au nanorings - plasmonic resonances simulations

Introduzione

RisonanzePlasmoniche

Nanoring in oro

Nanoring aCataniaProduzione

Osservazioni AFM

SimulazioniIl metodo FDTD

Risultati ottenuti

Conclusioni esviluppi futuri

Ringraziamenti

Nanoring in oroSimulazioni di risonanze plasmoniche

Valentina Ferro

Università degli Studi di CataniaFacoltà di Sc. MM. FF e NN - CdL in Fisica

17 Novembre 2011

Relatore:Prof. Giovanni Piccitto

Nanoring in oro Valentina Ferro

17-11-2011 1/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Nanotecnologie e PlasmonicaNuovi orizzonti accademici e industriali

Gli ultimi anni sono stati testimoni del progresso dellenanotecnologie, in particolare per quello che riguarda leimplementazioni plasmoniche.I fenomeni plasmonici costituiscono un particolareinteresse nel momento in cui nanostrutture metallicheentrano in risonanza con il campo elettromagnetico. Talirisonanze possono essere utilizzate per diverseapplicazioni; solo per citarne alcune:

circuiti fotonicisensori chimici e biologicivettori di farmacicura di tumori per mezzo di fenomeni termicilocalizzatiaumento dell’efficienza di celle fotovoltaiche

17-11-2011 2/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Nanotecnologie e PlasmonicaNuovi orizzonti accademici e industriali

Gli ultimi anni sono stati testimoni del progresso dellenanotecnologie, in particolare per quello che riguarda leimplementazioni plasmoniche.I fenomeni plasmonici costituiscono un particolareinteresse nel momento in cui nanostrutture metallicheentrano in risonanza con il campo elettromagnetico. Talirisonanze possono essere utilizzate per diverseapplicazioni; solo per citarne alcune:

circuiti fotonicisensori chimici e biologicivettori di farmacicura di tumori per mezzo di fenomeni termicilocalizzatiaumento dell’efficienza di celle fotovoltaiche

17-11-2011 2/15

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Nanoring in oro

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Risonanze Plasmoniche

Modello a plasma di Drude: gli elettroni liberi di un metallosono descritti collettivamente come una nube di particelle chesi muove in opposizione agli ioni positivi del reticolo.Tali elettroni oscillano con una frequenza caratteristica:

ω2p =

Plasmoni di Volume

Polaritoni PlasmoniciSuperficiali

Plasmoni SuperficialiLocalizzati

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

ω2p =

Plasmoni di Volume

+ – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

17-11-2011 3/15

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Nanoring in oro

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ω2p =

Plasmoni di Volume

Metallo

Dielettrico

+ + + – – – + + + – – –

17-11-2011 3/15

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

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ω2p =

Plasmoni di Volume

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Nanoring in oro

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ω2p =

Plasmoni di Volume

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

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Nanoring in oroCaratteristiche

DimensioniDiametro esterno: ∼ 70÷ 500nmSpessore: ∼ 10÷ 60nmAltezza: ∼ 20÷ 140nm

17-11-2011 4/15

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Nanoring in oro

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Nanoring in oroCaratteristiche

DimensioniDiametro esterno: ∼ 70÷ 500nmSpessore: ∼ 10÷ 60nmAltezza: ∼ 20÷ 140nm

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Nanoring in oro

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Nanoring in oroRisonanze nei nanoring

L’interesse ai nanoring (NR) è giustificato perchè essipresentano risonanze sia nella regione del visibile chenell’infrarosso.

É possibile inoltre amplificare anche di 50 volte il campoelettromagnetico in prossimità del nanoring.

Determinare le risonanze nei nanoring:Misure sperimentalidegli spettri di estinzione.Simulazioni numeriche.

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

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17-11-2011 5/15

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Nanoring in oro

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

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Nanoring in oro

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Nanoring in oro

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Nanoring in oro

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Produzione self-assembly di NR a Catania

Ruffino F., et al. “Formation and evolution of self-organized Au nanorings onindium-tin-oxide surface”. Applied Physics Letters, 98, 023101, 2011.

