ayudantiastema1

Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 2 2 Semestre 2014

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Ayudantas Tema 1

El error cuadrtico medio (mean squared error) es una medida de precisin del estimador. Para un estimador el error cuadrtico medio se define por = [ !] Con las propiedades de E(valor esperado), se puede mostrar que = + !.De esta forma cuando es insesgado, ocurre que = .

1. En muestras de tamao n=3 de una v.a. normal de media m y varianza conocida ! = 1, se consideran los estimadores ! = 13! + 13! + 13! ! = 14! + 12! + 14! ! = 18! + 38! + 12! Comprobar que son estimadores insesgados y estudiar su eficiencia. Calcular la estimacin de para la muestra ! = 2,6 ! = 3,1 ! = 1,8

2. La lectura de voltaje dada por un voltmetro conectado a un circuito elctrico es una variable aleatoria con distribucin uniforme en el intervalo )1,( + , siendo el verdadero valor, desconocido, del voltaje. Sea 1 2, ,..., nX X X una muestra de lecturas de dicho voltmetro.

a) Demostrar que la media muestral X es un estimador sesgado de y calcular el sesgo. b) Calcular el error cuadrtico medio de X . c) Obtener, a partir de X un estimador insesgado de .

3. Sea 1 2, ,..., nX X X una muestra aleatoria de tamao n.

a) Demuestre que 2X es un estimador sesgado de 2 . b) Determine la magnitud del sesgo en este estimador. c) Qu sucede con el sesgo a medida que aumenta el tamao n de la muestra? Argumente.

4. Sea X una v.a. uniformemente distribuida en (0,) donde es desconocido y X1, X2, , Xn una muestra aleatoria simple de valores observados de X. Consideremos los estimadores: ! = !, ,!


2

! = 2 ! = + 1 !, ,! a) Demostrar que U1 es un estimador sesgado de . b) Demostrar que U2 es un estimador insesgado de . c) Demostrar que U3 es tambin insesgado y ms eficiente que U2 d) Estimar usando los tres estimadores a partir de la muestra

0,53 0,73 1,54 2,48 1,30 0,20

5. La variable aleatoria X1 tiene una distribucin N(, 2) y la variable X2, independiente de la anterior, tiene una distribucin N(2,3 2). Se toma una muestra pequea de tamao n1 de la primera variable y otra de tamao n2 de la segunda. Para estimar el valor del parmetro se utiliza el estimador 1 2 aX bX = + donde a y b representan constantes. a) Qu condicin deben cumplir los valores de a y b para que el estimador de media sea

insesgado? b) Determine a y b para que adems, el estimador presentado anteriormente sea el de varianza

mnima.

6. Demostrar que, entre todos los estimadores lineales insesgados ! = !! ++ !! de la media poblacional, la media muestral es el de menor varianza.

7. Un torno fabrica piezas cuya longitud oscila aleatoriamente entre dos valores a y b. Suponiendo

que la longitud se ajusta a una v.a. distribuida uniformemente, estimar los parmetros a y b, a partir de la muestra

10,2 10,22 10,10 10,14

utilizando el mtodo de los momentos.

8. La v.a. X sigue una distribucin de Pascal: = 1 ! , = 0,1,2, 0 < < 1 Hallar un estimador del parmetro p por el mtodo de los momentos.

9. El coseno del ngulo con que se emiten los electrones en un proceso radiactivo es una variable aleatoria X con funcin de densidad

( ) ( )12 1 1 10Xx si xf x;

d.o. f .

+ =

para 11

Consideremos una muestra aleatoria simple 1 2, ,..., nX X X de dicha variable.

a) Obtener el estimador de por el mtodo de los momentos.


3

b) Calcular la varianza de este estimador.

10. El tiempo de vida de ciertos artculos electrnicos, que se distribuye exponencial desfasada, es de por lo menos das, donde 0 es desconocido. La pdf de una exponencial desfasada viene dada por:

( )( )

; ,0 . . .

x

Xe xf x

d o f

=

a) Obtenga por el mtodo de los momentos estimadores para los parmetros y . b) Demuestre, con slidos argumentos matemticos, que el MLE de es

{ }1 2 min , ,..., nX X X = . Adems calcule el MLE de . c) Es { }1 2 min , ,..., nX X X = un estimador insesgado? Justifique matemticamente e

intuitivamente.

