b•igi…ng to†ncaoc⁄p2 - | blog toán · mænhåc:to¡ncaoc§p2 m¢mænhåc:ge4053...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

NGUYỄN VĂN DŨNG

BÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP 2

ĐỒNG THÁP - 2015

Mục lục

Lời nói đầu 3

Quy định kiểm tra đánh giá môn học 4

1 Phép tính vi phân hàm số một biến số 7

1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Các định lí giá trị trung bình, quy tắc L’Hospital và khai triểnTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Phép tính tích phân hàm số một biến số 27

1 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . 27

1.2 Tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . 28

2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Khái niệm tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1 Ứng dụng trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Ứng dụng trong khoa học kĩ thuật . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Lí thuyết chuỗi và phương trình vi phân 39

1 Chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của phương trình vi phân . . . . . 45

2.2 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1 Một số ứng dụng trong khoa học tự nhiên . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Một số ứng dụng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2

Lời nói đầu

Môn học Toán cao cấp 2 trình bày những kiến thức cơ bản về giới hạn, phép tính viphân, tích phân của hàm số một biến số, lí thuyết chuỗi và phương trình vi phân; rènluyện kĩ năng sử dụng những công cụ của phép tính vi phân, tích phân của hàm số mộtbiến số, lí thuyết chuỗi, phương trình vi phân trong thực hành giải toán và vận dụnggiải quyết một số vấn đề có liên quan; bồi dưỡng thái độ của người học về vai trò củanhững nội dung trên trong rèn luyện, phát triển tư duy và những áp dụng của nó trongchương trình đào tạo. Cụ thể, người học cần đạt được những mục tiêu sau đây khi kếtthúc môn học Toán cao cấp 2:

- Về kiến thức: Nắm được những kiến thức cơ bản về giới hạn, phép tính vi phân,tích phân của hàm số một biến số, lí thuyết chuỗi và phương trình vi phân.

- Về kĩ năng: Sử dụng được những công cụ của giới hạn, phép tính vi phân, tích phâncủa hàm số một biến số, lí thuyết chuỗi, phương trình vi phân trong thực hành giải toánvà vận dụng giải quyết một số vấn đề có liên quan.

- Về thái độ: Có được thái độ đúng đắn về vai trò của môn học trong rèn luyện, pháttriển tư duy và thấy được áp dụng của môn học này trong chương trình đào tạo.

Tài liệu được biên soạn dựa vào các tài liệu tham khảo [1], [2], [3].

Đồng Tháp ngày 9 tháng 12 năm 2015

Các tác giả

3

Quy định kiểm tra đánh giámôn học

Môn học: Toán cao cấp 2 Mã môn học: GE4053 Số tín chỉ: 2

Khối ngành: Sư phạm, Kinh tế, Kĩ thuật Trình độ: Cao đẳng, Đại học

Thời gian: 90 phút Hình thức thi: tự luận, đề kín

Mục tiêu kiểm tra đánh giá môn học

Lĩnh vực kiến thức Mức trí năng Nội dung

1. Giới hạn và đạohàm của hàm mộtbiến

1.1 Tập số thực và giớihạn dãy số

Nhớ Các giới hạn cơ bản của dãy số

Hiểu, vận dụng Khái niệm giới hạn dãy số và các tínhchất của giới hạn dãy số

Phân tích, tổnghợp, đánh giá

1.2 Giới hạn hàm số vàhàm số liên tục

Nhớ Các giới hạn cơ bản của hàm số

Hiểu, vận dụng Khái niệm giới hạn hàm số, hàm số liêntục và các tính chất của giới hạn hàmsố, hàm số liên tục


1.3 Đạo hàm và viphân

Nhớ Đạo hàm, vi phân các hàm cơ bản

Hiểu, vận dụng Các quy tắc tính đạo hàm, vi phânPhân tích, tổnghợp, đánh giá

4

1.4 Áp dụng NhớHiểu, vận dụng Các định lí giá trị trung bình và khai

triển TaylorPhân tích, tổnghợp, đánh giá

Khái niệm đạo hàm và các bài toánthực tế

2. Nguyên hàm và tíchphân xác định

2.1 Nguyên hàm Nhớ Nguyên hàm của các hàm số thườnggặp

Hiểu, vận dụng Các phương pháp tính nguyên hàmPhân tích, tổnghợp, đánh giá

2.2 Tích phân xácđịnh

Nhớ

Hiểu, vận dụng Khái niệm và các phương pháp tính tíchphân xác định


2.3 Tích phân suyrộng

Nhớ

Hiểu, vận dụng Khái niệm tích phân suy rộng và cácdấu hiệu hội tụ


2.4 Áp dụng Nhớ

Hiểu, vận dụng Áp dụng trong hình học


Áp dụng trong vật lí, kinh tế

3. Chuỗi và phươngtrình vi phân

3.1 Chuỗi Nhớ Sự hội tụ của các chuỗi đặc biệtHiểu, vận dụng Các dấu hiệu xét tính hội tụ của chuỗi

và phương pháp tìm miền hội tụ củachuỗi luỹ thừa


3.2 Phương trình viphân

Nhớ

Hiểu, vận dụng Các phương pháp giải phương trình viphân


5

3.3 Áp dụng NhớHiểu, vận dụngPhân tích, tổnghợp, đánh giá

Các áp dụng trong khoa học tự nhiênvà kinh tế

Cấu trúc đề thi kết thúc môn học

Mức trí năng Nội dung Số câu Số điểm

Nhớ Các giới hạn cơ bản của dãy số; cácgiới hạn cơ bản của hàm số; đạo hàm,vi phân các hàm cơ bản; nguyên hàmcủa các hàm số thường gặp; sự hội tụcủa các chuỗi đặc biệt

2 3

Hiểu, vận dụng Khái niệm giới hạn dãy số và các tínhchất của giới hạn dãy số; các quy tắctính đạo hàm, vi phân; các định lígiá trị trung bình và khai triển Tay-lor; các phương pháp tính nguyên hàm;khái niệm và các phương pháp tính tíchphân xác định; áp dụng tích phân tronghình học; các phương pháp giải phươngtrình vi phân

3 6


Khái niệm đạo hàm và các bài toán

thực tế; Áp dụng của tích phân toánhọc, khoa học tự nhiên, kĩ thuật và kinhtế; áp dụng của phương trình vi phântrong khoa học tự nhiên, kĩ thuật vàkinh tế

1 1

6

Chương 1

Phép tính vi phân hàm số mộtbiến số

1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến số

1.1 Giới hạn dãy số

1.1.1 Ví dụ. Giả sử có một cặp thỏ cứ mỗi cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp thỏ mới.Nếu mỗi cặp thỏ mới đó cũng lại sinh một cặp thỏ sau mỗi tháng và không có con thỏnào bị chết thì sau n tháng có bao nhiêu cặp thỏ?

Giải. Số cặp thỏ tháng thứ nhất là u1 = 1

Số cặp thỏ tháng thứ hai là u2 = 1 + 1 = 2

Số cặp thỏ tháng thứ ba là u3 = 1 + 2 = u1 + u2

. . .

Số cặp thỏ tháng thứ n là un = un−2 + un−1.

1.1.2 Ví dụ. Một người gửi tiết kiệm a đồng với lãi suất không đổi r% một tháng. Hỏitổng số tiền người đó nhận được sau n tháng?

Giải. Số tiền tháng thứ nhất là u1 = a

Số tiền tháng thứ hai là u2 = u1 + r.u1 = a.(1 + r)

Số tiền tháng thứ ba là u3 = u2 + r.u2 = a.(1 + r)2

. . .

Số tiền tháng thứ n là un = un−1 + r.un−1 = a.(1 + r)n.

1.1.3 Ví dụ. Một cái cây trong 10 năm đầu mỗi năm cao thêm 1 m. Từ năm thứ 11trở đi cây đó cao thêm một nửa chiều cao tăng thêm của năm trước đó. Hãy tính chiềucao tối đa của cây đó.

7

Hình 1.1: Tính diện tích hình tròn

1.1.4 Định nghĩa (Dãy số). Cho ánh xạ u : N∗ −→ R. Khi đó các giá trị u(n) = unvới mọi n ∈ N∗, được gọi là một dãy số và được kí hiệu là {un} hay u1, u2, . . . , un, . . ..

Ở đây un được gọi là số hạng thứ n của dãy số.

Một số khái niệm thường gặp liên quan đến dãy số.

1.1.5 Định nghĩa. Giả sử {un} là một dãy số. Khi đó

1. {un} được gọi là một dãy số tăng nếu un ≤ un+1 với mọi n ∈ N∗.

2. {un} được gọi là một dãy số giảm nếu un ≥ un+1 với mọi n ∈ N∗.

3. Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi là dãy đơn điệu.

4. {un} được gọi là một dãy số bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho un ≤ M với mọin ∈ N∗.

5. {un} được gọi là một dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho un ≤M với mọin ∈ N∗.

6. {un} được gọi là một dãy số bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới, một cáchtương đương, tồn tại M ≥ 0 sao cho |un| ≤M với mọi n ∈ N∗.

1.1.6 Ví dụ. 1. un = c với mọi n ∈ N∗ với c ∈ R không đổi là một dãy đơn điệu.

2. un = n với mọi n ∈ N∗ hay 1, 2, 3, . . . , n, . . . là một dãy tăng, không bị chặn trên,bị chặn dưới bởi 1.

3. un = 1nvới mọi n ∈ N∗ hay 1, 1

2, 1

3, . . . , 1

n, . . . là một dãy giảm, bị chặn trên bởi 1,

bị chặn dưới bởi 0.

4. un = (−1)n với mọi n ∈ N∗ hay −1, 1,−1, 1, . . . (−1)n, . . . là một dãy không đơnđiệu, bị chặn dưới bởi -1, bị chặn trên bởi 1.

Để tính diện tích của hình tròn, người Hi Lạp cổ đại dùng “phương pháp vét kiệt”:Nội tiếp hình tròn bởi một đa giác đều và tăng dần số cạnh của đa giác, khi đó diện tíchđa giác dần về một giá trị, đó là diện tích của hình tròn. Xem Hình 1.1.

8

1.1.7 Định nghĩa (Giới hạn dãy số). Giả sử {un} là một dãy số thực.

1. Dãy {un} được gọi là có giới hạn l ∈ R nếu với mỗi ε > 0 tồn tại n0 > 0 sao cho|un − l| < ε với mọi n ≥ n0. Kí hiệu lim

n→∞un = l hoặc limun = l hoặc un → l.

2. Dãy {un} được gọi là có giới hạn +∞ nếu với mỗi N > 0 tồn tại n0 > 0 sao choun > N với mọi n ≥ n0. Kí hiệu lim

n→∞un = +∞ hoặc limun = +∞ hoặc un → +∞.

3. Dãy {un} được gọi là có giới hạn −∞ nếu với mỗi N > 0 tồn tại n0 > 0 saocho −un > N với mọi n ≥ n0. Kí hiệu lim

n→∞un = −∞ hoặc limun = −∞ hoặc

un → −∞.

4. Dãy {un} được gọi là hội tụ nếu nó có giới hạn l ∈ R, ngược lại, dãy {un} đượcgọi là phân kì.

1.1.8 Ví dụ. Chứng minh rằng

1. lim c = c.

2. limn = +∞.

3. lim(1− n) = −∞.

4. Dãy (−1)n với mọi n ∈ N∗ là dãy phân kì.

5. lim 1nk

= 0 với k > 0.

6. lim qn =

0 nếu − 1 < q < 11 nếu q = 1

+∞ nếu q > 1không tồn tại nếu q ≤ −1.

1.1.9 Mệnh đề. Giả sử {un} là một dãy số và l ∈ R.

1. Nếu limun = l thì l là duy nhất.

2. Nếu {un} hội tụ thì {un} bị chặn.

3. (Bolzano-Weierstrass) Nếu {un} bị chặn thì tồn tại dãy con {unk} hội tụ.

4. Nếu {un} tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới thì {un} hội tụ.

1.1.10 Ví dụ. Chứng minh rằng các dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của nó.

1. un =√

2 + . . .√

2.

2. vn+1 = 12

(vn + 2

vn

).

9

1.1.11 Ví dụ. Chứng minh rằng tồn tại lim(

1 + 1n

)n. Giới hạn này được kí hiệu là e.

Người ta chứng minh được e là một số vô tỉ, e ' 2, 71828.

1.1.12 Mệnh đề. 1. (Tiêu chuẩn dãy con) limun = l khi và chỉ khi limunk = l vớimọi dãy con {unk} của dãy {un}, ở đây l ∈ R.

2. (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy {un} hội tụ khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại n0 saocho |un − um| < ε với mọi n,m ≥ n0.

