aula02_autovalores

Notas de aula de lgebra LinearCursos de Engenharia

Autovalores e Autovetores Aula 2

Instituto Federal de Santa CatarinaCampus Florianpolis

Louis Augusto Gonalves (IFSC, DALTEC) Sem 2013-2 1 / 40

ndice1 Introduo

RevisoConcluses iniciais

2 Desenvolvimento da teoriaDois teoremas sobre autovaloresPropriedades dos autovalores e autovetoresDois teoremas importantesAutoespao de AAutovalores complexos

3 Diagonalizao de operadores linearesMatrizes semelhantesO teorema salvadorComentrios importantesAlgoritmo de diagonalizaoDiagonalizao de matrizes reais simtricas

Algoritmo da diagonalizao ortogonal

4 Polinmio MnimoPolinmio mnimo e caracterstico de matrizes por blocos

Introduo

Dada a matriz A de um operador linear definido num espao vetorial quer-se descobrir quais os vetores no nulos deste espao cujas imagensso mltiplos destes vetores, ou seja, Ax = x , onde um escalar.Temos ento dois objetivos:

Descobrir qual o mltiplo do vetor (), chamado autovalor.Descobrir qual vetor x associado ao fator calculado, chamadoautovetor.

Vale lembrar:

Para calcular os autovalores da transformao precisamos calcular odeterminante de (A In).Este determinante deve ser nulo para que existam solues no nulas dosistema A In = 0.

Introduo

Vale lembrar:

Introduo

Vale lembrar:

Introduo

Vale lembrar:

Introduo

Vale lembrar:

Introduo

Vale lembrar:

Sumrio1 Introduo

Reviso da aula anterior

Determine os autovalores e os autovetores associados transformao linearno R2:

(x , y) = (3x y , x 3y)

Sumrio1 Introduo

Concluses iniciais

As concluses iniciais so:

O vetor x est no espao nulo de A I;

O escalar escolhido de forma que o espao nulo de A I tenhadimenso no nula, resolvendo a equao A I = 0.

OBS: Chama-se polinmio caracterstico ao polinmio em ao resultado dodeterminante A I.

Da teoria de equaes polinomiais sabemos que s existem frmulaspara resolver equaes polinomiais por radicais at o 4o grau. A partir deste,no existem mtodos analticos gerais, devendo-se recorrer a mtodosnumricos, que sero estudados na disciplina de Clculo Numrico.

Concluses iniciais

Sumrio1 Introduo

Dois teoremas sobre autovalores

Considerando uma matriz quadrada de dimenso n, temos os teoremas:A soma dos n autovalores igual soma dos n elementos diagonais:

Trao de A = 1 + 2 + . . .+ n

O produto dos n autovalores igual ao determinante de A.

Det A = 1.2.(. . .).n

Exerccio: Encontre os autovalores e os autovetores de

A =

3 4 20 1 20 0 0

e B = 0 0 20 2 0

2 0 0

e verifique que 1 + 2 + 3 igual ao trao da matriz e que 1.2.3 igualao respectivo determinante.

Trao de A = 1 + 2 + . . .+ n

Det A = 1.2.(. . .).n

A =

3 4 20 1 20 0 0

e B = 0 0 20 2 0

2 0 0

Trao de A = 1 + 2 + . . .+ n

Det A = 1.2.(. . .).n

A =

3 4 20 1 20 0 0

e B = 0 0 20 2 0

2 0 0

Trao de A = 1 + 2 + . . .+ n

Det A = 1.2.(. . .).n

A =

3 4 20 1 20 0 0

e B = 0 0 20 2 0

2 0 0

Trao de A = 1 + 2 + . . .+ n

Det A = 1.2.(. . .).n

A =

3 4 20 1 20 0 0

e B = 0 0 20 2 0

2 0 0

Sumrio1 Introduo

Propriedades dos autovalores e autovetores

Seja A uma matriz quadrada. So equivalentes as afirmaes:i. O escalar um autovalor de A.ii. A matriz A I singular.iii. O escalar uma raiz do polinmio caracterstico de A.As razes do polinmio caracterstico podem ser de dois tipos:

Reais: a imagem da transformao um vetor que pode ter norma maiorque o vetor do domnio: (|| > 1), menor: (|| < 1) ou igual: (|| = 1).

