Pontificia Universidad Catolica de ChileEscuela de Ingenieria / Facultad de FısicaIEE1133/FIZ1433 Materiales ElectricosProfesor: Roberto Rodriguez

Ayudantıa 5: Semiconductores intrınsecos.

Joaquın Arancibia: jiaranci@puc.clFabian Cadiz: facadiz@puc.cl

1. Masas efectivas

Contrariamente al electron libre de masa m0, el electron de Bloch en un cristal puede ser de-scrito como una partıcula dotada de una masa efectiva que esconde la existencia del potencialcristalino. De hecho, un electron de Bloch reacciona a una perturbacion externa como unapartıcula de masa efectiva y no m0. Las ecuaciones de la dinamica semi-clasica de los elec-trones de Bloch hacen intervenir la masa efectiva en el termino de aceleracion, y por otro lado,en estas ecuaciones el cristal no aparece explıcitamente. En lo que sigue, vamos a situarnos enla vecindad de un extremo de la ultima banda de valencia y de la primera banda de conduccion.

La masa efectiva es un tensor que se escribe para una banda dada:(1

m

)ij

=1

~2∂2E(~k)

∂ki∂kj

Cerca de un extremo de la banda situado en ~k0, al orden mas bajo en ∆k = ~k − ~k0:

E(~k) = E(~k0) +1

2

∑i,j

~2

mij

∆ki∆kj

El tensor de masa efectiva es real y simetrico, y siempre es posible encontrar ejes principalesortogonales tales que:

1

m=

1m1

0 0

0 1m2

0

0 0 1m3

En el caso de un cristal cubico donde el extremo de la banda de conduccion se situa en ~k0 = ~0,las superficies de energıa constante son esferas y la masa efectiva mc del electron es entoncesisotropica y positiva cerca del mınimo de la banda de conduccion. En la vecindad del maximo en~k0 = ~0 de la banda de valencia (supuesta esferica), la masa efectiva correspondiente es tambienisotropica pero negativa. Si Ec es la energıa del mınimo de la banda de conduccion, se tieneentonces:

E(~k) = Ec +~2k2

2mc

y una relacion equivalente para la banda de valencia. Esto indica que en la vecindad de Ec loselectrones se comportan como partıculas libres de masa mc.

El caso del silicio es diferente. En efecto, hay seis bandas de conduccion cuyos mınimos estansituados a la energıa Ec, y no se encuentran en ~k0 = ~0, pero corresponden a valores de ~k0cercanos a las extremidades de la primera zona de Brillouin a lo largo de (1, 0, 0) y en direccionesequivalentes. Las superficies de energıa constante en la vecindad del mınimo son, por razonesde simetrıa, elipsoides de revolucion alrededor de cada una de estas direcciones.

Figura 1: Superficies de energıa constante en la vecindad de los mınimos de las seis bandas deconduccion del silicio.

Consideremos estos mınimos, por ejemplo aquel situado en (0, 0, ~k0). En el triedro x, y, z quecoincide con aquel construıdo por los ejes principales de la elipsoide correspondiente, tenemos:

1

mc

=

1

mc,T0 0

0 1mc,T

0

0 0 1mc,L

donde mc,L y mc,T son respectivamente llamadas masas efectivas longitudinal y transversal. Enla vecindad del mınimo de la banda de conduccion, podemos escribir:

E(~k) = Ec +~2

2

(k2x + k2ymc,T

+(kz − k0)2

mc,L

)la masa efectiva esta relacionada con la curvatura de las bandas en la vecindad de sus extremos.En los semiconductores, hay tıpicamente dos bandas de valencia degeneradas en ~k0 = 0, pero decurvaturas diferentes y por lo tanto de masas efectivas diferentes. En la vecindad del maximode estas dos bandas a la energıa Ev, supondremos que las superficies de energıa constante sonesferas: las masas efectivas de valencia asociadas son entonces isotropicas. Una de estas bandastiene una masa efectiva de valencia mayor que la otra. Esto nos lleva a definir una masa efectivade valencia pesada mh,h para una de las bandas, y una masa efectiva de valencia ligera mh,l

para la otra banda.

