Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivana Sovagovic

Aritmetika i geometrija pitagorejaca

Diplomski rad

Osijek, 2010.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivana Sovagovic

Aritmetika i geometrija pitagorejaca

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Franka Miriam Bruckler

Osijek, 2010.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Aritmetika 2

2.1. Svojstva brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1. Parni i neparni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.2. Prosti i slozeni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3. Savrseni i prijateljski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4. Figurativni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Sredine brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Aritmeticka sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Geometrijska sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3. Harmonijska sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Geometrija 19

3.1. Pitagorin teorem i Geometrijska algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1. Pitagorin teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2. Obrat Pitagorinog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3. Pitagorejske trojke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.4. Geometrijska algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Sumjerljive velicine i iracionalnost od√

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Pravilni poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Literatura

1

1. Uvod

Pitagora je roden na Samosu (569. − 475. pr. Kr.), grckom otoku koji je danas dio

turske obale. Bio je odlican matematicar, cesto ga se opisuje kao”prvog” pravog

matematicara. Mnogo je putovao i na svojim putovanjima se susreo s mnogim filo-

zofima i misliocima koji su uvelike utjecali na njega. Pitagora je osnovao, oko 518.

pr. Kr. u Krotonu, u juznoj Italiji, filozofsko-religioznu skolu poznatu pod nazivom

pitagorejska skola, a cije sljedbenike nazivamo pitagorejcima. Bio je znacajna osoba

koja je doprinijela razvoju matematike, no ne zna se je li ista od njemu pripisanih

rezultata stvarno njegovo, ili su to dokazali drugi pitagorejci. Pitagorejska dostignuca

su znacajna u cetiri podrucja: aritmetici, astronomiji, geometriji i glazbi. U ovom

diplomskom radu su opisana njihova dostignuca u aritmetici i geometriji.

Drugo poglavlje opisuje pitagorejsku aritmetiku. Pitagoru se cesto naziva”ocem bro-

jeva” jer je vjerovao da se sve oko nas moze objasniti pomocu prirodnih brojeva i

odnosima medu njima. Poznat je Pitagorin stav”Sve je broj”, pri cemu misli na

prirodne brojeve. Svaki prirodan broj, prema njegovom uvjerenju, ima vlastitu os-

obinu i znacenje. Pitagora i pitagorejci su procavali svojstva brojeva danas poznatih

kao parnih i neparnih, prostih i slozenih, savrsenih i prijateljskih, te figurativnih bro-

jeva. Poznavali su aritmeticku, geometrijsku i harmonijsku sredinu brojeva. Vjerovali

su da je sve povezano s matematikom.

Trece poglavlje opisuje pitagorejsku geometriju. Navodno je Pitagora naucio geometriju

na putovanjima u Egipat i Babilon, ali su ga zasigurno s geometrijom upoznali grcki

filozofi Ferekid (6. st. pr. Kr.), Tales (640.−547. pr. Kr.) i Anaksimandar (610.−546.

pr. Kr.). Pitagoru se najvise veze uz Pitagorin teorem, za kojeg se smatra da ga je

on prvi dokazao, no teorem je, bar u nekim specijalnim slucajevima, bio poznat ranim

indijskim, kineskim i babilonskim matematicarima. Uredena trojka prirodnih brojeva

koja zadovoljava uvjete Pitagorinog teorema naziva se pitagorejska (ili Pitagorina) tro-

jka. Linearne i kvadratne jednadzbe pitagorejci su rjesavali geometrijski, sto znaci da

su poznavali geometrijsku algebru. Pitagorejci su, suprotno svom vjerovanju, otkrili

nesumjerljivost stranice i dijagonale kvadrata, tj. postojanje iracionalnih brojeva. Poz-

navali su i pet pravilnih poliedara i njihova osnovna svojstva, te konstrukciju pravilnih

poligona s tri, cetiri, pet i sest strana.

Matematicka nacela koja su otkrili pitagorejci skupljena su u opseznom djelu, Ele-

mentima, koje je oko 300. pr. Kr. napisao grcki matematicar Euklid (330. − 260. pr.

Kr.). Euklidovi Elementi su skup knjiga od povijesnog i kulturnog znacaja, ne samo

za matematiku, nego i za cjelokupno ljudsko znanje. U II. knjzi su opisana dostignuca

geometrijske algebre. Knjige VII., VIII. i IX. iznose rezultate pitagorejske aritmetike.

2

U XIII. knjizi konstruira se pet pravilnih poliedara (Platonova tijela) i dokazuje da

drugih nema. Druga pitagorejska otkrica mogu se pronaci i u ostalim knjigama Ele-

menata.

2. Aritmetika

Pitagora se cesto naziva”ocem brojeva” jer su on i njegovi ucenici vjerovali da se cijeli

svijet i sve oko nas moze objasniti pomocu prirodnih brojeva i odnosima medu njima.

Odbacivali su misao da je broj samo oznaka za kolicinu, te su brojevima pridavali

misticna znacenja. Temelj svih brojeva je broj jedan, Monada. Smatrali su da Monada

nije broj nego princip. Povezivali su jedinicu s razumom. Broj dva ili Dijada je prvi

paran broj i oznacava radanje pa se smatra zenskim brojem. Parni brojevi su za

pitagorejce nositelji zenskog nacela. Broj tri ili Trijada je prvi neparan broj, a neparni

brojevi su za njih nositelji muskog nacela. Broj cetiri ili Tetrada je broj pravde, jer je

broj koji se dijeli na dva jednaka dijela. Broj pet ili Pentada je broj ljubavi, simbol

je za brak jer je spoj prvog zenskog i prvog muskog broja. Broj sest ili Heksada je

simbol srece i smatrao se sretnim brojem. Broj sedan ili Heptada predstavlja nevinost

ili cistocu. Broj osam ili Ogdoada je broj prijateljstva. Broj devet ili Eneada se veze

uz devetomjesecni period embrionalnog zivota. Broj deset ili Dekada je za pitagorejce

sveti broj kojemu se klanjaju. Pitagorin stav”Sve je broj!” nam govori da su on i

njegovi ucenici s prirodnim brojevima objasnjavali sve pojave koje nas okruzuju.

2.1. Svojstva brojeva

Pitagora i pitagorejci su na razne nacine klasificirali prirodne brojeve.

2.1.1. Parni i neparni brojevi

Prirodni brojevi mogu biti parni ili neparni. Ako prirodan broj nije paran, tada je

neparan, i obrnuto, ako prirodan broj nije neparan, tada je paran. Parni i neparni

brojevi se razlikuju po svojstvima. Prema pitagorejcima,

Definicija 2.1 Paran je onaj broj koji je djeljiv na dva jednaka dijela.

Danas kazemo da su parni brojevi prirodni brojevi koji su djeljivi s brojem 2, odnosno

brojevi koji pri dijeljenju s brojem 2 imaju ostatak 0. Svaki paran broj je umnozak

broja 2 i nekog prirodnog broja m. Parne brojeve stoga zapisujemo u obliku: n = 2m.

To su brojevi: 2, 4, 6, 8, 10, ....

3

Za pitagorejce je:

Definicija 2.2 Neparan je onaj broj koji nije djeljiv na dva jednaka dijela, odnosno

koji se razlikuje za jedinicu od parnog broja.

Neparni brojevi su prirodni brojevi koji pri dijeljenu s brojem 2 daju ostatak 1. Kada

parnom broju dodamo jedinicu dobijemo neparan broj: n = 2m + 1; 3, 5, 7, .... Da

bismo dobili neparan broj 1 u ovom nizu zapisujemo: n = 2m− 1; 1, 3, 5, ...

Postavlja se pitanje: Je li nula paran ili neparan broj? Tesko je odgovoriti na pitanje:

Imamo li parno ili neparno mnogo necega cega uopce nemamo? No, nulu mozemo

zapisati u obliku 2m za m = 0, pa se danas smatra parnim brojem.

Pitagorejci su proucavali aritmeticke operacije s parnim i neparnim brojevima, te su

uocili sljedeca svojstva:

Zbrajanje i oduzimanje

• paran broj uvecan za paran broj je paran broj, odnosno

2p+ 2q = 2 · (p+ q);

• paran broj uvecan za neparan broj je isto kao i neparan broj uvecan za paran

broj to je neparan broj, odnosno

2p+ (2q + 1) = 2 · (p+ q) + 1;

• neparan broj uvecan za neparan broj je paran broj, odnosno

(2p+ 1) + (2q + 1) = 2 · (p+ q) + 2 = 2 · (p+ q + 1),

gdje su s p i q oznaceni prirodni brojevi. Analogna svojstva vrijede i za oduzimanje:

paran broj umanjen za paran/neparan daje paran/neparan broj, a neparni broj uman-

jen za neparni broj daje neparan.