Raiz Positiva: Vetor da imagem no mesmo sentido que o vetor do domnio.Raiz Nula: No h autovetor neste caso.Raiz Negativa: Vetor da imagem no sentido oposto ao vetor do domnio.

Complexas: Anlise a seguir.

Sumrio1 Introduo

O significado de uma matriz ter autovalor igual a zero : Ax = 0x tem soluono-trivial, ou seja, a nulidade da matriz maior ou igual a 1.

Conclui-se que Ax = 0x ter soluo trivial significa ser no inversvel. Assim,0 autovalor de A se, e somente se, A no inversvel. Temos, portanto, osteoremas:

Uma matriz Ann inversvel se e somente se o nmero zero no autovalor de A. Como o produto dos autovalores coincide com odeterminante da matriz, se o determinante da matriz zero ento elatem pelo menos um autovalor nulo.

Se v1, v2, . . . , vn so autovetores associados a autovalores distintos1, 2, . . . , n, ento o conjunto {v1, v2, . . . , vn} linearmenteindependente.

Sumrio1 Introduo

O autoespao de uma matriz 1Formao do autoespao de uma matriz:

Temos que um autovalor de A se, e somente se, a equao(A I)x = 0 tem soluo no-trivial.O conjunto de todas as solues dessa equao o espao nulo de(A I), chamado autoespao de A associado a .

Verifique que 2 um autovalor da matriz A =

4 1 62 1 62 1 8

e determineuma base para o autoespao associado.

4 1 62 1 62 1 8

O autoespao de uma matriz 2

Temos portanto que a matriz A =

4 1 62 1 62 1 8

possui um autovalor comdois autovetores.

Verifique que estes dois autovetores so LI.Usando um CAS de sua preferncia (ou faa a mo mesmo) determineos outros autovalores de A.Determine um conjunto LI de maior dimenso possvel de autovetores damatriz.

4 1 62 1 62 1 8

O autoespao de uma matriz 3Definies importantes:Para o autovalor de uma matriz temos:Multiplicidade algbrica: a multiplicidade do autovalor em relao ao

polinmio caracterstico (se raiz dupla, tripla etc.)Raiz dupla: multiplicidade 2.Raiz tripla: multiplicidade 3.e assim por diante.

Multiplicidade geomtrica: a dimenso do autoespao da matriz.No caso anterior temos que o autovalor 2 tem multiplicidade algbrica emultiplicidade geomtrica tambm 2.

Teorema: A multiplicidade geomtrica de um autovalor no pode ser maiordo que sua multiplicidade algbrica.

Sumrio1 Introduo

Autovalores complexos

Da teoria de polinmios sabemos que uma equao de coeficientes reais degrau n tem n razes complexas.Como no caso real, um escalar complexo satisfaz det(A I) = 0 se esomente se existe um vetor no nulo x em C tal que Ax = x .Analise os casos:

Analise a transformao linear 1 =[

0 11 0

].

Use como exemplo um vetor do R2, e verifique a imagem.Pode um vetor ser mltiplo dele mesmo em R2?Encontre os autovalores e os autovetores associados.

Considere a matriz 2 =[

0,5 0,60,75 1,1

]Determine os autovalores de A e uma base para o auto-espao.Aplique sucessivamente ao vetor (2, 0) a transformao e verifique aimagem dos pontos no plano complexo.

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

0 11 0

].

0,5 0,60,75 1,1

Sumrio1 Introduo

Matrizes semelhantes

O exemplo anterior mostrou o quanto importante calcularmos potncias deuma matriz, que equivale a fazermos uma sequncia de operaes reiteradasdo mesmo vetor.

Observe que se x2 = Ax1 e x3 = Ax2, ento x3 = A(Ax1) = A2x1. Queremosuma forma simples de fazer isso.

Para nossa alegria existe um teorema que garante que matrizes semelhantespossuem o mesmo polinmio caracterstico.

Mostre que se A e B so matrizes semelhantes, ento elas possuem omesmo polinmio caracterstico.

