arj1_ea080429

Upload: idosebbmint-szlovakia

Post on 13-Feb-2018

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    1/53

    Idoptimlis plyatervezsi algoritmusok

    mobilis robotokhoz

    Segdlet az Autonm robotok s jrmvek trgyhoz

    Ksztette:Harmati Istvn PhD.

    BME-IIT

    2008

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    2/53

    A mobilis robotok adott feladatok vgrehajtshoz plyatervezsi algoritmusokkidolgozst ignylik. A plyatervezsi algoritmusok definiljk a robot szmra azokat abeavatkoz jeleket, amelyek biztostjk a robot adott (tipikusan pozcival sorientcival definilt) konfigurci elrst a kezdeti konfigurcibl. A plyatervezsaz alkalmazsok zmben a robotmozgst felgyelszablyozsi kr szmra szolgltat

    alapjelet.Az esetek tbbsgben kvetelmny a kvnt konfigurci elrse optimlis plya(trajektria) mentn. Az optimlis tulajdonsgot termszetesen a feladat definilja,azonban a leggyakoribb kvetelmny az idben optimlis, vagyis a legrvidebb idalattteljesthetplya megtallsa.A mobilis robotokon bell a kerekes robotokat vizsgljuk (ezen kvl lteznek pl. lbonjr, kgymozgst vgz cssz stb. robotok is). A kerekes robotok kzl is hromelterjedt jrmtpus trgyalsa trtnik: a Dubins fle jrm, a Reeds-Shepp fle jrms a differencilis meghajtssal rendelkez (ktkerek) jrm. Felttelezs szerint ajrmvek (robotok) mozgsa a kinematikai modelljk alapjn rhat le.A tanulmny felptse a kvetkez. Az 1. pont a mobilis robotok kinematikai modelljt

    trgyalja, klns tekintettel az egyes jrm

    tpusok kztti klnbsgekre. A 2. pontDubins jrm, a 3. pont a Reeds-Shepp jrm, mg a 4. pont a differencilis meghajtsjrm idoptimlis plyatervezst trgyalja. A differencilis meghajts jrm pldtrszletesen is trgyaljuk az optimlis irnytselmlet eredmnyeinek (Pontjragin-flemaximum elv) alkalmazsval. Az elmlet a Dubins s a Reeds-Sheep tpus robotokra isalkalmazhatk.

    1. A mobilis robot modellje

    A robot vzlatos modelljt s a felhasznlt jellseket az 1. bra mutatja. A mobilis robotmozgst kt kerk biztostja. Az els (baloldali) kerk szgsebessge 1, a msodik

    (jobboldali ) kerk szgsebessge 2 . Az ltalnossg megszortsa nlkl felttelezhet,

    hogy a differencilis meghajts robotok szgsebessgei a [ ]1,1 intervallumblvehetnek fel rtkeket. Mivel irnytstechnikai szempontbl a robot beavatkoz jelei akerekek szgsebessge, ezrt az megengedett irnytsi tartomny

    [ ] [ ]1,11,1 =U (1.1)

    a beavatkoz (irnyt) jel pedig egy fggvny, amely a)(tu [ ]T,0 idintervallumot aztartomnyra kpezi:U

    [ ]

    =

    )(

    )()(

    ,0:)(

    2

    1

    t

    ttu

    UTtu

    (1.2)

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    3/53

    A robot (lineris) sv szgsebessge a kerekek szgsebessge alapjn a kvetkezalakban adhat meg:

    b

    v

    2

    2

    12

    21

    =

    +=

    (1.3)

    A lineris sebessg s azv szgsebessg szintn tekinthetk beavatkoz jeleknek,hiszen a kerekek szgsebessgbl kzvetlenl szrmaztathatk.A differencilis meghajts jrmtl a Dubins jrm abban tr el, hogy megengedhetsebessgek a

    = ,1v (1.4)

    formban rhatk fel (a robot elre csak fix konstans sebessggel tud haladni). A Reeds-Shepp jrmesetn a megengedhetsebessgeknek a

    = ,1v (1.5)

    felttelt kell teljestenik. Az egyes jrmvek megengedett sebessgeit s szgsebessgeita 2. bra illusztrlja.

    1

    v

    ),( yxb

    b2

    1. bra. A robot vzlatos felptse

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    4/53

    b

    1

    Legyen a robot (tengelykzeppontjnak) pozcija a skban , az orientcija),( yx (1.

    bra). Ekkor a robot konfigurcija lerhat a ( )Tyxq = vektorral. A rendszerkinematikai modelljnek mozgsegyenlete ekkor majdnem mindenhol (tovbbiakbanm.m.) megadhat a

    (1.6)

    =

    sin

    cos

    )( v

    v

    tq

    differencilegyenlettel. A majdnem mindenhol kifejezs arra utal, hogy a derivlt csaknhny nulla mrtk halmaz felett nem adhat meg a differencilegyenlettel. Atovbbiakban felttelezzk, hogy a robot az (1.6) egyenlettel definilt kinematikaimodellel adott. A tovbbiakban hasznos lesz a mozgsegyenlet vektormezkkel valfelrsa:

    2211)( fftq += (m.m.) (1.7)ahol

    =

    =

    b

    f

    b

    f

    2

    1

    sin2

    1

    cos21

    2

    1

    sin2

    1

    cos21

    21

    (1.8)

    vv

    v

    (b) Reeds-Shepp jrm

    a) Dubinsjrm

    c) Differencilisme ha ts rm

    2. bra. A megengedett irnytsi tartomnyok egyesrmveknl

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    5/53

    A mozgsegyenletekbl megfigyelhet, hogy a jrm nem kpes loklisan a 2/ irnyba (a kerktengely vonalban) elmozdulni az s vektormez lineriskombincijval, ami egy sebessg tpus korltozsnak felel meg. A feladat sornazonban a kt beavatkoz jellel egy tetszleges q konfigurci elrse a cl a 3 dimenziskonfigurcis trben. Megmutathat, hogy a sebessgkorltozs nem geometriai

    korltozs (azaz n. anholonm rendszerrl van sz) s az 1f s 2f vektormezkmerleges

    1f 2f

    re

    =

    0

    cos

    sin

    2

    13

    bf (1.9)

    irnyban (a kerektengely vonalban) elhelyezked konfigurcik is elrhetk egyprhuzamos parkolshoz hasonl mozgssal. (A rszletesebb elmleti vizsglatokhoz anemlineris irnytselmlet, ezen bell is a differencilgeometriai mdszerekalkalmazsa szksges).A kerekek ltal megtett t hossza a lineris sebessghez sv szgsebessghez tartozalbbi tkomponensek sszegvel fejezhetki:

    dtvtst

    =0

    )( , dtbtt

    =0

    )( (1.10)

    Mint ahogyan azt ltni fogjuk, az idoptimlis plyk az albbi mozgsprimitvekblpthetk fel (nem minden robot kpes mindegyik mozgsra):

    1.

    Mozgs elre maximlis sebessggel.2. Mozgs htra maximlis sebessggel. (Kivve Dubins jrm)3. Balra/jobbra forduls egy pontban maximlis sebessggel. (Csak differencilis

    meghajts tudja.)4. Balra/jobbra forduls elremenet kzben. (Differencilis meghajts tudja, de nem

    optimlis plyban nincs.)5. Balra/jobbra forduls htramenet kzben. (Kivve Dubins jrm. Differencilis

    meghajts tudja, de nem optimlis plyban nincs.)

    2. A Dubins jrmidoptimlis plyatervezse

    A Dubins jrmmozgsegyenlett a korbban ismertetett (1.6) differencilegyenlet rja leaz (1.4) korltozs mellett, azaz

    (2.1)

    =

    sin

    cos

    )(tq

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    6/53

    A korbbiak alapjn megfigyelhet, hogy a Dubins jrm csak elre tud mozogni.Balra/jobbra kanyarods eljeltl fggen szintn lehetsges, de a jrm ekkor iskonstans sebessggel halad elre. A Jrmmegllni nem tud. A kezdeti konfigurcibl akvnt konfigurci elrse a jrmvel vgtelen sok tvonalon lehetsges. A (jrmltalis vgrehajthat) legrvidebb t megtallsra elszr Dubins adott mdszert [1] (innen

    szrmazik a jrm

    neve). A legrvidebb t a korbban emltett felttelek mellett egybenaz idoptimlis tnak felel meg. A Dubins jrm esetn a legrvidebb t az albbitulajdonsgokkal rendelkezik:

    1. A legrvidebb t legfeljebb 3 mozgsprimitvbl felpthet,2. Az [ 1,1= ]folytonos intervallumbl az optimlis plya csak az { }1,0,1=

    rtkeket hasznlja fel a mozgsprimitvekben.

    v Eredmny1 0 S1 -1 L

    1 1 R

    2.1. tblzat. A Dubins jrmmozgsprimitvei.

    A 2.1. tblzat mutatja azokat a plyaszakaszokat, amelyekbl az optimlis t felpl. AzS szakaszon a robot egyenesen halad konstans sebessggel, az L (left) szakaszon arobot balra fordul olyan lesen, ahogy csak tud. Az R szakaszon a robot a lehetleglesebb jobbra fordulst hajtja vgre. Az L s R szakaszokon a robot maximlisabszolt rtkszgsebessggel ( 1= ) mozog. Az S, R, L szimblumokat hasznlva alegrvidebb t 3 hosszsg szekvencibl ll, amelyet sznak hvunk. A hromszimblumbl 10 lehetsges (3 szimblum hosszsg) sz rakhat ssze. Kt azonos

    szimblum nem kveti kzvetlen egymst, mert azok sszeolvaszthatk. Dubinsmegmutatta, hogy a 10 lehetsges szbl az optimlis tvonal valjban csak az albbi 6sz valamelyikre korltozdik:

    { }RSRRSL,LSR,LSL,RLR,LRL,

    Specilis esetekben termszetesen egy-egy sz rvidebbre redukldhat. A fenti grbketDubins-grbknekhvjuk. Az tvonal precz meghatrozshoz a szekvencia mellett aztis meg kell mondani, hogy az egyes mozgasprimitveket (L, R, S) mennyi ideig hajtjukvgre. Ezt als indexknt jelljk.gy az tvonalat megad precz szekvencik:

    RSR,LSR,RSL,LSL,RLR,LRL dddd

    ahol [ ) 2,0, , ( ) 2, , . Megjegyzend, hogy az optimlis tvonalon havan

    0>d , akkor az mindig nagyobb -nl.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    7/53

    A 3. bra Dubins-grbkre mutat pldt ( a kezdeti, az elrni

    kvnt konfigurci). Sok esetben elnys, ha a mionsgileg hasonl grbket azonosanjelljk. Jellje ezrt C ltalnosan a fordulst, teht az L s R primitveketegyttesen. Ekkor az eredeti 6 sz kt alapszval helyettesthet:

    RLR,LSR d Iq Fq

    CSCCCC d,

    ahol [ ) 2,0, , ( ) 2, , .0>d

    Tetszleges kezdeti s elrni kvnt konfigurci kztti optimlis tvonalmegtallshoz kt krdsre kell vlaszolni:

    Iq Fq

    1. A 6 sz kzl melyiket vlasszuk?2. Az adott szra mik az ,, s paramterek?d

    A fenti krdsek megvlaszolshoz a legegyszerbb t a brute force mdszer. Ez aztjelenti, hogy az sszes lehetsges 6 szra megoldjuk a feladatot s megnzzk, melyikadja a legrvidebb utat. Ez kivlasztja a krdses szt s a hozz tartoz paramtereket is.Egy kifinomultabb mdszer, ha modern irnytselmleti eszkzkkel vgrehajtottanalzis alapjn a konfigurcis teret tartomnyokra osztjuk, ahol minden egyestartomnyban ms-ms sz adja az optimlis tvonalat.