Mnozenje

• paran broj pomnozen s parnim brojem je paran broj, odnosno

(2p) · (2q) = 2 · 2 · pq = 2 · (2pq);

• paran broj pomnozen neparnim brojem, kao i neparan broj pomnozen s parnim

brojem, je paran broj, odnosno

(2p) · (2q + 1) = 2 · (p(2q + 1));

• neparan broj pomnozen neparnim brojem je neparan broj, odnosno

(2p+ 1) · (2q + 1) = 4pq + 2q + 2p+ 1 = 2 · (2pq + q + p) + 1,

gdje su s p i q oznaceni prirodni brojevi.

4

Pitagorejci su i slikovito pokazali da vrijedi:

zbroj dvaju parnih brojeva je paran broj.

Prirodan broj n moze se prikazati skupom od n kamencica. Ako je paran, oni se mogu

rasporediti u dva jednako duga reda. Zbrajanje dva prirodna broja moze se prikazati

objedinjavanjem odgovarajucih skupova kamencica. Ako se zbrajaju dva parna broja,

prikazana rasporedom na dva reda, dobije se broj ciji prikaz je takoder moguc u dva

jednaka reda (slika 2.1).

Slika 2.1 Zbroj dva pravokutnika iste visine je pravokutnik iste sirine

Kada se spoje dva pravokutnika kojima je zajednicka visina 2 dobije se pravokutnik

sirine 2, bez obzira na duzinu pravokutnika.

U VII. knjizi Euklidovih Elemenata definiraju se sljedeci pojmovi za koje se smatra da

potjecu od pitagorejaca:

Definicija 2.3 Parno paran broj je onaj broj koji se mjeri parnim brojem paran broj

puta.

Primjerice, broj 8 je parno paran broj jer vrijedi 8 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 · 2.

Suvremenim jezikom receno, parno paran broj je prirodan broj djeljiv s 4.

Definicija 2.4 Neparno paran broj je onaj broj koji se mjeri parnim brojem neparan

broj puta.

Primjerice, broj 6 je neparno paran broj jer vrijedi 6 = 2 + 2 + 2 = 3 · 2.

Suvremenim jezikom receno to je paran broj koji nije djeljiv s 4.

Definicija 2.5 Parno neparan broj je onaj broj koji se mjeri neparnim brojem paran

broj puta.

Primjerice, broj 18 je parno neparan broj jer vrijedi 18 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 6 · 3.

Suvremenim jezikom receno to je prirodan broj koji pri dijeljenju s brojem 2 daje

neparan broj. Pitagorejci su govorili da takvi brojevi imaju neparnu polovinu.

Definicija 2.6 Neparno neparan broj je onaj broj koji se mjeri neparnim brojem neparan

broj puta.

Primjerice, broj 15 je neparno neparan broj jer vrijedi 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 · 3.

Suvremenim jezikom receno, neparno neparan broj je prirodan broj koji je uvijek

neparan broj. Koji se dobije umnoskom dva neparna broja.

5

U IX. knjizi Euklidovih Elemenata moze se pronaci propozicija, koju su dokazali

pitagorejci.

Propozicija 2.1 Ako broj ima neparnu polovinu, on je samo parno neparan.

Dokaz.

Neka broj a ima neparnu polovinu. Tvrdimo da je broj a samo parno neparan broj.

Da je on parno neparan broj, to je jasno, jer ga njegova polovina, kao neparan broj,

mjeri paran broj puta. Tvrdimo da su oni samo takvi. Zaista, ako je a parno paran

broj, on se mjeri parnim brojem paran broj puta, pa i njegova polovina, neparan broj,

mjeri se parnim brojem. A to nema smisla. Znaci a je samo parno neparan broj. A to

je trebalo dokazati. 2

2.1.2. Prosti i slozeni brojevi

Definicija 2.7 Prosti (prim) brojevi su prirodni brojevi djeljivi s brojem 1 i sami sa

sobom.

Pitagorejci su ih zvali pravcastim brojevima, jer se pomocu tockica ne mogu prikazati

kao vise jednakih redova.

Primjer 2.1 Nekoliko prvih prostih brojeva su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...

Definicija 2.8 Slozeni brojevi su prirodni brojevi veci od 1, koji su osim s 1 djeljivi i

sa samim sobom i s barem jos jednim brojem.

Pitagorejci su ih zvali ravninskim brojevima.

Primjer 2.2 Nekoliko prvih slozenih brojeva su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, ...

Broj jedan nije niti prost niti slozen. Dakle, prirodne brojeve mozemo podijeliti u tri

vrste:

• Broj 1,

• Prosti brojevi,

• Slozeni brojevi

Pitagorejci su poznavali i medusobni odnos izmedu dva prirodna broja. To su definirali:

Definicija 2.9 Medusobno prosti brojevi su brojevi kojima je zajednicka mjera broj

jedan.

Definicija 2.10 Medusobno slozeni brojevi su brojev kojima je zajednicka mjera neki

broj razlicit od jedan.

6

U VII. knjizi Euklidovih Elemenata mogu se naci mnogi rezultati o prostim i slozenim

brojevima koji su proizasli od pitagorejaca.

Propozicija 2.2 Svaki slozen broj je visekratnik nekog prostog broja.

Dokaz.

Neka je a neki slozen broj. Tvrdimo da je broj a visekratnik nekog prostog broja. Ako

je a slozen broj, tada je on djeljiv s nekim brojem. Neka postoji takav broj i neka to

bude broj b. Ako je b prost broj tada je ono sto se trazi ispunjeno. Ako je on slozen,

tada je on djeljiv s nekim brojem. Neka postoji takav broj i neka to bude broj c. Kako

je c djeljiv s b, a b s a, onda je c djeljiv i s a. Ako je c prost broj, onda je time ono sto

se trazi ispunjeno. A ako je on slozen broj, tada je on djeljiv s nekim brojem. Nakon

primjene ovog postupka ostat ce neki prost broj koji ce biti djeljiv s a. Jer, ako ne

ostaje takav broj, onda ce broj a moci biti djeljiv s beskonacnim nizom brojeva, od

kojih je svaki manji od drugog, a to je nemoguce. Prema tome naci ce se neki prost

broj, koji ce biti djeljiv s prethodnim brojem, a time ce biti djeljiv i s brojem a. Na ovaj

nacin svaki slozen broj je visekratnik nekog prostog broja. A to je trebalo dokazati. 2

Propozicija 2.3 Svaki je broj ili prost ili je visekratnik prostog broja.

Dokaz.

Neka je a neki broj. Tvrdimo da je a ili prost broj ili je visekratnik prostog broja.

Ako je a prost broj, onda je time ono sto se trazi ispunjeno. Ako je on slozen, onda je

visekratnik nekog prostog broja (propozicija 2.2). Na ovaj nacin, svaki broj je ili prost

ili je visekratnik prostog broja. A to je trebalo dokazati. 2

Propozicija 2.4 Ako prost broj ne dijeli zadani broj, onda je s njim relativno prost.

Dokaz.

Neka je a prost broj i neka nije djeljiv s brojem b. Tvrdimo da su brojevi a i b

medusobno prosti. Zaista, ako brojevi a i b nisu medusobno prosti, onda su djeljivi s

istim brojem. Neka su oba broja djeljiva s brojem c. Kako je b visekratnik od c, a a

nije visekratnik od b, tada su brojevi c i a razliciti. Sada kako je c djeljiv s a i b, dakle

djeljiv je s a koji je prost broj, a to je nemoguce. Prema tome, ne postoji broj koji je

djeljiv s a i b. Brojevi a i b su medusobno prosti. A to je trebalo dokazati. 2

7

IX. knjizi Euklidovih Elemenata mogu se pronaci propozicije, koje su takoder dokazali

pitagorejci.

Propozicija 2.5 Postoji beskonacno mnogo prostih brojeva.

Dokaz.

Pretpostavimo suprotno. Prostih brojeva ima konacno mnogo. Tada medu njima

postoji najveci, oznacimo ga s p. Neka je M produkt svih tih prostih brojeva uvecan

za 1, odnosno M = 2 · 3 · p + 1. Tada je M > p, dakle slozen je pa je djeljiv s nekim

prostim brojem. No, M ocito nije djeljiv s jednim od prostih brojeva 2, 3, ...p, pa bi

mogao postojati prost broj veci od p. A to je kontradikcija s pretpostvkom. 2

Propozicija 2.6 Najmanji zajednicki visekratnik skupa prostih brojeva nije djeljiv niti

s jednim drugim prostim brojem.

Dokaz.

