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CATEDRA: ALGEBRA TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES 1

ALGEBRA

TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES CONTENIDOS PAG.

• 1 - TRANSFORMACIONES LINEALES 02

Ejercicios Propuestos 06

• 2 - NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSF. LINEAL 07


• 3 - CLASIFICACION DE LAS TRANSF. LINEALES 12


• 4 - MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSF. LINEAL 14


• RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS 23


1 – TRANSFORMACIONES LINEALES Sean los espacios vectoriales (V, +, K, *) y (W, +,K, *). Una transformación

lineal de V a W es una función que asigna a cada vector x Є V un vector único

f( x ) de W que satisface las siguientes condiciones:

• f (x ) + f (y ) = f ( x+y )

• f (α.x) = α f (x ) (1)

Para todo x e y Є V y para todo escalar α Є K. Se escribe:

f : V W / f ( x1, x2, …, xn ) = (x1, x2, …, xm)

Siendo las dimensiones de los espacios vectoriales V y W, m y n

respectivamente.

Gráficamente:

V W

* x * f(x) * y * f(y) * x+y * f(x+y) * αx * α f(x)


EJEMPLO 1.1: Determinar si la función f1 : R2 R2 / f (x, y) = (x, 0) es una

transformación lineal. Interpretar geométricamente a la función f.

Para que f sea transformación lineal se deben verificar las dos condiciones

definidas en (1):

• f (x ) + f (y ) = f ( x+y )

• f (α.x) = α f (x )

En este caso los elementos del primer espacio sería vectores de R2 y los

elementos del segundo espacio también sería vectores de R2. Definimos un par

de vectores del primer espacio y el vector suma:

( x1, y1) Є R2

( x2, y2) Є R2

El vector suma sería:

( x1 + x2, y1 + y2)

Aplicando la primera condición queda:

f1 ( x1, y1) + f1 ( x2, y2) = f1 ( x1 + x2, y1 + y2)

De acuerdo a la definición de la función f, la imagen de los vectores del primer

espacio son vectores en los que su segunda componente es nula:

( x1, 0 ) + ( x2, 0 ) = ( x1 + x2, 0 )

Sumando los vectores del término izquierdo de la igualdad se obtiene:

( x1 + x2, 0 ) = ( x1 + x2, 0 )

Verificando la primera condición.

Seguidamente se verifica la segunda condición:

f1 ( αx1, αy1) = α. f1 ( x1, y1)

(αx1 , 0 ) = α ( x1, 0 )

(αx1 , 0 ) = (αx1 , 0 )

Verificando también la segunda condición, por lo que f es Transformación

Lineal entre los espacios vectoriales R2 .


Geométricamente f representa la proyección de los vectores de R2 sobre el eje

horizontal o de las x como se observa en la figura 1.1:

Figura 1.1: Transformación f(x, y) = (x, 0)

Y (x, y) f (x, y) = (x, 0)

EJEMPLO Nº 1.2: Determinar si la función f2 : R2 R2 / f(x, y ) = (x+1, y) es

transformación lineal.

En este caso se trata de una función de R2 a R2.

Definimos un par de vectores del primer espacio y el vector suma:

( x1, y1) Є R2

( x2, y2) Є R2

El vector suma sería:

( x1 + x2, y1 + y2)

Aplicando la primera condición queda:

f2 ( x1, y1) + f2 ( x2, y2) = f2 ( x1 + x2, y1 + y2)

(x1+1, y1 ) + ( x2+1 , y2 ) = ( x1 + x2 +1, y1 + y2)

Sumando los vectores de la izquierda de la igualdad:

( x1 + x2 +2, y1 + y2) ≠ ( x1 + x2 +1, y1 + y2)

Como no se verifica la igualdad, no se verifica la primera condición, por lo tanto

f2 no es Transformación Lineal.


EJEMPLO Nº 1.3: Determinar si la función f3: R3 R2 / f (x, y, z ) = (x, y ) es

una transformación lineal.

Primera condición:

f3( x1, y1, z1 ) + f3( x2, y2, z2 ) = f3 (( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )

Se obtiene:

(x1, y1 ) + ( x2, y2) = ( x1 + x2 , y1 + y2)

Se verifica la primera condición.

