apuntes de redes. cap 4. circuitos en estado transiente 1 55099

Universidad de Santiago de Chile

Departamento de Ingeniera Elctrica

Profesor: Jorge Gaviln Len

1

CAPTULO 4

EL CIRCUITO EN

ESTADO

TRANSIENTE




2

EL CONDENSADOR

Relaciones diferenciales e integrales de tensin-corriente

La relacin tensin corriente es

Despejando v

Que puede escribirse como una integral indefinida, ms una constante de

integracin:

En muchos problemas reales no es posible distinguir v(t0), la tensin inicial

en el capacitor. En tales casos, desde el punto de vista matemtico ser

conveniente establecer t0 = - y v( - ) = 0, por lo que:

Puesto que la integral de la corriente en cualquier intervalo de tiempo es la

carga acumulada en ese periodo sobre la placa del capacitor hacia la cual

fluye la corriente, tambin se definira la capacitancia como:

q(t) = C v(t)

donde q(t) y v(t) representan los valores instantneos de la carga sobre

cualquiera de las placas y la tensin entre ellas

EJEMPLO

Determine la tensin de la capacidad que est asociada con la corriente

indicada en forma grfica en la figura.

dt

dvCi

)t(v'dt)'t(iC

1)t(v 0

t

t0

kdtiC

1)t(v

t

'dtiC

1)t(v




3

Al interpretar la ecuacin en forma grfica, sabemos que la diferencia entre

los valores de la tensin en t y t0 es proporcional al rea bajo la curva de

corriente entre estos mismos dos valores del tiempo. La constante de

proporcionalidad es 1/C.

El rea de la figura a se obtiene por inspeccin para los valores deseados de

t0 y t

ANALITICAMENTE

La integral de la corriente entre t0 = - y 0, es cero, puesto que i = 0 en ese

intervalo.

v(t) = 0 + v( - ) - t 0 o v(t) = 0 t 0

Si consideramos ahora el intervalo de tiempo representado por el pulso

rectangular, obtenemos:

Puesto que v(0) = 0 v(t) = 4000 t 0 t 2 ms

En el intervalo semi-infinito que sigue al pulso, la integral i(t) es otra vez

cero, de modo que:

v(t)= 8 t 2 ms

Almacenamiento de energa

La potencia entregada a una capacidad est dada por

y la energa almacenada en su campo elctrico es entonces

por lo que

)t(v'dt)'t(iC

1)t(v 0

t

t0

)0(v'dt1020105

1)t(v

t

0

3

6

dt

dvvCivp

t

t

2

0

2)t(v

)t(v

t

t 0 00

})]t(v[)]t(v{[C2

1dvvCdt

dt

dvvCdtp

})]t(v[)]t(v{[C2

1)t(w)t(w

2

0

2

0CC




4

donde la energa almacenada vale wC(t0) en joules (J) y la tensin en t0 es

v(t0).

Si elegimos una referencia de energa cero en t0 queda implcito que la

tensin de la capacidad es tambin cero en ese instante, entonces:

EJEMPLO

Calcule la energa mxima almacenada en la capacidad de la figura y la

energa que se disipa en la resistencia en el intervalo 0 < t < 0.5 seg.

RESPUESTA

La energa almacenada en el capacitor es simplemente:

En la figura se aprecia que WCmax =

100 mJ en t = 1/4 s,

La corriente iR es

y la energa disipada en la resistor

entre 0 y 0.5 seg. es

wR = 2.5 mJ.

2

C vC2

1)t(w

Jt2sen1,0vC2

1)t(w

22

C

At2sen10R

vi

4

R

5.0

0

225,0

0RR Jdtt2sen10dtpw




5

Una energa igual a 2.5% de la mxima energa almacenada (100 mJ) se

perdi en el proceso de almacenamiento y remocin de energa en el

capacitor real, debido a su resistencia finita. El capacitor ideal nunca disipa

energa, slo la almacena. Si bien esto es cierto para el modelo matemtico,

no lo es para un capacitor fsico real.

Caractersticas importantes de una capacidad ideal

1. No hay corriente a travs de una capacidad si la tensin en l no cambia

con el tiempo. Por tanto, una capacidad es un circuito abierto para la c.c.

2. Se almacena una cantidad finita de energa en un capacitor, incluso si la

corriente que circula por l es cero, como sucede cuando la tensin entre

las placas es constante.

3.- Es imposible cambiar la tensin en un capacitor en una cantidad finita

en un tiempo cero, ya que lo anterior requiere una corriente infinita a

travs del capacitor.

Un capacitor se opone a un cambio abrupto de la tensin entre sus

placas, de una manera anloga a la forma en que un resorte se opone a

un cambio abrupto en su desplazamiento.

4. Un capacitor nunca disipa energa, slo la almacena. Si bien lo anterior

es cierto para el modelo matemtico, no lo es para un capacitor fsico

(real) debido a las resistencias finitas.

LA INDUCTANCIA

Modelo de la inductancia ideal

Hemos visto que para la inductancia

dt

diLv




6

Si analizamos esta ecuacin podemos determinar que es posible considerar

la inductancia en cortocircuito para la c.c.

Un cambio repentino o discontinuo en la corriente debe asociarse con una

tensin infinita en el inductor. En otras palabras, si deseamos producir un

cambio abrupto en una corriente de inductor, necesitamos aplicar una

tensin infinita.

Un cambio abrupto en la corriente del inductor requiere tambin una

variacin abrupta en la energa almacenada en este mismo, y dicho cambio

repentino en la energa requiere una potencia infinita en ese instante.

Para evitar una tensin infinita y una potencia infinita, no debe permitirse

que la corriente del inductor salte de forma instantnea de un valor a otro.

Si se intenta poner en circuito abierto un inductor fsico a travs del cual

fluye una corriente finita, quizs aparezca un arco en el interruptor.

EJEMPLO

Dada la forma de onda de la corriente en un inductor de 3H, como se

muestra en la figura a, determine la tensin del inductor y grafquela

Podemos recurrir a la ecuacin para obtener la forma de onda de

tensin.

La forma de onda de tensin completa se bosqueja en la figura b.

dt

diLv




7

Relaciones integrales de tensin-corriente

Se defini la inductancia por medio de una ecuacin diferencial simple:

Integrando

Como integral indefinida incluyendo una constante de integracin k:

Tambin se podra suponer que estamos resolviendo un problema real en el

que la seleccin de t0 como - asegura que no habr corriente o energa en

el inductor.

Por lo tanto, si i(t0) = i(- ) = 0, entonces:

Ejemplo

Se sabe que la tensin en un inductor de 2 H corresponde a 6 cos 5t.

Determine la corriente de inductor resultante si i(t = -/2) = 1 A.

De la ecuacin

o

= 0,6 sen 5t 0,6 sen 5t0 + i(t0)

El primer trmino indica que la corriente del inductor vara en forma

senoidal; el segundo y tercer trminos, en conjunto, representan slo una

constante que se determina cuando la corriente se especifica de forma

numrica en algn instante de tiempo.

Ya que la corriente es 1 A en t = -/2 s, identificamos t0 como -/2, con i(t0) = 1, y resulta:

dt

diLv

)t(i'dtvL

1)t(i 0

t

t0

kdtvL

1)t(i

t

'dtvL

1)t(i

)t(i'dtvL

1)t(i 0

t

t0

)t(i'dt't5cos6L

1)t(i 0

)t(it5sen5

6

2

1t5sen

5

6

2

1)t(i 00




8

i(t) = 0,6 sen5t 0,6 sen (-2,5 ) + 1 = 0,6 sen 5t + 1,6

Se obtendra el mismo resultado a partir de la ecuacin

i(t) = 0,6 sen 5t + k

y establecemos el valor numrico de k forzando a que la corriente sea 1 A

en t = -/2

I = 0,6 sen (-2,5) + k o k = 1 + 0,6 = 1,6

y de ese modo, como antes: i(t) = 0,6 sen 5t + 1.6

La ecuacin provocar problemas con esta tensin

particular.

Fundamentamos la ecuacin en la suposicin de que la corriente era cero

cuando t = - .

Para estar seguros, lo anterior debe ser cierto en el mundo fsico real, pero

estamos trabajando en el mbito del modelo matemtico; nuestros

elementos y funciones forzadas son ideales.

La dificultad surge despus de que integramos, obteniendo:

al tratar de evaluar la integral en el lmite inferior:

i(t) = 0,6 sen 5t 0,6 sen ( -)

El seno de es indeterminado, y por tanto no podemos evaluar nuestra

expresin. La ecuacin de la corriente con la integral, es til slo si

evaluamos funciones que se aproximan a cero cuando t -

Almacenamiento de Energa

La potencia absorbida est dada por el producto corriente-tensin:

kdtvL

1)t(i

t

'dtvL

1)t(i

t't5sen6,0)t(i

dt

diLivip




9

La energa wL aceptada por el inductor se almacena en el campo magntico

alrededor de la bobina y se expresa por la integral de la potencia sobre el

intervalo de tiempo deseado:

De tal modo: wL (t) - wL(t0) = L {[i(t)]2 - [i(t0)]

2}

Al usar la expresin de la energa, suele considerarse que se elige un valor

de t0 para el que la corriente es cero; se acostumbra suponer tambin que la

energa es igual a cero en este tiempo.

tenemos entonces simplemente: wL(t) = Li 2

, donde entendemos que

nuestra referencia para la energa cero es cualquier tiempo para el que la

corriente del inductor sea nula. En cualquier tiempo subsiguiente, en el que

la corriente es cero, encontramos que no se almacena energa en la bobina.