Neka je a najmanji zajednicki visekratnik prostih brojeva b, c i d. Tvrdimo, da a nije

djeljiv niti s jednim drugim prostim brojem osim njih. Pretpostavimo suprotno. Neka

je broj a djeljiv prostim brojem e koji je razlicit od b, c i d. Kako je a djeljiv s e kao

rezultat dijeljenje je broj z, odnosno umnozak brojeva e i z je broj a. Ako je umnozak

neka dva broja djeljiv s prostim brojem, onda je taj prosti broj djeljiv s jednim od

polazna dva broja. Prema tome b, c i d su djeljivi s jednim od brojeva e ili z. Oni nisu

djeljivi s e jer je e prost broj i razlicit je od b, c i d. Znaci djeljivi su s brojem z, koji

je manji od a. A to je nemoguce jer je a najmanji visekratnik prostih brojeva b, c i

d. Tada broj a nije djeljiv niti s jednim drugim prostim brojem osim b, c i d. A to je

trebalo dokazati. 2

2.1.3. Savrseni i prijateljski brojevi

U III. knjizi Euklidovih Elemenata se moze pronaci definicija koju su dali pitagorejci:

Definicija 2.11 Savrseni brojevi su brojevi koji su jednaki zbroju svojih pravih djelitelja.

Primjer 2.3 Prva cetiri savrsena broja su:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248,

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.

Prva cetiri savrsena broja poznavali su i pitagorejci.

8

Navodi se i opce pravilo po kojem se mogu pronaci savrseni brojevi, a koje je takoder

pitagorejskog porijekla. To pravilo nije bilo poznato Grcima prije Pitagore. Ono glasi:

Kada je zbroj:

1 + 2 + 22 + ...+ 2m = p

prost broj, gdje je m prirodan broj, tada je 2mp savrsen broj.

Na primjer, 1 + 2 + 4 = 7 je prost broj, slijedi da je 22 · 7 = 28 savrsen broj.

U IX. knjizi Euklidovih Elemenata se moze pronaci teorem koji se smatra pitagote-

jskim:

Teorem 2.1 Ako je p = 2m − 1 prost broj, onda je n = 2m−1p savrsen.

Dokaz.

Ako je p = 2m − 1 prost, onda n ima djelitelje:

1, 2, 22, ...2m−1, p, 2p, 22p, ...2m−1p,

slijedi iz osnovnog teorema aritmetike o jedinstvenoj faktorizaciji prirodnih brojeva na

proste faktore, no nama potreban slucaj je dan u propoziciji 2.6. Slijedi da zbroj svih

djelitelja od n iznosi:.

(1 + p)(1 + 2 + ...+ 2m−1) = (1 + p)(2m − 1) = (1 + p)p = 2n

Kako je i broj n ukljucen medu djelitelje, oduzimanjem broja n dobivamo da je suma

pravih djelitelja od n jednaka n. Koristena formula za sumu geometrijskog reda moze

se naci u IX. knjizi Euklidovih Elemenata i takoder je bila poznata pitagorejcima. 2

Prosti brojevi oblika 2m − 1 su danas poznati kao Mersenneovi brojevi, nazvani su

po francuskom matematicaru Marinu Mersenneu (1588.− 1648.) koji je u 17. stoljecu

pronasao prvih osam savrsenih brojeva.

Moze se primjetiti da su svi do sada navedeni savrseni brojevi parni. Do danas nije

poznato postoje li neparni savrseni brojevi. To je jedan od najpoznatijih problema

suvremene teorije brojeva.

Prema pitagorejcima,

Definicija 2.12 Prijateljski broj je onaj prirodan broj koji ima svoj prijateljski par.

Prirodni brojevi a i b cine par prijateljskih brojeva ukoliko je zbroj pravih djelitelja broja

a (onih koji su manji od a) jednak broju b i ujedno zbroj pravih djelitelja broja b jednak

broju a.

9

Otkrice prijateljskih brojeva pripisuje se Pitagori, koji je vjerovao da ti brojevi imaju

posebno znacenje. Na temelju njih su se u proslosti spajali odredeni brakovi. Brojevi

220 i 284 cine najmanji par prijateljskih brojeva i taj je par bio poznat pitagorejcima.

Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. Zbroj pravih djelitelja

broja 220 daje 284:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.

Pravi djelitelji broja 284 su: 1, 2, 4, 71 i 142. Zbroj pravih djelitelja broja 284 daje 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

2.1.4. Figurativni brojevi

Stari su Grci, a posebno pitagorejci, osobitu paznju pridavali geometrijskom predocava-

nju prirodnih brojeva pomocu pravilnih rasporeda tockica. Posebnim slaganjem tockica

oblikuju se odredene geometrijske figure, pa se ti brojevi nazivaju figurativni bro-

jevi. Pravilno rasporedujuci tockice mogu se dobiti razliciti poligonalni oblici (trokut,

kvadrat, pravokutnik,...). No, tockice se mogu pravilno rasporediti i u trodimenzion-

alna tijela (piramidu, kocku, tetraedar,...).

Brojevi koji se mogu prikazati u obliku trokuta nazivaju se trokutni brojevi. Kod

trokutnih brojeva prvi red sadrzi jedan element a svaki sljedeci red sadrzi jedan element

vise od prethodnog. Trokutni su brojevi: 1, 3, 6, 10, 15, 21, .... U nizu trokutnih brojeva

pocinje se neparnim brojem, a nakon toga slijede alternirajuci dva parna, dva neparna,

dva parna, dva neparna itd.

Slika 2.2 Trokutni brojevi: 1, 3, 6, 10 i 15

Pitagorejci su otkrili da je zbroj proizvoljnog broja uzastopnih prirodnih brojeva trokutni

broj, odnosno da se trokutni brojevi mogu zapisati u obliku:

Tn = 1 + 2 + ...+ n = n(n+1)2

.

10

Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.3. Na kojoj je prikazan trokutni broj

15, koji se dobije zbrajanjem prvih pet prirodnih brojeva.

Slika 2.3 Trokutni broj 15

Medu trokutnim brojevima nalazi se i tzv. Tetraktis. Tetraktis su cinile deset tockica.

Broj 10 je za pitagorejce bio poseban broj. Predstavljao je cetiri elementa (vatra, voda,

zrak i zemlja). Ako u bazu stavimo cetiri tockice, pa iznad njih tri, pa dvije, pa na

vrh jednu, dobije se jednakostranican trokut sa stranicama 4 − 4 − 4, zbog cega se i

nazivao Tetraktis.

Pitagorejci su pokazali da je zbroj dva uzastopna trokutna broja jednak zbroju uza-

stopnih neparnih brojeva. To su opisali i formulom:

Tn + Tn+1 = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n+ 1) = (n+ 1)2.

Na slici 2.6 moze se vidjeti da je zbroj dva uzastopna trokutna broja 10 i 15, odnosno

cetvrtog i petog trokutnog broja jednak 25. To se dobije i prema formuli, gdje je n = 4;

(n+ 1)2 = (4 + 1)2 = 52 = 25.

Brojevi koji se mogu prikazati u obliku kvadrata nazivaju se kvadratni brojevi. Kvadratni

su brojevi 1, 4, 9, 16, 25, 36.... U nizu kvadratnih brojeva alterniraju paran, neparan,

paran, neparan itd.

Slika 2.4 Kvadratni brojevi: 1, 4, 9, 16 i 25

11

Pitagorejci su otkrili da je zbroj prvih n neparnih brojeva kvadratni broj, odnosno da

se kvadratni brojevi mogu zapisati u obliku:

Kn = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1) = n2.

Ako se krene od 1, dodavanjem uzastopnih neparnih brojeva 3, 5, 7, dobiju se uzastopni

kvadratni brojevi 4, 9, 16, kao sto je prikazano na slici 2.5.

Slika 2.5 Kvadratni brojevi

Vezano za kvadratne brojeve pitagorejci su otkrili da je paran kvadratni broj cetverostruki

kvadratni, tj. da ako je kvadratni broj djeljiv s 2, onda je djeljiv i s 4. Vjeruje se da

su pitagorejci otkrili i da postoje kvadratni brojevi kojima je zbroj opet kvadratni broj

(propozicija 3.1).

Osim toga, pitagorejci su otkrili i veze izmedu trokutnih i kvadratnih brojeva: Zbroj

svakih dvaju uzastopnih trokutnih brojeva je kvadratni broj. Prikazali su to formulom:

Tn + Tn−1 = 12(n+ 1) + 1

2(n− 1)n = n2.

Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.6.

Slika 2.6 Zbroj trokutnih brojeva 10 i 15 je kvadratni broj 25

12

U 6. i 5. st. pr. Kr. u okviru ucenja o parnim i neparnim brojevima otkrili su i da je

neparni kvadratni broj osmerostruki trokutni broj uvecan za 1, odnosno ako je broj n

neparan, onda broj 8 dijeli n2 − 1. To je vidljivo i na slici 2.7:

Slika 2.7 72 = 1 + 8(1 + 2 + 3)

Pitagorejci su proucavajuci figurativne brojeve zakljucili da postoje brojevi koji su

istodobno trokutni i kvadratni. To su brojevi koji se mogu prikazati i u obliku trokuta i

u obliku kvadrata. Brojevi 1, 36, 1225, 41616, 1413721 su istodobno i trokutni i kvadratni

brojevi.