La segunda condición:

f3 ( αx1, αy1, αz1 ) = α. f3 ( x1, y1, z1 )

( αx1, αy1) = α. ( x1, y1)

Resolviendo el producto de la izquierda de la igualdad:

( αx1, αy1) = ( αx1, αy1)

Verifica también la segunda condición, por lo que f3 es una Transformación

Lineal.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Si f : V W es una transformación lineal, entonces:

• f (0v) = 0w

• f (-x ) = - f( x ) para todo x en V

• f ( x - y ) = f (x ) – f ( y ) para todo x e y en V

Dichas propiedades se pueden demostrar fácilmente, por definición de

transformación lineal y siendo 0 x = 0 se puede escribir:

f ( 0v ) = f ( 0.x ) = 0. f (x ) = 0w

Queda como tarea demostrar la segunda y tercera propiedad, utilizando un

razonamiento análogo al de la primera.

Lo importante de estas propiedades, fundamentalmente de la primera, es que

la imagen del vector nulo en V es igual al vector nulo en W para toda

transformación lineal. Por ejemplo para el caso del Ejemplo Nº 1 sería:

f1 : R2 R2 / f (x, y) = (x, 0)

Por lo que f1( 0, 0) = (0, 0)


Esta propiedad es útil para identificar transformaciones que no son lineales,

como por ejemplo la del Ejemplo Nº 2:

f2 : R2 R2 / f(x, y ) = (x+1, y)

Si se calcula la imagen del vector (0, 0 ) se obtiene lo siguiente:

f2 (0, 0) = (0 + 1, 0) = (1, 0)

Se observa que la imagen del vector nulo no es igual al vector nulo, por lo que

f2 no es una transformación lineal como se había demostrado en el Ejemplo Nº

2. Geométricamente la función f2 traslada a un punto del espacio vectorial R2 a

través de un vector (1, 0), como se observa en la figura Nº 1.2:

Figura 1.2: Transformación f(x, y) = (x + 1, y)

Y (x, y) f(x, y) = (x, y) + (1, 0) (1, 0) X EJERCICIOS PROPUESTOS – TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES 1 - Determine si las siguientes funciones son Transformaciones Lineales.

Interpretarlas geométricamente si es posible:

a) f1 : R2 R2 / f(x, y ) = (x, - y)

b) f2 : R2 R2 / f(x, y ) = (2x, 2y)

c) f3 : R2 R2 / f(x, y ) = (x+1, y+1)

d) f4 : R3 R2 / f(x, y , z ) = (x + y , y + z)

e) f4 : R3 R3 / f(x, y , z ) = (x + y , y + z, z)

f) f5 : R3 R3 / f(x, y , z ) = (x .y , y, z)

g) f6 : R3 R4 / f(x, y , z ) = (x + y , y + z, y, 2z)


h) f7 : R R / f (x ) = 2x + 1

2 - En relación al Ejercicio del inciso ( h ), indicar si una función lineal de R

R es una Transformación Lineal. Aplicando la propiedad f ( 0 ) = 0 verificar si

los ejercicios c y h son transformaciones lineales.

2 - NUCLEO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL El núcleo de la transformación lineal f : V W lo constituyen los vectores x Є

V, tales que f ( x ) = 0w

Simbólicamente N(f) = { x Є V / f (x ) = 0w }

El núcleo de una Transformación Lineal está formado por el conjunto de

vectores del primer espacio (V) cuya imagen es el vector nulo del segundo

espacio.(W)

EJEMPLO Nº 2.1: Encontrar el núcleo de la transformación lineal

f : R3 R2 / f(x, y, z ) = (x + y, y + z )

La condición que deben satisfacer los vectores del núcleo de f es que su

imagen sea igual al vector nulo del espacio vectorial R2 :

f ( x, y, z ) = (0, 0)

(x + y, y + z ) = (0, 0)

Se obtiene un sistema homogéneo de dos ecuaciones con tres incógnitas:

x + y = 0

y + z = 0

Que por ser un sistema homogéneo con mayor número de incógnitas que

ecuaciones, es compatible indeterminado, o sea que tiene infinitas soluciones:

De la primera ecuación se obtiene que x = -y

De la segunda ecuación se obtiene que y = -z

Por lo tanto los vectores del núcleo de f tienen que cumplir con las condiciones

que la primera y segunda componentes sean opuestas, lo mismo que la

segunda con la tercera. O sea, se trata de vectores de la forma ( t, -t, t ).

Obsérvese que el núcleo de f es un subespacio de R3 de dimensión 1.

