Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae, Tomus 34 (2--3) , pp. 161--177 (1973)

ASPEKTE UND A N W E N D U N G E N DER PAARKORRELATIONEN IN DER PHYSIK DER VIELTEILCHENSYSTEME UNTER BESONDERER BER• DER VERH~LTNISSE IN

FL• UND PLASMEN, TEIL II ZEITABH~,NGIGE PAARKORRELATIONEN

Von

J•162 W. WEIL INSTITUT F• THEORETISCHE PHYSIK, UNIVERSIT~T INNSBRUCK

INNSBRUCK, 0STERREICH*

(Eingegangen: 4. II. 1972)

Im vorliegenden Teil werden zeitabhiingige Paarkorrelationsfunktionen ira Sinne ron van Hove und Sunakawa diskutiert. Alle betrachteten Anwendungen stammen aus dem Bereich der Plasmaphysik. Auf Grund des Zusammenhanges zwischen zeitabh~ingigen Paar- korrelationsfunktionen und der Streuung ron iangsamen Neutronen ergeben sich Aufschlª ª das Neutronen-Strcuverhalten von einem Plasma in einem homogenen Magnetfeld, einem Elektronen-Ionen-Plasma mit Ionenschallschwingungen und einem Ionensystem, das in einer elektromagnetischen Welle schwingt.

I n vorl iegendem Teil I I dieser Arbei t sollen Aspekte der zeitabh~ingigen

Paarkorre la t ionsfunkt ionen behandel t werden. Die vorgef ª Anwendun- gen s t ammen zur Giinze aus dem Bereich der P lasmaphysik , u. zw. werden

wir uns im ersten Beispiel mit einem Plasma in einem homogenen Magnetfeld

besch~iftigen und auf Grund seiner zeitabh/ingigen Paarkor rc la t ionsfunkt ion

Aufschlª ª sein Neut ronen-St reuverha l ten erhalten. Das zweite Beispiel

wird ein E lek t ronen- Ionen-P lasma mit Ionenschal lschwingungen darstellen,

w/ihrend wir in der dr i t ten Anwendung ein in einer e lekt romagnet ischen Welle schwingendes Ionensys tem betrachten. Gerade die Verschiedenheit der unter-

suchten Situat ionen weist auf die universelle Bedeutung und Verwendbarke i t

der zeitabh~ingigen Paarkorre la t ionsfunkt ionen hin.

1. Grundlegende Betrachtungen

VAN HOu [1] f ª 1954 als Veral lgemeinerung der zeitunabhiingi-

gen Paarkorre la t ion - die nur einen zeitlichen Mittelwart darstel l t -- eine

zeitabhiingige Paarkorre la t ionsfunkt ion G(~, t) ein, die uns die Wahrscheinl ich-

keit dafª angibt, dass sich im Volumen d7 um ~ zum Zei tpunkt t ein Teilchen

befindet, wenn zur Zeit t = 0 ein solches im Ursprung 7 --~ 0 vo rhanden ist.

* Gegenw/irtige Adresse: IAEA, A--1010 Wien, Kiirntner Ring 11, 0sterreich

.,4eta Physiea Academiae Scientiarum Hungarieae 34, 1973

162 JORGEN W. WEIL

Diese Funktion stellt somit eine natª Verallgemeinerung des in Teil I zugrundegelegten g(2)(r) dar; interessanterweise betrachtet man keine h6heren Glieder einer zeitabh~ngigen Hierarchie, sondern begnª sich mit G(F, t) ~-~

G(2)(F, t). Jedenfalls sind uns keine diesbezª Arbeiten zu Gesicht ge- kommen.

Die zeitabh/ingige Funktion G(~,t) ist insbesondere zur Beschreibung von Streuversuchen mit langsamen Neutronen geeignet, da bei diesen Ver- suchen das gestreute Neutron noch Zeit hat, die Reaktion des streuenden Viel- teilchensystems zu "erleben" und somit der zeitliche Verlauf in dieser Reak- tion ron Wichtigkeit ist. Zum Unterschied davon ist das zeitunabh~ingige g(~) fª die Beschreibung von R~intgen- oder Elektronenstreuung vorzuziehen, da hier bloss ein zeitlich gemitteltes Verhalten relevant eingeht.

Der Zusammenhang zwischen zeitunabh~ingiger Paarkorrelationsfunktion g(7) und dem differentiellen Wirkungsquerschnitt ist durch G1. (7)aus Teil I gegeben:

da ~ { 1 + f e~b'T g(-Od~ I , (1) d~o

wo wir gleieh auf ~ # 0 spezialisiert haben (~ ist die Impulsª Analog sieht der Zusammenhang zwisehen doppelt differentiellem Streuquer- sehnitt (pro l~aumwinke]- und Ertergieeinheit) und der zeitabh~ingigen Paar- korrelationsfunktion aus [21 (~5 ist die Energieiinderung bei der Streuung)*.

d2a -- f e,CQ . r - St) G(?,t) d'~ dt . (2) do~d~

Der Ausdruck (1) ist dabei dem statischen Strukturfaktor S(~)), der doppeh differentielle Streuquerschnitt (2) hingegen dem dynamischen Struktur- faktor S(~),~) proportional [21.

