baremsimonpetru2016gimanziu.doc

8/19/2019 BaremSimonPetru2016Gimanziu.doc

1/12

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE ȘICERCETĂRII ȘTIINȚIFICE

RO – 540080 Tîrgu-Mureş !"r# M$%&$ '$"e&(u) *r# +, # . / ) e g $ u ) u * $ r e & # r /

INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

Concursul judetean de matematică "Simon Petru"

Ediţia a XVI-a

Tg.-Mureş !.#!.$#!Clasa a V-a

%arem de corectare Su&iectul I

Se consider şirul de numere naturale 2,7,12,17,22,……., în care fiecare termen, începând cuӑal doilea, este cu 5 mai mare decât precedentul.a) Aflaţi al 501lea termen al şirului.

!) "alculaţi suma primilor 100 de termini ai şirului.

Solu ie#ț

a) $rimul termen este 2 % 5

………………………………………………………………………..........1p

Al 501lea termen este 5 %

2502………………………………………………………..........2p !) Suma primilor 100 de termeni înseamnӑ

&5 ' &5 ' &5 '…' &5

……………………………………….........2p

&5

2(50………………………………...........................2p

& *a+eta matematic nr.201()ӑ

Su&iectul II

-n numr de forma se numeşte /în acanţ/ dac !'c este de ori mai mare decât a'd.a)Aflaţi cel mai mare şi cel mai mic numr /în acanţ/

!)Artaţi c suma dintre un numr /în acanţ/ şi rsturnatul su este dii+i!il cu .

&$rof. Stoica Anela)

Solu ie#ț

a) ştim ca & a'd)%!'c .dac !'c%13&cea mai mare aloare posi!il ) atunci a'd%4, de unde om o!ţine celӑ ӑ

mai mare nr. pentru a%4 şi d%0, deci aem 40 cel mai mare num r.......1pӑ dac !'c%0 atunci a'd%0 ceea ce nu conine………………………………....................1pӑ


2/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

dac !'c% atunci a'd%1 deci aem a%1 şi d%0 şi om alee !%0 şi c%, atunci celӑ mai mic numr este 100 ……………………………………......................1p

!) ' %1001&a'd)'110&!'c)……………………...…...........................................1p

nlocuim & a'd)%!'c şi o!ţinem#

' %&a'd)&1 11'11 %&a'd)6116121 &a'd) ……….......................2p

eci, ' …………………………............................................................1p

Su&iectul III

8ie numerele 9 % 3 şi : % 7 , n fiind num r natural.ӑ

1) "omparaţi numerele 9 şi :.

2) Ar taţi c 9 şi : dau acelaşi rest la împ rţirea cu 145, pentru orice n num r natural.ӑ ӑ ӑ ӑ

Solu ie#ț

1) 9 % 1300 şi : % 2425 ⟹

9;:……………………………………………………………….........p2)


3/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

457 aa0 % 440⟹deîmpӑrţitul este 445, împӑrţitorul este iar

câtul este4…………………………………………………………………………............................2p


Ediţia a XVI-a

Tg.-Mureş !.#!.$#! Clasa a VI-a

%arem de corectare

Su&iectul I

a) Afla i cel mai mic numr natural nenul, dii+i!il cu 2014, care este ptrat perfect.ț !) Afla i numerele naturale prime a, !, c, tiind c#ț ș

2a ' 140& ' (2c % 2014

& prof. >odoran


4/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

&prof. "onstantin @o+do, =ein)

Solu ie#ț

$. a) (,4,3,,10,12,1(,15…………………………………………………….!'

!) ma % ……………………………………………$'

c) $rintre primele (3 numere natural nenule sunt(3#2%2( numere dii+i!ile cu 2. "um 2 e prim, rmân

2(1%2 numere compuse, deci 2 termeni sunt eali cu …………………….!'

e asemenea, sunt (3#%14 numere dii+i!ile cu . "um e prim si (3#4%3 numere sunt dii+i!ile cu

4, deci cu 2, rmân al i 1413%7 termeni eali cuț ………………………..!'