Las masas efectivas son a menudo obtenidas a partir de experiencias de resonancia de ciclotron.Sus valores para el silicio y el arsenio de galio se presentan en la siguiente tabla:

2

mc mc,L mc,T mv,l mv,L

GaAs 0,07 m0 - - 0,082 m0 0,5 m0

Si − m0 0,2 m0 0,16 m0 0,49 m0

Las masas efectivas de valencia pesadas mv,L y ligera mv,l son positivas y por lo tantode signo opuesto a la masa efectiva de valencia electronica: son de hecho masas efectivas deagujeros pesados y ligeros.

2. Agujeros

Un ajugero (de carga e > 0) puede ser interpretado como una banda de valencia llena a la cualse le ha quitado un electron de energıa Ee. La energıa Et del agujero es entonces:

Et = Etot − Ecdonde Etot es la energıa total de la banda llena, que es entonces una constante irrelevante. Enconsecuencia, podemos escribir simplemente:

Et = −EcEn este modelo, el vector de onda ~kt de un ajugero puede ser definido como el vector de ondatotal de los estados ocupados por los electrones. Si ~ke es el vector de onda del electron ausente,se tiene:

~ktot = ~kt + ~ke

donde ~ktot es el vector de onda asociado a una banda llena. Pero ~ktot = ~0, ya que en razon dela simetrıa de la banda, a todo estado ocupado ~k le corresponde un estado ocupado −~k, conE~k = E−~k. En consecuencia, ~kt = −~ke. La corriente asociada a un agujero cumple:

~Jt = e~vt = − ~Je = e~ve

la velocidad ~vt del agujero es entonces igual a la velocidad ~ve que tendrıa el electron faltanteen la banda de valencia.

Si consideramos ahora un electron en la vecindad del maximo de la banda de valencia isotropica,su masa efectiva −mv es negativa (con mv > 0) a causa de la curvatura de la banda, y su energıase escribe:

Ee = Ev −~2k2

2mv

Si se aplica un campo electrico ~E, la fuerza que actua sobre el electron esta dada por:

−mvd~v

dt= −e ~E

o bien:

mvd~v

dt= e ~E

Esta expresion describe el movimiento de un electron de carga −e negativa y de masa efectiva−mv igualmente negativa. Sin embargo tambien puede ser vista como una carga positiva e enla banda de valencia con una masa efectiva mv positiva. La masa efectiva de un agujero esentonces el negativo de la masa efectiva del electron ausente.

3

3. Semiconductores intrınsecos

Un semiconductor intrınseco es un semiconductro puro, es decir que tiene muy pocas impurezas.Si voluntariamente se introducen impurezas, se tiene entonces un semiconductor extrınseco (o dopado). Esto es importante ya que se puede ası controlar en gran medida la densidad deportadores (electrones y huecos) capaces de transportar una corriente electrica en un semicon-ductor.

3.1. Electrones y agujeros libres

A T = 0 K, todas las ligazones covalentes de un cristal de Si, por ejemplo, son satisfechas. Si seaumenta la temperatura, electrones seran liberados de ciertas ligazones y poodran desplazarselibremente en el cristal, en particular bajo el efecto de un campo electrico ~E. En terminos deestructuras de bandas, a T = 0 K, la ultima banda de valencia esta llena y la primera banda deconduccion esta vacıa. Si la temperatura crece, electrones seran exitados termicamente desdela banda de valencia hacia la banda de conduccion. Estados de la banda de conduccion seranentonces ocupados por electrones (a menudo llamados electrones libres) que, bajo la accion deun campo electrico, dan origen a una corriente ya que existen niveles muy proximos que estandesocupados. La carga de un electron es −e, su spin es 1/2 y su masa efectiva mc es, en el

caso de una banda isotropica en la vecindad de su mınimo Ec (situado tıpicamente en ~k = 0),definida por:

1

mc

=1

~2∂2E(~k)

∂k2> 0

La energıa de un electron en la banda de conduccion esta dada por:

