10.2.3. (1) s^y-sy(o)-y'(o) + 3(sy-y(o))= ^s -1

Legyen y(o) = a, y'(o) = b (a,bG R )l

y(s^ + 3s)= + as + b + 3as ^ ’ s -1

m ^ ,_ l + a s (s - l) + b ( s - l ) + 3 a ( s - l ) _ s(s + 3 )(s -l)

_ as + (2a + b)s +1 - 3a - b s(s + 3 )(s -l)

+(2a + b)s + l - 3 a - b _ Ai Aj A? T\7 “ * rs(s + 3 )(s - l) s s + 3 s -1

Mindkét oldalt megszorozzuk s(s + 3)(s - l)-gyel: as^ + (2a + b)s +1 - 3a - b = A, (s + 3)(s - 1)+ Ajs(s - 1) +

+ A 3s(s + 3).

s = 0: 1 - 3a - b = -3Ai, ahonnan A, - ^—1• 3

l - 4 bs = -3: 9a-6a-3b + l-3a-b=12A2, ahonnan A, = ------- .

' 12

s= 1: a + 2a + b + 1 - 3 a - b = 4A3,ahonnan A 3 = ^ .

í _ 3a + b - l 1 l - 4 b 1 1 1így y = -----;-------- + —T--------- r + T-3 s 12 s + 3 4 s - l

3a + b - l l - 4 b _3, 1 ,( 4 ) y = -------------------+ ---------------e ^ ’‘ + - e " .

3 12 4

350

KVK-1190

Bevezetjük az alábbi jelöléseket:3a + b - l _ ^ l - 4 b _ ^

3 ” 12Az általános megoldás tehát;

y = C, + C 2e"^’‘ + ^ e \

10.2.4. i(t) = 0 ,5 (l-e - '') .

10.2.5. (1) x(0) = 0, x (0 )-2 .s ^ x - 2 + 5sx + x = 0.

^2/

1 ^ - 5 + ^ ^0,2087; S; = » - 4 , 7 9 1 3 .

(3) = «( s - s , ) ( s - s 2 ) S-Sj S-Sj

A = 0,4364; B = — -0,4364.yÍ2Í. _ 2 1 2 1

így X = -s -Si S - S 2

(4) x(t)= 0,4364(e

351

KVK-1190

11. VÉGTELEN SOROK

11.1. Számsorok

11.1.1.a) A számsor általános tagja egyszerűsíthető:

n + 2 n + 2 1n + 3n + 2 (n + l)(n + 2) n +1

A részletösszegek sorozatának első három eleme: 1

s, =ai = - ,

1 1 5S 2 = a , + a 2 = s , + a 2 = - + - = - ,

5 1 13s, =a, +a , +a , = s , +a , = - + —= — .3 1 2 3 2 3 6 4 1 2

A konvergencia szükséges feltétele teljesül, mert1

lim-n-^oo n + 1 = 0.

b) S| — 2, Sj —14, Sj - ■78

5 ^ 25 A konvergencia szükséges feltétele teljesül.

c) A részletösszegek sorozatának első három eleme:

s = 2 ^

1 +

S3 = 2V5 +I

V Í 9 - l f , , V19- I V5 +I

V Í9-1

S2 — 2 ,—

V5 +I

V Í9 -1 1 + VI9 - IVS + 1 •yfS + 1

1 +

A konvergencia szükséges nem feltétele nem teljesül, mert

352

KVK-1190

limn QO

7 1 9 - 0V s + i

• 1 1= 00, mivel —p=---- > 1.V5+1

8 121d)s, = 0 , s, = — , s, = — .

' ^ 10 ' 70A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül, mert

11 -o n - l _ ^ - n + l - 2 n - 2

l i m - - , . = lim----= 1.n -oo3t>-l + 3-"+' n—>co \1 + 2n-2

e) Sj — 1 + V2 , S2 = 1 + 2V2 + V3 , S3 = 3 + 2^V2 + V3 j.A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül.

f) s, = ^ Í 3 - ^ f 5 , S2 = 2 + V 3 -V 5 -a /6 , Sj = 2 + V 3 - V ó - V 7 . A konvergencia szükséges feltétele teljesül.

a) A geometriai sor kvóciense pozitív, és q = —<1, ezért konver-

gens. Összege; lim V 3n=l

1 -

' /= lim 3-

N->oo

^5^N

v 7 y 21

1 -

n=0geometriai sort, amelynek kvóciense pozi

tív, és q = - < 1, ezért konvergens. Első tagja 1, összege pedig

l i m tN-^oo-“

1

n=0 1 - 15

353

KVK-1190

n=0 n=2

soruu

. a SV-'/ n=0

sor-

ból, az első két tag elhagyásával jött létre, ezért a ^

konvergens.n=2 v5.

sor IS

Mivel lim VN-»oo ^n=0

= limN->c»

1 + - + Y - = - + l i m y5 h { 5 ) 5

8

3'n=2v5

sor összege: lim V - = lim V^ 5 N-»oo"V-’/

8 5 85 2 5 10

c) írjuk fel a sor tagjait az alábbi módon:3" +7" _ 1 _1_

21" ~ 7" 3" ■ írjuk fel a sor N-edik részletösszegét:

n=l W

1 1 N i N i

n=l / n=l

A jobboldalon álló összegek rendre az és ^ kvóciensű geo

metriai sorok N-edik részletösszegei. Képezve mindkét oldalon a határátmenetet, a sor összegét kapjuk:

, . ^ 3 " + 7 " , . ^ 1 1 , . ^ 1 1 1 1 2hm > --------- = hm > ---------r- + hm > ------- r = — + — = — .21" N - . .^ 7 7"-' N^“ ^ 3 3"-‘ 6 2 3

d)Divergens. e) Divergens.

Q Konvergens, lim V (Vs - 2)N->oo'“ '

n=l

r v iöV5+1

v ^ + v í ö +10

1 1 .1 .3 .

a) Tekintsük a sor(n + l)(n + 2)

általános tagját.

354

KVK-1190

Minden, n > 0 egész szám esetén2 _ 2___^

(n + l)(n + 2) n + 1 n + 2 ’ezért a sor N-edik részletösszegét megadhatjuk ilyen alakú általános taggal is. Ez részletesen, az áttekinthetőség céljából az egyes tagokat zárójelbe téve:

s „ = ( 2 - l ) + 1 - ^3

\ / +

/ V

+ •^N + 1 N + 2,

Mivel az első és az utolsó kivételével, minden szám összeadandó- ként is és kivonandóként is szerepel, ezért összevonás után

Sn = 2 -----N + 2

A sor összege a részletösszegek sorozatának határértéke:N ^

lim V ---------------- = lim^ (n + l)(n + 2)

2 - -N + 2

= 2.

b)Mivel n > 1, ezért n + 2 0, így a sor általános tagját egyszerűsíthetjük. A kapott általános tag két parciális tört összege:

n(n + 4)00

Tekintsük a ^n=l

___ 1 _n n + 4

J____1n n + 4

sort, és az előző feladatban alkalma

zott módszerrel kiszámítjuk az összegét.

í , - r f i n ri f i f i 0= + ------ ■-------------- + — '-------------- + — ------------- + — --------------

5; 6j U u 8y l5 9J+ . . . +

1 1 , 1 1 1 1= 1h---- 1---- 1--------------2 3 4 N + 4^N N + 4,

Az így felírt részletösszegek sorozatának határértéke a sor összege:

IN

lim Yn=l

1n + 4

í= lim

N —>00

1 1 1 11h— I— I-----

2 3 4 N + 4 12Mivel a megvizsgált sor konvergens, ezért tagjait egy adott, valós számmal sorozva is konvergens sor adódik. Ennek határértékét

355

KVK-1190

úgy kapjuk meg, hogy a megvizsgált sor határértékét megszorozzuk a valós számmal:

n(n + 2)(n + 4) 41 1n n + 4

34 ' l 2 " 16

c) s = — . d) s = —.18 4

e) s = . f) s = -3 .144

11.1.4.a) Leibniz-féle sor, mert a sor tagjainak abszolút értékeiből képzett

sorozat monoton csökkenve tart nullához:

l i m ^ — = 0. n + 2

A Leibniz-féle sorok konvergensek.

b)A sor divergens, mert nem elégíti ki a konvergencia szükséges

feltételét: l im ^ -^ ^ -^ í^ ^ ^ 0.2n +1

c) Alkalmazzuk a cosn;i = (-1)" összefüggést! A sor konvergens.

d) Alkalmazva, hogy s i n ^ = -1 és minden, n > 0 egész szám ese

ténn! 1

(n + 2)! (n + l)(n + 2 ) ’ a konvergens

áS( n + 2)! 2 t i n(n + l)sort kapjuk.

e) Konvergens. f) Konvergens.

356

KVK-1190

11.1.5.a) A D’Alembert-féle hányadoskritériumot alkalmazva,

3(n + l)3. n+1 n + 1 1

l im— = l i m ^ i ----- = lim-------= - < 1, tehát konvergens.n ^ Q o ^ n - > o o 3n n - ^ o o 5n 5

n

b) l i m ^ ^ = lim ^ > 1, tehát divergens.n->Qo ^ n->oo 3

c) Divergens.

d) A Cauchy-féle gyökkritériumot alkalmazva,

= limn 2 ^2- lim------ = 0 < 1, tehát konvergens.n^” y(n + 3)" n- “ n + 3

e) lims/a^ = lim V 2 n -l > 1, tehát divergens.n QO n—>00

f) Konvergens.

11.2. Hatványsorok

11.2.1.a)x, =0,5 és X2 =3 behelyettesítésével is pozitív tagú számsort

kapunk, amelyekre alkalmazhatjuk a D’Alembert-féle hányadoskritériumot:

0 5” Tn + 2)lim ^ ------------- = 0,5 < 1, tehát konvergens az x, = 0,5 helyen.

0,5"(n + 3)

lim------------ - = 3 > 1, tehát divergens az x, =3 helyen.3"(n + 3) 6 2

357

b)X[ =1 behelyettesítésével váltakozó előjelű sort kapunk, amely tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat nem nullához tart, hanem végtelenhez, ezért itt a hatványsor divergens. Xj =5 behelyettesítésével pozitív tagú sort kapunk, amelyről a D’Alembert- féle hányadoskritériummal megállapítható, hogy divergens, ezért a hatványsor itt is divergens.

c) Az X, = 2 helyen konvergens, az Xj = 6 helyen divergens.

d)Az X, = 0,5 és az Xj = 0,25 helyen is konvergens.

e)x, = 2 és %2=2e esetén is alkalmazzuk a D’Alembert-féle2

hányadoskritériumot. Az első esetben a határérték — < 1, a máso-e

dik esetben pedig 2. Ezért a hatványsor az Xj = 2 helyen konvergens, az - 2 e helyen pedig divergens.

f) Az X, = 0,1 helyen konvergens, az Xj = 10 helyen divergens.

11.2.2.a)Mivel f(x) = 2'' legalább háromszor differenciálható az Xg=l

3

helyen, ezért a T3(x) = V ---- ^ ( x - x,,)" felírható.f o n!

f(x) = 2= f (1) = 2f'(x) = 2Mn2 f'(l) = 21n2f"(x) = 2M n '2 f"(l) = 21n^2f'"(x) = 2Mn^2 f"'(l) = 21n^2

3 2 In” 2A fentiek alapján: Tj (x) = V -------- (x -1 )".

t i n!

b) Mivel a függvény legalább háromszor differenciálható a megadott helyen, ezért itt felírható a harmadrendű Taylor-polinomja.

KVK-1190

358

KVK-1190

Inx f (x)= 2

Xf ( e ) = ;

X

f ( e ) = ;

X f » = 4e^

■(X e)" +3e

c) Mivel n = 2k + l esetén = 0 , ahol k = 0;l;2;..., ezért a

harmadrendű Taylor-polinom csak másodfokú:-j / \ ^

T3(x) = 1 + - X - - 2 l 2 ,

d) T3 (x) = 5 (x -1) + 20(x -1 ) ' + 35 (x -1)^.

e) T3(x) = e + 2 (x -e ) + ^ ( x - e ) ^ - ^ ( x - e ) ^2e 6e

lOef) T3(x) = e - 2 e ( x + l) + 3e(x + l)^ ------- (x + l ) \

11.2.3.a) Alkalmazva az ismert,

sinu = . ha u € R ,^0 (2n + l)!

összefüggést, és az u = 3 x helyettesítést, a megadott függvény Xq = 0 körüli Taylor-sora:

359

-s in S x = - s in u = - > — ---------= > —---------------- .1 1 2 ^ (2n + l)! h 2(2n + l)!

00 JMivel minden u e R esetén sinu = V (-1 )"---------- u^"^', ezért

(2n + l)!a kapott sor minden x € R esetén előállítja a függvényt.

b)Alkalmazzuk a sin2xcosx = -^(sin3x + sinx) azonosságot, és az

a) feladat megoldásának eredményét! A jobboldalon álló függvények összegének Taylor-sora, a két függvény Taylor-sorának ösz- szege. Mivel a két függvényt minden x e R esetén előállítja a Taylor-sora, ezért kiemelés után, a keresett Taylor-sor:

,i„2xcosx = | ; í = i n í ^ , - , h a x . R .S 2(2n+l ) t

c) Alkalmazva az u = -x helyettesítést, és felhasználva, hogy

e“ = V —u ” , ha u e R ,

kapjuk a megadott függvény nulla körüli Taylor-sorát:

4 = É H r 4 ’‘M 'a x £ R .e’‘ n!

KVK-1190

d) x^e^’‘ = V — x"^^, ha x e R . n!

e) cosx^ = x**", ha x e R .h (2n)!

f) A megadott függvényt felírhatjuk

f(x) =1 -

\X

360

KVK-1190

alakban. Legyen u = — — , és alkalmazzuk az ismert

1------- = 5]u" , h a |u |< l1 -u

összefüggést. Ekkor

4 + x^

Mivel u = — — és |u| < 1, ezért a Taylor-sora |x| < 2 esetén állítja

elő a függvényt.

2l + 4x" tS

A derivált függvény Taylor-sorát tagonként integrálva kapjuk a megadott függvény Taylor-sorát:

arctg2x = j |; ( - l ) " 2 " " " 't '" d t = |] ( -1 )" 2 '" " ' jt^M t =0 n=0 n=0 0

100 / 2n+l= T ( - Í ) - -----X

á 2n + l, ha

h )f(x ) = ln (2 -x ) = ln2 + ln = In 2 + g(x) átalakítás után.

= - Z | x | <2.^ J _ _ n=0 ^

2Tagonként integrálva a g'(x) Taylor-sorát:

A megadott függvény Taylor-sora tehát:

ln (2 -x ) = l n 2 - J -

1x"^' , ha x < 2 .

1S 2 " ^ '(n + 1)

x " " ‘ , h a X < 2 .

361

KVK-1190

/1 + ^

V 2 , ,átalakítás után kapjuk, hogy

„=o 2 (n +1)A megadott függvény Taylor-sora:

xMn(x + 2) = xMn2 + Y — -----x"^ ',ha x < 2 .é ^ 2 - '( n + l)

i) Az f(x) = lti(x + 2) = ln2 + lnV

= x^(ln2 + g(x))

2n+l 1^ n+1 • ^j) lg(l - 2x) = - V — ! ha

n=0

k ) V ^ = Xn=0

í-l')"^ ^ ^ x " ,h a |x|<5,n—

5 3

UJ

1) 2xarccos(-x) = 7ix + ^n=0

( - l ) " ^ x ' " " ^ h a X <1,n + 1

11.2.4.a)A függvény értéke az Xj = -0,1 helyen, az Xq = 0 körüli Taylor-

formula alapján;

f(-0 ,.) = e - » • ■ = l - 0 , u í y l - í y i + í ^ 0 , l ^2 6 24

Ebben 1 - 0,1 + az e““ ' közelítő értéke. Az ún.2 6 6000

f (4)/c\Lagrange-féle maradéktag, ---- ^0,1"* - ahol - 0,1 < ^ < 0, - pe-

24dig a közelítő érték hibája.

362

KVK-1190

Mivel -0,1 < ^ < 0 esetén, f ' '(^) < 1, ezért a közelítő érték hi

bája legfeljebb ‘ •

, ............ . 16723b)A kozelito ertek

16200

c) Mivel n = 2k + l esetén

24

= 0, ahol k = 0;l;2;..., ezért a

negyedrendű Taylor-formula alapján, a közelítő érték ^15000

d)Alkalmazható a 11.2.3. g) feladat eredménye. A közelítő érték

, a hiba legfeljebb — •10”''.775 12

11.2.5.0,2

a) Mivel lim = 2 , ezért limx 0±0 X5

sin2x 0 ,2

dx = f (x) dx - ahol

f(x) =sin2x

X2,

, ha X 0,

ha X = 0.Képezzük a függvény Taylor-sorát, amelyet tagonként integrálunk:0, 2 / , 8x^ 32x^ 128x® ^ (-l)"2 ""^ 'x ""^

2 -------+ ------------------+ X ' ' dx6 120 5040 (2n + l)!

A határozott integrál eredménye a0,4' 0,4' 0,4’ ^ (-1)" 2'"^'0,2'"^'0 ,4--------- 1----------------------- h / ----------------------3-6 5-120 7-5040 (2n + l)-(2n + l)!

váltakozó előjelű, abszolút értékben monoton és nullához tartó sorozatot képező tagokból álló, ezért konvergens számsor. Az el-

363

KVK-1190

sö három tag összegének a sor összegétől való eltérése kisebb, mint a negyedik tag abszolút értéke.Tehát a határozott integrál közelítő értéke:"rsin2x_, 0,4^ 0,4^ 492384 ------d x « 0 ,4 — — + ■ ’

18 600 2250000 a közelítő érték hibája pedig kisebb, mint

^ • 1 0 - ’ <2,4-10-’ .441

b)Az integrandus nulla körüli Taylor-sorának határozott integrálja:

l - x ^ + ---------- + > - ^A 2! 3! h n!

dx =

0,3' 0,3' 0,3’ ^(-1)"0,3^"^'___ y•2! 7-3! t i (2n + l)-n!

= 0*3- ^3 5-2! 7-3! (2n + l).

A határozott integrál közelítő értéke az első három tag összege; 2912431000000

A közelítő érték hibája kisebb, mint a negyedik tag abszolút érté

ke: ^ . 1 0 - ’ .14

11.2.6.a) Mivel minden x € R esetén e = ^ ~ —^ x ^ " ,e z é rt

f o n!0,2

n=o n!e -" 'd x = y íx^Mx= y

^ J h ( 2 n + l)n\0,2 .

Ha n > 3, akkor ( 1) r>o2n+l(2n + l)n!

0,2^ <3,05-10 \ így az integrál

közelítő értéke y — —-— 0,2^" ' = 0,197365, amelynek a pon- S ( 2 n + l)n!

tos értéktől való eltérése kisebb, mint 10“*’.

364

KVK-1190

b)Az integrál közelítő értéke

-dx « y ^ ( 0 , 2 " - 0,1") = -0,092873, t i n-n!0,1

amelynek a pontos értéktől való eltérése kisebb, mint 10 **, mert 0,2' -0 ,1 '

5-5!< 5 ,2-10"\

c) Az integrál közelítő értéke 0,223845, amelynek a pontos értéktől való eltérése kisebb, mint 5,04 -10’ < 10“*’ .

d)Az integrál közelítő értéke 0,493108, amelynek a pontos értéktől való eltérése kisebb, mint 2,2 -10“’ < 10“ .

11.3. Fourier-sorok

11.3.1.a)A megadott függvény páratlan, ezért a = 0 , és minden pozitív

egész szám esetén, a„ = 0.

0 271r / X • j . nx j J (-71) s m — d x + 71 s in — dx

\-2k 2 0 2 ^

365

KVK-1190

_ J _ 2n

1

r- 0 2tiA27ICOS

nx-2 7 1 COS

nx

2 + 2n n

- - -2 ti - - 0 J

2n2k 27icosn7i 27icosn7i 2n --------------------------------- + —n n n

2(l-co sn 7 i)n

Mivel cosnTi = (-1)", ezért aj = 84 = 0. A sor első három, nullától különböző Fourier-együtthatójú tagjának összege:. . X 4 . 3x 4 . 5x

4sin—+ —sin— + —sin— .2 3 2 5 2

b) A megadott függvény páratlan, ezért a,, - 0 , és minden pozitív egész szám esetén, a„ = 0 .

2(-l)"1 "f 1b = — X sin nx dx = —

n nxcosnx sinnx

---------- + —n n

A sor egyik tagjának sem nulla a Fourier-együtthatója. Az első három tag összege:

22 sin x - sin 2x + — sin 3x .