Siempre que la corriente no es nula, e independientemente de su direccin o

signo, la energa se almacena en el inductor.

Se concluye, por tanto, que se suministrar potencia al inductor durante una

parte del tiempo y se recuperar luego del mismo.

Toda la energa almacenada puede recuperarse de un inductor ideal; en el

modelo matemtico no hay cargos por almacenamiento ni comisiones.

Una bobina fsica, sin embargo, debe construirse a partir de un alambre

real, as que tendr siempre una resistencia asociada. No se puede

almacenar ni recuperar la energa sin prdida.

EJEMPLO

Determine la mxima energa almacenada

en el inductor de la figura y calcule la

energa que se disipa en el resistor durante

el tiempo que la energa se almacena en el

inductor y luego se recupera del mismo.

La energa almacenada en el inductor es:

})t(i)t(i{L2

1diiL'dt

'dt

diL'dtp

2

0

2)t(i

)t(i

t

t

t

t 000




10

y esta energa aumenta desde cero en t = 0 hasta 216 J en t = 3 s. As, la

mxima energa almacenada en el inductor es igual a 216 J.

La tensin en el resistor est dada por:

Adems, la tensin en el inductor se determina al aplicar la ecuacin de

definicin de la inductancia.

Despus de alcanzar su valor mxima en t= 3 s, la energa sale por

completo del inductor. Veamos el precio que hay que pagar en esta bobina

por almacenar y quitar 216 J en 6 segundos.

La potencia disipada en el resistor se calcula con facilidad como:

y por tanto, la energa que se convierte en calor en el resistor dentro de este

intervalo de 6 s es,:

De tal modo, se consumieron 43.2 J en el proceso de almacenar y luego

recuperar 216 J en un intervalo de 6 s. Lo anterior representa 20% de la

mxima energa almacenada, as que representa un valor razonable para

muchas bobinas que tienen esta gran inductancia. En bobinas cuya

inductancia es alrededor de 100 , esperaramos una cifra cercana al 2 o 3%.

J6

tsen216Li

2

1w

22

L

V6

tsen2,1iRvR

Vt6

cos6)t6

sen12(dt

d3

dt

diLvL

W6

tsen4,14Rip

22

R

6

0

26

0RR dtt

6sen4,14dtpw

J2,43dtt3

cos12

14,14w

6

0R




11

Caractersticas importantes de un inductor ideal

1.- No hay tensin en un inductor si la corriente que circula por l no

cambia con el tiempo. As, un inductor es un cortocircuito para la

c.c.

2.- Se almacena una cantidad finita de energa en un inductor, incluso si

su tensin es nula, como cuando la corriente que pasa por l es

constante.

3.- Es imposible cambiar la corriente que circula por un inductor por

una cantidad finita en el tiempo cero, ya que se necesitara una

tensin infinita en el inductor. Un inductor se opone a un cambio

abrupto en la corriente que pasa por l, de manera anloga a la

forma en que una masa se opone a un cambio abrupto en su

velocidad.

4.- El inductor nunca disipa energa, slo la almacena. Si bien lo

anterior es cierto para el modelo matemtico, no lo es para un

inductor fsico debido a las resistencias en serie.

COMBINACIONES DE INDUCTANCIAS Y

CAPACIDADADES

INDUCTANCIAS EN SERIE

Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff

1 2 1 2 1 2( )S N N Ndi di di di

v v v v L L L L L Ldt dt dt dt




12

Entonces, para el circuito equivalente tenemos:

donde Leq = ( L1 + L2 + + LN )

INDUCTANCIAS EN PARALELO

La ecuacin de nodos nos da

Comparndola con el resultado del circuito equivalente de la fig.b

Puesto que la ley de Kirchhoff de corriente exige que iS(t0) sea igual a la

suma de las corrientes de rama en t0, los dos trminos integrales deben ser

iguales; por consiguiente:

Para el caso especial de dos inductancias en paralelo

CAPACIDADES EN SERIE

dt

diLv eqS

N

1n

0n

t

tn

N

1n

nS )t(idtvL

1ii

0

)t(idtvL

10

N

1n

n

t

t

N

1n n0

)t(idtvL

1i 0S

t

teq

S0

N21

eq

L1

L1

L1

1L

21

21

eqLL

LLL




13

Para determinar un capacitor que es equivalente a N capacitores en serie,

usamos el circuito de la figura a) para escribir:

y

Sin embargo, la ley de tensin de Kirchhoff establece la igualdad de vS(t0) y

la suma de las tensiones de la capacidad en t0; de tal modo:

por lo que, las capacidades en serie se combinan como lo hacen las

conductancias en serie, o los resistores en paralelo.

El caso especial de dos capacidades en serie, desde luego, da como

resultado:

CAPACIDADES EN PARALELO

Por ltimo, los circuitos de la figura

permiten establecer el valor de la

capacitancia del capacitor

equivalente a N capacidades en

paralelo, como:

Ceq = C1 + C2 +... + CN

As que no resulta sorprendente

advertir que las capacidades en

paralelo se combinan de la misma

manera que las resistencias en serie.

N

1n

0n

t

tn

N

1n

ns )t(vdtiC

1vv

0

N

1n

0n

t

t

N

1n n

)t(vdtiC

1

0

)t(vdtiC

1v 0S

t

teq

S0

N21

eq

C1

C1

C1

1C

21

21

eqCC

CCC




14

EJEMPLO

Simplifique la red de la figura a) mediante combinaciones serie/paralelo.

EJEMPLO

Respuesta: 3,18 F

EJEMPLO

Esta es una red LC en la que no es posible efectuar combinaciones en serie

o en paralelo de inductancias y capacidades




15

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN FUNCIN DEL

TIEMPO

Volvamos al anlisis nodal y de malla Se pueden aplicar con seguridad las ecuaciones de Kirchhoff para cualquier

instante de tiempo. Las ecuaciones sern integro-diferenciales. Difciles de

resolver

Familiaricmonos con el uso de estas leyes para circuitos RLC

EJEMPLO Escriba las ecuaciones nodales

apropiadas para el circuito de la

figura

Las tensiones de nodo se eligen

como se indica y sumamos las

corrientes que salen del nodo

central:

donde iL(t0) es el valor de la corriente de la inductancia en el tiempo en el

que comienza la integracin.

En el nodo del lado derecho

Al rescribir estas ecuaciones:

De estas ecuaciones surgen varios puntos interesantes

t

t

1

2

21

0Ls10

0dt

dvC

R

vv)t(idt)vv(

L

1

0iR

vv

dt

)vv(dC S

12S2

1

t

t

t

t0LS

2

1

1

2

1

0 0

)t(idtvL

1

R

vdtv

L

1

dt

dvC

R

v

S

S

1

2

1

21 idt

dvC

dt

dvC

R

v

R

v




16

Primero, ocurre que la fuente de tensin vS entra en las ecuaciones como

una integral y como una derivada. Puesto que ambas fuentes estn

especificadas para todo el tiempo, se podr evaluar la derivada o la integral.

Segundo, el valor inicial de la corriente de la inductancia iL(t0) acta como

una fuente de corriente (constante) en el nodo central

La linealidad se aplica de igual modo a los circuitos RLC. Un circuito

compuesto por fuentes independientes, fuentes dependientes lineales, y

resistencias, inductancias y capacidades lineales es un circuito lineal.

Por tanto todos las leyes y teoremas vistas en el captulo de circuitos

resistivos son aplicables tambin en los circuitos RLC, tales como, por

ejemplo, el teorema de Thvenin y el de Norton.

CIRCUITOS RL Y RC BSICOS

El anlisis de circuitos que contienen inductores y/o capacitores depende de

la formulacin y solucin de ecuaciones integro-diferenciales que

caracterizan a los circuitos.

Llamamos ecuacin diferencial lineal homognea al tipo especial de

ecuacin que obtenemos, la cual es simplemente una ecuacin diferencial

en la que cada trmino es de primer grado en la variable dependiente o en

una de sus derivadas.

Se obtiene una solucin cuando encontramos una expresin para la variable

dependiente que satisface la ecuacin diferencial y tambin la distribucin

de energa preescrita en los inductores o capacitores en el instante de

tiempo preestablecido, por lo general t = 0.

La solucin de la ecuacin diferencial representa una respuesta del circuito

y se conoce por muchos nombres.

Respuesta natural, transitoria o complementaria.

Puesto que depende de la "naturaleza" general del circuito (los tipos de

elementos, sus tamaos, la interconexin de los elementos), se denomina a

menudo como respuesta natural




17

Sin embargo, todo circuito real que construyamos no puede almacenar

energa por siempre; las resistencias necesariamente asociadas con los

inductores y capacitores a la larga convertirn toda la energa almacenada

en calor. La respuesta debe al final extinguirse, y por esta razn con

frecuencia se conoce como respuesta transitoria.

Por ltimo, debemos tambin familiarizarnos con la aportacin de los

matemticos a la nomenclatura: asignan el nombre de funcin

complementaria a la solucin de una ecuacin diferencial lineal

homognea.