1.1.13 Mệnh đề (Phép toán số học). Giả sử limun = u, lim vn = v, ở đây u, v ∈ R vàα ∈ R. Khi đó

1. Nếu tồn tại u+ v thì lim(un + vn) = u+ v.

2. Nếu tồn tại u.v thì lim(un.vn) = u.v. Đặc biệt nếu tồn tại α.u thì lim(α.un) = α.u.

3. Nếu tồn tại u− v thì lim(un − vn) = u− v.

4. Nếu tồn tại uvvà un

vnthì lim un

vn= u

v.

5. lim |un| = |u|.

6. Nếu tồn tại k√u thì lim k

√un = k

√u.

1.1.14 Mệnh đề. Giả sử {un}, {vn}, {wn} là những dãy số thực và u, v, l ∈ R. Khi đó

1. (Tính bảo toàn thứ tự) Nếu limun = u, lim vn = v và un ≤ vn với mọi n ∈ N∗ thìu ≤ v.

2. (Nguyên lí kẹp) Nếu limun = limwn = l và un ≤ vn ≤ wn với mọi n ∈ N∗ thìlim vn = l.

1.2 Giới hạn hàm số

Như chúng ta đã biết, giới hạn có trong việc tìm tiếp tuyến của một đường conghoặc tìm vận tốc của một vật thể. Trong mục này chúng ta sẽ quan tâm đến khái niệmgiới hạn tổng quát. Giới hạn hàm số là mô hình toán học mô tả quá trình khi x dần tớix0 thì f(x) dần tới giá trị cố định L nào đó.

1.2.1 Ví dụ. Xét hàm số f(x) = x2. Khi x đủ gần 2 nhưng không bằng 2, ta thấy f(x)

10

đủ gần 4.

x f(x)

1 1

1.5 2.25

1.75 3.0625

1.85 3.4225

1.9 3.61

1.95 3.8025

1.98 3.9204

1.99 3.9601.

Tổng quát lên, giả sử hàm số f(x) xác định khi x gần với số a. Chúng ta viếtlimx→a

f(x) = L và nói “giới hạn của f(x), khi x dần về a, là L” nếu giá trị của f(x) đủ

gần L khi x đủ gần a nhưng không bằng a. Một cách hình ảnh, giá trị f(x) dần về Lkhi x dần về a nhưng x 6= a. Chúng ta cũng viết f(x)→ L khi x→ a. Để diễn tả f(x)đủ gần số thực L người ta sử dụng bất đẳng thức |f(x)− L| < ε với mọi ε > 0 đủ nhỏ.Để diễn tả số thực f(x) đủ gần ∞ người ta sử dụng bất đẳng thức |f(x)| > M với mọiM > 0 đủ lớn.

Một cách chính xác, chúng ta có định nghĩa sau.

1.2.2 Định nghĩa (Giới hạn hàm số). 1. Giả sử f là một hàm số xác định trên(a, b) \ {x0} với x0 ∈ [a, b]. Khi đó hàm số f(x) được gọi là có giới hạn L khix tiến tới x0, kí hiệu là lim

x→x0f(x) = L, nếu với mỗi ε > 0 (đủ nhỏ) tồn tại δ > 0

sao cho |f(x)− L| < ε với mọi x ∈ (a, b) mà 0 < |x− x0| < δ.

2. limx→x0

f(x) = +∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại δ > 0 sao cho f(x) > M với

mọi x ∈ (a, b) mà 0 < |x− x0| < δ.

3. limx→x0

f(x) = −∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại δ > 0 sao cho −f(x) > M

với mọi x ∈ (a, b) mà 0 < |x− x0| < δ.

4. limx→+∞

f(x) = L nếu với mọi ε > 0 (đủ nhỏ) tồn tại N > 0 sao cho |f(x)− L| < ε

với mọi x ∈ (a,+∞) mà x > N .

5. limx→−∞

f(x) = L nếu với mọi ε > 0 (đủ nhỏ) tồn tại N > 0 sao cho |f(x)− L| < ε

với mọi x ∈ (−∞, b) mà −x > N .

6. limx→+∞

f(x) = +∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại N > 0 sao cho f(x) > M


7. limx→+∞

f(x) = −∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại N > 0 sao cho −f(x) > M


11

8. limx→−∞

f(x) = +∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại N > 0 sao cho f(x) > M

với mọi x ∈ (−∞, b) mà −x > N .

9. limx→−∞

f(x) = −∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại N > 0 sao cho −f(x) > M

với mọi x ∈ (−∞, b) mà −x > N .

10. limx→x+0

f(x) = L, nếu với mỗi ε > 0 (đủ nhỏ) tồn tại δ > 0 sao cho |f(x) − L| < ε

với mọi x ∈ (x0, b) mà 0 < |x− x0| < δ.

11. limx→x−0

f(x) = L, nếu với mỗi ε > 0 (đủ nhỏ) tồn tại δ > 0 sao cho |f(x) − L| < ε

với mọi x ∈ (a, x0) mà 0 < |x− x0| < δ.

12. limx→x+0

f(x) = +∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại δ > 0 sao cho f(x) > M với

mọi x ∈ (x0, b) mà 0 < |x− x0| < δ.

13. limx→x−0

f(x) = −∞ nếu với mọi M > 0 (đủ lớn) tồn tại δ > 0 sao cho −f(x) > M

với mọi x ∈ (a, x0) mà 0 < |x− x0| < δ.

1.2.3 Ví dụ. Tìm L = limx→x0

f(x) biết

1. f(x) = 1, x0 = 0.

2. f(x) = x, x0 = 1.

3. f(x) = x2, x0 = −1.

4. f(x) = sinx, x0 = 0.


1. limx→+∞

c = c

2. limx→−∞

c = c.

3. limx→+∞

x = +∞.

4. limx→−∞

x = −∞.

5. limx→0

1x2

= +∞.

6. limx→+∞

1x

= limx→−∞

1x

=

0.

1.2.5 Nhận xét. Các tính chất của giới hạn hàm số được phát biểu cho trường hợplimx→x0

f(x) = L với x0, L ∈ R. Khi đó ta mặc định hàm số xác định trên (a, b) \ {x0} với

x0 ∈ [a, b]. Các trường hợp giới hạn hàm số khác được phát biểu một cách tương tự.

Chúng ta có thể đặc trưng giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số như sau.

1.2.6 Mệnh đề (Đặc trưng giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số). Giả sử f là một hàmsố xác định trên (a, b) \ {x0} với x0 ∈ [a, b]. Khi đó lim

x→x0= L khi và chỉ khi với mỗi

{xn} ⊂ (a, b) \ {x0} và limn→∞

xn = x0 ta có limn→∞

f(xn) = L.

12

Một số tính chất cơ bản của giới hạn hàm số được phát biểu như sau.

1.2.7 Mệnh đề. 1. (Tính duy nhất) Giới hạn hàm số, nếu tồn tại, là duy nhất.Nghĩa là, nếu lim

x→x0f(x) = L1 và lim

x→x0f(x) = L2 thì L1 = L2.

2. (Tính bảo toàn thứ tự) Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x đủ gần x0 và limx→x0

f(x) = L1,

limx→x0

g(x) = L2 thì L1 ≤ L2.

3. (Nguyên lí kẹp) Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x đủ gần x0 và limx→x0

f(x) =

limx→x0

h(x) = L thì limx→x0

g(x) = L.

4. (Phép toán số học) Nếu limx→x0

f(x) = L1 và limx→x0

g(x) = L2 thì

limx→0

[f(x) + g(x)

]= L1 + L2, lim

x→0

[f(x)− g(x)

]= L1 − L2

limx→0

[f(x).g(x)

]= L1.L2, lim

x→0

f(x)

g(x)=L1

L2

với f(x) 6= 0, L2 6= 0.

5. Nếu limx→x0

f(x) = L thì limx→x0

|f(x)| = |L|.

6. Nếu limx→x0

f(x) = L1, 0 < L1 6= 1 và limx→x0

g(x) = L2 thì limx→x0

f(x)g(x) = LL21 .

Một số giới hạn hàm số cơ bản được cho bởi ví dụ sau.

1.2.8 Ví dụ. Chứng tỏ rằng

1. limx→+∞

(1 + 1

x

)x= e = lim

x→−∞

(1 + 1

x

)x.

2. limx→0

sinxx

= 1.

3. limx→0

tanxx

= 1.

4. limx→0

1−cosxx2

= 12.

5. limx→0

ex−1x

= 1.

6. limx→0

ln(1+x)x

= 1.

7. limx→0

ax−1x

= ln a.

8. limx→0

(1+x)α−1x

= α.

1.3 Hàm số liên tục

Trong mục này, chúng ta sẽ xét mô hình toán học của những quá trình mà nhữngthay đổi nhỏ ở đầu vào dẫn đến những thay đổi nhỏ ở đầu ra. Nói cách khác, đó lànhững quá trình f(x) mà khi x đủ gần x0 thì f(x) đủ gần f(x0).

1.3.1 Ví dụ. 1. Kí hiệu h(t) là chiều cao của một cây trồng tại thời điểm t. Khi thờigian t gần với thời điểm t0 nào đó thì chiều cao h(t) gần với chiều cao h(t0) tạithời điểm t0.

13

2. Kí hiệu v(t) là vận tốc của một vật thể tại thời điểm t. Khi thời gian t gần vớithời điểm t0 nào đó thì vận tốc v(t) gần với vận tốc v(t0) tại thời điểm t0.

3. Kí hiệu M(t) là số tiền trong tài khoản ATM của một người tại thời điểm t. Khinạp tiền hoặc rút tiền tại thời điểm t0 thì số tiềnM(t) thay đổi đột ngột vềM(t0).Do đó thời gian t gần với thời điểm t0 nhưng số tiền M(t) không gần với số tiềnM(t0) tại thời điểm t0.

1.3.2 Định nghĩa (Hàm số liên tục). 1. Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a, b) vàx0 ∈ (a, b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim

x→x0f(x) = f(x0), nghĩa

là, với mỗi ε > tồn tại

2. Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu f(x) không liên tục tại x0. Hàmf(x) được gọi là liên tục trên (a, b) nếu f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a, b).

3. Hàm số f(x) xác định trên [x0, b) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu limx→x+0

f(x) =

f(x0).

4. Hàm số f(x) xác định trên (a, x0] được gọi là liên tục trái tại x0 nếu limx→x−0

f(x) =

f(x0).

5. Hàm f(x) được gọi là liên tục trên [a, b] nếu f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a, b), liêntục phải tại a và liên tục trái tại b.

Khi nói đến tính liên tục của một hàm số ta mặc định là tính liên tục của hàm sốtrên miền xác định của nó.

1.3.3 Ví dụ. Chứng tỏ rằng các hàm số sau liên tục.

1. f(x) = c.

2. f(x) = x.

3. f(x) = sin x.

4. f(x) = |x|.

1.3.4 Nhận xét. Vì hàm số liên tục là một trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm sốkhi L = f(x0) nên hàm số liên tục có đầy đủ tính chất của giới hạn hàm số.

Một số tính chất của hàm số liên tục được phát biểu như sau.

1.3.5 Mệnh đề. 1. Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại x0 thì f(x)± g(x),

f(x)g(x), f(x)g(x)

với g(x) 6= 0 là những hàm liên tục tại x0.

2. Nếu tồn tại hàm hợp g ◦ f(x) và f(x) liên tục tại x0, g(y) liên tục tại y0 = f(x0)thì hàm hợp g ◦ f(x) liên tục tại x0.

3. Nếu f(x) là một hàm số liên tục trên (a, b) và đơn điệu chặt trên (a, b) thì tồn tạihàm số ngược f−1(y) của f(x) và f−1(y) là một hàm liên tục và đơn điệu chặttrên f(a, b).

14

4. Các hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó.

Kết quả sau thường được sử dụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phươngtrình f(x) = 0.

1.3.6 Mệnh đề (Giá trị trung bình). 1. Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên [a, b]và f(a)f(b) < 0. Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.

2. Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên [a, b] và α nằm giữa f(a) và f(b). Khi đótồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = α.

1.3.7 Mệnh đề (Weierstrass). Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó f(x)đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a, b], nghĩa là tồn tại c, d ∈ [a, b] sao chof(c) = max

x∈[a,b]f(x) và f(d) = min

x∈[a,b]f(x).

1.3.8 Nhận xét (Thuật toán tìm nghiệm gần đúng). Giả sử f(x) liên tục và đơn điệutrên [a, b]. Nếu f(a)f(b) < 0 thì phương trình có duy nhất nghiệm c ∈ (a, b).

1. Đặt x1 = a+b2. Tính f(x1).

2. Nếu f(x1) = 0 thì c = x1. Nếu f(x1) 6= 0 thì

(a) Nếu f(x1)f(a) < 0 thì c ∈ (a, x1). Đặt x2 = a+x12

rồi xét tương tự như

bước (1).

