backhouse et al - category lattice theory (1998)

8/6/2019 Backhouse Et Al - Category Lattice Theory (1998)

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C a t e g o r y T h e o r y

a s

C o h e r e n t l y C o n s t r u c t i v e L a t t i c e T h e o r y

W o r k i n g D o c u m e n t

R o l a n d B a c k h o u s e , M a r c e l B i j s t e r v e l d ,

R i k v a n G e l d r o p a n d J a a p v a n d e r W o u d e

J u n e 1 2 , 1 9 9 8


2/142

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 1

2 B a s i c D e n i t i o n s 5

2 . 1 C a t e g o r i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 . 2 I n i t i a l O b j e c t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

2 . 3 F u n c t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

2 . 4 N a t u r a l T r a n s f o r m a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

2 . 5 E x a m p l e s o f C a t e g o r i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

2 . 5 . 1 D i s c r e t e C a t e g o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

2 . 5 . 2 O p p o s i t e C a t e g o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

2 . 5 . 3 C a t e g o r y o f C a t e g o r i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

2 . 5 . 4 F u n c t o r C a t e g o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

2 . 5 . 5 S u m C a t e g o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3

3 E l e m e n t a r y I l l u s t r a t i o n s 1 7

3 . 1 T h e I n i t i a l F u n c t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

3 . 2 Y o n e d a ' s L e m m a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

3 . 2 . 1 I n L a t t i c e T h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

3 . 2 . 2 T h e E v a l u a t i o n F u n c t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

3 . 2 . 3 H o m F u n c t o r s ( G e n e r a l i s e d ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2

3 . 2 . 4 T h e L e m m a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 3

3 . 2 . 5 C o r o l l a r i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6

4 A d j u n c t i o n s 2 9

4 . 1 G a l o i s C o n n e c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9

4 . 1 . 1 E x a m p l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0

4 . 1 . 2 I n t r o d u c t i o n a n d E l i m i n a t i o n R u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2

4 . 1 . 3 P o i n t w i s e O r d e r i n g o f F u n c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3

4 . 1 . 4 P r o p e r t i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4

4 . 1 . 5 S u p r e m a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6

4 . 1 . 6 P a r a m e t e r i s e d S u p r e m a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8

4 . 2 D e n i t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 0

4 . 3 P r o p e r t i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7

C a t e g o r y T h e o r y i J u n e 1 2 , 1 9 9 8


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i i

4 . 4 S h a r p a n d F l a t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

4 . 5 L i m i t s a n d C o l i m i t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 3

4 . 5 . 1 P a r a m e t e r i s e d C o l i m i t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5

4 . 5 . 2 C o l i m i t P r e s e r v a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7

4 . 6 E x i s t e n c e o f a d j o i n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 8

5 A l g e b r a s 6 3

5 . 1 D e n i t i o n a n d P r o p e r t i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3

5 . 2 I n i t i a l A l g e b r a s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8

5 . 3 T h e I n i t i a l A l g e b r a F u n c t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1

5 . 4 M a p O p e r a t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3

6 F i x e d P o i n t C a l c u l u s 7 7

6 . 1 T h e F u s i o n R u l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 8

6 . 2 T h e A b s t r a c t i o n T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2

6 . 3 T h e B e a u t i f u l T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6

6 . 4 T h e R o l l i n g R u l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 9

6 . 5 T h e S q u a r e T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1

6 . 6 T h e E x c h a n g e R u l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4

6 . 7 T h e D i a g o n a l R u l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 0

6 . 7 . 1 O n e H a l f : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 0

6 . 7 . 2 T h e O t h e r H a l f : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 3

6 . 8 M u t u a l R e c u r s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 6

7 M o n a d s 1 1 1

7 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 1

7 . 2 M o n a d s a n d A d j u n c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 2

7 . 3 B a s i c A d j u n c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 3

7 . 4 L i f t e d A d j u n c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 6

7 . 5 D e c o m p o s i t i o n T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 8

8 A p p l i c a t i o n s t o L i s t s 1 2 1

8 . 1 P r e l i m i n a r i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 1

8 . 2 T h e o r e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 6

C a t e g o r y T h e o r y J u n e 1 2 , 1 9 9 8


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C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

T h i s d o c u m e n t i s a b o u t p r o g r a m m i n g . I t i s a l s o a b o u t t y p e t h e o r y , l a t t i c e t h e o r y a n d

c a t e g o r y t h e o r y , b u t t h e s e a r e o n l y t h e m e a n s a n d p r o g r a m m i n g i s t h e e n d . T h e d o c u -

m e n t c o n t a i n s l o t s o f p r o g r a m s a l l t o d o w i t h t r a n s f o r m i n g o n e d a t a t y p e t o a n o t h e r . T h e

p r o g r a m s a r e n o t w r i t t e n i n a c o n v e n t i o n a l p r o g r a m m i n g l a n g u a g e b u t i n t h e l a n g u a g e o f

m a t h e m a t i c s . T o t h e u n i n i t i a t e d , t h e r e f o r e , i t m a y s e e m t h a t t h e d o c u m e n t c o n t a i n s n o

p r o g r a m s a n d h a s n o t h i n g t o d o w i t h p r o g r a m m i n g .

W e c a n n o t o e r a n y s o l a c e t o t h e u n i n i t i a t e d . T h i s i s a w o r k i n g d o c u m e n t u s e d b y

t h e a u t h o r s t o c o l l a t e t h e i r o n g o i n g r e s e a r c h a n d m a k e i t a v a i l a b l e t o a n y o n e w h o m i g h t

b e i n t e r e s t e d i n r e a d i n g i t . A s a w o r k i n g d o c u m e n t , i t c o n t a i n s u n r e f e r e e d m a t e r i a l a n d

i s s u b j e c t t o o n g o i n g r e v i s i o n . I t i s n o t a d o c u m e n t f o r t h e f a i n t - h e a r t e d s i n c e o n e o f i t s

m a i n p u r p o s e s i s a s a r e p o s i t o r y f o r t h e c o m p l e t e p r o o f s o f p r o p e r t i e s i n c l u d e d i n a r t i c l e s

s u b m i t t e d t o c o n f e r e n c e s w h e r e s p a c e c o n s t r a i n t s f o r c e u s t o o m i t t h e p r o o f s . U l t i m a t e l y

t h e i n t e n t i o n i s t o w r i t e a d o c u m e n t t h a t d o e s e m p h a s i s e t h e r e l e v a n c e t o p r o g r a m m i n g

a n d i s a c c e s s i b l e t o t h e u n i n i t i a t e d .

T h e w o r k r e p o r t e d h e r e h a s i t s o r i g i n s i n t h e r s t - n a m e d a u t h o r ' s i n t e r e s t i n c o n s t r u c -

t i v e t y p e t h e o r y . I n 2 ] t h e i m p o r t a n c e a n d r e l e v a n c e o f c o n s t r u c t i v e t y p e t h e o r y t o p r o g r a m

d e s i g n w a s a r g u e d | w e s h a l l n o t r e i t e r a t e t h e a r g u m e n t s h e r e | . T h e p a p e r c o n c l u d e d

a s f o l l o w s :

F i n a l l y , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e w o r k r e p o r t e d h e r e a n d c a t e g o r i c a l a c -

c o u n t s o f t y p e s t r u c t u r e s i s o n e t h a t w e h a v e o n l y j u s t h i n t e d a t . W e h a v e n o t

d i s c u s s e d i t i n d e p t h b e c a u s e w e o u r s e l v e s a r e n o t c a p a b l e o f d o i n g s o a t t h i s

p o i n t i n t i m e . N e v e r t h e l e s s i t i s a t o p i c t h a t w e b e l i e v e w i l l r e c e i v e p a r t i c u l a r

a t t e n t i o n i n t h e f u t u r e .

T h e c u r r e n t d o c u m e n t d o e s g i v e p a r t i c u l a r a t t e n t i o n t o a c a t e g o r i c a l f o r m u l a t i o n o f t y p e

s t r u c t u r e a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o c o n s t r u c t i v e t y p e t h e o r y .

C a t e g o r y t h e o r e t i c i a n s v i e w a p r e o r d e r e d s e t a s a p a r t i c u l a r s o r t o f c a t e g o r y i n w h i c h

t h e r e i s a t m o s t o n e a r r o w b e t w e e n a n y p a i r o f o b j e c t s . A c c o r d i n g t o t h i s v i e w , s e v e r a l

c o n c e p t s o f l a t t i c e t h e o r y a r e i n s t a n c e s o f c o n c e p t s o f c a t e g o r y t h e o r y a s s h o w n i n t a b l e

1 . 1 .

C a t e g o r y T h e o r y 1 J u n e 1 2 , 1 9 9 8


5/142

2 1 . I n t r o d u c t i o n

L a t t i c e t h e o r y i s a n i n s t a n c e o f

c o n c e p t t h e c a t e g o r y t h e o r y c o n c e p t

p r e o r d e r c a t e g o r y

m o n o t o n i c f u n c t i o n f u n c t o r

( p o i n t w i s e ) o r d e r i n g n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n

b e t w e e n f u n c t i o n s b e t w e e n f u n c t o r s

s u p r e m u m c o l i m i t

l e a s t i n i t i a l

G a l o i s c o n n e c t i o n a d j u n c t i o n

p r e x p o i n t a l g e b r a

c l o s u r e o p e r a t o r m o n a d

T a b l e 1 . 1 : L a t t i c e t h e o r y v e r s u s c a t e g o r y t h e o r y

A n a l t e r n a t i v e v i e w p o i n t , a d v o c a t e d b y L a m b e k 1 3 ] , i s t h a t l a t t i c e t h e o r y i s a v a l u a b l e

s o u r c e o f i n s p i r a t i o n f o r n o v e l r e s u l t s i n c a t e g o r y t h e o r y . I n d e e d , i t i s t h e t h e s i s o f t h i s

d o c u m e n t t h a t f o r t h e p u r p o s e s o f a d v a n c i n g p r o g r a m m i n g m e t h o d o l o g y c a t e g o r y t h e o r y

m a y p r o t a b l y b e r e g a r d e d a s \ c o h e r e n t l y c o n s t r u c t i v e l a t t i c e t h e o r y

1

" . T h a t i s t o s a y ,

a r r o w s b e t w e e n o b j e c t s o f a c a t e g o r y m a y b e s e e n a s \ w i t n e s s e s " t o a p r e o r d e r i n g b e t w e e n

t h e o b j e c t s . C a t e g o r y t h e o r y i s t h u s \ c o n s t r u c t i v e " b e c a u s e i t i s a t h e o r y a b o u t h o w t o

c o n s t r u c t s u c h w i t n e s s e s r a t h e r t h a n a t h e o r y s o l e l y a b o u t t h e i r e x i s t e n c e . C a t e g o r y t h e o r y

i s \ c o h e r e n t l y c o n s t r u c t i v e " b e c a u s e i t i s a l s o a t h e o r y a b o u t t h e r e l a t i o n s b e t w e e n s u c h

w i t n e s s e s ( i . e . t h e e x i s t e n c e o f c o m m u t i n g d i a g r a m s a n d n a t u r a l i t y p r o p e r t i e s ) . A d o p t i n g

t h i s v i e w o f c a t e g o r y t h e o r y , t h e t h e o r y ' s c o n t r i b u t i o n t o p r o g r a m m i n g m e t h o d o l o g y c a n

b e l i k e n e d t o t h e c o n t r i b u t i o n o f c o n s t r u c t i v e t y p e t h e o r y , v i z . t h e e m p h a s i s o n p r o g r a m

c o n s t r u c t i o n a s a b y - p r o d u c t o f t h e m a n i p u l a t i o n o f t y p e s .