Processo di sputtering

Medio vuoto a 2 × 10−2mbar

Corrente ionica di 50mA

Sotto tali condizioni si ottiene:

film di ∼ 20nm di Aucluster di altezza ∼ 7nm ediametri ∼ 350nm

Processo di annealing termico

Temperature di 300, 500 e600C

Tempi di 20 ÷ 100min a step di20min per volta

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

Ringraziamenti

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Au20 nm

100 nm

Aunanocluster

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

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Au20 nm

100 nm

Aunanocluster

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Au20 nm

100 nm

Aunanocluster

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Osservazioni con microscopio a forzaatomica

10 μm

= 43.3 nm

Sputtering:Film di Au + cluster

17-11-2011 7/15

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

10 μm

= 43.3 nm

15 μm

= 170 nm

100min di annealing a 500 C :Fasi intermedie di formazione

dei ring

17-11-2011 7/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

10 μm

= 43.3 nm

15 μm

= 170 nm

15 μm

= 118 nm

dei ring

60min di annealing a 600 C :Qualche ring si è già formato -

processo statistico

17-11-2011 7/15

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

Ringraziamenti

10 μm

= 43.3 nm

15 μm

= 170 nm

15 μm

= 118 nm

dei ring

60min di annealing a 600 C :Qualche ring si è già formato -

processo statistico

Evoluzione

0 μm0 μm

1.5 μm

1.5 μm0 nm

0 μm0 μm

2.5 μm

2.5 μm0 nm

0 μm0 μm

1.5 μm

1.5 μm0 nm

0 μm0 μm

1 μm0 nm

17-11-2011 7/15

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Osservazioni AFMAnalisi di linea

s = 26.2 nm

h = 7.9 nm

D = 574 nm

d = 303 nm

s = 19.4 nm

h = 9.3 nm

D = 561 nm

d = 305 nm

s = 16.5 nm

h = 7.0 nm

D = 651 nm

d = 363 nm

< s >∼ 15 ÷ 25nm

< h >∼ 7 ÷ 9nm

< D >∼ 550 ÷ 600nm

< d >∼ 300 ÷ 350nm

SpessoreD−d

2 ∼ 100 ÷ 150nm

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

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Simulazioni Numeriche

Risulta difficile studiare analiticamente le proprietàplasmoniche di strutture con geometria complessa, comei nanoring.

17-11-2011 9/15

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

17-11-2011 9/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

17-11-2011 9/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Finite-Difference Time-Domain Method

Risolve le equazioni di Maxwell per mezzo di uncampionamento spaziale e temporale delle componentidel campo elettrico e del campo magnetico.

17-11-2011 10/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

17-11-2011 10/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

• • •

t = 0.5 Δt

t = Δt

t = 1.5 Δt

x = 0 x = Δx x = 2 Δx x = 3 Δx

E E E E

17-11-2011 10/15

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

Ringraziamenti

FDTD e implementazione in Meep

Per effettuare le simulazioni, si è utilizzato il software liberoMeep (MIT Electromagnetic Equation Propagation), sviluppatoal MIT da S. G. Johnson, et al., nel gruppo di ricerca del prof.J. D. Joannopoulos e distribuito gratuitamente con licenzaGNU GPL.

Implementazione

17-11-2011 11/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

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Implementazione

Sorgente:impulso gaussiano ∝ e−iωt− (t−t0)

2w2 , composto da onde conlunghezze d’onda comprese tra ∼ 750nm e ∼ 1400nm.

Condizioni al contorno:la cella computazionale è stata “rivestita” di un materialecapace di assorbire perfettamente la radiazione incidente,denominato Perfectly Matched Layer.

17-11-2011 11/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

Sorgente:impulso gaussiano ∝ e−iωt− (t−t0)

2w2 , composto da onde conlunghezze d’onda comprese tra ∼ 750nm e ∼ 1400nm.

Condizioni al contorno:la cella computazionale è stata “rivestita” di un materialecapace di assorbire perfettamente la radiazione incidente,denominato Perfectly Matched Layer.

17-11-2011 11/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

Materiali:

ITO - Costante dielettrica εITO = 3.8Au -

Implementazione “bulk”, con costante dielettricaεAu−bulk = 6.9Implementazione plasmonica, con funzione dielettricadata da un modello di Drude esteso, contenente deitermini che prendono il nome di “oscillatori di Lorentz”e servono a descrivere in modo più efficace l’oro.