To su objasnili tako sto se odredeni trokut pretvara u jednakokracni pravokutni trokut.

On se tada prekrije kvadratima kao sto je prikazano na slici 2.8. Presjekom trokuta s

kvadratom nastaju dva manja (jednaka) trokuta i jedan veci.

Slika 2.8 Presjek trokuta i kvadrata

Kvadrat i trokut su jednaki uvijek kada je zbroj dvaju malih trokuta jednak velikom

trokutu. Odnosno, veliki trokut je dva puta veci od malog trokuta. Ovo se moze

objasniti slikovito tako da se sa slike 2.8 izbrisu tockice, a ostave se samo oblici.

13

Tada se dobiva sljedeca slika.

Slika 2.9 Presjek trokuta i kvadrata, bez tockica

Na taj se nacin pronalazenje kvadratnog broja, koji je ujedno i trokutni, svelo na

pronalazenje trokutnog broja cije je udvostrucenje trokutni broj.

Brojevi koji se mogu prikazati u obliku pravokutnika, kojima se stranica razlikuje za

1, nazivaju se pravokutni brojevi. Pravokutni su brojevi: 2, 6, 8, 10, 12, 20... Pitagorejci

su otkrili da je zbroj prvih n parnih brojeva pravokutni broj, odnosno da se pravokutni

brojevi mogu zapisati u obliku:

Pn = 2 + 4 + ...+ 2n = n(n+ 1).

Ako se krene od 2, dodavanjem uzastopnih parnih brojeva 4, 6, 8, dobiju se uzastopni

pravokutni brojevi 6, 12, 20, kao sto je prikazano na slici 2.10.

Slika 2.10 Pravokutni brojevi: 2, 6, 12 i 20

Pitagorejci su uocili i pokazali i vezu izmedu pravokutnih i trokutnih brojeva: Pra-

vokutni broj je dvostruki trokutni broj, tj.

n(n+ 1) = 2 · n(n+1)2

.

To nam pokazuje slika 2.11:

Slika 2.11 Dva puta trokutni broj 10 je pravokutni broj 20

14

Od poligonalnih figurativnih brojeva pitagorejci su poznavali i peterokutne i sesterokutne

brojeve.

Peterokutni brojevi su brojevi koji se mogu prikazati u obliku peterokuta. Peterokutni

su brojevi: 1, 5, 12, 22, 35, ...

Slika 2.12 Peterokutni brojevi: 1, 5, 12, 22 i 35

Kod petrokutnih brojeva se krece od 1 i redom se dodaju brojevi 4, 7, 10, ..., odnosno

redom se dodaju elementi aritmetickog niza koji se razlikuju za 3. Peterokutni brojevi

se danas zapisuju u obliku:

Pkn = 1 + 4 + 7 + ...+ (3n− 2) = 3n2−n2

.

Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.13.

Slika 2.13 Peterokutni brojevi

Sestrokutni brojevi su brojevi koji se mogu prikazati u obliku sesterokuta. Sesterokutni

su brojevi: 1, 6, 15, 28, 45, ...

Slika 2.14 Sesterokutni brojevi: 1, 6, 15, 28 i 45

15

Kod sesterokutnih brojeva se krece od 1 i redom se dodaju brojevi 5, 9, 13, ..., odnosno

redom se dodaju elementi aritmetickog niza koji se razlikuju za 4. Sesterokutni brojevi

se mogu prikazati u obliku:

Sn = 1 + 5 + 9 + 13 + ...+ (4n− 3) = n(2n− 1).

Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.15.

Slika 2.15 Sesterokutni brojevi

Figurativni brojevi koji slaganjem tockica oblikuju piramide, kojima su baze pravilni

poligoni, nazivaju se piramidalni brojevi.

Slika 2.16 Piramidalni brojevi, kojima je baza trokut, kvadrat, peterokut, sesterokut

Figurativni brojevi koji se slaganjem tockica oblikuju u kocku, nazivaju se kockasti

brojevi. Kockasti su brojevi: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, ... Mogu se zapisati u obliku n3.

Slika 2.17 Kockasti brojevi: 8 i 27

16

Figurativni brojevi koji slaganjem tockica oblikuju tetraedar1, nazivaju se tetraedalni

brojevi. Sume su uzastopnih trokutnih brojeva. Tetraedalni brojevi su: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ...

Mogu se zapisati u obliku:16n(n+ 1)(n+ 2).

Slika 2.18 Tetraedalni broj: 20

2.2. Sredine brojeva

Otkrice aritmeticke, geometrijske i harmonijske sredine se pripisuje pitagorejcima (6.

st. pr. Kr).

2.2.1. Aritmeticka sredina

Pitagorejci su definirali aritmeticku sredinu na ovaj nacin:

Definicija 2.13 Aritmeticka sredina je kada tri prirodna broja a, b, c pokazuju uza-

stopnu razliku. Odnosno, koliko je prvi broj veci od drugog, toliko je drugi broj veci od

treceg.

Kod aritmeticke sredine se dogada da je odnos izmedu vecih brojeva manji, a izmedu

manjih veci.

Zapisano pomocu formule, aritmeticka sredina glasi:

a−bb−c = a

a= b

b= c

c,

sto je ekvivalentno s: a+ c = 2b, za brojeve a > b > c.

1Tetraedar je geometrijsko tijelo omedeno s cetiri plohe koje imaju oblik trokuta i rasporedene sutako da tijelo ima sest bridova i cetiri vrha. Vidi Trece poglavlje.

17

U duhu geometrijske algebre pitagorejaca, ako su zadane duljine duzina a i c , onda se

duljina duzine b moze konstruirati kao na slici:

Slika 2.19 Konstrukcija aritmeticke sredine dva pozitivna broja

Pitagorejci su znali (jer je ocigledno iz geometrijske interpretacije) da se broj b nalazi

izmedu brojeva a i c.

2.2.2. Geometrijska sredina

Pitagorejci su definirali geometrijsku sredinu na ovaj nacin:

Definicija 2.14 Geometrijska sredina tri prirodna broja a, b, c je kada se prvi broj

odnosi prema drugom, kao drugi prema trecem.

Zapisano pomocu formule, geometrijska sredina glasi:

a−bb−c = a

b= b

c,

sto je ekvivalentno s: ac = b2, za brojeve a > b > c.

U duhu geometrijske algebre pitagorejaca, ako su a i b duljine duzina, onda se duljina

duzine b konstruira pomocu jedne od slika:

Slika 2.20 Konstrukcija geometrijske sredine dva realna broja

Pitagorejci su znali (jer je ocigledno iz geometrijske interpretacije) da se broj b nalazi

izmedu brojeva a i c.

18

2.2.3. Harmonijska sredina

Pitagorejci su definirali harmonijsku sredinu na ovaj nacin:

Definicija 2.15 Harmonijska sredina tri prirodna broja a, b, c glasi: za koliko vlastite

velicine je prvi broj veci od drugog, za toliki dio trecega, srednji broj je veci od trecega.

Zapisano pomocu formule, harmonijska sredina glasi:

a = b+ an, b = c+ c

n, odnosno a−b

b−c = ac,

sto je ekvivalentno s: 1a

+ 1c

= 2b, za brojeve a > b > c.

Pitagorejci su harmonijsku sredinu koristili u glazbi, te je tako i dobila ime. Prema

legendi, Pitagora je setajuci se zastao pred kovacnicom i ostao zadivljen”glazbom”

koja je nastajala udaranjem cetiriju cekica i predivnim suzvucjem. Suzvucje je sveo

na omjere mase cekica. Ispitivanjem veza izmedu suzvucja i duljina zica pitagorejci su

dosli do pojma harmonijske sredine. Uocili su da se harmonijska sredina pojavljuje i u

pravilnih poliedara.

Uzmimo kao primjer kocku i pogledajmo kako se na njoj moze primijetiti harmoni-

jska sredina. Kocka ima 12 bridova i 6 strana. Treci prirodan broj koji nam nedostaje,

broj vrhova kocke, izracunat cemo primjenjujuci formula za harmonijsku sredinu:

1a

+ 1c

= 2b,

112

+ 16

= 2b,

312

= 28,

24 = 3b,

b = 8.

Treci broj je 8. Kocka ima 8 vrhova.

Uzmemo li oktaedar, koji ima 6 vrhova i 12 bridova, dobivamo istu harmonijsku sred-

inu 8, koja je broj strana oktaedra.

Harmonijska sredina se slicno pojavljuje i kod ostalih pravilnih poliedara (tetraedar,

dodekaedar i ikosaedar).

19

3. Geometrija

Mnoge su se drevne civilizacije, primjerice egipatska i babilonska, vec zanimale za ge-

ometriju, no toj znanosti su dali ime Grci. Grci su prvi shvatili da se priroda moze

razumjeti uz pomoc matematike: geometrija sluzi za otkrivanje, a ne samo za opisi-

vanje. Smatra se da je Pitagora ucinio geometriju grckom znanoscu, iako se vrlo malo

otkrica iz tog podrucja moze pripisati Pitagori i njegovim ucenicima.

