bab ii kajian pustaka 2.1 definisi 2.1.1 (barnsley, 1988: 6)
TRANSCRIPT
5
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas mengenai konsep dasar dan notasi yang akan digunakan
pada pembahasan berikutnya.
2.1 Ruang Metrik
Dalam geometri fraktal diperhatikan struktur bagian dari berbagai ruang geometris
yang sangat sederhana. Ruang tersebut dinotasikan dengan πΏ. Ruang tersebut merupakan
ruang tempat fraktal digambarkan. Fraktal itu sendiri hanyalah sebagian ruang. Karena
ruangnya sederhana, maka subset fraktal mungkin rumit secara geometris.
Definisi 2.1.1 (Barnsley, 1988: 6)
Ruang πΏ adalah sebuah himpunan. Titik-titik dalam ruang πΏ adalah elemen dari himpunan
tersebut.
Definisi 2.1.2 (Barnsley, 1988: 11)
Ruang metrik (πΏ, π) adalah ruang πΏ yang dilengkapi dengan fungsi π: πΏ Γ πΏ β β, yang
mengukur jarak antara pasangan titik π₯ dan π¦ dalam πΏ. Sedemikian hingga π memenuhi
aksioma-aksioma berikut:
i. π(π₯, π¦) = π(π¦, π₯) βπ₯, π¦ β πΏ
ii. 0 < π(π₯, π¦) < β βπ₯, π¦ β πΏ, π₯ β π¦
iii. π(π₯, π₯) = 0 β π₯ β πΏ
iv. π(π₯, π¦) β€ π(π₯, π§) + π(π§, π¦) β π₯, π¦, π§ β πΏ
fungsi π disebut sebagai metrik.
Definisi 2.1.3 (Barnsley, 1988: 17)
Barisan {π₯π}π=1β dari titik-titik pada ruang metrik (πΏ, π) disebut barisan Cauchy jika untuk
setiap ν > 0, terdapat bilangan bulat π > 0 sedemikian sehingga,
π(π₯π, π₯π) < ν, β π, π > π.
Definisi 2.1.4
Barisan {π₯π}π=1β dari titik-titik pada ruang metrik (πΏ, π) dikatakan konvergen ke sebuah
titik π₯ β πΏ, jika untuk setiap ν > 0, terdapat bilangan bulat π > 0 sedemikian sehingga,
π(π₯π, π₯) < ν, β π > π.
Dalam kasus ini π₯ β πΏ, disebut limit barisan dan dinotasikan dengan limπββ
π₯π = π₯.
Teorema 2.1.1 (Barnsley, 1988: 18)
Jika barisan titik {π₯π}π=1β dalam ruang metrik (πΏ, π) konvergen ke sebuah titik π₯ β πΏ,
maka {π₯π}π=1β adalah barisan Cauchy.
Definisi 2.1.5. (Hernadi, 2015: 38)
Misalkan π΄ suatu himpunan bagian dari β.
1. Bilangan π’ β β dikatakan batas atas π΄ jika π β€ π’ untuk setiap π β π΄.
6
2. Bilangan π€ β β dikatakan batas bawah π΄ jika π€ β€ π untuk setiap π β π΄.
Contoh 2.1.1.
Tentukan batas bawah dan atas himpunan bilangan asli β.
Penyelesaian:
Karena β = {1, 2, 3, β¦ } maka diperoleh himpunan batas bawah β = {π₯ β β: π₯ β€ 1}.
Diperhatikan anggota β tidak mempunyai batas atas sehingga disimpulkan himpunan batas
atas β = β . β
Definisi 2.1.6. (Hernadi, 2015: 39)
Misalkan π΄ himpunan bagian dari β.
1. Misalkan π΄ terbatas di atas. Batas atas π’ dikatakan supremum π΄, ditulis
π’ = sup (π΄)
jika tidak ada bilangan lain yang lebih kecil dari π’ yang menjadi batas atas π΄.
Dengan kata lain π’ batas atas yang paling kecil.
2. Misalkan π΄ terbatas di bawah. Batas bawah π€ dikatakan infimum dari π΄, ditulis
π€ = inf (π΄)
jika tidak ada bilangan lain yang lebih besar dari π€ yang menjadi batas bawah π΄.
Dengan kata lain π€ batas bawah yang paling besar.
Definisi 2.1.7. Limit Superior dan Limit Inferior (Shirali, 2006: 7)
Misalkan {π₯π}πβ₯1 adalah suatu barisan terbatas, didefinisikan limit superior sebagai berikut
lim π₯π = infπ
supπβ₯π
π₯π
dan didefinisikan limit inferior sebagai berikut
lim π₯π = supπ
ππππβ₯π
π₯π .
Definisi 2.1.8 (Hernadi, 2015: 210)
Misalkan π: π΄ β β. Jika terdapat konstanta π > 0 sehingga berlaku
|π(π₯) β π(π¦)| β€ π|π₯ β π¦|
untuk setiap π₯, π¦ β π΄ maka π disebut fungsi Lipschitz pada π΄.
Definisi 2.1.9
Ruang metrik (πΏ, π) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy {π₯π}π=1β di dalam πΏ
mempunyai limit π₯ β πΏ.