11. En una piscifactora hay una proporcin desconocida de peces de una cierta especie A. Para obtener informacin sobre dicha proporcin, vamos a ir sacando peces al azar. Tres personas realizan, independientemente una tras otra, el proceso de sacar peces al azar hasta encontrarse con el primero del tipo A: La primera persona lo obtiene en la dcima extraccin, la segunda persona lo obtiene en la decimoquinta y la tercera en la decimoctava extraccin. Escribir la funcin de verosimilitud y obtener el estimador de mxima verosimilitud de la proporcin p.

12. Una v.a. discreta toma los valores 0, 1 y 2 con funcin de densidad 0, = ! 1, = 2 1 2, = 1 !

Siendo 0


4

15. Sea 1 2, ,......, nX X X una muestra aleatoria de la duracin de informacin en CDs (tiempos de

vida de la informacin en los CDs, en aos). El fabricante de estos CDs, argumenta que la funcin de densidad de probabilidad de los CDs es exponencial. Para determinar esto, recopil la siguiente informacin sobre la duracin de la informacin (en aos) de 32 CDs:

1,7608 4,3192 2,8868 12,426 27,7359 7,8288 0,905 2,7391 4,9092 0,8376 10,8476 3,3335 9,8361 1,505 3,3382 15,4049 1,8298 16,19 9,9817 6,2342 2,7197 4,2868 5,7499 2,7448 0,1682 6,9115 3,6457 6,2786 3,0316 3,9912 1,282 1,6601

a) Realice los grficos de probabilidad que estime pertinentes, analcelos y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

b) Asumiendo que lo dicho por el fabricante es cierto, encuentre la distribucin asinttica del MLE de , y utilcela para construir un IC aproximado con 95% de confianza para elverdadero tiempo promedio de vida de los CDs.

Nota: La pdf de la distribucin Exponencial es: ( ) 0 ,;0 . . .

x

Xe x

f xd o f

+ +

=

R R

( ) 0 ,;0 . . .

x

Xe x

f xd o f

+ +

=

R R

16. El superintendente de un gran distrito escolar, que alguna vez curs probabilidad y estadstica, piensa que el nmero de maestros ausentes en cualquier da dado tiene una distribucin de Poisson con parmetro . Se han muestreado 50 das, obtenindose los siguientes resultados:

a) Realice los grficos de probabilidad que estime pertinentes, analcelos y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del superintendente.

b) Asumiendo que lo dicho por el fabricante es cierto, encuentre la distribucin asinttica del MLE de , y utilcela para construir un IC aproximado con 99% de confianza para el verdadero promedio del nmero de maestros ausentes por da.

Nota: La pmf de la distribucin de Poisson es: ( ) 0 ,; !0 . . .

x

X

e xp x xd o f

+ + =

Z R

17. El fabricante de un determinado tipo de turbinas de vapor afirma que la duracin de stas (en miles de horas) sigue una distribucin Weibull, con parmetro de forma = 2. Para corroborar esta informacin, se han probado experimentalmente 100 turbinas, de las cuales se obtuvieron los siguientes tiempos de fallo:

Nmero de ausencias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia 1 4 8 10 8 7 5 3 2 1 1


5

5,4476 10,7148 6,432 4,8502 7,5622 13,4607 1,7397 11,9515 7,3981 10,6839 8,6489 5,0303 4,463 8,8636 6,6119 6,7642 8,0335 12,3192 7,6689 5,4247 4,9143 6,8759 16,5398 2,9201 10,8548 9,2527 6,1411 4,8079 3,5114 5,6728 8,6507 7,3842 7,1686 4,0023 2,6913 3,8961 7,6704 6,8087 7,7336 11,7298 3,6296 6,9242 3,1186 6,1015 7,7103 10,6065 3,2517 12,9063 2,2185 4,9816

13,7769 9,7152 12,7336 2,2583 11,3072 6,4763 3,6927 13,5638 10,5226 4,2721 3,5341 5,6084 10,4193 8,8795 4,7746 6,8273 13,2823 8,2852 2,3597 6,6418 2,6892 2,8443 4,2145 9,7132 3,2909 2,0992 2,3235 3,2299 11,3221 3,129 6,5873 9,8637 3,6592 5,1261 5,1013 17,2169 12,156 15,7213 8,1765 5,6077 6,3539 4,8017 5,7458 6,0672 9,6748 8,9102 7,7512 5,4662 6,723 9,0627

a) Encuentre el MLE del parmetro, y obtenga la estimacin correspondiente. b) Realice los grficos de probabilidad que estime pertinentes, analcelos y concluya si est de

acuerdo con la afirmacin del fabricante.

