b•it−p to†ncaoc⁄p3 · 2.2.2 c¡cht‰nht‰chph¥n2lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

KHOA SƯ PHẠM TOÁN - TIN

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP 3

ĐỒNG THÁP - 2013

MỤC LỤC

1 Giới hạn và đạo hàm của hàm nhiều biến 4

1.1 Không gian Rn và hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Đạo hàm riêng và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Khai triển Taylor của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Tích phân bội 10

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn . . . . . . . . . 10

2.1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Tích phân 2 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

2.2.2 Cách tính tích phân 2 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Tích phân 3 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Cách tính tích phân 3 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Áp dụng trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.2 Áp dụng trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Tích phân đường và tích phân mặt 17

3.1 Lí thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2 Tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Áp dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.2 Áp dụng vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Tài liệu tham khảo 23

CHƯƠNG 1

GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM

NHIỀU BIẾN

1.1 Không gian Rn và hàm nhiều biến

1.1.1 Không gian Rn

1.1.2 Hàm nhiều biến

1.1.3 Bài tập

Bài 1.1.1. Chứng minh các giới hạn sau bằng định nghĩa

a) limn→+∞

( 1n,2

n

)= (0, 0). b) lim

n→∞(n+ 1

n,− 1

n,2

n) = (1, 0, 0).

Bài 1.1.2. Tính các giới hạn sau

a) limn→+∞

( 1nsinn,

n

2n+ 1

).

b) limn→+∞

((1 +

1

2n

)n,

1

2nπ

).

c) limn→+∞

(√n2 + 1

n,1

ncos

1

n,− 1

n

).

d) limn→+∞

(n(e

1n − 1

), 1,

3√n3 + n+ 1

1− 2n3

).

Bài 1.1.3. Tìm miền xác định của các hàm số sau

a) f(x, y) =x2 + y2

x2 − y2.

b) f(x, y) =x2 + y2

x+ y − 2.

c) f(x, y) =

√1−

x2

4−y2

9.

d) f(x, y) = ln(1− x2 − y2).

4

5 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3

1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến

1.2.1 Giới hạn của hàm nhiều biến

1.2.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến

1.2.3 Bài tập

Bài 1.2.1. Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại

a) lim(x,y)→(0,0)

x+ y

x− y. b) lim

(x,y)→(0,0)

x2 + y2 + x− yx+ y

.

Bài 1.2.2. Tính các giới hạn hàm số sau

a) lim(x,y)→(3,+∞)

xy − 1

y + 1.

b) lim(x,y)→(2,0)

ln(x+ ey

)√x2 + y2

.

c) lim(x,y)→(0,1)

(x2 + y2

)x2y2.

d) lim(x,y)→(1,π)

x cosxy

x2 + y2.


a) lim(x,y)→(0,1)

sinxy

x.

b) lim(x,y)→(0,0)

xy√xy + 1− 1

.

c) lim(x,y)→(0,0)

1 + x2 + y2

x2(1− cos 2x).

d) lim(x,y)→(1,0)

ln(1 + sin xy)

y.


a) lim(x,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.

b) lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2.

c) lim(x,y)→(+∞,+∞)

(x2 + y2)e−(x+y).

d) lim(x,y)→(0,1)

x arctany

x.

Bài 1.2.5. Xét giới hạn lặp và giới hạn tại (0,0) của các hàm số sau

a) f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x− y)2. b) f(x, y) =

(x+ y) cos(x+ y)

sin(x− y).


Bài 1.2.6. Xét tính liên tục của các hàm số sau

a) f(x, y) =x+ y

x− 2y.

b) f(x, y) =√

4− x2 − y2 +√x2 + y2 − 1.

c) f(x, y) =

(x2 + y2) sin1

x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

.

d) f(x, y) =

2xy

x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

.

Bài 1.2.7. Tìm a để các hàm số sau liên tục tại (0, 0)

a) f(x, y) =

1− cos(2x2 + 2y2)

x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)

a− 3 nếu (x, y) = (0, 0)

.

b) f(x, y) =

ln(1 + x2 + y2)

x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)

2a− 3 nếu (x, y) = (0, 0)

.