Die Form fª den AusdrUck (2), ron der wir auszugehen haben, -- in der ersten Bornschen N~iherung lautet:

a2a[m}2 X py ~ dt ei?otl ~ , ~ ~ ei~.r~~(o)/¡ e_iQ-r)(t)l¡187

Pi J 2Jrlt ~,~ (3)

Diese Form -- aus [3] -- beschreibt die Streuung ron langsamen Neutronen- ah N identischen Streuzentren. m bedeutet die Masse, Pi den Anfangs-, PI den Endimpuls des Neutrons, {)~-- f i l - /£ Das Wechselwirkungspotential

* d . h . es gilt t5 ~ el-- e i.

.4eta Physica Aeaderaiae Scientiartsrn Hungaricae 34, 1973

ASPEKTE UND ANWENDUNGEN D E R P A A R K O R R E L A T I O N E N . . . , T E I L I I 1fi3

ist durr = . ~ V(~ n - - L ) gegeben, worin ?n den Ortsvektor des Neutrons

und ?~ den der Streuzentren bezeiehnet (dabei handelt es sich um Opera toren , da wir uns ira Bild der ersten Quantisierung bewegen); ?~(t) ist dabei ein Heisen- bergoperator:

wo H A der Hamil tonoperator des streuenden Systems ist, und ~ . . . � 8 7 einen quantentheoret ischen Operatoren bedeutet :

thermischen Mittelwert ª die eingeschlossenen

~ . . . � 8 7 S p (e-#Ha...)

Sp (~-~n~,)

Ira Hinblick auf die Anwendungen wird Vielfachstreuung eines einzelnen Neutrons anzunehmen sein, d.h. wir werden mit S~~AKXWA [3] folgenden ver- allgemeinernden • durchfª

1 v(~~) -~ t(~3 = v f f . ) + v f f . ) t(~3, (4)

wo H n der Hamiltonoperator des freien Neutrons und �91 eine kleine Griisse ist. Die durch (4) verallgemeinerte Formel (3) kann offenbar wie folgt ge-

schrieben werden:

W O

und

d~,~ = N I<Pfl t(ei) IP~>I Pz S" (~, ~), dm d~ ~ Pi

(3~)

J 2:rk J (5)

G n (~, t) = ~ ~ ' f d a ~' ~ �91 + ~~ (0)-- ~') �91 -- ~~ (t)) � 8 7 (6) N ~,~ J

wo G/4 die ron Van Hove eingefª Paarkorrelat ionsfunktion und S H ihre Fouriertransformierte -- eben der genannte Strukturfaktor -- ist (siehe dazu etwa [4]).

G H ist in folgender Weise aufzuspalten:

G n (~, t) ---= Gs~elbst) (~, t) + G~istlnkt) (?, t) (7) mit

GV (?, t) = �9 d3 ~' ~b(? + ~~ (0) - ~') �91 -- ~~ (t)) �87 (8)

und

G~ (?, t) = ~ ~ ' ( d 3 ~' ~ �91 +?~(0) -- $') �91 -- ?p(t)) ~>. (9)

4 Acta Physica Aeademiae Scientiarum Htsngarieae 34, 1973

1 6 4 J • W. WEIL

Nur im klassischen Fall, wo sich die Posi t ionsopera toren auf c-Zahlen redu- zieren, sind diese Funkt ionen nicht komplex und k6nnen einfach in terpre t ier t werden [1]. In diesem Fall k6nnen auch die In tegra t ionen ausgefª werden:

mit

und

Gk,~~s(?,t) = Gk,~ss,s(?,t) + Gklass,d(~, t)

1 Gk;ass's(?'t) -- N "~' <~ ~ (? + ?~(0) -- ?,,(t)) �87 (9a)

ti

Gkfass,d(?,t) -- 1

. ~ ~ ~ (~ + ?~(0) - - ?a(t)) �87 (9b) N ~#p

WO ~ . . . � 8 7 einen klass ischen thermischen Mit te lwer t bedeute t . Es ist die Leistung SUr~AKAWAS und seiner Mitarbei ter [5], auch f ª

den quantentheore t i schen Fall nur von der Differenz der Posi t ionsopera toren abhiingige, reelle und positiv.e Paarkorre la t ionen

und

1 Gsu.,s(?,t ) -- ~ (~ ~.(0) -- ~ " ~ + ?.(t)) �87 (9c)

N

1 .~ ' ~ ~ (~ + ~~(0) -- ?~(t)) �87 (9d) Gsu"'d(~'t)-- N ~#~

in einem St ruktur fak tor

s ( O , ~ ) = f d3~e-i~.;/̂ f dt 2s&

ei[ �91 +/(t)l/~Csun,s(?,t) -}- e-~�91191 ) (5a)

einzufª Hier ist f ( t ) eine c-Zahl-Funktion. Der n~ichste Schrit t bes teh t nun darin, Gd(?,t ), die das Verhal ten zweier Teilchen zueinander beschreibende Paarkorrela t ionsfunkt ion, auf Gs(?, t), die auf ein u n d dasselbe Teilchen be- zª Selbstkorrelat ionsfunktion, zurª252 Dies gelingt dadurch, dass der thermische Mit te lwert gewisser Opera to rprodukte gleich dem Pro- dukt der thermischen Mit te lwerte dieser Operatoren gesetzt wird (Vineyard- oder Fa l tungsapproximat ion) . Dami t erhalten wir