EJEMPLO Nº 2.2: Determinar el núcleo de la transformación lineal


f : R3 R3 / f(x, y, z ) = ( x + 2y, y + z, x + z )

Operando de manera similar al Ejemplo Nº 1, se debe verificar:

f ( x, y, z ) = (0, 0, 0)

( x + 2y, y + z, x + z ) = (0, 0, 0)

de donde surge un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas:

x + 2y = 0

y + z = 0

x + z = 0

Que al resolverlo se obtienen las siguientes soluciones:

2º ) y = -z

reemplazando en 3º:

x – y = 0 (*)

la primera queda igual:

x + 2y = 0

Como x = y según ecuación (*) la primera quedaría:

x + 3x = 0

4 x = 0

Por lo que la incógnita x = 0, por lo tanto y = 0 y z = 0. Entonces el núcleo de f

es el vector (0, 0, 0), que es un subespacio de R3 de dimensión 0.

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL La imagen de una Transformación Lineal f : V W, lo constituyen los

vectores y Є W, tales que son imágenes bajo f de por lo menos un vector de V.

Simbólicamente:

})(/{)( yxfVxWyfI =∧∈∃∈=

La imagen de una transformación lineal está formada por los vectores del

segundo espacio (W) que tienen preimagen en el primer espacio (V).

EJEMPLO Nº 2.3: Determinar la imagen del la transformación lineal del

Ejemplo Nº 2.1: f : R3 R2 / f(x, y, z ) = (x + y, y + z )

Para determinar la imagen de una transformación lineal se supone que estará

formada por cualquier vector (a, b) del espacio R2 . Entonces:

f (x, y, z ) = (a, b)


como la imagen de f( x, y, z) es (x + y, y + z ), se obtiene:

(x + y, y + z ) = (a, b)

de donde surge un sistema de ecuaciones:

x + y = a

y + z = b

Resolviendo el sistema:

y = a – x

reemplazando en 2º:

a – x + z = b

lo que nos indica que los a y b pueden tomar cualquier valor real, por lo tanto la

imagen de la transformación lineal f es R2 .Obsérvese que la imagen de f es un

espacio vectorial de dimensión 2.

TEOREMA 2.1: Sea f : V W una Transformación Lineal. La suma de las

dimensiones del Núcleo y de la Imagen de f es igual a la dimensión de V.

Se observa para los Ejemplos 2.1 y 2.3 que la dimensión del núcleo de f es

igual a 1, mientras que la dimensión de la imagen de f es igual a 2. La suma de

Dim Nf más Dim If es igual a 3, que es la dimensión del espacio de partida R3.

EJEMPLO Nº 2.4: Determinar el Núcleo e Imagen de la Transformación Lineal f

: R3 R3 / f(x, y, z ) = (x + y, y + z, x + 2z ) Determinar las dimensiones de

ambos subespacios, encontrar una base de cada uno de ellos e indicar sus

dimensiones:

Primeramente definimos el Núcleo de f:

f (x, y, z) = (0, 0, 0)

(x + y, y + z, x + 2z ) = (0, 0, 0)

El sistema que se obtiene es el siguiente:

x + y = 0

y + z = 0

x + 2z = 0


Resolviendo el sistema se obtiene:

De 1º ecuación x = -y

Sustituyendo en la segunda quedaría:

-x + z = 0 (**)

La tercera queda igual

x + 2z = 0 (***)

De (**) se obtiene x = z, reemplazado en (***)

z + 2z = 0

3 z = 0

Por lo tanto z = 0; x = 0; y = 0.

El núcleo de f es el vector (0, 0, 0). Subespacio de dimensión 0. Base del

Núcleo

Nf = {(0, 0, 0,)}

IMAGEN

Suponiendo que los vectores de la imagen de f son del tipo (a, b, c)

obtendríamos:

f(x, y, z ) = (a, b, c)

(x + y, y + z, x + 2z ) = (a, b, c)

Se obtiene el sistema:

x + y = a

y + z = b

x + 2z = c

Resolviendo el sistema se obtienen las siguientes soluciones:

322 cbax +−

=

32 cbay −+

=

3cbaz ++−

=

Las soluciones del sistema indican que para cualesquiera valores de “a”, “b” y

“c”, es posible encontrar valores de x, y z, tales que f( x, y, z) = (a, b, c), por lo


tanto cualquier vector (a, b, c) del conjunto de llegada R3 tiene un vector en el

conjunto de partida (x, y, z) tales que f( x, y, z) = (a, b, c).