c) Obtenga la distribucin asinttica del MLE del parmetro . d) Determine un IC aproximado para el parmetro con un nivel de confianza del 90%. Luego,

calcule el IC del 90% en base a los datos muestreados.

e) Determine un IC aproximado para la confiabilidad de la duracin de las turbinas con un nivel de confianza del 95%. Luego, calcule el IC del 95% en base a los datos muestreados, para la confiabilidad de la duracin de las turbinas a las 7.000 horas. [Sugerencia: La confiabilidad se define como la probabilidad de que cierta variable dure por lo menos unidades de tiempo, es decir, = ( > )]

Nota: La pdf de la distribucin Weibull es: ( )( )/1

0 ; ,; ,0 . . .

x

X

x e xf x

d o f

+ + =

R R

y la cdf es: ( )( )/

01 ; ,; ,0 . . .

x

Xe xF x

d o f

+ + =

R R

18. Una revisin de 100 informes que tienen diez datos cada uno, realizada por los vendedores de una gran compaa, permiti determinar si existe algn tipo de error en dichos informes (cada dato del informe podra o no estar errado). La informacin recopilada fue la siguiente:

N de errores por informe

Frecuencia Observada

0 8 1 25 2 32 3 24 4 10 5 1

Despus del anlisis correspondiente, los vendedores afirmaron que el nmero de errores por informe segua una distribucin binomial. Realice los grficos de probabilidad que estime


6

pertinentes, analcelos y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante. [Sugerencia: en primer lugar debe obtener el MLE del parmetro ]

Nota: La pmf de la distribucin Binomial es: ( ) ( )1 0; ,0

n xx

X

np p x n

p x n p xde otra forma

=

19. La longitud de 150 piezas fabricadas por un torno, han sido clasificadas en 5 grupos, con los siguientes resultados (en mm):

Longitud Frecuencia 10,01 L < 10,06 26 10,06 L < 10,11 32 10,11 L < 10,16 35 10,16 L < 10,21 29 10,21 L < 10,26 28

Sabiendo que la mnima y mxima longitud que puede alcanzar una pieza fabricada por el torno son 10,01 mm y 10,26 mm, comprubese si la variable longitud de la pieza se distribuye uniformemente.

20. En el transcurso de dos horas, el nmero de llamadas por minuto solicitadas a una centralita

telefnica fue:

No. Llamadas/min: 0 1 2 3 4 5 6 7 Frecuencia: 6 18 32 35 17 10 2 0

Se puede aceptar que la variable nmero de llamadas por minuto sigue la distribucin de Poisson de parmetro ?

21. Sea 1 2, ,......, nX X X una muestra aleatoria de la duracin de informacin en CDs (tiempos de vida de la informacin en los CDs, en aos). El fabricante de estos CDs, argumenta que la funcin de densidad de probabilidad de los CDs es exponencial. Para determinar esto, recopil la siguiente informacin sobre la duracin de la informacin (en aos) de 50CDs:

10,7982 8,0426 6,4366 0,5331 0,1541 4,5002 0,9442 6,7867 13,4081 4,3599

2,5988 15,3399 0,5037 1,8704 0,3356 4,4052 0,0367 8,2058 2,2143 0,228

5,8159 1,61 7,1008 9,9957 8,2947 3,0028 4,925 8,884 0,2448 3,2316

0,4465 2,5809 7,4452 7,4899 8,4569 0,0058 13,4983 3,1985 0,9409 5,8899

2,2831 17,6502 5,3946 11,0974 3,2513 0,8983 3,9195 2,7659 5,5943 4,9522

c) Realice la prueba de bondad de ajuste Chi Cuadrado, determine el valor p de ella, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

d) Realice la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov - Smirnov, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.


7

e) Realice la prueba de bondad de ajuste Anderson - Darling, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

Nota: La pdf de la distribucin Exponencial es: ( ) 0 ,;0 . . .

x

Xe x

f xd o f

+ +

=

R R

( ) 0 ,;0 . . .

x

Xe x

f xd o f

+ +

=

R R

22. Un estudio de la pureza de una mezcla qumica indica que sta depende principalmente de tres parmetros, denominados r, p y q (con r+p+q=1) Se estima que hay cuatro grupos de calidad, 0, 1, 2 y 3. Segn las caractersticas de la maquinaria de nuestro proceso productivo, en condiciones normales, stas deberan producir un lote de calidad 0, , 3 con la probabilidad indicada en la siguiente tabla: Grupo: 0 1 2 3 Probabilidad: ! ! + 2 ! + 2 2 La empresa ha tomado muestras de 435 lotes y se observaron las siguientes frecuencias Grupo: 0 1 2 3 Frecuencia: 176 182 60 17 Decidir, si las frecuencias concuerdan con el modelo probabilstico.

