aula 4 - funções do 1o grau [modo de...
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1
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Funções do 1o Grau
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Funções do 1o Grau
1.Função constante
2.Função identidade
3.Função linear
4.Função afim
5.Gráfico
6.Imagem
7.Coeficientes da função afim
8.Zero da função afim
9.Funções crescentes ou decrescentes
10.Crescimento/decréscimo da função afim
Funções do 1o Grau
11.Sinal de uma função
12.Sinal da função afim
13.Inequações
14.Inequações simultâneas
15.Inequações-produto
16.Inequações-quociente
4
Uma aplicação f de em recebe o nome defunção constante quando a cada elementox ∈ associa sempre o mesmo elemento c ∈ .
f(x) = cO gráfico da função constante é uma reta
paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c).
A imagem é o conjunto Im = {c}.
1. Função constante
ℝ ℝ
ℝℝ
5
1. Função constante
x
y
(0, c)
6
ExemplosConstruir os gráficos das aplicações
de em definida por:
1) y = 3 2) y = -1
1. Função constante
ℝ ℝ
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
(0, 3)
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
(0, -1)
2
7
Uma aplicação f de em recebe o nome defunção identidade quando a cada elementox ∈ associa sempre o próprio x, isto é:
f(x) = xO gráfico da função identidade é uma reta
que contém as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes.
A imagem é o conjunto Im = .
2. Função identidade
ℝ ℝ
ℝ
ℝ
8
2. Função identidade
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(-3, -3)
(-2, -2)
(-1, -1)
(1, 1)
(2, 2)
(3, 3)
(0, 0)
9
Uma aplicação f de em recebe o nome defunção linear quando a cada elemento x ∈ associao elemento ax ∈ em que a ≠ 0 é um número realdado, isto é:
f(x) = ax, a ≠ 0O gráfico da função linear é uma reta que
passa pela origem.
A imagem é o conjunto Im = .
3. Função linear
ℝ ℝ
ℝ
ℝℝ
10
3. Função linear
x
y
11
ExemplosConstruir o gráfico da função y = 2x.
Considerando que dois pontos distintosdeterminam uma reta e no caso da função linearum dos pontos é a origem, basta atribuir a x umvalor não nulo e calcular o correspondente y = 2x.
3. Função linear
x y = 2x
1 2
12
3. Função linear
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
(0, 0)
(1, 2)
3
13
ExemplosConstruir o gráfico da função y = -2x.
Analogamente, temos:
3. Função linear
x y = -2x
1 -2
14
3. Função linear
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
(1, -2)
(0, 0)
15
Uma aplicação f de em recebe o nome defunção afim quando a cada elemento x ∈ associao elemento (ax + b) ∈ em que a ≠ 0 e b sãonúmeros reais dados.
f(x) = ax + b, a ≠ 0Exemplosa) y = 3x + 2 em que a = 3 e b = 2b) y = -2x + 1 em que a = -2 e b = 1c) y = x - 3 em que a = 1 e b = -3d) y = 4x em que a = 4 e b = 0
4. Função afim
ℝ ℝℝ
ℝ
16
Notemos que, para b = 0, a função afimy = ax + b se transforma na função linear y = ax;podemos, então, dizer que a função linear é umaparticular função afim.
4. Função afim
17
O gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b(a ≠ 0) é uma reta.
5. Gráfico
18
Aplicações1o) Construir o gráfico da função y = 2x + 1.
Considerando que o gráfico da função afim éuma reta, vamos atribuir a x dois valores distintose calcular os correspondentes valores de y.
O gráfico procurado é a reta que passapelos pontos (0, 1) e (1, 3).
5. Gráfico
x y = 2x + 1
0 1
1 3
4
19
5. Gráfico
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(0, 1)
(1, 3)
20
2o) Construir o gráfico da função y = -x + 3.
De modo análogo, temos:
5. Gráfico
x y = - x + 3
0 3
1 2
21
5. Gráfico
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4
(1, 2)
(0, 3)
22
Exercício 1: Resolver analítica e graficamente ossistemas de equações abaixo:
5a)
1
3 2 14b)
2 3 8
x y
x y
x y
x y
+ = − =
− = − + =
5. Gráfico
23
Exercício 2: Resolver os sistemas de equações:
1 1 34
a)1 1 1
4
3 2 51 2 3 12
b)2 3
11 2 3
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
+ = − + − = − − +
− = + + − + + = + + − +
Sugestão: Faça e .1a
x y=
−1
bx y
=+
5. Gráfico
24
Exercício 3: Obter a equação da reta que passapelos pontos: a) (2, 3) e (3, 5) e b) (1, 2) e (2, 2).