Entonces la imagen de f, es R3 , un espacio vectorial de dimensión 3. Se

verifica el teorema de las sumas de las dimensiones del núcleo e imagen de f.

EJERCICIOS PROPUESTOS – TEMA: NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL 1 – Determinar el núcleo e imagen de las siguientes Transformaciones Lineales

proponiendo una base para los espacios núcleos e imagen. Demuestre que Nf

e If son subespacios del espacio de partida y del espacio de llegada

respectivamente:

a) f1 : R3 R2 / f(x, y, z ) = ( x – y, y + 2x )

b) f2 : R3 R3 / f(x, y, z ) = ( x -y , y + 2z, x + y + z )

c) f3 : R3 R3 / f(x, y, z ) = ( 2x – z, x + y + z, -3x + 2y )

d) ) f3 : R2 R3 / f(x, y ) = ( x, y, x+y )

2 – Sea la transformación lineal f5 : R2 R2 / f(x, y ) = ( 2x – y, -8x + 4y)

Indique cual de los siguientes vectores están en la imagen de f5:

(1, -4); (5, 0); (-3, 12)

Indique cual de los siguientes vectores están en el núcleo de f5:

(5, 10); (3, 2); (1, 1)


3 – CLASIFICACION DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICION 3.1: Se dice que una transformación Lineal f : V W es inyectiva

o monomorfismo (uno a uno) si para todo x e y de V, siendo x ≠ y, implica que f

(x) ≠ f(y).

EJEMPLO Nº 3.1: Determinar si es inyectiva la siguiente transformación lineal

f : R2 R2 / F (x, y) = (x + y, x – y)

Para determinar si f es inyectiva tomamos dos vectores del primer espacio R2

(x1, y1) y (x2, y2), si los vectores son iguales, sus imágenes también lo serán:

f (x1, y1) = f (x2, y2)

(x1 + y1, x1 - y1) = (x2 + y2, x2 – y2)

Por lo tanto

x1 + y1 = x2 + y2

x1 - y1 = x2 – y2

Sumando ambas ecuaciones se obtiene:

2. x1 = 2. x2

o sea, que x1 = x2, lo que implica que y1 = y2 por lo que f es inyectiva.

DEFINICION 3.2: Una Transformación Lineal f : V W es sobreyectiva o

epimorfismo (sobre) cuando para todo vector z de W, encontramos un vector x

en V, tal que f(x) = z.

EJEMPLO 3.2: Probar si el la Transformación Lineal del Ejemplo 3.1 es

sobreyectiva:

f : R2 R2 / F (x, y) = (x + y, x – y)

Entonces, para cualquier vector de la imagen ( a, b ), debe existir un vector en

el conjunto de partica (x1, y1), de manera que

f (x1, y1) = ( a, b )


Por lo tanto:

(x1 + y1, x1 - y1) = ( a, b )

que determina el sistema de ecuaciones:

x1 + y1 = a

x1 - y1 = b

Resolviendo el sistema se obtiene:

21bax +

=

21bay −

=

Lo que implica que para cualquier vector ( a, b ) de la imagen, existirá un vector

(x1, y1) en el conjunto de partida de manera que f (x1, y1) = ( a, b ), por lo que la

transformación lineal f es sobreyectiva.

EJERCICIOS PROPUESTOS – TEMA: CLASIFICACION DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES 1 – Clasifique las siguientes Transformaciones Lineales:

a) f1 : R3 R2 / f(x, y, z ) = ( x – y, y + 2z )

b) f2 : R3 R3 / f(x, y, z ) = ( x, z, y )

c) f3 : R2 R3 / f(x, y ) = ( x, y, x+y )


4 – MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL Sea f : V W una Transformación Lineal. Si A = { v1, v2, …, vn } es una base

de V y B = { w1, w2, …, wm } es una base de W, entonces existe una única

matríz A Є kmxn tal que [f (x)]B = A. [x]a.

[f (x)] es el vector coordenadas de f(x) respecto a la base de W, mientras que

[x]a representa el vector coordenadas de x respecto a la base de V.