23. El superintendente de un gran distrito escolar, que alguna vez curs probabilidad y estadstica, piensa que el nmero de maestros ausentes en cualquier da dado tiene una distribucin de Poisson con parmetro . Se han muestreado 50 das, obtenindose los siguientes resultados:

Realice la prueba de bondad de ajuste Chi Cuadrado, determine el valor p de ella, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del superintendente.

Nota: La pmf de la distribucin de Poisson es: ( ) 0 ,; !0 . . .

x

X

e xp x xd o f

+ + =

Z R

24. El fabricante de un determinado tipo de piezas industriales, al revisar los manuales del fabricante que vende las mquinas que usa en su proceso, ha determinado que la distribucin de probabilidad del tiempo necesario para que la mquina pueda hacer una de estas piezas (la mquina con la que cuenta slo procesa de una pieza a la vez) es normal, mas desconocen sus parmetros. Ha tomado el tiempo de 100 piezas desde que las introduce como materia prima a la mquina hasta que se obtiene la pieza lista para su comercializacin. Piensa que 100 tiempos constituyen una muestra representativa y ms que suficiente para determinar que distribucin siguen estos tiempos. Los tiempos muestrados (en minutos) fueron:

Nmero de ausencias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia 1 4 8 10 8 7 5 3 2 1 1


8

95,9282 81,0011 100,348 88,297 84,2068 88,7596 76,817 78,0328 82,9195 80,1343

76,1757 118,3695 109,1144 58,3428 106,1591 78,8844 83,8781 86,2972 70,0439 79,9897

88,8629 96,1606 83,8133 91,4232 92,7426 70,9492 88,4734 95,817 100,9725 81,3879

86,4616 101,8318 101,4601 88,7291 81,5645 108,8324 92,6834 93,5506 95,0095 88,1573

80,7671 89,7465 107,5916 101,3747 88,7488 110,0187 102,5314 110,0804 85,786 96,3623

96,0365 61,5787 75,8726 102,1081 108,8916 68,6997 117,2213 91,3617 72,9243 79,0009

92,5714 66,4707 83,4333 104,1354 74,5723 82,2222 94,0476 68,3319 86,528 105,3892

64,6172 94,1019 82,772 88,4871 86,14 110,5291 93,0814 69,7532 100,2012 78,2921

77,6498 77,7211 95,1678 95,8831 87,6766 88,2834 93,737 83,6147 85,753 108,3414

101,4546 87,8011 103,8942 84,623 95,482 92,7497 93,8858 115,4613 85,5689 85,0224

a) Realice la prueba de bondad de ajuste Chi Cuadrado, determine el valor p de ella, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

b) Realice la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov - Smirnov, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

c) Realice la prueba de bondad de ajuste Anderson - Darling, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

25. El fabricante de un determinado tipo de turbinas de vapor afirma que la duracin de stas (en

miles de horas) sigue una distribucin Weibull, con parmetro de forma = 2. Para corroborar esta informacin, se han probado experimentalmente 100 turbinas, de las cuales se obtuvieron los siguientes tiempos de fallo:

5,4476 10,7148 6,432 4,8502 7,5622 13,4607 1,7397 11,9515 7,3981 10,6839 8,6489 5,0303 4,463 8,8636 6,6119 6,7642 8,0335 12,3192 7,6689 5,4247 4,9143 6,8759 16,5398 2,9201 10,8548 9,2527 6,1411 4,8079 3,5114 5,6728 8,6507 7,3842 7,1686 4,0023 2,6913 3,8961 7,6704 6,8087 7,7336 11,7298 3,6296 6,9242 3,1186 6,1015 7,7103 10,6065 3,2517 12,9063 2,2185 4,9816

13,7769 9,7152 12,7336 2,2583 11,3072 6,4763 3,6927 13,5638 10,5226 4,2721 3,5341 5,6084 10,4193 8,8795 4,7746 6,8273 13,2823 8,2852 2,3597 6,6418 2,6892 2,8443 4,2145 9,7132 3,2909 2,0992 2,3235 3,2299 11,3221 3,129 6,5873 9,8637 3,6592 5,1261 5,1013 17,2169 12,156 15,7213 8,1765 5,6077 6,3539 4,8017 5,7458 6,0672 9,6748 8,9102 7,7512 5,4662 6,723 9,0627

a) Realice la prueba de bondad de ajuste Chi Cuadrado, determine el valor p de ella, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

b) Realice la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov - Smirnov, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

c) Realice la prueba de bondad de ajuste Anderson - Darling, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin del fabricante.