Respuesta forzada, solucin particular o permanente

Cuando analizamos fuentes independientes que actan sobre un circuito,

parte de la respuesta recordar la naturaleza de una fuente particular (o

funcin forzada) utilizada; dicha parte, denominada solucin particular,

respuesta de estado permanente o respuesta forzada, se "complementar"

por medio de la respuesta complementaria, natural o transitoria,

producida en el circuito sin fuente.

Respuesta completa

La respuesta completa del circuito estar dada entonces por la suma de la

funcin complementaria y la solucin particular.

A la respuesta sin fuente la llamaremos respuesta natural.

Empezamos nuestro estudio del anlisis transitorio considerando

el circuito simple RL en serie que se presenta

en la figura.

Parece bastante extrao analizar una corriente

variable en el tiempo que fluye en un circuito sin

fuentes!

Tenga presente que slo conocemos la corriente

en el tiempo especfico t = 0; no conocemos la

corriente antes de ese tiempo.




18

En el mismo sentido, tampoco sabemos cmo se vea el circuito antes de

t = 0.

Para que circule una corriente, sera necesaria la presencia de una

fuente en algn punto, pero no tenemos esa informacin.

Por fortuna, lo anterior no se requiere para analizar el circuito indicado.

Por tanto, tenemos:

o (1)

Nuestra meta es ahora encontrar una expresin para i(t) que satisfaga esta

ecuacin y tambin tenga el valor Io en t = 0.

La solucin se puede obtener mediante varios mtodos diferentes.

Mtodo directo Un mtodo muy directo para resolver una ecuacin diferencial consiste en

expresar la ecuacin de manera que se separen las variables y luego se

integre cada miembro de la ecuacin.

Entonces

Integrando

Luego

Comprobamos nuestra solucin demostrando primero que la sustitucin de

esta ecuacin en la ecuacin [1] produce la identidad 0 = 0, y demostrando

despus que la sustitucin de t = 0 en esta ecuacin tiene como resultado

i(0) = l0. Ambos pasos son necesarios; la solucin debe satisfacer la

ecuacin diferencial que caracteriza al circuito y tambin debe satisfacer la

condicin inicial.

0dt

diLiRviR L

0iL

R

dt

di

dtL

R

i

di

'dtL

R

'

'dt

0

)t(i

I0

t

0

i

I 'tL

R'iln

0

)0t(L

RIlniln 0

tL

R

I

iln

0

LtR

0 eI)t(i




19

METODO ALTERNATIVO

Repitamos la ecuacin del circuito (1)

La solucin tambin se podra obtener por medio de una ligera variacin

del mtodo anterior. Luego de separar variables, se tendra la integral

indefinida de cada lado de la ecuacin si incluimos tambin una constante

de integracin.

Entonces: (2)

La constante K no puede evaluarse mediante la sustitucin de la ecuacin

[2] en la ecuacin diferencial original [1]; resultar la identidad 0 = 0, pues

la ecuacin [2] es una solucin de la ecuacin [1] para cualquier valor de K

(comprubelo usted mismo).

La constante de integracin debe elegirse para satisfacer la condicin inicial

i(0) = l0 As, en t = 0 la ecuacin [2] se convierte en:

ln l0 = K

y empleamos este valor para K en la ecuacin [2] para obtener la respuesta

deseada:

como antes

MTODO GENERAL

Cualquiera de los mtodos anteriores se utiliza cuando las variables son

separables, aunque sta no es siempre la situacin. En los casos restantes

confiaremos en un mtodo muy poderoso, cuyo xito depender de nuestra

intuicin o experiencia.

Slo supondremos una forma para la solucin y luego probaremos nuestras

suposiciones, primero mediante la sustitucin en la ecuacin diferencial, y

luego aplicando las condiciones iniciales dadas.

0iL

R

dt

di

dtL

R

i

diKdt

L

R

i

diKt

L

Riln

0IlntL

Riln L

tR

0 eI)t(i




20

Puesto que no se puede suponer la expresin numrica exacta para la

solucin, consideramos una solucin que contenga varias constantes

desconocidas y elegimos los valores para estas ltimas con el fin de

satisfacer la ecuacin diferencial y las condiciones iniciales.

Muchas de las ecuaciones diferenciales que se encuentran en el anlisis de

circuitos tienen una solucin que pudiera representarse mediante la funcin

exponencial o la suma de varias funciones exponenciales.

Recordemos la ecuacin [1] (1)

Supondremos una solucin de la ecuacin [1] en forma exponencial

donde A y s1 son constantes por determinar

Despus de sustituir esta solucin supuesta en la ecuacin [1], tenemos:

Con el fin de satisfacer la ecuacin para todos los valores del tiempo, se

requiere que A = 0 o s1 = - o s1 = -R/L. Pero si A = 0 o si s1 = - ,

entonces toda respuesta es nula; ninguna puede ser una solucin para

nuestro problema. Por tanto, debemos elegir:

as que nuestra solucin supuesta toma la forma:

La constante restante debe evaluarse aplicando la condicin inicial i(0) = I0.

De este modo, A=I0 y la forma final de la solucin supuesta es otra vez.

0iL

R

dt

di

ts1eA)t(i

0eAL

ResA

tsts

111

0eAL

Rs

ts

11

L

Rs1

LtR

eA)t(i

L/tR

0 eI)t(i




21

Antes de pasar a la interpretacin de la respuesta, verifiquemos las

relaciones de potencia y energa en este circuito.

La potencia que se disipa en la resistencia es igual a:

y la energa total que se convierte en calor en la resistencia se determina

integrando la potencia instantnea desde el tiempo cero hasta el tiempo

infinito:

Lo anterior es el resultado que esperbamos, debido a que la energa total

almacenada al principio en los inductores es LI02 de modo que ya no hay

ninguna energa almacenada en el inductor en el tiempo infinito, puesto que

su corriente a la larga disminuye hasta cero.

Por tanto, toda la energa inicial se disipa en la resistencia.

EJEMPLO

Para el circuito de la figura a), calcule la corriente a travs de la

inductancia de 5 H en t = 200 ms.

Con el circuito de la figura c) reducido a un circuito simple RL con R = 50

y L = 5 H, esperamos una corriente en la inductancia de la forma

La condicin inicial para calcular I0 est dada por el circuito de la figura b).

Como el circuito est alimentado por corriente continua la inductancia se

encuentra en cortocircuito. Luego

I0 = 24/10= 2,4 A

LtR22

0

2

R eRIRip

0 0

L/tR22

0RR dteRIdtpw2

00

L/tR22

0 IL2

1e

R2

LRI

L/tR

0 eI)t(i




22

Sustituyendo en la ecuacin de la corriente y calculando para t = 200 ms se

obtiene

IL(200 ms)=324,8 mA

Propiedades de la respuesta exponencial

Consideremos la naturaleza de la respuesta en el circuito RL en serie.

Sabemos que la corriente de la inductancia se representa por medio de

En t = 0, la corriente tiene un valor l0 pero cuando el tiempo aumenta, la

corriente disminuye y se aproxima a cero.

Consideremos el tiempo que se

requerira para que la corriente

decrezca hasta cero si contina

disminuyendo a su tasa inicial.

La tasa inicial de decaimiento se

calcula evaluando la derivada en el

tiempo cero:

Designamos el valor del tiempo que tarda i/I0 en disminuir desde la unidad

hasta cero, suponiendo una tasa de decaimiento constante, mediante la letra

griega (tau). De tal modo:

El valor de tiempo se denomina constante de tiempo y se mide en

segundos

El valor del tiempo se muestra de manera grfica en la figura.

LtR

0 eI)t(i

L

Re

L

R

I

i

dt

d

0t

L/tR

ot0

1L

R

R

L




23

La constante de tiempo es L/R para un circuito RL en serie, la cual constituye el tiempo requerido para que la curva de respuesta disminuya

hasta cero, si sta aminora a una tasa constante igual a su tasa de

decaimiento inicial.

Una interpretacin igual de importante de la constante de tiempo se obtiene determinando el valor de i(t)/I0 en t = . Tenemos:

o i() = 0,3679 I0

As, en una constante de tiempo la respuesta disminuye hasta 36.8% de su

valor inicial; el valor de tambin se determina en forma grfica a partir de este hecho, como se indica en la figura siguiente.

Resulta conveniente medir el

decaimiento de la corriente en

intervalos de una constante de

tiempo; adems, al recurrir a una

calculadora manual o a una tabla de

exponenciales negativas se indica

que i(t)/I0 es 0.3679 en t = , 0.1353 en t = 2, 0.04979 en t = 3,

0.01832 en t = 4 y 0.006738 en t =

5.

En algunos puntos, entre tres a cinco constantes de tiempo despus del

tiempo cero, la corriente es una fraccin nfima de lo que era al principio.

En consecuencia, si se nos preguntara, "cunto tarda la corriente en

decaer hasta cero?", nuestra respuesta podra ser, "cerca de cinco

constantes de tiempo. En este punto, la corriente es menor que 1 % de

su valor original!

3679,0eI

)(i 1

0




24

El circuito RC sin fuente

Los circuitos que se basan en combinaciones resistencia-capacidad son ms

comunes que sus anlogos resistencia-inductancia.