oder

- i Q ' r / l ~ i (~twf( t ) ) /~ : , r~ s ( 4 , ,~) = d~ ~ ~ e , - ar , t) (5b)

s (4 , o~) = d~ ~ e : 2~~ e

Acta Physiea Academiae Scientiarum Hungarieae 34, 1973

ASPEKTE UND ANWENDUNGEN DER PAARKORRELATIONEN..., TEIL II 165

da nach (5)

f ( t ) - - 1 1 [(~-~~(0), (~'~~(t)], i~ 2

d. h. fª Systeme r o n Atomen, die nur der Translat ion, Rotat ion und Schwin- gung unterworfen sind, ist f ( t ) durch einen K o m m u t a t o r , der eine c-Zahl ist, gegeben.

F ª klassische Systeme wird nun der K o m m u t a t o r durch eine Poisson- k lammer ersetzt:

[Q �9 r~(0), ~)- ?a(t)]/i h--~ (Q_ " ~~(0), ~) �9 ~~(t)}k,ass

sodass fª den Streuquerschni t t gilt:

"WO

d 3 o _ N a 2 IPfZ Sklass ((~, (5), (3b) d~o dc~ IPil

f OrJ. f dt i(~t+~ {Q'rr Sklass ( 0 , (~) ---:- d3 ~ e - - e Gklass s (Sal )

2 ~~

a ist hier die Streul~inge, von der man zeigen kann, dass sie f ª das Matrix- element (m/2:th2)<fij l t(e)i~~> eintreten kann [41.

Wir wenden uns nun unserer ersten Anwendung zu -- dem Neutronen- Streuverhal ten eines in einem homogenen Magnetfeld korffinierten Plasmas. Dazu werden wir den die klassische Selbstkorrelat ionsfunktion voto zeitab- h~ingigen Typus enthal tenden Su~AKAWA-Strukturfaktor der eben abgeleiteten Art zu verwenden haben.

2. Streuung an einem konfinierten Plasma

Neutronenst reuung wird sich nur in ganz speziell gª gelagerten F/illen als diagnostisches I n s t r u m e n t in der Plasmaphysik einsetzen lassen; insbesondere ist die r o n uns anvisierte Theorie der Vielfachneutronenstreuung ah schweren Kernen wohl nur geeignet, Streuung an nicht zu heissen Plasmen aus schweren Kernen zu beschreiben. Zu diesem Zwecke bieteu sich die Modell- plasmen an, wie sie vielenorts, darunter auch in Garching bei Mª ver- wendet werden. So verwendet der Oktupol Wendelstein V in Garching C~isium- Plasma (A = 133) und Kal ium-Plasma (A = 39), der toroidale SteUarator Wendelstein I I a Bar ium-Plasma (A = 137) [6]. Dabei wird etwa im Wendel- stein V das Plasma durch Kontak t ion isa t ion r o n C~isiumdampf durch eine auf 2500 ~ erhitzte Wolframspirale erzeugt, d.h. das Plasma wird Tempera turen

4* Acta Physica Academiae Sr Hungaricae 34, 1973

166 J • W. WEIL

ron der GrSssenordnung von wenigen tausenden Grad Kelvin aufweisen (nach einer Sekunde ist die Spirale ron 2500 ~ auf 2300 ~ abgekª [7].

Noch ein Wort zur Verwendung ron Neutronen: Obwohl sich, der De- finition eines Plasmas entsprechend, die Plasmadiagnostik in erster Linie auf die Erforschung der elektrischen und magnetischen Eigenschaften eines Plasmas erstreckt und daher die Verwendung von langsamen Neutronen zur Plasmadiagnostik denkbar ungeeignet erscheinen sollte, sind es doch die rein kinematischen Aspekte der Plasma-Teilchenbewegung, die einer Analyse durch gestreute Neutronen zug~inglich sein sollten.

In diesem Sinne wollen wir den folgenden hochidealisierten Fall betrach- ten. Ein Plasma liege in einem Magnetfeld in x-Richtung, zus~itzlich m6ge es in der x-Richtung elektrostatische Ionenschwingungen aufweisen, mit der zugehSrigen Plasmafrequenz

V 4zte 2

M

wo Q die Dichte und M die Ionenmasse ist (die Elektronenbewegung ist zu vernachliissigen, da sie durch Neutronenstreuung natª nicht erfassbar ist).

I n diesem Fall haben wir also die Bewegungsleichungen:

x~(t) = x~ cos COp t + P~x sin co v t , Mo~p

ya(t) = y~ cos co L t -k- p'y sin o~ L t , (10) Mo~ L

W O

z, (t) = z, cos a~L t + P,x sin o~ L t , M(~ L

I

eB CO L

Me

mit B als der St~irke des Magnetfelds die Larmorfrequenz ist. Mit diesen Bewegungsgleichungen lautet die klassische Selbstkorrelationsfunktion wie folgt:

Gklass,s(~,t) =

1

N 7

N ~'f~~ ~ ~ x - { - x ~ ( 1 - - cos c%t) P~x sin c%t / �9 (9d) Mo~p !

