bab 2 vektor - hanungnindito.files.wordpress.com · •u= (-4,2) -3u= (12,-6)...
TRANSCRIPT
� Vektor : Besaran fisik yang memiliki besar dan arah
Contoh: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrikmomentum, medan magnet, medan listrik
� Skalar : Besaran fisik yang hanya memiliki besar saja (tidak memiliki arah)
Contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
�Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya
tertentu. (Arah garis menunjukkan arah vektor
dan panjang garis menunjukkan besar vektor)
�Vektor dinyatakan dgn huruf ū, u, u (bold), atau�Vektor dinyatakan dgn huruf ū, u, u (bold), atau
u (italic).
�Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke
B, maka ditulis dengan lambang u = AB
�Notasi u dibaca “vektor u”
• Vektor sebagai pasangan bilangan
u = (a,b) atau u = (a,b,c)
• Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i, j, k
u = ai + bj atau u = ai + bj + ck
2 2 2 2 2 atau a b a b c= + = + +u u
u = ai + bj atau u = ai + bj + ck
• Panjang vektor u (norma dari v) ditentukanoleh rumus:
Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka
� u + v = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
� u – v = (a,b) + (-c,-d) = (a - c, b - d)
Contoh:Contoh:
u = (3,-2) dan v = (-2,3)
u + v = (1,1)
u – v = (5,-5)
Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3
Misalkan u = (a,b), k dan l adalah sembarang
skalar maka:
� ku = (ka,kb)
(k+l)u = ku + lu� (k+l)u = ku + lu
Contoh
• u = (-4,2) � -3u = (12,-6)
Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3
�Vektor satuan adalah sebuah vektor yangdidefinisikan sebagai satu satuan vektor.
�Jika digunakan sistem koordinat Cartesian(koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dansumbu y dan sumbu z.sumbu y dan sumbu z.
�Vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektorsatuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z
adalah k.
�Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnyaadalah satu satuan
Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:
u∙v = ||u|| ||v|| cos θ
Dimana:Dimana:
||u|| = panjang vektor u
||v|| = panjang vektor v
θ = sudut antara vektor u dan v
Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:
||u × v|| = ||u|| ||v|| sin θ
Dimana:Dimana:
||u|| = panjang vektor u
||v|| = panjang vektor v
θ = sudut antara vektor u dan v
Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3).
Contoh:
Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
1 1 2 2 3 3u v u v u v⋅ = + +u v
Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
tentukanlah u∙v !
Solusi:1 1 2 2 3 3
( 1)(2) (3)( 4) ( 2)(1)
2 ( 12) ( 2) 16
u v u v u v⋅ = + +
= − + − + −
= − + − + − = −
u v
2 3 1 3 1 2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
i j ku u u u u u
u u u i j kv v v v v v
v v v
× = = − +u v
Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) maka:
2 3 1 3 1 2
1 2 3v v v
Contoh:
Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
tentukanlah u×v !
1 3 2
2 4 1
i j k
× = − −
−
u v
u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
[ ] [ ] [ ]
2 4 1
3 2 1 2 1 3
4 1 2 1 2 4
3(1) ( 2)( 4) ( 1)(1) ( 2)(2) ( 1)( 4) 3(2)
(3 8) ( 1 4) (4 6)
5 3 2
i j k
i j k
i j k
i j k
−
− − − −= − +− −
= − − − − − − − + − − −
= − − − + + −
=− − −
Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :
Contoh
Tentukan (θ) sudut antara vektor u dan v jika:
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)
cosθ⋅
=u v
u v
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)
Solusi
(2, 1,1) (1,1,2)
(2)(1) ( 1)(1) (1)(2)
2 1 2 3
⋅ = − ⋅
= + − +
= − + =
u v 2 2 2
2 2 2
2 ( 1) 1 6
1 1 2 6
= + − + =
= + + =
u
v
3 1cos 60
26 6
oθ θ⋅
= = = ⇔ =u v
u v
Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :
(i) lancip jika dan hanya jika
(ii) tumpul jika dan hanya jika
(iii) = jika dan hanya jika
θ
θ
πθ
⋅ >
⋅ <
⋅ =
u v 0
u v 0
u v 0
Contoh
Tentukan apakah u dan v membentuk sudut
lancip, tumpul, atau ortogonal
u = (7, 3, 5) dan v = (-8, 4, 2)
(iii) = jika dan hanya jika 2
πθ ⋅ =u v 0
Solusi
(7)( 8) (3)(4) (5)(2)
56 12 10
⋅ = − + +
= − + +
= − <
u v
Jadi, u dan v membentuk sudut tumpul
34 0= − <
1. Misalkan u = (1,2,3), v = (2,-3,1), dan w = (3,2,-1).
Carilah komponen-komponen dari:
a. 2u+3v
b. 7v – 3w
c. 2v – (u + w)
2. Hitunglah panjang (norma) vektor v jika: 2. Hitunglah panjang (norma) vektor v jika:
a. v = (3,4)
b. v = (-8,7,4)
3. Misalkan u = (1,-3,2), v = (1,1,0), dan w = (2,2,-4). Tentukanlah:
a. +u v
b. +u v
c. 1w
w
4. Tentukanlah ⋅u v dan ×u v dan cosθ (θ sudut antara u dan v)
jika diketahui:
a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)
b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)
c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5) c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)
5. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul,
atau ortogonal jika diketahui:
a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)
b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)
c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)
Vektor di R2
• u = (a,b) , v = (c,d)
1) u + v = (a+c, b+d)
2) u - v = (a-c, b-d)
Vektor di R3
2) u - v = (a-c, b-d)
3) Norma (besar) vektor u
4) Perkalian Titik (dot
product)
5) Perkalian Silang (cros
Product)
2 2a b= +u