arj1_ea080429
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
1/53
Idoptimlis plyatervezsi algoritmusok
mobilis robotokhoz
Segdlet az Autonm robotok s jrmvek trgyhoz
Ksztette:Harmati Istvn PhD.
BME-IIT
2008
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
2/53
A mobilis robotok adott feladatok vgrehajtshoz plyatervezsi algoritmusokkidolgozst ignylik. A plyatervezsi algoritmusok definiljk a robot szmra azokat abeavatkoz jeleket, amelyek biztostjk a robot adott (tipikusan pozcival sorientcival definilt) konfigurci elrst a kezdeti konfigurcibl. A plyatervezsaz alkalmazsok zmben a robotmozgst felgyelszablyozsi kr szmra szolgltat
alapjelet.Az esetek tbbsgben kvetelmny a kvnt konfigurci elrse optimlis plya(trajektria) mentn. Az optimlis tulajdonsgot termszetesen a feladat definilja,azonban a leggyakoribb kvetelmny az idben optimlis, vagyis a legrvidebb idalattteljesthetplya megtallsa.A mobilis robotokon bell a kerekes robotokat vizsgljuk (ezen kvl lteznek pl. lbonjr, kgymozgst vgz cssz stb. robotok is). A kerekes robotok kzl is hromelterjedt jrmtpus trgyalsa trtnik: a Dubins fle jrm, a Reeds-Shepp fle jrms a differencilis meghajtssal rendelkez (ktkerek) jrm. Felttelezs szerint ajrmvek (robotok) mozgsa a kinematikai modelljk alapjn rhat le.A tanulmny felptse a kvetkez. Az 1. pont a mobilis robotok kinematikai modelljt
trgyalja, klns tekintettel az egyes jrm
tpusok kztti klnbsgekre. A 2. pontDubins jrm, a 3. pont a Reeds-Shepp jrm, mg a 4. pont a differencilis meghajtsjrm idoptimlis plyatervezst trgyalja. A differencilis meghajts jrm pldtrszletesen is trgyaljuk az optimlis irnytselmlet eredmnyeinek (Pontjragin-flemaximum elv) alkalmazsval. Az elmlet a Dubins s a Reeds-Sheep tpus robotokra isalkalmazhatk.
1. A mobilis robot modellje
A robot vzlatos modelljt s a felhasznlt jellseket az 1. bra mutatja. A mobilis robotmozgst kt kerk biztostja. Az els (baloldali) kerk szgsebessge 1, a msodik
(jobboldali ) kerk szgsebessge 2 . Az ltalnossg megszortsa nlkl felttelezhet,
hogy a differencilis meghajts robotok szgsebessgei a [ ]1,1 intervallumblvehetnek fel rtkeket. Mivel irnytstechnikai szempontbl a robot beavatkoz jelei akerekek szgsebessge, ezrt az megengedett irnytsi tartomny
[ ] [ ]1,11,1 =U (1.1)
a beavatkoz (irnyt) jel pedig egy fggvny, amely a)(tu [ ]T,0 idintervallumot aztartomnyra kpezi:U
[ ]
=
)(
)()(
,0:)(
2
1
t
ttu
UTtu
(1.2)
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
3/53
A robot (lineris) sv szgsebessge a kerekek szgsebessge alapjn a kvetkezalakban adhat meg:
b
v
2
2
12
21
=
+=
(1.3)
A lineris sebessg s azv szgsebessg szintn tekinthetk beavatkoz jeleknek,hiszen a kerekek szgsebessgbl kzvetlenl szrmaztathatk.A differencilis meghajts jrmtl a Dubins jrm abban tr el, hogy megengedhetsebessgek a
= ,1v (1.4)
formban rhatk fel (a robot elre csak fix konstans sebessggel tud haladni). A Reeds-Shepp jrmesetn a megengedhetsebessgeknek a
= ,1v (1.5)
felttelt kell teljestenik. Az egyes jrmvek megengedett sebessgeit s szgsebessgeita 2. bra illusztrlja.
1
v
),( yxb
b2
1. bra. A robot vzlatos felptse
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
4/53
b
1
Legyen a robot (tengelykzeppontjnak) pozcija a skban , az orientcija),( yx (1.
bra). Ekkor a robot konfigurcija lerhat a ( )Tyxq = vektorral. A rendszerkinematikai modelljnek mozgsegyenlete ekkor majdnem mindenhol (tovbbiakbanm.m.) megadhat a
(1.6)
=
sin
cos
)( v
v
tq
differencilegyenlettel. A majdnem mindenhol kifejezs arra utal, hogy a derivlt csaknhny nulla mrtk halmaz felett nem adhat meg a differencilegyenlettel. Atovbbiakban felttelezzk, hogy a robot az (1.6) egyenlettel definilt kinematikaimodellel adott. A tovbbiakban hasznos lesz a mozgsegyenlet vektormezkkel valfelrsa:
2211)( fftq += (m.m.) (1.7)ahol
=
=
b
f
b
f
2
1
sin2
1
cos21
2
1
sin2
1
cos21
21
(1.8)
vv
v
(b) Reeds-Shepp jrm
a) Dubinsjrm
c) Differencilisme ha ts rm
2. bra. A megengedett irnytsi tartomnyok egyesrmveknl
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
5/53
A mozgsegyenletekbl megfigyelhet, hogy a jrm nem kpes loklisan a 2/ irnyba (a kerktengely vonalban) elmozdulni az s vektormez lineriskombincijval, ami egy sebessg tpus korltozsnak felel meg. A feladat sornazonban a kt beavatkoz jellel egy tetszleges q konfigurci elrse a cl a 3 dimenziskonfigurcis trben. Megmutathat, hogy a sebessgkorltozs nem geometriai
korltozs (azaz n. anholonm rendszerrl van sz) s az 1f s 2f vektormezkmerleges
1f 2f
re
=
0
cos
sin
2
13
bf (1.9)
irnyban (a kerektengely vonalban) elhelyezked konfigurcik is elrhetk egyprhuzamos parkolshoz hasonl mozgssal. (A rszletesebb elmleti vizsglatokhoz anemlineris irnytselmlet, ezen bell is a differencilgeometriai mdszerekalkalmazsa szksges).A kerekek ltal megtett t hossza a lineris sebessghez sv szgsebessghez tartozalbbi tkomponensek sszegvel fejezhetki:
dtvtst
=0
)( , dtbtt
=0
)( (1.10)
Mint ahogyan azt ltni fogjuk, az idoptimlis plyk az albbi mozgsprimitvekblpthetk fel (nem minden robot kpes mindegyik mozgsra):
1.
Mozgs elre maximlis sebessggel.2. Mozgs htra maximlis sebessggel. (Kivve Dubins jrm)3. Balra/jobbra forduls egy pontban maximlis sebessggel. (Csak differencilis
meghajts tudja.)4. Balra/jobbra forduls elremenet kzben. (Differencilis meghajts tudja, de nem
optimlis plyban nincs.)5. Balra/jobbra forduls htramenet kzben. (Kivve Dubins jrm. Differencilis
meghajts tudja, de nem optimlis plyban nincs.)
2. A Dubins jrmidoptimlis plyatervezse
A Dubins jrmmozgsegyenlett a korbban ismertetett (1.6) differencilegyenlet rja leaz (1.4) korltozs mellett, azaz
(2.1)
=
sin
cos
)(tq
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
6/53
A korbbiak alapjn megfigyelhet, hogy a Dubins jrm csak elre tud mozogni.Balra/jobbra kanyarods eljeltl fggen szintn lehetsges, de a jrm ekkor iskonstans sebessggel halad elre. A Jrmmegllni nem tud. A kezdeti konfigurcibl akvnt konfigurci elrse a jrmvel vgtelen sok tvonalon lehetsges. A (jrmltalis vgrehajthat) legrvidebb t megtallsra elszr Dubins adott mdszert [1] (innen
szrmazik a jrm
neve). A legrvidebb t a korbban emltett felttelek mellett egybenaz idoptimlis tnak felel meg. A Dubins jrm esetn a legrvidebb t az albbitulajdonsgokkal rendelkezik:
1. A legrvidebb t legfeljebb 3 mozgsprimitvbl felpthet,2. Az [ 1,1= ]folytonos intervallumbl az optimlis plya csak az { }1,0,1=
rtkeket hasznlja fel a mozgsprimitvekben.
v Eredmny1 0 S1 -1 L
1 1 R
2.1. tblzat. A Dubins jrmmozgsprimitvei.
A 2.1. tblzat mutatja azokat a plyaszakaszokat, amelyekbl az optimlis t felpl. AzS szakaszon a robot egyenesen halad konstans sebessggel, az L (left) szakaszon arobot balra fordul olyan lesen, ahogy csak tud. Az R szakaszon a robot a lehetleglesebb jobbra fordulst hajtja vgre. Az L s R szakaszokon a robot maximlisabszolt rtkszgsebessggel ( 1= ) mozog. Az S, R, L szimblumokat hasznlva alegrvidebb t 3 hosszsg szekvencibl ll, amelyet sznak hvunk. A hromszimblumbl 10 lehetsges (3 szimblum hosszsg) sz rakhat ssze. Kt azonos
szimblum nem kveti kzvetlen egymst, mert azok sszeolvaszthatk. Dubinsmegmutatta, hogy a 10 lehetsges szbl az optimlis tvonal valjban csak az albbi 6sz valamelyikre korltozdik:
{ }RSRRSL,LSR,LSL,RLR,LRL,
Specilis esetekben termszetesen egy-egy sz rvidebbre redukldhat. A fenti grbketDubins-grbknekhvjuk. Az tvonal precz meghatrozshoz a szekvencia mellett aztis meg kell mondani, hogy az egyes mozgasprimitveket (L, R, S) mennyi ideig hajtjukvgre. Ezt als indexknt jelljk.gy az tvonalat megad precz szekvencik:
RSR,LSR,RSL,LSL,RLR,LRL dddd
ahol [ ) 2,0, , ( ) 2, , . Megjegyzend, hogy az optimlis tvonalon havan
0>d , akkor az mindig nagyobb -nl.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
7/53
A 3. bra Dubins-grbkre mutat pldt ( a kezdeti, az elrni
kvnt konfigurci). Sok esetben elnys, ha a mionsgileg hasonl grbket azonosanjelljk. Jellje ezrt C ltalnosan a fordulst, teht az L s R primitveketegyttesen. Ekkor az eredeti 6 sz kt alapszval helyettesthet:
RLR,LSR d Iq Fq
CSCCCC d,
ahol [ ) 2,0, , ( ) 2, , .0>d
Tetszleges kezdeti s elrni kvnt konfigurci kztti optimlis tvonalmegtallshoz kt krdsre kell vlaszolni:
Iq Fq
1. A 6 sz kzl melyiket vlasszuk?2. Az adott szra mik az ,, s paramterek?d
A fenti krdsek megvlaszolshoz a legegyszerbb t a brute force mdszer. Ez aztjelenti, hogy az sszes lehetsges 6 szra megoldjuk a feladatot s megnzzk, melyikadja a legrvidebb utat. Ez kivlasztja a krdses szt s a hozz tartoz paramtereket is.Egy kifinomultabb mdszer, ha modern irnytselmleti eszkzkkel vgrehajtottanalzis alapjn a konfigurcis teret tartomnyokra osztjuk, ahol minden egyestartomnyban ms-ms sz adja az optimlis tvonalat.