    Iq

    Fq

    L

    R

    dS

    Iq Fq

    R

    L

    R

    a b

    3. bra. Pldk Dubins-grbkre

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    8/53

    LSL

    LSR RSLRLR

    LRLRSL LSR

    RSR

    4. bra. Az optimlis szavak a konfigurcis trben = s T0,0,0= esetn. A kr kz ont a az ori .

    Az optimlis tvonal hossza komplexebb (pl. akadlyt tartalmaz) krnyezetben isfelhasznlhat cost-to-go kltsgfggvnyknt a loklis tvonaltervezsben. Mindenkonfigurcira meghatrozva a cost-to-go fggvnyt, az az rdekes megllapts tehet,hogy a cost-to-go fggvny nemfolytonos. Az 5. bra a cost-to-go fggvnyek egylehetsges szintjeit mutatja.

    z brn megfigyelhet, hogy a vastag vonalnl szakads van, a kt oldalon a

    5. bra. A cost-to-go fggvny lehetsges szintjei (S. M.LaValle knyvbl).

    Akltsgfggvny rtkei jelentsen klnbzhetnek. Ennek oka, hogy a kt oldalon aprimitvek klnbzszekvencii az optimlisak. Mg az egyik tartomnyban a jrma

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    9/53

    fordulst minden gond nlkl kivitelezi, a msik oldaln mr tl lesen kellene fordulnia,amire a jrmnem kpes. Ezrt egy msik, kltsgesebb szekvencit kell vlasztania.

    3. A Reeds-Shepp jrmidoptimlis plyatervezse

    Reeds-Shepp jrmmozgsegyenlete megegyezik az (1.6) sszefggssel adott Dubins

    (3.1)

    hol

    Ajrmvvel, azonban a lineris sebessget tekintve a jrm htrafel is mozoghat (2.bra). rdemes megjegyezni, hogy a modell alapjn jrm megllni, vagy helybenmegfordulni nem tud. Feltesszk, hogy a v lineris sebessg eljelvltsa pillanatszerenmegtrtnik. A fentiek figyelembe vtelvel az (1.6) mozgsegyenlet az albbi alakrahozhat:

    =

    =

    )(

    sin

    cos

    )(

    vsign

    v

    v

    y

    x

    tq

    a { }1,1v , [ ]1,1 az s az egyetlen vltozs (1.6) mozgsegyenlethez kpest,hogy az utols egyenletben szerepel v eljele ( )(vsignv= ) s ezzel rtelmezse ismdosul egy kicsit. Ezzel a szemlletmddal v ppen egy s essgvltkntrtelmezhet.Reeds s Shep

    tulajdonk eb

    p megmutatta, hogy a rluk elnevezett jrm kt tetszleg konfigurcikztti legrvidebb tvonala elllthat 48 klnbz (elemei mozgsprimitvekblsszerakott) sz valamelyikvel. A 48 sz az albbi 9 alapsz valamelyiknekkifejtsbl addik:

    }CSCCCCCSCSCCC

    CCCCCCCCCSCCCCCCCCCC

    ||,|,|

    ||,|,,,|,||

    2/2/2/2/

    (3.2)

    that, hogy a legrvidebb t legfeljebb 5 mozgsprimitvbl ll szvalLmegvalsthat. A 2/ als index azt jelli, hogy abban az esetben a robotnak pontosan90 fokot kell fordulnia, az azonos szban szereplkt jells azt jelzi, hogy az adottmozgsprimitvekben az elforduls szge megegyezik. A | jells pedig azt mutatja,hogy az eltte s utna ll (fordulst megvalst) mozgsprimitv tmenete sorn a v eljelet vlt. Ez a sebessgvltsnak felel meg s ekkor elremenetbl htramenet illetve

    htramenetbl elremenet lesz. Az egyes alapszavak paramtereihez tartoztartomnyokat a 3.1. tblzat mutatja. A tblzatban szereplalapszavak a Dubins-jrmesetvel analg mdon kifejezhetk elemei mozgsprimitvekkel. Jellje most is S, L,R a jrmegyenes tvonalon val haladst, a balra fordulst s a jobbra fordulst (azutbbi kettt a C jells fedi le az alapszavakban). Ezen kvl jellje a + felsindex azelretart irnyt, a - felsindex a htrafel tart irnyt. A 3.2. tblzat mutatja, hogy azegyes mozgsprimitvek milyen beavatkoz jelekkel vlthatk ki. A 3.1. tblzat s 3.2.tblzat alapjn megmutathat, hogy sszesen 48 klnbzsz van, s minden esetben

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    10/53

    ezek valamelyike valstja meg egy konkrt az optimlis plyt. A 3.3. tblzat mutatja alehetsges 48 szt. Sussmann s Tang megmutatta, hogy valjban a

    ( ) ( )++ RLRLRL , szekvencik nlklzhetk s gy akr 46 szekvenciavgrehajthat az optimlis plyatervezs. Termszetesen a 46

    klnbztrajektria szmtsa s sszehasonltsa a nagyobb szmossg halmaz miatt

    krlmnyesebb, mint a Dubins jrm esetben. Radsul az optimlis szekvencikhoztartoz tartomnyok is jval bonyolultabb alakak. Viszont a 6. bra is illusztrlja, hogykt konfigurci kztti optimlis tvonal rvidebb (legrosszabb esetben max.ugyanolyan hossz), mint a Dubins jrm esetben (5. bra). Egy praktikusanhasznlhat mdszer, hogy a jrmorientcija alapjn bizonyos szekvencik kizrhatk,mint lehetsges optimlis tvonal. Hasonlan a Dubins jrmhoz, az tvonal hossza itt isegy cost-to-go kltsgfggvny alapjul szolglhat a komplexebb krnyezetben trtnplyatervezshez.

    valamelyikvel is

    Alapsz d

    CCC || [ ],0 [ ],0 [ ],0 -

    CCC | ,0 2/,0 ,0 -

    CCC | [ ],0 [ ]2/,0 [ ],0 -

    CSC d [ ]2 [ ]2/,0 ) /,0 - (0,

    CCCC | [ ],0 [ ]2/,0 [ ],0 -

    CCCC || [ ],0 [ ]2/,0 [ ],0 -

    CCSCC d || 2/2/ [ ]2 [ ]2/,0 ) /,0 - (0 ,

    CSCC d2/| 2/,0 - 2/,0 ( ),0

    CCSC d |2/ [ ]2/,0 - [ ]2/,0 ( ),0

    Mozgsprimitv

    v +S 1 0S -1 0+L 1 1L -1 1+R 1 -1R -1 -1

    3.1. tblzat. A Reeds-Shepp grbk paramtereinek

    3.2. tblzat. A 6 mozgsprimitv megvalstsa a

    tartomnya

    beavatkoz jelekkel

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    11/53

    Sz Szekvencik

    CCC || +++++++ RLRRLRLRLLRL CCC| +++++ RLRRLRLRLLRL

    CCC|

    ( )( )( )( )++++++ RLRRLRLRLLRL

    CSC ( )( )( )( )( )( )( )( )++++++

    ++++++

    LSRLSRRSLRSL

    RSRRSRLSLLSL

    CCCC | ( )( )( )( )++++++++ LRLRLRLRRLRLRLRL CCCC || ( )( )( )( )++++++++ LRLRLRLRRLRLRLRL

    SCCC 2/|

    ( )( )( )( )++++++++++++++++

    LSLLLSLLRSRRRSRR

    LSLRLSLRRSRLRSRL

    2/2/2/2/

    2/2/2/2/

    CCSC |2/

    ( )( )( )( +++++++++++++++++

    LSRSLLRSLRLSRRLSR

    LRRSLRSRRLSLRLSL

    2/2/2/2/

    2/2/2/2/

    )

    CSCCC || 2/2/ ( )( )( )( )+++++

    +++++

    LRSLRLRSLR

    RLSRLRLSRL

    2/2/2/2/

    2/2/2/2/

    3.3. tblzat. A Reeds-Shepp jrmoptimlis plyjnak 48lehetsges szekvencija

    Iq Fq

    +R

    +R

    L

    6. bra. Plda Reeds-Shepp-grbkre

    4. A differencilis meghajts jrmidoptimlis plyatervezse

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    12/53

    A plyatervezshez a [3] irodalomban javasolt mdszert kvetjk. A differencilismeghajts (DD) jrmmodelljt az 1. fejezetben ismertettk. A robot mozgsegyenlettaz (1.6) illetve vektormezs formban az (1.7), (1.8) egyenletek adjk meg az

    llapotvektor jellse mellett:( Tyxq = )

    2211)( fufutq += (m.m.) (4.1)ahol

    =

    =

    b

    f

    b

    f

    2

    1

    sin2

    1

    cos2

    1

    2

    1

    sin2

    1

    cos2

    1

    21

    (4.2)

    [ ] [ ]1,11,1 =U [ ]

    =

    )(

    )()(

    ,0:)(

    2

    1

    t

    ttu

    UTtu

    A korbbiak szerint a jrm mindkt kereke egymstl fggetlenlmozgathat [ ] 2,1,1,1 = ii szgsebessggel. Ltni fogjuk, hogy az optimlis plykmeghatrozott primitvekbl fognak felplni, amelyeket a 4.1 tblzat adja meg. A nyl jelli a robot maximlis sebessggel val egyenes vonal, elretart mozgst, anyl jelli a robot maximlis sebessggel val egyenes vonal, htratart mozgst, a

    nyl jelli a robot maximlis szgsebessggel val balra fordulst a tengelykzppontkrl, vgl a nyl jelli a robot maximlis szgsebessggel val jobbra fordulst atengelykzppont krl.

    1 2 Eredmny1 1

    -1 -1 -1 1 1 -1

    4.2. tblzat. A differencilis meghajts jrmfelhasznlt mozgsprimitvjei azidoptimlis trajektriban

    A differencilis meghajts robot pldjn keresztl megmutatjuk, hogy az optimlisirnyts elmlete (s azon bell a Pontjragin-fle Maximum Elv) hogyan alkalmazhatidoptimlis plyatervezsre.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    13/53

    4.1. Az irnythatsg s az optimlis trajektria ltezse

    A differencilis meghajts jrmbrmely konfigurcibl tvezethetegy tetszlegeskonfigurciba, amit a kvetkezttelben mondunk ki.