Veamos en qu grado el anlisis del circuito RC en

paralelo (o est en serie?) mostrado en la figura

corresponde al del circuito RL

La corriente total que sale del nodo en la parte

superior del diagrama de circuito debe ser cero, por

lo que se escribira:

[3]

La ecuacin [3] tiene una forma familiar con la ecuacin

[1]

En consecuencia

v(t) = v(0) e-t/RC = V0 e-t/RC [4]

Esta ecuacin define una constante de

tiempo = RC

UNA PERSPECTIVA MS GENERAL

Los resultados obtenidos para los circuitos RL o RC en serie se pueden

generalizar a circuitos que contenga cualquier nmero de resistencias y una

inductancia o con cualquier nmero de resistencias y una capacidad.

0R

v

dt

dvC 0

RC

v

dt

dv

0iL

R

dt

di




25

Circuitos RL. generales

Para empezar, fijamos nuestra

atencin en las dos terminales de la

inductancia y determinamos la

resistencia equivalente entre dichos

terminales. As, el circuito se reduce a

uno en serie.

Como ejemplo, al examinar el circuito ilustrado en la figura, la resistencia

equivalente que la inductancia enfrenta es:

y por tanto la constante de tiempo vale

La corriente en la inductancia est dada por:

y esto representa lo que podramos llamar la solucin bsica del problema.

Es muy probable que se necesite determinar alguna otra corriente o tensin

aparte de iL, como por ejemplo la corriente i2 en R2.

Siempre podemos aplicar las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm a la parte

resistiva del circuito sin ninguna dificultad, sin embargo la divisin de

corriente proporciona la respuesta ms rpida en este circuito

Tambin quizs conozcamos el valor inicial de alguna corriente aparte de la

del inductor.

Puesto que la corriente en un resistor tal vez cambie de manera

instantnea, indicaremos el instante posterior a cualquier cambio que

podra ocurrir en t = 0 mediante el uso del smbolo 0+; en un lenguaje ms

matemtico, iL(0+) es el lmite de la derecha de iL(t) conforme t tiende a

cero. Por tanto, si se nos da el valor inicial de iL como iL(0+), entonces el

valor inicial de i2 es:

21

2143eq

RR

RRRRR

eqR

L

/t

LL e)0(ii

/12

1 2

(0) tLR

i i eR R




26

A partir de tales valores, obtenemos el valor inicial necesario de iL(0) [sea

iL(0-) o iL(0

+)]

as que la expresin de i2 se convierte en:

Veamos si se obtiene esta ltima expresin de modo ms directo.

Puesto que la corriente en el inductor decae de manera exponencial como

e-t/

, toda corriente que circula por el circuito debe seguir el mismo

comportamiento funcional.

Lo anterior resulta claro al considerar la corriente en el inductor como una

fuente de corriente que se aplica a una red resistiva. Cada corriente y

tensin en la red resistiva debe tener la misma dependencia de tiempo.

Mediante estas ideas, expresamos por tanto i2 como:

i2 = Ae-tl donde

y A debe determinarse a partir del conocimiento del valor inicial de i2.

Puesto que se conoce i1(0+), la tensin a travs de R1 y de R2 se determina

como:

R2i2(0+) = R1i1(0

+)

lo que nos conduce a:

Por tanto:

Una secuencia similar de pasos proporcionar una solucin rpida a un gran

nmero de problemas.

Reconocemos primero la dependencia del tiempo de la respuesta como un

decaimiento exponencial, determinamos la constante de tiempo apropiada

combinando resistencias, escribimos la solucin con una amplitud

desconocida y luego determinamos la amplitud a partir de una condicin

inicial.

2

112

R

R)0(i)0(i

1 21 2 1

2

(0 ) (0 ) (0 ) (0 )LR R

i i i iR

/t

2

112 e

R

R)0(ii

eqR

L

2

112

R

R)0(i)0(i

/t

2

112 e

R

R)0(ii




27

Ahora nos abocamos a la tarea de determinar la respuesta natural de

cualquier circuito que pueda representarse mediante un inductor

equivalente en serie con un resistor equivalente.

Un circuito que contenga varios resistores e inductores no siempre posee

una forma que permite que los resistores o los inductores se combinen en

elementos equivalentes individuales.

En tales casos, no hay un solo trmino exponencial negativo o una sola

constante de tiempo asociados con el circuito, sino que habr, en general,

varios trminos exponenciales negativos, siendo el nmero de ellos igual al

de inductores que quedan luego de haber efectuado todas las combinaciones

posibles de inductores.

Circuitos RC generales

Muchos de los circuitos RC para los que nos gustara encontrar la respuesta

natural contienen ms de un solo resistor y un solo capacitor.

Del mismo modo que lo hicimos para los circuitos RL, analizamos primero

los casos en los que el circuito dado puede reducirse a un circuito

equivalente consistente en slo un resistor y un capacitor.

Supongamos primero que nos enfrentamos con un circuito que nada ms

contiene un capacitor, pero un nmero cualquiera de resistores. Se puede

sustituir la red resistiva de dos terminales que se encuentra en las terminales

del capacitor por un resistor equivalente, y luego se podra escribir de

inmediato la expresin para la tensin del capacitor.




28

EJEMPLO

Determine v(0+) e i1(0

+) para el circuito de la figura a) si v(0

-) = V0

Simplificamos el circuito de la figura a) como se muestra en la b), que nos

permite escribir

v = V0 e-t/ReqC

Donde v(0+) = v(0-) = V0 y

Toda corriente y toda tensin en la parte resistiva de la red debe tener la

forma Ae-t/ReqC, donde A es el valor correspondiente a las condiciones

iniciales de esa corriente o tensin. As, la corriente en R1, por ejemplo, se

expresara como

i1 = i1(0+)e

-t/ donde

e i1(0+) queda por determinarse a partir de la condicin inicial. Cualquier

corriente que fluya en el circuito cuando t =0+, debe provenir del capacitor.

Por lo tanto, ya que v no puede cambiar de forma instantnea tenemos:

Algunos circuitos que contienen varios resistores y capacitores se podran

sustituir por un circuito equivalente que contenga slo un resistor y un

capacitor.

31

312eq

RR

RRRR

CRR

RRR

31

312

31

3

31312

01

RR

R

)RR/(RRR

V)0(i




29

Para esto se requiere que el circuito original sea uno que pueda

descomponerse en dos partes, una que incluya todos los resistores y la otra

todos los capacitores, de modo que ambas partes slo se conecten mediante

dos conductores ideales,.

Sin embargo, ste por lo general no es el caso, as que con mucha

probabilidad se requerirn las constantes de tiempo mltiples, a fin de

describir circuitos con varios resistores y capacitores.

Accionamiento de circuitos RL y RC

Hemos estudiado la repuesta de los circutos RL y RC cuando no se

presentan fuentes o funciones forzadas; la denominamos como respuesta

natural, debido a que su forma depende slo de la naturaleza del circuito.

La razn de que se obtenga alguna respuesta surge de la presencia de

almacenamiento de energa inicial dentro de los elementos inductivos o

capacitivos en el circuito.

En algunos casos nos enfrentamos a circuitos que contienen fuentes e

interruptores; se nos inform que ciertas operaciones de conmutacin se

efectuaron en t = 0 con el fin de eliminar todas las fuentes del circuito, al

tiempo que se dejan cantidades de energa almacenadas aqu y all. En otras

palabras, hemos resuelto problemas en los que las fuentes de energa se

eliminan en forma repentina del circuito.

Vamos a considerar ahora el tipo de respuesta que se producir cuando

las fuentes de energa se apliquen de forma sbita a un circuito.

Hemos hablado de la "aplicacin repentina" de una fuente de energa, y por

esta frase se entiende que su aplicacin es en el tiempo cero.

La operacin de un interruptor en serie con una batera es por tanto

equivalente a una funcin forzada que es nula hasta el instante en que se

cierra el interruptor, y es igual de ah en adelante a la tensin de la batera.




30

La funcin forzada tiene un rompimiento, o discontinuidad, en el instante

en el que se cierra el interruptor. Ciertas funciones forzadas especiales que

son discontinuas o tienen derivadas discontinuas se denominan funciones

singulares, siendo las ms importantes de ellas la funcin escaln unitario

y la funcin impulso unitario

(Ver Seales y Formas de Onda en el captulo 3 de Circuitos con

Corriente Alterma)

Accionamiento de circuitos RL

Estamos listos para someter una red simple a la aplicacin repentina de

una fuente de c.c.

Resulta evidente que la corriente i(t) es nula antes de t = 0; en consecuencia

podemos sustituir la batera y el interruptor por una funcin forzada de

escaln de tensin V0*u(t), que no produce tampoco respuesta antes de t =

0.

Determinaremos i(t) en este tiempo

escribiendo la ecuacin de circuito apropiada

y resolvindola despus por separacin de

variables e integracin.

Luego de que obtenemos la respuesta e

investigamos las dos partes de las que se

compone, veremos que hay un significado

fsico para cada uno de ambos trminos.

Procedamos con el mtodo de solucin ms

formal.

Al aplicar la ley de Kirchhoff de tensin al

circuito de la figura b), tenemos:

)t(uV

dt

diLRi 0




31

Puesto que la funcin forzada de escaln unitario es discontinua en t = 0,

consideramos primero la solucin para t < 0 y luego para t > 0.

La aplicacin de tensin cero fuerza a una respuesta cero, puesto que

t = - , por lo que:

i(t) = 0 t < 0

En el tiempo positivo, sin embargo, u(t) es unitaria y debemos resolver la

ecuacin:

t > 0

Las variables se separan mediante pasos algebraicos simples, con lo cual se

obtiene:

y cada lado puede integrarse en forma directa:

Para evaluar k, debe referirse a una condicin inicial.