Iq
Fq
L
R
dS
Iq Fq
R
L
R
a b
3. bra. Pldk Dubins-grbkre
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
8/53
LSL
LSR RSLRLR
LRLRSL LSR
RSR
4. bra. Az optimlis szavak a konfigurcis trben = s T0,0,0= esetn. A kr kz ont a az ori .
Az optimlis tvonal hossza komplexebb (pl. akadlyt tartalmaz) krnyezetben isfelhasznlhat cost-to-go kltsgfggvnyknt a loklis tvonaltervezsben. Mindenkonfigurcira meghatrozva a cost-to-go fggvnyt, az az rdekes megllapts tehet,hogy a cost-to-go fggvny nemfolytonos. Az 5. bra a cost-to-go fggvnyek egylehetsges szintjeit mutatja.
z brn megfigyelhet, hogy a vastag vonalnl szakads van, a kt oldalon a
5. bra. A cost-to-go fggvny lehetsges szintjei (S. M.LaValle knyvbl).
Akltsgfggvny rtkei jelentsen klnbzhetnek. Ennek oka, hogy a kt oldalon aprimitvek klnbzszekvencii az optimlisak. Mg az egyik tartomnyban a jrma
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
9/53
fordulst minden gond nlkl kivitelezi, a msik oldaln mr tl lesen kellene fordulnia,amire a jrmnem kpes. Ezrt egy msik, kltsgesebb szekvencit kell vlasztania.
3. A Reeds-Shepp jrmidoptimlis plyatervezse
Reeds-Shepp jrmmozgsegyenlete megegyezik az (1.6) sszefggssel adott Dubins
(3.1)
hol
Ajrmvvel, azonban a lineris sebessget tekintve a jrm htrafel is mozoghat (2.bra). rdemes megjegyezni, hogy a modell alapjn jrm megllni, vagy helybenmegfordulni nem tud. Feltesszk, hogy a v lineris sebessg eljelvltsa pillanatszerenmegtrtnik. A fentiek figyelembe vtelvel az (1.6) mozgsegyenlet az albbi alakrahozhat:
=
=
)(
sin
cos
)(
vsign
v
v
y
x
tq
a { }1,1v , [ ]1,1 az s az egyetlen vltozs (1.6) mozgsegyenlethez kpest,hogy az utols egyenletben szerepel v eljele ( )(vsignv= ) s ezzel rtelmezse ismdosul egy kicsit. Ezzel a szemlletmddal v ppen egy s essgvltkntrtelmezhet.Reeds s Shep
tulajdonk eb
p megmutatta, hogy a rluk elnevezett jrm kt tetszleg konfigurcikztti legrvidebb tvonala elllthat 48 klnbz (elemei mozgsprimitvekblsszerakott) sz valamelyikvel. A 48 sz az albbi 9 alapsz valamelyiknekkifejtsbl addik:
}CSCCCCCSCSCCC
CCCCCCCCCSCCCCCCCCCC
||,|,|
||,|,,,|,||
2/2/2/2/
(3.2)
that, hogy a legrvidebb t legfeljebb 5 mozgsprimitvbl ll szvalLmegvalsthat. A 2/ als index azt jelli, hogy abban az esetben a robotnak pontosan90 fokot kell fordulnia, az azonos szban szereplkt jells azt jelzi, hogy az adottmozgsprimitvekben az elforduls szge megegyezik. A | jells pedig azt mutatja,hogy az eltte s utna ll (fordulst megvalst) mozgsprimitv tmenete sorn a v eljelet vlt. Ez a sebessgvltsnak felel meg s ekkor elremenetbl htramenet illetve
htramenetbl elremenet lesz. Az egyes alapszavak paramtereihez tartoztartomnyokat a 3.1. tblzat mutatja. A tblzatban szereplalapszavak a Dubins-jrmesetvel analg mdon kifejezhetk elemei mozgsprimitvekkel. Jellje most is S, L,R a jrmegyenes tvonalon val haladst, a balra fordulst s a jobbra fordulst (azutbbi kettt a C jells fedi le az alapszavakban). Ezen kvl jellje a + felsindex azelretart irnyt, a - felsindex a htrafel tart irnyt. A 3.2. tblzat mutatja, hogy azegyes mozgsprimitvek milyen beavatkoz jelekkel vlthatk ki. A 3.1. tblzat s 3.2.tblzat alapjn megmutathat, hogy sszesen 48 klnbzsz van, s minden esetben
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
10/53
ezek valamelyike valstja meg egy konkrt az optimlis plyt. A 3.3. tblzat mutatja alehetsges 48 szt. Sussmann s Tang megmutatta, hogy valjban a
( ) ( )++ RLRLRL , szekvencik nlklzhetk s gy akr 46 szekvenciavgrehajthat az optimlis plyatervezs. Termszetesen a 46
klnbztrajektria szmtsa s sszehasonltsa a nagyobb szmossg halmaz miatt
krlmnyesebb, mint a Dubins jrm esetben. Radsul az optimlis szekvencikhoztartoz tartomnyok is jval bonyolultabb alakak. Viszont a 6. bra is illusztrlja, hogykt konfigurci kztti optimlis tvonal rvidebb (legrosszabb esetben max.ugyanolyan hossz), mint a Dubins jrm esetben (5. bra). Egy praktikusanhasznlhat mdszer, hogy a jrmorientcija alapjn bizonyos szekvencik kizrhatk,mint lehetsges optimlis tvonal. Hasonlan a Dubins jrmhoz, az tvonal hossza itt isegy cost-to-go kltsgfggvny alapjul szolglhat a komplexebb krnyezetben trtnplyatervezshez.
valamelyikvel is
Alapsz d
CCC || [ ],0 [ ],0 [ ],0 -
CCC | ,0 2/,0 ,0 -
CCC | [ ],0 [ ]2/,0 [ ],0 -
CSC d [ ]2 [ ]2/,0 ) /,0 - (0,
CCCC | [ ],0 [ ]2/,0 [ ],0 -
CCCC || [ ],0 [ ]2/,0 [ ],0 -
CCSCC d || 2/2/ [ ]2 [ ]2/,0 ) /,0 - (0 ,
CSCC d2/| 2/,0 - 2/,0 ( ),0
CCSC d |2/ [ ]2/,0 - [ ]2/,0 ( ),0
Mozgsprimitv
v +S 1 0S -1 0+L 1 1L -1 1+R 1 -1R -1 -1
3.1. tblzat. A Reeds-Shepp grbk paramtereinek
3.2. tblzat. A 6 mozgsprimitv megvalstsa a
tartomnya
beavatkoz jelekkel
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
11/53
Sz Szekvencik
CCC || +++++++ RLRRLRLRLLRL CCC| +++++ RLRRLRLRLLRL
CCC|
( )( )( )( )++++++ RLRRLRLRLLRL
CSC ( )( )( )( )( )( )( )( )++++++
++++++
LSRLSRRSLRSL
RSRRSRLSLLSL
CCCC | ( )( )( )( )++++++++ LRLRLRLRRLRLRLRL CCCC || ( )( )( )( )++++++++ LRLRLRLRRLRLRLRL
SCCC 2/|
( )( )( )( )++++++++++++++++
LSLLLSLLRSRRRSRR
LSLRLSLRRSRLRSRL
2/2/2/2/
2/2/2/2/
CCSC |2/
( )( )( )( +++++++++++++++++
LSRSLLRSLRLSRRLSR
LRRSLRSRRLSLRLSL
2/2/2/2/
2/2/2/2/
)
CSCCC || 2/2/ ( )( )( )( )+++++
+++++
LRSLRLRSLR
RLSRLRLSRL
2/2/2/2/
2/2/2/2/
3.3. tblzat. A Reeds-Shepp jrmoptimlis plyjnak 48lehetsges szekvencija
Iq Fq
+R
+R
L
6. bra. Plda Reeds-Shepp-grbkre
4. A differencilis meghajts jrmidoptimlis plyatervezse
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
12/53
A plyatervezshez a [3] irodalomban javasolt mdszert kvetjk. A differencilismeghajts (DD) jrmmodelljt az 1. fejezetben ismertettk. A robot mozgsegyenlettaz (1.6) illetve vektormezs formban az (1.7), (1.8) egyenletek adjk meg az
llapotvektor jellse mellett:( Tyxq = )
2211)( fufutq += (m.m.) (4.1)ahol
=
=
b
f
b
f
2
1
sin2
1
cos2
1
2
1
sin2
1
cos2
1
21
(4.2)
[ ] [ ]1,11,1 =U [ ]
=
)(
)()(
,0:)(
2
1
t
ttu
UTtu
A korbbiak szerint a jrm mindkt kereke egymstl fggetlenlmozgathat [ ] 2,1,1,1 = ii szgsebessggel. Ltni fogjuk, hogy az optimlis plykmeghatrozott primitvekbl fognak felplni, amelyeket a 4.1 tblzat adja meg. A nyl jelli a robot maximlis sebessggel val egyenes vonal, elretart mozgst, anyl jelli a robot maximlis sebessggel val egyenes vonal, htratart mozgst, a
nyl jelli a robot maximlis szgsebessggel val balra fordulst a tengelykzppontkrl, vgl a nyl jelli a robot maximlis szgsebessggel val jobbra fordulst atengelykzppont krl.
1 2 Eredmny1 1
-1 -1 -1 1 1 -1
4.2. tblzat. A differencilis meghajts jrmfelhasznlt mozgsprimitvjei azidoptimlis trajektriban
A differencilis meghajts robot pldjn keresztl megmutatjuk, hogy az optimlisirnyts elmlete (s azon bell a Pontjragin-fle Maximum Elv) hogyan alkalmazhatidoptimlis plyatervezsre.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
13/53
4.1. Az irnythatsg s az optimlis trajektria ltezse
A differencilis meghajts jrmbrmely konfigurcibl tvezethetegy tetszlegeskonfigurciba, amit a kvetkezttelben mondunk ki.
1. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts jrm akadlymenteskrnyezetben irnythat, azaz brmely staert s cl konfigurci kztt lteziktrajektria.Bizonyts: A legegyszerbb mdja beltni az lltst, hogy a kezdeti konfigurciblelfordulunk (pl. jobbra) a clkonfigurcival definilt pozci fel, majd a robot ezutnegyenesen halad a cl konfigurciba, vgl befordul (pl. jobbra val forgssal) a clkonfigurci irnyba. Ekkor a robot a mozgsprimitvek szekvencijt kveti. A kvetkezkben megmutatjuk, hogy a differencilis meghajts jrmre ltezikidoptimlis trajektria.
2. Ttel. Brmely kezdeti s elrt vgs konfigurci kztt a korltozottsebessgdifferencilis meghajts robothoz ltezik egy abszolt folytonos idoptimlistrajektria s egy hozztartoz (mrhet) irnyts az akadlymentes krnyezetben.
Iq Fq
Bizonyts: A ttel bizonythat a nemlineris irnytselmlet modern(differencilgeometriai) eszkzeivel [5], de ettl most eltekintnk.
4.2. Pontjragin-fle Maximum Elv (PME)
A PME az optimlis irnytselmlet egyik legfontosabb eredmnye s az optimlisirnytsra ad szksges (azaz nem elgsges) felttelt. Ennek ellenre nagymrtkben
kpes szkteni a potencilisan optimlis trajektrik halmazt a ksbbiekben.
3. Ttel (PME). Ha egy irnyts melletti trajektria idoptimlis, akkor akvetkezfelttelek teljeslnek:
)(tu )(tq
Ltezik egy abszolt folytonos3: Rt
(4.3)
=
)(
)(
)(
)(
3
2
1
t
t
t
t
n. adjunglt fggvny, amely nemtrivilis (azaz nem nulla mindenhol), Az adjunglt fggvny teljesti a
Hq
= m.m. (4.4)
adjunglt egyenletet, ahol a skalrtk H fggvnyt Hamilton fggvnynekhvjuk s definci szerint
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
14/53
( ) ),(,,, uqquqH = (4.5)
Az irnyts minimalizlja a Hamilton fggvnyt majdnem mindenhol, azaz)(tu
( ) ( )ztqtHtutqtHUz
),(),(min)(),(),(
= mm. (4.6)
A (4.5) sszefggst minimalizcis egyenletneknevezzk.
Legyen 00` konstans a Hamilton fggvny minimlis rtknek 1 -szerese:
( ))(),(),(0` tutqtH = mm. (4.7)
A kvetkezkben a PME-t alkalmazzuk a differencilis hajts mobilis robot optimlisplyjnak meghatrozsra.
4.2.1. A Pontjragin-fle Maximum elv alkalmazsa
A PME alkalmazshoz a (4.4) adjunglt egyenletbl indulunk kia, amelybebehelyettestjk a (4.5) Hamilton fggvnyt. A Hamilton fggvny megalkotshozszksgnk van a (4.1)-(4.2) rendszeregyenletre:
( )123
212211
21
3
2
1)21.4()5.4(
)(sin)()(cos)(2
1
2
1
sin2
1
cos2
1
2
1
sin2
1
cos2
1
,
)(
)(
)(
),(,
++++
=
+
=
=
=
btt
q
bbt
t
t
quqq
qH
q
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
15/53
( )
( )
( )
( )xtyttt
btt
btt
y
btt
x
xy
T
)()(,0,0)(cos)()(sin)(,0,02
1
)(sin)()(cos)(
)(sin)()(cos)(
)(sin)()(cos)(
2
1
21
2)21.4(
212
2)21.4(
211
123212211
123
212211
123
212211
=
+++=
++++
++++
++++
=
mm.(4.8)
Az idszerint (4.8) kifejezst kiintegrlva
( ) ( )),(,,,, 2132121 yxcccycyccc =++= (4.9)
ahol konstansok s321 ,, ccc
321),( cxcycyx += (4.10)
Mivel PME alapjn a adjunglt fggvny nem azonosan nulla, ezrt legalbbegyike nemnulla.
321 ,, ccc
Az adjunglt egyenlet megoldsa alapjn megadhat a minimalizland Hamiltonfggvny:
( ) )(,)(,)()(,,, 22112211 qfqfqfqfuqH +=+= (4.11)
A tovbbi trgyalshoz bevezetjk a 1 , 2 , 3 kapcsol fggvnyeket, ahol
( )( )
( )( )
( )( )tqftt
tqftt
tqftt
33
22
11
),()(
),()(
),()(
=
=
=
(4.12)
A 1 , 2 kapcsol fggvnyeket a (4.11) Hamilton fggvnybe helyettestve
( ) )()(,, 2211 ttuqH += (4.13)
Az idoptimlis trajektria esetn a jrm [ ]1,1, 21 szgsebessgeinekminimalizlnia kell a (4.13) Hamilton fggvnyt.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
16/53
4. Ttel. Ha a korltozott sebessg differencilis meghajts robot trajektrijaidoptimlis az irnyts mellett, akkor ltezik egy abszolt folytonos
)(tq)(tu
( )32121 ,, cycyccc ++=
fggvny valamilyen konstansok mellett, hogy az optimlisirnyts:
321 ,, ccc
( )Ttu )1()1()( 21 =
( )( )()(
)()(
22
11
tsignt
tsignt
)==
(4.14)
ahol( )( )
( )( )tqftt
tqftt
22
11
),()(
),()(
=
=
Bizonyts: A PME alkalmazsa. Lthat, hogy a ttelben szerepl
irnyts minimalizlja a (4.13) kifejezssel Hamilton fggvnyt,hisz az
( Ttu )1()1()( 21 = )
i fggvnyek a i kapcsolfggvnyek eljeleinek mnusz egyszerese. Ennl
kisebb nem lehet a Hamilton fggvny rtke, hisz a korltozs szerint 1max =i . A 4.
Ttel alapjn s a (4.13) kifejezs alapjn
( ) )()(,, 210 ttuqH +== mm. (4.15)
Megjegyzs 4.1. Figyeljk meg, hogy az optimlis irnyts knnyen meghatrozhatlenne brmely konfigurciban, ha ismernnk a i kapcsolfggvnyekben szerepl
konstansok rtkt, vagy ami ezzel egyenrtk, a (4.10) egyenletben definilt321 ,, ccc),( yx egyenes helyt. Sajnos ez nem ismert, de ),( yx rszletesebb vizsglata kpet ad
arrl, hogy a trajektria milyen primitvekbl ll s lnyegesen leszkti a potencilisanszba jhet trajektria osztlyok krt. Diszkusszink tovbbi rsze ezrt a kapcsolfggvnyekhez s a ),( yx egyenes vizsglathoz ktdik.
Megjegyzs 4.2. Mivel a PME felttele szerint az optimlis trajektria adjunglt fggvnye nemtrivilis s az vektormezk linerisan fggetlenek, ezrt (4.12)
sszefggsben
321 ,, fff
321 ,, fggvnyek a nemtrivilis adjunglt fggvnykoordintinak foghatk fel, ezrt
0321 ++ (4.16)
Brmely trajektrit s a hozztartoz irnytst extremlisnak nevezzk, ha teljestik aPME-t. Mivel a PME az idoptimlis trajektria szksges feltteleit rja el, ezrtminden idoptimlis trajektria extremlis, de nem minden extremlis idoptimlis
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
17/53
trajektria. A trgyals keretben elssorban az extremlisok tulajdonsgaivalfoglalkozunk. Az optimlis trajektrik kzlk kerlnek ki, pl. a kltsgeik egyszersszehasonltsa alapjn.
4.2.2. A kapcsol fggvnyek s kapcsolsi intervallumok
Az extremlisok illetve a hozzjuk tartoz irnytsok tulajdonsgai akapcsolfggvnyekkel jl szemlltethetk. Ebben a pontban ezrt kapcsolfggvnyeketvizsgljuk meg kzelebbrl. Ltni fogjuk, hogy az optimlis trajektrik szingulris sgenerikusintervallumok szekvenciibl llnak.Az extremlis trajektrira azt mondjuk, hogy 1-szingulrisegy intervallumban, ha az
intervallumon 01 . Az extremlis trajektrira azt mondjuk, hogy 2 -szingulrisegy
intervallumban, ha az intervallumon 02 . Az extremlis trajektria dupln szingulris
egy intervallumban, ha az intervallumon 1-szingulris s 2 -szingulris. Az extremlis
trajektrit trivilisnak hvjuk, ha nem vltozik az egsz [ ]T,0 intervallumon (azaz a
robot nem mozog).A kvetkezkben meghatrozzuk, hogy az egyes intervallumokon milyen irnytsvalst meg optimlis trajektrit.
5. Ttel.Ha a korltozott sebessgdifferencilis robot extremlis trajektorijn a 1 s
2 kapcsolfggvnyeknek kzs gykei vannak egy intervallumon (azaz 021 == ),akkor az extremlis trajektria trivilis.Bizonyts: Fggelk A.1
6. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlisnak egyszingulris intervallumn az 1 s 2 irnytsok konstansok s egyenlk majdnem
mindentt.Bizonyts: Fggelk A.2
Most tekintsk azt az esetet, amikor a kapcsolfggvnyek egyike sem szingulris egyadott intervallumon. Ehhez szksg lesz a generikus pont s a generikus intervallumfogalmra. A generikus pontalatt olyan idintervallumot rtnk, ami sem 1 , sem 2 kapcsolgrbnek nem gyke. A generikus intervallum alatt olyan idintervallumotrtnk, amelynek minden pontja generikus pont. Az extremlis trajektorikon a generikusintervallum ltezsre s az ahhoz tartoz optimlis irnytsra ad eligaztst a kvetkezttel.
7. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra s a hozztartoz optimlis irnytsra fennll, hogy ltezik olyan 0> ,hogy minden generikus pont egy generikus intervallumban legalbb ideig tart. Agenerikus intervallumban az irnytsok konstansok.Bizonyts: Fggelk A.3
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
18/53
Az extremlisok lershoz fontos jellemz a kapcsols maga, amiit mg nemtrgyaltunk. Kapcsolsalatt olyan pontot rtnk, amelynek nincs olyan krnyezete, aholaz irnyts majdnem mindentt konstans. Az 5-7. Ttelek megmutattk, hogy aszingulris s generikus intervallumokon az optimlis irnyts konstans. A defincikbls az 5-7 Ttelekbl kvetkezik, hogy minden kapcsols
valamelyik kapcsolsi fggvnynek valamelyik gyke, nem belspontja a szingulris s generikus intervallumoknak
A kvetkezkben megmutatjuk, hogy az extremlisok csak vges szm kapcsolsttartalmaznak. Az igazols trivilis lenne, ha az extremlisok csak generikusintervallumokbl llnnak (ezek hosszra ugyani a 7. Ttel rtelmben als hatr van). Aszingulsris intervallumok hosszra azonban sajnos nincs als hatr, gy a kapcsolsokvges szmnak igazolsa nem trivilis. A kvetkezkben szksg lesz az albbilemmra:
1. Lemma. A korltozott sebessg differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra fennll, hogy egy kapcsolsi fggvny brmely kt gyke vagy egy kzs
szingulris intervallumhoz tartozik, vagy a kettkztt van generikus pont.Bizonyts: Fggelk A.5
Az extremlis trajektria lersra a korbbi eredmnyeket felhasznlva a kvetkezttelthvhatjuk segtsgl.
8. Ttel.A intervallumon definilt extremlis trajektria vges szm generikus sszingulris intervallum lezrsval fedhet le. Az extremlis trajektrin vges szmkapcsols van, amely vagy egy generikus, vagy egy szingulris intervallum vgntallhat. Minden intervallum az albbi hrom tpus valemelyikbe tartozik:
[ T,0 ]
Dupln szingulris. Mindkt kapcsolsi fggvny azonosan nulla. Mindkt
irnyt jel nulla majdnem minden idpontban s a robot nem mozog. Egy duplaszingularitst tartalmaz extremlis egy intervallumbl ll; egy dupln szingulrisintervallumbl.
Szingulris. A 1 s 2 kapcsolfggvnyek valamelyike azonosan nulla (de a
msik soha sem). Az irnyt jelek egyenlek s szaturltak (1 vagy -1) majdnemmindenhol. A robot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( )vagy egyenesen htra ( ).
Generikus. Egyik kapcsolfggvnynek sincs gyke a generikus intervallumon.Kt eset van:
A kapcsolfggvnyek eljele azonos. Az irnyt jelek egyenlk sszaturltak majdnem mindenhol. A szingulris intervallummal egyezen arobot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( ) vagyegyenesen htra ( ).
A kapcsolfggvnyek eljele klnbzik. Az irnytjelek ellenttesek sszaturltak majdnem mindenhol. A robot egyhelyben forog balra ( )vagy jobbra ( ).
Bizonyts: Fggelk A.6
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
19/53
4.3. Az extremlis trajektrik geometriai interpretcija
Az elzpontban megmutattuk, hogy az extremlis trajektria egyenes mozgsokbl segyhelyben val fordulsokbl ll. Most megvizsgljuk, hogy ezekbl milyenszekvencik jhetnek szba, illetve, hogy ezek milyen geometriai interpretcinakfelelnek meg.A geometriai lersban fontos szerepet jtszik az -vonal. Az -vonal koordintia (4.10) kifejezst nullv teszik. Ms szval az
( yx, )-vonal egy olyan egyenes, ahol
0:vonal 321 =+ cxcyc (4.17)
Ez alapjn a brmely pontra (gy a robot pozcijra is) az( yx, ) )( yx, kifejezs az
( )yx, -vonaltl val 2221 cc + mennyisggel slyozott (sklzott) eljeles tvolsgt
adja (Fggelk A7, 7. bra). A tvolsg eljelt gy vlasztjuk, hogy az az -vonaltljobbra espontoknak pozitv, a balra espontoknak negatv a tvolsguk.Ha ezek utn a robot 1. kereknek kereknek pozcijt ( )11,yx pont, a msodik kerkpozcijt pont jelli, akkor( 22 ,yx )
(4.18)
+
=
cos
sin
1
1
by
bx
y
x
(4.19)
+=
cos
sin
2
2
by
bx
y
x
Ezek alapjn a kapcsolfggvnyek kifejezhetk a kerekek pozcii alapjn is (FggelkA.8):
( )221 ,21
yxb = (4.20)
( 112 ,21
yxb = ) (4.21)
Ezt a kerekek optimlis szgsebessgeit kifejez(4.14) sszefggsbe behelyettestve:
( )( )(( )112
221
,)(
,)(
yxsignt
yxsignt
)
=
= (4.22)
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
20/53
Fontos ltni (4.22) kifejezsbl, hogy az optimlis trajektrin val mozgs sorn akerekek szgsebessgt az a kerekek -vonalhoz viszonytott elhelyezkedse (azazeljeles tvolsgainak eljele) hatrozza meg. Ezt a kvetkezttelben foglaljuk ssze:
9. Ttel.Az extremlis trajektrin az irnytsi trvny
( )( )(( )112
221
,)(
,)(
yxsignt
yxsignt
)
=
= (4.23)
amely geometriailag gy interpretlhat, hogy
1= Ha a 2. kerk -vonal jobb oldaln[ ]1,1 Ha a 2. kerk -vonalon1
1= Ha a 2. kerk -vonal bal oldaln
1= Ha az 1. kerk -vonal bal oldaln[ ]1,1 Ha az 1. kerk -vonalon2
1= Ha az 1. kerk -vonal jobb oldaln
Azaz az 1. kerk akkor kapcsol ellenkez irnyba, ha a 2. kerk rinti a -vonalat, a 2.kerk akkor kapcsol ellenkezirnyba, ha a 1. kerk rinti az -vonalat (7- bra).
Bizonyts: A Ttel kzvetlenl addik a Ttel megelzdiszkusszibl.
A 9. Ttel alapjn a 8. Ttel is interpretlhat geometriailag a kvetkezkpp.
1. Kvetlezmny(8. Ttel s 9. Ttel): Az extremlis trajektria a [ ]T,0 intervallumonaz albbi tpus trajektrik szekvencijbl ll:
( )( )221 ,yxsign=
),( yx
v
7. bra. A 1 s 2 kapcsolfggvnyek az 1. s 2.kerekek -vonaltl mrt eljeles tvolsgt adjk.
-vonal:
( )( )112 ,yxsign=
-( )yx, ( )
22
21
11 ,
cc
yx
+
+
( )22
21
22 ,
cc
yx
+
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
21/53
Dupln szingulris
A robot nem mozog
Mindkt kerk az -vonalon van
021 == Ilyenkor az egsz extremlis trajektria egy dupln szingulris trajektribl
ll
Szingulris A robot az -vonallal prhuzamosan mozog elre ( ) vagy htra ( )
Az egyik kerk az -vonalon van
021 =
Generikuso A kapcsolfggvnyek azonos eljelek
A robot az -vonal fel egyenesen mozog elre ( ) vagy htra
( ), attl fggen, melyik visz -vonal fel A kt kerk az -vonal kt klnbzoldaln van
021 = o A kapcsolfggvnyek klnbzeljelek
A robot egyhelyben fordul jobbra (ha a robot a -vonal jobboldaln van) vagy a robot egyhelyben fordul balra (ha a robot a-vonal bal oldaln van)
A kt kerk az -vonal azonos oldaln van
21 =
Azz optimlis trajektria meghatrozsa azrt nem lehetsges kzvetlenl, mert az -
vonal elhelyezkedse (azaz a konstansok rtke) ismeretlen. A PME csak aztmondja ki, hogy a konstansok (s az321 ,, ccc -vonal ) lteznek, de azt nem mondja meg, hogy
konkrtan mi az rtkk.
Az optimlis trajektrihoz szksges irnyts szemlltethet a Hamilton fggvnyszintvonalaival is. Induljunk ki a (4.5) Hamilton fggvnybl s helyettestsk be az (1.6)sszefggst az llapotvektor derivljra illetve a (4.9) sszefggst az adjungltfggvnyre:
( )
( ) ( ) ( ) ),(sincossincos
sincos),(,,,
21),(
321211)9.4(
321)6.1(
yxccvcxcycccv
vvuqquqH
yx
++=+++=
++==
(4.24)
Az ltalnossg megszortsa nlkl felttelezhet, hogy , ami alapjn (4.24)sszefggs a
12221 =+ cc
+= cosvH (4.25)
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
22/53
alakra hozhat (Fggelk A9), ahol a robot orientcijt meghatroz egyenes s az-vonal ltal bezrt szg (7. bra). A (4.25) egyenlet felrhat skalris szorzatknt is:
( )
( )wdtH
d
vw
,))(max(
,cos
,
0 =
=
=
(4.26)
ahol az irnyts, a karakterisztikus vektor. A (4.26) kifejezs azrt hasznos, mert arobot aktulis konfigurcijra jellemz karakterisztikus vektorhoz knnymegtallniazt a irnyt jelet, amely a
w dd
w wd, negatv Hamilton fggvnyt maximalizlja. Ez a
maximum elv fggetlen attl, hogy milyen robotrl van sz. Az optimlis irnyts aDubins, a Reeds-Shepp s a differencilis meghajts jrmre csupn azrt klnbzik,mert a megengedhet irnytsi tartomnyok klnbznek. A (4.26) kifejezs alapjnknnyen ellentizhet, hogy az egyes karakterisztikus vektorokra melyik (optimlis)irnytsi vektor adja a maximlis Hamilton fggvnyt.A differencilis meghajts jrm karakterisztikus vektor fggvnyben brzoltoptimlis irnyts s Hamilton fggvny a 8. brn lthat. Az optimlis lineris sszgsebessget a 2.c brn mutatott irnytsi tartomnyban kell keresni. A Hamiltonfggvnyek s az optimlis sebessgek a Dubins illetve a Reeds-Shepp jrmre a 9. brns a 10. brn lthatk. Az optimlis irnytsi rtkeket a 2.a s 2.b brn vzolttartomnyban kellett megkeresni. Vegyk szre, hogy az optimlis irnytsok abszoltrtkben mindig maximumot adnak vagy nullk (ez utbbi csak a differencilismeghajtsi jrmnl fordulhat el, s ekkor a msik irnytsi jel maximlis abszoltrtkkel aktv).