Definisi 2.1.10. (Barnsley, 1988: 19)
Misalkan π adalah himpunan bagian dari ruang metrik (πΏ, π). Titik π₯ β πΏ disebut titik
batas dari π jika ada barisan {π₯π}π=1β dari titik-titik π₯π β π\{π₯} sehingga lim
πββπ₯π = π₯.
7
Definisi 2.1.11. (Shirali, 2006: 72)
Misalkan π adalah himpunan bagian dari ruang metrik (πΏ, π). Penutup himpunan (closure)
π dinotasikan dengan πΜ dan didefinisikan sebagai πΜ = π βͺ πβ². Dimana πβ² adalah himpunan
titik-titik limit dari π.
Contoh 2.1.2.
Diketahui πΏ = β dan (πΏ, π) adalah ruang metrik dengan π(π₯, π¦) βΆ= |π₯ β π¦| untuk setiap
π₯, π¦ β πΏ. Diberikan πΊ = {π₯ β β: 1 < π₯ β€ 5} β πΏ diperoleh 1 β πΊ dan 5 β πΊ. Dimana
πΊβ² = [1,5] adalah titik limit sehingga limit πΊ tidak tertutup. Bila himpunan πΊ digabung
dengan πΊβ² dimana πΊβ² adalah himpunan semua titik limit πΊ yaitu, [1,5] maka οΏ½Μ οΏ½ = πΊβπΊβ²
adalah penutup (closure).
2.2 Titik dan Himpunan Khusus pada Ruang Metrik
Pembahasan selanjutnya yaitu mengenai titik dan himpunan khusus pada ruang
metrik.
Definisi 2.2.1. Bola Terbuka & Tertutup (Shirali, 2006: 64)
Misalkan (πΏ, π) adalah ruang metrik. Suatu himpunan
π΅(π, π) = {π₯ β πΏ: π(π, π₯) < π}
disebut bola terbuka dengan pusat π dan jari-jari π di πΏ. Dimana π β πΏ dan π > 0 untuk
π β β. Dan
οΏ½Μ οΏ½(π, π) = {π₯ β πΏ: π(π, π₯) β€ π}
disebut bola tertutup dengan pusat π dan jari-jari π di πΏ. Dimana π β πΏ dan π > 0 untuk
π β β.
Definisi 2.2.2. Persekitaran Himpunan (Falconer, 2003: 4)
Persekitaran-πΏ dari himpunan π΄ dilambangkan dengan π΄πΏ dan didefinisikan sebagai
himpunan titik-titik dalam jarak πΏ dari π΄, yaitu
π΄πΏ = {π₯: π(π₯, π¦) β€ πΏ, untuk suatu π¦ β π΄}.
Gambar 1. Himpunan π΄ dan persekitaran-πΏnya.
Definisi 2.2.3. (Falconer, 2003: 124)
Diberikan himpunan tertutup π· dan π΄, π΅ β π·. Jarak antara himpunan π΄ dan π΅ didefinisikan
sebagai πΏ terkecil sedemikian sehingga pesekitaran-πΏ dari π΄ memuat π΅ dan juga
sebaliknya,
π(π΄, π΅) = inf {πΏ: π΄ β π΅πΏ dan π΅ β π΄πΏ}.
8
Definisi 2.2.4. Titik Interior (Shirali, 2006: 69)
Misalkan π adalah himpunan bagian dari ruang metrik (πΏ, π). Suatu titik π₯ β πΏ dikatakan
titik interior dari π, jika terdapat bola terbuka dengan pusat π₯ yang termuat dalam π, yaitu
π₯ β π΅(π₯, π) β π, untuk suatu r>0,
atau dengan kata lain, jika π₯ mempunyai persekitaran di dalam π.
Contoh 2.2.1
Diberikan [0, 1] β β. Titik-titik interior dari himpunan [0, 1] dapat dituliskan sebagai
(0, 1). Misalkan π₯ β (0, 1). Karena (0,1) terbuka, maka terdapat π > 0 sehingga
(π₯ β π, π₯ + π) β [0, 1]. Jadi, π₯ adalah titik interior dari [0, 1]. Sedangkan 0 bukan titik
interior dari [0, 1], karena tidak ada π > 0 yang memenuhi (βπ, π) β [0,1]. Sama halnya
dengan 1, bukan titik interior dari [0, 1].
Definisi 2.2.5. Titik Batas (Shirali, 2006: 70)
Misalkan π himpunan bagian dari ruang metrik (πΏ, π). Titik π₯ β πΏ dikatakan titik batas
dari π, jika untuk setiap bola terbuka dengan pusat π₯ memuat setidaknya satu titik elemen
π yang berbeda dari π₯, yaitu
(π΅(π₯, π) β {π₯}) β© π β β .
Definisi 2.2.6. Himpunan Terbuka & Tertutup
Misalkan π himpunan bagian dari ruang metrik (πΏ, π). Himpunan π dikatakan terbuka jika
tidak memuat titik batasnya dan dikatakan tertutup jika memuat semua titik batasnya.
