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Ayuda para resolver sistemas de
ecuaciones (Apoyo para
Superficies Equipotenciales)
A continuación mostramos un sistema de cuatro cargas puntuales
(configuración cuadripolo), el siguiente documento contiene el mismo
procedimiento que ustedes deberan de seguir para plantear sus sistemas
de cargas.
Definiendo la distancia de la carga a un punto de la superficie
equipotencial:
In[1]:= r11 = 0.11;
In[2]:= r21 = 0.07;
In[3]:= r31 = 0.11;
In[4]:= r41 = 0.08;
In[5]:= r12 = 0.06;
In[6]:= r22 = 0.03;
In[7]:= r32 = 0.07;
In[8]:= r42 = 0.10;
In[9]:= r13 = 0.04;
In[10]:= r23 = 0.07;
In[11]:= r33 = 0.02;
In[12]:= r43 = 0.07;
In[13]:= r14 = 0.11;
In[14]:= r24 = 0.11;
In[15]:= r34 = 0.09;
In[16]:= r44 = 0.03;
Definiendo constantes:
In[17]:= εr = 80.5;
In[18]:= ε0 = 8.854 ∗ 10^H−12L;
In[19]:= k = 1 ê H4 ∗ π ∗ εr ∗ ε0L;
Resolución del sistema de ecuaciones:
Para este caso nosotros buscamos 4 superficies equipotenciales de
valores 5.5v, 6.3v, 4.2v, y 7.2v. A continuación haremos useo del
comando “Solve” el cual pide como argumento las ecuaciones del
sistema en un vector, y las variables para las cuales vamos a resolver el
sistema en otro vector de la siguiente manera:
Solve[{Ecuación1,Ecuación2....EcuaciónN},{X1,X2...XN}]
Con este comando se podran resolver sistemas de N ecuaciones, en el
caso de este documento será un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas.
In[29]:= Cargas = SolveB:k ∗
q1
r11+
q2
r21+
q3
r31+
q4
r41� 5.5, k ∗
q1
r12+
q2
r22+
q3
r32+
q4
r42� 6.2,
k ∗
q1
r13+
q2
r23+
q3
r33+
q4
r43� 4, k ∗
q1
r14+
q2
r24+
q3
r34+
q4
r44� 7>, 8q1, q2, q3, q4<F
Out[29]= 99q1 → 3.98164 × 10−8
, q2 → −1.12858 × 10−8
, q3 → −1.57847 × 10−8
, q4 → −6.38609 × 10−10==
Formula general de F(x,y):
Una vez resuelto esto debemos de asignar los valores a las cargas, y
luego escribir la ecuacion para el potencial en cualquier punto.
Recordemos que para ello nececitamos las posiciones de las cargas
descompuestas en coordenadas cartesianas, y de esta manera podremos
definir los Ri respectivo a cada carga qi.
In[30]:= q1 = 3.98 ∗ 10^H−8L; q2 = −1.13 ∗ 10^H−8L; q3 = −1.58 ∗ 10^H−8L; q4 = −6.39 ∗ 10^H−10L;
In[31]:= Φ@x_, y_D = k ∗
q1
Sqrt@x^2 + y^2D+
q2
Sqrt@Hx − 9L^2 + y^2D+
q3
Sqrt@Hx − 9L^2 + Hy − 10L^2D+
q4
Sqrt@x^2 + Hy − 10L^2D
Out[31]= 1.11649 × 108
−
1.58 × 10−8
H−9 + xL2+ H−10 + yL2
−
6.39 × 10−10
x2+ H−10 + yL2
−
1.13 × 10−8
H−9 + xL2+ y2
+
3.98 × 10−8
x2+ y2
Con dicha ecuación solo basta con utilizar ContourPlot para graficar las
superficies equipotenciales, y encontrar el campo eléctrico (E=-“F[x,y])
para luego graficar las lineas de campo con un StreamPlot.
2 Superficies equipotenciales.nb