Megjegyzs 4.3. Tegyk fel, hogy egy konstans er lp fel az -vonal mentn, de amozgssal ellenttes irnyban. Ebben az esetben vehetnnk azt a munkt, amelyet arobotnak vgeznie kellene ezzel az erhatssal szemben. A munka derivltja ateljestmny (jellje P), amely alkalmas sklzs mellett bb (4.25) kifejezsjobboldalt adja:
+== cosvHP (4.27)
A Pontjragin-fle maximum elv ez alapjn gy is reprezentlhat mindhrom jrmtpus
esetn, hogy az optimlis trajektria az -vanalon hat er
ellenben a maximlisteljestmnyt fejti ki.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
23/53
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5
21
0.5
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Hamilton level set
cos()
2 1.5
1 0.5
0 0.5
1 1.5
2
1
0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
0.5
1
Velocity map (v)
cos()
2
1
0
1
2
1
0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
0.5
1
Angular Velocity map ()
cos() 8. bra. A differencilis meghajts jrmHamilton fggvnye s optimlis
irnytfellete
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
24/53
2
1.5 1 0.5 0
0.5 1 1.5 2
1
0.5
0
0.5
11
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Hamilton level set
cos()
2
1
0
1
2
10.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
Velocity map (v)
cos()
21.5
10.5
00.5
11.5
2
1
0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
0.5
1
Angular Velocity map ()
cos() 9. bra. A Dubins jrmHamilton fggvnye s optimlis irnytfellete
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
25/53
21.5
10.5
00.5
11.5
2 1
0.5
0
0.5
1
0
1
2
3
cos()
Hamilton level set
2
1
0
1
2 1
0.5
0
0.5
11
0.5
0
0.5
1
cos()
Velocity map (v)
2
1
0
1
2 1
0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
0.5
1
cos()
Angular Velocity map ()
10 bra. A Reeds-Shepp jrmHamilton fggvnye s optimlis irnytfellete
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
26/53
4.4. Az extremlis trajektrik mozgsprimitvjeinek lehetsges szekvencii
Az eddigi trgyalsbl lthat, hogy az optimlis trajektria egyenes szakaszokbl segyhelyben val fordulsok valamilyen szekvenciibl ll. A krds azonban az, hogypontosan milyen szekvencik lehetsgesek egy extremlis trajektria (vagy optimlistrajektria) szmra. A krds megvlaszolsval kpet kaphatunk az extremlisoklehetsges szmrl. A 8. Ttel, 9. Ttel illetve az 1. Kvekezmny alapjn belthat,hogy az extremlis trajektrik szmnak meghatrozsban fontos szerepet jtszik arobotkerekek kzti tvolsggal ( ) definilt tmrjkr (n, alapkr)b2 -vonalhoz vettrelatv helyzete. Ezek alapjn csak az albbi mozgsmintk lehetsgesek (lsd 7. brt is):
CW, CCW ([fordtott] kr- [Counter] Circle Wheelbase): Ha az alapkr teljes
egszben az -vonal jobb oldaln van, akkor a robot jobbra fordul ( ) , sohanem rinti az -vonalat (CW) s kapcsols sincs. Ha az alapkr teljes egszbenaz -vonal bal oldaln van, akkor a robot balra fordul ( ), soha nem rinti az-vonalat (CW) s kapcsols sincs.
TCW, TCCW (rint [fordtott] kr -Tangent [Counter] Circle Wheelbase): Ha
az alapkr az -vonal jobb oldaln van s rinti az -vonalat (TCW), akkor kteset lehetsges (8. bra):
o Ha a kerekek nem rintik az -vonalat, akkor a robot jobbra fordul atengelykzppont krl ( )
o Ha egy kerk rinti az -vonalat, akkor a robot vagy egyenesen megy az
-vonalon vagy jobbra fordul a tengelykzppont krl ( ).Mindkt esetben az alapkr mindig rinteni fogja (jobbrl) az -vonalat amozgs sorn. Lthat az is, hogy az els s utols forgs kivtelvel azsszes forgs a (TCW) vagy (TCCW) egsz szm tbbszrsnekmegfelelszggel trtnikA TCCW eset ezzel analg, csak az -vonal msik oldaln van az alapkr sa mozgsirnyok is ellenttesek.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
27/53
-vonal: ( )yx,
+
-
8. bra. TCW minta
ZR, ZL (jobbos cikk-cakk, balos cikk-cakk Zigzag right, Zigzag left): Akkor
fordul el, ha az -vonal metszi az alapkrt. Ekkor a mozgsprimitvekszekvencijban mindig egyenes mozgs s (egy helyben val) forduls kvetiegymst ciklikusan. Ha a robot kerktengelye (kt kerkkzppont kzttiegyenes szakasz) kezdetben metszi az -vonalat, akkor egyenesen mozog elre,addig, amg az egyik kerk el nem ri az -vonalat. Ezutn a robot egyhelybenfordul mindaddig, amg a msik kerk el nem ri az -vonalat, majd jraegyenesen mozog elre (s kezddhet az egsz elrl). Kt nemgenerlt mintaltezik: , amit jobbos cikk-cakk mozgsnak (ZR) neveznk, illetve
, amit balos cikk-cakk mozgsnak (ZL) neveznk. Vegyk szre,hogy ezek a mintk elvileg sokszor ismtldhetnnek egyms utn (a 4.5. ponteredmnyei ezek szmt majd limitlja). Kt degenerlt eset fordulhat el;egyfell, ha mindkt kerk az
-vonalon van (dupln szingulris eset), msfell,ha a robot az -vonallal prhuzamosan ll mr kezdetben (ekkor a robotegyenesen halad s soha sem fordul elkapcsols).
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
28/53
A htramarad krds az, hogy egy extremlis trajektria, hny mozgsprimitvbltevdik ssze.
4.5. Optimlis trajektrik
Azt mr tudjuk a 4.4. pont alapjn, hogy a differencilis meghajts jrm optimlistrajektrija kr vagy cikk-cakk mozgsmintkbl (vagy azok degenerlt eseteibl) ll.Azonban nem tudjuk, hogy a mozgsmintk hny mozgsprimitvbl (fordulsjobbra/balra, egyenes mozgs elre/htra) tevdik ssze. Ebben a pontban olyaneredmnyeket kzlnk, amely a potencilis lehetsgek halmazt jelentsen korltozza,gy knnyebb dolgunk lesz az extremlis trajektrik kzl az optimlis kivlasztsa.Elslpsknt idzzk fel, hogy az (1.10) alapjn a kerekek ltal megtett t hossza alineris sebessghez s
v
szgsebessghez tartoz albbi tkomponensek sszegvelfejezhetki:
dtvtst
=0
)( , dtbtt
=0
)( (4.28)
Ez alapjn a kvetkezllts tehet:
10. Ttel. A [ idintervallumon definilt optimlis trajektria minden]T,0 [ ]Tt ,0 teljesti, hogy
)()( ttst += , (4.29)
+
-
( )yx, -vonal:
9. bra. Jobbos cikk-cakk mozgs
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
29/53
Bizonyts: A 8.Ttel alapjn a nemtrivilis extremlis trajektria egyenesmozgs(ok)bl illetve egyhelyben val forduls(ok)bl ll. Mivel az egyenesmozgsokhoz tartoz idt jelli,
)(ts
)(t pedig a fordulshoz tartoz v hossza (amiegysgnyi szgsebessg mellett a megttelhez szksges idvel egyenl), ezrt a (4.29)
sszefggs nyilvnval.
11. Ttel. Minden idoptimlis trajektrira: bT )( , azaz az sszestett elfordulsszge: .
Bizonyts: Fggelk A.10
12. Ttel. A tbb mint 3 mozgsprimitvet tartalmaz TCW, TCCW (rint [fordtott]kr) trajektrik nem optimlisak.
Bizonyts: Fggelk A.11
13. Ttel. A 3 elfordulst tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nem optimlisak.
Bizonyts:Fggelk A.12
14. Ttel. A tbb, mint 1 peridust tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nemoptimlisak.
Bizonyts:Fggelk A.13
A 12. Ttel, 13. Ttel s a 14. Ttel alapjn megadhat, hogy az extremlis trajektrik
kzl pontosan hny CCW,CW, TCCW, TCW, ZL, ZR tpus trajektria lehet optimlistrajektria. Az optimlis trajektria lehetsges tpusait (a mozgsprimitvek lehetsgesszekvenciit) a 4.3. tblzat mutatja.
4.3. tblzat. Az optimlis trajektria lehetsges tpusai
Tegyk fel, hogy az elrni kvnt clpont az orig egy kezdeti konfigurcibl.Tovbbi vizsglatokkal megmutathat, hogy a konfigurcibl szimmetrikus
transzformkkal szrmaztatott j
IqIq
( )IqT konfigurciira az optimlis irnytjel az eredetioptimlis irnytjel egyszer szimmetrikusu )(u vltoztatsa adja az irnyt jelet. A
4.4 tblzat sszefoglalja, hogy a kezdeti konfigurcik elemi szimmetrikustranszformciira hogyan vltozik az optimlis irnyt jel.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
30/53
Konfigurcitranszformcija
Vltozs az optimlisirnytsban
( ),,:1 yxqT = :1 s felcserlse( ) ( )( )yxRotyxT = ,,:2 2 : Forditott sorrend a
mozgsprimitvekben( )= ,,:3 yxqT :3 s felcserkse
4.4. tblzat. Szimmetrik kapcsolata
Mindegyik transzformci inverze nmaga s a hrom transzformci kommutatv.Termszetesen a szimmetria transzformcik egyms utn is alkalmazhatk.. gy kilencalapeset klnbztethet meg, amelyekbl ht klnbz szimmetriatranszformciszrmaztathat. Brmely alapeset brmely szimmetria transzformcija a 4.3. tblzatvalamelyik elemt (vagy valamelyik elem szekvencijnak egy rszt) adja. A 4.5tblzatban az alapesetek (sor) s azok szimmetriatranszformciihoz (oszlop) tartoz
optimlis trajektria tpust hatrozza meg. gy egy pont optimlis trajektrijnakszmtsval egy msik (szimmetrikus) konfigurci optimlis trajektrija is knnyenmeghatrozhat.
Alap1T 2T 3T 12 TT 13 TT 23 TT 123 TTT
A B C D E
F
G H I
4.5. tblzat. A szimmetria osztlyokhoz tartoz optimlis trajektrik
Az optimlis trajektria vgleges meghatrozshoz alapveten a 4.3. tblzat mindentpusra meg kell nzni, hogy mennyi idt ignyel a vgllapotba jutshoz. A legkisebbidvel rendelkezextremlis adja az optimlis trajektrit.Az optimlis trajektria gyakori szmtsi ignye mellett egy msik mdszer lehet az is,hogy minden konfigurcira kiszmoljuk egy adott trrszben az optimlis trajektrit, sa szimmetria ekvivalencikat kihasznlva tbb ms konfigurcibl indtott optimlistrajektrija is meghatrozhat. Ez utbbi esetet illusztrlja a 10. bra, ahol 4/ =s kezdeti orientci mellett az egyes kezdeti pozicikbl indulva mi az optimlis trajektriaszekvencija.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
31/53
10. bra. Az optimlis trajektria szekvencik ( )4/,, yxqs = kezdeti konfigurci, sorigval definilt clpozci, valamint x-tengely irnyval megegyezclorientci
mellett.
