Modelagem e Simulação de um Controlador PID Analógico e

de Motor DC para Ajuste de Velocidade Paulo Roberto de Oliveira

Faculdade Anhanguera Educacional

Engenharia de Controle e Automação - 8º Semestre

Piracicaba SP

paulo.oliveira51@yahoo.com.br

Resumo: O artigo tem como objetivos desenvolver a

modelagem de um Motor DC através do equacionamento

de seus parâmetros elétricos e mecânicos, e modelar um

controlador PID analógico a partir de amplificadores

operacionais com a finalidade de controlar a velocidade do

motor. Utilizando a toolbox Simulink do Matlab foram

feitas simulações para análise das respostas do sistema em

malha aberta e malha fechada, com a proposta de

controlar a variável do processo (velocidade angular)

utilizando o PID modelado.

Palavras-chave: Motor DC. Controlador PID.

Modelagem. Matlab.

1 - Introdução

Esse artigo apresenta a modelagem do motor DC e

também a modelagem de um controlador PID, com o

objetivo de simular o controle da velocidade do motor.

Silva (2006) define de modo bem simples que o

objetivo da modelagem é determinar uma representação

matemática para um determinado sistema físico, onde tal

representação recebe o nome de modelo. O autor ainda

afirma que a modelagem é uma etapa de suma

importância, tendo em vista que o êxito do projeto

dependerá do modelo criado para o sistema.

Para a obtenção dos modelos que representaram o

sistema, devemos tomar como base as leis que regem o

mesmo, ou seja, em um sistema mecânico devemos

utilizar as leis de Newton, em sistemas elétricos as leis

de corrente e tensão de Kirchoff (FARINA, 2009).

2 - Materiais e Métodos

Nessa etapa serão apresentados os materiais e

métodos utilizados no projeto. Uma revisão bibliográfica

baseada em artigos científicos foi apresentada com o

intuito de descrever um breve conhecimento a respeito

dos materiais e das metodologias aplicadas.

2.1 – Materiais

Foram utilizados para os testes o motor DC Bosch

FPGA de 12 volts, o controlador PID analógico

desenvolvido a partir de amplificadores operacionais e

software Matlab/Simulink.

2.1.1 - Matlab/Simulink.

A modelagem do motor e do controlador PID

analógico foram simuladas no software Matlab 7.8,

utilizando a toolbox Simulink.

A primeira versão do Matlab foi escrita nas

Universidades do Novo México e Stanford, na década de

1970, e destinava-se a cursos de teoria matricial, álgebra

linear e análise numérica. Os pacotes para manipulação

de sub-rotinas em FORTRAN, denominados LINPACK

e EISPACK, foram os precursores do Matlab (ALVES,

et.al., 2007).

O Matlab é um software de alto desempenho

utilizado para cálculos numéricos, permitindo a

realização de várias aplicações tais como:

Análise numérica;

Análise de dados;

Cálculo matricial;

Processamento de sinais;

Análise de gráficos (GASPAR e SANTO, 2003).

Já o Simulink é uma extensão gráfica do Matlab

utilizado na simulação dinâmica de sistemas. A fim de

facilitar a definição do modelo, o Simulink fornece

ferramentas gráficas de edição de blocos, onde o modelo

é criado (SIMÕES, 1994).

2.1.2 - Motores DC

Motores elétricos são conversores eletromecânicos

que transformam energia elétrica em energia mecânica,

através do principio do eletromagnetismo. Os motores

elétricos são divididos em corrente alternada (AC) e

corrente contínua (DC) (RAMOS, 2005).

Figura 1 - Motor Bosch DC GPA 24 V 650 W

Fonte: Bosch Motors

Motores DC são sistemas dinâmicos extremante

empregados em sistemas robóticos, em sistemas de

propulsão de veículos elétricos/híbridos e em robôs

aéreos[1]

.

Torres (2004) menciona que há anos atrás os motores

do tipo AC eram os mais utilizados para fins de controle.

Segundo esse mesmo autor, com o passar dos anos os

motores AC começaram a ser substituídos pelos motores

DC, mesmo estes apresentando um alto custo e constante

manutenção, porém tendo como principais vantagens

maior facilidade de controle (principalmente de posição)

e características mais lineares.