,.4r Physir Academiae Scientiarum Hungaricae 34, 1973

A S P E K T E U N D A N W E N D U N G E N D E R P A A R K O R R E L A T I O N E N . . . . T E I L I I 167

W O

�9 ~ (y -[- y~ (1 --cos 09 0 P~Y sin o~t). Mo9 L

�9 6 ( z q - z ~ { 1 - cosogt) P~z sin0~Ltl�87 ' MOgL ]

f a~ f a~ e - fl H.~ .

" ~ " �9 " > ~ ' k l a s s =

ein klassiseher thermiseher Mittelwert ist. Mit den Abkª

61~t~(x-~-x~(l--cosogpt) P~x sinOgpt}, M O) p

6 o ~ ~ { y q-y~(1--coscot) MmP~'Y sincot},

03~t~(Z_~_Z~(I__coSOgLt)__, M~ sinC0Lt) '

lautet Gklass,s in unserem Fall:

1 Gk,ass,s(Lt) = ---�9

Mit Hilfe der Formeln

�9 ( 9e )

u n d

(~(x) =f~~e -ikx dk

sind die Integrationen in (9e) leicht auszufª und wir erhalten:

~~~ss(~t,= V 2~ 2~ V/2~~/.~ ' 1 -- cos cop t 1 -- cos co L t ti3

_x2_flMo~~ ] e x p ( _ (y2 _~z2)Mflog~L �9 exp I--4(1--cosCOpt)l 4 ( 1 - cosogLt ) ) '

(9f)

.,4cia Physica .,4cademiae Scientiarum Hungaricae 34, 1973

1 C ~ J I ~ R G E N W, W E I L

Die Poissonkiammer (Qr ~ pr):

(SU SV ~.,v~ = 2r g r

Ou Ov .} OPr Oqr

hat in unserem Falle die Gestalt:

(~ . ~~ (0), p . ?~ (t)} -- p~ Mo) p (Py "@ Pz) Mo)c

sincopt~- z . ~ sino~ Lt

sodass wir fª den Strukturfaktor erhalten (~ ~ (~):

Sk~,~~,, (q - - p, ~) =

2M .sin mp t 2M

V 2z~ 2n V (2zt2 M)3 -1 cosco~t 1 - - c o s t a Lt fla

f da? "e-~V';'/~exp[ - 4(1- - cos mp t) } "

4(1 - cos o~r.t)

r �9 ,

CO L t

(50

Dafª k6nnen wir auch schreiben:

( - p~ 1 } Skxass, s (p, c5) = exp fl Mtt2 a)~ (P~' @ pzz) flMtt 2-~L "

" f -2zt---~dt exp {i(5 t~_ -4-f~ cos(o~p t q- ~) q-

-~fz cos(o) L t q- ti') q-f3 cos (o~ L t -4- fl ' )] , /

wobei wir gesetzt haben:

(50

Mttwp (fl~cop) 2 4 t~o~ flMlt2m~ 8M

P~ II 1 1 .-.~ P~ flP~ V Mlto~L (flho~L) ~ 4 ~----o ~Mtt~o~~ 8M

.,lela -Physir Academiae Seientiarum Hungarieae 34, 1975

ASPEKTE UND ANWENDUNGEN DER P A A R K O R R E L A T I O N E N . . . , T E I L I I 16~

und

A= MttcoL V '(fl~coL) 2 4 ~~~0 flM~~co~ 8M

t a n ~ = - - i flhcov , t a n f i ' = fl/tcoz 2 2

Mit Hilfe der Entwicklung

exp[x cos(cort + ~)1 = ._~ I.(x) exp[in(coLt + ~)],

wo 1,, modifizierte Besselfunktionen mit imagin~irem Argument sind, kann man den Strukturfaktor auch in folgender Form schreiben:

Sk,as,., (p, tS) = exp ( P~ (py 2 1 ) fl M ~t2 co~ fl Mtt2 co ~L

2~ 2 exp .(n'+ n") exp n]~//cop ...,.-=__ 2

= cxp ( P~ ~ I

-exp -- - - . ~ �91 2~1~ /1,tl' p/1 o

expfl (1 4n2--1 V.2~~f 1 2fl ) expf2 (1 4n2- -11 .

V2~ff2 2f2 ]

expfs [1 4n2-- 1 V 2-ffff3 2f3 }--

1 exp /~ eq- .,~ -- 2~ - - 2 ~ .,n',."

�91 (e+ n~cop +(n'+ n") coL) �9

1 {1 4n~--I [1 4n2--1 (1 4n2--1 }'8~rsf~f2f3 2f~ ) 2f2 } 2fa }"

(5g)

Zur Interpretation wiire Folgendes zu sagen: Wir haben hier einen Zusammenhang zwischen den Bewegungsgleichun-

gen der Ionen eines ganz einfachen Plasmamodelles und dem Streuquerschnitt langsamer Neutronen erhalten; er ist insofern vernª als er dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichtes (principle of detailed balance)

s ( - ~) = ~~" s(~)

Acla Physica Academiae Scientiarum Hungarir 34, 1973

170 J O B . G E N W . W E I L

genª und , obwohl das be t r ach t e t e P lasma klassisch beschrieben wird, ein - - na t ª ansonsten auch dem u r o n 1~ zu erkennendes -- Quanten- ve rha l t en impliziert wird: die De l t a funk t ion bewirkt , dass Energieª nu r in Vielfachen r o n gcop und ]~co L auf t re ten, wobei die elastische S t reuung (s = 0) das Erfª v o n

nho~p + (n' "4- n~)hc% -=- 0