1.3 Đạo hàm riêng và vi phân

1.3.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

1.3.2 Vi phân của hàm nhiều biến

1.3.3 Bài tập

Bài 1.3.1. Tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số sau

a) f(x, y) = ex(cos y + x sin y).

b) f(x, y) =xy√x2 + y2

.

c) f(x, y, z) = xey + yez + xex.

d) f(x, y, z) = x√x2 + y2 + z2.

Bài 1.3.2. Tính đạo hàm riêng các hàm số sau


a) f(x, y) =

2x3 − y3

x2 + 3y2nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

.

b) f(x, y) =

x3y − y3xx2 + y2

nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

.

Bài 1.3.3. Chứng minh rằng

a) z = y ln(x2 − y2) thoả mãn hệ thức1

xz′x +

1

yz′y =

z

y2.

b) z = x2 − y2 − 2xy thoả mãn hệ thức∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0.

c) ln1√

x2 + y2với x2 + y2 6= 0 thoả mãn hệ thức

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0.

d) u = x2 + yz thoả mãn hệ thức x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z= 2u.

Bài 1.3.4. Tính đạo hàm các hàm hợp sau

a) Cho z = ex−2y, x = sin t, y = t3. Tínhdz

dt.

b) z = x√

1 + y2, x = te2t, y = e−t. Tínhdz

dt.

c) z = x2 ln y, x =u

v, y = 3u− 2v. Tính

∂z

∂uvà

∂z

∂v.

d) z = ln(u2 + v2), u = xy, v =x

y. Tính

∂z

∂uvà

∂z

∂v.

Bài 1.3.5. Xét tính khả vi của các hàm số sau tại (0, 0)

a) f(x, y) =

x3 + y3√x4 + y4

nếu x2 + y2 > 0

0 nếu x2 + y2 = 0

.

b) f(x, y) =

{xy cos

√x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0

0 nếu x2 + y2 = 0.


1.4 Áp dụng

1.4.1 Khai triển Taylor của hàm nhiều biến

1.4.2 Cực trị của hàm nhiều biến

1.4.3 Bài tập

Bài 1.4.1. Áp dụng vi phân tính gần đúng các giá trị sau

a)√

(2, 01)2 + (1, 96)2.

b) (0, 97)1,05.

c) ln(√

1, 013 + 4√0, 98− 1).

d) 3√

1, 022 + 0, 052.

Bài 1.4.2. Khai triển Taylor của các hàm sau trong lân cận của điểm đã cho

a) f(x, y) = 2x2 − xy − y2 − 6x− 3y + 5 tại (1,−2).

b) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy tại (1, 1).

c) f(x, y) = sin(x2 + y2) tại (0, 0).

d) f(x, y) = ex cos y tại (0, 0).

Bài 1.4.3. Tìm cực trị của các hàm số sau

a) f(x, y) = 2x2 + y2 − 4x+ 3.

b) f(x, y) = 4x+ 2y − x2 − y2.

c) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.

d) f(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2.

Bài 1.4.4. Tìm các cực trị có điều kiện của các hàm số sau

a) f(x, y) =√xy với điều kiện 2x+ y = 2.

b) f(x, y) = x2 + y2 với điều kiện x+ y = 1.

c) f(x, y) = x2 + 3xy − 5y2 với điều kiện 2x+ 3y = 6.

d) f(x, y) = xy với điều kiện x2 + y2 = 4.

Bài 1.4.5. a) Giá thuê lao động của một công ty được cho bởi hàm

f(x, y) = x2 + y3 − 6xy + 3x+ 6y − 5


trong đó x là số ngày làm việc của công nhân có tay nghề cao, y là số ngày

làm việc của công nhân có tay nghề thấp. Tìm giá trị x, y để giá thuê lao

động là thấp nhất.

b) Một trang trại muốn trồng hai loại cây A và B với số lượng là x triệu cây

và y triệu cây. Hàm lợi nhuận liên kết với số lượng hai loại cây là

f(x, y) = 60x+ 34y − 6x2 − 3y2 − 4xy.

