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RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
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AULA 01: PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
SUMÁRIO PÁGINA
1. Princípios de contagem (análise combinatória) 01
2. Resolução de exercícios 10
3. Questões apresentadas na aula 54
4. Gabarito 68
Prezado aluno, em nossa primeira aula veremos o tópico “Princípios de
contagem” do edital da PF. Trata-se da famosa análise combinatória, que é a teoria
necessária para resolver os exercícios de contagem. Na próxima, trabalharemos
com foco na probabilidade.
O entendimento da aula de hoje é essencial para o bom aproveitamento da
próxima aula. Portanto, muita atenção...
1. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM (ANÁLISE COMBINATÓRIA)
1.1 Contagem e análise combinatória
Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 pares de
tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora, basta imaginar que
para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 camisetas, e para cada
conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer dos 2 pares de tênis.
O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para
obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta multiplicar o número de
calças pelo número de camisas e pelo número de tênis, isto é:
Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24
Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e
independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta multiplicarmos as
quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto é, 3 possibilidades para
o acontecimento “escolha da calça”; 4 para a “escolha da camiseta” e 2 para a
“escolha do tênis”).
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Vejamos um outro exemplo: quantos números de 3 algarismos podemos
formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
Note que precisamos formar números com o formato “ABC”, onde cada letra
simboliza um algarismo. Para a posição A temos 6 opções de algarismos. Para a
posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo ocorre na posição C. Portanto, a
quantidade de números de 3 algarismos é dada pela multiplicação:
6 x 6 x 6 = 216 possibilidades
E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados devem
ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teríamos também 6 opções para
preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais podemos usar o
número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opções. E para a posição C,
restam apenas 4 opções. Assim, teríamos:
6 x 5 x 4 = 120 possibilidades
E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com algarismos
distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular
quantos números podemos formar tendo o 2 na posição A, depois na posição B, e
depois na posição C.
Se o 2 estiver na posição A, teremos números do tipo “2BC”. Para a posição
B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a posição C temos
4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 possibilidades de números do tipo 2BC.
Analogamente, para números do tipo “A2C”, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades.
Temos outras 20 possibilidades para números do tipo “AB2”. Ou seja, ao todo temos
60 possibilidades.
Veremos outras variações ao longo dos exercícios.
3.2 Permutação simples
Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se
sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas maneiras
diferentes podemos sentar essas pessoas?
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Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto é,
temos 5 possibilidades. Já na segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois
necessariamente uma pessoa já estará ocupando a primeira cadeira. Para terceira
cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a quarta
cadeira, e uma para a última. Veja isso na tabela abaixo:
Cadeira 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Possibilidades
de ocupação 5 4 3 2 1
Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o
número total de formas de sentar as pessoas:
Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120
possibilidades de arrumação das pessoas, as mesmas 5 pessoas estão presentes.
O que torna diferente uma possibilidade da outra é justamente a ordem de
posicionamento das pessoas.
Esse tipo de problema, onde o objetivo é arrumar “n” elementos em “n”
posições distintas (no caso, 5 pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de
arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, são chamados de
PERMUTAÇÕES SIMPLES. O cálculo da permutação simples de n elementos é
dada pela fórmula abaixo:
P(n) = n!
Nesta fórmula, n! significa “n fatorial”. Na matemática, chamamos de fatorial
de um número “n” o produto de todos os números inteiros e positivos iguais ou
inferiores a n, isto é:
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1
Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar
esta fórmula na questão das cadeiras do cinema, teríamos:
P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas
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Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de permutação simples
nos problemas onde a ordem de arrumação dos “n” objetos torne uma possibilidade
diferente da outra! Vamos nos deparar com vários problemas onde a ordem não
torna uma possibilidade diferente da outra – e não poderemos resolvê-los de
maneira tão simples como a vista aqui.
Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos anagramas
podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL?
Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é um
anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras distintas entre
si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será formado por 6 letras,
distribuídas entre 6 posições:
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
Letras
disponíveis 6 5 4 3 2 1
Veja que o total de anagramas será dado por 6!, isto é, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
720. Utilizando a fórmula:
P(6) = 6! = 720
3.3 Permutação com repetição
Imagine que você queira calcular o número de anagramas da palavra
ARARA. A princípio você usaria a fórmula de permutação simples, como fizemos no
caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da letra A e 2 repetições da
letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repetições uns dos
outros.
Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente
trocamos de posição o 2º R com o 2º A. Este mesmo anagrama poderia ter sido
construído trocando de posição o 1º R com o 2º A, e, a seguir, colocando o 1º A na
última posição. Não podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são
idênticos.
Por isso, quando há repetição devemos usar a fórmula da permutação
simples, porém dividir o resultado pelo número de permutações de cada letra
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repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 vezes e o R repete-
se 2 vezes, temos:
PR(5; 3 e 2) = 5! / (3! x 2!) = 10
Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos com
repetição de m e p é dada por:
!( ; )
! !
nPR n m e p
m p=
×
3.4 Arranjo simples
Imagine agora que quiséssemos posicionar as mesmas 5 pessoas nas
cadeiras do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De quantas
formas poderíamos fazer isso?
Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, isto é, 5
possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que
uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na terceira cadeira poderemos
colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobrarão duas pessoas
em pé, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas
pessoas sentadas é dada pela multiplicação abaixo:
Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60
Um caso como esse, onde pretendemos posicionar “n” elementos em “m”
posições (m menor que n), e onde a ordem dos elementos diferencia uma
possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua fórmula é dada
abaixo:
!( , )
( )!
nA n m
n m=
−
Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teríamos:
!( , )
( )!
5! 5! 5 4 3 2 1(5,3)
(5 3)! 2! 2 1
(5,3) 5 4 3 60
nA n m
n m
A
A
=−
× × × ×= = =− ×
= × × =
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Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos
elementos importa, isto é, a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade de
outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, Daniela e Eduardo. Uma
forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria:
Cadeira 1ª 2ª 3ª
Ocupante Beto Daniela Eduardo
Neste caso, Ana e Carlos estão de fora. Outra forma de posicionamento
seria:
Cadeira 1ª 2ª 3ª
Ocupante Daniela Beto Eduardo
Veja que, novamente, Ana e Carlos estão de fora. E Eduardo está no mesmo
lugar. A única mudança foi a inversão de posições entre Beto e Daniela. Ou seja,
uma simples alteração na ordem dos elementos gera uma nova possibilidade de
posicionamento. É isso que quero dizer quando afirmo que “a ordem importa” para
os casos de Permutação e Arranjo.
Note ainda que podemos usar a fórmula de Arranjo para resolver um
problema de Permutação simples. Isto porque a permutação também é uma
ordenação de “n” elementos em “m” posições, porém nos casos de permutação n =
m. Sabendo que 0! é, por definição, igual a 1, podemos calcular o número de
permutações de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a fórmula de arranjo:
!( , )
( )!
5! 5! 5 4 3 2 1(5,5)
(5 5)! 0! 1
(5,5) 120
nA n m
n m
A
A
=−
× × × ×= = =−
=
3.5 Arranjo com repetição
Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos utilizá-las
para formar placas de carros. Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras,
sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, podemos ter placas como: AAA,
AAB, ABA, BAA, ABC etc.
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Para calcular o número de arranjos possíveis de “n” elementos em grupos de
“m”, e podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do Arranjo com repetição:
A (n, m) = nm
(leia: “arranjo de n elementos, m a m, é dado por n elevado a m)
Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3)
podendo repetir as letras, será possível formar o total de arranjos abaixo:
3
( , )
(4,3) 4
(4,3) 64 arranjos
mA n m n
A
A
===
Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de formas, apenas
utilizando o princípio fundamental da contagem. Basta lembrar que você quer
montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para cada uma das
lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 possibilidades.
3.6 Combinação
Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5 pessoas,
porém agora precisa formar duplas para irem a um determinado evento. Quantas
duplas será possível formar?
Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por Ana e Beto é
igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um
problema de Combinação.
Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a duas, é
possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo:
( )!
( , )! !
n nC n m
m m n m
= = −
Veja que n
m
é uma outra forma de simbolizar “combinação de n elementos,
m a m”. Efetuando o cálculo para o exemplo acima, temos:
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( )
( )
!( , )
! !
5 5! 5!(5,2)
2 2! 5 2 ! 2! 3!
5 5 4 3 2 1(5,2) 10
2 2 1 3 2 1
n nC n m
m m n m
C
C
= = −
= = = − ×
× × × ×= = = × × × ×
Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 10
formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos quais seriam
as 10 duplas:
- Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo
- Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo;
- Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo;
- Daniela e Eduardo.
A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao
invés de utilizar a fórmula acima, você pode chegar ao mesmo caso fazendo o
seguinte:
1. multiplicando os “m” primeiros termos de “n!”
2. dividindo esse resultado por m!
No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5!
(que são 5 e 4) e dividir por 2! (2x1):
5 4 20(5,2) 10
2! 2C
×= = =
Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 a 2, é
igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 – 2. Generalizando: a
combinação de n elementos, m a m, é igual à combinação de n elementos, (n-m) a
(n-m):
n n
m n m
= −
3.7 Combinação com repetição
Imagine que você possui 7 bolas iguais, e possui 3 cores de tinta para pintá-
las. De quantas formas diferentes você poderia pintar as bolas?