Segundo Ramos (2005), os motores DC são

acionados por uma fonte de corrente contínua, e são

normalmente utilizados em processos onde se faz

necessário um fino controle de velocidade. Os motores

DC são divididos em:

Motores com imãs permanentes;

Motores Série;

Motores em Derivação;

Motores Compostos.

Os desenvolvimentos das técnicas de acionamento de

corrente alternada e a viabilidade econômica tem

favorecido a troca dos motores DC pelos motores AC

com acionamento por inversores, mas apesar disso, o

motor DC ainda se torna a melhor opção para várias

aplicações, tais como:

Elevadores;

Prensas;

Mesas de teste de motores

Extrusoras.[2]

___________________________________________________ [1] Controlador PID Analógico para Controle de Velocidade de

Motores DC

[2] Manual Técnico de Motores De Corrente Contínua Siemens

As principais vantagens e desvantagens de um

motor DC segundo Adans (2006) são as seguintes:

Principais Vantagens:

Operação em quatro quadrantes com custos

relativamente baixos;

Ciclo contínuo mesmo em baixas rotações;

Alto torque na partida mesmo em baixas

rotações;

Ampla variação de velocidades;

Facilidade em controlar as velocidades.

Principais Desvantagens:

Custo elevado (dependendo da aplicação);

Grande necessidade de manutenção;

Arcos e faíscas devido à comutação de corrente

por elemento mecânico;

Tensão entre lâminas não pode exceder 20V, ou

seja, não pode ser alimentado com tensão

superior a 900V;

Necessidade de medidas especiais de partida,

mesmo em máquinas pequenas.

2.1.3 - Controlador PID

Dillenburg (2003) define o controlador PID

(Proporcional, Integral, Derivativo) como sendo uma

técnica de controle de processos, onde as ações

derivativa, integral e proporcional são unidas fazendo

com que o sinal do erro seja minimizado pelo

proporcional, zerado pelo integral e obtido com uma

velocidade antecipada pelo derivador.

Os controladores PID podem se digitais ou

analógicos. No experimento foi utilizado um PID

analógico, desenvolvido com amplificadores

operacionais (amp-ops).

De acordo com Nicolett (2005), amplificadores

operacionais são dispositivos versáteis que podem ser

utilizados em várias aplicações na eletrônica. O autor

destaca que a principal aplicação dos amp-ops é realizar

operações matemáticas, tais como integração,

diferenciação, soma, multiplicação/amplificação, mas

tais operações são possíveis quando o amplificador

estiver operando na região linear (ativa).

A entrada dos amp-ops pode ser inversora, não

inversora e diferencial (as entradas inversoras e não

inversoras são utilizadas simultaneamente). São

amplificadores de acoplamento direto, que utilizam

realimentação para o controle das suas características.

As principais características dos amp-ops são:

Ganho de tensão elevado;

Alta impedância de entrada;

Baixa impedância de saída (VEGA, 2004)

O circuito analógico do controlador PID que utiliza

os amp-ops constitui-se basicamente de um estágio

amplificador (ação proporcional), um estágio onde são

implementadas as funções de integração e derivação

(ações integral e derivativa) e um estágio final onde estas

ações são somadas (SILVA, 2003).

Figura 2 - Representação Elétrica do Controlador PID Analógico

(Esquema elétrico desenvolvido no Electronics Workbench)

2.2 - Métodos

Antes de se fazer a modelagem do sistema, devemos

ter como base as leis que regem tal sistema.

Primeiramente definiremos a caracterização do motor

DC, ou seja, apresentaremos seus parâmetros elétricos e

mecânicos.

Todas as fórmulas e cálculos apresentados foram

retirados de notas de aula e práticas de laboratório da

matéria de modelagem e análise de sistemas.

2.2.1 - Modelagem do Motor DC

A figura abaixo apresenta a representação elétrica do

motor.