(b) Nếu f(x1)f(b) < 0 thì c ∈ (x1, b). Đặt x2 = b+x12

rồi xét tương tự như bước (1).

Thực hiện quá trình trên ta sẽ nhận được nghiệm chính xác c hoặc nghiệm gần đúng xncủa phương trình với sai số |c− xn| ≤ b−a

2n.

2 Đạo hàm và vi phân

Trong mục này chúng ta tìm hiểu về phép tính vi phân, nội dung mô tả sự thayđổi của một đại lượng trong mối quan hệ với một đại lượng khác. Khái niệm trung tâmcủa phép tính vi phân là đạo hàm, được xây dựng từ vận tốc tức thời và hệ số góc củatiếp tuyến. Chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính đạo hàm và sử dụng đạo hàm vào giải quyếtnhững bài toán liên quan đến tỉ lệ số gia và xấp xỉ hàm số.

Người đầu tiên tính toán một cách tường minh ý tưởng giới hạn và đạo hàm là IsaacNewton trong những những năm 1660. Tuy nhiên, như Newton đã nói “Nếu tôi nhìnxa hơn người khác thì do tôi đứng trên vai những người khổng lồ”. Hai trong số những“người khổng lồ” đó là Pierre Fermat và Isaac Barrow.

15

2.1 Đạo hàm

2.1.1 Ví dụ (Tiếp tuyến của đường cong). Giả sử đường cong C có phương trìnhy = f(x). Để tìm tiếp tuyến với C tại điểm P (a, f(a)), chúng ta xem xét điểm Q(x, f(x))gần với P với x 6= a và tính hệ số góc mPQ của cát tuyến PQ

mPQ =f(x)− f(a)

x− a.

Cho Q dần về P dọc theo C bằng cách cho x dần về a. Nếu mPQ dần về một giá trị mthì ta gọi đường thẳng qua P với hệ số góc m là tiếp tuyến của C tại P . Một cách hìnhảnh, tiếp tuyến của C tại P là giới hạn của cát tuyến PQ khi Q dần về P .

2.1.2 Ví dụ. 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của parabola y = x2 tại điểm P (−1, 1).

2. Tìm công thức f ′(x) của hàm số f(x) = x2 + x và minh hoạ đồ thị f(x) và f ′(x).

2.1.3 Ví dụ (Vận tốc tức thời). Giả sử một vật thể chuyển động theo phương trìnhs = f(t) với s là quãng đường đi được tại thời điểm t. Hàm số f mô tả chuyển độngcủa vật thể được gọi là hàm quỹ đạo (hàm vị trí) của vật thể. Trong khoảng thời giantừ t = a đến t = a + h, quãng đường đi được là f(a + h)− f(a). Khi đó vận tốc trungbình của chuyển động trong khoảng thời gian này là

vận tốc trung bình =quãng đường

thời gian=f(a+ h)− f(a)

h.

Công thức này tương tự như hệ số góc của tiếp tuyến trong Ví dụ 2.1.1. Để tính vậntốc của vật thể ngay tại thời điểm a, cho h dần về 0 ta có

v(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h.

2.1.4 Ví dụ. Ném quả bóng theo phương thẳng đứng từ sân thượng một ngôi nhà cao200m.

1. Hỏi vận tốc của quả bóng tại thời điểm sau khi ném 10 giây?

2. Hỏi vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất?

Giới hạn có dạng tương tự như trong những ví dụ trên xuất hiện khi ta tính tỉ lệ củasố gia trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên, kĩ thuật và kinh tế, thậm chí là trongkhoa học xã hội. Chẳng hạn, tỉ lệ số gia trong một phản ứng hoá học, chi phí cận biêntrong kinh tế. Vì loại giới hạn này có mặt ở nhiều lĩnh vực khác nhau, nó được đặt tênvà kí hiệu riêng.

2.1.5 Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn limh→0

f(a+h)−f(a)h

thì giới hạn này được gọi là đạo

hàm của hàm số f tại a, kí hiệu là f ′(a)

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

∆x→0

∆y

∆x.

16

Ở đây ∆x = x− a và ∆y = f(x)− f(a) = f(a+ ∆x)− f(a) lần lượt được gọi là số giađối số và số gia hàm số. Khi cho a thay đổi thì với mỗi giá trị a ta có duy nhất giá trịf ′(a). Khi đó hàm số f ′(x) được gọi là đạo hàm của hàm số f .

Đạo hàm bên trái của hàm f(x) tại a: f ′(a−) = limx→a−

f(x)−f(a)x−a .

Đạo hàm bên phải của hàm f(x) tại a: f ′(a+) = limx→a+

f(x)−f(a)x−a .

Hàm số f(x) có đạo hàm trên (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi x ∈ (a, b); hàm sốf(x) có đạo hàm trên [a, b] nếu nó có đạo hàm trên (a, b) và có đạo hàm bên phải tại a,đạo hàm bên trái tại b. Đạo hàm của f(x) trên tập X được định nghĩa tương tự.

Kí hiệu X = {x : f(x) có đạo hàm tại x} và f ′ : X −→ R đặt tương ứng x với f ′(x)thì f ′ được gọi là đạo hàm của f .

Hàm số có đạo hàm còn được gọi là hàm khả vi.

2.1.6 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2 tại a.

2.1.7 Ví dụ. Một nhà máy chế biến gạo với chi phí chế biến x kg gạo là f(x) đồng.

1. Ý nghĩa của f ′(x) là gì? Đơn vị của f ′(x) là gì?

2. Biểu thức f ′(1000) = 9 diễn tả điều gì?

3. Hãy so sánh f ′(10), f ′(100) và f ′(1000).

2.1.8 Nhận xét (Ý nghĩa của đạo hàm). Đạo hàm f ′(x0) đặc trưng cho sự thay đổicủa hàm f tại x0. Cụ thể

1. Ý nghĩa hình học: đạo hàm f ′(a) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = f(x)tại điểm (a, f(a)).

2. Ý nghĩa cơ học: đạo hàm s′(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại t0.

Mệnh đề 2.1.9 và Ví dụ 2.1.10 chứng tỏ rằng tính khả vi mạnh hơn tính liên tục.

2.1.9 Mệnh đề (Mối quan hệ giữa tính khả vi và tính liên tục). Nếu f(x) có đạo hàmtại x0 thì f(x) liên tục tại x0.

Ví dụ sau chứng tỏ chiều ngược lại của Mệnh đề 2.1.9 không xảy ra.

2.1.10 Ví dụ (Hàm liên tục tại x0 mà không có đạo hàm tại x0). Hàm f(x) = |x|,x ∈ R, liên tục tại 0 mà không có đạo hàm tại 0.

Để nghiên cứu đạo hàm của hàm số, chúng ta cần xác định đạo hàm của các hàm sơcấp cơ bản, thiết lập các quy tắc đạo hàm liên quan đến các quy tắc xây dựng hàm số.

17

2.1.11 Mệnh đề (Phép toán số học của đạo hàm). Nếu các hàm số f(x) và g(x) có

đạo hàm tại x0 thì các hàm số f(x)± g(x), f(x)g(x), f(x)g(x)

với g(x) 6= 0 cũng có đạo hàm

tại x0 và

1. (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g′(x0).

2. (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).

3.(fg

)′(x0) = f ′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)

g2(x0).

2.1.12 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm hợp). Nếu hàm y = y(u) có đạo hàm theo u vàu = u(x) có đạo hàm theo x thì hàm hợp y = y

(u(x)

)có đạo hàm theo x và y′(x) =

y′(u)u′(x).

2.1.13 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử y = f(x) đơn điệu nghiêm ngặttrên (a, b) và có đạo hàm tại x0 với f ′(x0) 6= 0. Khi đó hàm ngược x = f−1(y) có đạohàm tại y0 = f(x0) và (f−1)′(y0) = 1

f ′(x0).

2.1.14 Mệnh đề (Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản).

1. c′ = 0.

2. (xα)′ = αxα−1 với x > 0.

3. (ax)′ = ax ln a với a > 0, x ∈ R.

4. (ex)′ = ex với x ∈ R.

5. (loga x)′ = 1x ln a

với 0 < a 6= 1 vàx > 0.

6. (lnx)′ = 1xvới x > 0.

7. (sinx)′ = cosx với x ∈ R.

8. (cosx)′ = − sinx với x ∈ R.

9. (tanx)′ = 1cos2 x

với x 6= π2

+ kπ.

10. (cotx)′ = − 1sin2 x

với x 6= kπ.

11. (arcsinx)′ = 1√1−x2 với x ∈ (−1, 1).

12. (arccosx)′ = − 1√1−x2 với x ∈ (−1, 1).

13. (arctanx)′ = 11+x2

với x ∈ R.

14. (sinhx)′ = coshx với mọi x ∈ R.

15. (coshx)′ = sinhx với mọi x ∈ R.

2.1.15 Nhận xét. Rất nhiều hàm số được xây dựng bằng cách thực hiện các phép toánsố học, hợp thành, lấy hàm ngược các hàm số trong Mệnh đề 2.1.14 hữu hạn lần. Dođó, sử dụng Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.12, Mệnh đề 2.1.13, Mệnh đề 2.1.14 chúng tatính được đạo hàm của những hàm số dạng này, còn được gọi là hàm số sơ cấp.

2.1.16 Ví dụ. Tính đạo hàm các hàm số sau.

1. y = 1√1+3x

.

2. y = 3√

1 + ln x.

3. y = earccosx.

4. y = xcosx.

5. y = x2 3√2x−1(1+x2)2

.

2.1.17 Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số sau.

18

1. Hàm y = f(x) thoả mãn x2 + y2 = 1.

2. Hàm y = f(x) thoả mãn x3 + y3 = 6xy.

2.1.18 Định nghĩa (Đạo hàm cấp cao). Nếu f(x) có đạo hàm trên D thì f ′(x) là mộthàm trên D. Đạo hàm của hàm số f ′(x) tại x0 được gọi là đạo hàm cấp hai của hàmf(x) tại x0, kí hiệu là f ′′(x0).

Nếu f(x) có đạo hàm cấp n − 1 trên D thì f (n−1)(x) là một hàm trên D. Đạo hàmcủa hàm số f (n−1)(x) tại x0 được gọi là đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại x0, kí hiệu làf (n)(x).

Các khái niệm đạo hàm cấp cao khác được định nghĩa tương tự.

2.1.19 Ví dụ. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau.

1. y = c.

2. y = xn với n ∈ N.

3. y = eax.

4. y = sinx.

5. y = cosx.

6. y = lnx.

2.1.20 Nhận xét. Bản chất của đạo hàm cấp cao là đạo hàm. Do đó đạo hàm cấp caocó đầy đủ các tính chất của đạo hàm. Trong một số trường hợp cụ thể, công thức đạohàm cấp cao có thể tính toán tổng quát được.

2.1.21 Mệnh đề (Một số công thức cụ thể của đạo hàm cấp cao). Giả sử f(x) và g(x)có đạo hàm cấp n tại x. Khi đó f ± g, fg có đạo hàm cấp n tại x được tinh theo cáccông thức sau.

1. (f ± g)(n)(x) = f (n)(x) + g(n)(x).

2. Công thức Leibnitz: (fg)(n)(x) =n∑k=0

Cknf

(n−k)(x)g(k)(x) với Ckn = n!

k!(n−k)!.

2.2 Vi phân

2.2.1 Định nghĩa (Vi phân). Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm tại x0. Khi đó ánh xạtuyến tính df(x0) xác định bởi công thức df(x0)(h) = f ′(x0)h với mọi h ∈ R được gọi làvi phân của f(x) tại x0. Khi đó f được gọi là hàm khả vi tại x0.

Nếu f có vi phân tại mọi x ∈ X thì ánh xạ df đặt tương ứng x với df(x) được gọi làvi phân của f trên X. Khi đó f được gọi là khả vi trên X.

Nếu df có vi phân thì thì d(df) được gọi là vi phân cấp hai của f(x), kí hiệu là d2f .Như vậy

d2f(x) = d(df)(x) = (df)′(x)dx = f ′′(x)dx2.

Tương tự, dnf(x) = d(dn−1f)(x) = f (n)(x)dxn.

19

2.2.2 Nhận xét (Kí hiệu vi phân). Với f(x) = x, ta có dx0(h) = h. Do đó với f bấtkì, ta có df(x0)(h) = f ′(x0)dx0(h). Suy ra df(x0) = f ′(x0)dx0 với mọi x0. Do đó ta viết

df(x) = f ′(x)dx và f ′(x) =df(x)

dx.

Do đó, tính chất của vi phân được suy trực tiếp từ tính chất của đạo hàm.

2.2.3 Mệnh đề (Tính chất cơ bản của vi phân). Giả sử f và g là hai hàm có vi phântại x. Khi đó f ± g,fg và f

gvới g 6= 0 là hàm có vi phân tại x0 và

d(f ± g)(x0) = df(x0)± dg(x0)

d(fg)(x0) = f(x0)dg(x0)± g(x0)df(x0)

d(f

g)(x0) =

g(x0)df(x0)− f(x0)dg(x0)

g2(x0).

