3

B2001/UNIT16/13 NOMBOR KOMPLEKS

NOMBOR KOMPLEKS

OBJEKTIF

Objektif Am

: Memahami konsep nombor kompleks dalam bentuk

Berlainan.

Objektif Khusus: Di akhir unit ini, anda dapat :

Mentakrifkan nombor kompleks dalam bentuk kutub dan eksponen.

Menyelesaikan pendaraban dan pembahagian nombor kompleks dalam bentuk kutub.

Mentakrifkan dan menggunakan Teorem De Moivre.

16.0 BENTUK KUTUB DAN BENTUK EKSPONEN

Selain dari apa yang telah dibincangkan di dalam unit terdahulu iaitu perwakilan

nombor kompleks dalam bentuk Cartesian dan rajah Argand, nombor kompleks

juga boleh diwakilkan dalam bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen.

Jika R adalah modulus dan ( adalah hujah bagi suatu nombor kompleks, maka

Bentuk Cartesian

a + b i

Bentuk Kutub (Polar)

R ( kos ( + i sin ()

= R ( (

Bentuk Eksponen

Rej( ( ( dinyatakan dalam radian)

Contoh 16.1

1. Tukarkan nombor kompleks z = -5 + 2i ke dalam bentuk Kutub dan Eksponen.

2.Tukarkan nombor kompleks z = 2.5 (kos 189( + i sin 189 () ke dalam bentuk Cartesian, Kutub dan Eksponen.

Penyelesaian

1. z = -5 + 2i

Lakarkan pada rajah Argand nombor kompleks tersebut bagi memastikan kedudukannya

modulus z = (z(=R = ( -5)2 + 22 = = = 5.39

dan huj = ( = tan 1 ()

= tan 1 ( ) = tan 1 ( -0.4) = 21.8( atau .38 rad

Oleh kerana ia terletak di sukuan ke 2, maka

dan huj = ( = 180 - ( = 180 - 21.8( = 158.2(

Jadi dalam bentuk Kutub, R ( ( ialah 5.39 ( 158.2(Dan bentuk Eksponen Rej( ialah 5.39 e i (- 0..38 ) = 5.39 e - i 0..38 2. z = 2.5 ( kos 189( + i sin 189 ( )

Untuk mendapatkan bentuk Cartesian,

dapatkan nilai kos 189 ( dan sin 189( dari kalkulator

maka, z = 2.5 ( - 0.988 + i( - 0.156 ) ( = 2.5 ( - 0.988 - i 0.156 ( = - 2.47 0.39 i atau - 2.47 - 0.39i

Untuk mendapatkan bentuk Kutub

z = 2.5 ( kos 189( + i sin 189 ( )

Gantikan R = 2.5 dan ( = 189( ke bentuk R ( (

Maka, z = 2.5 ( 189(Untuk mendapatkan bentuk Eksponen

z = 2.5 (kos 189( + i sin 189 ( )

Gantikan R = 2.5 dan ( = 189( ke bentuk Re i(

Oleh kerana ( ditulis dalam radian maka 189( = 0.157 rad

Maka z = 2.5 e i 0.157

Aktiviti 16.0

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT

SELANJUTNYA!

1. Tukarkan nombor kompleks berikut ke dalam bentuk Cartesian, Kutub

dan Eksponen.

a. z = 4 ( kos 54 + i sin 54 )

b. z = 15 (kos 200 + i sin 200 )

2. Tukarkan nombor kompleks berikut ke bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.

a. 3 + 3i

b. 5 + 2i

c. 3 3i

d. 5 2i

Maklum Balas Aktiviti 16.0

1. (a)z = 2.36 + i 3.24

z = 4 ( 54(

z = 4e i 1..37

(b)z = -14.1 i 5.1

z = 15 ( 200(z = 15e i 0.36

2. (a)z = 4.24 ( kos 45( + i sin 45( )

z = 4.24 ( 45(

z = 4.24 e i 1.62

(b)z = 4.47 ( kos 116.57 (+ i sin 116.57()

z = 4.47 ( 116.57(

z = 4.47 e i 0.343

(c) z = 4.24 ( kos 225( + i sin 225( )

z = 4.24 ( 225(

z = 4.42 e i 2.53

(d) z = 4.47 ( kos 296.57( + i sin 296.57( )

z = 4.47 ( 296.57(

z = 4.47 e i 3.12

16.1TEOREM DE MOIVRE

Jika Z1 = Z2 = Z3 = . = kos ( + i sin (

Maka Z1. Z2 = ( kos ( + i sin ( ) ( kos ( + i sin ( )