Definisi 2.2.7 (Hernadi, 2015: 79)
Misalkan π himpunan pada sebuah ruang metrik πΏ. Liput terbuka (open cover) adalah
koleksi himpunan terbuka π’ = {πΊπΌ} pada πΏ sehingga gabungannya menyelimuti πΈ, yaitu
πΈ β β πΊπΌ
πΌ
.
Bila π’β² β π’ dan gabungan himpunan-himpunan di dalamnya masih memuat πΈ maka π’β²
disebut liput bagian (subcover) dari π’. jika π’β² memuat berhingga banyak himpunan maka
ia disebut liput bagian berhingga (finite subcover).
Definisi 2.2.8 (Himpunan Kompak)
Sebuah himpunan π pada ruang metrik πΏ dikatakan kompak jika setiap liput terbuka π
memuat liput bagian berhingga. Secara eksplisit jika π’ = {πΊπΌ} liput terbuka π maka
terdapat berhingga banyak indeks πΌ1, πΌ2, β¦ , πΌπ sehingga
π β πΊπΌ1βͺ πΊπΌ2
βͺ β¦ βͺ πΊπΌπ.
Contoh 2.2.2.
Buktikan himpunan berhingga π = {π₯1, π₯2, β¦ , π₯π} pada β adalah kompak.
9
Bukti: Misalkan π’ = {πΊπΌ} sebarang liput terbuka π. Maka untuk setiap π₯π terdapat πΊπΌπβ π’
sehingga π₯π β πΊπΌπ. Jadi berlaku π β πΊπΌ1
βͺ πΊπΌ2βͺ β¦ βͺ πΊπΌπ
. Oleh karena itu diambil π’
βΆ= {πΊπΌ1, πΊπΌ2
, β¦ , πΊπΌπ sebagai liput bagiannya. β
Definisi 2.2.9. Himpunan Terbatas (Barnsley, 1988: 20)
misalkan π β πΏ, subset dari ruang metrik (πΏ, π). Himpunan π terbatas jika ada titik π β πΏ
dan sebuah bilangan π > 0 sehingga
π(π, π₯) < π , βπ₯ β π.
Contoh 2.2.3 (Shirali, 2006: 76)
Diberikan ruang metrik πΏ = β dengan π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| untuk setiap π₯, π¦ β β.
Sedemikian sehingga π = [0, 3] β β merupakan himpunan terbatas karena terdapat
bilangan real positif, yaitu π = 3 sehingga π(π₯, π¦) = |π₯ β π¦| β€ 3 untuk setiap π₯, π¦ β
[0, 3].
Definisi 2.2.10. (Barnsley, 1988: 20)
Misalkan π β πΏ, subset dari ruang metrik (πΏ, π). π terbatas total jika βν > 0, ada
himpuanan berhingga dari titk-titik {π¦1, π¦2, β¦ , π¦π} β π sedemikian sehingga βπ₯ β
π, π(π₯, π¦π) < ν, untuk suatu π¦π β {π¦1, π¦2, β¦ , π¦π}. Himpunan dari titik-titik {π¦1, π¦2, β¦ , π¦π}
ini disebut π-πππ‘.
Teorema 2.2.1 (Barnsley, 1988: 21)
Misalkan (πΏ, π) ruang metrik lengkap. Diberikan π β πΏ. π kompak jika dan hanya jika π
tertutup dan terbatas total.
Definisi 2.2.11. Himpunan Terbilang (Hernadi, 2015: 73)
Himpunan π dikatakan terbilang (countable) jika terdapat korespondensi satu-satu (bijeksi)
antara π dan himpunan bagian bilangan asli β. Jika tidak dapat dibentuk korespondensi
satu-satu seperti yang dimaksud maka himpunan tersebut dikatakan takterbilang
(uncountable).
Himpunan bilangan bulat β€ dan himpunan bilangan rasional β merupakan contoh
himpunan-himpunan terbilang, sedangkan bilangan real β merupakan himpunan bilangan
takterbilang. Dan perlu diperhatikan bahwa gabungan berhingga dari himpunan-himpunan
terbilang adalah terblang.
2.3 Ukuran dan distribusi massa
Dalam aplikasi sebagian besar fraktal dibutuhkan ide-ide dasar dari ukuran. Ukuran
yang dibutuhkan dalam pembahasan ini adalah ukuran pada himpunan bagian dari βπ.
Definisi 2.3.1. Himpunan Borel
Himpunan borel (Borel set) π adalah aljabar-π terkecil yang memuat semua himpunan
terbuka.
10
Sebagai contoh himpunan borel adalah himpunan semua bilangan real, β. Himpunan
semua bilangan rasional β juga merupakan himpunan borel, sebab β terbilang sehingga
setiap anggota β dapat diberi indeks π β β, yaitu β = {π1, π2, β¦ }, dimana {ππ} β π
sehingga β =βͺπ {ππ} β π . Himpunan terbuka (π, π) juga anggota π .