2.2.4 Nhận xét (Ứng dụng vi phân tính gần đúng). Với h đủ nhỏ, ta có f(x + h) −f(x0) ' df(x0)(h) hay

f(x0 + h)− f(x0) ' f ′(x0)h.

2.2.5 Ví dụ. Tính gần đúng các giá trị sau.

1. sin 46◦. 2.√

100.

3 Áp dụng

3.1 Các định lí giá trị trung bình, quy tắc L’Hospital và khaitriển Taylor

3.1.1 Định nghĩa (Cực trị địa phương). x0 được gọi là điểm cực đại địa phương củaf(x) nếu tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). x0 được gọilà điểm cực tiểu địa phương của f(x) nếu tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọix ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

Khi đó, f(x) được gọi là đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) tại x0. Cựcđại địa phương và cực tiểu địa phương của f(x) được gọi là cực trị của f(x).

3.1.2 Mệnh đề (Fermat). Nếu f(x) đạt cực trị địa phương tại x0 và tồn tại f ′(x0) thìf ′(x0) = 0.

3.1.3 Mệnh đề (Giá trị trung bình). 1. (Rolle) Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vitrên (a, b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = 0.

2. (Lagrange) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b)

sao cho f ′(c) = f(b)−f(a)b−a .

20

3. (Cauchy) Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g′(x) 6= 0 với mọi

x ∈ (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f ′(c)g′(c)

= f(b)−f(a)g(b)−g(a)

.

3.1.4 Nhận xét (Ý nghĩa của các định lí giá trị trung bình). Các định lí giá trị trungbình là công cụ để chứng minh quy tắc L’Hospital và khai triển Taylor.

Từ Định lí Lagrange, ta có công thức số gia giới nội

f(x0 + ∆x) ' f(x0) + f ′(x0 + θ0∆x)∆x

với θ0 ∈ (0, 1).

3.1.5 Ví dụ. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm

3.1.6 Ví dụ. Chứng minh các bất đẳng thức

3.1.7 Ví dụ. Tính gần đúng các giá trị sau

3.1.8 Mệnh đề (Quy tắc L’Hospital). Giả sử limx→x0

f(x)g(x)

có dạng vô định 00hoặc ∞∞ và

limx→x0

f ′(x)g′(x)

= l. Khi đó limx→x0

f(x)g(x)

= l.

Kết luận đúng nếu thay x0 bởi x+0 , x

−0 ,±∞ và thay l bởi ±∞.

3.1.9 Nhận xét (Ý nghĩa của quy tắc L’Hospital). Quy tắc L’Hospital dùng để khửdạng vô định 0

0, ∞∞ .

3.1.10 Ví dụ. Tính các giới hạn sau.

1. limx→a

ax−xax−a với a > 0.

2. limx→+∞

ex

x3.

3. limx→1

(xx−1− 1

lnx

).

4. limx→0+

x lnx.

5. limx→3

(x3

) 1x−3

.

6. limx→0+

xx.

3.1.11 Mệnh đề (Khai triển Taylor). Giả sử f(x) liên tục trên [a, b], có đạo hàm cấpn + 1 trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mỗi x ∈ [a, b], tồn tại c nằm giữa x0 và xsao cho

f(x) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1 (1.1)

= f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + . . .+

f (n)(x0)

n!(x− x0)n +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1.

3.1.12 Mệnh đề (Khai triển Mc Laurin). Giả sử f(x) liên tục trên [a, b], có đạo hàmcấp n + 1 trên (a, b) và 0 ∈ (a, b). Khi đó, với mỗi x ∈ [a, b], tồn tại c nằm giữa 0 và xsao cho

f(x) =n∑k=0

f (k)(0)

k!xk +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!xn+1 (1.2)

= f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 + . . .+

f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!xn+1.

21

3.1.13 Nhận xét (Ý nghĩa của khai triển Taylor). Với những điều kiện thích hợp, khaitriển Taylor xấp xỉ hàm f(x) với đa thức

Pn(x) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x−x0)k = f(x0)+

f ′(x0)

1!(x−x0)+

f ′′(x0)

2!(x−x0)2+. . .+

f (n)(x0)

n!(x−x0)n.

Do đó, chúng ta có thể chuyển một số giá trị, tính chất của f(x) qua đa thức Pn(x), đặcbiệt là trong tính toán giá trị của f(x).

3.1.14 Ví dụ. Khai triển Mc Laurin các hàm sau

1. f(x) = (1 + x)m với m ∈ N.

2. f(x) = ex.

3. f(x) = sinx.

4. f(x) = cos x.

5. f(x) = ln(1 + x).

6. f(x) =√

1 + x.

3.1.15 Ví dụ. Tính gần đúng các giá trị.

1. Tính gần đúng e với sai số 10−4.

2. Tính gần đúng sinx với |x| < π4và sai số 10−5.

3.2 Khảo sát hàm số

3.2.1 Mệnh đề (Tính đơn điệu của hàm số). Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a, b] vàkhả vi trên khoảng (a, b).

1. (Điều kiện cần) Nếu f(x) tăng (giảm) trên [a, b] thì f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0) với mọix ∈ (a, b).

2. (Điều kiện đủ) Nếu f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0) thì f(x) tăng (giảm) trên [a, b].

3.2.2 Ví dụ. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau

1. f(x) = c.

2. f(x) = ax+ b, a 6= 0.

3. f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0.

4. f(x) = sinx.

5. f(x) = cos x.

6. f(x) = loga x, 0 < a 6= 1.

7. f(x) = ax, a > 0.

8. f(x) = tan x.

3.2.3 Mệnh đề (Cực trị của hàm số). 1. (Điều kiện cần, xem Mệnh đề 3.1.2) Nếuf(x) đạt cực trị tại x0 và tồn tại f ′(x0) thì f ′(x0) = 0.

2. (Điều kiện đủ với đạo hàm cấp 1) Giả sử f(x) xác định trên khoảng (a, b), x0 ∈(a, b), f(x) có đạo hàm trên (a, x0) và (x0, b), f

′(x0) = 0 hoặc f(x) không có đạohàm tại x0.

22

(a) Nếu f ′(x) đổi dấu từ - qua + khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).

(b) Nếu f ′(x) đổi dấu từ + qua - khi x qua x0 thì x0 là điểm cực đại của f(x).

(c) Nếu f ′(x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 không là điểm cực trị của f(x).

3. (Điều kiện đủ với đạo hàm cấp cao) Giả sử f(x) xác định trên khoảng (a, b),x0 ∈ (a, b), f(x) có đạo hàm cấp n liên tục trên (a, x0) và (x0, b), f

′(x0) = . . . =f (n−1)(x0) = 0 và f (n)(x0) 6= 0.

(a) Nếu n chẵn thì x0 là điểm cực trị của f(x). Hơn nữa, nếu f (n)(x0) > 0 thìx0 là điểm cực tiểu; nếu f (n)(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

(b) Nếu n lẻ thì x0 không là điểm cực trị của f(x).

3.2.4 Ví dụ. Tìm cực trị của các hàm số sau.

1. f(x) = c.

2. f(x) = ax+ b, a 6= 0.

3. f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0.

4. f(x) = sinx.

5. f(x) = cos x.

6. f(x) = loga x, 0 < a 6= 1.

7. f(x) = ax, a > 0.

8. f(x) = tan x.

3.2.5 Ví dụ. Tìm cực trị của các hàm số sau.

1. y = 1− x4. 2. y = x4 − 4x3.

3.2.6 Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau.

1. f(x) = c.

2. f(x) = ax+ b, a 6= 0.

3. f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0.

4. f(x) = sinx.

5. f(x) = cos x.

6. f(x) = loga x, 0 < a 6= 1.

7. f(x) = ax, a > 0.

8. f(x) = tan x.

3.2.7 Ví dụ. 1. Tìm kích thước của một thùng hình trụ có thể tích 1000 lít sao chotiết kiệm nguyên liệu làm thùng nhất.

2. Diện tích hình chữ nhật với chiều dài 10 cm và chiều rộng 8 cm thay đổi với tốcđộ như thế nào nếu chiều dài tăng 2 cm /s và chiều rộng giảm 3 cm/s?

3. Một máy bay đang bay ngang với vận tốc 900 km/h ở độ cao 10 km. Hỏi khoảngcách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu thay đổi với tốc độ như thế nàokhi máy bay bay qua trạm?

4. Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox có phương trình x(t) = t2 − 4t+ 2.

(a) Tìm vận tốc của chất điểm khi t = 2, t = 4 và vận tốc trung bình giữa haithời điểm này.

(b) Khi nào thì chất điểm chuyển động sang trái, sang phải?

23

Bài tập

Bài 1.1. Tính các giới hạn dãy số sau

1. limn→+∞

n(n+1)√9n4+1

.

2. limn→+∞

(1

1.2+ 1

2.3+ ...+ 1

n(n+1)

).

3. limn→+∞

2n+3n+2−45+3n+1 .

4. limn→+∞

(−1)n sinnn2+1

.

5. = limn→+∞

√ncos10nn+1

.

6. = limn→+∞

(1√n2+1

+ 1√n2+2

+ ...+ 1√n2+n

).

Bài 1.2. Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng

1. limn→+∞

nn+1

= 1. 2. limx→1

(2x+ 4) = 6.

Bài 1.3. 1. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát là un = n+2n+1

. Chứng minh rằng

dãy số (un) đơn điệu giảm và bị chặn dưới.

2. Chứng minh rằng dãy số (un) hội tụ, với un = s in11.2

+ s in22.3

+ ...+ sinnn(n+1)

.

Bài 1.4. Tính các giới hạn hàm số sau

1. limx→−5

x2+2x−15x+5

.

2. limx→0

e2x−exx

.

3. limx→0

(1 + sin x)1x .

4. limx→2

ex−2−1x2−4

.

5. limx→0

(1+tanx1+sinx

) 1sin x .

Bài 1.5. Tính các giới hạn hàm số sau

1. limx→−∞

(√x2 + 5x+ x).

2. limx→+∞

(√x2 + 1− x).

3. limx→0

1−√

cos 2xx2

.

4. limx→0

√1+x sinx−1

x2.

5. limx→0

sinx√x+1−1

.

6. limx→1

sin(x−1)√x−1

.

7. limx→0

ex−e−x−2xx−sinx

.

8. limx→0

tanx−sinxx3

.

Bài 1.6. Xét tính liên tục tại x = 0 của các hàm số sau.

1. f(x) =

{sin 2xx

nếu x 6= 0

0 nếu x = 0.2. f(x) =

{x sin 1

xnếu x 6= 0

0 nếu x = 0.

Bài 1.7. 1. Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên R, với f(x) =

{4.3x nếu x < 0

2a+ x nếu x ≥ 0.

24

2. Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x = 0 với f(x) =

{ln(1+x2)

xnếu x 6= 0

m− 1 nếu x = 0.

Bài 1.8. Chứng minh rằng

1. Phương trình ex − x− 2 = 0 có nghiệm trên khoảng (1; 2).

2. Phương trình x = cosx có nghiệm.

3. Phương trình x = 1 + sinx có nghiệm trên khoảng (1; 2).

Bài 1.9. Xét sự tồn tại đạo hàm tại x = 1 của hàm số f(x) = |x− 1|.

Bài 1.10. Tính đạo hàm

1. f(x) = x10 sinx tại x = π.

2. f(x) =√

3ex + 1 tại x = 0.

3. f(x) = xx2+1

tại x = 0.

4. f(x) = x|x| tại x = 0.

Bài 1.11. Tính vi phân của các hàm số

1. f(x) = x10 sinx tại x = 0.

2. f(x) =√

3ex + 1 trên R.

3. f(x) = xx2+1

trên R.

4. f(x) = e2x sinx tại x ∈ R.

Bài 1.12. Dùng vi phân, tính gần đúng các giá trị sau.

1. e0,01. 2. ln(1, 1).

Bài 1.13. Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x) = e2x tại x ∈ R.

Bài 1.14. Doanh thu T (x) của một xí nghiệp được cho bởi T (x) = 1960 + x + 400x

với

x (triệu đồng) là giá của sản phẩm. Hỏi xí nghiệp phải bán sản phẩm với mức giá baonhiêu để doanh thu lớn nhất? Tìm doanh thu lớn nhất đó.

Bài 1.15. Doanh thu của một xí nghiệp được cho bởi T = 500− 40x+ xy (triệu đồng),trong đó x là số sản phẩm loại I và y là số sản phẩm loại II. Giả sử rằng xí nghiệp sảnxuất 200 sản phẩm. Tìm số sản phẩm mỗi loại mà xí nghiệp cần sản xuất để doanh thucủa xí nghiệp lớn nhất.