17-11-2011 11/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

Materiali:

17-11-2011 11/15

Introduzione

Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

Materiali:

17-11-2011 11/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

Geometria:Semiellissoide con fenditura di forma ellissoidale.Dimensioni utilizzate:

Diametro esterno ∼ D = 590nm;Diametro interno ∼ d = 320nm;Altezza ∼ s = 20nm;Profondità ∼ h = 8nm;Altezza strato di oro ∼ 26nm;

Cella computazionale di lato pari a 1000nm con PML di 150nm.Risoluzione: 1 pixel = 0.16nm.

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Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

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Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

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Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Implementazione

17-11-2011 11/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Risultati ottenutiImplementazione “bulk”

Sezione del piano yz a x = 0, istanti diversi:

17-11-2011 12/15

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

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Risultati ottenutiImplementazione plasmonica

Sezione del piano yz a x = 0, istanti diversi:

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Nanoring in oro

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Risultati ottenuti

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Sezione del piano xy a z = 0, istanti diversi:

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Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

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Sezioni del piano xy a z = 12.5nm e z = −6.25nm:

17-11-2011 13/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

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Conclusioni e sviluppi futuri

Si è dimostrata la presenza di risonanze nei nanoring prodotti.Questa caratteristica, unitamente al fatto che essi sono statiprodotti con una tecnica a basso costo e industrializzabile, lirende interessante oggetto di studi futuri.É sicuramente necessaria una analisi quantitativa dei risultatipresentati, da ottenere attraverso:

1 Simulazione degli spettri di estinzione, per determinarea quali lunghezze d’onda avvengano le risonanze.

2 Calcolo dell’amplificazione del campo prossimo allasuperficie del ring in corrispondenza di tali lunghezzed’onda.

3 Valutazioni a diversi angoli di incidenza della radiazioneelettromagnetica sul campione.

17-11-2011 14/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

17-11-2011 14/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

17-11-2011 14/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

17-11-2011 14/15

Introduzione

Nanoring in oro

Osservazioni AFM

Risultati ottenuti

Ringraziamenti

Grazie per l’attenzione!

17-11-2011 15/15

Nanoring in oroProduzione

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Nanoring a CataniaProduzione

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Approfondimenti

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

La forma più generale della permittività elettrica ε di un materiale è funzionedella frequenza angolare ω della radiazione elettromagnetica incidente. Talefunzione è una funzione a valori complessi ε(ω) = ε1(ω) + iε2(ω) che puòesprimersi come:

ε(ω) = 1 +iσ(ω)

ε0ω(1)

con σ(ω) conduttività del materiale.Per i metalli descritti per mezzo del modello di Drude, avendo definito una

frequenza di risonanza ω2p =

ε0m, tale funzione può scriversi come

ε(ω) = 1−ω2

ω2 + iγω(2)

Nel caso specifico di metalli nobili, si dimostra che si può riscrivere la formulain funzione di un certo valore costante 1 ≤ ε∞ ≤ 10, che serve a tener contodi una polarizzazione residua dovuta agli ioni positivi del reticolo cristallino,

pertanto la (2) diventa ε(ω) = ε∞ −ω2

ω2 + iγω.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

ε(ω) = 1 +iσ(ω)

ε0ω(1)

ε(ω) = 1−ω2

ω2 + iγω(2)

ω2 + iγω.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

ε(ω) = 1 +iσ(ω)

ε0ω(1)

ε(ω) = 1−ω2

ω2 + iγω(2)

ω2 + iγω.

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Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Risonanze PlasmonichePolaritoni Plasmonici di Superficie

I polaritoni plasmonici di superficie (SPP) sono eccitazioni elettromagneticheche si propagano lungo l’interfaccia tra un dielettrico e un conduttore, confinatiinvece in direzione perpendicolare. Queste onde elettromagnetiche disuperficie sorgono dall’accoppiamento del campo elettrico con le oscillazionidel plasma elettronico del conduttore.Risolvendo le equzioni di Maxwell per un sistema a singola interfacciadielettrico-metallo, si ottiene la seguente relazione di dispersione:

β = k0

√εmεd

εm + εd(3)

Dove β è la costante di propagazione del SPP, k0 rappresenta il vettore d’ondadella luce nel vuoto e εm ed εd sono rispettivamente le costanti dielettriche(siano esse reali o complesse) rispettivamente del metallo e del dielettrico.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Risonanze PlasmonichePolaritoni Plasmonici di Superficie