Definisi 2.3.2 (Falconer, 2003: 11)
π disebut ukuran pada βπ jika diberikan bilangan tak negatif, mungkin β untuk setiap
himpunan bagian βπ, sehingga berlaku:
i. π(β ) = 0
ii. π(π΄) β€ π(π΅) jika π΄ β π΅
iii. Jika π΄1, π΄2, β¦ adalah barisan terbilang dari himpunan-himpunan, maka
π (β π΄π
β
π=1
) β€ β π
β
π=1
(π΄π)
dan
π (β π΄π
β
π=1
) = β π
β
π=1
(π΄π)
jika π΄π adalah himpunan Borel dengan sifat π΄π β© π΄π = β , π β π.
π(π΄) disebut ukuran dari himpunan π΄. Poin pertama dari definisi 2.3.2 mengatakan
bahwa himpunan kosong mempunyai ukuran 0, poin kedua mengatakan bahwa himpunan
yang lebih besar, memiliki ukran yang lebih besar pula, dan poin ketiga mengatakan bahwa
ukuran dari gabungan himpunan terbilang kurang dari sama dengan jumlah ukuran
keseluruhannya dan berlaku sama dengan apabila himpunan tersebut merupakan
himpunan-himpunan borel terpisah.
Definisi 2.3.3 (Falconer, 2003: 12)
Misalkan π΄ β π΅, sehingga π΄ dapat dituliskan π΄ = π΅ βͺ (π΄\π΅). Dengan demikian π΄ dan π΅
merupakan himpunan borel, sehingga dapat didefinisikan bahwa
π(π΄\π΅) = π(π΄) β π(π΅).
Teorema 2.3.1
Jika π΄1 β π΄2 β β― adalah barisan meningkat dari himpunan-himpunan borel, maka
limπββ
π(π΄π) = π (β π΄π
β
π=1
).
Bukti:
Diperhatikan bahwa β π΄π = π΄1 βͺ (π΄2\π΄1) βͺ (π΄3\π΄2) β¦βπ=1 , sedemikan sehingga
diperoleh
11
π (β π΄π
β
π=1
) = π(π΄1) + β(π(π΄π+1) β π(π΄π))
β
π=1
= π(π΄1) + limπββ
β(π(π΄π+1) β π(π΄π))
π
π=1
= limπββ
π(π΄π)
Secara lebih umum, dapat ditunjukkan bahwa jika untuk πΏ > 0, π΄πΏ adalah himpunan borel
yang meningkat ketika πΏ menurun, yaitu π΄πΏβ² β π΄πΏ untuk 0 < πΏ < πΏβ², maka limπΏβ0
π(π΄πΏ) =
π(β π΄πΏπΏ>0 ). β
Definisi 2.3.4
Support dari suatu ukuran ditulis dengan spt π dan didefinisikan sebagai himpunan tertutup
terkecil π sedemikian sehingga π(βπ\π) = 0.
Support dari suatu ukuran selalu tertutup dan suatu titik π₯ berada dalam support jika
dan hanya jika π(π΅(π₯, π)) > 0, untuk setiap jari-jari positif π. π dikatakan sebagai ukuran
pada himpunan π΄ jika π΄ memuat support dari π.
Definisi 2.3.5
Ukuran pada himpunan bagian terbatas βπ dengan 0 < π(βπ) < β disebut distribusi
massa dan π(π΄) adalah massa dari himpunan π΄.
Secara intuitif, ketika diambil massa yang terbatas dan menyebarkannya dengan cara
tertentu pada himpunan π untuk mendapatkan distribusi massa pada π, kondisi untuk suatu
ukuran kemudian akan dipenuhi.
Contoh 2.3.1
Untuk setiap π΄ himpunan bagian dari βπ, π(π΄) adalah banyaknya titik di dalam π΄ jika π΄
adalah himpunan berhingga. Sedangkan untuk π΄ himpunan tak berhingga, maka π(π΄) =
β.
Contoh 2.3.2
Misalkan π adalah sebuah titik di dalam βπ. Didefinisikan π(π΄) = 1 jika π΄ memuat π dan
jika π΄ tidak memuat π, maka π(π΄) = 0. Kemudian π adalah distribusi massa dan
merupakan titik massa yang terpusat pada π.
2.4 Ukuran dan Dimensi Hausdorff
2.4.1 Ukuran Hausdorff
Definisi 2.4.1.1 (Falconer, 2003: 27)
Misalkan π adalah himpunan bagian tak kosong dari βn. Diameter π didefinisikan sebagai
|π| β π π’π {|π₯ β π¦|: π₯, π¦ β π},
yaitu jarak terjauh dari sebarang pasangan titik dalam π.
12
Definisi 2.4.1.2
Misalkan πΉ adalah himpunan bagian tak kososng dari βn. Jika {πi} adalah kumpulan
himpunan terbilang dengan diameter paling besar πΏ dan {πi} menutupi πΉ, yaitu πΉ β
β ππ , dengan 0 β€ |ππ| β€ πΏβπ=1 ,β π, maka {πi} disebut πΏ-πππ£ππ dari πΉ.
Definisi 2.4.1.3
Diberikan πΉ adalah himpunan bagian tak kosong dari βn dan π adalah bilangan tak negatif.