Na Pitagoru su, u njegovoj mladosti, osobit utjecaj imala tri grcka filozofa: Ferekid,

njegov ucitelj Tales i njegov ucenik Anaksimandar koji su ga najvjerojatnije na svo-

jim predavanjima i upoznali s geometrijom. No, izvori govore i da se Pitagora s tom

znanoscu upoznao na svojim putovanjima u Egipat i Babilon.

Geometrijska dostignuca koja se pripisuju Pitagori i pitagorejcima su:

- kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbroju kvadrata nad ostale dvije stranice u

pravokutnom trokutu (Pitagorin teorem),

- otkrice iracionalnih brojeva, tj. nesumjerljivih duzina (stranica i dijagonala

kvadrata su nesumjerljive),

- konstrukcija pravilnog peterokuta (stranica i dijagonala peterokuta su nesum-

jerljive),

- zbroj kuteva u trokutu jednak je kao dva prava kuta (zbroj kuteva u trokutu je

180o),

- pet pravilnih poliedara (Platonovih tijela),

- i mnoga druga.

Zbroj likova u antickoj Grckoj znaci zbroj njihovih povrsina, a pod jednakosti likova se

smatra da se jedan od tih likova moze razrezati i presloziti u drugi. To se primjenjuje

u geometrijskoj algebri, tj. na taj nacin se rjesavaju linearne i kvadratne jednadzbe

geometrijski.

20

3.1. Pitagorin teorem i Geometrijska algebra

3.1.1. Pitagorin teorem

Za Pitagorin teorem se moze reci da je jedan od osnovnih teorema elementarne ge-

ometrije. Smatra se prvim velikim teoremom u matematici. Samo porijeklo tog

teorema nije sasvim poznato. Iako je prema legendi pripisan grckom matematicaru

Pitagori, iskopine 20. stoljeca u Mezopotamiji su otkrile da su drevni Babilonci vise od

tisucu godina prije Pitagorina vremena poznavali taj teorem (ili bar njegove specijalne

slucajeve). Znanje o tom teoremu se takoder pojavljuje u nekim drevnim indijskim

i kineskim radovima, koji sezu do vremena Pitagore, ako ne i ranije. Teorem nosi

Pitagorino ime jer se smatra da je Pitagora, ili neki pitagorejac bio prvi matematicar

koji je dokazao taj teorem.

Pitagorin teorem glasi:

Teorem 3.1 Povrsina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbroju povrsina kvadrata

nad katetama:

c2 = a2 + b2,

gdje su a i b duljine kateta pravokutnog trokuta, a c duljina hipotenuze pravokutnog

trokuta.

U Pitagorino vrijeme nije bilo materijala za zapisivanje, pa su se stecena znanja kod

pitagorejaca prenosila usmenim putem. Stoga ne postoji pouzdan izvor na osnovu kojeg

bi se sa sigurnoscu moglo tvrdi kako je izgledao originalni dokaz Pitagorinog teorema.

Do danas ovaj teorem ima mnogo poznatih dokaza. Knjiga Elishe Scott Loomis,

Pythagorean Proposition, koja je objavljena 1927. godine, a 1940. godine nadopun-

jena novim dokazima, sadrzi 370 dokaza ovog teorema. Izmedu ostalih tu je naveden

Euklidov dokaz, zatim dokazi koji se pripisuju grckom matematicaru Claudius Ptole-

maeusu (83. − 161. pr. Kr), te njemackom matematicaru Gottfried Wilhelm Leibnizu

(1646.−1716.), zatim dokaz indijskog matematicara Bhaskare (1114.−1185.), te dokaz

predsjednika SAD-a, Jamesa Abrama Garfielda (1831.− 1881.) i mnogi drugi.

Iskaz Pitagorinog teorema

”suma kvadrata nad katetama jednaka je kvadratu nad hipotenuzom”

u kontekstu starogrcke matematike treba shvatiti doslovno: moguce je razrezati kvadrate

nacrtane nad katetama i presloziti ih u kvadrat nad hipotenuzom.

21

Dokaz.

Dokaz Pitagorinog teorema, koji je dao grcki matematicar Euklid (3. st. pr. Kr.) u

Elementima (I. knjiga, 47. propozicija), smatra se originalnim pitagorejskim dokazom.

Dokaz se temelji na slici 3.1.

Slika 3.1 Slika koja se koristi za Euklidov dokaz Pitagorinog teorema

Neka je ABC pravokutni trokut s pravim kutem pri vrhu C. Tvrdimo da je kvadrat

AA2B2B jednak zbroju kvadrata AA1C2C i CC1B1B. Ucrtamo paralelu CE s AA2

i spojimo A2 s C i A1 s B. Kako su kutevi ∠ACB i ∠ACC2 pravi, slijedi da su C2,

C i B na istom pravcu. Analogno su C1, C i A na istom pravcu. Kako su oba kuta

∠BAA2 i ∠CAA1 prava tj. jednaka, kad im oboma dodamo kut ∠CAB dobijemo

jednake kuteve ∠BAA1 i ∠CAA2. Sada trokuti ABA1 i CAA2 imaju jednake dvije

stranice i kut medu njima (|AB| = |AA2|, |AC| = |AA1| i ∠BAA1 = ∠CAA2), pa su

trokuti ABA1 i CAA2 jednaki (sukladni). Nadalje, pravokutnik ADEA2 je dvostruki

trokut CAA2 jer imaju istu bazu |AA2| i istu visinu duljine |AD|. Analogno, kvadrat

AA1C2C je dvostruki trokut ABA1 jer imaju istu bazu |AA1| i istu visinu duljine |AC|.Slijedi da je kvadrat AA1C2C jednak pravokutniku ADEA2. Analognim postupkom

dobili bismo da je kvadrat CC1B1B jednak pravokutniku BDEB2. Kako je kvadrat

nad hipotenuzom AA2B2B ocito jednak zbroju pravokutnika ADEA2 i BDEB2, slijedi

da je jednak zbroju kvadrata nad katetama. 2

22

3.1.2. Obrat Pitagorinog teorema

Pitagorejci su ne samo prvi dokazali Pitagorin teorem, nego i njegov obrat.

Teorem 3.2 Ako je u trokutu kvadrat nad jednom od stranica jednak kvadratu nad os-

talim dvjema stranicama trokuta, onda kut koji je obuhvacen ostalim dvjema stranicama

trokuta jest pravi kut.

Pitagorejski dokaz obrata Pitagorinog teorema, moze se pronaci u Euklidovim Ele-

mentima, (I. knjiga, 48. propozicija), odnosno smatra se da je taj dokaz pitagorejskog

porijekla.

Dokaz.

Neka je kvadrat nad jednom stranicom trokuta ABC, stranicom BC, jednak kvadra-

tima nad stranicama AB i AC. Neka je kut pri vrhu A pravi.

Slika 3.2 Slika koja se koristi za dokaz obrata Pitagorinog teorema

Nadalje, neka se iz tocke A povuce duzina AD koja je okomita na duzinu AC. Tako

da je |AD| jednaka |AB|. Spajanjem tocaka D i C dobije se duzina DC. Kako je |AD|jednaka |AB| slijedi da su i kvadrati nad tim stranicama jednaki. No, kvadratima nad

stranicama AD i AC jednak je kvadrat nad stranicom DC, jer je kut ∠DAC pravi

kut. A kvadratima nad stranicama AB i AC jednak je kvadrat nad stranicom BC,

a to je pretpostavljeno. Stoga je kvadrat nad stranicom DC jednak kvadratu nad

stranicom BC, tako da je i |DC| jednaka |BC|. Buduci da je |AD| jednaka |AB|,a |AC| je zajednicka stranica, slijedi da su i osnovice trokuta |DC| i |BC| jednake.

Dakle i kutevi ∠DAC i ∠BAC su jednaki. Kako je kut ∠DAC pravi kut, slijedi da

je i kut ∠BAC pravi. Dakle, ako je u trokutu kvadrat nad jednoj od stranica jednak

kvadratima nad ostalim dvjema stranicama trokuta, onda kut koji je obuhvacen ostalim

dvjema stranicama trokuta jest pravi kut. A to je ono sto smo trebali dokazati. 2

23

3.1.3. Pitagorejske trojke

Pitagora i pitagorejci su vezano uz Pitagorin teorem proucavali pitagorejske trojke. No,

sam pojam pitagorejskih trojki su poznavali i neki stari narodi, Babilonci, Egipcani

i Kinezi. Oni su poznavali neke pitagorejske trojke, vazane za mjerenja zemljista.

Egipcani su poznavali pitagorejsku trojku (3, 4, 5). Babilonci su poznavali pitagorejske

trojke: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (24, 7, 25) i (3456, 3367, 4825).