    1. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts jrm akadlymenteskrnyezetben irnythat, azaz brmely staert s cl konfigurci kztt lteziktrajektria.Bizonyts: A legegyszerbb mdja beltni az lltst, hogy a kezdeti konfigurciblelfordulunk (pl. jobbra) a clkonfigurcival definilt pozci fel, majd a robot ezutnegyenesen halad a cl konfigurciba, vgl befordul (pl. jobbra val forgssal) a clkonfigurci irnyba. Ekkor a robot a mozgsprimitvek szekvencijt kveti. A kvetkezkben megmutatjuk, hogy a differencilis meghajts jrmre ltezikidoptimlis trajektria.

    2. Ttel. Brmely kezdeti s elrt vgs konfigurci kztt a korltozottsebessgdifferencilis meghajts robothoz ltezik egy abszolt folytonos idoptimlistrajektria s egy hozztartoz (mrhet) irnyts az akadlymentes krnyezetben.

    Iq Fq

    Bizonyts: A ttel bizonythat a nemlineris irnytselmlet modern(differencilgeometriai) eszkzeivel [5], de ettl most eltekintnk.

    4.2. Pontjragin-fle Maximum Elv (PME)

    A PME az optimlis irnytselmlet egyik legfontosabb eredmnye s az optimlisirnytsra ad szksges (azaz nem elgsges) felttelt. Ennek ellenre nagymrtkben

    kpes szkteni a potencilisan optimlis trajektrik halmazt a ksbbiekben.

    3. Ttel (PME). Ha egy irnyts melletti trajektria idoptimlis, akkor akvetkezfelttelek teljeslnek:

    )(tu )(tq

    Ltezik egy abszolt folytonos3: Rt

    (4.3)

    =

    )(

    )(

    )(

    )(

    3

    2

    1

    t

    t

    t

    t

    n. adjunglt fggvny, amely nemtrivilis (azaz nem nulla mindenhol), Az adjunglt fggvny teljesti a

    Hq

    = m.m. (4.4)

    adjunglt egyenletet, ahol a skalrtk H fggvnyt Hamilton fggvnynekhvjuk s definci szerint

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    14/53

    ( ) ),(,,, uqquqH = (4.5)

    Az irnyts minimalizlja a Hamilton fggvnyt majdnem mindenhol, azaz)(tu

    ( ) ( )ztqtHtutqtHUz

    ),(),(min)(),(),(

    = mm. (4.6)

    A (4.5) sszefggst minimalizcis egyenletneknevezzk.

    Legyen 00` konstans a Hamilton fggvny minimlis rtknek 1 -szerese:

    ( ))(),(),(0` tutqtH = mm. (4.7)

    A kvetkezkben a PME-t alkalmazzuk a differencilis hajts mobilis robot optimlisplyjnak meghatrozsra.

    4.2.1. A Pontjragin-fle Maximum elv alkalmazsa

    A PME alkalmazshoz a (4.4) adjunglt egyenletbl indulunk kia, amelybebehelyettestjk a (4.5) Hamilton fggvnyt. A Hamilton fggvny megalkotshozszksgnk van a (4.1)-(4.2) rendszeregyenletre:

    ( )123

    212211

    21

    3

    2

    1)21.4()5.4(

    )(sin)()(cos)(2

    1

    2

    1

    sin2

    1

    cos2

    1

    2

    1

    sin2

    1

    cos2

    1

    ,

    )(

    )(

    )(

    ),(,

    ++++

    =

    +

    =

    =

    =

    btt

    q

    bbt

    t

    t

    quqq

    qH

    q

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    15/53

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )xtyttt

    btt

    btt

    y

    btt

    x

    xy

    T

    )()(,0,0)(cos)()(sin)(,0,02

    1

    )(sin)()(cos)(

    )(sin)()(cos)(

    )(sin)()(cos)(

    2

    1

    21

    2)21.4(

    212

    2)21.4(

    211

    123212211

    123

    212211

    123

    212211

    =

    +++=

    ++++

    ++++

    ++++

    =

    mm.(4.8)

    Az idszerint (4.8) kifejezst kiintegrlva

    ( ) ( )),(,,,, 2132121 yxcccycyccc =++= (4.9)

    ahol konstansok s321 ,, ccc

    321),( cxcycyx += (4.10)

    Mivel PME alapjn a adjunglt fggvny nem azonosan nulla, ezrt legalbbegyike nemnulla.

    321 ,, ccc

    Az adjunglt egyenlet megoldsa alapjn megadhat a minimalizland Hamiltonfggvny:

    ( ) )(,)(,)()(,,, 22112211 qfqfqfqfuqH +=+= (4.11)

    A tovbbi trgyalshoz bevezetjk a 1 , 2 , 3 kapcsol fggvnyeket, ahol

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )tqftt

    tqftt

    tqftt

    33

    22

    11

    ),()(

    ),()(

    ),()(

    =

    =

    =

    (4.12)

    A 1 , 2 kapcsol fggvnyeket a (4.11) Hamilton fggvnybe helyettestve

    ( ) )()(,, 2211 ttuqH += (4.13)

    Az idoptimlis trajektria esetn a jrm [ ]1,1, 21 szgsebessgeinekminimalizlnia kell a (4.13) Hamilton fggvnyt.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    16/53

    4. Ttel. Ha a korltozott sebessg differencilis meghajts robot trajektrijaidoptimlis az irnyts mellett, akkor ltezik egy abszolt folytonos

    )(tq)(tu

    ( )32121 ,, cycyccc ++=

    fggvny valamilyen konstansok mellett, hogy az optimlisirnyts:

    321 ,, ccc

    ( )Ttu )1()1()( 21 =

    ( )( )()(

    )()(

    22

    11

    tsignt

    tsignt

    )==

    (4.14)

    ahol( )( )

    ( )( )tqftt

    tqftt

    22

    11

    ),()(

    ),()(

    =

    =

    Bizonyts: A PME alkalmazsa. Lthat, hogy a ttelben szerepl

    irnyts minimalizlja a (4.13) kifejezssel Hamilton fggvnyt,hisz az

    ( Ttu )1()1()( 21 = )

    i fggvnyek a i kapcsolfggvnyek eljeleinek mnusz egyszerese. Ennl

    kisebb nem lehet a Hamilton fggvny rtke, hisz a korltozs szerint 1max =i . A 4.

    Ttel alapjn s a (4.13) kifejezs alapjn

    ( ) )()(,, 210 ttuqH +== mm. (4.15)

    Megjegyzs 4.1. Figyeljk meg, hogy az optimlis irnyts knnyen meghatrozhatlenne brmely konfigurciban, ha ismernnk a i kapcsolfggvnyekben szerepl

    konstansok rtkt, vagy ami ezzel egyenrtk, a (4.10) egyenletben definilt321 ,, ccc),( yx egyenes helyt. Sajnos ez nem ismert, de ),( yx rszletesebb vizsglata kpet ad

    arrl, hogy a trajektria milyen primitvekbl ll s lnyegesen leszkti a potencilisanszba jhet trajektria osztlyok krt. Diszkusszink tovbbi rsze ezrt a kapcsolfggvnyekhez s a ),( yx egyenes vizsglathoz ktdik.

    Megjegyzs 4.2. Mivel a PME felttele szerint az optimlis trajektria adjunglt fggvnye nemtrivilis s az vektormezk linerisan fggetlenek, ezrt (4.12)

    sszefggsben

    321 ,, fff

    321 ,, fggvnyek a nemtrivilis adjunglt fggvnykoordintinak foghatk fel, ezrt

    0321 ++ (4.16)

    Brmely trajektrit s a hozztartoz irnytst extremlisnak nevezzk, ha teljestik aPME-t. Mivel a PME az idoptimlis trajektria szksges feltteleit rja el, ezrtminden idoptimlis trajektria extremlis, de nem minden extremlis idoptimlis

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    17/53

    trajektria. A trgyals keretben elssorban az extremlisok tulajdonsgaivalfoglalkozunk. Az optimlis trajektrik kzlk kerlnek ki, pl. a kltsgeik egyszersszehasonltsa alapjn.

    4.2.2. A kapcsol fggvnyek s kapcsolsi intervallumok

    Az extremlisok illetve a hozzjuk tartoz irnytsok tulajdonsgai akapcsolfggvnyekkel jl szemlltethetk. Ebben a pontban ezrt kapcsolfggvnyeketvizsgljuk meg kzelebbrl. Ltni fogjuk, hogy az optimlis trajektrik szingulris sgenerikusintervallumok szekvenciibl llnak.Az extremlis trajektrira azt mondjuk, hogy 1-szingulrisegy intervallumban, ha az

    intervallumon 01 . Az extremlis trajektrira azt mondjuk, hogy 2 -szingulrisegy

    intervallumban, ha az intervallumon 02 . Az extremlis trajektria dupln szingulris

    egy intervallumban, ha az intervallumon 1-szingulris s 2 -szingulris. Az extremlis

    trajektrit trivilisnak hvjuk, ha nem vltozik az egsz [ ]T,0 intervallumon (azaz a

    robot nem mozog).A kvetkezkben meghatrozzuk, hogy az egyes intervallumokon milyen irnytsvalst meg optimlis trajektrit.

    5. Ttel.Ha a korltozott sebessgdifferencilis robot extremlis trajektorijn a 1 s

    2 kapcsolfggvnyeknek kzs gykei vannak egy intervallumon (azaz 021 == ),akkor az extremlis trajektria trivilis.Bizonyts: Fggelk A.1

    6. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlisnak egyszingulris intervallumn az 1 s 2 irnytsok konstansok s egyenlk majdnem

    mindentt.Bizonyts: Fggelk A.2

    Most tekintsk azt az esetet, amikor a kapcsolfggvnyek egyike sem szingulris egyadott intervallumon. Ehhez szksg lesz a generikus pont s a generikus intervallumfogalmra. A generikus pontalatt olyan idintervallumot rtnk, ami sem 1 , sem 2 kapcsolgrbnek nem gyke. A generikus intervallum alatt olyan idintervallumotrtnk, amelynek minden pontja generikus pont. Az extremlis trajektorikon a generikusintervallum ltezsre s az ahhoz tartoz optimlis irnytsra ad eligaztst a kvetkezttel.