E = Ec +~2k2

2mc

En el lugar donde una ligazon perdio un electron, hay el equivalente de un ion de Si+, ya quefalta un electron. Si ahora se aplica un campo electrico, el lugar que ha sido vaciado por elelectron puede ser ocupado por un electron proveniente de otra ligazon, que ha sido desplazadodebido al efecto del campo electrico. Esto es analogo al desplazamiento del ion de Si+ enel sentido del campo aplicado. Se puede considerar el movimiento de esta falta de electroncomo el desplazamiento de una carga positiva, llamada agujero. En otros terminos, cuando unelectron es exitado hacia la banda de conduccion, deja atras un agujero en la banda de valenciacorrespondiente a un estado vacıo, es decir un electron que falta. La carga de un agujero (generalmente llamado agujero libre) es +e y puede transportar la corriente electrica bajo laaccion de un campo. Si se considera una banda de valencia isotropica cerca de su maximo Evsituado en ~k0 = ~0, la masa efectiva de un agujero esta dada por:

1

mv

= − 1

~2∂2E

∂k2> 0

y la energıa de un agujero es:

E = −Ev +~2k2

2mv

4

4. Postulados de la mecanica cuantica

Resumen

1. La descripcion del estado de una partıcula en el espacio se logra por una funcion de ondaψ(~x, t) donde su modulo cuadrado da la densidad de probabilidad de prescencia en elpunto ~x al instante t.

2. La evolucion en el tiempo de la funcion de onda de una partıcula colocada en un potencialV (r) se obtiene a partir de la ecuacion de Schrodinguer:

i~∂

∂tψ(~x, t) = Hψ(~x, t)

donde el observable energıa H, o hamiltoniano del sistema, es:

H = − ~2

2m~∇2 + V (r)

3. Para un sistema aislado en un potencial independiente del tiempo, los estados estacionar-ios son los estados propios de la energıa, con una funcion de onda de la forma:

ψ(~x, t) = ψα(~x)e−iEαt/~

donde ψα es una solucion normada (´R3 d

3x |ψα|2 = 1) de la ecuacion de Schrodingerindependiente del tiempo:

Hψα(~x) = Eαψα(~x)

La evolucion en el tiempo de toda funcion de onda ψ(~x, t) se escribe inmediatamente unavez conocidas las soluciones estacionarias:

ψ(~x, t) =∑α

Cαe−iEαt/~ψα(~x), con Cα =

ˆR3

d3x ψ∗α(~x)ψ(~x, t = 0)

4. El problema de un electron en un potencial periodico posee como soluciones estacionariasa las funciones de Bloch:

ψn,~k(~x) = un,~k(~x)ei~k·~x

donde un,~k(~x) tiene la misma periodicidad que el potencial. Para n fijo, al variar ~k se

obtiene una funcion cuasi-contınua En(~k), que constituye la n-esima banda de energıa. Elespectro entonces esta constituıdo por bandas de energıa permitidas y prohibıdas para elelectron. Esto determina las propiedades de conduccion electrica de un cristal.

5

5. Estadıstica de los electrones: funcion de Fermi-Dirac

Se muestra en fısica estadıstica que la probabilidad para que un estado de energıa E sea ocupadopor un electron (fermion) esta dada por la funcion de Fermi-Dirac f(E):

f(E) =1

1 + eβ(E−µ)

donde β = 1/kBT y µ es el potencial quımico (tambien llamado eF ). La forma de f(E) semuestra en la figura siguiente:

Figura 2: Variacion de f(E) para T = 0 y T 6= 0

El potencial quımico es la variacion de la energıa libre de un sistema cuando se introduceuna partıcula suplementaria a una temperatura dada. Si dos sistemas pueden intercambiarpartıculas de la misma naturaleza, al equilibrio termodinamico el potencial quımico es identicopara los dos sitemas. El sistema cuyo potencial quımico es mayor cede partıculas al otro hastaque se igualan los potenciales quımicos. Si se tiene un sistema de partıculas sin masa, µ = 0.