T h i s i d e a i s n o t n e w . A p a r t f r o m L a m b e k c i t e d e a r l i e r , i n S c o t t ' s w o r k 2 5 ] t h e r e i s

a c l e a r p r o g r e s s i o n f r o m l a t t i c e t h e o r y t o c a t e g o r y t h e o r y , a n d S m y t h a n d P l o t k i n 2 6 ]

a c k n o w l e d g e \ t h e w e l l - k n o w n a n a l o g y b e t w e e n p a r t i a l o r d e r s a n d c a t e g o r i e s " a s t h e b a s i s

o f t h e i r g e n e r a l i s a t i o n o f t h e s o l u t i o n o f x e d p o i n t e q u a t i o n s t o t h e c o n s t r u c t i o n o f i n i t i a l

x e d p o i n t s . I n t h e t e x t b o o k b y R y d e h e a r d a n d B u r s t a l l 2 3 ] , o n t h e o t h e r h a n d , t h e i d e a

t h a t c a t e g o r y t h e o r y i s c o n s t r u c t i v e i s t h e e x p l i c i t t h e m e a l t h o u g h t h e y d o n o t m a k e t h e

l i n k w i t h l a t t i c e t h e o r y . M o s t r e c e n t l y , P r a t t 2 2 ] h a s o b s e r v e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e

C u r r y - H o w a r d i s o m o r p h i s m b e t w e e n p r o p o s i t i o n s a n d t y p e s , t h e w e l l - k n o w n f o c a l p o i n t o f

c o n s t r u c t i v e t y p e t h e o r y , a n d r e s i d u a t e d l a t t i c e s . T h e l a t t i c e - t h e o r e t i c p r o p e r t i e s w e a r e

s t u d y i n g a n d t h e o r g a n i s a t i o n o f t h o s e p r o p e r t i e s a r e d o c u m e n t e d i n 1 ] .

T h e r e i s s o m e t h i n g m o r e t o b e g a i n e d f r o m l o o k i n g a t c a t e g o r y t h e o r y i n t h i s w a y . I t

t u r n s o u t t o b e v e r y b e n e c i a l i n i m p r o v i n g o u r o w n u n d e r s t a n d i n g o f c a t e g o r y t h e o r y . I f w e

a r e a b l e t o e x p l a i n c a t e g o r y t h e o r y a s a n e x t e n s i o n o f l a t t i c e t h e o r y , w i t h a s b a s i c d i e r e n c e

1

I t h a s b e e n r e m a r k e d t h a t w e s h o u l d s a y \ p r e o r d e r " t h e o r y r a t h e r t h a n \ l a t t i c e " t h e o r y . F r o m t h e

p o i n t o f v i e w o f c o m p u t i n g s c i e n c e , h o w e v e r , a c a t e g o r y w i t h o u t s u m s a n d p r o d u c t s h a s l i t t l e r e l e v a n c e .

T h u s , i t i s i n d e e d l a t t i c e t h e o r y t h a t i s o u r s o u r c e o f i n s p i r a t i o n .



6/142

3

t h e i n t r o d u c t i o n o f w i t n e s s e s , t h e n c a t e g o r y t h e o r y c o u l d b e c o m e m o r e u n d e r s t a n d a b l e f o r

a w i d e r a u d i e n c e .

T h o s e f a m i l i a r w i t h p u b l i c a t i o n s o n c a t e g o r y t h e o r y w i l l b e s u r p r i s e d t h a t t h i s p a p e r

c o n t a i n s v e r y f e w d i a g r a m s . W e d o n ' t r e j e c t t h e u s e o f d i a g r a m s . F o r s m a l l p r o b l e m s i t

c a n b e i l l u m i n a t i n g a n d s a v e s o m e w r i t i n g . I n p a r t i c u l a r , t h e n o d e s i n a d i a g r a m a r e o n l y

w r i t t e n d o w n o n c e , w h i l e i n n o r m a l c a l c u l a t i o n s t h e y a r e r e p e a t e d s e v e r a l t i m e s . H o w e v e r ,

w e w a n t t o a v o i d t h e u s e o f d i a g r a m s , b e c a u s e a d i a g r a m d o e s n ' t m a k e c l e a r i n w h i c h o r d e r

t h e a r r o w s a r e d r a w n a n d w h y t h e c o n s t r u c t i o n i s i n d e e d c o r r e c t . F u r t h e r m o r e , a d i a g r a m

i s d r a w n w i t h i n o n e p a r t i c u l a r c a t e g o r y . W e f r e q u e n t l y d e a l w i t h m o r e t h a n o n e c a t e g o r y

a t o n c e . W e h a v e n o i d e a h o w i n s u c h s i t u a t i o n s w e c a n e e c t i v e l y u s e d i a g r a m s .

T h i s p a p e r c o n t a i n s a l a r g e n u m b e r o f d e t a i l e d p r o o f s . T h i s i s d o n e f o r t w o r e a s o n s .

F i r s t , t h e a u t h o r s h a v e l i m i t e d e x p e r i e n c e w i t h c a t e g o r y t h e o r y . S o , w e w a n t e d t o v e r i f y

a l l t h e m i n u t e d e t a i l s , w h i c h i n a p u b l i c a t i o n a r e n o r m a l l y o m i t t e d . S e c o n d , f o r c a t e g o r y

t h e o r e t i c i a n s t h e c o n s t r u c t i o n o f w i t n e s s e s t o a p r o o f i s a b y - p r o d u c t n o t r e l e v a n t f o r

f u r t h e r c a l c u l a t i o n s , t h e i r e x i s t e n c e b e i n g a l l t h a t ' s n e e d e d . F o r t h e m t h e k n o w l e d g e t h a t

t w o e l e m e n t s a r e i s o m o r p h i c i s e n o u g h a n d w h a t t h e w i t n e s s e s a r e i s n o t c o n s i d e r e d t o b e

r e l e v a n t . H o w e v e r , i f y o u r i n t e r e s t i s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f p r o g r a m s , a s o u r s i s , t h e n t h e

w i t n e s s e s a r e r e l e v a n t . W h e n s t a t i n g t h e t h e o r e m , w e h a v e t r i e d t o s e p a r a t e t h e s e s p e c i c

d e t a i l s f r o m t h e t h e o r e m i t s e l f b y p u t t i n g t h e m u n d e r t h e n a m e \ S p e c i c s " .

T h i s p a p e r i s o r i e n t e d t o t h e d e r i v a t i o n o f c a t e g o r i c a l x e d p o i n t r u l e s c o r r e s p o n d i n g

t o f o u r b a s i c x e d p o i n t r u l e s i n l a t t i c e t h e o r y | t h e a b s t r a c t i o n t h e o r e m , t h e f u s i o n r u l e ,

t h e r o l l i n g r u l e a n d t h e d i a g o n a l r u l e . U n a v o i d a b l e p r e l i m i n a r i e s a r e r s t a n i n t r o d u c t i o n

t o t h e b a s i c d e n i t i o n s o f c a t e g o r y t h e o r y a n d s o m e e l e m e n t a r y p r o p e r t i e s , a l l e x p l a i n e d

f r o m t h e p o i n t o f v i e w t h a t i m p o r t a n t c a t e g o r i c a l c o n c e p t s c o r r e s p o n d t o l a t t i c e - t h e o r e t i c a l

c o n c e p t s . T h i s i s t h e c o n t e n t o f c h a p t e r 2 w h i c h i s i m m e d i a t e l y f o l l o w e d i n c h a p t e r 3 b y

t w o s u b s t a n t i a l e x a m p l e s o f t h e m e t h o d o l o g y o f d e r i v i n g c a t e g o r y t h e o r e t i c r e s u l t s b y

g e n e r a l i s i n g f r o m l a t t i c e t h e o r y . I n c h a p t e r 5 t h e n o t i o n o f a n a l g e b r a i s i n t r o d u c e d , w h i c h

c o r r e s p o n d s i n l a t t i c e t h e o r y t o t h e n o t i o n o f a p r e x p o i n t . C h a p t e r 4 i s a b o u t o n e o f

t h e m o s t i m p o r t a n t c o n c e p t s i n c a t e g o r y t h e o r y v i z . a n a d j u n c t i o n , w h i c h c o r r e s p o n d s

i n l a t t i c e t h e o r y t o a G a l o i s c o n n e c t i o n . I n c h a p t e r 6 w e d e r i v e t h e f o u r b a s i c c a t e g o r i c a l

x e d p o i n t r u l e s . I n t h a t s a m e c h a p t e r w e ' l l a l s o i m m e d i a t e l y u s e t w o o f t h e m t o d e r i v e y e t

a n o t h e r c a t e g o r i c a l x e d p o i n t r u l e , t h a t t u r n s o u t t o b e u s e f u l l a t e r . F i n a l l y i n c h a p t e r

8 t h e c a t e g o r i c a l x e d p o i n t r u l e s a r e u s e d t o e s t a b l i s h i s o m o r p h i s m s b e t w e e n c e r t a i n l i s t

s t r u c t u r e s a n d a t t h e s a m e t i m e c o n s t r u c t t h e c o r r e s p o n d i n g w i t n e s s e s .



7/142

4 1 . I n t r o d u c t i o n



8/142

C h a p t e r 2

B a s i c D e n i t i o n s

I n t h i s c h a p t e r w e s u m m a r i s e t h e m o s t e l e m e n t a r y n o t i o n s o f c a t e g o r y t h e o r y | c a t e g o r y ,

f u n c t o r a n d n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n . W e e m p h a s i s e t h e v i e w p o i n t t h a t a c a t e g o r y i s a

\ c o n s t r u c t i v e " p r e o r d e r s u c h t h a t t h e \ w i t n e s s e s " t o o r d e r i n g s a r e \ c o h e r e n t " . C h a p t e r

3 p r e s e n t s t w o s u b s t a n t i a l i l l u s t r a t i o n s o f t h i s v i e w p o i n t . D e n i t i o n s a r e t a k e n f r o m 1 4 ]

w i t h s o m e n o t a t i o n a l a d a p t a t i o n s .

2 . 1 C a t e g o r i e s

W e b e g i n w i t h t h e d e n i t i o n o f a c a t e g o r y v i a t h e n o t i o n s o f a g r a p h a n d a d e d u c t i v e

s y s t e m .

A g r a p h c o n s i s t s o f t w o c l a s s e s , t h e c l a s s o f a r r o w s a n d t h e c l a s s o f o b j e c t s , a n d t w o

m a p p i n g s f r o m t h e c l a s s o f a r r o w s t o t h e c l a s s o f o b j e c t s , c a l l e d t h e c o d o m a i n a n d d o m a i n

m a p p i n g s . T h e c o d o m a i n a n d d o m a i n m a p p i n g s a r e d e n o t e d b y c o d a n d d o m , r e s p e c -

t i v e l y . W e d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f a l l a r r o w s t o x f r o m y b y x y . T h u s , f 2 x y i s

s y n o n y m o u s w i t h c o d : f = x d o m : f = y . W e a l s o o f t e n s a y t h a t f i s t o x a n d f r o m y .

A d e d u c t i v e s y s t e m i s a g r a p h i n w h i c h t o e a c h o b j e c t x t h e r e i s a s s o c i a t e d a n a r r o w

i d

x

w i t h c o d o m a i n a n d d o m a i n b o t h e q u a l t o x , i . e .

i d

x

2 x x ( 2 . 1 )

a n d t o e a c h p a i r o f a r r o w s f 2 x y a n d g 2 y z t h e r e i s a s s o c i a t e d a n a r r o w f

g w i t h

c o d o m a i n x a n d d o m a i n z . T h a t i s ,

f 2 x y g 2 y z ) f

g 2 x z :( 2 . 2 )

T h e a r r o w i d

x

i s c a l l e d t h e i d e n t i t y a r r o w o n x , a n d f

g i s c a l l e d t h e c o m p o s i t i o n o f f

w i t h g .