Observe que, novamente, a ordem de pintura não tem importância. Portanto,
estamos diante de um caso de combinação. Entretanto, teremos que repetir as
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tintas em mais de uma bola para poder pintar todas as 7. Trata-se de uma
combinação com repetição.
Para calcular o número de maneiras distintas de pintar as bolas, utilizamos a
fórmula abaixo:
( , ) ( 1, )CR n m C n m m= + −
Ou seja, a combinação com repetição de n elementos que se repetem (cores
das tintas) em m itens (bolas a serem pintadas) é igual à combinação simples de
n+m-1 elementos, m a m. Em nosso caso, n = 3 cores e m = 7 bolas. Portanto:
9 9 9 8(3,7) (3 7 1,7) 36
7 2 2 1CR C
×= + − = = = = ×
Portanto, seria possível pintar as 7 bolas de 36 formas diferentes usando as 3
cores de tinta.
Obs.: note que usei a propriedade n n
m n m
= − .
3.8 Permutação circular
Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. Entretanto,
temos um caso particular de permutação, muito presente em provas de concurso,
que é a Permutação Circular.
Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras distintas
podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao
invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa redonda com 5 lugares? Observe
as duas disposições abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa:
Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais (afinal,
a pessoa A tem à sua esquerda E, e à sua direita B, e assim sucessivamente). Não
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podemos contar duas vezes a mesma disposição. Por isso, a fórmula para a
permutação circular de n pessoas é:
Pc (n) = (n-1)!
Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao
redor de uma mesa será:
Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Vamos aos exercícios?
2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
1. ESAF – CGU – 2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um
excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha
seja dividida em uma sequência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes,
ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores
disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada
é igual a:
a) 56
b) 5760
c) 6720
d) 3600
e) 4320
RESOLUÇÃO:
Se temos 8 cores disponíveis, a primeira listra poderá ser pintada de 8
maneiras distintas. A segunda listra poderá ser pintada com uma das 7 cores
restantes, já que uma cor já foi utilizada na primeira listra. A terceira listra poderá ser
pintada de 6 maneiras diferentes, a quarta de 5 maneiras, e a quinta de 4 maneiras
distintas. O que disse aqui está refletido no esquema abaixo:
Listra 1 Listra 2 Listra 3 Listra 4 Listra 5
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8 opções 7 opções 6 opções 5 opções 4 opções
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras distintas de
pintar a parede é de:
8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720
Resposta: C
Obs.: trata-se de um arranjo simples, afinal queremos dispor 8 elementos
(cores) em 5 posições (listras), e a ordem das cores torna uma disposição diferente
da outra. Isto é, pintar uma listra de Azul e a seguinte de Verde é diferente de pintar
a primeira de Verde e a segunda de Azul. Utilizando a fórmula de arranjo, teríamos:
!( , )
( )!
nA n m
n m=
−
8! 8! 8 7 6 5 4 3 2 1(8,5)
(8 5)! 3! 3 2 1
(8,5) 8 7 6 5 4 6720
A
A
× × × × × × ×= = =− × ×
= × × × × =
2. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento técnico de uma construtora imobiliária
tem 10 técnicos de nível superior sendo 7 engenheiros e 3 arquitetos. Quantas
equipes técnicas distintas podem ser formadas por 2 desses técnicos com a
participação de pelo menos um engenheiro em cada equipe?
a) 14
b) 35
c) 21
d) 28
e) 42
RESOLUÇÃO:
As equipes são formadas por 2 profissionais, e precisam ter pelo menos 1
engenheiro. Portanto, teremos as equipes com 1 e com 2 engenheiros. Vejamos
cada caso:
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� Equipes com 1 engenheiro: neste caso, teremos também 1 arquiteto.
Portanto, temos 7 possibilidades para o engenheiro a ser escolhido e 3
possibilidades para o arquiteto, totalizando 7 x 3 = 21 possibilidades.
� Equipes com 2 engenheiros: neste caso, o número de formas de escolher 2
engenheiros em um grupo de 7 é dado pela combinação de 7, 2 a 2. Isto é:
7 7 6(7,2) 21
2 2 1C
×= = = ×
Note que utilizamos a fórmula de combinação pois, na escolha dos 2
engenheiros, a ordem não importa: a dupla formada pelos engenheiros A e B é igual
à dupla formada pelos engenheiros B e A.
Portanto, ao todo temos 21 + 21 = 42 equipes distintas.
Resposta: E
3. ESAF – Analista MPOG – 2010) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica
um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados
neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas
diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes
e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras
que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:
a) 2.440
b) 5.600
c) 4.200
d) 24.000
e) 42.000
RESOLUÇÃO:
Beatriz tem 10 pacientes e precisa separá-los conforme o seguinte esquema:
Sala 1 Sala 2 Sala 3
4 pacientes 3 pacientes 3 pacientes
Veja que, ao escolher 4 pacientes para a sala 1, a ordem deles não importa.
Isto é, escolher A, B, C e D é igual a escolher B, D, A e C. Assim, a quantidade de
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maneiras de escolher 4 pacientes, em um grupo de 10, para ficarem na sala 1, é
dada pela combinação abaixo:
10 10 9 8 7(10,4) 210
4 4 3 2 1C
× × ×= = = × × ×
Escolhidos 4 pacientes para a sala 1, restam 6 pacientes para as demais
salas. Destes, 3 ficarão na sala 2. O número de combinações desses 6 pacientes, 3
a 3, é:
6 6 5 4(6,3) 20
3 3 2 1C
× ×= = = × ×
Escolhidos os 3 pacientes da sala 2, restam apenas 3 pacientes, que
ocuparão a sala 3. Isto é, há apenas 1 forma de ocupar esta última sala:
3 3(3,3) 1
3 0C
= = =
Assim, temos:
Sala 1 Sala 2 Sala 3
210
possibilidades
20
possibilidades 1 possibilidade
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 210 x 20 x 1 = 4200
possibilidades de ocupar as 3 salas.
Resposta: C
4. ESAF – AFT – 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10
funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem
para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo
menos um homem e pelo menos uma mulher?
a) 192.
b) 36.
c) 96.
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d) 48.
e) 60.
RESOLUÇÃO:
Se a equipe tem 3 pessoas, precisa ter pelo menos 1 homem e 1 mulher,
temos 2 possíveis grupos: 2 homens e 1 mulher, ou 2 mulheres e 1 homem.
Vejamos quantas possibilidades temos para cada tipo de grupo.
� 2 homens e 1 mulher:
Para escolher 2 homens em um total de 4 disponíveis, basta calcular a
combinação de 4, 2 a 2:
4 4 3(4,2) 6
2 2 1C
×= = = ×
E para escolher 1 mulher em um total de 6, temos 6 possibilidades, como
você pode comprovar abaixo:
6 6(6,1) 6
1 1!C
= = =
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 6 = 36 formas de agrupar
2 homens e 1 mulher.
� 2 mulheres e 1 homem:
Para escolher 2 mulheres em um total de 6 disponíveis, basta calcular a
combinação de 6, 2 a 2:
� 6 6 5
(6,2) 152 2 1
C ×= = = ×
E para escolher 1 homem em um total de 4, temos 4 possibilidades, como
você pode comprovar abaixo:
� 4 4
(4,1) 41 1!
C = = =
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 15 x 4 = 60 formas de
agrupar 2 mulheres e 1 homem.
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Assim, ao todo temos 36 + 60 = 96 equipes distintas com 3 funcionários,
respeitando as condições do enunciado.
Resposta: C
5. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento de vendas de imóveis de uma
imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de
vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe
pelo menos uma mulher?
a) 15
b) 45
c) 31
d) 18
e) 25
RESOLUÇÃO:
Veja que podemos ter equipes com 1 mulher e 1 homem, ou equipes com 2
mulheres.
No primeiro caso, precisamos combinar 3 mulheres, 1 a 1, e combinar 5
homens, 1 a 1:
(3,1) 3
(5,1) 5
C
C
==
Portanto, é possível formar 3 x 5 = 15 equipes distintas.
No segundo caso, precisamos apenas combinar as 3 mulheres, 2 a 2:
3 2(3,2) 3
2 1C
×= =×
Assim, podemos formar 3 equipes distintas. Ao todo, temos 15 + 3 = 18
equipes distintas.
Resposta: D
6. ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos
devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede
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emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana
retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana
pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
a) 681384
b) 382426
c) 43262
d) 7488
e) 2120
RESOLUÇÃO:
Veja no esquema abaixo as possibilidades de retiradas, e suas respectivas
explicações:
Retirada 1 Retirada 2 Retirada 3 Retirada 4
89 possibilidades
(pois a caixa 20 não
pode estar aqui, só na
retirada 3)
88 possibilidades
(pois nem a caixa 20
nem a da retirada 1
podem estar aqui)
1 possibilidade
(caixa 20)
87 possibilidades (90
menos a caixa 20 e as das
retiradas 1 e 2)
Pelo princípio fundamental da contagem, temos:
89 88 1 87 681384Possibilidades = × × × =
Resposta: A
7. ESAF – MPOG – 2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua
nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado,
ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a
saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com
sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que
Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é
igual a:
a) 30
b) 40
c) 246
d) 124
e) 5
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RESOLUÇÃO:
Veja que temos 4 possibilidades de cores de meias: pretas, brancas, azuis e
amarelas. Portanto, se Marcos tirar da gaveta apenas 4 meias, ele pode “dar o azar”
de tirar exatamente 1 meia de cada cor. Entretanto, ao tirar a 5ª meia da gaveta, ela
necessariamente será de uma das 4 cores que ele já tirou. Assim, ele certamente
conseguirá formar um par de meias da mesma cor.