6. Densidad de estados

Se define D(E) de forma que D(E)dE es el numero de estados cuanticos permitidos en un

rango de energıa entre E y E+dE. Para una partıcula con relacion de dispersion E(~k) = ~22m~k2,

y considerando la degeneracion de spin, se tiene:

D(E) =V√

2m3/2

π2~3√E 3D

D(E) =4πΩm

h22D

6

7. Constantes y propiedades electricas de distintos ma-

teriales.

Resistividad en ohm-metros, medidos a 1 atm y a 20o C:

Material Resistividad Material ResistividadConductor Semi-Conductores

Plata 1, 59× 10−8 Agua Salada 4, 4× 10−2

Cobre 1, 68× 10−8 Germanio 4, 6× 10−1

Oro 2, 21× 10−8 Diamante 2,7Aluminio 2, 65× 10−8 Silicio 2, 5× 103

Hierro 9, 61× 10−8 AislantesMercurio 9, 58× 10−7 Agua pura 2, 5× 105

Nicromo 1, 00× 10−6 Madera 108 − 1011

Manganeso 1, 44× 10−6 Vidrio 1010 − 1014

Grafito 1, 4× 10−5 Cuarzo ∼ 1016

Susceptibilidades magneticas a 1 atm y 20oC:

Material Susceptibilidad Material SusceptibilidadDiamagnetico Paramagnetico

Bismuto −1, 6× 10−4 Oxıgeno 1, 9× 10−6

Oro −3, 4× 10−5 Sodio 8, 5× 10−6

Plata −2, 4× 10−5 Aluminio 2, 1× 10−5

Cobre −9, 7× 10−6 Tungsteno 7, 8× 10−5

Agua −9, 0× 10−6 Platinio 2, 8× 10−4

CO2 −1, 2× 10−8 Oxıgeno lıquido (-200 oC) 3, 9× 10−3

Hidrogeno −2, 2× 10−9 Gadolinio 4, 8× 10−1

Constantes dielectricas, a 1 atm y 20 oC:

Material Constante Dielectrica Material Constante DielectricaVacıo 1 Benceno 2,28Helio 1,000065 Diamante 5,7Neon 1,00013 Sal 5,9

Hidrogeno 1,00025 Silicio 11,8Argon 1,00052 Metanol 33

Aire(seco) 1,00054 Agua 80,1Nitrogeno 1,00055 Hielo(30oC) 99

Vapor de agua (100oC) 1,00587 KTaNbO3 34 000

7

Gaps de diferentes semiconductores a 300 K.

Cristal Eg (eV) Cristal Eg (eV)Diamante 5,33 PbS 0,34

Si 1,12 (1,17 a 4 K) PbSe 0,27Ge 0,67 PbTe 0,30

InSb 0,23 CdS 2,42InAs 0,33 CdSe 1,74InP 1,25 CdTe 1,8

GaAs 1,43 (1,52 a 4 K) ZnO 3,2AlSb 1,6 ZnS 3,6GaP 2,25 ZnSe 2,60SiC 3 AgCl 3,2Te 0,33 AgI 2,8

ZnSb 0,56 Cu2O 2,1GaSb 0,78 TiO2 3

Masas efectivas de algunos semiconductores.

mc mc,L mc,T mv,l mv,L

GaAs 0,07 m0 - - 0,082 m0 0,5 m0

Si − m0 0,2 m0 0,16 m0 0,49 m0

8. Algunas unidades y constantes fundamentales

Unidades

Angstrom 1A = 10−10m (∼ tamano de un atomo)Fermi 1fm = 10−15m (∼ tamano de un nucleo)

ElectronVolt 1eV = 1, 60218 10−19JConstantes Fundamentales

Constante de Planck h = 6, 6261 10−34JsCte. Planck h-barra ~ = h/2π = 1, 054 10−34JsVelocidad de la luz c = 299 792 458m/s

Permeabilidad del vacıo µ0 = 4π 10−7 y ε0µoc2 = 1

Constante de Boltzmann kB = 1, 38 10−23JK−1

Numero de Avogadro NA = 6, 0221 1023

Carga del electron qe = −1, 602 10−19CMasa del electron me = 9, 1094 10−31kgMasa del proton mp = 1, 672 10−27kg

