Az aranymetszés

,,…a geometria két legnagyobb kincse közül az egyik”

(Johannes Kepler)

Az aranymetszés definíciója

 TÉTEL, A/B= (A+B)/A

• nagyobbik rész mértani közepe: a2=(a+b)b

• kisebbik rész mértani közepe: b2=a(a-b)

• a másik képlet az aranyarányra: a/b=b/(a-b)

Az aranymetszés története

Az aranymetszést már az ókori egyiptomiak is használták(Kr.e. 2600 körül épült Gízai piramisok arányaiban is fellelhető)

A piramis négyzetalapja oldalának fele és az egyik háromszög oldallapjának a magassága az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz. Az előbbi körülbelül 186,4, az utóbbi 115,2 m, melyek hányadosa az 1,618 arányszám.

Az aranymetszés története

• a görögök idejében jele a tau volt(a görög vágni szó kezdőbetűje)

• a mai jele a phi Pheidiasz görög szobrász nevének kezdőbetűje, ugyanis a művész alkotásaiban gyakran visszaköszön az ,,aranyarány”

A phi

•φ az aranyarány száma, a/b=φ, a=φb

•φ irracionálisbiz. a/b=(a+b)/a-ből, innen a/b=((a/b)+1)/(a/b)φ=(φ+1)/φ, innen φ=1+(1/φ), reciprok + 1másodfokú egyenlet megold.: φ=(1+√5)/2 q.e.d.

•φ = 1,618

Az aranymetszés és a Fibonacci-számsor kapcsolata

A Fibonacci sorozat képzési szabálya: 1,1, majd ezután minden tag az előző kettő összege. Kapcsolata az aranymetszéssel az, hogy minél tovább megyünk a sorozatban, két szomszédos tag hányadosa (nagyobbik/kisebbik) határértékben φ-t ad.

Pl.: 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,67; 8/5=1,6; 13/8=1,625; 21/13=1,615, stb.

Az aranymetszés illetve a Fibonacci- számsor előfordulása a természetben

Robert SimsonA phi fellelhető :1. egy száron növő levelek közötti távolságban2. a virágok szirmainak a számában3. az érett magok elhelyezkedésében

A nautilus, más néven csigáspolipA csigáspolip a fejlábúak törzsébe és azon

belül a nautiluszok osztályába tartozó faj.

Házának keresztmetszetén bárhol is húzunk vonalat a középponton keresztül mindegyik metszés az aranyarányt adja.(az ábrán:AC:DB=FG:EG)További adatok a

nautiluszról:1.házának átmérője 25-30 cm2.súlya kb 6 kg3.társas lény4.tápláléka:rákok, halak , haltetemek

Az aranymetszés szerepe az arcon illetve az emberi testen

Ez Leonardo da Vinci egyik vázlata,az ún. Vitruvius tanulmány, amelyben az alkotó az emberi test arányait és harmonikusságát elemzi

Aranyarányban ,,áll egymással”:

kék szakaszok/piros szakaszokpiros szakaszok/sárga szakaszoksárga szakaszok/zöld szakaszok

Az aranyháromszög

72°

36°

Az aranyháromszög egy olyan egyenlő szárú

háromszög, aminek két alapszöge 72, harmadik

szöge pedig 36°-os

Az aranymetszés használata a festményeknél…

Michelangelo: A szent család Salvador Dalí:Léda és a hattyú

Az aranymetszés használata a művészeti alkotásoknál…

Leonardo: Mona Lisa

Belvederei Apollón

Az aranymetszés használata a festményeknél…

Csontváry Kosztka Tivadar : Baalbek

Piet Mondrian, holland festő

…és az építészetbenParthenon, Athéna Parthenosz, a szűz Pallasz Athéné temploma az athéni Akropoliszon. (Pheidiasz műve)

…és az építészetben

ENSZ székház, New York(az ablakok olyan téglalapok, melyeknek oldalainak aránya a phi-t adja)

Le Corbusier

Köszönjük a figyelmet!

Készítették: Diós Dániel, Gergely Anna, Chornitzer Anna. Városmajori Gimnázium, 10.d

Felkészítő tanár: Iván LászlóForrásadat:Stephen Skinner:Szakrális Geometria(Bioenergetic

Kiadó;2007) http://hu.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci goldennumber.net http://hu.wikipedia.org/wiki/Piet_ Mondrian Rosie Dickins&Mari Griffith: Bevezetés a művészetbe(Mérték Kiadó,

Budapest, 2004)