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Logaritmos
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Logaritmos
1.Conceito de logaritmo
2.Antilogaritmo
3.Consequências da definição
4.Sistemas de logaritmos
5.Propriedades dos logaritmos
6.Mudança de base
3
Lembremos que no estudo de equações einequações exponenciais, feito anteriormente, sótratamos dos casos em que podíamos reduzir aspotências à mesma base.
Se quisermos resolver a equação 2x = 3,sabemos que x assume uma valor entre 1 e 2, pois21 < 2x = 3 < 22, mas com os conhecimentosadquiridos até aqui não sabemos qual é esse valornem o processo para determiná-lo.
A fim de que possamos resolver este eoutros problemas, vamos iniciar agora o estudo delogaritmos.
1. Conceito de logaritmo
4
Definição
Sendo a e b números reais e positivos, coma ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a oexpoente que se deve dar à base a de modo que apotência obtida seja igual a b.
Em símbolos: se a, b ∈ , 0 < a ≠ 1 e b > 0,então:
1. Conceito de logaritmo
ℝ
log xa b x a b= ⇔ =
5
Em loga b = x, dizemos:
a é a base do logaritmo,
b é o logaritmando,
x é o logaritmo.
1. Conceito de logaritmo
6
Exemplos
1. Conceito de logaritmo
( )
( )
o 32
o 23
o 15
o 07
3 3o 2 32 2
4
22o 2
0,2
1 ) log 8 3, pois 2 8
1 12 ) log 2, pois 3
9 93 ) log 5 1, pois 5 5
4 ) log 1 0, pois 7 1
35 ) log 8 , pois 4 2 2 8
2
16 ) log 25 2, pois 0,2 5 25
5
−
−−
= =
= − =
= =
= =
= = = =
= − = = =
7
Com as restrições impostas (a, b ∈ , 0 < a≠ 1 e b > 0), dados a e b existe um único x = logab.
A operação, pela qual se determina ologaritmo de b (b ∈ e b > 0) numa dada base a(a ∈ e 0 < a ≠ 1), é chamada logaritmação e oresultado dessa operação é o logaritmo.
1. Conceito de logaritmo
ℝ
ℝ
ℝ
8
Sejam a e b números reais positivos coma ≠ 1; se o logaritmo de b na base a é x, então b é oantilogaritmo de x na base a.
Em símbolos, se a, b ∈ , 0 < a ≠ 1 e b > 0,então:
2. Antilogaritmo
ℝ
log antiloga ab x b x= ⇔ =
9
Exemplos
2. Antilogaritmo
o3 3
o1 12 2
o2 2
1 ) antilog 2 9, pois log 9 2
1 12 ) antilog 3 , pois log 3
8 8
1 13 ) antilog ( 2) , pois log 2
4 4
= =
= =
− = = −
10
Exemplo 1: Calcule pela definição os seguinteslogaritmos:
2. Antilogaritmo
2
8
0,25
1a) log
8
b) log 4
c) log 32
11
Exercício 1: Calcule pela definição os seguinteslogaritmos:
2. Antilogaritmo
32
3 28
5 2 50,25
1 1a) log 2 2 2 3
8 82
b) log 4 8 4 2 2 3 23
1c) log 32 (0,25) 32 2 2 2
4
5 2 5
2
x x
x x
xx x
x x
x x x
x
x x
−
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ − = ⇒ = −
12
Decorrem da definição de logaritmos asseguintes propriedades para 0 < a ≠ 1, b > 0.
1o) O logaritmo da unidade em qualquer base é iguala 0.
2o) O logaritmo da base em qualquer base é igual a1.
3. Consequências da definição
log 1 0a =
log 1a a =
13
3o) A potência de base a e expoente logab é igual ab.
4o) Dois logaritmos em uma mesma base são iguaisse, e somente se, os logaritmandos são iguais.
3. Consequências da definição
loga ba b=
log loga ab c b c= ⇔ =
14
Exercício 2: Calcule o valor de:
3. Consequências da definição
( ) ( )22 2
3 3
3log 5log 5 log 53 3
1 log 4 log 41
a) 8 2 2 5 125
b) 3 3 3 3 4 12+
= = = =
= ⋅ = ⋅ =
15
Chamamos de sistema de logaritmos de basea ao conjunto de todos os logaritmos dos númerosreais positivos em uma base a (0 < a ≠ 1). Porexemplo, o conjunto formado por todos oslogaritmos de base 2 dos números reais e positivosé o sistema de logaritmos na base 2.