5. Irodalomjegyzk
[1] Dubins, L. E. 1957. On curves of minimal length with a constraint on averagecurvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents. AmericanJournal of Mathematics 79:497-516.
[2] Reeds, J. A., and Shepp, L. A. 1990. Optimal paths for a car that goes both forwardsand backwards. Pacific Journal of Mathematics 145(2):367-393.
[3] Balkcom D. J., and Mason M. T. 2002. Time optimal trajectories for bounded velocitydifferential drive vehicles, International Journal of Robotics Research, 21(3):199-217.
[4] LaValle, S. M. Planning algorithms. http://planning.cs.uiuc.edu/
http://planning.cs.uiuc.edu/http://planning.cs.uiuc.edu/ -
7/23/2019 ARJ1_ea080429
32/53
[5] Sussmann, H., and Tang, G. 1991. Shortest paths for the reeds-shepp car: a workedout example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control. SYCON 91-10, Dept. Of Mathematics, Rutgers University, New Brunswick, NJ 08903
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
33/53
Fggelk A1: Az 5. Ttel bizonytsa.
5. Ttel.Ha a korltozott sebessgdifferencilis robot extremlis trajektorijn a 1 s
2 kapcsolfggvnyeknek kzs gykei vannak egy intervallumon (azaz 021 == ),
akkor az extremlis trajektria trivilis.
Bizonyts: Legyen egy extremlis trajektria a)(tq [ ]T,0 idintervallumon. A felttelszerint ezen az intervallumon 021 == bizonyos pont(ok)ban. Ebben az esetben a
(4.15) kifejezs alapjn 0)()( 210 =+= tt . Mivel 0 invarins az extremlis
trajektrin, ezrt az egsz [ ]T,0 idintervallumon [C5.1].021 ==A [C5.1] konklzi s (4.16) alapjn azonban 3 nemnulla az egsz [ ]T,0idintervallumon [C5.2].Sussmann s Tang lemmja alapjn [5], ha z egy folytonosan vgtelenszer
differencilhat (n. sima) vektormez s egy optimlis trajektrija a simavektormezkkel definilt rendszernek, akkor
f
)(tq 21,ff
( ))(,)( tqft Zz = (A1.1)
fggvny idszerinti derivltja:
[ ] [ ]ZZz fffft ,,,,)( 2211 += (A1.2)
majdnem minden idpontra, aholt
[ ] 2,1,, =
= if
q
ff
q
fff Z
ii
ZZi (A1.3)
Az vektormezket behelyettestve Zhelyre (A1.3)-ben (s kihasznlva, hogy
), az (A1.2) kifejezs a kvetkezket adja:321 ,, fff f
[ ] iff ii = ,0,
[ ] [ ]
[ ]
=
=
==
+=
bb
fq
ff
q
fff
ffffA
1sin
cos
000
cos00
sin00
4
1
1sin
cos
000
cos00
sin00
4
1,
,,,
,,,,
2
12
21
2122
122
0
111
)2.1(
1
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
34/53
32
)12.4(
)9.1(
22
3
3
0
cos
sin
2
1,
0
cos
sin
4
1
0
cos
sin
4
1,
=
=
+
=
f
bbb
[ ] [ ]
[ ]
31
)12.4(
)9.1(
11
1
21
12
1211
0
222211
)2.1(
2
3
3
0
cos
sin
2
1,
0
cos
sin
4
1
0
cos
sin
4
1,
1sin
cos
000
cos00
sin00
4
1
1sin
cos
000
cos00
sin00
4
1,
,,,
,,,,
=
=
+
=
=
=
==
+=
f
A
bbb
bb
fq
ff
q
fff
ffff
[ ] [ ]
=
+
=
+=
32
23
231
13
1
3223113
,,
,,,,
fq
ff
q
ff
q
ff
q
f
ffff
+
=
0
cos2
1
sin2
1
2
1
sin2
1
cos2
1
1sin
cos
2
1
0
cos2
1
sin2
1
,
0
cos2
1
sin2
1
2
1
sin2
1
cos2
1
1sin
cos
2
1
0
cos2
1
sin2
1
,
1
2
1
1
b
b
b
q
b
b
b
q
b
b
b
q
b
b
b
q
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
35/53
+
=
0
cos
sin
000
cos00
sin00
4
1
1sin
cos
000
sin00
cos00
4
1,
0
cos
sin
000
cos00
sin00
4
1
1sin
cos
000
sin00
cos00
4
1,
2
1
b
b
b
b
b
b
( )
( )( )21212
)12.4(
)8.1(
2122221
41
0
sin
cos
,4
1
0
sin
cos
4
1,
0
sin
cos
4
1,
21
21
++=
+=
+
=
+
+
b
bbb
ff
az eredmnyeket sszefoglalva [C5.3]:
321 = (A1.4)
312= (A1.5)
( )( 212123 41
++=b
) (A1.6)
A [C5.1] konklzi alapjn 01= mindenhol, azaz 01= mindenhol. Mivel [C5.2]alapjn 3 nemnulla, ezrt [C5.3]-(A1.4) sszefggsben 02= majdnem minden t
idpontban. Az 01= majdnem minden tidpontban belthat ezzel analg mdon.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
36/53
Fggelk A.2: A 6. Ttel bizonytsa
6. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlisnak egyszingulsis intervallumn az 1 s 2 irnytsok konstansok s egyenlk majdnem
mindentt.
Bizonyts:Ha 1 s 2 kapcsolgrbknek egy kzs gyke van, akkor az 5. Ttel rtelmben a
teljes trajektria dupln szingulris, 1 s 2 nulla s gy a Ttel igaz.
Tekintsk most azt az esetet, amikor a trajektria 1 -szingulris s nincs 1 s 2
kapcsolgrbknek kzs gyke. Ekkor 1 felttelezs szerint azonosan nulla [C6.1], gya (4.15) sszefggsbl
0)(20 >= t mm. (A2.1)
kvetkezik. Az (A2.1) alapjn 2 konstans. Hasonlan, a (4.14) sszefggsalapjn 2 a
2 kapcsolfggvny eljelnek mnusz 1-szerese, gy 2 majdnem mindentt -1 vagy1, teht konstans a szingulris intervallumon [C6.2].Mivel [C6.1] szerint 1 azonosan nulla, gy 01= [C6.3].
Tekintsk most az (A1.4) egyenletet. A 01= (azaz [C6.3]) csak akkor llhat fenn
nemnulla 2 esetn (lsd [C6.2]), ha 3 azonosan nulla, azaz [C6.4]:
0,0 33 == (A2.2)
(Az (A2.2) egyenlet mindenhol igaz, nemcsak majdnem mindenhol).Tekintsk (A1.6) egyenletetet. A baloldal nulla az (A2.2) miatt. Viszont 021 + a[C6.1] konklzi s az (A2.1) miatt. Ez csak gy lehet, ha az (A1.6) jobboldalnak msiktnyezje nulla, azaz
( ) =+ 021 21 mm. (A1.6)
Ezzel a ttelt bizonytottuk.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
37/53
Fggelk A.3: A 7. Ttel bizonytsa
7. Ttel. A korltozott sebessg, differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra s a hozztartoz optimlis irnytsra fennll, hogy ltezik olyan 0> ,
hogy minden generikus pont egy generikus intervallumban legalbb ideig tart. Agenerikus intervallumban az irnytsok konstansok.Bizonyts:
A 21 gykeit vagy a 1 , vagy a 2 gykei adjk, ezrt a generikus pontok nem gykei
21 -nek. Ezrt a generikus pontokat a ( ) ( )+ RR 11 inverzfggvny adja a( )+ RR halmazon. Mivel ( )+ RR nylt halmaz s mivel ( folytonosfggvny, ezrt a generikus pontok halmaza relatve nylt azon az idintervallumon, ahol
) 11
a trajektria definilt. A relatve itt azt jelenti, hogy a generikus pontok nylt halmazokunijval rhat le, kivve az els s az utols intervallumot, amely (a zrt [ ]T,0idintervallum miatt) flig nyltak [C7.1].
Legyen adott egy tetszleges generikus pont s I a hozztartoz intervallum. A 1 s2 kapcsolfggvnyek nem vltanak eljelet az I intervallumon (hisz nincsenek
gykeik, azaz zrushelyeik), gy az 1 s 2 irnytsok a (4.14) alapjn konstansok[C7.2].
A 0> ltezsnek bizonytsra klnbzeseteket vizsglunk:1. Eset:Nylt intervallum, 1 s 2 azonos eljelek. Ebben az esetben a (4.14) s a
[C7.2] alapjn 21= majdnem mindenhol, azaz (A1.6) alapjn 03= , azaz 3
konstans. Az 21= miatt (A1.4) s (A1.5) egyenletekbl:
321 == mm. (A3.1)
Ha 03= , akkor a 1 s 2 kapcsolfggvnyek (A1.4)-(A1.5) alapjn konstansok. Ez
azt eredmnyezi, hogy az Iintervallum nem lehet a 1 s 2 gykeivel lehatrolva(mert egyltaln nincsenek gykk), gy az extremlis csak egy nagy generikusintervallum.