Nota: La pdf de la distribucin Weibull es: ( )( )/1

0 ; ,; ,0 . . .

x

X

x e xf x

d o f

+ + =

R R


9

y la cdf es: ( )( )/

01 ; ,; ,0 . . .

x

Xe xF x

d o f

+ + =

R R

26. Una revisin de 100 informes que tienen diez datos cada uno, realizada por los vendedores de

una gran compaa, permiti determinar si existe algn tipo de error en dichos informes (cada dato del informe podra o no estar errado). La informacin recopilada fue la siguiente:

N de errores por informe

Frecuencia Observada

0 8 1 25 2 32 3 24 4 10 5 1

Despus del anlisis correspondiente, los vendedores afirmaron que el nmero de errores por informe segua una distribucin binomial. Realice la prueba de bondad de ajuste Chi Cuadrado, determine el valor p de ella, y concluya si est de acuerdo con la afirmacin de los vendedores.

Nota: La pmf de la distribucin Binomial es: ( ) ( )1 0; ,0

n xx

X

np p x n

p x n p xde otra forma

=

Ejercicios Adicionales 1. Sean 1 2 7, ,...,X X X una muestra de una poblacin que tiene media y varianza

2. Considere

los siguientes estimadores para :

1 2 71

...7

X X X + + += y 1 6 422

2X X X +=

a) Alguno de estos estimadores es insesgado?. Justifique. b) Cul estimador es el mejor?En qu sentido es mejor?

2. Sea 1 2, ,..., nX X X una m.a.s. de una variable poblacional con pdf: ( )

0

x

Xe si x

f x;si x

>=

a) Hallar el estimador de por el mtodo de los momentos. b) Estudiar si el estimador obtenido en el apartado anterior es insesgado para estimar el

parmetro . 3. Supngase que X1,....Xn constituyen una muestra aleatoria de una distribucin cuya pdf. es la

siguiente:


10

( )1, 0 1

;0 . . .Xx x

f xd om

< 0). Determnese el MLE de . 4. Sea X1,...,Xn una muestra aleatoria tomada de una poblacin que se encuentra distribuida

uniformemente en el intervalo [0, ]. Recuerde que el MLE de es { }1 mx ,..., nY X X = = .

a) Argumente intuitivamente de porque no puede ser un estimador insesgado de .

b) Utilice el hecho de que Y y si y slo si cada iX y para obtener la cdf de Y . Luego demuestre que la pdf de { }1mx ,..., nY X X= es:

( )1

0;0

n

nY

ny yf yde otra forma

=

c) Demuestre el MLE de , { }1 mx ,..., nY X X = = , es un estimador sesgado de . Utilice el apartado anterior para hacer esta demostracin.

d) Es razonable que subestime de manera consistente a ?. Utilice el valor esperado del estimador encontrado en el apartado anterior para responder esta pregunta. Demuestre que el sesgo en el estimador tiende a cero a medida que n se vuelve ms grande.

e) Proponga un estimador insesgado para , Justifquelo.

5. La empresa Duracell, a partir de estudios empricos, ha determinado que sus pilas AAA tienen

una duracin (tiempo de vida) que puede ser modelada a travs de la distribucin de Laplace, cuyos parmetros, y desconoce, y cuya pdf viene dada por:

( ) | | /1; , , , ,2

+= xXf x e x R R

Ayude a Duracell a encontrar expresiones matemticas que le permitan estimar estos parmetros.

a) Encuentre los MLEs de los parmetros y . b) Calcule los estimadores de momentos de y .

Prueba de Ctedra Primer Semestre curso 2013. Problema 1

Explique utilizando las herramientas vistas en el curso la siguiente contradiccin.

Juan ley en un diario que un estudio reciente, muy serio, concluy que 1 de cada 5 hombres no desea casarse. Un da Juan estaba en una fiesta y se encontr con 4 amigos del colegio, y tras charlar con ellos, averigu que todos ellos estaban casados. Por lo tanto considerando el estudio, l concluy que nunca se casara. Sin embargo, l est casado.


11

Justifique y argumente el error en esta contradiccin.

Problema 2 Una moneda Cargada

Usted est jugando con una moneda a cara y cruz, y tras diez lanzamientos obtiene 10 caras, por lo que tiene serias dudas si la probabilidad de obtener cara es 1 y no tpicamente 1/2. Las Partes I y II son independientes.