zur Bedingung hat , d. h. eine Kopplung von Ionenoszil lat ions- und Larmoref - fekten zur elastischen S t reuung beitriigt.*

3. Neut ronens t reuung in e inem Plasma mi t Ionen- $chal lsehwingungen

Als zweites Beispiel be t r ach t en wir ein E lek t ronen- Ionen-P lasma m i t T i ~ Te; sowohl die Geschwindigkei tsver te i lung der Ionen als auch die der E lek t ronen werde als eine maxwellsche vorausgesetz t . Wenn wir uns a u f Schwingungen mi t o) ~ kvTe beschr~inken, s o e rha l ten wir folgendš Disper- s ionsbeziehung [8]:

~o=1+ 1 [1+ ir i k~--~~~ ~ ~ ~ / + k~d----~. ~ [~+~r

W O

und

= o , ( n }

V" Te (Ionen- u n d Elek t ronen- d i = 4Ÿ 0 T i , d e = 4:t-~n0 Debyeradien)

X = " V ( -- X i 2 T i W(x) = e 1 + 2 i ~Xe t" dtl

[klvT. i vrJ = , ' m i r )

Aus (11) folgt, dass die dadurch beschr iebenen Schwingungen nur dann n i ch t s tark gedi impft sind, wenn gih

o)q �87 vT~ . (12}

* Das verwendete Potential ist natª insofern unrealistisch, als es nicht in der Lage ist, etwa radiative capture auszudrª auch Kernspaltung oder u sind nicht enthalten, kommen aber bei unseren Bedingungen auch kaum in Frage.

Die Verallgemeinerbarkeit der hier dargelegten Gedankengiinge steht zu hoffen; ge- nauso, wie hier zwischen einem Plasmamodell der einfachsten Art und dem doppelt differentiel- len Streuquersehnitt ein Zusammenhang erarbeitet wurde, sollte ganz angemein aus experi- mentell aufgenommenen Neutronenstreuquerschnitten (die natiirlich nur bei energetisch genau ausgewiihlten Plasmatypen miiglich sind) ein Rª auf Plasmastruktur, Kraftlinienver- lauf etc. gezogen werden k6nnen.

~4cta Physica Academiae Scientiarum Hungar i t a , 38, 1973

& S P E K T E U N D A N W E N D U N G E N D E R P A A R K O R R E L A T I O N E N . . . . T E I L I I 171

Der Reaheil der Frequenz ist gegeben durch:

mit

und

• 3T i k 2 I 1 - - c~ 1 + = 0 Re So(O~k) = 1 -4- k2 de ~ ~ 2 mi r 2 ]

04 - 04, 1

1+ k2d~

2 = 4~noe2/mi O.) pi

(13)

d. h. der Plasmafrequenz fª die Ionen; m i ist die Io-enmasse. Bedingung (12) ist offenbar erfª wenn gih:

Ti/Te -4- k2d 2 ~ 1 , (12a)

d . h . die betrachteten schwach gediimpften Schwingungen sind nur im hoch nichtisothermen PlaSma (T i ~ Te) m6glich und dª ausserdem nicht zu kurzwellig imVergleich mit dem Ionen-Debyeradius sein: (kdi) z ~ 1. tt insicht- lich des Elektro-en-Debyeradiusses hingege- ist sowohl (kde)Z.~ 1 als auch (kde) 2 �87 1 mit den Schwingungen vertriiglich. Fª den ersteren Fall folgt aus (13) ( 3T'I oJ2 -- k2miTe 1-4- --~--t / (13a)

fª den letzteren aber

2 co~i(1 ~- 3kMŸ O) k (13b)

Die Schwingungen des ersteren Falles heissen wegen des linearen Dispersions- gesetzes, co N k, Ionen-Schallschwingungen; wie die gew6hnlichen Schall- schwingungen haben sie eine Phasengeschwindigkeit , die r o n der Frequenz unabh~ingig ist. Ira zweiten Fall sprechen wir r on Ionen-Langmuir-Schwin- gungen.

Wir interessieren uns hier fª den Fall der Ionen-Langmuir-Schwingunge- als Verallgemeinerung der im Beispiel I betrachteten elektrostatischen Schwin- gungert auf k ~s 0. Damit erhalten wir fª die klassische Selbstkorrelations- funktion vom Sur~xKXwx-Typus:

= " X

1 -- cos o~ k t ~6 a

I x2/~M (c~ d--- cos3(~~icok k 2) d~)) • exp -- 4(1 t" '

(gg)

Ar Physica Academiae Scientiarum tlungaricae 34, 1973

172 J • w . W E I L

oder, fª spezielle Werte der Zeit (mit cos wkt = 0)

gen~ihert:

(2nA-1):r t-- , n = 0 , 1 , 2 . . . 2ok

-x'~M Gklass,S (~, (2n2e%-4-1)~t) = (e 4 (1--3.~eflMk2d~/4)}~;' , (9h)