Isso mostra que é preciso tirar pelo menos 5 meias da gaveta para ter
certeza de obter um par da mesma cor.
Resposta: E
8. ESAF – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de
15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das
15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as
questões?
a) 3003
b) 2980
c) 2800
d) 3006
e) 3005
RESOLUÇÃO:
Se temos 15 questões e, delas, queremos separar um grupo de 10 questões
para resolver, basta calcular a combinação de 15, 10 a 10. Isso porque a ordem das
questões não importa: escolher as questões 1, 3 e 5 é igual a escolher as questões
3, 5 e 1.
Para calcular de uma forma mais fácil a combinação de 15, 10 a 10, você
precisa lembrar a seguinte propriedade (que vimos na teoria de hoje):
(15,10) (15,5)C C=
Assim,
15 14 13 12 11(15,10) (15,5) 3003
5 4 3 2 1C C
× × × ×= = =× × × ×
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Ana pode escolher 10 das 15 questões de 3003 formas distintas.
Resposta: A
9. ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e
Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou
que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por
exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou
Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira
da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
RESOLUÇÃO:
Veja que temos 4 tipos de filas: aquelas com Ana no final, aquelas com
Beatriz no final, aquelas com Carla no final e aquelas com Denise no final.
Vamos calcular quantas filas podemos formar com Denise no final. Para isso,
considere o desenho abaixo:
Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4
6 possibilidades
(pois Denise já é a
última)
5 possibilidades 4 possibilidades 1 possibilidade
(Denise)
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 5 x 4 x 1 = 120
possibilidades de formar fila com Denise no final.
Vamos calcular a quantidade de filas com Ana no final. Para isso, é
importante lembrar que Denise não pode ser a primeira. Portanto, temos apenas 5
possibilidades para a posição 1 (pois Ana já está no final, e Denise não pode ser a
primeira). Para a posição 2, temos outras 5 possibilidades (pois agora podemos
incluir Denise). E para a posição 3, temos 4 possibilidades (pois já colocamos uma
pessoa nas posições 1, 2 e 4):
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Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4
5 possibilidades
(pois Denise não pode
ser a primeira)
5 possibilidades 4 possibilidades 1 possibilidade
(Ana)
Portanto, temos 5 x 5 x 4 x 1 = 100 possibilidades com Ana no final. O
raciocínio é análogo para as filas com Beatriz ou Carla no final, isto é, teremos mais
100 possibilidades em cada caso.
Assim, ao todo temos 120 + 100 + 100 + 100 = 420 possibilidades.
Resposta: A
10. CESPE – TRT/16ª – 2005) Julgue os itens que se seguem.
( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que
tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .
( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar
os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e
os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o
usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa
situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.
RESOLUÇÃO:
( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que
tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .
O objetivo aqui é formar conjuntos de 8 dígitos, usando apenas 0 e 1, de
forma que três dígitos sejam iguais a 0 e os demais cinco dígitos iguais a 1. Uma
possibilidade seria:
00011111
Veja que é preciso permutar esses 8 dígitos, e há a repetição de três (0) e de
cinco (1). Utilizando a fórmula da permutação com repetição, temos:
8! 8 7 6 5! 8 7 6(8;3,5) 56
3!5! 3!5! 3!P
× × × × ×= = = =
Veja que esse número é superior a 50. Item CORRETO.
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( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar
os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e
os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o
usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa
situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.
Vamos precisar calcular o número de senhas com 6 dígitos distintos e depois
o número de senhas com 1 dígito repetido. No primeiro caso temos a permutação
simples dos 6 dígitos disponíveis:
P(6) = 6! = 720
No segundo caso, cada senha de 6 caracteres será formada com o uso de
apenas 5 dígitos (pois um se repete 2 vezes). Assim, para cada conjunto de 5
dígitos que escolhermos (ex.: U, V, 5, 6, 7) o número de senhas possíveis será dado
pela permutação de 6 caracteres, com a repetição de 2:
6! 6 5 4 3 2!(6;2) 360
2! 2!P
× × × ×= = =
Quantos conjuntos de 5 dígitos podemos escolher, tendo um total de 6 dígitos
disponíveis? Ora, trata-se da combinação de 6 dígitos, 5 a 5:
(6;5) (6;1) 6C C= =
Portanto, o número de senhas com 6 algarismo, com a repetição de 2, é dada
por 6 x 360 = 2160.
Ao todo, o número de senhas é: 720 + 2160 = 2880. Item CORRETO.
Resposta: C C
11. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada
jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma
seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas
informações, julgue os próximos itens.
( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a
512.
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RESOLUÇÃO:
O número de sequências nas quais temos pelo menos 1 cara é igual ao total
de sequências possíveis menos o número de sequências onde não temos nenhuma
cara. Vejamos:
� total de sequências possíveis:
Pela regra do produto, como temos 2 possibilidades para cada lançamento, o
total é: 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 210 = 1024.
� total de sequências sem nenhuma cara:
Ora, trata-se do caso onde obtemos coroa em todos os lançamentos. Trata-
se de uma única possibilidade.
Portanto, o número de sequências com pelo menos 1 cara é igual a 1024 – 1
= 1023. Este número é superior a 512, tornando o item ERRADO.
Resposta: E
12. CESPE – MDS – 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de elementos.
( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra
EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500.
( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os
convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos
diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada
convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo.
RESOLUÇÃO:
( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra
EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500.
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Para obter anagramas que não possuam duas vogais juntas, é preciso contar
apenas aqueles anagramas onde tenhamos uma consoante separando duas vogais
consecutivas, como é o caso na palavra EXECUTIVO. Em resumo, devemos
permutar as vogais apenas entre elas (nas posições ocupadas por vogais na
palavra EXECUTIVO), e as consoantes entre elas. Veja exemplos de permutação
possíveis:
- trocando apenas vogais: IXOCUTEVE
- trocando apenas consoantes: EVECUTIXO
- trocando vogais e consoantes, mantendo uma consoante entre duas vogais:
IVOCUTEXE.
No caso das vogais, temos 5 letras com a repetição de 2 letras E. Portanto, o
total de permutações de vogais é:
5!(5;2) 60
2!P = =
No caso das consoantes, temos 4 letras, sem repetição. O número de
permutações de consoantes é:
P(4) = 4! = 24
Observe que, para cada uma das 60 permutações possíveis das vogais,
devemos contabilizar as 24 permutações possíveis das consoantes. Portanto, o total
de permutações das letras de EXECUTIVO (obedecendo a regra do enunciado) é
dado por:
60 x 24 = 1440
Esse valor é inferior a 1500, tornando o item CORRETO.
( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os
convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos
diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada
convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo.
Pela regra do produto, cada convidado tem 3 x 4 x 4 = 48 formas diferentes
de escolher o seu jantar completo, dado que existem 3 possibilidades de pratos, 4
de bebidas e 4 de sobremesas. Item ERRADO.
Resposta: C E
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13. CESPE – MDS – 2009) Considere que o governo de determinado estado da
Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular, tenha decidido
enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares,
restringindo que fossem visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12
restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1 dos 6
restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de
3.800 maneiras distintas para escolher os restaurantes para visitar.
RESOLUÇÃO:
Existem 5 possibilidades de se escolher 1 restaurante na Bahia (qualquer um
dos 5 existentes). Para escolher 2 dentre 12 restaurantes em Minas, é preciso
calcular o número de combinações de 12 restaurantes, 2 a 2:
12 11(12,2) 66
2!C
×= =
(usamos a combinação pois a ordem de escolha desses 2 restaurantes não importa.
Escolher o restaurante A e o restaurante B, formando o par {A,B} a ser visitado em
Minas, é igual a escolher o restaurante B e o restaurante A neste mesmo Estado)
Analogamente, para escolher 2 dentre 12 restaurantes em São Paulo, temos
outras 66 possibilidades. Por fim, existem 6 formas de escolher 1 dos 6
restaurantes do Rio Grande do Sul.
O número total de possibilidades é dado pela regra do produto:
5 x 66 x 66 x 6 = 130680
Este número é (bem) superior a 3800, portanto o item está CORRETO.
Resposta: C
Obs.: essa questão é uma exceção ao estilo CESPE. Quando temos
questões como essa, onde o enunciado diz “terá mais de 3.800 maneiras” , o normal
é você encontrar um resultado ligeiramente acima ou abaixo de 3.800 (tornando o
item C ou E, respectivamente). Quando você encontrar um resultado muito diferente
do valor “sugerido” no enunciado, muito cuidado: revise a sua resolução, verifique
se não errou algum cálculo.
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14. CESPE – MDS – 2009) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4
eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15 programas e ações, entre
os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos
financeiros para 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família
fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade
por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse
comitê teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e
ações.