Để đạt lợi nhuận cao nhất thì trang trại phải trồng mỗi loại bao nhiêu

cây ?

c) Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm với số lượng tương ứng của mỗi

loại là x và y. Hàm lợi nhuận liên kết giữa chúng được cho bởi

f(x, y) = x2 + 3xy − 6y.

Để đạt được lợi nhuận cao nhất thì bao nhiêu sản phẩm của mỗi loại cần

được sản xuất biết tổng số sản phẩm của nhà máy sản xuất ra là 42 sản

phẩm.

d) Một nông dân muốn dựng hai trại chăn nuôi có cùng kích thước dọc theo

bờ rào khu đất của ông ta. Nếu chỉ tìm được 720 m rào thì các kích thước

phải là bao nhiêu để diện tích toàn bộ khu trại là lớn nhất.

e) Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng doanh thu của trung tâm phụ

thuộc vào thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên truyền

hình (y phút) với hàm doanh thu như sau

f(x, y) = 320x− 2x2 − 3xy − 5y2 + 540y + 2000.

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng và

trên truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu

đồng. Tìm x và y để doanh thu của trung tâm thương mại là lớn nhất.

CHƯƠNG 2

TÍCH PHÂN BỘI

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số

2.1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn

2.1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn

2.1.3 Bài tập

Bài 2.1.1. Tính các tích phân phụ thuộc tham số sau

a) I(y) =

∫ 1

0

sin(y2x)dx

b) I(x) =

∫ 1

0

yexydy.

c) I(x) =

∫ 1

0

(xy3 − 3x3y)dy.

d) I(y) =

∫ 1

0

x√

2x2y + y2 + 1dx.

Bài 2.1.2. Tính các giới hạn sau

a) lima→0

∫ 1+a

a

1

1 + x2 + a2dx.

b) lima→0

∫ 1

−1

√x2 + a2dx.

c) limn→+∞

∫ 1

0

1

1 +(1 +

x

x

)ndx.

d) lima→0

∫ e

1

ln(x+ x4 sin2 a)dx.

Bài 2.1.3. Tính đạo hàm các hàm số sau

a) F (x) =

∫ 1

0

e−xy2

dy. b) F (x) =

∫ cosx

sinx

ex√1−t2dt.

10


c) F (x) =

∫ 2+x

1+x

sinxt

tdt. d) F (x) =

∫ x

0

ln(1 + xt)

tdt.

Bài 2.1.4. Xét sự hội tụ đều của các tích phân sau

a) f(x) =

∫ +∞

0

arctan(x+ y)

1 + y2dy với x ∈ R.

b) f(y) =

∫ +∞

−∞

cosxy

1 + x2dx với y ∈ R.

c) f(y) =

∫ +∞

0

xye−xdx với y ∈ [a, b].

d) f(y) =

∫ +∞

0

e−xy sinxdx với y ∈ [a,+∞) và a > 0.

Bài 2.1.5. Chứng minh rằng

a) f(x) =

∫ +∞

0

cos y

1 + (x+ y)2dy liên tục và khả vi trên (0,+∞).

b) f(x) =

∫ +∞

0

arctan(x+ y)

1 + y2dy liên tục và khả vi trên R.

2.2 Tích phân 2 lớp

2.2.1 Khái niệm và tính chất

2.2.2 Cách tính tích phân 2 lớp

2.2.3 Bài tập

Bài 2.2.1. Tính các tích phân sau

a)

∫∫D

ex+ydxdy với D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

b)

∫∫D

(2x2 + xy − 4y2)dxdy với D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}.


c)

∫∫D

2x(1 + 3y2)dxdy với D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

d)

∫∫D

x sin ydxdy với D ={(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤

π

2

}.