A c a t e g o r y i s a d e d u c t i v e s y s t e m i n w h i c h t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s h o l d f o r a l l a r r o w s

f 2 w

x , g 2 x

y a n d h 2 y

z :

i d

w

f = f = f

i d

x

( f

g )

h = f

( g

h ) :

C a t e g o r y T h e o r y 5 J u n e 1 2 , 1 9 9 8


9/142

6 2 . B a s i c D e n i t i o n s

W e u s e t h e n o t a t i o n x 2 C t o d e n o t e t h a t x i s a n o b j e c t o f t h e c a t e g o r y C .

A g r a p h i s s a i d t o b e s m a l l i f t h e c l a s s e s o f o b j e c t s a n d a r r o w s a r e s e t s , a n d l o c a l l y s m a l l

i f f o r e a c h p a i r o f o b j e c t s x a n d y t h e c l a s s o f a r r o w s t o x f r o m y i s a s e t . S i m i l a r l y ,

w e t a l k o f a s m a l l d e d u c t i v e s y s t e m a n d a s m a l l c a t e g o r y i f , i n e a c h c a s e , t h e u n d e r l y i n g

g r a p h i s s m a l l .

N o t e t h a t t h e u s e o f t h e m e m b e r s h i p s y m b o l i n t h e a b o v e d e n i t i o n s s h o u l d n o t b e

t a k e n t o i m p l y t h a t w e o n l y c o n s i d e r s m a l l c a t e g o r i e s .

R u l e ( 2 . 2 ) c a n b e s t a t e d s o l e l y i n t e r m s o f t h e d o m a i n a n d c o d o m a i n m a p p i n g s . S p e c i f -

i c a l l y ,

d o m : f = c o d : g ) c o d : ( f

g ) = c o d : f d o m : ( f

g ) = d o m : g :

W e s o m e t i m e s r e f e r t o t h i s ( a n d o t h e r e l e m e n t a r y r u l e s a b o u t t h e d o m a i n a n d c o d o m a i n

m a p p i n g s ) a s ( c o ) d o m a i n c a l c u l u s .

I t i s o f t e n t h e c a s e t h a t o n e c a t e g o r y i s d e n e d i n t e r m s o f a n o t h e r . F o r e x a m p l e , g i v e n

a c a t e g o r y C , w e c a n d e n e o b j e c t s o f a c a t e g o r y D t o b e s o m e s u b c l a s s o f t h e a r r o w s

o f C . S o , i n c a t e g o r y D w e m i g h t h a v e a r r o w s t o a r r o w s o f C f r o m a r r o w s o f C . T o

p r e v e n t c o n f u s i o n , w e s o m e t i m e s m e n t i o n e x p l i c i t l y t o w h i c h c a t e g o r y a n a r r o w b e l o n g s .

F o r e x a m p l e , i f f a n d g a r e a r r o w s i n C , t h e n w e d e n o t e t h e a r r o w ' i n D t o f f r o m

g b y

' 2 f

D

g :

I n g e n e r a l , i f w e h a v e a n e x p r e s s i o n a n d i t m a y n o t b e c l e a r i n w h i c h c a t e g o r y w e a r e

w o r k i n g t h e n w e ' l l t a g t h a t e x p r e s s i o n i n s o m e w a y w i t h t h e i n t e n d e d c a t e g o r y .

O b j e c t s x a n d y i n t h e s a m e c a t e g o r y a r e s a i d t o b e i s o m o r p h i c i f t h e r e a r e t w o

a r r o w s f 2 x

y a n d g 2 y

x s u c h t h a t f

g = i d

x

a n d g

f = i d

y

, i . e . t h e y a r e e a c h

o t h e r ' s i n v e r s e s . I f t h i s i s t h e c a s e w e w r i t e x

=

y o r , i f w e w a n t t o b e e x p l i c i t a b o u t t h e

a r r o w s , w e w r i t e f 2 x

=

y 3 g . W e a l s o s a y t h a t x a n d y a r e e q u a l u p t o i s o m o r p h i s m .

W e s o m e t i m e s u s e t h e n o t i o n f

t o d e n o t e t h e i n v e r s e o f a n a r r o w f : A s a r e s u l t , w e o f t e n

w r i t e f 2 x

=

y . T h i s m e a n s t h a t x a n d y a r e i s o m o r p h i c , f 2 x y a n d t h e r e e x i s t s a n

a r r o w f

2 y x t h a t i s i t s i n v e r s e . F i n a l l y ,

=

i s t r a n s i t i v e : i f f 2 x

=

y a n d g 2 y

=

z

t h e n f

g 2 x

=

z .

S u p p o s e w e d e n e t h e r e l a t i o n w o n o b j e c t s i n a d e d u c t i v e s y s t e m b y

x w y 9 ( f : : f 2 x y ) :

T h e n w i s r e e x i v e ( b y ( 2 . 1 ) ) a n d t r a n s i t i v e ( b y ( 2 . 2 ) ) . T h u s t h e o b j e c t s o f a ( s m a l l )

d e d u c t i v e s y s t e m f o r m a p r e o r d e r e d s e t u n d e r t h i s r e l a t i o n . B o r r o w i n g j a r g o n f r o m c o n -

s t r u c t i v e t y p e t h e o r y w e c a n r e a d \ f 2 x y " a s \ f w i t n e s s e s t h e o r d e r i n g x w y " . I n t h i s

s e n s e , c a t e g o r y t h e o r y i s c o n s t r u c t i v e : i t i s a t h e o r y a b o u t h o w t o c o n s t r u c t s u c h w i t n e s s e s

r a t h e r t h a n a t h e o r y a b o u t t h e e x i s t e n c e o f t h e w i t n e s s e s .

T h e a x i o m s o f a c a t e g o r y s a y t h a t w i t n e s s e s m u s t b e c o h e r e n t . C o n s i d e r t h e i d e n t i t y

a x i o m : t h e r e q u i r e m e n t t h a t i d

w

f = f = f

i d

x

w h e n e v e r f 2 w x . A s s u m i n g w w x



10/142

2 . 2 . I n i t i a l O b j e c t s 7

t h e r e a r e ( a t l e a s t ) t h r e e w a y s o f c o n c l u d i n g t h a t w w x : i m m e d i a t e l y , b y a r g u i n g t h a t

w w w ( b y r e e x i v i t y ) a n d w w x ( b y a s s u m p t i o n ) a n d h e n c e b y t r a n s i t i v i t y w w x , o r b y

a r g u i n g t h a t w w x ( b y a s s u m p t i o n ) a n d x w x ( b y r e e x i v i t y ) a n d h e n c e b y t r a n s i t i v i t y

w w x . I f w e a u g m e n t t h e s e a r g u m e n t s w i t h t h e c o n s t r u c t i o n o f w i t n e s s e s t o t h e o r d e r i n g w e

o b t a i n f , i d

w

f a n d f

i d

x

. T h e i d e n t i t y a x i o m s a y s t h a t t h e s e m u s t b e t h e s a m e . A s i m -

i l a r a r g u m e n t a p p l i e s t o t h e a s s o c i a t i v i t y a x i o m : t h e r e q u i r e m e n t t h a t ( f

g )

h = f

( g

h )

w h e n e v e r f 2 w x , g 2 x y a n d h 2 y z . S p e c i c a l l y , g i v e n t h a t w w x , x w y a n d

y w z t h e r e a r e t w o d i e r e n t w a y s w e c a n c o m b i n e t h e o r d e r i n g s i n t o t h e o r d e r i n g w w z :

w e m a y r s t c o m b i n e w w x a n d x w y b y t r a n s i t i v i t y t o o b t a i n w w y a n d t h e n c o m b i n e

t h e l a t t e r w i t h y w z , o r w e m a y b e g i n b y c o m b i n i n g x w y a n d y w z t o o b t a i n x w z a n d

t h e n c o m b i n e t h i s w i t h w w x . I f w e a u g m e n t t h e s e a r g u m e n t s w i t h t h e c o n s t r u c t i o n o f

w i t n e s s e s t o t h e o r d e r i n g w e o b t a i n ( f

g )

h a n d f

( g

h ) , r e s p e c t i v e l y .

T h e d e n i t i o n o f a c a t e g o r y i s d e c o m p o s e d i n t o t h r e e p a r t s : a g r a p h , a d e d u c t i v e s y s t e m

a n d , n a l l y , a c a t e g o r y . O u r o w n u n d e r s t a n d i n g o f c a t e g o r y t h e o r y i s t h a t a l l c o n c e p t s i n

t h e t h e o r y a d m i t t h e s a m e d e c o m p o s i t i o n : U n d e r l y i n g t h e c a t e g o r y - t h e o r y c o n c e p t i s a

c o n c e p t i n l a t t i c e t h e o r y t o t h i s i s a d d e d a c o n s t r u c t i v e e l e m e n t , a m e c h a n i s m f o r b u i l d i n g

\ w i t n e s s e s " t o o r d e r i n g s n a l l y , t h e c o n s t r u c t i o n o f w i t n e s s e s i s r e q u i r e d t o b e \ c o h e r e n t " .

I n g e n e r a l , t h e c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t s s t a t e t h a t t h e o r d e r i n w h i c h t h e b a s i c r u l e s o f

c a t e g o r y t h e o r y a r e a p p l i e d h a s n o e e c t o n t h e o b t a i n e d w i t n e s s e s .

2 . 2 I n i t i a l O b j e c t s

T h e s i m p l e s t i l l u s t r a t i o n o f t h e c o h e r e n t l y c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f c a t e g o r y t h e o r y i s t h e

n o t i o n o f a n i n i t i a l o b j e c t i n a c a t e g o r y . A n i n i t i a l o b j e c t i n a c a t e g o r y i s a n o b j e c t a

s u c h t h a t , f o r e a c h o b j e c t x i n t h e c a t e g o r y , t h e r e i s a u n i q u e a r r o w t o x f r o m a : T h e

c o r r e s p o n d i n g c o n c e p t i n l a t t i c e t h e o r y i s l e a s t e l e m e n t . T h e c o n s t r u c t i v e e l e m e n t i n t h e

d e n i t i o n o f i n i t i a l o b j e c t i s t h a t t h e r e e x i s t s a n a r r o w f r o m t h e o b j e c t t o e a c h o b j e c t i n t h e

c a t e g o r y . T h e c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t i s t h e u n i q u e n e s s o f s u c h a r r o w s . F o l l o w i n g M a l c o l m

1 7 , 1 8 ] a n d F o k k i n g a 8 ] , w e d e n o t e t h e u n i q u e a r r o w i n a c a t e g o r y C t o a n o b j e c t x f r o m

a n i n i t i a l o b j e c t a b y ( C x = : a ] ) . T h a t i s , a i s i n i t i a l i n C i f a n d o n l y i f , f o r a l l a r r o w s

f a n d a l l o b j e c t s x i n C ,

f 2 x

C

a f = ( C x = : a ]) :( 2 . 3 )

M o s t o f t e n w e w i l l d r o p t h e p a r a m e t e r C . I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t

s o m e e l e m e n t a r y p r o p e r t i e s a n d t h e o r e m s c o n c e r n i n g i n i t i a l o b j e c t s . S e c t i o n 3 . 1 p r e s e n t s

a m o r e s u b s t a n t i a l e x a m p l e .