RESOLUÇÃO:
Numa questão como essa, normalmente você poderia pensar em calcular a
combinação dos 14 programas restantes, 4 a 4. Entretanto, foi mencionada uma
ordem de prioridade, de modo que a ordem de escolha dos programas passa a ser
relevante. Assim, devemos calcular o arranjo de 14 programas, 4 a 4, ou seja,
14x13x12x11 = 24024 possibilidades.
Trata-se de um número menor que 30mil, portanto o item está ERRADO.
Resposta: E
Obs.: se você resolvesse através da fórmula da combinação, encontraria
C(14,4) = 1001, que é um número MUITO menor que 30mil, valor “sugerido” pelo
CESPE. Com isso, você deveria, no mínimo, desconfiar que a sua resolução
pudesse estar incorreta (apesar de que, neste exercício, ainda assim você acertaria
o gabarito).
15. CESPE – PREVIC – 2011) Julgue os 2 itens, considerando que planos
previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam
oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios:
renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e
pecúlio por invalidez.
( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco
benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis.
( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para
contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de
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modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o
pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a
renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a
quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a
contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104.
RESOLUÇÃO:
( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco
benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis.
Trata-se da combinação de 5 benefícios, 3 a 3, que é:
5 4(5,3) (5,2) 10
2!C C
×= = =
De fato existem menos de 12 escolhas possíveis. Item CORRETO.
( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para
contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de
modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o
pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a
renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a
quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a
contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104.
Chamando o benefício “renda por invalidez” de A, “pensão por morte” de B,
“pecúlio por morte” de C, “pecúlio por invalidez” de D e “aposentadoria” de E,
teremos 3 A, 2 B, 2 C, 2 D e 1 E. Devemos permutar entre os 10 grupos esses 10
benefícios, sabendo que temos repetição de 3 A, 2 B, 2 C e 2 D:
10! 10 9 8 7 6 5 4 3!(10;3,2,2,2)
3!2!2!2! 3! (2 1) (2 1) (2 1)
10 9 8 7 6 5(10;3,2,2,2) 75600
2
P
P
× × × × × × ×= =× × × × × ×
× × × × ×= =
Este número é superior a 70.000 (7 x 104), logo o item está ERRADO.
Resposta: C E
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16. CESPE – Banco do Brasil – 2008) A Associação dos Correspondentes de
Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo quinto ano consecutivo, o
Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes indicados serão seguidos pela votação
de aproximadamente 250 correspondentes afiliados às associações de
correspondentes do Rio de Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores
serão escolhidos nas categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário,
Melhor Diretor, Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e
Melhor Filme Júri Popular.
Internet: <www.bb.gov.br> (com adaptações).
A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de contagem,
julgue os itens subseqüentes.
( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para
constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras
possíveis para se formar essa comissão.
( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos
13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se
fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º
lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103.
( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas
nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades
de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3,
respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria,
esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas.
RESOLUÇÃO:
( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para
constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras
possíveis para se formar essa comissão.
O número de comissões de 3 integrantes retirados de um total de 50 é dado
pela combinação:
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50 49 48(50,3) 19600
3!C
× ×= =
Esse número é inferior a 20mil, portanto o item está CORRETO.
( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos
13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se
fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º
lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103.
Temos 13 possibilidades para o primeiro lugar, 12 para o segundo e 11 para
o terceiro, totalizando:
13 x 12 x 11 = 1716
Esse número é inferior a 2000 (2x103), portanto o item está CORRETO.
( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas
nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades
de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3,
respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria,
esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas.
Esse correspondente tem 8 possibilidades para escolher o Melhor Filme e 3
possibilidades para o Melhor Documentário, totalizando 8 x 3 = 24 maneiras
distintas de votar. Este número é superior a 20, portanto o item está CERTO.
Resposta: C C C
17. CESPE – Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a respeito
de contagem.
( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras
da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60.
( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa
instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição,
nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 ×
103.
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( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra
PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta
palavra aparece é igual a 6.
( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares
distintos de letras.
RESOLUÇÃO:
( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras
da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60.
Se queremos apenas os casos que começam e terminam em R, devemos,
em realidade, permutar apenas as letras E, P, E, T, I. Temos, portanto, a
permutação de 5 letras com a repetição de 2, totalizando:
5!(5;2) 60
2!P = = possibilidades
Item CORRETO.
( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa
instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição,
nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 ×
103.
A quantidade de senhas com 2 ou 3 letras repetidas é igual ao total de
senhas possível menos a quantidade de senhas que não possuem letras repetidas.
Assim, temos:
� total de senhas: 26 x 26 x 26 = 17576
� quantidade de senhas que não possuem letras repetidas: 26x25x24 = 15600
Portanto, o número de senhas que possuam letras repetidas (2 ou 3 letras
repetidas) é simplesmente 17576 – 15600 = 1976.
Este valor é inferior a 2x103, portanto o item está ERRADO.
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( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra
PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta
palavra aparece é igual a 6.
A palavra PROVAVELMENTE possui 2 repetições da letra V e 3 repetições
da letra E. Normalmente consideraríamos que, ao trocar uma letra V pela outra, ou
uma letra E pela outra, temos em realidade um único anagrama. Entretanto, o
enunciado mandou incluir as repetições, ou seja, considerar que ao trocar uma letra
V pela outra e/ou trocar uma letra E pela outra, cada alteração dessas deve ser
considerada uma permutação distinta.
Para a palavra PROVAVELMENTE continuar aparecendo, devemos
considerar apenas os casos onde trocamos um V pelo outro e/ou trocamos um E
por outro.
O número de permutações das duas letras V entre si é igual a P(2) = 2! = 2. E
o número de permutações das 3 letras E entre si é igual a P(3) = 6. Para cada
permutação das letras V, devemos contabilizar as 6 permutações da letra E. Ao
todo, temos 2 x 6 = 12 permutações onde são trocadas apenas as posições das
letras V entre si mesmas e/ou as posições das letras E entre si mesmas.
Item ERRADO.
( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares
distintos de letras.
Temos 6 letras distintas nessa palavra. Para saber o número de pares que
podemos formar, basta calcular o número de combinações destas 6 letras, 2 a 2:
C(6,2) = 15
Este número é inferior a 300, portanto o item está ERRADO. Mesmo se
considerássemos que a ordem das letras torna um par diferente do outro, teríamos
6 x 5 = 30 possibilidades apenas.
Resposta: C E E E
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18. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na
relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico
de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria,
mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das
Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que
66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram
homens e 9% meninos.
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório
do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações).
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir.
( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número
de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será
superior a 4.000.
RESOLUÇÃO:
Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é:
Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30
O número de maneiras de formar grupos de 3 homens com 30 disponíveis é
a combinação de 30, 3 a 3:
C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3! = 30 x 29 x 28 / 6
C(30,3) = 5 x 29 x 28 = 4060
Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO.
Resposta: C
19. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito
à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum
evento.
( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três números de
dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-se o algarismo das
dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades é sorteado em seguida e
varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o algarismo das dezenas e o
algarismo das unidades já sorteadas não puderem ser repetidos, então a
quantidade de números que podem ocorrer é inferior a 104
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RESOLUÇÃO:
Veja que temos 6 possibilidades (de 0 a 5) para o algarismo das dezenas e
10 possibilidades (de 0 a 9) para o algarismo das unidades, totalizando 6 x 10 = 60
possíveis números de dois algarismos para o primeiro sorteio.
Após sortear o primeiro número, sobram apenas 5 possibilidades para o
algarismo das dezenas e 9 possibilidades para o algarismo das unidades,
totalizando 5 x 9 = 45 possibilidades para o segundo número a ser sorteado.
A seguir, sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e 8
possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 4 x 8 = 32 possibilidades
para o terceiro número a ser sorteado.
Portanto, a regra do produto nos diz que temos ao todo 60 x 45 x 32 = 86400
possibilidades de sortear 3 números de dois algarismos. Muito cuidado, pois a
resolução não termina aqui (embora quem parasse aqui acertasse o gabarito, por
mera coincidência).
A regra do produto, que utilizamos acima, é válida quando a ordem dos
números sorteados torna um conjunto de 3 números diferente de outro. Entretanto,
sabemos que o conjunto {21, 15, 07} é igual ao conjunto {07, 21, 15}, que é igual ao
{15, 07, 21} e às demais permutações destes 3 números. Isto porque em qualquer
desses casos o ganhador do sorteio será aquela pessoa que tiver, em qualquer
ordem, estes três números em sua cartela.
A permutação de 3 números é P(3) = 3! = 6. Portanto, devemos dividir as
86400 possibilidades encontradas através da regra do produto por 6, para evitar
somar repetidas vezes um mesmo conjunto de 3 números. Dessa forma, temos:
86400 / 6 = 14400
Portanto, existem 14400 formas de sortear 3 números de dois algarismos
seguindo a regra proposta no enunciado. Este número é superior a 10.000 (104) .
Item ERRADO.
Resposta: E
20. CESPE – TRE/BA – 2009) Sabendo que um anagrama é qualquer ordenação
formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado, então, com a
palavra CORREGEDOR será possível formar 151.200 anagramas distintos.