3

366

KVK-1190

11.3.2.a)

y, '1> D

-7 1

(

K 2n 3k 4k 5n X

A függvény páratlan, ezért a^ = 0, a„ = 0 és b„

n V-n

cosnx

S sinnxdx- Ssinnxdx0

6 (C0 S H71 - 1)

- 6 "71

sin nx dx =

b„ =

f(x) = E - -sinnx, ha X niTi, ahol m = 0;±l;±2;...,

HTT nTtMivel cosnTi = (-1)", ezért a Fourier-együttható:

6 ( ( - i r - i )HTl

tehát minden páros indexű együttható nulla.A megadott függvény Fourier-sora;

t t n nilletve a páros rendű, harmonikus összetevők nélkül felírva:

12f(x) = V --------------sin(2k - l ) x , a fenti feltétel mellett.t i ( 2 k - l ) 7i

A függvény szakadási helyei az x = tok (m = 0;±1;±2;...) alakú valós számok. Ezeken a helyeken az f(x) bal- és jobboldali határértékének számtani közepe, és a Fourier-sorából, ugyanezeken a helyeken képzett számsor összege egyenlő.A függvénygrafikon alapján, a határértékek számtani közepe;

lim f(x )+ lim f(x) | = - ( 3 - 3 ) = 0.

367

KVK-1190

Mivel minden m = 0;±1;±2;... esetén sin(n-m -ti) = 0, ezért a számsor csupa 0 összeadandóból áll, tehát

nTTn=l

b)Legyen g(x) = -3 , akkor h(x) = f(x) + g(x) páratlan függvény: í - 3, ha - 7i< X < 0,

I = <3, ha 0 < X < jt.

h(x)

6<

-n n 2n 3

A h(x) függvény páratlan, ezért a,, = (

h = ^ 'í3 s in „ x d x^0 n n

Stt 471 571 X

h(x, = É 5 ^ ^ s i „ m c ,t i nTT

és mivel f (x) = h(x) - g (x ), ezért

f(x) = 3 + V^-^^— ^sinnx ,ha x ^ m n (m = 0;±l;+2;...). t i nTi

Megjegyezzük, hogy h(x) az a) feladatbeli függvénynek mínusz egyszerese, ezért

f(x) = 3 + V ----—---- sin(2k - l)x , a fenti feltétel mellett.t? (2 k - l)7 i

Az Xj =m7i (m == 0;±1;±2;...) alakban megadott szakadási helyen, a függvény bal- és jobboldali határértéke számtani közepének, és a Fourier-sorából, ugyanezen a helyen alkotott számsor összegének egyenlősége:

368

KVK-1190

lim f (x) + lim f (x)l = i (0 + 6) = 3,X — X —>Xs' * ' J 2

illetve

3 . £ 5 Í L H r j s in=l HTT

sin(n • m • Tc) = 3.

c)Az f(x) függvény páratlan, ezért a , = 0 , a„ = 0 és

2"b „ = -71

(-x)sinnxdx =2 ( - i r

n

5n X

f(x) = V ^^ sinnx,ha x?í(2m + l)7i (m = 0;±1;±2;...)- ^ n

A függvény szakadási helyei: x = (2m + 1)ti ( m = 0;±1;±2;...),

lim f (x) + lim f (x) = sin(n • (2m +1) • ti)) = 0 .x->x,- J n

Az f(x) függvény páratlan, ezért a^ = 0 , a„ = 0 és b„ 0.

369

KVK-1190

00 2f(x) = V —sinnx , ha X I m n (m = 0;±1;±2;...)-

t f nA függvény szakadási helyei: x = Imii (m = 0;±1;±2;...),

\ 00

Hm f(x )+ Hm f(x) = V —sin(2-n-m-7i) = 0.

e) A függvény páratlan, ezért a^ = 0, a„ = 0 és b„ 9^0.

- 1 1.-1 o -

Xn;i

ha X 0;±l;+2;__

A függvény szakadási helyei: x = 0;±1;±2;...,

^'"lim f(x )+ lim f(x )l = y ^ ~ ^sin(n • ti • x ,) = 0.L->x,“ x^x,+ / n=l ^

Az f (x) függvény páratlan, ezért ao = 0 , a„ = 0 és b„ ^ 0 .

X f ( x ) = y ' ——-— sinnjtx ,ha t i nTT

x;é2m + l (m = 0;±1;±2;...).

A függvény szakadási helyei: x = 2m +1 ( m = 0;±1;±2;...),

1 lim f(x) + lim f(x) = sin(n • n • (2m +1)) = 0.i- x," x->x3+ J n ;r

370

KVK-1190

a) Legyen g(x) = -3 , és tekintsük az alábbi páratlan, periodikus függvényt:

x \ ha - l < x < 0 ,

11.3.3.

h(x) = f(x) + g(x) =-x ^ , ha 0 < x < l ,

és h(x) = h(x + 2).

Ennek a függvénynek az esetében = 0, a„ = 0 és

b .= 2 'f( -x » )s in „ .x )d x = ^ + l t e : )njc n K

Mivel f (x) = h(x) - g (x ), ezért az adott függvény Fourier-sora

n=l tlTT n 71sinnjtx, ha X ±l;+3;....

b)A megadott függvény páratlan, ezért a o = 0 , a „ = 0 . n > 2 ese

tén, alkalmazva a sin a sin p = ^ (cos(a - P) - cos(a + P)) trigo

nometrikus azonosságot,0,5 0,5

b„ = |2sin;ixsinnjtxdx = (cos(n-l)7tx-cos(n + l)3tx)dx.- 0 ,5 -0 ,5

Integrálás és azonos átalakítások után, b„ = — — — cos — .(1 - n )ti 2

n = 1 és - 0,5 < X < 0,5 esetén cos(n - 1)tix = 1, így0,5

bj = (l - cos27ix)dx = 1. A függvény Fourier-sora;- 0 ,5

4n nTt — ;— cos—

^ ( 1 - n )7t 2ha X 0,5 + m (m = 0;±1;±2;...).

c) A b) és a 11.3.2. f) feladat megoldása alapján, - ha x 0,5 + m ( m = 0 ; ± 1 ; ± 2 ; a függvény Fourier-sora:

OU

f (x) = sin Jrx + ^ -------— cos— sm njix,

371

KVK-1190

f ( x ) = Sin 7IX + y —ti cos

IITI:2 (-1)” sin nTix,

11.3.4. a)

íY

-7 1 71 X

Mivel a függvény páros, ezért b„ = 0.

1ao = 2n

22dx + Idx

2

32

a„ = -Ti

n 3tt

2, ^2 cos nxdx + cos nxdx

71

2

2(2 + cosn7i) . nn--------------- ^sin —nTi 2

A megadott függvény Fourier-sora;, 3 -A 2(2 + cosnTi) . nji

f(x) = - + > —i------------ ^sin — 2 t i nn 2

cosnx,

nha X ^ — + mu (m = 0;±1;±2;...).

b)

7

N / ? .-7 1 71 X

nA függvény páros, ezért a ^ - — .

a„ = n^nés b„ = 0 .

A függvény Fourier-sora:

2 n=l ^ ^

cosnx

372

KVK-1190

c)

4 (1- ( - ! ) " ) , . .a„ = ' es b = 0 .

A függvény páros, ezért a,, = 1,

A függvény Fourier-sora;

n=l

n7ix cos-----

n Ti 2

11.3.5.a) A függvény páros, ezért b„ = 0 .

e ^ -1 2 1 2 ’

1 ^i„ = 2 - - Je ’ cos— dx =

nTixT

nTix n;tx . nrexcos-----+ ------sin-----

2 2 2

\

1 + \2 nn

v 2 .

4 + n^n^( 2 4 ( ( - i r e ' - l )| e cosn7i - l j=— —~ ~ n .— •

4 + n 71A megadott függvény Fourier-sora:

e^ -1 -A 4 ((- l)" e ^ - l) nux

b ) f ( x ) = ^ + | ;t i

2 ^ 4 + n n

4V2 - . n;i n7i2n sin------cos—2 2

7 i(4 n '- l)cos 2n7ix,

ha X (m = 0;±1;±2;...).

, 4 ^ 1 6 (-1 )" nTTX C)f(x) = - + X - ^ “ S— .

3 n=i n 71 2

373

KVK-1190

11.3.6.a)

_ y : c

.1 T2

Ti . í m ,

-n n X

A függvény nem páros és nem páratlan, ezért ^ 0 ,

a„ 0 és b„ ^ 0 . ao értéke a Ti=T2, azaz az1,25 • 71 • m = 0,75 • ti • (2 - m)

egyenlet megoldásaként is kiszámítható: a^ = m = 0,75.

1 ’'f, a„ = -K

n2 sin nxdx =

2 . nn----- —sm 5nn 4

2 / n7iCOS --------

n;i V 4


4 Z t n nnn- s m — cosnx + 4

nncos------cos n7i

4sm nx

7th a X ^ — + 2m.K és Tz + l m n (m = 0;±1;±2;...).

4Csak „szinuszos” tagokkal kifejezve:

3f(x) = - + X c„sin(nx + (pJ,

^ n=l

ha X — + 2m7i és x ^ n + 2m7i: ( m = 0;±1;±2;...),4

ahol

cn7i V

n7i ,cosnTicos— es

4

sm(p„ = arc tg - ^ = arc tg -

b„

n7iT

cosnTi-cos-nTt

374

KVK-1190

b)

2 --

-2

f(x) = Z

-2

A függvény nem páros, nem pá- ratlan.ao =0 ,

_ 4(cosn7i-l)‘0

a„ =

b„ =_ 2(cosn7i-l)

n7i

n=l

4(cosn7c-l) nTix 2(cosn7i-l) . nnx—— — — ^cos---- + —----------- ^sm-----n n 2 nn 2

h a X 0;+2;+4;__Mivel

I 2 T T r,-----T T 4(cos n7i - 1) ,c„=Va„ +b„ =Vl + n7t ,— ^ees

n 71a 2

(p„ = arc tg -^ = arctg—b„ H7l

így a sor csak „szinuszos” tagokkal: ■4(cosn7i-l) .

„2^2— sinn 71

f(x) = ^ V l + n^7i^n=l

H71X+ arctg-

n7iha x ^ 0;±2;+4;....

11.3.7.

a)ao =1

(1 + X ) dx + 1 dxVO 1 y

1 2

Z 1Idx + Jx^dx

VO 0

a„ = (1 + x )cosn7ixdx + cosnTixdx =

b„ = (l + x^)sinn7Txdx+Jsinn7ixdx =

X cosn7ixdx és

x^ sinnTixdx.

Kiszámítva az egyes integrálokat, a Fourier-együtthatók:

375

a a = f - i r ^ é s b - ( - i r ( 2 - n V ) - 2


KVK-1190

2 ( - l ) " ( - l ) " ( 2 - n ^ 7 i " ) - 2 .— — cos iiTix + ----------- — --------- Sin nTix

n 71 n 71

1 00

f(x) = - 4 . Sn=> -

ha X ±1;±3;±5;....A Fourier-sor, csak „szinuszos” tagokkal:

y 00

f(x) = —+ sin(n7ix + (p„), ha x ±1;±3;±5;..., ahol6 n=l

/...2 — V 8 (l-( - l)" ) + n V ( n V + 4 ( - l ) " ) ,c„=V a„ +b„ = -------------------- ---------------------------es

n 71

» „ = a r C g ^ = a r = , g ^ ^ ^ - ^ ^ 2 : ^ .

b) f(x )= cosx + ^ ^ s i n x +2 ti 4n 871

00

+ ^ ( a „ cosnx + b„ sinnx),n=2

ha x ^ — + 2mn (m = 0;±1;±2;...), ahol 4

r r , . n7i n7T n7i . n7iV 2 (-l) +nsin — + cos— ncos------sin —

a 4 4 4 4V2 7i(n^-1) " V2 7 i(n '-1 )

A függvény Fourier-sorának másik alakja:, 2 + V 2 a / 9 t i '+1271 + 8 . f , 2 ^f(x) = ---------+ -------------------- sin x - a r c tg --------

271 871 l ^371 + 2+

+ Z^nSÍn(nx + (p J ,n=2

376

KVK-1190

3 + n '+ 2 V 2 (- l) " n sin — + cos — 4 4

(p„ =arctg-

V2 7 i(n '-1 )

cos_________ 4 4

. n n7ism — n cos —4 4

és

r r , ,, n . T17t ÜTIV 2 (-l) +nsin — + cos-

9 ^/3c) f(x) -------------COSTTX +4n 4ti

1 +8ti

sin nx +

+oo

^(a„ cosn7ix + b„ sinnTix),n=2

ha X - + 2m ( m = 0;±1;±2;...), ahol

3(2(-l)” + n ,+ n V 3 ^ i) ^ 3(^1- n ^ i j 27i(n"-l) ” 27i(n"-l) '

A függvény Fourier-sorának másik alakja:

, 9 V39 + 64ti'+48V371 . ff(x) = — + -------------------------sin nx -arc tgAli 8ti \V00

+ S ‘ nSÍn(n7ix + (p J,n=2

ha x íí ^ + 2m (m = 0;±1;±2;...), ahol

16V37r-18 64ti' -2 7

3-^5 + n ^ (2 - |^ 4 )+ n (V 3 -l|i3 +2(-l)"(n2V3^, - ^ i j27i(n^-l)

3 (2 ( - ir+ n V 3 |g ,+ ^ J

1 1-n ^ 2A Fourier-együtthatókat és az eltolási szöget meghatározó kifejezésekben használt jelölések:

9n =arctg-

377

KVK-1190

.ÜTI nir . Im i , 2nn|a, =sin — , 12 = cos— , Hj = s i n - ^ es IÍ4 = c o s ^ —,

11.3.8.a) A grafikonnal megadott függvény esetében elsőként a függvény

képletét kell felírni. Mivel a grafikon szakaszokból áll, ezért egy- egy egyenes egyenletét határozzuk meg, figyelemmel a folytonosságra, a szakaszok végpontjában.

f(x) =X + 71, ha - 71< X < 0, ,

es f ( x ) - f ( x + 27i),- 71, ha 0 < X < 71,

ahol 2n a függvény periódusa. A függvény nem páros, nem páratlan.A Fourier-együtthatókat a két intervallumon vett integrálok ősz- szegeként kell kiszámítani:

1 0

ao 2n(x + 7i)dx+ (-7i)dx

V - 7 T

^0

71

4

= -71

K

( x + 7 i ) c o s n x d x + ( - T i ) c o s n x d xV-7T í 0

n^Ti

( - l ) " - 2( x + 7i) s i n n x d x + ( - 7i ) s i n n x d x

V-7T 0 y(A két utóbbi Fourier-egjóittható esetében, az első integrál értékét a parciális integrálás módszerével számítottuk ki, és a tömörség céljából, a cosn7i = (-l)" azonosságot alkalmaztuk az együtthatók megadásában.)A kiszámított együtthatókkal, a függvény Fourier-sora;

l - ( - l ) " ( - l ) " - 2 .cosnxH-- — ------smnxn^7i

ha x m7i (m = 0;±1;±2;...).

378

KVK-1190

b) A függvény:

f(x) =

4

8 - jX ,

ha

ha

0 < X < 3,és f(x) = f(x + 6).

3 < X < 6,

A Fourier-együtthatók kiszámítása:3/1 6 /

3 V

nTTX

j ^ x d x + j dx

4— xcos 3 3

dx +

= 2.

4 ^8 — X

3nrcx ,

cos-----dx(nji)

b„ = 0, mert a függvény páros.

A függvény Fourier-sora: f(x) = 2 + V — — ^cos(n7i) 3

nTTX

n=l

c) A függvény:

f(x) =3

0,

ha

ha 2 < X < 4,A megadott függvény Fourier-sora:í-/ \ 3 ■ A f3((-1 )"-l) nTix 3(-l)"'"‘ . nnixf(x) = ---h / — — -------’-cc\<i------ 1--- —i---- sin-----

4 (hti) h a ± 2 ; ± 6 ; ± 1 0 ; ___

cos-----+ -' 2

-sm- nn 2

d )A függvény:

f ( x ) -

7- X , han

7, h a

2 1 - - X , h a71

0, h a

és f(x) = f(x + 4ti)

A Fourier-együtthatókat a három intervallumon vett integrálok összegeként számítjuk ki:

379

KVK-1190

ao =1 ( \ 1

4 ti

1

2tt— xdx +71

7dx +Hí

27tV21 — X

71dx

2k

1

271}7 nx , "r^ nx ,— xcos— dx + 7cos— dx +

n 71

2n

2

nx7T

271

37U

2tt2 1 - ’ x

71

\ \ nx , cos— dx/

7T ^ ___rV . nx , . nx ,— xsin— dx+ 7sin— dx + 71 2 J 2

A Fourier-együtthatók;

a = 1 a -" 2 ’ " (nji)'

Y 7 ' 2 1 - - X

2.1 ^ .

V n+1

Sin-

2

nx dx

, , 28(-l) '' ■ . nTT es b„ = — —-— sin —

(nTi)'A megadott függvény Fourier-sora tehát:

f(x) = - + Zn=l

14((-l)” - l ) nx 28(-1)""* . nn ., -cos— +

(nTi)' 2 (nu)nxsin— sin —

' 2 2

12.LINEÁMS PROGRAMOZÁS

12.1. Lineáris egyenlőtlenségeli: grafikus megoldása

12.1.1. A feladatok grafikus megoldását a 12.1. ábrán mutatjuk be. Részletes magyarázatot az a) feladatnál adunk.

a ) l. lépés: Ábrázoljuk az xi + X2 = 12 egyenlet megoldását adó egyenest. Például az origó segítségével kiválasztjuk az első egyenlőtlenség megoldását adó félsíkot: 0 + 0 < 12, ezért ez az origót tartalmazó félsík és az egyenes pontjai.

2. lépés: A második egyenlőtlenség megoldását az x i = 2 és xi = 8 egyenesek között „sáv” adja.

3. lépés: A harmadik egyenlőtlenség megoldását az xi = 3 és X2 = 8 egyenesek közötti „sáv” adja.

4. lépés: A fenti rész-megoldáshalmazok közös része adja az egyenlőtlenségrendszer megoldását, amelyet a határoló szakaszok megvastagításával jelöltünk ki az ábrán.

5. lépés: A csúcspontok leolvashatók az ábráról, illetve a két egyenes egyenlete segítségével határozzuk meg.

12.2. A lineáris programozás alapfeladata

12.2.1.a) b)

Xj -3x2 + X3 < 10,X [ + 2 x 2 - X 3 < 6 , X i + X 2 - 3 X 3 < - 5 ,

- 4 x , + 3X2 - 2X3 < - 1, 2x , - 3x 2 +X3 < 2,- X 2 + X 3 < 3, - 2 X i + 3 x j - X 3 < - 2 ,

Xi, X2, X3 > 0, Xi, X2, X3 > 0,(2X[ - 3x 2 +X3) ^ m a x . (3x, - X 2 + 4x 3)->m ax.

KVK-1190

381

a)

KVK-1190

Csúcspontok: A(2;3), B(8;3), C(8;4), D(4;8), E(2;8)

c)

Csúcspontok: A(2;0), B(4;0), C(9;5), D(0;2) C(4;0)

12.1. ábra

12.2.2. Jelölje Xiaz Aj termékből gyártandó mennyiséget, i=l,2,3,4! Fogalmazzuk megjelöléseinkkel a feltételeket!A feladat matematikai modellje:X] + 2X2 + 4X3 + 3X4 < 100,

3X2 + 2X3 + X4 = 120,2x , + 4X4 < 80 ,

X , - X 2 - X 3 > 0,

X, ,X2,X3> 0,(l5xj + 20X2 + 25X3 + 17X4) —>m ax.

382

12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása

12.3.1.a )l. lépés; A feltételrendszer L megoldáshalmazát a 12.1.1. a) fela

dat megoldásában ismertetett módon kapjvik meg. Az L halmaz azon pontjait keressük, amelyekben a célfüggvény maximális, illetve minimális értéket vesz fel.

2. lépés: Ábrázoljuk az xi + X2 = k egyenest olyan k értékkel, hogy az egyenesnek és az L halmaznak legyen közös pontja! Válasz- szűk például a k = 4 értéket! Az egyenest szaggatott vonallal rajzoljuk meg. Az egyenest egyik irányba önmagával párhuzamosan eltolva k érték nő, míg a másik irányba tolva csökken.

3. lépés; z = xi + X2 > 4 esetén kaphatunk maximális értéket. Ezt a félsikot kiválasztjuk és az egyenest eltoljuk az L halmaz ezen félsikbeli legtávolabbi pontjáig. Látható, hogy bármely távolságnál még messzebb is eltolható az egyenes úgy, hogy van közös pontja az L halmazzal. A célfüggvény nem korlátos az L halmazon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a feladatnak nincs optimális megoldása.

4. lépés; z = xi + X2 < 4 esetén kaphatunk minimális értéket, ekkor az egyenest a másik irányba kell tolni. Az L halmaz ezen félsíkbeli legtávolabbi pontja a P csúcspont. A feladat egyetlen optimális megoldását tehát a P pont adja, amely koordinátái leolvashatók az ábráról; xi = 0, X2 = 2. Az optimális célfuggvényérték; Zmm = 2. (12.2. a. ábra)

b)A Zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a Pi pont70 24 116adja; Xj = — , x^ = — , Zi„,, - — .