03 , a kapcsolfggvnyek cskkennek vagy nvekednek (linerisak t-ben) s az
I intervallum vagy 1 , vagy 2 gykvel/gykeivel van lehatrolva. Akapcsolfggvnyek felttelezett azonos eljelbl kvetkezen (4.15) trhat
)()( 210 tt += (A3.2)
formba. Az (A3.2) sszefggsbl lthat, hogy, ha az egyik kapcsolfggvny n,a msiknak cskkenie kell s fordtva. Mindekzben termszetesen a felttelezsszerint az eljelk azonos. gy az intervallum egyik vgn 021 ,0 == , a msik
vgn 012 ,0 == . Az I intervallum hosszt az hatrozza meg, hogy a 0
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
38/53
rtkrl indul kapcsolfggvny (amelynek meredeksge 3 ) abszolt rtke
mennyi id mlva ri el 0 rtket. Ez id alatt (A3.2) miatt a msik
kapcsolfggvny abszolt rtke 0 rtkrl a 0 rtket ri el. gy az Iintervallumhossza:
3
01
= (A3.2)
Ebbe behelyettesthet az (A4.3) kifejezsbl kifejezhet 3 rtke (kihasznlva,
hogy a felttelezs szerint most 03 illetve 1 s 2 eljele azonos, azaz
( ) 121 =sign ):
2
0
2
2
2
1
0
3
01
2
+
==
cc
b (A3.3)
2. Eset:Nylt intervallum, 1 s 2 ellenkezeljelek. Jellje s a 1 kapcsolfggvny eljelt. Ekkor (A1.4)-(A1.6) kifejezsek alakja:
31 s= (A3.4)
32 s= (A3.5)
( )2123 2 +=
b
s (A3.6)
Az (A3.6) egyenletet derivlva
( )2123 2 +=
b
s (A3.7)
Ebbe 1 s 2 alakjt behelyettestve (A3.4), (A3.5) egyenletekbl:
( ) 321
3231
22
2
b
sb
s s==
= (A3.8)
Az (A3.8) differencilegyenlet megoldsa
+= nt
b
tAcos3 (A3.9)
ahol az A , konstansok meghatrozandk. Az (A3.9) megoldst differencilvant
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
39/53
+= nt
b
t
b
Asin3 (A3.10)
Az (A3.6) s (A3.10) baloldala azonos, gy a jobboldaluk is egyenl:
( )2123 2sin +=
+=
b
st
b
t
b
An
(A3.11)
ahonnan
+=+ nt
b
tAbs sin21 (A3.12)
Az (A3.12) s (A3.9) kifejezseket (A4.2) baloldaln behelyettestve az Aparamter
kifejezhet
b
ccA
2
22
21 += (A3.13)
gy (A3.12) j alakja:
++=+ nt
b
tccs sin22
2121 (A3.14)
Most kihasznlva, hogy 1 s 2 klnbzeljel, a (4.15) egyenlet trhat akvetkezalakra:
021 s= (A3.15)
Az (A3.14) s (A3.15) egyenleteket sszeadva, illetve kivonva egymsbl:
+
+=
+
+
+=
2sin
2
2sin
2
022
21
2
022
21
1
n
n
tb
tccs
tb
tccs
(A3.16)
A 1 s 2 gykeit gy a
22
21
0sincc
tb
tn
+=
+
(A3.17)
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
40/53
egyenletek -re vett) megoldsai szolgltatjk az( t Iinte m hosszt:rvallu
= 012 sin2b
+
2
2
2
1 cc
(A3.17)
( 2 nem lehet nulla, mivel 0 sem lehet nulla. Ekkor ugyanis (A3.16) kt kifej
zonos lenne, s nem llna fenn az a felttel, hogy
ezse
a 1 s 2 klnbzeljelek.)
kor
az, hisz az intervallum hossza nemnulla.
Egyb esetek: zrt s flig zrt intervallumok. Ha a generikus intervallum zrt, akannak meg kell egyeznie a teljes extremlis intervallum val s gy a Ttel trivilisanigFlig zrt generikus intervallum esete a trajektoria elejn vagy vgn fordulhat el.Ebben az esetben hossz a 1 , 2 s (ha van, akkor a) flig zrt intervallum hossza
kzl a legkisebb .
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
41/53
Fggelk A.4: Segdlet A.3-hoz
A i kapcsolfggvnyek definciiba behelyettestve
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) 22212222222121
222
22121
222
221
22121
22
21
2
321
2
12
21
23
2
321
2
1
321
2
1
2
3
2
21
2
3
2
21
sincossincos
sincos2cossinsincos2sincos
cossinsincos2sincos
0
cos
sin
2
1,2sincos
2
/1
sin
cos
2
1,
/1
sin
cos
2
1,
2),(),(2
cccc
cccccccc
cccccc
bcxcyc
c
c
bcc
b
bcxcyc
c
c
bcxcyc
c
c
btqfttqftb
+=+++=
++++=
+++=
+
+++=
+
+
+
+
=
++=++
(A4.1)
azaz
( ) ( ) 2221
23
221 2 ccb +=++ (A4.2)
Ebbl a (4.15) egyenlet ngyzett levonva:
( )( ) ( ) 2022
21
232121 212 +=+ ccbsign (A4.3)
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
42/53
Fggelk A.5: Az 1. Lemma bizonytsa
Lemma 1. A korltozott sebessg differencilis meghajts robot extremlistrajektrijra fennll, hogy egy kapcsolsi fggvny brmely kt gyke vagy egy kzs
szingulris intervallumhoz tartozik, vagy a kettkztt van generikus pont.Bizonyts:Legyen s a kapcsolsi fggvny kt gyke, s tegyk fel, hogy nincs kzttk
generikus pont. Tekintsk most az extremlis1t 2t
[ ]21,tt (n. korltozott) intervallumt. Afelttelezs alapjn, mivel az intervallum egy pontja sem generikus pont, ezrt minden
egyes pont valamelyik kapcsolsi fggvny gyke. Jellje ( )0111=R a 1 kapcsolsi
fggvny gykeinek halmazt, s jellje ( )0122=R a 2 kapcsolsi fggvny
gykeinek halmazt. s zrt, s az unijuk lefedi a teljes1R 2R [ ]21,tt intervallumot.Ha , akkor a metszetben tallhat pontok mindkt kapcsolsi fggvnynekgyke, gy az 5. Ttel rtelmben az egsz trajektria dupln szingulris.
21 RR
Ha , akkor s egyms komplemensei. Mindkettjknek nyiltnak szrtnak is kell lennie egyszerre a
= 21 RR 1R 2R
[ ]21,tt intervallumon. (Zrt, hisz a sajt hatrukattartalmazzk, de nyilt is, mert a msik, zrt halmaz komplemenseknt nyiltnak kelllennie). Ez csak gy lehet, ha az egyik az res halmaz, a msik a teljes [ ]21,tt intervallum. Ez viszont azt jelenti, hogy a teljes [ ]21,tt intervallum ugyanaz szingulrisintervallumhoz tartozik.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
43/53
Fggelk A.6: Az 8. Ttel bizonytsa
8. Ttel.A intervallumon definilt extremlis trajektria vges szm generikus sszingulris intervallum lezrsval fedhet le. Az extremlis trajektrin vges szm
kapcsols van, amely vagy egy generikus, vagy egy szingulris intervallum vgntallhat. Minden intervallum az albbi hrom tpus valemelyikbe tartozik:
[ T,0 ]
Dupln szingulris. Mindkt kapcsolsi fggvny azonosan nulla. Mindkt
irnyt jel nulla majdnem minden idpontban s a robot nem mozog. Egy duplaszingularitst tartalmaz extremlis egy intervallumbl ll; egy dupln szingulrisintervallumbl.
Szingulris. A 1 s 2 kapcsolfggvnyek valamelyike azonosan nulla (de a
msik soha sem). Az irnyt jelek egyenlek s szaturltak (1 vagy -1) majdnemmindenhol. A robot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( )vagy egyenesen htra ( ).
Generikus. Egyik kapcsolfggvnynek sincs gyke a generikus intervallumon.Kt eset van:
A kapcsolfggvnyek eljele azonos. Az irnyt jelek egyenlk sszaturltak majdnem mindenhol. A szingulris intervallummal egyezen arobot maximlis sebessggel vagy egyenesen elre mozog ( ) vagyegyenesen htra ( ).
A kapcsolfggvnyek eljele klnbzik. Az irnytjelek ellenttesek sszaturltak majdnem mindenhol. A robot egyhelyben forog balra ( )vagy jobbra ( ).
Bizonyts:
Elszr bebizonytjuk, hogy az intervallum generikus s szingulris intervallumoklezrsval fedhetk le. Tegyk fel indirekte az ellenkezjt. Ekkor ltezik egy nemlefedett (nemres) nylt intervallumok unija a [ ]T,0 intervallumon. Az egyik ilyen nyltintervallumon vegynk kt pontot. A 2. Lemma alapjn ezek generikus ponttal kell, hogylegyenek elvlasztva, ami ellentmonds. Ez alapjn megllapthat, hogy a generikus sszingulris intervallumok lefedik a teljes trajektrit [C8.1].Nevezzk elvlaszt pontnak azokat a pontokat, amely valamelyik kapcsolfggvnygyke s nem bels pontja szingulris intervallumnak. Most megmutatjuk, hogy csakvges szm elvlaszt pont van. Az 7. Ttel rtelmben a generikus intervallumokhosszra als hatrt tudunk meghatrozni. Tegyk fel, hogy van 3 elvlaszt pont. Az1. s a 3. legalbb tvolsggal kell hogy legyenek elvlasztva, klnben a 2.
elvlaszt pont 2. Lemma rtelmben egy szingulris intervallum belspontja lenne. Ezalapjn ( ) 1/2 +T elvlaszt vonalnl nem lehet tbb ( =T esetn is maximum 3elvlaszt pont lehet csak).Az elvlaszt pontok a 0 , T pontokkal egytt definiljk az extremlis struktrjt,ugyanis k vlasztjk el egymstl a vges szm szingulris vagy generikusintervallumokat. Minden intervallum maximlis, azaz nem rsze egy nagyobbugyanolyan tpus intervallumnak. Mivel a kapcsols csak az elvlaszt pontoknlfordulhat el, csak vges szm kapcsols tallhat a trajektrin.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
44/53
Az 5. Ttel s 6. Ttel alapjn az irnyts konstans a szingulris intervallumon s a 6.Ttel alapjn az irnyts konstans a generikus intervallumon. A Ttel maradk rszeezen a Ttelek a bizonytsnl hasznlt struktrkbl kvetkezik.
Megjegyzs A.6.1. Minden vlts egy elvlaszt pont, de nem minden elvlaszt pont
vlts. Vannak olyan extremlisok (s
t, id
optimlis trajektrik, amelyek egy elvlasztponttal elvlasztott 2 generikus intervallumot tartalmaznak. Ez utbbi nem vlts, mertmajdnem mindenhol az elvlaszt pont kivtelvel- konstans lehet az irnyts. Viszontegy szingulris intervallum vgn nem konstans majdnem mindenhol az irnyts (csakabszolt rtkben lenne az)
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
45/53
Fggelk A.7
Igazoland:A robot brmely pozcijra az( yx, ) ( )yx, kifejezs az ( pont)yx, -
vonaltl val 2221 cc + mennyisggel slyozott (sklzott) tvolsgt adja.
