bag 7 koordinat kutub

5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub

1/20

Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 119

Bagian 7

Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda

pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yangberhubungan dengan koordinat kutub, yaitu sistem koordinat yang terdiri dari nilai x

dan nilai sudut. Pengetahuan teknik integrasi dan teknik differensial yang telahAnda pelajari pada bagian sebelumnya, sangat bermanfaat untuk digunakan pada

bagian tujuh ini. Untuk itu kuasai teknik integrasi dan differensial agar Anda tidakmempunyai masalah dalam penyelesaian soal koordinat kutub.

Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 7 Koordinat

Kutub adalah Anda akan mampu:

1. Membuat gambar grafik yang berasal dari persamaan kutub.2. Menentukan koordinat kartesius yang berasal dari koordinat kutub, dan

sebaliknya.3. Menentukan persamaan ellips untuk koordinat kutub.

4. Menentukan titik potong untuk dua grafik koordinat kutub.

5. Menghitung garis singgung dan menghitung luas grafik koordinat kutub.

7.1 Sistem Koordinat Kutub

Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telahmemperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan

system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk

menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulisdengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari duasumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 7.1). Sistem koordinat ini adalah dasar

dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensialdan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini.

Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satu-satumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain

adalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub.

KoordinatCartesius

Gambar 7.1Koordinat Kutub

Gambar 7.2


2/20


7.1.1 Koordinat Kutub

Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan

sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titikasal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan

oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuahsystem koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan

antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yangmemancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan 0 adalah salah satu sudut

antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, 0) dinamakan sepasang koordinat kutubdari titik P (Gambar 7.2).

Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita

menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaran-

lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapatmelihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.

Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat

Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa

sudut-sudut 0 + 2nn, n = 0, 1, 2,...memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik

dengan koordinat kutub (4, n/2) juga memiliki koordinat (4, 5n/2), (4, 9n/2), (-4,

3n/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai

yang negatif. Dalam hal ini (r, 0) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan

sinar yang dibentuk oleh 0 dan yang terletak|r|satuan dari titik asal. Dengan

demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, n/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4,

sedangkan (-4, 3n/2) adalah koordinat lain untuk (4, n/2). Titik asal mempunyaikoordinat (0, 0), di mana 0 sudut sembarang.

7.1.2. Persamaan KutubContoh persamaan kutub adalah:

0 0 - , 2r = 8 sin 0 dan r =

1-cos#


3/20


Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkangrafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik

yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhipersamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah

dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengankoordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu

dengan sebuah kurva yang mulus.

Contoh 7.1. : Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin 0

Penyelesaian :

Kita ganti kelipatan n/6 untuk 0 dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila

0 naik dari 0 hingga 2n, grafik dilintasi dua kali (Gambar 4.5).

Contoh 7.22

Gambarlah grafik dari r =1-cos#

Penyelesaian :

Lihat Gambar 4.6. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan systemkoordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3n/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun

demikian titik P (-2, 3n/2) terletak pada grafik, sebab (2, n/2) merupakan koordinat P

dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwadalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak

memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yangbersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan

banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.


4/20


7.1.3. Hubungan dengan Koordinat CartesiusAndaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius.Maka koordinat kutub (r, 0) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu

dihubungkan oleh persamaan :

x = r cos 0 r2= x

2+ y

2

yy = r sin 0 tan 0 =

xHubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran

pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar 4.7. mudah dibuktikan untuk titik-titik

dalam kuadran lain.

Contoh 7.3

Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, n/6).

Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah (-3,V3).

Penyelesaian :Jika (r, 0) = (4, n/6), maka

Gambar 7.6


5/20


AnA ^oR

x = 4 cos= 4 .= 2 V36 2

A n . 1y = 4 sin= 4 .= 2

6 2Jika, (x, y) = (-3,43), maka (lihat Gambar 8)

r2= (-3)

2+{43)2= 12

tan 0 =-3

Salah satu nilai (r, 0) adalah(243, 5n/6). Nilai lainnya adalah(-243, -n/6).Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannyadalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.