    7. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra s a hozztartoz optimlis irnytsra fennll, hogy ltezik olyan 0> ,hogy minden generikus pont egy generikus intervallumban legalbb ideig tart. Agenerikus intervallumban az irnytsok konstansok.Bizonyts: Fggelk A.3

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    18/53

    Az extremlisok lershoz fontos jellemz a kapcsols maga, amiit mg nemtrgyaltunk. Kapcsolsalatt olyan pontot rtnk, amelynek nincs olyan krnyezete, aholaz irnyts majdnem mindentt konstans. Az 5-7. Ttelek megmutattk, hogy aszingulris s generikus intervallumokon az optimlis irnyts konstans. A defincikbls az 5-7 Ttelekbl kvetkezik, hogy minden kapcsols

    valamelyik kapcsolsi fggvnynek valamelyik gyke, nem belspontja a szingulris s generikus intervallumoknak

    A kvetkezkben megmutatjuk, hogy az extremlisok csak vges szm kapcsolsttartalmaznak. Az igazols trivilis lenne, ha az extremlisok csak generikusintervallumokbl llnnak (ezek hosszra ugyani a 7. Ttel rtelmben als hatr van). Aszingulsris intervallumok hosszra azonban sajnos nincs als hatr, gy a kapcsolsokvges szmnak igazolsa nem trivilis. A kvetkezkben szksg lesz az albbilemmra:

    1. Lemma. A korltozott sebessg differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra fennll, hogy egy kapcsolsi fggvny brmely kt gyke vagy egy kzs

    szingulris intervallumhoz tartozik, vagy a kettkztt van generikus pont.Bizonyts: Fggelk A.5

    Az extremlis trajektria lersra a korbbi eredmnyeket felhasznlva a kvetkezttelthvhatjuk segtsgl.

    8. Ttel.A intervallumon definilt extremlis trajektria vges szm generikus sszingulris intervallum lezrsval fedhet le. Az extremlis trajektrin vges szmkapcsols van, amely vagy egy generikus, vagy egy szingulris intervallum vgntallhat. Minden intervallum az albbi hrom tpus valemelyikbe tartozik:

    [ T,0 ]

    Dupln szingulris. Mindkt kapcsolsi fggvny azonosan nulla. Mindkt

    irnyt jel nulla majdnem minden idpontban s a robot nem mozog. Egy duplaszingularitst tartalmaz extremlis egy intervallumbl ll; egy dupln szingulrisintervallumbl.

    Szingulris. A 1 s 2 kapcsolfggvnyek valamelyike azonosan nulla (de a

    msik soha sem). Az irnyt jelek egyenlek s szaturltak (1 vagy -1) majdnemmindenhol. A robot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( )vagy egyenesen htra ( ).

    Generikus. Egyik kapcsolfggvnynek sincs gyke a generikus intervallumon.Kt eset van:

    A kapcsolfggvnyek eljele azonos. Az irnyt jelek egyenlk sszaturltak majdnem mindenhol. A szingulris intervallummal egyezen arobot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( ) vagyegyenesen htra ( ).

    A kapcsolfggvnyek eljele klnbzik. Az irnytjelek ellenttesek sszaturltak majdnem mindenhol. A robot egyhelyben forog balra ( )vagy jobbra ( ).

    Bizonyts: Fggelk A.6

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    19/53

    4.3. Az extremlis trajektrik geometriai interpretcija

    Az elzpontban megmutattuk, hogy az extremlis trajektria egyenes mozgsokbl segyhelyben val fordulsokbl ll. Most megvizsgljuk, hogy ezekbl milyenszekvencik jhetnek szba, illetve, hogy ezek milyen geometriai interpretcinakfelelnek meg.A geometriai lersban fontos szerepet jtszik az -vonal. Az -vonal koordintia (4.10) kifejezst nullv teszik. Ms szval az

    ( yx, )-vonal egy olyan egyenes, ahol

    0:vonal 321 =+ cxcyc (4.17)

    Ez alapjn a brmely pontra (gy a robot pozcijra is) az( yx, ) )( yx, kifejezs az

    ( )yx, -vonaltl val 2221 cc + mennyisggel slyozott (sklzott) eljeles tvolsgt

    adja (Fggelk A7, 7. bra). A tvolsg eljelt gy vlasztjuk, hogy az az -vonaltljobbra espontoknak pozitv, a balra espontoknak negatv a tvolsguk.Ha ezek utn a robot 1. kereknek kereknek pozcijt ( )11,yx pont, a msodik kerkpozcijt pont jelli, akkor( 22 ,yx )

    (4.18)

    +

    =

    cos

    sin

    1

    1

    by

    bx

    y

    x

    (4.19)

    +=

    cos

    sin

    2

    2

    by

    bx

    y

    x

    Ezek alapjn a kapcsolfggvnyek kifejezhetk a kerekek pozcii alapjn is (FggelkA.8):

    ( )221 ,21

    yxb = (4.20)

    ( 112 ,21

    yxb = ) (4.21)

    Ezt a kerekek optimlis szgsebessgeit kifejez(4.14) sszefggsbe behelyettestve:

    ( )( )(( )112

    221

    ,)(

    ,)(

    yxsignt

    yxsignt

    )

    =

    = (4.22)

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    20/53

    Fontos ltni (4.22) kifejezsbl, hogy az optimlis trajektrin val mozgs sorn akerekek szgsebessgt az a kerekek -vonalhoz viszonytott elhelyezkedse (azazeljeles tvolsgainak eljele) hatrozza meg. Ezt a kvetkezttelben foglaljuk ssze:

    9. Ttel.Az extremlis trajektrin az irnytsi trvny

    ( )( )(( )112

    221

    ,)(

    ,)(

    yxsignt

    yxsignt

    )

    =

    = (4.23)

    amely geometriailag gy interpretlhat, hogy

    1= Ha a 2. kerk -vonal jobb oldaln[ ]1,1 Ha a 2. kerk -vonalon1

    1= Ha a 2. kerk -vonal bal oldaln

    1= Ha az 1. kerk -vonal bal oldaln[ ]1,1 Ha az 1. kerk -vonalon2

    1= Ha az 1. kerk -vonal jobb oldaln

    Azaz az 1. kerk akkor kapcsol ellenkez irnyba, ha a 2. kerk rinti a -vonalat, a 2.kerk akkor kapcsol ellenkezirnyba, ha a 1. kerk rinti az -vonalat (7- bra).

    Bizonyts: A Ttel kzvetlenl addik a Ttel megelzdiszkusszibl.

    A 9. Ttel alapjn a 8. Ttel is interpretlhat geometriailag a kvetkezkpp.

    1. Kvetlezmny(8. Ttel s 9. Ttel): Az extremlis trajektria a [ ]T,0 intervallumonaz albbi tpus trajektrik szekvencijbl ll:

    ( )( )221 ,yxsign=

    ),( yx

    v

    7. bra. A 1 s 2 kapcsolfggvnyek az 1. s 2.kerekek -vonaltl mrt eljeles tvolsgt adjk.

    -vonal:

    ( )( )112 ,yxsign=

    -( )yx, ( )

    22

    21

    11 ,

    cc

    yx

    +

    +

    ( )22

    21

    22 ,

    cc

    yx

    +

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    21/53

    Dupln szingulris

    A robot nem mozog

    Mindkt kerk az -vonalon van

    021 == Ilyenkor az egsz extremlis trajektria egy dupln szingulris trajektribl

    ll

    Szingulris A robot az -vonallal prhuzamosan mozog elre ( ) vagy htra ( )

    Az egyik kerk az -vonalon van

    021 =

    Generikuso A kapcsolfggvnyek azonos eljelek

    A robot az -vonal fel egyenesen mozog elre ( ) vagy htra

    ( ), attl fggen, melyik visz -vonal fel A kt kerk az -vonal kt klnbzoldaln van

    021 = o A kapcsolfggvnyek klnbzeljelek

    A robot egyhelyben fordul jobbra (ha a robot a -vonal jobboldaln van) vagy a robot egyhelyben fordul balra (ha a robot a-vonal bal oldaln van)

    A kt kerk az -vonal azonos oldaln van

    21 =

    Azz optimlis trajektria meghatrozsa azrt nem lehetsges kzvetlenl, mert az -

    vonal elhelyezkedse (azaz a konstansok rtke) ismeretlen. A PME csak aztmondja ki, hogy a konstansok (s az321 ,, ccc -vonal ) lteznek, de azt nem mondja meg, hogy

    konkrtan mi az rtkk.

    Az optimlis trajektrihoz szksges irnyts szemlltethet a Hamilton fggvnyszintvonalaival is. Induljunk ki a (4.5) Hamilton fggvnybl s helyettestsk be az (1.6)sszefggst az llapotvektor derivljra illetve a (4.9) sszefggst az adjungltfggvnyre:

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ),(sincossincos

    sincos),(,,,

    21),(

    321211)9.4(

    321)6.1(

    yxccvcxcycccv

    vvuqquqH

    yx

    ++=+++=

    ++==

    (4.24)

    Az ltalnossg megszortsa nlkl felttelezhet, hogy , ami alapjn (4.24)sszefggs a

    12221 =+ cc

    += cosvH (4.25)

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    22/53

    alakra hozhat (Fggelk A9), ahol a robot orientcijt meghatroz egyenes s az-vonal ltal bezrt szg (7. bra). A (4.25) egyenlet felrhat skalris szorzatknt is:

    ( )

    ( )wdtH

    d

    vw

    ,))(max(

    ,cos

    ,

    0 =

    =

    =

    (4.26)

    ahol az irnyts, a karakterisztikus vektor. A (4.26) kifejezs azrt hasznos, mert arobot aktulis konfigurcijra jellemz karakterisztikus vektorhoz knnymegtallniazt a irnyt jelet, amely a

    w dd

    w wd, negatv Hamilton fggvnyt maximalizlja. Ez a

    maximum elv fggetlen attl, hogy milyen robotrl van sz. Az optimlis irnyts aDubins, a Reeds-Shepp s a differencilis meghajts jrmre csupn azrt klnbzik,mert a megengedhet irnytsi tartomnyok klnbznek. A (4.26) kifejezs alapjnknnyen ellentizhet, hogy az egyes karakterisztikus vektorokra melyik (optimlis)irnytsi vektor adja a maximlis Hamilton fggvnyt.A differencilis meghajts jrm karakterisztikus vektor fggvnyben brzoltoptimlis irnyts s Hamilton fggvny a 8. brn lthat. Az optimlis lineris sszgsebessget a 2.c brn mutatott irnytsi tartomnyban kell keresni. A Hamiltonfggvnyek s az optimlis sebessgek a Dubins illetve a Reeds-Shepp jrmre a 9. brns a 10. brn lthatk. Az optimlis irnytsi rtkeket a 2.a s 2.b brn vzolttartomnyban kellett megkeresni. Vegyk szre, hogy az optimlis irnytsok abszoltrtkben mindig maximumot adnak vagy nullk (ez utbbi csak a differencilismeghajtsi jrmnl fordulhat el, s ekkor a msik irnytsi jel maximlis abszoltrtkkel aktv).