A Z2 célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van; a f70 24^P, — ; tY pontokat összekötő szakasz pontjai,

Z2rain = -6. (12.2. b. ábra)

KVK-1190

383

KVK-1190

c) A zi célfüggvény esetén nincs optimális megoldás az L halmazon,(5 16^Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P —; — pontbólV 3 y

induló, L-et határoló félegyenes pontjai adják, Z2^í„=-40. (12.2. c. ábra)

d)A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a Pi pont14 4 82

adja: x, = y , ^ 2 = - , z ,.„ax= y-

A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a ?2 pont adja:

Xi = T ’ ^2 Zimin = - ^ - (12.2. d. ábra)

e) A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a ?i pont adja: xi = 12, X2 = 7, zjmax = 201.A Z2 célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a

( 2 8^P2(2; 0), ?3 —; - pontokat összekötő szakasz pontjai,y3 3J

Z2min=12. (12.2. e. ábra)

f) A zi célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a Pi(0; 1), ? 2(3; 0) pontokat összekötő szakasz pontjai, zimax = - 6.A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P3 pont adja:Xi = 0, X2 = 5, Z2min = -25. (12.2. f. ábra)

g)A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a P pont adja: xi = 0, X2 2, zimin = 6.A Z2 célfüggvény esetén nincs optimális megoldás az L halmazon. (12.2. g. ábra)

h)A zi célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a Pi(l; 3), P2(2; 2) pontokat összekötő szakasz pontjai, zimin = 12.A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P3 pont adja: x i = 1 , X 2 = 6, Z2max = 8. (12.2. h. ábra)

384

KVK-1190

a) b)

c) d)

í)

385

KVK-1190

g) h)

12.2. ábra

12.3.2.- Xj + 2 X 2 < 4 ,

X, + X 2 < 8 ,

X, - X 2 < 4 ,

X , , X 2 > 0 ,

z = (4X[ +4x2)->m ax.

A feladatnak végtelen sok optimális megoldása van, a C(6; 2) és D(4; 4) pontok által meghatározott szakasz pontjai, Zmax = 32.

386

KVK-1190

12.3.3. Jelölje:xi: A bánya üzemeltetési ideje (óra) X2: B bánya üzemeltetési ideje (óra) A feladat matematikai modellje:

2x, + Xj >100,3x, + 2X2 >180,3x, + 6X2 >240,

Xi ,X2> 0,z = (250xi + 275x 2) m i n .

A költség minimális lesz, ha az A bányát 50 óra, a B bányát 15 óra hosszat üzemeltetik.

387

13. VEKTORANALÍZIS

13.1. Vektor-skalár függvények

13.1.1.a) Egy vektor-skalár függvény deriváltja, a koordinátafuggvények

deriváltjaival, mint koordinátafuggvényekkel meghatározott, vektor-skalár függvény. A megadott függvény deriváltja:

r(t) = (sin t + 1 cos t)i + (cos t - 1 sin t)j — , k .

KVK-1190

b)r(t)= '^^,i + (3‘ ln3 + l)j + ^—k 1 - t ' •' tln2

.2 . . . 1 . 1c) r(t) = (3t^ - 3)i + — Y - Í + - T - k .cos t 3 ^ t

d) A szorzat deriválási szabályát alkalmazva, az

f(t) = - ((sh 2t)l + (eh 2t)j + (cth t)k) +th t eh t1

+ • (2ch2t)i + (2 sh 2 t)j-----^ ksh tth t

vektor-skalár függvény adódik. Azonos átalakítás után,. . . 4 c h 2 tc h t - 2 c h t . c h 4 t-2 c h 2 t , 4ch t ,r(t) = ---------------------1 + ---------------- 1 ------------ k,

sht c h 2 t - l c h 2 t - l

e) r(t) = — + (2te‘ + t^e‘)j + • l + (l + t") ^Je + 2 t

f) r(t) = -Ví)jH-(t^

388

KVK-1190

+ 2 t -4 i j e ,

1+ 3 t ' - J + 2 t -241

13.1.2.a) Az r(0) = j a Pj(0;l;0), az r(l) = i + k pedig a P2(l;0;l) pont

helyvektora. A P, és Pj pontokat összekötő szakasz egyenesének

irányvektora legyen a PjPj = r(l) - r(0) = i - j + k vektor.

Ekkor, - amint azt az ábra mutatja,- a PjPj szakasz bármelyik pontjának p(t) helyvektora megadható

p(t) = r(0) + 1 • PjPj alakban, ahol 0 < t < l .A szakasz paraméteres egyenletrendszere tehát:

•, ahol 0 < t < 1.x = t y = l - t z = t

A két pont távolsága, az irányvektor hossza: r(l) - r(0) =

b)X = l + t

y = -3 + 1 z = 2t

■, ahol 0 < t < 1 és r(l) - r(0) = V ó.

c)

x = ty = l - t

n n z = — + —t

2 2 .

, a h o l O < t < l é s r ( t2) - r ( t [ )

389

KVK-1190

d)x = ( ln2) t

z = -1 + t

, ahol 0 < t < 1 és r(l) - r(0)V (ln l6 ) '+71^+16

13.1.3.a) Az érintő irányvektora az r(t) = 3tî + (2 t-3 ) j + 2k derivált

függvény értéke a =2 helyen. Ezért az irányvektor: v = r(2) = 12i + j + 2k .Az érintési pont helyvektora r(2) = -3i - 2j + 4k . Az érintő paraméteres egyenletrendszere:X = -3 + 12t, y = -2 + 1, z = 4 + 2 t .

b)r(2) = eî + j és r(2) = -eî + 2 k , így az érintő paraméteres egyenletrendszere:x = e ^ -e ^ t , y = l , z = 2t.

2e^ 4 e ' 2 e 'c) x = t , y =

4e ' 1e " + l (e"+l)^ e ' - l ( e ' - l ) ' ^ ’ ^ ln 2 ^ ’

In 2 7iMn2 ;ilnl6-:rt^16

71- t , Z = — + t .

4

13.1.4.a) A vektor-skalár függvény deriváltja: r(t) = St' i + VÍOt^j + k .

A derivált abszolút értéke: |r(t)| = V25t*'-i-lÖt^^M = St"* +1,mert a négyzetgyökjel alatt teljes négyzet áll. Tehát a térgörbeívhossza:

2s = (5 t '+ l)d t = t + t = ( 2 '+ 2 ) - ( l + l) = 32.

390

KVK-1190

b)A megadott függvény deriváltja: r(t) = “ * + 6tj + 6k .

A derivált abszolút értéke: r(t) + 3 6 t^ + 3 6 = 3 2 . 4t

mert a négyzetgyökjel alatt teljes négyzet áll. Tehát a térgörbe ívhossza:

‘ld, = k.31„,k=a(2£z2B±3).s = 2t + - t

c) A derivált függvény: r(t) = -3 sin ti + 3 cos tj + 3 k , ennek abszolút

értéke pedig r(t) = s V l . A térgörbe ívhossza:

s =

d)s =

'3V2dt = 3V27r.

V3In 8

e) s =2 e -3

f) s ='"f 2V2ch2t

In 2 sh '2 tdt = 4 i ]

In 42V2e^‘ ‘

In 4_104-V2

sh2tIn 2

e^‘ - lIn 2

255

C 1g) r(t) kiszámítása előtt célszerű az -r;---- = ------- azonosságot

e +1 2cht4i%alkalmazni! Az ívhossz: s =12

1498 , 16h)s = ------+ ln—15 9

i) s =

j) s = V3. k) s = 1 + In—.2

391

KVK-1190

1) s =

13.1.5. A megadott függvény deriváltjának abszolút értéke:

r(t) t V2t’ = t +

A P, és ?2 pontokat összekötő térgörbe ívhossza:

s = dt = 3172

A Pl és Pj pontok helyvektorai a függvény t, = 0 és tj =1 helyen vett helyettesítési értékei:

p, és P, í 1 , 1 .V2^1 9 3\ y

z 72’3 ’ 6V /

A pontok távolsága:

jPiPa = _L_1

72 9V2

\2

72

Az ívhossz és a távolság aránya pedig31

1172 ____

V9Í372

13.1.6.a) A vektor-skalár függvény deriváltjának abszolút értéke:

r(t) (e‘)% (2e^‘r v4y8e^‘ +1

Ennek a primitív függvénye: 8e '*+l

-dt = e * + - + C.4 4

392

KVK-1190

Ha -1 < t < 0 , akkor az ívhossz Sj = J|r(t)| dt = j ^ •

0 < t < 1 esetén pedig Sj = r(t)

-1 4 e

5 1

Az ívhosszak aránya: — = —— ^ « 1,4862.s, , 3 4 e '- 3 e '’2 e —

d)Az egyes koordinátafüggvények deriváltját és azok négyzetét célszerű külön-külön kiszámítani. így az

1r(t) ■ + 4t arcsint,

t arcsin tamely összegként, az integrálás szempontjából könnyen áttekinthető. Kiszámítva a két görbedarab ívhosszát, arányuk

36 In - + 71(372 - 1) - 2(973 - 1 0V2 )^ --------------------------------------« 0,5341.

2 361n- + 37 i(2V 3-V 2)-2(l0V 2-ll)

13.1.7. A csavai'vonal egy teljes körülfordulásának ívhossza:2tt 2n _____________________ ______

Se, = Jl COl dt = J-y/(-rsint)^ +(rcost)^ -I-A, dt = 2^z^|r^ +X^ .0 0

A henger alapkörének kerülete s, = 27rr.A csavarvonal hosszának az alapkör kerületéhez viszonyított ará

nya tehát 1 + -.2 •

393

13.1.8. A huzal középvonala az egyes rétegekben r, = 40,7 mm, Tj = 42,3 mm és Tj = 43,9 mm sugáron helyezkedik el. A menet- emelkedés mindhárom rétegben a huzal átmérője, azaz X = 1,4 mm. Mindhárom rétegben 100-100 menet van. Használjuk az előző feladat egyik részeredményét, a sugár és a menetemelkedés függvényében, a csavarvonal hosszára kapott összefüggést! Ezzel a szükséges huzal hossza:

L = 2007rf + 240 =V J

-80033,43 mm « 80,03 m.

13.2. Skalár-vektor függvények

13.2.1.a) A kétváltozós, valós függvény teljes differenciálja:

df(x;y) = f;(x ;y)dx + f;(x ;y)dy .A parciális deriváltak:f (x; y) = - y sin xy és f (x; y) = -x sin xy .A megadott függvény teljes differenciálja: df (x; y) = -y (s in xy)dx - x(sin xy)dy.

b) A parciális deriváltak:, 2 (x -y ) 2 (x -y ) ( - l)

f '(x ;y ) = — ^ e s f '(x ;y ) = - -----^( x -y ) M n2 ( x - y ) Mn 2

Egyszerűsítés után, a teljes differenciál:

df(x;y) = -------------dx + ------ -------d y .( x - y ) l n 2 ( y - x ) l n 2

jí-/ y ( x^ -y^ ) j x ( y ^ -x ^ ) ,

d) df(x;y) = .c h ( l-y ) eh (1 -y )

KVK-1190

394

e) df(x;y) = y3^’‘"*^''(ln3)dx + ( x - l ) 3 ‘"“'^''(ln3)dy.

f) df(x;y) = (x + 3)(2x-l)(x^ -x)^"^Mx + + ( x ^ - x y ^ ^ { \ n ( x ^ - x ) ) á y .

13.2.2.a) A kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltja:

őf— = f; (x; y) cos a + f ' (x; y) sin a . da

A parciális deriváltak:fx(x;y) = 2xcos(x^ +y^) és fy(x;y) = 3y^ cos(x^ +y^)-A megadott függvény iránymenti deriváltja: df

KVK-1190

da= 2x(cos(x^ + y ))cos a + 3y^ (cos(x^ + y ))sin a .

b)A parciális deriváltak:f; (x; y) = 2)2x(l - y ' ) és

f;(x ;y) = 2^^('-^^>(ln2)x^(-2y).A parciális deriváltakból 2’‘''*-^'>(ln2)x2 = x(ln2)2 '"’‘' '-^') kiemelhető. így az iránymenti derivált:a fda

c) A kiszámított parciális deriváltak egyszerűsítése és kiemelés után,az iránymenti derivált:8f 1 ,— = ---------- . ( -y cos a + X sm a ) .öa (x + y)V2xy + y '

dí ed ) ^ = 7 ^ ( t g y )

da tg Xt g x -

1\

cos^ ycosa +

395

KVK-1190

+e"' '^ ( 4 ^ - s in 2 y )^ .

4Vytg xcos^ ysin a .

e) — = -----------rr---------cosa -da [Qy-e-^yj +e^- i2 2x+ e"’‘

s i n a ,

f) dac o s a -

tg- In ^- + ■

y 2 y^ xcos — xy

sin a .

13.2.3.a) A kétváltozós, valós függvény gradiense a PQ(xQ;yo) helyen:

= (fx(xo;yo); fy(x;o ;yo))-Az egyes parciális deriváltak és értékük a P,3(-l;2) helyen: fx(x;y) = 2x + 2y és f;(x ;y) = 2x + 2 y ,

f '( - l ;2 ) = 2 é s f ; ( - l ; 2 ) = 2.

A megadott függvény gradiense a P(,(-l;2) helyen:

gradf|_,^=(2;2).

b) Az egyes parciális deriváltak és értékük a

(cosx + xsinx)siny , fx(x;y) = ^------------- 7- ^ ---- ^ es f;(x ;y) =

n 71 helyen:,6 3, x (y co sy -sin y)

f' 71 71

6 ’ 3

ycos‘ x ' y sinx

IS + TiVs , -Y n 71 Tt-SVs= ----------- es f„

6n v6 3 ,

A megadott függvény gradiense a Pq

2n/ \

71 71

6 ’ 3helyen:

396

KVK-1190

gradf I 8 + 71V3 71- 3V3

671 2n

c) gradf í 1 . 2 ^

Po 5 ’ 5 jd) gradf =(0;1).

Po

e) gradf =(1;0).Po

f) gradfPo

2381n2 161n2

13.2.4., fy(xo;yo)a) Az egyenes meredeksege: m = —

fx(xo;yo)A parciális deriváltak és értékük a Po(l;l) helyen: fx(x;y) = 2x és f^(x„;yo) = 2, f;(x ;y) = -2y és

fy(xo;yo) = -2-Az egyenes meredeksége: m = -1 .

,ha f;(Xo;yo)?íO.

b ) m = -V 3

c) A parciális deriváltak kiszámítása előtt alkalmazzuk az

logj,b = , h a a > 0 , b > 0 , c > 0 , a^^l , c?^l ,logca

azonosságot, így a megadott függvény felírható

f(x;y) = ,ha x > 0 , y > 0 , x^^l , y^^l , alakban.y(lnx)

Az egyenes meredeksége: m = -1 .

13.2.5.a) A kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltja a Po(Xo;y,3)

helyen, egy a szöggel meghatározott irány esetén:

397

df

KVK-1190

da= fx(Xo;yo)cosa + f ' (Xo;yo)sina.

A megadott kétváltozós, valós függvény parciális deriváltjai és értékük a Po(l;V2] helyen:

fx(x;y) = COS7TX 71

- 2xyn nx , n^f2fv(x;y) = - ,-;--^^x , cos , , , f^(xo;yo) =

Az iránymenti derivált a Po(l;V2) helyen, a = 30° szög esetén:

dída

^ tz( S - 2 ^ ] 100

b)dída Po

11V2sVs

c)Öfda

13.2.6.a) Ha u = V cos a , v = v sin a , - ahol v 0 , - akkor v = ui + vj

az egyik irányvektora a PQ(x,3;yQ) ponton átmenő, a irányszögű egyenesnek. Ezért egy kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltja a Pq pontban, a v vektor által meghatározott irány esetén:

öfda = fx(xo;yo)

U

Po Vu^ + v^+fv(xo;yo)

A megadott függvény iránymenti derivált értéke:a fda

_ ^ 2(2 + 7 3 )4

b)öa

2V6c)

Öal + 4e + V3(3 + 4e)

8e

398

KVK-1190

a) Egy megadott pontban, a kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltjának értéke, a pontbeli gradiensvektor irányában a legnagyobb:

13.2.7.

dfmax0<a<27T Q q h

= fx(xo;Yo)fx(xo;yo)

Po

+ fy(xo;yo)

^(f:(xo;yo)) '+(f ; (xo;yo))

_______ fy(xo;yo)_______

V(fx(xo;yo))'+(fy(xo;yo))öf

+

Az iránymenti derivált legnagyobb értéke: max0<a<2u 0ot

Po

gradf

5 2 ■

b) max df0<a<2n c) max

af0<a<27i Q ( x

= 1

13.2.8.a)Az n = -f^(Xo;yo)i-fy(X(,;yo)j + k vektor merőleges a felület

re, mégpedig a felületnek abban a Q,3(xQ;yQ;Zo) pontjában, ahol

Zo =f(xo;yo)-Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = Xo-f; (Xo;y„)- t , y = Yo-f ; (Xo;yo) ' t , z = z „ + t .A megadott függvény parciális deriváltjai és ezek értékei: f; (x;y) = x^ - 2xy , f;(x ;y) = 2xy - x^ és

f:(2 ;- l) = 5 , f ; ( 2 ; - l ) = -8 .

A függvény értéke Zq = f(2 ;-l) = 6.A kiszámított értékeket behelyettesítve, a megadott pontban, a felületre merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszere tehát: x = 2 - 5 t , y = - l + 8t , z = 6 + t.

b)x = 2 + 9 1 n 3 - 1 2 - -e

t, y = 3 + 6 + - - 8 1 n 2 e

1 - e t , z = ----- + t

399

KVK-1190

c ) A függvény és parciális deriváltjai értékének kiszámításához, a szögfüggvényekre vonatkozó azonosságokat alkalmazva, az adódik, hogy

f ( x ; y ) = ^ y e n n e k a l apj án z^ = 1, t g x + t g y

alapjáncos(2x + 2 y ) - l V- -y

f ' ( x ; y ) = -------2 c o s 2 x------- e n n e k a l apj án f '

/ \ n n3 ’ 4

= 0,

= 4 - 2 V ^ .3 4 cos(2x + 2y) -1

A megadott pontban, a felületre merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszere:

x = ^ , y = - + (2V3-4) t , z = l + t.

, 2 e Í 2 - ( e " - l ) 0 , ( e ^ - l ) ^ - 4 ed ) x = l + — y = - l + - ------ — -— t ,

(e^+1)^ (e^+1)^l - 2 e - e '

Z = -------r---------- + t.e " + l

13.2.9.a)Az n = -f^(Xo;yo)i-fy(Xo;yo)j + k vektor normálvektora a fe

lület Qo(Xo;y(,;Zo) pontbeli érintősíkjának. Az érintősík egyenlete:- fx (xo ; yo ) ( x -Xo) - f ; (x o ; yo ) ( y -y o) +(z - Zo ) = 0- A parciális derivált függvények és értékeik a megadott helyen:

fx (x;y) = 2 x , f;(x ;y) = és f^(1;1) = 2, f;(1;1) = .

A függvény értéke pedig z^ = f(l;l) =4 - n

A kiszámított értékeket behelyettesítve, a megadott pontbeli érintősík egyenlete:

1 , f 4 - ti- 2 ( x - l ) + - ( y - l ) + z - = 0.

400

KVK-1190

Azonos átalakítás után: 8x - 2y - 4z = 2 + 7T.

b)n + l S f n 71 + 2^3

X ------ ( y - l ) + z - n12

= 0.

Azonos átalakítás után:{n + 2V3)x - (tt + 2^Í3)y + 6z = Vs .

c )4 (5 -7 1 n 2 )x -3 (7 -5 1 n 3 )y + 49z = 54 + 151n3-561n2.

d)A parciális deriváltak kiszámítása előtt elvégezve a kivonást, az 2x^y’‘ ,

alak adódik. Kiszámítva a szükséges adatokat, az érintősík egyenlete:20(2 - In 2)x -1 Oy - 9z = 17 - 20 In 2.

e) -6-\/3x + 9-v/3(ln3)y + 4z = 6-v/3(l + 31n3).

f) A logaritmus azonosságának alkalmazásával, a parciális deriválás előtt, célszerű a függvényt azf (x; y) = ln(7T - y) - In cos(x + y) alakban felírni.Az érintősík egyenlete:

. R r í ^/ \

n ^Y ___

1 8 - 5 n V 3 7 1 ^\ / ________ _ L r y

3

A -----------------

6 , 1 5 ; : 7 6 , 3 jV /

13.2.10.

a) A d fda

= f^(Xo;yo)cosa + f ' (Xo;yo)sina iránymenti derivált

minden, tetszőleges szög esetén akkor és csak akkor nulla, ha van olyan Xo, yo,hogy f;(X(,;yo) = 0 és f;(X(,;yo) = 0. Meg kell oldani tehát a

401

2 x - 4 = 0 8 y + 8 = 0egyenletrendszert. A megoldás Xg - 1 , = -1 , tehát

P o(2 ;- i) .Mivel f^(xQ;yo) = 0 és fy(X(,;yQ) = 0, ezért az érintősík nor

málvektora n = k .. Mivel Zq = 1, ezért az érintősík egyenlete: z - l = 0.

b)Po(-l;l) és z - 3 = 0. c)Po(0;-l) és z - 4 = 0.

d)Po(-2;-3) és z - 2 = 0.