Untuk setiap πΏ > 0, didefinisikan
βπΏπ (πΉ) β inf {β|ππ|π βΆ {ππ} adalah πΏ-πππ£ππ dari πΉ
β
π=1
}
Teorema 2.4.1.1 (Yohanes, 2014: 49)
Untuk πΉ β βπ dan bilangan tak negatif π , berlaku, jika πΏ1 < πΏ2, maka βπΏ2
π (πΉ) β€ βπΏ1
π (πΉ).
Bukti:
Misal 0 < πΏ1 < πΏ2 β€ β, maka setiap πΏ1-cover dari πΉ adalah πΏ2-cover dari πΉ. Oleh karena
itu, koleksi semua πΏ1-cover dari πΉ termuat di dalam koeksi πΏ2-cover dari πΉ. Akibatnya,
inf{β |ππ|π βπ=1 |πΉ β β ππ
βπ=1 , |ππ| < πΏ2} β€ inf{β |ππ|π β
π=1 |πΉ β β ππβπ=1 , |ππ| < πΏ1}
β βπΏ2
π (πΉ) β€ βπΏ1
π (πΉ).
β
Definisi 2.4.1.4 (Falconer, 2003: 27)
Diberikan πΉ β βn dan π adalah bilangan tak negatif, didefinisikan
βπ (πΉ) = limπΏβ0
βπΏπ (πΉ)
βπ (πΉ) disebut ukuran Hausdorff dimensi π dari πΉ.
Teorema 2.4.1.2 (Yohanes, 2014: 49)
Pernyataan berikut berlaku untuk setiap βπ
i. βπ (β ) = 0
ii. πΈ β πΉ β βπ (πΈ) β€ βπ (πΉ)
iii. Jika {πΉπ} adalah koleksi terbilang dari himpunan-himpunan di βπ, maka
βπ (β πΉπβπ=1 ) β€ β βπ (πΉπ)β
π=1
iv. Jika {πΉπ} adalah koleksi himpunan-himpunan yang saling asing, maka
βπ (β πΉπ
β
π=1
) β€ β βπ (πΉπ)
β
π=1
.
Bukti:
i. Diberikan ππ = β , βπ. Maka πΉ β β ππβπ=1 dan | ππ| = 0. Akibatnya
βπΏπ (πΉ) = inf {β|ππ|π | πΉ β β ππ
β
π=1
, | ππ| = 0
β
π=1
} = 0
sehingga βπ (β ) = 0.
ii. Ambil sebarang πΏ-cover {ππ} dari πΉ. Maka πΈ β πΉ β β ππβπ=1 . Akibatnya
inf{β |ππ|π | πΈ β β ππβπ=1
βπ=1 } β€ inf{β |ππ|π | πΉ β β ππ
βπ=1
βπ=1 } yang ekuivalen
13
dengan βπΏπ (πΈ) β€ βπΏ
π (πΉ). Penghitungan limit untuk πΏ β 0 akan memperoleh
pertidaksamaan βπ (πΈ) β€ βπ (πΉ).
iii. Diberikan πΏ > 0. Ambil sebarang ν > 0 dan untuk setiap π ada πΏ-cover {πππ} dari
πΉπ sedemikian sehingga πΉ = β πΉπβπ=1 dan β |ππ
π|π β
π=1 β€ βπΏπ (πΉπ) +
2π. Karena
{πππ|π, π β β} adalah koleksi terbilang yang gabungannya memuat πΉ, maka
diperoleh
βπΏπ (πΉ) = βπΏ
π (β πΉπ
β
π=1
) β€ β β|πππ|
π β€
β
π=1
β
π=1
β βπΏπ (πΉπ) + ν
β
π=1
.
Akibatnya,
limπΏβ0
βπΏπ (β πΉπ
β
π=1
) β€ limπΏβ0
β βπΏπ (πΉπ) + ν
β
π=1
= β limπΏβ0
βπΏπ (πΉπ) + ν
β
π=1
βΊ
β π (β πΉπ
β
π=1
) = β β π (πΉπ)
β
π=1
.
Jadi, β π (β πΉπβπ=1 ) β€ β βπ (πΉπ)β
π=1 .
iv. Ambil sebarang πΉ1, πΉ2 β βπ yang saling asing dan πΏ > 0. Maka terdapat πΏ-cover
{ππ} dari πΉ1 βͺ πΉ2. Jika dibentuk himpunan {ππ1} dengan ππ
1 = ππ β© πΉ1 dan {ππ2}
dengan ππ2 = ππ β© πΉ2, maka {ππ
1} dan {ππ2} adalah πΏ-cover dari πΉ1 dan πΉ2 dan
ππ1 β© ππ
2 = β . Karena πΉ1 dan πΉ2 berada di πΉ1 βͺ πΉ2, maka {ππ} adalah πΏ-cover dari
πΉ1 dan πΉ2. Akibatnya,
inf {β|ππ|π
β
π=1
} β₯ inf {β|ππ1|
π β
π=1
} + inf {β|ππ2|
π β
π=1
} βΊ
βπΏπ (πΉ1 βͺ πΉ2) β₯ βπΏ
π (πΉ1) + βπΏπ (πΉ2).