I polaritoni plasmonici di superficie (SPP) sono eccitazioni elettromagneticheche si propagano lungo l’interfaccia tra un dielettrico e un conduttore, confinatiinvece in direzione perpendicolare. Queste onde elettromagnetiche disuperficie sorgono dall’accoppiamento del campo elettrico con le oscillazionidel plasma elettronico del conduttore.Risolvendo le equzioni di Maxwell per un sistema a singola interfacciadielettrico-metallo, si ottiene la seguente relazione di dispersione:

β = k0

√εmεd

εm + εd(3)

Dove β è la costante di propagazione del SPP, k0 rappresenta il vettore d’ondadella luce nel vuoto e εm ed εd sono rispettivamente le costanti dielettriche(siano esse reali o complesse) rispettivamente del metallo e del dielettrico.

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Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Risonanze PlasmonichePlasmoni superficiali localizzati

I plasmoni superficiali localizzati (LSP) sono eccitazioni degli elettroni diconduzione in nanostrutture metalliche accoppiate al campo elettromagnetico.

Un fenomeno di questo tipo si osserva non appena si è in presenza di unsistema composto da particelle conduttive nanometriche sottoposte a campielettromagnetici di lunghezze d’onda maggiori delle dimensioni stesse delleparticelle. E’ di fondamentale importanza la geometria stessa dellananostruttura in questione, infatti le curvature della superficie della strutturadeterminano delle forze di richiamo per gli elettroni liberi, dando luogo afenomeni di risonanza, come l’amplificazione del campo elettromagneticostesso all’interno e in prossimità della superficie della nanostruttura.

Per lo studio di queste risonanze si usa spesso l’approssimazione diquasi-staticità, per cui si assume che, per lunghezze d’onda molto maggioridelle dimensioni della particella in esame, il campo elettromagnetico oscillantesia praticamente costante nella regione prossima alla particella, così da poterrisolvere il problema semplificato di una particella in un campo elettrostatico.La dipendenza armonica del campo può essere aggiunta in un secondomomento.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Nanoring in oroTecniche di produzione più utilizzate

Litografia colloidale: dei colloidi di polistirene vengono depositati su unsubstrato e poi ricoperti da un sottile strato di oro, quindi si erode l’oro permezzo di un fascio ionico (per lo più ioni Ar) e durante l’erosione delleparticelle di oro vengono a depositarsi negli interstizi tra i colloidi sferici dipolistirene e il substrato, il tutto subisce infine un attacco chimico e unrisciacquo per eliminare il polistirene ed eventuali residui.

Litografia con fascio elettronico: vengono create attraverso il fasciodelle maschere con il negativo dei NR da creare, dell’oro viene evaporatosulla maschera e il tutto viene sottoposto ad attacco chimico per larimozione della maschera stessa, lasciando sul substrato i ring in oro.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Nanoring in oroTecniche di produzione più utilizzate

Litografia colloidale: dei colloidi di polistirene vengono depositati su unsubstrato e poi ricoperti da un sottile strato di oro, quindi si erode l’oro permezzo di un fascio ionico (per lo più ioni Ar) e durante l’erosione delleparticelle di oro vengono a depositarsi negli interstizi tra i colloidi sferici dipolistirene e il substrato, il tutto subisce infine un attacco chimico e unrisciacquo per eliminare il polistirene ed eventuali residui.

Litografia con fascio elettronico: vengono create attraverso il fasciodelle maschere con il negativo dei NR da creare, dell’oro viene evaporatosulla maschera e il tutto viene sottoposto ad attacco chimico per larimozione della maschera stessa, lasciando sul substrato i ring in oro.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Nanoring in oroExtinction Cross-Section

Il fenomeno di risonanza si quantifica dallo studio del coefficiente di estinzioneo analogamente dalla sezione d’urto di estinzione. Tale grandezza, che sicompone di due contribuiti, il primo dovuto all’assorbimento e il secondodovuto allo scattering del campo elettromagnetico sulla particella, può essereinterpretato come un parametro quantificativo dell’interazione a diverselunghezze d’onda.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Nanoring in oroRisonanze in un nanoring in oro

Si applica il modello che descrive le LSP-Resonances per i modi di slabmetalliche, che si dividono in modi simmetrici e antisimmetrici. La relazione didispersione, nel limite di lunghezza d’onda molto maggiore delle dimensionidel ring, risulta essere:

ω2± = ω2

p1± e−kw

(εm + εd )± e−dw (εm − εd )(4)

Con ω± frequenza dei modi simmetrico (−) e antisimmetrico (+), w spessoredel ring e k vettore d’onda.