13.2.11.a) A skalár-vektor függvény teljes differenciálja:

^ ^ ^ du(x; y; z) = — u(x; y; z) dx + — u(x; y; z) dy + — u(x; y; z) dz .

öx öy özA megadott függvény parciális deriváltjai:

— u(x;y;z) = yzchxyz, — u(x;y;z) = xzchxyz és öx őy

^ u (x ;y ;z ) = xychxyz. dz

A feladatbeli függvény teljes differenciálja:du(x; y; z) = yz(ch xyz)dx + xz(ch xyz)dy + xy(ch xyz)dz.

KVK-1190

•-XJ/ N y + z J x + z , x + y .b)du(x;y;z) = ---- ---------- dx + --------------- dy + --------- ----- dz.x(x + y + z) y(x + y + z) z(x + y + z)

c) du(x; y; z) = (in2)(dx + dy + dz).

d) A parciális deriválás után, az egyes összeadandókból a

402

KVK-1190

ln(x + yz) ^ arcctg xyzl + (xyz)^ x^ +yz

k(x;y;z) = (in(xVz))^

közös szorzótényező kiemelhető. Ennek kiemelése után, a teljes differenciál:du(x; y; z) = k(x; y; z) ((2x + yz)dx + (z + xz)dy + (y + xy)dz).

e) A közös szorzótényezöt kiemelve, a teljes differenciál:

du(x; y; z) = — (xdx + ydy + zdz).

^ , , 1 + lnJx^ +y^ +z^Q du(x; y; z) = -----. — (xdx + ydy + zdz).

Vx" +y^ +z"

13.2.12.a) A Hamilton-operátorral való szorzás során, a „vektor szorzása

valós számmal” módjára járunk el: a megfelelő koordináták szorzatainak összegét képezzük, ahol az összeadandó szorzatok a vektor-skalár függvény egyes parciális deriváltjai lesznek. Vu(r) =

= + z)(l + y)i + ^ ( x + z)(l + y)j + ^ ( x + z)(l + y)köx dy dz

Vu(x; y; z) = (1 + y)i + (x + z) j + (1 + y ) k .

b) Vu(x; y; z) = (yzi + xzj + xyk) tg— +yz

1 . 1 . 1 ,- 1 — j — kv X y Z y 2 X

COS — yz

X / X 2xy . ln(x^+z^) . 2yz , c) Vu(x;y;z) = -7------- -- 1--7---------^ j ~7---------(x=+ z= r ' (x '+z=)’ (x’ +z")

403

KVK-1190

d) Vu(x;y;z) = ^ ----- ^X + y z

yz..i - z j - y k

e) Vu(r) =3 In

+ 1

f) Vu(r) =r arc sin r

2 r r

1 + (arc sin r

13.2.13.a) A skalár-vektor függvény gradiense, a függvénynek és a Ha-

milton-operátomak, a „vektor szorzása valós számmal” módjára kiszámítandó szorzata: gradu(r) = Vu(r).

6(jr + 2) gradu(r) = ------- r .

2----------------------1b) grad u(r) = ------------— r . c) grad u(r) = —r - — rr r .

d) Vu(r) =(yz)“‘ r f (xz)“‘ r (x y )- 'r

13.2.14.a) A megadott függvény, azonos átalakítás után,

u (x ;y ;z ) = i + e-^>"

alakban írható fel. Ennek parciális deriváltjait kiszámítva és a közös tényezőt kiemelve, a függvény gradiense: gradu(r) = -2 e “ ’‘''"(xzi + xz j + x y k ) .Behelyettesítve a megadott vektor koordinátáit, a gradiens vektor az ro(-l;0;l) helyen:

404

KVK-1190

gradu =2j .*0

b)A megadott skalár-vektor függvény gradiense:1 9 . . 3igradu(r) = --

■ + y’ + z ‘ ) f3 \/{ l2 -(x A gradiens vektor az r(,(2;-l;-l) helyen:

gradu j - - k .® 3 4'* 3

7 . 1 . 5 ,c) gradu = — 1 + —j — k .18 4 3

(2xi + 3y j + 4z k).

d) gradu 37T-4V3. 2% + z S . 3n + 4V312

-i + -12 J 12

k.

e)A parciális deriváltak kiszámítása szempontjából célszerűen, a függvényt azonosan átalakítva, azu(r) = -log3(|r| + l)-log3jr|^ + 4),áttekinthetőbb alakot kapjuk és ebből az alakból számítjuk ki a parciális deriváltakat.A függvény gradiense:

1gradu(r) = -ln3

1 2:------+ ■

+ 4r .

Az Tf) = V3 és Tq (1;1;1) behelyettesítése után, a gradiens vektor:

gradu 33- 7V3 ,. .-(i + j + k).42 In 3

f) gradu4 ( 2 - tc) ,

1.7C

13.2.15.a) Az abszolút hiba becslése:

405

KVK-1190

du du duAu(ro)

dx *•0Axo +

dy *•0Ayo +

dz *•0Azo

a relatív hibáé pedig:

Su(ro)u(ro)

^ Su(x;y;z) = 4x^, — u(x;y;z) = -3y^ és — u(x;y;z) = 2 z ,

A megadott függvény egyes parciális deriváltjai, illetve értékeik:ddy'

dn

őx illetvedu

őx

dx= 32,

dyr du = -24 es

dz= 8.

Az abszolút hiba becslése: |Au(ro) | « —.

A függvényérték abszolút értéke: u(rg) =16 V2 .

A relatív hiba becslése: 5u(ro)64

0,1105.

b) Au(ro)

c) Au(ro)

d) Au(ro)

és 0,0943,100 200

3 • e • In 3és 6u(rn)

300 " 100-(l + ln3)0,0427

21,6 + V3jtés 6u(ro)

21,6 + V3 7t

180

e) Au(r(,) wl,18 és 6u(ro) « 0,059.

13.2.16. Az impedanciának a mérési eredményekből kiszámított értéke:

Zo = yls,6^ + ( 2 - n - 49,8-7,2 ) ' « 6,036f2.Az egyes mérési eredmények abszolút hibái:

406

KVK-1190

hLA = 4 ^ = 2-10- 'H, = ^ = 0,5Q és =0,6Hz.100 100

K Z - + {2-K-f - L f függvény egyes változók szerintiparciális deriváltjai és azok értékei az (Lo;Ro;fo) helyen:

ÖZ 4 - 7 r ' L - f ' , dZ(^ „ , , ^ 1I-------T - - es — (Lo;Ro;fo)«117-;

ÖL ^ R ^ + { 2 . K - f - L f ÖL s

/ & ^ ( L „ ; R . ; f , ) » 0,928;ÖR yjR^ + { 2 - n - f - L f ÖR

dZ _ 4 - n ^ - V - í

öf +(2-7i-f-L)" öfAz impedancia abszolút hibája:

és ^ ( Lo ;Ro ; f o) *0 , 016 9Qs .

hzA =

+ § ( L ,;R „ ; f , ) | .h ,^ =0,498fi.Öl

'RA +

Az impedancia relatív hibája pedig:

^ ^ ^ K a: M = s ,25%.^0

13.3. Vektor-vektor függvények

13.3.1.a) A V szimbolikus vektor és egy vektor-vektor függvény skaláris

szorzása során, - a vektorok esetében alkalmazott szorzási művelet helyett, - a V vektor megfelelő koordinátája szerint, az egyes koordinátafuggvények parciális deriváltját képezzük. A kapott parciális deriváltakat - ugyanúgy, mint két vektor skaláris szorzásánál, - összeadjuk.

Vv(x; y; z) = -^ (x" V y z ) + ( x y ' Vz)+ ^ (V^yz') =

= 2{x-Jyz + xyVz + Vxyz).

407

KVK-1190

b) Vv(r) = — (tg xyz) + — (cos(x + y + z )+ — (sin(x + y - z )) : 8x dy dz

vz= ---- ---------sin(x + y + z) - cos(x + y - z ) .

cos xyz

c) Vv(x;y;z) = -

J^vT / X yz xz xyd) Vv(x; y; z) = ^ ^ .x y z

e) Vv(x;y;z) =^x^ +y^ +z^

+ 2y + 3 z -y /x ^ H y ^ f^ .

f) Vv(r) =_ x - z - ^ x ^ T y ^ T ^

x^ +y^ +z^ (l + x^ + y^ + y x ^ +y^ +z^

13.3.2.a) Egy vektor-vektor függvény divergenciája a V szimbolikus vek

tor és a függvény skaláris szorzataként számítható ki, azaz divv(r) = Vv(r).A megadott függvény divergenciáját tehát

divv(x;y;z) =dx

y + z+ -

dy dzalakban számítjuk ki. A parciális deriválást elvégezve, a divergencia tehát a.. , . y + z x + z x + y divv(x;y;z) = --

x^ y^skalár-vektor függvény.

408

KVK-1190

b)A harmadik koordinátafüggvény parciális deriválása előtt alkal

mazzuk a log^ X = azonosságot!Inz

div v(x; y; z) = 2’‘ (In 2)(log z) + ------•ylnx z(lnz)

c) divv(x;y;z) = z(x + y)^“‘ +x(y + z)’‘"‘ +y(x + z)^"‘ .

d)Parciális deriválás, összevonás és egyszerűsítés után:

div v(x; y; z) = .(x^ +y^ +z^)

Mivel a nevezőben a vektor abszolút értékének a négyzete áll, ezért a divergencia tömör alakban felírva:

divv(r) = ^ .

, , xchJx^ +y^ +z^ + y s h J x ^ +y^ +z^e) div v(x; y; z) = ------^ ^----------------+

+ y + zz

+V x ^ + y ^ + z ^ c h ^ x ^ + y ^ + z ^

- , , (x + y + z)ll + 7x^ +y^ + zf) divv(x;y;) = --------- , \ , -------

+ y^ + z^

13.3.3.a) A vektormező forrásmentes, ha az azt meghatározó vektor-vektor

függvény divergenciája az azonosan nulla skalár-vektor függvény. Kiszámítjuk tehát a megadott függvény divergenciáját:

divv(x;y;z) = ^ ( x ^ +3xy^ - 2 x z ) - ^ ( 3 x ^ + y^) + ^ ( z ^ ) .öx dy dz

A divergencia a kiszámított parciális deriváltakkal felírva:div v(x; y; z) = (3x' + 3y' - 2z) - (3x' + 3y' ) + 2 z .

409

KVK-1190

Az összevonások elvégzése után kapjuk, hogydivv(x;y;z) = 0,ezért a vektormező forrásmenetes.

b)Nem forrásmentes. c) Forrásmentes.

d) Részletesen felírva az egyes koordinátafüggvényeket, illetve a parciális deriváltjaikat:

dx2x

21n(x^+y^ + z ' ) -4x^

ln(x + y +z )( x ^+y ^+ z^ )

(ln(x^ +y^ +z^))^

dy2y

ln(x + y + z )

21n(x^+y^+z^)~ ^_________________(X + y +z ) ég

(ln(x^ +y" + z ^ ) f

dz2z

ln(x^+y^+z^)

21n(x^ +y^ + z ^ ) - ^ _________________( x^ +y ^ +z ^ )

(ln(x^+y^+z^))^Ezek összege a vektor-vektor függvény divergenciája. Az összeg, azonos átalakítások után:

, 61 n( x^ +y ^+ z^ )- 4 div v(x; y; z) = —r^------ ^ ^ ----

(ln(xilletve tömör alakban

121nr - 4div v(r) =

' + y ' + z ' ) ) '

(21n|r|)'Mivel ez nem egy azonosan nulla skalár-vektor függvény, ezért a vektormező nem forrásmentes.

13.3.4.a) A Hamilton-operátor és a vektor-vektor függvény vektoriális

szorzása során, a determináns elemeinek szorzatát, a koordinátafüggvény parciális deriváltjaként értelmezzük.

410

KVK-1190

i j kd d d

dx dy dzx^y^z xy^z^ x^yz

V X v ( r )=

A determináns kifejtése:

Vxv( r ) = i — ( x V z ^ - — (xy'z^)

- J + k ^ ( x y V ) - | ( x V ^ z )

A kiszámított vektoriális szorzat:Vxv( r ) = (x^z^ -2xy^z)i - (2xyz^ -x^y^)j + (y^z^ -2x^yz) í .

b) Alkalmazzuk a különböző alapú logaritmusokra vonatkozó azonosságot, így a megadott függvény

In y . In z . In x , v(x; y;z) = — + -— j + -— k

In X In y In zalakú lett. A vektoriális szorzatot kiszámítva,

V X v(r) = - 1 1 . 1 ,1-----— J -----— k .z In y X In z y In x

c) Vx v(r) = — — i + — — j + — — k +

+

x + z x + y y + zX . y-! + ■ -J + -(y + z)^ (x + z f (x + y)'

d) A determináns:

k .

V x v(r) =

1

dx

J

dy

k

dz+y^ +z^ y y x ^ f y ^ i - ^ Zyjx^ +y^ +z^

A determinánst kifejtve kapjuk, hogy V X v(r) = 0.

411

KVK-1190

e) V X v(r) = - cosxz ^ ycosyz1 +

z sin xz ^ cos xyJ -

f) Vxv( r ) = 0.

13.3.5.a) A vektor-vektor függvény rotációja a V szimbolikus vektor és a

vektor-vektor függvény vektoriális szorzatának eredményeként adódó vektor-vektor függvény.A megadott függvény esetében, ez

rőt v(r) =

kd

ds. dy dz 1 1 1

yz xz xy

1 1xy xz

1 1 '

1 - 1 1

xz xy1 +

x y yz\

1 1 1 .^ ---------T J +X y yz J

J +1 1

x^z y^zk =

y z X zk .

b)A determináns:1d

jd

kd

dx dy dz 2~x+y g-y+=

A determinánst kifejtve, a rotáció:rotv(r) = -8"''^"(ln8)i-4’‘-" ( ln 4 ) j-2 “’‘ ''(ln2)k.

412

c) rőt v(r) = (ch(y - z))i + (sh(x + z))j — ------ k .sh ( x - y )

d) rőt v(r) = 0.

13.3.6.a) Egy vektor-vektor függvény által meghatározott vektormező ör

vénymentes, ha a függvény rotációja egyenlő az azonosan nulla vektor-vektor függvénnyel.Célszerű az egyes koordinátafüggvények parciális deriváltjait külön-külön kiszámítani.

^ V 2(x;y;z) = 2x(cosy)(lnz), oxd , , 2xsiny -V3(x;y;z) = ----------,

KVK-1190

dx ö— Vi (x; y; z) = 2x(cos y)(ln z ) ,

dyd , - x^cosy— V3(x;y;z) = ---------- ,dy zd , , 2xsiny ,— Vi(x;y;z) = ----------esoz zd . , x^cosy

— V2(x;y;z) = ---------- .őz z

A rotáció vektor első koordinátafüggvénye

8 . , ö , , x^cosy x^cosy -V3(x;y;z)-— V2(x;y;z) = ------------------------= 0,

dy dz z zde ugyancsak nulla a második és a harmadik koordinátafüggvény is, ezért rotv(r) = 0,tehát a vektormező örvénymentes,

b) A rotáció kiszámításának determinánsa:

413

KVK-1190

rotv(r) =dx

1

dy dz

k_Jd

1 1x^yz xy^z xyz^

A determináns kifejtése:

rőt v(r) =1 1

xy^z^ xy^z^1-

1 12 2 9 7X yz X yz

j +1 1

x ^ ^ z ' xV^zk = 0,

tehát a vektormező örvénymentes,

c) Nem örvénymentes. d)Örvénymentes.

13.3.7.

a) Mivel |r| = ezért a megadott skalár-vektor függvény gradiense:

ygradu(r) = rl + -

•^x + y +z^ -yjx +y^ +z^ -^x^ + y +z^Látható, hogy v(x;y;z) -gradu( r ) ,ezért a skalár-vektor függvény potenciálfüggvénye a vektor-vektor függvénynek.

b) gradu(x;y;z) = d xydx e"

1 +dy e j + dz e

k .

A parciális deriváltakat kiszámítva kapjuk, hogy

gradu(x;y;z) = ^ i + ^ j - ^ k . Mivel c c

v(x;y;z) = gradu(x;y;z).

414

ezért a skalár-vektor függvény potenciálfüggvénye a vektor-vektor függvénynek.

c) A parciális deriváltak kiszámítása után látható, hogy ugyan

^ u ( x ; y ; z ) = Vi(x;y;z) és 8x

u(x;y;z) = V3(x;y;z),

KVK-1190

dzded

u(x;y;z) = - V 2 (x ;y ;z ) ,dy ezértv(x;y;z)^gradu(x;y;z) ,tehát a skalár-vektor függvény nem potenciálfüggvénye a vektorvektor függvénynek.

d) Potenciálfüggvénye.

13.3.8.a) A skalár-vektor függvény gradiense:

2x x^ x^grad u(x; y; z) = ------^ i - j + k .

y - V z ( y - V z j 2 v z ( y - v z jA kapott vektor-vektor függvény divergenciája:

. 2 2x^ x^ í sVz-y) div grad u(x; y; z) = ------ j= + .

y - V z ( y -Vz) 4Vz ( y - V z j Mivel u(x;y;z) potenciálfüggvénye a gradu(x;y;z) = v(x;y;z) vektor-vektor függvénynek, ezért rőt gradu(x; y; z) = rőt v(x; y; z) = 0.

b)A megadott skalár-vektor függvény

u(x;y;z)= 'yx + y +z

alakban is felírható. Gradiensének koordinátafüggvényei:

415

d

KVK-1190

dx

dy

dz

u(x;y;z) = —3 V ( x ^ +y ^ +z ^y

u(x;y;z) = -+y^

u(x;y;z) = —3 V( x ^ +y ^ + z ^ y

= v,(x;y;z),

= V2(x;y;z) és

= V3(x;y;z).

Kiemelés után, a gradiens:

grad(x;y;z) = — 1 r(xi + yj + zk).3^ (x=+ y»+ z=) ’

Mivel a nevezőben 3 ’ áll és r = xi + yj + z k , ezért

gradu(r) = ------3 m

A gradiens divergenciája:

div grad u(x; y; z) = ^ V; (x; y; z) + (x; y; z) + - |- V3 (x; y; z ) . dx dy ez

A parciális deriváltak összegét egyszerűbb alakra hozva, és alkalmazva, hogy |r| = +y^ +z^ , a gradiens divergenciája:

div grad u(r) = — ^9

rőt grad u(r) = 0 .

3 6c) gradu(r) = —r , div grad u(r) = — és rőt grad u(r) = 0 . r r

d)gradu(r) =

rotgradu(r) = 0 .

- r , div grad u(r) =r r 2

1- r 1

es

416

KVK-1190

a) A vektor-vektor függvényt lokalizáljuk, azaz a vektor-skalár függvény koordinátafüggvényeit behelyettesítjük a vektor-vektor függvény megfelelő független változói helyébe:v(r(t)) = (Vt + 1) + (t + t)j + (t + V t)í ,Eredményül egy vektor-skalár függvény kaptunk.A megadott vektor-skalár függvény deriváltja:

r(t) = 2ti + j + k .2vt

Kiszámítjuk a lokalizált vektor-vektor függvény és a vektor-skalár függvény deriváltjának skaláris szorzatát. Eredményül a

v(r(t))r(t) = (Vt + t)2t + (t +

egyváltozós, valós függvényt kapjuk, amelyet integrálunk a megadott határok között:

13.3.9.

S - 1 i3 t ' + - t 2 + - t ^ dt = 3.

b)A lokalizált vektor-vektor függvény: v(r(t)) = (ti + V ^ j + k).Vegyük észre, hogy a négyzetgyökvonás elvégezhető!A vektor-skalár függvény deriváltja:

A két vektor-skalár függvény skaláris szorzatát kell integrálni a megadott határok között.2 / " j|((t^ + t)i + V2t(t + l)j + (t + l)k)[^i + ^ j dt =

(t + 2t + l^dt = 19

417

KVK-1190

In 2

c)Ve'‘ + l + 2e‘

e*i + j + -y/2e‘k) e‘i + - ^ k v2

dt

Azonos átalakítások után,In 2

e‘ dt = l.

d)7 + 171n2-51n3

e) Az integrál értéke nulla, mert a vektor-vektor függvény rotációja nulla, és zárt görbe mentén kell integrálni.