Bài 2.2.2. Tìm cận của tích phân

∫∫D

f(x, y)dxdy với miền D được xác định

như sau

a) x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 4.

b) x+ y ≤ 1, x− y ≤ 1, x ≥ 0.

c) x ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1.

d) x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x.


a)

∫∫D

dxdy

(x+ y)3với D là miền xác định bởi x ≥ 1, y ≥ 1, x+ y ≤ 3.

b)

∫∫D

x2(y − x)dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = x2 và

x = y2.

c)

∫∫D

xydxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường xy = 1 và x+ y =5

2.

d)

∫∫D

(x − y)dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = 2 − x2 và

y = 2x− 1.


a)

∫∫D

(x+y)3(x−y)2dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường x+y = 1,

x− y = 1, x+ y = 3 và x− y = −1.

b)

∫∫D

xydxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y2 = x, y2 = 3x,

y = x và y = 2x.


c)

∫∫D

(x + y)dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = x, y = 2x,

y = x+ 1 và y = 2x+ 1.

d)

∫∫D

xdxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = x, y = 3 + x,

y = −2x+ 1 và y = −2x+ 5.


a)

∫∫D

√1− x2 − y2dxdy với D là miền được xác định bởi x ≥ 0, y ≥ 0 và

x2 + y2 ≤ 1.

b)

∫∫D

xydxdy với D là miền được giới hạn bởi x2 + y2 = 9.

c)

∫∫D

√x2 + y2dxdy với D là miền được xác định bởi 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.

d)

∫∫D

(1 + x2 + y2)dxdy với D là miền được xác định bởi x2 + y2 − 2x = 0.

2.3 Tích phân 3 lớp

2.3.1 Khái niệm và tính chất

2.3.2 Cách tính tích phân 3 lớp

2.3.3 Bài tập


a)

∫∫∫V

(x+y+z)dxdydz, V ={(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3

}.

b)

∫∫∫V

xyzdxdydz, V ={(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3

}.


c)

∫∫∫V

z2 sinxdxdydz, V ={(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤

π

2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

}.

d)

∫∫∫V

dxdydz

1− x− y, V =

{(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 5, 2 ≤ z ≤ 4

}.

Bài 2.3.2. Tìm cận lấy tích phân của tích phân

∫∫∫V

f(x, y, z)dxdydz với V

được xác định bởi

a) x2 + y2 ≤ 4, z ≥ 0, z ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y và y ≤ x√3.

b) x2 + y2 ≤ 2x, z ≥ 0 và z ≤ x2 + y2.

c) x2 + y2 + z2 ≤ 8 và x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4.

d) x2 + y2 + z2 ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 và z ≥ 0.


a)

∫∫∫V

xyzdxdydz với V là miền được giới hạn bởi x = 0, y = 0, z = 0 và

x+ y + z = 1.

b)

∫∫∫V

zdxdydz với V là miền được xác định bởi 0 ≤ x ≤1

4, x ≤ y ≤ 2x và

0 ≤ z ≤√

1− x2 − y2.

c)

∫∫∫V

(x2 + y2 + z2)dxdydz với V là miền được giới hạn bởi x = 0, y = 0,

z = 0 và x+ y + z = 1.

d)

∫∫∫V

(2x + 3y − z)dxdydz với V là miền được giới hạn bởi z = 0, z = 1,

x = 0, y = 0 và x+ y = 1.


a)

∫∫∫V

zdxdydz với V là miền được giới hạn bởi z =√x2 + y2 và z = 1.


b)

∫∫∫V

√x2 + y2dxdydz với V là miền được giới hạn bởi x2+y2 = z2 và z = 1.

c)

∫∫∫V

(x2 + y2)zdxdydz với V là miền được giới hạn bởi x2 + y2 = 1, z = 0

và z = 2.

d)

∫∫∫V

(x2+ y2)dxdydz với V là miền được giới hạn bởi x2+ y2 = 2z và z = 2.


a)

∫∫∫V

z2dxdydz với V là miền được xác định bởi x2 + y2 + z2 ≤ 9.

b)

∫∫∫V

xyzdxdydz với V là miền được xác định bởi x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0.

c)

∫∫∫V

√x2 + y2 + z2dxdydz với V là miền được xác định bởi x2+y2+z2 ≤ 2z.

d)

∫∫∫V

(x2 + y2)dxdydz với V là miền được xác định bởi 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4

và z ≥ 0.