welcher Forro wir sehr einleuchtend deu Niiherungscharakter zu der rein sta- tischen Ionenschwingung ansehen.

Damit erhalten wir fª den Strukturfaktor:

( ) t ~2 ) Sklasss (p, co) = 1 exp t5 exp -- �9 ' 2~ 2 ~ Ti 8 M k s Ti

.Z ~(~ + [~ § n' + ~,,] ~~). (Sh) n,tz ' ,r /~

1 ( 1 fl )-3/" V ~--~~a [p~[-~ lpyl-i [p~[-t f lMk2~~ 8M

sodass nach (3b) fª den Streuquerschnit t gilt, wenn wir nur Energieª in Minimalbetr~igen (n + n' -~ n" = 1) berª

_ ( ( ~ z ) ) da a - - N a 2 ]P•] 1 exp 1 c5~- �9

do) d~ IPtl 2zt 2kB Ti 4 M -

V i + 3k 2 dŸ (5 0 __y ~(o~ + %~ rt~ll'~?l ~

1 { 1 fl )-a/~ V ~-~-5~3 ]p~[-~ p,[-1 ipz[-a fl Mh2 co~~ (1 + 3k 2 d~) 8M

Auch hier ist natª wieder das principLe of detailed balance erfª die Anwendbarkei t ist wiederum auf nicht zu heisse Model[plasmen beschr~inkt, doch garantiert die Fª r o n ex isti› ErzeugungsmSglichkeiten fª Langmuirwellen und der damit verknª weite Bereich ron Parametern Anwendung der oben dargelegten Theorie. Zu den Erzeugungsarten gehSren u.a. thermische Oberfl/ichenionisation, hochfrequente Ent ladungen und Elektronenstr5me [9].

Bei der t terleitung ron (5h) wurde angenommen, dass einzig und allein die Tempera tur des Ionengases (und nicht die des Elektronengases) in das fl = l q eingeht, wiihrend die Elekt ronentemperatur fª w k genauso bestim- mend bleibt wie die Ionentemperatur . Feraer wurde der Einfluss des D/im- pfungsdekrements [8] nicht berª

Acta Physir .4cademiae Sticntiarum Hungaricae 34, 1973

ASPEKTE UND ANWENDUNGEN DER PAARKORRELAT1ONEN . . . . T E I L I I 173

4. Neutronens t reuung von einem [onensystem in einer elektromagnet ischen Welle

Wir be t r ach ten eine e lekt romagnet ische Welle, deren F e l d k o m p o n e n t e a durch

Ex = E 0 sin (o~t - - k z ) , (14) B y = ( E o / k ) sin(tot -- kz )

gegeben seie~ [10]. Die Bewegungsgleiehungen geladener Tei lchen, also aueh Ionen, in diesem Feld sind somit:

( +/ ~i - - e E ~ 1 -- sin (tot -~ kz ) , m

Unte r der Zusa tzannahme

k~innen wir schreiben:

e E o k sin (o~t - k z ) .

m c

k z ~ o~t

�91 z d t ~ tot, - - . ~ 1 .

r

(15)

Dami t vere infachen sich die Bewegungsgleichungen zu

=- ~c sin tot, e E o : - - (15a)

= t~x sin t o t , m C

Doppel te In t eg ra t ion beider Gleichungen und Subs t i tu t ion f ª ~r in (15b) f ª auf

.... t~c . x( t ) - - sin o~t + ~o t ~- x 0 ,

O) 2

(16)

z ( t ) - - a2e s in2cot- - aXo s i n ~ o t + � 9 1 t + z o. 8 0) 3 r '~

Unte r Zugrurtdelegung des Zusammenhartges (3b) sowie des Ausdruckes (5d) f ª den S t r uk tu r f ak to r wollen wir nun auch hier eirten Zusammenhang zwischen Bewegungsgleichungen und S t reuquerschni t t erhalten.

Zu diesem Zweck vergeger~w~irtigen wir uns die Form der Te i lchenbahnen wie sie durch (15d, e) beschriebert werden. Es handel t sich dabei um A_chter- schleifen, wie sie in Fig. 1 gezeigt werden, d. h. also um eine zweidimensionale, Bewegung.

Um dennoch eine (9d) entsprechende dreidimensionale F o r m zu erzielen f ª wir eine Del ta funk t ion in y als F a k t o r hinzu (x, y, z > 0):

G , .x ~(Y) 6(2-dim.) (~ _~ -fa(t))" ~ ' f d f i ~ d ~ o e - ~ n ~~(0) -- {9e) klass.s(X, Y , Z, t) ~ - N - - 7 . 1

.Acta Physica Academiae Scientiarum Hungarieae 34, 1973

174 J • W. WEIL

~~ Z

Fig. 1. Achterbahn nach Gleichungen (15d, e)

D ie H a m i l t o n f u n k t i o n d e r I o n e n s i eh t aus wie f o l g t :

-= ~mi/' e~)~ ~~ 1 eE o + Px cos (tot -- kz) + e2 E~ - - cos 2 (tot - - k z ) , 2m m co 2meo 2