5. Gráfico
5
25
O conjunto imagem da função afim f: →definida por f(x) = ax + b, com a ≠ 0 é .
Qualquer que seja y ∈ existe
tal que
6. Imagem
ℝ ℝℝ
ℝy b
xa−= ∈ℝ
( )y b y b
f x f a b ya a− − = = ⋅ + =
26
O coeficiente a da função f(x) = ax + b édenominado coeficiente angular ou declividade dareta representada no plano cartesiano.
O coeficiente b da função y = ax + b édenominado coeficiente linear.
7. Coeficientes da função afim
27
ExemploNa função y = 2x + 1 o coeficiente angular é
2 e o coeficiente linear é 1. Observe que, se x = 0,temos y = 1. Portanto, o coeficiente linear é aordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.
7. Coeficientes da função afim
28
Exercício 4: Obter a equação da reta que passapelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angular igual a2.
7. Coeficientes da função afim
29
Exercício 5: Obter a equação da reta que passapelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular igual a-3.
7. Coeficientes da função afim
30
Exercício 6: Obter a equação da reta comcoeficiente angular igual a -½ e passando peloponto (-3, 1).
7. Coeficientes da função afim
6
31
Exercício 7: Obter a equação da reta que passapelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4.
7. Coeficientes da função afim
32
Exercício 8: Obter a equação da reta comcoeficiente linear igual a -3 e passa pelo ponto(-3, -2).
7. Coeficientes da função afim
33
Exercício 9: Dados os gráficos das funçõesde em , obter a lei de correspondência dessasfunções.
7. Coeficientes da função afim
ℝ ℝ
34
7. Coeficientes da função afim
y
x
35
7. Coeficientes da função afim
y
x
36
Zero de uma função é todo número x cujaimagem é nula, isto é, f(x) = 0.
x é zero de y = f(x) ⇔ f(x) = 0Assim, para determinarmos o zero da função
afim, basta resolver a equação do 1o grau
ax + b = 0que apresenta uma única solução .
8. Zero da função afim
bx
a= −
7
37
De fato, resolvendo ax + b = 0, a ≠ 0, temos:
8. Zero da função afim
0b
ax b ax b xa
+ = ⇔ = − ⇔ = −
38
ExemploO zero da função f(x) = 2x – 1 é x = ½ pois,
fazendo 2x – 1 = 0, vem x = ½.Podemos interpretar o zero da função afim
como sendo a abscissa do ponto onde o gráficocorta o eixo dos x.
8. Zero da função afim
39
ExemploFazendo o gráfico da função y = 2x – 1,
podemos notar que a reta intercepta o eixo dos xem x = ½, isto é, no ponto (½, 0).
8. Zero da função afim
x y
0 -1
1 1
40
8. Zero da função afim
-2
-1
0
1
2
-1 0 1 2
(1, 1)
(1/2, 0)
(0, -1)
41
Função crescenteA função f: A → B definida por y = f(x) é
crescente no conjunto A1 ⊂ A se, para dois valoresquaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2,tivermos f(x1) < f(x2).
Em símbolos: f é crescente quando
e isso pode ser posto assim:
9. Funções crescentes ou de-crescentes
( )( )1 2 1 2 1 2, ( ) ( )x x x x f x f x∀ < ⇒ <
( ) 1 21 2 1 2
1 2
( ) ( ), 0
f x f xx x x x
x x
−∀ ≠ ⇒ > −
42
Na linguagem prática (não matemática), issosignifica que a função é crescente no conjunto A1se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valorde y também aumenta.
9. Funções crescentes ou de-crescentes
8
43
A função f(x) = 2x é crescente em , pois:
9. Funções crescentes ou de-crescentes
ℝ
� �1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
2 2 para todo e todo f x f x
x x x x x x< ⇒ < ∈ ∈ℝ ℝ
x1 x2
f(x2)f(x1)
A1
x
y
44
Função decrescenteA função f: A → B definida por y = f(x) é
decrescente no conjunto A1 ⊂ A se, para doisvalores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, comx1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).