2.4 Áp dụng

2.4.1 Áp dụng trong hình học

2.4.2 Áp dụng trong vật lí

2.4.3 Bài tập

Bài 2.4.1. Tính diện tích của các hình phẳng được giới hạn bởi các đường

a) y = x2, y = 4− x2.

b) x = 4y − y2, x+ y = 6.

c) y = x, x = 2y, x+ y = 2, x+3y = 2.

d) y2 = x, y = x.

Bài 2.4.2. Tính thể tích của các vật thể được giới hạn bởi các mặt sau


a) x2 + y2 = 1, z = 0, x+ y + z = 1.

b) z = x2 + y2 và z = 4.

c)x2

4+y2

9+z2

16= 1.

d) z =√x2 + y2 và z =

√1− x2 − y2.

Bài 2.4.3. Tính khối lượng của

a) Bản phẳng hình vuông S = [0, a] × [0, a] biết khối lượng riêng của nó tại

điểm (x, y) là ρ(x, y) = x+ y.

b) Bản phẳng hình tròn bán kính R biết khối lượng riêng của nó tại diểm

(x, y) là ρ(x, y) =√x2 + y2.

c) Vật thể được xác định bởi 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ a và khối lượng

riêng tại (x, y, z) là ρ(x, y, z) = x+ y + z.

d) Vật thể được xác định bởi x2 + y2 + z2 ≤ 2z và khối lượng riêng tại (x, y, z)

là ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

Bài 2.4.4. Tính trọng tâm của các vật thể đồng chất sau

a) Một phần tư hình phẳng được giới hạn bởi elipx2

a2+y2

b2= 1 nằm trong góc

phần tư thứ nhất.

b) Hình phẳng được xác định bởi y = 4− x2 và trục Ox.

c) Vật thể được xác định bởi z = x2 + y2, z = 0, x = 0, y = 0 và x+ y = 1.

d) Vật thể được xác định bởix2

a2+y2

b2+z2

c2= 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Bài 2.4.5. Tìm moment quán tính của

a) Bản phẳng được giới hạn bởi các đường y2 = 1 − x, x = 0, y = 0 đối với

trục Ox và Oy biết khối lượng riêng của nó tại (x, y) là ρ(x, y) = y.

b) Bản phẳng đồng chất được giới hạn bởi các đường x = 0,y = 0, x + y = 1

đối với gốc toạ độ O.

c) Vật thể đồng chất được xác định bởi 0 ≤ z ≤ 1 và x2 + y2 ≤ 2y đối với trục

Oz.

d) Vật thể đồng chất được xác định bởi x2 + y2 + z2 = 1 và z ≥ 0 đối với trục

Oy.

CHƯƠNG 3

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

3.1 Lí thuyết trường

3.1.1 Trường vô hướng

3.1.2 Trường vectơ

Bài tập

Bài 3.1.1. Tính đạo hàm của các trường vô hướng sau tại điểm M và theo

hướng −→u

a) f(x, y) = x2 − y2, M(1, 1), −→u tạo với chiều dương Ox một góc 60◦.

b) f(x, y) = ln(x + y), M(1, 1), −→u theo hướng tiếp tuyến với parabol y = x2

tại M .

c) f(x, y, z) = xy3z3, M(3, 1, 2), −→u =MM1 với M1(5,−1, 3).

d) f(x, y, z) =x2 − y2

2+ z, M(2, 1, 1), −→u = (1, 0, 2).

Bài 3.1.2. Tìm gradient của các trường vô hướng F tại M .

a) F (x, y, z) = x2 + y2 + z2, M = (1, 1, 1).

b) F (x, y, z) = x sin y + y sin z + z sinx, M = (1, 2, 1).

c) F (x, y, z) = xyz, M = (−1, 0, 2).

d) F (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 + 1), M = (1, 1, 1).

17


Bài 3.1.3. Tìm divergence của trường vectơ F

a)−→F = x2y

−→i + xy2

−→j + z2

−→k tại P (1, 2,−1).

b)−→F = 3x2y3z

−→i + 3x3y2z

−→j + x3y3

−→k tại P (1,−1, 1).

c)−→F = y2z

−→i + xy

−→j + (x2 + y2)

−→k tại P (−1, 2, 3).

d)−→F = xey

−→i + xy

−→j + z

−→k tại P (1, 0, 1).