\S + 3^f3(n-8) + 2n(S-3^Í2)48

13.3.10.a) A PjPj szakasz paraméteres egyenletrendszere:

X = 1 + 1'

y = l + t - ,ha 0 < t < l . z = l + t

Ha a szakasz egyenletrendszerét r(t) = (l + t)i + (l + t)j + (l + t)kalakúra átírjuk, akkor jól látható, hogy ez -képezi azt a görbét, amelyen integrálnunk kell. (Megjegyezzük, hogy ha az egyenes irány vektorának kezdő- és végpontja a szakasz kezdő- végpontja, akkor minden esetben 0 < t < 1.)A továbbiakban ugyanúgy kell eljárni, mint egyéb esetben; a vektor-vektor függvényt lokalizáljuk, majd kiszámítjuk a skaláris szorzatot. (A skaláris szorzat kiszámítása során vegyük észre, hogy a vektor-skalár függvény deriváltját az irányvektor koordinátái alkotják.) A vonalmenti integrál:

418

KVK-1190

'(6 + 3t)dt = ^ .

b)7i" j\ í 7 ^^ t nt t . nt V

— cos---- 1---- sin — H-----18 6 12 3 24

9(llV3-16)+7t(n + 3) 72

c)121n2-5 d )2e(l + e) + -

eí - 3e

+ ■19

, 1, 17e) —In—2 14

f) — - l n 2

13.3.11.a) Mivel az integrál értéke a két szakaszon vett integrál összege

ként adható meg, és ennek kiszámítása hosszadalmas, ezért célszerű megvizsgálni, hogy a vektormező konzervatív-e vagy nem. Ha konzervatív, akkor az integrál értéke csak a kezdő és végponttól függ, azaz rövidebb számolással, a P; pontból a P3pontba vezető szakaszon integrálva oldható meg a feladat.A vektor-vektor függvény rotációja:

rotv(x;y;z) =

y 'z ' y ' z '

i j

d dőx 8y2x x^yz y^z

\2x

i - .... '2 +y yz

k

dz

2x

yz'

yz

j +2x 2xy z y z

k = 0 .

tehát a vektormező konzervatív, ezért a P, pontból a P3 pontbavezető szakaszon integrálva határozzuk meg a megoldást.A vektor-skalár függvény:r(t) = (2 + t)i + j + 3k ,és 0 < t < l .

419

KVK-1190

A vektor-vektor függvényt lokalizáljuk, és skaláris szorzatát képezzük az irányvektorral, mivel az egyben r(t) is.Az integrál értéke tehát;

4 + 2tdt = 3.

b) A vektor-vektor függvény rotációja nem nulla, ezért a két szakaszon külön-külön kell kiszámítani a vonalmenti integrálok értékét. Ezek összege:1951n2-1071n3-58

16

13.3.12.a) A törött-vonal kezdő- és végpontja egybeesik, ezért - a hossza

dalmas és felesleges számítások elkerülése érdekében, - célszerű megvizsgálni, hogy a vektormező örvénymentes-e vagy nem. A vektor-vektor függvény rotációja:

rotv(x;y;z) =dx

y^ cos X

J

dy2ysinx

k

dz y^ sin X

= 0,

e e etehát a vektormező örvénymentes. Ezért a vektor-vektor függvénynek, a megadott zárt görbén vett vonalmenti integrálja nulla.

b)Mivel a törött-vonal zárt és a vektormező örvénymentes, ezért ezen, a vektor-vektor függvény vonalmenti integrálja nulla.

420

KVK-1190r rr r

14. VALOSZINUSEGSZAMITAS

14.1. Eseményalgebra

14.1.1.a ) A , + A 2 + A 3. b ) A, Á2A 3. c ) A , A 2A3.

d) A,A2A3 + A 1A 2A 3 + A 1A 2A 3.

e) A,A2Aj + A 1A2A3 + A1A2A3.

f) A,A2A3 + A,AjA3 + A1A 2A3 +A,A2A3(=AiA2 + A 1A 3 + A 2A 3).

g) A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 +

+ A,A2A 3 + A,A2A 3 + A,A2A 3 (=A,A2A 3 = A, + A 2 + Aj).

14.1.2.a) A <= B .

b) AB + AB = A = (a + B) - B = (a + B)B = A B , tehát AB = 0.

c) AB = 0.

d)A + B = A + B + AB = AB + AB = A , ugyanígy A + B = B . Tehát A = B .

14.1.3.

a ) A B = A + B = A = A, azaz A + B = A , tehát A = 0 és B = I.

b) A = B = 0. c) A tetszőleges és B = I.

421

KVK-1190

14.1.4. Alkalmazzuk az összeg ellentettjére vonatkozó C + D = C D azo

nosságot a C = X + A é s D = X + A eseményekre! Használjuk

fel, hogy D = D , majd végezzük el tagonként a szorzást! Ekkor:

B = X + A + X + Á = (X + A)(x + a ) = XX + X a + AX + AA =

= x + x (a + a ) + o = x + x i = x + x - x .

14.1.5.a) A + AB = (aB + AB)+AB = AB + AB = A.

b)AB + ÁB + AB = (Á + B)(A + B)(A + B) = AB.

c) A B - A C = ABAC = Ab (a + c )=ABC = A( B- C) .

d) C - C(A + B) = C C(A + B)= c ( c + A + b)= c ( a + b).

e) A - {a - [b - (B - C)]} = AABBC = a (a + BBC =

= a b (b + c ) = a b c .

f) ( a + b ) (a + c )(b + c ) = ( a + a c + a b + b c )(b + c ):= AB + AC + ABC + AC + AB + ABC + BC + ABC = = AB + AC + BC.

14.1.6.a) (a + B + C)(Á + b )(b + c )=(Á + b ) c .

o-A

422

KVK-1190

b) AB + C + (a + B c )(A + CD) = A + C .

14.2. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja

14.2.1. _ _ _a)A + A = I, P(A) + P(A) = 1, P(A) = 1-P(A ).

b) AB + AB = A, P(AB) + P(AB) = P(A),

P(AB) = P(A) - P(AB).

c)A + B = B + AB, P(A + B)=P(B) + P(AB) == P(B) + P(A)-P(AB).

d) P(A + B + C) = P[(A + b )+ C] = P(A + B)+ P(C) - P[(A + B)C = P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC).

14.2.2.

b ) f d ) i .

14.2.3.a) Az összes esetek száma: 6 • 6 = 36. Ha az egyik kockán 6-os van,

akkor a másikon az 1, 2, ...,6 számok bármelyike lehet, így 12 esetet kapnánk, de ekkor azt az esetet, amikor mind a két kockán 6-os áll kétszer vennénk számításba, tehát csak 11 olyan eset van

amikor legalább az egyik kockán 6-os áll, s ezért az eredmény — .36

423

KVK-1190

Megjegyzések:Könnyebb a megfelelő esemény ellentettjének a valószínűségét kiszámítani, hiszen annak az eseménynek az ellentettje, hogy legalább az egyik kockán 6-os áll az, hogy egyik kockán sem áll 6-os, vagyis mind a két kockán az 1,2, ...,5 számok valamelyike

áll. így a keresett valószínűség: 1 - ^ = — . Ez a gondolatme-6 • 6 36

net alkalmazható akárhány kocka esetén is. Annak a valószínűsége, hogy n kockát egyszerre feldobva legalább az egyiken 6-os

5áll:l - — . Két kocka esetén felhasználhatjuk a 14.2.1. c) fela-

Jdatban felírt képletet is. Jelölje A azt az eseményt, hogy az egyik, B az, hogy a másik kockán 6-os áll. Ekkor az idézett képlet alapján:

P(A + B) = P(A) + P(B )-P(A B ) = - + - - - ^ = — .6 6 36 36

b ) — c ) — • d ) - . e)36 36 6 36

14.2.4.. 15 . , 1 3 a) — . b) — .

16 16

c) Mivel a pénzdarab szabályos, annak a valószínűsége, hogy több írást dobunk, mint fejet ugyanannyi, mint annak a valószínűsége, hogy több fejet dobunk, mint írást. A megfelelő események egymást kizárják és összegük a biztos esemény, hiszen nem dobha

tunk ugyanannyi fejet, mint írást. így a kérdezett valószínűség: ^ .

^.13 , 8 1d) — . e) — = —.

32 32 4

424

KVK-1190

14.2.5. v í z"20"

"12"

33646

« 0,05.

14.2.6. Jelöljék A, B és C rendre azokat az eseményeket, hogy egy oktatónak van nyelvvizsgája angolból, németből és oroszból.

a) p (a B c) = 1 - P(a ) - P(b ) - P(c) + P(AB) + P(AC) + P(BC) -

4 1^1«0,45.-P(ABC) = 1 - ^ .400 400 400 400

b) p (a b c )= 1 - p (a ) - p (b ) + p (a b ) - p (a b c )= 181 11

= + ____________= _______

400 400 400 " 100= 0,11.

c) p (a b c )= p (a b ) - p (a b c ) =45 41

400 400 400<0,1.

14.2.7.32 lapból 3-at'32'3

= 4960-féleképpen lehet kiválasztani.

a) A kihúzott három lap színeloszlása négyféle lehet, aszerint, hogy melyik szín nem szerepel közöttük. A színek hasonló szerepe miatt e négy esetnek megfelelő valószínűségek egyenlők. Ha a 32 lap közül úgy húzunk ki három lapot, hogy az egyik piros, a másik makk és a harmadik tök, akkor mindegyiket nyolc lap közül választhatjuk ki, tehát az ilyen kihúzások száma 8 . így a kérde

zett valószínűség:4-8^ 644960 155

«0,41.

b)Ha a kihúzott három lap között van a piros ász, akkor a másik két lapot a maradó 31 lap közül választhatjuk ki. Az ilyen esetek

száma:" 3 r

v 2 .= 465. Ha a piros ász nincs a kihúzott három lap kö-

425

KVK-1190

zött, akkor a következő három lehetőség van. A kihúzott három lap között van:(i) egy piros lap, ami nem ász és egy ász, ami nem piros, vala

mint egy olyan lap, ami nem piros és nem is ász - az ilyen esetek száma: 7 • 3 • 21 = 441

(ii) egy piros lap, ami nem ász és két ász, ami nem piros - az ilyen esetek száma: 7 - 3 = 2 1 - ;

(iii) két piros lap, amelyek egyike sem ász és egy ász, ami nem

piros - az ilyen esetek száma:rn\

3 =63.

így a keresett valószínűség: 465 + 441+ 21 +63 _ 99 ^

~ 49 6 *0,2 .

4960 Megjegyzés:Egy másik megoldási módszer a következő. Legyen A az az esemény, hogy a kihúzott három lap között van piros lap és B az az esemény, hogy van ász. Ekkor:

p (a b ) = 1 - p (a ) - p (b )+ p (a b )= 1 -

p 4 ^

. 3 ; 1 v 3 ."32^ '32^ ^32"

U , ^ 3 ,

14.2.8. Az összes esetek száma: 6 . 6-5-4-3 5

a)18

b)5 - 6 25

216

c)Az az esemény, hogy lesz két 6-os egymás után, felbontható a következő három egymást kizáró esemény összegére.(i) Az első két dobás 6-os; az ilyen esetek száma 36.(ii) Az első dobás nem 6-os és a második és a harmadik dobás

6-os; az ilyen esetek száma: 5 • 6 = 30.(iii) A második dobás nem 6-os és a harmadik és a negyedik do

bás 6-os; az ilyen esetek száma: 6 • 5 = 30.így annak a valószínűsége, hogy nem lesz két 6-os egymás után:

426

1 -

KVK-1190

36 + 30 + 30 256" 27

Egy másik megoldási módszer a következő:Jelölje Aj azt az eseményt, hogy az i-edik és az (i+I)-edik dobás 6-os. Ekkor annak a valószínűsége, hogy nem lesz két 6-os egymás után:P(Á, A, Á 3) = 1 - P(A ,) - P(A^) - P(A3 ) + P(A, A ,) +

+ P(A,A3) + F ( A ,A , ) - F (A,A ,A,) =

- i _ 3 ^ + A + J _ + _ ^ ____ L - ^’ 6" ^ 6" 6" 6" 6" "" 27 ‘

d)4" olyan eset van, amikor mind a négy kockán álló szám legfeljebb 4. Ezekből le kell vonni azt a 3" esetet, amikor mind a négy kockán álló szám legfeljebb 3, mert ilyenkor a maximum 4-nél ki-

4" - 3 '' 175sebb lesz. így a kérdezett valószínűség: — —— = ~ 0,135 .

e)A megfelelő esemény felbontható a következő három egymást kizáró esemény összegére.(i) Az első dobás 6-os és a következő három dobás közül lega

lább az egyik 1-es. Ekkor a három dobásra 6 lehetőség van, ebből 5 nem jó, tehát a megfelelő esetek száma 6 - 5 = 91.

(ii) Az első dobás nem 6-os és nem 1-es, a második dobás 6-os és a maradó két dobás közül legalább az egyik 1-es. Az ilyen esetek száma 4 • 11 = 44.

(iii) Az első két dobás nem 6-os és nem 1-es, a harmadik dobás 6- os és a negyedik 1-es. Az ilyen esetek száma 4-4 = 16.

91 + 44 + 1 6 _ 1516" ~ 1296

Egy másik megoldási módszer a következő:Nyilvánvaló, hogy elég kiszámolni annak a valószínűségét, hogy dobunk 1-est is és 6-ost is, majd ezt a valószínűséget 2-vel kell elosztani. Jelölje A, azt az eseményt, hogy dobunk 1-est és Agazt az eseményt, hogy dobunk 6-ost. Ekkor annak a valószínűsége, hogy dobunk 1-est is és 6-ost is:

427

így a kérdezett valószínűség: ------ « 0,117 .

KVK-1190

P(A ,A ,) == 1 - P(A ,) - P (A ,) + P(A, A J =

6" 6" 648amit 2-vel elosztva az előző megoldásban kapott eredményhez jutunk.

14.2.9. AlO golyó bármelyikét beletehetjük az 5 doboz bármelyikébe, ezért az összes esetek száma: 5 • 5 ■ • 5 = 5‘” . Az első dobozba a10 golyó közül bármelyik kettőt beletehetjük, majd a másodikba a maradó 8 golyó közül tehetünk kettőt, a harmadikba az így maradó 6 golyó közül tehetünk kettőt, a negyedikbe 4 golyó közül tehetünk kettőt, s végül a maradó két golyót az ötödik dobozba tesz-

szük bele. Az elmondott esetek száma;10! .

= ^ - i g y

a kérdezett valószínűség:10!

2 ' -5 10« 0 ,0 1 .

14.2.10. Rakjunk le 10 egyforma golyót és négy egyforma függőleges szakaszt egy sorba. Ezek 14 helyet foglalnak. 10 helyen van golyó, 4 helyen függőleges szakasz és ezekkel jellemezhetők a 10 golyónak az 5 különböző dobozba való elhelyezései. Például a következő sorozat annak felel meg, hogy az első dobozban nincs golyó, a másodikban három, a harmadikban kettő, a negyedikben egy és az ötödikben négy golyó van:

o o o o o o o o o o .

"14"A 14 helyből a 4 függőleges szakaszt

választani, a többi helyre kerül a 10 golyó.v 4 .

-féleképpen lehet ki-

így a kérdezett valószínűség: 1 1

"14^ 1001

v 4 .

428

KVK-1190

14.2.11.

a) 1 -2 -5 !_ 2

6! ~ 3 6! 30

14.3. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel

14.3.1. Itt a visszatevés nélküli mintavétels Y m - s k 11 n - k

(k = 0,l,2 ,...,n)

képletében m = 100, s = 5, n = 10 és k = 3, tehát a valószínűség:

v3.

957

^ » 0,006. 100"

v l O .

14.3.2.24'

v 4 .

b) 1-

^28^

"32"

v 4 .

c)

24

v 4 .

/rí\ a\

v l /

24

v 3 ."32"

= 0,1 .

429

KVK-1190

14.3.3.

f 85 ^

U J l5 - -k,y'90^

. 5 ;

(k = 0 ,1, 2, 3, 4, 5).

14.3.4.a) Itt a visszatevéses mintavétel

p ‘‘(l-p )" (k = 0, l,...,n) képletében p = - , n = 10,ésk = 3.8

Tehát a valószínűség:10

v 3 . 8 8

b)Annak az eseménynek az ellentettje, hogy legalább egy fehér golyót húzunk az, hogy nem húzunk fehér golyót, vagyis mind a 10 húzásnál piros golyót húzunk, tehát a kérdezett valószínű

ség: 1 -/ 5 \io

V8 y

c) Akkor húzunk több piros golyót, mint fehéret, ha legalább hatszor, vagyis 6-szor, 7-szer, 8-szor, 9-szer, vagy 10-szer húzunk piros golyót. így a visszatevéses mintavétel képlete alapján a kér-

10

déses valószínűség a következő: ^k = 6

"1 0" Í5^ k 1 0 - k

U ; U y

14.3.5. A visszatevés nélküli mintavételhez kevés adatunk van, ezért - feltételezve, hogy a tranzisztorok száma nagy - a visszatevéses mintavétel képletével számolunk (Id. a jelöléseket a 14.3.4. feladat megoldásánál), amelyben most n=10, p=0,03 és k=2,

0,03^0.97' «0,03.tehát a valószínűség:

430

KVK-1190

a) A visszatevés nélküli mintavétel esetén (Id. a jelöléseket a 14.3.1.ns

feladat megoldásánál) a várható érték: — , a szórásnégyzet pedig

14.3.6.

mnsm

i - Am ;

m - nm -1

egyenletrendszert írhatjuk fel: 5s

. így a megadott adatok alapján a következő

- 2 , - m m

5s T s ^ m - 5m m -1

2

3Ebből: m = 10 és s = 4.A minta akkor tartalmaz legfeljebb 2 selejtes alkatrészt, ha 0, 1, vagy 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, tehát a kiszámított adatokkal a visszatevés nélküli mintavétel képlete alapján a kérdezett valószínűség a következő:

^ 4 Y 6 ^ Í4V6'^

ao"v 5 y

+ v4 .

^4

2

v 5 y

+ ■ v3 .^1 0 ^

v 5 y

1142

b)A visszatevéses mintavétel esetén (Id. a jelöléseket a 14.3.4. feladat megoldásánál), a várható érték np, a szórásnégyzet pedig np(l-p). Tehát a megadott adatok alapján a következő egyenletrendszert írhatjuk fel:

2np = 2, n p (l-p ) = - .

2Ebből: n = 3 és p = —.

3így a minta 3 elemű, tehát annak az eseménynek az ellentettje, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz az, hogy a minta 3 selejtes alkatrészt tartalmaz. Ezért a visszatevéses mintavétel képlete alapján a kérdezett valószínűség a következő:

191 -

V - ’ / 27

431

14.4. Feltételes valószínűség és függetlenség

14.4.1. A fe lté te les v a ló sz ín ű sé g d efin íc ió já b ó l é s az adott v a ló sz ín ű sé gek b ő l felírhatjuk a k ö v e tk ező eg y en lő ség ek et:

- = P ( A |B ) = ^ Í ^ = 4 P(AB) és -= P (B |A ) = ^ ^ ^ .4 P(A) 2 P(B)

így P(AB) = — és P(B) = - . Tehát:16 8

P(A + B) = P(A) + P(B)-P(A B) = l + l - : l = ^ .

1 -P (A + B) 11P(B) l-P (B ) l-P (B ) 14 ■

8

14.4.2. Az ABi esemény akkor következik be, ha csak az egyik kockán áll 6-os. Ilyen eset 10 van. 30 olyan eset van, amikor a két kockán különböző szám áll. így:

^ 30 3Az AB2 eseménynek a (6;6), (6;2), (6;4), (2;6) és (4;6) számpárok felelnek meg. A B2 esemény akkor következik be, ha a dobott számok összege 2,4, 6, 8, 10 vagy 12. Az ennek megfelelő esetek száma: 1 + 3 + 5 + 5+3 + 1=18. így:

p (a |B 2) = -^ .V 1 } jg

Az A B 3 eseménynek a (6;4) és (4;6) számpárok, a B 3 eseménynek a (4;4), (4;5), (4;6), (5;4) és (6;4) számpárok felelnek meg. így:

p ( a | B 3 ) = | .

14.4.3. Legyen A az az esemény, hogy a kihúzott golyó piros, Bi az, hogy az első urnából húzunk és B2 az, hogy a második urnából húzunk.

KVK-1190

432

KVK-1190

a) A teljes valószínűség tétele alapján:

p (A )= p (a | b , )p (b , ) + p (a | b , )p (b , ) = ^ ■ i + f ■

49= — « 0 , 6 1 .

80

b) p(Bi I a ) = = — « 0,49 ■’ ’ p (a ) ^ 49

80Megjegyezzük, hogy itt valójában a Bayes-tétel legegyszerűbb esetét írtuk fel.