T h e r e a r e t h r e e e l e m e n t a r y c o n s e q u e n c e s o f t h e d e n i t i o n o f a n i n i t i a l o b j e c t . F i r s t :

L e t a b e a n i n i t i a l o b j e c t . B y i n s t a n t i a t i n g f x : = i d

a

a i n ( 2 . 3 ) w e o b t a i n :

i d

a

= ( a = : a ]) :( 2 . 4 )

S e c o n d : W e h a v e t h e f o l l o w i n g f u s i o n t h e o r e m . W e g i v e t h e t h e o r e m t h i s n a m e b e c a u s e i t

g i v e s c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h a n a r r o w c a n b e \ f u s e d w i t h " a n a r r o w f r o m a n i n i t i a l o b j e c t .



11/142

8 2 . B a s i c D e n i t i o n s

( A l t e r n a t i v e l y , r e a d a s a r i g h t - t o - l e f t t r a n s f o r m a t i o n , t h e t h e o r e m c a n b e s e e n a s a r u l e f o r

\ d e f u s i n g " a n a r r o w f r o m a n i n i t i a l o b j e c t i n t o t w o a r r o w s . )

T h e o r e m 2 . 5 L e t a b e a n i n i t i a l o b j e c t a n d l e t x a n d y b e a r b i t r a r y o b j e c t s i n a

c a t e g o r y . F u r t h e r m o r e , s u p p o s e f 2 x y , t h e n

f

( y = : a ] ) = ( x = : a ]) :

P r o o f

f

( y = : a ] ) = ( x = : a ])

f ( 2 . 3 ) g

f

( y = : a ]) 2 x a

(f ( y = : a ]) 2 y

a , c o m p o s i t i o n g

f 2 x y :

2

T h i r d : I n a p a r t i a l l y o r d e r e d s e t , i . e . a p r e - o r d e r e d s e t w h e r e t h e o r d e r i n g i s a l s o

a n t i - s y m m e t r i c , l e a s t e l e m e n t s a r e u n i q u e . I n a c a t e g o r y i n i t i a l o b j e c t s a r e u n i q u e u p t o

i s o m o r p h i s m .

T h e o r e m 2 . 6 I n i t i a l o b j e c t s i n t h e s a m e c a t e g o r y a r e i s o m o r p h i c .

2

T h e p r o o f i s l e f t a s a n ( e a s y ) e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r .

W e h a v e t a k e n t h e l i b e r t y o f c a l l i n g 2 . 5 a n d 2 . 6 \ t h e o r e m s " b e c a u s e o f t h e i r r e l a t i v e

i m p o r t a n c e . T h e o r e m 2 . 5 f o r m s t h e b a s i s o f a n u m b e r o f p r o g r a m t r a n s f o r m a t i o n r u l e s

e n a b l i n g p r o g r a m s t o b e m a d e m o r e e c i e n t 9 , 8 ] . A m o n g t h e s e r u l e s a r e o n e s f o r \ l o o p

f u s i o n " w h i c h s t a t e w h e n t w o r e p e t i t i o n s ( \ l o o p s " ) c a n b e c o m b i n e d ( \ f u s e d " ) i n t o o n e .

S o o u r u s e o f t h e w o r d \ f u s i o n " i s n o t w i t h o u t p r e c e d e n t .

B e c a u s e t h e p r o o f s o f t h e o r e m s 2 . 5 a n d 2 . 6 a r e s o t r i v i a l , t h e h a r d w o r k o f a p p l y i n g

t h e m s t i l l h a s t o b e d o n e . T h e i r i m p o r t a n c e i s c o n c e p t u a l . T h e y e m p h a s i s e t h e i m p o r t a n c e

o f i d e n t i f y i n g m a t h e m a t i c a l n o t i o n s a s i n i t i a l o b j e c t s i n s u i t a b l e c a t e g o r i e s .

2 . 3 F u n c t o r s

T h e c o n c e p t o f a m o n o t o n i c f u n c t i o n i n l a t t i c e t h e o r y i s c a p t u r e d i n c a t e g o r y t h e o r y b y

t h e c o n c e p t o f a f u n c t o r .

D e n i t i o n 2 . 7 ( F u n c t o r ) G i v e n a r e t w o c a t e g o r i e s C a n d D . F i s c a l l e d a ( c o v a r i a n t )

f u n c t o r t o C f r o m D i f F m a p s o b j e c t s o f D t o o b j e c t s o f C a n d a r r o w s o f D t o a r r o w s

o f C i n s u c h a w a y t h a t : f o r a l l o b j e c t s x a n d y i n D

F : f 2 F : x

C

F : y ( f 2 x

D

y :



12/142

2 . 3 . F u n c t o r s 9

F u r t h e r m o r e , F m u s t a l s o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g t w o c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t s . L e t f a n d g

b e t w o a r r o w s w i t h d o m : f = c o d : g t h e n

F : ( f

g ) = F : f

F : g

a n d f o r e a c h o b j e c t x i n D

F : i d

x

= i d

F x

:

2

T h e t w o c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t s o n f u n c t o r s r e e c t t h e f a c t t h a t t h e r e a r e t w o p r o o f s

o f e a c h o f t h e p r o p e r t i e s :

F : x w F : z ( x w y y w z

a n d

F : x w F : x

g i v e n t h a t F i s a m o n o t o n i c f u n c t i o n .

A n a n t i - m o n o t o n i c f u n c t i o n i n l a t t i c e t h e o r y c o r r e s p o n d s t o a c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r .

D e n i t i o n 2 . 8 ( C o n t r a v a r i a n t F u n c t o r ) G i v e n a r e t w o c a t e g o r i e s C a n d D . F i s

c a l l e d a c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r t o C f r o m D i f F m a p s o b j e c t s o f D t o o b j e c t s o f C a n d

a r r o w s o f D t o a r r o w s o f C s u c h t h a t : f o r a l l o b j e c t s x a n d y i n D

F : f 2 F : y

C

F : x ( f 2 x

D

y :

( N o t e t h e r e v e r s a l o f x a n d y . ) F u r t h e r m o r e , F m u s t a l s o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g t w o

c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t s . L e t f a n d g b e t w o a r r o w s w i t h d o m : f = c o d : g t h e n

F : ( f

g ) = F : g

F : f

a n d f o r e a c h o b j e c t x i n D

F : i d

x

= i d

F x

:

( N o t e t h e r e v e r s a l o f f a n d g : )

2

I f C i s a c a t e g o r y , t h e n I d

C

d e n o t e s t h e i d e n t i t y f u n c t o r o n C . I t m a p s o b j e c t s a n d

a r r o w s o f C t o t h e m s e l v e s . T h e s u b s c r i p t C i s o f t e n o m i t t e d .



13/142

1 0 2 . B a s i c D e n i t i o n s

2 . 4 N a t u r a l T r a n s f o r m a t i o n s

A n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n f u n c t o r s i n c a t e g o r y t h e o r y c o r r e s p o n d s t o t h e p o i n t w i s e

o r d e r i n g o f m o n o t o n i c f u n c t i o n s . M o r e s p e c i c a l l y , i n l a t t i c e t h e o r y w e h a v e t h e p o i n t w i s e

o r d e r i n g

_

w o n m o n o t o n i c f u n c t i o n s d e n e d b y : l e t f a n d g b e m o n o t o n i c f u n c t i o n s

f

_

w g 8 ( x : : f : x w g : x ) :

I n c a t e g o r y t h e o r y w e h a v e a s i m i l a r d e n i t i o n , b u t | a s u s u a l i n c a t e g o r y t h e o r y | w i t h

a n e x t r a c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t .

D e n i t i o n 2 . 9 ( N a t u r a l T r a n s f o r m a t i o n ) G i v e n a r e t w o c a t e g o r i e s C a n d D a n d

t w o f u n c t o r s F a n d G t o C f r o m D . A n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n t o F f r o m G i s a

f a m i l y o f a r r o w s , o n e f o r e a c h o b j e c t x 2 D , s u c h t h a t

8 ( x : x 2 D :

x

2 F : x

C

G : x )

a n d , f o r e a c h a r r o w f 2 x

D

y ,

F : f

y

=

x

G : f :

2

T h e c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a t a n a r r o w t o F : x f r o m G : y c a n b e

c o n s t r u c t e d i n t w o d i e r e n t w a y s . T h i s i s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g d i a g r a m w h i c h p r o v i d e s

a u s e f u l w a y o f r e m e m b e r i n g t h e r e q u i r e m e n t .

F : x

x

G : x

F : y

F : f

"

y

G : y

"

G : f

N o t e t h a t a r r o w s i n t h e d i a g r a m p o i n t f r o m r i g h t t o l e f t o r f r o m b o t t o m t o t o p . T h i s

f a c i l i t a t e s r e a d i n g o t h e c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t : j u s t r e m e m b e r t o a l w a y s r e a d f r o m l e f t

t o r i g h t a n d f r o m t o p t o b o t t o m i n t h e n o r m a l w a y .

2 . 5 E x a m p l e s o f C a t e g o r i e s

2 . 5 . 1 D i s c r e t e C a t e g o r y

T r i v i a l e x a m p l e s o f c a t e g o r i e s a r e t h e d i s c r e t e c a t e g o r i e s . A d i s c r e t e c a t e g o r y i s a c a t e g o r y

i n w h i c h t h e o n l y a r r o w s a r e t h e i d e n t i t y a r r o w s . F o r m a l l y , C i s a d i s c r e t e c a t e g o r y

w h e n e v e r , f o r a l l o b j e c t s x a n d y , a n d a l l a r r o w s f ,

f 2 x

C

y x = y f = i d

x

:



14/142

2 . 5 . E x a m p l e s o f C a t e g o r i e s 1 1

T h e d i s c r e t e c a t e g o r i e s w i t h a n i t e n u m b e r o f o b j e c t s w i l l b e d e n o t e d b y t h e i r n u m b e r o f

o b j e c t s i n a b o l d f o n t . F o r e x a m p l e , 0 d e n o t e s t h e ( d i s c r e t e ) c a t e g o r y w i t h n o o b j e c t s ,

a n d 2 t h e d i s c r e t e c a t e g o r y w i t h e x a c t l y t w o o b j e c t s .

T r i v i a l t h o u g h t h e y m a y b e , w e o f t e n m a k e u s e o f d i s c r e t e c a t e g o r i e s , i n p a r t i c u l a r a s

s o - c a l l e d \ s h a p e c a t e g o r i e s " .

E x e r c i s e 2 . 1 0 S i m p l i f y t h e d e n i t i o n o f a f u n c t o r i n t h e c a s e t h a t t h e d o m a i n c a t e g o r y

i s 0 , 1 o r 2 . S u p p o s e F a n d G a r e b o t h f u n c t o r s o f t y p e C 2 . W h a t d o e s i t m e a n f o r

t o b e a n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n F a n d G ?

2

2 . 5 . 2 O p p o s i t e C a t e g o r y

G i v e n a c a t e g o r y C w e a l s o h a v e a s o - c a l l e d o p p o s i t e c a t e g o r y C

o p

. T h i s c a t e g o r y h a s

t h e s a m e c l a s s o f o b j e c t s a n d t h e s a m e c l a s s o f a r r o w s b u t w i t h t h e c o d o m a i n a n d d o m a i n

t u r n e d a r o u n d . T h a t i s , f 2 x y i s a n a r r o w i n C

o p

i f a n d o n l y i f f 2 y x i s a n a r r o w

i n C .

B e c a u s e o f t h e e x i s t e n c e o f a n o p p o s i t e c a t e g o r y , w e d o n ' t h a v e t o g i v e s p e c i a l t r e a t -

m e n t t o c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r s s e p a r a t e l y f r o m ( c o v a r i a n t ) f u n c t o r s . M o r e s p e c i c a l l y , a

c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r F t o C f r o m D c a n b e v i e w e d a s a ( c o v a r i a n t ) f u n c t o r b y r e p l a c i n g

i t s c o d o m a i n b y C

o p

o r i t s d o m a i n b y D

o p

.