I modi simmetrici corrispondono ad una distribuzione di carica con lo stessosegno sia nella parete interna che in quella esterna del ring; quelliantisimmetrici si riferiscono a oscillazioni di cariche di segno opposto tra lepareti interne ed esterne.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Si applica il modello che descrive le LSP-Resonances per i modi di slabmetalliche, che si dividono in modi simmetrici e antisimmetrici. La relazione didispersione, nel limite di lunghezza d’onda molto maggiore delle dimensionidel ring, risulta essere:

ω2± = ω2

p1± e−kw

(εm + εd )± e−dw (εm − εd )(4)

Con ω± frequenza dei modi simmetrico (−) e antisimmetrico (+), w spessoredel ring e k vettore d’onda.

I modi simmetrici corrispondono ad una distribuzione di carica con lo stessosegno sia nella parete interna che in quella esterna del ring; quelliantisimmetrici si riferiscono a oscillazioni di cariche di segno opposto tra lepareti interne ed esterne.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

L’analisi degli spettri di estinzione mostrano le seguenti dipendenze per i picchidi risonanza:

Rapporto tra lo spessore ed il raggio esterno del ring.Si nota un grande redshift al diminuire di questo rapporto, i.e. riducendo tale rapporto da un valore

di 0.22 ad uno di 0.16 per un ring di raggio esterno di 60nm si ottiene uno shift nel picco di

risonanza di circa 400nm, da circa 1000nm a circa 1400nm.

Dielettrico in cui i ring sono immersi.Redshift all’aumentare dell’indice di rifrazione.

Raggio esterno del ring.Redshift molto più piccoli all’aumentare del raggio esterno, i.e. si va incontro a spostamenti di circa

300nm per variazioni del raggio esterno che vanno da 75 a 150nm.

Geometria della sezione verticale del ring e ring accoppiati due a due.Redshift notevolmente più bassi.

Proprio alle lunghezze d’onda individuate dai picchi di risonanza, si vanno afare misure di amplificazione del campo prossimo al nanoring: tale

amplificazione viene valutata dal rapporto|E ||Einc |

, dove E rappresenta il campo

elettrico in prossimità della superficie della nanostruttura e Einc il valore dellaradiazione incidente.

17-11-2011

Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

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Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

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Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

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Estinzione

Risonanze

Applicazioni

Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

Implementazione

Nanoring in oroApplicazioni

Il volume racchiuso dal ring è infatti vuoto e quindi accessibile per diverseapplicazioni come sensori e spettroscopie in scala micrometrica. Esempi diapplicazioni sono:

Ricoprire le superfici dei sensori utilizzati per la SERS (Surface EnhancedRaman Spectroscopy), che consiste in una tecnica a superficie sensibileche migliora lo scattering Raman da molecole assorbite su superficimetalliche rugose.

Biosensori: un fattore di amplificazione di campo prossimo di ∼√

5,dell’ordine di quelli osservati proprio al centro della cavità del ring,suggerisce che in tale regione si possa trovare un sito ottimale per rilevarelegami molecolari.

Sensori ottici chip-based, che possano essere applicati anche per losviluppo di farmaci e per la diagnosi e il trattamento di malattie.

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Osservazioni AFM

Algoritmo di Yee

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Nanoring a CataniaEvoluzione del nanoring

Il fenomeno che dà luogo alla formazione del ring, durante il processo diannealing può essere interpretato a partire dall’espansione termica che l’Ausubisce sullo strato di ITO. L’oro cresciuto sul substrato di ITO e sottoposto adannealing termico, infatti, subisce una espansione lineare che risulta esseremaggiore rispetto a quella subita dall’ITO.

0 μm0 μm

1.5 μm

1.5 μm0 nm

0 μm0 μm

2.5 μm

2.5 μm0 nm

0 μm0 μm

1.5 μm

1.5 μm0 nm

0 μm0 μm

1 μm0 nm

I nanocluster di oro subiscono una deformazione maggiore rispetto alsubstrato e contemporaneamente sono sottoposti ad una tensione, dovuta aicoefficienti di adesione sull’ITO, che ne previene in parte l’espansione fino alraggiungimento di un certo intervallo di tempo critico, oltre il quale gli atomi dioro diffondono dalla regione sottoposta a compressione al centro delnanocluster verso l’esterno. Questo fenomeno dà luogo ad una cavità nellaregione centrale del nanocluster e gli atomi eiettati si depositano nella regioneesterna del cluster, formando un ring esterno [Ruffino, et al].

