İşaret ve sistemler -...

İşaret ve Sistemler

Ders 9: Sistemlere Giriş

Sistem Kavramı

Belirli bir işi görmek için bir araya getirilmiş

aletlerin ve devrelerin tümüne birden SİSTEM adı

verilir.

Başka bir deyişle sistem, fiziksel bir sürecin

matematiksel modelidir ve bir x(t) giriş işaretine

karşılık y(t) çıkış işareti üreten TEK (unique) bir

dönüşüm kuralı olarak tanımlanır.

Sistemler işaretler aracılığıyla kontrol edilirler.

İşaret ve Sistemler 2

Sistem Kavramı


SİSTEM x(t) y(t)

T [ . ]

Giriş İşareti

x(t) y(t)

Çıkış İşareti SİSTEM

(Operatör)

y(t)= T [ x(t) ]

Daha açık bir deyişle sistem, girişine uygulanan işaretleri işler. Çıkış olarak ise uygulanan işaretin değiştirilmiş/dönüştürülmüş yeni bir şeklini üretir.

Her sistem kendine özel bir transfer fonksiyonuna T{} sahiptir ve farklı giriş işaretlerine karşılık olarak farklı çıkış işaretleri üretir.

Birim darbe ve birim basamak gibi işaretlere verilen cevaplar sistemlerin karakteristiklerini belirler.


Sistem Kavramı

Sistemlerin Sınıflandırılması Sistemler aşağıdaki özellikler göz önünde bulundurularak sınıflandırılabilmektedirler:

Lineer ( Doğrusal ) / Non-Lineer (Doğrusal Olmayan),

Zamanla Değişen / Zamanla Değişmeyen,

Nedensel / Nedensel Olmayan,

Hafızalı / Hafızasız,

Kararlı / Kararsız,

Dinamik / Statik,

Toplu parametreli / Dağınık ( distributed) parametreli,

Aktif / Pasif,

Tersine çevirilebilen,

Sistemler karakterize edilirken genelde lineerlik ve zamanla değişmezlik özellikleri kullanılmaktadır.


Lineer ve Lineer Olmayan Sistemler


T [ . ]

V1(t) Y1(t)

V2(t) Y2(t)

Lineer ve Lineer Olmayan Sistemler


ÇıkışGiriş

tybtya

tvTbtvTatvbtvaT

)(.)(.

)(.)(.)(.)(.

21

2121

Örnek 9.1


Örnek 9.1

ÇÖZÜM:

Sistemin giriş ve çıkışındaki işaretler;


Örnek 9.1


Örnek 9.2

Giriş sinyali s(t)’i c(t) sinyali ile çarpan bir karıştırıcı

(mixer) olan sistemin lineer olup olmadığını belirleyiniz?


Örnek 9.2

ÇÖZÜM:

Sistemin girişine a(t) ve b(t) işaretlerinin uygulandığını

düşünürsek;

s(t) = a(t) → a(t) x c(t)

s(t) = b(t) → b(t) x c(t)

s(t) =[a(t) + b(t)] → [a(t)+b(t)] x c(t)

Sistem LİNEERDİR!!


Zamanla Değişen/Değişmeyen Sistemler

v(t) girişine sistemin cevabı y(t) iken, v(t-t0) girişine

sistemin cevabı y(t-t0) ise sisteme zamanla değişmeyen

sistem denir.

Herhangi bir t0 için eşitliği sağlayan sisteme zamanla

değişmeyen sistem, sağlamayan sisteme de zamanla

değişen sistem denir.


T [ . ] v(t) y(t)

v(t-t0) y(t-t0)

)()()()( 00 ttvTttytvTty

Zamanla değişmeyen bir sistemin giriş işaretine karşı

yanıtı grafikteki gibidir:


SİSTEM

SİSTEM

)( 0ttv )( 0tty

)(tv )(ty

t

t

t

t to to


Lineer ve Zamanla

Değişen/Değişmeyen Sistemler


Lineer ve Zamanla



Nedensel/Nedensel Olmayan Sistemler

Eğer herhangi bir andaki sistemin çıkışı sadece o andaki

ve geçmişteki girişlerine bağlıysa bu sisteme nedensel

sistemler denir.