Bizonyts:
Legyen pont az( 00 ,yx ) 0),( 312 =++= cycxcyx egyenesnek egy kezdpontja, s
legyen pont a futpont. Ekkor a( yx, ) 01023 ycxcc = felttel mellett az ( ) vektor az egyenes egy normlvektora, mivel merleges az
Tcc 12 ,
( )00 ,yx kezdpont s ( )yx, vgpont vektorra (azaz skalris szorzatuk nulla):
0
,,
312010212
1012020
0
1
2
0
0
1
2
3
=++=++=
+=
=
cycxcycxcycxc
ycycxcxcyy
xx
c
c
yy
xx
c
c
c
(A7.1)
0),( 312 =++= cycxcyx( )yx,( )00 ,yx
2/
1
2
c
c
A7.1 bra Az 0),( 312 =++= cycxcyx egyenes
Ha az pont nem az egyenesen esik akkor a( yx, )
0
0
1
2 ,yyxx
cc (A7.1)
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
46/53
Skalris szorzat az pont a( )tyyxx 00 ( )T
cc 12 , es vetletnek ( )T
cc 12 , -
szorost adja. Viszont ( ) 222112 , cccc
T += , ezrt a ( )yx, kifejezs valban az ( )yx,
-vonaltl val 2221 cc + mennyisggel slyozott (sklzott) tvolsgt adja.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
47/53
Fggelk A.8
Igazoland: ( )221 ,21
yxb = ,
( )112 ,21 yxb =
Bizonyts:
A (4.12) sszefggsbl kiindulva s helyre az (1.8),1f helyre a (4.9) kifejezseketbehelyettestve:
( )( ) ( )32121112
1sin
2
1cos
2
1),()( cxcyc
bcctqftt ++== (A8.1)
Ha ide, (A8.1)-be behelyettestjk a (4.18) kifejezsbl kifejezett
(A8.2)
+=
cos
sin
1
1
by
bx
y
x
Robot pozcit, akkor
( )( )
),(21
21
sincos2
1sin
2
1cos
2
1
),()(
11
),()10.4(
321
3221121
11
11
yxb
cxcycb
cbcxcbcycb
cc
tqftt
yx
yyyxxxxyyyxxxx
=
+=
++=
=
(A8.3)
A 2 kapcsolfggvny kifejezse ezzel analg mdon trtnik.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
48/53
Fggelk A.9
Igazoland: += cosvH
Bizonyts:Tekintsk az A7.1 bra kibvtsvel kapott A9.1 brt. Ekkor
(A9.1)),(tana 121
11 cc+=+=
Ezt a (4.24) egyenletbe behelyettestve
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ),(cos),(cos
),(cossinsincos
braA9.21/),(tansin
1/),(tancos),(),(tansincos),(tancossin
),(tansinsin),(tancoscos
),(),(tansin),(tancos
),(sincos,,
1
1braA9.2
22
211
1221211211
21
22121
11121
12
1
1212
1
12
121
11121
11
121
12121
11
21
yxvyxccv
yxvccvccvcvc
cccca
ccccayxccavcccavc
ccavcccavc
yxccacccacv
yxccvuqH
xxxxxx
+=++=
+++=
==
===+++
=
++++=
++=
=
(A9.2)Ekkor -el megszorozva az egyenletet s kihasznlva A9.1 brbl, hogy1
coscos 1 = :
( ) ),(cos,, yxvuqH = (A9.3)
-vonal
1
2
c
c
0),( 312 =++= cycxcyx
2/
A9.1 bra A szgek kzti kapcsolat
1
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
49/53
12c
1c
A9.2 bra A felttel ((4.24) s (4.25) kztt)12221 =+ cc
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
50/53
Fggelk A.10
11. Ttel. Minden idoptimlis trajektrira: bT )( , azaz az sszestett elfordulsszge: .
Bizonyts: Elszr a legygyorsabb fordul-egyenes-fordul (FEF) trajektrirabizonytjuk az eredmnyt, amelyet azutn kiterjesztnk.Tekintsk elszr teht a leggyorsabb (legrvidebb) FEF trajektrit. Ez nyilvnvalangy nz ki, hogy az egyenes szakasz a kezdeti s vgpontot kti ssze, mikzben akezdeti s vgpontban egy egy fordulsi fzis van. Az ltalnossg megszortsa nlklvlasszuk meg gy a korrdintarendszert, hogy a kezdeti pontbl vgpontba mutatvektor feleljen meg a 0 orientcinak. gy az egyenes szakaszon val mozgs sorn arobot orientcija vgig nulla vagy . gy a robot egy s kezdeti orientcibl 0 vagy
orientciba fordul, egyenesen megy a clpontba, ahol a g kvnt clorientciba
fordul. A leggyorsabb FEF trajektria esetn gy nyilvnvalan az a krds, hogy a vgsorientci legrvidebb elrshez, mikor mennyit kell fordulnia a robotnak, hogy azelfordulsi szg minimlis legyen (az egyenes szakasz hossza FEF trajektoriknl adott; akezdeti s vgpontot sszekt egyenes szakasz). Felttelezve, hogy s , g szg a
[ ), tartomnyba esik, a minimlis elfordulsi szg:
gsgs ++ 2,min (A10.1)
Ami nem haladhatja meg a szget, gy a krv hossza sem haladhatja meg a b rtket, azaz bT )( .Most terjesszk ki az eredmnyt ltalnos esetre. A 10. Ttel alapjn az idoptimlis
trajektria megttelhez szksges id: )()( TTsT += , ahol )(T a megtettsszestett vek hossza. Mivel a leggyorsabb FEF trajektria minimalizlja rtkts
)(Ts
bT )( , ezrt brmely ms >)(T rtkkel rendelkez trajektrira vangyorsabb FEF trajektria, teht egy >)(T rtkkel rendelkez trajektria nem lehetoptimlis.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
51/53
Fggelk A.11
12. Ttel. A tbb mint 3 mozgsprimitvet tartalmaz TCW, TCCW (rint [fordtott]kr) trajektrik nem optimlisak.
Bizonyts: A TCW, TCCW trajektrikban fordulsok s egyenes szakaszok vltjkegymst. Most indirekten tegyk fel, hogy ltezik hromnl tbb mozgsprimitvettartalmaz TCW vagy TCCW.Ha hromnl tbb mozgsprimitv lenne, akkor a forgs-egyenes-forgs-egyenessszettel esetn a msodik (illetve az azutni sszes) egyenes integrlhat TW,TCCWesetn az elsegyenessel, teht valjban csak 3 mozgsprimitv van, ami ellentmonds.Ha azonban a forgsbl van 3 mozgsprimitv (s igy az egyenes szakasszal egyttsszesgben 3-nl tbb mozgsprimitv lenne), akkor kihasznlhatjuk 4.4. pontbanszrevtelt, miszerint az elss utols forgs kivtelvel az sszes forgs a (TCW)vagy (TCCW) egsz szm tbbszrsnek megfelelszggel trtnik. Ez azt jelenti,
hogy legalbb egy abszoluttkkel rendelkezszgelforduls van, amihez mg az elss utols szgelforduls hozzaddik. Ez azt jelenti, hogy sszessgben> szgelforduls lenne, ami a 11. Ttelnek ellentmondana, teht az eredeti, a 12.
Ttel lltsa az igaz.
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
52/53
Fggelk A.12
13. Ttel. A 3 elfordulst tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nem optimlisak.
Bizonyts: A 4.4. pontban lert cikk-cakk trajektria struktrja s a 9. bra alapjnalapjn lthat, hogy az els s utols elemtl eltekintve egymst kvet egyenesszakaszok hossza s az elfordulsi szgek nagysga ugyanaz csak az irnyultsgukellenttes. Tekintsk az A12.1 brt s az optimlisnak felttelezett trajektrit. A
robot a konfigurcibl indul s a konfigurciba rkezik. A robot olyan cikk-
cakkos mozgst r le, amely sszesen 3 fordulst tartalmaz ( ,
1T
sq gq
sq V s pontokban
fordul). Ha most a hrom fordulsi pont kr krt rajzolunk s a krven eltoljuk egykicsit a
gq
Vpontot akkor a trajektrit kapjuk. Mindkt trajektria esetn a kzbens
pontban ugyanannyit kell fordulni, hisz ugyanahhoz a ( ) hrhoz tartoz szgekrl
van sz. Msfell trajektrira esetn a szge ugyanannyit vltozik (ellenkez
eljellel) eredeti elfordulsi szghez kpest , mint szge, hisz ugyanahhoz a
2T
sq gq
2T sq
1T gq VV
Hrhoz tartoz szgekrl van sz. Teht az elfordulsok sszege a kt trajektria esetnmegegyeznek. Viszont a trajektria egyenes szakaszainak sszestett hossza rvidebb,
mint trajektri (amelyeknl az tszakaszok hossza egyenl), gy a trajektria
rvidebb, mint , vagyis nem optimlis.
2T
1T 2T
1T 1T
sqgq
V
V1T
2T
A12.1. bra. Cikk-cakk trajektria 3 fordulssal nem optimlis
-
7/23/2019 ARJ1_ea080429
53/53
Fggelk A.13
14. Ttel. A tbb, mint 1 peridust tartalmaz cikk-cakk (ZL,ZR) trajektrik nemoptimlisak.
Bizonyts: A 4.4. pontban lert cikk-cakk trajektria struktrja s a 9. bra alapjnalapjn lthat, hogy az els s utols elemtl eltekintve egymst kvet egyenesszakaszok hossza s az elfordulsi szgek nagysga ugyanaz csak az irnyultsgukellenttes (A.13.1 bra).
Indirekten tegyk fel, hogy ltezik optimlis cikk-cakk mozgs, amely a idpontblindul s
0=tTt >= ideig tart. Ekkor vagy 2> vagy .dTs 2)( >
Ha 2> , akkor a 13. Ttellel ellentmondsba jutunk, hiszen, tbb mint 3
fordulst kellene megvalstani. Ha , akkor 3 egyenes szakasz van az optimlis plyn. Ekkor az
optimlis trajektria kplete: (s: straight, egyenes, t: turn, forduls).
Mivel az els s utols egyenes prhuzamos, ezrt ezek sszevonsval atrajektria ugyanabba a pontba vezet (azaz a kt plya ekvivalensen
optimlis). Azonban miatt
dTs 2)( >
bda ststs
+ tsts dba
dTs 2)( > dba >+ , ami viszont nem cikk-cakktrajektria s 4 4 pont alapjn nem is lehet megengedett extremlis (optimlis)
-vonal
d
A13.1 bra. A cikk-cakk mozgs peridicitsa