Em símbolos: f é decrescente quando
e isso pode ser posto assim:
9. Funções crescentes ou de-crescentes
( )( )1 2 1 2 1 2, ( ) ( )x x x x f x f x∀ < ⇒ >
( ) 1 21 2 1 2
1 2
( ) ( ), 0
f x f xx x x x
x x
−∀ ≠ ⇒ < −
45
Na linguagem prática (não matemática), issosignifica que a função é decrescente no conjuntoA1 se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valorde y diminui.
9. Funções crescentes ou de-crescentes
46
A função f(x) = -2x é decrescente em ,pois:
9. Funções crescentes ou de-crescentes
ℝ
� �1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
2 2 para todo e todo f x f x
x x x x x x< ⇒ − > − ∈ ∈ℝ ℝ
x1 x2
f(x2)f(x1)
A1
x
y
47
Notemos que uma mesma função y = f(x)pode não ter o mesmo comportamento (crescenteou decrescente) em todo o seu domínio.
É bastante comum que uma função sejacrescente em certos subconjuntos de D edecrescente em outros. O gráfico a seguirrepresenta uma função crescente em edecrescente em .
9. Funções crescentes ou de-crescentes
+ℝ
−ℝ
48
9. Funções crescentes ou de-crescentes
x
y
9
49
I) A função afim f(x) = ax + b é crescentese, e somente se, o coeficiente angular a épositivo.
Demonstração
10. Crescimento/decréscimo dafunção afim
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )( ) é crescente 0
( ) ( ) ( )0 0 0
f x f xf x ax b
x x
ax b ax b a x xa
x x x x
−= + ⇔ > ⇔
−+ − + −⇔ > ⇔ > ⇔ >
− −
50
II) A função afim f(x) = ax + b édecrescente se, e somente se, o coeficienteangular a for negativo.
Demonstração
10. Crescimento/decréscimo dafunção afim
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )( ) é decrescente 0
( ) ( ) ( )0 0 0
f x f xf x ax b
x x
ax b ax b a x xa
x x x x
−= + ⇔ < ⇔
−+ − + −⇔ < ⇔ < ⇔ <
− −
51
Exercício 10: Com base nos gráficos abaixo, defunções de em , especificar os intervalos ondea função é crescente ou decrescente.
ℝ ℝ
-4 -2 2
1
x
y
10. Crescimento/decréscimo dafunção afim
52
Exercício 10: Com base nos gráficos abaixo, defunções de em , especificar os intervalos ondea função é crescente ou decrescente.
ℝ ℝ
-2 2
1-1
x
y
10. Crescimento/decréscimo dafunção afim
53
Exercício 10: Com base nos gráficos abaixo, defunções de em , especificar os intervalos ondea função é crescente ou decrescente.
ℝ ℝ
x
y
10. Crescimento/decréscimo dafunção afim
54
Exercício 11: Especificar para cada uma dasfunções abaixo, se é crescente ou decrescenteem .ℝ
a) 1 5
b) 3 2
c) 2
d) 3
e) 2
f ) 3
y x
y x
y x
y x
y x
y x
= += − −= += −= −=
10. Crescimento/decréscimo dafunção afim
10
55
Exercício 12: Estudar segundo os valores doparâmetro m, a variação (crescente, decrescenteou constante) da função y = (m – 1)x + 2.
10. Crescimento/decréscimo dafunção afim
56
Seja a função f: A → B definida por y = f(x).Vamos resolver o problema “para que valores de xtemos f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0?”.
Resolver este problema significa estudar osinal da função y = f(x) para cada x pertencente aoseu domínio.
Para se estudar o sinal de uma função,quando a função está representada no planocartesiano, basta examinar se é positiva, nula ounegativa a ordenada de cada ponto da curva.
11. Sinal de uma função
57
ExemploEstudar o sinal da função y = f(x) cujo
gráfico está abaixo representado.
11. Sinal de uma função
2 4 7 x-1
yy = f(x)
58
Observemos, inicialmente, que interessa ocomportamento da curva y = f(x) em relação aoeixo dos x, não importando a posição do eixo dos y.
Preparando o gráfico com aspecto prático,temos:
11. Sinal de uma função
59
11. Sinal de uma função
2 4-1 7 x
y = f(x)
x
0 000 + + - +-
2 4-1 7
60
Conclusão:
11. Sinal de uma função
( ) 0 1 ou 2 ou 4 ou 7
( ) 0 1 2 ou 2 4 ou 7
( ) 0 1 ou 4 7
f x x x x x
f x x x x
f x x x
= ⇔ = − = = => ⇔ − < < < < >< ⇔ < − < <
11
61
Exercício 13: Estudar o sinal das funções cujosgráficos estão representados abaixo.