Antes de t = 0, i(t) es cero, y por ello i(0-) = 0.

Puesto que no se puede cambiar la corriente en una inductancia por una

cantidad finita en el tiempo cero, sin que se asocie con una tensin infinita,

debemos tener i(0+) = 0.

Dejando i = 0 en t = 0, obtenemos:

y, por tanto:

Reordenando, se tiene t > 0

As, una expresin para la respuesta, vlida para cualquier t sera:

0Vdt

diLRi

dtRiV

diL

0

kt)RiVln(R

L0

kVlnR

L0

L/Rt00 eR

V

R

Vi

)t(ueR

V

R

Vi

L/Rt00

0 0

L- [ln(V - Ri) - lnV ] = t

R




32

Un procedimiento directo

La solucin deseada no se obtuvo de la forma ms simple. Para establecer

un procedimiento ms directo, trataremos de interpretar los dos trminos

que aparecen en la ecuacin.

El trmino exponencial tiene la forma funcional de la respuesta natural del

circuito RL; es una exponencial negativa, tiende a cero cuando aumenta el

tiempo y se caracteriza por la constante de tiempo L/R.

As la forma funcional de esta parte de la respuesta resulta idntica a la que

se obtuvo en el circuito sin fuente.

Sin embargo, la amplitud del trmino exponencial depende de la tensin de

la fuente V0.

Podramos generalizar entonces que la respuesta ser la suma de dos

trminos, donde un trmino tiene una forma funcional idntica a la de la

respuesta sin fuente, pero cuenta con una amplitud que depende de la

funcin forzada.

Pero, qu pasa con el otro trmino?

La ecuacin incluye tambin un trmino

constante, V0/R.

Por qu se presenta?

La respuesta es simple: la respuesta natural tiende a cero cuando la energa

se disipa de manera gradual, pero la respuesta total no tiende a cero. A la

larga, el circuito se comporta como una resistencia y una inductancia en

serie con una batera. Puesto que la inductancia funciona como un

cortocircuito para la c.c., la nica corriente que circula en este caso es

V0/R..

)t(ueR

V

R

Vi

L/Rt00

)t(ueR

V

R

Vi

L/Rt00




33

Dicha corriente es una parte de la respuesta que se atribuye de manera

directa a la funcin forzada y la llamamos respuesta forzada. sta es la

respuesta que se presenta durante mucho tiempo despus de que se cierra el

interruptor.

La respuesta completa se compone de dos partes, la respuesta natural y la

forzada.

La respuesta natural, es una caracterstica del circuito y no de las fuentes.

Su forma se podra encontrar considerando el circuito sin fuente y tiene una

amplitud que depende de la amplitud inicial de la fuente y del

almacenamiento de energa inicial.

La respuesta forzada tiene las caractersticas de la funcin forzada; se

determina al considerar que todos los interruptores se cerraron desde hace

mucho tiempo. Puesto que por ahora nos interesan slo los interruptores y

las fuentes de c.c, la respuesta forzada es meramente la solucin de un

problema de circuito de c.c. en estado estacionario.

Desarrollo de un entendimiento intuitivo

La razn para las dos respuestas, forzada y natural, quiz se vea a partir de

argumentos fsicos.

Sabemos que nuestro circuito asumir a la larga la respuesta forzada. Sin

embargo, en el instante en que se cierren los interruptores, las corrientes de

la inductancia iniciales (o en circuitos RC, las tensiones en las capacidades)

tendrn valores que dependen slo de la energa almacenada en dichos

elementos.

No se puede esperar que tales corrientes o tensiones sean las mismas que

las demandadas por la respuesta forzada. Por consiguiente, debe haber un

periodo transitorio durante el cual las corrientes y las tensiones cambien de

sus valores iniciales dados a los valores finales requeridos.

La parte de la respuesta que proporciona una transicin desde los valores

iniciales hasta los finales es la respuesta natural (o transitoria,).




34

Si describimos la respuesta de un circuito RL simple sin fuente en estos

trminos, entonces podemos afirmar que la respuesta forzada es nula y que

la respuesta natural sirve para conectar la respuesta inicial dictada por la

energa almacenada, con el valor cero de la respuesta forzada.

La descripcin slo resulta apropiada para circuitos en los que la respuesta

natural se desvanece a la larga.

Lo anterior ocurre siempre en circuitos fsicos donde se asocia cierta

resistencia con cada elemento, aunque existen varios circuitos "patolgicos"

en los que la respuesta natural no desaparece cuando el tiempo se vuelve

infinito. Por ejemplo, los circuitos en los cuales las corrientes atrapadas

circulan por lazos inductivos, o las tensiones estn atrapadas en cadenas de

capacitores en serie.

Determinacin de la respuesta completa Usaremos el circuito simple RL en serie para

ilustrar la forma de determinar la respuesta

completa mediante la adicin de las respuestas

natural y forzada.

Este circuito ya se analiz, pero por un mtodo

ms largo. La respuesta deseada es la corriente

i(t), as que expresamos primero esta corriente

como la suma de la corriente natural y de la

corriente forzada:

i = in + if La forma funcional de la respuesta natural debe

ser la misma que la obtenida sin fuente alguna. Por tanto, sustituimos la

fuente de tensin de escaln por un cortocircuito y reconocemos el lazo en

serie RL anterior.

De tal modo: in = A e-Rt/L

donde la amplitud A an debe determinarse; puesto que la condicin inicial

se aplica a la respuesta completa. No podemos suponer simplemente que

A = i(0).




35

Enseguida analizamos la respuesta forzada.

En este problema particular la respuesta forzada debe ser constante, debido

a que la fuente es una constante V0 para todos los valores positivos de

tiempo. Por tanto, despus de que la respuesta natural se desvanece, no hay

tensin en el inductor; por consiguiente, aparece una tensin V0 en los

extremos de R, de modo que la respuesta forzada es simplemente:

Observe que la respuesta forzada est por completo determinada; no hay

una amplitud desconocida.

A continuacin combinamos las dos respuestas para obtener:

y aplicamos la condicin inicial para evaluar A.

La corriente es cero antes de t = 0, adems, no es posible que cambie de

valor en forma instantnea, puesto que es la corriente que fluye por un

inductor. En consecuencia, la corriente es nula inmediatamente despus de t

= 0 y:

y por tanto:

Observe con todo cuidado que A no es

el valor inicial de i, pues A = - V0/R,

en tanto que i(0) = 0.

Al considerar los circuitos sin fuente, encontramos que A fue el valor inicial

de la respuesta.

Sin embargo, cuando se presentan funciones forzadas, debemos determinar

primero el valor inicial de la respuesta y luego sustituido en la ecuacin de

la respuesta completa para determinar A.

R

Vi 0f

R

VeAi 0

l/Rt

R

VA0 0

-Rt / L0V

i(t) = 1 - eR




36

EJEMPLO

Determine i(t) para todos los valores de tiempo en el circuito de la

figura

El circuito contiene una fuente de

tensin de c.c., as como una fuente

de tensin de escaln.

Podramos eligir sustituir todo lo que

est a la izquierda del inductor por el

equivalente de Thvenin, pero mejor slo vamos a reconocer la forma de tal

equivalente como un resistor en serie con alguna fuente de tensin.

El circuito contiene nada ms un elemento de almacenamiento de energa:

el inductor. Observamos primero que:

y recordamos que: i = i f + in

La respuesta natural es por tanto una exponencial negativa como se vio

antes:

t > 0

Puesto que la funcin forzada es una fuente de cd, la respuesta forzada ser

una corriente constante. El inductor acta como un cortocircuito para la cd,

de modo que:

Por tanto: i = 50 + A e-0,5t amperes t > 0

Para evaluar A, debemos establecer el

valor inicial de la corriente de la

inductancia. Antes de t = 0, la

corriente es igual a 25 A y no puede

cambiar en forma instantnea; en

consecuencia:

25 = 50 + A

A = -25

s25,1

3

R

L

eq

2/t

n eAi

amperes2

100i f




37

Por consiguiente:

i = 50 25 e-0,5t amperes t > 0

Completamos la solucin al establecer tambin:

i = 25 amperes t < 0

o escribiendo una expresin simple vlida para cualquier t:

i = 25 + 25(1 - e-0,5t

)u(t) amperes

EJEMPLO

Determine la respuesta de corriente en un circuito RL en serie simple

cuando la funcin forzada se compone de un pulso de tensin rectangular

de amplitud V0 y duracin t0-

Obtendremos la respuesta mediante el principio de superposicin.

Considere que i1(t) designa la parte de i(t) que se debe a la fuente superior

V0u(t) que acta sola, y que i2(t) designa la parte debida al desempeo

individual de V0 u(t - to).

Entonces: i(t) = i1(t) + i2(t)

Nuestro objetivo consiste en escribir ahora cada una de las respuestas

parciales i1 e i2 como la suma de la respuesta natural y de la forzada.




38

La respuesta i1(t) resulta familiar; este problema fue resuelto en la ecuacin:

t >0

Dirigimos ahora nuestra atencin a la otra fuente y a su respuesta i2(t).