w o A d a s V e k t o r p o t e n t i a l des e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Felc les m i t

i s t . D a s P r o d u k t d e r D e l t a f u n k t i o n e n in (9e) e r g i b t s i eh a u f G r u n d de r A u s -

d r i i e k e (16) zu"

ge ~(y) 0 (x + sin tot - - i o J ) "

l p 2

[ a2c axo �9 ~ z - - s in 2wt -4- s in o~t - - $o~t) =

8a~3 o~2

( "c sin~ p~t § eE~ I . . . . cos (tot - - kz) �9 - - ~ ( y ) 6 x -~ co 2 m meo

. d (z __ g2___C_C sin 2mt q_ aPx s i n w t geE~ sin ~ t cos (o~t -- kz) -- - ~ t I 8o) 3 mo) 2 mofl

wo w i r

_ e 2 = m~o r

also e E o c

p~ - - - - �9 cos (o~t -- kz) m~o, Pz = mZo, C CO

Acta Physiea Acadr Sr Hungaricae 34, 1973

ASPEKTE UND ANWENDUNGEN DER PAARKORRELATIONEN . . . . TEIL I I 175

berª haben. Dami t sieht der Ausdruck fª die klassisehe Selbstkor- relat ionsfunktion wie folgt aus:

�91 ~ { f dp~xdp~zdxodzo " Gkla~s,s (x, y , z, t) -= N

, e

"�91 [ x + t~ct0 2 sin cot P=xtm + eE~ cos (tot kz)}

( a 3 c ~p~,~ �9 ~ z - - - - sin 2r + sin tot -- (gf)

80 ) 3 mo.) 2

~emofl E~ sin tot cos (o~t -- kz) -- P=Zm t ) �9

-(#/2m) (p~=+p~=+ 2eEo= V . . . . (~t-kz)~/ " l / f dp=x dp=z e

PE", cos,(ojt_kz) - (/~/2m) T ]

�9 e dx o dz ol .

E s scheint klar, dass geeignete Approximat ionen zu machen sind, wenn ir- gendwelehe Aus'sichten bestehen sollen, diesen Ausdruck zu berechnen. Zu diesem Zwecke vernachl~issigen wir alle Terme, die nichtl inear in ~ und E o ~ind (• Eo, a �9 E) und erhalten, wenn wir berª dass die In tegra t ion 4iber x o und z o in Z/ihler und Nenner sich aufhebt :

Gklass, s (x, y , z, t) =

�91 ~-~m~ p&''t-pa, + ~ P=

�91 l x+ ac sin~ ,~xt -+- eE~ ) �9 - - cos (cot ~ kz) �9 ~o3 m mm

�9 �91 ap~,Xmco 2 sin ~ot -- p=zt)

�9 1/fap=xdp=z e 2~(Pl=+P;=+2eE""-2*lP='lc~176 .__tot

(9g)

oder nach Ausfª der Integratiort ª P,~z unter Verwendung von

(ax) = a-~ ~ (~)

Acta Physir Academiae Scientiarum Hungarieae 34, 1973

1 7 6 J I ~ R G E N W . W E I L

e rhahen wir:

Gklass,s (x ,y , z, t) =

�91 ~ ,'

2m t'to' .~-'tot tiC sin(ot -- - - - - -4- e o s ( m t - k z ) , �9 e (~ x + to 2 m m~o

wo N den (heraushebbaren) Nenne r des Ausdruckes bedeu te t . D u r c h f ª der I n t e g r a t i o n ª p~~ liefert (wobei der Ausd ruck m i t a 2 wiederum wegge- lassen wird):

Gklass,s (x , y , z , t) =

m 2 ~mz ' ~ ~ x ' m ' + ( , ' c ' m ' , eml~: co*' t to t -kz)~ - - 1~ b ( y ) e 2tn e 2 ~ \ - i i - - ~ , i ~ o,t + to, , /

N t 2

�9 e f l _ m l 2xacm t . 2xme E , cos (tot - k z ) ) ~ ~ Aro tot +

#m ~ ~ , [ 2acmeE, ( t o t - k z ) ) ~ ~ s i n tot cos 2

�9 e

l - m ( 2 z m a x m 2zm'a" 2zmaeE. ) t,to a t , w ~ s in 2 w t -- f t w 7 sin tot c o l (cM--kz)

�9 e

wobei ve rwende t wurde, dass alle ~ den gleichen Bei t rag l iefern und daher du rch N mal denselben W e r t erse tz t werden k6nrten.

Wir vernaehl/ issigen w iede rum in ti und E 0 n ich t l ineare Te rme und be- k o m m e n so:

~ITIZ l ff X 11771 1 m 2 2t ~ 2 m t 2

v~,~~,~ ( ~ , y , z , t) = ~ - - ~ ( y ) ~ e ' N t 2

�9 e - ~ \ - ~ i ~ i - - ~ , /

" e

(9i)

F ª grosse Zeiten t wollen wir den le tz ten Te rm exp (c/t3), unte r Beach tung r o n k z ~ o)t, etwa gleich eins setzen; un te r dieser Vorausse tzung haben wir einen rech t ve rn ª Aus d ruck erzieit. F ª t -~ 0o, geht er gegen Null , desgleichen f ª ~--~ oo, das oszil latorische Verha l t en en tspr ich t durch den cos-Term dem einer in z -Rich tung fo r tbewegten Welle.