Bài 3.1.4. Tìm rota của−→F

a)−→F = x

−→i + y

−→j + z

−→k .

b)−→F = xyz(x

−→i + y

−→j + z

−→k ).

c)−→F = xy

−→i + (y2 − z2)−→j + yz

−→k .

d)−→F = xz

−→i + yz

−→j + xyz

−→k .

Bài 3.1.5. Chứng minh các trường vectơ sau là trường bảo toàn và tìm các

hàm thế vị của nó

a)−→F (x, y, z) = x

−→i − 2y

−→j + 3z

−→k .

b)−→F (x, y, z) = (2xy − z2)−→i + (2yz + x2)

−→j − (2xz − y2)

−→k .

c)−→F (x, y, z) = y2

−→i + (2xy + e3z)

−→j + (3ye3z

−→k .

d)−→F (x, y, z) = (y + z)

−→i + (z + x)

−→j + (x+ y)

−→k .

3.2 Tích phân đường

3.2.1 Tích phân đường loại 1

3.2.2 Tích phân đường loại 2

Bài tập

Bài 3.2.1. Tính các tích phân đường loại 1 sau

a)

∫AB

(x− y)ds với AB là đoạn thẳng nối hai điểm A(1, 1) và B(3, 4).

b)

∫L

(x2 + y2)ds với L là biên của tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1) và B(1,−1).


c)

∫L

xyds với L là cung đường elipx2

a2+y2

b2= 1 nằm phía trên Ox.

d)

∫L

xds với L là cung parabol y = x2 từ O(0, 0) đến A(1, 1).


a)

∫L

(xy − 1)dx+ x2ydy với L là đoạn thẳng nối A(1, 0) và B(0, 2).

b)

∫ABC

(x− y)2dx+ (x+ y)2dy với ABC là đường gấp khúc nối A(0, 0), B(2, 2)

và C(4, 0).

c)

∫L

(2a−y)dx+xdy với L là đường x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2π,

a > 0.

d)

∫L

(x − y)dx + (x + y)dy với L là đường elipx2

y2+y2

b2= 1 ngược chiều kim

đồng hồ.

Bài 3.2.3. Tính các tích phân đường sau

a)

∫L

√2yds với L là đường x = t, y = 2t, z = 3t, 0 ≤ t ≤ 2.

b)

∫L

(x+ y + z)ds với L là đoạn thẳng nối A(1, 1, 1) và B(1, 2, 0).

c)

∫L

(y2 − z2)dx + 2yzdy − x2dz với L là đường x = t, y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1

theo chiều tăng của tham số t.

d)

∫L

ydx + zdy + xdz với L là đường đinh ốc x = a cos t, y = a sin t, z = bt,

0 ≤ t ≤ 2π theo chiều tăng của tham số t.

Bài 3.2.4. Dùng công thức Green tính các tích phân đường loại 2 sau

a)

∮L

(1−x2)ydx+(1+y2)xdy với L là đường tròn x2+y2 = 1 theo chiều dương.

b)

∮L

xdy − ydxx2 + y2

với L là đường tròn (x− 1)2 + (y − 1)2 = 1 theo chiều dương.


c)

∮L

(x+ y)2dx− (x2 + y2)dy với L là biên của tam giác ABC có đỉnh A(1, 1),

B(2, 3) và C(2, 5).

d)

∮L

(xy + x + y)dx − (xy + x − y)dy với L là biên của hình chữ nhật ABCD

có đỉnh A(0, 0), B(1, 0), C(1, 2), D(0, 2).


a)

∫ (2,3)

(−1,2)xdy + ydx.

b)

∫ (3,−4)

(0,1)

x2ydy + xy2dx.

c)

∫ (1,1)

(1,−1)(x− y)dx− (x− y)dy.

d)

∫ (1,π)

(0,0)

ex(x sin y + y cos y)dx+ ex(x cos y − y sin y)dy.

