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Geometria Basica
Aula 1: Nocoes Elementares e Congruencia
Lhaylla CrissaffDepartamento de Geometria
Universidade Federal Fluminense
2018
Nocoes Elementares
Geometria significa medida da terra. A palavra geometria vem do gregogeo, que significa terra, e metrein, significa medir.
Elementos primitivos do estudo da Geometria:
• ponto,
• reta,
• plano.
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Nocoes Elementares
Nomenclatura:
• ponto: letras maiusculas (A, B, C, ...)
• reta: letras minusculas (r, s, t, ...)
• plano: letras gregas (α, β, γ, ...)
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Nocoes Elementares
O estudo da Geometria comeca admitindo como propriedades verdadeirasafirmacoes simples e intuitivas que nao precisam ser demonstradas. Essasafirmacoes sao chamadas de axiomas ou postulados.
Vejamos, agora, alguns axiomas:
Axiomas de incidencia:
• Existem infinitos pontos no plano.
• Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma unica reta.
• Dada uma reta, existem infinitos pontos pertencentes a ela, e infinitos pon-tos fora dela.
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Nocoes Elementares
Dadas duas retas no plano, temos tres possibilidades:
• elas nao se intersectam (retas paralelas);
• elas se intersectam em um unico ponto (retas concorrentes);
• elas tem todos os pontos em comum (retas coincidentes).
Notacao: A reta que passa pelos pontos A e B sera denotada por←−→AB .
Definicao 1. Se um determinado conjunto de pontos esta contido em umamesma reta, dizemos que esses pontos sao colineares.
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Nocoes Elementares
Mais axiomas:
Axiomas de ordem:
• Dados 3 pontos colineares e distintos dois a dois, um deles, e apenas um,esta entre os outros dois.
• Dados 2 pontos distintos A e B, existe sempre um ponto C que esta entreA e B, e um ponto D tal que A esta entre D e B.
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Nocoes Elementares
Definicao 2. Chamamos de segmento de reta AB ao conjunto formado porA,B e todos os pontos que estao entre A e B.
Mais um axioma...
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Uma reta r do plano α separa o conjunto dos pontos desse plano que naopertencem a r em dois conjuntos, α′ e α′′, tais que:
• α′ e α′′ sao disjuntos (nao possuem elementos em comum);
• se A ∈ α′ e B ∈ α′′, entao AB intersecta r;
• se A,B ∈ α′ (ou α′′), entao AB nao intersecta r.
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Nocoes Elementares
Definicao 3. Os conjuntos α′ e α′′ mencionados anteriormente sao chama-das semiplanos determinados pela reta r.
Da mesma forma, um ponto pertencente a uma reta separa esta reta emdois conjuntos. Se A esta entre B e C, e r e a reta que contem esses trespontos, o ponto A separa a reta r em duas partes, uma contendo o ponto Be outra contendo o ponto C.
Definicao 4. As partes da reta, mencionadas anteriormente sao chamadassemirretas determinadas pelo ponto A.
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Nocoes Elementares
Notacao: A semirreta que passa que contem B sera denotada por−−→AB e
a que contem C sera denotada por−−→AC .
As semirretas−−→AB e
−−→AC sao chamadas semirretas opostas.
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Nocoes Elementares
Definicao 5. Angulo e uma figura formada por duas semirretas distintas coma mesma origem.
Se−−→AB e
−−→AC sao semirretas definindo um
angulo, entao:
• A e o vertice do angulo;
• Este angulo sera denotado por BAC, ouapenas A;
•−−→AB e
−−→AC sao os lados do angulo.
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Nocoes Elementares
Definicao 6. Dados um angulo BAC, define-se o interior de BAC como oconjunto de todos os pontos que pertencem a intersecao entre o semiplanodeterminado por
←→AB que contem C e o semiplano determinado por
←→AC que
contem B.
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Congruencia de segmentos e angulos
Congruencia de segmentos: intuitivamente, significa que podem ser so-brepostos sem “sobrar” ou “faltar” nada. Vejamos os axiomas:
• Todo segmento e congruente a si mesmo.
• Se AB e congruente a CD, entao CD e congruente a AB.
• Se AB e congruente a CD e CD e congruente a EF , entao AB e congru-ente a EF .
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Congruencia de segmentos e angulos
Notacao: Para indicar que dois segmentos sao congruentes, usaremos osımbolo ≡. Assim, se AB e CD sao dois segmentos congruentes, escrevere-mos AB ≡ CD.
Nos desenhos, usaremos pequenos riscos transversais aos segmentospara denotar sua congruencia, como na figura acima.
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Congruencia de segmentos e angulosMais um axioma:
• Se B esta entre A e C, E esta entre D e F , AB ≡ DE e BC ≡ EF , entaoAC ≡ DF ;
• Axioma de transporte de segmentos: dados um segmento AB e uma se-mirreta
−−→CD, existe um unico ponto E ∈
−−→CD tal que AB ≡ CE.
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Congruencia de segmentos e angulos
Mais um axioma:
• A cada segmento AB esta associado um numero real positivo que chama-mos de medida de AB, e escrevemos m(AB). Dois segmentos sao con-gruentes se, e somente se, suas medidas sao iguais. Do mesmo modo,se considerarmos um numero real positivo qualquer c, entao existem seg-mentos com medida igual a c.
• Se B esta entre A e C, entao m(AC) = m(AB) +m(BC).
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Congruencia de segmentos e angulos
Com esta notacao, definiremos a distancia entre dois pontos.
Definicao 7. A distancia entre dois pontos X e Y e a medida do segmentoXY .
Congruencia de angulos: intuitivamente, significa que podem ser sobre-postos sem “sobrar” ou “faltar” nada.
Vejamos os axiomas a seguir.
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Congruencia de segmentos e angulos
Axioma de transporte de angulos: dados um angulo BAC e uma semirreta−−→DE, em cada semiplano determinado pela reta
←→DE (que e o prolongamento
de−−→DE) existe uma unica semirreta
−−→DF tal que BAC e congruente a EDF .
Notacao: Para indicar que dois angulos sao congruentes, tambem usare-mos o sımbolo ≡. Assim, se BAC e EDF sao dois angulos congruentes,escreveremos BAC ≡ EDF .
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Congruencia de segmentos e angulos
Mais axiomas:
• A cada angulo BAC do plano esta associado um numero real positivo me-nor que 360◦ chamado medida do angulo BAC, e denotado por m(BAC),tal que dois angulos sao congruentes se, e somente se, tem a mesma me-dida. Reciprocamente, para todo numero real positivo c menor que 360◦,existe um angulo cuja medida e c.
• Se−−→AD e uma semirreta que divide BAC, entao m(BAC) = m(BAD) +
m(CDA).
OBS.: Por motivos historicos, usa-se grau para indicar a medida de umangulo.
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Congruencia de segmentos e angulos
Resumindo a nomenclatura de angulos:
1. Dois angulos sao chamados suplementares se a soma de suas medidasfor 180◦, e complementares se a soma das medidas for 90◦.
2. Angulo reto: um angulo cuja medida e 90◦.
3. Angulo obtuso: um angulo cuja medida e maior que 90◦.
4. Angulo nulo: um angulo cuja medida e 0◦.
5. Angulo raso: um angulo cuja medida e 180◦.
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Proxima aula
TRIANGULOS!
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