Contoh 7.4

Buktikan bahwa grafik persamaan r = 8 sin 0 (Contoh 1) adalah sebuah lingkarandan bahwa grafik persamaan r = 2 / (1- cos 0) (Contoh 2) adalah sebuah paraboldengan jalan menulis persamaan Cartesius kurva tersebut.

Penyelesaian :Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan r = 8 sin 0 dengan r, kita peroleh

r2= 8r sin 0

dalam bentuk Cartesius persamaan tersebut, menjadi :

x2+ y

2= 8y

dan persamaan ini dapat diubah sebagai berikut :

x2+ y

2- 8y = 0

x2+ y

2- 8y + 16 = 16

x2+ (y - 4)2= 16Persamaan terakhir ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 4) danberjari-jari 4.

PERHATIKANKarena r bisa bernilai 0, ada kesalahan yang mungkin terjadi dalam mengalikan

kedua sisi pada suatu persamaan kutub dengan r atau dalam membagi keduabagian tersebut dengan r. Pada kasus yang pertama, kita dapat menambahkan

kutub pada grafik; pada kasus kedua, kita dapat menghilangkan kutub dari grafik.Dalam Contoh di atas, kita kalikan kedua sisi dari r = 8 sin 0 dengan r tanpa

menimbulkan kesalahan karena kutubnya telah terdapat pada grafik sebagaimana

titik dengan koordinat-0 0.

Persamaan kedua kita ubah berturut-turut sebagai berikut :2

r =1 - cos9

r - r cos 0 = 2

r - x = 2r

r2

x2+ y

2

y2

= x + 2

= x2+ 4x + 4

= x2+ 4x + 4

= 4(x + 1)


6/20


Gambar 7.9

Kita lihat bahwa persamaan terakhir ini adalah persamaan parabol dengan puncak di

(-1, 0) dan dengan fokus di (0, 0)

7.1.4. Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Konik

Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah 0 = 00. Apabila garis tidak

melalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan 00

sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu (Gambar7.9). Apabila P (r, 0) sebuah titik pada garis, maka cos (0 - 00) = d/r, atau

dGaris : r = -

cos (0 - 0o)

Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalah

r = a. Apabila pusatnya di (r0, 00), persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih

r0 = a (Gambar 7.10). Maka menurut hukum kosinus, a2 = r2 + a2 - 2ra cos (0 - 0 0)

yang dapat disederhanakan menjadi :

Lingkaran : r = 2a cos (0 - 00)

Suatu hal yang menarik jika 00 = 0 dan 00 = n/2. Yang pertama menghasilkanpersamaan r = 2a cos 0 ; yang kedua menghasilkan r = 2a cos (0 - n/2) atau r = 2asin 0. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan Contoh 1.

Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol atau hiperbol) diletakkan sedemikian

hingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub

(Gambar 7.11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu |PF| = e|PL| kita

akan memperoleh

r = e[d-r cos(0-0o)]

atau secara setara : Konik : r =1 + e cos(0-0o)

ed

Garis

Lingkaran

Gambar 7.10


7/20


Gambar 7.11

Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk 0O= 0 dan 0O= n/2. Perhatikan bahwa

apabila e = 1 dan 00= 0 kita memperoleh persamaan dalam Contoh 7.2.

Hasil di atas kita ikhtisarkan dalam diagram berikut:

Konik


8/20


Contoh 7.5

Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan j-, berfokus di kutub

dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan disebelah kanan kutub.

Penyelesaian :1. 1 0 10

r =2 -

1 + -2 c o s # 2 + c o s #

Contoh 7.67

Tentukan jenis konik dan gambarlah grafik yang persamaannya r =2 + 4 sin #

Penyelesaian

Kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut.

r=7_ "2_ 2(7)

2 + 4 sin# 1 + 2 s i n # 1 + 2 s i n #

yang kita kenal sebagai koordinat kutub

menggambar sebuah hiperbol dengan e = 2,

berfokus di kutub dan dengan garis arah

yang mendatar, sejauh 7 satuan di

atas sumbu polar (Gambar 7.12).

7.1.5 Grafik Persamaan Kutub

Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkarandan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya,

yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun

persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan

dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapatmelihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang

persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannyasederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk

memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.