11. Sinal de uma função
x
yy = f(x)
-5 -3
2 6
62
Exercício 13: Estudar o sinal das funções cujosgráficos estão representados abaixo.
11. Sinal de uma função
y
x
y = g(x)
-3 -1
3
63
Exercício 13: Estudar o sinal das funções cujosgráficos estão representados abaixo.
11. Sinal de uma função
y
x
y = h(x)
-2
64
Considerando que x = -b/a, zero da funçãoafim f(x) = ax + b, é o valor de x para o qualf(x) = 0, examinaremos, então, para que valoresocorre f(x) > 0 ou f(x) < 0.
Devemos considerar dois casos.
1o caso: a > 0
12. Sinal da função afim
( ) 0
( ) 0
bf x ax b ax b x
ab
f x ax b ax b xa
= + > ⇔ > − ⇔ > −
= + < ⇔ < − ⇔ < −
65
Colocando os valores de x sobre um eixo, osinal da função f(x) = ax + b, com a > 0, é:
12. Sinal da função afim
0
- +
ba
−
x
66
Um outro processo para analisarmos avariação do sinal da função afim é construir ográfico cartesiano.
Lembremos que na função afim f(x) = ax + bo gráfico cartesiano é uma reta e, se o coeficienteangular a é positivo, a função é crescente.
12. Sinal da função afim
12
67
Construindo o gráfico de f(x) = ax + b coma > 0, e lembrando que não importa a posição doeixo y, temos:
12. Sinal da função afim
x
ba
− +
-
68
2o caso: a < 0
12. Sinal da função afim
( ) 0
( ) 0
bf x ax b ax b x
ab
f x ax b ax b xa
= + > ⇔ > − ⇔ < −
= + < ⇔ < − ⇔ > −
69
Colocando os valores de x sobre um eixo, osinal da função f(x) = ax + b, com a < 0, é:
12. Sinal da função afim
0
+ -
ba
−
x
70
Podemos analisar o sinal da funçãof(x) = ax + b com a < 0, construindo o gráficocartesiano. Lembremos que neste caso a função édecrescente.
12. Sinal da função afim
x
ba
−
+
-
71
Resumo
1) A função afim anula-se para .
2) Para , temos:
isto é, para a função tem o sinal
de a.
12. Sinal da função afim
( )f x ax b= + bx
a= −
bx
a> −
se 0 então ( ) 0
se 0 então ( ) 0
a f x ax b
a f x ax b
> = + > < = + <
bx
a> − ( )f x ax b= +
72
3) Para , temos:
isto é, para a função tem o sinal
de –a (sinal contrário ao de a).
12. Sinal da função afim
bx
a< −
se 0 então ( ) 0
se 0 então ( ) 0
a f x ax b
a f x ax b
> = + < < = + >
bx
a< − ( )f x ax b= +
13
73
Se colocarmos os valores de x sobre umeixo, a regra dos sinais da função afim pode serassim representada:
ou, simplesmente:
12. Sinal da função afim
bx
a= − b
xa
> −b
xa
< −
f(x) tem o mesmo sinal de -a f(x) tem o mesmo sinal de a0
bx
a= −
f(x) tem o mesmo sinal de af(x) tem o mesmo sinal de -a 0
74
Exemplos1o) Estudar os sinais da função f(x) = 2x – 1.
Temos:
Logo:
12. Sinal da função afim
1( ) 0 2 1 0
2 2 0 e 0
f x x x
a a a
= ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ > − <
1para ( ) 0 (sinal de )
21
para ( ) 0 (sinal de - )2
x f x a
x f x a
> ⇒ >
< ⇒ <
75
12. Sinal da função afim
x12
+
-
y f(x) = 2x - 1
0- + x
12
sinal de f(x) = 2x - 1
76
Exemplos2o) Estudar os sinais da função f(x) = -2x + 4.
Temos:
Logo:
12. Sinal da função afim
( ) 0 2 4 0 2
2 0 e 0
f x x x
a a a
= ⇒ − + = ⇒ == − ⇒ < − >
para 2 ( ) 0 (sinal de )
para 2 ( ) 0 (sinal de - )
x f x a
x f x a
> ⇒ << ⇒ >
77
12. Sinal da função afim
0+ - x
2sinal de f(x) = -2x + 4
x+
-
y
f(x) = -2x + 4
2
78
Exercício 14: Estudar o sinal das funçõesdefinidas em .Exercício 14: Estudar o sinal das funçõesdefinidas em .ℝ
a) 2 3
b) 4
y x
y x
= += −
12. Sinal da função afim
14
79
Exercício 15: Seja a função de em definida porf(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio dafunção que produzem imagens maiores que 2.