RESOLUÇÃO:
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CORREGEDOR possui 10 letras, com a repetição de 2 letras O, 3 letras R, 2
letras E. O número de anagramas desta palavra é calculado pela fórmula de
permutação com repetição:
10! 10 9 8 7 6 5 4 3!(10;2,3,2)
2!3!2! (2 1) 3! (2 1)
(10;2,3,2) 10 9 8 7 6 5 151200
P
P
× × × × × × ×= =× × × ×
= × × × × × =
Item CERTO.
Resposta: C.
21. CESPE – EMBASA – 2009) A leitura mensal do consumo de água residencial
em cada um dos quinze bairros de determinado município é feita por apenas um dos
três funcionários responsáveis por essa atividade; a cada mês, há uma distribuição
aleatória em que cinco desses bairros são designados para cada um desses
funcionários. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir:
( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes.
( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado
funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica, em duas regiões, A e B,
com dois bairros em A e três bairros em B, então esse funcionário poderá visitar
esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma
região antes dos demais bairros.
RESOLUÇÃO:
� PRIMEIRO ITEM:
Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos distribuir
15 bairros entre 3 funcionários, deixando cada um deles com 5 bairros.
A combinação de 15 em grupos de 5 (isto é, 15, 5 a 5) nos diz de quantas
maneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionário:
15 15 14 13 12 113003
5 5 4 3 2 1
× × × ×= = × × × ×
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Após separarmos os 5 bairros do primeiro funcionário, sobram 10 bairros, dos
quais 5 deverão ser distribuídos para o próximo funcionário. A combinação de 10
bairros, 5 a 5, nos dá o número de formas de efetuar essa distribuição:
10 10 9 8 7 6252
5 5 4 3 2 1
× × × ×= = × × × ×
Por fim, sobram 5 bairros, que serão distribuídos para o último funcionário.
Só há uma forma de fazer isso, como vemos abaixo:
51
5
=
Multiplicando o número de formas de distribuir os bairros do primeiro
funcionário pelo número de formas para distribuir os bairros do segundo funcionário
e pelo número de formas de distribuir os bairros do último funcionário, temos:
3003 252 1 756756× × =
Portanto, esse item está ERRADO. No gabarito preliminar, este item foi
considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo.
� SEGUNDO ITEM: o funcionário pode visitar os 2 bairros da região A e, a
seguir, os 3 bairros da região B, ou vice-versa. Vamos calcular de quantas
formas ele fazer isso. Note que agora a ordem importa. Portanto, trata-se de
um caso de permutação.
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 2 bairros da
região A? Basta permutar os 2 bairros: P(2) = 2! = 2.
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 3 bairros da
região B? P(3) = 3! = 6
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar as 2 regiões? Ora,
ele pode ir primeiro na região A e depois na B, ou vice-versa. Temos 2
formas de fazer isso, que é justamente P(2).
Como temos 2 formas de visitar as regiões, e, dentro das regiões, 2 formas
de visitar os bairros de A e 6 formas de visitar os bairros de B, o total de formas de
visitar todos os bairros é: 2 x 2 x 6 = 24. Item CORRETO.
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Resposta: E C
22. CESPE – MPE/AM – 2008) Com respeito aos princípios básicos da contagem
de elementos de um conjunto finito, julgue os itens a seguir.
( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência
para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada
uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com os
algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não
precisaram ser utilizados.
( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r,
s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0
a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos,
então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1).
RESOLUÇÃO:
� PRIMEIRO ITEM: quando o exercício diz que o código tem 2 dígitos, o
primeiro dígito não pode ser o zero, pois nesse caso teríamos, na verdade,
um número de apenas 1 dígito. Portanto, os códigos possíveis são aqueles
que tem, no algarismo das dezenas, de 1 a 9 (9 possibilidades), e no
algarismo das unidades, de 0 a 9 (10 possibilidades). Assim, ao todo temos
90 possibilidades de código. Como eram apenas 79 caixas de
correspondência, 11 códigos não precisaram ser utilizados. CORRETO.
� SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um código com 4 letras
retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria possível formar
10x10x10x10 =104 códigos. Além disso, podemos escolher 2 algarismos de 0
a 9 (10 possibilidades), ou seja, podemos escolher 10 x 10 = 102 pares de 2
algarismos. Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104)
pela quantidade de grupos de algarismos (102) já temos 106 possibilidades,
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que é um resultado maior que aquele dado pelo enunciado, portanto o item
está ERRADO. Por fins didáticos, vamos prosseguir com a resolução.
Teremos um código da seguinte forma:
L L L L / / N N
Neste código acima, os L representam as 4 letras, as / representam as barras
e os N representam os 2 algarismos. Veja que não basta apenas multiplicar
as quantidades de grupos de letras (104) pela de números (102). Precisamos
ainda considerar que as letras, barras e números podem estar em qualquer
posição. Veja os 3 exemplos abaixo. Cada um representa um código distinto,
apesar de usar as mesmas letras e números:
Q R S T / / 1 2
Q R S T 1 2 / /
Q / R S / T 1 2
Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 números que escolhermos,
precisamos calcular o número de permutações possíveis. Para piorar, trata-
se de uma permutação com repetição, pois a barra se repete. Temos, assim,
8!(8, 2) 20160
2!PR = =
Portanto, ao todo teríamos 20160 x 104 x 102 códigos.
Resposta: C E
23. CESPE – TSE – 2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE,
foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser
digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por
uma sequência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma
sequência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas
que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas
admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a:
a) 263 x 10 x 9 x 8
b) 263 x 103
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c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8
d) 26 x 25 x 24 x 103
RESOLUÇÃO:
Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as três primeiras
lacunas devem ser preenchidas por letras, e as três seguintes por números.
Veja que não há repetição de letras. Pelo princípio fundamental da contagem,
temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a segunda e 24 para a
terceira, isto é: 26 x 25 x 24 possibilidades.
Por outro lado, é permitido repetir algarismos. Temos 10 possibilidades para
o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para o terceiro, perfazendo 10 x 10
x 10 = 103 possibilidades.
Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 103 possibilidades de senhas.
Resposta: D
Obs.: a título de exercício, repare que a letra A representa o caso onde
podemos repetir letras, mas não algarismos. A letra B representa o caso onde
podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C representa o caso
onde não podemos repetir nem letras e nem algarismos.
24. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de
basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para
formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o
grupo A será inferior a 400.
RESOLUÇÃO:
Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A é equivalente a
colocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto é, a ordem das equipes não
importa. Estamos diante de um problema de combinação. O número de maneiras de
se combinar 11 equipes em grupos de 5 é dado por:
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11 11 10 9 8 7(11,5) 462
5 5 4 3 2 1C
× × × ×= = = × × × ×
Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5 equipes que
formarão o grupo A será SUPERIOR a 400.
Resposta: E
25. CESPE – Polícia Federal – 2009) A Polícia Federal brasileira identificou pelo
menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas
cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações).
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.
( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com
exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de
armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de
fazer essa escolha.
RESOLUÇÃO:
Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 – 6) não estão na
fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas serão escolhidas pela
organização criminosa.
O número de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 é dado por:
11 10 9 8 7(11,6) (11,5) 462
5 4 3 2 1C C
× × × ×= = =× × × ×
Este número é MENOR do que 500, portanto o item está ERRADO.
Resposta: E
26. CESPE – ABIN – 2010) Com relação aos princípios e técnicas de contagem,
julgue os itens subsequentes.
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( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão
tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a
cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região Centro-
Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem
em prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas para
organizar esses processos.
( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro,
por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, dado o caráter
sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os agentes que participarão
dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente, em
veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de inteligência
dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia,
é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela
organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para
essa missão é inferior a 50.
( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7
disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o
relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações —, o número
de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200.
RESOLUÇÃO:
� PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regiões para colocar
em cada uma. Todos os processos de uma mesma região devem ficar na
mesma prateleira. Isto pode ser representado pelo esquema abaixo:
Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5
5 possibilidades 4 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas
distintas de dispor os processos de cada região numa mesma prateleira.
Imagine a seguinte distribuição:
Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5
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Região Norte
(3 processos)
Região Nordeste
(3 processos)
Região Sul
(2 processos)
Região Sudeste
(1 processo)
Região Centro-Oeste
(2 processos)
Note que é possível permutar os 3 processos da região Norte, dispondo-os
de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos permutar os da região
Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Para a região Sul temos 2! = 2
maneiras distintas, o mesmo se aplicando à região Centro-Oeste, e apenas 1
maneira para a região Sudeste.
Assim, considerando as regiões distribuídas conforme esta última tabela,
teríamos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os processos, devido
às permutações dos mesmos dentro de cada prateleira.
Isto é, para cada uma das 120 formas de dispor os processos de cada região
nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os processos de cada prateleira.
Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas de distribuir os processos. Item CERTO.
� SEGUNDO ITEM: Será preciso escolher 3 veículos, um para transportar cada
um dos agentes. A ordem não importa, o que interessa é escolher 3 dos 8
veículos disponíveis para transportar os agentes. Isto é, precisamos calcular
a combinação de 8 veículos em grupos de 3:
8 7 6(8,3) 56
3 2 1C
× ×= =× ×
Item ERRADO.