8

8.0.1. Problema 1

Para estudiar la emision de electrones producida por un filamento de tungsteno, esquemati-zamos el metal como un potencial de caja. Este potencial, supuesto nulo al interior no es infinitoal exterior como hemos hecho normalmente, sino que tiene un valor constante V que es consid-erado como el potencial de extraccion de un electron de momentum nulo. Pocos electrones seescapan ya que β(V − µ) 1

1. Muestre que para los electrones libres de energıa superior a la de la barrera de po-tencial, el factor de fermi se reduce al factor conocido como ((Factor de Boltzmann))

exp[−β(p2

2m− µ

)]2. Calcule el numero de electrones por unidad de volumen de momentum ~p (con precisiond3~p), cuya componente x: px, normal a una superficie unitaria, que golpean por un inter-valo dt.

3. Suponemos que solo los electrones cuyo momentum es px >√

2mV abandonan el metal.Se propagan en seguida segun las leyes de la mecanica clasica. Delante del filamento detungsteno, llevado a un potencial negativo, se encuentra un anodo positivo. Considerandoque los electrones son constantemente repuestos, el metal permanece neutro. Calcule ladensidad de corriente emitida en funcion de la temperatura.

4. Aplicacion numerica: calcule la corriente emitida por una punta de superficie 0, 3 ×0, 3mm2 de tungsteno, para la cual V − µ = 4, 5 eV cuando esta es llevada a 3000 K.

8.0.2. Solucion

1. Tenemos el factor de fermi:

1

1 + eβ(E−µ)=

1

eβ(E−µ)(1 + e−β(E−mu))

= e−β(E−µ)(1 + e−β(E−µ) + . . .)

= e−β(E−µ) +O((e−β(E−µ))2)

Como E V :

= e−β

(p2

2m−µ

)

2. Recordamos la relacion vista en la ayudantıa anterior para el numero de estados en unvolumen V con vectores k (precision d3k):

Dp =4πk2dk

8π3/V=d3k/8

π3/V

Y ademas la relacion: k = p/~. Luego la relacion anterior se reduce a:

Dp =V d3p

8π3~3= V d3p/h3

En seguida, recordamos que el numero de electrones sera entonces dNp = f(p)Dp. Ası, elnumero de electrones (considerando el spin, agregamos un 2), por unidad de volumen demomentum p (a p+ d3p):

9

= 2d3~p

h3e(µ−p

2/2m)/kBT

Ası, el numero de electrones que golpean un elemento de superficie unitaria en un tiempodt sera:

pxmdt 2

d3~p

h3e(µ−p

2/2m)/kBT

3. La densidad de corriente sera entonces:

j = e ·∞

√2mV

dpx

∞

0

dpy

∞

0

dpzpxm

2

h3e(µ−p

2/2m)/kBT

El calculo nos lleva a concluir que:

j =4πmek2bh3

T 2e−(V−µ)/kBT

Que esta en buen acuerdo con la ley de Richardson vista en clases.

4. Para T= 3000 K se obtuvo I=15 mA. T=2000 K , I =0,8 µA.

10

8.0.3. Problema 2

Densidad de estados en el silicio

1. Considere un cristal de volumen V descrito por una banda de dispersion: E = Ec + ~2k22m

.Escriba su densida de estados en funcion de E y la masa efectiva m, considerando ladegeneracion de spin.

2. El silicio presenta 6 valles anisotropicos equivalentes (elıpticos) en las direcciones kx, ky, kzdel espacio ~k. Llamamos mL a la masa efectiva longitudinal y mT a la masa efectivatransversal. Muestre, primeramente para un valle, y luego para el conjunto de los 6, quela expresion encontrada en 1. sigue siendo valida si se utiliza una masa de densidad deestados efectiva de conduccion mdc, que se debe precisar.

3. Calcule la masa efectiva de densidad de estados de valencia mdv en prescencia de dosbandas de valencia de agujeros pesados y ligeros, degeneradas en ~k = 0, de masas mhh ymlh.