L e t a b e a n i n i t i a l o b j e c t i n t h e c a t e g o r y C , i . e . t h e r e i s a u n i q u e a r r o w f r o m a t o

e v e r y o t h e r o b j e c t i n t h e c a t e g o r y C . S o , i n t h e o p p o s i t e c a t e g o r y C

o p

t h e r e i s u n i q u e

a r r o w f r o m e v e r y o t h e r o b j e c t t o a . I n t h e c a t e g o r y C

o p

s u c h a n o b j e c t a i s c a l l e d a

t e r m i n a l o b j e c t .

2 . 5 . 3 C a t e g o r y o f C a t e g o r i e s

H a v i n g i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t o f a s m a l l c a t e g o r y , w e c a n t a l k a b o u t a c a t e g o r y o f s m a l l

c a t e g o r i e s d e n o t e d b y C a t . T h e o b j e c t s o f C a t a r e s m a l l c a t e g o r i e s a n d t h e a r r o w s o f

C a t a r e f u n c t o r s . U s i n g t h e n o t a t i o n p r e v i o u s l y i n t r o d u c e d f o r a r r o w s , w e l e t F 2 C D

d e n o t e t h e f u n c t o r t o t h e c a t e g o r y C f r o m t h e c a t e g o r y D . ( W e u s e t h i s n o t a t i o n a l s o f o r

n o n - s m a l l c a t e g o r i e s . ) C o m p o s i t i o n o f t w o f u n c t o r s F 2 C D a n d G 2 D E i s d e n o t e d

b y F

G 2 C E . N o t e t h a t C a t i t s e l f i s n o t a s m a l l c a t e g o r y i n j u s t t h e s a m e w a y a s t h e r e

i s n o s e t c o n t a i n i n g a l l s e t s .

2 . 5 . 4 F u n c t o r C a t e g o r y

G i v e n t h e p r e - o r d e r e d s e t s C a n d D , t h e s e t o f m o n o t o n i c f u n c t i o n s t o C f r o m D f o r m s

a p r e - o r d e r e d s e t u n d e r t h e p o i n t w i s e o r d e r i n g o f f u n c t i o n s . C o r r e s p o n d i n g l y , l e t C a n d

D b e c a t e g o r i e s . T h e n F u n ( C D ) , c o n s t r u c t e d a s f o l l o w s , i s a c a t e g o r y . T h e o b j e c t s a r e

t h e f u n c t o r s t o C f r o m D a n d t h e a r r o w s a r e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s . U s i n g t h e n o t a t i o n



15/142


p r e v i o u s l y i n t r o d u c e d f o r a r r o w s , w e l e t 2 F

G d e n o t e t h e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n t o F

f r o m G : C o m p o s i t i o n o f a r r o w s 2 F

G a n d 2 G

H i s d e n e d b y

(

)

x

=

x

x

, w h e r e x 2 D .( 2 . 1 1 )

T h e i d e n t i t y a r r o w s a r e t h e i d e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n s . I . e . i d

F 2 F

F i s d e n e d b y

( i d

F )

x

= i d

F x

, w h e r e x 2 D .( 2 . 1 2 )

T h e c a t e g o r y o f e n d o f u n c t o r s o n C , i . e . F u n ( C C ) , w i l l b e d e n o t e d b y E n d : C .

N o t e t h a t f u n c t o r s a r e a r r o w s i n t h e c a t e g o r y C a t a n d o b j e c t s i n t h e c a t e g o r y F u n ( C D ) .

S o m e t i m e s w e w r i t e F 2 C D , m e a n i n g t h a t F i s a n a r r o w i n t h e c a t e g o r y C a t w i t h

c o d o m a i n C a n d d o m a i n D , a n d s o m e t i m e s w e w r i t e F 2 F u n ( C D ) , m e a n i n g t h a t F i s a n

o b j e c t i n t h e f u n c t o r c a t e g o r y . B o t h m e a n i n g s b o i l d o w n t o t h e s a m e t h i n g , b u t i n t h e r s t

c a s e t h e e m p h a s i s i s o n t h e f a c t t h a t a f u n c t o r i s a n a r r o w , a n d i n t h e s e c o n d c a s e t h a t i t

i s a n o b j e c t . I t m a y b e c o n f u s i n g a t r s t b u t a f t e r a w h i l e o n e g e t s u s e d t o t h e i d e a !

G i v e n a m o n o t o n i c f u n c t i o n f 2 C D a n d a p r e - o r d e r e d s e t E w e c a n c o n s t r u c t

t w o m o n o t o n i c f u n c t i o n s f

2 ( C E ) ( D E ) a n d

f 2 ( E D ) ( E C ) f r o m m o n o t o n i c

f u n c t i o n s t o m o n o t o n i c f u n c t i o n s . T h e y a r e d e n e d b y ( f

) : g = f

g a n d (

f ) : g = g

f

w h e r e

d e n o t e s f u n c t i o n c o m p o s i t i o n . S i m i l a r l y , g i v e n a f u n c t o r F 2 C D a n d a c a t e g o r y

E , w e c a n c o n s t r u c t F

2 F u n ( C E ) F u n ( D E ) a n d

F 2 F u n ( E D ) F u n ( E C ) . T h e s e a r e

f u n c t o r s f r o m a f u n c t o r c a t e g o r y t o a f u n c t o r c a t e g o r y . T h e d e n i t i o n o f F

i s a s f o l l o w s .

F o r e v e r y f u n c t o r G 2 F u n ( D E ) w e h a v e :

( F

) : G = F

G :

A p p l i c a t i o n o f F

t o t h e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n 2 G H , w h e r e G H 2 F u n ( D E ) , i s

d e n o t e d b y F

a n d d e n e d p o i n t w i s e b y

( F

)

x

= F :

x

f o r e a c h o b j e c t x i n E .

S i m i l a r l y , f o r e v e r y f u n c t o r G 2 F u n ( E C ) w e h a v e :

(

F ) : G = G

F :

A p p l i c a t i o n o f

F t o t h e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n 2 G H , w h e r e G H 2 F u n ( E C ) , i s

d e n o t e d b y

F a n d d e n e d p o i n t w i s e b y

(

F )

x

=

F x

f o r e a c h o b j e c t x i n D .

W e l e a v e t h e v e r i c a t i o n o f t h e c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t s n e e d e d t o p r o v e t h a t w e h a v e

i n d e e d d e n e d t w o f u n c t o r s a s a n e x e r c i s e . F i n a l l y , h a v i n g i n t r o d u c e d t h e f u n c t o r s F

a n d

F t h e r e a r e a l l k i n d s o f c o h e r e n c e p r o p e r t i e s r e l a t i n g n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s F

a n d

F , c o m m o n l y r e f e r r e d t o a s G o d e m e n t ' s r u l e s . W i t h o u t p r o o f w e s t a t e t h e m h e r e .

S u p p o s e F a n d G a r e f u n c t o r s a n d a n d a r e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s a l l o f a p p r o p i a t e

t y p e . T h e n

F

i d = i d

F ( 2 . 1 3 )



16/142


( F

G )

= F

( G

) ( 2 . 1 4 )

( F

G ) = (

F )

G ( 2 . 1 5 )

( G

)

F = G

(

F ) ( 2 . 1 6 )

F

(

) = ( F

)

( F

) ( 2 . 1 7 )

(

)

F = (

F )

(

F ) :( 2 . 1 8 )

F i n a l l y , s u p p o s e 2 F G a n d 2 H K . T h e n a n d c a n b e c o m p o s e d t o f o r m a

n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n , d e n o t e d , o f t y p e F

H G

K c a l l e d t h e i r v e r t i c a l c o m p o s i t i o n .

S p e c i c a l l y ,

= (

H )

( G

) = ( F

)

(

K ) :( 2 . 1 9 )

T h e t w o d i e r e n t b u t e q u a l w a y s o f d e n i n g v e r t i c a l c o m p o s i t i o n ( e x p r e s s e d b y t h e e q u a l i t y

b e t w e e n t h e l a s t t w o t e r m s ) i s c o m m o n l y k n o w n a s t h e i n t e r c h a n g e l a w f o r f u n c t o r s a n d

n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s .

L e t 2 F G . D e n e

b y (

)

H

=

H f o r a l l f u n c t o r s H . T h e n w e h a v e f o r a l l

f u n c t o r s H :

(

)

H

2 F

H G

H

a n d b y ( 2 . 1 9 ) f o r a l l 2 H K

( F

) :

(

)

K

= (

)

H

( G

) : :

T h u s ,

i s a n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n . M o r e s p e c i c a l l y ,

2 F

G

:

F u r t h e r m o r e , b y ( 2 . 1 8 ) , (

)

=

a n d , b y ( 2 . 1 6 ) , ( i d

F )

= i d

( F

) . I n o t h e r w o r d s ,

p o s t c o m p o s i t i o n | t h e f u n c t i o n m a p p i n g F t o F

a n d t o

| i s a f u n c t o r t o t h e

c a t e g o r y F u n ( F u n ( C E ) F u n ( D E ) ) f r o m t h e c a t e g o r y F u n ( C D ) . S i m i l a r l y , l e t 2 H K .

D e n e

b y (

)

F

= F

f o r a l l f u n c t o r s F . T h e n , p r e c o m p o s i t i o n | t h e f u n c t i o n m a p p i n g

F t o

F a n d t o

| i s a f u n c t o r t o t h e c a t e g o r y F u n ( F u n ( E D ) F u n ( E C ) ) f r o m t h e

c a t e g o r y F u n ( C D ) .

2 . 5 . 5 S u m C a t e g o r y

S u p p o s e C i s a c a t e g o r y a n d J 2 C a t C . T h a t i s , J : x i s a c a t e g o r y f o r e a c h o b j e c t x i n

C a n d J : f i s a f u n c t o r f o r e a c h a r r o w f i n C . T h e n w e d e n e t h e s u m c a t e g o r y

C

J o f

J i n t h e f o l l o w i n g w a y . T h e o b j e c t s a r e p a i r s ( x y ) w h e r e x 2 C a n d y 2 J : x . ( T h u s t h e

o b j e c t s a r e e l e m e n t s , y , o f t h e c o l l e c t i o n s o f o b j e c t s J : x a c c o m p a n i e d b y a \ t a g " , x ,

i n d i c a t i n g f r o m w h i c h c o l l e c t i o n t h e y a r e d r a w n . ) T h e a r r o w s a r e p a i r s ( f g ) s a t i s f y i n g

( f g ) 2 ( u v )

C

J

( x y ) f 2 u

C

x g 2 v

J u

( J : f ) : y :( 2 . 2 0 )



17/142


T h e i d e n t i t y a r r o w o n o b j e c t ( x y ) i s ( i d

C

x

i d

J x

y

) . C o m p o s i t i o n o f a r r o w s i s d e n e d b y

( f g )

( h k ) = ( f

h g

( J : f ) : k ) :( 2 . 2 1 )

I n t h e c a s e t h a t J i s a c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r , i . e . a f u n c t o r o f t y p e C a t C

o p

w e d e n e

C

J b y : t h e o b j e c t s a r e p a i r s ( x y ) w h e r e x 2 C a n d y 2 J : x , a n d t h e a r r o w s a r e p a i r s

( f g ) s a t i s f y i n g

( f g ) 2 ( u v )

C

J

( x y ) f 2 u

C

x g 2 ( J : f ) : v

J x

y :( 2 . 2 2 )

T h e i d e n t i t y a r r o w o n o b j e c t ( x y ) i s ( i d

C

x

i d

J x

y

) a n d c o m p o s i t i o n o f a r r o w s i s d e n e d b y

( f g )

( h k ) = ( f

h ( J : h ) : g

k ) :( 2 . 2 3 )

F o r a c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r , J , t h e a b o v e c o n s t r u c t i o n i s c a l l e d t h e G r o t h e n d i e c k c o n -

s t r u c t i o n . S u c h a f u n c t o r i s c a l l e d a n i n d e x e d c a t e g o r y . I n s t e a d o f

C

J t h e n o t a t i o n

R

J

( o r

R

C

J i f i t i s d e s i r e d t o m a k e t h e c a t e g o r y C e x p l i c i t ) i s a l s o u s e d .