12. Sinal da função afim
ℝ ℝ
80
Exercício 16: Para que valores do domínio da funçãode em definida por
a imagem é menor que 4?
12. Sinal da função afim
ℝ ℝ
3 1( )
2x
f x−=
81
Exercício 17: Sejam as funções
definidas em . Para que valores de , tem-se:
12. Sinal da função afim
x ∈ℝℝ
4 1( ) 2 3, ( ) 2 3 ( )
2x
f x x g x x h x−= + = − =
a) ( ) ( )?
b) ( ) ( )?
c) ( ) ( )?
f x g x
g x h x
f x h x
≥<
≥
82
Exercício 18: Dados os gráficos das funções f, g eh definidas em . Determinar os valores de ,tais que:
12. Sinal da função afim
x ∈ℝℝ
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
d) ( ) 4
e) ( ) 0
f x g x
g x h x
f x h x
g x
f x
>≤
≥>≤
83
12. Sinal da função afim
y
x
f(x)h(x)g(x)
84
DefiniçãoSejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios
são respectivamente D1 ⊂ e D2 ⊂ . Chamamosinequação na incógnita x a qualquer uma dassentenças abertas, abaixo:
13. Inequações
ℝ ℝ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x
><≥≤
15
85
Exemplos1o) é uma inequação em que
2o) é uma inequação em que
13. Inequações
2 4x x− >
( ) 2 4 e ( )f x x g x x= − =
3 5 2x − <
( ) 3 5 e ( ) 2f x x g x= − =
86
Exemplos3o) é uma inequação em que
4o) é uma inequação em que
13. Inequações
2 13x
x− ≥
2 1( ) 3 e ( )f x x g x
x= − =
12
3x
x− ≤
−1
( ) 2 e ( )3
f x x g xx
= − =−
87
Domínio de validadeChamamos de domínio de validade da
inequação f(x) < g(x) o conjunto D = D1 ∩ D2, emque D1 é o domínio da função f e D2 é o domínio dafunção g. É evidente que, para todo x0 ∈ D, estãodefinidos f(x0) e g(x0), isto é:
13. Inequações
( ) ( )0 0 1 0 2 0 0 e ( ) e ( )x D x D x D f x g x∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∈ℝ ℝ
88
Nos exemplos anteriores, temos:
13. Inequações
{ } { }{ }
o
o
o * *
o
1 )
2 )
3 )
4 ) / 2 / 3
/ 2 e 3
D
D
D
D x x x x
x x x
= ∩ == ∩ == ∩ == ∈ ≥ ∩ ∈ ≠ =
∈ ≥ ≠
ℝ ℝ ℝ
ℝ ℝ ℝ
ℝ ℝ ℝ
ℝ ℝ
ℝ
89
SoluçãoO número real x0 é solução da inequação
f(x) > g(x) se, e somente se, é verdadeira asentença f(x0) > g(x0).
ExemploO número real 3 é solução da inequação
2x + 1 > x + 3, pois
é uma sentença verdadeira.
13. Inequações
�(3)(3)
2 3 1 3 3gf
⋅ + > +���
90
Conjunto soluçãoAo conjunto S de todos os números reais x
tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeirachamamos de conjunto solução da inequação.
13. Inequações
16
91
ExemploA inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto
solução , isto é, para qualquerx0 ∈ S a sentença 2x0 + 1 > x0 + 3 é verdadeira.
Se não existir o número real x tal que asentença f(x) > g(x) seja verdadeira, diremos quea inequação f(x) > g(x) é impossível e indicaremos oconjunto solução por S = ∅.
13. Inequações
{ }/ 2S x x= ∈ >ℝ
92
ExemploO conjunto solução da inequação x + 1 > x + 2
é S = ∅, pois não existe x0 ∈ tal que a sentençax0 + 1 > x0 + 2 seja verdadeira.
Resolver uma inequação significa determinaro seu conjunto solução. Se x0 ∈ é solução da ine-quação f(x) > g(x), então x0 é tal que f(x0) ∈ eg(x0) ∈ , isto é, x0 ∈ D (domínio de validade dainequação). Assim sendo, temos
x0 ∈ S ⇒ x0 ∈ Dou seja, o conjunto solução é sempre subconjuntodo domínio de validade da inequação.