Figura 3 - Representação do Motor DC

Parâmetros Elétricos

Ra: Resistência de Armadura

La: Indutância de Armadura

Ia: Corrente de Armadura

Va: Tensão de Armadura

Parâmetros Mecânicos

J: Momento de Inércia

β: Constante de Atrito Viscoso

Tendo definido os parâmetros do motor, o próximo

passo é aplicar as leis de Kirchoff (elétrica) e Newton

(mecânica) para determinarmos as equações do motor,

com o objetivo de determinarmos a sua Função de

Transferência.

Equação 1 - Elétrica

Onde:

Ke: Constante Elétrica do Motor

ω: Velocidade Angular do Eixo

Ra: Resistência de Armadura

ia: Corrente de Armadura

La: Indutância de Armadura

Equação 2 - Mecânica

Depois de termos determinado as duas equações,

devemos aplicar a Transformada de Laplace nas

mesmas. Com isso saímos do domínio do tempo e

entramos no domínio da freqüência. A função de

transferência de qualquer sistema é uma relação entre a

saída e a entrada do sistema.

Função de Transferência do Motor DC

Como modelo para testes de laboratório foi

utilizado um Motor DC Bosch FPGA de 12 volts, e após

esses testes foram definidos os valores dos parâmetros

elétricos e mecânicos desse motor. Seguem abaixo os

valores:

Kt = 0.0144214 N m/A;

Ke = Kt

Ra = 1.9 Ω

La = 2.5 10-3

H

J = 310 10-9

Nms2/rad

B = 7.5 10-6

Nms/rad

a = La/Ra = 1.31578 1o-3

b = J/B = 310 10-9

/7.5 10-6

= 0.04133

m = (RA J)/(Ke Kt) = 2.832 10-3

Aplicando esses valores na função de transferência do

motor, temos a FT simplificada, e através dela podemos

fazer as simulações no Matlab e Simulink. Segue a

Função de Transferência:

2.2.2 - Modelagem do Controlador PID analógico

O controlador PID analógico é composto por

amplificadores operacionais.

Função de Transferência do Controlador PID

Em sistemas contínuos a função de transferência do

controlador PID analógico descreve-se da seguinte

forma:

Como o sinal de saída do PID é a soma de cada

parcela podemos reescrever a equação da seguinte

maneira:

A seguir o controlador PID analógico será dividido

por partes onde será descrito também a Função de

Transferência de cada componente.

Subtrator

Função de Transferência do Subtrator

Derivador

Função de Transferência do Derivador

Onde:

R9 = 10 KΩ

C2 = 1 μF

Integrador

Função de Transferência do Integrador

Onde:

R8 = 2 KΩ

R7 = 100Ω

C1 = 1μF

Proporcional

Função de Transferência do Proporcional

3 - Resultados Simulados

A principal finalidade de se modelar um sistema

dinâmico é ter a possibilidade de analisá-lo prevendo

possíveis erros, encontrar os valores dos parâmetros

necessários. Com esse intuito, faremos a simulação do

motor DC e do controlador PID analógico.

3.1 - Comparativo das Respostas do Sistema em

Malha aberta e Malha fechada

No sistema de malha aberta não ocorre a

realimentação, ou seja, o sinal de saída não interfere no

controle do processo.

Figura 4 - Sistema em Malha Aberta

Na figura abaixo se apresenta a resposta do sistema

em malha aberta a uma entrada Degrau de 12 volts.

Figura 5 - Resposta do sistema em malha aberta a uma entrada degrau

Como percebemos, em malha aberta o sistema não

atinge o valor determinado como referência (12 volts),

estabilizando em aproximadamente 5 volts.

Já no sistema de malha fechada, o sinal de saída é

comparado à referência para que ocorra o controle do

processo.

Figura 6 - Sistema em Malha Fechada

Agora analisaremos a resposta do sistema em malha

fechada, aplicando a mesma entrada degrau de 12 volts.

Os parâmetros do derivador e do integrador do PID

ficaram fixados em suas FT’s, portanto a regulagem do

controlador se dará apenas através do ganho

proporcional.

Primeiramente aplicaremos um ganho de 500 no

Proporcional e analisaremos a resposta.