EJEMPLO 4.1: Determinar la matriz asociada a la transformación lineal

f1 : R2 R2 / f (x, y) = (x, 0) respecto de la base canónica de R2

Para determinar la matriz de la transformación lineal se calculan las imágenes

de los vectores de la base del primer espacio y se las escribe como

combinación lineal de los vectores de la base del segundo espacio. En este

caso ambas bases son similares, es decir la base canónica de R2 :

A = { (1, 0); (0, 1) }

Entonces:

f (1, 0) = (1, 0) = α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = 1. (1, 0) + 0. (0, 1)

f (0, 1) = (0, 0) = α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = 0. (1, 0) + 0. (0, 1)

Las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base del primer

espacio respecto de los vectores de la base del segundo espacio son:

[f (1, 0)]A = (1, 0)

[f (0, 0)]A = (0, 0)

Por lo tanto la matriz A de la transformación lineal referida a la base canónica

es:

=

0001

A

En dicha matriz los vectores coordenadas [f (1, 0)]A = (1, 0) y [f (0, 0)]A = (0, 0)

representan las columnas de la matriz.

Para verificar se realiza en cálculo [f (x)]B = A. [x]a. Por ejemplo tomando un

vector genérico del primer espacio (a, b), cuyo vector coordenadas respecto de

la base canónica de R2 es [(a, b)]A = (a, b) y multiplicando dicho vector por la


matriz A, se obtiene el vector coordenada de la imagen de la Transformación

Lineal respecto de la base del segundo espacio:

)0,(),.(0001

aba =

EJEMPLO Nº 4.2: Determinar la matriz asociada a la transformación lineal del

Ejemplo Nº 4.1 referida a las bases A = { (1, 1); (1, 0) } para el primer espacio y

T = { (1, 0); (0, 1)} para el segundo espacio.

En este caso primeramente se deben calcular las imágenes de los vectores de

la base A y expresarlos como combinación lineal de los vectores de la base T:

f (1, 1) = (1, 0) = α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = 1. (1, 0) + 0. (0, 1)

f (1, 0) = (1, 0) = α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = 1. (1, 0) + 0. (0, 1)

Las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base del primer

espacio respecto de los vectores de la base del segundo espacio son:

[f (1, 0)]A = (1, 0)

[f (0, 0)]A = (1, 0)

Por lo tanto la matriz A’ de la transformación lineal referida a las bases A y T

es:

=

0011

'A

Obsérvese que para una misma transformación lineal, la matriz asociada

depende de las bases a las cuales esta referida. Entonces el vector

coordenadas de la imagen de la transformación lineal será:

[f (x)]T = A’. [x]A

Se verifica el resultado obtenido para un vector genérico (a, b). Entonces

primeramente se debe calcular el vector coordenadas de (a, b) respecto de la

base A:


(a , b) = b (1, 1) + (a-b ). (1, 0)

Por lo tanto:

[ (a , b) ]A = ( b, a-b )

Entonces al multiplicar la matriz A’ por el vector ( b, a-b ) nos da como

resultado [ f (a, b) ]T:

=

−+=

−

00

.0011 abab

bab

Como la base T es la canónica el vector coordenadas coincide con el vector

(a, 0). Se obtiene el mismo resultado que en el Ejemplo Nº 4.1

EJEMPLO Nº 4.3: Determinar la matriz asociada a la transformación lineal

R3 R2 / f (x, y, z ) = (x+y, y+z ) respecto de las bases A = { (1, 1, 1); (1, 1, 0);

(1, 0, 0) } de R3 y B = { (1, 1); (1, 0) } de R2

En este caso por tratarse de una Transformación Lineal de R3 a R2 , la matriz

asociada será A Є k2x3

Primeramente se obtienen las imágenes de los vectores de la base de R3 y se

los expresa como combinación lineal de los vectores de la base de R2 :

f(1, 1, 1) = (2, 2) = α1 (1, 1) + α2 (1, 0) = 2 (1, 1) + 0 (1, 0)

f(1, 1, 0) = (2, 1) = α1 (1, 1) + α2 (1, 0) = 1 (1, 1) + 1 (1, 0)

f(1, 0, 0) = (1, 0) = α1 (1, 1) + α2 (1, 0) = 0 (1, 1) + 1 (1, 0)

Entonces los vectores coordenadas de las imágenes de los vectores de la

base de R3 respecto de los vectores de la base de R2 son los siguientes:

[f (2, 2)]B = (2, 0)

[f (2, 1)]B = (1, 1)

[f (1, 0)]B = (0, 1)