9/20


Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada

beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya

dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.

1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan

perpanjangannya ke kiri) apabila 0 diganti dengan -0 menghasilkan persamaanyang sama (Gambar 7.13).

2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis 0 = n/2) apabila 0

diganti dengan n-0 menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.14).

3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti -r

menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.15).

Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan

adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.

7.2 Kardiod dan Limason

Kita perhatikan persamaan yang berbentuk

r = a b cos 0 r = a b sin 0

a, b konstanta yang positif. Grafiknya dinamakan limason, di mana dalam halkhusus yaitu untuk a = b disebut kardiod. Grafiknya untuk tiap-tiap kasus dapat

dilihat pada Gambar 7.16.

( r , 0 )

Gambar 7.13 Gambar 7.14 Gambar 7.15


10/20


Contoh 7.7

Selidiki persamaan r = 2 + 4 cos 0 mengenai kesimetrian dan gambarlah grafiknya.

Penyelesaian

Oleh karena kosinus adalah fungsi genap (artinya cos(-0) = cos 0, untuk semua 0),grafiknya simetrik terhadap sumbu x. Pengujian kesimetrian yang lain tidak berhasil.

Daftar nilai dan grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.17.

Gambar 7.17

7.2.1. Lemniskat

Grafik dari:

r2= a cos 20 r

2= a sin 20

dinamakan lemniskat, dan berbentuk angka delapan.

Contoh 7.8

Selidiki persamaan r2= 8 cos 20 tentang kesimetrian dan gambarlah grafiknya.

Penyelesaian

Oleh karena cos (-20) = cos 20 dan cos (2(n-0)) = cos (2n - 20) = cos (-20) = cos

20

a > b a = b a < b

Gambar 7.16

6 r

0 5

17/6 5,5ir/3 4

77/2 2

7 ir/12 !

277/3 0

3ir/4 0,8511/6 1,5

IT -2


11/20


Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y (garis 0 = n). Jadisimetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada Gambar

4.18.

r2 ~ 8 cos 2 0

Gambar 7.18

7.2.2. MawarGrafik persamaan kutub yang berbentuk

r = a cos n0 r = a sin n0

adalah kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun

mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.

Contoh 7.9

Selidiki r = 4 sin 20 mengenai kesimetrian dan kemudian gambarlah grafiknya.

PenyelesaianPersamaan tersebut tidak memenuhi pengujian kesimetrian yang pertama dan yang

ketiga. Sedangkan yang kedua menghasilkan :

sin 2(0 - n) = sin (2n - 20) = sin 20

Akan tetapi, grafiknya mempunyai ketiga jenis kesimetrian yang segera akan kitatemukan. Ingat bahwa pengujian kita di atas adalah cukup, bukannya perlu.

Untuk menggambar grafik yang benar, kita menyusun sebuah daftar nilai yang agaklengkap untuk 0 < 0 < n/2 dan yang agak ringkas untuk n/2 < 0 < 2n. Daftar ini dan

grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.19. Anak panah pada grafik menggambarkan

arah gerak titik P(r, 0) sepanjang grafik apabila 0 naik dari 0 hingga 2n.

8 r

0 2,8

ir/12 2,6

*/6 12JT/4 0


12/20


7.2.3. SpiralGrafik persamaan r = a0 disebut spiral Archimedes; grafik persamaan r = ae

be

dinamakan spiral logaritma.

Contoh 7.10Gambarlah grafik r = 0 untuk 0 > 0.

Penyelesaian

Kita hilangkan daftar nilai, tetapi perhatikan bahwa grafik memotong sumbu kutub di(0, 0), (2n, 2n), (4n, 4n),...dan memotong perpanjangannya yang ke kiri di (n, n),

(3n, 3n), (5n, 5n),...seperti dapat dilihat pada Gambar 4.20.