� TERCEIRO ITEM: O número de formas de escolher 3 agentes em um grupo
de 7 é dado pela combinação de 7, 3 a 3 (pois a ordem não importa):
7 6 5(7,3) 35
3 2 1C
× ×= =× ×
Uma vez escolhidos esses 3 agentes, temos que alocar cada um em uma
função: coordenar, redigir e fazer levantamentos. Aqui, a ordem importa, pois
colocar o agente A para coordenar e o agente B para redigir é diferente de colocar o
agente A para redigir e o agente B para coordenar. Assim, para a primeira função,
temos 3 possibilidades (qualquer um dos 3 agentes), para a segunda temos 2
possibilidades e para a terceira temos 1 possibilidade, totalizando 3 x 2 x 1 = 6
possibilidades.
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Assim, ao todo temos 35 grupos de 3 agentes, e cada grupo pode ser
alocado de 6 maneiras distintas, totalizando 35 x 6 = 210 formas de escolher os
agentes. Item ERRADO.
Resposta: C E E
27. CESPE – ANAC – 2009) Com relação a análise combinatória, julgue os itens
que se seguem.
( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou
Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou
Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São
Paulo é múltiplo de 12.
( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação das letras
dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, A seja a quantidade
de anagramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO, B seja a
quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal
possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! =
120, então A = 21B.
( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as
cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode
ser utilizada nos dois sentidos.
Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala
em C é igual a 400.
( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível obter de um
grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210.
RESOLUÇÃO:
� PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala e 7 de
destino. Saíndo de uma das 3 cidades de partida, temos 4 vôos possíveis
para a cidade de escala. Após esse primeiro vôo, temos outros 7 vôos
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possíveis para a cidade de destino. Portanto, ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84
vôos (que é múltiplo de 12). Item CERTO.
� SEGUNDO ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetição de 2 R e 3 O.
Portanto, o número de anagramas é dado pela permutação de 9 letras, com a
repetição de 2 e de 3:
9! 362880(9;3,2) 30240
3!2! 12P = = =
Já TURBINA não possui letras repetidas. Entretanto, o exercício só quer os
anagramas que comecem com uma das 4 consoantes e termine com uma
das 3 vogais. Portanto, temos o seguinte esquema:
1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra
4 opções
(consoantes)
3 opções
(vogais)
Da 2ª à 6ª letra, podemos utilizar qualquer uma das 5 letras restantes.
Portanto, temos:
1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra
4 opções
(consoantes)
5 opções 4 opções 3 opções 2 opções 1 opção 3 opções
(vogais)
Assim, existem 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 1440 anagramas de TURBINA que
atendem as condições do enunciado.
Portanto, A = 30240 e B = 1440. Veja que 21 x 1440 = 30240. Isto é, A = 21B.
Item CERTO.
� TERCEIRO ITEM: Temos o esquema abaixo:
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Para sair de A e voltar a A, passando por C, existem as seguintes formas:
1) A � B � C � A
2) A�C�A
3) A�C�B�A
4) A� B�C�B�A
Calculando as probabilidades de cada caso, temos:
1) 6 x 3 x 2 = 36
2) 2 x 2 = 4
3) 2 x 3 x 6 = 36
4) 6 x 3 x 3 x 6 = 324
Ao todo, temos 36 + 4 + 36 + 324 = 400 possibilidades. Item CERTO.
� QUARTO ITEM: Neste caso, podemos somar o total de comissões contendo
2, 3 e 4 pilotos. Podemos também calcular o total de comissões possíveis
com os 11 funcionários e subtrair deste total aquelas que não possuem piloto
ou possuem apenas 1 piloto. Para exercitar, vamos utilizar o segundo
método.
O total de combinações de 11 pessoas, 4 a 4, é dado por:
(11,4) 330C =
Já o total de grupos formados apenas por co-pilotos, isto é, sem nenhum
piloto, é dado pela combinação dos 6 co-pilotos, 4 a 4:
(6,4) 15C =
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Por fim, o total de grupos formados por apenas 1 piloto e 3 co-pilotos é dado
pela multiplicação entre a combinação de 5 pilotos, 1 a 1, pela combinação
de 6 co-pilotos, 3 a 3:
(5,1) (6,3) 100C C× =
Portanto, o total de combinações que possuem 2 ou mais pilotos é:
330 – 15 – 100 = 215
Como este valor é superior a 210, o item está CERTO.
Resposta: C C C C
28. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Julgue os itens que se seguem quanto a
diferentes formas de contagem.
( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem
usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno,
Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos
para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na
TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de
inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de
um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.
( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais,
pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas.
Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e
indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo,
140 formas diferentes com essas faixas.
RESOLUÇÃO:
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� PRIMEIRO ITEM: Aqui temos a combinação de 12 nomes em pares de 2:
Item CERTO.
� SEGUNDO ITEM: para a primeira agência, podemos combinar os 12
funcionários, 4 a 4. Já para a segunda agência, sobram 8 funcionários para
serem combinados 4 a 4. Por fim, para a terceira agência sobram 4
funcionários. Até aqui, temos:
(12,4) 495
(8,4) 70
(4,4) 1
C
C
C
===
Portanto, até aqui temos 495 x 70 x 1 possibilidades. Só isso já é superior a
495, portanto o item está ERRADO.
� TERCEIRO ITEM: Veja que temos a permutação de 7 faixas, com a repetição
de 3 (verdes) e 3 (amarelas). Utilizando a fórmula da permutação com
repetição, temos:
7!(7;3,3) 140
3!3!P = =
Isto é, existem 140 formas diferentes de dispor as 7 faixas. Item CERTO.
Resposta: C E C
29. CESPE – MPE/RR – 2008) Em cada um dos próximos itens, é apresentada uma
situação hipotética a respeito de probabilidade e contagem, seguida de uma
assertiva a ser julgada.
( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes
áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e
direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse
arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre
(12,2) 66C =
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os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será
necessário que se retirem pelo menos 45 processos.
RESOLUÇÃO:
Vamos imaginar o pior caso possível. Imagine que, ao retirar 4 processos,
foram retirados exatamente 1 processo de cada tipo. Prosseguindo, após retirar
mais 4 processos, demos o “azar” de tirar mais 1 processo de cada tipo, totalizando
2 processos de cada tipo. Prosseguindo neste raciocínio, pode ser que, após retirar
36 processos, tenhamos 9 de cada tipo. Isto significa que, ao retirar o próximo
processo (o 37º), completaremos 10 processos de algum dos tipos. Isto é, é preciso
tirar 37 processos do arquivo para ter certeza de que pelo menos 10 são do mesmo
tipo. Item ERRADO.
Resposta: E
30. CESPE – Polícia Militar/CE – 2008) Cada um dos itens a seguir apresenta uma
informação seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem.
( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, seguidas
de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4
é possível formar mais de 140 placas distintas de automóveis.
( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros de saúde
que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um soldado deverá
escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde para fazer a sua ronda.
Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150 formas diferentes de escolha dos
locais para sua ronda.
( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse caso, há
mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidiário em cada cela.
( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras dessa
palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A quantidade de
anagramas que é possível formar com essa palavra é inferior a 180.000.
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RESOLUÇÃO:
� PRIMEIRO ITEM: Temos que formar placas com 3 letras e 4 algarismos com
as 3 letras disponíveis e os 4 algarismos disponíveis. Veja que o exercício
não disse que as letras ou os algarismos deviam ser distintos, isto é, pode
haver repetição. Pensando numa senha do tipo L L L – N N N N, onde a letra
“L” simboliza uma letra e a letra “N” simboliza um algarismo, sabemos que
temos 3 possibilidades para preencher cada “L”, e 4 possibilidades para
preencher cada “N”. Ao todo, temos: 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 = 6912
possibilidades. Isto é, BEM MAIS que 140 placas distintas. Item CERTO.
� SEGUNDO ITEM: o policial tem 4 formas de escolher uma praça para fazer a
sua ronda. E 5 formas de escolher uma escola. E 6 formas de escolher um
centro de saúde. Portanto, ao todo o policial pode escolher um conjunto
praça-escola-centro de 4 x 5 x 6 = 120 formas distintas. Item ERRADO.
� TERCEIRO ITEM: Veja que sempre sobrarão exatamente 2 celas vazias,
afinal devemos colocar um presidiário apenas por cela. Portanto, precisamos
resolver este item em 2 etapas:
- escolher 8 das 10 celas para preencher com presidiários. Para isso,
devemos combinar 10 celas, 8 a 8:
(10,8) (10,2) 45C C= =
- escolhidas as 8 celas, devemos permutar os 8 presidiários entre as celas,
calculando a quantidade de forma de dispô-los:
(8) 8! 40320P = =
Portanto, temos 45 formas de escolher 8 celas, e, para cada uma dessas
formas, temos 40320 formas de dispor os presidiários. Assim, ao todo temos:
45 x 40320 = 1.814.400
Item CERTO.
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� QUARTO ITEM: observe que FORTALEZA possui 9 letras, com a repetição
de 2 letras A. Portanto, a quantidade de anagramas é dada pela permutação
de 9, com repetição de 2:
9!(9;2) 181440
2!P = =
Isto é, temos mais de 180.000 anagramas. Item ERRADO.