W i r schrei ten zur B e s t i m m u n g des S t reuquerschni t t es weiter . Die Po issor ,k lammer lau te t in diesem Fa lh

1-~{1£ l ~ t -~ - (p~4 -p2z ) + 1 P x P ~ ~ s i n o ) t , 2 2 m 2 092 m

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ASPEKTE UND ANWENDUNGE?q DER PAARKORRELATIONEN. . . , TEIL II 177

sodas s w i r f ª d e n S t r e u q u e r s c h n i t t h a b e n :

d 2 a _ N~t3 lP11 ~ d x d e i ~ (PzX"k Pwy)

dQd~ ~ ~ . ) Y

�9 t+ ~ (p2+p2)+ .2 oJ m / . " d t j~~ t~ / x'm" z 'm' fl ( 2xacm'

m 2 - ~ ~ ~ - - + ~ T ' - ) - - 2 m m \ ~ s i n tot + - - - - - - - e

t 2

2Z~st~~

2m �9 e

2xmeEo )) cos(~t - kz

to . .

(5j)

was n u m e r i s c h ( u n d n u r s o ) a u s z u w e r t e n w~ire. D a m i t h a b e n w i r w i e d e r u m

e inen Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n d e m s i n g l e - p a r t i c l e V e r h a h e n u n d d e m ex-

p e r i m e n t e l l ( im P r i n z i p ) zug / ing l i chen S t r e u v e r h a l t e n f ª N e u t r o n e n he rge-

s t e l l t .

I m L a u f e d e r h i e r d u r c h g e f ª U n t e r s u c h u n g e n e r g a b e n s ich z w a ngs -

1/iufig G e d a n k e n g ~ i n g e b e z ª w e i t e r e r E n t w i c k l u n g e n u n d A n w e n d u n g e n ;

i n s b e s o n d e r e w/ire d ie D a r s t e l l u n g des V e r h a l t e n s r o n t r a p p e d p a r t i c l e s ira

R a h m e n d e r n e o k l a s s i s c h e n T h e o r i e in t o r o i d a l e n P l a s m a m a s c h i n e n hf ichs t -

w a h r s c h e i n l i c h v o n g ro s sem I n t e r e s s e , d o c h so l l en d i e s b e z ª U n t e r -

s u c h u n g e n den G e g e n s t a n d sp / i t e r e r A r b e i t e n b i l d e n [12].

LITERATUR

1. L. VAN HOVE, Phys.Rev., 95, 246, 1954; dieser Artikel ist ein Klassiker seiner Richtung und hat sich bahnbrechend in der Interpretation von Neutronendaten sowie fª theo- retische Untersuchungen aller Art erwiesen.

2. J. W. WEXL, Contributions to the Sunakawa Model of Elastic Multiple Neutron Scattering, Rev. Roum. Phys., 16, 19, 1971.

31 S. SUNAKAWA, Y. FUKUI, T. NISHIGORI, Progr. Theor. Phys., 35, 228, 1966. 4. J. W. WELI, Zum Streuquerschnitt langsamer Neutronen in magnetisch konfinierten

Plasmen, Acta Phys. Austr., 33, 71, 1971. 5. S. SUNAKAWA, SH. YAMASAKI, T. NISHIGORI, Progr. Theor. Phys., 37, 1051, 1967. 6. Wortd Survey of Major Facilities in Controlled Fusion, Nuclear Fusion, Special Supplement

1970, IAEA, Vienna, 62 ff. 7. C. W. ERICKSON, G. v. GIERKE, G. GRIEGER, F. RAU, H. WOBIG, Proc. Conf. Plasma Phys-

ics, Novosibirsk, 1968, 1, 339, 1969. 8. A. B. M I H A I L O v s K Y , Teoriya plasmeunykh neustoichivostey (Theorie der Plasmainstabili-

t/iten), Vol. 1, Atomizdat, Moskau, 1970, p. 46 ff. -- Dieses Buch ist im Begriff, der Klassiker fª Plasmainstabilit~iten zu werden (siehe Besprechung von J. W. WEIL in Nuel. Fusion, 11, 396, 1971).

9. Siehe, z. B., L. PEKAREK, Ion Waves and Ionization Waves in Phenomena in Ionized Gases, Proc. 10th Int.Conf. Oxford, England, p. 365 ff. 1971.

10. Die Darstellung folgt J. G. LINHART, Plasma Physics, North Holland, Amsterdam p. 32, 1961.

11. Siehe auch J. W. WEIL, Slow-Neutron Scattering from a Particle System in ah Electro- magnetic Wave, Acta Phys. Pol., A39, 83, 1971.

12. Siehe etwa B. B. KADOMTSEV, O--P. POGUTSE, Trapped Particles in Toroidal Magnetic Systems, Nucl. Fusion, 11, 67, 1971.

Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae 34, 1973