Bài 1.16. Doanh thu của xí nghiệp A khi sản xuất x sản phẩm là T (x) triệu đồng, vớiT (x) = 800 + 400x− x2.

1. Biết rằng T ′(x) là tốc độ biến thiên của T (x). Tính tốc độ biến thiên của doanhthu nếu số sản phẩm là 100.

2. Giả sử xí nghiệp A chỉ được phép sản xuất từ 100 đến 400 sản sản phẩm. Hỏi xínghiệp phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để doanh thu lớn nhất?

25

Bài 1.17. Một bể nước hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp đậy vàđược thiết kế có thể tích là 32 m3 Tìm kích thước của bể nước để tốn ít nguyên liệuthiết kế nhất.

Bài 1.18. 1. Chứng minh hàm số f(x) = x− x3 thỏa mãn các giả thiết của Định líLagrange trên đoạn [−2; 1]. Tìm điểm trung gian c ∈ (−2; 1) tương ứng.

2. Tìm a100 để x100 = a0 + a1(x− 1) + a2(x− 1)2 + ...+ a100(x− 1)100.

Bài 1.19. 1. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) = ex−x− 1 với x ∈ R đạt giá trị nhỏ nhấttại x = 0. Từ đó, chứng minh rằng ex ≥ x+ 1 với mọi x ∈ R.

2. Chứng minh rằng ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0.

Bài 1.20. Cho đa thức P (x) = x10 − 2x5 + 4x− 2.

1. Xấp xỉ P (x) bởi một biểu thức Q(x)chứa các lũy thừa đến bậc 3 của (x− 1).

2. Áp dụng kết quả Câu 1, tính gần đúng giá trị P (1, 1).

26

Chương 2

Phép tính tích phân hàm số mộtbiến số

1 Nguyên hàm và tích phân bất định

1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định

1.1.1 Định nghĩa (Nguyên hàm). 1. Hàm F (x) được gọi là một nguyên hàm củaf(x) trên X nếu F ′(x) = f(x) với mọi x ∈ X.

2. Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích phân bất định của f(x) và kí

hiệu là

∫f(x)dx.

1.1.2 Ví dụ. Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau.

1. f(x) = 0.

2. f(x) = C.

3. f(x) = sinx.

4. f(x) = x2.

1.1.3 Mệnh đề. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên X. Khi đó

1. Với mọi C ∈ R, F (x) + C là một nguyên hàm của f(x) trên X.

2. Mọi nguyên hàm của f(x) trên X đều có dạng F (x) + C với C ∈ R nào đó.

1.1.4 Nhận xét. 1. Với F (x) là một nguyên hàm của f(x),

∫f(x)dx = F (x) + C

và(∫

f(x)dx)′

= f(x).

2. Tính chất của tích phân bất định được suy ra từ tính chất của đạo hàm.

27

1.2 Tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân bất định

1.2.1 Mệnh đề (Tính chất cơ bản của tích phân bất định). 1. (Phép toán số học của

tích phân bất định)

∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx với k 6= 0.∫

(f(x)± g(x))dx =

∫f(x)d(x)±

∫g(x)dx.

2. (Tích phân bất định của hàm hợp) Nếu

∫f(x)dx = F (x) + C thì

∫f(u)du =

F (u) + C với u = u(x).

3. (Đổi biến số) Nếu u = u(x) là một hàm khả vi thì

∫f(u(x))u′(x)dx =

∫f(u)du.

4. (Tích phân bất định từng phần) Nếu u(x) và v(x) là hai hàm có u′(x), v′(x) liên

tục thì

∫udv = uv −

∫vdu.

1.2.2 Mệnh đề (Tích phân bất định của những hàm thường gặp).

1.

∫0dx = C.

2.

∫xαdx =

xα+1

α + 1+ C với α 6= −1,

x > 0.

3.

∫x−1dx = ln |x|+ C với x 6= 0.

4.

∫axdx =

ax

ln a+ C với 0 < a 6= 1.

5.

∫sinxdx = − cosx+ C.

6.

∫cosxdx = sinx+ C.

7.

∫1

cos2 xdx = tanx+ C.

8.

∫1

sin2 xdx = − cotx+ C.

9.

∫1

1 + x2dx = arctanx+ C.

10.

∫1√

1− x2dx = arcsinx+C với x ∈

(−1, 1).

1.2.3 Nhận xét. Để tính tích phân bất định chúng ta dùng các tính chất cơ bản biếnđổi tích phân bất định đó về tích phân của những hàm thường gặp. Một số tích phânbất định có kĩ thuật để biến đổi như tích phân các hàm hữu tỉ, tích phân các hàm vôtỉ, tích phân các hàm lượng giác, . . . Chúng ta cũng có thể sử dụng các phần mềm tínhtoán như Maple, Mathematica, . . . để tính tích phân bất định.

Lưu ý rằng có một số hàm có nguyên hàm không biểu diễn được dưới dạng các hàmsố sơ cấp, chẳng hạn f(x) = sinx

x, f(x) = cosx

x, f(x) = sinx2, f(x) = 1

lnx, f(x) = e−x

2,

. . .

1.2.4 Ví dụ. Tính các tích phân bất định sau.

28

1.

∫dx

1− x2.

2.

∫tanxdx.

3.

∫cotxdx.

4.

∫dx

a2 − x2.

5.

∫dx√a2 − x2

.

6.

∫dx

a2 + x2.


1.

∫f ′(x)

f(x)dx.

2.

∫f ′(x)√f(x)

dx.

3.

∫cotxdx.

4.

∫dx√x2 + a

.

5.

∫ √x2 + adx.

6.

∫ √a2 − x2dx.


1.

∫x2(x4 + 2)5dx. 2.

∫ √1− x2dx.


1.

∫x arctanxdx.

2.

∫xexdx.

3.

∫x2 lnxdx.

4.

∫(2x+ 3) cosxdx.


1.

∫x+ 1

x(x− 1)2dx.

2.

∫1− x2

x(x2 + 1)dx.

3.

∫ √2√

x3 − 1dx.

4.

∫dx√x2 + 1

dx.

2 Tích phân xác định

2.1 Khái niệm tích phân xác định

2.1.1 Ví dụ (Tính diện tích hình thang cong). Xét hình thang cong aABb được giớihạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, y = 0 và đồ thị củ hàm số liên tục y = f(x)không âm trên [a, b].

Chia [a, b] bởi x0 = a < x1 < . . . < xn = b. Chia aABb thành n hình thangcong nhỏ có đáy ∆xi = xi − xi−1, i = 1, . . . , n với diện tích ∆Si. Với ∆xi đủ nhỏ,xấp xỉ ∆Si với f(ξi)∆xi với ξi ∈ (xi−1, xi). Từ ∆Si ' f(ξi)∆xi, i = 1, . . . , n suy ran∑i=1

∆Si 'n∑i=1

f(ξi)∆xi.

29

Nếu tổngn∑i=1

f(ξi)∆xi dần tới giá trị S khi maxi=1,...,n

∆xi dần về 0 thì S được gọi là diện

tích của hình thang cong aABb.

2.1.2 Định nghĩa (Tích phân xác định). Giả sử f(x) là một hàm xác định trên [a, b]với a < b. Chia [a, b] bởi x0 = a < x1 < . . . < xn = b. Với mỗi i = 1, . . . , n, đặt

∆xi = xi − xi−1, chọn ξi ∈ (xi−1, xi) và lập tổng tích phân Sn =n∑i=1

f(ξi)∆xi. Nếu tồn

tại giới hạn limmax

i=1,...,n∆xi→0

Sn = I thì I được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a, b].

Nghĩa là ∫ b

a

f(x)dx = limmax

i=1,...,n∆xi→0

n∑i=1

f(ξi)∆xi

ở đây, limmax

i=1,...,n∆xi→0

n∑i=1

f(ξi)∆xi = I nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi cách

chia [a, b] và cách chọn ξi, i = 1, . . . , n mà maxi=1,...,n

∆xi < δ thì∣∣∣ n∑i=1

f(ξi)∆xi − I∣∣∣ < ε.

Ta cũng định nghĩa

∫ a

a

f(x)dx = 0 và

∫ a

b

f(x)dx = −∫ b

a

f(x)dx. Nếu tồn tại∫ b

a

f(x)dx thì f(x) được gọi là khả tích trên [a, b].

2.1.3 Ví dụ. Tính

∫ b

a

cdx.

2.2 Tính chất của tích phân xác định

2.2.1 Mệnh đề. 1. (Điều kiện đủ của hàm khả tích) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thìf(x) khả tích trên [a, b].

2. (Tính tuyến tính) Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a, b] thì cf(x) và f(x)± g(x) khảtích trên [a, b] và∫ b

a

cf(x)dx = c

∫ b

a

f(x)dx,

∫ b

a

(f(x)± g(x)

)dx =

∫ b

a

f(x)dx±∫ b

a

g(x)dx.

3. (Tính cộng tính) Nếu f(x) khả tích trên [a, c] thì f(x) khả tích trên [a, b], [b, c] và∫ c

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ c

b

f(x)dx.

4. (Tính bảo toàn thứ tự) Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a, b] và f(x) ≤ g(x) với mọix ∈ [a, b] thì ∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

30

5. (Giá trị trung bình) Nếu f(x) khả tích trên [a, b] và m = minx∈[a,b]

f(x), M =

maxx∈[a,b]

f(x) thì

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b− a).

Hơn nữa, nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a).

2.2.2 Mệnh đề (Mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân). 1. Nếu f(x) liên tục

trên [a, b] thì hàm F (x) =

∫ x

a

f(t)dt khả vi trên [a, b] và F ′(x) = f(x) với mọi

x ∈ [a, b].

2. (Newton-Leibnitz) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và F (x) là một nguyên hàm củaf(x) trên [a, b] thì ∫ b

a

f(x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

2.2.3 Mệnh đề. 1. (Đổi biến số) Nếu u = u(x) là một hàm có đạo hàm liên tục trên[a, b] và f(x)dx = f(u)du với g(u) liên tục trên [u(a), u(b)] thì∫ b

a

f(x)dx =

∫ u(b)

u(a)

f(u)du.

Nếu x = x(t) là một hàm có đạo hàm liên tục trên [α, β], x(α) = a, x(β) = b và

t ∈ [α, β] kéo theo x ∈ [a, b] thì

∫ b

a

f(x)dx =

∫ β

α

f(x(t))x′(t)dt.

2. (Tích phân từng phần) Nếu u(x) và v(x) là hai hàm có u′(x), v′(x) liên tục trên[a, b] thì ∫ b

a

udv = uv∣∣∣ba−∫ b

a

vdu.

2.2.4 Ví dụ. Tính các tích phân xác định sau

1.

∫ 1

0

x2(x+ 1)dx.

2.

∫ π2

0

(sinx+ cosx− x)dx.

3.

∫ ln 2

0

(1 + e2x)e−xdx.

4.

∫ 4

1

(x√x+

1√x

+ x)dx.


31

1.

∫ 1

0

x2 + x+ 2

(x+ 1)(x2 + 1)dx.

2.

∫ 3

2

5x+ 4

x2 + x− 2dx.

3.

∫ π2

0

sin 2x+ 2 cos2 x

sinx+ cosxdx.

4.

∫ π4

π6

dx

sin2 x cos2 x.


1.

∫ 1

0

x3

√3x2 + 1

dx.

2.

∫ 1

0

√9− 4x2dx.

3.

∫ ln 2

0

√ex − 1dx.

4.

∫ π2

0

sinx cos3 xdx.


1.

∫ π2

l

x cos 2xdx.

2.

∫ 1

0

xe2xdx.

3.

∫ e

1

x ln2 xdx.

4.

∫ e

1

(2x+ 1) lnxdx.


1. 1 ≤∫ 1

0

esin2 xdx ≤ 1. 2. − 110≤∫ 18

10

cosx√1 + x4

dx ≤ 1

10.

2.2.9 Ví dụ. Tính đạo hàm các hàm số sau

1. f(x) =

∫ x

0

et2

dt. 2. f(x) =

∫ x3

0

dt√1 + t4

.

2.2.10 Ví dụ. Tính các tích phân sau

1.

∫ e

1e

| lnx|dx.

2.

∫ 2

0

f(x)dx với f(x) =

{x2 nếu 0 ≤ x ≤ 12− x nếu 1 < x ≤ 2

.

2.3 Tích phân suy rộng

2.3.1 Định nghĩa (Tích phân suy rộng). Giả sử f(x) khả tích trên [a, b] với mọi b ≥ a.Khi đó tích phân suy rộng ∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx.

32

Nếu giới hạn limb→+∞

∫ baf(x)dx tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng

∫ +∞a

f(x)dx

được gọi là hội tụ, ngược lại, được gọi là phân kì.