    Megjegyzs 4.3. Tegyk fel, hogy egy konstans er lp fel az -vonal mentn, de amozgssal ellenttes irnyban. Ebben az esetben vehetnnk azt a munkt, amelyet arobotnak vgeznie kellene ezzel az erhatssal szemben. A munka derivltja ateljestmny (jellje P), amely alkalmas sklzs mellett bb (4.25) kifejezsjobboldalt adja:

    +== cosvHP (4.27)

    A Pontjragin-fle maximum elv ez alapjn gy is reprezentlhat mindhrom jrmtpus

    esetn, hogy az optimlis trajektria az -vanalon hat er

    ellenben a maximlisteljestmnyt fejti ki.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    23/53

    2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

    21

    0.5

    0

    0.5

    1

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2Hamilton level set

    cos()

    2 1.5

    1 0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    Velocity map (v)

    cos()

    2

    1

    0

    1

    2

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    Angular Velocity map ()

    cos() 8. bra. A differencilis meghajts jrmHamilton fggvnye s optimlis

    irnytfellete

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    24/53

    2

    1.5 1 0.5 0

    0.5 1 1.5 2

    1

    0.5

    0

    0.5

    11

    0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    Hamilton level set

    cos()

    2

    1

    0

    1

    2

    10.5

    0

    0.5

    1

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    Velocity map (v)

    cos()

    21.5

    10.5

    00.5

    11.5

    2

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    Angular Velocity map ()

    cos() 9. bra. A Dubins jrmHamilton fggvnye s optimlis irnytfellete

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    25/53

    21.5

    10.5

    00.5

    11.5

    2 1

    0.5

    0

    0.5

    1

    0

    1

    2

    3

    cos()

    Hamilton level set

    2

    1

    0

    1

    2 1

    0.5

    0

    0.5

    11

    0.5

    0

    0.5

    1

    cos()

    Velocity map (v)

    2

    1

    0

    1

    2 1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    cos()

    Angular Velocity map ()

    10 bra. A Reeds-Shepp jrmHamilton fggvnye s optimlis irnytfellete

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    26/53

    4.4. Az extremlis trajektrik mozgsprimitvjeinek lehetsges szekvencii

    Az eddigi trgyalsbl lthat, hogy az optimlis trajektria egyenes szakaszokbl segyhelyben val fordulsok valamilyen szekvenciibl ll. A krds azonban az, hogypontosan milyen szekvencik lehetsgesek egy extremlis trajektria (vagy optimlistrajektria) szmra. A krds megvlaszolsval kpet kaphatunk az extremlisoklehetsges szmrl. A 8. Ttel, 9. Ttel illetve az 1. Kvekezmny alapjn belthat,hogy az extremlis trajektrik szmnak meghatrozsban fontos szerepet jtszik arobotkerekek kzti tvolsggal ( ) definilt tmrjkr (n, alapkr)b2 -vonalhoz vettrelatv helyzete. Ezek alapjn csak az albbi mozgsmintk lehetsgesek (lsd 7. brt is):

    CW, CCW ([fordtott] kr- [Counter] Circle Wheelbase): Ha az alapkr teljes

    egszben az -vonal jobb oldaln van, akkor a robot jobbra fordul ( ) , sohanem rinti az -vonalat (CW) s kapcsols sincs. Ha az alapkr teljes egszbenaz -vonal bal oldaln van, akkor a robot balra fordul ( ), soha nem rinti az-vonalat (CW) s kapcsols sincs.

    TCW, TCCW (rint [fordtott] kr -Tangent [Counter] Circle Wheelbase): Ha

    az alapkr az -vonal jobb oldaln van s rinti az -vonalat (TCW), akkor kteset lehetsges (8. bra):

    o Ha a kerekek nem rintik az -vonalat, akkor a robot jobbra fordul atengelykzppont krl ( )

    o Ha egy kerk rinti az -vonalat, akkor a robot vagy egyenesen megy az

    -vonalon vagy jobbra fordul a tengelykzppont krl ( ).Mindkt esetben az alapkr mindig rinteni fogja (jobbrl) az -vonalat amozgs sorn. Lthat az is, hogy az els s utols forgs kivtelvel azsszes forgs a (TCW) vagy (TCCW) egsz szm tbbszrsnekmegfelelszggel trtnikA TCCW eset ezzel analg, csak az -vonal msik oldaln van az alapkr sa mozgsirnyok is ellenttesek.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    27/53

    -vonal: ( )yx,

    +

    -

    8. bra. TCW minta

    ZR, ZL (jobbos cikk-cakk, balos cikk-cakk Zigzag right, Zigzag left): Akkor

    fordul el, ha az -vonal metszi az alapkrt. Ekkor a mozgsprimitvekszekvencijban mindig egyenes mozgs s (egy helyben val) forduls kvetiegymst ciklikusan. Ha a robot kerktengelye (kt kerkkzppont kzttiegyenes szakasz) kezdetben metszi az -vonalat, akkor egyenesen mozog elre,addig, amg az egyik kerk el nem ri az -vonalat. Ezutn a robot egyhelybenfordul mindaddig, amg a msik kerk el nem ri az -vonalat, majd jraegyenesen mozog elre (s kezddhet az egsz elrl). Kt nemgenerlt mintaltezik: , amit jobbos cikk-cakk mozgsnak (ZR) neveznk, illetve

    , amit balos cikk-cakk mozgsnak (ZL) neveznk. Vegyk szre,hogy ezek a mintk elvileg sokszor ismtldhetnnek egyms utn (a 4.5. ponteredmnyei ezek szmt majd limitlja). Kt degenerlt eset fordulhat el;egyfell, ha mindkt kerk az

    -vonalon van (dupln szingulris eset), msfell,ha a robot az -vonallal prhuzamosan ll mr kezdetben (ekkor a robotegyenesen halad s soha sem fordul elkapcsols).

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    28/53

    A htramarad krds az, hogy egy extremlis trajektria, hny mozgsprimitvbltevdik ssze.

    4.5. Optimlis trajektrik

    Azt mr tudjuk a 4.4. pont alapjn, hogy a differencilis meghajts jrm optimlistrajektrija kr vagy cikk-cakk mozgsmintkbl (vagy azok degenerlt eseteibl) ll.Azonban nem tudjuk, hogy a mozgsmintk hny mozgsprimitvbl (fordulsjobbra/balra, egyenes mozgs elre/htra) tevdik ssze. Ebben a pontban olyaneredmnyeket kzlnk, amely a potencilis lehetsgek halmazt jelentsen korltozza,gy knnyebb dolgunk lesz az extremlis trajektrik kzl az optimlis kivlasztsa.Elslpsknt idzzk fel, hogy az (1.10) alapjn a kerekek ltal megtett t hossza alineris sebessghez s

    v

    szgsebessghez tartoz albbi tkomponensek sszegvelfejezhetki:

    dtvtst

    =0

    )( , dtbtt

    =0

    )( (4.28)

    Ez alapjn a kvetkezllts tehet:

    10. Ttel. A [ idintervallumon definilt optimlis trajektria minden]T,0 [ ]Tt ,0 teljesti, hogy

    )()( ttst += , (4.29)

    +

    -

    ( )yx, -vonal:

    9. bra. Jobbos cikk-cakk mozgs

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    29/53

    Bizonyts: A 8.Ttel alapjn a nemtrivilis extremlis trajektria egyenesmozgs(ok)bl illetve egyhelyben val forduls(ok)bl ll. Mivel az egyenesmozgsokhoz tartoz idt jelli,

    )(ts

    )(t pedig a fordulshoz tartoz v hossza (amiegysgnyi szgsebessg mellett a megttelhez szksges idvel egyenl), ezrt a (4.29)

    sszefggs nyilvnval.

    11. Ttel. Minden idoptimlis trajektrira: bT )( , azaz az sszestett elfordulsszge: .

    Bizonyts: Fggelk A.10

    12. Ttel. A tbb mint 3 mozgsprimitvet tartalmaz TCW, TCCW (rint [fordtott]kr) trajektrik nem optimlisak.

    Bizonyts: Fggelk A.11

    13. Ttel. A 3 elfordulst tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nem optimlisak.

    Bizonyts:Fggelk A.12

    14. Ttel. A tbb, mint 1 peridust tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nemoptimlisak.

    Bizonyts:Fggelk A.13

    A 12. Ttel, 13. Ttel s a 14. Ttel alapjn megadhat, hogy az extremlis trajektrik

    kzl pontosan hny CCW,CW, TCCW, TCW, ZL, ZR tpus trajektria lehet optimlistrajektria. Az optimlis trajektria lehetsges tpusait (a mozgsprimitvek lehetsgesszekvenciit) a 4.3. tblzat mutatja.

    4.3. tblzat. Az optimlis trajektria lehetsges tpusai

    Tegyk fel, hogy az elrni kvnt clpont az orig egy kezdeti konfigurcibl.Tovbbi vizsglatokkal megmutathat, hogy a konfigurcibl szimmetrikus

    transzformkkal szrmaztatott j

    IqIq

    ( )IqT konfigurciira az optimlis irnytjel az eredetioptimlis irnytjel egyszer szimmetrikusu )(u vltoztatsa adja az irnyt jelet. A

    4.4 tblzat sszefoglalja, hogy a kezdeti konfigurcik elemi szimmetrikustranszformciira hogyan vltozik az optimlis irnyt jel.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    30/53

    Konfigurcitranszformcija

    Vltozs az optimlisirnytsban

    ( ),,:1 yxqT = :1 s felcserlse( ) ( )( )yxRotyxT = ,,:2 2 : Forditott sorrend a

    mozgsprimitvekben( )= ,,:3 yxqT :3 s felcserkse

    4.4. tblzat. Szimmetrik kapcsolata

    Mindegyik transzformci inverze nmaga s a hrom transzformci kommutatv.Termszetesen a szimmetria transzformcik egyms utn is alkalmazhatk.. gy kilencalapeset klnbztethet meg, amelyekbl ht klnbz szimmetriatranszformciszrmaztathat. Brmely alapeset brmely szimmetria transzformcija a 4.3. tblzatvalamelyik elemt (vagy valamelyik elem szekvencijnak egy rszt) adja. A 4.5tblzatban az alapesetek (sor) s azok szimmetriatranszformciihoz (oszlop) tartoz

    optimlis trajektria tpust hatrozza meg. gy egy pont optimlis trajektrijnakszmtsval egy msik (szimmetrikus) konfigurci optimlis trajektrija is knnyenmeghatrozhat.

    Alap1T 2T 3T 12 TT 13 TT 23 TT 123 TTT

    A B C D E

    F

    G H I

    4.5. tblzat. A szimmetria osztlyokhoz tartoz optimlis trajektrik

    Az optimlis trajektria vgleges meghatrozshoz alapveten a 4.3. tblzat mindentpusra meg kell nzni, hogy mennyi idt ignyel a vgllapotba jutshoz. A legkisebbidvel rendelkezextremlis adja az optimlis trajektrit.Az optimlis trajektria gyakori szmtsi ignye mellett egy msik mdszer lehet az is,hogy minden konfigurcira kiszmoljuk egy adott trrszben az optimlis trajektrit, sa szimmetria ekvivalencikat kihasznlva tbb ms konfigurcibl indtott optimlistrajektrija is meghatrozhat. Ez utbbi esetet illusztrlja a 10. bra, ahol 4/ =s kezdeti orientci mellett az egyes kezdeti pozicikbl indulva mi az optimlis trajektriaszekvencija.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    31/53

    10. bra. Az optimlis trajektria szekvencik ( )4/,, yxqs = kezdeti konfigurci, sorigval definilt clpozci, valamint x-tengely irnyval megegyezclorientci

    mellett.