Entre a infinidade de valores que podeassumir a base e, portanto, entre a infinidade desistemas de logaritmos, existem dois sistemas delogaritmos particularmente importantes, que são:
4. Sistemas de logaritmos
16
a) sistema de logaritmos decimais é osistema de base 10, também chamado sistema delogaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs,matemático inglês (1556-1630), quem primeirodestacou a vantagem dos logaritmos de base 10,tendo publicado a primeira tábua (tabela) doslogaritmos de 1 a 1000 em 1617).
Indicaremos o logaritmo decimal pelanotação log10 x ou simplesmente log x.
4. Sistemas de logaritmos
17
b) sistema de logaritmos neperianos é osistema de base e (e = 2,71828… númeroirracional), também chamado de sistema delogaritmos naturais. O nome neperiano vem deJohn Napier, matemático escocês (1550-1617),autor do primeiro trabalho publicado sobre ateoria dos logaritmos. O nome natural se deve aofato de que no estudo dos fenômenos naturaisgeralmente aparece uma lei exponencial de base e.
Indicaremos o logaritmo neperiano pelasnotações loge x ou ln x. Em algumas publicaçõestambém encontramos as notações Lg x ou L x.
4. Sistemas de logaritmos
18
1o) Logaritmo do produto
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmodo produto de dois fatores reais positivos é igual àsoma dos logaritmos dos fatores.
Em símbolos:
5. Propriedades dos logaritmos
( )< ≠ > >⋅ = +
Se 0 1, 0 e 0, então
log log loga a a
a b c
b c b c
19
Demonstração
Fazendo loga b = x, loga c = y e loga (b.c) = z,provemos que z = x + y.
5. Propriedades dos logaritmos
( )
+
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = +⋅ = ⇒ = ⋅
log
log
log
xa
y z x y z x ya
za
b x a b
c y a c a a a a a z x y
b c z a b c
20
Observação
Esta propriedade pode ser estendida para ocaso do logaritmo do produto de n (n ≥ 2) fatoresreais e positivos, isto é:
Se 0 < a ≠ 1 e b1, b2, b3, …, bn ∈
5. Propriedades dos logaritmos
( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + +… …1 2 3 1 2 3log log log log loga n a a a a nb b b b b b b b
ℝ
21
Exemplos
5. Propriedades dos logaritmos
( )( )
⋅ = +
⋅ ⋅ = + +
o5 5 5
o4 4 4 4
1 ) log 3 4 log 3 log 4
2 ) log 2 3 5 log 2 log 3 log 5
22
2o) Logaritmo do quociente
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmodo quociente de dois números reais positivos éigual à diferença entre o logaritmo do dividendo eo logaritmo do divisor.
Em símbolos:
5. Propriedades dos logaritmos
< ≠ > >
= −
Se 0 1, 0 e 0, então
log log loga a a
a b c
bb c
c
23
Demonstração
Fazendo loga b = x, loga c = y e loga (b/c) = z,provemos que z = x - y.
5. Propriedades dos logaritmos
−
= ⇒ == ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = −
= ⇒ =
log
log
log
xa x
y z z x ya y
za
b x a ba
c y a c a a a z x ya
b bz a
c c
24
Exemplos
5. Propriedades dos logaritmos
( )
( ) [ ]
= −
⋅ = ⋅ − = + −
= − ⋅ = − + ⋅
= − −
o5 5 5
o
o
21 ) log log 2 log 3
3
2 32 ) log log 2 3 log5 log2 log3 log5
5
23 ) log log2 log 3 5 log2 log3 log5
3 5
log2 log3 log5
25
Cologaritmo
Chama-se cologaritmo de um número b(b ∈ e b > 0), numa base a (a ∈ e 0 < a ≠ 1), aooposto do logaritmo de b na base a.
Em símbolos:
5. Propriedades dos logaritmos
< ≠ >= −
Se 0 1 e 0, então
colog loga a
a b
b b
ℝ ℝ
26
Exemplos
5. Propriedades dos logaritmos
= −
= −
= − = +
o2 2
o2 2
o
1 ) colog 5 log 5
1 12 ) colog log
3 3
23 ) log log2 log3 log2 colog3
3
27
3o) Logaritmo da potência
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmode uma potência de base real positiva e expoentereal é igual ao produto do expoente pelo logaritmoda base da potência
Em símbolos
5. Propriedades dos logaritmos
Se 0 1, 0 e , então
log loga a
a b
b bα
αα
< ≠ > ∈= ⋅
ℝ
28
Demonstração
Fazendo loga b = x e loga b α = y, provemosque y = α . x.