13. Inequações
ℝ
ℝℝ
ℝ
93
Inequação equivalenteDuas inequações são equivalentes em
D ⊂ se o conjunto solução da primeira é igual aoconjunto solução da segunda.
Exemplos1o) 3x + 6 > 0 e x + 2 > 0 são equivalentes em ,pois o conjunto solução de ambas é .
2o) x < 1 e x2 < 1 não são equivalentes em , poisx0 = -2 é solução da primeira mas não o é dasegunda.
13. Inequações
ℝ
ℝ
ℝ
{ }/ 2S x x= ∈ > −ℝ
94
Princípios de equivalênciaNa resolução de uma inequação procuramos
sempre transformá-la em outra equivalente e mais“simples”, em que o conjunto solução possa serobtido com maior facilidade. Surge, então, apergunta: “Que transformações podem ser feitasem uma inequação para se obter uma inequaçãoequivalente?”. A resposta a essa pergunta são osdois princípios seguintes:
13. Inequações
95
P.1) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em D1e D2, respectivamente. Se a função h(x) é definidaem D1 ∩ D2, as inequações
f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x) + h(x)são equivalentes em D1 ∩ D2.
13. Inequações
96
ExemplosSeja a inequação
�
adicionemos h(x) = -2x + 1 aos dois membros:
façamos as simplificações possíveis
�
portanto, como � é equivalente a �, temos:
13. Inequações
�( ) ( )
3 1 2 3f x g x
x x− > +���
�( ) ( )( ) ( )
3 1 ( 2 1) 2 3 ( 2 1)f x g xh x h x
x x x x− + − + > + + − +�������� �����
� �( ) ( ) ( ) ( )
4f x h x g x h x
x+ +
>
{ }/ 4S x x= ∈ >ℝ
17
97
Na prática, aplicamos a propriedade P-1com o seguinte enunciado: “Em uma inequaçãopodemos transpor um termo de um membro paraoutro trocando o sinal do termo considerado”.
f(x) + h(x) < g(x) ⇒ f(x) < g(x) – h(x)Assim, no exemplo anterior, teríamos:
3x - 1 > 2x + 3 ⇒ 3x – 1 – 2x > 3 ⇒⇒ x > 3 + 1 ⇒ x > 4
13. Inequações
98
P.2) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em D1 eD2, respectivamente. Se a função h(x) é definida emD1 ∩ D2 e tem sinal constante, então:
a) se h(x) > 0, as inequações f(x) < g(x) e
f(x).h(x) < g(x).h(x) são equivalentes em D1 ∩ D2.b) se h(x) < 0, as inequações f(x) < g(x) e
f(x).h(x) > g(x).h(x) são equivalentes em D1 ∩ D2 .
13. Inequações
99
Exemplos
1o) são equivalentes em ,
pois a segunda inequação foi obtida a partir da
primeira por meio de uma multiplicação por 12.
2o) são equivalentesem , pois a segunda foi obtida da primeira pormeio de uma multiplicação por -1 e inversão dosentido da desigualdade.
13. Inequações
3 1 e 6 9 4
2 4 3x
x− > − > ℝ
2 2-2 3 1 e 2 3 1x x x x+ > − < −
ℝ
100
3o) são equivalentes em .
Notemos que a segunda foi obtida da primeira por
meio da multiplicação por .
Na prática, aplicamos a propriedade P-2com o seguinte enunciado: “Em uma inequaçãopodemos multiplicar os dois membros pela mesmaexpressão, mantendo ou invertendo o sentido dadesigualdade, conforme essa expressão sejapositiva ou negativa, respectivamente”.
13. Inequações
2
4 30 e 4 3 0
1x
xx
− > − >+
ℝ
2 1 0,x x+ > ∀ ∈ℝ
101
A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) sedecompõe em duas inequações simultâneas, isto é,equivale a um sistema de duas inequações em x,separadas pelo conectivo e:
Indicando com S1 o conjunto solução de (I) eS2 o conjunto solução de (II), o conjunto soluçãoda dupla desigualdade é S = S1 ∩ S2.
14. Inequações simultâneas
( ) ( ) (I)
( ) ( ) ( ) e
( ) ( ) (II)
f x g x
f x g x h x
g x h x
<< < ⇔ <
102
ExemploResolver 3x + 2 < -x + 3 ≤ x + 4.