Apoi (3#5%&rest ) numere sunt dii+i!ile cu 5. "um 5 e prim i (3#10 % (&rest 3) numere suntșdii+i!ile cu 10, deci cu 2 i (3#15%&rest ) numere sunt dii+i!ile cu 15, deci cu , dar (3#0%1&restș

13) numr este dii+i!il cu 0, deci cu 2 si cu , ramân al i 1('1%2 termeni eali cuț

……………………………………………………………………………….!'

Suma este 26 '76 '26 % ………………………………………………………………………!'

Su&iectul III

8ie A, B, @ puncte coliniare în aceast ordine, iar &B" i &B de o parte i de alta a dreptei A@.ș ș@isectoarea &BC a uniului @B" formea+ cu &BA un uni conruent cu suplementul uniuluiAB", iar !isectoarea &BD a uniului AB formea+ cu &BA un uni conruent cu

complementul uniului AB. S se arate c punctele , B, C sunt coliniare.

&$rof. "onstantin @o+do, =ein)

Solu ie#ț

. Suplementul∢AB" este∢@B". eci m&∢AB")%m&∢"BC)%m&∢@BC)%400………………)'

Analo, m&∢ABD)%m&∢BD)%00…………………………………………………………….)'

n conclu+ie m&∢BC)%1300………………………………………………………………!'

Su&iectul IV 8ie punctele A0, A1, A2, …, An situate în aceast ordine pe o dreapt d astfel încât#


5/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

A0A1 % 1 cm, A1A2 % 2 cm, A2A % 22 cm, …, An1An % 2n1 cm.

a) etermina i numrul natural p astfel încât Aț 0A p % 20(7 cm. !) ac E este miFlocul sementului A1A10 determina i lunimea sementului Aț E.

&*a+eta Eatematic nr. 52015, enun modificat)ț

Solu ie#ț

a+ A0A p % 20 ' 21 ' 22 ' … ' 2 p G 1 …....................................................……………….. !'

A0A p %2 p G 1 …………….......................................................................................…….. !'

2 p G 1 % 20(7, 2 p % 20(3 ………..........................................................................………….. !'

p % 11 ……………….......................................................................................................….. !'

&+ A1A10 %21 ' 22 ' … ' 2 % 2&1 '2 ' 22' …' 23) % 2&2 G 1) % 1022 &cm)…………….. !'

A1E % 511cm, A1A % 2 ' ( % 4, AE % A1E A1A % 511 G 4 % 505 &cm) ………….. $'


6/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1


Ediţia a XVI-a

Tg.-Mureş !.#!.$#!

Clasa a VII-a

Su&iectul I.

a) Artaţi c numrul ( )22+= x y este natural dac51

105421

−+

+−−+−= x H

!) 8ie 201421 ,......,, aaa , numere naturale impare.

Arta i c numrulț 1...... 2

2014

2

2

2

1 −+++= aaa A este ira ional.ț III

Soluţie

a+ ( (

2151

51251

51

105421−=

−+

−+−−+=

−+

+−−+−= x ,$'+

( ) ( ) N x y ∈=−−=+= 12212 22 ,!'+

&+ "um ai impar %J ai2 % (K i '1 %J ,!'+ 1......

2

2014

2

2

2

1 −+++ aaa %(&K 1'K 2'….'K 2014) ' 2015 % E( ' ,!'+

ar orice ptrat perfect este de forma E( sau E( ' 1

eci 1...... 220142

2

2

1 −+++ aaa nu este p.p. %J A ira ionalț ,$'+

Su&iectul II.

n triuniul A@" punctul L este miFlocul medianei MAEN.acOP%A"Q@L, L%2cm şi "%3 cm, s se demonstre+e c BC DM ⊥ . Prof.Florica şi Vasile Gînţa

Soluţie

A


7/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

L <

@ E "

8ie BD MN ,!'+. "um L este miFlocul MAEN deducem conform reciprocii teoremei liniei miFlocii cMLN este linie miFlocie în (2 =⋅=⇒∆ DE MN AMC cm. ,$'+

Analo demonstrm c ME


8/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

12014

2014...