14.4.4. A teljes valószínűség tétele alapján a kérdezett valószínűség:

0,98 • — + 0,99 • — + 0,995 • — = 0,9845.10 10 10

14.4.5. A teljes valószínűség tétele alapján a kérdezett valószínűség:1 3 1 5 1 8 1 13 1 21 1 77

!• — I— ■ — I— • — h — ■ — I------- — I------- — —----- * 0,6 .6 4 6 8 6 16 6 32 6 64 6 128

14.4.6."4" 86 •85 •10 •9

96- 95- 94- 93í 0,05,

14.4.7. Jelölje Bj azt az eseményt, hogy az oktató az i-edik teremben tartózkodik (i=l, 2, 3, 4, 5). A kérdezett feltételes valószínűség a következő:

J p ( B 3 B i B 2 B 3 B 4 ) P ( B 5)p (b 5 | B , B 2 B 3 B .

P (B s)

P ( B , B 2 B 3 B 4 ) P ( B ,+ B j+ B 3 + B J

p5 _ P

1 - P (B i + B j + B3 + B 4 ) J _ 4 . £ 5 - 4p5

433

. . . 0 , 1 49 1 48 1 47 5 46 114.4.8. 1 - - + ------- + — • — + —----- - + ■

KVK-1190

4 50 6 50 12 50 12 50 12« 0,96.

14.4.9. ^ = P (A B ) = P ( A ) P(B) = i ■ i i = P(AC) = P ( A ) P(C) = i i

i = P(BC)#P(B)P(C) = i . io o 2

14.4.10. p (a b ) = P ( b ) - P ( A B ) = P ( b ) - P ( a ) p ( b ) =

= 0 _ - P { a ) ) p ( b ) = p ( Á ) p (B_);

p (a b ) = p ( a ) - p (a b ) = p (a ) - p (a ) p ( b ) = p (a ) ( i - p ( b ) ) =

= p (a ) p (b ) .

14.4.12.

l-0,85-0,80,9 =

^960^ "960^

v l 5 j I 1 5 J'1000' "1000"

15 ^ 15 ,

: 0,29.

14.5. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások

14.5.1. P ( ^ = k) =v 2 .

(k = 0,1,2,3,4).

14.5.2.a) + 3p^q + 3pq^ + = (p + q) = 1. (p paraméterű 3-adrendü

binomiális eloszlás.)

434

KVK-1190

b)Ek = 0 v k .

2

.2 J ^ 3 , v 2 3 ,

1 2--- 1---10

^ 1. (Nem eloszlás.)

c ) ^ — e = e^-e = 1 .(2 paraméterű Poisson-eloszlás.)k = o k !

14 " 4 - k

k=0 20

v 4 .

= 1

Visszatevés nélküli mintavétel képlete vagy hipergeometrikus eloszlás: m = 20, s = 5, n = 4; a jelölések megtalálhatók például a 14.3.1. feladat megoldásánál.

e )Y /k=i k(k + 1) k=i

1 1

k k + 1= lim 1

1

n +1= 1 .

00 1

o E fk = 0 ^ v 3y

14.5.3. Binomiális eloszlásról van szó: n = 10, k =4 és p = 0,49. Tehát a kérdezett valószínűség:

1 0"

v 4 .0,49“ 0,51' «0,21.

14.5.4.

20

k = 3 v3y

= 1 -

«0,96v3y

20v 3 .

19 190 18 A

> » Ek = 3

20

v k . v 3 . v 3 .»0,28.

435

14.5.5.

a)

KVK-1190

«0,16.

k / ^ \ 5 - k

v 6 .= 1 -

v 6 /

/ ,-\5 A

v 6 y« 0,2

c)Zi = 0

14.5.6.

í l ^

5 r n

UüV 2 j 2 ,

a)v 5 .

0 , 6 ' -0,4'® « 0 , 0 2 .

b)Z4 / 1 5 '

k = 0 v k .0,6 " •0 ,4 " - ’ « 0,0 1 .

k = 2

c ) £ 0 ,6 " •0 ,4"- '^ ( = 1 - 0 , 4 ' ^ - 1 5 - 0 , 6 - 0 , 4 ' " « 1 . )v k y

14.5.7. Azt a legkisebb n pozitív egész számot kell megkeresni, melyre:1+ n- — 6 v 6 .

14.5.8. A Poisson-eloszlás paramétere a beérkező hívások átlagos száma, tehát 5. így a Poisson-eloszlás képlete alapján a válaszok:

a ) ^ e - ^ « 0 , 0 8 . b ) | ; ^ e - ' «0,27 . c ) | ; |^ e - = = 1- e '^ *0,99. 2! k! k=i k!

436

14.5.9. Az egy oldalra eső sajtóhibák átlagos száma: ^ . így 20

oldalra átlagosan 5 sajtóhiba jut, tehát a Poisson-eloszlás paramétere 5. Ezért a Poisson-eloszlás képlete alapján, annak a valószínűsége, hogy 20 oldalon nem lesz sajtóhiba: e “ (» 0,0 l).

14.5.10. 100e'°'' « 85 .

KVK-1190

14.5.11. A feltételek alapján feltehetjük, hogy ^ Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Mivel 5000 óra alatt átlagosan 10 gép romlik el, a Poisson-eloszlás paramétere 10. így a Poisson-eloszlás képlete alapján:

P(^ = k) = l ^ e - (k = 0, 1, 2,.. .) ,

10' 'tehát a kérdezett valószínűség: P(^ ^ 5) = -----e » 0,067.

k=o k!

14.5.12.

a) Annak a valószínűsége, hogy egy dobás nem 6-os —. Az első 56

dobás egyike sem 6-os, aminek a valószínűsége a - a független-5 ^

seg miatt -v 6 .

. így annak a valószínűsége, hogy a hatodik

dobás lesz először 6-os:6

^ « 0 ,0 7 .6

b)Ha a hatodik dobásnál dobunk másodszor 6-ost, akkor az első öt dobásnál pontosan egyszer dobunk 6-ost. Ez a 6-os dobás az első öt dobás bármelyike lehet, tehát annak a valószínűsége, hogy a hatodik dobásnál dobunk másodszor 6-ost:

» 0,07.

437

KVK-1190

c) Ha a hatodik dobásnál dobunk harmadszor 6-ost, akkor az első öt dobásnál pontosan kétszer dobunk 6-ost. Ez a két 6-os dobás az első öt dobás bármelyike lehet, tehát annak a valószínűsége, hogy a hatodik dobásnál dobunk harmadszor 6-ost:

v2 . v 6 . v 6 y

14.5.13.a) Annak a valószínűsége, hogy az első k-1 dobás nem 6-os:

és annak a valószínűsége, hogy a k-adik dobás 6-os, —,6

4 (k = l,2 ,3 ,...) . 6

">2 6i=i v 6 .i - i v "25"'

v 3 6 .

1 25 15 36 11

36

c) Annak a valószínűsége, hogy az első k-1 dobás között pontosan

egy 6-os van: (k - 1)v 6 .

— és annak a valószínűsége, hogy 6

1a k-adik dobás 6-os: —. így:

6

P(ri = k) = ( k - l ) Í5^ k - 2

U ,(k = 2 ,3 ,...).

14.5.14.a) A visszatevés nélküli mintavétel képlete alapján (a jelölések

megtalálhatók a 14.3.1. feladatmegoldásánál):

438

KVK-1190

p ,= P ( ^ = k) =

^2 1 Y '

v k J l l O - k ,

^28^

10

(k = 3, 4,...,10).

Ebből felírhatok a megfelelő valószínűségek és meg lehet nézni, hogy melyik valószínűség a legnagyobb. Egyszerűbb és általá

nosítható is a következő megoldás. Vizsgáljuk meg a há-'k-l

nyadost! Egyszerű számolással kapjuk, hogy: p , _ ( 2 2 - k ) ( l l - k ) _^ 2 32 -30k

p>_, ■ k (k -3 ) ■ k (k -3 ) ■Ebből látható, hogy;

>1, ha 4 < k < 7 és - ^ < 1 , 7 < k < 1 0 .Pk-i Pk-iTehát a P7 a legnagyobb, s ezért ^ a 7-et veszi fel a legnagyobb valószínűséggel.

b)Most a visszatevéses mintavétel képlete alapján (a jelölések megtalálhatók a 14.3.1. feladat megoldásánál):

(k = 0, l , . . . , 10).

. Ebből következik, hogy:

p ,= P (^ = k) =

p , 3 ( l l - k ) ^ 3 3 -4 k

10 Í3^ krnU. UJ

Pk-i k k^ > 1, ha l < k <8 és - ^ < 1, 8 < k < 10.Pk-l Pk-1Tehát a pg a legnagyobb, s ezért ^ a 8-at veszi fel a legnagyobb valószínűséggel.Megjegyzés. Itt is kiszámolhatók a megfelelő valószínűségek és látható, hogy melyik valószínűség a legnagyobb, de az adott megoldási módszer minden esetben sokkal kevesebb számolással adja meg a feladat eredményét.

439

KVK-1190

14.5.15. Ha a kihúzott öt szám közül k a legnagyobb, akkor a maradó négy számot a k-nál kisebb számok közül kell kiválasztani, tehát:

^ k - r

P(^ = k) = (k = 5 ,6 ,...,90).

Ha a kihúzott öt szám közül k a legkisebb, akkor a maradó négy számot a k-nál nagyobb számok közül kell kiválasztani, tehát:

" 9 0 - k ^

P(Tl = k) =90

(k = l , 6, . . . ,86).

14.5.16. k=[A,], ahol a szögletes zárójel a X egész részét jelöli.

14.6. Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény

14.6.1.

a )F (x ) felírható a következő alakban: F (x ) = 1 ----- ^— . Az e’ és ígyl + e’‘

az 1 + e ’ is szigorúan monoton növekvő, ezért az 1 + e’ reciproka szigorúan monoton csökkenő és ennek a (-l)-szerese szigorúan monoton növekvő, amihez 1-et hozzáadva ismét szigorúan monoton növekvő függvényt kapunk. így F(x) szigorúan monoton növekvő. F(x) folytonos, lim F (x ) = 0 és Hm F (x ) = 1. Tehát F(x)

X - > - 0 O X -^ + O O

teljesíti annak a tételnek a feltételeit, amelyből következik, hogy F(x) eloszlásfüggvény. Ha F(x)-nek van sürüségfüggvénye, akkor a sürűségfüggvény:

(Megjegyezzük, hogy van olyan általános tétel, amelyből következik, hogy ennek az F(x) függvénynek van sűrűségfüggvénye).

440

KVK-1190

M iv e l F (x) fo ly to n o s , P f e > 0 ) = l - F ( 0 ) = i és

P (ln 2 £ 4 < ln 3 ) = F (ln3) - P ( ln 2 )= | - 1 = 1 .

b)Teljesülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfüggvény:

1

f(x) = jtVi -ha - l < x < l ,

0 , máshol.

= i P ( - 2 < 5 < 0 ) = i .

c) Teljesülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfüggvény:

0 , ha x < 0 ,f ( x ) =

P ( ^ > a ) = e ' S P

ha X > 0 .

\ 1-2

d) Telj esülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfüggvény:

f(x) =3 x

, ha x > x „ ,

0 , ha x < x . .

P f e < 2 x J = 2 , p ( o < 4 < x j ) = l — L .o

441

KVK-1190

e) Teljesülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai. A sűrűségfüggvény:

0, ha X < 1,f(x) = J 2

ha X > 1.

P ( 5 > 2 ) = | , P ( 0 < 5 < 3 ) . i

14.6.2.a)Ha F(x) eloszlásfüggvény, akkor lim F (x )-0 és lim F (x )= l,

7 1A - B - - = 02

A + B - = l.2

Ebből A = — és B = —. A kapott F(x) = — + —arctgx függvény 2 71 2 71

szigorúan monoton növekvő és folytonos. így teljesülnek az eloszlásfüggvény tulajdonságai.

b ) A = B = i ,

c) lim F(x ) = 1, tehát A = 1. F(x) a 0-ban balról folytonos, tehátX- H-oo

A + B - 0 . ígyB = - l .

d)Az eloszlásfüggvény balról folytonos, tehát:

0 = lim F(x ) = F ( - l) = a + B • arcsin(-1) = A + B •/ \

71

x - > - r

A + B ~ = A + B-arcsinl = liinF(x) = F(l) = l .x^r

442

KVK-1190

A kapott egyenletrendszerből: A = - és B = —. Ezzel az A és B

értékkel felírt F(x) függvény teljesíti az eloszlásfüggvény tulajdonságait.

e ) A = lé s B = - l . í)A = O ésB = l. g)A = 0 ésB = 3 .

14.6.3.

a)f(x )> O és f(x)dx =dx

7t(l + X ^ )

1—arctgx71

2y= 1.

K 2 nígy teljesülnek a sürüségfüggvény tulajdonságai.

F (x ) = f f (u )d u =du —arctgu

71

1 , 1 = — arctgx----71 71

/ \ 71

v ' 2 .

1 1= — + — arctgx.2 71

- e Xx = 1.

b) f(x) > 0 és+00 0 +00 +00

f ( x ) d x = f ( x ) d x + f ( x ) d x = >ie^^’‘ d x =— 00 - 0 0 0 0

Tehát teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai.X

Ha x < 0, akkor F (x ) = í f ( u ) d u = 0 , mert u < 0 esetén f(u ) = 0.

X U A

Ha X > 0, akkor F (x ) = f(u)du= f(u)du+ f(u)du =—00X

du = = - e -A,u

mert u < 0 esetén f(u) = 0 és u > 0 esetén f (u) = A,e “ .Tehát:

443

KVK-1190

F(x) =1- e ha X > 0 ,

0, ha X < 0.

c) Teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. 0 , ha x < l ,

F(x) =

+00 U 1 OO

d)f(x)>0 és Jf(x)dx= jf(x)dx+ f(x)dx + Jf(x)dx =1 í

x + - 2

dx = x" 1— + - X 2 2

= 1 .

így teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai.Ha X < 0, akkor F(x) = 0, mert u < 0 esetén f(u) = 0.

X 0 X

H a 0 < x < l , akkor f(x )= f(u)du= f(u )d u + f(u)du

= í( L Jo

mert u < 0 esetén f(u) = 0 és u > 0 esetén f(u) = u + —.

Ha X > 1, akkor F(x) = 1.

e) Teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai.71

du = u^ 1 x ^ + xu + - ----+ -U

2, _ 2 2 _o ' 2 ’

F(x)=

0 , ha X <■1 2

71 712sin2x - l , ha — < x < —, 12 4

1,

444

KVK-1190

14.6.4. f(x)>O és

f(x)dx = fX - c c+l

3 - cdx + Idx +

4 - x

C+l 3 - cdx =

" ( x - c ) ^ '3

Ic+l , + X o +

' ( 4 - x ) ^ ■_2(3-c)_ L

C_ -2 (3 -c )_ c+l

3 - c , 3 - c , --------+ C - 2 + ---------= 1.

14.6.5.a) A sűrűségfüggvény integrálja a számegyenesen 1. így:

c1 = f(x )dx= f(x)dx+ f(x)dx =

+0 0 r c dx =2 x^

c8

Tehát c = 8. Ezzel a c-vel felírt f(x) függvény nem negatív. Tehát f(x) valóban sűrűségfüggvény.Ha X < 2, akkor f(x) = 0, tehát x < 2 esetén F(x) = 0.Ha X > 2, akkor:

8F(x) = jf (u )d u = f(u)du+Jf(u)du = j— du =

9 9 U- u

F(x) =

0 , ha x < 2 ,

1 4 ^1---- ha x > 2.

b) J dx 1

4 X + X - 2 3 4

3

x -1 x +2dx = - 1In------

J 3 x + 2ln2

Tehát c = -ln2

Ha X < 4, akkor F(x) = 0. Ha x > 4, akkor:

F W = r1

4 ln2 u + U -2du =

1

ln2In u -1

u + 21 1 1= 1 + ----- In-------

ln2 x + 2

445

KVK-1190

c) c = 1 és

F(x)=0 , ha x < 0 ,

l - ( x + l)e“’‘, ha X > 0.

d)+00 0

dx = fe'‘ dx +

1

e dx = + - e = 2.

F(x )= f - e 'l “'d u = f - e “ du = Ha x > 0 , akkor:— 00

X

e) c = — . 14

F(x) =

0 ,

(x + l ) l - l

1 ,

ha x < 0 ,

, ha 0 < x < 3 ,

ha x> 3 .

f) Alkalmazzuk a Vx = uhelyettesítést. Ekkor x = u^, tehát dx = 2u d u . így;

+®- x

dx = 2 íe “'du íe “'du = V 2Í t , ahol először azt használ

tuk fel, hogy e “ páros függvény, tehát a számegyenesen vett integrálja a 0-tól +oo-ig vett integráljának a kétszerese, továbbá

re““' a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye, s ezért

a számegyenesen vett integrálja 1. Tehát c =1

446

Ha X < 0, akkor az eloszlásfüggvény F(x) = 0.Ha X > 0, akkor alkalmazva a Vu = t helyettesítést, azt kapjuk, hogy:

KVK-1190

F(x)= 1

V 2re"“ du =

TIU 0e“‘ dt - 2

(Ahol ® a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye.)

g) Parciális integrálással kapjuk, hogy:

X Inx dx -x^lnx

1 1

•X , 1 + e , , 4—dx = -----2 4

, tehát c =

Ha 1 < X < e, akkor:X V

F(x)= ff(u)du =1 + e '

u • Inu du =1 + e^

1 + e

uMnu u^

F(x)=

1 + e"0, ha x < l ,

x '( 21n x - l ) + l1 + e '

1 ,

, ha l< x < e ,

ha x > e .

h)Parciális integrálással kapjuk, hogy:1 1 2 1 2 ,

arccosx dx = X arccosxVT

= dx = ----2 2

71 I 2= - . I g y c = - .

2 7t

Ha X < , akkor F(x) = 0.

Ha - — < X < —, akkor2 2

447

KVK-1190

F(x) = —arccosu du = —31

xarccosx

31u arcosu - V l-u ^

2

3 21

i) Legyen a parciális integrálás

f ' g dx = f g I - f g ' dx képletében f ' = xe és g = x.a

Ekkor f = -e és g' = 1. így:

J x^ e dx = - x e+ 0 0 X

+ J e 2 d x .

—— XMivel X e = —5- , a L’Hospital szabály alapján:

lim = lim — = 0 .x - > ± c o X x ^ ± c o X

xe

1Az I— e függvény a standard normális eloszlás sűrűség-V2ti:

függvénye, tehát:-00

M x = l,íg y+C0 J X

- Í V 2^

Az elmondottak alapján: c = - ^ és F(x ) =V27r

1

i v ^

= -x^I2K _ i v ^

448

ahol (p(x) a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye és ®(x) pedig az eloszlásfüggvénye.

14,7. Várható érték és szórás

KVK-1190

1 4 .7 .1 . Jelölje ^ az egy sorsjegyre jutó nyereményt! Ekkor

Mfe) = — ---- 10 0 0 0 0 + — 10 0 0 0 + • 5C50000 50000 50000

így egy jegy ára legyen 14-1,5 Ft = 21 Ft.

1 4 .7 .2 . ^ binomiális eloszlású valószínűségi változó: n = 5 és p = —. Te-6

hát, M(^) = np = - és D(^) = ^ n p (l-p ) = ^ .6 o

Jelölje az ríj valószínűségi változó az i-edik dobásnál dobott számot (i = 1, 2, 3, 4, 5). Ekkor t) = r|, + r |2 + ri3 + ri4 + ri5. így: M(i, ) = M ( i , , ) + M ( r i , ) + M { i , , ) + M ( n . ) + M ( l l , ) =

= 5 - M ( i , , ) = 5 - 3 , 5 = 17,5.

= 5 ■ D ’ (lli ) = 5 ■ — = — . T ehát D (t| ) * 8 ,7 1 .6 6

Megjegyezzük, hogy az r\ eloszlását nehéz felírni és azután abból nehéz a várható értéket és a szórást kiszámolni.

1 4 .7 .3 . Jelölje ^ a kihúzott golyók számát! A { = k} (k = 1,2,...,?) esemény akkor következik be, ha az első (k - 1) húzásnál fehér és a k-adik húzásnál piros golyót húzunk. A megfelelő valószínűségek:p(^ = l ) = A = 2 p ( ^ ^ 2 ) = — ;

M o 5 M o 9 15

10 9 8 6 ' ' 10 9 8 7 21

449

KVK-1190

p fe = 5 ) = A . l l . l l = i M o 9 8 7 6 21

P(^ = 6) = A . 1 1 1 2 . 1 . 2

P(^ = 7):

10 9 8 7 6 5 1056 5 4 3 2 1 4 110 9 8 7 6 5 4 210’

Ebből egyszerű számolással a következő eredményeket kapjuk.

k=l ^k=l

Dfe) = VMfe )-(MteF = ^ » U 3 .