E x e r c i s e 2 . 2 4 T h e d e n i t i o n o f t h e c o m p o s i t i o n o f a r r o w s i n

C

J s i m p l i e s c o n s i d e r a b l y

w h e n t h e c a t e g o r y C i s a d i s c r e t e c a t e g o r y . W h a t i s t h i s s i m p l i c a t i o n ?

S u p p o s e C i s t h e d i s c r e t e c a t e g o r y w i t h t w o o b j e c t s 0 a n d 1 . S u p p o s e J 2 C a t C i s

s u c h t h a t J : 0 = A a n d J : 1 = B . I t i s u s u a l t o w r i t e A + B i n s t e a d o f

C

J .

A p p l y t h e d e n i t i o n o f

C

J i n t h i s c a s e t o d e t e r m i n e w h a t t h e o b j e c t s a n d a r r o w s o f

A + B a r e .

2

E x e r c i s e 2 . 2 5 I n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s u m c a t e g o r y , m a p s f u n c t o r s t o c a t e g o r i e s .

T h e q u e s t i o n t h a t i m m e d i a t e l y a r i s e s i s w h e t h e r t h e d e n i t i o n o f c a n b e e x t e n d e d t o m a p

n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s ( a r r o w s i n t h e f u n c t o r c a t e g o r y C a t C ) t o f u n c t o r s ( a r r o w s i n

t h e c a t e g o r y C a t ) i n s u c h a w a y t h a t i t i s a f u n c t o r . T h i s c a n i n d e e d b e d o n e . T h e e x e r c i s e

i s a t e d i o u s o n e s i n c e i t i n v o l v e s c a r e f u l u n f o l d i n g o f s e v e r a l d e n i t i o n s . N e v e r t h e l e s s , i t

i s w o r t h w h i l e w o r k i n g t h r o u g h s o m e o f t h e d e t a i l s i n o r d e r t o g a i n f a m i l i a r i t y w i t h t h e

v a r i o u s d e n i t i o n s . I n o r d e r t o d e r i v e t h e e d u c a t i o n a l b e n e t w i t h o u t t o o m u c h o f t h e

t e d i u m w e p r e s e n t s o m e o f t h e d e t a i l s f o r y o u .

W e h a v e t o d e n e f o r e a c h n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n . S u p p o s e 2 J K . T h e n

s h o u l d b e a f u n c t o r ( a n a r r o w i n C a t ) o f t y p e

C

J

C

K . T h u s , t h e r s t t a s k i s t o

d e n e t h e a p p l i c a t i o n o f t o o b j e c t s a n d t o a r r o w s i n t h e c a t e g o r y

C

K .

G u i d e d b y t h e t y p e r e q u i r e m e n t s , w e d e n e o n o b j e c t s b y : ( u v ) = ( u

u

: v )

f o r e a c h u 2 C a n d v 2 K : u . V e r i f y t h a t t h i s m e e t s t h e r e q u i r e m e n t t h a t : ( u v ) 2

C

J .

( Y o u w i l l n e e d t o u s e t h e f a c t t h a t

u

i s a f u n c t o r . H o w m u c h o f t h e d e n i t i o n o f a f u n c t o r

d o y o u a c t u a l l y u s e ? )

A l s o g u i d e d b y t h e t y p e r e q u i r e m e n t s , w e d e n e o n a r r o w s b y : ( f g ) = ( f

u

: g )

w h e n e v e r f 2 u

C

x a n d g 2 v

K u

( K : f ) : y . V e r i f y t h a t t h i s m e e t s t h e r e q u i r e m e n t t h a t

: ( f g ) 2 : ( u v )

C

J

: ( x y ) . ( H e r e y o u w i l l n e e d t o u s e t h e f a c t t h a t i s a n a t u r a l

t r a n s f o r m a t i o n . ) V e r i f y i n a d d i t i o n t h a t p r e s e r v e s i d e n t i t i e s a n d d i s t r i b u t e s t h r o u g h

c o m p o s i t i o n .



18/142


2

A n o t h e r i m p o r t a n t c a t e g o r y , t h e c a t e g o r y o f a l g e b r a s , i s t r e a t e d i n c h a p t e r 5 .



19/142




20/142

C h a p t e r 3

E l e m e n t a r y I l l u s t r a t i o n s

I n t h i s c h a p t e r w e p r e s e n t t w o e l e m e n t a r y i l l u s t r a t i o n s o f t h e m e t h o d o l o g y o f d e r i v i n g

c a t e g o r i c a l r e s u l t s b y g e n e r a l i s i n g f r o m l a t t i c e t h e o r e t i c r e s u l t s . T h e s e c o n d o f t h e t w o

| \ Y o n e d a ' s l e m m a " | i s ( i n o u r v i e w ) t r a n s f o r m e d i n t h i s w a y f r o m a r e l a t i v e l y d i c u l t

p r o p o s i t i o n t o a s t r a i g h t f o r w a r d , b u t t e d i o u s , o n e .

3 . 1 T h e I n i t i a l F u n c t o r

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t a r e l a t i v e l y s t r a i g h t f o r w a r d b u t n e v e r t h e l e s s s u b s t a n t i a l i l l u s -

t r a t i o n o f t h e c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f c a t e g o r y t h e o r y . T h e l e m m a w e p r o v e c o m b i n e s t h e

n o t i o n o f a s u m c a t e g o r y w i t h t h e n o t i o n o f a n i n i t i a l o b j e c t a n d i s t h u s a g o o d i l l u s t r a t i o n

o f c a t e g o r i c a l c o n c e p t s p e r s e . I t w i l l a l s o b e u s e f u l t o u s l a t e r o n .

W e b e g i n w i t h t h e s t a t e m e n t o f t h e l e m m a i n l a t t i c e t h e o r y . S u p p o s e ( D ) i s a p o s e t

a n d f x : x 2 D : S : x g i s a s e t o f s e t s a n d s u p p o s e t h a t e a c h s e t S : x h a s a l e a s t e l e m e n t l e a s t : x .

T h e n , i f S i s a n a n t i m o n o t o n i c f u n c t i o n ( i . e . S : x S : y ( x y ) , t h e f u n c t i o n l e a s t i s

m o n o t o n i c . T h e p r o o f i s e l e m e n t a r y .

T o o b t a i n t h e c a t e g o r i c a l v e r s i o n o f t h i s f a c t w e r e p l a c e \ p o s e t " b y \ c a t e g o r y " , \ a n t i -

m o n o t o n i c f u n c t i o n S " b y \ c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r S " , t h e i n d e x e d s e t o f s e t s \ f x : x 2 D : S : x g "

b y S , \ l e a s t " b y \ i n i t i a l " a n d \ m o n o t o n i c f u n c t i o n " b y \ ( c o v a r i a n t ) f u n c t o r " . W e g e t :

L e m m a 3 . 1 S u p p o s e D i s a c a t e g o r y , a n d S 2 C a t

D i s a c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r .

S u p p o s e f u r t h e r t h a t , f o r e a c h x i n D , t h e c a t e g o r y S : x h a s a n i n i t i a l o b j e c t g i v e n b y

I n i t O b j : x . T h e n t h e r e i s a f u n c t o r I n i t 2 S D .

2

I n t h e f u t u r e , w h e n e v e r w e s t a t e a l e m m a s u c h a s t h i s o n e w e w i l l s i m u l t a n e o u s l y

p r o v i d e a l l d e t a i l s . I n t h i s c a s e , h o w e v e r , w e p o s t p o n e g i v i n g t h e d e t a i l s o f t h e f u n c t o r I n i t

b e c a u s e w e w a n t t o i l l u s t r a t e h o w i t s d e n i t i o n i s c o n s t r u c t e d . W e r e w e t o p r o v i d e t h e

d e t a i l s i m m e d i a t e l y i t w o u l d s u g g e s t t h a t w e a l w a y s s o m e h o w g u e s s w h a t t h e d e n i t i o n i s

a n d t h e n v e r i f y t h a t o u r g u e s s i s c o r r e c t , b u t t h a t i s n o t t h e c a s e !

C a t e g o r y T h e o r y 1 7 J u n e 1 2 , 1 9 9 8


21/142

1 8 3 . E l e m e n t a r y I l l u s t r a t i o n s

R e f e r r i n g t o t h e d e n i t i o n o f a f u n c t o r ( d e n i t i o n 2 . 7 ) , w e h a v e t o d e n e I n i t o n o b j e c t s

a n d a r r o w s o f D . I n t h e c a s e o f o b j e c t x w e d e n e

I n i t : x = ( x I n i t O b j : x )

t h i s b e i n g t h e o b v i o u s w a y t o s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t t h a t I n i t : x 2 S . O n a r r o w s

f 2 x

D

y t h e r e q u i r e m e n t f o r I n i t t o b e a f u n c t o r i s :

I n i t : f 2 I n i t : x

S

I n i t : y :

S i n c e a r r o w s i n S a r e , b y d e n i t i o n , p a i r s w e p o s t u l a t e t h a t I n i t : f = ( ) a n d w e c a l -

c u l a t e s u i t a b l e d e n i t i o n s o f a n d a s f o l l o w s :

( ) 2 I n i t : x

S

I n i t : y

f d e n i t i o n o f a n a r r o w i n S : ( 2 . 2 2 ) ,

d e n i t i o n o f I n i t : x a n d I n i t : y g

2 x

D

y 2 ( S : ) : ( I n i t O b j : x )

S y

I n i t O b j : y

f = f g

2 ( S : f ) : ( I n i t O b j : x )

S y

I n i t O b j : y

f I n i t O b j : y i s i n i t i a l i n S : y g

= ( S : y ( S : f ) : ( I n i t O b j : x ) = : I n i t O b j : y ])

T h e u n i q u e w a y o f s a t i s f y i n g t h e t y p e r e q u i r e m e n t o n I n i t : f i s t h u s b y l e t t i n g :

I n i t : f = ( f ( S : y ( S : f ) : ( I n i t O b j : x ) = : I n i t O b j : y ]) ) :( 3 . 2 )

W e n o w h a v e t o v e r i f y t h a t I n i t m a p s i d e n t i t y a r r o w s t o i d e n t i t y a r r o w s a s w e l l a s d i s -

t r i b u t i n g t h r o u g h t h e c o m p o s i t i o n o f t w o a r r o w s . F o r b r e v i t y w e u s e I n i t A r r : f t o d e n o t e

t h e s e c o n d c o m p o n e n t o f I n i t : f . F i r s t t h e v e r i c a t i o n t h a t i d e n t i t y a r r o w s a r e m a p p e d t o

i d e n t i t y a r r o w s .

I n i t : i d

x

= i d

I n i t x

f d e n i t i o n o f I n i t : ( 3 . 2 ) ,

d e n i t i o n o f i d e n t i t y a r r o w s i n S g

( i d

x

I n i t A r r : i d

x

) = ( i d

x

i d

I n i t O b j x

)

f p a i r f o r m i n g g

I n i t A r r : i d

x

= i d

I n i t O b j x

f i n i t i a l i t y o f I n i t O b j : x g

I n i t A r r : i d

x

2 I n i t O b j : x

S x

I n i t O b j : x

( f S : i d

x

= i d

S x

g



22/142

3 . 2 . Y o n e d a ' s L e m m a 1 9

I n i t A r r : i d

x

2 ( S : i d

x

) : ( I n i t O b j : x )

S x

I n i t O b j : x

f b y c o n s t r u c t i o n g

t r u e :

N o w w e p r o v e t h a t I n i t d i s t r i b u t e s t h r o u g h c o m p o s i t i o n . S u p p o s e f 2 x y a n d g 2 y z .