Jadi dicari limit untuk πΏ β 0, maka βπΏπ (πΉ1 βͺ πΉ2) β₯ βπΏ
π (πΉ1) + βπΏπ (πΉ2).
Berdasarkan teorema 2.4.1.2 (ii), βπΏπ (πΉ1 βͺ πΉ2) β€ βπΏ
π (πΉ1) + βπΏπ (πΉ2). Dengan
demikian βπΏπ (πΉ1 βͺ πΉ2) = βπΏ
π (πΉ1) + βπΏπ (πΉ2). Selanjutnya akan dibuktikan
bahwa
β π (β πΉπ
π
π=1
) = β β π (πΉπ)
π
π=1
βΉ β π (β πΉπ
π+1
π=1
) = β β π (πΉπ)
π+1
π=1
.
Karena ukuran dari gabungan kedua himpunan adalah jumlahan dari ukuran setiap
himpunan, maka
14
β π (β πΉπ
π+1
π=1
) = β π ((β πΉπ
π
π=1
) βͺ πΉπ+1)
= β π (β πΉπ
π
π=1
) + βπ (πΉπ+1)
= β β π (πΉπ)
π
π=1
+ β π (πΉπ+1)
= β β π (πΉπ)
π+1
π=1
Jika π β β, maka persamaan tersebut terbukti. β
Teorema 2.4.1.3. Sifat Penskalaan (Falconer, 2003: 29)
Misalkan π adalah transformasi kesamaan dengan faktor skala π > 0. Jika πΉ β βπ, maka
βπ (π(πΉ)) = ππ βπ (πΉ).
Bukti:
Jika {ππ} adalah πΏ-cover dari πΉ maka {π(ππ)} adalah ππΏ-cover dari π(πΉ), jadi
β |π(ππ)|π = β |πππ|π
= β|π|π |ππ|π
= β ππ |ππ|π
= ππ β |ππ|π
diperoleh,
inf β |π(ππ|π β€ ππ inf β |ππ|π
βππΏπ (π(πΉ)) β€ ππ βπΏ
π (πΉ)
ketika πΏ β 0 diperoleh,
βπ (π(πΉ)) β€ ππ βπ (πΉ).
Kemudian ganti π dengan πβ1, π dengan 1
π, dan πΉ dengan π(πΉ), sehingga diperoleh
βπ (π(πΉ)) = ππ βπ (πΉ).
β
Proposisi 2.4.1.1 (Falconer, 2003: 30)
Misalkan πΉ β βπ pada π; πΉ β βπ sedemikian sehingga
|π(π₯) β π(π¦)| β€ π|π₯ β π¦|πΌ , π₯, π¦ β πΉ
Untuk suatu konstanta π > 0 dan πΌ > 0, maka untuk setiap π berlaku
βπ πΌ(π(πΉ)) β€ π
π πΌβπ (πΉ).
Bukti:
{ππ} adalah πΏ-πππ£ππ dari πΉ maka {π(πΉ β© ππ)} adalah ν-πππ£ππ dari π(πΉ) karena |π(πΉ β©
ππ| β€ π|πΉ β© ππ|πΌ β€ π|ππ|πΌ dimana ν = ππΏπΌ.
15
Diperhatikan bahwa,
|π(πΉ β© ππ| β€ π|πΉ β© ππ|πΌ
|π(πΉ β© ππ|π πΌ β€ (π|πΉ β© ππ|πΌ)
π πΌ
|π(πΉ β© ππ|π πΌ β€ π
π πΌ|πΉ β© ππ|πΌ.
π πΌ
|π(πΉ β© ππ|π πΌ β€ π
π πΌ|πΉ β© ππ|π
β |π(πΉ β© ππ|π πΌ
π
β€ β ππ πΌ|πΉ β© ππ|π
π
β |π(πΉ β© ππ|π πΌ
π
β€ ππ πΌ β|πΉ β© ππ|π
π
Sehingga diperoleh,
inf β |π(πΉ β© ππ|π πΌ
π
β€ ππ πΌ inf β|πΉ β© ππ|π
π
βπ πΌ(π(πΉ)) β€ π
π πΌβπΏ
π (πΉ).
Ketika πΏ β 0 maka ν β 0, sehingga
βπ πΌ(π(πΉ)) β€ π
π πΌβπ (πΉ). β
2.4.2 Dimensi Hausdorff
Definisi 2.4.2.1 (Falconer, 2003: 31)
Untuk setiap πΉ β βπ, dimensi Hausdorff dari πΉ dinotasikan dengan dimH(πΉ), sedemikian
sehingga
βπ (πΉ) = {β, untuk 0 β€ π < dimH πΉ0, untuk π > dimH πΉ.
Jika π = dimH πΉ, maka βπ (πΉ) mungkin 0, tak berhingga, atau memenuhi
0 < βπ (πΉ) < β.
Gambar 2. Grafik βπ terhadap π untuk himpunan πΉ.
Definisi dimensi hausdorff ini secara formal dapat ditulis:
dimH πΉ = inf {π β₯ 0: βπ (πΉ) = 0} = sup {π β₯ 0: βπ (πΉ) = β}.