= kos ( ( + ( ) + i sin ( ( + ( )

iaitu ( kos ( + i sin ( )2 = kos 2 ( + i sin 2 (

Z1 . Z2 . Z3 == ( kos ( + i sin ( ) ( kos ( + i sin ( )( kos ( + i sin ( )

= kos ( ( + ( + ( ) + i sin ( ( + ( + ( )

Pada amnya , jika Z1 . Z2 . Z3 . .Zn = ( kos ( + i sin ( ) ( kos ( +

i sin () sehingga n

= kos ( ( + ( +ke n ) +

i sin ( ( + ( ke n )

iaitu

dan keputusan ini disebut Teorem De Moivre

Contoh 16.2

1.Ungkapkan dalam dalam sebutan kos n( dan sin n(:

a. ( kos ( - i sin ( )4 b. 1

kos 2 ( + i sin 2(

Penyelesaian

1.a.( kos ( - i sin ( )4 = kos 4 ( - i sin 4 (

b. 1

kos 2 ( + i sin 2( = ( kos 2 ( + i sin 2 ( )-1

= kos (-2 () + i sin(-2 ( )

= kos 2 ( - i sin 2 (

Contoh 16.3

1.Dapatkan nilai bagi

(a)(8 5i )3

(b)(-5 + 2i)1/4Penyelesaian

1(a) Z = ( 8 5i )3Dapatkan modulus dan hujah bagi z = 8 5i

Modulus z = ( z ( = R = = 9.43

Dan hujah = 360( tan 1 ( 5/8 )

= 360( 32( = 328(( 8 5i = 9.43 ( kos 328( + i sin 328( )

Menggunakan Teorem De Moivre

( kos ( + i sin ( ) n = kos n ( + i sin n (Maka ( 8 5i )3 = 9.43 3 (kos 3(328( ) + i sin 3 (328() (

= 838.56 ( kos 984( + i sin 984( )

= 838.56 ( kos ( 984( - 720( ) + i sin ( 984(- 720( )( = 838.56 ( kos 264( + i sin 264( )

(b)( -5 + 2i )1/4Dapatkan modulus dan hujah bagi Z = 5 + 2i

Modulus z = ( z ( = R = = = 5.39

Dan hujah = 180( tan 1 ( 5/5 )

= 180( 21.8( = 158.2(( -5 + 2i = 5.39 ( kos 158.2( + i sin 158.2( )

Menggunakan Teorem De Moivre

( kos ( + i sin ( ) n = kos n ( + i sin n (Maka ( -5 + 2i )1/4 = 5.391/4 (kos (158.2(+ 360k )/4 + i sin ( 158.2( +

360k)/4 (

= 1.52 (kos (158.2(+ 360k )/4 + i sin ( 158.2( +

360k)/4 ( = 1.52 (kos (158.2(+ 360k )/4 + i sin ( 158.2( +

360k)/4 (

Bagi k = 0

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos 39.6(+ i sin 39.6()

Bagi k = 1

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos (158.2(+ 360( )/4 + i sin ( 158.2( +

360( )/4 ( = 1.52 ( kos 129.6( + i sin 129.6()

Bagi k = 2

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos (158.2(+ 720( )/4 + i sin ( 158.2( +

720()/4 ( = 1.52 ( kos 219.6( + i sin 219.6()

Bagi k = 3

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos (158.2(+ 1080( )/4 + i sin ( 158.2( +

1080()/4 ( = 1.52 ( kos 309.6( + i sin 309.6()

Bagi k = 4

( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos (158.2(+1440( )/4 + i sin ( 158.2( +

1440()/4 ( = 1.52 ( kos 339.6( + i sin 339.6()

Bila k = 4, jawapan tidak diterima kerana hujah telah melebihi 360(

Aktiviti 16.1

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT

SELANJUTNYA! 1.Kembangkan sin 4( dalam sebutan sin ( dan kos (.

2.Nyatakan kos 4 ( dalam sebutan kos n(.