14.7.4. Jelölje ^ a kihúzott golyók számát! A { = k} (k = 1,2,...) esemény akkor következik be, ha az első (k - 1) húzásnál fehér és a k-adik húzásnál piros golyót húzunk. Ennek a valószínűsége:

p f e = k ) =

M f e ) = | ; kk=l

r 6 ^ 4 _ 2 " 3 "k -]

l l O v 10 “ 5 U j

• így

k-i

5 ( 1 )

Szorozzuk meg az (1) egyenlőség mindkét oldalát - -el! Ekkor:

k=2

(2 )

Mivel k-(3^ k-1 Í3^ k-1 k-1

- ( k - 1)^5j v 5 v .5^

, az (1) egyenlőségből a

(2)-t kivonva azt kapjuk, hogy — M(^) = ^ —5 k=i 5 _

A mértani sorozat összegképlete alapján a jobb oldal értéke 1, így

M f e ) = | .

Megjegyezzük, hogy egy másik megoldási módszer található a14.7.6. feladat megoldásánál.

450

KVK-1190

14.7.5. Pista nyereségének a várható értéke1508595

F t» 2,53 F t , tehát neki

előnyösebb a játék. A játék akkor lesz igazságos ha Gábor a 579920

100 Ft helyett ___ » 91,66 Ft -ot fizet Pistának.

14.7.6.( l-x )^

00

2 k x ‘ =k=l

6327

1

v l - X y

( l - x y

- Ebből:k=l

uu

. így a várható érték: M - ^ kk=l

- 2 .

Megjegyezzük, hogy egy másik megoldási módszer található a14.7.4. feladat megoldásánál.

14.7.7.

a) M(^) = X f (x) dx =—00

+00

X • — dx = x" 2x '

+0 0 ^

íx ^ • 4 dx =3 ‘X

^ 3

~ 1

= 3.

Dfe)=VM(5')-(MfeF=^.0,87,

Megjegyezzük, hogy, ha x < 0 esetén f(x) = 0, akkor az+ 0 0

xf(x)dx integrál akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha—00

konvergens.

b)M(^) = l és D(^) = 1.

c)M (0 - 2 és D(^) = V2.

451

KVK-1190

í ) Mfe) = ^ » 0,58 és Dfe) = ^ 0,28.

e)M (^)= xf(x)dx = dx = = 2

Megjegyezzük, hogy, ha x < 0 esetén f(x) = 0, akkor az+ 0 0

|x f (x )d x integrál akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha—00konvergens.

1 •

Mivel lim Inx = +c», ez az improprius integrál divergens, tehát ax->+oo

szórás nem létezik.

+ 00

— 00 *

-t-OU -fOD ^ ■*

f) M(^)= íx f(x )dx= Íx -T------— fln(l + x^)i i Ml + íí ) 2’'

Mivel lim ln(l + x^)=+oo, ez az improprius integrál divergens,x^+oo ^

tehát a várható érték nem létezik. Ekkor nem létezik a szórás sem.

g) M f e ) = d x = - [ln(l + )]ó = « 0J 7 l( l + X j 71 71

3,441.

Mfe )=í 4 x '

o 7 l(l + X ^ ) ^ ^ 71 1 + X^

1 dx = — n

X - arctgx

1 - 1-

]ln2 -ln2

7t

\20,280.

452

KVK-1190

h)Mivel az Jx dx improprius integrál konvergens és f(x) páros- 0 0

függvény, a várható érték M(^) = 0.+ 0 0 00

x^e"'’‘'d x = x^e”’‘ dx = 2. így D(^)= V2 .2 n

i) Mivel létezik a várható érték és f(x) páros függvény, a várható érték M(^) = 0.

sin^tcost

•cost

2 ti

1j) M(^)= Jxarccosxdx =

x^ - arcco sx ' 1 ' J__ x^

2 0 2 J V l- X ^dx =

4 ísin t cost

•cost dt = - 4

'(l-cos2t)dt = - « 0,393. 8

M f e " ) = j x ' arccosx dx =X -arccosx 1

+ -0 0V l - x ^

dx =

~ 3u X

Dfe)=

sin t cost

í

•cost

Í-YUJ

dx = - (l-cos^t)sin td t = —.

: 0,261.

453

KVK-1190

k) M(^) = « 0,571 és D(^) =/ \2 TC

v 4 .

32

n-20,157.

1) M fe)= 2 és Dfe) =le - 7 « 0,441.

) M f e ) =

M f e ^ ) =

V 4 x + 9

jd x = j+ 2 - 9 1 1

1---- 1 . 1 dt = — «1,83.4t 2 . 6

dx = M d . =32 10

D ( ^ ) = 4 P * U 6 .30

n)M(0 =71

0,798.V 71

Megjegyezzük, hogy, ha x < 0 esetén f(x) = 0, akkor az

X f (x) dx integrál akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha

konvergens.

V n1

1e dx = 1, ahol felhasználtuk, hogy az

Í2■ J — e páros függvény és a standard normális eloszlás szó- V n

rása 1. így d ( 0 = =

454

KVK-1190

o) Mivel ^ várható értéke létezik és f(x) páros függvény M(^) = 0.

+ 3

Tehát D (^)=V3.

14.7.8.a) M(ti) = 1 és D(ri) = 2.

+ C 0 hoc f X+ 0 0

: x^'e dx = - V - - x e 2 dx = - x^e 2

—00 -0 0 V J - 0 0

+00 / 2 \X

á x = 3 - y l 2 K x^1

. e “ dx = 3-V2\Ti,- 0 0 [ylln J

b) M(ti) = M(2^ + 1)=2M (^)+1 = - + 1.A.

D (ll)=D (25 + l ) = 2Df e ) = | .

14.8. Nevezetes folytonos eloszlások

14.8.1.a)A {|^|>0,2} esemény a fe<-0,2} és a { > 0,2} egymást kizáró

események összege. így: P(^ > 0,2)= P(^ < -0,2)+ P(^ > 0,2). Mivel a ^ eloszlásfüggvénye folytonos:P(^ < - 0,2) = F(- 0,2) és P(^ > 0,2) = 1 - F(0,2).Az m várható értékű, és a szórású normális eloszlás F(x) eloszlás-függvénye és a standard normális eloszlás <I>(x) eloszlásfüggvé-

/ \nye között az alábbi összefüggés áll fenn: p(x) = O

a

Most m = 0 és a = 0,1. Tehát:' -0,2 - 0 'F(-0,2) = 0)

0,1= <D(-2) és F(0,2) = 0)

0,2 - 0

0,1= 0 .(2 ).

A normális eloszlás eloszlásfüggvényére fennáll a 0 ( - x ) = 1 - ( 1)(x), összefüggés, tehát <l>(-2) = 1-<I)(2).

455

KVK-1190

Az elmondottakat összefoglalva azt kapjuk, hogy: P (|^ |> 0 ,2 )= 2-20 (2 ).Számológép vagy táblázat segítségével felírhatjuk, hogy 0(2) = 0,9772. így: p(|^| > 0,2) = 2 - 2 • 0,9772 = 0,0456.Ezután a második kérdésre adjuk meg a választ.0,0668 = P(^ > x) = 1 - f (x) . Ebből az előzőekben felhasznált ösz- szefüggések alapján a következő egyenlőséghez jutunk:

<D^x - 0

0,1 ,= 0,9332.

Ismét számológép vagy táblázat segítségével felírhatjuk, hogy

<D(1,5) = 0 ,9 3 3 2 . Tehát — = 1 ,5 . így x = 0 ,15 .0,1

b)G = 2 és P(| | < 2) = 0 (1 ,5 ) + < D ( 0 ,5 ) - 1 = 0 ,6 2 4 7 .

c) 0,0228 = F(1 2) =(D

4 a -1 2

12- 4 a= 1 - 0

^ 4 a - 1 2 ^

= 2; 4 a -1 2 = 2a; a = 6 és m = 4a = 24.

d)m = 0 és P(| | > 1)= 2(1 - 0 (0,5)) = 0,6170.

e)m = 0,G = 1 és P^^|< 0,5) = 20(0,5)-1 = 0,3830.

14.8.2. Jelölje a ^ valószínűségi változó a mérési hibát!a) P(^ > 0,5) = 1 - 0 (0,5) = 0,3085 .

b ) P(| | < 0,2) = P (- 0,2 < ^ < 0,2) = 0 (0,2) - 0 ( - 0,2) =

= 2 0 (0,2)-1 = 0,1586.

14.8.3. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvénjm ^ valószínűségi változó a flakonokba töltött mosószer mennyiségét és a a szórását!

456

KVK-1190

0,9876 = P(0,98 < ^ < 1,02) = F(1,02) - F(0,98) = O1 0 2 - í

a

-<D

0)

r O , 9 8 - l ^= 2 0

0,0 2 ^

l ÍJ J/ (\ (\n\0,02

= 0,9938;0,02

-1 .Ebből:

= 2,5; a = 0,008 liter.

14.8.4. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvényü ^ valószínűségi változó a repülőgép repülési magasságának a légifolyosó közepétől való eltérését!

' 5 0 - 2 0 ^P (]^ | < 50) = P ( - 50 < ^ < 50) = F(50) - F(- 50) = O

50

- O-5 0 -2 0

50= 0 ( 0 , 6 ) - 0 ( - 1,4) = 0 ( 0 , 6 ) + <D(1,4) - 1 = 0 ,6 4 4 9 .

14.8.5. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvényü és a szórású ^ valószínűségi változó a gyártmány mérethibáját!0 ,1 3 3 6 = > 12) = P f e < - 1 2 ) + P ( ^ > 12) = F ( - 1 2 ) + 1 - F ( 1 2 ) =

= (D

^12

1 2 ^ r i 2 ^ ^1 2 '+ 1 - 0 = 2 - 2 0

^ J

O12

. Ebből:

= 0,9332; — = 1,5; a = 8. Tehát:V /

p ( ] ^ | < i o ) = 2a)10

v 8 .-1 = 0,7888.

14.8.6. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvényü ^ valószínűségi változó a termék hosszát!0,2881 = P(0,5m < ^ < m) = F(m )- F(0,5m) =

= 0 (0 ) - 0-0,5m = 0)(0,125m)-0,5;

0,125m = 0,8; m = 6,4cm.

457

KVK-1190

P(^ > 2 m ) = P(^ > 12,8) = 1 - f (12,8) = 1 - 0

= 1 - 0 ( 1 , 6 ) = 0,0548.

12,8-6,4

14.8.7. Jelölje az F(x) eloszlásfiiggvényü, m várható értékű és a szórású ^ valószínűségi változó a lécek hosszát!

0,3085 = P(^ < 143) = F(143) = O

O

143-m^ = 1 - 0 m -143^

ÍJ > [ o J

m = 0 ,5a+ 143 ( 1 )

0,1587 = P(^> 146) = 1-F(146) = 1 - 0 146- m

O146-m

m = 146- a (2 )

(1) és (2)-ből: m = 144 és a = 2.

P(l43,5 < ^ < 144,5) = F(1 44 ,5 )-F(1 43,5) = O

143,5-144

144,5-144

-<D = 0(0,25) - 0(-0,25) = 0,1974.

14.8.8. A sűrűségfüggvény: f(x) =, ha 1 < X < 4,

Az eloszlásfüggvény: F(x) =

0, máshol.

0, ha X < 1, x -1

1,

-, ha 1 < X < 4,

ha X > 4.

458

KVK-1190

A várható érték: M(^) = 2,5. A szórás: D(^) =

14.8.9. Tudjuk, hogy ha az (a;b) intervallumon egyenletes eloszlású, akkor:

és

így a feladat feltételei alapján a következő egyenletrendszert írhatjuk fel: a + b = 8; (b - a)^ = 48,

amelyből a = 4 - 2yÍ3, b = 4 + 2 J3 .Tehát a ^ sűrűségfüggvénye f(x) a következő:

f(x) =-V , h a 4 -2 V 3 < x < 4 + 2V3,

a S0, máshol.

Az eloszlásfüggvény F(x) pedig:0, ha X < 4 - 2V3,

- ( 4 - 2V 3 )F(x) =4V3

1 ,

, ha 4 - 2V3 < X < 4 + 2V3,

ha X > 4 + 2V3.

Végül P(3 < ^ < 5) = F(5) - F(3) - _ 3 (4 2 4 Í )^4v3 4v3

2V 3

14.8.10.a) Annak a valószínűsége, hogy értékének első tizedes jegye a

3-as: P(0,3 < ^ < 0,4) = 0,1.

b)Mivel a (0;1) intervallumban ugyanannyi szám van amelynek az első tizedes jegye a 3-as, mint amelynek az ötödik tizedes jegye a 3-as, annak a valószínűsége, hogy ^ értékének az ötödik tizedes-jegye a 3-as szintén 0,1.

459

KVK-1190

14.8.11. Minden esetben először felírjuk az r) valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényét, majd ezt deriválva kapjuk meg az f(x) sűrűségfüggvényét. Az F(x) felírásához a ^ valószínűségi változó E(u) eloszlásfüggvényét használjuk fel, amely a következő:

0, ha u < -1,

u + 1 1 , / I ------, ha - l < u < l .E(u) =

1 , ha u > 1.

a) F(x) = P( t |<x) = P ( 2 ^ - l < x ) = Px + 1

Ez a - ^ eloszlásfüggvényét felhasználva - a következő alakban írható fel:

x + 1

0,

x + 1+ 1

1 ,

i, ^ + 1 ^ 1 h a ------< -1,

, , x+1 , ha -1 < ------< 1,

1 x + 1 , ha ------>1.

Tehát egyszerű rendezés után megkapjuk az F(x)-et, majd ezt deriválva f(x)-et;

0, ha X < -3,x + 3F(x) =

f(x) =

ha - 3 < X < 1,

1, ha x > l .

—, ha - 3 < x < l ,40, máshol.

Megjegyezzük, hogy a kapott eredmény azt mutatja, hogy r\ egyenletes eloszlású a (-3;1) intervallumon.

b) F(x) = P(ti < x ) = P(j | < x) = P(- X < < x) = E(x) - E (-x ) , ha 0 < x < 1. F(x) = 0, ha X < 0, továbbá F(x) = 1, ha x > 1.

Mivel 0 < X < 1 esetén E(x) - E (-x) = -----^ »

1, ha 0 < X < 1,0, máshol.

Megjegyezzük, hogy a kapott eredmény azt mutatja, hogy r\ egyenletes eloszlású a (0;1) intervallumon.

KVK-1190

a felírtak alapján: f(x) =

c) F(x) = P (r i < x) = P (^ ^ < x) = P ( - Vx < ^ < Vx )=

,e(V ^)- e ( - V^), ha 0 < X < 1. F(x) = 0, ha x < 0, továbbá F(x) = 1, ha x > 1.

V x + 1 - V x + 1Mivel 0 < X < 1 esetén E(x) - E(-x) =

1

a felírtak alapján: f(x) = 2 - V Í ’

0, máshol.

2 2

ha 0 < X < 1,

d) F(x) = P(t| < x ) = P(arcsin^ < x) = P(^ < sin x) = E(sin x ) ,

ha - ^ < X < ^ . F(x) = 0, ha X <

7Ctovábbá F(x) = 1, ha x > —.

H a - — < X < —, akkor E(x) = ^ , tehát:2 2 2

f(x) =cos X , 71 n------ , ha — < x < —,

2 2 20 , máshol.

461

14.8.12. Jelölje a várakozási időt a X paraméterű exponenciális eloszlású ^ valószínűségi változó. Ekkor 0,1 = P(^ > 3) = e “ ^, tehát

e“" = \IÖ J és így P(^ < l ) - l - e “ = l - ^ Ö J « 0,536 .

14.8.13. Az {ri > x} esemény azt jelenti, hogy mind a 10 alkatrész élettartama x-nél nagyobb. Annak a valószínűsége, hogy egy m paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó x-nél nagyobb e“”’‘ . Mivel az alkatrészek élettartamai egymástól függetlenek, a megfelelő események valószínűségeit össze lehet szorozni, tehát ha F(x) jelöli az r\ eloszlásfüggvényét, akkor:

KVK-1190

F(x) = 1 - P(ri > x) = 1 - e“””‘ • •... • -ha x > 0 és F(x) = 0, ha X < 0.

így az T| is exponenciális eloszlású valószínűségi változó, amelynek a paramétere: m = m, + m2 +. . . + m,^. Tehát az exponenciális eloszlás ismert tulajdonságait felhasználva azt kapjuk, hogy az r\ sűrűségfüggvénye 0, ha x<0 és m -e”™, ha x>0.

Várható értéke és szórása is — .m

462

KVK-1190

15.MATEMATIKAI STATISZTIKA

15.1. A statisztikai minta jellemzői15.1.1.Vonalak húzásával számoljuk össze egy segédtáblázatban az

egyes osztályokba eső adatok számát!

Magasság (cm) Vonalak1 1 9 <h < 124 11 2 4 <h < 129 Ilii1 2 9 < h < 134 lllllll1 3 4 <h < 139 Ilin1 39 <h < 144

A gyakorisági eloszlás:

Magasság (cm) Osztályközép Gyakoriság119-124 121,5 1124-129 126,5 4129-134 131,5 7134-139 136,5 5139-144 141,5 3

15.1.2.gyakoriság

12 - -

9 —

5 -

2 -

7 126 135 144 153 162 171 180 idő(mp)

463

KVK-1190

15.1.3.a ) X = 4 ,1 6 ;

b ) X = 7 ,1 6 ;

15.1.4.a)

Sn ~ 2 ,4 0 9 .

2 ,4 0 9 .

Xi 15 16 17 18 19

fi 1 4 5 4 2

N = X f , = 1 6 ; X f i X , = 2 7 4 ; X f , X f = 4 7 1 2 .i=l i=l i=l

A megfelelő képletekbe való behelyettesítéssel:X = 17,125; 8^=1,234375; S„« 1,111.

b ) N = 2 f | = 1 5 ; = 8 0 ;i=l i=l i=l

A megfelelő képletbe való behelyettesítéssel:X = 5,3; S^=6,48; S„^ 2,547.

15.1.5. X «17,8; tehát átlagosan 18 perc körüli idő alatt érnek be az iskolába.

gyakoriság16 +

1 0 -

2 - -

I I I I10 14 20 24 idő (perc)

464

15.1.6.

KVK-1190

Pontszám Xi fi fiXi5 0 - 60 55 15 8256 0 - 70 65 18 11707 0 - 80 75 37 27758 0 - 90 85 20 17009 0 -1 0 0 95 10 950

I 100 7420— 7420X = =74,2. Tehát a matematika szigorlaton átlagosan 74,2

pontot értek el a legalább elégségesre vizsgázó hallgatók.

15.1.7. Jelölje N = ^ f ; =100,i = l

Osztályok Xi fi fiXi fiXf6 1 - 6 3 62 5 310 192206 3 - 6 5 64 18 1152 737286 5 - 6 7 66 42 2772 1829526 7 - 6 9 68 27 1836 1248486 9 - 7 1 70 8 560 39200

I 100 6630 439948

465

KVK-1190

X = - ^ = 6 6 ,3 ; = — - 4 3 9 9 4 8 - 6 6 , 3 ' = 3 , 7 9 ; S „ ~ l , 9 5 . 100 100

S*"' " ) * •

15.1.8. ^ f i X , =31695; =734312,5.i=l i=l

X « 22,23; S > 4 , 6 ; Cv«0 ,2 .A szállóvendégek átlagéletkora 22 év, és közepes változékonyság állapítható meg az életkorukban.

15.1.9. Az átlagos szénatermés hektáronként 70,4 q, a szórás 21,3 q.

15.2. Konfidencíamtervallum várható értékre15.2.1.p = 0,05; o ( u p ) = l - ^ = 0,975; Up=l,96.

A konfidenciahatárok:

X - u „ ~ = 1 4 - 1 , 9 6 1 2 , 0 4

X + u„ — = 14+ 1 , 9 6 1 5 , 9 6

A konfidenciaintervallum: (12,04; 15,96).

15.2.2. (1) X - 1,96 • -7 ^ = = 8,182 (2) X + 1,96 •- - ^ = 8,298V200

Adjuk össze (1 )-et és (2)-t: 2X = 16,48.Tehát a minta átlaga: X = 8,24.Vonjuk ki (2)-böl (l)-t:

2• 1,96 -7^ = = 0,116,ahonnan (5-0,42. yflÖO

Tehát a szórás közelítően 0,42 .Határozzuk meg a 98 %-os konfidenciaintervallumot!

466

u • » 2,32 • ~ 0,0689.^í^ Í2ÖÖ


15.2.3.(172,31; 173,33). (Nagy minta volt!)

15.2.4. Nagy minta (n > 30) van, ezért normális eloszlással közelíthetünk.

0(tp) = 0,985; tp = 2, 17 ; a = l,2; t p - - ^ « 0 , 2 3 8 .Vn

A konfídenciaintervallum: (8,162; 8,638).

15.2.5. (4,7; 5,56). (Kis minta volt!)

15.2.6. Legalább 97 elemű mintát kell venni.

15.3. Statisztikai próbák

15.3.1. Ebben a feladatban egymintás u-próbát alkalmazunk.a) Kétoldali próbát alkalmazunk.

p = 0,01; o(up)= 1 “ 0 ,9 95 ; a kritikus érték: Up = 2,58.