Concluso: Supondo que as matrizes A e B sejam representaes matriciaisde uma transformao em bases diferentes, e P a matriz de mudana debase, como B = P1AP, temos que A e B so semelhantes, econsequentemente possuem o mesmo polinmio caracterstico. Logo opolinmio caracterstico independe da base adotada.

Mostre que se A e B so matrizes semelhantes, ento elas possuem omesmo polinmio caracterstico.

Concluso: Supondo que as matrizes A e B sejam representaes matriciaisde uma transformao em bases diferentes, e P a matriz de mudana debase, como B = P1AP, temos que A e B so semelhantes, econsequentemente possuem o mesmo polinmio caracterstico. Logo opolinmio caracterstico independe da base adotada.

Diagonalizao de operadores linearesInicialmente, deve-se verificar que simples calcular os autovalores (e assimos autovetores) de uma matriz diagonal (ou ao menos triangular).Encontre os autovalores e os autovetores de:

A =

6 0 00 1 00 0 10

e B = 2 3 20 4 4

0 0 7

Sumrio1 Introduo

Diagonalizao de operadores lineares

Do item anterior conclumos que bastante fcil calcular autovalores dematrizes triangulares, e melhor ainda se forem diagonais.Iniciamos agora o estudo do processo de diagonalizao de uma matriz.Temos um teorema salvador:

Teorema: Suponha que uma matriz Ann possua n autovetores LI. Seestes autovalores formarem a diagonal principal de uma matrizdiagonal S, ento S1AS uma matriz diagonal , e osautovalores de A formam a diagonal principal de .

Diagonalizao: S1AS =

1

2. . .

n

1

2. . .

n

1

2. . .

n

1

2. . .

n

Demonstre o teorema anterior.(1)

Calculou-se, anteriormente, os autovalores e autovetores da matriz

B =

2 3 20 4 40 0 7

. Calcule B10.1Teorema salvador um apelido dado ao teorema pelo autor. No existe este nome na

literatura.Louis Augusto Gonalves (IFSC, DALTEC) Sem 2013-2 26 / 40

B =

2 3 20 4 40 0 7

B =

2 3 20 4 40 0 7

Sumrio1 Introduo

Comentrios importantes:Se a matriz A possuir autovalores 1, 2, . . . , n todos distintos, entoseus autovetores n so automaticamente linearmente independentes.Portanto, qualquer matriz com autovalores distintos pode serdiagonalizada.A matriz de diagonalizao S no nica. Um autovetor x pode sermultiplicado por uma constante, permanecendo um autovetor. Podemosmultiplicar as colunas de S por quaisquer constantes no nulas eproduzir uma nova matriz de diagonalizao S.Outras matrizes S, que no sejam formadas pelos autovetores de A, noproduziro uma diagonal . Suponha que a primeira coluna de S seja y.Ento, a primeira coluna de SA ser 1y . Se isto deve concordar com aprimeira coluna de AS, que, por multiplicao de matrizes, Ay , ento ydeve ser um autovetor: Ay = 1y . A ordem dos autovetores em S e dosautovalores em A automaticamente igual.

Comentrios importantes:Nem todas as matrizes possuem n autovetores linearmenteindependentes, portanto, nem todas as matrizes so diagonalizveis. O

exemplo padro de uma "matriz incompleta" [(

0 10 0

)]

A diagonalizao pode falhar somente se houver autovalores repetidos.Mesmo assim, ela nem sempre falha. A = I possui autovalores repetidos1, 1,. . . , 1; mas ela j diagonal.

0 10 0

)]

0 10 0

)]

Autovalores repetidos

Quando h autovalores repetidos a matriz pode ou no ser diagonalizvel.

Considere A uma matriz n n cujos autovalores distintos so 1, 2, . . . , p;com n > p.

Como j comentado a multiplicidade geomtrica menor ou igual multiplicidade algbrica.A matriz diagonalizvel se, e somente se, a soma das multiplicidadesgeomtricas de cada autovalor igual a n. Isto ocorre quando, paratodos os autovalores, a multiplicidade geomtrica de i for igual amultiplicidade algbrica de i .Se A diagonalizvel e Bk uma base para o autoespao associado ak , ento a coleo total de vetores de B1,B2, . . . ,Bp forma uma basede autovetores para Rn.