Por lo que la matriz asociada a la Transformación Lineal es


=

10

11

02

A

Para verificar se obtendrá la imagen del vector (2, -1, 5). Como las bases de

ambos espacios no son canónicas primeramente se calculará el vector

coordenadas de (2, -1, 5) respecto de la base de R3 :

(2, -1, 5) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0)

Se obtiene:

α1 = 5

α2 = -6

α3 = 3

Por lo tanto [(2, -1, 5)]A = (5, -6, 3)

Multiplicando la matriz de la transformación lineal A por el vector (5, -6, 3), se

obtiene el vector coordenadas de la imagen del vector (2, -1, 5) respecto de la

base de R2

−

=

−

3

4

36

5*

10

11

02

Por lo tanto:

[f (2, -1, 5)]B = (4, -3)

La imagen de (2, -1, 5) es:

f(2, -1, 5) = 4 (1, 1) + (-3) (1, 0) = (4, 4) + (-3, 0) = (1, 4)

EJEMPLO 4.4: Sea f: R2 R2 representada por la siguiente matriz respecto a

las bases canónicas de R2 respectivamente:

=

1011

A

Determinar:


a) La imagen de un vector genérico (a, b)

b) Núcleo e imagen de la transformación lineal.

Si (a, b) es un vector del primer espacio, las coordenadas de la imagen del

vector f [(a,b)] se obtienen de multiplicar la matriz de la tranformación lineal A

por las coordenadas del vector (a, b) respecto a la base canónica de R2.

Simbólicamente:

[ f (a,b) ]A = A . [ (a, b) ]A

Nota: tener en cuenta que en este ejemplo se consideró tanto para el espacio

de partida como el de llegada la base canónica A = { (1, 0); (0, 1) } por lo que

las coordenadas de un vector (a, b) respecto de la base coinciden con el vector

mismo [ (a, b) ]A = (a, b)

Entonces:

),.(1011

)],([ babaf A

=

Se obtiene:

[ f (a, b) ]A = (a+b, b)

Por lo tanto la imagen de un vector (a, b) es:

(x, y) = (a+b).(1, 0) + b (0, 1) = ( a+b, b)

Para la obtención del núcleo de la transformación lineal recordemos que por

definición Nf = { x Є V / f(x) = 0 }. Por lo tanto el producto de A. por las

coordenadas de un vector genérico del primer espacio [ (x, y)]A debería dar

como resultado el vector nulo del segundo espacio:

=

00

*1011

yx

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:


x + y = 0

y = 0

La única solución del sistema es (x, y) = (0, 0) por lo que el núcleo de f esta

formado por el vector nulo:

Nf = { (0, 0) }

Para el cálculo de la imagen de f simplemente se debe calcular el espacio

generado por las columnas de la matriz de la transformación lineal:

=

ba

yx

*1011

La solución del sistema esta determinada por (x, y) = (a-b, b) por lo que las

columnas de la matriz A generan R2. La imagen de f, por lo tanto, esta

determinada por el espacio R2.

La dimensión del núcleo sumada a la dimensión de la imagen de f resulta igual

a la dimensión del espacio de partida, es decir R2

Dim Nf + Dim If = Dim R2

EJERCICIO Nº 4.5: Sea f la Transformación Lineal definida por la matriz

asociada respecto de las bases canónicas:

−=

221102

A

Se pide determinar:

a) La dimensión de los espacios de partida y de llegada.

b) Los Subespacios Núcleo e Imagen de f, y determinar sus dimensiones.


Por tratarse de una matriz de 2x3, las dimensiones de los espacios de partida

y de llegada son respectivamente 3 y 2.

Para la determinación del Núcleo de la Transformación Lineal f, se debe

obtener el espacio solución del sistema de ecuaciones A.x = 0 (Esto es

equivalente a lo realizado en el Ejercicio Nº 4.4 )

Por lo tanto

=

−=

00

.221

102

zyx

A

El sistema se escribe en forma escalar de la siguiente manera:

2x -z = 0

x + 2y + 2z = 0

Despejando x de la primera ecuación se obtiene:

x = ½.z

Sustituyendo en la segunda:

½.z +2y +2z = 0

Despejando y se obtiene:

y = -5/4.z

Por lo tanto, si se asigna a z el valor de un parámetro t, la solución general del

sistema será:

(x, y, z ) = ( 1/2t, -5/4.t, t)

El Núcleo de la Transformación Lineal se expresa:

Nf = { (x, y, z) Є R3 / x = 1/2z ; y = -5/4.z }


Se puede probar que Nf es un Subespacio de R3 (Espacio de Partida ). La

dimensión de Nf es dim Nf = 1

Para la determinación de la imagen se debe determinar el Subespacio

generado por las columnas de la Matriz A:

=

−ba

zyx

.221

102

El sistema de ecuaciones que se obtiene es el siguiente:

2x -z = a

x + 2y + 2z = b

Resolviendo se observa que los parámetros a y b pueden adquirir cualquier

valor, independiente de los valores de x, y, z., lo que implica que las columnas

de la matriz A, generan R2. Por lo tanto la imagen de la transformación lineal

es:

If = R2

Es un Espacio Vectorial de dimensión 2

PROPOSICIONES EQUIVALENTES (VER ESPACIOS VECTORIALES, PÁG. 38) Sea A una matriz no singular de n x n. Las siguientes proposiciones son

equivalentes:

1 – A es invertible.

2 – La forma reducida por filas de A es In.

3 – A es un producto de matrices elementales.

4 – El espacio generado por las filas de A es Rn

5 – A tiene rango n

6 – Las filas de A son Linealmente Independientes.

7 – Las filas de A constituyen una base de Rn

8 – El determinante de A es nulo. │A │= 0


8 – El operador lineal L: Rn-------Rn definido por L(x) = A.x, para x en Rn, es uno

a uno y sobre (Inyectiva y Sobreyectiva).

EJERCICIOS PROPUESTOS. TEMA: MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL 1- Sea la Transformación Lineal f: R3 R2 / f(x, y , z ) = (x + y , y + z)

a - Determinar la matriz asociada de f respecto a las Bases Canónicas de R3 y

R2

b – Determinar la matriz asociada de f respecto de las bases S = { (1,1,1);

(1,1,0); (1,0,0) } de R3 y T = {(1,1); (1,0)} de R2

c – Determinar la matriz asociada de f respecto de las bases canónica de R3 y

T

d – Determinar la matriz asociada de f respecto de las bases S de R3 y

canónica de R2

2 – Dadas las siguientes matrices asociadas a una transformación lineal,

determinar las dimensiones del espacio de partida, del espacio de llegada, y los

subespacios Núcleo e Imagen de f.

=

212201

A

−−−−

=312101121

B


RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES

1 a) Si

1 b) Si

1 c) No

1 d) Si

1 e) Si

1 f) No

1 g) Si

1 h) No

2) Una función lineal de R en R no es transformación lineal. Aplicando la

propiedad f( 0 ) = 0 se observa para una función lineal f (x) = ax + b:

f ( 0 ) = b

TEMA: NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

1 a) Nf = {(x, y, z) Є R3 / x = -2z , y = -2z }

If = R2

1 b) Nf = { (0, 0, 0)}

If = R3

1 c) Nf = { (0, 0, 0)}

If = R3

1 d) Nf = { (0, 0, 0) }


If = { (x, y, z) Є R3 / z = x + y }

2) (1, -4) Є If; (-3,12) Є If; (5, 10) Є Nf

TEMA: CLASIFICACION DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

1 a) f1 es sobreyectiva

1 b) f2 es biyectiva

1 c) f3 es inyectiva

TEMA: MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL

1 a)

=

110011

A

1 b)

=

120002

A

1 c)

−

=101

110A

1 d)

=

002122

A

2 a)

Nf = {(x, y, z) Є R3/x = 2z ^ y = 2z } Dim Nf = 1

If = R2 Dim If = 2 (Dim Nf + Dim If = 3)


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

• Anton, Howard (1999): Introducción al Algebra Lineal. Editorial Limusa.

Mexico D. F.

• Grossman, Stanley (2001): Álgebra Lineal. Editorial Mc. Graw Hill. Mexico

D. F.

• Joyner, D.; Nakos, G. (1998): Álgebra Lineal con aplicaciones.

Internacional Thomson Editores.

• Kollman, B. (1999): Algebra Lineal. Editorial Prentice Hall. Mexico.

• Lipschutz, S. (1992): Algebra Lineal. Editorial Mc Graw Hill. Madrid

• Rojo, Armando (1976): Algebra II. Editorial El Ateneo. Buenos Aires.

• Cuadernillos Ciclo Común de Articulación de carreras de Ingeniería

(2003): Autores Varios. UNT, UNSA, UNSE, UNJU, UNCA

baldor.transformaciones_lineales

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