4. Aplicacion numerica: para el silicio mL = 0,98 m0, mT = 0,19 m0, mhh = 0,49 m0 ymlh = 0,16 m0, donde m0 es la masa del electron libre. Calcule mdc y mdv en funcion dem0

8.0.4. Solucion

1. El calculo de la densidad estados tridimensional fue calculado en la ayudantıa anterior,obteniendo:

D(E) =(2m)3/2V

2π2~3√E E ≥ 0

Si ahora se tiene una relacion de dispersion E = Ec + ~2k22m

, el calculo es absolutamenteequivalente, de forma que:

D(E) =(2m)3/2V

2π2~3√E − Ec E ≥ Ec

11

2. Considere un valle localizado en la direccion kz en torno al mınimo ~k0 = (0, 0, k0), larelacion de dispersion es:

E = Ec +~2

2mc,T

(k2x + k2y) +~2

2mc,L

(kz − k0)2

escrito de otra forma:

E = Ec + x2 + y2 + z2

con:

x2 =~2k2x2mc,T

y2 =~2k2y2mc,T

z2 =~2(kz − k0)2

2mc,T

de forma que:

dkx =

√2dx

~√mc,T dky =

√2dy

~√mc,T dkz =

√2dz

~√mc,L

El numero de estados cuanticos tal que ki esta entre ki + dki es:

dNi =dkiLiπ

donde Li es el largo del cristal en la direccion i. Luego:

dN =V

π3dkxdkydkz

es el numero de estados cuyo vector de onda esta entre (kx, ky, kz) y (kx+dkx, ky+dky, kz+dkz). Equivalentemente:

dN =V

~3π323/2mc,Tm

1/2c,Ldxdydz

es el numero de estados entre (x, y, z) y (x+dx, y+dy, z+dz). En coordenadas esfericas,r2 = x2 + y2 + z2:

dN =1

8

V

~3π323/2mc,Tm

1/2c,L4πr2dr

es el numero de estados con√x2 + y2 + z2 entre r y r + dr. Finalmente:

r2 = E − Ec, r =√E − Ec, 2rdr = dE

Luego, considerando el spin:

dN =V

~3π2

√2mc,Tm

1/2c,L

√E − EcdE

es el numero de estados entre E y E + dE en la banda de conduccion, en el mınimocerca de (0, 0, k0). Como existen 6 mınimos absolutamente equivalentes, el numero totalde estados en la banda de conduccion con energia entre E y dE sera:

12

dN =V

~3π2

√2 6mc,Tm

1/2c,L

√E − EcdE = D(E)dE

De aquı se ve entonces que si definimos la masa efectiva de densidad de estados deconduccion:

m3/2cd = 6mc,Tm

1/2c,L

La expresion simple para la densidad de estados 3D sigue siendo valida:

D(E) =V

~3π2

√2m

3/2dc

√E − Ec E ≥ Ec

3. Se tienen dos bandas de valencia cuyos mınimos coinciden en ~k = 0. El numero de estadosde valencia con energıa entre E y E + dE es entonces la suma de los estados disponiblesen cada banda:

dN =V

~3π2

√2m

3/2hh

√Ev − EdE +

V

~3π2

√2m

3/2lh

√Ev − EdE

La densidad de estados es entonces:

D(E) =V

~3π2

√2m

3/2dv

√Ev − E E ≤ Ev

con una masa efectiva de densidad de estados de valencia:

m3/2dv = m

3/2hh +m

3/2lh

4. Tenemos:

m3/2dc = 6× 0,19 m0 ×

√0,9m0

mdc =(

6× 0,19√

0,9)2/3

m0 = 0,33 m0

mdv =(0,493/2 + 0,163/2

)2/3m0 = 0,55 m0

13

8.0.5. Problema 3

Densidad de portadores

1. Determine la relacion entre la densidad de portadores n (en la banda de conduccion), p(en la banda de valencia) y la posicion del nivel de fermi EF respecto a las bandas deconduccion y valencia de energıas Ec y Ev. Muestre que estas relaciones hacen intervenira las densidades de estados efectivas Nc y Nv. Utilice:

ˆ ∞0

du√ue−u =

√π

2

2. Aplicacion numerica: calcule Nc y Nv a T = 300 K para el silicio.

3. Muestre la relacion np = n2i , donde ni es la densidad intrınseca de portadores del material

semiconductor, que puede ser expresada en funcion de Eg y KT .