Figura 7 - Resposta à entrada Degrau de 12 Volts - Ganho = 500

Interpretando a resposta do motor, notamos que o

tempo de subida é consideravelmente grande, fazendo

com que o motor demore a alcançar a referência

desejada. O sinal se estabiliza em aproximadamente

11,94 volts, apresentando um erro de regime permanente

de aproximadamente 60 mili-volts. Deve-se notar

também que não ocorre um sobre-sinal.

Outra importante análise que podemos fazer é a

respeito do erro. No tempo que o motor leva para sair da

inércia até começar a se aproximar do sinal de referência

o erro é grande, porém no instante em que o sinal de

saída real se aproxima da estabilidade o erro diminui,

tendendo a zero.

Após vários testes, aplicando diversos valores de

ganho no Controlador Proporcional, encontramos um

sinal de saída satisfatório, aplicando um ganho de 2400.

Figura 8 - Resposta à entrada Degrau de 12 Volts - Ganho = 2400

Figura 9 - Instante de Pico e Erro de Regime Permanente

Figura 10 - Erro (Referência -Valor Real)

Com o ganho anterior nosso sistema estabilizava em

11,94 volts. Ao aumentarmos o ganho para 2400

melhoramos o tempo de subida (figura 8) e

aproximamos ainda mais nosso sinal real da referência,

isso com apenas um leve sobre-sinal, como indicado na

figura 9. Na tabela abaixo estão descritos alguns

resultados importantes obtidos nessa simulação:

Tempo de Subida 17,2 ms

Tempo de Acomodação 2,5 ms

Máximo Sobre-sinal 12,0043 V

Instante de Pico 18,2 ms Erro de Regime Permanente 12 mV

Tabela 1 - Resultados Medidos na Simulação

A figura 10 nos apresenta o erro do sistema, que

como vemos apresenta um pico negativo. Isso ocorre

pelo fato do valor real apresentar um sobre-sinal, ou seja,

o valor está acima do valor de referência.

Matematicamente ficaria assim:

3.2 - Resposta do Sistema a uma Onda Senoidal -

Análise de Erro

Para finalizarmos nossos resultados aplicaremos uma

onda senoidal na entrada do nosso sistema. Para esse

teste os parâmetros do controlador serão mantidos. Na

primeira simulação os parâmetros do gerador de ondas

estão configurados com uma amplitude de 12 volts e

com uma freqüência de 10 rad/s. Na segunda Simulação

mantermos a amplitude de 12 volts, alterando a

freqüência para 1 rad/s.

Figura 11 - Onda Senoidal - f = 10 rad/s

Figura 12 - Erro Relativo a f = 10rad/s

Figura 13 - Onda Senoidal - f = 1rad/s

Figura 14 - Erro relativo a f = 1rad/s

Analisando as duas respostas do motor, notamos que

a freqüência é diretamente proporcional ao erro, ou seja,

na primeira simulação com uma freqüência de 10 rad/s

apresentou-se um erro de aproximadamente 50%.

Quando a passamos a freqüência para 1 rad/s, o erro

passou para aproximadamente 5%.

Para comprovar realmente essa teoria, utilizaremos

uma freqüência relativamente pequena de 0,1 rad/s.

Figura 15 - Erro Relativo a f = 0,1rad/s

Com essa configuração o erro apresentado é de 13

mV. Como podemos ver ao diminuir a freqüência o erro

tende à zero.

4 - Conclusão

O controlador PID analógico simulado nesse trabalho

se mostrou muito preciso no controle do motor DC. Em

todas as simulações, obtivemos bons sinais de saída com

o ganho proporcional variando de 1500 a 2400, tendo

essa ultima configuração apresentado o melhor

resultado. Também podemos concluir que ao aplicamos

na entrada do sistema uma onda senoidal, a freqüência

dessa onda estará diretamente ligada ao erro do sinal de

saída. Com freqüências baixas o controlador se mostrou

mais eficaz, apresentando erros milesimais.

5 - Trabalhos Futuros

Implantar em nosso sistema de controle um

Modulador PWM (modelação de largura de pulso).

6 - Agradecimentos

A Deus.

A minha esposa pela ajuda e compreensão.

Ao Professor Rafael pelos conhecimentos passados e

pela paciência na orientação deste trabalho.

7 - Referências Bibliográficas

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