Temos que resolver duas inequações:
14. Inequações simultâneas
(I)
(II)
1(I) 3 2 3 4 1
41
(II) 3 4 2 1 2
x x x x
x x x x
+ < − + ⇒ < ⇒ < − + ≤ + ⇒ − ≤ ⇒ ≥ −
18
103
A intersecção desses dois conjuntos é:
14. Inequações simultâneas
1 1/
2 4S x x = ∈ − ≤ <
ℝ
14
12
−x
x
104
Exercício 19: Resolver as inequações em .
14. Inequações simultâneas
ℝ
a) 2 3 1 4
b) 3 4 5 6 2
x
x x
− < − <+ < < −
105
Exercício 20: Resolver os sistemas de inequaçõesem .
14. Inequações simultâneas
ℝ
5 2 0
a) 3 1 4 5
3 0
3 2 5 2
b) 4 1 3 4
3 2 6
x
x x
x
x x
x x
x x
− < + ≥ − − ≥
+ ≥ − − > − − < −
106
Exercício 21: Com base nos gráficos das funções f,g e h definidas em , determinar os valoresde , tais que:x ∈ℝ
ℝ
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
f x g x h x
g x f x h x
h x f x g x
< ≤≤ <≤ <
14. Inequações simultâneas
107
14. Inequações simultâneas
y
x
f
g
h
108
Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x,as inequações f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0,f(x) . g(x) ≥ 0 e f(x) . g(x) ≤ 0 são denominadasinequações-produto.
Vejamos, por exemplo, como determinamos oconjunto solução S da inequação f(x) . g(x) > 0.
De acordo com a regra de sinais do produtode números reais, um número x0 é solução dainequação f(x) . g(x) > 0 se, e somente se, f(x0) eg(x0) não nulos, têm o mesmo sinal.
Assim, são possíveis dois casos:
15. Inequações-produto
19
109
1o) f(x) > 0 e g(x) > 0Se S1 e S2 são, respectivamente, os con-
juntos soluções dessas inequações, então S1 ∩ S2 éo conjunto solução do sistema.
2o) f(x) < 0 e g(x) < 0Se S3 e S4 são, respectivamente, os con-
juntos soluções dessas inequações, então S3 ∩ S4 éo conjunto solução do sistema.
15. Inequações-produto
110
Daí concluímos que o conjunto solução dainequação do produto f(x) . g(x) > 0 é:
S = (S1 ∩ S2) ∪ (S3 ∩ S4).Raciocínio análogo seria feito para a
inequação
f(x) . g(x) < 0.
15. Inequações-produto
111
ExemploResolver em a inequação (x + 2)(2x – 1) > 0.
Analisemos os dois casos possíveis:
15. Inequações-produto
ℝ
112
1o casoCada um dos fatores é positivo, isto é:
15. Inequações-produto
2 0 2
e
12 1 0
2
x x
x x
+ > ⇒ > −
− > ⇒ >
113
A intersecção das duas soluções é:
15. Inequações-produto
1 2
1S S /
2x x ∩ = ∈ >
ℝ
2−
12
x
x
114
2o casoCada um dos fatores é negativo, isto é:
15. Inequações-produto
2 0 2
e
12 1 0
2
x x
x x
+ < ⇒ < −
− < ⇒ <
20
115
A intersecção das duas soluções é:
15. Inequações-produto
{ }3 4S S / 2x x∩ = ∈ < −ℝ
2−
12
x
x
116
O conjunto solução da inequação
é:
portanto:
15. Inequações-produto
( 2) (2 1) 0x x+ ⋅ − >
( ) ( ) { }1 2 3 4
1S S S S / / 2
2S x x x x = ∩ ∪ ∩ = ∈ > ∪ ∈ < −
ℝ ℝ
1/ 2 ou
2S x x x = ∈ < − >
ℝ
117
Quadro de sinaisVejamos um outro processo, mais prático,
para resolvermos a inequação (x + 2).(2x – 1) em .
Fazemos inicialmente o estudo dos sinais dasfunções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x – 1.
15. Inequações-produto
ℝ
0- + x
2−sinal de f(x)
0- + x
12
sinal de g(x)
118
Com o objetivo de evitar cálculos algébricosno estudo dos sinais do produto f(x) . g(x), usa-remos o quadro abaixo, que denominamos quadro-produto, no qual figuram os sinais dos fatores e osinal do produto.