Parte I

1. Justifique (brevemente) por qu si la moneda no estuviera cargada la probabilidad de tirar una nueva moneda tiene un 50% de probabilidades de salir cara a pesar de ya haber obtenido 10 caras. cules son sus supuestos?

2. Considere que cada lanzamiento sigue una distribucin de Bernouilli de parmetro con = 1 si sale cara. Muestre que el estimador de p por mxima verosimilitud es =!! , con x = {#x! = 1} Cul sera el estimador de = 1 de mxima verosimilitud? (Justifique!).

3. Qu pasara si supiera que est entre 0,5 y 0,8? se modificara el estimador de MLE? de qu forma?

4. Calcule la estimacin puntual de . Cree usted que es evidencia suficiente para concluir que = 1? Parte II

1. Aplique una prueba !con = 5% para verificar si la moneda se distribuye uniformemente ( = 1/2), especifique la hiptesis nula.

2. Ahora suponga que con otra moneda usted obtuvo 2 caras y 8 sellos, podra refutar con = 5% que = 1/2?

3. Explique intuitivamente porqu tan pequea diferencia provoca dos resultados distintos.

Problema 3 Tendencia del tipo de cambio

Usted es un consultor que recibi la tarea de analizar si el precio del dlar-peso tiene tendencia al alza, a la baja o se mantiene. Para ello se propone estudiar la variacin del valor diario del dlar R! y supone que R! N(, !).

1. Muestre que estimador = !! x!!!!! . de es insesgado. 2. Con los datos de la hoja USDCLP del archivo de datos asociado a este tema de la asignatura y

la cota de Crmer-Rao obtenga un intervalo de confianza al 95% para.En base a esto, podra afirmar que el dlar-peso tiene una tendencia al alza?

Problema 4 Distribucin de Pareto e ingreso per cpita por hogar en Chile

La distribucin de Pareto permite entre otras cosas modelar la distribucin de ingresos. Para ello debe verificar si esto es cierto en el caso chileno utilizando los resultados de la encuesta suplementaria de ingresos realizada por el Instituto Nacional de Estadstica en 2009.

La distribucin de Pareto(,),con y mayores a 0, tiene funcin de densidad dada por


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;, = !!!! 0 . Parte I

1. Suponga que tiene la muestra aleatoria de !, . . . , !, especifique el dominio (valores que pueden tomar) al que pertenecen y .

2. Escriba la funcin de log verosimilitud y muestre que los estimadores MLE de y son = !, . . . , ! = ! 3. Sabiendo que la esperanza y el momento de segundo orden no centrado de X distribuida

Pareto ( , ) son: ! = = 1 ! = ! = ! 2 deduzca por el mtodo de los momentos los estimadores de y .

Parte II

1. Utilizando la informacin de la encuesta suplementaria de ingresos de los hogares en Chile, estime los valores de y por MLE y por momentos para el ingreso per cpita de los hogares chilenos (ver parte I).

2. Sabiendo que la distribucin acumulada de X distribuida Pareto (,),es () = 1 ! ,

utilice los datos de la hoja Ingresopercapita del libro asociado a este tema de la asignatura para crear grficos Probabilidad-Probabilidad (P-P) y Percentil-Percentil (Q-Q) para verificar si la distribucin de Pareto da un ajuste adecuado, dado los estimadores de MLE de la parte I. Parece adecuado el ajuste? Explique.

Problema 5. El mejor estimador de la varianza

Considere una muestra aleatoria !, . . . , ! de una variable (,!) y el estadstico: = 1! ! !!!!!

1. Justifique intuitivamente por qu T sigue una distribucin !!!! . 2. Utilizando la parte 1 muestre cul de los siguientes estimadores de ! son insesgados

! = 1 1 ! !!!!! , ! = 1 ! !!

!!! , ! = 1 + 1 ! !!

!!!


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3. Utilizando la parte 1, calcule la varianza de !, ! !. Concluya cul es el mejor estimador de ! de los tres, y justifique qu criterio utiliza. Proviene este estimador del mtodo de los momentos o MLE?

