bab ii vektor - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · ruas garis berarah yg panjang dan arahnya...
TRANSCRIPT
![Page 1: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/1.jpg)
VEKTOR
Jurusan Keteknikan Pertanian FTP – UB 2013
YUSRON SUGIARTO
![Page 2: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/2.jpg)
2
![Page 3: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/3.jpg)
3
![Page 4: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/4.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
4
B E S A R A N
Skalar Vektor besaran yang hanya memiliki besar memiliki besar dan arah (panjang/nilai)
SKALAR VEKTOR
Massa
Waktu
Kecepatan
Percepatan
Luas
Volume
Gaya
![Page 5: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/5.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
5
B E S A R A N
Skalar Vektor
massa, waktu, suhu, kecepatan, percepatan, panjang, luas, volum gaya, momentum, medan magnet, medan listrik
Arah
Besar
Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah
![Page 6: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/6.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Penulisan vektor F = |F| atau F = F
F̂ F̂
Vektor vektor satuan besar vektor
Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB Notasi u dibaca “vektor u”
![Page 7: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/7.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
7
a b
Dua vektor sama, a = b
a b
Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama, besaran beda
a b
Dua Vektor besar dan arah berbeda
![Page 8: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/8.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
KOMPONEN SEBUAH VEKTOR
Ada 2 cara menyatakan vektor A 1. A= Ax + Ay 2.
Vektor A dengan komponen 2 vektor Ax dan Ay yang saling tegaklurus. Komponen skalarnya: Ax=A cos q Ay=A sin q
x
y
yx
A
A
AAA
1
22
tan
![Page 9: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/9.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Bila kita mempunyai vektor sembarang dimana P
kP , jP , i P zyx
zz
yy
xx
θ Cos P P
θ Cos P P
θ Cos P P
kP jP i P P zyx
adalah komponen2
vektor pada sumbu
x,y,z.
P
Catatan :
![Page 10: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/10.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Vektor posisi adalah vektor yang dibentuk p dari O
sampai pada titik sembarang (x, y, z) dalam koordinat
x, y, z dinotasikan dengan . r
z y x r222
kz
x
y
z
ix
jyr
![Page 11: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/11.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
2. Empat gaya bekerja pada titik A.
Tentukan resultan gaya-gaya yang bekerja pada baut.
F3 = 110N
F2 = 80N F1 = 150N
F4 = 100N
Y
X
20
30
15
1
![Page 12: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/12.jpg)
14
![Page 13: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/13.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Penjumlahan Vektor
s a b
![Page 14: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/14.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Mengikuti hukum : Komutatif :
a b b a
Penjumlahan Vektor
![Page 15: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/15.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Assosiatif :
( ) ( )a b c a b c
Penjumlahan Vektor
![Page 16: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/16.jpg)
18
![Page 17: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/17.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
PENGURANGAN VEKTOR
1. Sebuah vektor jika dikalikan -1, besarnya tetap tetapi arahnya berbalik 180 derajat. 2. Pengurangan vektor berdasarkan operasi penjumlahan vektor.
![Page 18: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/18.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
-
A – B = A + (B)
B - B
A
A A B = - B
- B
A - B
+
PENGURANGAN VEKTOR
![Page 19: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/19.jpg)
21
![Page 20: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/20.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Perkalian Vektor I: Perkalian Dot
Hasil perkalian dot dua vektor adalah skalar
![Page 21: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/21.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
![Page 22: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/22.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Perkalian Vektor II: Perkalian Cross
Hasil dari perkalian cross dua vektor adalah
vektor baru
![Page 23: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/23.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Jika P = Px i + Py j + Pz k dan Q = Qx i + Qy j + Qz k
Maka P x Q = (Py Qz – Pz Qy) i + (Pz Qx – Px Qz) j + (Px Qy – PyQx) k
![Page 24: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/24.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
![Page 25: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/25.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
![Page 26: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/26.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
Nm 134.837 2.12 . 7.37 3.1 . 1.21 17.3 . 3.11
D C D C D C D . C
N k 2.12 j 3.10 i 17.3 D dan N k 7.37 j 21.1 i 3.11 C b.
Nm 15 2- 4. 3.3- 7 . 2
B A B A B A B . A
N k 2 j 3 - i 7 B dan N k 4 j 3 - i 2 Aa.
zzyyxx
zzyyxx
Nm 134.837 2.12 . 7.37 3.1 . 1.21 17.3 . 3.11
D C D C D C D . C
N k 2.12 j 3.10 i 17.3 D dan N k 7.37 j 21.1 i 3.11 C b.
Nm 15 2- 4. 3.3- 7 . 2
B A B A B A B . A
N k 2 j 3 - i 7 B dan N k 4 j 3 - i 2 Aa.
zzyyxx
zzyyxx
Hitunglah perkalian dot ( . ) dan cross ( x ) dari matriks berikut
2
![Page 27: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/27.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
29
Besarnya Vektor sepanjang garis L dapat ditulis P. el, dimana el vektor satuan pada garis L
P
A
C
B
D
P
el
L
CD adalah vektor komponen pada garis L P
![Page 28: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/28.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
30
Tentukan vektor satuan el pada garis L yang berasal dari koordinat (4,2,1) dan melalui koordinat (3,0,-2). Kemudian tentukan juga besarnya proyeksi dari vektor P = 3i + 5j – 2k sepanjang garis L
A
C
B
D
P
el
L
3
![Page 29: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/29.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
TUGAS 2
1. Dua buah gaya P dan Q beraksi pada suatu paku A. Tentukan resultannya!
Q = 60 N
P = 40 N 25
20
![Page 30: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/30.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
TUGAS 3
Seseorang mengendarai mobil menuju sebuah kota A yang berjarak 160 km dengan arah 30 0 timur laut. Nyatakan vektor perpindahan r dalam notasi vektor satuan dengan menggunakan sistem koordinat x ke timur, dan y ke utara.
![Page 31: BAB II VEKTOR - yusronsugiarto.lecture.ub.ac.id · Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020206/5c9ef7e088c993362d8c8ea6/html5/thumbnails/31.jpg)
JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
36
Terima Kasih