7.3 Perpotongan Kurva-kurva Dengan Koordinat KutubDalam koordinat Cartesius, semua titik potong dua kurva dapat dicari dengan jalan

menyelesaikan persamaan kurva bersama-sama. Hal ini tidak selalu mungkin jika

kita menggunakan koordinat kutub. Ini disebabkan sebuah titik P memiliki banyak

koordinat kutub, dan

Satu pasang dapat memenuhi persamaan polar dari kurva yang lain. Misalnya (lihat

Gambar 4.21), lingkaran r = 4 cosn memotong garis 0 = n/3 di dua titik, yaitu kutub

dan (2, n/3). Tetapi harga pasangan terakhir inilah yang memenuhi kedua

r = 4 sin 2 6

Gambar 7.19

Gambar 7.20


13/20


persamaan tersebut. Ini disebabkan koordinat kutub yang memenuhi persamaan

garis adalah (0, n/3) dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah (0, n/2).

Kesimpulan kita adalah sebagai berikut: Untuk dapat memperoleh semua

perpotongan dua kurva dengan koordinat kutub, selesaikanlah persamaan-

persamaan bersama-sama; kemudian gambarlah grafiknya secara seksama untukmemperoleh titik potong lain yang masih mungkin.

Contoh 7.11Tentukan titik potong kardioid r = 1 + cos 0 dan r = 1 - sin 0.

Penyelesaian

Apabila r dihilangkan dari dua persamaan tersebut, kita peroleh 1 + cos 0 = 1 - sin0. Jadi cos 0 = - sin 0, atau tan 0 = -1. Kita simpulkan bahwa 0 = | n dan 0 = 7 n,

yang menghasilkan dua titik potong (1-^72, f n) dan (1 +^72, f n). Grafik padaGambar 7.22, memperlihatkan, adanya titik potong yang ketiga, yaitu kutub. Ini

disebabkan r = 0 dalam persamaan r = 1 + cos 0 menghasilkan 0 = n, tetapi r = 0dalam persamaan r = 1- sin 0 kita peroleh 0 = n/2.

7.4 Kalkulus Dengan Koordinat Kutub

Dua persoalan paling mendasar dalam kalkulus adalah menentukan kemiringan

garis singgung kurva dan menentukan luas suatu daerah yang dibatasi oleh sebuah

kurva. Dalam sub bab ini, kita akan membahas kedua persoalan itu denganmenggunakan koordinat kutub. Dengan koordinat Cartesius, unsure luas dasar

adalah luas persegi panjang. Dengan koordinat kutub unsure luas dasar ini adalahluas suatu juring (sektor) lingkaran (Gambar 7.23). Oleh karena luas lingkaran

dengan jari-jari r adalah nr2 , kita dapat menarik kesimpulan bahwa luas sektor

lingkaran dengan sudut pusat 0 radian adalah (0/2n)nr2. Sehingga :

ft

Gambar 7.21


14/20


Luas sektor: A = - Or22

7.4.1. Luas dalam Koordinat Kutub

Andaikan r = f(0) menentukan sebuah kurva pada bidang dengan f kontinu dan tak

negatif untuk a < 0 < p dan p-a < 2TT. Maka kurva r = f(0), 0 = a' dan 0 = p

membatasi sebuah daerah R (Gambar 7.24 kiri); kita hendak menentukan luas

A(R).

Kita bagi selang [a, p\ menjadi n bagian selang oleh bilangan-bilangan 0 i, I = 0, 1,2, ...n dengan a = 0O < 01 < 02 < ...< 0n = p dengan demikian daerah R terbagi

menjadi daerah yang lebih kecil, yaitu R1, R2,..., Rn (Gambar 7.24 kanan). Maka

A(R) = A(Ri)+ A(R2)+ ... + A(Rn).

Kita aproksimasi luas A(R i) dengan dua jalan. Pada selang ke-I, [#, iA], fmencapai nilai minimum di ui dan mencapai nilai maksimumnya di vi (Gambar 4.25).

Jadi, apabila A0i= 0i- 0i-1, kita peroleh

[f(u,)]2A# < A(Ri)< ^\f(v,)]2dengan demikian

2-2[f(u.)]!A0,< ZA(R.)