Definicija 3.1 Pitagorejske trojke su trojke prirodnih brojeva a, b, c takve da je:

a2 + b2 = c2,

tj. takve da su to stranice pravokutnog trokuta.

Ukoliko su brojevi a, b i c relativno prosti2, onda kazemo da je trojka (a, b, c) primitivna

pitagorejska trojka.

U Euklidovim Elementima se moze pronaci rezultat kojeg su pronasli, a najvjerojatnije

i dokazali pitagorejci.

Propozicija 3.1 Postoje dva kvadratna broja kojima je i zbroj kvadratni broj.

Dokaz.

Neka su ab i bc dva broja koja su ili oba parna ili oba neparna. Ostatak, kad se od

parnog broja oduzme paran broj ili od neparnog broja oduzme neparan broj je uvijek

paran broj. Tada je ostatak ac paran broj. Neka je broj d polovina broja ac. Neka su

brojevi ab i bc kvadratni brojevi. Tada je (ab · bc) + (cd)2 = (bd)2. Ali kako je produkt

dva kvadratna broja kvadratni broj, slijedi da je (ab · bc) kvadratni broj. Tada su

ponadena dva kvadratna broja jer je (ab · bc) + (cd)2 = (bd)2. Jasno je da su pronadena

dva kvadratna broja, (bd)2 i (cd)2, od kojih je jedan veci od drugog za (ab · bc), i da

je produkt (ab · bc) kvadratni broj. Ako produkt (ab · bc) nije kvadratni broj, onda su

pronadena dva kvadratna broja (bd)2 i (cd)2, cija je razlika jednaka (ab · bc), koji nije

kvadrat. A to je trebalo dokazati. 2

2Brojevi a i b su relativno prosti ako je najvec zajednicki djelitelj brojeva a i b jednak 1, tj. brojevia i b nemaju zajednickih faktora.

24

Danas to zapisujemo na ovaj nacin:

Neka je n2 = ab, a m2 = bc, gdje je n > m. Tada je n2 − m2 paran broj. Neka

je k = cd polovina tog broja. Tada vrijedi:

n2m2 + k2 = (m2 + k)2.

Stoga,

(nm)2 + (n2−m2

2)2 = (n

2+m2

2)2.

Sto daje dva kvadratna broja (nm)2 i (n2−m2

2)2, ciji zbroj je takoder kvadratni broj

(n2+m2

2)2.

Na taj nacin su dobivena tri prirodna broja koja zadovoljavaju uvijete definicije 3.1,

to su brojevi:

a = 2nm, b = n2 −m2 i c = n2 +m2.

Ako su m i n relativno prosti brojevi razlicite parnosti, i ako je n > m tada je trojka

(a, b, c) primitivna pitagorejska trojka.

U slucaju kada je m = 1, duljina vece katete je za dva manja od hipotenuze.

Pitagorejci su takoder znali da pitagorejskih trojki ima beskonacno mnogo.

U sljedecoj tablici su navedene neke pitagorejske trojke.

Tablica 3.1 Tablica s nekoliko pitagorejskih trojki, pitagorejske trojke koje nisu

primitivne oznacene su tamnije.

(3, 4, 5) (11, 60, 61) (21, 20, 29) (45,108,117)(5, 12, 13) (13, 84, 85) (27,36,45) (35, 12, 37)(7, 24, 25) (15, 112, 113) (33, 56, 65) (45, 28, 53)(9, 40, 10) (55, 48, 73) (195, 28, 197) (15, 8, 17)(65, 72, 97) (91, 60, 109) (135,72,153) (77, 36, 85)

(75,100,125) (105, 88, 137) (143, 24, 145) (117, 44, 125)(63, 16, 65) (99, 20, 101) (165, 52, 173) (39, 80, 89)

25

3.1.4. Geometrijska algebra

Pitagoru i pitagorejce se takoder povezuje s otkricem geometrijske algebre. Geometri-

jska algebra predstavlja geometrijski pristup algebri. To znaci da se linearne i kvadratne

jednadzbe rjesavaju geometrijski. Druga knjiga Euklidovih Elemenata sadrzi rezultate

geometrijske algebre, koja se pripisuje pitagorejcima. Tu se navode neki primjeri jed-

nadzbi koje se rjesavaju pomocu geometrijske algebre, za koje se smatra da su ih otkrili

pitagorejci:

Primjer 3.1 Treba rijesiti jednadzbu ax = b2. Rjesenje se dobije pomocu slike 3.3.

Buduci da dijagonala raspolavlja pravokutnik, dobiju se dva sukladna trokuta, pa slijedi

jednakost kvadrata b2 i pravokutnika ax. Dakle, x je trazena duljina.

Slika 3.3 Pravokutnik s dijagonalom koja raspolavlja pravokutnik na dva sukladna

trokuta

Najpoznatiji problem geometrijske algebre je konstrukcija dijeljenja duzine u omjeru

zlatnog reza.

Primjer 3.2 Zadana je duljina duzine a, tada je potrebno na njoj odrediti tocku tako

da se cijela duzina odnosi prema vecem od dobivena dva dijela duzine kao taj dio prema

manjem dijelu. Oznacimo li veci dio s x, uvjet mozemo zapisati kao:

a : x = x : (a− x).

U suvremenoj matematici omjeri su ekvivalentni razlomcima, pa se sredivanjem dobije

kvadratna jednadzba:

x2 + ax− a2 = 0.

Njezina su rjesenja:

x1,2 = −a±√

5a2

2= a−1±

√5

2.

26

Uzima se pozitivno rjesenje, jer samo ono ima geometrijski smisao:

x = a√

5−12

.

Pitagorejci su gornji problem rijesili geometrijskom algebrom:

Slika 3.4 Konstrukcija dijeljenja duzine u omjeru zlatnog reza

Geometrijskom algebrom dokazuju se i mnogi algebarski identiteti, primjerice:

Primjer 3.3 Treba dokazati da je (2a+ b)2 + b2 = 2a2 + 2(a+ b)2.

Rjesenje se dobije pomocu slike:

Slika 3.5 Slika pomocu koje se dokazuje zadana jednakost u primjeru 3.3

Sa slike se vidi:

|AD|2 + |DG|2 = |AG|2 = |AF |2 + |FG|2 = (|AB|2 + |BF |2) + (|EF |2 + |EG|2).

27

Primjer 3.4 Treba dokazati da je (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2.

Geometrijski dokaz formule (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 je vidljiv na slici 3.6:

Slika 3.6 Slika pomocu koje se dokazuje zadana jednakost u primjeru 3.4

Navedeni su ostali algebarski identiteti koje su pitagorejci dokazali geometrijski:

• a(b+ c) = ab+ ac;

• (a+ b)a+ (a+ b)b = (a+ b)2;

• (a+ b)b = ab+ b2;

• (a+ 2b)a+ b2 = (a+ b)2;

• (2a+ b)b+ a2 = (a+ b)2;

• (a+ b)2 + b2 = 2(a+ b)b+ a2;

• 4(a+ b)b+ a2 = (a+ 2b)2;

• (a+ 2b)2 + a2 = 2(a+ b)2 + 2b2.

28

3.2. Sumjerljive velicine i iracionalnost od√

2

Sumjerljivost velicina je jedan od temeljnih matematickih pojmova u anticko doba.

Dvije istovrsne geometrijske velicine (duzine, lika, tijela) su sumjerljive ako se odnose

kao (prirodni) brojevi. Suvremenim jezikom receno, dvije duzine/lika/tijela su sum-

jerljiva ako se omjer njihovih duljina/povrsina/volumena moze zapisati kao razlomak.

Pitagorejci su vjerovali da se sve moze prikazati i objasniti pomocu prirodnih brojeva,

pa su vjerovali i da su sve geometrijske velicine medusobno sumjerljive. Medutim,

nakon nekog vremena otkrili su da dijagonala kvadrata nije sumjerljiva s njegovom

stranicom. Odnosno, omjer stranice i dijagonale kvadrata nisu mogli opisati kao omjer

nikoja dva njima poznata broja. Drugim rijecima, otkrili su da broj√

2 nije racionalan

broj. Tako su dosli do zakljucka da postoje omjeri velicina koji se ne mogu prikazati

kao omjer dva (prirodna) broja. To otkrice se pripisuje Hipasusu iz Mezopotamije, oko

430. godine prije Krista.

Pitagorejci su takve duzine nazvali alogon, sto znaci”neracionalne”, odakle danasnji

naziv”iracionalan”. No, rijec alogon ujedno znaci i ono o cemu ne treba govoriti.

Naime, ta cinjenica ih je toliko razocarala da su je cuvali u tajnosti kako ne bi opovrgnula

sve njihove dotadasnje tvrdnje o prirodnim brojevima. No, Hipasus je o tom svom

otkricu pricao i van kruga pitagorejaca, pa je navodno za kaznu ubijen, udavljen u

moru.