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Algoritmo di Yee

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Microscopio a forza atomica

É costituito da una punta, il cui raggio di curvatura incide fortemente sulla risoluzione,montata su un cantilever libero di compiere delle oscillazioni. I movimenti del cantilvervengono rivelati per mezzo di un diodo che intercetta i movimenti di un raggio laser cheviene riflesso da cantiler stesso. Il campione si muove grazie ad un sistema dipiezoelettrici.

Il principio di funzionamento prevede che grazie all’interazione tra gli atomi della punta egli atomi del campione si rivelino i movimenti in z, man mano che il campione si muove sulpiano xy . Se descriviamo tale interazione per mezzo di un potenziale di Lennard-Jones:

V = −Elegame

−z12

Si possono distinguere due regimi di lavoro: regime di lavoro a contatto, che sfrutta laregione repulsiva dell’interazione ed è ottimale per campioni duri; regime dinamico o disemicontatto, in cui la punta viene lasciata oscillare e sono le forze attrattive che siinstaurano tra punta e campione a fornire informazioni sulla scansione ed è preferibile percampioni che potrebbero essere danneggiati dalla punta.

Per l’analisi AFM dei nanoring, si è utilizzato un microscopio Veeco-Innova, che haoperato in regime di contatto con punta in Si.

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Algoritmo di Yee

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É costituito da una punta, il cui raggio di curvatura incide fortemente sulla risoluzione,montata su un cantilever libero di compiere delle oscillazioni. I movimenti del cantilvervengono rivelati per mezzo di un diodo che intercetta i movimenti di un raggio laser cheviene riflesso da cantiler stesso. Il campione si muove grazie ad un sistema dipiezoelettrici.Il principio di funzionamento prevede che grazie all’interazione tra gli atomi della punta egli atomi del campione si rivelino i movimenti in z, man mano che il campione si muove sulpiano xy . Se descriviamo tale interazione per mezzo di un potenziale di Lennard-Jones:

V = −Elegame

−z12

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Algoritmo di Yee

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É costituito da una punta, il cui raggio di curvatura incide fortemente sulla risoluzione,montata su un cantilever libero di compiere delle oscillazioni. I movimenti del cantilvervengono rivelati per mezzo di un diodo che intercetta i movimenti di un raggio laser cheviene riflesso da cantiler stesso. Il campione si muove grazie ad un sistema dipiezoelettrici.Il principio di funzionamento prevede che grazie all’interazione tra gli atomi della punta egli atomi del campione si rivelino i movimenti in z, man mano che il campione si muove sulpiano xy . Se descriviamo tale interazione per mezzo di un potenziale di Lennard-Jones:

V = −Elegame

−z12

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Finite-Difference Time-Domain MethodAlgoritmo di Yee

L’algoritmo di Yee si basa sulla scelta di una relazione geometrica per il campionamentospaziale delle componenti del campo elettrico e del campo magnetico che consente dirisolvere sia la forma differenziale che quella integrale delle equazioni di Maxwell.Queste possono essere riscritte come sei equazioni scalari:

(∂Ey

∂z−∂Ez

(∂Ez

∂x−∂Ex

(∂Ex

∂y−∂Ey

(∂Hz

∂y−∂Hy

)−σ

εEx (9)

(∂Hx

∂z−∂Hz

)−σ

εEy (10)

(∂Hy

∂x−∂Hx

)−σ

εEz (11)

Dove σ rappresenta la conduttività elettrica e µ la permeabilità magnetica (B = µH).

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Algoritmo di Yee

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Lo schema di Yee discretizza queste equazioni usando l’approsimazione centrale per lederivate prime rispetto al tempo e rispetto allo spazio. La mesh per la discretizzazioneposiziona le componenti di E e di H al centro delle linee e delle superfici del reticolospaziale, in maniera tale che ogni componente del campo E sia circondata da quattrocomponenti di H, e viceversa. Questo consente una elegante e semplice immagine dellospazio tridimensionale riempito da vettori interconnessi della legge di Faraday e contornidi Ampere.