* .1 • -1 r - X - m „ 1 9 7 - 2 0 0 ,A probastatisztika: u = V n----------= 4 -------------- -- -4 .3

Mivel |u| = 4 > Up = 2,58; ezért a Ho hipotézist 1 %-os szignifikanciaszinten elvetjük.

b)u ~ -0,7; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk.

c) Egyoldali próbát alkalmazunk.p = 0,05; o(up) = 1 - p = 0,95; a kritikus érték: Up = 1,64.

KVK-1190

p = 0,02; <P(up) = 0,99; Up = 2,32.

A próbastatisztika: u = * -1,565.

467

Mivel u ~ -1,565 > -Up = -1,64; ezért 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk a Ho hipotézist.

d)u ~ 3,536; a Ho hipotézist 1 %-os szignifikanciaszinten elvetjük.

15.3.2. Ho: nio = 1600; H i: nio 1600; u = -2,5; így5 %-os szignifikanciaszinten Ho-t elvetjük, a villanykörték élettartama megváltozott. Az 5 %)-os szignifikanciaszint azt jelenti, hogy 0,05 annak a valószínűsége, hogy helytelenül döntöttünk Ho elvetésekor.

15.3.3. Ho : mo = 1506,5 kg; Hi : mo > 1506,5 kg.Egyoldali próbát alkalmazunk.Up=l,64; u=: 2,488; u ~ 2,488 > Up = 1,64.A Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. A minta alapján feltételezhetjük tehát, hogy a gép túlsúlyos bálákat állít elő.

p = 0 ,0 1 ; up = 2 ,5 8 ; U p ~ « 0 , 3 1 1 .Vn


15.3.4.a) A cipók 10,6 %>-a lesz 475 grammnál kevesebb tömegű és

6,7 %-a 530 grammnál nagyobb tömegű.

b)Egyoldali u-próbát kellett alkalmaznunk, u = -2,5. 5 %-os szinten szignifikáns az eltérés, ezért feltételezhetjük, hogy a teljes készletnél csökkent a tömeg átlagos értéke.

15.3.5. Ebben a feladatban egymintás t-próbát alkalmazunk.a)Egyoldaii próbát alkalmazunk, nagy minta miatt a kritikus érték

meghatározásánál közelíthetünk normális eloszlással.

S ^ = ^ ^ « 1 5 1 , 4 S , *12,31.64

p = 0,02; o( tp ) = 1 - p = 0,98; a kritikus érték: tp = 2,06.

A 1- • •, 1997-2000 r-rA probastatisztika: t = -----------------v64 » -1,95.12,31

KVK-1190

468

t -1,95 > -tp = -2,06, tehát 2 %-os szinten nincs szignifikáns eltérés, ezért a Ho hipotézist elfogadjuk.

b) Kétoldali t-próbát alkalmazunk.0,000336, S„«0,0183.

A próbastatisztika; t » — -^|9 » -3,601.0,0183

p = 0,01; tp = 3,25 (szabadságfok: 9). t « 3,601 > tp = 3,25, tehát 1 %-os szinten az eltérés szignifikáns,

ezért a Ho hipotézist elvetjük.

c) t ~ 2,152; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük.

15.3.6. t ~ -0,84; 5 %-os szinten megállapíthatjuk, hogy a tojásszállítmány nem tér el szignifikánsan a 7 grammtól.

15.3.7. Ho: mo = 500; Hi :mo<500; p = 0,05; szabadságfok: 9; tp= 1,833; t « -2,35. Mivel t ~ -2,35 < -tp = -1,833; ezért a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, tehát a gépről feltételezhetjük, hogy kevesebbet tölt az üvegekbe.

15.3.8. Ebben a feladatban kétmintás u-próbát alkalmazunk,a) Kétoldali próbát alkalmazunk.

p = 0 ,0 5 ; U p = l , 9 6 ;

KVK-1190

u = X , - X 2 _ 5400-60002 2

^1 ^ 2+ —Hl

900^ 1 000 '-I--

« -4 ,4 6 .

100 100

u « 4,46 > Up = 1,96, tehát 5 %-os szinten szignifikáns különbségvan a két alapsokaság mi és mi várható értéke között, ezért a Ho hipotézist elvetjük.

b)Egyoldali próbát alkalmazunk, u ~ 1,32; tehát 5 %-os szinten nincs szignifikáns eltérés mi és ma között, a Ho-t elfogadjuk.

c)Egyoldali próbát alkalmazunk, u ~ -1,402; tehát 2%-os szinten nincs szignifikáns eltérés mi és nij között, ezért a Ho hipotézist elfogadjuk.

469

15.3.9. Ebben a feladatban kétmintás t-próbát alkalmazunk.a) Kétoldali próbát alkalmazunk, t ~ 2,423; a Hq hipotézist 2 %-os

szignifikanciaszinten elvetjük, az eltérés szignifikáns.

KVK-1190

b) Egyoldali próbát alkalmazunk, a nagy minta miatt a kritikus érték meghatározásánál normális eloszlással közelíthetünk.

i 2 n i . T? 1 1 C. o 2X = 110; S;=121; Y = 115; S^=81;

^2 ^ 1*^1 "^^2*^2 a = ------------------------:n, + n 2 - 2

a « 1 0 ,1 5 ; t p = 2 , 3 2 ;

t =X - Y

72-121 + 68-81 72 + 6 8 - 2

110-115

* 1 0 3 , 0 4 ;

a* 1 1+ ■n, n

1 0 , 1 5 - j — + ^

72 68Mivel t ~ -2,913 < -tp = -2,32; ezért a Ho hipotézist 1 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, feltételezhetjük, hogy mi < m2.

15.3.10. Kétmintás u-próbát alkalmazunk.H „ : m i = m 2 ; H , :m i? s :m 2 .

p = 0,05; Up=l,96;

u =X, - X ,

-«-2,49.Cf.

+n.

u

]jn,

s2,49>u =1,96; tehát 5 %-os szinten szignifikáns az eltérés, ezért a Hq hipotézist elvetjük.

15.3.11. Kétmintás t-próbát alkalmazunk.H j , : m i = m 2; H, :m, < m j ; p = 0,05; szabadságfok: 15; tp =1,753; a » 2,329;

X. - X ,t = -

1 1+ —

^ - 1 , 1 3 .

n.

470

Mivel t ~ - 1 , 1 3 > -tp = - 1 , 7 5 3 , ezért a Ho hipotézist elfogadjuk, feltételezhetjük tehát hogy az A egyetemen a sportoló fiúk nem alacsonyabbak, mint a B egyetemen sportolók.

15.3.12. x^-próbát alkalmazunk.

i=i nPi

npi = 200, ezért = ^ ^ ( f i - 2 0 0 ) " =1 ,41;2 UU

p = 0,05; szabadságfok: 6 - 1 = 5 ; %l=l 1,07.

Mivel =l,41<Xp = 1 1,07; ezért a Ho hipotézist 5 %-osszignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát a kockát szabályosnak tekinthetjük.

15.3.13. H „ : P i = ^ i = l, 2, ..., 12 .

X^==10; p = 0,05; szabadságfok: 11; Xp= 19,675.

A Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát nincs szignifikáns eltérés a várható 12 paraméterű egyenletes eloszlástól.

15.3.14. x = 4,5; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, tehát feltételezhetjük, hogy az érme nem szabályos.

15.3.15. Jelentse ^ a négy érme feldobásánál a fejdobások számát!Ho: A ^ változó n=4, p=0,5 paraméterű binomiális eloszlású.

KVK-1190

Pk =Pfe = k) =1 1

k = 0, 1, 2,3,4.

X =4,367; p = 0,05; szabadságfok:4; Xp =9,488.

Mivel x^ = 4,367 <%l = 9,488 ; ezért a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát feltételezhetjük, hogy az

471

érmék szabályosak.

KVK-1190

15.3.16. X = 2,3;Ho; az eloszlás X = 2,3 paraméterű Poisson-eloszlás.

e - » . ( 2 , 3 y

k!Pk =P( = k) = k = 0 , l , 2 , . . .

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8vagytöbb

npk 10 23,1 26,5 20,3 11,7 5,4 2,1 0,7 0,2

Az utolsó négy értéket összevonjuk, mert npk >10 nem teljesül (így 6 osztály lesz csak).

*4,275; p = 0,05; szabadságfok;4; Xp=9,49.

Mivel = 4 ,2 7 5 < Xp = 9 , 4 9 ; ezért a Ho hipotézist 5 %-osszignifikanciaszinten elfogadjuk, tehát a Poisson-eloszlás feltételezhető.

15.3.17. Ho: a hibaeloszlás m=0, a =5 paraméterű normális eloszlású.A normális eloszlást a megfelelő intervallumokon diszkrét eloszlással helyettesítjük:

Pi = P ( 4 ( i - 5 ) < Ő < 4 ( i - 4 ) ) = 0 4 ( i - 4 )

5- O

4 ( í - 5 )

5i = l , 2 , . . . , 8TehátPl = 0(-2,4) - 0(-3,2) = (1 - 0,9918) - (1 - 0,9993) = 0,0075; P2 = 0 (-1 ,6 )-0 (-2 ,4 ) = 0,0466; p3 = 0,1571; p4 = 0,2881; P5 = 0,2881; p6 = 0,1571; p7 = 0,0466; pg = 0,0075.

( f , - 1 5 0 0 p i ) ’A próbastatisztika:

i=l 1500pi

472

KVK-1190

i fi 1500pi (fi-1500p j^(fi-1500p,)^

1500pi1 17 11,25 33,06 2,942 63 69,90 47,61 0,683 254 235,65 336,72 1,434 446 432,15 191,82 0,445 422 432,15 103,02 0,246 208 235,65 764,52 3,247 71 69,90 1,21 0,028 19 11,25 60,06 5,34S 1500 ^ ' =14,33 ......

npi = ISOOpi >10 minden i-re, tehát a közelítés biztos jó lesz. p = 0,01; szabadságfok : 8 - l = 7;Xp=18,475.

Mivel = 14,33 < Xp = 18,475 ; ezért a Hq hipotézist 1%-osszignifikanciaszinten elfogadjuk, a hibaeloszlást normális eloszlásúnak tekinthetjük, azaz feltételezhetjük, hogy a gép jól működött.

15.4. Lineáris korreláció és a regressziós egyenes15.4.1.

a)k Xk Yk Xk XkYk Yk1 1 1 1 1 12 3 2 9 6 43 4 4 16 16 164 6 4 36 24 165 8 5 64 40 256 9 7 81 63 497 11 8 121 88 648 14 9 196 126 81S 56 40 524 364 256

473

KVK-1190

X = ^ = 7; Y = ^ = 5;8 8

Q x - n X ' = 5 2 4 - 8 - 4 9 = 1 3 2 ;k=l

8 _ _ _

Qxy = E ^ k Y k - n - X - Y = 3 6 4 - 8 - 7 - 5 = 8 4 ;

« 0 ,6 4 ; b = Y - a X « 0 , 5 5 .a =

k=l

Q x y 84Q x 132

így a regressziós egyenes egyenlete: y = 0,64x +0,55.y

10 y

1 ( \

✓ í

X '

-----------------------

10 14 X

b)A regressziós egyenes egyenlete: 0,186x + 11,704.

c)X = 84,583; Y = 46,083; n = 12.

Q x - n X ' «4814,9167;k=l

Q . y * S x , y , - n . X Y » 2 1 1 3 , 4 1 6 7 ;k=l

a = ^ - 0 , 4 3 8 9 ; b = Y - a - X « 8 , 9 5 9 7 .

A regressziós egyenes egyenlete (y az x függvényeként): y = 0,44x + 8,96.

Q y = É y k - n Y ^ « 1322,9167;k=l

474

a = - ^ « l ,5 9 7 5 ; b = X - a - Y « 1 0 , 9 6 5 2 .Qy

A regressziós egyenes egyenlete (x az y függvényeként): x = l ,6 y +10,97.

15.4.2.a)r ~ 0,823. Szoros pozitív korreláció van.

b)r ~ 0,9899. Nagyon szoros pozitív korreláció van.

c)X = ^ = 37,5; Y = — = 60,16;6 6

Q , =8875-6-37,5 ' =437,5;= 12905 - 6 • 37,5 • 60,16 = -632,5 ;

Qy = 22641 - 6 • 60,16' = 920,83 ;

r = - « -0,9965 . Nagyon szoros negatív korreláció van.VQxQy

d)r ~ 0,8374. Szoros pozitív korreláció van.

15.4.3. _ _a ) X = 5; Y = 14,41; n = 10.

Q , - n X ' =13,2; = J y ^ - n - Y ' =21,789;k=l k=l

Q . , = É > ‘ i y i - " X Y = 13,7.k=l

r = - » 0,81. Szoros lineáris korreláció van.VQ.Qy

b)a = ^ » l , 0 4 ; b = Y - a X » 9 , 2 2 .Qx

A regressziós egyenes egyenlete: y = l,04x+9,22.

KVK-1190

475

KVK-1190

c) 4 hetes súly: x = 5 kg;8 hetes súly; y == 1,04-5 + 9,22 ~ 14,42 kg.

15.4.4.a)r ~ 0,919. Szoros lineáris korreláció van.

b)A regressziós egyenes egyenlete: y = 5,76x - 17,83.

15.4.5.a) A regressziós egyenes egyenlete: y = 0,66x + 29,13.

b) A matematika dolgozata várhatóan 92 pontos lenne.

15.4.6.a)r ~ 0,82. Szoros pozitív korreláció van a talaj humusztartalma és a

burgonya terméseredménye között.

b)A regressziós egyenes egyenlete: y = 0,12x - 20,46.

476

TARTALOMJEGYZÉK

ELŐSZÓ................................................................................ 3

1.....KOMPLEX SZÁMOK.................................................. 51.1. Komplex számok ábrázolása..........................................................51.2. Áttérés a komplex szám egyes alakjai között.............................. 61.3. Műveletek különféle alakú komplex számokkal.......................... 71.4. Vegyes feladatok.............................................................................9

2. LINEÁRIS ALGEBRA............................................... 132.1. Mátrixok........................................................................................ 132.2. Determinánsok..............................................................................162.3. Lineáris egyenletrendszerek.........................................................17

3. VEKTORGEOMETRIA............................................. 223.1. Alapfogalmak, alapműveletek.....................................................223.2. Vektorok szorzása.........................................................................233.3. Vektorok geometriai alkalmazása............................................... 25

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK............ 284.1. Sorozatok...................................................................................... 284.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata........................ 29

5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA................................. 34

5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény.................................345.2. A differenciálszámítás alkalmazásai........................................... 37

6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI......................... 42

6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok....................................42

KVK-1190

477

KVK-1190

6 . 2 .

6 .3 .

6 .4 .

6 .5 .

f (ax + b ) dx ( a , b e R , a O) típusú fe la d a to k ......................... 43

f (x ) ] f ' ( x ) d x ( a e R , a ^ ^ - l ) típusú fe la d a to k ....................44

■ f'(x)^ dx típ u sú fe la d a to k ......................................................................... 45

f(x)f (g(x)) g' (x) dx típusú feladatok............................................. 46

6.6. Parciális integrálással megoldható feladatok............................. 466.7. Racionális törtfüggvények integrálása........................................476.8. Integrálás helyettesítéssel.............................................................476.9. Vegyes feladatok...........................................................................49

7. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI 51

b

7.1. Alapintegrálokra és az f(g(x)) g'(x)dx = F(g(x))^ .............51a

7.2. Parciális integrálással megoldható feladatok............................. 537.3. Helyettesítéssel megoldható feladatok........................................547.4. Vegyes feladatok...........................................................................547.5. Határozott integrálok alkalmazásai............................................. 557.6. Improprius integrálok................................................................... 58

8. KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK............. 618.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése................................618.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása................628.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának

alkalmazásai.................................................................................648.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása...................... 66

9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK.. 709.1. Alapfogalmak................................................................................709.2. Elsőrendű differenciálegyenletek................................................ 709.3. Másodrendű differenciálegyenletek............................................ 73

478

10. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ............................ 7610.1. Laplace és inverz Laplace-transzformált....................................7610.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása

Laplace-transzformációval...........................................................77

11. VÉGTELEN SOROK...................................................8011.1. Számsorok..................................................................................... 8011.2. Hatványsorok................................................................................8111.3. Fourier-sorok.................................................................................83

12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS................................... 8812.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása......................... 8812.2. Lineáris programozás alapfeladata............................................. 8812.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat

g ra f ik u s m e g o l d á s a ......................................................................................... 90

13. VEKTORANALÍZIS................................................... 9213.1. Vektor-skalár függvények............................................................9213.2. Skalár-vektor függvények............................................................9513.3. Vektor-vektor függvények.........................................................100

14. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS................................. 10614.1. Eseményalgebra..........................................................................10614.2. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja................10814.3. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel......................11014.4. Feltételes valószínűség és függetlenség....................................11114.5. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások....... 11314.6. Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény.....................................11614.7. Várható érték és szórás.............................................................. 12014.8. Nevezetes folytonos eloszlások................................................ 123

15. MATEMATIKAI STATISZTIKA........................... 12615.1. A statisztikai minta jellemzői.....................................................12615.2. Konfidenciaintervallum várható értékre...................................12815.3. Statisztikai próbák...................................................................... 12915.4. Lineáris korreláció, regressziós egyenes...................................134

KVK-1190

479

MEGOLDÁSOK................................................................139

1.....KOMPLEX SZÁMOK...............................................1411.1. Komplex számok ábrázolása......................................................1411.2. Áttérés a komplex szám egyes alakjai között.......................... 1451.3. Műveletek különféle alakú komplex számokkal...................... 1481.4. Vegyes feladatok.........................................................................153

2. LINEÁRIS ALGEBRA..............................................1612.1. Mátrixok...................................................................................... 1612.2. Determinánsok............................................................................1662.3. Lineáris egyenletrendszerek.......................................................168

3. VEKTORGEOMETRIA............................................1793.1. Alapfogalmak, alapműveletek...................................................1793.2. Vektorok szorzása...................................................................... 1813.3. Vektorok geometriai alkalmazása............................................. 184

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.......... 1894.1. Sorozatok.................................................................................... 1894.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata...................... 191

5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA............................... 203

5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény...............................2035.2. A differenciálszámítás alkalmazásai......................................... 212

6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI....................... 235

6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok..................................2356.2. f (ax + b)dx (a, b e R, a tí: O) típusú feladatok.................. 238

6.3. f ' (x)dx (a € R, a ^ - l ) típusú feladatok..............241

KVK-1190

480

6.4.

KVK-1190

f-(x)dx típusú feladatok........................................................245

f(x)6.5. |f(g(x))g '(x)dx típusú feladatok............................................ 246

6.6. Parciális integrálással megoldható feladatok........................... 2476.7. Racionális törtfüggvények integrálása......................................2516.8. Integrálás helyettesítéssel...........................................................2566.9. Vegyes feladatok........................................................................ 260

7. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI 267

b

7.1. Alapintegrálokra és az f (g(x)) g'(x)dx = [F(g(x))] I .......... 267Ja12. Parciális integrálással megoldható feladatok........................... 272

7.3. Helyettesítéssel megoldható feladatok......................................2747.4. Vegyes feladatok.........................................................................2767.5. Határozott integrálok alkalmazásai........................................... 2787.6. Improprius integrálok................................................................. 284

8. KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK........... 2918.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése............................. 2918.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása..............2928.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának

alkalmazásai...............................................................................2998.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása....................305

9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3169.1. Alapfogalmak..............................................................................3169.2. Elsőrendű differenciálegyenletek.............................................. 3179.3. Másodrendű differenciálegyenletek.......................................... 327

10. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ.......................... 33810.1. Laplace- és inverz Laplace-transzformált.................................33810.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása

Laplace-transzformációval.........................................................343

481

KVK-1190

11. VÉGTELEN SOROK................................................ 35211.1. Számsorok................................................................................... 35211.2. Hatványsorok..............................................................................35711.3. Fourier-sorok...............................................................................365

12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS................................. 38112.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása....................... 38112.2. A lineáris programozás alapfeladata......................................... 38112.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat

g ra f ik u s m e g o l d á s a .......................................................................................383

13. VEKTORANALÍZIS.................................................38813.1. Vektor-skalár függvények..........................................................38813.2. Skalár-vektor függvények..........................................................39413.3. Vektor-vektor függvények.........................................................407

14. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS................................. 42114.1. Eseményalgebra..........................................................................42114.2. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja................42314.3. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel...................... 42914.4. Feltételes valószínűség és függetlenség....................................43214.5. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások....... 43414.6. Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény.....................................44014.7. Várható érték és szórás..............................................................44914.8. Nevezetes folytonos eloszlások................................................ 455

15. MATEMATIKAI STATISZTIKA........................... 46315.1. A statisztikai minta jellemzői.....................................................46315.2. Konfidenciaintervallum várható értékre...................................46615.3. Statisztikai próbák...................................................................... 46715.4. Lineáris korreláció és a regressziós egyenes........................... 473

482

baróti, kis, schmidt, lukács - matematika feladatgyűjtemény

Documents