    5. Irodalomjegyzk

    [1] Dubins, L. E. 1957. On curves of minimal length with a constraint on averagecurvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents. AmericanJournal of Mathematics 79:497-516.

    [2] Reeds, J. A., and Shepp, L. A. 1990. Optimal paths for a car that goes both forwardsand backwards. Pacific Journal of Mathematics 145(2):367-393.

    [3] Balkcom D. J., and Mason M. T. 2002. Time optimal trajectories for bounded velocitydifferential drive vehicles, International Journal of Robotics Research, 21(3):199-217.

    [4] LaValle, S. M. Planning algorithms. http://planning.cs.uiuc.edu/

    http://planning.cs.uiuc.edu/http://planning.cs.uiuc.edu/
  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    32/53

    [5] Sussmann, H., and Tang, G. 1991. Shortest paths for the reeds-shepp car: a workedout example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control. SYCON 91-10, Dept. Of Mathematics, Rutgers University, New Brunswick, NJ 08903

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    33/53

    Fggelk A1: Az 5. Ttel bizonytsa.

    5. Ttel.Ha a korltozott sebessgdifferencilis robot extremlis trajektorijn a 1 s

    2 kapcsolfggvnyeknek kzs gykei vannak egy intervallumon (azaz 021 == ),

    akkor az extremlis trajektria trivilis.

    Bizonyts: Legyen egy extremlis trajektria a)(tq [ ]T,0 idintervallumon. A felttelszerint ezen az intervallumon 021 == bizonyos pont(ok)ban. Ebben az esetben a

    (4.15) kifejezs alapjn 0)()( 210 =+= tt . Mivel 0 invarins az extremlis

    trajektrin, ezrt az egsz [ ]T,0 idintervallumon [C5.1].021 ==A [C5.1] konklzi s (4.16) alapjn azonban 3 nemnulla az egsz [ ]T,0idintervallumon [C5.2].Sussmann s Tang lemmja alapjn [5], ha z egy folytonosan vgtelenszer

    differencilhat (n. sima) vektormez s egy optimlis trajektrija a simavektormezkkel definilt rendszernek, akkor

    f

    )(tq 21,ff

    ( ))(,)( tqft Zz = (A1.1)

    fggvny idszerinti derivltja:

    [ ] [ ]ZZz fffft ,,,,)( 2211 += (A1.2)

    majdnem minden idpontra, aholt

    [ ] 2,1,, =

    = if

    q

    ff

    q

    fff Z

    ii

    ZZi (A1.3)

    Az vektormezket behelyettestve Zhelyre (A1.3)-ben (s kihasznlva, hogy

    ), az (A1.2) kifejezs a kvetkezket adja:321 ,, fff f

    [ ] iff ii = ,0,

    [ ] [ ]

    [ ]

    =

    =

    ==

    +=

    bb

    fq

    ff

    q

    fff

    ffffA

    1sin

    cos

    000

    cos00

    sin00

    4

    1

    1sin

    cos

    000

    cos00

    sin00

    4

    1,

    ,,,

    ,,,,

    2

    12

    21

    2122

    122

    0

    111

    )2.1(

    1

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    34/53

    32

    )12.4(

    )9.1(

    22

    3

    3

    0

    cos

    sin

    2

    1,

    0

    cos

    sin

    4

    1

    0

    cos

    sin

    4

    1,

    =

    =

    +

    =

    f

    bbb

    [ ] [ ]

    [ ]

    31

    )12.4(

    )9.1(

    11

    1

    21

    12

    1211

    0

    222211

    )2.1(

    2

    3

    3

    0

    cos

    sin

    2

    1,

    0

    cos

    sin

    4

    1

    0

    cos

    sin

    4

    1,

    1sin

    cos

    000

    cos00

    sin00

    4

    1

    1sin

    cos

    000

    cos00

    sin00

    4

    1,

    ,,,

    ,,,,

    =

    =

    +

    =

    =

    =

    ==

    +=

    f

    A

    bbb

    bb

    fq

    ff

    q

    fff

    ffff

    [ ] [ ]

    =

    +

    =

    +=

    32

    23

    231

    13

    1

    3223113

    ,,

    ,,,,

    fq

    ff

    q

    ff

    q

    ff

    q

    f

    ffff

    +

    =

    0

    cos2

    1

    sin2

    1

    2

    1

    sin2

    1

    cos2

    1

    1sin

    cos

    2

    1

    0

    cos2

    1

    sin2

    1

    ,

    0

    cos2

    1

    sin2

    1

    2

    1

    sin2

    1

    cos2

    1

    1sin

    cos

    2

    1

    0

    cos2

    1

    sin2

    1

    ,

    1

    2

    1

    1

    b

    b

    b

    q

    b

    b

    b

    q

    b

    b

    b

    q

    b

    b

    b

    q

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    35/53

    +

    =

    0

    cos

    sin

    000

    cos00

    sin00

    4

    1

    1sin

    cos

    000

    sin00

    cos00

    4

    1,

    0

    cos

    sin

    000

    cos00

    sin00

    4

    1

    1sin

    cos

    000

    sin00

    cos00

    4

    1,

    2

    1

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    ( )

    ( )( )21212

    )12.4(

    )8.1(

    2122221

    41

    0

    sin

    cos

    ,4

    1

    0

    sin

    cos

    4

    1,

    0

    sin

    cos

    4

    1,

    21

    21

    ++=

    +=

    +

    =

    +

    +

    b

    bbb

    ff

    az eredmnyeket sszefoglalva [C5.3]:

    321 = (A1.4)

    312= (A1.5)

    ( )( 212123 41

    ++=b

    ) (A1.6)

    A [C5.1] konklzi alapjn 01= mindenhol, azaz 01= mindenhol. Mivel [C5.2]alapjn 3 nemnulla, ezrt [C5.3]-(A1.4) sszefggsben 02= majdnem minden t

    idpontban. Az 01= majdnem minden tidpontban belthat ezzel analg mdon.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    36/53

    Fggelk A.2: A 6. Ttel bizonytsa

    6. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlisnak egyszingulsis intervallumn az 1 s 2 irnytsok konstansok s egyenlk majdnem

    mindentt.

    Bizonyts:Ha 1 s 2 kapcsolgrbknek egy kzs gyke van, akkor az 5. Ttel rtelmben a

    teljes trajektria dupln szingulris, 1 s 2 nulla s gy a Ttel igaz.

    Tekintsk most azt az esetet, amikor a trajektria 1 -szingulris s nincs 1 s 2

    kapcsolgrbknek kzs gyke. Ekkor 1 felttelezs szerint azonosan nulla [C6.1], gya (4.15) sszefggsbl

    0)(20 >= t mm. (A2.1)

    kvetkezik. Az (A2.1) alapjn 2 konstans. Hasonlan, a (4.14) sszefggsalapjn 2 a

    2 kapcsolfggvny eljelnek mnusz 1-szerese, gy 2 majdnem mindentt -1 vagy1, teht konstans a szingulris intervallumon [C6.2].Mivel [C6.1] szerint 1 azonosan nulla, gy 01= [C6.3].

    Tekintsk most az (A1.4) egyenletet. A 01= (azaz [C6.3]) csak akkor llhat fenn

    nemnulla 2 esetn (lsd [C6.2]), ha 3 azonosan nulla, azaz [C6.4]:

    0,0 33 == (A2.2)

    (Az (A2.2) egyenlet mindenhol igaz, nemcsak majdnem mindenhol).Tekintsk (A1.6) egyenletetet. A baloldal nulla az (A2.2) miatt. Viszont 021 + a[C6.1] konklzi s az (A2.1) miatt. Ez csak gy lehet, ha az (A1.6) jobboldalnak msiktnyezje nulla, azaz

    ( ) =+ 021 21 mm. (A1.6)

    Ezzel a ttelt bizonytottuk.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    37/53

    Fggelk A.3: A 7. Ttel bizonytsa

    7. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra s a hozztartoz optimlis irnytsra fennll, hogy ltezik olyan 0> ,

    hogy minden generikus pont egy generikus intervallumban legalbb ideig tart. Agenerikus intervallumban az irnytsok konstansok.Bizonyts:

    A 21 gykeit vagy a 1 , vagy a 2 gykei adjk, ezrt a generikus pontok nem gykei

    21 -nek. Ezrt a generikus pontokat a ( ) ( )+ RR 11 inverzfggvny adja a( )+ RR halmazon. Mivel ( )+ RR nylt halmaz s mivel ( folytonosfggvny, ezrt a generikus pontok halmaza relatve nylt azon az idintervallumon, ahol

    ) 11

    a trajektria definilt. A relatve itt azt jelenti, hogy a generikus pontok nylt halmazokunijval rhat le, kivve az els s az utols intervallumot, amely (a zrt [ ]T,0idintervallum miatt) flig nyltak [C7.1].

    Legyen adott egy tetszleges generikus pont s I a hozztartoz intervallum. A 1 s2 kapcsolfggvnyek nem vltanak eljelet az I intervallumon (hisz nincsenek

    gykeik, azaz zrushelyeik), gy az 1 s 2 irnytsok a (4.14) alapjn konstansok[C7.2].

    A 0> ltezsnek bizonytsra klnbzeseteket vizsglunk:1. Eset:Nylt intervallum, 1 s 2 azonos eljelek. Ebben az esetben a (4.14) s a

    [C7.2] alapjn 21= majdnem mindenhol, azaz (A1.6) alapjn 03= , azaz 3

    konstans. Az 21= miatt (A1.4) s (A1.5) egyenletekbl:

    321 == mm. (A3.1)

    Ha 03= , akkor a 1 s 2 kapcsolfggvnyek (A1.4)-(A1.5) alapjn konstansok. Ez

    azt eredmnyezi, hogy az Iintervallum nem lehet a 1 s 2 gykeivel lehatrolva(mert egyltaln nincsenek gykk), gy az extremlis csak egy nagy generikusintervallum.

