BAB II : TURUNAN 2.1 : Dua Masalah dengan Satu Tema Garis Singgung Gagasan Euclides tentang garis singgung sebagai garis yang menyentuh suatu kurva hanya pada satu titik. Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva di P sebagai garis yang paling baik mengaproksimasi kurva dekat P adalah lebih baik.Misalkan P adalah sebuah titik pada suatu kurva dan misalkan Q adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Pandang garis yang melalui P dan Q, disebut garis sekan (atau talibusur). Garis singgung (garis tangent) di P adalah posisi pembatas (jika ada) dari garis sekan itu bila Q bergerak kearah P di sepanjang kurva.

Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat Kecepatan rata-rata adalah jarak dari posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh. Sebuah contoh yang lebih presis yaitu sebuah benda P yang jatuh dalam ruang hampa udara. Percobaan menunjukkan bahwa apabila mulai dari keadaan diam, maka P jatuh sejauh 16t2 feet dalam t detik. Jadi benda jatuh sejauh 16 feet dalam detik pertama dan 64 feet selama 2 detik pertama. Jelaslah P jatuh semakin cepat dengan berlalunya waktu. Selama detik kedua (yakni, dalam interval waktu mulai t = 1 sampai t = 2), P jatuh sejauh 64 16 = 48 feet. Keceptan rata-ratanya adalah

Laju Perubahan Kecepatan adalah laju perubahan jarak terhadap waktu. Laju perubahan lain yang penting bagi kita adalah kepadatan (atau densitas) suatu kawat (laju perubahan massa terhadap jarak), dan arus listrik (laju perubahan muatan listrik terhadap waktu).

2.2 : TurunanBentuk-bentuk setara untuk Turunan Tidak ada yang keramat tentang penggunaan huruf h dalam mendefinisikan f (c). Misalkan, perhatikan bahwa

Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Bukti Kita perlu memperlihatkan bahwa Mulai menuliskan f (x) dengan cara khas,

Karenanya,

Pertambahan Jikan nilai suatu variabel berubah dari x1 ke x2, maka x2 x1, perubahan dalam x, disebut pertambahan (increment) , dan biasanya dinyatkan oleh tidak berarti kali x. Jika x1 = 4,1 dan x2 = 5,7 maka Jika x1 = c dan x2 = c +h, maka

Lambang Leibniz untuk Turunan Misalkan sekarang bahwa variabel bebas berubah dari . Perubahan yang berkorespondensi dalam variabel tak- bebas y, akan berupa

Dan hasil bagi

Grafik Turunan Turunan f (x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafik y = f (x) pada nilai x. Jadi ketika garis singgung miring naik ke kanan, turunan positif, dan ketika garis singgung miring turun ke kiri, turunan negatif .

2.3 : Aturan Pencarian TurunanAturan Konstanta dan Pangkat Grafik fungsi konstanta f (x) = k adalah sebuah garis mndatar . yang karenanya mempunyai kemiringan nol dimana-mana.

Bukti

Dx adalah Operator Linear Operator Dx berkelakuan sangat baik ketika diterapkan pada kelipatan konstanta fungsi atau pada jumlah fungsi. Contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah

2.4 : Turunan Fungsi TrigonometriRumus-rumus Turunan Untuk mencari Dx (sin x), kita bersandar pada definisi turunan dan menggunakan identitas penjumlahan utnuk sin (x + h).2.5 : Aturan Rantai Diferensasi Fungsi Komposit Tinjau fungsi komposit y = f (g(x).Pernyataan :y = f(u) berubah dua kali kecepatan u dan u = g(x) berubah tiga kali kecepatan x dapat dinyatakan kembali sebagai

Aturan rantai menyederhanakan perhitungan banyak turunan yang melibatkan fungsi trigonometri.

2.6 : Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f . Sebagai contoh :

2.7 : Diferensiasi ImplisitDalam persamaan y 3+ 7y = x3Diberikan x = 2, persamaan y3 + 7y = x3 menentukan nilai y yang berkorespondensi. Beberapa Kesukaran yang tak kentara Jika sebuah persamaan dalam x dan y menetukan fungsi y = f (x) dan jika fungsi ini terdiferensiasikan, maka metode diferensiasi implisit akan menghasilkan ekspresi yang benar untuk dy / dx. Tetapi perhatikan terdapat dua jika besar dalam pernyataan ini.Tinjau persamaan x2 + y2 = 252.8 : Laju yang Berkaitan Jika suatu variabel y bergantung pada waktu t, maka turunannya dy/dt disebut laju perubahan sesaat. Jika y diberikan secara eksplisit dalam t, maka masalahnya sederhana ; kita cukup mendiferensiasikan dan kemudia menghitung turunan pada saat yang diminta . Mungkin saja, sebagai ganti diketahuinya y secara eksplisit dalam t, kita mengetahui hubungan yang mengaitkan y dan variabel lain x dan kita juga mengetahui sesuatu tentang dx/dt . Kita masih tetap mampu mencari dy/dt, karena dy/dt dan dx/dt adalah laju-laju yang berkaitan.

2.9 : Diferensial dan Aproksimasi Misalkan f adalah fungsi yang terdiferensiasi. Untuk memberi motivasi definisi , misalkan P (x0 , y0) adalah titik tetap pada grafik y = f(x). Karena f terdiferensialkan,