2

2

1

1=

−++

−+

−+

− aaaa

Su&iectul IV.

8ie A@" paraleloram i Lș &"). ac ALQ@"%O8P i @LQA%ș O*P,

arta i cț2

CF DG AD

+≤ . Gazeta matematică

Solu ieț

n R@L", * ?? @" %J &>.>.) k EB

GE

CE

DE == &1) ,!'+

n RA@*, L ?? A@ %J &>.>.) k EB

GE

AD

DG== ,!'+

RA8@, L" ?? A@ %J &>.>.) AE

EF

BC

CF = %J

AE

EF

AD

CF = ,!'+

n RAL*, @8 ?? A* %J &>.>.) EG

BE

AE

FE = %J

k AD

CF 1= &2) ,!'+

in &1) iș &2) %Jk

k AD

CF DG 1+=

+,!'+

"um 21≥+

k k %J ,!'+

2≥+

AD

CF DG

2

CF DG AD

+≤ ,!'+


9/12


10/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

S2%IECT23 II

8ie a, ! , c, d numere reale astfel încât a'!%c'd şi a2

'!2

%c2

'd2

. emonstraţi c oricare ar fi n∈7aem ealitatea an'!n%cn'dn.

%/EM

a'!%c'd ⇒ &a'!)2%&c'd)2⇒ a2'2a!'!2%c2'2cd'd2, dar a2'!2%c2'd2, deci se o!ţine ad%cd.

$'

in a'!%c'd ⇒ d%a'! c˗ ⇒ a!%c&a'! c)˗ ⇒ c2 ac !c'a!%0˗ ˗ ⇒ c&ca)!&ca)%0 ⇒ &ca)&c!)%0.

)'

istinem dou ca+uri#

"a+ul 1 ca%0 ⇒ c%a ⇒ d%! ⇒ an

'!n

%cn

'dn

. !'"a+ul 2 c!%0 ⇒ c%! ⇒ d%a ⇒ an'!n%cn'dn. !'

S2%IECT23 III

a) 8ie triuniul XY a crui laturi sunt e9primate prin numere naturale. tiind cȘ XY are lunimeade 1 cm, demonstra i cț X=Y .

b) n tetraedrul ABCD, lunimile sementelor & BC ), & AC ), & BD) şi & AD) sunt e9primate prinnumere naturale. emonstraţi c dac AB%1 cm, atunci ),&),& AC DBm BC DAm


11/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

Aând în edere c lunimile sementelor & BC ), & AC ), & BD) şi & AD) sunt e9primate prinnumere naturale i A@%1 cm, în triuniurileș DAB şi BCA, o!ţinem, conform su!punctului anterior,c A%@&1) şi "@%"A&2). !'

"onsiderm ! miFlocul sementului &A@). "onform &1) şi &2), o!ţinem AB D! ⊥ şi ABC! ⊥ , şicum )&, D!C C! D! ⊂ , re+ult c )& D!C AB ⊥ , ş i cum )& D!C DC ⊂ , o!ţinem CD AB ⊥ &).!'

Acum, fie punctele M şi N astfel încât patrulaterele @"EA şi A"


12/12



INSECTORATUL 1COLAR

2UDEŢEAN MURE1

:a;eta matematica $#!<

%/EM6

8ie $∈B) astfel încât !$ AB iș % miFlocul lui D#.

in !$ AB o! inemț

1==

!A

#!

$B

#$!'

baremsimonpetru2016gimanziu.doc

Documents