Một cách tương tự ta có các tích phân suy rộng sau.∫ a

−∞f(x)dx = lim

b→−∞

∫ a

b

f(x)dx

∫ +∞

−∞f(x)dx =

∫ a

−∞f(x)dx+

∫ +∞

a

f(x)dx.

Giả sử f(x) khả tích trên [a, c] với mọi a ≤ c < b và f(x) không bị chặn khi x→ b−.Khi đó tích phân suy rộng ∫ b

a

f(x)dx = limc→b−

∫ c

a

f(x)dx.

Tương tự, nếu f(x) khả tích trên [c, b] với mọi a < c ≤ b và f(x) không bị chặn khix→ a+ thì tích phân suy rộng∫ b

a

f(x)dx = limc→a+

∫ b

c

f(x)dx.

Nếu f(x) khả tích trên [a, e] và [f, b] với mọi a ≤ e < c < f ≤ b và f(x) không bị chặnkhi x→ c thì tích phân suy rộng∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx.

Khái niệm hội tụ và phân kì của các tích phân suy rộng trên được hiểu một cách tươngtự tích phân suy rộng đầu tiên.

2.3.2 Ví dụ. Tính các tích phân suy rộng sau

1.

∫ 0

−∞xexdx.

2.

∫ +∞

−∞

dx

x2 + 1.

3.

∫ +∞

0

xe−xdx.

4.

∫ +∞

−∞

x

x2 + 1dx.

2.3.3 Ví dụ. 1. Chứng tỏ rằng tích phân suy rộng∫ +∞a

dxxα

hội tụ khi α > 1 và phân

kì khi 0 < α ≤ 1.

2. Chứng tỏ rằng tích phân suy rộng∫ ba

dx(x−a)α

phân kì khi α > 1 và hội tụ khi0 < α ≤ 1.

2.3.4 Nhận xét. 1. Tích phân suy rộng là hợp thành của tích phân xác định và giớihạn hàm số. Do đó, tính chất của tích phân suy rộng được suy trực tiếp từ tínhchất của tích phân xác định và giới hạn hàm số.

33

2. Các loại tích phân suy rộng có thể được chuyển đổi qua lại lẫn nha bằng những phépbiến đổi thích hợp. Chẳng hạn, đổi biến t = −x thì

∫ +∞a

f(x)dx =∫ −a−∞ f(−t)dt.

2.3.5 Mệnh đề (Dấu hiệu so sánh). Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a, b] với mọi b ≥ avà 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a,+∞). Khi đó

1. Nếu∫ +∞a

g(x)dx hội tụ thì∫ +∞a

f(x)dx hội tụ.

2. Nếu∫ +∞a

f(x)dx phân kì thì∫ +∞a

f(x)dx phân kì.

2.3.6 Ví dụ. Xét tính hội tụ của các tích phân sau

1.

∫ +∞

1

1 + x2

x3dx.

2.

∫ +∞

1

(1− cos

2

x

)dx.

3.

∫ +∞

1

e−x2

x2dx.

4.

∫ +∞

0

cosxdx.

2.3.7 Ví dụ. Tính các tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ)

1.

∫ 1

−1

1

xdx.

2.

∫ 1

0

dx√1− x2

dx.

3.

∫ 1

0

x ln2 xdx.

4.

∫ 2

0

dx

x2 − 1.

3 Ứng dụng của tích phân

3.1 Ứng dụng trong hình học

3.1.1 Mệnh đề (Diện tích hình phẳng). 1. Diện tích của hình phẳng được giới hạnbởi đồ thị của hai hàm liên tục y = f1(x) và y = f2(x) trên [a, b] và hai đườngthẳng x = a, x = b là

S =

∫ b

a

|f1(x)− f2(x)|dx.

2. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = bvà đồ thị của hàm cho bởi phương trình tham số{

x = x(t)

y = y(t)

α ≤ t ≤ β, x(α) = a, x(b) = b và x(t), y(t), x′(t) liên tục trên [α, β] là

S =

∫ β

α

|y(t)|x′(t)dt.

34

3. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng ϕ = α, ϕ = β vàđường cong r = r(ϕ) liên tục trên [α, β] trong hệ tọa độ cực là

S =1

2

∫ β

α

r2(ϕ)dϕ.

3.1.2 Mệnh đề (Độ dài của đường cong). Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm liên tụctrên [a, b]. Khi đó độ dài của đường cong là đồ thị của hàm số f(x) trên [a, b] là

L =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx.

3.1.3 Mệnh đề (Thể tích của vật thể). 1. Thể tích của vật thể có diện tích thiếtdiện vuông góc với trục Ox là hàm liên tục S(x) với x ∈ [a, b] là

V =

∫ b

a

S(x)dx.

2. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàmsố liên tục f(x) ≥ 0 trên [a, b] và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

V = π

∫ b

a

f 2(x)dx.

3.1.4 Mệnh đề (Diện tích của mặt tròn xoay). Diện tích của mặt tròn xoay khi quayđường cong f(x) ≥ 0 có đạo hàm liên tục trên [a, b] quanh trục Ox là

S = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + (f ′(x))2dx.

3.2 Ứng dụng trong khoa học kĩ thuật

3.2.1 Mệnh đề. Giả sử đại lượng F (t) theo biến t ∈ [a, b] có tốc độ thay đổi tại giá trịt là f(f) = F ′(t). Khi đó tổng sự thay đổi của đại lượng giữa t = a và t = b là

S = F (b)− F (a) =

∫ b

a

f(t)dt.

3.2.2 Ví dụ. Giả sử số lượng vi khuẩn tại thời điểm t = 0 là 10 triệu và tốc độ tăngvi khuẩn là F (t) = 3t triệu vi khuẩn/giờ. Tính tổng sự thay đổi của số lượng vi khuẩntrong 2 giờ từ t = 0 tới t = 2 và tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm t = 2.

Giải. Tổng sự thay đổi của số lượng vi khuẩn trong 2 giờ từ t = 0 tới t = 2 là

S = F (2)− F (0) =

∫ 2

0

3tdt =3t

ln 3

∣∣∣20

=8

ln 3.

Số lượng vi khuẩn tại thời điểm t = 2 là F (2) = F (0) + 8ln 3

= 106 + 8ln 3

.

35

3.2.3 Mệnh đề (Công của lực biến thiên). Công sinh ra khi tác động vào vật tại vị tríx một lực F (x) để vật chuyển động thẳng từ x = a đến x = b là

W =

∫ b

a

F (x)dx

.

3.2.4 Ví dụ. Giả sử một lò xo căng ra x đơn vị so với độ dài ban đầu dưới tác dụngcủa một lực F (x) = kx với k là hằng số.

1. Tìm hằng số k biết lò xo căng 1 dưới tác dụng của lực 5N.

2. Xác định công để lò xo căng 3 m.

Giải. (1). Ta có 5 = k.1. Suy ra k = 5.

(2). Công để lò xo căng 3 m là

W =

∫ 3

0

F (x)dx =

∫ 3

0

5xdx =5x2

32

∣∣∣20

= 22.5J.

3.2.5 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau

1. Đường cong y = x2, đường thẳng y = 4 và đường thẳng x = 0.

2. Parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x− y + 4 = 0.

3. Đồ thị hàm số y = x3 và các đường thẳng y = x, y = 2x.

4. Đường elip x2

a2+ y2

b2= 1 với a, b > 0.

3.2.6 Ví dụ. Tính thể tích các vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi cácđường sau khi quay quanh Ox và Oy

1. Đồ thị y = 4− x2 và đường thẳng y = 0.

2. Đường cong xy = 4 và các đường thẳng y = 0, x = 1, x = 4.

3.2.7 Ví dụ. Hãy xác định công P do lực biến thiên F (x) = x3 + 3√x khi dịch chuyển

một chất điểm từ x = 1 đến x = 8.

3.2.8 Ví dụ. Tìm chi phí C(Q) biết hàm cận biên của chi phí là MC = Q+ 10 và chiphí cố định Cf = 1000.

3.2.9 Ví dụ. Tìm doanh thu R(Q) biết hàm cận biên của doanh thu là MR = 10Q vàQ ∈ [10, 1000].

36

Bài tập


1. Hàm số F (x) = 2e√x(√x − 1) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e

√x trên

(0; +∞).

2. Hàm số F (x) = e2x cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 cosx−sinx)e2x

trên R.

Bài 3.2. Cho hàm số f(x) = ex(sinx + cosx) và họ các hàm số F (x) = sinx + C vớiC ∈ R và x ∈ R.

1. Chứng minh rằng F (x) là họ nguyên hàm của f(x) trên R.

2. Tìm một nguyên hàm F (x) của f(x) thỏa mãn F (0) = 1.

Bài 3.3. Tính các tích phân sau.

1. I =2∫0

g(x)dx với g(x) =

{ex−1 nếu 0 ≤ x ≤ 1

3− 2x nếu 1 < x ≤ 2..

2. I =9∫1

e√xdx.

3. I =1∫0

(2 cosx− sinx)e2xdx.

4. I =1∫0

(x2 + 1)exdx.

5. I =

π2∫

0

x cosxdx

Bài 3.4. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y = x3 − x2 và trục hoành.

1. Tính diện tích hình phẳng (H).

2. Tìm thể tích khối vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) quay quanhtrục Ox.


1. −2 ≤2∫0

cos9xdx ≤ 2. 2. ln 2 ≤1∫0

ex

1+xdx ≤ e ln 2.

Bài 3.6. Tính các tích phân suy rộng sau.

37

1. I =+∞∫0

dxx2+1

.

2. I =+∞∫0

4xe−2xdx.

3. I =1∫0

4x lnxdx.

Bài 3.7. 1. Cho tích phân I =+∞∫1

1xαdx với α > 0. Với giá trị nào của α thì tích

phân I hội tụ, tích phân I phân kì?

2. Cho tích phân suy rộng I −∫ ba

1(b−x)λ

dx với b > a. Với giá trị nào của λ thì tích

phân I hội tụ, tích phân I phân kì?

Bài 3.8. Xét sự hội tụ của các tích phân sau.

1. K =+∞∫0

sin2xx2+1

dx.

2. K =∫ 1

0dx

4√1−x2.

3. K =+∞∫1

2+3x4

4x5dx.

Bài 3.9. Chứng minh rằng tích phân I =+∞∫1

11+x2

dx hội tụ. Từ đó, chứng tỏ rằng tích

phân K =+∞∫e

1x(1+ln2x)

dx cũng hội tụ.

Bài 3.10. Cho α là số thực dương. Biện luận theo α về sự hội tụ của tích phân suy

rộng I =3∫0

xdx(9−x2)α

.

38

Chương 3

Lí thuyết chuỗi và phương trìnhvi phân

1 Chuỗi

Chuỗi hay tổng vô hạn (đếm được) có thể coi là sự mở rộng của tổng hữu hạn. Kháiniệm chuỗi đóng vai trò quan trọng trong Giải tích. Sự quan trọng này bắt nguồn từý tưởng của Newton trong việc biểu diễn hàm số như là một chuỗi vô hạn đếm đượcphần tử. Trong mục này chúng ta sẽ trao đổi hai nội dung bao gồm chuỗi số và chuỗi hàm.

1.1 Chuỗi số

1.1.1 Định nghĩa (Chuỗi số). Cho dãy số {un}.

1. Biểu thức u1 + u2 + . . . + un + . . . được gọi là một chuỗi số, nếu không sợ nhầm

lẫn thì gọi tắt là chuỗi, và được kí hiệu là∞∑n=1

un.

2. Các số u1, . . . , un, . . . được gọi là số hạng của chuỗi và un được gọi là số hạng tổngquát của chuỗi.

3. Tổng hữu hạn Sn =n∑k=1

uk được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.

4. Nếu limn→∞

Sn = limn→∞

n∑k=1

uk = l ∈ R thì chuỗi∞∑n=1

un được gọi là hội tụ về l và l được

gọi là tổng của chuỗi và được viết∞∑n=1

un = l. Ngược lại, nếu không tồn tại l hoặc

l =∞ thì chuỗi∞∑n=1

un được gọi là phân kì.

5. Chuỗi số∞∑n=1

un được gọi là dương nếu un ≥ 0 với mọi n ∈ N.

39


un được gọi là đan dấu nếu un = (−1)nan và an > 0 với mọi n ∈ N

hoặc an < 0 với mọi n ∈ N.


un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số∞∑n=1

|un| hội tụ.

1.1.2 Ví dụ. 1. 1 + 12

+ . . .+ 1n

+ . . . =∞∑n=1

1nlà một chuỗi số dương phân kì.

2. 1 + 12

+ 14

+ . . .+ 12n

+ . . . =∞∑n=0

12n

= 2 là một chuỗi số dương hội tụ.

3. 1− 12

+ 13− 1

4+ . . .+ (−1)n+1 1

n+ . . . =

∞∑n=1

(−1)n+1 1nlà một chuỗi đan dấu hội tụ.