Sumrio1 Introduo

Algoritmo de diagonalizao: Considere uma dada matriz quadrada A deordem n:

Passo 1: Determine o polinmio caracterstico de A.Passo 2: Calcule as razes do polinmio caracterstico para obter os

autovalores de A.Passo 3: Repita (a) e (b) para cada autovalor de A:

(a) Construa a matriz M = A I subtraindo de cadaelemento diagonal de A.

(b) Determine uma base para a soluo geral do sistemahomogneo MX = O. (Estes vetores da base soautovetores linearmente independentes de A pertencentesa .)

Algoritmo de diagonalizao

Passo 4: Considere o conjunto S = {v1, v2, . . . , vm} de todos osautovetores obtidos no Passo 3.(a) Se m 6= n, ento A no diagonalizvel.(b) Se m = n, ento A diagonalizvel. Especificamente, seja

P a matriz cujas colunas so os autovetores v1, v2, . . . , vm.Ento

D = P1AP = diag(1, 2, . . . , n)

onde i o autovalor correspondente ao autovetor vi .

D = P1AP = diag(1, 2, . . . , n)

Utilizando um CAS2 para auxlio e verificao dos resultados, aplique oalgoritmo da diagonalizao s matrizes:

a.) A =[

4 23 1

]

b.) B =[

5 11 3

]

c.) C =[

3 52 3

]

2Se voc for um combatente medieval, vai no brao mesmo.

a.) A =[

4 23 1

]

b.) B =[

5 11 3

]

c.) C =[

3 52 3

]

a.) A =[

4 23 1

]

b.) B =[

5 11 3

]

c.) C =[

3 52 3

]

Sumrio1 Introduo

Diagonalizao de matrizes reais simtricas

As matrizes reais simtricas, isto , aij = aji possuem algumas caractersticasimportantes:

Se A for uma matriz real simtrica, toda raiz de seu polinmiocaracterstico real.Seja A uma matriz real simtrica, se u e v so autovetores de Apertencentes a autovalores distintos 1 e 2 ento u e v so ortogonais,isto , < u, v >= 0.Seja A uma matriz real simtrica, ento existe uma matriz ortogonal P talque D = P1AP diagonal.

A matriz ortogonal P obtida com a normalizao dos autovetoresortogonais da base de A.

Chama-se algoritmo da diagonalizao ortogonal ao algoritmo paradiagonalizao de matrizes reais simtricas.Considere A uma matriz real simtrica:

autovalores de A.Passo 3: Para cada autovalor de A calculado no Passo 2, determine

uma base ortogonal para seu autoespao.Passo 4: Normalize todos os autovetores dados no Passo 3, formando

uma base ortonormal de Rn.Passo 5: Tome P como a matriz cujas colunas so os autovetores

normalizados obtidos no Passo 4.

Seja A =[

2 22 5

]uma matriz real simtrica. Determine uma matriz

ortogonal P tal que P1AP diagonal.

Sumrio1 Introduo

Bibliografia

Lipschutz.S.Teoria e problemas em lgebra Linear.3a edio. Rio de Janeiro.Coleo Schaum, Editora Bookman, Porto Alegre 2004.

Poole., D;lgebra LinearEd Thompson,So Paulo, 2006.

Strang, G.,lgebra Linear e suas aplicaes.Traduo da quarta edio norte-americanaCengage Learning, 2010.

Lay, David.,lgebra Linear e suas aplicaes.2aedioLTC editora, 1999.

Bibliografia

IntroduoRevisoConcluses iniciais

Desenvolvimento da teoriaDois teoremas sobre autovaloresPropriedades dos autovalores e autovetoresDois teoremas importantesAutoespao de AAutovalores complexos

Diagonalizao de operadores linearesMatrizes semelhantesO teorema salvadorComentrios importantesAlgoritmo de diagonalizaoDiagonalizao de matrizes reais simtricas

Polinmio MnimoPolinmio mnimo e caracterstico de matrizes por blocos

Appendix

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