Daha açık bir ifadeyle, nedensel sistemlerde sistemin

çıkışı gelecekteki giriş değerlerine bağlı değildir.

Örneğin, otomobil nedensel bir sistemdir. Sürücünün

gelecekte yapacağını otomobil beklemez. Belleği

olmayan tüm sistemler nedenseldir.


Nedensel sistemin impuls cevabı aşağıdaki gibidir:

Lineer zamanla değişmeyen bir sistemin nedensel olabilmesi

için gerek ve yeter şart: Sistemin impulse cevabı h(t) = 0,

t < 0 olmalıdır.

Nedensel olan sistemler fiziksel olarak gerçekleştirilebilir.

Herhangi bir sistem nedensel olma şartını sağlamıyorsa bu

sistemlere nedensel olmayan sistem denir.


NEDENSEL

SİSTEM

)()( ttv )()( thty

t t

1

Nedensel/Nedensel Olmayan Sistemler

Örnek 9.3

Sistemin girişi x(t), çıkışı y(t) , a ve b birer sabit olmak

üzere sistemin giriş-çıkış ilişkisi y(t) = a.x(t)+b şeklinde

verilmiştir. Bu sistem lineer midir?


Örnek 9.3


btxatxTty )(.)()(

btxatxTty )(.)()( 111 btxatxTty )(.)()( 222

btxabtxatxTtxTtxtxTtxTty )(.)(.)()()()()()( 212121

)()(.2)()(.)( 2121 tytybtxtxaty

Örnek 9.4

y(t)= a.x(t) + b olan sistemin girişine x(t) yerine 2x(t)

işareti uygulanıyor. Buna göre sistem lineer midir?


Örnek 9.4

ÇÖZÜM:

Olduğundan dolayı sistem lineer DEĞİLDİR!!


btxatxTty )(.)()(

)(.2)(..2)(.2)( tybtxatxTty

Örnek 9.5

Sistemin girişi x(t), çıkışı y(t) , a ve b birer sabit olmak

üzere sistemin giriş-çıkış ilişkisi

şeklinde verilmiştir. Bu sistem lineer midir?


tCoswtxty c).()(

Örnek 9.5

ÇÖZÜM:


tCoswtxtCoswtxty

tCoswtxtxtxtxTty

cc

c

).().()(

.)()()()()(

21

2121

)()()()()( 2121 tytytxTtxTty

)(..)(.)(. txTatCoswtxatxaT c

olduğundan sistem lineerdir.

Örnek 9.6


Örnek 9.6

ÇÖZÜM:

olduğundan dolayı sistem lineer DEĞİL!!


tCoswatCoswtxtCoswtx

tCoswtxtxatxtxTty

ccc

c

.).().(

.)()()()()(

21

2121

tCoswtxtCoswatxTty cc ).(.)()( 111

tCoswtxtCoswatxTty cc ).(.)()( 222

)()()()( 2121 txTtxTtxtxT

Örnek 9.7

Sistemin girişi x(t), çıkışı y(t) olmak üzere sistemin giriş-

çıkış ilişkisi

şeklinde verilmiştir. Bu sistem lineer midir? Zamanla

değişen midir?


n

T nTttxttxty )().()().()(

Örnek 9.7


)().()().()(.)()()()()( 212121 ttxttxttxtxtxtxTty TTT

)()()( 21 tytyty

)(.)().()(.)(.)()( 111 tyattxattxatxTty TT

n

nTtnTxtxTtytT

Costx )().()()(2)( 1111

nn

nTtnTtnTT

Costy )()(.2)(1

Örnek 9.7

ÇÖZÜM:

Sistemin girişine

İşareti uygulanırsa;

olduğunda sistem zamanla değişendir. Bu sistem ideal

örnekleyici olarak isimlendirilir.


tT

SintT

CosTT

tT

CosTtxtx 22

24

224

)( 12

n nn

nTtnSinnTtnTT

SinnTttT

Sinty 0)(.2)(.2)(.2)(2

n

tyTnTtTty )()4

()4

( 21

Çalışma Sorusu


İşaret ve sistemler -...

Documents