Kako su pitagorejci otkrili iracionalnost√

2 preko nesumjerljivosti stranice kvadrata i

njegove dijagonale, pojam iracionalnosti se u pocetku odnosio samo na duzine. Svoj

dokaz temelje na kombinaciji geometrije i teorije parnih i neparnih brojeva. Upravo

dokaz nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale je dokaz iracionalnosti√

2.

Tek u 16. stoljecu, pojam iracionalnosti poceo se odnositi na brojeve. Tako da se su-

vremeni dokazi iracionalnosti√

2 temelje na brojevima, a ne na duzinama. Npr. jedan

od dokaza polazi od pretpostavke da je√

2 racionalan broj, a dolazi se do kontradik-

cije i time do zakljucka da je√

2 iracionalan broj. Otkrice iracionalnih brojeva bio je

znacajan korak u razvoju matematike.

Teorem 3.3 Stranica kvadrata nije sumjerljiva njegovoj dijagonali.

Dokaz.

Neka je dan kvadrat s vrhovima 1, 2, 3, 4. Neka su polovista njegovih stranica, redom,

A,B,C,D. Kako je 1234 kvadrat, tako je i ABCD kvadrat. Povucimo dijagonale AC

i BD, i njihovo sjeciste oznacimo sa S. Tocka S je srediste oba kvadrata.

29

Kvadrat 1234 je dvostruko veci od kvadrata ABCD i cetverostruko od kvadrata 1ASD.

Slika 3.7 Kvadrati 1234 i ABCD i srediste navedenih kvadrata S

Pretpostavimo da su stranica i dijagonala kvadrata sumjerljive. To znaci da postoje

prirodni brojevi a, b i duljina d takvi da je |BD| = ad i |AD| = bd. Ako su brojevi a

i b oba parni, mogli bismo uzeti 2d umjesto d. Dakle, mozemo pretpostaviti da je bar

jedan od brojeva a i b paran. Kako je povrsina od 1234 dvostruka povrsini ABCD,

slijedi a2d2 = 2b2d2 pa a mora biti paran (jer je paran kvadratni broj cetverostruki

kvadratni). Stoga je |SD| = ld, za neki prirodan broj l. Sada pak jer je povrsina od

ABCD dvostruka povrsina od 1ASD slijedi b2d2 = 2l2d2 pa b mora biti paran. Dakle,

a i b su oba parna, a to je u kontradikcijs s pretpostavkom. 2

Pitagorejci su takoder znali konstruirati pravilni peterokut, vjerojatno su oni otkrili

tu konstrukciju. Konstrukcija se temelji na sljedecoj slici:

Slika 3.8 Peterokut ABCDE

Bilo je dovoljno naci konstrikciju trokuta ABC koji je prikazan na slici 3.8, jer tocke

D i E bi se nakon toga lagano nasle. Znajuci da svaka dva broja imaju zajednicku

mjeru, pitagorejci su trazili zajdnicku mjeru duzina AB i AC. Pretpostavimo da takva

duzina d postoji.

30

Pokazat cemo da se tom duzinom d moze izmjeriti bez ostatka ne samo stranica AB i

dijagonala AC velikog peterokuta, vec i stranica i dijagonala peterokuta A1B1C1D1E1.

Stvarno, ako je |AC| = md, |AB| = nd, bit ce |E1C| = (m− n)d, jer je |AE1| = |AB|i takoder |C1E1| = (m − n)d i |D1E1| = (2n −m)d, jer je |C1E1| = |E1C| i |D1E1| =

|AE1| − |E1C|, gdje su m i n prirodni brojevi. Dokazali smo da iz pretpostavke pos-

tojanja zajednicke mjere d dijagonale i strana peterokuta ABCDE proizlazi da ta

ista mjera mjeri dijagonalu i stranicu peterokuta A1B1C1D1E1. Prema istom argu-

mentu mjera d mjeri i dijagonalu i stranicu peterokuta A2B2C2D2E2. Jasno je da u

nizu stalnog smanjivanja peterokuta moramo jednom doci do duzine manje od osnovne

mjere d i njoj mjerene. To je kontardikcija.

Odavde se zakljucuje da su dijagonala i stranica peterokuta nesumjerljive, sto je takoder

pitagorejsko otkrice.

Povlaceci dijagonale pravilnog peterokuta dobije se pentagram (peterokraka zvijezda).

Pentagram je bio simbol prepoznavanja pitagorejaca. Smatrali su da simbolizira zdravlje

(grcki, υγιεια), pa su tim slovima (uz zamijenu ει sa ν) oznacavali vrhove krakova.

Slika 3.9 Pentagram

3.3. Pravilni poliedri

Pravilni poliedri su geometrijska tijela kojima su sve strane (plohe) sukladni pravilni

mnogokuti3, a svi kutevi izmedu njihovih strana su jednaki i u svakom vrhu se sastaje

jednako mnogo strana.

3Mnogokut je dio ravnine omeden zatvorenom izlomljenom linijom.

31

Pitagorejsi su poznavali teorem, kojeg su i dokazali.

Teorem 3.4 Zbroj kuteva u trokutu iznosi dva prava kuta.

Dokaz.

Da je zbroj kuteva u trokutu jednak dva prava kuta moze se zakljuciti pomocu sljedece

slike:

Slika 3.10 Slika s oznacenim kutovima

Neka je ABC proizvoljan trokut. Konstruiramo kroz tocku A pravac DE koji je

paralelan s BC. Kako su BC i DE paralelne, kutevi ∠ABC i ∠DAB su jednaki

(∠ABC=∠DAB). Takoder su i kutevi ∠ACB i ∠EAC jednaki (∠ACB=∠EAC).

Znaci suma kuteva ∠ABC+∠ACB je jednaka sumi kuteva ∠DAB+∠EAC. Dodajmo

svakoj sumi i kut ∠BAC, slijedi da je suma kuteva ∠ABC+∠ACB+∠BAC, odnosno,

suma unutrasnjih kuteva trokuta, jednaka sumi kuteva ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE,

odnosno sumi dva prava kuta. 2

Iz prethodnog slijedi:

Korolar 3.1 Zbroj kutova u n-terokutu iznosi 2n− 4 prava kuta.

Dokaz.

Buduci da se n-terokut moze rastaviti na n− 2 trokuta povlacenjem svih dijagonala iz

jednog njegovog vrha, zbroj kuteva u n-terokutu je 2n− 4 prava kuta. 2

Poligon s n stranicama se moze podijeliti na n− 2 trokuta, pa je zbroj kuteva takvog

poligona (n− 2) · 180o. Prema tome, svaki kut pravilnog n-gona iznosi

(n−2)180o

n.

Ako se p takvih kuteva susretnu u jednog tocki, onda je:

p(n−2)180o

n= 360o.

32

Postoji samo pet pravilnih poliedara, a prvi ih je opisao grcki matematicar i filozof

Platon (427.− 347. pr. Kr). Pravilni poliedri se zato jos nazivaju i Platonova tijela.

Pet pravilnih poliedara su: (pravilni) tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, do-

dekaedar i ikosaedar.

Tetraedar je geometrijsko tijelo omedeno s cetiri plohe koje imaju oblik trokuta i

rasporedene su tako da tijelo ima sest bridova i cetiri vrha. Strane pravilnog tetraedra

su jednakostranicni trokuti. Izgled tetraedra prikazan je na slici 3.11.

Slika 3.11 Tetraedar

Broj bridova na pojedinoj strani poliedra, broj vrhova na pojedinoj strani poliedra,

broj bridova kroz pojedini vrh poliedra i broj strana kroz pojedini vrh poliedra je

jednak i iznosi tri. Mreza tetraedra prikazana je na slici 3.12.

Slika 3.12 Mreza tetraedra

Heksaedar (kocka) je geometrijsko tijelo omedeno sa sest ploha koje imaju oblik kvadrata

i rasporedene su tako da tijelo ima dvanaest bridova i sest vrhova. Izgled heksaedra

(kocke) prikazan je na slici 3.13.

Slika 3.13 Heksaedar (kocka)

33

Broj bridova i vrhova na svakoj strani kocke je cetiri. Broj bridova i strana kroz svaki

vrh kocke je tri. Mreza heksaedra (kocke) prikazana je na slici 3.14.

Slika 3.14 Mreza heksaedra (kocke)

Pravilni Oktaedar je geometrijsko tijelo omedeno s osam ploha koje su jednakostranicni

trokuti i rasporedene su tako da tijelo ima dvanaest bridova i osam vrhova. Izgled

oktaedra prikazan je na slici 3.15.

Slika 3.15 Oktaedar

Broj bridova i vrhova na svakoj strani oktaedra je tri. Broj bridova i strana kroz svaki

vrh oktaedra je cetiri. Mreza oktaedra prikazana je na slici 3.16.