Observacin podra ser til recordar que !! = , !! = 2 y = + !. Prueba de Ctedra Primer Semestre curso 2014. 1. Una granja ha determinado que la produccin diaria de huevos de sus gallinas ponedoras sigue la

siguiente distribucin de probabilidad (pmf):

= 1| = 2 1 2 = 2| = 2 Siendo 0 < < 1 un parmetro desconocido. Para cualquier clculo, utilice los datos que aparecen en la hoja produccionHuevos del libro asociado a las ayudantas de este tema.

a) Demuestre que la pmf es legtima. b) Determine la esperanza matemtica de la variable aleatoria. c) Utilice el mtodo de los momentos para determinar un estimador para el parmetro de la

distribucin. d) El estimador anterior es insesgado? Justifique matemticamente. (Nota: A efectos de este

enunciado puede suponer que E(1/)= 1/E()). e) A partir de los datos entregados, realice las estimaciones del parmetro ofrecidas por el

mtodo de mxima verosimilitud y el mtodo de los momentos. Anexar hoja Excel con solucin.

f) Determine mediante una prueba Chi-Cuadrado si los datos de la hoja pueden proceder o no de una distribucin como la indicada anteriormente con valor de parmetro 0,4. Utilice para ello el criterio del valor p. Anexar hoja Excel con solucin.

2. La diferencia entre el tiempo real y el tiempo esperado (en segundos) de proceso en una mquina

de corte por control numrico sigue la siguiente distribucin de densidad: ! ; = 12 ! !! , Para cualquier clculo, utilice los datos que aparecen en la hoja controlNumerico del libro asociado a las ayudantas de este tema.

a) Determine las expresiones matemticas y el valor del estimador de mxima verosimilitud para el parmetro .

b) Determine las expresiones matemticas y el valor del estimador de momentos para el parmetro . Recuerde que es posible encontrar la esperanza de una variable aleatoria conociendo su funcin de densidad a travs del siguiente clculo: () = ! !!! .

3. La hoja cefalopodos del libro asociado a las ayudantas de este tema, contiene observaciones

sobre la anchura mxima de diversos ejemplares de un cefalpodo fsil encontrados en las orillas de la segunda regin (en centmetros). Inicialmente, se supone que la anchura mxima de los fsiles sigue una distribucin normal. a) Utilizando los datos suministrados, realice un grfico que permita evaluar la bondad del ajuste

en las colas de la distribucin. Anexar hoja Excel con solucin. b) Realice la prueba Chi Cuadrado para averiguar si las anchuras mximas suministradas siguen

una distribucin normal. Concluya a partir del valor p. Anexar hoja Excel con solucin.


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c) Realice la prueba Kolmogorov-Smirnov para averiguar si las anchuras mximas suministradas siguen una distribucin normal con los parmetros estimados en el apartado a. Su conclusin debe ser independiente del nivel de significacin de la prueba. Anexar hoja Excel con solucin.

4. La hoja entreFallas del libro asociado a las ayudantas de este tema contiene diversas

observaciones del tiempo entre fallas de una mquina (en horas). Se supone que el tiempo entre fallas sigue una distribucin Erlang con parmetro = 2, y parmetro desconocido. a) Encuentre el MLE de , y estmelo a partir de los datos suministrados. b) Determinar un intervalo de confianza del 95% para el valor del parmetro . c) Para verificar la adecuacin de la distribucin anterior, se debe verificar el ajuste en el centro

de la distribucin. Proponga y utilice un grfico para detectar errores en dichas estimaciones. Justifique su eleccin y explique los resultados obtenidos. Anexar hoja Excel con solucin.

d) Para verificar la adecuacin de la distribucin anterior, decide verificar el ajuste en las colas de la distribucin. Tras consultar la literatura (A modified Anderson Darling goodness-of-fit test for the gamma distribution with unknown scale and location parameters) detecta que el valor crtico para el caso con r=2 sigue la siguiente frmula: = 0,98379 + 0,01225 6,27139 0,01974 0,000156! + 19,0327! dnde VC es el valor crtico, n es el tamao de la muestra y es nivel de significacin. Determine si la prueba descarta la hiptesis nula con un nivel de significacin del 10%. El clculo del valor crtico incluye el tamao de la muestra como parmetro, por lo que no es necesario rectificar el estadstico. Anexar hoja Excel con solucin.

Prueba Recuperativa Primer Semestre curso 2014. 1. Un sistema de control qumico reporta informacin sobre un proceso indicando el cambio de

temperatura observado (-1 indica descenso, 0 mantenimiento y 1 ascenso). Se conoce que el cambio de temperatura depende de la concentracin de dos componentes, y , y que sigue una distribucin estadstica discreta con la siguiente distribucin de probabilidad (pmf):

p x = 1| ,( ) = 2 + p x = 0 | ,( ) = p x = 1| ,( ) = 1 32

Siendo 0 2 3 parmetros desconocidos. Para cualquier clculo, utilice los datos que aparecen en la hoja controlQuimico del fichero Excel asociado a las ayudantas.