15/20


Ruas pertama dan ruas ketiga pertidaksamaan tersebut adalah jumlah Riemannp

dan integral yang sama, yaitu,j[f(0)]2d0. Apabila norm partisi kita buat menujua

nol, kita peroleh (Prinsip Apit) rumus untuk luas, yaitu:

p

A =ji [f(0)]2d0a

Tentu saja rumus ini dapat dihafalkan. Akan tetapi yang lebih penting ialah

mengingat cara bagaimana rumus ini kita peroleh. Juga dalam koordinat kutub, tigakata kunci yang diperlukan ialah, potongan, aproksimasi, dan integralkan. Di bawah

ini diberikan contoh-contoh tentang apa yang kita maksud.

Contoh 7.12

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh limason r = 2 + cos 0.

PenyelesaianGambar grafik ada di Gambar 7.26; 0 bergerak dari 0 hingga 2n. Kita potong,

aproksimasi dan kemudian integralkan.

7.4.2. Titik-titik Ekikordial

Limason bersama dengan lingkaran memiliki suatu titik ekikordial (yaitu suatu titik

yang dilalui oleh talibusur-talibusur yang panjangnya sama). Untuk limason r = 2 +

cos 0 pada Contoh 7.12.

Gambar 7.25


16/20


n n

1 0 s i n

2 0+

2

9

n

2

4 0 0

s n0 ^

Semua talibusur yang melalui kutub memiliki panjang 4. Perhatikan bahwa limason

ini mempunyai luas 9n/2, sedangkan lingkaran berdiameter 4 yang bersesuaian

dengannya mempunyai luas 4n. Jadi, memiliki talibusur yang panjangnya samadalam semua arah melalui suatu titik belum cukup untuk menghitung luas.

Di sini diberikan satu soal terkenal yang tidak terpecahkan yang pertama kalidiajukan pada tahun 1916. Dapatkah sebuah daerah pada bidang memiliki dua titik

ekikordal ? Jawaban yang benar untuk pertanyaan ini (dengan buktinya) akanmembuat Anda menjadi terkenal. Tetapi kami sarankan agar Anda menjawab soal

ini pada bagian akhir pasal ini sebelum mencoba menjawab tantangan ini.

Karena kesimetrian, integral kita peroleh dengan batas antara 0 dan n dan

kemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,

n

=| ( 4 + 4 cos0 + cos2#) d00

n n ^ n

=14 d 0 + 4 | c o s 0 d0 +J ( 1 + c o s 2 0) d 00 0 2 0n n ^ n

=Jd0 + 4J c o s 0 d0 +J c o s 2 0. 2 d 00

Contoh 7.13Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat r = 4 sin 20.

Penyelesaian

Mawar lengkap telah digambar pada Contoh 7.13, subbab sebelumnya. Di sini kita

perlihatkan daun yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 7.27).

Gambar 7.26

A


17/20


AA 2f(0)]2A0

n/ 2

A =- J( 4 s i n2 0) 2 d 02 0 -in / 2 n/1-i a/*

A =- Jl 6 s i n 2 2 0d 0 = 8 J-1 - - - - - - - - d 02

0 0 2 n / 1 n il

A = 4 J d 0 - J c o s 4 0. 4 d 00 0

A = [40]n/2 - [sin 40]n/2 = 2n

Contoh 7.14

Tentukan luas daerah yang ada di luar kardioid r = 1 + cos 0 dan di dalam lingkaran

r =V3sin 0.

PenyelesaianGrafik kurva yang diketahui digambarkan pada Gambar 7.28. Kita perlukan

koordinat 0 titik-titik potong; nilai 0 kita tentukan dengan mencoba menyelesaikankedua persamaan secara serentak.