4. Chuỗi cấp số nhân∞∑n=1

xn hội tụ về x1−x nếu |x| < 1 và phân kì nếu |x| ≥ 1.

5. Chuỗi lồng nhau∞∑n=1

(un − un+1) hội tụ về u1 − l nếu limn→∞

un = l.

1.1.3 Nhận xét. Chuỗi số hay tổng vô hạn đếm được các số có thể coi là hợp thànhcủa phép cộng hữu hạn và giới hạn dãy số. Do đó, tính chất của chuỗi số được suy ratừ tính chất của phép cộng và tính chất giới hạn dãy số. Hơn nữa, tính chất của chuỗi

số∞∑n=1

un còn có thể được coi là tính chất của giới hạn của dãy số {Sn}.

1.1.4 Mệnh đề (Đặc trưng của chuỗi hội tụ). 1. Chuỗi số∞∑n=1

un hội tụ nếu và chỉ

nếu với mỗi ε > 0 tồn tại n0 sao cho |un+1 + . . . + un+p| < ε với mọi n ≥ n0, vớimọi p ∈ N.

2. Chuỗi số dương∞∑n=1

un hội tụ nếu và chỉ nếu dãy tổng riêng {Sn} của nó bị chặn.

1.1.5 Hệ quả. 1. (Điều kiện cần của chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi số∞∑n=1

un hội tụ thì

limn→∞

un = 0.

2. Nếu limn→∞

un 6= 0 thì chuỗi số∞∑n=1

un phân kì.

3. Nếu thay đổi hoặc thêm bớt một số hữu hạn những số hạng của một chuỗi số thìtính hội tụ và phân kì của chuỗi không thay đổi.

1.1.6 Định lí (Tính chất cơ bản của chuỗi số). 1. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số∞∑n=1

un

hội tụ khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại n0 sao cho với mỗi n ≥ n0 và mỗi p > 0ta có |un+1 + . . .+ un+p| < ε.

40

2. (Điều kiện cần cho chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi số∞∑n=1

un hội tụ thì limn→∞

un = 0.

3. (Phép toán của chuỗi hội tụ) Nếu∞∑n=1

un,∞∑n=1

vn là hai chuỗi hội tụ,∞∑n=1

un = u và

∞∑n=1

vn = v và λ ∈ R thì các chuỗi∞∑n=1

(un ± vn),∞∑n=1

λun cũng hội tụ và

∞∑n=1

(un ± vn) = u± v,∞∑n=1

λun = λu.

4. (Dấu hiệu so sánh) Giả sử∞∑n=1

un và∞∑n=1

vn là hai chuỗi số dương và 0 ≤ un ≤ vn

với mọi n ∈ N. Khi đó

(a) Nếu chuỗi lớn∞∑n=1

vn hội tụ thì chuỗi nhỏ∞∑n=1

un hội tụ.

(b) Nếu chuỗi nhỏ∞∑n=1

un phân kì thì chuỗi lớn∞∑n=1

un phân kì.

5. (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử∞∑n=1

un là một chuỗi số dương và limn→∞

n√un = C. Khi đó

(a) Nếu C < 1 thì chuỗi số hội tụ.

(b) Nếu C > 1 thì chuỗi phân kì.

(c) Nếu C = 1 thì chưa có kết luận về tính hội tụ hay phân kì của chuỗi.

6. (Dấu hiệu D’Alembert) Giả sử∞∑n=1

un là một chuỗi số dương và limn→∞

an+1

an= D.

Khi đó

(a) Nếu D < 1 thì chuỗi số hội tụ.

(b) Nếu D > 1 thì chuỗi phân kì.

(c) Nếu D = 1 thì chưa có kết luận về tính hội tụ hay phân kì của chuỗi.

7. (Dấu hiệu tích phân) Giả sử f(x) ≥ 0 và giảm trên [1,∞), un = f(x) với mọi

n ∈ N. Khi đó chuỗi số dương∞∑n=1

un và tích phân suy rộng∫∞

1f(x)dx cùng hội

tụ hoặc cùng phân kì.

8. (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy số {an} giảm về không, nghĩa là 0 < an+1 ≤ an với

mọi n ∈ N và limn→∞

an = 0. Khi đó chuỗi số đan dấu∞∑n=1

(−1)nan hội tụ.

9. Nếu chuỗi số∞∑n=1

|un| hội tụ thì chuỗi số∞∑n=1

un hội tụ.

41

1.2 Chuỗi hàm

1.2.1 Định nghĩa (Chuỗi hàm). Cho dãy hàm số {un(x)}.

1. Biểu thức u1(x) + u2(x) + . . .+ un(x) + . . . được gọi là một chuỗi hàm và được kí

hiệu là∞∑n=1

un(x).

2. Tổng hữu hạn Sn(x) =n∑k=1

uk(x) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm.

3. Nếu limn→∞

Sn(x) = limn→∞

n∑k=1

uk(x) = u(x) ∈ R thì chuỗi hàm∞∑n=1

un(x) được gọi

là hội tụ tại x về u(x), nghĩa là, với mỗi ε > 0 tồn tại n0 = n(ε, x) sao cho|Sn(x) − u(x)| < ε với mọi n ≥ n0. Khi đó u(x) được gọi là tổng của chuỗi hàm

và được viết∞∑n=1

un(x) = u(x). Ngược lại, nếu không tồn tại limn→∞

n∑k=1

uk(x) hoặc

limn→∞

n∑k=1

uk(x) = ∞ thì chuỗi∞∑n=1

un(x) được gọi là phân kì tại x. Tập hợp các

giá trị x mà chuỗi hàm∞∑n=1

un(x) hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm

∞∑n=1

un(x).

4. Chuỗi hàm∞∑n=1

un(x) được gọi là hội tụ đều về u(x) trên X nếu Sn(x) ⇒ u(x) trên

X, nghĩa là, với mỗi ε > 0 tồn tại n0 = n(ε) sao cho |Sn(x) − u(x)| < ε với mọin ≥ n0 và với mọi x ∈ X.


un(x) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi hàm∞∑n=1

|un(x)| hội tụ.

6. Nếu un(x) = anxn với an ∈ R thì chuỗi hàm

∞∑n=1

anxn được gọi là chuỗi lũy thừa.

1.2.2 Ví dụ. 1. Chuỗi hàm∞∑n=1

xn có

Sn(x) =

{x+ x2 + . . .+ xn = 1−xn

1−x nếu x 6= 1

n nếu x = 1.

Do đó miền hội tụ của chuỗi hàm đã cho là (−1, 1) và với x ∈ (−1, 1) thì∞∑n=1

xn =

11−x .


nx hội tụ với x > 1 và phân kì với x ≤ 1.

42

1.2.3 Mệnh đề (Tính chất cơ bản của chuỗi hàm). 1. (Weierstrass) Nếu |un(x)| ≤an với mọi x ∈ X và mọi n ∈ N thì chuỗi hàm

∑∞n=1 un(x) hội tụ tuyệt đối và đều

trên X.

2. (Tính liên tục) Nếu chuỗi hàm∑∞

n=1 un(x) hội tụ đều về u(x) trên X và un(x)liên tục trên X với mọi n ∈ N thì tổng u(x) liên tục trên X.

3. (Tính khả vi) Nếu chuỗi hàm∑∞

n=1 un(x) hội tụ về u(x), chuỗi hàm∑∞

n=1 u′n(x)

hội tụ đều trên (a, b) và un(x), u′n(x) liên tục trên (a, b) với mọi n ∈ N thì tổngu(x) khả vi trên (a, b) và

u′(x) =∞∑n=1

u′n(x).

4. (Tính khả tích) Nếu chuỗi hàm∑∞

n=1 un(x) hội tụ đều về u(x) trên [a, b] và un(x)liên tục trên [a, b] với mọi n ∈ N thì tổng u(x) khả tích trên X và∫ b

a

u(x)dx =∞∑n=1

∫ b

a

un(x)dx.

1.2.4 Mệnh đề (Tính chất cơ bản của chuỗi lũy thừa). 1. Với mỗi chuỗi lũy thừa∑∞n=1 anx

n tồn tại R ∈ [0,∞], được gọi là bán kính hội tụ, sao cho∑∞

n=1 anxn hội

tụ trong khoảng (−R,R) và phân kì ngoài đoạn [−R,R].

2. Nếu chuỗi lũy thừa∑∞

n=1 anxn có lim

n→∞n√|an| = l hoặc lim

n→∞|an+1

an| = l thì nó có

bán kính hội R = 1l.

3. Nếu chuỗi lũy thừa∑∞

n=1 anxn có bán kính hội tụ là R thì nó hội tụ đều và hội tụ

tuyệt đối trong [−r, r] với mọi 0 ≤ r < R. Do đó u(x) =∑∞

n=1 anxn là một hàm

liên tục, khả vi và khả tích trên miền hội tụ X và

u′(x) =∞∑n=1

(anxn)′ =

∞∑n=1

nanxn−1,

∫ b

a

(∞∑n=1

∫ b

a

anxn)dx =

∞∑n=1

anxndx

với mọi x ∈ X và [a, b] ⊂ X.

4. (Điều kiện cần khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa) Nếu f(x) =∑∞

n=1 anxn với

mọi x ∈ (−R,R) thì f(x) có đạo hàm mọi cấp trên (−R,R) và f (k)(0) = k!ak vớimọi k.

5. (Điều kiện đủ khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa) Nếu tồn tại M sao cho|f (n)(x)| ≤ M với mọi x ∈ [−R,R], với mọi n thì f(x) =

∑∞n=1 anx

n với mọi

x ∈ [−R,R], ở đây an = f (n)(0)n!

.

1.2.5 Ví dụ. Tính tổng (nếu có) của các chuỗi số sau

43

1.∞∑n=1

1n(n+1)

.

2.∞∑n=0

2n+1

3n= 2.

3.∞∑n=1

2n+1n2(n+1)2

.

4.∞∑n=1

12n−1

.

1.2.6 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau

1.∞∑n=1

n+12n+1

.

2.∞∑n=1

1+cosπnn2 .

3.∞∑n=1

1√n(n+1)

.

4.∞∑n=1

(−1)n

n−lnn.

1.2.7 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau

1.∞∑n=1

(n+1n

)n2

.

2.∞∑n=1

(n2−13n2+2

)n.

3.∞∑n=1

3nn!nn

.

4.∞∑n=1

n2+52n

.

1.2.8 Ví dụ. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau

1.∞∑n=1

nxn.

2.∞∑n=1

(−1)n

2n−1

(1−x1+x

)n.

3.∞∑n=1

(x−3)n

n4n.

4.∞∑n=0

xn

3n+4n.

1.2.9 Ví dụ. Tính các tổng S(x) sau

1. S(x) = x+ x3

3+ x5

5+ . . .

2. S(x) = 1− 2x+ 3x2 − 4x3 + . . .

2 Phương trình vi phân

Phương trình vi phân là một trong những áp dụng quan trọng nhất của phép tínhvi phân. Khi các nhà khoa học, tự nhiên cũng như xã hội, sử dụng phép tính vi phânthì thông thường họ phân tích phương trình vi phân xuất hiện trong quá trình mô hìnhhoá hiện tượng mà họ nghiên cứu. Mặc dù thông thường không tìm được lời giải tườngminh cho một phương trình vi phân, nhưng chúng ta có được dữ liệu cần thiết bằngcách sử dụng phương pháp số và phương pháp đồ thị.

Để thiết lập mô hình toán học của một bài toán thực tế chúng ta có thể dùng lí giảimang tính trực giác hoặc dùng những quy luật tự nhiên dựa trên những dữ kiện từ thựcnghiệm. Mô hình toán học thường là một phương trình chứa một ẩn hàm và những đạohàm của nó. Những phương trình này được gọi là phương trình vi phân.

44

2.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của phương trình vi phân

2.1.1 Ví dụ (Gia tăng dân số). Giả thiết rằng tỉ lệ gia tăng dân số tỉ lệ với số dân. Kíhiệu t là biến thời gian, P là số dân. Khi đó tỉ lệ gia tăng dân số là dP

dt. Vì tỉ lệ gia tăng

dân số tỉ lệ với số dân nên ta có phương trình

dP

dt= kP (3.1)

với k là hằng số tỉ lệ. Phương trình (3.1) là mô hình đầu tiên về tỉ lệ gia tăng dân số.Đó là một phương trình vi phân vì nó chứa ẩn hàm P và đạo hàm dP

dtcủa nó.