a) Utilice el mtodo de los momentos para determinar una expresin para el estimador de si

conociera que =0,6 Se trata de un estimador insesgado? Justifique matemticamente. b) Utilice el mtodo de mxima verosimilitud para determinar la expresin matemtica asociada

a los estimadores de mxima verosimilitud de ambos parmetros de la distribucin. c) A partir de los datos entregados, realice las estimaciones del parmetro y ofrecidas por el

mtodo de mxima verosimilitud. Anexar hoja Excel con solucin. d) Determine mediante una prueba Chi-Cuadrado si los datos de la hoja pueden proceder o no de

una distribucin como la indicada anteriormente con valores =0,45 y =0,32. Utilice para ello el criterio del valor p. Anexar hoja Excel con solucin.

2. Se ha producido un lote de artculos conformado por un gran nmero de unidades en los que se

considera que hay una proporcin de p (tanto por uno) artculos defectuosos. Para estimar p, se toma un nmero de artculos al azar y se anota el nmero de articulos defectuosos. El experimento se repite n veces. Sean x1,,xn el nmero de observaciones realizadas en cada experimento y


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y1,,yn el nmero de unidades defectuosas encontradas en cada experimento (puede considerar que cada experimento sigue una distribucin binomial). Los resultados de los n experimentos realizados experiencia pueden consultarse en la hoja articulosDefectuosos del fichero Excel asociado a las ayudantas (en la hoja aparece el nmero de artculos correctos y el nmero de artculos defectuosos de cada experimento). a) Determine la expresin matemtica para el estimador de mxima verosimilitud de p. b) Utilizando los valores disponibles en la hoja de clculo, determine el valor del parmetro p. c) Considere ahora la solucin de los apartados anteriores pero considerando que realmente se

ha realizado un nico experimento con xii=1n observaciones y yii=1

n unidades defectuosas. Cul sera el estimador de mxima verosimilitud que obtendra?

3. El tiempo (en semanas) hasta el fallo de un componente electrnico se rige segn la siguiente

distribucin de probabilidad:

fX x;( ) =16 4 x

3ex 0 < x < ,0


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Examen Final Primer Semestre Curso 2014

1. Un problema clsico en el que se debe recurrir a un estimador puntual para determinar los parmetros de inters, es la realizacin de experimentos con censura. El presente ejercicio estudia un problema de este tipo que aparece en la realizacin de pruebas de resistencia al esfuerzo. Una descripcin de este tipo de experimentos realizado es la siguiente: Se somete a su nivel extremo de funcionamiento, un nmero de componentes (por ejemplo, motores de escaleras mecnicas que repetidamente se arrancan y apagan). El objetivo es estimar el valor medio que puede esperarse que el componente soporte ese estado, por tanto se anota cundo cada componente deja de funcionar. Un planteamiento simple requiere esperar hasta que todos los elementos cedan, pero existe la posibilidad de fijar un tiempo mximo de duracin del experimento, por ejemplo 8 horas, y utilizar el hecho que algunos componentes sobrevivan todo el experimento durante el clculo del estimador del experimento. La hoja Censura del fichero Excel asociado a la prueba contiene un experimento de este tipo. La hoja muestra para cada motor el tiempo (en horas) que tard el motor en fallar en la prueba de resistencia a esfuerzo. Se censura la duracin de la prueba a 8 horas, por lo que todos los valores que aparecen con un 8 indican que el aparato sobrevivi la duracin de la prueba. Se conoce que la distribucin de fallas del motor sigue una distribucin exponencial y se desea estimar el valor de su parmetro. a) Explique por qu si utilizara los datos que aparecen en la hoja y un estimador insesgado de la

distribucin exponencial, la estimacin que obtendramos sera sesgada. b) Explique por qu la funcin de mxima verosimilitud de un experimento con censura es la

mostrada en la ecuacin siguiente, donde n es el nmero de componentes utilizados en el experimento, r es el nmero de componentes que no sobreviven el experimento, t es el instante de tiempo donde falla el motor y T es el instante de tiempo donde se censura el experimento.

L = fX t;( )i=1

r

1 FX T ;( )

nr( )

c) Determine una frmula para el estimador de mxima verosimilitud del parmetro de la distribucin, y el valor que se obtendra con los datos mostrados en el Excel y las hiptesis propuesta (distribucin exponencial censurada tras 8 horas).

d) Verifique si las observaciones que no han sido sometidas a censura se adaptan a la distribucin exponencial utilizando varios mtodos grficos.

ayudantiastema1

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