1 + cos 0 =ssin 01 + 2 cos 0 + cos

20 =

3 sin20

1 + 2 cos 0 + cos2 0 4 cos

20 + 2 cos 0 - 2

2 cos2 0 + cos 0 - 1 (2 cos 0 - 1)(cos 0 + 1)

AA~2[3sin20-(1+cos0)2]A0

Gambar 7.27

3(1 - cos20)

0

0

0


18/20


^ 0 =n, n

3cos 0 = , - 1

2

= -2 J[3sin2#- (1 + cos#)2]d#2

n/ 3

A =-2J[3 sin2#-1- 2 cos #- cos2#]d#

' n/ 3n

1n

= 1 J^ n/ 3

1 n

=J[-2cos9

- 2

cos 29]d#' n/ 3

= 2 [-2 sin9-sin 2#]

2^3 +V 3 '2 2

7.4.3. Garis Singgung dalam Koordinat KutubDengan koordinat Cartesius, kemiringan (slope) m dari garis singgung pada sebuah

kurva adalah m = dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/d0.Apabila r = f(0) menentukan persamaan kurva, kita tulis

y = r sin 0 = f(0)sin 0

x = r cos 0 = f(0)cos 0Jadi,dv ..AyAy/A#dy/d#=lim =lim ----- =----dx A x ^ o Ax A#^ Ax/A#dx/d#

Gambar 7.28

3 1 ^(1 - cos 2#) - 1 - 2 cos # - ^ (1 +cos2#)

d#

n /3

3V3 1.29

94


19/20


karena itulah,

_ f(0)cos0+ f(0)sin0

- f(0)sin0+ f(0)cos0

Rumus di atas menjadi sederhana apabila grafik r = f(0) melalui kutub. Andaikan,

sebagai contoh, untuk suatu sudut a, r = f(a) = 0 dan f'(a) + 0. Maka di kutubtersebut kita peroleh

f(a)sina m _ -------------- _ tana

f(a)cosa

Oleh karena garis 0 = a memiliki kemiringan tan a juga, maka kita dapat

mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva di kutub.Jadi dapat ditarik

kesimpulan bahwa garis singgung kurva di kutub dapat ditemukan dengan

menyelesaikan persamaan f(d) = 0.Kita beri contoh sebagai berikut.Contoh 7.15Perhatikan persamaan kutub r = 4 sin 30.

a. Tentukan kemiringan garis singgung di 0 = n/6 dan 0 = n/4.b. Tentukan garis singgung di kutub.

c. Gambar grafik.d. Tentukan luas satu daun kurva.

Penyelesaianf(0)cos0+ f(0)sin04 sin 30cos 0+ 12 cos 30sin 0

a.m _

- f(0)sin0+ f(0)cos0- 4 sin 30sin 0+ 12 cos 30cos0

Di 0 = n/6,

Si4 . 1. + 12 . 0 . -

2 2_ -V3

-4 . 1 . 1+ 12 . 0 . 22

Di 0 = n/4,

4 +12

m =4 . 2 . 2 + 1 2 . 2 . 2 _ _ 2 - 6 _ 1-4 - 12V2 V2 -2 - 6 2-

. 2 . 2-

. 2 . 2

b. Kita misalkan f(0) = 4 sin 30 = 0. Setelah iselesaikan diperoleh 0 = 0, 0 = n/3,

0 = 2n/3, 0 = n, 0 = 4n/3, dan 0 = 5n/3.

c. Berhubungsin 3(n-0) = sin (3n-30) = sin 3n cos 30 - cos 3n sin 30 = sin 30

Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik simetri terhadap sumbu y, kita susundaftar nilai fungsi dan kemudian kita gambar grafik fungsi. Grafik ini diperlihatkan

pada Gambar 7.29.

m =


20/20


e= f

\

\

" l

/

1 2 3 4

\L \

//

/

/ V

\\

\\/

ir3 3

Gambar 7.29

1 n / 3

n

d. A =^J ( 4 s i n 3 0)2d0 = 8 Js i n 2 3 0d00 n / 3

n

= 4 J ( 1 - c o s 6 0) d 0 = 4 J d 0- J c o s 6 0. 6 d 0

0

0 6 0

4 n

3

0

n

n / 3

4 0 - s i n6 03

a r

0 0

IT/1 2 2,8

rt/B 4 TT/ 4

2,8I

TT/ 3 1

5 TT/ 1 2 -2,8IT/2 -4 1

bag 7 koordinat kutub

Documents

nilai xdan nilai sudut

salah satu sudutantara

tegak lurus sesamanya

menentukan koordinat

memberikan jarak berarah

menghitung garis singgung

membuat gambar grafik

1 koordinat kutubkita