    03 , a kapcsolfggvnyek cskkennek vagy nvekednek (linerisak t-ben) s az

    I intervallum vagy 1 , vagy 2 gykvel/gykeivel van lehatrolva. Akapcsolfggvnyek felttelezett azonos eljelbl kvetkezen (4.15) trhat

    )()( 210 tt += (A3.2)

    formba. Az (A3.2) sszefggsbl lthat, hogy, ha az egyik kapcsolfggvny n,a msiknak cskkenie kell s fordtva. Mindekzben termszetesen a felttelezsszerint az eljelk azonos. gy az intervallum egyik vgn 021 ,0 == , a msik

    vgn 012 ,0 == . Az I intervallum hosszt az hatrozza meg, hogy a 0

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    38/53

    rtkrl indul kapcsolfggvny (amelynek meredeksge 3 ) abszolt rtke

    mennyi id mlva ri el 0 rtket. Ez id alatt (A3.2) miatt a msik

    kapcsolfggvny abszolt rtke 0 rtkrl a 0 rtket ri el. gy az Iintervallumhossza:

    3

    01

    = (A3.2)

    Ebbe behelyettesthet az (A4.3) kifejezsbl kifejezhet 3 rtke (kihasznlva,

    hogy a felttelezs szerint most 03 illetve 1 s 2 eljele azonos, azaz

    ( ) 121 =sign ):

    2

    0

    2

    2

    2

    1

    0

    3

    01

    2

    +

    ==

    cc

    b (A3.3)

    2. Eset:Nylt intervallum, 1 s 2 ellenkezeljelek. Jellje s a 1 kapcsolfggvny eljelt. Ekkor (A1.4)-(A1.6) kifejezsek alakja:

    31 s= (A3.4)

    32 s= (A3.5)

    ( )2123 2 +=

    b

    s (A3.6)

    Az (A3.6) egyenletet derivlva

    ( )2123 2 +=

    b

    s (A3.7)

    Ebbe 1 s 2 alakjt behelyettestve (A3.4), (A3.5) egyenletekbl:

    ( ) 321

    3231

    22

    2

    b

    sb

    s s==

    = (A3.8)

    Az (A3.8) differencilegyenlet megoldsa

    += nt

    b

    tAcos3 (A3.9)

    ahol az A , konstansok meghatrozandk. Az (A3.9) megoldst differencilvant

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    39/53

    += nt

    b

    t

    b

    Asin3 (A3.10)

    Az (A3.6) s (A3.10) baloldala azonos, gy a jobboldaluk is egyenl:

    ( )2123 2sin +=

    +=

    b

    st

    b

    t

    b

    An

    (A3.11)

    ahonnan

    +=+ nt

    b

    tAbs sin21 (A3.12)

    Az (A3.12) s (A3.9) kifejezseket (A4.2) baloldaln behelyettestve az Aparamter

    kifejezhet

    b

    ccA

    2

    22

    21 += (A3.13)

    gy (A3.12) j alakja:

    ++=+ nt

    b

    tccs sin22

    2121 (A3.14)

    Most kihasznlva, hogy 1 s 2 klnbzeljel, a (4.15) egyenlet trhat akvetkezalakra:

    021 s= (A3.15)

    Az (A3.14) s (A3.15) egyenleteket sszeadva, illetve kivonva egymsbl:

    +

    +=

    +

    +

    +=

    2sin

    2

    2sin

    2

    022

    21

    2

    022

    21

    1

    n

    n

    tb

    tccs

    tb

    tccs

    (A3.16)

    A 1 s 2 gykeit gy a

    22

    21

    0sincc

    tb

    tn

    +=

    +

    (A3.17)

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    40/53

    egyenletek -re vett) megoldsai szolgltatjk az( t Iinte m hosszt:rvallu

    = 012 sin2b

    +

    2

    2

    2

    1 cc

    (A3.17)

    ( 2 nem lehet nulla, mivel 0 sem lehet nulla. Ekkor ugyanis (A3.16) kt kifej

    zonos lenne, s nem llna fenn az a felttel, hogy

    ezse

    a 1 s 2 klnbzeljelek.)

    kor

    az, hisz az intervallum hossza nemnulla.

    Egyb esetek: zrt s flig zrt intervallumok. Ha a generikus intervallum zrt, akannak meg kell egyeznie a teljes extremlis intervallum val s gy a Ttel trivilisanigFlig zrt generikus intervallum esete a trajektoria elejn vagy vgn fordulhat el.Ebben az esetben hossz a 1 , 2 s (ha van, akkor a) flig zrt intervallum hossza

    kzl a legkisebb .

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    41/53

    Fggelk A.4: Segdlet A.3-hoz

    A i kapcsolfggvnyek definciiba behelyettestve

    ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) 22212222222121

    222

    22121

    222

    221

    22121

    22

    21

    2

    321

    2

    12

    21

    23

    2

    321

    2

    1

    321

    2

    1

    2

    3

    2

    21

    2

    3

    2

    21

    sincossincos

    sincos2cossinsincos2sincos

    cossinsincos2sincos

    0

    cos

    sin

    2

    1,2sincos

    2

    /1

    sin

    cos

    2

    1,

    /1

    sin

    cos

    2

    1,

    2),(),(2

    cccc

    cccccccc

    cccccc

    bcxcyc

    c

    c

    bcc

    b

    bcxcyc

    c

    c

    bcxcyc

    c

    c

    btqfttqftb

    +=+++=

    ++++=

    +++=

    +

    +++=

    +

    +

    +

    +

    =

    ++=++

    (A4.1)

    azaz

    ( ) ( ) 2221

    23

    221 2 ccb +=++ (A4.2)

    Ebbl a (4.15) egyenlet ngyzett levonva:

    ( )( ) ( ) 2022

    21

    232121 212 +=+ ccbsign (A4.3)

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    42/53

    Fggelk A.5: Az 1. Lemma bizonytsa

    Lemma 1. A korltozott sebessg differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra fennll, hogy egy kapcsolsi fggvny brmely kt gyke vagy egy kzs

    szingulris intervallumhoz tartozik, vagy a kettkztt van generikus pont.Bizonyts:Legyen s a kapcsolsi fggvny kt gyke, s tegyk fel, hogy nincs kzttk

    generikus pont. Tekintsk most az extremlis1t 2t

    [ ]21,tt (n. korltozott) intervallumt. Afelttelezs alapjn, mivel az intervallum egy pontja sem generikus pont, ezrt minden

    egyes pont valamelyik kapcsolsi fggvny gyke. Jellje ( )0111=R a 1 kapcsolsi

    fggvny gykeinek halmazt, s jellje ( )0122=R a 2 kapcsolsi fggvny

    gykeinek halmazt. s zrt, s az unijuk lefedi a teljes1R 2R [ ]21,tt intervallumot.Ha , akkor a metszetben tallhat pontok mindkt kapcsolsi fggvnynekgyke, gy az 5. Ttel rtelmben az egsz trajektria dupln szingulris.

    21 RR

    Ha , akkor s egyms komplemensei. Mindkettjknek nyiltnak szrtnak is kell lennie egyszerre a

    = 21 RR 1R 2R

    [ ]21,tt intervallumon. (Zrt, hisz a sajt hatrukattartalmazzk, de nyilt is, mert a msik, zrt halmaz komplemenseknt nyiltnak kelllennie). Ez csak gy lehet, ha az egyik az res halmaz, a msik a teljes [ ]21,tt intervallum. Ez viszont azt jelenti, hogy a teljes [ ]21,tt intervallum ugyanaz szingulrisintervallumhoz tartozik.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    43/53

    Fggelk A.6: Az 8. Ttel bizonytsa

    8. Ttel.A intervallumon definilt extremlis trajektria vges szm generikus sszingulris intervallum lezrsval fedhet le. Az extremlis trajektrin vges szm

    kapcsols van, amely vagy egy generikus, vagy egy szingulris intervallum vgntallhat. Minden intervallum az albbi hrom tpus valemelyikbe tartozik:

    [ T,0 ]

    Dupln szingulris. Mindkt kapcsolsi fggvny azonosan nulla. Mindkt

    irnyt jel nulla majdnem minden idpontban s a robot nem mozog. Egy duplaszingularitst tartalmaz extremlis egy intervallumbl ll; egy dupln szingulrisintervallumbl.

    Szingulris. A 1 s 2 kapcsolfggvnyek valamelyike azonosan nulla (de a

    msik soha sem). Az irnyt jelek egyenlek s szaturltak (1 vagy -1) majdnemmindenhol. A robot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( )vagy egyenesen htra ( ).

    Generikus. Egyik kapcsolfggvnynek sincs gyke a generikus intervallumon.Kt eset van:

    A kapcsolfggvnyek eljele azonos. Az irnyt jelek egyenlk sszaturltak majdnem mindenhol. A szingulris intervallummal egyezen arobot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( ) vagyegyenesen htra ( ).

    A kapcsolfggvnyek eljele klnbzik. Az irnytjelek ellenttesek sszaturltak majdnem mindenhol. A robot egyhelyben forog balra ( )vagy jobbra ( ).

    Bizonyts:

    Elszr bebizonytjuk, hogy az intervallum generikus s szingulris intervallumoklezrsval fedhetk le. Tegyk fel indirekte az ellenkezjt. Ekkor ltezik egy nemlefedett (nemres) nylt intervallumok unija a [ ]T,0 intervallumon. Az egyik ilyen nyltintervallumon vegynk kt pontot. A 2. Lemma alapjn ezek generikus ponttal kell, hogylegyenek elvlasztva, ami ellentmonds. Ez alapjn megllapthat, hogy a generikus sszingulris intervallumok lefedik a teljes trajektrit [C8.1].Nevezzk elvlaszt pontnak azokat a pontokat, amely valamelyik kapcsolfggvnygyke s nem bels pontja szingulris intervallumnak. Most megmutatjuk, hogy csakvges szm elvlaszt pont van. Az 7. Ttel rtelmben a generikus intervallumokhosszra als hatrt tudunk meghatrozni. Tegyk fel, hogy van 3 elvlaszt pont. Az1. s a 3. legalbb tvolsggal kell hogy legyenek elvlasztva, klnben a 2.

    elvlaszt pont 2. Lemma rtelmben egy szingulris intervallum belspontja lenne. Ezalapjn ( ) 1/2 +T elvlaszt vonalnl nem lehet tbb ( =T esetn is maximum 3elvlaszt pont lehet csak).Az elvlaszt pontok a 0 , T pontokkal egytt definiljk az extremlis struktrjt,ugyanis k vlasztjk el egymstl a vges szm szingulris vagy generikusintervallumokat. Minden intervallum maximlis, azaz nem rsze egy nagyobbugyanolyan tpus intervallumnak. Mivel a kapcsols csak az elvlaszt pontoknlfordulhat el, csak vges szm kapcsols tallhat a trajektrin.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    44/53

    Az 5. Ttel s 6. Ttel alapjn az irnyts konstans a szingulris intervallumon s a 6.Ttel alapjn az irnyts konstans a generikus intervallumon. A Ttel maradk rszeezen a Ttelek a bizonytsnl hasznlt struktrkbl kvetkezik.

    Megjegyzs A.6.1. Minden vlts egy elvlaszt pont, de nem minden elvlaszt pont

    vlts. Vannak olyan extremlisok (s

    t, id

    optimlis trajektrik, amelyek egy elvlasztponttal elvlasztott 2 generikus intervallumot tartalmaznak. Ez utbbi nem vlts, mertmajdnem mindenhol az elvlaszt pont kivtelvel- konstans lehet az irnyts. Viszontegy szingulris intervallum vgn nem konstans majdnem mindenhol az irnyts (csakabszolt rtkben lenne az)

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    45/53

    Fggelk A.7

    Igazoland:A robot brmely pozcijra az( yx, ) ( )yx, kifejezs az ( pont)yx, -

    vonaltl val 2221 cc + mennyisggel slyozott (sklzott) tvolsgt adja.