T h e n ,

I n i t : ( f

g ) = I n i t : f

I n i t : g

f d e n i t i o n g

( f

g I n i t A r r : ( f

g ) ) = ( f I n i t A r r : f )

( g I n i t A r r : g )

f d e n i t i o n o f c o m p o s i t i o n i n S : ( 2 . 2 3 ) g

( f

g I n i t A r r : ( f

g ) ) = ( f

g ( S : g ) : ( I n i t A r r : f )

I n i t A r r : g )

( f p a i r f o r m i n g g

I n i t A r r : ( f

g ) = ( S : g ) : ( I n i t A r r : f )

I n i t A r r : g

f i n i t i a l i t y : b o t h t e r m s h a v e d o m a i n I n i t O b j : z g

c o d : ( I n i t A r r : ( f

g ) ) = c o d : ( ( S : g ) : ( I n i t A r r : f )

I n i t A r r : g )

( f c o n s t r u c t i o n o f I n i t A r r , c o d : ( f

g ) = c o d : f g

( S : ( f

g ) ) : ( I n i t O b j : x ) = c o d : ( ( S : g ) : ( I n i t A r r : f ) )

f S i s a c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r ,

S : g i s a ( c o v a r i a n t ) f u n c t o r g

( S : g

S : f ) : ( I n i t O b j : x ) = ( S : g ) : ( c o d : ( I n i t A r r : f ) )

f c o d : ( I n i t A r r : f ) = ( S : f ) : ( I n i t O b j : x ) g

t r u e :

T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

3 . 2 Y o n e d a ' s L e m m a

I n t h i s s e c t i o n w e i l l u s t r a t e t h e i d e a o f c a t e g o r y t h e o r y a s c o h e r e n t l y c o n s t r u c t i v e l a t t i c e

t h e o r y b y s h o w i n g h o w t o f o r m u l a t e a n d p r o v e Y o n e d a ' s l e m m a .

3 . 2 . 1 I n L a t t i c e T h e o r y

B y ` a m o n o t o n i c p r e d i c a t e ' w e m e a n a p r e d i c a t e p s u c h t h a t :

( p : x ( p : y ) ( x w y :

I n l a t t i c e t h e o r y w e h a v e t h e f o l l o w i n g l e m m a .



23/142


L e m m a 3 . 3 S u p p o s e p i s a m o n o t o n i c p r e d i c a t e a n d x i s a n a r b i t r a r y e l e m e n t o f t h e

d o m a i n o f p : T h e n ,

p : x 8 ( y : : p : y ( y w x ) :( 3 . 4 )

2

T h e l e m m a i s s o s i m p l e t h a t i t d o e s n ' t h a v e a n a m e . A m o n g i t s c o r o l l a r i e s i s t h e r u l e w e

c a l l i n d i r e c t e q u a l i t y | a r u l e t h a t i s e q u a l l y s i m p l e b u t w h i c h d e s e r v e s a n a m e b e c a u s e o f

i t s u b i q u i t y .

C o r o l l a r y 3 . 5 ( i n d i r e c t e q u a l i t y ) F o r a r b i t r a r y e l e m e n t s x a n d z ,

x = z 8 ( y : : y w z y w x ) :

P r o o f I n s t a n t i a t e p : x : = ( x w z ) i n l e m m a 3 . 3 ( n o t i n g t h a t p i s i n d e e d m o n o t o n i c ) . T h e n

w e h a v e

x w z 8 ( y : : y w z ( y w x ) :( 3 . 6 )

T h e r e s u l t f o l l o w s f r o m ( 3 . 6 ) , ( 3 . 6 ) w i t h x a n d z i n t e r c h a n g e d , a n d a n t i - s y m m e t r y .

2

W e n o w f o r m u l a t e a n d p r o v e a l e m m a s i m i l a r t o ( 3 . 3 ) b u t w i t h i n a c a t e g o r i c a l f r a m e -

w o r k . W e r s t m a k e t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n . S u p p o s e w e d e n o t e f u n c t i o n f w i t h d o m a i n

A b y x : x 2 A : f : x ] , o r b y x : : f : x ]

1

i f t h e d o m a i n i s c l e a r f r o m t h e c o n t e x t . T h e n , u s i n g

e x t e n s i o n a l i t y t h r e e t i m e s , w e c a n r e w r i t e ( 3 . 4 ) a s t h e e q u a l i t y :

p x : m o n o t o n i c : p : p : x ] = p x : m o n o t o n i c : p : p ( y : : y w x ] ] :( 3 . 7 )

N o w n o t e t h a t t h e t h r e e p r e d i c a t e s i n t h i s e q u a l i t y a r e a l l m o n o t o n i c f u n c t i o n s . T h e

p r e d i c a t e p x : : p : x ] i s t h e e v a l u a t i o n f u n c t i o n ( r e s t r i c t e d t o m o n o t o n i c p r e d i c a t e s ) . I t

i s t h e f u n c t i o n d e n o t e d b y t h e i n x d o t . ( W e h a v e r e f r a i n e d f r o m w r i t i n g j u s t a d o t o n

t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n b e c a u s e i t w o u l d m o s t p r o b a b l y c o n f u s e a g r e a t m a n y

r e a d e r s ! ) I t i s m o n o t o n i c i n t h e a r g u m e n t p | b y d e n i t i o n | w i t h r e s p e c t t o t h e p o i n t w i s e

o r d e r i n g o n p r e d i c a t e s :

p ( q 8 ( x : : p : x ( q : x ) :

I t i s a l s o m o n o t o n i c i n t h e a r g u m e n t x b y v i r t u e o f t h e f o l l o w i n g s i m p l e c a l c u l a t i o n :

p : m o n o t o n i c : p : p : x ] ( p : m o n o t o n i c : p : p : y ]

f d e n i t i o n o f p o i n t w i s e o r d e r i n g g

8 ( p : m o n o t o n i c : p : p : x ( p : y )

( f d e n i t i o n o f m o n o t o n i c p r e d i c a t e g

x w y :

1

I n t h e m o r e f a m i l i a r l a m b d a n o t a t i o n t h i s w o u l d b e w r i t t e n x : f x . T h e f r e e d o m t o i n c l u d e d o m a i n

i n f o r m a t i o n i s a u s e f u l d e v i c e , p a r t i c u l a r l y f o r r e s t r i c t i n g t h e d o m a i n o f a f u n c t i o n .



24/142

3 . 2 . Y o n e d a ' s L e m m a 2 1

S i m i l a r l y , t h e o t h e r t w o f u n c t i o n s a r e a l s o m o n o t o n i c . W e u r g e y o u t o w r i t e d o w n t h e

( r a t h e r t r i v i a l ) v e r i c a t i o n s . I t w i l l h e l p y o u s h o r t l y t o u n d e r s t a n d t h e c a t e g o r i c a l e q u i v a -

l e n t s .

I n o r d e r t o \ l i f t " ( 3 . 7 ) t o c a t e g o r y t h e o r y w e r e p l a c e e q u a l i t y b y i s o m o r p h i s m , m o n o -

t o n i c f u n c t i o n b y f u n c t o r , a n d p r e d i c a t e p b y a f u n c t o r F 2 S e t C f o r a l o c a l l y s m a l l

c a t e g o r y C . I n a d d i t i o n , w e h a v e t o d e n e f u n c t o r i a l c o u n t e r p a r t s t o t h e t h r e e m o n o t o n i c

f u n c t i o n s j u s t d i s c u s s e d .

3 . 2 . 2 T h e E v a l u a t i o n F u n c t o r

L e t u s b e g i n w i t h t h e e v a l u a t i o n f u n c t i o n . W e h a v e t o d e n e a n e v a l u a t i o n f u n c t o r f o r

a g i v e n l o c a l l y s m a l l c a t e g o r y C . I t m u s t m a p F 2 S e t C a n d x 2 C t o a n o b j e c t i n S e t

: t h e o b j e c t F : x i s t h e o b v i o u s c a n d i d a t e . M o r e o v e r , i t m u s t m a p a n a r r o w f 2 x

C

y

a n d a n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n 2 F

F u n ( S e t C )

G t o a n a r r o w : f i n S e t . B e i n g a b i n a r y

f u n c t o r m e a n s t h a t i t h a s t o b e c o n s t r u c t i v e l y m o n o t o n i c i n b o t h i t s a r g u m e n t s . T h a t i s , f o r

g i v e n o b j e c t s x y 2 C , a r r o w f 2 x

C

y , f u n c t o r s F G 2 S e t C a n d n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n

2 F

F u n ( S e t C )

G w e h a v e t o c o n s t r u c t a n a r r o w : f 2 F : x

S e t

G : y . I n o t h e r w o r d s : f

m u s t s a t i s f y

: f 2 F : x G : y ( 2 F G f 2 x y :( 3 . 8 )

C o m p a r e t h i s r e q u i r e m e n t w i t h t h e m o n o t o n i c i t y o f t h e e v a l u a t i o n f u n c t i o n :

F : x w G : y ( F

_

w G x w y :( 3 . 9 )

C o m p a r e a l s o t h e p r o o f o f ( 3 . 9 ) ( a s s u m i n g t h a t F a n d G a r e m o n o t o n i c , p r o o f l e f t t o t h e

r e a d e r ) w i t h t h e f o l l o w i n g c o n s t r u c t i o n o f : f :

: f 2 F : x G : y

( f G i s a f u n c t o r . T h u s , G : f 2 G : x G : y

: f =

G : f g

2 F : x G : x

( f d e n i t i o n o f n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n g

=

x

:

I n c o n c l u s i o n , : f =

x

G : f s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t ( 3 . 8 ) .

T h e r e i s a n a l t e r n a t i v e t o t h e r s t s t e p i n t h e a b o v e c a l c u l a t i o n , n a m e l y , w e c o u l d h a v e

u s e d t h e f a c t t h a t F r a t h e r t h a n G i s a f u n c t o r . T h i s l e a d s t o d e n i n g : f a s F : f

y

.

T h e c o h e r e n c e p r o p e r t y o f n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s g u a r a n t e e s t h a t t h e c h o i c e i s i r r e l e v a n t .

W e s t i l l h a v e t o v e r i f y t h e c o h e r e n c e r e q u i r e m e n t o n t h e e v a l u a t i o n f u n c t o r . S i n c e i t i s

a b i n a r y f u n c t o r w e h a v e t o c h e c k t h a t

(

) : ( f

g ) = : f

: g



25/142


f o r a l l n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s a n d , a n d a l l a r r o w s f a n d g . ( N o t e t h a t a l l t h r e e

c o m p o s i t i o n s a r e i n d i e r e n t c a t e g o r i e s . ) W e a l s o h a v e t o c h e c k t h a t

( i d

F ) : i d

C

x

= i d

S e t

F x

f o r a l l f u n c t o r s F a n d o b j e c t s x . W e l e a v e t h e s e ( s i m p l e ) c h e c k s t o t h e r e a d e r .