Slo difieren la polaridad de la fuente y el tiempo de su aplicacin. No hay

necesidad, por tanto, de determinar la forma de la respuesta natural y de la

respuesta forzada; la solucin para i2(t) es:

t > t0

Ahora sumamos las dos soluciones, pero lo hacemos con cuidado, puesto

que cada una es vlida para un intervalo de tiempo diferente.

De tal modo: 0 < t < t0

y t > t0

La solucin se completa estableciendo que i(t) es cero para t negativo y

graficando la respuesta como una funcin del tiempo. El tipo de la curva

obtenida depende de los valores relativos de t0 y de la constante de tiempo

; en la figura se muestran dos curvas posibles.

( )-Rt / L01V

i (t) = 1 - eR

( )0-R(t -t )/ L0

2

Vi (t) = - 1 - e

R

( )-Rt / L0V

i(t) = 1 - eR

( ) ( )0-R(t -t ) / L-Rt / L0 0

V Vi(t) = 1 - e - 1 - e

R R




39

Accionamiento de circuitos RC

La respuesta completa de cualquier circuito RC tambin se obtiene como la

suma de las respuestas natural y forzada. Ilustramos esto al resolver un

ejemplo de manera completa.

EJEMPLO

Determine la tensin en el capacitor vc(t) y la corriente i(t) en el resistor

de 200 de la figura para cualquier tiempo.

Primero, suponemos que desapareci cualquier respuesta transitoria que

resulte del movimiento original del interruptor hacia a, quedando slo una

respuesta forzada causada por la fuente de 120V.

Se nos pide vC(t), as que empezamos determinando la respuesta forzada

previa a t = 0 con el interruptor en la posicin a.

Las tensiones por todo el circuito, mostradas en la figura b, son constantes;

por tanto, no hay corriente en el capacitor. La simple divisin de tensin

nos produce entonces la tensin inicial:

V100)120(

1050

50)0(vc




40

Puesto que la tensin del capacitor no puede cambiar en forma instantnea,

esta tensin tambin es vlida en t = 0- y t = 0+.

El interruptor se mueve ahora hacia b

Al mover el interruptor hacia b, queda el circuito que se muestra y la

respuesta completa ser:

vC = vCf + vCn

La forma de la respuesta natural se obtiene sustituyendo la fuente de 50 V

por un cortocircuito y evaluando la resistencia equivalente para encontrar la

constante de tiempo (en otras palabras, estamos determinando la resistencia

equivalente de Thvenin "vista" desde las terminales del capacitor):

De modo que:

Veamos ahora la respuesta forzada

Para evaluar la respuesta forzada con el interruptor en b, esperamos hasta

que todas las tensiones y corrientes hayan dejado de cambiar; por tanto

consideramos al capacitor como un circuito abierto y aplicamos una vez

ms la divisin de tensin:

Por tanto:

y de la condicin inicial ya obtenida: 100 = 20 + A

o vC = 20 + 80 e-t/1,22

V t > 0

La respuesta se grafica en la figura;

tambin en este caso se ve que la

respuesta natural forma una transicin

desde la respuesta inicial hasta la

final.

24

60

1

200

1

50

1

1Req

2,1/tqCRe/t

Cn eAeAV

V20)50()20050/()200)(50(60

)20050/()200)(50(vCf

VeA20v2,1/t

C




41

A continuacin abordamos i(t). La respuesta no necesita permanecer constante durante el periodo de

conmutacin.

Con el contacto en a, resulta evidente que

i = 50/260 = 192,3 miliamperes.

Cuando el interruptor se mueve a la posicin b, la respuesta forzada para

esta corriente se vuelve:

La forma de la respuesta natural es la misma que la que ya determinamos

para la tensin en el capacitor:

in = A e-t/1,2

Al combinar las respuestas natural y forzada, obtenemos:

i = 0,1 + A e-t//1,2

amperes

Para evaluar A, necesitamos conocer i(0+), la cual se calcula fijando nuestra

atencin sobre el elemento de almacenamiento de energa (el capacitor).

Puesto que vC(0+) = 100 V, y como el capacitor est en paralelo con el

resistor de 200 , encontramos que i(0+) = 0,5 ampere, A = 0,4 ampere, y por ello:

i(t) = 0,1923 amperes t < 0

i(t) = 0,1 + 0,4 e-t/1,2

amperes t > 0

o i(t) = 0,1923 + ( - 0,0923 + 0,4 e-t/1,2) u(t) amps

La respuesta completa para cualquier t tambin se escribe de manera

concisa utilizando u(- t), correspondiendo as a la unidad para t < 0 y a 0

para t > 0. As:

i(t) = 0,1923 u(-t) + (0,1 + 0,4 e-t/1,2

) u(t) amperes

amperes1,020050

50

)6050/()200)(50(60

50i f




42

Esta respuesta se presenta en la figura.

Observe que slo se necesitan cuatro

nmeros para escribir la forma

funcional de la respuesta de este

circuito de un solo elemento de

almacenamiento de energa, o para

hacer la grfica:

1) el valor constante antes de la conmutacin (0,1923 ampere),

2) el valor instantneo justo despus de la conmutacin (0,5 ampere),

3) la respuesta forzada constante (0,1 ampere) y

4) la constante de tiempo (1,2 s).

En este caso, la funcin exponencial negativa apropiada resulta fcil de

escribir o graficar.

Resumen

- La respuesta de un circuito con fuentes que se activan o desactivan en

forma repentina de un circuito en el que hay capacitores e inductores

siempre estar compuesta de dos partes:.una respuesta natural y una

respuesta forzada.

- La forma de la respuesta natural (denominada tambin como la respuesta

transitoria) depende slo de los valores de las componentes y de la forma

en que se alambran entre ellas.

- La forma de la respuesta forzada refleja la de la funcin forzada. Por lo

tanto, una funcin forzada de cd siempre provoca una respuesta forzada

constante.

- Un circuito reducido hasta una sola inductancia equivalente L y una sola

resistencia equivalente R tendr una respuesta natural dada por i(t) = I0 e-t/

donde = L/R representa la constante de tiempo del circuito.

- Un circuito reducido hasta una sola capacitancia equivalente C y una sola

resistencia equivalente R, tendr una respuesta natural dada por v(t) = V0

e-tI donde = RC es la constante de tiempo del circuito.




43

- La funcin de escaln unitario constituye una manera til para hacer el

modelo del cierre o la apertura de un interruptor, siempre que tengamos

cuidado de vigilar las condiciones iniciales.

- La respuesta completa de un circuito RL o RC excitado por una fuente de

cd tendr la formal f(0+) = f() + A y f(t) = f() + [f(0+) -f ()] et/, o respuesta total = valor final + (valor inicial - valor final) e-t/.

Circuito RLC

Nuestras metas y objetivos primordiales sern:

- Determinar el factor de amortiguamiento caracterstico y la frecuencia

resonante de circuitos RLC en serie y en paralelo

- Entender las respuestas sobreamortiguada, crticamente amortiguada y

subamortiguada del circuito RLC en serie y en paralelo

- Determinar la respuesta completa (la natural ms la forzada) de los

circuitos RLC

Introduccin

Nuestro anlisis anterior se enfoc exclusivamente en circuitos resistivos

con capacitores o con inductores, pero no con ambos.

La presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito produce al

menos un sistema de segundo orden, que est constituido por una ecuacin

diferencial que incluye una derivada de segundo orden, o dos ecuaciones

diferenciales lineales de primer orden.

Este aumento en el orden hace necesario evaluar dos constantes arbitrarias.

Adems, se necesita determinar condiciones iniciales para las derivadas.




44

Circuito en paralelo sin fuente

Nuestra primera tarea consiste en determinar la

respuesta natural, que tambin en este caso se

lleva a cabo de un modo ms conveniente al

considerar el circuito sin fuente.

Luego se podran incluir fuentes de cd,

interruptores o fuentes de escaln en el circuito

que de nuevo representen la respuesta total como la suma de la respuesta

natural y la respuesta forzada.

Empezamos con el clculo de la respuesta natural de un circuito simple R,

L y C en paralelo.

Deduccin de la ecuacin diferencial para un circuito RLC en paralelo

La ecuacin nodal simple es:

Debemos resolver esta ecuacin sujeta a las condiciones iniciales:

i(0+)= I0 y v(0+) = Vo

Diferenciando una vez con respecto al tiempo, el resultado consiste en una

ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden.

cuya solucin v(t) es la respuesta natural deseada.

Solucin de la ecuacin diferencial

Hay varias formas de resolver esta ecuacin, elegiremos el mtodo ms

rpido y simple.

Supondremos una solucin, confiando en nuestra intuicin y experiencia

para solucionar una de las varias formas posibles que resultan adecuadas.

0dt

dvC)t(i'dtv

L

1

R

v0

t

t0

0vL

1

dt

dv

R

1

dt

vdC

2

2




45

Nuestra experiencia con las ecuaciones de primer orden quizs nos sugiera

que al menos probemos una vez ms la forma exponencial.

As, suponemos: v = A e st

que es la forma ms general posible y que permite que A y s sean nmeros

complejos, en caso de ser necesario.

Sustituyndola en la ecuacin diferencial, obtenemos

o

Para que se satisfaga esta ecuacin todo el tiempo, al menos uno de los tres

factores debe ser cero.