Resposta: C E C E
31. CESPE – SECONT/ES – 2009) Com respeito à quantidade de possibilidades de
ocorrência de um evento, julgue os itens que se seguem.
( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido
para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3
algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão
mais de 50 senhas.
( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando
um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado
por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos
instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música.
Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do
jogo é igual a 13.
RESOLUÇÃO:
( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido
para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3
algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão
mais de 50 senhas.
Para formar senhas de 3 algarismos distintos com os 7 algarismos
disponíveis (de 1 a 7), temos 7 x 6 x 5 = 210 possibilidades. Distribuindo uma senha
para cada um dos 152 empregados, sobram 210 – 152 = 98 senhas. Item CERTO.
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( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando
um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado
por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos
instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música.
Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do
jogo é igual a 13.
Se temos 3 opções de instrumentos, 5 de dificuldades e 5 de músicas, ao
todo temos 3 x 5 x 5 = 75 possibilidades de configuração. Item ERRADO.
Resposta: C E
32. CESPE – SECONT/ES – 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas ficarão
sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas. Joaquim e Daniela,
duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do outro, com Daniela sempre à
direita de Joaquim. De acordo com essa configuração, julgue os próximos itens.
( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do
evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes.
( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que
tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição
central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de
a comissão acomodar os homenageados no palco.
RESOLUÇÃO:
( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do
evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes.
Sejam as cadeiras 1 a 9, numeradas da esquerda para a direita. Se Daniela
sempre estará logo à direita de Joaquim, uma forma de acomodá-los seria Joaquim
se sentar na cadeira 1 e Daniela na 2, ou Joaquim na 2 e Daniela na 3, e assim por
diante. Note que Joaquim não pode se sentar na cadeira número 9 (pois não
haveria lugar para Daniela à sua direita). Ou seja, Joaquim pode se sentar em
qualquer das cadeiras 1 a 8, deixando a cadeira da direita para Daniela. Assim,
existem 8 formas de acomodá-los. Item ERRADO.
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( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que
tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição
central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de
a comissão acomodar os homenageados no palco.
A pessoa mais velha deve se sentar na cadeira do meio (cadeira 5, ou C5 no
desenho), ficando 4 cadeiras de cada lado:
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
Veja que Joaquim e Daniela não podem ser separados. Portanto, ou os dois
ficam do lado direito (3 possibilidades, pois Joaquim só poderia se sentar em C1,
C2 ou C3 para Daniela ficar à sua direita), ou os dois ficam do lado esquerdo (outras
3 possibilidades, pois Joaquim não pode se sentar na cadeira C9).
Para cada uma dessas 6 possibilidades para Joaquim e Daniela, sobram
outras 6 cadeiras para os demais. Permutando-os, temos P(6) = 6! = 720
possibilidades.
Assim, para cada uma das 6 possibilidades para Joaquim e Daniela, temos
720 permutações possíveis para os demais. Ao todo, temos 6 x 720 = 4320
possibilidades, ou seja, menos de 4400. Item CERTO.
Resposta: E C
33. CESPE – TRE/BA – 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças,
igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa
retangular. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em
duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado
um determinado número de buracos que representam números. As metades
representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma
metade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças,
denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe também uma
variação de dominó conhecida como double nine, em que as metades representam
os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peças.
M. Lugo. How to play better dominoes. New York:
Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações).
A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.
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( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças.
( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras
distintas.
( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo.
Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4
jogadores de 4
28!(7!)
maneiras distintas.
( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4
jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas
as 7 buchas.
RESOLUÇÃO:
( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças.
Veja que, se temos 7 possibilidades de números, como no dominó tradicional,
o número de peças é dado pela soma de:
- peças com as combinações dos 7 números disponíveis, 2 a 2: C(7,2) = 21
- 7 buchas, isto é, peças com o mesmo número de casas de cada lado: 7
Assim, ao todo temos 21 + 7 = 28 peças no dominó tradicional.
No dominó com 13 possibilidades de números (de 0 a 12), teremos a soma
de:
- peças com as combinações dos 13 números disponíveis, 2 a 2: C(13,2) = 78
- 13 peças, isto é, peças com o mesmo número de casas de cada lado: 13
Assim, temos 78 + 13 = 91 peças no dominó proposto. Item ERRADO.
( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras
distintas.
Aqui temos a permutação circular de 4 jogadores em torno da mesa, que é
dada por:
Pc(4) = (4 – 1)! = 3! = 6
Item CERTO.
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( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo.
Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4
jogadores de 4
28!(7!)
maneiras distintas.
O número de formas que o primeiro jogador pode tirar 7 peças em 28 é dado
pela combinação C(28,7).
Para o segundo jogador, sobram 21 peças na mesa, das quais ele pode tirar
7. O número de maneiras de ele tirar é dado por C(21,7).
O terceiro jogador pode tirar suas 7 peças, dentre as 14 restantes, de C(14,7)
formas.
E o último jogador possui C(7,7) formaS de retirar as 7 peças restantes.
Para saber o total de maneiras de o primeiro E o segundo E o terceiro E o
quarto retirarem suas peças, devemos multiplicar as probabilidades acima:
Total = C(28,7) x C(21,7) x C(14,7) x C(7,7)
Lembrando que !
( , )!( )!
nC n m
m n m=
−, então temos:
4
28! 21! 14! 7!7!(28 7)! 7!(21 7)! 7!(14 7)! 7!(7 7)!
28! 21! 14! 7!7!(21)! 7!(14)! 7!(7)! 7!(0)!
28! 1 1 1 28!7! 7! 7! 7! (7!)
Total
Total
Total
= × × ×− − − −
= × × ×
= × × × =
Item CERTO. Obs.: lembre-se que 0! = 1, por definição.
( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4
jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas
as 7 buchas.
Vamos imaginar que o primeiro jogador ficou com as 7 buchas. Para o
segundo jogador, temos 21 peças disponíveis, totalizando C(21,7) formas de pegar
as peças. Para o próximo, C(14,7), e para o último, C(7,7).
Assim, o total de formas de distribuir as peças de modo que um jogador fique
com as 7 buchas é dado pela multiplicação:
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Total = 1 x C(21,7) x C(14,7) x C(7,7)
3
21! 14! 7!1
7!(21 7)! 7!(14 7)! 7!(7 7)!
21! 14! 7!1
7!(14)! 7!(7)! 7!(0)!
21 1 1 21!1
7! 7! 7! (7!)
Total
Total
Total
= × × ×− − −
= × × ×
= × × × =
Para verificar se este número é maior que 100 milhões, vamos desenvolvê-lo:
3
2
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7!(7!)
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8(7!)
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 85040 5040
Total
Total
Total
× × × × × × × × × × × × × ×=
× × × × × × × × × × × × ×=
× × × × × × × × × × × × ×=×
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 825401600
Total× × × × × × × × × × × × ×=
Este número acima é superior a 100 milhões.
Item CERTO.
Resposta: E C C C
34. CESPE – TRE/BA – 2010) Os 100 empregados de uma empresa foram
convocados para escolher, entre 5 opções, o novo logotipo da empresa. O
empregado poderá escolher, no momento do voto, a cédula I ou a cédula II. Caso
ele escolha a cédula I, deverá listar as 5 opções de logotipo, na ordem de sua
preferência, que serão assim pontuadas: 1.ª – 5 pontos; 2.ª – 4 pontos; 3.ª – 3
pontos; 4.ª – 2 pontos; 5.ª – 1 ponto. Se escolher a cédula II, deverá indicar 3 das 5
opções, e cada uma receberá 3 pontos.
Acerca dessa escolha de logotipo, julgue os itens seguintes.
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( ) Considerando que não haverá votos brancos ou nulos, o número de votos
distintos possíveis para cada empregado é igual a 130.
RESOLUÇÃO:
Se o empregado escolher a cédula I, ele deverá listar as 5 opções em ordem.
Como ele não pode repetir a mesma opção em mais de uma posição da cédula,
temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de preencher essa cédula.
Se o empregado escolher a cédula II, ele deverá escolher 3 das 5 opções,
que terão a mesma pontuação. Isto é, neste caso, a ordem de preenchimento não
importa. Assim, o número de formas de escolher 3 das 5 opções disponíveis é dado
por C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10.
Assim, ao todo temos 120 fórmulas de preencher a cédula I e 10 formas de
preencher a cédula II. Ao todo, cada empregado tem 130 formas diferentes de votar.
Item CERTO.
Resposta: C
***************************
Pessoal, por hoje, é só!! Na próxima aula veremos a Teoria da Probabilidade.
Abraço,
Arthur
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3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA
1. ESAF – CGU – 2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um
excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha
seja dividida em uma sequência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes,
ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores
disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada
é igual a:
a) 56
b) 5760
c) 6720
d) 3600
e) 4320
2. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento técnico de uma construtora imobiliária
tem 10 técnicos de nível superior sendo 7 engenheiros e 3 arquitetos. Quantas
equipes técnicas distintas podem ser formadas por 2 desses técnicos com a
participação de pelo menos um engenheiro em cada equipe?
a) 14
b) 35
c) 21
d) 28
e) 42
3. ESAF – Analista MPOG – 2010) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica
um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados
neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas
diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes
e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras
que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:
a) 2.440
b) 5.600
c) 4.200
d) 24.000
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e) 42.000
4. ESAF – AFT – 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10
funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem
para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo
menos um homem e pelo menos uma mulher?
a) 192.
b) 36.
c) 96.
d) 48.
e) 60.
5. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento de vendas de imóveis de uma
imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de
vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe
pelo menos uma mulher?
a) 15
b) 45
c) 31
d) 18
e) 25
6. ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos
devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede
emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana
retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana
pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
a) 681384
b) 382426
c) 43262
d) 7488
e) 2120
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7. ESAF – MPOG – 2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua
nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado,
ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a
saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com
sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que
Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é
igual a:
a) 30
b) 40
c) 246
d) 124
e) 5
8. ESAF – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de
15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das
15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as
questões?
a) 3003
b) 2980
c) 2800
d) 3006
e) 3005
9. ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e
Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou
que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por
exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou
Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira
da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420
b) 480
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c) 360
d) 240
e) 60
10. CESPE – TRT/16ª – 2005) Julgue os itens que se seguem.
( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que
tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .
( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar
os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e
os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o
usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa
situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.
11. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada
jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma
seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas
informações, julgue os próximos itens.
( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a
512.
12. CESPE – MDS – 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de elementos.
( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra
EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500.
( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os
convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos
diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada
convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo.
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13. CESPE – MDS – 2009) Considere que o governo de determinado estado da
Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular, tenha decidido
enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares,
restringindo que fossem visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12
restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1 dos 6
restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de
3.800 maneiras distintas para escolher os restaurantes para visitar.
14. CESPE – MDS – 2009) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4
eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15 programas e ações, entre
os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos
financeiros para 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família
fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade
por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse
comitê teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e
ações.
15. CESPE – PREVIC – 2011) Julgue os 2 itens, considerando que planos
previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam
oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios:
renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e
pecúlio por invalidez.
( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco
benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis.
( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para
contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de
modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o
pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a
renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a
quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a
contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104.
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16. CESPE – Banco do Brasil – 2008) A Associação dos Correspondentes de
Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo quinto ano consecutivo, o
Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes indicados serão seguidos pela votação
de aproximadamente 250 correspondentes afiliados às associações de
correspondentes do Rio de Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores
serão escolhidos nas categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário,
Melhor Diretor, Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e
Melhor Filme Júri Popular.
Internet: <www.bb.gov.br> (com adaptações).
A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de contagem,
julgue os itens subseqüentes.
( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para
constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras
possíveis para se formar essa comissão.
( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos
13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se
fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º
lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103.
( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas
nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades
de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3,
respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria,
esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas.
17. CESPE – Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a respeito
de contagem.
( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras
da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60.
( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa
instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição,
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nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 ×
103.
( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra
PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta
palavra aparece é igual a 6.
( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares
distintos de letras.
18. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na
relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico
de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria,
mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das
Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que
66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram
homens e 9% meninos.
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório
do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações).
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir.
( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número
de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será
superior a 4.000.
19. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito
à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum
evento.
( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três números de
dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-se o algarismo das
dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades é sorteado em seguida e
varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o algarismo das dezenas e o
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algarismo das unidades já sorteadas não puderem ser repetidos, então a
quantidade de números que podem ocorrer é inferior a 104
20. CESPE – TRE/BA – 2009) Sabendo que um anagrama é qualquer ordenação
formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado, então, com a
palavra CORREGEDOR será possível formar 151.200 anagramas distintos.
21. CESPE – EMBASA – 2009) A leitura mensal do consumo de água residencial
em cada um dos quinze bairros de determinado município é feita por apenas um dos
três funcionários responsáveis por essa atividade; a cada mês, há uma distribuição
aleatória em que cinco desses bairros são designados para cada um desses
funcionários. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir:
( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes.
( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado
funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica, em duas regiões, A e B,
com dois bairros em A e três bairros em B, então esse funcionário poderá visitar
esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma
região antes dos demais bairros.
22. CESPE – MPE/AM – 2008) Com respeito aos princípios básicos da contagem
de elementos de um conjunto finito, julgue os itens de 26 a 28.
( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência
para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada
uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com os
algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não
precisaram ser utilizados.
( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r,
s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0
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a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos,
então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1).
23. CESPE – TSE – 2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE,
foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser
digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por
uma sequência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma
sequência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas
que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas
admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a:
a) 263 x 10 x 9 x 8
b) 263 x 103
c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8
d) 26 x 25 x 24 x 103
24. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de
basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para
formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o
grupo A será inferior a 400.
25. CESPE – Polícia Federal – 2009) A Polícia Federal brasileira identificou pelo
menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas
cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações).
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.
( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com
exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de
armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de
fazer essa escolha.
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26. CESPE – ABIN – 2010) Com relação aos princípios e técnicas de contagem,
julgue os itens subsequentes.
( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão
tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a
cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região Centro-
Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem
em prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas para
organizar esses processos.
( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro,
por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, dado o caráter
sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os agentes que participarão
dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente, em
veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de inteligência
dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia,
é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela
organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para
essa missão é inferior a 50.
( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7
disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o
relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações —, o número
de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200.
27. CESPE – ANAC – 2009) Com relação a análise combinatória, julgue os itens
que se seguem.
( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou
Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou
Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São
Paulo é múltiplo de 12.
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( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação das letras
dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, A seja a quantidade
de anagramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO, B seja a
quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal
possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! =
120, então A = 21B.
( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as
cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode
ser utilizada nos dois sentidos.
Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala
em C é igual a 400.
( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível obter de um
grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210.
28. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Julgue os itens que se seguem quanto a
diferentes formas de contagem.
( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem
usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno,
Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos
para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na
TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de
inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de
um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.
( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais,
pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas.
Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e
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indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo,
140 formas diferentes com essas faixas.
29. CESPE – MPE/RR – 2008) Em cada um dos próximos itens, é apresentada uma
situação hipotética a respeito de probabilidade e contagem, seguida de uma
assertiva a ser julgada.
( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes
áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e
direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse
arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre
os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será
necessário que se retirem pelo menos 45 processos.
30. CESPE – Polícia Militar/CE – 2008) Cada um dos itens a seguir apresenta uma
informação seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem.
( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, seguidas
de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4
é possível formar mais de 140 placas distintas de automóveis.
( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros de saúde
que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um soldado deverá
escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde para fazer a sua ronda.
Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150 formas diferentes de escolha dos
locais para sua ronda.
( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse caso, há
mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidiário em cada cela.
( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras dessa
palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A quantidade de
anagramas que é possível formar com essa palavra é inferior a 180.000.
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31. CESPE – SECONT/ES – 2009) Com respeito à quantidade de possibilidades de
ocorrência de um evento, julgue os itens que se seguem.
( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido
para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3
algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão
mais de 50 senhas.
( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando
um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado
por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos
instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música.
Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do
jogo é igual a 13.
32. CESPE – SECONT/ES – 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas ficarão
sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas. Joaquim e Daniela,
duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do outro, com Daniela sempre à
direita de Joaquim. De acordo com essa configuração, julgue os próximos itens.
( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do
evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes.
( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que
tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição
central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de
a comissão acomodar os homenageados no palco.
33. CESPE – TRE/BA – 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças,
igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa
retangular. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em
duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado
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um determinado número de buracos que representam números. As metades
representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma
metade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças,
denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe também uma
variação de dominó conhecida como double nine, em que as metades representam
os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peças.
M. Lugo. How to play better dominoes. New York:
Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações).
A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.
( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças.
( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras
distintas.
( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo.
Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4
jogadores de 4
28!(7!)
maneiras distintas.
( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4
jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas
as 7 buchas.
34. CESPE – TRE/BA – 2010) Os 100 empregados de uma empresa foram
convocados para escolher, entre 5 opções, o novo logotipo da empresa. O
empregado poderá escolher, no momento do voto, a cédula I ou a cédula II. Caso
ele escolha a cédula I, deverá listar as 5 opções de logotipo, na ordem de sua
preferência, que serão assim pontuadas: 1.ª – 5 pontos; 2.ª – 4 pontos; 3.ª – 3
pontos; 4.ª – 2 pontos; 5.ª – 1 ponto. Se escolher a cédula II, deverá indicar 3 das 5
opções, e cada uma receberá 3 pontos.
Acerca dessa escolha de logotipo, julgue os itens seguintes.
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( ) Considerando que não haverá votos brancos ou nulos, o número de votos
distintos possíveis para cada empregado é igual a 130.
4. GABARITO
01 C 02 E 03 C 04 C 05 D 06 A 07 E
08 A 09 A 10 CC 11 E 12 CE 13 C 14 E
15 CE 16 CCC 17 CEEE 18 C 19 E 20 C 21 EC
22 CE 23 D 24 E 25 E 26 CEE 27 CCCC 28 CEC
29 E 30 CECE 31 CE 32 EC 33 ECCC 34 C