16
Teorema 2.4.2.1 (Yohanes, 2014: 56)
i. Jika πΉ! β πΉ2, maka dimH πΉ1 β€ dimH πΉ2. Sifat ini disebut sifat monoton.
ii. Jika {πΉπ} adalah koleksi dari himpunan di βπ, maka
dimH (β πΉπ
β
π=1
) = sup1β€πβ€β
dimH(πΉπ).
Sifat ini disebut stabilitas terbilang.
iii. Jika πΉ β βπ terbilang, maka dimH(πΉ) = 0.
Bukti:
i. Berdasarkan teorema 2.4.1.2 (ii), jika πΉ1 β πΉ2, maka βπ (πΉ1) β€ βπ (πΉ2). Oleh
karena itu, dengan menggunakan definisi akan diperoleh (πΉ1) = inf {π : βπ (πΉ1) =
0} β€ inf {π : βπ (πΉ2) = 0} = dimH πΉ2.
ii. Misal πΉ = β πΉπβπ=1 . Ini berarti bahwa πΉπ β πΉ, β π = 1, 2, β¦. Berdasarkan teorema
2.4.2.1 (i) dimH(πΉπ) β€ dimH(πΉ). Akibatnya, dimH(πΉ) β₯ sup1β€πβ€β
dimH(πΉπ).
Misalkan terdapat π > π = sup1β€πβ€β
dimH(πΉπ), maka berdasarkan definisi 2.4.2.1
berlaku βπ (πΉπ) = 0. Menggunakan sifat adiitif terbilang diperoleh βπ (πΉ) β€
β βπ (πΉπ) = 0βπ=1 . Oleh karena itu, βπ (πΉ) = 0. Karena βπ (πΉ) = 0 untuk π > π,
maka akan diperoleh dimH(πΉ) β€ sup1β€πβ€β
dimH(πΉπ). Jadi terbukti bahwa
dimH(β πΉπβπ=1 ) = sup
1β€πβ€βdimH(πΉπ).
iii. Ambil sebarang ν > 0. Diberikan π β (0,1) dan πΏ β (0, ((2π β 1)ν)1
π ). Misalkan
πΉ = {ππ: π β β} adalah himpunan terbilang dan {ππ} adalah πΏ-cover dari πΉ
sedemikian sehingga ππ β ππ dan 0 < |ππ| =πΏ
2π < πΏ untuk π β β. Maka
β |ππ|π = β (πΏ
2π)π
= πΏπ β1
2π .ππββπββπββ . deret tersebut adalah deret geometri dengan
rasio 1
2π < 1 dan nilai awal 1
2π , sehingga β1
2π .π =1
2π β1πββ dan β |ππ|π =πΏπ
2π β1< νπββ .
Jika dicari nilai infimumnya, maka diperoleh βπΏπ (πΉ) < ν. Karena berlaku untuk
setiap 0 < πΏ < ((2π β 1)ν)1
π , maka diperoleh βπ (πΉ) = limπΏβ0
βπΏπ (πΉ) β€ ν,
sehingga βπ (πΉ) = 0. Akan tetapi, π > 0, sehingga dimH(πΉ1)=0 berdasarkan
definisi 2.4.2.1.
β
Proposisi 2.4.2.1 (Falconer, 2003: 32)
Diberikan πΉ β βπ dan π: πΉ β βπ memenuhi kondisi π»οΏ½ΜοΏ½ππππ
|π(π₯) β π(π¦)| β€ π|π₯ β π¦|πΌ (π₯, π¦) β πΉ.
Maka dimHπ(πΉ) β€ (1
πΌ) dimHπΉ.
Bukti:
17
jika π > dimHπΉ, maka berdasarkan proposisi 2.4.1.1 βπ
πΌ(π(πΉ)) β€ ππ
πΌβπ (πΉ) = 0. Dengan
menerepakan dimHπ(πΉ) β€ (π
πΌ) , β π > dimHπΉ, maka proposisi ini terbukti. β
Corollary 2.4.1.1
i. Jika π: πΉ β βπ adalah transformasi Lipschitz, maka dimHπ(πΉ) β€ dimHπΉ
ii. Jika π: πΉ β βπ adalah transformasi bi-Lipschitz, yaitu
π1|π₯ β π¦| β€ |π(π₯) β π(π¦)| β€ π2|π₯ β π¦| (π₯, π¦ β πΉ)
dimana 0 < π1 β€ π2 < β, maka dimHπ(πΉ) = dimHπΉ.
Bukti:
Dengan menerapkan proposisi 2.4.2.1 dan mengambil πΌ = 1 akan diperoleh pembuktian
bagian (π), yaitu dimHπ(πΉ) β€ dimHπΉ. Kemudian terapkan proposisi 2.4.2.1 dan
mengambil πΌ = 1 pada πβ1: π(πΉ) β πΉ maka akan diperoleh dimHπ(πΉ) = dimHπΉ yang
memenuhi bagian (ππ). β
Proposisi 2.4.2.2 (Falconer, 2003: 33)
Himpunan πΉ β βπ dengan dimHπΉ < 1 adalah himpunan terpisah total.