Si cualquiera de los primeros dos factores se iguala a cero, entonces v(t) =

0. sta es una solucin trivial de la ecuacin diferencial que no puede

satisfacer nuestras condiciones iniciales dadas. Por lo tanto, igualamos a

cero el factor restante:

Puesto que esta ecuacin es cuadrtica, hay dos soluciones identificadas

como s1 y s2:

Si cualquiera de estos dos valores se usa para s en la solucin supuesta,

entonces la solucin satisface la ecuacin diferencial dada; de tal modo sta

se convierte en una solucin vlida.

Sustituyendo s por s1 y por s2 en la solucin supuesta

0AeL

1Ase

R

1eCAs

ststst2

0L

1s

R

1CsAe

2st

0L

1s

R

1Cs

2

LC

1

RC2

1

RC2

1s

2

1

LC

1

RC2

1

RC2

1s

2

2

ts

111eAv

ts

222eAv




46

Cada una de estas soluciones satisfacen la ecuacin diferencial y por

linealidad su suma tambin la satisface. De este modo tenemos la forma

general de la respuesta natural:

donde s1 y s2 estn dadas por las ecuaciones mostradas y A1 y A2 son dos

constantes arbitrarias que se deben seleccionar para satisfacer las dos

condiciones iniciales especificadas.

La forma de la respuesta natural, como se da en esta ecuacin ofrece poca

informacin acerca de la naturaleza de la curva que podramos obtener si

v(t) se graficara como una funcin del tiempo.

Las amplitudes relativas de A1 y A2, por ejemplo, sern importantes para

determinar la forma de la curva de respuesta.

Adems, las constantes s1 y s2 son nmeros reales o nmeros complejos

conjugados, dependiendo de los valores de R, L y C en la red dada.

Estos dos casos produce formas de respuesta fundamentalmente diferentes.

Por lo tanto, es til efectuar algunas sustituciones simplificatorias en la

ecuacin de la respuesta.

Recordemos que:

frecuencia resonante

Definamos

coeficiente de amortiguamiento

exponencial

s, s1 y s2 son cantidades que formarn las bases de nuestro trabajo posterior

y se denominan frecuencias complejas.

Juntemos estos resultados.

ts

2

ts

121 eAeA)t(v

LC

1

RC2

1

RC2

1s

2

1

LC

1

RC2

1

RC2

1s

2

2

LC

10

RC2

1

2

0

2

1s

2

0

2

2s




47

A1 y A2 deben determinarse aplicando las condiciones iniciales dadas.

En resumen

Con

La respuesta descrita por las ecuaciones precedentes se aplica no slo a las

tensiones v(t) sino tambin a la corriente que fluye en cada uno de los tres

elementos de circuito. Los valores de las constantes A1 y A2 para v(t) sern,

desde luego, diferentes a los de las corrientes.

Vemos ahora que la naturaleza de la respuesta depende de la magnitud

relativa de y 0. El radical que aparece en las expresiones para s1 y s2 ser

real cuando sea mayor que 0 imaginario cuando sea menor que 0 y cero cuando y 0 sean iguales.

Cada uno de estos casos se considerar por separado a continuacin.

Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado

Repitiendo las ecuaciones

Si LC > 4R2C2 , ser mayor que 0 entonces s1 y s2 tendrn valores reales negativos.

ts

2

ts

121 eAeA)t(v

2

0

2

1s

2

0

2

2s

LC

10

RC2

1

ts

2

ts

121 eAeA)t(v

2

0

2

1s

2

0

2

2s

LC

10

RC2

1




48

De tal manera, la respuesta v(t) se expresa como la suma algebraica de dos

trminos exponenciales decrecientes que tienden a cero cuando aumenta el

tiempo.

De hecho, puesto que el valor absoluto de s2 es mayor que el de s1, el

trmino que contiene a s2 tiene una tasa de reduccin ms rpida y, para

valores grandes del tiempo, la expresin lmite se escribira como:

El siguiente paso consiste en determinar las constantes arbitrarias A1 y A2

conforme a las condiciones iniciales.

EJEMPLO

El almacenamiento de energa inicial se

especifica eligiendo una tensin inicial en el

circuito v(t) = 0 y una corriente de inductor

inicial i(0) = 10 A.

Se determinan con facilidad los valores de

varios parmetros

= 3.5 0 = s1= - l s2= - 6

y la forma general de la respuesta natural:

v(t) = A1 e-t + A2 e

-6t

Clculo de los valores para A1 y A2

Si conociramos la respuesta v(t) en dos valores diferentes del tiempo, tales

valores podran sustituirse en la ecuacin de v(t), de modo que A1 y A2 se

determinaran sin ningn problema. Sin embargo, conocemos slo un valor

instantneo de v(t):

v(0) = 0 y, por tanto: 0 = A1 + A2

tcuando0eA)t(vts

11




49

Se obtiene una segunda ecuacin que relaciona A1 y A2 tomando la derivada

de v(t) con respecto al tiempo, determinando el valor inicial de la derivada

mediante el uso de la condicin inicial restante i(0) = 10 e igualando los

resultados. As, al derivar ambos lados de la ecuacin de v(t), tenemos:

v(t) = A1 e-t + A2 e

-6t

y al evaluar la derivada en t= 0:

obtenemos una segunda ecuacin

Si bien esta forma parece ser til, no tenemos un valor numrico para el

valor inicial de la derivada, por lo que no disponemos todava de dos

ecuaciones con dos incgnitas.

La expresin dv/dt sugiere una corriente de capacitor, puesto que

La ley de Kirchhoff de corriente debe cumplirse en cualquier instante de

tiempo, ya que se fundamenta en la conservacin de la carga. De tal modo,

se podra escribir:

-iC(0) + i(0) + iR(0) = 0

Al sustituir nuestra expresin para la corriente del capacitor y al dividir

entre C, tenemos:

puesto que la tensin inicial cero en el resistor requiere una corriente inicial

cero a travs de l.

En consecuencia tenemos nuestra segunda ecuacin es 420 = -A1 - 6A2

y la solucin simultnea de las ecuaciones 0 = A1 + A2

420 = -A1 - 6A2

proporciona las dos amplitudes A1 = 84 y A2 = -84.

t6

2

t

1 eA6eAdt

dv

21

0t

A6Adt

dv

dt

dvCiC

sV420C

)0(i

C

)0(i)0(i

C

)0(i

dt

dv RC

0t




50

Por lo tanto, la solucin numrica final para la respuesta natural de este

circuito es:

v (t) = 84 (e-t - e-6t) V

En nuestras dems explicaciones relativas a los circuitos RLC, siempre

requeriremos dos condiciones iniciales para especificar del todo la

respuesta. Una de ellas casi siempre ser muy fcil de aplicar, ya sea una

tensin o una corriente en t = 0. La segunda condicin suele causamos

un poco de problemas. Aunque a menudo tendremos a nuestra

disposicin una corriente inicial y una tensin inicial, una de ellas se

necesitar aplicar de manera indirecta a travs de la derivada de nuestra

solucin supuesta.

OTRO EJEMPLO

Determine vc(t) despus de t = 0 en el circuito de la figura

Preste atencin de como

se han obtenido las dos

condiciones iniciales

que se necesitan para

calcular A1 y A2.

Empezamos calculando

los valores de los

parmetros , 0, s1 y

s2. Los valores de los

elementos necesarios se

identifican al considerar

el circuito sin fuente

indicado en la figura b).




51

Por lo tanto, = 1/2RC = 125.000 s-1

s1 = -50.000 s-1

s2 = -200.000 s-1

La forma de la solucin es por tanto: vc(t) = A1 e-50.000t

+ A2e-200.000t

Ahora determinamos A1 y A2

En la figura c), vemos que iL(0-) = -150/(200 + 300) = - 0.3 A,

mientras que vC (0-) = 200(0.3) = 60 V.

Ambos valores aparecen marcados en nuestro circuito de la figura d) para t

= 0+, puesto que no les permitimos cambiar en el tiempo cero.

Este circuito identifica tambin los valores de corriente, iR(0+) e iC(0

+), que

no tienen restricciones acerca de la rapidez de su cambio.

De tal modo, ya tenemos vC(0+) = vC(0

-) = 60 V, as que slo necesitamos

el valor de dvC/dt|t=0+ . ste se relaciona de manera sencilla con la corriente

del capacitor, por lo que:

Usamos ahora los valores iniciales de iC y dvC/dt en nuestra ecuacin para

vC(t):

vC(0+) = 60 = A1 + A2 y

obtenemos A1 = 80 y A2 = -20

La solucin para nuestro problema es:

vC(t) = 80e-50.000t

- 20e-200.000t

V t > 0

2

0

2

2,1s

srad000.100LC10

+

9+ + +C

C L R

t=0

dv 1 1 10 60= i (0 ) = -i (0 ) - i (0 ) = 0,3 - = 0

dt C C 20 200

21

0t

C A000.200A000.500dt

dv




52

Amortiguamiento crtico

Ajustemos ahora los valores de los elementos hasta que a y 0 sean iguales.

Es un caso muy especial que recibe el nombre de amortiguamiento

crtico.

Si tratramos de construir un circuito RLC en paralelo que est crticamente

amortiguado, intentaramos una tarea en esencia imposible, pues nunca

podramos lograr. que a fuera exactamente igual a 0.

El resultado de dicho intento producira un circuito sobreamortiguado, o un

circuito subamortiguado.

Para completar el tema, sin embargo, explicaremos aqu el circuito

crticamente amortiguado, ya que muestra una transicin interesante entre

el sobreamortiguamiento y el subamortiguamiento.