15. Inequações-produto
1/ 2 ou
2S x x x = ∈ < − >
ℝ
-
-
+
-
-
+ +
+
+
f(x)
g(x)
f(x).g(x)
-2 1/2
119
Podemos estender o raciocínio empregado noestudo dos sinais de um produto de dois fatorespara um produto com mais de dois fatores.
ExemploResolver a inequação
15. Inequações-produto
(3 2) ( 1) (3 ) 0 em x x x− ⋅ + ⋅ − < ℝ
120
Analisando os sinais dos fatores, temos:
15. Inequações-produto
0- + x
23
f(x) = 3x - 2
0- + x
1−g(x) = x + 1
0+ - x
3h(x) = 3 - x
21
121
Vamos, agora, construir o quadro-produto:
15. Inequações-produto
-
-
+
+
+
- +
+
-
f(x)
g(x)
h(x)
-1 2/3
+ - -f(x).g(x).h(x)
3
+
+
+
+
2/ 1 ou 3
3S x x x = ∈ − < < >
ℝ
122
A inequação f(x) . g(x) ≥ 0 tem por conjuntosolução S a reunião do conjunto solução S1 dainequação f(x) . g(x) > 0 com o conjunto solução S2da equação f(x) . g(x) = 0, isto é:
15. Inequações-produto
( ) ( ) 0 (I)
( ) ( ) 0 ou
( ) ( ) 0 (II)
f x g x
f x g x
f x g x
⋅ >⋅ ≥ ⇔ ⋅ =
123
ExemploResolver a inequação
A inequação (3x + 1).(2x – 5) ≥ 0 é equiva-lente a:
(I) (3 1) (2 5) 0
(II) (3 1) (2 5) 0
x x
x x
+ ⋅ + > + ⋅ + =
(3 1) (2 5) 0 em x x+ ⋅ − ≥ ℝ
15. Inequações-produto
124
Resolvendo (I), temos:
Resolvendo (II), temos:
1
1 5/ ou
3 2S x x x = ∈ < − >
ℝ
2
1 5,
3 2S = −
15. Inequações-produto
125
O conjunto solução é:
ou seja:
1 2
1 5 1 5/ ou ,
3 2 3 2S S S x x x = ∪ = ∈ < − > ∪ −
ℝ
1 5/ ou
3 2S x x x = ∈ ≤ − ≥
ℝ
15. Inequações-produto
126
Exercício 22: Resolver em as inequações:ℝ
a) (5 2) (2 ) (4 3) 0
b) (5 2 ) ( 7 2) 0
x x x
x x
+ ⋅ − ⋅ + >− ⋅ − − ≤
15. Inequações-produto
22
127
Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x,as inequações
são denominadas inequações-quociente.
Considerando que as regras de sinais doproduto e do quociente de números reais sãoanálogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto,observando o fato de que o denominador de umafração não pode ser nulo.
16. Inequações-quociente
( ) ( ) ( ) ( )0, 0, 0 e 0
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xg x g x g x g x
> < ≥ ≤
128
ExemploResolver em a inequação
Temos:
3 42
1x
x+ ≤
−
ℝ
3 4 3 4 3 4 2 (1 )2 2 0 0
1 1 15 2
Portanto: 01
x x x xx x x
xx
+ + + − ⋅ −≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≤− − −
+ ≤−
16. Inequações-quociente
129
Fazendo o quadro-quociente, temos:
2/ ou 1
5S x x x = ∈ ≤ − >
ℝ
-
+
-
+
+
+ +
-
-
f(x) = 5x + 2
g(x) = 1 - x
f(x) / g(x)
-2/5 1
16. Inequações-quociente
130
Exercício 23: Resolver as inequações em .ℝ
3 4a) 0
5 13 2
b) 03 1
xx
xx
− ≥+
− − ≤+
16. Inequações-quociente
131
Exercício 24: Resolver em as inequações:ℝ
5 2a) 2
3 43 5
b) 12 4
xxxx
− <+− ≤−
16. Inequações-quociente
132
Exercício 25: Resolver a inequação em .ℝ
(1 2 )a) 0
(5 ) (3 )x
x x− ≤
− ⋅ −
16. Inequações-quociente
23
133
Exercício 26: Resolver em as inequações:ℝ
1 3a)
2 42 1 1
b)3 1 1 1
x xx x
x x x
+ +>+ +
≥ −− − +
16. Inequações-quociente