3.Dengan menggunakan Teorem De Moivre, selesaikan operasi nombor kompleks berikut:

a. ( -2 3i )3

b. ( -2 3i )1/3

c. ( 2 3i )4

d. ( 2 3i )1/2

Maklum Balas Aktiviti 16.1

1.sin 4 ( = 4 sin ( kos ( - 8 kos 3 ( kos (

2.kos 3 ( = 1/8 ( kos 4( + 4 kos 2( + 3 )

3.a. ( -2 3i )3 = 3.6 3 (kos 3(236.3( ) + i sin 3 (236.3() (

= 46.66( kos 348.9( + i sin 348.9( )

b. (-2 3i )1/3 = 3.6 1/3 (kos (236.3( + 360k )/3 + i sin (236.3( + 360k)/ 3(

Bila k = 0 ,

( -2 3i )1/3 = 1.53 ( kos 78.77 + i sin 78.77)

Bila k = 1 ,

( -2 3i )1/3 = 1.53 ( kos 198.8 + i sin 198.8 )

Bila k = 2 ,

( -2 3i )1/3 = 1.53 ( kos 318.8 + i sin 318.8 )

Bila k = 3 , ia tidak diterima kerana nilai hujah melebihi 360

c. ( 2 3i )4 = 3.6 4 (kos 4( 303.69( ) + i sin 4 ( 3033.69() (

= 1167.96 ( kos 134.76( + i sin 134.76( )

d. ( 2 3i )1/2 = 3.6 1/2 (kos (236.3(+360k )/2 + i sin 3 (236.3(+360k)/2 (

Bila k = 0 ,

( 2 3i )1/2 = 1.9 ( kos 151.8( + i sin 151.8(Bila k = 1

( 2 3i )1/2 = 1.9 ( kos 298.15( + i sin 298.15( )

Bila k = 2 , ia tidak diterima kerana nilai hujah melebihi 360

PENILAIAN KENDIRI 16

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan.

Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.

Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!

1.Nyatakan dalam bentuk polar (kutub) bagi z = - 5 i3

2.Jika z = 2 ( kos 25 + I sin 72 ) , nilaikan z3 dalam bentuk polar (kutub)

3. Jika z1 = 12 ( kos 125 + I sin 125 ) dan z2 = 3 ( kos 72 + I sin 72),

carikan nilai

a. z1 z2

b.

dengan menyatakan jawapan dalam bentuk polar.

4.Dengan menggunakan Teorem De Moivre, huraikan kos 3( dan sin 3(

dalam sebutan sin dan kos

5. Dengan menggunakan Teorem De Moivre , selesaikan operasi nombor

kompleks berikut

a. ( 3 + 4i)4

b. ( -1 i ) 5

6. Nyatakan 2 + i3 dan 1 i2 dalam bentuk polar dan dengan menggunakan Teorem De Moivre, nilaikan . Tuliskan jawapan anda dalam bentuk

a + ib dan bentuk Eksponen.

Maklum Balas Penilaian Kendiri 16

Adakah anda telah mencuba dahulu????..Jika YA, sila semak jawapan anda.

1.5.831 ( 210( 58(

2.8 ( 75(

3.a. 36 ( 197(

b. 4 ( 53(4.kos 3( = kos 3 ( - 3 kos ( sin 2 (

sin 3( = 3 kos 2 ( sin ( sin 3 (5.a) 625 ( kos 212 + i sin 212 )

b) 5.65( kos 45 + i sin 45 )

6.3.606( 56( 19( , 2.236 ( 296 ( 34( 24.2 - I 71.6 , 75.6 e i1.244

(-5,2)

INCLUDEPICTURE "C:\\Program Files\\Microsoft Office\\Clipart\\Popular\\AMCONFUS.WMF" \* MERGEFORMAT

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

TEOREM DE MOIVRE

(kos ( + i sin ( ) n = kos n ( + i sin n (

INPUT

EMBED Word.Picture.8

( kos ( + i sin ( ) n = kos n ( + i sin n (

EMBED Word.Picture.8

INPUT

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

-5 + 2i terletak disukuan ke 2

8 - 5i terletak di sukuan 4

(hujah dibaca sebagai 360 - (

INGAT !!!!!!

Bentuk Cartes : a + bi

Bentuk Kutub : R ( kos ( + i sin ( )

Bentuk Eksponen : Re i(

TAHNIAH!!!!..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda.

UNIT 16

y

x

_1062415257.unknown

_1087148815.unknown

_1087148852.unknown

_1062415292.unknown

_1062357498.unknown

_1062406122.unknown

_1062407019.unknown

_1057864482.unknown

_1062357447.unknown

_1051364737.doc