Algoritmos e Estruturas de Dados2005/2006

rvores

2AED - 2005/06

rvores Conjunto de ns e conjunto de arestas que ligam pares de ns

Um n a raiz Com excepo da raiz, todo o n est ligado por uma aresta a 1 e 1 s

n (o pai) H um caminho nico da raiz a cada n; o tamanho do caminho para um

n o nmero de arestas a percorrer

A

B C D E

F G H I

J

Ns sem descendentes: folhas

3AED - 2005/06

rvores Ramos da rvore

rvore de N ns tem N-1 ramos Profundidade de um n

Comprimento do caminho da raiz at ao n Profundidade da raiz 0 Produndidade de um n 1 + a profundidade do seu pai

Altura de um n Comprimento do caminho do n at folha a maior profundidade

Altura de uma folha 0 Altura de um n 1 + a altura do seu filho de maior altura

Altura da rvore: altura da raiz Se existe caminho do n u para o n v

u antepassado de v v descendente de u

Tamanho de um n: nmero de descendentes

4AED - 2005/06

rvores

A

B

G

C D

E

J

F

H I

profundidade=0

profundidade=1

profundidade=2

profundidade=3

altura(A) = altura rvore = 3

altura(D) = 2

pai(G) = D

filhos(G) = { H, I, J }

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rvores binrias Uma rvore binria uma rvore em que cada n no tem mais

que dois filhos

Propriedades: Uma rvore binria no vazia com profundidade h tem no mnimo h+1,

e no mximo 2h+1-1 ns A profundidade de uma rvore com n elementos (n>0) no mnimo

log2n, e no mximo n-1 A profundidade mdia de uma rvore de n ns O(n)

6AED - 2005/06

rvores Percorrer rvores

Os elementos de uma rvore (binria) podem ser enumerados por quatro ordens diferentes. As trs primeiras definem-se recursivamente:

Pr-ordem: Primeiro a raiz, depois a sub-rvore esquerda, e finalmente a sub-rvore direita

Em-ordem: Primeiro a sub-rvore esquerda, depois a raiz, e finalmente a sub-rvore direita

Ps-ordem: Primeiro a sub-rvore esquerda, depois a sub-rvore direita, e finalmente a raiz

Por nvel: Os ns so processados por nvel (profundidade) crescente, e dentro de cada nvel, da esquerda para a direita

7AED - 2005/06

rvores Percorrer rvores - exemplo +

*

sen

j

-

a b

f

*

h

+ * - a b sen * f h jPor nvel

a b * f sen h j * - +Ps-ordem

a * b + f sen h * jEm-ordem

+ * a b sen f * h jPr-ordem

8AED - 2005/06

rvores binrias: implementao Operaes:

Criar uma rvore vazia Determinar se uma rvore est vazia Criar uma rvore a partir de duas sub-rvores Eliminar os elementos da rvore (esvaziar a rvore) Definir iteradores para percorrer a rvore Imprimir uma rvore ...

9AED - 2005/06

rvores binrias: aplicaesExpresses aritmticas

+

2

1

*

-

4

*

1 +

2 3

Expresso = 1 * ( 2 + 3 ) + ( 2 * ( 4 1 ) )

10AED - 2005/06

rvores binrias: aplicaes Construo da rvore de expresses

O algoritmo similar ao algoritmo de converso infixa->RPN mas usa duas pilhas, uma para guardar os operadores e outra para guardar sub-rvores correspondentes a sub-expresses.

O algoritmo procede da seguinte forma: Nmeros so transformados em rvores de 1 elemento e colocados na pilha

de operandos. Operadores so tratados como no programa de converso de infixa -> RPN

(usando uma pilha apenas para operadores e (). Quando um operador retirado da pilha, duas sub-rvores (operandos) so

retirados da pilha de operandos e combinados numa nova sub-rvore, que por sua vez colocada na pilha.

Quando a leitura da expresso chega ao fim, todos os operadores existentes na pilha so processados.

11AED - 2005/06

rvores binrias de pesquisa rvore binria de pesquisa

rvore binria, sem elementos repetidos, que verifica a seguinte propriedade: Para cada n, todos os valores da sub-rvore esquerda so menores, e todos os

valores da sub-rvore direita so maiores, que o valor desse n

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10 14

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rvores binrias de pesquisa Estrutura linear com elementos ordenados

A pesquisa de elementos pode ser realizada em O(log n) ... mas no insero ou remoo de elementos

Estrutura em rvore binria pode manter o tempo de acesso logartmico nas operaes de insero e

remoo de elementos rvore binria de pesquisa

mais operaes do que rvore binria bsica: pesquisar, inserir, remover objectos nos ns devem ser comparveis (Comparable)

13AED - 2005/06

rvores binrias de pesquisa Pesquisa

usa a propriedade de ordem na rvore para escolher caminho, eliminando uma sub-rvore a cada comparao

Insero como pesquisa; novo n inserido onde a pesquisa falha

Mximo e mnimo procura, escolhendo sempre a subrvore direita (mximo), ou sempre a sub-

rvore esquerda (mnimo)

Remoo N folha : apagar n N com 1 filho : filho substitui o pai N com 2 filhos: elemento substitudo pelo menor da sub-rvore direita (ou

maior da esquerda); o n deste tem no mximo 1 filho e apagado.

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