Bukti:
Diberikan π₯ dan π¦ adalah titik yang berbeda dalam πΉ. Didefinisikan pemetaan π: βπ β
{0, β) dengan π(π§) = |π§ β π₯|. Karena π tidak menambah jarak, sementara |π(π§) β
π(π€) = ||π§ β π₯| β |π€ β π₯|| β€ |(π§ β π₯) β (π€ β π₯)| = |π§ β π€|, berdasarkan corollary
2.4.2.1 dimHπ(πΉ) < 1 β€ dimHπΉ < 1. Jadi π(πΉ) adalah himpunan bagian dari β dari
ukuran-β1 atau panjang 0, dan memiliki komplemen yang padat. Ambil π dengan π β
π(πΉ) dan 0 < π < π(π¦) yang berarti bahwa
πΉ = {π§ β πΉ: |π§ β π₯| < π} βͺ {π§ β πΉ: |π§ β π₯| > π}.
Jadi πΉ termuat dalam dua himpunan terbuka terpisah dengan π₯ dalam salah satu himpunan
tersebut dan π¦ dalam himpunan yang lainnya, sehingga π₯ dan π¦ terletak dalam komponen
terhubung yang berbeda di dalam πΉ. β
2.5 Dimensi Hitung Kotak
Dimensi hitung kotak adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk
menentukan dimensi fraktal karena teknik penghitungannya yang relatif mudah.
Definisi 2.5.1 (Falconer, 2003: 41)
Diberikan πΉ himpunan bagian terbatas tak kososng dari βπ dan ππΏ(πΉ) adalah jumlah
minimum himpunan-himpunan yang berdiameter tidak lebih dari πΏ yang dapat
menyelimuti πΉ. Dimensi hitung kotak bawah dan atas dari πΉ secara berturut-turut adalah
dimB
πΉ = limπΏβ0
log ππΏ(πΉ)
β log πΏ
dimBπΉ = limπΏβ0
log ππΏ(πΉ)
β log πΏ
Jika dimB
πΉ = dimB
πΉ, maka dimensi hitung kotak dari πΉ adalah
dimB πΉ = limπΏβ0
log ππΏ(πΉ)
β log πΏ.
18
Ada beberapa definisi dimensi hitung kotak lain yang setara dan terkadang lebih
sesuai untuk digunakan. Berikut adalah definisi lain dari dimensi hitung kotak.
Definisi 2.5.2 (Falconer, 2003: 43)
Dimensi hitung kotak bawah dan atas dari πΉ β βπ didefinisikan
dimB
πΉ = limπΏβ0
log ππΏ(πΉ)
β log πΏ
dimB
πΉ = limπΏβ0
log ππΏ(πΉ)
β log πΏ
dan dimensi hitung kotak dari πΉ adalah
dimB πΉ = limπΏβ0
log ππΏ(πΉ)
β log πΏ.
dimana ππΏ(πΉ) adalah salah satu dari
i. Jumlah minimum dari bola tertutup dengan jari-jari πΏ yang menyelimuti πΉ.
ii. Jumlah minimum darai kubus dengan panjang sisi πΏ yang menyelimuti πΉ.
iii. Banyaknya kubus πΏ-mesh yang beririsan dengan πΉ.
iv. Jumlah minimum dari himpunan-himpunan dengan diameter tidak lebih dari πΏ
yang menyelimuti πΉ.
v. Jumlah maksimum dari bola-bola terpisah berjari-jari πΏ dengan pusat di dalam πΉ.
Proposisi 2.5.1. (Falconer, 2003: 45)
Jika πΉ adalah himpunan bagian dari βπ, maka
dimπ΅πΉ = π β limπΏβ0
log π£πππ (πΉπΏ)
log πΏ
dimBπΉ = π β limπΏβ0
log π£πππ (πΉπΏ)
log πΏ
dimana πΉπΏ adalah persekitaran-πΏ dari πΉ.
Penting untuk memahami hubugan antara dimensi hitung kotak dan dimensi
hausdorff. jika πΉ dapat tercover oleh himpunan-himpunan ππΏ(πΉ), maka βπΏπ (πΉ) β€
ππΏ(πΉ)πΏπ . Jika 1 < βπ (πΉ) = limπΏβ0
βπΏπ (πΉ), maka log ππΏ(πΉ) + π log πΏ > 0, untuk πΏ yang
cukup kecil. Kemudian π β€ limπΏβ0
log ππΏ(πΉ)/β log πΏ, jadi ππππ»πΉ β€ dimπ΅πΉ β€ dimBπΉ
untuk setiap πΉ β βπ.
Proposisi 2.5.2. Prinsip Distribusi Massa (Falconer, 2003: 60)
Misalkan π adalah distribusi massa dari πΉ dan untuk suatu π terdapat π > 0 dan ν > 0,
sedemikian hingga
π(π) β€ π|π|π
untuk semua himpunan π, dengan |π| β€ ν. Kemudian βπ (πΉ) β₯ π(πΉ)/π dan
π β€ dimH πΉ β€ dimπ΅πΉ β€ dimBπΉ.