El amortiguamiento crtico se obtiene cuando

EJEMPLO

El almacenamiento de energa inicial se

especifica eligiendo una tensin inicial en

el circuito v(t) = 0 y una corriente de

inductor inicial i(0) = 10 A.

Antes de seguir con el ejemplo, veamos cual es la forma de la respuesta de

un circuito crticamente amortiguado

Forma de una respuesta crticamente amortiguada

Procedemos a tratar de construir una respuesta como la suma de dos

exponenciales para la ecuacin diferencial:

oamortiguadtecriticamen

CR4L

CR4LCo

2

22

0

1

21

1

0

s6ss

s6




53

Cuando a = 0 la ecuacin diferencial,, se convierte en:

La solucin es:

Debe observarse que la solucin sigue expresndose como la suma de dos

trminos, donde uno es la familiar exponencial negativa y el otro es t veces

una exponencial negativa. Debemos advertir que la solucin contiene las

dos constantes arbitrarias esperadas.

Volviendo al ejemplo, calculamos ahora las constantes A1 y A2.

Clculo de los valores de A1 y A2

Recordemos que v(t) = 0 y i(0) = 10 A

y

Luego

establecemos los valores de A1 y As al imponer primero las condiciones

iniciales sobre la propia v(t), v(0) = 0; de tal modo, A2 = 0.

Este simple resultado aparece debido a que se eligi como nulo el valor

inicial de la respuesta v(t); el caso ms general requerir la solucin

simultnea de dos ecuaciones.

0vL

1

dt

dv

R

1

dt

vdC

2

2

0vdt

dv2

dt

vd 22

2

)AtA(ev 21t

1

21

1

0

s6ss

s6

)AtA(ev 21st

t6

2

t6

1 eAteAv




54

La segunda condicin inicial debe aplicarse a la derivada dv/dt, justo como

en el caso sobreamortiguado. Por ello diferenciamos, recordando que

A2 = 0:

evaluamos en t = o:

y expresamos la derivada en trminos de la corriente inicial en el capacitor:

En consecuencia: A1 = 420 V

La respuesta es, por tanto: v (t) = 420te

-2,45t V

Representacin Grfica

CIRCUITO RLC EN PARALELO SUBAMORTIGUADO

Forma de la respuesta subamortiguada

Empezamos con la forma exponencial

donde:

t6

1

t6

1 eAe)6(tAdt

dv

1

0t

Adt

dv

C

)0(i

C

)0(i

C

)0(i

dt

dv RC

0t

ts

2

ts

121 eAeA)t(v

2

0

2

2,1s




55

2 se hace ms pequea que 02 y el radical que aparece en la expresin

para s1 y s2 se vuelve negativo.

y en ese caso sea:

donde:

Consideremos ahora el nuevo radical, que es real para el caso

subamortiguado, pero lo denominamos d la frecuencia resonante

natural:

La respuesta se escribira ahora como:

que expresada en trminos de funciones trigonomtricas toma la forma

EJEMPLO

El almacenamiento de energa inicial

se especifica eligiendo una tensin

inicial en el circuito v(t) = 0 y una

corriente de inductor inicial i(0) = 10

A.

De tal manera:

Salvo por la evaluacin de las constantes arbitrarias, en este caso se conoce

la respuesta:

Ahora pasamos a calcular B1 y B2

El clculo de las dos constantes procede como antes. Si seguimos v(0) = 0 e

i(0) = 10, entonces B1 debe ser cero. De ah que:

22

0

22

0

2

0

2j1

1j

22

0d

)eAeA(e)t(vtj

2

tj

1

t dd

)tsenBtcosB(e)t(v d2d1t

1s2

RC2

1

1

0 s6LC

1

s/rad222

0d

)t2senBt2cosB(e)t(v 21t2




56

La derivada es:

y en t = 0 se convierte en:

Por lo tanto:

CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE

Deseamos ahora determinar la respuesta natural de un modelo de circuito

compuesto por un resistor ideal, un inductor ideal y un capacitor ideal

conectados en serie.

El circuito RLC en serie es el dual del circuito RLC en paralelo, as que

este simple hecho resulta suficiente para hacer que su anlisis sea un asunto

trivial.

t2senBe)t(v 2t2

t2seneB2t2coseB2dt

dv t22

t2

2

420C

)0(iB2

dt

dv C2

0t

t2sene2210)t(vt2




57

La ecuacin integrodiferencal fundamental del

circuito serie es:

y debe compararse con la ecuacin anloga para

el circuito RLC en paralelo, dibujado de nuevo

en la figura b.

Las respectivas ecuaciones de segundo orden que

se obtienen diferenciando estas dos ecuaciones

con respecto al tiempo tambin son duales:

Nuestro anlisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera

directa al circuito RLC en serie.

Las condiciones iniciales sobre la tensin en el capacitor y la corriente en el

inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en la corriente en el

inductor y la tensin en el capacitor; la respuesta de tensin consiste en una

respuesta de corriente.

Un breve resumen de la respuesta del circuito serie

La respuesta sobreamortiguada es:

donde:

con

La respuesta crticamente amortiguada es:

y la respuesta subamortiguada es:

0)t(v'idtC

1iR

dt

diL 0C

t

t0

0)t(i'vdtvR

1

dt

dvC 0L

t

t9

0iC

1

dt

diR

dt

idL

2

2

0vL

1

dt

dv

R

1

dt

vdC

2

2

ts

2

ts

121 eAeA)t(i

2

0

2

2

2,1LC

1

L2

R

L2

Rs

LC

1y

L2

R0

)AtA(e)t(i 21t

)tsenBtcosB(e)t(i d2d1t




58

con

Respuesta completa del circuito RLC

Consideremos ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se

conmutan en la red y producen respuestas forzadas que no necesariamente

se anulan cuando el tiempo se vuelve infinito.

La solucin general se obtiene mediante el mismo procedimiento que se

sigui en los circuitos RL y RC:

- la respuesta forzada se determina por completo;

- la respuesta natural se obtiene como una forma funcional adecuada

que contiene el nmero apropiado de constantes arbitrarias;

- la respuesta completa se escribe como la suma de las respuestas

forzada y natural;

adems, las condiciones iniciales se determinan y se aplican a la respuesta

completa a fin de calcular los valores de las constantes.

Este ltimo paso con frecuencia resulta el ms complicado para los

estudiantes.

La mayor parte de la confusin al determinar y aplicar las condiciones

iniciales surge por la simple razn de que no contamos con un conjunto de

reglas rigurosas dispuestas, que sea viable seguir.

En cierto punto de cada anlisis, suele surgir una situacin en la que se ve

involucrada alguna idea que resulta ms o menos nica para ese problema

particular, lo cual es casi siempre la fuente de la dificultad.

La parte fcil

La respuesta completa (supuesta de manera arbitraria como la respuesta de

tensin) de un sistema de segundo orden consiste en:

)paralelo(

RC2

1

)serie(

L2

R




59

una respuesta forzada vf(t) = Vf que es una constante para la

excitacin de c.c.

y una respuesta natural:

En consecuencia:

Suponemos que s1 , s2 y Vf ya se determinaron en el circuito y en las

funciones forzadas que se indican queda por conocer A y B.

La ltima ecuacin muestra la interdependencia funcional de A, B, v y t, de

modo que la sustitucin del valor conocido de v en t = 0+ nos da entonces

una sola ecuacin que relaciona A y B,

v(0+) = Vf + A + B

sta es la parte fcil

La otra parte

Desafortunadamente, se requiere otra relacin entre A y B, la cual se

obtiene casi siempre al tomar la derivada de la respuesta:

y sustituir el valor conocido de dv/dt en t = 0+.

As, tenemos dos ecuaciones que relacionan a A y B y que se resolveran de

manera simultnea para evaluar las dos constantes.

El problema que resta es determinar los valores de v y dv/dt en t = 0+.

Supongamos que v es una tensin en el capacitor. Puesto que iC = CdvC/dt,

debemos reconocer la relacin entre el valor inicial de dv/dt y el valor

inicial de alguna corriente en el capacitor.

Si podemos establecer un valor para dicha corriente inicial en el capacitor,

entonces estableceremos de manera automtica el valor de dv/dt.

tsts

n21 BeAe)t(v

tsts

f21 BeAeV)t(v

ts

2

ts

121 BesAes0

dt

dv




60

Casi siempre los estudiantes pueden obtener con facilidad v(0+), pero suelen

titubear un poco al determinar el valor inicial de dv/dt.

Si hubiramos elegido una corriente en el inductor iL como nuestra

respuesta, entonces el valor inicial de diL/dt estara ntimamente relacionado

con el valor inicial de cierta tensin en el inductor.

Otras variables, aparte de las tensiones en el capacitor y de las corrientes en

el inductor, se determinan al expresar sus valores iniciales y los valores

iniciales de sus derivadas en trminos de los valores correspondientes para

vC e iL.

REDES MAS COMPLEJAS UN TRATAMIENTO GENERAL

Hasta aqu hemos visto circuitos RL, RC y RLC serie y paralelo con

funcin forzada constante

Trataremos ahora circuitos generales con cualquier tipo de fuentes

Veamos un ejemplo

Ejemplo 1

a) Determinar la ecuacin diferencial

para el vol

apuntes de redes. cap 4. circuitos en estado transiente 1 55099

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