5. Propriedades dos logaritmos
( )log
log
xa y x y x
ya
b x a ba a a a y x
b y a b
α αα α
α⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅
= ⇒ =
29
Exemplos
5. Propriedades dos logaritmos
o 53 3
1o 3 3
5 5 5
o 42 2 24
1 ) log 2 5 log 2
12 ) log 2 log 2 log 2
31
3 ) log log 3 4 log 33
−
= ⋅
= = ⋅
= = − ⋅
30
As propriedades
válidas com as devidas restrições para a, b e c, nospermitem obter o logaritmo de um produto, de umquociente ou de uma potência, conhecendo somenteos logaritmos dos termos do produto, dos termosdo quociente ou da base de potência.
5.1. Observações
( )a
a
a
1 ) log log log
2 ) log log log
3 ) log log
a a a
a a a
a a
b c b c
bb c
c
b bα α
⋅ = +
= −
= ⋅
31
Notemos a impossibilidade de obter ologaritmo de uma soma ou de uma diferença pormeio de regras análogas às dadas. Assim, paraencontrarmos
loga(b + c) e loga(b - c)
devemos, respectivamente, calcular inicialmente(b + c) e (b – c).
5.1. Observações
32
As expressões que envolvem somente asoperações de multiplicação, divisão e potenciaçãosão chamadas expressões logarítmicas, isto é,expressões que podem ser calculadas utilizandologaritmos, com as restrições já conhecidas.Assim, por exemplo, a expressão
em que a, b, c ∈ , α, β ∈ e n ∈ , pode sercalculada aplicando logaritmos.
5.1. Observações
na bA
c
α
β⋅=
*+ℝ ℝ
*ℕ
33
Veja o exemplo abaixo:
5.1. Observações
( )
1
log log
log log log
log log log log
log log log log
1log log log log
n n
n
n
n
a b a bA A
c c
A a b c
A a b c
A a b c
A a b cn
α α
β β
α β
α β
α β
α β
⋅ ⋅= ⇒ =
= ⋅ −
= + −
= + −
= ⋅ + ⋅ − ⋅
34
Exercício 3: Desenvolva, aplicando aspropriedades dos logaritmos (a, b e c são reaispositivos):
5.1. Observações
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 23 2 4
3 3 34
3 2 43 3 3
3 3 3
2a) log log (2 ) log
log 2 log log log
1 log log log
b) log log ( ) log
log log log
3log 2log 4log
abab c
c
a b c
a b c
a ba b c
c
a b c
a b c
= − =
= + + − == + + −
= − =
= + − == + −
35
Exercício 3: Desenvolva, aplicando aspropriedades dos logaritmos (a, b e c são reaispositivos):
5.1. Observações
( )( )
33 2
2
3 2
13 2 2
c) log log log
log log log
log log log
1 3log 2log log
2
aa b c
b c
a b c
a b c
a b c
= − =
= − + =
= − − =
= − −
36
Exercício 4: Qual é a expressão cujo desenvol-vimento logarítmico é:
5.1. Observações
2 2 2
2 2 2 2
22 2 2
22 2
2 2
2
1 log log 2log
log 2 log (log 2log )
log (2 ) (log log )
log (2 ) log ( )
2log
2A expressão é
a b c
a b c
a b c
a bc
abc
abc
+ − − == + − + =
= − + =
= − =
=
2 2 21 log log 2log ( , e são reais positivos)a b c a b c+ − −
37
Há ocasiões em que logaritmos em basesdiferentes precisam ser convertidos para umaúnica base conveniente como, por exemplo, naaplicação das propriedades operatórias.
Vejamos o processo que permite converter ologaritmo de um número positivo, em uma certabase, para outro em base conveniente.
6. Mudança de base
38
Se a, b e c são números reais positivos e a ec diferentes de 1, então tem-se:
6. Mudança de base
loglog
logc
ac
bb
a=
39
Demonstração
Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a =z e notemos que z ≠ 0, pois a ≠ 1.
Provemos que x = y/z.
6. Mudança de base
( )log
log
log
xa
xy z x yc
zc
b x a by
b y c b c a b c zx y xz
a z c a
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = ⇒ == ⇒ =
40
Exemplos
6. Mudança de base
o3
23
2
o2
102
10
o100
10100
10
1 ) log 5 convertido para a base 2 fica:
log 5 log 5
log 3
2 ) log 7 convertido para a base 10 fica:
log 7 log 7
log 2
3 ) log 3 convertido para a base 10 fica:
log 3 l log 3
log 100
=
=
= = 1010
og 3 1log 3
2 2= ⋅