Phương trình (3.1) đúng cho mô hình gia tăng dân số với điều kiện lí tưởng. Tuynhiên, chúng ta phải lưu ý rằng một mô hình phù hợp phải phản ánh được rằng nhữngnguồn lực trong môi trường sống là hữu hạn. Nhiều cộng đồng dân cư bắt đầu tăng theocấp số mũ nhưng số dân sẽ ngừng khi chạm ngưỡng M hoặc là giảm về M nếu như sốdân vượt quá M . Để có được mô hình phản ánh được cả hai xu hướng trên, chúng tathiết lập hai giả thiết sau:

dPdt≈ kP nếu P ≤M .

dPdt< 0 nếu P > M .

Một biểu thức đơn giản kết hợp được cả hai giả thiết trên được cho bởi phươngtrình sau

dP

dt= kP

(1− P

M

). (3.2)

2.1.2 Định nghĩa (Phương trình vi phân). 1. Phương trình vi phân cấp n là phươngtrình có dạng F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 với x là biến độc lập, y = y(x) là hàm ẩntheo biến x và F là một hàm n+ 2 biến.

Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình vi phân có dạng F (x, y, y′) = 0,phương trình vi phân cấp 2 là phương trình vi phân có dạng F (x, y, y′.y′′) = 0.

2. Nghiệm của phương trình vi phân là hàm y = y(x) xác định và khả vi cấp n trên(a, b) sao cho F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 trên (a, b). Nếu y = y(x) là một hàm cụ thểthì nghiệm được gọi là nghiệm riêng. Nếu nghiệm y = y(x) được xác định bởiΦ(x, y, C) = 0 với C là hằng số thì y được gọ là nghiệm tổng quát. Đường congy = y(x) với x ∈ (a, b) được gọi là đường cong tích phân của phương trình đã cho.

3. Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân F (x, y, y′) = 0 thỏa mãn điều kiệny(x0) = y0 với x0, y0 cho trước được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện y(x0) = 0được gọi là điều kiện đầu của bài toán Cauchy.


1. Hàm số y = 11+Cx+lnx

là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy′ + y =y2 lnx.

45

2. Hàm số y = sinx + 1 là nghiệm riêng của phương trình y′ = cosx với điều kiệnđầu y(0) = 1.

3. Hàm số y = ex(a. cos 2x+ b. sin 2x+ 13

cosx) là nghiệm tổng quát của phương trình

vi phân y′′ − 2y′ + 5y = ex cosx.

2.1.4 Mệnh đề (Tồn tại và duy nhất nghiệm). Xét phương trình vi phân cấp mộty′ = f(x, y) với điều kiện đầu y(x0) = y0. Nếu f(x, y) liên tục trong một lân cận củađiểm (x0, y0) thì tồn tại nghiệm y = y(x) của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiệnđầu. Hơn nữa, nếu f ′y liên tục trên lân cận đó thì nghiệm nói trên là duy nhất.

2.2 Phương trình vi phân cấp một

Tiếp theo chúng ta xét một số loại phương trình vi phân cấp một thường gặp. Phươngtrình vi phân có dạng

ϕ(x)dx+ ψ(y)dy = 0 (3.3)

được gọi là phương trình vi phân biến số phân li. Từ (3.3) ta có∫

(ϕ(x)dx+ψ(y)dy) = C.Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình vi phân biến số phân li là Φ(x)+Ψ(y) =C với Φ(x) và Ψ(y) lần lượt là nguyên hàm của ϕ(x) và ψ(y).

Hàm M(x, y) được gọi là thuần nhất nếu với mọi x, y và mọi t > 0 ta có M(tx, ty) =tmM(x, y) với m ∈ N. Nếu M(x, y) và N(x, y) là những hàm thuần nhất thì phươngtrình vi phân

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (3.4)

được gọi là phương trình vi phân thuần nhất. Từ (3.4) ta có dydx

= −M(±1,± yx

)

N(±1,± yx

)= f( y

x).

Đổi biến z = yxta suy ra dz

f(z)−z = dxx. Vậy x = Ce

∫dz

f(z)−z với C 6= 0.

Nếu tồn tại u sao cho du = M(x, y)dx+N(x, y)dy thì phương trình vi phân

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (3.5)

được gọi là phương trình vi phân toàn phần.

2.2.1 Mệnh đề. Nếu ∂M∂y

= ∂N∂x

trên một miền D thì phương trình (3.5) là một phương

trình vi phân toàn phần.

Phương trình vi phândy

dx+ p(x)y = f(x) (3.6)

với p(x) và f(x) là các hàm liên tục trên một khoảng (a, b) được gọi là phương trình viphân tuyến tính. Nếu f(x) = 0 thì phương trình (3.6) trở thành

dy

dx+ p(x)y = 0 (3.7)

46

và được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Phương trình (3.7) nhậny = 0 làm nghiệm. Với y 6= 0 ta có dy

dy= −p(x)dx. Từ đó suy ra y = Ce−

∫p(x)dx là

nghiệm tổng quát của (3.7).

Giả sử y = C(x)e−∫p(x)dx là một nghiệm của (3.6). Thay vào (3.6) ta suy ra

C(x) =

∫f(x)e

∫p(x)dxdx+ C.

Vậy nghiệm tổng quát của (3.6) là

y =

[∫f(x)e

∫p(x)dxdx+ C

] ∫e−

∫p(x)dxdx.

Phương trình vi phân có dạng

y′ + p(x)y = f(x)yα, α 6= 0, α 6= 1 (3.8)

được gọi là phương trình Bernoulli.

2.2.2 Ví dụ. Giải các phương trình vi phân sau

1. x√

1− y2dx+ y√

1− x2dy = 0.

2. xdx− y2dy = 0 với y(0) = 3.

3. (x2 + y2)dx+ xydy = 0.

4. xy′ = x.eyx + y với y(1) = 0.


1. y′ + 2xy = 2xe−x2.

2. y′ + yx

= x.

3. y′ − 2xy = 3x3y2.

4. 2xyy′ − y2 + 2x = 0.


1. y′′ − 2y′ + y = 0 với y(0) = 2, y′(0) = 1.

2. y′′ + 4y = 0 với y(0) = 0, y′(0) = 2.

3. y′′ + 3y′ = 0 với y(0) = 0, y(3) = 0.

4. y′′ + 3y′ + 2y = 0 với y(0) = 1, y′(0) = −1.


1. y′′ − 3y′ + 2y = ex(3− 4x).

2. y′′ − 5y′ + 4y = xe2x.

3. y′′ + y = 4x sinx.

4. y′′ − 2y′ + y = xex.

47

3 Ứng dụng

3.1 Một số ứng dụng trong khoa học tự nhiên

3.2 Một số ứng dụng trong kinh tế

3.2.1 Ví dụ. Một cộng đồng gồm 1000 cá thể được giả thiết là đồng nhất trong đó có10 cá thể vừa trở về từ một cộng đồng khác mắc phải một loại dịch bệnh. Giả sử cộngđồng ban đầu không tiêm ngừa căn bệnh đó và tất cả các cá thể đều có thể mắc bệnh.Khảo sát thực nghiệm cho thấy dịch bệnh có khuynh hướng lây lan theo tốc độ bằng0,5 lần tích số cá thể mắc bệnh và số cá thể không mắc bệnh. Hãy xác định số cá thểmắc bệnh y(x) tại thời điểm x = 10.

3.2.2 Ví dụ. Một chất thuốc được đưa vào máu với một tốc độ không đổi 0,5 ml/s vàbị đào thải khỏi cơ thể ở một tốc độ bằng 0,2 lần nồng độ của nó trong máu tại cùngthời điểm.

1. Hãy xác định nồng độ x(t) của thuốc trong cơ thể tại thời điểm t.

2. Tính nồng độ của chất thuốc trong máu tại thời điểm t biết x(0) = 0.

3.2.3 Ví dụ. Giả sử 1 phân tử chất C được sinh ra khi kết hợp 1 phân tử chất A và 1phân tử chất B và ngược lại. Nồng độ của A và B ban đầu lần lượt là 2 mol/cm3 và 3mol/cm3 và nồng độ chất C tại thời điểm t là x(t). Tốc độ biến thiên của nồng độ chấtC bằng 0,5 lần tích nồng độ của chất A và chất B tại thời điểm t. Hãy xác định nồngđộ chất C tại thời điểm t biết rằng tại thời điểm ban đầu nồng độ chất C bằng 0.

3.2.4 Ví dụ. Biết rằng tốc độ tăng dân số của một địa phương bằng 2% số dân tại thờiđiểm đó và số dân tại thời điểm ban đầu là 100,000 người. Hãy xác định số dân của địaphương đó tại thời điểm t.

3.2.5 Ví dụ. Giả sử lượng cung Qs và lượng cầu Qd của một loại hàng hoá tại thời kìt được cho bởi phương trình

Qd(t) = 3− p(t), Qs(t) = −2 + 4p(t).

Biết rằng lượng điều chỉnh giá từ thời kì này sang thời kì khác bằng 0,1 lần quỹ dự trữtheo chiều ngược lại. Hãy xác định p(t) biết giá tại thời kì ban đầu là p(0) = 10.

Bài tập

Bài 3.1. 1. Phát biểu định nghĩa chuỗi lũy thừa.

2. Chứng tỏ rằng chuỗi hàm∞∑n=0

(n+1)x2n

1+2nlà chuỗi lũy thừa.

48

Bài 3.2. 1. Phát biểu định nghĩa chuỗi số đan dấu.

2. Chứng tỏ rằng chuỗi số∞∑n=1

cos(nπ)n2+2n

là chuỗi số đan dấu..

3. Nếu∞∑n=1

un là chuỗi số hội tụ thì giới hạn limn→+∞

un bằng bao nhiêu?

Bài 3.3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau.

1.∞∑n=1

2n+1√4n2+1

.

2.∞∑n=1

1n(n+1)(n+2)

.

3.∞∑n=1

(2nn+1

)n.

4.∞∑n=1

(−1)n sin(

πn2+1

)

5.∞∑n=1

1+√n4+1n3 .

6.∞∑n=1

cos(nπ)1+2n

7.∞∑n=1

sinnn2

Bài 3.4. Tính tổng của các chuỗi số sau.

1.∞∑n=1

1n(n+1)

.

2.∞∑n=1

12n.

3.∞∑n=1

2n+1n2(n+1)2

.

Bài 3.5. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau.

1.∞∑n=1

(2x+1)n

3n.

2.∞∑n=1

x2n

(n+1)2n.

3.∞∑n=1

(−1)n(x−1)n

1+√n

.

Bài 3.6. 1. Phân tích số 0,999... thành dạng chuỗi số.

2. Chứng tỏ rằng 0,999... = 1.

Bài 3.7. 1. Khảo sát sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi số∞∑n=2

(−1)n√n−1

.

2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi∞∑n=0

(n+ 1)xn trên miền hội tụ của nó.

3. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi∞∑n=1

xn

ntrên khoảng hội tụ của nó.

Bài 3.8. Chứng tỏ rằng

49

1. Hàm số y = xe−x là nghiệm của phương trình vi phân xy′ = (1−x)y với y(0) = 0.

2. Hàm số y = sin x + cosx + 12(x− 1)ex + e−x là nghiệm của phương trình vi phân

y′′ + y = xex + 2e−x với y(0) = 32.

Bài 3.9. Tìm nghiệm của các phương trình vi phân sau.

1. y′ − y cosx = 0.

2. 2xdx+ 9e3ydy = 0 thỏa mãn y(0) = 0.

3. x(1 + y2)dx+ 2(1 + x2)ydy = 0 thỏa mãn y(0) = 1.

4. y′ + 3x2y = 6x2 thỏa mãn y(0) = 1.

5. y′ = x2+y2

xy.

6. y′ − 2xy = −4xy2.

Bài 3.10. Tìm nghiệm của các phương trình vi phân cấp hai sau.

1. y′′ = 12x.

2. y′′ − 4y′ + 3y = 0 thỏa mãn y(0) = 2, y′(0) = 4.

3. y′′ + 4y′ + 4y = 0 thỏa mãn y(0) = 1 và y′(0) = 1.

4. y′′ − 2y′ + 2y = 0 thỏa mãn y(0) = 1 và y′(0) = 3.

5. y′′ − 3y′ + 2y = ex.

6. y′′ − 2y′ + y = 6xex.

7. y′′ − 3y′ + 2y = 2x2.

8. y′′ + y = x sinx.

50

Tài liệu tham khảo

[1] Đ. T. Cấp, N. H. Phán, N. T. Sơn, and T. T. Thành, Giải tích toán học, vol. 2, Nhàxuất bản Giáo dục, 2007.

[2] N. H. Khánh, Vi tích phân, vol. 2, Nhà xuất bản Giáo dục, 2009.

[3] N. Đ. Trí, T. V. Đĩnh, and N. H. Quỳnh, Toán học cao cấp, Phép tính giải tích mộtbiến số, vol. 2, Nhà xuất bản Giáo dục, 2005.

51

b•igi…ng to†ncaoc⁄p2 - | blog toán · mænhåc:to¡ncaoc§p2 m¢mænhåc:ge4053...

Documents