Per quanto riguarda l’evoluzione temporale viene utilizzato uno schema che prende ilnome di leapfrog scheme, in cui le componenti di E e di H sono centrate anchetemporalmente. Tutte le valutazioni del campo elettrico nello spazio sono ottenute ememorizzate ad un particolare istante facendo uso delle valutazioni del campo magneticoregistrate all’istante precedente, e viceversa.

Introduciamo una notazione opportuna per la descrizione dell’evoluzione temporale diquesto spazio. Un punto in una regione del reticolo viene indicato per mezzo degli indici:

(i, j, k) = (i∆x, j∆y, k∆z) (12)

Dove con ∆x , ∆y e ∆z si sono indicati gli incrementi spaziali tra due punti prossimiappartenenti al reticolo nelle rispettive direzioni. Una qualsiasi funzione dello spazio puòdescriversi per un certo punto del reticolo ad un istante fissato come

u(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t) = uni,j,k (13)

Dove ∆t rappresenta l’incremento di tempo ed n un intero che funge da indice temporale.

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• • •

t = 0.5 Δt

t = Δt

t = 1.5 Δt

x = 0 x = Δx x = 2 Δx x = 3 Δx

E E E E

(i, j, k) = (i∆x, j∆y, k∆z) (12)

u(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t) = uni,j,k (13)

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(i, j, k) = (i∆x, j∆y, k∆z) (12)

u(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t) = uni,j,k (13)

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Finite-Difference Time-Domain MethodAccuratezza e Courant Factor

Per limitare gli effetti di dispersione e migliorare l’accuratezza dell’algoritmo è opportunoscegliere δ sufficiente inferiore delle lunghezze d’onda λ radiazione incidente; è giàsufficiente una δ ∼ λ

20 .La stabilità numerica per l’algoritmo di Yee richiede che sia determinato un limitesuperiore per l’intervallo di tempo ∆t , determinato dagli incrementi spaziali δ, che sia inaccordo con la condizione di stabilità di Courant-Friedrich-Levy. Tale condizione nel casotridimensionale è data da:

∆t < ∆tmax =1

1∆x2 + 1

∆y2 + 1∆z2

In molte implementazioni del metodo, per semplificare la definizione dell’intervallotemporale, si introduce il fattore di Courant S:

∆t = Sδ (15)

Per tale fattore si può assumere un qualsiasi valore reale che realizzi la condizioneS <

nmin√dim

, dove nmin è l’indice di rifrazione più basso presente nel sistema in studio e dimil numero di dimensioni del sistema.

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FDTD e implementazione in MeepImplementazione: materiali

Il metodo FDTD si presta naturalmente ad implementare tre principali descrizioni permateriali: il rilassamento di Debye, la risonanza di Lorentz e il modello di Drude.I materiali di Debye sono caratterizzati da una funzione ε(ω) a valori complessi che hauno o più poli a frequenze diverse. La descrizione di Lorentz prevede invece una funzioneε(ω) a valori complessi che ha una o più coppie di poli coniugati. Spesso però tali modellisono validi solo in taluni casi limite e pertanto possono essere fonti di errori nellesimulazioni. É opportuno determinare per ogni materiale, a partire dai risultatisperimentali, una descrizione ad-hoc che tenga spesso conto di più di un modello.

Per l’oro si dimostra che la migliore descrizione FDTD è quella che fa uso del modello diDrude-Lorentz, ovvero il modello di Drude cui vengono aggiunti diversi termini oscillatori diLorentz:

∆εΩ2i (Lorentz)

(Ω2i (Lorentz)

− ω2)− iγiω(16)

I valori da assegnare nelle simulazioni FDTD ai diversi parametri vengono determinatiattraverso una opportuna funzione di fitness. L’utilizzo di memoria aumenta linearmentecon il numero di termini utilizzati e pertanto spesso si suggerisce l’utilizzo di un solotermine di Lorentz, attraverso il quale è comunque possibile non solo rappresentaremeglio il caso analitico, ma ridurre in modo drastico l’errore nella rappresentazione dellapermettività.

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∆εΩ2i (Lorentz)

(Ω2i (Lorentz)

− ω2)− iγiω(16)

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(Ω2i (Lorentz)

− ω2)− iγiω(16)

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∆εΩ2i (Lorentz)

(Ω2i (Lorentz)

− ω2)− iγiω(16)

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au nanorings - plasmonic resonances simulations

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