T h i s c o m p l e t e s t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e e v a l u a t i o n f u n c t o r a n d t h e v e r i c a t i o n t h a t i t

i s i n d e e d a f u n c t o r . I n o r d e r t o m a i n t a i n t h e s u g g e s t i v e l i n k w i t h l a t t i c e t h e o r y w e s h a l l

d e n o t e i t b y F x : F 2 F u n ( S e t C ) x 2 C : F : x ] o r , m o r e c o m m o n l y , F x : : F : x ] . I n g e n e r a l ,

w h e n w e i n t r o d u c e q u a n t i e d e x p r e s s i o n s ( a s i n d i c a t e d b y s q u a r e b r a c k e t s ) t h e d u m m i e s

r a n g e o v e r b o t h o b j e c t s a n d a r r o w s o f t h e r e l e v a n t c a t e g o r i e s . T h u s , i n t h i s c a s e , F r a n g e s

o v e r o b j e c t s a n d a r r o w s o f t h e f u n c t o r c a t e g o r y F u n ( S e t C ) a n d x r a n g e s o v e r o b j e c t s a n d

a r r o w s o f t h e c a t e g o r y C .

O n e n a l t h i n g t o n o t e a b o u t t h e e v a l u a t i o n f u n c t o r i s t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e c a t e g o r y

S e t h a s n e v e r b e e n u s e d | i t m i g h t j u s t a s w e l l h a v e b e e n s o m e a r b i t r a r y c a t e g o r y .

3 . 2 . 3 H o m F u n c t o r s ( G e n e r a l i s e d )

W e s t i l l h a v e t o d e n e t h e f u n c t o r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e f u n c t i o n s y : : y w x ] a n d p x : :

p ( y : : y w x ] ] . I t p a y s t o r s t d e n e a m o r e g e n e r a l f u n c t o r o f w h i c h b o t h a r e i n s t a n c e s .

S u p p o s e p a n d q a r e a r b i t r a r y m o n o t o n i c p r e d i c a t e s ( n o t n e c e s s a r i l y w i t h t h e s a m e

d o m a i n ) . T h e n t h e p r e d i c a t e p : x ( q : y i s m o n o t o n i c i n x a n d a n t i - m o n o t o n i c i n y . L e t

u s \ l i f t " t h i s o b s e r v a t i o n t o a s t a t e m e n t i n c a t e g o r y t h e o r y .

S u p p o s e F 2 C D a n d G 2 C E a r e a r b i t r a r y f u n c t o r s . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n m a p -

p i n g x 2 D a n d y 2 E t o t h e s e t

2

F : x

C

G : y ( t h e a r r o w s i n t h e c a t e g o r y C t o F : x f r o m

G : y ) . T h i s f u n c t i o n c a n b e e x t e n d e d t o a b i n a r y f u n c t o r t h a t i s c o v a r i a n t i n t h e a r g u m e n t

x a n d c o n t r a v a r i a n t i n t h e a r g u m e n t y : T h e c o d o m a i n o f t h e f u n c t o r i s t h e c a t e g o r y S e t .

I t s d o m a i n i s t h e c a r t e s i a n p r o d u c t o f t h e c a t e g o r y D a n d ( t h e o p p o s i t e o f ) c a t e g o r y E .

O n a r r o w s f 2 x

D

u a n d g 2 y

E

v w e d e n e F : f G : g b y

( F : f G : g ) : h = F : f

h

G : g

f o r a l l h 2 F : u

C

G : y . S t r a i g h t f o r w a r d l y ,

F : f G : g 2 ( F : x

C

G : v ) ( F : u

C

G : y ) :

( N o t e t h e s w i t c h i n t h e o r d e r o f y a n d v . T h e u n l a b e l l e d a r r o w o n t h e r i g h t d e n o t e s a

c l a s s o f a r r o w s i n t h e c a t e g o r y S e t . S o , F : f G : g i s a f u n c t i o n . ) M o r e o v e r ,

( F : i d

x

G : i d

v

) : h = h

a n d

( F : f G : g )

( F : h G : k ) = F : ( f

h ) G : ( k

g )

2

F o r c o n v e n i e n c e w e a s s u m e t h a t t h e c a t e g o r y i s l o c a l l y s m a l l . T h a t i s , t h e a r r o w s b e t w e e n a p a i r o f

o b j e c t s f o r m a s e t . W e s h a l l s e e l a t e r t h a t t h i s c a n b e a v o i d e d .



26/142

3 . 2 . Y o n e d a ' s L e m m a 2 3

f o r a l l f , g , h a n d k o f s u i t a b l e t y p e . ( N o t e t h e s w i t c h i n t h e o r d e r o f g a n d k . ) T h u s

w e h a v e i n d e e d d e n e d a f u n c t o r . L e t u s d e n o t e t h i s f u n c t o r b y x y : : F : x

G : y ] , t h e

s q u a r e b r a c k e t s i n d i c a t i n g a b s t r a c t i o n f r o m t h e d u m m i e s x a n d y :

I f F a n d G a r e b o t h i n s t a n t i a t e d t o t h e i d e n t i t y f u n c t o r o n s o m e c a t e g o r y C t h e n t h e

f u n c t o r w e o b t a i n , x y : : x y ] , m a p s a p a i r o f o b j e c t s x a n d y o n t o t h e s e t o f a r r o w s

t o x f r o m y . T h i s s e t i s c a l l e d a h o m s e t ( \ h o m " b e i n g s h o r t f o r \ h o m o m o r p h i s m " ) a n d

t h e f u n c t o r i s c a l l e d t h e h o m f u n c t o r . C a t e g o r y t h e o r e t i c i a n s w i l l r e c o g n i z e t h e f u n c t o r

x y : : F : x G : y ] a s t h e c o m p o s i t i o n o f t h e h o m f u n c t o r o n t h e ( c o m m o n ) c o d o m a i n s o f

F a n d G a n d t h e p r o d u c t o f t h e f u n c t o r s F a n d t h e o p p o s i t e o f G .

3 . 2 . 4 T h e L e m m a

G i v e n a b i n a r y f u n c t o r w e c a n a l w a y s c o n s t r u c t a u n a r y f u n c t o r b y x i n g o n e o f i t s a r -

g u m e n t s . T h e b i n a r y f u n c t o r x y : : F : x G : y ] t h u s h a s i n s t a n c e s t h e c o v a r i a n t f u n c t o r

x : : F : x y ] d e n e d o n a r r o w f b y

( F : f i d

y

) : h = F : f

h

a n d t h e c o n t r a v a r i a n t f u n c t o r y : : x G : y ] d e n e d o n a r r o w g b y

( i d

x

G : g ) : h = h

G : g :

S o w e n o w h a v e a l l t h e b i t s a n d p i e c e s n e e d e d t o f o r m u l a t e t h e c a t e g o r i c a l c o u n t e r p a r t o f

l e m m a ( 3 . 3 ) , a l e m m a c o m m o n l y r e f e r r e d t o a s Y o n e d a ' s l e m m a .

L e m m a 3 . 1 0 ( Y o n e d a ' s l e m m a ) S u p p o s e C i s l o c a l l y s m a l l . T h e n ,

F x : F 2 F u n ( S e t C ) x 2 C : F : x ]

=

F x : F 2 F u n ( S e t C ) x 2 C : F y : : y x ] ] :

2

F o r t h e p r o o f o f Y o n e d a ' s l e m m a w e a r e r e q u i r e d t o c o n s t r u c t t w o w i t n e s s e s ' a n d

s u c h t h a t

' 2 F x : : F : x ]

=

F x : : F y : : y x ] ] 3 :

W e b e g i n b y c o n s t r u c t i n g c a n d i d a t e s f o r t h e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s ' a n d .

C a n d i d a t e ' : S u p p o s e x i s a n a r b i t r a r y o b j e c t o f C . F o r ' w e o b s e r v e t h a t

'

F x

2 F : x

S e t

( F

y : : y

x ] ) :

S o , '

F x

i s a f u n c t i o n a n d o n 2 F

y : : y

x ] w e d e n e i t b y :

'

F x

: =

x

: i d

x

:( 3 . 1 1 )

C a n d i d a t e : F o r w e o b s e r v e t h a t

F x

2 ( F y : : y x ] )

S e t

F : x :



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T a k e a n o b j e c t a 2 F : x t h e n

F x

: a 2 F

F u n ( S e t C )

y : : y x ] :

S o ,

F x

: a i s a n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n . T h u s f o r a l l o b j e c t s y a n d a r r o w s f 2 u v w e

m u s t h a v e

(

F x

: a )

y

2 F : y

S e t

( y x ) F : f

(

F x

: a )

v

= (

F x

: a )

u

( f

) :

S o , (

F x

: a )

y

i s a f u n c t i o n a n d o n g 2 y x w e d e n e i t b y :

(

F x

: a )

y

: g = ( F : g ) : a :( 3 . 1 2 )

I t r e m a i n s t o v e r i f y t h e n a t u r a l i t y p r o p e r t y o f

F x

: a . T a k e g 2 v x . T h e n ,

( F : f

(

F x

: a )

v

) : g

= f d e n i t i o n

F x

: a g

( F : f ) : ( ( F : g ) : a )

= f c o m p o s i t i o n , F f u n c t o r g

( F : ( f

g ) ) : a

= f d e n i t i o n

F x

: a g

(

F x

: a )

u

: ( f

g ) :

T h u s w e h a v e d e r i v e d c a n d i d a t e s f o r b o t h ' a n d :

I n v e r s e s : W e n o w p r o v e t h a t t h e y a r e o t h e r s ' i n v e r s e s . F i r s t ,

'

F x

: (

F x

: a )

= f d e n i t i o n ' g

(

F x

: a )

x

: i d

x

= f d e n i t i o n g

( F : i d

x

) : a

= f F f u n c t o r g

i d

F x

: a :

S e c o n d ,

(

F x

: ( '

F x

: ) )

y

: g

= f d e n i t i o n ' a n d g

( F : g ) : (

x

: i d

x

)

= f 2 F y : : y x ] , s o F : g

x

=

y

( g

) g

y

: g :



28/142

3 . 2 . Y o n e d a ' s L e m m a 2 5

N a t u r a l i t y ' : F i n a l l y w e p r o v e t h e n a t u r a l i t y p r o p e r t y f o r ' , i . e . f o r a l l f 2 u

v , a n d

a l l 2 F

G ,

: f

'

G v

= '

F u

( y : : y f ] ) :

N o t e ,

y : : y f ] 2 ( F y : : y v ] )

S e t

( G y : : y u ] )

i . e . i t i s a f u n c t i o n a n d f o r 2 G y : : y u ] i t i s d e n e d b y

( ( y : : y f ] ) : )

z

=

z

z

(

f ) :( 3 . 1 3 )

T h u s ,

( '

F u

( y : : y f ] ) ) :

= f a p p l i c a t i o n g

'

F u

: ( ( y : : y f ] ) : )

= f d e n i t i o n ' g

( ( y : : y f ] ) : )

u

: i d

u

= f ( 3 . 1 3 ) g

(

u

u

) : f

= f 2 G y : : y x ] , s o G : f

v

=

u

( f

)

I n p a r t i c u l a r , ( G : f ) : (

v

: i d

v

) =

u

: f g

(

u

G : f ) : (

v

: i d

v

)

= f d e n i t i o n o f : f a n d o f ' g

( : f ) : ( '

G v

: )

= f c o m p o s i t i o n g

( : f

'

G v

) : :

T h e n a t u r a l i t y o f ' f o l l o w s b y e x t e n s i o n a l i t y .

W e n o w h a v e t o v e r i f y t h e n a t u r a l i t y p r o p e r t y o f . H o w e v e r , t h i s i s u n n e c e s s a r y , a n d

o u r p r o o f o f Y o n e d a ' s l e m m a i s c o m p l e t e , b e c a u s e o f t h e f o l l o w i n g l e m m a .

L e m m a 3 . 1 4 ( n a t u r a l i s o m o r p h i s m ) F o r a l l f u n c t o r s F a n d G ,

' 2 F

=

G 3

8 ( x : : '

x

2 F : x

=

G : x 3

x

)

8 ( f : f 2 x y : F : f

'

y

= '

x

G : f ) :

C a t e g o r y T

backhouse et al - category lattice theory (1998)

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