    Bizonyts:

    Legyen pont az( 00 ,yx ) 0),( 312 =++= cycxcyx egyenesnek egy kezdpontja, s

    legyen pont a futpont. Ekkor a( yx, ) 01023 ycxcc = felttel mellett az ( ) vektor az egyenes egy normlvektora, mivel merleges az

    Tcc 12 ,

    ( )00 ,yx kezdpont s ( )yx, vgpont vektorra (azaz skalris szorzatuk nulla):

    0

    ,,

    312010212

    1012020

    0

    1

    2

    0

    0

    1

    2

    3

    =++=++=

    +=

    =

    cycxcycxcycxc

    ycycxcxcyy

    xx

    c

    c

    yy

    xx

    c

    c

    c

    (A7.1)

    0),( 312 =++= cycxcyx( )yx,( )00 ,yx

    2/

    1

    2

    c

    c

    A7.1 bra Az 0),( 312 =++= cycxcyx egyenes

    Ha az pont nem az egyenesen esik akkor a( yx, )

    0

    0

    1

    2 ,yyxx

    cc (A7.1)

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    46/53

    Skalris szorzat az pont a( )tyyxx 00 ( )T

    cc 12 , es vetletnek ( )T

    cc 12 , -

    szorost adja. Viszont ( ) 222112 , cccc

    T += , ezrt a ( )yx, kifejezs valban az ( )yx,

    -vonaltl val 2221 cc + mennyisggel slyozott (sklzott) tvolsgt adja.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    47/53

    Fggelk A.8

    Igazoland: ( )221 ,21

    yxb = ,

    ( )112 ,21 yxb =

    Bizonyts:

    A (4.12) sszefggsbl kiindulva s helyre az (1.8),1f helyre a (4.9) kifejezseketbehelyettestve:

    ( )( ) ( )32121112

    1sin

    2

    1cos

    2

    1),()( cxcyc

    bcctqftt ++== (A8.1)

    Ha ide, (A8.1)-be behelyettestjk a (4.18) kifejezsbl kifejezett

    (A8.2)

    +=

    cos

    sin

    1

    1

    by

    bx

    y

    x

    Robot pozcit, akkor

    ( )( )

    ),(21

    21

    sincos2

    1sin

    2

    1cos

    2

    1

    ),()(

    11

    ),()10.4(

    321

    3221121

    11

    11

    yxb

    cxcycb

    cbcxcbcycb

    cc

    tqftt

    yx

    yyyxxxxyyyxxxx

    =

    +=

    ++=

    =

    (A8.3)

    A 2 kapcsolfggvny kifejezse ezzel analg mdon trtnik.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    48/53

    Fggelk A.9

    Igazoland: += cosvH

    Bizonyts:Tekintsk az A7.1 bra kibvtsvel kapott A9.1 brt. Ekkor

    (A9.1)),(tana 121

    11 cc+=+=

    Ezt a (4.24) egyenletbe behelyettestve

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )( ) ( )

    ( ) ( )( )( )

    ( ) ),(cos),(cos

    ),(cossinsincos

    braA9.21/),(tansin

    1/),(tancos),(),(tansincos),(tancossin

    ),(tansinsin),(tancoscos

    ),(),(tansin),(tancos

    ),(sincos,,

    1

    1braA9.2

    22

    211

    1221211211

    21

    22121

    11121

    12

    1

    1212

    1

    12

    121

    11121

    11

    121

    12121

    11

    21

    yxvyxccv

    yxvccvccvcvc

    cccca

    ccccayxccavcccavc

    ccavcccavc

    yxccacccacv

    yxccvuqH

    xxxxxx

    +=++=

    +++=

    ==

    ===+++

    =

    ++++=

    ++=

    =

    (A9.2)Ekkor -el megszorozva az egyenletet s kihasznlva A9.1 brbl, hogy1

    coscos 1 = :

    ( ) ),(cos,, yxvuqH = (A9.3)

    -vonal

    1

    2

    c

    c

    0),( 312 =++= cycxcyx

    2/

    A9.1 bra A szgek kzti kapcsolat

    1

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    49/53

    12c

    1c

    A9.2 bra A felttel ((4.24) s (4.25) kztt)12221 =+ cc

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    50/53

    Fggelk A.10

    11. Ttel. Minden idoptimlis trajektrira: bT )( , azaz az sszestett elfordulsszge: .

    Bizonyts: Elszr a legygyorsabb fordul-egyenes-fordul (FEF) trajektrirabizonytjuk az eredmnyt, amelyet azutn kiterjesztnk.Tekintsk elszr teht a leggyorsabb (legrvidebb) FEF trajektrit. Ez nyilvnvalangy nz ki, hogy az egyenes szakasz a kezdeti s vgpontot kti ssze, mikzben akezdeti s vgpontban egy egy fordulsi fzis van. Az ltalnossg megszortsa nlklvlasszuk meg gy a korrdintarendszert, hogy a kezdeti pontbl vgpontba mutatvektor feleljen meg a 0 orientcinak. gy az egyenes szakaszon val mozgs sorn arobot orientcija vgig nulla vagy . gy a robot egy s kezdeti orientcibl 0 vagy

    orientciba fordul, egyenesen megy a clpontba, ahol a g kvnt clorientciba

    fordul. A leggyorsabb FEF trajektria esetn gy nyilvnvalan az a krds, hogy a vgsorientci legrvidebb elrshez, mikor mennyit kell fordulnia a robotnak, hogy azelfordulsi szg minimlis legyen (az egyenes szakasz hossza FEF trajektoriknl adott; akezdeti s vgpontot sszekt egyenes szakasz). Felttelezve, hogy s , g szg a

    [ ), tartomnyba esik, a minimlis elfordulsi szg:

    gsgs ++ 2,min (A10.1)

    Ami nem haladhatja meg a szget, gy a krv hossza sem haladhatja meg a b rtket, azaz bT )( .Most terjesszk ki az eredmnyt ltalnos esetre. A 10. Ttel alapjn az idoptimlis

    trajektria megttelhez szksges id: )()( TTsT += , ahol )(T a megtettsszestett vek hossza. Mivel a leggyorsabb FEF trajektria minimalizlja rtkts

    )(Ts

    bT )( , ezrt brmely ms >)(T rtkkel rendelkez trajektrira vangyorsabb FEF trajektria, teht egy >)(T rtkkel rendelkez trajektria nem lehetoptimlis.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    51/53

    Fggelk A.11

    12. Ttel. A tbb mint 3 mozgsprimitvet tartalmaz TCW, TCCW (rint [fordtott]kr) trajektrik nem optimlisak.

    Bizonyts: A TCW, TCCW trajektrikban fordulsok s egyenes szakaszok vltjkegymst. Most indirekten tegyk fel, hogy ltezik hromnl tbb mozgsprimitvettartalmaz TCW vagy TCCW.Ha hromnl tbb mozgsprimitv lenne, akkor a forgs-egyenes-forgs-egyenessszettel esetn a msodik (illetve az azutni sszes) egyenes integrlhat TW,TCCWesetn az elsegyenessel, teht valjban csak 3 mozgsprimitv van, ami ellentmonds.Ha azonban a forgsbl van 3 mozgsprimitv (s igy az egyenes szakasszal egyttsszesgben 3-nl tbb mozgsprimitv lenne), akkor kihasznlhatjuk 4.4. pontbanszrevtelt, miszerint az elss utols forgs kivtelvel az sszes forgs a (TCW)vagy (TCCW) egsz szm tbbszrsnek megfelelszggel trtnik. Ez azt jelenti,

    hogy legalbb egy abszoluttkkel rendelkezszgelforduls van, amihez mg az elss utols szgelforduls hozzaddik. Ez azt jelenti, hogy sszessgben> szgelforduls lenne, ami a 11. Ttelnek ellentmondana, teht az eredeti, a 12.

    Ttel lltsa az igaz.

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    52/53

    Fggelk A.12

    13. Ttel. A 3 elfordulst tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nem optimlisak.

    Bizonyts: A 4.4. pontban lert cikk-cakk trajektria struktrja s a 9. bra alapjnalapjn lthat, hogy az els s utols elemtl eltekintve egymst kvet egyenesszakaszok hossza s az elfordulsi szgek nagysga ugyanaz csak az irnyultsgukellenttes. Tekintsk az A12.1 brt s az optimlisnak felttelezett trajektrit. A

    robot a konfigurcibl indul s a konfigurciba rkezik. A robot olyan cikk-

    cakkos mozgst r le, amely sszesen 3 fordulst tartalmaz ( ,

    1T

    sq gq

    sq V s pontokban

    fordul). Ha most a hrom fordulsi pont kr krt rajzolunk s a krven eltoljuk egykicsit a

    gq

    Vpontot akkor a trajektrit kapjuk. Mindkt trajektria esetn a kzbens

    pontban ugyanannyit kell fordulni, hisz ugyanahhoz a ( ) hrhoz tartoz szgekrl

    van sz. Msfell trajektrira esetn a szge ugyanannyit vltozik (ellenkez

    eljellel) eredeti elfordulsi szghez kpest , mint szge, hisz ugyanahhoz a

    2T

    sq gq

    2T sq

    1T gq VV

    Hrhoz tartoz szgekrl van sz. Teht az elfordulsok sszege a kt trajektria esetnmegegyeznek. Viszont a trajektria egyenes szakaszainak sszestett hossza rvidebb,

    mint trajektri (amelyeknl az tszakaszok hossza egyenl), gy a trajektria

    rvidebb, mint , vagyis nem optimlis.

    2T

    1T 2T

    1T 1T

    sqgq

    V

    V1T

    2T

    A12.1. bra. Cikk-cakk trajektria 3 fordulssal nem optimlis

  • 7/23/2019 ARJ1_ea080429

    53/53

    Fggelk A.13

    14. Ttel. A tbb, mint 1 peridust tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nemoptimlisak.

    Bizonyts: A 4.4. pontban lert cikk-cakk trajektria struktrja s a 9. bra alapjnalapjn lthat, hogy az els s utols elemtl eltekintve egymst kvet egyenesszakaszok hossza s az elfordulsi szgek nagysga ugyanaz csak az irnyultsgukellenttes (A.13.1 bra).

    Indirekten tegyk fel, hogy ltezik optimlis cikk-cakk mozgs, amely a idpontblindul s

    0=tTt >= ideig tart. Ekkor vagy 2> vagy .dTs 2)( >

    Ha 2> , akkor a 13. Ttellel ellentmondsba jutunk, hiszen, tbb mint 3

    fordulst kellene megvalstani. Ha , akkor 3 egyenes szakasz van az optimlis plyn. Ekkor az

    optimlis trajektria kplete: (s: straight, egyenes, t: turn, forduls).

    Mivel az els s utols egyenes prhuzamos, ezrt ezek sszevonsval atrajektria ugyanabba a pontba vezet (azaz a kt plya ekvivalensen

    optimlis). Azonban miatt

    dTs 2)( >

    bda ststs

    + tsts dba

    dTs 2)( > dba >+ , ami viszont nem cikk-cakktrajektria s 4 4 pont alapjn nem is lehet megengedett extremlis (optimlis)

    -vonal

    d

    A13.1 bra. A cikk-cakk mozgs peridicitsa