3.3 Tích phân mặt

3.3.1 Tích phân mặt loại 1

3.3.2 Tích phân mặt loại 2

Bài tập

Bài 3.3.1. Tính các tích phân mặt loại 1 sau

a)

∫∫S

ds

(1 + x+ z)2với S là mặt x+ y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất.

b)

∫∫S

(x+y+z)ds với S là nửa trên của mặt cầu tâm tại gốc toạ độ bán kính

1.

c)

∫∫S

(x2 + y2)ds với S là mặt nón z2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1.


d)

∫∫S

(x + y + z)ds với S là biên của hình lập phương 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

0 ≤ z ≤ 1.

Bài 3.3.2. Tính các tích phân mặt loại 2 sau

a)

∫∫S

xyzdxdy với S là mặt ngoài của hình cầu xác định bởi x2+ y2+ z2 = 1,

x ≥ 0 và y ≥ 0.

b)

∫∫S

xdydz + ydzdx + zdxdy với S là mặt ngoài của hình cầu xác định bởi

x2 + y2 + z2 = 1.

c)

∫∫S

(y− z)dydz+ (z− x)dzdx+ (x− y)dxdy với S là phía ngoài của mặt nón

xác định bởi x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1.

d)

∫∫S

x2dydz+ y2dzdx+ z2dxdy với S là phía ngoài của nửa trên mặt cầu xác

định bởi x2 + y2 + z2 = 1.

Bài 3.3.3. Áp dụng công thức Ostrogradski tính các tích phân mặt sau

a) Tính

∫∫S

xdydz + ydzdx+ zdxdy với S là mặt cong bao miền có thể tích là

V .

b)

∫∫S

x2dydz + y2dzdx + z2dxdy với S là phía ngoài của biên hình hộp chữ

nhật 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c.

c)

∫∫S

x3dydz+y3dzdx+z3dxdy với S là phía ngoài của mặt cầu x2+y2+z2 = 1.

d)

∫∫S

xzdydz+yxdzdx+zydxdy với S là phía ngoài của biên hình chóp x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0 và x+ y + z ≤ 1.

Bài 3.3.4. Áp dụng công thức Stokes tính các tích phân sau.

a) I =

∮C

ydx + zdy + xdz với C là đường x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0 chạy

ngược chiều kim đồng hồ.


b) I =

∮C

(y− z)dx+ (z− x)dy+ (x− y)dz với C là đường x2 + y2 = 1, x+ z = 1

chạy ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía trục dương.

c) I =

∮L

x2y3dx+ dy + zdz với L là đường tròn x2 + y2 = 1, z = 0 chạy ngược

chiều kim đồng hồ.

d) I =

∮C

(z− y)dx+ (x+ z)dy− (x+ y)dz với C là đường z = 4− x2− y2, z = 0

chạy ngược chiều kim đồng hồ.

3.4 Áp dụng

3.4.1 Áp dụng hình học

3.4.2 Áp dụng vật lí

Bài tập

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đậu Thế Cấp (chủ biên), Giải tích toán học, Nhà xuất bản giáo dục, 2007.

[2] Lê Sĩ Đồng (chủ biên), Toán cao cấp phần giải tích, Nhà xuất bản Giáo

dục, 2007.

[3] Trần Phước Đường (chủ biên), Bài giảng môn học vi tích phân B, Trường

Đại học Cần Thơ, Tài liệu lưu hành nội bộ, 2002.

[4] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển và Tạ Duy Phượng, Giải tích toán học

hàm số một biến, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2005.

[5] Nguyễn Đình Phư và Nguyễn Văn Nguyên, Toán cao cấp, Nhà xuất bản

Đại học Quốc gia, 2009.

[6] Lê Đình Thuý, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nhà xuất bản Đại học

Kinh tế quốc dân.

[7] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Toán học cao cấp, Tập 3, Phép tính giải tích

nhiều biến số, Nhà xuất bản giáo dục, 2005.

[8] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Bài tập Toán học cao cấp, Tập 3, Phép tính

giải tích nhiều biến số, Nhà xuất bản giáo dục, 2005.

23

b•it−p to†ncaoc⁄p3 · 2.2.2 c¡cht‰nht‰chph¥n2lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

Documents