Slika 3.16 Mreza oktaedra

34

Pravilni Dodekaedar je geometrijsko tijelo omedeno s dvanaest ploha koje imaju oblik

pravilnih peterokuta i rasporedene su tako da tijelo ima trideset bridova i dvadeset

vrhova. Izgled dodekaedra prikazan je na slici 3.17.

Slika 3.17 Dodekaedar

Broj bridova i vrhova na svakoj strani dodekaedra je pet. Broj bridova i strana kroz

svaki vrh dodekaedra je tri. Mreza dodekaedra prikazana je na slici 3.18.

Slika 3.18 Mreza dodekaedra

Pravilni Ikosaedar je geometrijsko tijelo omedeno s dvadeset ploha koje su jednakos-

tranicni trokuti i rasporedene su tako da tijelo ima trideset bridova i dvadeset vrhova.

Izgled ikosaedra prikazan je na slici 3.19.

Slika 3.19 Ikosaedar

35

Broj bridova i vrhova na svakoj strani ikosaedra je tri. Broj bridova i strana kroz svaki

vrh ikosaedra je pet. Mreza ikosaedra prikazana je slici 3.20.

Slika 3.20 Mreza ikosaedra

U sljedecoj tablici prikazani su osnovni podaci o svih pet pravilnih poliedara.

Tablica 3.2 Podaci o pet pravilnih poliedara.

tip poliedra broj vrhova broj bridova broj strana strane su

tetraedar 4 6 4 trokutiheksaedar(kocka) 8 12 6 kvadrati

oktaedar 6 12 8 trokutidodekaedar 20 30 12 peterokuti

ikosaedar 12 30 20 trokuti

Prema legendi, otkrice pravilnog dodekaedra se pripisuje Hipasusu. No, prica kaze da

on to otkrice nije htio pripisati Pitagori, te je izbacen iz pitagorejske skole. Smatra se

da je Pitagora znao konstruirati samo prva tri pravilna poliedra (tetraedar, heksaedar

i oktaedar), dok ostala dva (dodekaedar i ikosaedar) nije znao.

Pravilni poliedri (Platonova tijela) su danas u uskoj vezi s razvijenom granom poplocavanja

ravnine4. Pitagorejci su znali da postoje tri nacina za prekrivanje povrsine pravilnim

poligonima. Pomocu pravilnih trokuta, cetverokuta i sesterokuta.

Kako je zbroj kuteva u n-terokutu 2n − 4 prava kuta, znaci da je u pravilnom n-

terokutu svaki kut jednak α = 2n−4n

pravih kuteva. Ako se u nekoj tocki ravnine

sastaje m pravilnih n-terokuta, mora vrijediti:

mα = m · 2n−4n· π

2= 2π.

Ispitivanjem svih mogucih kombinacija za m i n koji su prirodni brojevi dobije se da su

jedine mogucnosti za n = 3 i m = 6, za n = 4 i m = 4, te za n = 6 i m = 3, tj. moguce

je prekrivanje povrsine samo pravilnim trokutima, cetverokutima i sesterokutima.

4Dijeljenje ravnine na mnogokute koji bi ju u potpunosti prekrili, bez praznina i preklapanja, uzodredene pravilnosti s obzirom na vrstu, oblik i poredak mnogokuta.

36

Aritmetika i geometrija pitagorejaca se trebaju promatrati zajedno jer imaju puno

toga zajednickog. U geometriji, za pitagorejce je savrsena krivulja kruznica, a savrseno

tijelo kugla. Pitagorejci su medu prvima iskazali misao da je Zemlja kugla, te da se

nebeska tijela oko nje vrte u sferama. Pitagorejci su napravili nekoliko koraka i prema

apstraktnom racunanju, koje su kasnije razvili Arapi, a danas ga zovemo algebrom.

Kao sto je receno u uvodu, matematicka nacela koja su otkrili pitagorejci skupljena su

u opseznom djelu Euklidovih Elemenata. Oni su dosta dugo bili osnovni udzbenik iz

geometrije u skolama, iz toga se moze zakljuciti vaznost njihovih otkrica.

37

Literatura

[1] W. S. ANGLIN, J. LAMBEK, The Heritage of Thales, Springer, New York, 1995.

[2] F. M. BRUCKLER, Povijest matematike 1 (History of mathematics I), Odjel za

matematiku Sveucilista u Osijeku, Osijek, 2007.

[3] B. DAKIC, Figurativni brojevi, Mis-strucno-metodicki casopis. 31 (2005.), 22−23.

[4] H. EVES, Great Moments in Mathematics (Before 1650.), MAA, Washington,

United States of America, 1983.

[5] J. GOW, Greek mathematics, Chelsea, New York, 1968.

[6] M. HALAPA, Harmonijska sredina dvaju brojeva, Matka-casopis za mlade

matematicare. 10 (prosinac 1994.), 50− 55.

[7] M. HUDOLETNJAK GRGIC, Euklid, Elementi I-VI, KruZak, Zagreb, 1999.

[8] D. E. JOYCE, Euklid’s Elements, Clark University, 1996., 1997., 2002.

[9] L. MLODINOW, Euklidov prozor, Prica o geometriji od paralelnih pravaca do

hiperprostora, Izvori, Zagreb, 2007.

[10] V. PLAZINIC, Pitagorejska skola, Beograd, 1999.

[11] P. VRANJKOVIC, Aritmeticka i geometrijska sredina dvaju brojeva, Matka-

casopis za mlade matematicare. 7 (ozujak 1994.), 100− 105.

[12] S. ZNAM I DR., Pogled u povijest matematike, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1989.

[13] D. ZUBRINIC, Nesumjerljivost duzina, Mis-strucno-metodicki casopis.

17(2002.), 83− 85.

[14] E. WEISSTEIN, Figurate Number, Wolfram Research, Inc., 1999.− 2010.

38

Sazetak

Pitagora se smatra prvim pravim matematicarom. Iako se malo zna o njegovim dje-

lima, mnogo je doprinio razvoju matematike. Cesto ga se naziva”otac brojeva” jer je

vjerovao da se sve oko nas moze objasniti brojevima i odnosima medu njima. Pitagora

je proucavao svojstva brojeva, danas poznatih kao parnih i neparnih, prostih i slozenih,

savrsenih i prijateljskih, te figurativnih brojeva. Osnovao je filozofsko-religioznu skolu

poznatu kao pitagorejska skola, cije sljedbenike nazivamo pitagorejcima. U pitagore-

jskoj je skoli velik naglasak bio na tajnosti i zajednistvu tako da se niti za jedan

pitagorejski teorem ne moze sa sigurnoscu reci da je Pitagorin, jer su pitagorejci sva

svoja matematicka dostignuca pripisivali Pitagori. Poznavali su aritmeticku, geometri-

jsku i harmonijsku sredinu brojeva. Pitagoru se najvise veze uz Pitagorin teorem kojeg

je on prvi dokazao. Pitagorejci su otkrili postojanje iracionalnih brojeva. Dostignuca

vezana za Pitagoru i njegove sljedbenike su takoder i otkrice pitagorejskih trojki, ge-

ometrijske algebre, pravilnih poliedara, kao i sumjerljive velicine. Osobito se isticao u

cetiri podrucja: aritmetici, astronomiji, geometriji i glazbi.

39

Summary

Pythagoras is considered the first pure mathematician. Although it is little known

about his writings, he contributed a lot to the development of mathematics. He is

often called”father of numbers” because he believed that everything around us could

be explained by numbers and their relations. Pythagoras studied distinctive features

of numbers, which are nowadays known as even and odd, prime and complex, per-

fect and amicable, figurative numbers. Pythagoras founded a philosophical-religious

movement known as Pythagorean School, whose followers were called Pythagoreans.

The school practiced secrecy and communalism making it hard to distinguish between

the work of Pythagoras and that of his followers because Pythagoreans attributed all

their achievements to Pythagoras. They had knowledge arithmetic, geometric and

harmonic mean numbers. Pythagoras is best known for the Pythagorean Theorem

which he first proved. Pythagoreans discovered the existence of irrational numbers.

Some other achievements attributed to Pythagoras and his followers are the discovery

of Pythagorean triples, geometric algebra, regular polyhedra, and commensurate size.

Pythagoras stood out remarkably in four areas: arithmetic, astronomy, geometry and

music.

40

Zivotopis

Ivana Sovagovic rodena je 29. sijecnja 1987. godine u Osijeku, Hrvatska. Osnovnu

skolu Osnovna skola”

Ladimirevci” u Ladimirevcima zavrsava 2001. godine. Iste go-

dine upisuje Opcu gimnaziju u Valpovu. Srednju skolu zavrsava 2005. godine. Pri

zavrsetku srednje skole upisuje se na preddiplomski studij na Sveuciliste J. J. Stross-

mayera, Odjel za matematiku, Osijek. Godine 2008. upisuje Sveucilisni diplomski

nastavnicki studij na Sveucilistu J. J. Strossmayera, Odjel za matematiku, Osijek, sm-

jer matematika i informatika.