4. Calcule ni para el silicio a temperatura ambiente (Eg = 1,12 eV )

5. Determine la posicion de nivel de Fermi en la estructura de bandas en funcion de Nc yNv. Muestre que en general esta cerca de la mitad de la banda prohibıdia.

8.0.6. Solucion

Densidad de portadores

1. El numero medio de electrones en la banda de conduccion a temperatura T esta dadopor:

N =

ˆ ∞Ec

dE Dc(E)f(E)

donde Dc(E) es la densidad de estados en la banda de conduccion, y f(E) la distribucionde Fermi-Dirac:

N =V√

2m3/2dc

π2~3

ˆ ∞Ec

dE

√E − Ec

1 + e(E−EF )/kT

Suponiendo que E −EF >> kT para todo E en la banda de conduccion (decimos que elsemiconductor es no-denegenerado, lo que se cumple generalmente en la practica):

N =V√

2m3/2dc

π2~3

ˆ ∞Ec

dE√E − Ece−(E−EF )/kT

Haciendo el cambio de variable u = (E − Ec)/kT , dE = kTdu:

N =V√

2(kT mdc)3/2

π2~3e(EF−Ec)/KT

ˆ ∞0

du√ue−u︸ ︷︷ ︸

√π/2

Esto se puede reescribir como (N/V = n):

14

n = Nc(T )e−(Ec−EF )/kT

con Nc la densidad de estados de conduccion efectiva (notar que depende de la temper-atura):

Nc =

(2mdckT

π~2

)3/2V

4

Para la densidad de agujeros, el calculo es analogo (se supone (EF − Ev) >> KT ) y seobtiene:

p = Nv(T )e−(EF−Ev)/kT

con:

Nc =

(2mdvkT

π~2

)3/2V

4

2. Para el Silicio a temperatura ambiente (T = 300 K), se obtiene:

Nc ∼ 2,6× 1019 cm−3

Nv ∼ 1019 cm−3

3. Tenemos:

np = n2i = NcNve

−Eg/kT

con Eg = Ec − Ev el gap del semiconductor. Finalmente:

ni =√NcNve

−Eg/2kT

Notar que en un semiconductor intrınseco (sin impurezas), se tiene necesariamente:

n = p = ni

por ello a ni se le llama densidad de portadores intrınseca.

4. Para el Si, Eg = 1,12 eV y se tiene:

ni = 1,1× 1010 cm−3

A comparar con 8,48 × 1022 cm−3 para el cobre. La concentracion de atomos en uncristal de Si es del orden de 1022 cm−3, entonces la agitacion termica es un proceso muyineficaz que solo es capaz de generar corrientes electricas despreciables e inutilizables. Encambio, como veremos mas adelante, si al Si se le agregan impurezas de un cierto tipo, elnumero de portadores en la banda de conduccion puede ser incrementado dramaticamentea temperatura ambiente.

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5. Se tiene:

n = ni

luego:

Nce−(Ec−EF )/kT =

√NcNve

−Eg/2kT

ln√Nc/Nv −

Ec − EFkT

= −(Ec − Ev)2kT

kT ln (Nc/Nv) + 2EF = Ec + Ev

Finalmente:

EF (T ) =Ec + Ev

2− kT

2ln

(Nc

Nv

)Se ve que a T = 0, el nivel de fermi se encuentra justo en la mitad de la banda prohibıda,Eg/2 = (Ec + Ev)/2. Notar que a temperatura ambiente, la desviacion es pequena :

EF = Eg/2︸ ︷︷ ︸0,6 eV

− k × 300

2ln(2,6)︸ ︷︷ ︸

∼13 meV

∼ Eg/2.

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